Уравнение с синусом: Тригонометрические уравнения… для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов!
Так как \( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\)
Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох?
А подвох вот в чем:
\( \displaystyle \frac{\pi }{2}\approx \frac{3,14}{2}>1\)
А мы помним, что если правая часть тригонометрического уравнения больше \( \displaystyle 1\) (или меньше \( \displaystyle -1\)), то такое уравнение решений не имеет в принципе!!
Второе рассуждение тем более ересь: \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)\) надо понимать как угол, синус которого равен \( \displaystyle \frac{\pi }{2}\).
А ну-ка попытайся в таблице найти такой угол, синус которого равен \( \displaystyle \frac{\pi }{2}\)?!
Не нашёл? То-то же!
В общем, из того, что \( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\) никак не следует, что и \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\)!!
Из этого только следует, что \( \displaystyle \arcsin 1=\frac{\pi }{2}\)!
4.{n+1}}\arcsin \left( 0,1 \right)+\pi n,~n\in Z\)
5. \( \displaystyle cos\left( x \right)=1\)
И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)
\( \displaystyle x=\pm arccos1+2\pi n,~n\in Z\)
Чему равен угол, косинус которого равен \( \displaystyle 1\)?
Этот угол равен\( \displaystyle 0\)!
\( \displaystyle x=\pm 0+2\pi n,~n\in Z\)
Тогда нет смысла прибавлять или вычитать ноль, всё равно это ноль.
\( \displaystyle x=2\pi n,~n\in Z\)
Получили формулу, которая есть в таблице решений тригонометрических уравнений!
Ответ: \( \displaystyle x=2\pi n,~n\in Z\)
6. \( \displaystyle cos\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
По определению:
\( \displaystyle x=\pm \arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+2\pi n,~n\in Z\)
Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:
\( \displaystyle x=\pm \left( \pi -\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)+2\pi n,~n\in Z\)
Вот так и никак иначе выносится минус, запомни это!
Теперь арккосинус.
Не во всех таблицах есть значение \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\), но во всех есть \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)!!!
А теперь, внимание, ловкость рук и никакого мошенничества!
\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)Единица деленная на корень из двух равно корень из двух деленное на два!
Я не зря выделил это замечание жирным шрифтом, запомни это тождество хорошенько! Оно спасёт тебя в очень многих случаях!!
Итак, чему же равен угол, косинус которого равен \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)(или одно и то же \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\))?
Верно, это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\).
Тогда:
\( \displaystyle x=\pm \left( \pi -\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\)
\( \displaystyle x=\pm \left( \frac{4\pi }{4}-\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)
\( \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z\)
Ответ: \( \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z\)
7. \( \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)
\( \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)
Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:
\( \displaystyle \frac{\pi }{4}=\frac{3,14}{4}<1\)
Тогда по определению:
\( \displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)
Но из этого
Запомни, арккосинус – это угол, его аргумент (начинка) – это число, а выход – угол!!!
Ты когда-нибудь встречал в своей практике такой странный угол как \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)?!
Вот и я нет. Поэтому оставим как есть!
Ответ: \( \displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)
8. \( \displaystyle cos\left( x \right)=-\sqrt{2}\)
Всё просто: \( \displaystyle -\sqrt{2}<-1\)
… и решений данное уравнение не имеет.
9. \( \displaystyle tg\left( x \right)=\sqrt{2}\)
Запишем по определению:
\( \displaystyle x=arctg\sqrt{2}+\pi n,~n\in Z\)
\( \displaystyle arctg\sqrt{2}\) – не табличное значение, поэтому ответ сохраняем неизменным.
Обрати внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь мне не уже важно, какое у меня число стоит в правой части уравнения.
10. \( \displaystyle ctg\left( x \right)=-\sqrt{3}\)
Снова по определению:
\( \displaystyle x=arсctg\left( -\sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z\)
Без проблем выносим минус из арккотангенса:
\( \displaystyle x=\pi-arcctg\left( \sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z\)
Вычисляем: котангенс какого угла равен \( \displaystyle \sqrt{3}\)?
Это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\).
Ответ: \( \displaystyle x=\pi-\frac{\pi }{6}+\pi n = \frac{5\pi}{6}+\pi n,~n\in Z\).
11. \( \displaystyle ctg\left( x \right)=1\)
По формуле: \( \displaystyle x=arcctg1+\pi n,~n\in Z\).
Котангенс какого угла равен \( \displaystyle 1\)?
Это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\).
Ответ: \( \displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n,~n\in Z\).
Ну как, материал не кажется тебе слишком сложным? Я надеюсь, что нет. Теперь давай порешаем для закрепления чуть более сложные задачки.
Тригонометрические уравнения | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия
Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).
Поэтому ответ:
3. Бывает, что перед разложением суммы или разности тригонометрических функций в произведение надо проделать обратную процедуру: превратить произведение в сумму (разность).
Решим уравнение:
Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть — в сумму косинусов:
Ответ:
4. Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:
Здесь используем формулу понижения степени:
(которая является ни чем иным, как переписанной в другом виде формулой косинуса двойного
угла). Получаем:
и дальше ясно.
5. Многие оказываются в ступоре при виде следующего уравнения:
Переносим косинус влево и применяем формулу приведения
Дальше — дело техники.
6. А в этом примере нужны совсем другие манипуляции:
Раскладываем синус двойного угла, всё собираем в левой части и группируем:
Цель достигнута.
Рассмотрим уравнение:
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене
степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).
Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на . Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?
Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.
Предположим, что . Тогда в силу уравнения и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию
В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:
и дальнейший ход решения трудностей не представляет
1. Рассмотрим уравнение
Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение :
и дело сделано.
2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:
Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!
откуда
Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.
Введение дополнительного угла
Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.
1. Рассмотрим уравнение
Делим обе части на 2:
Замечаем, что :
В левой части получили синус суммы:
,
откуда и
2. Другой пример:
Делим обе части на
Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:
3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение
| (4) |
Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:
Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :
Соотношение (4) тогда приобретает вид:
,
или
Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол .
4. Снова решим уравнение
Делим обе части на :
Существует угол такой, что . Например, . Получаем:
,
,
,
,
В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в качестве ответа выражение (3). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это одно и то же множество решений!
Универсальная подстановка
Запомним две важные формулы:
Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.
1. Решим уравнение
Выражаем , используя универсальную подстановку:
Делаем замену :
Получаем кубическое уравнение:
Оно имеет единственный корень . Стало быть, , откуда .
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .
2. Рассмотрим уравнение
А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно подставляем в уравнение и убеждаемся, что это — решение.
Теперь обозначаем и применяем универсальную подстановку:
После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:
Следовательно, и .
Ответ: .
Метод оценок
В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .
3. Рассмотрим уравнение
Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
том случае, когда они равны единице одновременно:
Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:
Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:
Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:
Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.
Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:
Ответ: .
4. Рассмотрим уравнение
Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.
Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:
Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:
Имеем:
Ищем пересечение:
Умножаем на 21 и сокращаем на π:
Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.
Ответ: решений нет.
5. Страшное с виду уравнение
также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств следует, что . Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда
Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.
Учёт тригонометрических неравенств
Рассмотрим уравнение:
Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:
Тогда наше уравнение равносильно системе:
Решаем уравнение системы:
,
,
Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:
Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .
Ответ: .
Специальные приёмы
В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно знать обязательно.
1. Рассмотрим уравнение
Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного угла:
,
,
,
Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.
2. Теперь рассмотрим такое уравнение:
Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену . Как выразить через t? Имеем:
,
откуда . Получаем:
,
,
,
Как действовать дальше, мы знаем.
3. Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать их на экзамене):
,
Вот, например, уравнение:
Оно сводится к уравнению относительно :
,
,
Дальше всё понятно.
4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение
Выделяем полный квадрат!
,
,
,
,
,
,
5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:
Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .
Получим:
,
С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.
Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений.n arcsin a + \pi n, n \in Z`
Таблица арксинусов
2. Уравнение `cos x=a`
При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Таблица арккосинусов
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение `tg x=a`
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
Таблица арктангенсов
4. Уравнение `ctg x=a`
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Таблица арккотангенсов
Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
- с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
- решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!
Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Загрузка…3.1.10. Тригонометрические уравнения
Глава 3. Решение уравнений и неравенств
3.1.
3.1.10.
Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем
Значит, либо то есть либо то есть Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π,Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn, либо x + arcsin a = 2(n + 1)π, Оба эти равенства могут быть объединены в одно:
Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид
Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид
x = arctg a + πn, Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид
x = arcctg a + πn, Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
Пример 1Модель 3.5. Простейшие тригонометрические уравнения
Решите уравнение sin 2x = cos 3x.
Пример 2Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.
Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем tg x = 2, x = arctg 2 + πn,
Ответ. x = arctg 2 + πn,
Пример 3Решите уравнение sin2 x – 6 sin x cos x + 5 cos2 x = 0.
Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка. Вспомним определение многочлена n-ной степени, данное в § 2.1.1. Однородным многочленом n-ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.
Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au2 + bvu + cv2 = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x.
Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной Уравнения 2-го порядка делением на сводятся к квадратному относительно
Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.
Пример 4Решите уравнение arccos x = arctg x.
Урок 42. уравнение sin x = a — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №42. Уравнение sin x = a.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
1) Понятие арксинус числа;
2) Тождества, связанные с арксинусом;
3) Решение тригонометрических уравнений;
Глоссарий по теме
Арксинусом числа m называется такое число α, что: и .
Арксинус числа m обозначают: .
Заметим, что такой промежуток для α берется потому, что синус на отрезке принимает все свои значения ровно по одному разу.
Из определения следует, что для
С другой стороны, если и , то
Таким образом, получаем два простейших тождества для арксинуса.
- для любого m:
- для любого α: .
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, с. 310-314.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
- Так как является абсциссой точки М(α) координатной окружности, то для решения уравнения нужно сначала найти на этой окружности точки, имеющие абсциссу m, то есть точки пересечения окружности с прямой x=m. Если , то таких точек нет, если , то такая точка одна, если , то таких точек две.
После отыскания этих точек нужно найти все такие числа α, которые соответствуют этим точкам. Множество таких чисел и будет решением уравнения .
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Рассмотрим пример на вычисление арксинуса.
Пример.
Вычислить
Решение:
Так как и то
Ответ: .
Задание.
Вычислить .
Ответ: .
На рисунке показано, как связаны друг с другом числа m и
Из рисунка видно, что
Запишем теперь с помощью арксинуса решение уравнения
Одним из решений уравнения является число . Так как , то число также является решением данного уравнения.
Точка соответствует всем числам вида
Точка соответствует всем числам вида
Таким образом, решением уравнения sinα=m являются все числа вида
(*)
Пример.
Решим уравнение
Решение:
Так как , то по формуле (*) получаем:
.
Задание
Решите уравнение
Ответ: .
Рассмотрим решение более сложных уравнений с синусом.
- Рассмотрим решение уравнения .
Решение:
, поэтому
Отсюда , или
Тогда
Ответ: .
- Рассмотрим решение уравнения
Решение:
, поэтому .
Отсюда получаем:
Мы получили два квадратных уравнения с параметром k.
Запишем их решения.
Для того чтобы число х было действительным, дискриминант должен быть неотрицательным. То есть:
(1) и (2)
Неравенство (1) выполняется при , так как k – целое, то .
Неравенство (2) выполняется при , так как k – целое, то .
Таким образом, получаем, что при целых значениях исходное уравнение имеет две серии решений:
При уравнение имеет два решения:
Ответ: а) при ,
б) при ,
в) нет решений при .
- Рассмотрим решение уравнения
Решение:
Так как синусы равны, то их аргументы связаны соотношением:
Отсюда:
Первое уравнение имеет решение при или при .
Второе уравнение имеет решение при или при .
Таким образом:
Ответ:
а) при ,
б) , при при ,
в) нет решений при .
- Рассмотрим решение уравнения
Решение:
Уравнение равносильно совокупности уравнений:
или:
Решение первого уравнения: .
Решение второго уравнения: .
Ответ:
- Рассмотрим решение уравнения
Решение:
Выразим синус:
Имеем две серии решений:
.
Изобразим эти множества на тригонометрической окружности:
Можно записать эти две серии в виде одного равенства:
.
Ответ: .
Заметим, что для краткости решение тригонометрического уравнения sin x=m можно записать в виде:
Пример 1.
Рассмотрим решение уравнения .
Прямая пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:
M(π/3) и N(2π/3).
Точка M(π/3) соответствует всем числа вида .
Точка N(2π/3) соответствует всем числа вида .
Таким образом, решение уравнения можно записать так:
.
Ответ: .
Пример 2.
Рассмотрим решение уравнения .
Прямая y=1 имеет с тригонометрической окружностью одну общую точку: .
Этой точке соответствуют все числа вида . Поэтому решение уравнения имеет вид .
Ответ: .
Пример 3.
Рассмотрим решение уравнения .
Прямая y=0 имеет с тригонометрической окружностью две общие точки: С() и К(π).
Поэтому решение уравнения можно записать так: .
Ответ: .
Задание.
Решите уравнение .
Ответ: .
2. Мы можем записать решение уравнение для любых табличных значений m. В тех случаях, когда мы не знаем значения аргумента, соответствующее значению m, чтобы уметь решать уравнение для произвольных значений m, введем понятие арксинуса.
§ 22. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем.
Иногда приходится решать тригонометрические уравнения, в которые входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. В таком случае целесообразно эту сумму (или разность) обозначить новой переменной.
Задача 1. Решите уравнение 3 (sin x + cos x) = 2 sin 2х.
Комментарий
Если в заданном уравнении привести все тригонометрические функции к одному аргументу х, то получим уравнение (1) (см. решение), в которое входят только сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента х и их произведение. Для решения этого уравнения введем новую переменную sin x + cos x = y. Чтобы получить произведение sin x cos x, достаточно возвести в квадрат обе части равенства замены и учесть, что sin2 x + cos2 x = 1. Выполняя обратную замену, удобно также учесть, что
Решение
Данное уравнение равносильно уравнению
3 (sin x + cos x) = 4 sin х cos x. (1)
Если обозначить sin x + cos x = у, то
Тогда Подставляя эти значения в уравнение (1), получаем
Таким образом, sin x + cos x = 2 или sin x+cos x =
Тогда или Получаем (корней нет, поскольку ) или Отсюда Тогда
Ответ:
З а м е ч а н и е. При возведении обеих частей уравнения в квадрат можно получить посторонние корни (см. таблицу 7). Но возведение обеих частей равенства замены в квадрат является равносильным преобразованием. Действительно, в этом случае левая и правая части равенства имеют одинаковые знаки, и тогда a = b Если обе части равенства a = b положительны, то для положительных значений t функция y =возрастает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Таким образом, при a > 0, b > 0 из равенства a = b следует равенство и, наоборот, из равенства следует равенство a = b, что и гарантирует равносильность выполненного преобразования для положительных a и b. Аналогично для используем то, что для не положительных значений t функция y =убывает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.
Для решения некоторых тригонометрических уравнений могут применяться свойства функций (соответствующие общие подходы к решению были рассмотрены в § 3, пункт 3.2), в частности, оценка левой и правой частей уравнения.
Задача 2. Решите уравнение
Оценим область значений функции
Поскольку то есть
Выясним, существуют ли такие значения х, при которых функция f (x) может принимать наибольшее значение 2. Если cos 6x будет меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение было больше 1, что невозможно. Аналогично, если допустить, что меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение cos 6x было больше 1, что невозможно. Таким образом, равенство в данном уравнении возможно тогда и только тогда, когда cos 6x и равны 1. Поэтому данное уравнение равносильно системе
Приравнивая правые части этих равенств, получаем
Поскольку k и n — целые числа, то для получения всех решений последнего уравнения в целых числах (см. § 9) достаточно подставить в правую часть последнего равенства вместо п все остатки при делении на 5 и найти, для каких значений п по этой формуле k также будет целым числом. Только при n = 1 получаем целое k = 3. В случае, когда коэффициент 12 при переменной n в числителе дроби и знаменатель 5 — взаимно простые числа, повторение делимости нацело будет только через знаменатель, то есть через 5. Поэтому последнее уравнение имеет решения в целых числах только вида n = 1 + 5m,. Подставляя значение п в одно из решений системы, получаем х = π + 4πm. Эти значения и являются решениями последней системы, а следовательно, и решениями данного уравнения.
Ответ: х = π + 4πm,.
Задача 3. Решите уравнение
Комментарий
Преобразуем левую часть по формуле и оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Решая полученную систему двух уравнений с одним неизвестным, можно несколько упростить выкладки и решить только одно уравнение системы, а для другого проверить, удовлетворяют ли ему полученные решения.
Решение
Данное уравнение равносильно уравнению
(1)
Обозначим: . Поскольку
Левая часть уравнения (1) меньше или равна 2, а правая часть больше или равна 2. Равенство между ними возможно тогда и только тогда, когда левая и правая части уравнения равны 2, то есть данное уравнение равносильно системе
Из первого уравнения системы имеем , откуда
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению системы. Если , тогда sin 8x=0 и поэтому
Ответ:
Иногда для решения тригонометрических уравнений приходится применять тригонометрические формулы, которые приводят к сужению ОДЗ данного уравнения. Такие преобразования могут приводить к потере корней уравнения. Чтобы этого не случилось, можно пользоваться таким о р и е н т и р о м:
если для решения уравнений (или неравенств) приходится выполнять преобразования, сужающие ОДЗ исходного уравнения (или неравенства), то те значения, на которые сужается ОДЗ, необходимо рассматривать отдельно.
В таблице 42 указаны тригонометрические формулы, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и соответствующие значения переменной, которые приходится проверять при использовании этих формул.
Чтобы убедиться, что приведенные формулы приводят к сужению ОДЗ, достаточно сравнить области допустимых значений их левых и правых частей.
Например, рассмотрим формулу
ОДЗ левой части: . Для нахождения ОДЗ правой части формулы учитываем, что знаменатель дроби не равен нулю:, таким образом, . То есть ОДЗ правой части задается системой ограничений Сравнивая ОДЗ левой и правой частей рассмотренной формулы, видим, что ОДЗ правой части содержит дополнительное ограничение. Таким образом, при переходе по этой формуле от ее левой части к правой происходит сужение ОДЗ (отбрасываются именно те значения, которые указаны в таблице: Чтобы не потерять корни данного уравнения, при использовании формулы, значение , необходимо рассмотреть отдельно (конечно, только в том случае, когда оно входит в ОДЗ данного уравнения).
Приведем пример использования указанного о р и е н т и р а.
Задача 4. Решите уравнение
Комментарий
Если воспользоваться первыми двумя формулами таблицы 42, то мы приведем все тригонометрические выражения в этом уравнении и к одному аргументу, и к одной функции — tg x. Но при использовании указанных формул происходит сужение ОДЗ на значение , и вследствие этого можно потерять корни уравнения, если числа такого вида входят в ОДЗ исходного уравнения и являются его корнями. Чтобы этого не случилось, разобьем решение на две части.
- Подставляем те значения переменной, на которые сужается ОДЗ, в уравнение (1). При вычислениях учитываем периодичность функций и формулы приведения.
- При (на ОДЗ уравнения (1)) использование формул и приводит к уравнению (2) (см. решение), которое равносильно заданному (на той части ОДЗ, где ), потому что эти формулы сохраняют верное равенство как при переходе от равенства (1) к равенству (2), так и при обратном переходе от равенства (2) к равенству (1). Замена переменной (и обратная замена) также приводит к уравнению, равносильному заданному (на указанной части ОДЗ исходного уравнения).
Заметим, что ОДЗ уравнения (2) отличается от ОДЗ уравнения (1) только тем, что в нее не входят значения , которые входят в ОДЗ уравнения (1). Поскольку эти «плохие» значения мы учли в процессе решения, то ОДЗ уравнения (1) можно в явном виде не фиксировать (как в приведенном решении). В ответе записываем все корни, которые были получены в первой и второй частях решения.
Решение
- Если , то из данного уравнения получаем:
– верное равенство.
Таким образом, – корни уравнения (1).
- Если , получаем:
(2)
Замена tg x = t приводит к уравнению которое при и равносильно уравнению . Тогда
Обратная замена даёт: tg x= -1 или , то есть:
Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, используя такой ориентир, который условно можно назвать «ищи квадратный трехчлен», то есть:
попробуйте рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или относительно некоторой функции).
Урок решить уравнение синус 2х 1 2. Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры. Разложение на множители
Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = а
х — угол, который нужно найти,
а — любое число.А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.
Для синуса:
Для косинуса:
х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Для тангенса:
х = arctg a + π n, n ∈ Z
Для котангенса:
х = arcctg a + π n, n ∈ Z
Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?
Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло…) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)
Разберёмся?
Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.
И так будет получаться всегда. При любом а.
Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.
Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:
х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
х 2 = — arccos a + 2π n, n ∈ Z
Объединяем эти две серии в одну:
х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z
И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.
Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания «С» будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала… Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.
В простейшем тригонометрическом уравнении
sinx = а
тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:
х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!
Проверим математиков? А то мало ли…)
В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:
В ответе получились две серии корней:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:
х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π /6. Полноценный ответ будет:
х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z
Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) — одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)
Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:
х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.
При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:
х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.
А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:
х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.
Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)
Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.
Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.
Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.
И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)
Можно подвести итоги.
Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:
sinx = 0,3
Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:
х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
то блистаете вы уже, это… того… из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, — 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. — ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.
А если уж вам попалось неравенство, типа
то ответ в виде:
х πn, n ∈ Z
есть редкая ахинея, да…) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.
Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)
Бонус:
При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово — два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там — два.
Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)
Если Вам нравится этот сайт…Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Когда-то я стал свидетелем разговора двух абитуриентов:
– Когда надо прибавить 2πn, а когда – πn? Никак не могу запомнить!
– И у меня такая же проблема.
Так и хотелось им сказать: «Не запоминать надо, а понимать!»
Данная статья адресована прежде всего старшеклассникам и, надеюсь, поможет им с «пониманием» решать простейшие тригонометрические уравнения:
Числовая окружность
Наряду с понятием числовой прямой есть еще и понятие числовой окружности. Как мы знаем, в прямоугольной системе координат окружность,с центром в точке (0;0) и радиусом 1, называется единичной. Вообразим числовую прямую тонкой нитью и намотаем ее на эту окружность: начало отсчета (точку 0), приставим к «правой» точке единичной окружности, положительную полуось обмотаем против движения часовой стрелки, а отрицательную – по направлению (рис. 1). Такую единичную окружность называют числовой.
Свойства числовой окружности
- Каждое действительное число находится на одной точке числовой окружности.
- На каждой точке числовой окружности находятся бесконечно много действительных чисел. Так как длина единичной окружности равна 2π, то разность между любыми двумя числами на одной точке окружности равна одному из чисел ±2π ; ±4π ; ±6π ; …
Сделаем вывод: зная одно из чисел точки A, мы можем найти все числа точки A .
Проведем диаметр АС (рис. 2). Так как x_0 – одно из чисел точки А, то числа x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … и только они будут числами точки C. Выберем одно из этих чисел, скажем, x_0+π, и запишем с его помощью все числа точки C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈Z. Отметим, что числа на точках A и C можно объединить в одну формулу: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (при k = 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки C).
Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или C диаметра АС, мы можем найти все числа на этих точках.
Проведем вертикальную хорду АВ (рис. 2). Так как точки A и B симметричны относительно оси Ox, то число -x_0 находится на точке B и, значит, все числа точки B задаются формулой: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Числа на точках A и B запишем одной формулой: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или B вертикальной хорды АВ, мы можем найти все числа на этих точках. Рассмотрим горизонтальную хорду AD и найдем числа точки D (рис. 2). Так как BD – диаметр и число -x_0 принадлежит точке В, то -x_0 + π одно из чисел точки D и, значит, все числа этой точки задаются формулой x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z.k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки D).
Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или D горизонтальной хорды AD, мы можем найти все числа на этих точках.
Шестнадцать основных точек числовой окружности
На практике решение большинства простейших тригонометрических уравнений связано с шестнадцатью точками окружности (рис. 3). Что это за точки? Красные, синие и зеленые точки делят окружность на 12 равных частей. Так как длина полуокружности равна π, то длина дуги A1A2 равна π/2, длина дуги A1B1 равна π/6, а длина дуги A1C1 равна π/3.
Теперь можем указать по одному числу на точках:
π/3 на С1 и
Вершины оранжевого квадрата – середины дуг каждой четверти, следовательно, длина дуги A1D1 равна π/4 и, значит, π/4 – одно из чисел точки D1. Воспользовавшись свойствами числовой окружности, мы можем записать с помощью формул все числа на всех отмеченных точках нашей окружности. На рисунке отмечены также и координаты этих точек (опустим описание их получения).
Усвоив выше сказанное, мы имеем теперь достаточную подготовку для решения частных случаев (для девяти значений числа a) простейших уравнений.
Решить уравнения
1) sinx=1⁄(2) .
– Что от нас требуется?
– Найти все те числа x, синус которых равен 1/2 .
Вспомним определение синуса: sinx – ордината точки числовой окружности, на которой находится число x . На окружности имеем две точки, ордината которых равна 1/2 . Это концы горизонтальной хорды B1B2 . Значит, требование «решить уравнение sinx=1⁄2 » равнозначно требованию «найти все числа на точке B1 и все числа на точке B2».
2) sinx=-√3⁄2 .
Нам надо найти все числа на точках C4 и C3.
3) sinx=1 . На окружности имеем только одну точку с ординатой 1 – точка A2 и, значит, нам надо найти только все числа этой точки.
Ответ: x=π/2+2πk , k∈Z .
4) sinx=-1 .
Только точка A_4 имеет ординату -1. Все числа этой точки и будут конями уравнения.
Ответ: x=-π/2+2πk , k∈Z .
5) sinx=0 .
На окружности имеем две точки с ординатой 0 – точки A1 и A3 . Можно указать числа на каждой из точек по отдельности, но, учитывая, что эти точки диаметрально противоположные, лучше объединить их в одну формулу: x=πk ,k∈Z .
Ответ: x=πk ,k∈Z .
6) cosx=√2⁄2 .
Вспомним определение косинуса: cosx — абсцисса точки числовой окружности на которой находится число x. На окружности имеем две точки с абсциссой √2⁄2 – концы горизонтальной хорды D1D4 . Нам нужно найти все числа на этих точках. Запишем их, объединив в одну формулу.
Ответ: x=±π/4+2πk , k∈Z .
7) cosx=-1⁄2 .
Надо найти числа на точках C_2 и C_3 .
Ответ: x=±2π/3+2πk , k∈Z .
10) cosx=0 .
Только точки A2 и A4 имеют абсциссу 0, значит, все числа на каждой из этих точках и будут решениями уравнения.
.Решениями уравнения системы являются числа на точках B_3 и B_4 .Неравенству cosxОтвет: x=-5π/6+2πk , k∈Z .
Заметим,что при любом допустимом значении x второй множитель положителен и, следовательно,уравнение равносильно системе
Решениями уравнения системы являются чила точек D_2 и D_3 . Числа точки D_2 не удовлетворяют неравенству sinx≤0,5 ,а числа точки D_3-удовлетворяют.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
графиков функции синуса и косинуса
График изменения y = sin (x) и y = cos (x)
Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения вещественных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности. Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции . Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения синусоидальной функции на единичной окружности.
x 0 [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ латекс] π sin (x) 0 [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс]
[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс]
1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ латекс] 0 Построение точек из таблицы и продолжение по оси x дает форму синусоидальной функции.См. Рисунок 2.
Рисунок 2. Синусоидальная функция
Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, что соответствует значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между π и 2π, которые соответствуют значениям функция синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3.
Рисунок 3. График значений синусоидальной функции
Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса .Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности.
х 0 [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ латекс] π cos (x) 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ латекс] 0
[латекс] — \ frac {1} {2} \\ [/ latex]
[латекс] — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] -1 Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4.
Рисунок 4. Функция косинуса
Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1].
На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом 2π. Периодическая функция — это функция, для которой определенный горизонтальный сдвиг , P приводит к функции, равной исходной функции: f ( x + P ) = f ( x ) для всех значений x в области f .Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с P > 0 периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.
Рисунок 5
Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии. Как видно на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из «Других тригонометрических функций», что мы определили с помощью единичного круга, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что [latex] sin (−x) = — sinx [/ latex].Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике.
Рисунок 6. Нечетная симметрия синусоидальной функции
На рисунке 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией. Теперь мы можем видеть из графика, что [латекс] \ cos (−x) = \ cos x \\ [/ latex].
Рисунок 7. Четная симметрия функции косинуса
Общее примечание: Характеристики функций синуса и косинуса
Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик:
- Это периодические функции с периодом 2π.
- Область определения каждой функции — (−∞, ∞), а диапазон — [−1,1].
- График y = sin x симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция.
- График y = cos x симметричен относительно оси y , потому что это четная функция.
Исследование синусоидальных функций
Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют постоянный период и диапазон. Если мы увидим океанские волны или рябь на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса.Однако они не обязательно идентичны. Некоторые из них выше или длиннее других. Функция, которая имеет ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса , известна как синусоидальная функция . Общие формы синусоидальных функций:
y = A sin ( Bx — C ) + D
и
y = A cos ( Bx — C ) + D
Определение периода синусоидальной функции
Глядя на формы синусоидальных функций, мы можем видеть, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса.Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода.
В общей формуле B связано с периодом соотношением [latex] \ text {P =} \ frac {2π} {| B |} [/ latex]. Если | B | > 1, то период меньше 2π и функция испытывает сжатие по горизонтали, а если | B | <1, то период больше 2π и функция растягивается по горизонтали. Например, f ( x ) = sin ( x ), B = 1, поэтому период равен 2π, который мы знали.Если f ( x ) = sin (2 x ), то B = 2, поэтому период равен π и график сжат. Если [латекс] \ text {f (x) = sin} (\ frac {x} {2}) [/ latex], то [latex] B = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому период равен 4π, и график растянут. Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с | B |.
Рисунок 8
Общее примечание: период синусоидальных функций
Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синусоидальной и косинусной функций общего вида, мы получим формы
Период [латекс] \ frac {2π} {| B |} [/ латекс].
Пример 1: Определение периода функции синуса или косинуса
Определите период функции [latex] f (x) = \ sin (\ frac {π} {6} x) \\ [/ latex].
Решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [latex] y = Asin (Bx) [/ latex].
В данном уравнении [latex] B = \ frac {π} {6} [/ latex], поэтому период будет
[латекс] \ begin {array} P = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \ hfill \\ = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6} } \ hfill \\ = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \ hfill \\ = 12 \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]
Попробуй 1
Определите период функции [latex] g (x) = \ cos (\ frac {x} {3}) \\ [/ latex].
Решение
Определение амплитуды
Возвращаясь к общей формуле синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная B связана с периодом. Теперь давайте обратимся к переменной A , чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя. A представляет коэффициент вертикального растяжения и его абсолютное значение | A | это амплитуда. Локальные максимумы будут на расстоянии | A | над вертикальной средней линией графика, которая представляет собой линию x = D ; поскольку D = 0 в этом случае, средняя линия является осью x .Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A | > 1 функция растягивается. Например, амплитуда f ( x ) = 4 sin x в два раза больше амплитуды
f ( x ) = 2 sin x .
Если | A | <1, функция сжимается. На рисунке 9 сравнивается несколько синусоид с разными амплитудами.
Рисунок 9
Общее примечание: амплитуда синусоидальных функций
Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса в общем виде, мы получим формы
[латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx) \\ [/ latex]
Амплитуда равна A, а высота по вертикали от средней линии равна | A |.Кроме того, обратите внимание, что в примере
[латекс] | A | = \ text {амплитуда} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} — \ text {minimum} | \\ [/ latex]
Пример 2: Определение амплитуды функции синуса или косинуса
Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = — 4 \ sin (x) \\ [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?
Решение
Начнем с сравнения функции с упрощенной формой y = A sin ( Bx ).
В данной функции A = −4, поэтому амплитуда | A | = | −4 | = 4. Функция растягивается.
Анализ решения
Отрицательное значение A приводит к отражению по оси x синусоидальной функции , как показано на рисунке 10.
Рисунок 10
Попробуй 2
Какова амплитуда синусоидальной функции f ( x ) = 12 sin ( x )? Функция растягивается или сжимается по вертикали?
Решение
Анализ графиков вариаций
y = sin x и y = cos xТеперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D .Напомним общий вид:
[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex]
или
[латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C } {B})) + D \\ [/ latex]
Значение [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом , или горизонтальным смещением основного синуса или функцией косинуса . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещен график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) \\ [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f. (x) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} \\ [/ latex].
Рисунок 11
В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции.Функция [latex] y = \ cos (x) + D \\ [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex].
Рисунок 12
Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. На рисунке 13 [latex] f (x) = \ sin x \\ [/ latex] сравнивается с [latex] f (x) = \ sin x + 2 \\ [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике. .
Рисунок 13
Общее примечание: Вариации функций синуса и косинуса
Дано уравнение в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] — это сдвиг фазы , а D — сдвиг по вертикали .
Пример 3: Определение фазового сдвига функции
Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex].
Решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex].
В данном уравнении обратите внимание, что B = 1 и [латекс] C = — \ frac {π} {6} \\ [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг
[латекс] \ begin {array} \ frac {C} {B} = — \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \ hfill \\ = — \ frac {\ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]
или [latex] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex] единиц слева.
Анализ решения
Необходимо обратить внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ гидроразрыв {π} {6})) — 2 \\ [/ latex]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево.
Попробуй 3
Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) \\ [/ latex].
Решение
Пример 4: Определение вертикального сдвига функции
Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 \\ [/ latex].
Решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex]
Попробовать 4
Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 \\ [/ latex].
Решение
Практическое руководство. Учитывая синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.
- Определите амплитуду как | A |.
- Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
- Определите фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
- Определите среднюю линию как y = D.
Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения
Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 \\ [/ latex].
Решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.
Затем B = 2, поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π \\ [/ latex].
В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 \\ [/ latex].
Наконец, D = 1, поэтому средняя линия составляет y = 1.
Анализ решения
Изучая график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3.См. Рисунок 14.
Рисунок 14
Попробуй 5
Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {π} {3}) \ \[/латекс].
Решение
Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика
Определите формулу функции косинуса на рисунке 15.
Рисунок 15
Решение
[латекс] f (x) = \ sin (x) +2 \\ [/ latex]
Попробуй 6
Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16.
Рисунок 16
Решение
Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика
Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.
Рисунок 17
Решение
При максимальном значении 1 и минимальном значении –5 средняя линия будет находиться посередине между –2. Итак, D = −2.
Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | А | = 3.
Период графика равен 6, который может быть измерен от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [латекс] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex]. Используя положительное значение для B , находим, что
[латекс] B = \ frac {2π} {P} = \ frac {2π} {6} = \ frac {π} {3} \\ [/ latex]
Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ латекс].Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих:
- косинус, смещенный вправо
- отрицательный косинус, сдвинутый влево
- синус, сдвинутый влево
- отрицательный синус смещен вправо
Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целочисленные значения. Итак, наша функция становится
[латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) — 2 \\ [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π} {3} x + \ frac {2π} {3}) — 2 \\ [/ латекс]
Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.
Попробуй 7
Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18.
Рисунок 18
Решение
Графические вариации
y = sin x и y = cos xВ этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков. Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.
Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида
[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex],
мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.
Практическое руководство. Для функции [latex] y = Asin (Bx) \\ [/ latex] нарисуйте ее график.
- Определите амплитуду, | A |.
- Определите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
- Начать с начала координат, функция увеличивается вправо, если A положительно, или уменьшается, если A отрицательно.
- В [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, с y = А .
- Кривая возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {| B |} \\ [/ latex].
- Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) при [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} \\ [/ latex] при y = — А .
- Кривая снова возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex].
Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода
Нарисуйте график [латекса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) \\ [/ latex].
Решение
Давайте начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex].
Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2.
| A | = 2
Шаг 2. Уравнение показывает, что [latex] B = \ frac {π} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен
[латекс] \ begin {array} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ = 4 \ end {array} \\ [/ latex]
Шаг 3. Поскольку A отрицательно, график опускается вниз по мере того, как мы перемещаемся вправо от начала координат.
Шаг 4–7. x -перехватывания находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода при x = 4.
Квартальные точки включают минимум x = 1 и максимум x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицах. над средней линией при x = 3. На рисунке 19 показан график функции.
Рисунок 19
Попробуй 8
Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.
Решение
Практическое руководство. Для заданной синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график.
- Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex] .
- Определите амплитуду, | A |.
- Определите период, [латекс] P = 2π | B | [/ латекс].
- Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
- Нарисуйте график [латекс] f (x) = A \ sin (Bx) \\ [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [латекс] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] и вверх или вниз на D .
Пример 9: Построение преобразованной синусоиды
Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex].
Решение
Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ латекс]. Этот график будет иметь форму синусоидальной функции , начиная со средней линии и увеличиваясь вправо.
Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.
Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], мы определяем период следующим образом.
[латекс] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 \\ [/ латекс]
Период 8.
Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], фазовый сдвиг равен
[латекс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 \\ [/ latex].
Фазовый сдвиг 1 ед.
Шаг 5. На рисунке 20 показан график функции.
Рис. 20. Сжатая по горизонтали, растянутая по вертикали и смещенная по горизонтали синусоида
Попробуй 9
Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.
Решение
Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции
Дано [латекс] y = −2 \ cos (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi) +3 \\ [/ latex], определить амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.Затем изобразите функцию.
Решение
Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9.
[латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ латекс]
Шаг 1. Функция уже написана в общем виде.
Шаг 2. Так как A = −2, амплитуда | A | = 2.
Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 \\ [/ latex].Период 4.
г.Шаг 4. [latex] C = — \ pi \\ [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 \\ [/ latex]. Сдвиг фазы равен -2.
Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается 3.
Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражается относительно оси x .
На рисунке 21 показан один цикл графика функции.
Рисунок 21
Использование преобразований функций синуса и косинуса
Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение может быть смоделировано с использованием функции синуса или косинуса .
Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения
Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота.
Решение
Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [latex] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [latex] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает вертикальное растяжение значений y функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.
Рисунок 22
Анализ решения
Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; путешествуя по кругу, мы возвращаемся в точку (3,0) для x = 2π, 4π, 6π,….Поскольку выходные данные графика теперь будут колебаться между –3 и 3, амплитуда синусоидальной волны равна 3.
Попробуй 10
Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции.
Решение
Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения
Круг радиусом 3 фута устанавливается с центром в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23.Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении окружности; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.
Рисунок 23
Решение
Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24.
Рисунок 24
Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают использование одной функции проще, чем другой.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.
Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.
Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Объединяя эти преобразования, мы находим, что
[латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс]
Попробуй 11
Груз прикрепляется к пружине, которая затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение и груза относительно доски изменяется от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение y задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y в единицах x .
Рисунок 25
Решение
Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения
Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метра над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.
Решение
При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.
Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м.
Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.
Наконец, поскольку райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться, следуя форме вертикально отраженной косинусоидальной кривой.
- Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
- Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
- Период: 30, поэтому [латекс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
- Форма: −cos ( t )
Уравнение для роста всадника будет
[латекс] y = -67,5 \ cos (\ frac {\ pi} {15} t) +69,5 [/ латекс]
, где т, — в минутах, а y — в метрах.
Ключевые уравнения
Синусоидальные функции [латекс] f (x) = A \ sin (Bx-C) + D [/ латекс] [латекс] f (x) = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс] - Периодические функции повторяются после заданного значения.Наименьшее из таких значений — период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π.
- Функция sin x нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x четная, поэтому ее график симметричен относительно оси y .
- График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция.
- В общей формуле для синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
- В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается.
- Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг.
- Значение D в общей формуле для синусоидальной функции указывает вертикальное смещение от средней линии.
- Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения.
- Уравнение для синусоидальной функции может быть определено из графика.
- Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период.
- Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.
- Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем.
Глоссарий
- амплитуда
- вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции
- средняя линия
- горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции
- периодическая функция
- функция f ( x ), которая удовлетворяет [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для конкретной константы P и любого значения x
- сдвиг фазы
- горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex]
- синусоидальная функция
- любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]
Упражнения по разделам
1.Почему функции синуса и косинуса называются периодическими функциями?
2. Как график [латекса] y = \ sin x [/ latex] соотносится с графиком [латекса] y = \ cos x [/ latex]? Объясните, как можно горизонтально перевести график [latex] y = \ sin x [/ latex], чтобы получить [latex] y = \ cos x [/ latex].
3. Какие константы влияют на диапазон функции и как они влияют на диапазон для уравнения [латекс] A \ cos (Bx + C) + D [/ latex]?
4. Как диапазон преобразованной синусоидальной функции соотносится с уравнением [латекс] y = A \ sin (Bx + C) + D [/ latex]?
5.Как можно использовать единичный круг для построения графика [латекса] f (t) = \ sin t [/ latex]?
6. [латекс] f (x) = 2 \ sin x [/ латекс]
7. [латекс] f (x) = \ frac {2} {3} \ cos x [/ латекс]
8. [латекс] f (x) = — 3 \ sin x [/ латекс]
9. [латекс] f (x) = 4 \ sin x [/ латекс]
10. [латекс] f (x) = 2 \ cos x [/ латекс]
11. [латекс] f (x) = \ cos (2x) [/ латекс]
12. [латекс] f (x) = 2 \ sin (\ frac {1} {2} x) [/ latex]
13. [латекс] f (x) = 4 \ cos (\ pi x) [/ латекс]
14. [латекс] f (x) = 3 \ cos (\ frac {6} {5} x) [/ latex]
15.[латекс] y = 3 \ sin (8 (x + 4)) + 5 [/ латекс]
16. [латекс] y = 2 \ sin (3x − 21) +4 [/ латекс]
17. [латекс] y = 5 \ sin (5x + 20) -2 [/ латекс]
Для следующих упражнений нарисуйте один полный период каждой функции, начиная с [latex] x = 0 [/ latex]. Для каждой функции укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x за один период для [latex] x> 0 [/ latex]. Укажите фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, если применимо.При необходимости округлите ответы до двух десятичных знаков.
18. [латекс] f (t) = 2 \ sin (t− \ frac {5 \ pi} {6}) [/ latex]
19. [латекс] f (t) = — \ cos (t + \ frac {\ pi} {3}) + 1 [/ latex]
20. [латекс] f (t) = 4 \ cos (2 (t + \ frac {\ pi} {4})) — 3 [/ латекс]
21. [латекс] f (t) = — \ sin (12t + \ frac {5 \ pi} {3}) [/ latex]
22. [латекс] f (x) = 4 \ sin (\ frac {\ pi} {2} (x − 3)) + 7 [/ latex]
23. Определите амплитуду, среднюю линию, период и уравнение, включающее синусоидальную функцию, для графика, показанного на рисунке 26.
Рисунок 26
24. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 27.
Рисунок 27
25. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 28.
Рисунок 28
26. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 29.
Рисунок 29
27.Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 30.
Рисунок 30
28. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с синусом для графика, показанного на рисунке 31.
Рисунок 31
29. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее косинус, для графика, показанного на рисунке 32.
Рисунок 32
30. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 33.
Рисунок 33
Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ sin x [/ latex].
31. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].
32. Вычислить [латекс] f (\ frac {\ pi} {2}) [/ latex].
33. На [0,2π), [латексе] f (x) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. Найдите все значения x .
34. На [0,2π) максимальное значение (я) функции встречается (а), при каком значении (ах) x ?
35. На [0,2π) встречается минимальное значение (-я) функции, при каком (-ых) значении (-ях) x ?
36.Покажите, что [latex] f (−x) = — f (x) [/ latex]. Это означает, что [latex] f (x) = \ sin x [/ latex] является нечетной функцией и обладает симметрией относительно ________________ .
Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].
37. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ cos x = 0 [/ latex].
38. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].
39. На [0,2π) найдите x -перехватывания [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].
40. На [0,2π) найдите значения x , при которых функция имеет максимальное или минимальное значение.
41. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex].
42. График [латекс] h (x) = x + \ sin x \ text {on} [0,2 \ pi] [/ latex]. Объясните, почему график выглядит именно так.
43. График [латекс] h (x) = x + \ sin x [/ latex] на [−100,100]. График выглядел так, как было предсказано в предыдущем упражнении?
44. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] на [0,2π] и вербализируйте, как график отличается от графика [латекса] f (x) = \ sin x [/ latex ].
45. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] в окне [-10,10] и объясните, что показывает график.
46. Изобразите [латекс] f (x) = \ frac {\ sin x} {x} [/ latex] в окне [−5π, 5π] и объясните, что показывает график.
47. Колесо обозрения имеет диаметр 25 метров и поднимается на него с платформы, находящейся на высоте 1 метра над землей. Шесть часов на колесе обозрения находится на уровне погрузочной платформы. Колесо совершает 1 полный оборот за 10 минут. Функция h ( t ) дает высоту человека в метрах над землей t минут после начала поворота колеса.
а. Найдите амплитуду, среднюю линию и период ч ( т ).
г. Найдите формулу для функции высоты h ( t ).
г. Как высоко над землей окажется человек через 5 минут?Амплитуда, период, фазовый сдвиг и частота
Некоторые функции (например, синус и косинус) повторяются вечно
и называются периодическими функциями .Период переходит от одного пика к следующему (или от любой точки до следующей точки совпадения):
Амплитуда — это высота от центральной линии до пика (или до впадины).Или мы можем измерить высоту от самой высокой до самой низкой точки и разделить ее на 2.
Фазовый сдвиг показывает, насколько функция сдвинута на по горизонтали на от обычного положения.
Сдвиг по вертикали показывает, насколько функция сдвинута на по вертикали на от обычного положения.
Теперь все вместе!
Мы можем получить все в одном уравнении:
y = A sin (B (x + C)) + D
- амплитуда А
- период 2π / B
- фазовый сдвиг C (положительный — слева )
- вертикальный сдвиг D
А вот как это выглядит на графике:
Обратите внимание, что мы используем здесь радианы, а не градусы, а полный оборот равен 2π радианам.
Пример: sin (x)
Это основная неизмененная формула синуса. A = 1, B = 1, C = 0 и D = 0
Итак, амплитуда 1 , период 2π , нет сдвига фазы или вертикального сдвига:
Пример: 2 sin (4 (x — 0,5)) + 3
- амплитуда A = 2
- период 2π / B = 2π / 4 = π / 2
- фазовый сдвиг = -0.5 (или 0,5 вправо)
- вертикальный сдвиг D = 3
Прописью:
- 2 говорит нам, что он будет в 2 раза выше, чем обычно, поэтому Amplitude = 2
- , обычный период равен 2 π , но в нашем случае он «ускорен» (сокращен) 4 в 4 раза, поэтому Период = π / 2
- и −0,5 означает, что он будет смещен вправо на 0.5
- , наконец, +3 сообщает нам, что центральная линия y = +3, поэтому вертикальный сдвиг = 3
Вместо x мы можем иметь t (для времени) или, возможно, другие переменные:
Пример: 3 sin (100t + 1)
Сначала нам нужны скобки вокруг (t + 1), поэтому мы можем начать с деления 1 на 100:
3 sin (100t + 1) = 3 sin (100 (t + 0,01))
Теперь мы видим:
- амплитуда А = 3 Период
- равен 2π / 100 = 0.02 π
- фазовый сдвиг C = 0,01 (влево)
- вертикальный сдвиг D = 0
И получаем:
Частота
Частота — это то, как часто что-то происходит в единицу времени (на «1»).
Пример: Здесь функция синуса повторяется 4 раза от 0 до 1:
Таким образом, частота равна 4
И период 1 4
Фактически Период и Частота связаны:
Частота = 1 Период
Период = 1 Частота
Пример из предыдущего: 3 sin (100 (t + 0.01))
Период 0,02 π
Итак, частота 1 0,02π знак равно 50 π
Еще несколько примеров:
Период Частота 1 10 10 1 4 4 1 1 5 1 5 100 1 100 Когда частота составляет в секунду , это называется «Герц».
Пример: 50 Гц означает 50 раз в секунду
Чем быстрее он отскакивает, тем больше у него «Герц»!Анимация
Синус, косинус, тангенс
Три функции, но та же идея.
Прямой треугольник
Синус, косинус и тангенс — основные функции, используемые в тригонометрии, они основаны на прямоугольном треугольнике.
Прежде чем углубляться в функции, полезно присвоить имя каждой стороне прямоугольного треугольника:
- «Противоположно» противоположно углу θ
- «Соседний» примыкает (рядом) к углу θ
- «Гипотенуза» — длинная
Соседний всегда находится рядом с углом
И Напротив находится напротив угла
Синус, косинус и тангенс
Синус , Косинус и Касательная (часто сокращается до sin , cos и tan ), каждый является отношением сторон прямоугольного треугольника:
Для заданного угла θ каждое отношение остается неизменным
независимо от того, насколько большой или малый треугольникДля их расчета:
Разделите длину одной стороны на другую
Пример: Что такое синус 35 °?
Используя этот треугольник (длины до одного десятичного знака):
sin (35 °) = Напротив Гипотенуза = 2.8 4,9 = 0,57 … cos (35 °) = Соседний Гипотенуза = 4,0 4,9 = 0,82 … загар (35 °) = Напротив Соседний = 2.8 4,0 = 0,70 … Размер не имеет значения
Треугольник может быть большим или маленьким, и соотношение сторон остается неизменным .
Только угол меняет соотношение.
Попробуйте перетащить точку «A», чтобы изменить угол, и точку «B», чтобы изменить размер:
На хороших калькуляторах есть sin, cos и tan, чтобы облегчить вам задачу.Просто вставьте угол и нажмите кнопку.
Но все же нужно запомнить , что означают !
В форме изображения:
Практика здесь:
Sohcahtoa
Как запомнить? Подумайте о «Sohcahtoa» !
Работает так:
Soh …
S ine = O pposite / H ypotenuse
…ка …
C osine = A djacent / H ypotenuse
… тоа
T angent = O pposite / A djacent
Вы можете узнать больше о sohcahtoa … запомните, это может помочь на экзамене!
Углы от 0 ° до 360 °
Перемещайте мышь, чтобы увидеть, как разные углы (в радианах или градусах) влияют на синус, косинус и тангенс.
На этой анимации гипотенуза равна 1, образуя единичную окружность.
Обратите внимание, что соседняя сторона и противоположная сторона могут быть положительными или отрицательными, что также приводит к изменению синуса, косинуса и тангенса между положительными и отрицательными значениями.
«Почему sin и
tan не пошли на вечеринку?»
«… всего cos !»Примеры
Пример: каковы синус, косинус и тангенс 30 °?
Классический треугольник 30 ° имеет гипотенузу длины 2, противоположную сторону длины 1 и прилегающую сторону √3:
Теперь мы знаем длины, можем вычислить функции:
Синус
sin (30 °) = 1/2 = 0.5 Косинус
cos (30 °) = 1,732 / 2 = 0,866 … Касательная
тангенс угла (30 °) = 1 / 1,732 = 0,577 … (возьмите калькулятор и проверьте его!)
Пример: каковы синус, косинус и тангенс угла 45 °?
Классический треугольник 45 ° имеет две стороны 1 и гипотенузу √2:
Синус
sin (45 °) = 1/1.414 = 0,707 … Косинус
cos (45 °) = 1 / 1,414 = 0,707 … Касательная
тангенс угла (45 °) = 1/1 = 1 Почему?
Почему эти функции важны?
- Потому что они позволяют нам вычислять углы, когда мы знаем стороны
- И они позволяют нам определять стороны, когда мы знаем углы
Пример: используйте синусоидальную функцию
, чтобы найти «d»Мы знаем:
- Кабель образует угол 39 ° с морским дном
- Кабель длиной 30 метров .
И мы хотим знать «d» (расстояние вниз).
Начать с: sin 39 ° = противоположно / гипотенуза
sin 39 ° = d / 30
Поменять местами стороны: d / 30 = sin 39 °
С помощью калькулятора найдите sin 39 °: d / 30 = 0,6293 …
Умножаем обе стороны на 30: d = 0,6293… x 30
d = 18,88 с точностью до 2 знаков после запятой.
Глубина «d» составляет 18,88 м
Упражнение
Попробуйте это бумажное упражнение, в котором вы можете вычислить синусоидальную функцию. для всех углов от 0 ° до 360 °, а затем нарисуйте результат.Это поможет вам понять эти относительно простые функции.
Вы также можете увидеть графики синуса, косинуса и тангенса.
И поиграйте с пружиной, создающей синусоидальную волну.
Менее распространенные функции
Чтобы завершить картину, есть еще 3 функции, в которых мы разделяем одну сторону на другую, но они не так часто используются.
Они равны 1, деленному на cos , 1, деленному на sin , и 1, деленному на tan :
Синусоидальная функцияСекущая функция:
сек ( θ ) = Гипотенуза Соседний (= 1 / cos) Косекансная функция:
csc ( θ ) = Гипотенуза Напротив (= 1 / sin) Функция котангенса:
детская кроватка ( θ ) = Соседний Напротив (= 1 / tan) — Упражнение с графиком
Синусоидальная функция дает очень красивую кривую
, но не верьте нам на слово, сделайте свою собственную!Синусоидальная функция
Сначала прочтите страницу о синусе, косинусе и тангенсе.
Теперь вы знаете, что синус любого угла — это длина дальней стороны треугольника («противоположной»). делится длинной стороной («гипотенуза»):
Синус θ = Противоположность / ГипотенузаНарисуйте треугольники
Чтобы построить график, нам нужно вычислить синус для разных углов, затем поместить эти точки на график и затем «соедините точки».
Шаг 1. Нарисуйте угловые линии
Поместите отметку в центре листа бумаги, затем с помощью транспортира отметьте каждые 15 градусов от 0 °. до 180 ° по полукругу.Затем поверните транспортир и снова сделайте отметку от 180 ° до начала. потом нарисуйте линии, расходящиеся от центра к каждой из ваших отметок, чтобы получить такую иллюстрацию:
Линии под углом 15 ° (нажмите, чтобы увеличить)Или вы можете щелкнуть по иллюстрации выше и распечатать результат.
Шаг 2. Нарисуйте и измерьте треугольники
Теперь мы можем превратить каждую из этих линий в треугольник, например:
Измерение треугольников
Когда вы закончите каждый треугольник, остается просто измерить линии.Помните, что синус составляет длина прямой, противоположной углу , деленная на гипотенуза (которая должна быть такой же длины, если вы хорошо ее нарисовали)
Запишите все свои измерения в таблицу. Вот что у меня получилось, но ваши мерки могут отличаться:
Уголок
Напротив
Гипотенуза
Напротив / Гипотенуза
0 °
0 мм
86 мм
0.00
15 °
22 мм
86 мм
0,26
30 °
43 мм
86 мм
0.50
и т.д …
Здесь можно распечатать готовую к заполнению таблицу.
Важно: когда «противоположная» линия идет вниз, это отрицательно.
Совет: если вы хорошо его нарисовали, вы можете воспользоваться симметрией 0-90, 90-180, 180-270 и 270-360.
График результатов
Возьмите миллиметровую бумагу и приготовьте ее, уменьшив масштаб от 0 до 360 с шагом 15 по оси x и изменив масштаб. от -1 до +1 по оси ординат.Вы можете использовать свою собственную миллиметровую бумагу или распечатать этот график. бумага
Теперь нанесите каждую точку из таблицы на график.
Затем соедините точки как можно аккуратнее.
Результат
Результат должен выглядеть примерно так, как на графике вверху.
Но вы сделали гораздо больше, чем просто нарисовали красивую кривую. У вас:
- узнал об одной из самых важных функций в математике
- узнал, что не нужно верить тому, что говорят люди — вы можете попробовать это сами.
- имел опыт построения графиков
- узнал, как симметрия может сэкономить усилия
Надеюсь, вам понравилось!
Решающих треугольников
«Решение» означает поиск недостающих сторон и углов.
Когда мы знаем любые 3 стороны или углы …
… мы можем найти остальные 3
(За исключением трех углов, потому что нам нужно как минимум
с одной стороны, чтобы определить размер треугольника.)Шесть различных типов
Если вам нужно собрать треугольник прямо сейчас , выберите один из шести вариантов ниже:
Какие стороны или углы вы уже знаете? (Нажмите на изображение или ссылку)
AAA
Три угла
AAS
Два угла и сторона , а не между
ASA
Два угла и сторона между
SAS
Две стороны и Угол между
SSA
Две стороны и Угол , а не между… или читайте дальше, чтобы узнать, как стать экспертом по решению треугольников :
Ваш набор инструментов для решения проблем
Хотите научиться решать треугольники?
Представьте, что вы « The Solver » …
… тот, который они просят, когда нужно решить треугольник!В вашем наборе инструментов для решения (вместе с ручкой, бумагой и калькулятором) у вас есть эти 3 уравнения:
1. Углы всегда складываются до 180 °:
А + В + С = 180 °
Зная два угла, можно найти третий.
2. Закон синуса (правило синуса):
Когда есть угол напротив стороны, это уравнение приходит на помощь.
Примечание: угол A противоположен стороне a, B противоположен b, а C противоположен c.
3. Закон косинусов (правило косинусов):
Это сложнее всего использовать (и запомнить), но иногда необходимо
, чтобы вывести вас из сложных ситуаций.Это улучшенная версия теоремы Пифагора, которая работает
на любом треугольнике.С помощью этих трех уравнений вы можете решить любой треугольник (если его вообще можно решить).
Шесть различных типов (подробнее)
Есть ШЕСТЬ различных типов головоломок, которые вам, возможно, придется решить. Познакомьтесь с ними:
1. AAA:
Это означает, что нам даны все три угла треугольника, но нет сторон.
треугольников AAA невозможно решить дальше, так как нам нечего показать. размер … мы знаем форму, но не знаем, насколько она велика.
Нам нужно знать хотя бы одну сторону, чтобы идти дальше. См. Раздел «Решение треугольников AAA».
2. AAS
Это означает, что нам даны два угла треугольника и одна сторона, причем не является стороной, смежной с двумя данными углами.
Такой треугольник можно решить, используя Углы треугольника, чтобы найти другой угол, и Закон синусов, чтобы найти каждую из двух других сторон.См. Раздел «Решение треугольников AAS».
3. ASA
Это означает, что нам даны два угла треугольника и одна сторона, из которых соответствует стороне, смежной с двумя данными углами.
В этом случае мы находим третий угол, используя Углы треугольника, затем используем Закон синусов, чтобы найти каждую из двух других сторон. См. Раздел «Решение треугольников ASA».
4. SAS
Это означает, что нам даны две стороны и включенный угол.
Для этого типа треугольника мы должны сначала использовать Закон косинусов, чтобы вычислить третью сторону треугольника; затем мы можем использовать Закон синусов, чтобы найти один из двух других углов, и, наконец, использовать Углы треугольника, чтобы найти последний угол. См. Раздел «Решение треугольников SAS».
5. SSA
Это означает, что нам даны две стороны и один угол, который не входит в состав.
В этом случае сначала используйте Закон синусов, чтобы найти один из двух других углов, затем используйте Углы треугольника, чтобы найти третий угол, затем снова Закон синусов, чтобы найти последнюю сторону.См. Раздел «Решение треугольников SSA».
6. SSS
Это означает, что нам даны все три стороны треугольника, но нет углов.
В этом случае у нас нет выбора. Мы, , должны сначала использовать Закон косинусов, чтобы найти любой из трех углов, затем мы можем использовать Закон синусов (или снова использовать Закон косинусов), чтобы найти второй угол, и, наконец, Углы треугольника, чтобы найти третий угол. См. Раздел «Решение треугольников SSS».
Советы по решению
Вот простой совет:
Когда треугольник имеет прямой угол, использовать его, как правило, намного проще.
Когда известны два угла, рассчитайте третий, используя Углы треугольника, сложенные до 180 °.
Попробуйте закон синусов перед законом косинусов, так как его проще использовать.
Sohcahtoa: синус, косинус, тангенс
Sohca … что? Просто простой способ запомнить , как работают синус, косинус и тангенс:
Soh…
S ine = O pposite / H ypotenuse
… ка …
C osine = A djacent / H ypotenuse
… тоа
T angent = O pposite / A djacent
Прямой треугольник
Хорошо, давайте посмотрим, о чем идет речь.
Во-первых, имена Противоположный, Смежный и Гипотенуза происходят от прямоугольного треугольника:
- «Противоположно» противоположно углу θ
- «Соседний» примыкает (рядом) к углу θ
- «Гипотенуза» — длинная
Соседний всегда находится рядом с углом
И Напротив находится напротив угла
Синус, косинус и тангенс
и Sine , Cosine и Tangent — три основные функции в тригонометрии.
Их часто укорачивают до sin , cos и tan .
Вычисление — это просто , одна сторона прямоугольного треугольника разделена на другую сторону … нам просто нужно знать, какие стороны, и именно здесь «sohcahtoa» помогает.
Для треугольника с углом θ функции вычисляются следующим образом:
Синус:
soh…
с дюймов ( θ ) = o pposite / h ypotenuse
Косинус:
… ка …
c os ( θ ) = a djacent / h ypotenuse
Касательная:
…тоа
t an ( θ ) = o pposite / a djacent
Пример: каковы синус, косинус и тангенс 30 °?
Треугольник 30 ° имеет гипотенузу (длинную сторону) длиной 2 , противоположную сторону длиной 1 и смежную сторону √3 , вот так:
Теперь мы знаем длины, можем вычислить функции:
Синус
soh… sin (30 °) = 1 2 = 0,5
Косинус
… ка … cos (30 °) = 1,732 … 2 = 0,866 …
Касательная
… toa тангенс (30 °) = 1 1,732… = 0,577 …
(возьмите калькулятор и проверьте его!)
Как помнить
Я считаю «sohcahtoa» легко запомнить … но вот и другие способы, если хотите:
- S ailors O ften H ave C urly A uburn H air T ill O ld A ge.
- S ome O ld H orses C an A lways H ear T наследник O wners A pproach.
- S ome O ld H en C aught A nother H en T aking O ne A way.
Практика здесь:
Задание 1: Изучение синусоидальных кривых
Задание 1: Изучение синусоидальных кривых Задание 1. Изучение синусоидальных кривыхКристина Данбар, UGA
В этом задании мы будем исследуя график уравненияy = грех (bx + c)
, используя разные значения для a, b, и c.
В приведенном выше уравнении
- а есть амплитуда синусоиды
- b есть период синусоидальной кривой
- c есть фаза сдвиг синусоидальной кривой
Что такое
амплитуда синусоидальной кривой?Амплитуда синусоиды — это ее высота.
Что такое период гг. синусоида?Период синусоиды — это длина одного цикла кривой. Естественный период синуса кривая равна 2π. Итак, коэффициент на = 1 эквивалентен периоду 2π. Чтобы получить период синусоиды для любого коэффициента b , просто разделите 2π на коэффициент b , чтобы получить новый период кривой.
Коэффициент b и период синусоиды имеет обратную зависимость, так как b получает чем меньше, тем больше длина одного цикла кривой.Точно так же, как увеличиваешь b , период уменьшится.
Что такое сдвиг фазы синусоида?Фазовый сдвиг синусоидальной кривой на сколько кривая смещается от нуля. Если фазовый сдвиг равен нулю, кривая начинается в начале координат, но может двигаться влево или вправо в зависимости от фазового сдвига. Отрицательный фазовый сдвиг указывает движение вправо, а положительный фазовый сдвиг указывает движение влево.
Давайте посмотрим на график y = sin x.
Глядя на график, помните, что числовое значение π приблизительно равно 3,1416, поэтому 2π приблизительно равно 6,2832.
На графике выше
Амплитуда a равна 1. Это означает, что высота графика будет равна 1, а вершина первого «горб» — 1.
Период b имеет коэффициент 1, поэтому период равен (2π) / 1, или просто 2π.
Фазовый сдвиг c равен ноль, поэтому кривая начинается в начале координат.
Вернуться на мою домашнюю страницу.
Рассмотрим синусоидальную кривую с разными амплитуды.
Мы уже видели случай, когда амплитуда равна 1; это в приведенном выше графике. А как насчет других амплитуды?
y = 2 sin x
y = 5 sin xy = -1 sin x
Чем отличается приведенный выше график? Это имеет коэффициент a = -1.Что это обозначает? Мы видим, что наивысшая точка кривой по-прежнему равна 1, но первый горб находится на уровне -1 вместо 1. Мы существенно перевернули график.
Теперь давайте посмотрим на несколько разных синусоидальных графиков. все вместе.
Вернуться на мою домашнюю страницу.
Рассмотрим синусоидальную кривую с разными периоды.
Мы уже видели случай, когда коэффициент b равен 1; это в приведенном выше графике.Как насчет другие периоды?
Помните, б коэффициент и период кривой имеют обратную зависимость.
y = грех (2x)Коэффициент b на приведенном выше графике равен 2, поэтому период синусоиды изменился в 1/2 раза, в результате чего новый период π, или около 3,14.
y = sin (0,5x)
Для приведенного выше графика коэффициент b = 1/2, поэтому период синусоиды будет вдвое больше, чем обычно, или 4π.
y = sin (3x)
Обратите внимание, что новый период составляет 1/3 от первоначального. период 2π / 3, что примерно 2,09.Теперь рассмотрим несколько разных синусов. графики вместе, с разными периодами.
Вернуться на мою домашнюю страницу.
Рассмотрим синусоидальную кривую с фазой. сдвиг.
Обычно синусоида не имеет фазы сдвиг, поэтому переменная c равна 0.Это означает, что синусоида начинается с происхождение, как показано на первом графике вверху этой страницы.
Что делать, если c не равно нулю?
y = sin (x + π)
На приведенном выше графике y = sin (x + π) , график был сдвинут влево на единицу π .Фактически положительный фазовый сдвиг c фактически указывает на сдвиг влево.Давайте посмотрим на некоторые другие примеры:
у = грех (х + 1)
Синусоидальная кривая сдвинута на одну единицу к оставил.
y = sin (x + π / 2)
Кривая сдвинута π / 2 единицы слева. Напомним, что π / 2 составляет приблизительно 1,57.
Что делать, если переменная c отрицательный?
y = sin (x — 1)
Кривая сместилась на 1 единицу вправо.
у = грех (х — π / 2)
Давайте вместе рассмотрим несколько фазовых сдвигов:
Примечание: Фазовый сдвиг π будет выглядеть точно так же, как фазовый сдвиг -π.
y = sin (x + π)
y = sin (x — π)
Вернуться на мою домашнюю страницу.
В приведенных выше упражнениях мы исследовали, что происходит с синусоидой, когда мы меняем коэффициенты a, b и c индивидуально. Что, если вы меняли более одного за раз?
y = 2 sin (2x)
а = 2 б = 2 с = 0
Амплитуда 2, период 2π / 2, или π. Фазового сдвига нет.
y = 2 sin (2x -1)
а = 2 б = 2 с = -1
Амплитуда 2, период 2π / 2, или π.Вся кривая сдвинута на одну единицу вправо.
y = 3 sin (2x + 2)
а = 3 б = 2 с = 2
Амплитуда, как и следовало ожидать, равна 3. В период графика равен 2π / 2 или π. Мы ожидаем, что фазовый сдвиг будет на две единицы влево, но мы видим, что Это не относится к делу. Почему? Поскольку фазовый сдвиг зависит от Период. Период графика равен 1/2 его первоначального размера, и следовательно, фазовый сдвиг также будет 1/2 коэффициента c, или 1. Это показано на графике выше.
y = 0,5 sin (0,5x -3)
a = 0,5 b = 0,5 с = -3
Амплитуда 0,5, что мы ясно видим на график. Коэффициент b равен 0,5, поэтому период синусоиды вдвое больше. как обычно, или 4π (примерно 12,57). Поскольку период кривой вдвое больше, как правило, фазовый сдвиг будет вдвое больше коэффициента c, или 6 единиц от верно.
Вернуться на мою домашнюю страницу.
Хотите поработать несколько практических задач? Кликните сюда.
.