Уравнение с модулями – Уравнения с модулем. Подготовка к ЕГЭ по математике.

Уравнения с модулем в 6 классе

Уравнения с модулем в 6 классе сводятся к простейшим уравнениям, решение которых опирается на определение модуля. Рассмотрим некоторые из таких уравнений.

Начнем с такого вида:

   

Решаем это уравнение как линейное: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

Теперь обе части уравнения делим на число, стоящее перед модулем икса:

   

Получили простейшее уравнение с модулем.

Примеры:

   

   

   

   

Ответ: 9;-9.

   

   

   

   

Ответ: 4; -4.

   

   

   

   

Данное уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным числом.

Ответ: нет решений.

Также в 6 классе встречаются уравнения с модулем вида

   

Это уравнение — почти простейшее уравнение с модулем, соответственно, решаем его аналогично:

   

 

   

   

Примеры:

   

Каждое из полученных уравнений — линейное. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

   

Ответ:2; -0,8.

   

   

   

Ответ:3.

   

Более сложные уравнения с модулем в 6 классе представляют собой сочетание обоих видов.

Примеры:

   

Сначала рассмотрим это уравнение как линейное (все выражение, стоящее под знаком модуля, считаем одним неизвестным):

   

   

Данное уравнение решим как простейшее уравнение с модулем:

   

 

   

   

   

Ответ: 2; -4/7.

   

   

   

   

   

 

   

   

Ответ: 2,5; -3,5.

www.for6cl.uznateshe.ru

Решение уравнений с модулем онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Решение уравнений с модулем является одной из самых сложных тем в школьной программе. Модулем числа \[с\] называется само это число, если \[с\] больше нуля. Существует три типа уравнений с модулями, которые имеют такой вид:

\[-| x| = a\]

\[-| x| = | y|\]

\[-| x| = y \]

Многие уравнения с модулем можно решить, применив только одно определение модуля.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение с параметром онлайн решателем»

Допустим, дано уравнениt с модулем такого 1 типа:

\[| x| = 5\]

\[| x| \]- это просто \[x,\] если\[ x \pm 0 \] или \[-x,\] если \[x

\[x=5,\] при \[x \geq 0-x=5,\] при \[x

Ответ: \[-5; 5.\]

Решим уравнение 2 типа:

\[| x + 1| = | 2x — 1|\]

Решение довольно просто и состоит с нескольких преобразований:

\[|x+1|=|2x-1| \Leftrightarrow x+1=2x-1x+1=-(2x-1) \Leftrightarrow x=2-x=0.\]

Ответ: \[2; 0\]

Решим уравнение 3 вида:

\[?x+1?=1?x ?x+1?=1?2x \leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-2x\ge0\\ \begin{bmatrix} x+1=1-2x\\ x+1=2x-1 \end{bmatrix} \end{matrix}\right. \leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\le\frac{1}{2}\\ \begin{bmatrix} x=0\\ x=2 \end{bmatrix} \end{matrix}\right. \leftrightarrow x=0 \]

Ответ: \[0\]

Где можно научиться решать уравнения с модулем?

Научиться решать и решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С МОДУЛЕМ

Решение уравнений

с модулем.

МБОУ СОШ №46

учитель математики

Дряева Минат Георгиевна.

Г. Владикавказ

2014г.

Слайд 1 . Основные этапы урока:

1⁰. Мотивация учения.

2⁰. Ознакомление учащихся с целями и задачами.

3⁰. Повторение теоретических знаний по данной теме.

4⁰. Устная работа с элементами исследования.

5⁰. Совместная работа учителя и учащихся.

6⁰. Минута отдыха.

7⁰. Нестандартные приемы решения уравнений с модулем.

8⁰. Разноуровневая самостоятельная работа.

9⁰. Постановка домашнего задания.

10⁰. Подведение итогов урока.

Слайд 2 . Во всем дойти до самой сути.

Цель: Обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний.

Задачи: 1. Проанализировать различные способы решения уравнений с модулем.

2. Сформировать навык решения различных типов уравнений с модулем.

3. Заинтересовать учащихся в изучении данной темы.

Тип урока: Урок совершенствования знаний (с элементами исследования).

Оборудование: Компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска,

опорные конспекты, оценочные листы.

Ход урока:

1⁰. Мотивация учения.

Подарите улыбки друг другу ,

Веселыми будьте всегда,

И этим добьётесь удачи,

Успехов во всем и всегда.

А успех нам сегодня так необходим. Прочтите эпиграф , так как он тесно связан с темой нашего урока.

Тема «Решение уравнений с модулем» выбрана мною не случайно. Она является одной из самых сложных тем. В школьной программе ей, на мой взгляд, уделяется недостаточно внимания, не разобраны в системе методы и приемы решения задач с модулем. У многих модуль вызывает страх. Есть замечательные задания с модулем, у которых своя специфика. Попробуем разобрать некоторые из них.

2⁰. Ознакомление учащихся с целями и задачами.

Сегодня мы с вами повторим основные типы уравнений с модулем и проанализируем различные способы их решения.

Слайд 3 . 3⁰. Сначала повторим и систематизируем теоретические знания по данной теме.

Учитель: Дайте определение модуля или абсолютной величины.

Учащиеся :|x|= _.

Учитель: Назовите основные свойства модуля.

Учащиеся: |a|0,

|a|²= a²

|a*b|=|a|*|b|,

|a/b|=|a|/|b|, b≠0

Слайд 4. 4⁰. Устная работа с элементами исследования.

Постановка проблемы:

Для каждого из уравнений указать стрелками соответствующий тип уравнения.

Уравнения

Тип уравнения

Способ решения

1. |3x-5|=2

2. |4-3x|=-1

3. |9-5x|=|7x-5|

4. |11-3x|=3-2x

5. 2x²+3|x-1|+2=0

6. |3-x|+|x-5|=1

7. ² = 16

|f(x)| = a, a- const

Если а>0, то

Если а=0, то f(x) = 0

Если а < 0, то корней нет.

|f(x)| = g(x)

|f(x)| = |g(x)|

|f₁(x)|+ |f₂(x) | +…+|fn(x)|=g(x)

Метод интервалов.

Ответы учащихся:

— Уравнение 1 можно решить, используя определение модуля.

— Уравнение 2 не имеет решений т.к. модуль – величина неотрицательная.

С помощью рассуждений сделаем выводы:

1. Если |f(x)| = |g(x)| f²(x) – g² (x) = (f (x) – g(x)) (f(x) + g(x)) = 0



Таким образом, указали способ решения уравнения 3 .

2. Если |f(x)| = g(x), то g(x)

По определению модуля

Таким образом, указали способ решения уравнения 4.

— Как же можно решить уравнение 5?

— Рассмотрим два случая т.е. воспользуемся определением модуля.

x-10 и x-1<0.

— Уравнение 7 разве имеет отношение к теме «Модуль»?

— Да, т.к. по свойству корней ² = |x|, и получим уравнение, содержащее модуль.

— А как решить уравнение 6?

— Методом интервалов.

5⁰. Совместная работа учителя и учащихся

Осторожно! Простая задача!

Учиться плавать можно по-разному. Например, сразу броситься в глубокое место, или начать с «лягушатника». Так обстоит дело и в решении сложных задач. Мы пойдем по второму пути, не забывая при этом, что захлебнуться можно и в ванной.

(решение уравнений у доски и в тетрадях).

Пример 1⁰.

|x-3| = 11  

Ответ: -8;14

Пример 2⁰.

|2x-5| = x-1  

Ответ: 2;4

Пример 3⁰.

|x+3| = |2x-1|  

Ответ: -2/3;4

Слайд 6. Пример 4⁰.

|x²-1|+|x²-4|=3.

Воспользуемся методом интервалов. Для этого удобно пользоваться алгоритмом.

(см. опорный конспект).

x²-1=0, x= ±1,

x²-4=0, x= ±2.

Слайд 7.

_{ }

Ответ: Ø.

_

Ответ: -2x<-1

_{ }

Ответ: x=-1

_

Ответ: 1x<2

_

Ответ: x=2

Решив совокупность данных систем, получим:

Ответ: [-2;-1] U {-1} U [1;2) U {2} или [-2;-1] U [1;2]

Этот метод является универсальным методом решения уравнений всех видов, но иногда оказывается не самым рациональным.

Мы проанализировали различные типы уравнений, решаемые с помощью равносильных преобразований.

Слайд 8. Более наглядную картину дает графическое исследование данного уравнения.

1. Для построения графика функции y=|x²-1|+|x²-4| воспользуемся схемой знаков на рисунке.

y=|x²-1|+|x²-4|=

2) Проведем прямую y=3.

По графику очевидно, что графики левой и правой части совпадают (пересекаются) на множестве

и

Ответ: [-2;-1] U [1;2]

Мы еще вернемся к данному уравнению.

Слайд 9. 6⁰. Минута отдыха.

— Примем царственную позу. Спина прямая.

— Три раза вдохнем.

— Помассажируем кончики пальцев каждой руки.

— Поставим указательный палец на точку между бровями и массажируем три раза. — Роняем руки.

— Трясем кистями.

— Стряхиваем воду с пальцев.

— Поднимаем и опускаем плечи.

— Твердые и мягкие руки.

— Мельница.

Продолжаем урок.

7⁰. Рассмотрим нестандартные приемы решения уравнений с модулями.

«Умный гору обойдет».

Зачастую по закону зловредности короткое решение более замаскировано, чем длинное. В тех случаях, когда выбранный путь решения сопряжен с большими техническими сложностями, бывает полезно еще раз проанализировать условие задачи, попытаться найти ее конкретные особенности, позволяющие обнаружить нетрадиционную идею.

Слайд 10. Когда модуль можно не раскрывать.

Решение некоторых уравнений может значительно сократить знание ряда свойств модуля:

1. |a|+|b| = a+b  a≥0, b≥0;

2. |a| + |b| = |a+b|  ab≥0;

3. |a| + |b| = |a-b|  ab≤0;

4. |a| — |b| = |a-b| b (a-b) ≥0;

5. |a| — |b| = |a+b|  b(a+b) ≤0

(доказательство рассмотрим на факультативных занятиях).

Вернемся к примеру 4:

|x²-1|+|x²-4|=3.

-Посмотрите внимательно. Что вы заметили?

Кто-нибудь из учеников обязательно заметит, что

(x²-1) – (x²-4) = 3 т.е. выполняется условие |a|+|b| = |a-b|.

Применив свойство 3, получим неравенство

(x²-1) (x²-4)≤0.

Решим его методом интервалов.

x²-1=0, x₁=1, x₂=-1

x²-4=0, x₃=2, x₄=-2.

x є [-2;-1] U [1;2].

Ответ: [-2;-1] U [1;2].

Данное уравнение решили тремя способами. Какой способ

— Самый трудный?

— Самый простой?

Пример 5.

|x-2|+|2-3x|=2|x|

Заметим, что |x-2|+|2-3x| = |(x-2)+(2-3x)|=|-2x|=2|x|, т.е. выполняется условие

|a|+|b|=|a+b|.

Используя свойство 2, будем иметь неравенство:

(x-2)(2-3x)≥0,

(x-2)(x-2/3)≤0.

x є [2/3;2]

Ответ: [2/3;2].

Слайд 11. Пример 6.

|x²+6|-|x²-x+6|=|x|

Имеем: |x²+6|-|x²-x+6|=|(x²+6)-(x²-x+6)|=|x|, т.е выполняется условие

|a|-|b|=|a-b|.

Использую свойство 4, получим неравенство x (x²-x+6)≥0

Решив его, получим x≥0.

Ответ: [0;+∞)

8⁰. Разноуровневая самостоятельная работа.

Учащимся выдаются опорные конспекты, рабочие листы и оценочные листы.

(Индивидуальная консультация учителя по мере возникновения затруднений).

Слайд 12. Самостоятельная работа.

1 – ый уровень.

Цель: закрепить умение решать простейшие уравнения, содержащие модули, вида: |f(x)|=a, a –const

Вариант-1

Решите уравнения:

1. |x|=5 (1 балл)

x= ±5,

Ответ: x₁=-5, x₂=5.

2. |x+3|=-2 (1 балл)

Нет корней, т.к. модуль – величина неотрицательная.

Ответ: нет корней.

3. |x²-4|= 0 (1 балл)

x²-4=0

x=±2

Ответ: x₁=-2; x₂=2.

Вариант-2

Решите уравнение:

1. |x|=8 (1 балл)

x=±8

Ответ: x₁=-8; x₂=8.

2 .|x+7|=-3 (1 балл)

Нет корней, т.к. модуль – величина неотрицательная.

Ответ: нет корней.

3. |x²-9|=0 (1 балл)

x²-9=0,

x=±3

Ответ: x₁=-3; x₂=3.

Проверьте и оцените свою работу (см. на экран). Проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.

2 – ой уровень

Цель: закрепить навыки решения уравнений вида:

|f(x)|= g(x) и |f(x)|=|g(x)|.

Вариант – 1

1. |2x-3|=6-x (2 балла)

_{  }

Ответ: x₁=-3, x₂=3

2. |x-2|=|2x-1| (2 балла)

_{ }

Ответ: x₁=-1, x₂=1.

Вариант – 2

Решение уравнений.

1. |3x-4|=2x-6 (2 балла)

_{ }

Ответ: нет корней.

2. |2x-3|=|x-3| (2 балла)

_{ }

Проверьте и оцените свою работу (см. на экран). Проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.

Ответ: x₁=0, x₂=2

3 – ий уровень

Цель: сформировать навык решения уравнений с использованием свойств модуля.

Вариант -1

1. Решите уравнение:

|2x+5|+|x-3|= 3x+2 (3 балла)

Заметим, что

(2x+5)+(x-3)=3x+2, т.е. выполняется условие

|a|+|b|=a+b

По свойству 1, имеем:

_{ x≥3}

Ответ: x≥3

2 .Используя свойства, освободитесь от знака модуля .

|x²+x-2|+|x-3|=x²+1 ( 3 балла)

Заметим, что

(x²+x-2)-(x-3)=x²+1, т.е. выполняется условие

|a|+|b|=|a-b|.

Используя свойство 3, получим неравенство

(x²+x-2)(x-3)≤0

Ответ: (x²+x-2)(x-3)≤0.

Вариант – 2

1. Решите уравнение

|x-2|+|x+2|=2|x| (3 балла)

т.к. |x-2|+|x+2|=|(x-2)+(x+2)| = 2|x|, то выполняется условие |a|+|b|= |a+b|.

Используя свойство 2, получим неравенство (x-2)(x+2)≥0

xє (-∞;-2]U [2;+∞)

Ответ: (-∞;-2]U [2;+∞)

2. Используя свойства, освободитесь от знака модуля

|4x²-1|-|x²-4|=|5x²-5| ( 3 балла)

Заметим, что |4x²-1|-|x²-4|=|4x²-1+x²-4| = |5x²-5| т.е. выполняется условие

| a|-|b|=|a+b|.

Используя свойство 5, получим неравенство:

(x²-4)(5x²-5)≤0. Ответ: (x²-4)(5x²-5)≤0.

Проверьте и оцените свою работу (см. на экран). Проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.

Молодцы! Вы прошли 3 уровня усвоения материала. Посчитайте количество набранных баллов.

Если вы набрали от 11 до 13 баллов, то получаете оценку «5».

Если вы набрали от 7 до 10 баллов, то получаете оценку «4».

Если вы набрали от 5 до 6 баллов, то получаете оценку «3».

Сдайте оценочные листы учителю.

Слайд 13. 9⁰. Домашнее задание:

Трем группам (по 2-3 учащихся в каждой) подготовить презентации по темам:

1) Использование понятия расстояния при решении уравнений с модулем.

2) «Вложенные модули»

3) «Красивейшие уравнения».

Остальным — решить уравнения:

1. |x-5|=1

2. |x²-3x|=2x-4

3. |x-2|=|2x-1|

4. |2x-1|+|x|= -5

5. |x-4|+|x-5|=|2x-9|

6. |x²-9|+|x²-4x+3|=0

7. |x-1|+|x-2|=x+3

Слайд 14. 10⁰. Подведение итогов урока:

— Какие типы уравнений мы повторили на уроке?

— какие методы решения уравнений с модулем вы можете выделить?

— какой способ самый эффективный?

— решение каких уравнений вам показалось сложным?

— чему надо уделить особое внимание?

Слайд 15. Используемая литература:

1. И.И. Гайдуков. «Абсолютная величина»

Изд. «Просвещение», 1968 г.

2) Г.И.Ковалева. «Тренировочные тематические задания повышенной сложности».

Изд. «Учитель», 2009 г.

3) С.В.Кравцев. «Методы решения задач по алгебре».

Изд. «Экзамен», 2005 г.

4) П.И. Горнштейн, А.Г. Мерзляк. «Экзамен по математике и его подводные рифы».

Изд. «Илекса», 2004 г.

Пояснительная записка.

Данный урок проводится в 11-ом классе в 4-ой четверти при повторении. Урок рассчитан на класс, в котором есть учащиеся с математическими способностями.

infourok.ru

«Решение уравнений с модулем».

Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули

2017 г.

0; lаl= о, если а = 0; -а, если а «

Определение.

Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна –а, если а меньше нуля:

а, если а0;

lаl= о, если а = 0;

-а, если а

Способы решения уравнений, содержащих модуль.

Решим аналитически и графически уравнение:

lх-2l=3

Аналитическое решение

1-й способ

0 или х-2=0 , тогда оно «выйдет» из-под знака модуля со знаком «плюс» и уравнение примет вид: х-2=3 . Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: -(х-2)=3 или х-2=-3 . Таким образом, получаем, либо х-2=3, либо х-2=-3. Решая полученные уравнения, находим: х 1 =5, х 2 =-1. Ответ: х 1 =5, х 2 =-1. «

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т.е. х-20 или х-2=0 , тогда оно «выйдет» из-под знака модуля со знаком «плюс» и уравнение примет вид: х-2=3 . Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: -(х-2)=3 или х-2=-3 .

Таким образом, получаем, либо х-2=3, либо

х-2=-3.

Решая полученные уравнения, находим: х 1 =5, х 2 =-1. Ответ: х 1 =5, х 2 =-1.

2-й способ

Установим, при каких значениях х, модуль равен нулю: х-2=0, х=2. Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение. 2 Х

Получим две смешанные системы: х2, -(х-2)=3 х-2=3 Решим каждую систему: х2 х=-1 х=5 Ответ: х 1 =-1, х 2 =5.

Графическое решение.

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций у=lх-2l и у=3.

у

у=3 у=lх-2l

3

2

-1 0 2 5 х

Ответ: х 1 =-1, х 2 =5.

Решим аналитически и графически уравнение

1+lхl=0,5

Аналитическое решение:

1+lхl=0,5,

lхl=0,5-1,

lхl=-0,5

Ответ: решений нет.

Графическое решение:

Преобразуем уравнение 1+ lхl=0,5.

Получим lхl=-0,5

Графиком функции у= lхl являются лучи – биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов.

Графиком функции у=-0,5 является прямая, параллельная оси ох и проходящая через точку -0,5 на оси оу.

Ответ: решений нет.

Решение при помощи зависимостей между числами а и b, их модулями и квадратами этих чисел.

l a l = l b l a=b или a=-b = a=b или a=-b

 

Решим уравнение l x+1 l = l 2x-5 l двумя различными способами.

1-й способ

Учитывая первое соотношение получим:

Х+1=2х-5 х+1=-2х+5

х-2х=-5-1 х+2х=5-1

-х=-6 3х=4

х=6 х=1

Таким образом корни уравнения: х 1 =6, х 2 = 1

2-й способ В силу второго соотношения имеем = Решив это уравнение, получим: х 1 = 1 , х 2 =6 Ответ: х 1 = 1 , х 2 =6

 

Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины

Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n+1 прямолинейного отрезка.

Тогда график может быть построен по n+2 точками, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя – с абсциссой, большей большего из этих корней.

f(x)= l x-1 l

у

0 1 2 х

f(x)= l x-1 l + l x-2 l

у

0 1 2 3 4 х

f(x)=lx-1l+ lx-2l+ lx-3l

у

0 1 2 3 4 х

f(x)=lx-1l- lx-2l

у

0 1 2 3 4 х

конец

videouroki.net

как решать уравнения с модулями

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, как решать уравнение с модулем_1ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля. Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a, если число a меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее ккак решать уравнения с модулемоордината. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с < 0

Примеры:

1) |x| = 5, т. к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т. к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.

Примеры:

1) |x + 2| = 4, т. к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

x = 2 x = -6

2) |x2 – 5| = 11, т. к. 11 > 0, то

x2 – 5 = 11 или x2 – 5 = -11

x2 = 16 x2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x2 – 5x| = -8, т. к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т. е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Примеры:

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О. Д. З. 5x – 10 ≥ 0

5x ≥ 10

x ≥ 2.

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3x = 9 7x = 11

x = 3 x = 11/7

3. Объединяем О. Д. З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О. Д. З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x2.

1. О. Д. З. 1 – x2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

-1 ≤ x ≤ 1

2. Решение:

x – 1 = 1 – x2 или x – 1 = -(1 – x2)

x2 + x – 2 = 0 x2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О. Д. З.:

Подхо

otvet.mail.ru