Тригонометрия 10 класс формулы: тригонометрические формулы синус косинус суммы углов разности углов синус косинус двойного тройного углов синус косинус тангенс через тангенс половинного угла
Урок 37. формулы приведения — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №37. Формулы приведения.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- формулы приведения;
- мнемоническое правило для формул приведения;
- преобразование тригонометрических выражений на основе использования формул приведения;
- вычисление значений тригонометрических выражений на основе формул приведения;
- доказательство тригонометрические тождества на основе формул приведения;
- решение уравнения с использованием формул приведения.
Глоссарий по теме
Формулы приведения – это формулы, которые позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Для вычисления углов больше 90 используют формулы приведения. Они позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.
Пример: Вычислить и.
Представим число .
Рассмотрим точку А(1;0) на единичной окружности. При повороте вокруг начала координат на угол она сделает 2 полных оборота и ещё повернётся на угол . Переместится в точку В, в которую могла бы попасть, сделав поворот на угол . Значит, , .
Количество полных оборотов по 360 или по может выражаться любым целым числом k, как положительным, так и отрицательным и нулём. При повороте точки А(1;0) на угол , где k получается та же самая точка, что при повороте на угол
Рисунок 1 – точки А и В на единичной окружности
Справедливы равенства:
, где , , где
Пусть точка А(1;0) переместилась в точку В1 при повороте на угол и в точку В при повороте на угол (рис. 2).
Рисунок 2 – точки А, В, В1 на единичной окружности
Запишем в виде: . На единичной окружности точки В1 и В симметричны относительно оси Оу, значит их ординаты (синусы) равны, абсциссы (косинусы)- противоположные числа.
Поэтому , а .
А так как , то , .
Помним, что , тогда , .
Докажем, что для всех углов справедливы формулы:
, .
Воспользуемся формулой синуса и косинуса разности:, подставим известные значения в формулу, получаем:
.
(1)
(2)
Аналогично доказываются формулы:
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Эти формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса
Пример: вычислите . Представим , тогда .
Выведем формулы для тангенса, используя его определение
,
Найдём
Получаем формулы для тангенса и котангенса:
, где и , где (13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Пример: вычислите .
Преобразуем выражение в скобке
.
Обратите внимание, что все эти формулы связывают синусы с синусами или косинусами, а тангенсы с тангенсами или котангенсами. В одних случаях синус меняется на косинус и наоборот, в других – нет. Так, например, в формулах 1,2,3,8 и 13, где в левой части присутствуют синусы, косинусы и тангенсы не меняются.
В остальных формулах, где в левой части присутствуют или , синус меняется на косинус и наоборот, а тангенс на котангенс.
Формул приведений много и их не обязательно каждый раз выводить и запоминать.
Для этого придумали мнемоническое правило.
- Если в левой части присутствуют и т.д. синусы, косинусы и тангенсы не меняются.
Если в левой части присутствуют или , синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс.
- Знак в правой части ставим тот же, который имело исходное число в левой части, при условии
Существует легенда про рассеянного математика, который всё время забывал менять или не менять синус на косинус и наоборот. Он смотрел на свою сообразительную лошадь и она кивала головой вдоль той оси, где стояли числа и , . (рис. 3)
Рисунок 3 – «правило лошади»
Если аргумент содержал или , лошадь кивала вдоль оси Оу. Это означало «да, менять». А если , кивала вдоль оси Ох – «не менять».
Так же помните: чётные числа вида и т.д. находятся на оси Ох справа от нуля на единичной окружности, а нечётные и т. д. слева от нуля.
Если в выражении перед стоит плюс, то точка перемещается по окружности по часовой
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1: упростите выражение .
находится на оси Ох, слева от нуля, косинус не меняем. Перед минус, точка перемещается против часовой стрелке и попадает во вторую четверть, здесь косинусы отрицательные (рис.4)
Рисунок 4 – перемещение точки по единичной окружности
Значит =.
Пример 2: вычислите
Преобразуем выражение в скобке: . находится слева на оси Ох, синус не меняем. Угол в третьей четверти, синусы отрицательные.
Тригонометрия — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:
Основные теоретические сведения
Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований
К оглавлению…
При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:
- Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
- Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
- Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
- Верьте, что всё будет хорошо.
Основные тригонометрические формулы
К оглавлению…
Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:
Тогда, определение синуса:
Определение косинуса:
Определение тангенса:
Определение котангенса:
Основное тригонометрическое тождество:
Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:
Формулы двойного угла. Синус двойного угла:
Косинус двойного угла:
Тангенс двойного угла:
Котангенс двойного угла:
Дополнительные тригонометрические формулы
К оглавлению…
Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:
Синус разности:
Косинус суммы:
Косинус разности:
Тангенс суммы:
Тангенс разности:
Котангенс суммы:
Котангенс разности:
Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:
Разность синусов:
Сумма косинусов:
Разность косинусов:
Сумма тангенсов:
Разность тангенсов:
Сумма котангенсов:
Разность котангенсов:
Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:
Произведение синуса и косинуса:
Произведение косинусов:
Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:
Формула понижения степени для косинуса:
Формула понижения степени для тангенса:
Формула понижения степени для котангенса:
Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:
Формула половинного угла для котангенса:
Тригонометрические формулы приведения
К оглавлению…
Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:
- Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
- Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
- При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.
Формулы приведения задаются в виде таблицы:
Тригонометрическая окружность
К оглавлению…
По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:
Тригонометрические уравнения
К оглавлению…
Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:
- Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
- Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
- При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
- Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
- Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
- Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
- Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.
Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.
Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:
Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:
Для тангенса:
Для котангенса:
Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:
Тригонометрические формулы. 10 класс — презентация онлайн
1. Тригонометрические формулы
2. Цель урока
• Повторение изученного материала• Подготовка к контрольной работе
3. Задачи урока
• Повторить определение синуса, косинуса, тангенса,котангенса числа α;
• Повторить формулы приведения, формулы двойного угла,
формулы сложения;
• Повторить основное тригонометрическое тождество и
формулы, выражающие связь между тангенсом и
косинусом, между котангенсом и синусом.
• Научить применять полученные знания при решении
задач.
4. Ход урока
1.2.
3.
4.
5.
6.
7.
Блиц-опрос
Закрепление знаний и умений
Самостоятельная работа (тест)
Проверка самостоятельной работы
Это интересно
Итог урока
Домашнее задание
1. Синусом угла α называется _____
точки, полученной поворотом
точки______ вокруг начала координат
на угол α
2. tg α =
1. Синусом угла α называется ордината
точки, полученной поворотом точки
(1;0) вокруг начала координат на угол α
2. tg α =
3. sin2 α +cos2 α=
sin
cos
3. sin2 α +cos2 α = 1
4. 1+ tg2 α=
4. 1+ tg2 α =
5.
6.
7.
8.
9.
sin(-α)=
tg (-α) =
cos (α+β)=
sin (α-β)=
sin 2α=
5.
6.
7.
8.
9.
1
cos 2 α
sin(-α) = — sin α
tg (-α) = -tg α
cos (α+β) = cosα cosβ – sinα sinβ
sin (α-β) = sinα cosβ — cosα sinβ
sin 2α = 2sin αcos α
10. tg (α+β)=
10. tg (α+β) =
tg tg
1 — tg tg
11. sin(π- α)=
12. cos (
2
+ α)=
11. sin(π- α) =sin α
12. cos ( + α) = -sinα
2
1. Косинусом угла α называется _____
точки, полученной поворотом
точки______ вокруг начала координат
на угол α
2. ctg α=
3. tg α∙ ctg α=
4. 1+ ctg2 α=
5.
6.
7.
8.
9.
cos (-α)=
ctg (-α) =
cos (α-β)=
sin (α+β)=
cos 2α=
11. cos(π- α)=
12. sin (
2
cos
2. сtg α= sin
3. tg α∙ ctg α = 1
4. 1+ ctg2 α=
5.
6.
7.
8.
9.
1
sin 2 α
cos (-α) = cos α
ctg (-α) = -ctg α
cos (α-β)=cosα cosβ +sinα sinβ
sin (α+β)= sinα cosβ + cosα sinβ
cos 2α=cos2 α-sin2 α
2tg
1 — tg 2
10. tg 2α=
1. Косинусом угла α называется абсцисса
точки, полученной поворотом точки
(1;0) вокруг начала координат на угол α
+ α)=
10. tg 2α=
11. cos(π- α)= — cos α
12. sin (
2
+ α)=-cos α
7. Закрепление знаний и умений
1) Дано:sin
3
;
3 2
Найти: cos
ОТВЕТ:
2
cos
3
Упростите
1 cos
2
cos
2
1 / sin 2
1 / cos 2
ctg 2
tg 2
Упростите
sin
1
2
cos
2
1 / sin 2
1 / cos 2
1 / ctg 2
1 / tg 2
Упростите
1
1 tg
2
cos
2
1
1
0
tg 2
Упростите
1
1 ctg 2
sin
2
1 / sin 2
0
ctg 2
1
Упростите
1
1 2
sin
ctg 2
tg 2
ctg 2
tg 2
2) Вычислить:
Дано:
Найти:
ОТВЕТ:
tg 2 2 ;0
sin
2 2
sin
3
2
Упростить выражение
3) 2 sin( ) cos 2 cos( ) sin( )
2
2
Ответ: -2
4)
(1 tg( )) (1 tg( )) cos
Ответ:
2
cos 2
5) Доказать:
2
6) Доказать:
2
2 sin 2 sin 4
tg
2 sin 2 sin 4
вариан 1
1)
а) -2,5;
2)
вариант 2
Найдите значение
1) Найдите значение
2
3 sin 120 4 cos180 3tg135
2 cos 2 150 3 sin( 90 ) 5ctg135
б) 5,5;
Дано:
в) -4,75;
3
sin ;
5 2
Найдите значение:
а)
3)
31
20
б)
г) 3,25.
1
20
в)
а) -3,5;
2)
cos tg
1
20
г)
sin 2 в) cos г) sin
3)
г) 6,5.
4 3
cos ;
2
5 2
Дано:
а)
Упростите выражение:
а) cos б)
в) -0,5;
Найдите значение:
31
20
1 (1 sin ) (1 sin )
tg cos
б) 9,5;
11
15
б)
1
sin ctg
11
г)
15
14
в)
15
1
14
15
Упростите выражение:
ctg sin
1 (sin cos ) 2
а) 2 cos
б)
1
2 cos
в)
2 sin
г)
1
2 sin
17. Проверка
1 вариант1. г)
2. б)
3. г)
2 вариант
1. б)
2. в)
3. г)
18. Это интересно
19. Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее
«измерение треугольников».Одним из основоположников
тригонометрии считается
древнегреческий астроном Гиппарх,
живший во 2 веке до нашей эры.
Гиппарх является автором первых
тригонометрических таблиц и
одним
из
основоположников
астрономии.
Тригонометрия и ее применение в
различных сферах науки и жизни
,
k=1, a=1
В архитектуре
Детская школа Гауди в Барселоне
Сантьяго Калатрава
Винодельня «Бодегас Исиос»
Феликс Кандела
Ресторан в Лос-Манантиалесе
23. Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону),
Тригонометрия в физикеКолебания, при которых изменения физических
величин происходят по закону косинуса или синуса
(гармоническому закону), называются
гармоническими колебаниями.
Выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса,
называется фазой колебания:
24. Теория радуги
n1sin α
=
sin β
n2
n1 — показатель преломления первой среды
n2 — показатель преломления второй среды
α-угол падения, β-угол преломления света
Северное сияние
F q B q B sin
25. Тригонометрия в биологии
Тригонометрия в ладони№0 Мизинец
№1 Безымянный
№2 Средний
№3 Указательный
№4 Большой
00
300
450
600
900
n
sin α =
2
Значение синуса
№ пальца
Угол α
0
0
sin 0 0
0
0
2
1
30
sin 30 0
1
1
2
2
2
45
sin 450
3
60
4
90
sin 60 0
sin 90 0
2
2
3
2
4
1
2
Значение косинуса
№ пальца
Угол α
4
0
3
30
2
45
1
60
0
90
cos 0 0
4
1
2
cos 30 0
3
2
cos 45
0
cos 60 0
cos 90 0
2
2
1
1
2
2
0
0
2
Биоритмы
Экологические ритмы : суточные, сезонные (годовые), приливные и лунные циклы
Физиологические ритмы: ритмы давления, биения сердца, артериальное давление.
30. Домашнее задание
стр. 12 № 14,15а),б)Стр.20 № 31
o Стр.21 № 38,39 а),б)
Доказать:
2
2 sin 2 sin 4
tg
2 sin 2 sin 4
МАТЕРИАЛ К УРОКУ ПОДОБРАН
ИЗ РАЗЛИЧНЫХ САЙТОВ
ИНТЕРНЕТА
Тригонометрические формулы 10 класс
Урок по теме «Тригонометрические формулы». 10-й класс
Цели урока. (Cлайд 1-3)
Дидактические:
обобщить и систематизировать знания учащихся по теме;
продолжить формирование умений и навыков по применению тригонометрических формул;
проконтролировать степень усвоения знаний, умений и навыков по теме.
Развивающие:
совершенствовать, развивать умения и навыки по решению задач на применение тригонометрических формул;
развивать умения и навыки в работе с тестами;
продолжить работу по развитию логического мышления, математической речи и памяти.
Воспитательные:
продолжить формирование навыков эстетического оформления записей в тетради;
приучать к умению общаться и выслушивать других;
воспитание сознательной дисциплины;
развитие творческой самостоятельности и инициативы;
стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии.
Задачи урока:
повторить определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса числа ;
повторить формулы приведения, формулы двойного угла, формулы сложения;
повторить основное тригонометрическое тождество и формулы, выражающие связь между тангенсом и косинусом, между котангенсом и синусом.
научить применять полученные знания при решении задач.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: учебники, компьютер, мультимедийный проектор.
Ход урока: (слайд 4)
Организационный момент, вступительная беседа.
Блиц-опрос.
Закрепление знаний и умений.
Самостоятельная работа (тест) .
Проверка самостоятельной работы.
Это интересно.
Подведение итогов урока.
Домашнее задание.
1. Организационный момент.
Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sin, cos, tg, ctg,соотношение sin2+ cos2=1 и формулы сложения. Каждый раз выводить нужную формулу, например, для преобразования тригонометрического уравнения время уйдет достаточно много. Поэтому круг формул, которые необходимо знать, должен быть достаточно широким.
Разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. “Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал Г. Спесер, английский философ и социолог.
Так вот, давайте сегодня на уроке работать активно, внимательно, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они вам пригодятся.
Тема нашего урока: “Тригонометрические формулы”- последний урок по данной теме, следующий – контрольная работа.
2. Блиц-опрос (по формулам в форме математического диктанта). (Слайд 5-7)
Проверка проводится на уроке с выставлением оценок. (Приложение 1)
“5” — 12; “4” — 10 – 11; “3” — 7 – 9; “2” — 0 – 6
3. Закрепление знаний и умений. (Слайд 8-10)
4. Самостоятельная работа обучающего характера в форме теста, с последующей проверкой на уроке. (Слайд 11)
5. Проверка самостоятельной работы (проверка теста проводится на уроке, оценки выставляются выборочно). (Слайд 12)
6. Это интересно. (Слайд 13-17)
Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще задолго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны простейшие сведения из тригонометрии. Само название “тригонометрия” греческого происхождения, обозначающее “измерение треугольников”. Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во 2 веке до нашей эры. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц. [5]
Тригонометрия в ладони
Значения синусов и косинусов углов “находятся” на вашей ладони. Протяните руку и разведите как можно сильнее пальцы, так как показано на слайде. Сейчас мы измерим углы между вашими пальцами. (Возьмем два прямоугольных треугольника с углами 30°и 45° и приложим вершину нужного угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца и большого пальца. Одну сторону угла совмещаем с мизинцем, а другую сторону — с одним из остальных пальцев)
Смотрите, я прикладываю угол в 30°; оказывается, это угол
— между мизинцем и безымянным пальцем;
— между мизинцем и средним пальцем — 45°;
— между мизинцем и указательным пальцем — 60°;
— между мизинцем и большим пальцем — 90°;
И это у всех людей без исключения.
Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то, если совместить (сжать) пальцы с мизинцем, угол между лучами будет равен 0°, то есть можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, то есть 0°, а поэтому введем нумерацию пальцев:
№0 — Мизинец
№1 — Безымянный
№2 — Средний
№3 -Указательный
№4 — Большой
0 Мизинец 0°№1 Безымянный 30°
№2 Средний 45°
№3 Указательный 60°
№4 Большой 90°
n — номер пальца
Значения синуса и косинуса угла по “ладони” приведено в таблице.
Примечание. Для определения косинуса угла отсчет пальцев происходит от большого пальца руки. [6]
Значения синуса
Значения косинуса 7. Итоги урока.8. Домашнее задание. (Cлайд 18)
“Проверь себя”, стр. 166
Спасибо, урок окончен! (Cлайд 19)
Используемая литература
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа: учеб. Для общеобразовательных учреждений. – 16-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Макеева А.В. Карточки по тригонометрии. 10-11 классы: Дидактический материал для учителя — ОАО “Издательство “Лицей”, Саратов, 2002.
Изучение алгебры и начал анализа 10-11: Методические рекомендации к учеб.; кн. для учителя / Н.Е.Федорова, М.В. Ткачева. – М.: Просвещение, 2007.
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класс/М.И. Шабунин, М.В. Ткачева и др. -2-е изд. — М.: Просвещение, 2007.
Решетников Н.Н. Материалы курса “Тригонометрия в школе” лекции 1-8. – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006
Газета “Первое сентября. Математика”. — №6, 2004.
Сборники заданий к ЕГЭ 2002, 2011.
Электронная поддержка урока:
Авторская презентация “Тригонометрические формулы”.
Авторский тест “Триго
Конспект урока математики на тему «Тригонометрические формулы» (10 класс)
Презентация к уроку «Тригонометрические формулы»
PPTX / 872.82 КбКонспект урока по математике 10 класса на повторение и закрепление темы «Тригонометрические формулы»
Технологическая карта урока
Учитель: Нанигеева Зульфия Рафаиловна, учитель математики БОУ «Тарская гимназия №1 им. А.М. Луппова»
Предмет: алгебра и начала анализа
Класс: 10
Тема: «Тригонометрические формулы»
Технологии: групповые, личностно-ориентированные, проблемного обучения.
Средства обучения: компьютер, проектор, экран, тригонометрический круг, раздаточный материал (карточки)
Цели урока:
Образовательная: систематизация изученного материала по тригонометрическим формулам, закрепление навыков преобразования, упрощения тригонометрических выражений, формирование умений пользоваться в работе над вычислениями значений выражения тригонометрического круга.
Воспитательная: формирование сотрудничества, взаимодействия, лидерских качеств, взаимопомощи в группе, в паре.
Развивающая: повышение уровня интеллектуальных способностей, расширение кругозора, развитие коммуникативных способностей.
Задачи урока:
— повторить изученный материал по вычислению простейших значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса;
— повторить основные формулы тригонометрии;
— прослушать сообщение по теме;
— закрепить умения по преобразованию тригонометрических выражений;
— проверить степень усвоения материала.
Ход урока:
№ | Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика |
1 | Организационный момент
1 минута | Учитель проверяет готовность к уроку обучающихся, раздает карточки, формирует группы с разным уровнем успеваемости.
Объясняет правила работы с оценочным листом. | Занимают свои места, готовят к уроку основные принадлежности, проверяют на столах наличие раздаточного материала.
Выбирают в группе капитана, организующего деятельность.
Рассматривают структуру оценочного листа, в котором отметки индивидуально выполняет каждый ученик. |
2 | Целеполагание
2 минуты | Учитель обращает внимание обучающихся на экран: — Деятельность на уроке будет успешной и продуктивной, если мы верно поставим себе цели и будем стремиться к их достижению. Подумайте и найдите соответствующее продолжение к целям, которые начинаются со слов повторить, закрепить, проверить в соответствии с темой нашего урока. Учитель выводит на экран верный ответ и проговаривает классу. Напоминает правила работы в группах, умение уступать, сотрудничать, прислушиваться, доносить свою точку зрения до коллектива. | Обучающиеся смотрят на экран, совещаются в группах, предлагают варианты. |
3 | Повторение
Карточка 1
Самопроверка 7 минут | На этапе повторения материла учитель демонстрирует тригонометрический круг, правило работы с ним.
Учитель предлагает в группах решить первое задание, входе которого необходимо перевести радианную меру угла в градусную, показать на окружности данные углы.
После выполнения карточки учитель открывает готовый тригонометрический круг с данными углами и просить провести самопроверку. | Ученики в группах слушают, задают вопросы.
Ученики, посоветовавшись, повторяют формулу, распределяют примеры между собой и передают данные для изображения на круге ответственному за оформление карточки, которого назначил капитан. Проверяют свои карточки, отмечают ошибки, задают вопросы, доносят до каждого участника группы правильное решение. |
4 |
Закрепление
7 минут | Выполнение следующего задания способствует закреплению умения применять формулы.
Учитель предлагает в группах рассмотреть решенные задания и восстановить, по какой формуле было выполнено преобразование.
Время на выполнение 6-7 минут.
— Проверим, насколько вы справились с заданием, проведем самопроверку.
Учитель поочередно назначает отвечающую группу. | Ученики рассматривают формулы, предлагают варианты, пишут в тетрадях, редактируют, проверяют, возможно использование справочного материала в учебнике.
Ученики отвечают, анализируют, доказывают, почему именно такая формула была использована в задании. |
| Мини-проект «Формула успеха»
Слайд 12-22 10-15 минут
| Учитель распределяет темы мини-проектов между группами с учетом мнения обучающихся. Знакомит с основным алгоритмом работы: 1. Поставить цель мини-проекта. 2. Найти в учебнике или справочном материале подходящие формулы. 3. Подобрать проблемные ситуации, то есть примеры, которые без использования данных формул трудно преобразовать. 4. Показать применение формулы. 5. Продумать и составить план выступления по формулам данного вида.
Учитель заранее готовит слайды с формулами и примерам для групп, их выступлений. | Ученики получают определенные названия формул и строят работу по алгоритму. При этом тесно сотрудничают между собой, педагогом, которые помогает распределить задания, наладить ход работы, продумать интересные выступления.
Выступают, либо в паре, либо распределяют текст выступления между собой. |
5 | Самостоятельная работа
10 минут | На данном этапе урока учитель раздает карточки каждому обучающемуся. Поясняет правило и порядок выполнения.
В конце проводят взаимопроверку в парах по готовым ответам на экране. | Выполняют карточку самостоятельно в течение 10 минут. |
6 | Подведение итогов
3 минуты | Учитель просит заполнить оценочные листы. Выделить важные проблемы и предложить пути их решения.
Предлагает в классе озвучить проблемы представителям групп.
| Заполняют оценочный лист.
Отвечают, предлагают варианты.
Помогают друг другу советом.
Ставят себе оценку. |
Приложение 1
Карточка №1
Задание №1. «Диктант по кругу»
Переведите углы из радианов в градусную меру, покажите на окружности:
π6 ; 2π3 ; π2 ;
5π6 ; — π4 ; — π3 ;
7π6 ; 3π4 ; — π6 ;
Карточка к уроку
DOCX / 13.43 Кб
Приложение 2
Карточка №2
Самостоятельная работа
1. Вычислите и подробно представьте решения в тетради:
1) sin (7π + 5π6) = 6) sin 240⁰ =
2) cos (4π +3π4) = 7) cos ( — 420⁰) =
3) sin (7 34π) = 8) sin ( — 780⁰) =
4) cos (1523π) = 9) sin 315⁰ =
5) cos (π2-5π) = 10) cos ( — 120⁰) =
2. Вычисли, применяя формулы:
А) sin 28⁰ •cos 17⁰ + sin 17⁰ •cos 28⁰
Б) cos 68⁰•cos 42⁰ — sin 42⁰ • sin 68 ⁰
В) sin π7•cos4π21 + sin4π21 •cos π7
Карточка к уроку 2
DOCX / 55.89 Кб
Формулы тригонометрии | ЮКлэва
Решения:
Кстати, здесь тебе понадобится знание также тех формул, которые я привел в самом начале.\circ }=-24\).
Ответ: \( \displaystyle -24\).
3. \( \displaystyle 36\sqrt{6}ctg\frac{\pi }{6}\sin\frac{\pi }{4}\)
Здесь нет ничего сложного, абсолютно ничего! Но есть одно «но!».
Это «но» заключается в том, что тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! (Как ее запомнить я рассказал ранее, а сейчас просто приведу ее еще раз).
Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:
И посмотрим в таблицу:
\( \displaystyle ctg\frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\), \( \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим эти значения в нашу формулу:
\( \displaystyle 36\sqrt{6} ctg\frac{\pi }{6}sin\frac{\pi }{4}=36\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{36\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{2}=\frac{36\cdot 6}{2}=36\cdot 3=108\).
Ответ: \( \displaystyle 108\)
Вот видишь, знание первой таблицы совершенно необходимо! Без нее – вообще нет никакой тригонометрии.{2}}-1 \right)=\)
\( \displaystyle=-47\left( 2\cdot 0,16-1 \right)=-47\left( 0,32-1 \right)=-47\left( -0,68 \right)=31,96\)Ответ: \( \displaystyle 31,96\)
5. \( \displaystyle \frac{10sin6a}{3cos3a}\) – это то, что надо вычислить, а \( \displaystyle sin3a=0,6\) – это то, что есть.
Ну что же, надо отталкиваться от того, что есть. Вроде бы этого должно быть достаточно. Здесь все опять несложно!
Нужно лишь заметить, что \( \displaystyle sin6\alpha =2sin3\alpha \cdot cos3\alpha \). Давай это и подставим в числитель исходной дроби. Что же мы имеем?
О чудо: косинусы сократились, а чему равен \( \displaystyle sin3\alpha \) мы знаем из условия!
\( \displaystyle \frac{10sin6\alpha }{3cos3\alpha }=\frac{10\cdot 2sin3\alpha cos3\alpha }{3cos3\alpha }=\frac{20sin3\alpha }{3}=\frac{20\cdot 0,6}{3}=\frac{12}{3}=4\)Ответ: \( \displaystyle 4\).{2}}a}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}}=7\)
Ответ: \( \displaystyle 7\)
8. Надо найти \( \displaystyle \frac{10cosa+4sina+15}{2sina+5cosa+3}\), зная, что \( \displaystyle tga=-2,5\).
На какую мысль тебя это должно было натолкнуть?
А на ту, что если нам дан тангенс, то и наше выражение нужно привести к такому виду, чтобы оно зависело от тангенсов, которые мы потом в него и подставим. Напомню тебе, что
\( \displaystyle tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }\)У меня же в выражении есть просто косинусы и синусы. Что нам нужно сделать?
Давай возьмем и «насильно» разделим числитель и знаменатель дроби на \( \displaystyle cos\alpha \). Это поможет мне «выделить» тангенс в чистом виде:
\( \displaystyle \frac{10cos\alpha +4sin\alpha +15}{2sin\alpha +5cos\alpha +3}=\frac{\frac{10cos\alpha +4sin\alpha +15}{cos\alpha }}{\frac{2sin\alpha +5cos\alpha +3}{cos\alpha }}=\frac{10+4tg\alpha +\frac{15}{cos\alpha }}{2tg\alpha +5+\frac{3}{cos\alpha }}\).
Конечно, есть одна неприятность: у нас появились дроби с косинусами. Но есть надежда, что мы с ними справимся! А пока что давай подставим вместо \( \displaystyle tga\) его числовое значение \( \displaystyle -2,5\). Тогда получим:
\( \displaystyle \frac{10+4tg\alpha +\frac{15}{cos\alpha }}{2tg\alpha +5+\frac{3}{cos\alpha }}=\frac{10+4\left( -2,5 \right)+\frac{15}{cos\alpha }}{2\left( -2,5 \right)+5+\frac{3}{cos\alpha }}=\frac{\frac{15}{cos\alpha }}{\frac{3}{cos\alpha }}\)Ну вот! Косинусы сократятся и мы получим ответ: \( \displaystyle \frac{15}{3}=5\).
Ответ: \( \displaystyle 5\).
9. Нужно найти \( \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta \right)-2\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)\), если дано \( \displaystyle cos\beta =-\frac{1}{3}\).
Давай опять проанализируем, что нам нужно вычислить: искомая формула состоит из разности косинуса от суммы двух углов и синуса от суммы двух углов.
Давай упрощать: раскроем каждую из сумм (опять-таки повторюсь, что далее я опишу способ, который позволит обходиться без раскрытия такого рода сумм):
\( \displaystyle \cos \left( \pi +\beta \right)=cos\pi \cdot cos\beta -sin\pi \cdot sin\beta \)Опять-таки, тебе должно быть известно, что \( \displaystyle cos\pi =-1,~~sin\pi =0\).
Если тебе это неизвестно, то настоятельно рекомендую тебе повторить тему тригонометрическая окружность.
Тогда моя формула примет вид:
\( \displaystyle \cos \left( \pi +\beta \right)=-cos\beta =-\left( -\frac{1}{3} \right)=\frac{1}{3}\)Теперь с синусом:
\( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=sin\frac{\pi }{2}\cdot cos\beta +cos\frac{\pi }{2}\cdot sin\beta \).
Снова, грамотные люди, такие как ты, вспоминают окружность (или, на худой конец, таблицу): \( \displaystyle sin\frac{\pi }{2}=1,~cos\frac{\pi }{2}=0\), тогда
\( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=cos\beta =-\frac{1}{3}\)Нам осталось подставить найденные значения в исходную формулу:
\( \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta \right)-2\sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=7\cdot \frac{1}{3}-2\left( -\frac{1}{3} \right)=\frac{7}{3}+\frac{2}{3}=\frac{9}{3}=3\)Ответ: \( \displaystyle 3\).
Тригонометрия для чайников. Урок1. Тригонометрия с нуля
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sinα=Противолежащий катетгипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cosα=Прилежащий катетгипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tgα=Противолежащий катетПрилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctgα=Прилежащий катетПротиволежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:
sin∠A=CBAB
cos∠A=ACAB
tg∠A=sin∠Acos∠A=CBAC
ctg∠A=cos∠Asin∠A=ACCB
sin∠B=ACAB
cos∠B=BCAB
tg∠B=sin∠Bcos∠B=ACCB
ctg∠B=cos∠Bsin∠B=CBAC
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках (−1;0) и (1;0), ось y в точках (0;−1) и (0;1)
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами (1;0), – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠SOA, обозначим его за α. Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠SOA=α=∪SA.
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).
Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:
cosα=OBOA=OB1=OB
sinα=ABOA=AB1=AB
Поскольку OCAB – прямоугольник, AB=CO.
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90°:
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x.Косинус тупого угла отрицательный.
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0° до 180°. Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x. (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°. Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.
Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.
Пример:
cos150°=−32
sin150°=12
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.
sin2α+cos2α=1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике OAB:
AB2+OB2=OA2
sin2α+cos2α=R2
sin2α+cos2α=1
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
| sinα | 0 | 12 | 22 | 32 | 1 |
| cosα | 1 | 32 | 22 | 12 | 0 |
| tgα | 0 | 33 | 1 | 3 | нет |
| ctgα | нет | 3 | 1 | 33 | 0 |
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin180°=sin(180°−0°)=sin0°
sin150°=sin(180°−30°)=sin30°
sin135°=sin(180°−45°)=sin45°
sin120°=sin(180°−60°)=sin60°
cos180°=cos(180°−0°)=−cos0°
cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°
cos135°=cos(180°−45°)=−cos45°
cos120°=cos(180°−60°)=−cos60°
Рассмотрим тупой угол β:
Для произвольного тупого угла β=180°−α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin(180°−α)=sinα
cos(180°−α)=−cosα
tg(180°−α)=−tgα
ctg(180°−α)=−ctgα
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
asin∠A=bsin∠B=csin∠C
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a2=b2+c2−2bc⋅cos∠A
b2=a2+c2−2ac⋅cos∠B
c2=a2+b2−2ab⋅cos∠C
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Скачать домашнее задание к уроку 1.
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
| Кубоид | |
| Объем кубоида (LSA) | \ (\ begin {align} l \ times b \ times h \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности кубоида (LSA) | \ (\ begin {align} 2h \ left ({l + b} \ right) \ end {align} \) |
| Общая площадь кубоида (TSA) | \ (\ begin {align} 2 \ left ({lb + bh + hl} \ right) \ end {align} \) |
| Куб | |
| Объем куба | \ (\ begin {align} x ^ 3 \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности куба (LSA) | \ (\ begin {align} 4x ^ 2 \ end {align} \) |
| Общая площадь куба (TSA) | \ (\ begin {align} 6x ^ 2 \ end {align} \) |
| Сфера | |
| Объем сферы | \ (\ begin {align} \ frac {4} {3} \ times \ pi r ^ 3 \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности сферы (LSA) | \ (\ begin {align} 4 \ pi r ^ 2 \ end {align} \) |
| Общая площадь поверхности сферы (TSA) | \ (\ begin {align} 4 \ pi r ^ 2 \ end {align} \) |
| Правый круговой цилиндр | |
| Объем правого кругового цилиндра | \ (\ begin {align} \ pi r ^ 2 h \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности правого кругового цилиндра (LSA) | \ (\ begin {align} 2 \ times \ left ({\ pi rh} \ right) \ end {align} \) |
| Общая площадь правого кругового цилиндра (TSA) | \ (\ begin {align} 2 \ pi r \ times \ left ({r + h} \ right) \ end {align} \) |
| Правая пирамида | |
| Объем правой пирамиды | \ (\ begin {align} \ frac {1} {3} \ times \ begin {bmatrix} \ text {Область} \\\ text {База} \ end {bmatrix} \ times h \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности правой пирамиды (LSA) | \ (\ begin {align} \ frac {1} {2} \ times p \ times L \ end {align} \) |
| Общая площадь правой пирамиды (TSA) | \ (\ begin {align} {\ text {LSA}} + \ begin {bmatrix} \ text {Область} \\\ text {База} \ end {bmatrix} \ end {align} \) |
| Правый круговой конус | |
| Объем правого кругового конуса | \ (\ begin {align} \ frac {1} {3} \ times \ left ({\ pi r ^ 2 h} \ right) \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности правого кругового конуса (LSA) | \ (\ begin {align} \ pi rl \ end {align} \) |
| Общая площадь правого кругового конуса (TSA) | \ (\ begin {align} \ pi r \ times \ left ({r + L} \ right) \ end {align} \) |
| Полушарие | |
| Объем полушария | \ (\ begin {align} \ frac {2} {3} \ times \ left ({\ pi r ^ 3} \ right) \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности полушария (LSA) | \ (\ begin {align} 2 \ pi r ^ 2 \ end {align} \) |
| Общая площадь полушария (TSA) | \ (\ begin {align} 3 \ pi r ^ 2 \ end {align} \) |
| Призма | |
| Объем призмы | \ (\ begin {align} B \ times h \ end {align} \) |
| Площадь боковой поверхности призмы (LSA) | \ (\ begin {align} p \ times h \ end {align} \) |
| Общая площадь призмы (TSA) | \ (\ begin {align} \ pi \ times r \ times \ left ({r + L} \ right) \ end {align} \) |
| \ (\ begin {align} l & = \ text {Длина,} \\ h & = \ text {Высота,} \\ b & = \ text {Ширина} \\ r & = \ text {Радиус Сфера} \\ L & = \ text {Slant Height} \ end {align} \) | |
Формулы тригонометрии для класса 10
Прямоугольный треугольник:
Здесь на рисунке показан прямоугольный треугольник, имеющий гипотенузу (самая длинная сторона), основание (смежная сторона), высота (противоположная сторона), и угол Ө.
Этот треугольник очень важен, потому что если кто-то попытается найти прямое расстояние и угол, то его можно легко найти с помощью этого.
Основными функциями тригонометрии являются синус, косинус и тангенс. Остальные три функции косеканс, секанс и котангенс являются обратными величинами синуса, косинуса и тангенса соответственно.
Тригонометрические соотношения:
Три основных тригонометрических соотношения:
Обратные вышеуказанные отношения:
Тригонометрические углы:
В тригонометрии существует пять углов.Можно найти и другие углы, но это основы. Эти углы равны 00, 300, 450, 600, 900. Таблица для них приведена ниже:
Уголки | 00 | 300 | 450 | |||||||
Sin Ө | 0 | 1/2 | 1 / √2 | √3 / 2 | 1 | 585 90001 | √3 / 2 | 1 / √2 | 1/2 | 0 |
Тан Ө | 9252 1 | √3 | 1 | √3 | ∞ | |||||
Cosec Ө | ∞ | 2 | √2 | 2 / √3 | 1 | |||||
сек Ө | 1 | 2 / √3 53 | 2∞ | |||||||
Детская кроватка Ө | ∞ | √3 | 1 | 1 / √3 | 0 / √3 Формулы:
| Если sinθ = 0, то θ = 0 0 , 180 0 или 360 0 | Если sinθ = 1, то θ = 90 0 |
| Если tanθ = 0, то θ = 0 0, 180 0 или 360 0 | Если sinθ = -1, то θ = 270 0 |
| Если cosθ = 0, то θ = 90 0 или 270 0 | Если cosθ = 1, то θ = 0 0 или 360 0 |
Если cosθ = -1, то θ = 180 0 .
Узнать большеТригонометрия CBSE NCERT Notes Класс 10 Математика Глава 8 PDF |
Привет, студенты! Добро пожаловать в AMBiPi (Математические блоги Аманса) . В этой статье вы получите Введение в тригонометрию CBSE NCERT Notes Class 10 Maths Chapter 8 PDF . Вы можете загрузить этот PDF-файл и сохранить его на своем мобильном устройстве или ноутбуке и т. Д.
Тригонометрия
Тригонометрия — это исследование отношений между сторонами и углами треугольника.
Подробнее: Применение тригонометрии в реальной жизни
Преобразование в градусы и радианы
Чтобы преобразовать угол в градусах в радианы, нам нужно умножить π / 180 на градусы.
Чтобы преобразовать угол в радианах в градусы, нам нужно умножить 180 / π на градусы.
Класс 10 по математике Глава 8 Примеры 1:
Преобразует 30 градусов в радианы.
30 градусов = 30 x π / 180 = π / 6 радиан.
Класс 10 Математика Глава 8 Примеры 2:
Преобразует 5π / 12 радиан в градусы.
5π / 12 радиан = 5π / 12 x 180 / π = 75 градусов.
Длина дуги сектора окружности
Если дуга образует угол θ (в радианах) в центре окружности, радиус которой равен r, то длина дуги равна s = rθ. Следовательно, можно сказать, что угол θ = s / r радиан.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадрата его перпендикуляра и квадрата его основания равна квадрату гипотенузы. Это известно как теорема Пифагора или теорема Пифагора .
Таким образом, в прямоугольном треугольнике согласно теореме Пифагора p 2 + b 2 = h 2 .
Тригонометрические отношения
В тригонометрии тригонометрические отношения острого угла в прямоугольном треугольнике выражают отношение между углом и длиной его сторон.
Значения тригонометрических соотношений угла не меняются с длинами сторон треугольника, если угол остается неизменным.
1. Синус θ обозначается как sinθ и представляет собой отношение перпендикуляра (p) и гипотенузы (h). Это означает, что
sinθ = p / h = AB / AC.
2. Косинус θ обозначается как cosθ и представляет собой отношение основания (b) и гипотенузы (h). Это означает, что
cosθ = b / h = BC / AC.
3. Касательная к θ обозначается как tanθ и представляет собой отношение перпендикуляра (p) к основанию (b). Это означает, что
tanθ = p / b = AB / BC.
4. Косеканс θ обозначается как cosecθ или cscθ , и это отношение гипотенузы (h) и перпендикуляра (p). Это означает, что
cosecθ или cscθ = h / p = AC / AB.
5. Секущая θ обозначается как secθ и представляет собой отношение гипотенузы (h) к основанию (b). Это означает, что
secθ = h / b = AC / BC.
6. Котангенс θ обозначается как cotθ и представляет собой отношение основания (b) и гипотенузы (h).Это означает, что
cotθ = b / p = BC / AB.
Важный результат тригонометрических отношений
Существуют следующие результаты о тригонометрических отношениях.
7. Поскольку sinθ = p / h, cosθ = b / h и tanθ = p / b, то tanθ = (p / h) / (b / h). Таким образом,
tanθ = sinθ / cosθ .
8. Поскольку sinθ = p / h, cosθ = b / h и cotθ = b / p, то cotθ = (b / h) / (p / h). Таким образом,
cotθ = cosθ / sinθ .
9. Поскольку sinθ = p / h и cosecθ = h / p, тогда
sinθ x cosecθ = 1 или sinθ = 1 / cosecθ и cosecθ = 1 / sinθ .
10. Поскольку cosθ = b / h и secθ = h / b, тогда
cosθ x secθ = 1 или cosθ = 1 / secθ и secθ = 1 / cosθ .
11. Поскольку tanθ = p / b и cotθ = b / p, тогда
tanθ x cotθ = 1 или tanθ = 1 / cotθ и cotθ = 1 / tanθ .
Класс 10 Математика Глава 8 Примеры 3:
Учитывая, что tan A = 4/3, найдите другие тригонометрические отношения угла A.
Поскольку tanA = 4/3 = BC / AB, пусть AB = 3k и BC = 4k.
Используя теорему Пифагора, получаем AC = 5k.
Таким образом,
sinA = BC / AC = 4/5,
cosA = AB / AC = 3/5,
cosecA = 1 / sinA = 5/4,
secA = 1 / cosA = 5 / 3,
cotA = 1 / tanA = 3/4
Класс 10 Математика Глава 8 Примеры 4:
Если ∠ B и ∠ Q — острые углы, такие что sin B = sin Q, тогда докажите, что ∠ B = ∠ Q
Пусть два прямоугольных треугольника ABC и PQR, как показано ниже, где sin B = sin Q.
При условии, что sin B = sin Q ⇒ AC / AB = PR / PQ = k.Тогда, сейчас
Теперь, AC / AB = PR / PQ = BC / QR.
Таким образом, по подобию SSS мы получаем Δ ACB ~ Δ PRQ и, следовательно, B = ∠ Q.
Тригонометрические отношения некоторых конкретных углов
Математика класса 10 Примеры Глава 8 5:
— B) = 1/2, cos (A + B) = 1/2, 0 ° B, найдите A и B.
Поскольку sin (A — B) = 1 / 2 ⇒ A — B = 30 ° и cos (A + B) = 1/2 ⇒ A + B = 60 °
Решая эти два уравнения, мы получаем A = 45 ° и B = 15 °.
Тригонометрические отношения дополнительных углов
Углы, сумма которых составляет 90 градусов, оба называются дополнительными углами.
Существуют следующие тригонометрические отношения для дополнительных углов.
sin (90 o — θ) = + cosθ
cos (90 o — θ) = + sinθ
tan (90 o — θ) = + cotθ
сек (90 o — θ) = + secθ
сек (90 o — θ) = + cosecθ
кроватка (90 o — θ) = + tanθ
Класс 10 Математика Глава 8 Примеры 6:
Если sin 3A = cos (A — 26 °), где 3A — острый угол, найдите значение A.
sin 3A = cos (90 ° — 3A) ⇒ cos (90 ° — 3A) = cos (A — 26 °) ⇒ 90 ° — 3A = A — 26 ° ⇒ A = 29 °.
Тригонометрические тождества
Используя теорему Пифагора p 2 + b 2 = h 2 и основное определение тригонометрических соотношений, мы получаем три тригонометрических тождества, как показано ниже.
sin 2 θ + cos 2 θ = 1
сек 2 θ — загар 2 θ = 1
cosec 2 θ 1 θ = 2
Класс 10 Математика Глава 8 Примеры 7:
Докажите, что secA (1 — sin A) (sec A + tan A) = 1.
Щелкните ниже, чтобы получить CBSE Class 10 Maths Примечания к редакции PDF .
cbse notes class 10cbse notes class 10 mathsclass 10 maths chapter 8 examplesclass 10 maths chapter 8 notestrigonometry class 10trigonometry class 10 formulastrigonometry class 10 notestrigonometry class 10 pdftrigonometry formula.