Уравнение квадрата: Формула квадрата?

Содержание

Квадрат. Формулы

Квадрат и окружность – две простые фигуры геометрии свойства которых должны знать все. Квадрат является частным случаем четырехугольников, прямоугольников, параллелограммов, ромбов, а отличается от них равными сторонами и прямыми углами.

Квадрат наиболее симметричная фигура среди всех четырехугольников.

Свойства квадрата

Свойства квадрата — это основные признаки которые позволяют распознать его среди прямоугольников, ромбов, четырехугольников:

  • В квадрата все стороны и углы равны AB=BC=CD=AD.
  • Противоположные стороны параллельны между собой
  • Углы между соседними сторонами прямые.
  • Диалонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали является одновременно биссектрисами углов квадрата.
  • Точка в которой пересекаются диагонали является центром квадрата, кроме этого — центром вписанной и описанной окружности.
  • Диагонали делят квадрат на четыре одинаковые равнобедренные прямоугольные треугольники .

Площадь квадрата

Больше примеров в школьном курсе при изучении квадрату связано с вычислением его площади и периметра. Вам может показаться что для вычисления площади достаточно знать одну формулу S=a*a и этого хватит для всех задач, однак это не так. Поскольку быстро информация воспринимается и изучается визуально, то мы объединили все величины квадрата которые Вам придется вычислять и нарисовали простые и понятные рисунки с формулами. Их без трудностей можете скачать по ссилке внизу статьи.

Большинство обозначений Вам понятна, но повторим их снова
a– сторона квадрата;
d– диагональ;
P– периметр;
S– площадь;
R– радиус описанной окружности;
r– радиус вписанной окружности;
l– отрезок изображен на рисунке (часто используется в сложных примерах).

Формулы площади квадрата которые приведены ниже дают возможность вычислять ее через периметр, сторону, диагонали, радиусы .






Они не слишком сложные и каждая из них может Вам пригодиться для вычисления площади квадрата.

Периметр квадрата

Что может быть проще вычисления периметра квадрата если конечно известно его стороны. Однако, если задана только диагональ, площадь, радиус то нахождение периметра не так очевидно. Приведенный ниже рисунок содержит самые необходимые формулы для вычисления параметра

Сами же формулы периметру от различных параметров квадрату привидены ниже






Диагональ квадрата

Диагональ квадрата может бить выражена через радиусы вписанной, описанной окружностей, сторону, периметр, площадь следующими формулам.






В качестве справочника формул диагонали квадрата можете использовать следующий рисунок.

Радиус описанной окружности

Простейшая для вычислений формула радиуса описанной окружности R=d/2, т.е. радиус равен половине диагонали квадрата. Все последующие формулы которые помогут определить радиус описанной окружности содержат корни, однако при вычислениях незаменимы.






Ниже изображен вспомогательный рисунок с приведенным всеми формулами.

Радиус вписанной окружности в квадрат

Радиус вписанной окружности из рисунка равный половине его стороны.

Также он равной одной восьмой части периметра. Зависимости для нахождения радиуса вписанной окружности через площадь, диагональ, радиус описанной окружности содержат иррациональности. Однако и в условиях примеров величины, известные для вычисления радиуса, как правило, заданны с корнями или такими которые легко упрощаются (например ).





Черновик-подсказка формул радиуса вписанной в квадрат окружности приведена ниже

Если же задано диаметр вписанной или описанной окружности то делим пополам (чтобы получить радиус) и можем применять в приведенных формулах. Это Вы думаю помните.

Бонус для всех школьников и студентов. Все цветные графики с формулами площади квадрата, его периметра, диагонали, радиусов вписанной и описанной окружности Вы можете скачать по ссылке внизу.
Распечатывайте формулы и пользуйтесь в обучении.

{jd_file file==18}

Понравился материал — поделись ссылкой с друзьями.

Посмотреть материалы:

{jcomments on}

Функция СУММКВРАЗН

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции СУММКВРАЗН в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.

Синтаксис

СУММКВРАЗН(массив_x;массив_y)

Аргументы функции СУММКВРАЗН описаны ниже.

  • Массив_x    Обязательный. Первый массив или диапазон значений.

  • Массив_y    Обязательный. Второй массив или диапазон значений.

Замечания

  • Аргументы могут быть числами либо содержащими числа именами, массивами или ссылками.

  • Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

  • Если количество значений в аргументах «массив_x» и «массив_y» не совпадает, то функция СУММКВРАЗН возвращает значение ошибки #Н/Д.

  • Уравнение суммы квадратов разностей имеет следующий вид:

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные

Первый массив

Второй массив

2

6

3

5

9

11

1

7

8

5

7

4

5

4

Формула

Описание (результат)

Результат

=СУММКВРАЗН(A3:A9;B3:B9)

Сумма квадратов разностей двух приведенных выше массивов (79)

79

=СУММКВРАЗН({2; 3; 9; 1; 8; 7; 5}; {6; 5; 11; 7; 5; 4; 4})

Сумма квадратов разностей двух массивов констант (79)

79

Квадратное уравнение и его корни 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

122. Квадратное уравнение и его корни

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2+bx+c = 0, где х –переменная, a, b, c – некоторые числа,

причем а≠0.

Приведем примеры квадратных уравнений:

7х2-5х+3 = 0, в этом уравнении а = 7, b = -5, с = 3;

-0,5х2+4 = 0, здесь a = -0,5; b = 0; c = 4;

3х2-6х = 0, здесь а = 3, b = -6, с = 0.

Числа а, b, с называют коэффициентами квадратного уравнения; а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

Если а – коэффициент при х

2 равен 1, то такое уравнение называется приведенным. Например, х2+4х+3 = 0.

Если второй коэффициент и/или свободный член равны 0, то такое квадратное уравнение называется неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

ах2+с = 0, с≠0

ах2+bx = 0, b≠0

aх2 = 0

Рассмотрим решение каждого из этих видов:

  1. ах2+с = 0, с≠0

    ax2 = -c

    x2 = -c:a

    x=±-ca

  2. ах2

    +bx = 0, b≠0

    х(ах+b) = 0

    x1 = 0, x2 = -b:a

  3. aх2 = 0

    x=0

Разберем решения на конкретных примерах.

  1. 5х2-125 = 0, здесь а = 5, b = 0, с = -125

    5х2 = 125

    х2 = 125:5 = 25

    х1 = 25 = 5

    х2 = -25 = -5

  2. 6х2+7х = 0

    x(6х+7) = 0

    x1 = 0

    6х+7 = 0

    6х = -7

    x2 = -76

  3. 23х2 = 0

    x2 = 0:23 = 0

    x = 0

Теперь рассмотрим решение квадратного уравнения, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Основной метод, который используется для выведения формул корней квадратных уравнений, – метод выделения полного квадрата. Рассмотрим несколько конкретных примеров квадратных уравнений, которые мы решим с помощью использования этого метода.

Пример 1.

Решить квадратное уравнение х2-2х-3 = 0

Коэффициенты данного квадратного уравнения: а = 1, b = -2, c = -3.

Для применения метода выделения полного квадрата воспользуемся следующей формулой:

(x-t)2 = x2-2xt+t2

Метод выделения полного квадрата для данного примера состоит в том, чтобы подобрать число t так, чтобы -2xt = -2x. Значит, t=1.

Получаем:

x2-2x-3 = x2-2·x·1+12-12-3 = (x-1)2-4 = 0

Данное уравнение можно решать двумя способами.

Способ 1

(x-1)2 = 4

x-1 = ±2

Отсюда x = 3 или x = -1.

Ответ: -1; 3.

Способ 2

(x-1)2-4 = 0

(x-1)2-22 = 0

(x-1-2)(x-1+2) = 0

(x-3)(x+1) = 0

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен 0. Поэтому данное уравнение эквивалентно двум: x-3 = 0, x = 3 и x+1 = 0, x = -1.

Ответ: -1; 3.

Мы рассмотрели метод выделения полного квадрата на частном примере. Рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, в котором старший коэффициент не будет равняться 1.

Пример 2. Решить квадратное уравнение: 2x2-5x+2 = 0.

Коэффициенты данного квадратного уравнения: a = 2, b = -5, c = 2.

Прежде чем выделять полный квадрат, вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых:

2×2-52x+2=0

Теперь в скобках выделим полный квадрат. Опять же, необходимо подобрать t так, чтобы выполнялось -2tx=-52x. Значит, t=54.

Получаем следующее уравнение:

2×2-52x+2=2×2-2∙54∙x+542-542+2=2x-542-542+2=2x-542-258+2=2x-542-98=0

Отсюда:

2x-542=98

x-542=916

x-54=±34

Отсюда x=2 или x=12.

Ответ: 12; 2.

Разобрав конкретные примеры, можем перейти к получению общей формулы корней квадратного уравнения.

Итак, рассмотрим уравнение ax2+bx+c=0.

Вынесем старший коэффициент за скобки в первых двух слагаемых

ax2+bax+c=0.

Теперь выделим в скобочках полный квадрат

ax2+2∙b2a∙x+b2a2-b2a2+c=0

ax+b2a2-b24a2+c=0

ax+b2a2-b24a+c=0

ax+b2a2=b24a-c

ax+b2a2=b2-4ac4a

Теперь поделим обе части уравнения на a, так как знаем, что в квадратном уравнении a≠0

x+b2a2=b2-4ac4a2

Выражение D=b2-4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Пока мы будем считать, что в нашем уравнении D≥0, то есть из него можно извлечь корень.

Тогда получаем:

x+b2a2=D4a2

x+b2a=±D2a

x=-b±D2a

То есть x1=-b-D2a; x2=-b+D2a

Это и есть формула для корней квадратного уравнения в общем виде.

Если теперь мы вернемся к нашим примерам, то в уравнении x2-2x-3 = 0 дискриминант равен

D = (-2)2-4·1·(-3) = 4+12 = 16.

Тогда:

x1=-(-2)-42=-1;

x2=-(-2)+42=3. 2-12x = 153 $

-60x+225-12x = 153

-72x = 153-225

-72x = -72

x = 1

Что такое квадратичное уравнение?

Квадратное уравнение состоит из одной переменной с тремя членами в стандартной форме: ax 2 + bx + c = 0 . Первые квадратные уравнения были разработаны как метод, использованный вавилонскими математиками около 2000 г. до н.э. для решения одновременных уравнений. Квадратичные уравнения могут быть применены к физическим задачам, связанным с параболическим движением, траекторией, формой и устойчивостью. Несколько методов были разработаны для упрощения решения таких уравнений для переменной х . Любое количество решателей квадратичных уравнений, в которых значения коэффициентов квадратного уравнения можно вводить и автоматически рассчитывать, можно найти в Интернете.

Три метода, наиболее часто используемые для решения квадратных уравнений, — это факторинг, заполнение квадрата и квадратная формула. Факторинг — это самая простая форма решения квадратного уравнения. Когда квадратное уравнение имеет стандартную форму, легко визуализировать, являются ли константы a , b и c такими, что уравнение представляет собой идеальный квадрат. Во-первых, стандартная форма должна быть разделена на . Тогда половина того, что сейчас является термином b / a, должна быть равна удвоенному значению, чем сейчас является член c / a ; если это так, то стандартная форма может быть разложена в идеальный квадрат (x ± d) 2 .

Если решение квадратного уравнения не является идеальным квадратом и уравнение не может быть учтено в его нынешнем виде, тогда можно использовать второй метод решения — завершить квадрат. После деления на термин a термин b / a делится на два, возводится в квадрат и затем добавляется к обеим сторонам уравнения. Квадратный корень из идеального квадрата можно приравнять к квадратному корню всех оставшихся констант в правой части уравнения, чтобы найти x .

Последний метод решения стандартного квадратного уравнения заключается в прямой подстановке постоянных коэффициентов ( a , b и c ) в квадратную формулу: x = (-b ± sqrt (b 2 -4ac)) / 2a , которая была получена метод заполнения квадратов в обобщенном уравнении. Дискриминант квадратной формулы (b 2 — 4ac) появляется под знаком квадратного корня и даже до того, как уравнение решено для x , может указывать тип и количество найденных решений. Тип решения зависит от того, равен ли дискриминант квадратному корню из положительного или отрицательного числа. Когда дискриминант равен нулю, существует только один положительный корень. Когда дискриминант положительный, есть два положительных корня, а когда дискриминант отрицательный, существуют как положительные, так и отрицательные корни.

ДРУГИЕ ЯЗЫКИ

Решение квадратных уравнений методом выделения квадрата двучлена

Решение квадратных уравнений
методом выделения квадрата двучлена

Метод выделения квадрата двучлена – распространенный метод решения квадратных уравнений.

Рассмотрим пример. Решим квадратное уравнение

x2 + 6x + 15 = 0.

Во-первых, проведем некоторые предварительные действия перед тем, как приступать непосредственно к решению, чтобы было потом легче считать.

Второй коэффициент уравнения, стоящий при x, по модулю равен 6. Разделим 6 пополам (на 2), затем результат разделим на квадратный корень из первого коэффициента a, (т.е. на корень из 1, равный 1):

6 : 2 : 1 = 3

Поскольку в результате получилось целое число 3, то уравнение НЕ нуждается в домножении на учетверенный первый коэффициент (если бы получилось дробное число, уравнение лучше домножить, чтобы избежать громоздких вычислений с дробями).

Далее нужно перенести число, не содержащее х, в правую часть уравнения (при переносе оно поменяет знак на противоположный):

x2 + 6x = – 15

Теперь нужно прибавить к обеим частям уравнения квадрат числа, которое равно половине второго коэффициента (6), деленного на квадратный корень из первого (1). 6 : 2 : 1 = 3, поэтому прибавить надо 32 = 9. Получим следующее выражение:

x2 + 6x + 9 = – 15 + 9

Затем нужно просто свернуть выражение в левой части по формуле квадрата суммы (на этом шаге обязательно должно получиться сворачиваемое выражение):

(x + 3)2 = – 6,
т.к. x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

Выражение в скобках, возведенное в квадрат, всегда должно быть числом положительным, однако, преобразовывая данное уравнение, мы пришли к выводу о том, что оно равно отрицательному числу (конкретно −6). Следовательно, уравнение корней не имеет.

Онлайн калькулятор
для решения квадратных уравнений
методом квадрата двучлена

Вы можете получить подробное объяснение того, как решается любое квадратное уравнение методом выделения квадрата двучлена. Для этого просто введите свое уравнение в форму вверху страницы и нажмите кнопку «Решить».

Урок алгебры в 8-м классе «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена»

Цели урока: (слайд 3)

  • Закрепить понятие квадратного уравнения.
  • Применить изученные алгоритмы для решения неполных квадратных уравнений.
  • Рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений.
  • Показать способ решения квадратных уравнений методом выделения из трехчлена квадрата двучлена.

Этапы урока: (слайд 4)

  • Устная работа.
  • Экскурсия по квадратным уравнениям (домашнее задание).
  • Постановка проблемы (целей урока).
  • Исследовательская работа (домашнее задание).
  • Решение уравнений.
  • Самостоятельная работа.

Ход урока

I.

Устная работа (слайды 5-12).

1)Какое уравнение называется квадратным? Приведите пример.
2)Какие уравнения называются приведенными? Приведите пример.
3)Какие уравнения называются неполными? Приведите пример.
4)Способы решения неполных квадратных уравнений.
5)Способы разложения на множители. Разложить: х? - 6х + 9.
6)Формулы сокращенного умножения.
7)Какие из следующих уравнений являются квадратными:

  1. х + 8 = 10
  2. х2 — 3х + 5 = 0
  3. х3 — 1 = 0
  4. 2х – 3х2 = 4
  5. 9х + х? = 0
  6. — 6х2 + 3х -8 = 0
  7. 16 – х2 = 0

II. Домашнее задание

Экскурсия по квадратным уравнениям (презентация 1, подготовленная учащимися)

III. Постановка проблемы (целей урока

).

Разбейте следующие уравнения на две группы по какому-либо признаку: (слайд 13)

3х2+8х-7=0 х2-12х+36 =0
х2-10х+9=0 7х + 13 — 6х2=0
5х2-125=0 3х+6х2=0
9х-12х2=0 4х2-64=0
7-5х+х2=0  

Проверка (слайд 14-15)

Какие из этих уравнений вы можете решить? (неполные квадратные уравнения)

Решение неполных квадратных уравнений:

А) 5х2-125=0 б) 3х+6х2=0
В) 9х-12х2=0 г) 4х2-64=0

Проверка (слайд 16)

Какие полные квадратные уравнения можно решить способом, указанным в презентации 1

(слайд 17)

х2-12х+36 =0
(х – 6)2=0
х – 6 = 0
х = 6

Ответ: 6.

IV. Решение уравнений.

Нельзя ли использовать этот способ при решении других полных квадратных уравнений?

(домашнее задание: исследовательская работа, презентация 2-3, выполненная учащимися)

Решите: х2-10х+9=0 (слайд 18)

х2 — 10х = — 9
х2 — 10х + 25 = 25 – 9
(х – 5)2 = 16
х – 5 = 4 или х – 5 = — 4
х = 9, х = 1

Ответ: 9; 1.

Этот способ называется выделением квадрата двучлена.

Работа по учебнику: №524 (а, б), 525 (а, б), 527(а).

(Учащиеся убеждаются, что этот способ решения полных квадратных уравнений неудобен и требуется формула)

V. Самостоятельная работа

 (с последующей проверкой) (слайд 19)

А) х2 – 14х + 33 = 0;

Б) х2 + 12х – 28 = 0;

В) х2 – 6х + 7 = 0.

VI. Домашнее задание

: п.20, №526 (б, г), 528, 529. (слайд 20)

VII. Итог урока.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Можете ли вы описать квадрат одним уравнением? – Программист Полимат

Во-первых, я хочу сказать, как меня унижают люди, которые читают этот блог. Ты обалденный.

Возможно, вы захотите прочитать исходное сообщение, из которого возник вопрос. Итак, можете ли вы описать квадрат всего одним уравнением? 3 читателя высказали свое мнение, и все они правы (то есть умнее меня). Сначала я представлю их ответы, затем представлю ответ моего друга-инженера, а затем свой (который ничего не стоит и не сработал так, как я хотел).

Первый ответ был от Майка Андерсона, который дал это:

макс(абс(х),абс(у)) = с

Мне потребовалось некоторое время, чтобы понять это. И на самом деле более сложный ответ. Но это именно тот ответ, который искал мой друг, а именно вертикальный квадрат. Примем центр квадрата за начало координат. Абсолютная функция сводит рабочую декартову плоскость только к первому квадранту (если она работает в первом квадранте, она работает и в других квадрантах).Функция максимума гарантирует, что либо значение x, либо значение y (или оба) равно c (половина ширины квадрата).

Что делать, если абсолютная функция не действует? Тогда, если -c < x < c, то y должно быть либо -c, либо c (из-за функции максимума). Следовательно, есть 2 горизонтальные параллельные прямые. Аналогично наоборот, создав 2 вертикальные параллельные линии. А вот и ваш квадрат. Это блестяще.

Второй ответ был от Кристофера Тэя, который дал это:

|х| + |у| = С

, что является нормой L1.

Нормой матрицы является величина матрицы. В этом случае матрица на самом деле является двумерным вектором. Характер трубы | окружающие значения x и y означают, что мы берем абсолютное значение.

Это интересно. Это означает, что чем больше значение x, тем меньше y должно быть для компенсации, так что сумма x и y равна C. Этот эффект качания создал треугольную форму для каждого квадранта. Которые, сложенные вместе, становятся квадратом (наклоните голову на 45 градусов, чтобы лучше видеть).

Потом пришел Крис МакЭлони с этим:

абс(х) + абс(у) = с

Это уравнение эквивалентно норме L1. Крис также указал, что квадраты, образованные двумя предыдущими уравнениями, отличаются друг от друга на угол поворота на PI/4 (радиан) или на 45 градусов.

Итак, есть 2 решения! Мой друг-инженер был в шоке, когда я сказал ему об этом. Должен признаться, я немного злорадствовал, когда сказал ему, что мои читатели решили его проблему…

Следует отметить один небольшой момент.Константа c в каждом уравнении специфична для каждого уравнения. Как если бы вы вводили одну и ту же константу в каждое уравнение, ширина образующихся квадратов была бы разной. Позвольте мне проиллюстрировать:

Квадрат, образованный способом max-abs, имеет ширину 2c.

Квадрат, сформированный нормой L1, имеет ширину sqrt(2)*c.

Ответ инженера

Так что же ответил мой друг? Он сказал, что ответ может разозлить некоторых математиков. Он также сказал, что ответ может продемонстрировать фундаментальную разницу между тем, как думают инженеры и математики.10000 = 1

Или в основном x и y в степени достаточно большого числа. В результате получается не в точности в квадрате, но он выглядит как в достаточной степени, как в квадрате.

И это было его точкой зрения. Что инженеры считают «достаточно хорошим» и практичность приоритетом. Если деревянная балка находится в правильном положении и выдерживает вес крыши, кого волнует, что она отклоняется от предполагаемого положения на 1 нанометр?

Как он это придумал? Он играл с Wolfram Alpha и просто закидывал туда уравнения… Чтобы посмотреть, что получится, начните с

. 2 = 1

Это круг с радиусом 1.100 = 1 дает хороший квадратный график. Для моего друга, это достаточно хороший квадрат. Он задал мне вопрос для аналитического ответа, потому что даже он знает, что его ответ не был точным.

А мой (никчемный повод) ответ?

Мне пришла в голову идея начать с круга. Затем каким-то образом превращаем его в квадрат. Идея возникла из суперуравнения, которое может описать куб, сферу или какой-либо другой трехмерный объект. Я больше не могу его найти… Я видел это уравнение, когда проводил исследование демосцены.2 [<- НЕЕЕТ, ЭТО НЕПРАВИЛЬНО]

на работу… Это было для y. У меня был соответственно сложный термин для x.

Тут меня осенило.

Как я нарисую квадрат в плоскости полярных координат, если у меня есть только тэта для работы? Все будет по кругу.

Я вырвал свою математическую работу из блокнота и выбросил ее в мусоропровод. Я мог бы также яростно выругаться. Не помню…

Итак, у вас есть 2 уравнения для описания квадрата. И 1 уравнение, которое дает результат, что выглядит как как квадрат, который для большинства целей и намерений может рассматриваться как как как квадрат.

Затем мой друг пришел с последним словом:

«Чтобы получить бонусные очки, вы можете использовать некоторые триггерные функции, чтобы наклонить его назад, чтобы уравнение могло иметь любой угол?»

У нас есть 1 вертикальный квадрат и 1 квадрат, наклоненный на 45 градусов. Мой друг хотел знать, существует ли уравнение, которое создает квадрат при любой ориентации вращения.Я не верю, что он есть, поэтому, пожалуйста, не утруждайте себя попытками. Это просто растратит ваши мозговые клетки. Но вы можете попробовать это в качестве интеллектуального упражнения.

Я? Мне нужен другой блокнот…

Завершение квадрата

» Завершение квадрата » вот где мы…

… возьмем квадратное уравнение
следующим образом:		 и превратите его
в это:
топор 2 + Ьх + с = 0 а(х+ d ) 2 + е = 0

Для тех из вас, кто торопится, могу сказать, что: d = b 2a

и:e = c − b 2 4a


Но если у вас есть время, позвольте мне показать вам, как « Заполнить квадрат » самостоятельно.

Завершение квадрата

Допустим, у нас есть простое выражение вида x 2 + bx. Наличие x дважды в одном и том же выражении может усложнить жизнь. Что мы можем сделать?

Что ж, немного вдохновившись геометрией, мы можем преобразовать его вот так:

Как видите x 2 + bx можно переставить почти в квадрат…

… и мы можем дополнить квадрат с помощью (b/2) 2

В алгебре это выглядит так:

x 2 + шт. + (б/2) 2 = (х+b/2) 2
  «Заполните квадрат
»		    

Таким образом, сложив (b/2) 2 , мы можем завершить квадрат.

Результат (x+b/2) 2 имеет x только один раз , что проще в использовании.

Сохранение равновесия

Теперь… мы не можем просто прибавить (b/2) 2 без вычитания ! В противном случае меняется все значение.

Итак, давайте посмотрим, как это сделать правильно на примере:

Начните с:  
  (в данном случае «b» равно 6)
   
Заполните квадрат:

 

Также вычесть новый термин

Упростите это, и все готово.

 

Результат:

x 2 + 6x + 7   =   (x+3) 2 − 2

И теперь x появляется только один раз, и наша работа выполнена!

Быстрый подход

Вот быстрый способ получить ответ. Вам может понравиться этот метод.

Сначала подумайте о желаемом результате: (x+d) 2 + e

После разложения (x+d) 2 получаем: x 2 + 2dx + d 2 + e

Теперь посмотрим, сможем ли мы превратить наш пример в эту форму, чтобы обнаружить d и e

Пример: попытаться вписать x

2 + 6x + 7 в x 2 + 2dx + d 2 + e

Теперь мы можем «форсировать» ответ:

  • Мы знаем, что 6x должно получиться как 2dx, поэтому d должно быть 3
  • Далее мы видим, что 7 должно стать d 2 + e = 9 + e, поэтому e должно быть −2

И мы получаем тот же результат (x+3) 2 − 2, что и выше!

 

Теперь давайте рассмотрим полезное приложение: решение квадратных уравнений…

Решение общих квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Мы можем дополнить квадрат до решить квадратное уравнение (найти, где оно равно нулю).

Но общее квадратное уравнение может иметь коэффициент а перед х 2 :

топор 2 + Ьх + с = 0

Но с этим легко справиться… просто сначала разделите все уравнение на «а», а затем продолжайте:

х 2 + (б/а)х + с/а = 0

шагов

Теперь мы можем решить квадратное уравнение за 5 шагов:

  • Шаг 1 Разделите все члены на a (коэффициент x 2 ).
  • Шаг 2 Переместите числовое выражение ( c/a ) в правую часть уравнения.
  • Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же значение в правую часть уравнения.

Теперь у нас есть что-то похожее на (x + p) 2 = q, которое можно довольно легко решить:

  • Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.
  • Шаг 5 Вычтите число, оставшееся в левой части уравнения, чтобы найти x .

Примеры

Хорошо, несколько примеров помогут!

Пример 1: решить x

2 + 4x + 1 = 0

Шаг 1 можно пропустить в этом примере, так как коэффициент x 2 равен 1

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

х 2 + 4х = -1

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же число в правую часть уравнения.

(б/2) 2 = (4/2) 2 = 2 2 = 4

х 2 + 4х + 4 = -1 + 4

(х + 2) 2 = 3

Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

x + 2 = ±√3 = ±1,73 (до 2 знаков после запятой)

Шаг 5 Вычесть 2 с обеих сторон:

х = ±1,73 – 2 = -3. 73 или -0,27

А вот еще интересная и полезная штука.

В конце шага 3 у нас было уравнение:

(х + 2) 2 = 3

Это дает нам вершину (точка поворота) x 2 + 4x + 1: (-2, -3)

 

 

Пример 2: решить 5x

2 – 4x – 2 = 0

Шаг 1 Разделить все члены на 5

х 2 – 0.8х – 0,4 = 0

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

х 2 – 0,8х = 0,4

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же число в правую часть уравнения:

(б/2) 2 = (0,8/2) 2 = 0,4 2 = 0,16

х 2 – 0. 8x + 0,16 = 0,4 + 0,16

(х – 0,4) 2 = 0,56

Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

x – 0,4 = ±√0,56 = ±0,748 (до 3 десятичных знаков)

Шаг 5 Вычесть (-0,4) с обеих сторон (другими словами, добавить 0,4):

х = ±0,748 + 0,4 = -0,348 или 1,148

Почему «Заполните квадрат»?

Зачем заполнять квадрат, если мы можем просто использовать квадратную формулу, чтобы решить квадратное уравнение?

Ну, одна причина указана выше, где новая форма не только показывает нам вершину, но и упрощает решение.

Бывают также случаи, когда форма ax 2 + bx + c может быть частью большего вопроса , и перестановка ее в виде a(x+ d ) 2 + e

3 9 дает решение. проще, потому что x появляется только один раз.

Например, «x» может быть функцией (например, cos(z) ), и ее изменение может открыть путь к лучшему решению.

Также завершение квадрата является первым шагом в выводе квадратичной формулы

Думайте об этом как о еще одном инструменте в вашем наборе математических инструментов.

 

364, 1205, 365, 2331, 2332, 3213, 3896, 3211, 3212, 1206

 

Сноска: значения «d» и «e»

Как я получил значения d и e из верхней части страницы?


И вы заметите, что у нас есть:

а(х+d) 2 + е = 0

Где: д = б 2а

и: е = с — б 2 4а

Прямо как вверху страницы!

 

Завершение квадрата

Завершение квадрата — это метод, используемый для решения Квадратное уравнение изменив форму уравнения так, чтобы левая часть была идеальный квадрат трехчлен .

Решать а Икс 2 + б Икс + с знак равно 0 заполнив квадрат:

1. Преобразуйте уравнение так, чтобы постоянный член с , находится один на правой стороне.
      2.  Если а , старший коэффициент (коэффициент Икс 2 срок), не равно 1 , разделите обе части на а .

3. Добавьте квадрат половины коэффициента Икс -срок, ( б 2 а ) 2 к обеим частям уравнения.

4. Разложите левую часть на множители как квадрат двучлена.

5. Возьмите квадратный корень обеих сторон. (Помните: ( Икс + д ) 2 знак равно р эквивалентно Икс + д знак равно ± р . )

6. Решите для Икс .

Пример 1:

Решать Икс 2 − 6 Икс − 3 знак равно 0 заполнив квадрат.

Икс 2 − 6 Икс знак равно 3 Икс 2 − 6 Икс + ( − 3 ) 2 знак равно 3 + 9 ( Икс − 3 ) 2 знак равно 12 Икс − 3 знак равно ± 12 знак равно ± 2 3 Икс знак равно 3 ± 2 3

Пример 2:

Решать: 7 Икс 2 − 8 Икс + 3 знак равно 0

7 Икс 2 − 8 Икс знак равно − 3 Икс 2 − 8 7 Икс знак равно − 3 7 Икс 2 − 8 7 Икс + ( − 4 7 ) 2 знак равно − 3 7 + 16 49 ( Икс − 4 7 ) 2 знак равно − 5 49 Икс − 4 7 знак равно ± 5 7 я Икс знак равно 4 7 ± 5 7 я ( Икс − 3 ) 2 знак равно 12 Икс − 3 знак равно ± 12 знак равно ± 2 3 Икс знак равно 3 ± 2 3

Завершение квадрата: уравнение окружности

Завершение Квадрат: уравнения окружности

Техника комплектации квадрат используется для преобразования квадратного числа в сумму квадратного бинома и число: ( x а ) 2 + б . Форма центра и радиуса уравнения окружности имеет формат ( x ч ) 2 + ( у к ) 2 = р 2 , с центром в точке ( h, k ) и радиус « r «. Эта форма уравнения полезна, так как вы можете легко найти центр и радиус.

Но уравнения окружности часто дается в общем формате x 2 + по 2 + сх + dy + е = 0, Когда вам дают эту общую форму уравнения и просят найти центр и радиус круга, вам придется «завершить квадрат», чтобы преобразовать уравнение в форму центра-радиуса.Этот урок объясняет, как сделать это преобразование. авторское право Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены

  • Найти центр и радиус окружности, имеющий следующее уравнение:
         4 x 2 + 4 y 2 16 x 24 y + 51 = 0.
       
Здесь это уравнение, которое они вам дали.
Переместить свободный номер на другую сторону.
Группа x — вещи вместе. Сгруппируйте и -вещи вместе.
Что угодно умножается на квадраты (всегда будет одно и то же число), отделить его от каждого члена.
Это сложный шаг. Вам понадобится место внутри ваших групп, потому что здесь вы добавите термин возведения в квадрат. Возьмите x — срок коэффициент, умножьте его на половину, возведите в квадрат, а затем прибавьте это к обеим частям уравнения, как показано. Сделайте то же самое с y -срок коэффициент.Преобразуйте левую часть в квадратную форму и упростить правую часть.
Чтение от ответа из переставленного уравнения. центр находится в ( ч, к ) = ( х, у ) = (2, 3).
Радиус r = sqrt( 1 / 4 ) = 1 / 2

  

Завершение квадрата до найти центр и радиус круга всегда работает таким образом. Всегда делайте шаги в таком порядке, и каждое ваше упражнение должно получиться отлично. (Кроме того, если вы привыкнете всегда выполнять упражнения в таким же образом вы, скорее всего, запомните процедуру на тестах.)

Предупреждение: не истолковывайте неправильно окончательное уравнение. Помните, что формула круга ( x ч ) 2 + ( у к ) 2 = г 2 .Если вы получите уравнение вроде ( x + 4) 2 + ( у + 5) 2 = 5, вы должны держать прямо, что h и к вычитается в форме центра-радиуса, так что у вас действительно есть ( x (4)) 2 + ( y (5)) 2 = 5. То есть центр находится в точке (4, 5), а не в (4, 5).Будь осторожен с знаки; не просто «прочитайте ответ», не подумав. Также помните, что в формуле написано « r 2 «, не « р «, так что радиус в этом случае равен sqrt (5), не 5.

В ходе вышеуказанного процедура, о единственной другой вещи, которая может быть проблемой, это забыть знак на шаге, где вы умножаете на половину. Предупреждение: если вы уроните отрицательный, вы получите неправильный ответ для координат центра, так что будьте осторожны с этим.Не пытайтесь проделать этот шаг в уме: напишите это из!

Вот еще один пример того, как завершение квадрата работает для уравнений круга:

  • Найти центр и радиус окружности с помощью следующего уравнения:
         100 x 2 + 100 y 2 100 x + 240 y 56 = 0,

Топ |  Вернуться к индексу

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет. «Завершение квадрата: уравнения круга». Пурпурная математика . Доступно по номеру
     https://www.purplemath.com/modules/sqrcircle.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
 

 

Заполнение квадратного калькулятора

Использование калькулятора

Этот калькулятор решатель квадратного уравнения , который решит полиномиальное уравнение второго порядка в форме ax 2 + bx + c = 0 для x, где a ≠ 0, используя завершение квадратного метода .

Решение калькулятора покажет работу по решению квадратного уравнения путем завершения квадрата для решения введенного уравнения для действительных и комплексных корней. 2 — 6х + \dfrac{7}{2} = 0 \)

Теперь продолжайте решать это квадратное уравнение, используя метод квадратов.2 = 4\)

Извлеките квадратный корень из обеих сторон

\( х = \pm \sqrt[]{4} \)

поэтому

\( х = + 2 \)

\( х = — 2 \)

Напишите стандартную форму уравнения, заполнив квадрат — видео и расшифровка урока

Зачем заполнять квадрат?

Зачем тебе заполнять квадрат? Гораздо проще решить квадратное уравнение, когда ваша переменная находится только в одном месте, а не в двух.2 + k = 0. Гораздо проще решить это уравнение для x , чем если бы мы оставили его в форме квадратного уравнения.

Мы можем легко решить наше законченное квадратное уравнение, переместив k , а затем разделив на a , затем извлекая квадратный корень и затем перемещая h , чтобы получить x само по себе. 2 — 4 ac ))/(2 a ), что не так просто.2 + k = 0, где a , h и k — числа, а x — переменная.

Мы выполняем процесс заполнения квадрата, потому что это дает нам уравнение, которое легче решить. Сам процесс включает в себя поиск числа, которое позволит нам переписать наше уравнение так, чтобы наша переменная была записана только один раз внутри пары квадратных скобок. Для этого мы сначала переместим нашу константу c вправо. Затем мы делим все наши термины на число a .Затем мы делим наше число b на 2, а затем возводим его в квадрат, чтобы найти число для завершения квадрата. Затем мы прибавляем это число к обеим сторонам, факторизуем левую часть и перемещаем число справа обратно влево, чтобы получить окончательное квадратное уравнение.

Результаты обучения

После завершения этого урока вы должны уметь:

  • Составлять квадратное уравнение
  • Применить процесс завершения квадрата, чтобы упростить решение квадратного уравнения

2.

2+bx+c=0`,

выполните следующие действия:

(i) Если a не равно «1», разделить каждую сторону на a (так, чтобы коэффициент x 2 это `1`).

(ii) Перепишите уравнение с постоянным членом в правой части.

(iii) Завершите квадрат, прибавив к обеим сторонам квадрат половины коэффициента x .

(iv) Напишите левую сторону в виде квадрата и упростите правую сторону.

(v) Приравнять и решить.

Пример 1

Найдите корни x 2 + 10 x — 4 = 0, используя метод квадратов.2-4ас))/(2а)`

Мы будем часто использовать этот результат в остальной части изучаемой нами математики.

.
РубрикаРазное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *