Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ

На основании ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

АЕ =

Π°11

Π°12 .

1

0

=

Π°11

Π°12

Π°21

Π°22

0

1

Π°21

Π°22

EA=

1

0 .

Π°11

Π°12

=

Π°11

Π°12

0

1

Π°21

Π°22

Π°21

Π°22,

Ρ‚.Π΅. АЕ = ЕА = А (11)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ любого порядка Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ равняСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, поэтому ΠΈ называСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Если А – квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ А называСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, которая, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° А (ΠΊΠ°ΠΊ справа, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ слСва), Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· А-1, запишСм

А-1А = АА-1 = Π• (12)

Если обратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А-1 сущСствуСт, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А называСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΠΎΠΉ

. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ вычислСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ называСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А Π±Ρ‹Π»Π° Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

НахоТдСниС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π° нСвыроТдСнная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

Π°11

Π°12

Π°13

А=

Π°21

Π°22

Π°23

Π°31

Π°32

Π°33

Π°11

Π°12

Π°

13

DА =

Π°21

Π°22

Π°23

β‰  0

Π°31

Π°32

Π°33

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ А-1 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

A11/DА

A21/DА

A31/DА

A-1 =

A12/DА

A22/DА

A32/DА

,

( 13 )

A13/DА

A23/DА

A33/DА

Π³Π΄Π΅ Аij – алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ элСмСнта Π°ij опрСдСлитСля DA.

Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² этом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, умноТая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ А Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ А-1. НапримСр, элСмСнты с11 ΠΈ с23 ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ:

Β·Β·Β·

c23=a21Β·Β·Β·=

== 0

Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅

Π°11

Π°12

Π°

13

A11/DА

A21/DА

A31/DА

1

0

0

Π‘=AA-1=

Π°21

Π°22

Π°23

A

12/DА

A22/DА

A32/DА

=

0

1

0

=E

Π°31

Π°32

Π°33

A13/DА

A23/DА

A33/DА

0

0

1

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

A11

A21

A31

=

A12

A22

A32

( 14 )

A13

A23

A33

называСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ, присоСдинённой ΠΊ А. (Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ). ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А-1 Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‘Π½Π½ΡƒΡŽ выраТаСтся Ρ‚Π°ΠΊ:

=

1

( 15 )

DA

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ схСмС:

1. Находим ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А.

2. Находим алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх элСмСнтов Π°ij ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ записываСм Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ.

3. МСняСм мСстами строки ΠΈ столбцы ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ (транспонируСм ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ).

4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π° 1/DA.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. (Π›Π΅Π½Π° Иванова, КШ-061).

Π”Π°Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

Найти ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ.

1. ВычисляСм ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А:

2

5

7

2

5

7

DA =

6

3

4

=

0

-12

-17

=

(492 — 493) = -1

5

-2

-3

0

-29/2

-41/2

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ DA β‰  0, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А являСтся Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ А-1.

2. Находим алгСбраичСскиС дополнСния элСмСнтов этого опрСдСлитСля:

A11 =

3

4

= -1,

A21= —

5

7

= 1,

A31=

5

7

= -1,

-2

-3

-2

-3

3

4

A12= —

6

4

= 38,

A22=

2

7

= -41,

A32= —

2

7

= 34,

5

-3

5

-3

6

4

A13 =

6

3

= -27,

A23=-

2

5

= 29,

A33=

2

5

= -24.

5

-2

5

-2

6

3

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

-1

1

-1

1

-1

1

A-1 = -1

38

-41

34

=

-38

41

-34

-27

29

-24

27

-29

24

ЛСкция 4.

ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, свойства ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ $AB$ ΠΈ $BA$, Ссли $ A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right) $

РСшСниС. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $ A=A_{3 \times 2} $ , Π° $ B=B_{2 \times 2} $ , Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ умноТСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° $ C=C_{3 \times 2} $ , Π° это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π²ΠΈΠ΄Π° $ C=\left( \begin{array}{ll}{c_{11}} & {c_{12}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} \\ {c_{31}} & {c_{32}}\end{array}\right) $ .

Вычислим элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ $C$ :

$ c_{11}=a_{11} \cdot b_{11}+a_{12} \cdot b_{21}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $

$ c_{12}=a_{11} \cdot b_{12}+a_{12} \cdot b_{22}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $

$ c_{21}=a_{21} \cdot b_{11}+a_{22} \cdot b_{21}=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $

$ c_{22}=a_{21} \cdot b_{12}+a_{22} \cdot b_{22}=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{11}+a_{32} \cdot b_{21}=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $

$ c_{32}=a_{31} \cdot b_{12}+a_{32} \cdot b_{22}=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, $ C=A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $ .

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ произвСдСния Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

$ C=A B=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right)_{3 \times 2} \cdot \left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right)_{2 \times 2}= $

$ =\left( \begin{array}{ccc}{1 \cdot 1+(-1) \cdot 2} & {1 \cdot 1+(-1) \cdot 0} \\ {2 \cdot 1+0 \cdot 2} & {2 \cdot 1+0 \cdot 0} \\ {3 \cdot 1+0 \cdot 2} & {3 \cdot 1+0 \cdot 0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $

НайдСм Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ D=B A=B_{2 \times 2} \cdot A_{3 \times 2} $. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ количСство столбцов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ $B$ (ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ) Π½Π΅ совпадаСт с количСством строк ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ $A$ (Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ), Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ порядкС Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. $ A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $ . Π’ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ порядкС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ количСство столбцов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ $B$ Π½Π΅ совпадаСт с количСством строк ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ $A$ .

ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², условия ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ – это Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ взаимосвязанных элСмСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ матСматичСскиС вычислСния ΠΈ ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. Π˜Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой. Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ остановимся Π½Π° послСднСм Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ΅ – ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† β€” ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ – это ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· основных ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, которая проводится ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ с согласованными ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† A ΠΈ B получаСтся новая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° C. Π’ матСматичСском Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Β 

Но для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° разбСрёмся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ согласованныС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

БогласованныС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Богласованными ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π° A = [m β˜“ n] ΠΈ B = [n β˜“ k], Π³Π΄Π΅ количСство столбцов А Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСству строк Π’.

Β 

Π˜Π½Π΄Π΅ΠΊΡΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов.

Β 

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ А ΠΈ Π’, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ строку Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ ΠΈ столбСц Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ произвСдСния.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ количСство строк (m) ΠΈ столбцов (n), Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° особСнности ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для Π΄Π²ΡƒΡ… Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² – ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… – Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ свойства произвСдСния. Однако ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ любого Π²ΠΈΠ΄Π° всСгда Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ нСльзя ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами (АВ β‰  ВА).

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† сущСствуСт Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π•. Π’ Π½Π΅ΠΉ элСмСнты ΠΏΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ – Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Β ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ любой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π½Π΅Ρ‘ Π½Π΅ влияСт Π½Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

Β 

Π’ матСматичСском Π²ΠΈΠ΄Π΅ это выглядит Ρ‚Π°ΠΊ: ЕА = АЕ = А

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ сущСствуСт обратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А (-1), ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ исходная AΒ = [m β˜“ n] Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ E.

Β 

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°: АА(-1) = Π•

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ основных свойства умноТСния:

  1. Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство, ΠΈΠ»ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: (AB)C = A(BC)
  2. Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: А(Π’+Π‘)Β = АВ + АБ / (А+Π’)Π‘Β = АБ +Β Π’Π‘
  3. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ: ЕА = А
  4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ: 0А = 0

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ всС элСмСнты Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ АВБ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ двумя Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами:

  1. Найти АВ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π‘
  2. Найти Π’Π‘ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° А

(АВ) Π‘ = А (Π’Π‘)

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ свойство называСтся Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния ΠΈ дСйствуСт Π½Π° всС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ согласованных ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Π‘Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, мСняСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ порядок ΠΈΡ… умноТСния.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° число

Для умноТСния Π½Π° число Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ элСмСнт Π½Π° это число:

Β 

Π”Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π²Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΈΡ‚ΡŒ дальнСйшиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ «строка Π½Π° столбСц».

Β 

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбСц Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ количСство столбцов Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ совпадало с количСством строк Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅-столбцС. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ произвСдСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбСц.

Β 

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-строку ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ-столбцом. Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ количСство строк Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅-столбцС совпадало с количСством столбцов Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅-строкС. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ произвСдСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„–1: Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π‘, Ссли A = [m β˜“ n] ΠΈ B = [n β˜“ k] Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Β 

РСшСниС: 

c11Β =Β a11Β·b11Β +Β a12Β·b21Β = 4Β·3 + 2Β·(-3) = 12 — 6 = 6

c12Β =Β a11Β·b12Β +Β a12Β·b22Β = 4Β·1 + 2Β·4 = 4 + 8 = 12

c21Β =Β a21Β·b11Β +Β a22Β·b21Β = 9Β·3 + 0Β·(-3) = 27 + 0 = 27

c22Β =Β a21Β·b12Β +Β a22Β·b22Β = 9Β·1 + 0Β·4 = 9 + 0 = 9

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:Β 

Β 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„–2: Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π‘, Ссли А = [m β˜“ n] ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбСц Π’ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Β 

РСшСниС: 

c11Β =Β a11Β·b11Β +Β a12Β·b21Β = 2Β·1 + (-1)Β·2 + 3Β·(-1) = -3

c21Β =Β a11Β·b12Β +Β a12Β·b22Β = 4β‹…1 + 2β‹…2 + 0β‹…2 = 8

c31Β =Β a21Β·b11Β +Β a22Β·b21Β = βˆ’1β‹…1 + 1β‹…2 + 1β‹…(βˆ’1) = 0

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Β 

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, Π½ΠΎ слоТноС занятиС. Если Ρƒ вас Π½Π΅Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π° ΡƒΡ‡Ρ‘Π±Ρƒ, ЀСниксΠ₯элп ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚, написании статСй ΠΈ диссСртаций.

ДСйствия с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ дСйствия с Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, Ρ‚.Π΅. для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… число строк ΠΈ столбцов совпадаСт. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† \(A=\{A_{ik}\}\) ΠΈ \(B=\{B_{ik}\}\), ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° \(A+B\), опрСдСляСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: \((A+B)_{ik}=A_{ik}+B_{ik}\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n\). Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами: ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† \(A\) ΠΈ \(B\), стоящиС Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌ мСстС (Ρ‚.Π΅. Π½Π° пСрСсСчСнии ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… строк ΠΈ столбцов) ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ мСсто.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end{array} \right) , \] \[ B=\left( \begin{array}{ccc} 2 &1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} \right) , \] Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° \[ A+B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -1 \\ 4 & -3 & 11 \end{array} \right) . \]

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° число

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(A=\{a_{ik}\}\) — ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° \((m,n)\), \(\lambda\) — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° \(\{\lambda a_{ik}\}\) называСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ числа \(\lambda \) Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ \(A\) ΠΈ обозначаСтся \(\lambda \cdot A\).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 7 & 5 & 2 \\ 3 & -6 & 7 \end{array} \right) , \] Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° \[ 5A=\left( \begin{array}{ccc} 5 &20 & -5 \\ 35 & 25 & 10 \\ 15 & -30 & 35 \end{array} \right) . \]

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅.

Как ΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ, Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ умноТСния ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ выраТСния \(c\cdot A\) ΠΈ \(cA\) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π½Ρ‹.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \[ A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} \right), B=\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{array} \right). \]

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ \(3A-2B\). T\) (это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ мСньшС мСста).

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ СстСствСнными арифмСтичСскими свойствами. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ряд ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

1. Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† \(A,B,C\) ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° \((A+B)+C=A+(B+C)\)(Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния).

2. Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† \(A,B\) ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° \(A+B=B+A\) (ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния).

3. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \((m,n)\)-ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° \(O\) состоит ΠΈΠ· Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. Вакая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ нуля ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Ρ‚ΠΈΠΏΠ° \((m,n)\), \(A+O=A\), \(0\cdot A=O\) для любой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A\) Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°.

4. Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… чисСл \(c_1,c_2\) ΠΈ любой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A\) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ \((c_1+c_2)A=c_1A+c_2A\).

5. Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† \(A,B\) ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΈ любого числа \(c\) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ \(c(A+B)=cA+cB\).

6. Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… чисСл \(c_1,c_2\) ΠΈ любой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A\) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ \((c_1c_2)A=c_1(c_2A)\).

7. Для любой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A\) Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ \(1\cdot A=A\).

8. Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† \(A,B\) ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° \((A+B)^T=A^T+B^T\). na_{im}b_{mk}. \] Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ слСдуСт Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ всС \(mp\) элСмСнтов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(C\). Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A\) ΠΈ \(B\), ΠΈΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ согласованы!

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} 2 &1 \\ 1 & 3 \\ -3 &5 \end{array} \right) . \]

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° \(A\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΈΠΏ (2,3), ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° \(B\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΈΠΏ (3,2), Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† согласнованы ΠΈ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ умноТСния \(A\) Π½Π° \(B\) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° \((2,2)\). ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: \[ AB=\left ( \begin{array}{cc} 1\cdot 2 +4 \cdot 1+(-1)\cdot (-3) & 1\cdot 1 +4 \cdot 3+(-1)\cdot 5\\ 3\cdot 2 +(-6) \cdot 1+7\cdot (-3) &3\cdot 1 +(-6) \cdot 3+7\cdot 5 \end{array} \right )= \left( \begin{array}{cc} 9 & 8\\ -21 & 20 \end{array} \right). T\).

6. Для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† \(A,B\) ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° \(det(AB)=detA \cdot detB\).

7. Рассмотрим ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ порядка \(n\), \(E=diag\{1,1,1,…,1\}\). Вакая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†: для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† \(A,B\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ \(EA=A\), \(BE=B\). ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° \(E\) называСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ порядка \(n\). Богласно описанным Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ, \(detE=1\).

1. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:

Π°) \[ \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right). \]

Π±) \[ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 &1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right). \]

2. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ \[ \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -2 \end{array} \right)^5.{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right). \]

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ порядка 2 Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ достаточно простыС. Для Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… порядков Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ становятся сущСствСнно Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠΌΠΈ.

Найти ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

1. \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right). \]

2. \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &-1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right). \]

3. \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} \right). \]

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ уравнСния

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° \[ AX=G, \quad \quad(12)\] \[ XB=G, \quad \quad(13)\] \[ AXB=G, \quad \quad(14)\] Π³Π΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \(A,B,G\) Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΈ трСбуСтся ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ \(X\).{-1}. \]

1. Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (12), Ссли \[ A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -9 & 3 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -26 & -50 \\ 27 & -15 \end{array} \right) . \]

2. Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (12), Ссли \[ A=\left( \begin{array}{cc} 8 & -7 \\ -5 & 4 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 25 & -34 \\ -16 & 22 \end{array} \right) . \]

3. Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (13), Ссли \[ B=\left( \begin{array}{cc} -8 & -5 \\ -9 & 5 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -20 & 30 \\ -19 & 20 \end{array} \right) . \]

4. Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (13), Ссли \[ B=\left( \begin{array}{cc} 9 & 8 \\ -3 & 7 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -72 & 23 \\ 0 & 58 \end{array} \right) . \]

5. Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (14), Ссли \[ A=\left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & -1 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 20 & -50 \\ 26 & 23 \end{array} \right) . \]

6. Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (14), Ссли \[ A=\left( \begin{array}{cc} -4 & -2 \\ -3 & 3 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 132 & 134 \\ 18 & 24 \end{array} \right) . \]

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°

ЛинСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°Β 

Π”Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A ΠΈ B Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ,Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚

ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ порядок ΠΈ Ссли элСмСнты стоящиС Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… мСстах Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

К Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ опСрациям относятся :

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° число

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π° число Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт

ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° это число:

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.

Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²:

Бвойства Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ

Если ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π² качСствС элСмСнтов ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠ»ΠΈ , Ρ‚ΠΎ такая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° называСтся Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

.==

.=

.

Если для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† А ΠΈ Π’ выполняСтся равСнство А* Π’=Π’*А ,Ρ‚ΠΎ

ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ пСрСстановочными.

Если для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† А , Π’ , Π‘ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл опСрация произвСдСния,

Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ равСнства

A(B*C)=(A*B)*C

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA

ВранспонированиС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Рассмотрим ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

AT называСтся транспонированной ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ A

Если AT ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° ΠΈΠ· ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ строк Π½Π° столбцы Ρ‚ΠΎ

Π½Π°Π·Π°Π²Π°ΡŽΡ‚ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ диагональю

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ:

Если А являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ(n*n), Ρ‚ΠΎ элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Если для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ выполняСтся условиС

Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А называСтся симмСтричной ΠΈ Π² этом случаС достаточно ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ элСмСнты, стоящиС Π½Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΈ элСмСнты, стоящиС Π½Π°Π΄ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ диагональю.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ,Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ стоят

Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, Π° Π²Π½Π΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ — Π½ΡƒΠ»ΠΈ, называСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.

НапримСр, Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка:

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°.

Если А ΠΈ Π’ – ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ порядка n, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΡ… произвСдСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†-сомноТитСлСй:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π’ называСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А , Ссли А ΠΈ Π’ пСрСстановочны ΠΈ А*Π’=Π’*А=Π•

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°.

Если ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ,Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚

нуля.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ А ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, Ρ‚ΠΎ

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ ,Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ произвСдСния

Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

НахоТдСниС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠšΡ€Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π°

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°.

Если квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ нуля, Ρ‚ΠΎ данная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° А Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‘ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚ нуля.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π’, такая Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

*=

Β 

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°, Π² частности, слСдуСт:

БистСма (3) –из Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с трСмя нСизвСстными, ΠΈ Ρ‚.ΠΊ. ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы (3) ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚ нуля , Ρ‚ΠΎ эту систСму ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠšΡ€Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (3) — СдинствСнно.

Аналогично ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ сущСствованиС ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π’.

Алгоритм нахоТдСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠšΡ€Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π°.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А ΠΈ Ссли ΠΎΠ½

Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π΅ сущСствуСт.

Если ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚ нуля , Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΡŽΠ·Π½ΡƒΡŽ

ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ

ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ· алгСбраичСских Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ элСмСнтов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А.

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ прСобразования ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.

Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

К элСмСнтарным прСобразованиям относятся:

  1. ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ любой строки ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° число , ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ нуля;
  2. ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

    =

  3. ΠΊ любой строкС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ строку , ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΡƒΡŽ Π½Π° любоС число;
  4. пСрСстановка Π΄Π²ΡƒΡ… строк.

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ элСмСнтарных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ

Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ эквивалСнтными

А~ Π’ , Π’~ Π‘ , А~ Π‘

ВычислСниС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ элСмСнтарных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ.

Расмотрим ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ А ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ элСмСнтарныС прСобразования эту ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ привСсти ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ .Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Сдиничная

ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° эквивалСнтна любой Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅

порядка.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

Если элСмСнтарныС прСобразования:

пСрСводят Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ А Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ , Ρ‚ΠΎ

Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ самыС прСобразования, взятыС Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ порядкС, пСрСводят

Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ для A.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°

Β 


Π½Π°Π·Π°Π΄ | ΠΎΠ³Π»Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ | Π²ΠΏΠ΅Ρ€Ρ‘Π΄


Β 

Error

Jump to… Jump to…БогласиС Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΡΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎ-тСматичСский планАвторы ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΡƒΡ€ΡΠ°Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡ для студСнтов ΠΈ прСподаватСлСйВводная лСкцияIntroductory lectureЛСкция ΠΎ систСмС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Lecture on the notation systemВидСолСкция (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Lecture (Part 1)ВидСолСкция 2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ функциями. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС. ИсслСдованиС свойств Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.1.1(Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1). ЧисловыС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈQuiz 1.1.1 (part 1)ВСст 1.1.1(Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2). ЧисловыС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈQuiz 1.1.1 (part 2)ВидСолСкция 1. Числовая ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Lecture 1. Numeric sequenceВидСолСкция 2. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» числовой ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈLecture 2. The limit of a numeric sequence.Practical lesson 1. Study of properties of a numerical sequence by conventionΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1 (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.1.2. ЧисловыС ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠ»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΡ 1. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅Lecture 1. The limit of a function at a pointВидСолСкция (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ВычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ², нСопрСдСлСнности.Practical lesson 1. Calculation of limits. UncertaintiesΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ВычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ². Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹.Practical lesson 2. Calculation of limits. Remarkable limits.Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.1.3. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² точкСВидСолСкция. ΠΠ΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅Lecture 1. Π‘ontinuity of a function at a pointΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС. ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°Practical lesson. The study of function continuity and classification of discontinuity pointsΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.1.4. ΠΠ΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² точкСВидСолСкция (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Lecture 1. Differential calculus of functions of a single variableВидСолСкция (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)Lecture 2. Differentiation of a function given parametricallyΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ЛогарифмичСскоС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ парамСтричСскиPractical lesson 1. Logarithmic differentiation. Differentiating a function defined parametricallyPractical lesson 2. Rules of differentiationΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° производныхВСст 1.1.5 ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ функцииВидСолСкция 1. ГСомСтричСский ΠΈ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидСолСкция 2. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈLecture 2. Differential of a functionΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.1.6. ГСомСтричСский ΠΈ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉQuiz 1.1.6. Geometric and physical sense of the derivativeВидСолСкция 1. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния.Lecture 1. Basic theorems of differential calculusВидСолСкция 2. ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΡΡ‚ΡŒLecture 2. The study of the monotonicity of the functionΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ИсслСдованиС свойств Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉPractical lesson 1. Studying the properties of functions using a derivativeΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ЛопиталяPractical lesson 2. L’Hospital’s ruleΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ВСст 1.1.7 (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1). ИсслСдованиС свойств Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉQuiz 1.1.7 (part 1)ВСст 1.1.7 (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2). ИсслСдованиС свойств Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉQuiz 1.1.7 (part 2)ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ВСст 1.1.8. Асимптоты Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° функцииВидСолСкция. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниСLecture. Differential and Integral CalculationΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° интСграловВСст 1.2.1. НСопрСдСлСнный интСгралВидСолСкция. НСопрСдСлСнный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»: ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ интСгрирования.Lecture. Indefinite integral: methods of integration.ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС. ВнСсСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π°Practical lesson. Adding a function under the sign of the differentialΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.2.2. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ интСгрированияВидСолСкция 1. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ1)Lecture 1. Integration of fractional-rational functions (part 1)ВидСолСкция 2. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)Lecture 2. Integration of fractionally rational functions (part 2)ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Practical lesson 1. Integration of irrational expressions (part 1)ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉPractical lesson 2. Integration of trigonometric functionsΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.2.3. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, тригономСтричСских ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… функцийВидСолСкция. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»: ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°Lecture. Definite integral: Riemann integral. ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ВычислСниС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°Practical lesson 1. Calculating a certain integralΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.2.4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ интСгралВидСолСкция LectureΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.2.5 ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ интСгралаВидСолСкция. НСсобствСнный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹Lecture. Improper integralΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.2.6. НСсобствСнныС интСгралыВидСолСкция 1. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…Lecture 1. Functions of Multiple VariablesВидСолСкция 2. ЧастныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅Lecture 2. Partial derivativesΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС. Ѐункция Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…Practical lesson. Function of several variablesΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.3.1. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… (основныС понятия)Quiz 1.3.1ВидСолСкция Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…Lecture. Differentiable functions of two variablesΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ВСст 1.3.2. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…Quiz 1.3.2ВидСолСкция 1. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ нСявноLecture 1. Differentiation of a complex function and a function given implicitlyВидСолСкция 2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π“Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Lecture 2. The directional derivative and the gradientΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Practical lesson 1. The directional derivative, the gradientΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ИсслСдованиС свойств Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽPractical lesson 2. Investigating function properties by defenition ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 3. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ нСявноPractical lesson 3. Differentiation of a composite function and differentiation of implicitly defined functionΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.3.3. ЧастныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅Quiz 1.3.3ВидСолСкция 1. ЭкстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… пСрСмСнныхВидСолСкция 2. ЭкстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ областиЗадачи для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ВСст 1.3.4. ЭкстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…Quiz 1.3.4ВидСолСкция 1. Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Lecture 1. Double integral ВидСолСкция 2. ВычислСниС Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°Lecture 2. Calculation of the double integralΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ВычислСниС Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°Practical lesson 1. Calculating a certain integralΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ВычислСниС Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°Practical lesson 2. Calculating a certain integralΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ВСст 1.3.5. Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Quiz 1.3.5ВидСолСкция. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹Lecture. Curvilinear integralsΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС. ВычислСниС ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ² I ΠΈ II Ρ€ΠΎΠ΄Π°Practical lesson. Calculating curvilinear integrals 1 and 2 kind Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 1.3.6. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ интСгралыАттСстация ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ 1Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ тСстированиС ΠΏΠΎ курсу (2-1)ВидСолСкция 1. БистСма Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ: основныС ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. БистСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉPractical lesson (part 1). Systems of linear equationsВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (лСкция 1)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 1РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1ВидСолСкция 2. РСшСниС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π“Π°ΡƒΡΡΠ°ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. РСшСниС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ гауссаPractical lesson (part 2). The system of linear equationsВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (лСкция 2)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 2РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 2ВидСолСкция 3. ИсслСдованиС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉLecture 3. A system of linear equationsPractical lesson (part 3). The system of linear equationsΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 3. ИсслСдованиС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… уравнСнийВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (лСкция 3)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 3РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 3ВСст 2.1.1. БистСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉΠ‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 3)ВидСолСкция 1. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ пространствоLecture 1. Vector spaceВидСолСкция 2. линСйная Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Базис Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространстваLecture 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. АрифмСтичСскоС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ЛинСйная Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Базис Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (лСкция 1)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 1РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (лСкция 2)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 2РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 2ВСст 2.1.2. АрифмСтичСскоС n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ пространствоБправочник (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ВидСолСкция 1. ИсслСдованиС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉLecture 1. Study systems of linear equationsВидСолСкция 2. ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ систСма Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉLecture 2. Homogeneous system of equationsΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. Π€ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉPractical lesson 1. Fundamental system of solutionsΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2Practical lesson 2ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (лСкция 1)ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (лСкция 2)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 2.1.3. ИсслСдованиС систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… уравнСнийБправочникВидСолСкция 1. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈLecture 1. Matrix determinantВидСолСкция 2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈLecture 2. Operations on matricesВидСолСкция 3. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Lecture 3. Inverse matrixΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈPractical lesson 1. The operations on matrices ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ВычислСниС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 1РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (лСкция 2)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 2РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 2ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (лСкция 3)ВСст 2.1.4. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹Quiz 2.1.4. MatricesΠ‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 3)ВидСолСкция 1. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Lecture 1. Rectangular Cartesian coordinate systemВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…Practical lesson. Solution of problems in coordinatesΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачВСст 2.2.1. Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° систСма координатБправочникВидСолСкция 1. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²Lecture 1. Scalar product of vectorsВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)ВидСолСкция 2. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ смСшанноС произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²Lecture 2. Vector and mixed products of vectorsΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²Practical lesson 1. Scalar product of vectorsΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Practical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 1РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1ВСст 2.2.2.(Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1). БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². БмСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 2РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 2ВСст 2.2.2. (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ2). БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². БмСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ВидСолСкция. УравнСния прямой Π½Π° плоскости ΠΈ Π² пространствСLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. УравнСния прямой Π½Π° плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 1РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 2РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 2ВСст 2.2.3. УравнСния прямойБправочникВидСолСкция. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямой ΠΈ плоскостиВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямой ΠΈ плоскости Practical lesson. Equation of a plane Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 1РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 2ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС плоскостСйPractical lesson 2. Relative position of planesРСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 2ВСст 2.2.4. УравнСния плоскостиБправочникВидСолСкция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 1РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1ВидСолСкция 2. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°Lecture 2. Hyperbola and parabolaВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 2РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 2ВСст 2.2.5. ΠšΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядкаБправочник (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)АттСстация ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ 2АнкСта ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈΠ˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ тСстированиС ΠΏΠΎ курсу (1-2)Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ тСстированиС ΠΏΠΎ курсу (2)ВидСолСкция 1. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидСолСкция 2. Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ случайного событияLecture 2. Probability of a random eventΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒPractical lesson 1. Classical probabilityΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ВСорСтичСский матСриалВСст 3.1.1. ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΠ’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠ»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΡ 1. Условная Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒLecture 1. Conditional probabilityΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. Условная Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ вСроятности. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° БайСсаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Условная Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Условная Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΠ’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠ»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΡ 2. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ нСзависимыС ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Ρ‹ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° БСрнуллиВСорСтичСский матСриалВСст 3.1.2. Условная Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΠ’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠ»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΡ 1. ДискрСтныС Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹Lecture 1. Discrete random variablesВидСолСкция 2. ЧисловыС характСристики дискрСтных случайных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС. ДискрСтныС случайныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹Practical lesson. Discrete random variablesΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ распрСдСлСния дискрСтных случайных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Laboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°)ВСорСтичСский матСриалВСст 3.2.1. ДискрСтныС случайныС вСличиныВидСолСкция 1. НСпрСрывныС случайныС вСличиныВидСолСкция 2. ЧастныС случаи распрСдСлСний случайных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Lecture 2. Special cases of distributions of random variablesΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС. НСпрСрывныС случайныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹Practical lesson. Continuous random variableΠ—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ). Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ распрСдСлСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… случайных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Laboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°)ВСорСтичСский матСриалВСст 3.2.2. НСпрСрывныС случайныС вСличиныВСорСтичСский матСриалВСст 3.3.1. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… чисСлВидСолСкция 1. БистСма случайных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)ВидСолСкция 2. БистСма случайных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС. БистСма случайных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ задачЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°)ВСорСтичСский матСриалВСст 3.4.1. БовмСстный Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ распрСдСлСнияВидСолСкция 1. Π₯арактСристичСская функция случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹Lecture 1. Characteristic function of a random variableВидСолСкция 2. Бвойства характСристичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹Lecture 2. Properties of characteristic functions random variable ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 1. ВычислСниС характСристичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹Practical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ занятиС 2. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° устойчивости для стандартных распрСдСлСнийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2)ВСст 3.4.2. (Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ тСстированиС ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ 1)ВидСолСкция. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия матСматичСской статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ). ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия матСматичСской статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsВСорСтичСский матСриалЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия матСматичСской ΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΡΡ‚ΠΈΠΊΠΈΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°)ВСст 3.5.1. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия матСматичСской статистикиQuiz 3.5.1.ВидСолСкция. БтатистичСскиС ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 1 (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ). БтатистичСскиС ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 1. БтатистичСскиС ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1Лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 2 (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ). ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ объСм Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 2. ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ объСм Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 2ВСорСтичСский матСриалВСст 3.5.2. БтатистичСскиС ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈQuiz 3.5.2ВидСолСкция. Π—Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ. Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ зависимостСйLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» 1Лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 1 (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1). ΠŸΠ°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ коррСляционный Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Laboratory work 1 (video, part 1). Pair correlation analysisЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 1. ΠŸΠ°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ коррСляционный анализЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 1 (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2). ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ коррСляционный анализРСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1Лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 2 (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2). ΠŸΠ°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ рСгрСссионный Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Laboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 2. ΠŸΠ°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ рСгрСссионный анализРСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 2ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» 2ВСст 3.5.3. Π—Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈQuiz 3.5.3ЛСкция. БтатистичСскиС Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹ ВСорСтичСский матСриалЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ). БтатистичСский ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Ρ…ΠΈ-ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Laboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 1. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Ρ…ΠΈ-ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Ρ…ΠΈ-ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚)Лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 2. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ ΠŸΠΈΡ€ΡΠΎΠ½Π°Π›Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° (расчСтная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°)РСшСния Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ ΠŸΠΈΡ€ΡΠΎΠ½Π°)ВСст 3.6.1. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° статистичСских Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·: основныС понятияQuiz 3.6.1ВидСолСкция. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° статистичСских Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Lecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 1 (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ). Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ срСдних Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… совокупностСй ΠΏΡ€ΠΈ извСстных диспСрсиях Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… совокупностСйLaboratory work 1. Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 1. Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ срСдних Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… совокупностСй ΠΏΡ€ΠΈ извСстных диспСрсиях Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 1)Лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 2 (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 1). Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ срСдних нСзависимых Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… совокупностСй ΠΏΡ€ΠΈ нСизвСстных диспСрсиях Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… совокупностСйLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 2 (Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2). Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ срСдних зависимых Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… совокупностСй ΠΏΡ€ΠΈ нСизвСстных диспСрсиях Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… совокупностСйLaboratory work 2 (part 2). Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 2. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° статистичСских Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π· ΠΎ сравнСнии срСдних Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… совокупностСй, Ссли Π½Π΅ извСстны диспСрсии Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΠ Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ (лабораторная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° 2)ВСорСтичСский матСриалВСст 3.6.2. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Quiz 3.6.2АттСстация ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ 3Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ тСстированиС ΠΏΠΎ курсу 1-2-3Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ тСстированиС ΠΏΠΎ курсу для матСматичСских ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΠ˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ тСстированиС ΠΏΠΎ курсу (3)

learnopengl. Π£Ρ€ΠΎΠΊ 1.7 β€” Врансформации / Π₯Π°Π±Ρ€

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹, Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Π°ΡˆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π½ΠΈΡ… тСкстуры, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ всС Π΅Ρ‰Π΅ довольно скучны, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ статичСскими ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ измСняя ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π΄Ρ€Π°, Π½ΠΎ это довольно ΠΌΡƒΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ процСссорных вычислСний. Π•ΡΡ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ способ для ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ трансформаций Π½Π°Π΄ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ β€” это ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Но это Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ сСйчас Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΡƒΠ½Π³ Ρ„Ρƒ ΠΈ искусствСнный Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΡ€.


ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ β€” это ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΡ‰Π½Ρ‹Π΅ матСматичСскиС конструкции, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ ΠΏΡƒΠ³Π°ΡŽΡ‚, Π½ΠΎ стоит ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ сразу станут ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π’ΠΎ врСмя обсуТдСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† трСбуСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ склонных ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ я ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡŽ ссылки Π½Π° Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ рСсурсы ΠΏΠΎ этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅.

Как Π±Ρ‹ Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ, для ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ понимания трансформаций ΠΌΡ‹, Π²ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Основная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° этой Π³Π»Π°Π²Ρ‹ β€” Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ основныС матСматичСскиС знания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°ΠΌ понадобятся ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅.


Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π’ самом простом ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° β€” это Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ направлСния. Π£ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° называСтся ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ). Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ сСбС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² качСствС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π΅ сокровищ: β€œΠ‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ 10 шагов Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ 3 шага Π½Π° сСвСр ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ 5 шагов направо”. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ β€œΠ½Π°Π»Π΅Π²ΠΎβ€ β€” это Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° β€œ10 ΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²β€ β€” это Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. НаправлСния Π½Π° этой ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π΅ сокровищ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· 3 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ описываСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° плоскости (ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° 2D Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅), Ссли Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ описываСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΡ€Π΅.

НиТС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ 3 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… прСдставлСн Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (x, y) Π² качСствС стрСлок Π½Π° 2D Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² 2D (Ρ‡Π΅ΠΌ Π² 3D), Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎ 2D Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ 3D Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…, Π½ΠΎ с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ z ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ. Π”ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ описываСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” позиция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ мСняСт Π΅Π³ΠΎ значСния. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v ΠΈ w ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, хотя ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ:

Когда ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ символы Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ рСгистра с нСбольшой Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ свСрху. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ… тяТСло ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: ΠΌΡ‹ устанавливаСм Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π² (0, 0, 0), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, описанноС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ получаСтся ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π·Π° Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ β€œΠ­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π² пространствС ΠΈΠ· этой точки”). ΠŸΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (3, 5) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (3, 5) Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅ с основаниСм (0, 0). Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ направлСния Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ Π² Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствах.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ матСматичСскиС дСйствия.


БкалярныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Бкаляр β€” это ΠΎΠ΄Π½ΠΎ число (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ссли Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ). Π’ΠΎ врСмя слоТСния/вычитания/умноТСния ΠΈΠ»ΠΈ дСлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр ΠΌΡ‹ просто складываСм/Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ/ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° этот скаляр. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π“Π΄Π΅ вмСсто слоТСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.


ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° β€” это ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ρ‡ΡŒΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ исходному. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π½Π° сСвСро-восток, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π½Π° юго-Π·Π°ΠΏΠ°Π΄. Для обращСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΡ‹ просто ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° -1. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:


Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² производится ΠΏΠΎΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π’ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ сумма Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² v=(4,2) ΠΈ k=(1,2) выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ с ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ слоТСниСм ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” это Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ слоТСниС, Π½ΠΎ с ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ:

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ Π² позициях ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄ΠΎΠ²:


Π”Π»ΠΈΠ½Π°

Для получСния Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ (модуля) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ со ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹.2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ расчСта Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹:

ВычислСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: 4.47

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ сущСствуСт ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. ΠžΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Π° всСгда Ρ€Π°Π²Π½Π° 1. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ любой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ этого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ:

Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ называСтся Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ. Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с нСбольшой ΠΊΡ€Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΉ Π½Π°Π΄ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ. Π‘ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π°ΠΌ приходится Π·Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.


Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² выполняСтся довольно странно. ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ смысла, Π½ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ 2 спСцифичСских ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Π°, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎ врСмя умноТСния: ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ β€” скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ изобраТаСтся ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ β€” Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ изобраТаСтся ΠΊΠ°ΠΊ крСст.


БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² эквивалСнтно скалярному ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Если это ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сбило вас с Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΡƒ, Ρ‚ΠΎ посмотритС Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

Π“Π΄Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ описан ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅Ρ‚Π°. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ интСрСсно? Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, прСдставим Ссли Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v ΠΈ k ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. БоотвСтствСнно Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° сокращаСтся Π΄ΠΎ:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ опрСдСляСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π’Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция cos становится 0, с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π² 90 градусов Π½Ρƒ ΠΈ 1 с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 0. Π­Ρ‚ΠΎ позволяСт Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ (ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹). Если Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС ΠΏΡ€ΠΎ sin ΠΈΠ»ΠΈ cosine, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ Khan Academy ΠΏΡ€ΠΎ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ.


Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π½Π΅Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ для этого Π²Π°ΠΌ придСтся Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с cos.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅? БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ слоТСниС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ².-1) Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС β€” это 143.1 градуса. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ эффСктивно вычислили ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π²ΠΎ врСмя Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ со свСтом.


Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄ Π΄Π²Π° Π½Π΅ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π° Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ. Если Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ создаст 3 ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ это выглядит Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС:

Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ Π±Π΅Π· углублСния Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ просто Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. НиТС прСдставлСно Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ A ΠΈ B.

Как Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Π² этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ смысла. Π’ любом случаС послС всСх этих шагов Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.


ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ обсудили ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всС Π½Π° счСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², настало врСмя ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, это Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΡ… ΠΈΠ· Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° чисСл, символов ΠΈ/ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ 2Ρ…3:

Доступ ΠΊ элСмСнтам ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ осущСствляСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ (i,j), Π³Π΄Π΅ i β€” это строка, Π° j β€” это столбСц. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ называСтся 2Ρ…3 (3 столбца ΠΈ 2 строки). Вакая систСма β€” ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² 2D Π³Ρ€Π°Ρ„Π°Ρ… (x, y). Для получСния значСния 4 ΠΈΠ· ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ индСкс (2, 1) (вторая строка, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ столбСц).

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ, Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ массивы матСматичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Они Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ приятным Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ матСматичСских свойств ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ нСсколько ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ β€” слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.


Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ со скаляром выполняСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Бкаляр просто прибавляСтся Π²ΠΎ всСм элСмСнтам ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π’ΠΎΠΆΠ΅ самоС происходит ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ:

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ выполняСтся поэлСмСнтно. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния ΠΈ вычитания ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π’ΠΎΠΆΠ΅ самоС, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:


Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° скаляр

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° скаляр производится ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° скаляр. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:


Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ слоТноС, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ простоС. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ нСсколько ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:


  1. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π³Π΄Π΅ число столбцов ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ совпадаСт с числом строк Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.
  2. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ. A * B != B * A.

Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† 2Ρ…2:

БСйчас, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΡƒΡ‚ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ происходит? Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† β€” это комбинация ΠΈΠ· Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния ΠΈ слоТСния с использованиСм строк Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ со столбцами ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ внСсти Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ясности:

Π’ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ строку Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ столбСц ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π°ΠΌΠΈ строка ΠΈ столбСц опрСдСляСт Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ элСмСнт Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΡ‹ собираСмся Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ. Если Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ взяли ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ строку Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ собираСмся Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ строкой Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ столбСц Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅, ΠΎΠ½ опрСдСляСт Ρ‚ΠΎ, с ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ столбцом Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ. Для вычислСния Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ-ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ниТнюю строку Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ столбСц ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

Для вычислСния Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ значСния ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ элСмСнты строки ΠΈ столбца с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ умноТСния Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. Π’ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ получаСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ (n, m), Π³Π΄Π΅ n β€” количСство строк Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅, Π° m β€” количСство столбцов Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅.

Если Ρƒ вас Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° β€” Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ»Π½ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ Ρ€ΡƒΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ этому ΡƒΡ€ΠΎΠΊΡƒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ слоТности. ВскорС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π° Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚Π΅.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°ΠΊΡ€ΠΎΠ΅ΠΌ вопрос умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ большим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ. Для прСдставлСния Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π°. Для Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ сами ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

Как Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† довольно ΠΌΡƒΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ процСсс с большим количСством мСст, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ. И эти ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ лишь растут ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². Если Π²Ρ‹ всС Π΅Ρ‰Π΅ ΠΆΠ°ΠΆΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ большС матСматичСских свойств ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† я ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ Khan Academy.


Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ использовали Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ…. ΠœΡ‹ использовали ΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ, Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° ΠΈ тСкстурныС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ углубимся Π² ΠΊΡ€ΠΎΠ»ΠΈΡ‡ΡŒΡŽ Π½ΠΎΡ€Ρƒ ΠΈ расскаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ β€” это Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ просто Nx1 ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Π³Π΄Π΅ N β€” это количСство ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Если Π²Ρ‹ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ± этом β€” это ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, прямо ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ β€” массив чисСл, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с 1 ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠΉ. И ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ эта информация? Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ссли Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° MxN ΠΌΡ‹ смоТСм Π΅Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Nx1 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ количСство столбцов ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСству строк Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Но Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΌ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€? Π”ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… 3D/2D трансформаций ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ, умноТая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, получая ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Если Π²Ρ‹ всС Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ тСкст Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²:


Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

Π’ OpenGL ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ трансформации Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ 4Ρ…4 ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 4 ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°. Бамая простая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° трансформации ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ β€” это Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°. Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° β€” это NxN ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, заполнСнная нулями, Π½ΠΎ с 1 ΠΏΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ. Как ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ эта ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ измСняСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€:

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ выглядит Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ становится ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» умноТСния: ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ элСмСнт β€” это ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ строки ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт строки Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ β€” Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 1 * 1 + 0 * 2 + 0 * 3 + 0 * 4 = 1. Π’ΠΎΠΆΠ΅ самоС примСняСтся ΠΈ ΠΊ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ 3 элСмСнтам Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ понадобится ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° трансформации, которая Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ трансформируСт? Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ являСтся ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ для Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† трансформации ΠΈ Ссли ΠΌΡ‹ углубимся Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ, это Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ удобная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.


ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ

Когда ΠΌΡ‹ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ β€” ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ стрСлки Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, сохраняя Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Пока ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ Π² 2 ΠΈΠ»ΠΈ 3 размСрностях ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ· 2 ΠΈΠ»ΠΈ 3 Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, каТдая ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· осСй (x, y ΠΈΠ»ΠΈ z).

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v = (3,2). ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ оси x Π½Π° 0.5, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сдСлаСт Π΅Π³ΠΎ Π² 2 Ρ€Π°Π·Π° ΡƒΠΆΠ΅; ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ оси y Π½Π° 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ высоту Π² 2 Ρ€Π°Π·Π°. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ссли ΠΌΡ‹ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° (0.5, 2). Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ s.

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ OpenGL Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π² 3D пространствС, соотвСтствСнно для 2D ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Z ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ, Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ 1. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΈ, являСтся Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ оси различаСтся. Если Π±Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ β€” Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ называСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ построим ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ трансформации которая Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ для нас ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ элСмСнт Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ элСмСнт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π§Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠΈ? Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ всС элСмСнты Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. БоотвСтствСнно Ссли ΠΌΡ‹ прСдставим Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ (S1, S2, S3) Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ смоТСм ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ для любого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (x, y, z):

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 4 элСмСнт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° равняСтся 1. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ w ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ использован для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.


ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° сдвига

Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ β€” это процСсс добавлСния ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ для получСния Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ-Π΅ΡΡ‚ΡŒ сдвиг Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° основании Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° сдвига. ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ обсуТдали слоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², поэтому для вас это Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅ΠΌ-Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ 4Ρ…4 Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСсколько ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΉ для выполнСния Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, для сдвига β€” это Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠ΅ 3 элСмСнта Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠΈ. Если ΠΌΡ‹ прСдставим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ сдвига ΠΊΠ°ΠΊ (Tx, Ty, Tz) β€” Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ сдвига ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС значСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° w ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ значСниями. Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ использовании ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† 3Ρ…3.


Π“ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹
ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° w Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ называСтся Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ. Для получСния 3D Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ· Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ x, y ΠΈ z ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° w. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ этого Π½Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ w Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1.0. ИспользованиС Π³ΠΎΠΌΠΎΠ³Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ нСсколько прСимущСств: ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ сдвиги Π½Π° 3D Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… (Π±Π΅Π· w ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ) ΠΈ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ w для создания 3D Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΉ.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° гомогСнная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 0 β€” Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ считаСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ направлСния, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠΉ w Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ 0 Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сдвинут.

Π‘ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ сдвига ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ всСм 3 направлСниям (x, y, z), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ эту ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ для Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.


ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° вращСния

ПослСдниС ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ трансформаций Π±Ρ‹Π»ΠΈ довольно просты для понимания ΠΈ прСдставлСния Π² 2D ΠΈΠ»ΠΈ 3D пространствС, Π½ΠΎ вращСния Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ заковыристыС. Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ эти ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ β€” Ρ‚ΠΎ я Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΡŽ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ Khan Academy ΠΏΡ€ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ.

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ β€” Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² 2D ΠΈ 3D опрСдСляСтся ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΡƒΠ³Π»Π°Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ β€” это 360 градусов ΠΈΠ»ΠΈ 2Pi соотвСтствСнно. Π― ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с градусами, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ для мСня.


Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Π½ΠΎ Π±Π»Π°Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ довольно ΠΏΡ€

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°?

Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

Π£Π·Π½Π°Π² ΠΎ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅, ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎ врСмя ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, содСрТащий постоянный ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΏΠΎΡ€Π° Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°?

Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° — это заданная квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° любого порядка, которая содСрТит Π½Π° своСй Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ элСмСнты со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎ частям ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ это ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с напоминания, Ρ‡Ρ‚ΠΎ квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° относится ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅, содСрТащСй ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ количСство строк ΠΈ столбцов.ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ опрСдСляСтся Π΅Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ, Π° Π΅Π΅ главная диагональ относится ΠΊ массиву элСмСнтов Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ линию ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΊ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ. Учитывая характСристики Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот Ρ‚ΠΈΠΏ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ.

Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° — это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ всС элСмСнты Π΅Π΅ элСмСнтов Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ элСмСнтов, находящихся Π½Π° Π΅Π΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ. Π’ этом случаС всС Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, ΠΈ это ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.
Π’ случаС обозначСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° слуТит ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ, эквивалСнтным Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ Π² числовой Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ (другая ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ½Π° называСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° эквивалСнтна Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π½ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС это алгСбраичСский ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ с Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ массива, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² опСрациях с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ массивами упорядочСнных чисСл (Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ).
Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим свойства Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ больший смысл, особСнно Π² случаС умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ (см. Бвойство Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ 3).ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° прСдставлСна ​​как:
Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1: ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ НС ΠΏΡƒΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ с ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΆΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… элСмСнтов, сколько Π΅Π΅ порядок (обозначаСтся субиндСксом n Π² Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅, находящСмся Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части уравнСния). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† идСнтичности Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† идСнтичности Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ порядок ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ относится ΠΊ количСству содСрТащихся Π² Π½Π΅ΠΉ строк ΠΈ столбцов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΅Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ mxn.ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ, ΠΎΠ½Π° содСрТит ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ количСство строк ΠΈ столбцов, поэтому Π΅Π΅ порядок ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ просто ΠΊΠ°ΠΊ nxn ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ субиндСкс, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² уравнСниях 1 ΠΈ 2, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ » n «(учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ m ΠΈ n, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ записи ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· этих Π±ΡƒΠΊΠ² Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° Π² качСствС субиндСкса для описания порядка Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†).
Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ 2 ΠΌΡ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ I2 относится ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ с двумя строками ΠΈ двумя столбцами, которая Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π° элСмСнта Π½Π° своСй Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ; ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ I3 соотвСтствуСт Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ порядка 3 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅, содСрТащСй Ρ‚Ρ€ΠΈ строки ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ столбца ΠΈ 3 элСмСнта Π½Π° своСй Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ; ΠΈ систСма ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ продолТаСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ для любого субиндСкса n.

Бвойства ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ идСнтичности

  1. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° всСгда являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ:
    Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 1 ΠΈ 2, порядок Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ всСгда Ρ€Π°Π²Π΅Π½ n, Ρ‡Ρ‚ΠΎ относится ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌ nxn (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ всСгда ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ количСство строк ΠΈ столбцов Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°).
  2. Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° способна ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ любого порядка (размСрности), Ссли ΠΎΠ½Π° соотвСтствуСт ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ:
    1. Если ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ количСством столбцов, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ количСство строк Π² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅.Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π½Π΅Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ
    2. Если Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° являСтся Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ количСство строк, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, которая ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π΅Π΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ столбСц. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° исходят ΠΈΠ· условий умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.
    3. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», Ссли Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, которая Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ нССдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° умноТСния, нСзависимо ΠΎΡ‚ порядок, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°.
  3. БлСдуя Π΄Π²ΡƒΠΌ уравнСниям ΠΈΠ· Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ свойства, объяснСнного Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΈΠ· всСх свойств Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π² уравнСниях 3 ΠΈ 4: всякий Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ (слСдуя ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ для умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†) Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ задСйствованной Π½Π΅Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ говоря: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Если Π·Π°Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, это эквивалСнт умноТСния ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ (Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ).Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ число, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ, Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ исходноС число. Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС касаСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ всСгда являСтся ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ исходная нССдиничная (нССдиничная) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ объяснялось Ρ€Π°Π½Π΅Π΅, Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ псСвдоним «Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Β».
  4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ порядка, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ говоря: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π΅ΠΉ ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΡƒΡ‡Π°ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.ΠœΡ‹ оставим объяснСниС ΠΎΠ± ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ… для ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ², начиная с Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎΠ± ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ… 2×2. На Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ просто Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· свойств Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
  5. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ In всСгда Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, Π° Π΅Π΅ слСд Ρ€Π°Π²Π΅Π½ n. Π₯отя ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ Π½Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ любой Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ диагональ этих ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† содСрТит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π½ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΠΈ.ΠœΡ‹ прСдставим ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡŽ опрСдСлитСля Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ называСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ 2×2, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ объяснСн Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ.
    Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, этот слСд Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ. К настоящСму Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слСд ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ относится ΠΊ слоТСнию элСмСнтов, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° Π΅Π΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты, всС Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡ… всСх для получСния трассировки Ρƒ вас всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ элСмСнтов, сколько соотвСтствуСт порядку Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ n.Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° возьмСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ порядка 3×3 Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 3×3, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, n = 3 для этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, слСд прСдставляСт собой слоТСниС элСмСнтов Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов значСния 1, слоТСнных Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ, ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, слСд Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, слСд Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ n .
  6. ПослСднСС свойство ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с вопроса: ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΠ° Π»ΠΈ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.ΠœΡ‹ объясним большС ΠΏΠΎ этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π² нашСм ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΎΠ± ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ 2×2, Π° ΠΏΠΎΠΊΠ° просто ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅: инвСрсия Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ сама ΠΏΠΎ сСбС. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 8: Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΊΠ°ΠΊ обратная ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Π°Ρ сама сСбС. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, обратная Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, — это сама ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΈΡ… вмСстС. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ· нашСго Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ свойства, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π΅Π΅ ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€ΡΠΈΡŽ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, ΠΈ поэтому ΠΌΡ‹ вычислили ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для этого случая (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ 8) ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ инвСрсия Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ 2×2 Π΅ΡΡ‚ΡŒ сама.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойства, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ этого ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Учитывая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9: ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A ΠΈ B Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ:
  1. I3β‹…AI_ {3} \ cdot AI3 β‹…A
    Π’ этом случаС Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ свойства Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹: ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с использованиСм Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Ссли опрСдСлСнная ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ нССдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° (Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° A).Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, это ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ происходит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 10: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† с использованиСм Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹
  2. 2A + 4I32A + 4I_ {3} 2A + 4I3
    Для этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ вычисляСм Π΄Π²Π° случая скалярного умноТСния, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 3×3. РСшСниС Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 11: слоТСниС Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ скалярных ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
  3. βˆ’4B + 2I2-4B + 2I_ {2} βˆ’4B + 2I2
    Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·, эта опСрация состоит Π² использовании Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ для слоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… скалярных ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π³Π΄Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2×2.РСшаСм ΠΈΡ… Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12: слоТСниС Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ скалярных ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
  4. I2β‹…BI_ {2} \ cdot BI2 β‹…B
    По Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌΡƒ свойству ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ этого умноТСния являСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° B: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 13: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ 2×2 Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ порядка
  5. 0β‹…I40 \ cdot I_ {4} 0β‹…I4
    Π’ этом случаС Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° ноль, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нулСвая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 14: БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ инвСрсными Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ:
  1. ИмСя ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ X ΠΈ Y, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 15: ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ X ΠΈ Y ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ X β‹… \ cdotβ‹… Y: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 16: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† X ΠΈ Y Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ X ΠΈ Y ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.
  2. ИмСя ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A ΠΈ B, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 17: ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ A ΠΈ B ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ A β‹… \ cdotβ‹… B: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 18: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† A ΠΈ B Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, A ΠΈ B ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°.
  3. ИмСя ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ C ΠΈ D, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 19: ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ C ΠΈ D ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ C β‹… \ cdotβ‹… D: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 20: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† C ΠΈ D Π₯отя ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, получСнная Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ°, ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ являСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, эта опСрация ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ C ΠΈ D НЕ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.
  4. ИмСя ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ E ΠΈ F, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 21: ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ E ΠΈ F ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ E β‹… \ cdotβ‹… F: Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 22: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† E ΠΈ F Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, E ΠΈ F ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°.
Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅ΠΌ этот ΡƒΡ€ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈ Π΅Π΅ свойства. Π’ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ… ΠΈΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для простоты ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.
ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΉΠ΄Π΅ΠΌ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΡ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ссылку, ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, ΠΈ эту ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ, которая связываСт Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, говоря ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ свойствС умноТСния любой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ. Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ порядка (Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ описано Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ свойствС Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ этого ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°) ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ это Π½Π΅ примСняСтся ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ умноТСниям ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.
Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π° сСгодня всС, Π΄ΠΎ встрСчи Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅!

Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈ Π΅Π΅ свойства

Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° — это квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, которая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ для всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… элСмСнтов.Π­Ρ‚Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° часто записываСтся просто ΠΊΠ°ΠΊ \ (I \) ΠΈ отличаСтся Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ дСйствуСт ΠΊΠ°ΠΊ 1 ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Π’ этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим это свойство ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ, связанныС с тоТдСствСнными ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ.

Ρ€Π΅ΠΊΠ»Π°ΠΌΠ°

Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° всСгда являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ

Π₯отя ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ «Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Β», ΠΌΡ‹ часто Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎΠ± Β«Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅Β». Для любого Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа \ (n \) сущСствуСт ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° \ (n \ times n \).Π­Ρ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ количСство строк ΠΈ столбцов всСгда ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅.

Π’ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ индСкс. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π° рисункС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ \ (2 \ times 2 \) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ \ (I_2 \), Π° ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ \ (3 \ times 3 \) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ \ (I_3 \).

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ любой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π°Π΅Ρ‚ саму ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ всСгда опрСдСляСтся.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ \ (m \ times n \) \ (A \) ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ:

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° учитываСтся Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 1 с числами. НапримСр, рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° \ (2 \ times 4 \), ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² Π½Π΅ΠΉ 2 строки ΠΈ 4 столбца. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (I_2 A = A \):

ΠΈ \ (A I_4 = A \):

Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ всС Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅.Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½ΠΈΠΆΠ΅, Π³Π΄Π΅ \ (B \) — ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° \ (2 \ times 2 \). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тоТдСство \ (2 \ times 2 \) ΠΊΠ°ΠΊ для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ для Π»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† всСгда тоТдСство

Одна ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ, интСнсивно ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, — это концСпция ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ.Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹:

Для этих ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† \ (AB = BA = I \), Π³Π΄Π΅ \ (I \) — Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° \ (2 \ times 2 \).

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \ (A \) ΠΈ \ (B \) — ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ эту идСю ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ здСсь: ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ°

Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° — это Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ идСя ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ — нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ с простым ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°Ρ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹, ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прСдставлСния ΠΎΠ± этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅.

ΠŸΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° Π½Π°ΡˆΡƒ рассылку новостСй!

ΠœΡ‹ всСгда ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΡƒΠ΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ бСсплатныС ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ ΠΈ добавляСм Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ пособия, руководства ΠΏΠΎ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ ΠΈ ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ элСктронныС письма (Ρ€Π°Π· Π² ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈ) с ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ½ΠΊΠ°Ρ…!

БвязанныС

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° идСнтичности — ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ

ΠŸΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ .ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ± Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Π›ΡŽΠ±Π°Ρ квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, умноТСнная Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² слСва ΠΈΠ»ΠΈ справа, Π½Π΅ мСняСтся. Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

ΠœΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ…, ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ваТная квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° — это Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅.Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ взглянСм Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ a, b ΠΈ i, я сначала Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° i, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ 1 ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 1, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ 1 плюс 0, Π±Ρ‹Π»ΠΎ 1, 0-1 это -1, 3 + 0 это 3 ΠΈ 0+ 0 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0, поэтому ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: 1, -1,3,0 1, -1,3,0 Π― ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ· этого ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°, Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ это просто ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° a.
А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΡ‚Π΅ ΠΌΠ½Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ i Π½Π° b, Ρ‚Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚ i ΠΈ Π²ΠΎΡ‚ b, я ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ 2 + 0 2, здСсь 3 + 0 3, я ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ 0-1 -1, ΠΈ я ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ 0 + 4 4 ΠΈ снова 2,3 -1 , 4 Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° b, поэтому ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° эту ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ i, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 8 Ρ€Π°Π· i Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ просто a, i ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ b Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ просто b, i называСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.Π­Ρ‚ΠΎ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° порядка 2, поэтому Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° — это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ стоят Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, Π° Π²ΠΎ всСм ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ — Π½ΡƒΠ»ΠΈ. Π£ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… порядков ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ½ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ. Π’ΠΎΡ‚ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° порядка 3, Π²ΠΎΡ‚ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° порядка 4, ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, Ссли я ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 3 Π½Π° 3 Π½Π° эту ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, ΠΎΠ½Π° останСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ это число 1, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ 5 Π½Π° 1, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ 5, поэтому ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ число остаСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ.
Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Π° Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ выпускС.

6.2 — ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ

6.2 — ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ

РавСнство

Π”Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°

  • ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ
  • Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ элСмСнты ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

  • ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅
  • Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ элСмСнты вмСстС
  • ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° слоТСния коммутативная
  • ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° слоТСния ассоциативна

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅

  • ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅
  • Π’Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ элСмСнты
  • Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл)
  • ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ассоциативноС (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл)

БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Бкаляр — это число, Π° Π½Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°.

  • ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ любого порядка
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ всС элСмСнты Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ Π½Π° скаляр
  • БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ
  • БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ассоциативно

НулСвая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

  • ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° любого Π·Π°ΠΊΠ°Π·Π°
  • Бостоит ΠΈΠ· всСх Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ
  • ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ O
  • Аддитивный ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
  • Π›ΡŽΠ±Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° плюс нулСвая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° являСтся исходной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

A m Γ— n Γ— B n Γ— p = C m Γ— p

  • ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ столбцов Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСство строк Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅.Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ.
  • ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ произвСдСния — это количСство строк Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ Π½Π° количСство столбцов Π² вторая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π³Π°Π±Π°Ρ€ΠΈΡ‚Ρ‹ издСлия — это Π³Π°Π±Π°Ρ€ΠΈΡ‚Ρ‹ внСшниС.
  • ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ количСство столбцов Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСству строк Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ записи.
  • ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт Π² строкС i ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ с элСмСнтом Π² столбцС j ΠΈΠ· вторая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°.
  • Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π² строкС i , столбцС j ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° формируСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ умноТСния этих ΠΏΠ°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов. ΠΈ суммируя ΠΈΡ….
  • ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π΅ прСдставляСт собой сумму ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ элСмСнтов ΠΈΠ· строка i ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ столбСц j Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.
  • Π‘ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ n ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π΅.

Π‘ΠΌ. ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ

  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  • Π’Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ порядка ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.

НС просто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ элСмСнты вмСстС

  • ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ порядок (Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ элСмСнты ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ вмСстС.
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ строки ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ столбца Π½Π° столбцы Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ слоТитС.

НСт ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ дСлСния

  • НСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ процСсса для дСлСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ.
  • ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° скаляром.

Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

  • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°
  • Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ
  • Нули Π²Π΅Π·Π΄Π΅
  • ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ I. Если ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ индСкс, это порядок Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.
  • I — ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ тоТдСство для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
  • Π›ΡŽΠ±Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, умноТСнная Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, являСтся исходной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ, хотя порядок ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ

Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° 2

Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° 3

I 3 = 1 0 0
0 1 0
0 0 1

Бвойства ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Π˜ΠΌΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€
ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния А + Π’ = Π’ + А
ΠΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния А + (Π’ + Π‘) = (А + Π’) + Π‘
ΠΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ скалярного умноТСния (ΠΊΠ΄) А = с (дА)
Бкалярная ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1А = А (1) = А
Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ c (A + B) = cA + cB
Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (с + Π³) А = сА + дА
Аддитивный ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ А + О = О + А = А
ΠΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ умноТСния А (Π’Π‘) = (АВ) Π‘
Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ A (B + C) = AB + AC
Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ (А + Π’) Π‘ = АБ + Π’Π‘
Бкалярная Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ / ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ c (AB) = (cA) B = A (cB) = (AB) c
ΠœΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Π°Ρ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ IA = AI = A

Бвойства Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ свойствами ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ умноТСния

  • Π’Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ порядок Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ умноТСния ΠΈ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚.AB β‰  BA
  • Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ остороТны ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ боковая сторона. AX + BX = (A + B) X ΠΈ XA + XB = X (A + B), Π½ΠΎ AX + XB Π½Π΅ учитываСтся.

Бвойство Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°

  • Π’ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ, Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΈΠΌ Π±Ρ‹Π»Π° нулСвая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°.

ΠœΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство равСнства

  • Если A = B, Ρ‚ΠΎ AC = BC. Π­Ρ‚ΠΎ свойство всС Π΅Ρ‰Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ AC = BC, Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ A = B.
  • ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ остороТны, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ послС умноТСния с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон уравнСния. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ссли A = B, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° AC = BC ΠΈΠ»ΠΈ CA = CB, Π½ΠΎ AC β‰  CB.

НСт ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ дСлСния

  • Надо ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ f (x) = x 2 — 4x + 3 ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ A

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ° ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ f (A) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ x с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ A, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ f (A) = A 2 — 4A + 3.Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ нСбольшоС ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ. ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° 3 Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, ΠΈ Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ скаляры вмСстС. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ константа ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ идСнтичности.

f (A) = A 2 — 4A + 3I.

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ слоТитС ΠΈΡ….

A 2 = 1 2 * 1 2 = 7 10
3 4 3 4 15 22
-4 А = -4 1 2 = -4-8
3 4 -12 -16
3I = 3 1 0 = 3 0
0 1 0 3
f (А) = 7 10 + -4-8 + 3 0 = 6 2
15 22 -12 -16 0 3 3 9

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ выраТСния

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π°.Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ эта ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ дСлСния.

2X + 3X = 5X

AX + BX = (A + B) X

Π₯А + Π₯Π’ = Π₯ (А + Π’)

AX + 5X = (A + 5I) X

AX + XB Π½Π΅ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚

РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

БистСму Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ AX = B, Π³Π΄Π΅ A — коэффициСнт ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, X — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбСц, содСрТащий ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, Π° B — правая боковая сторона. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Если сущСствуСт Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ коэффициСнтом ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ B, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½Π° содСрТала Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ столбца. Π‘Ρ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π² свой столбСц.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ суммированиС произвСдСния. Π­Ρ‚ΠΎ умСстно Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π²Ρ‹ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π²Π΅Ρ‰ΠΈ вмСстС, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ. НапримСр, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ количСства Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρƒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ выполнСния ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.Π­Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ для ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° — это этикСтки строк ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ столбцов вторая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°.

4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ: ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, Ссли количСство столбцов Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ совпадаСт с количСством строк Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

a) Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ 2 Γ— 3 Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 3 Γ— 4 Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΈ это Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2 Γ— 4 Π² качСствС ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°.

b) ДопускаСтся ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ 7 Γ— 1 Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 1 Γ— 2; это Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 7 Γ— 2

c) НЕЛЬЗЯ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 4 Γ— 3 Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2 Γ— 3.

Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 2 ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит. ПозТС ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ чисСл.

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° возьмСм ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2 Γ— 3, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 3 Γ— 2.

`[(a, b, c), (d, e, f)] [(u, v), (w, x), (y, z)]`

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 2 Γ— 2.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈ складываСм элСмСнты ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. ΠœΡ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ 1-ΠΉ строкС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, поэлСмСнтно умноТая Π½Π° 1-ΠΉ столбСц Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ² . Наш ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ находится Π² ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ a 11 (Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…Ρƒ слСва) ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ².

ΠœΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ процСсс для 1-ΠΉ строки ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ 2-Π³ΠΎ столбца Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ помСщаСтся Π² ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΡŽ a 12 .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ займСмся Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ строкой ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ столбцом Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ помСщаСтся Π² ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΡŽ a 21 .

НаконСц, ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ строку ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ столбСц Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ помСщаСтся Π² ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΡŽ a 22 .

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ умноТСния Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ:

`[(a, b, c), (d, e, f)] [(u, v), (w, x), (y, z)]` `= [(au + bw + cy, av + bx + cz), (du + ew + fy, dv + ex + fz)] `

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° числовой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Π°

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π§ΠΠΠ˜Π•: Если Π²Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Ρƒ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π½Π° этой страницС Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ всС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ:

`((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Π­Ρ‚ΠΎ 2 Γ— 3 ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3 Γ— 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎ даст Π½Π°ΠΌ 2 Γ— 2 ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ.

`((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

`= ((0xx3 + -1xx1 + 2xx6,0xx-1 + -1xx2 + 2xx1), (4xx3 + 11xx1 + 2xx6,4xx -1 + 11xx2 + 2xx1))`

`= ((0-1 + 12,0-2 + ​​2), (12 + 11 + 12, -4 + 22 + 2))`

`= ((11,0), (35,20))`

Наш ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ — ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 2 Γ— 2.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† 2 Γ— 2

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ² для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ любого Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°. ΠœΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° строк ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ Π½Π° столбцов Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ поэлСмСнтно. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ добавляСм ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹:

`((a, b), (c, d)) ((e, f), (g, h))` `= ((ae + bg, af + bh), (ce + dg, cf + dh )) `

Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2 Γ— 2 Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2 Γ— 2 ΠΈ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2 Γ— 2.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ:

`((8,9), (5, -1)) ((- 2,3), (4,0))`

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

`((8,9), (5, -1)) ((- 2,3), (4,0))`

`= ((8 xx -2 + 9xx4,8xx3 + 9xx0), (5xx-2 + -1xx4,5xx3 + -1xx0))`

`= ((-16 + 36,24 + 0), (- 10+ -4,15 + 0))`

`= ((20,24), (- 14,15))`

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ систСмы ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ систСму Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

БистСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

βˆ’3 x + y = 1

6 x -3 y = βˆ’4

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ:

`((-3,1), (6, -3)) ((x), (y)) = ((1), (- 4))`

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

идСально подходят для ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Ρ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ массивы . ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ алгСбраичСскиС символы. ΠšΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ пСрвая ΠΈ послСдняя ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ 1 — ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Care с записью ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† .

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ выраТСния ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:

AB — это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

A Γ— B — это пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

A * B ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΎΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π½Π° Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π΅

A β€’ B Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ скаляр .

[Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ скалярных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Ρ… см. Π’ Π³Π»Π°Π²Π΅ Β«Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Β».]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ 2 — ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ `AB = BA`?

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ, ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π° Π»ΠΈ это Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

Если

`A ​​= ((0, -1,2), (4,11,2))`

ΠΈ

`B = ((3, -1), (1,2), (6,1))`

Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ AB, ΠΈ BA.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

ΠœΡ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΈ AB Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π±Ρ‹Π»:

`AB = ((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

`= ((11,0), (35,20))`

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ BA — это (3 Γ— 2) (2 Γ— 3), Ρ‡Ρ‚ΠΎ даст 3 Γ— 3:

`BA = ((3, -1), (1,2), (6,1)) ((0, -1,2), (4,11,2))`

`= ((0-4, -3-11,6-2), (0 + 8, -1 + 22,2 + 4), (0 + 4, -6 + 11,12 + 2))`

`= ((-4, -14,4), (8,21,6), (4,5,14))`

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² этом случаС AB НЕ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ BA.

ЀактичСски, для Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† нСльзя ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ порядок умноТСния ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ коммутативности Π½Π΅ выполняСтся, Ρ‚.Π΅. AB β‰  BA . Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° распространСнных ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ:

.
  • Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°: IA = AI = A .?
  • , инвСрсия ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹: A -1 A = AA -1 = I.

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6 — Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ

Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

`A ​​= ((- 3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5))`

Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ AI .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

`AI = ((-3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5)) ((1,0,0), (0,1,0), (0 , 0,1)) `

`= ((- 3 + 0 + 0,0 + 1 + 0,0 + 0 + 6), (3 + 0 + 0,0 + -1 + 0,0 + 0 + 0), (4 + 0 + 0,0 + 2 + 0,0 + 0 + 5)) `

`= ((- 3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5))`

`= A`

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π΅ мСняСт значСния исходной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

AI = A

УпраТнСния

1. Если Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ BA ΠΈ AB .

`A = ((- 2,1,7), (3, -1,0), (0,2, -1))`

`B = (4 \ \ -1 \ \ \ 5)`

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

`BA = (4 \ \ -1 \ \ \ 5) ((- 2,1,7), (3, -1,0), (0,2, -1))`

`= (-8 + (- 3) +0 \ \ \ 4 + 1 + 10 \ \ \ 28 + 0 + (- 5))`

`= (- 11 \ \ 15 \ \ 23)`

AB Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.(3 Γ— 3) Γ— (1 Γ— 3).

2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, Ссли B = A -1 , учитывая:

`A = ((3, -4), (5, -7))`

`B = ((7,4), (5,3))`

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Если B = A -1 , Ρ‚ΠΎ AB = I.

`AB = ((3, -4), (5, -7)) ((7,4), (5,3))`

`= ((21-20,12-12), (35-35,20-21))`

`= ((1,0), (0, -1))`

`! = I`

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, B НЕ являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ A.2 + 0)) `

`= ((1,0), (0,1))`

`= I`

4. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для управлСния Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌΠ°.

`((cos \ 60 Β°, -sin \ 60 Β°, 0), (sin \ 60 Β°, cos \ 60 Β°, 0), (0,0,1)) ((2), (4), ( 0)) `

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

`((cos \ 60 Β°, -sin \ 60 Β°, 0), (sin \ 60 Β°, cos \ 60 Β°, 0), (0,0,1)) ((2), (4), ( 0)) `

`= ((2 (0,5) -4 (0,866) +0), (2 (0,866) +4 (0,5) +0), (0 + 0 + 0))`

`= ((- 2,464), (3,732), (0))`

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡ этого Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€ΡƒΠΊΠ° Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‚Π° двиТСтся ΠΈΠ· позиция (2, 4, 0) Π² ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΡŽ (-2.46, 3.73, 0). Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ это пСрСмСщаСтся Π² плоскости x-y , Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ высота остаСтся Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ z = 0 . ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 3 Γ— 3, содСрТащая sin ΠΈ ЗначСния cos говорят, Π½Π° сколько градусов Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°

ΠœΠ°Ρ€ΠΊΠΎ Π’Π°Π±ΠΎΠ³Π°, Π΄ΠΎΠΊΡ‚ΠΎΡ€ философии

Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° — это квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, всС Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, Π° Π½Π΅Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ идСнтичности ΠΈΠ³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅.Π’ частности, ΠΈΡ… Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ число 1 Π² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числа:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

НиТС приводится Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, записи, индСкс строки ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈ индСкс столбца ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ (Ρ‚.Π΅. элСмСнты, располоТСнныС Π½Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ . ВсС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ записи Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ .

Когда , Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° запись, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† идСнтичности.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π’ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° являСтся

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π’ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° являСтся

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π’ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° являСтся

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ с тоТдСствСнной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹ΠΌ свойством являСтся Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° остаСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Π½Π° Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°. {- 1} [A] = [I] [/ latex].

Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния

ΠŸΠΎΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π΅ свойства

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹
  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ коммутативности — ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π² любом порядкС.
  • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌΠΎΠΉ, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ.
  • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ [latex] \ begin {pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {pmatrix} [/ latex], установитС [latex] \ begin {pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ latex].Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ для [латСкс] a [/ латСкс], [латСкс] b [/ латСкс], [латСкс] c [/ латСкс] ΠΈ [латСкс] d [/ латСкс].
ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹
  • сингулярная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° : ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ.
  • ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° : ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС чисСл ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ прСдставлСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ².
  • обратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° : квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° [латСкс] [A] [/ latex] с связанной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ [latex] [B] [/ latex], такая Ρ‡Ρ‚ΠΎ [latex] [A] [/ latex] умноТаСтся Π½Π° [latex] [B] [/ latex] ΠΈ [latex] [B] [/ latex], ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° [latex] [A] [/ latex], ΠΎΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅.
  • Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° : Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, всС Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ [latex] 1 [/ latex], Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ [latex] 0 [/ latex].

УбСдившись, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число [latex] 1 [/ latex] ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡΠΎΠ±ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, [latex] 1x = x [/ latex], число, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ числу, опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ умноТаСтся Π½Π° это число, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ [ латСкс] 1 [/ латСкс]. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° [latex] B [/ latex] являСтся инвСрсиСй ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ [latex] A [/ latex], Ссли ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ [латСкс] A \ cdot B [/ latex] ΠΈΠ»ΠΈ [latex] B \ cdot A [/ латСкс] Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ.{-1} [A] = [I] [/ latex]

Π“Π΄Π΅ [latex] [I] [/ latex] — это Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, это ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ коммутативности — ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π² любом порядкС.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€ΡΠΈΡŽ. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ основано Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ [latex] [I] [/ latex], ΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ установлСно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ нахоТдСния ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ исходит нСпосрСдствСнно ΠΈΠ· опрСдСлСния вмСстС с нСбольшой Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΉ.

Поиск ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: НайдитС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: [latex] \ begin {pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {pmatrix} [/ latex]

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

[латСкс] \ displaystyle \ begin {pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ latex]

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²ΠΎΠΉ шаг.Он устанавливаСт [latex] \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} [/ latex] ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ, утвСрТдая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° заполняСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ этой Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π½Π°ΡˆΡƒ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ получаСтся [латСкс] [I] [/ латСкс]. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ для Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… [латСкс] a [/ латСкс], [латСкс] b [/ латСкс], [латСкс] c [/ латСкс] ΠΈ [латСкс] d [/ латСкс], обратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ.

Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

[латСкс] \ displaystyle \ begin {pmatrix} 3a + 4c & 3b + 4d \\ 5a + 6c & 5b + 6d \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix } [/ латСкс]

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт слСва Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ элСмСнту справа.Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эти Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ:

[латСкс] \ displaystyle 3a + 4c = 1 [/ латСкс]

[латСкс] \ displaystyle 3b + 4d = 0 [/ латСкс]

[латСкс] \ displaystyle 5a + 6c = 0 [/ латСкс]

[латСкс] \ displaystyle 5b + 6d = 1 [/ латСкс]

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° уравнСния для [latex] a [/ latex] ΠΈ [latex] c [/ latex] ΠΈ Π΄Π²Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… уравнСния для [latex] b [/ latex] ΠΈ [latex] d [/ latex], ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π°.

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹:

[латСкс] \ displaystyle a = -3 [/ latex]

[латСкс] \ displaystyle b = 2 [/ латСкс]

[латСкс] \ displaystyle c = 2 \ frac12 [/ латСкс]

[латСкс] \ displaystyle d = -1 \ frac 12 [/ латСкс]

РСшив для Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ [латСкс] \ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 \ frac 12 & -1 \ frac 12 \ end {pmatrix} [/ latex].

Если Π±Ρ‹Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° обратная, Ρ‚ΠΎ для быстрой ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π½Π° ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ, Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ:

[латСкс] \ displaystyle \ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 \ frac 12 & -1 \ frac 12 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {pmatrix} [/ латСкс]

ПослС умноТСния получаСтся:

[латСкс] \ displaystyle \ begin {pmatrix} (-3) (3) + (2) (5) & (-3) (4) + (2) (6) \\ (2 \ frac 12) (3 ) _ + (- 1 \ frac 12) (5) & (2 \ frac 12) (4) + (- 1 \ frac 12) (6) \ end {pmatrix} [/ latex]

Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚:

[латСкс] \ displaystyle \ begin {pmatrix} -9 + 10 & -12 + 12 \\ 7 \ frac 12-7 \ frac 12 & 10-9 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \ \ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ латСкс]

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅.Но ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ!

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ это, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… порядках, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ порядка умноТСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† мСняСт ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… направлСниях.

[латСкс] \ displaystyle \ begin {pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 \ frac 12 & -1 \ frac 12 \ end {pmatrix} [/ латСкс]

ПослС умноТСния ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

[латСкс] \ displaystyle \ begin {pmatrix} (3) (- 3) + (4) (2 \ frac 12) & (3) (2) + (4) (- 1 \ frac 12) \\ (5 ) (- 3) _ + (6) (2 \ frac 12) & (5) (2) + (6) (- 1 \ frac 12) \ end {pmatrix} [/ latex]

Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚:

[латСкс] \ displaystyle \ begin {pmatrix} -9 + 10 & 6-6 \\ -15 + 15 & 10-9 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ латСкс]

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, обратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… направлСниях.

Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, обратная ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π½Π΅ сущСствуСт. Π­Ρ‚ΠΎ называСтся особой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.

РСшСниС систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с использованиСм ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†

БистСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π° с использованиСм ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния.

Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° использования ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹
  • ИспользованиС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠ½ΠΈΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΡƒ Π½Π° вас.НапримСр, рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ уравнСния: [латСкс] x + 2y-z = 11 [/ latex], [latex] 2x-y + 3z = 7 [/ latex] ΠΈ [latex] 7x-3y-2z = 2 [ /латСкс].
  • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ эти уравнСния с использованиСм ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, ΠΌΡ‹ сначала опрСдСляСм [латСкс] 3 \ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3 [/ латСкс] ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ [латСкс] [A] [/ латСкс], которая являСтся коэффициСнтами всСх ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ: [латСкс] [A] = \ begin {bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 7 & -3 & -2 \ end {bmatrix} [/ latex] Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ [латСкс] 3 \ times 1 [/ latex] matrix [latex] [B] [/ latex], ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой числа справа ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² равСнства: [latex] [B] = \ begin {bmatrix} 11 \\ 7 \\ 2 \ end {bmatrix }.[/ латСкс]
  • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΌΡ‹ просто ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ [латСкс] [A] [/ латСкс] Π½Π° [латСкс] [B] [/ латСкс]. ΠŸΡ€ΠΎΡ‰Π΅ всСго это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ [латСкс] 3 \ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 1 [/ латСкс], которая Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы ΠΊΠ°ΠΊ: [латСкс] x = 3 [/ латСкс], [латСкс] y = 5 [/ латСкс] ΠΈ [латСкс] z = 2 [/ латСкс].
ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹
  • обратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° : для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ [латСкс] [A] [/ latex], Ссли сущСствуСт такая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° [latex] [B] [/ latex], Ρ‡Ρ‚ΠΎ [latex] [A] [/ latex] умноТаСтся Π½Π° [ latex] [B] [/ latex] ΠΈ [latex] [B] [/ latex], ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° [latex] [A] [/ latex], ΠΎΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° [latex] [B] [/ latex] Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ инвСрсия [латСкс] [A] [/ латСкс].
  • Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ : полиномиальноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, [латСкс] x = 2y-7 [/ latex]).

БистСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния. Π’ Π³Π»Π°Π²Π΅, посвящСнной систСмным уравнСниям, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° уравнСния с двумя нСизвСстными. Но ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ уравнСния с трСмя нСизвСстными? Или Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΡ‚ΡŒ? Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ситуации Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΡ€Π΅.И Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли Π²Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, совсСм Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ​​задачу Π² Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½Ρ‹Π΅ сроки.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ систСму Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

[латСкс] \ displaystyle x + 2y-z = 11 \ 2x-y + 3z = 7 \ 7x-3y-2z = 2 [/ latex]

Π¨Π°Π³ 1. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ [latex] A [/ latex], которая состоит ΠΈΠ· коэффициСнтов всСх ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈΠ· Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части Π·Π½Π°ΠΊΠ° равСнства:

[латСкс] \ displaystyle [A] = \ begin {bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 7 & -3 & -2 \ end {bmatrix} [/ latex]

Π¨Π°Π³ 2. Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΡŒΡ‚Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ [latex] B [/ latex], которая состоит ΠΈΠ· констант, стоящих справа ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ° равСнства:

[латСкс] \ displaystyle [B] = \ begin {bmatrix} 11 \\ 7 \\ 2 \ end {bmatrix} [/ latex]

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния [latex] x [/ latex], [latex] y [/ latex] ΠΈ [latex] z [/ latex], ΠΌΡ‹ просто ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ [latex] [A] [/ латСкс] Ρ€Π°Π· [латСкс] [B] [/ латСкс].{-1}] [B] [/ latex], Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ обратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° [latex] [A] [/ latex], умноТСнная Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ [latex] [B] [/ latex].