Тригонометрические формулы 10 класс: 73 формулы тригонометрии

№

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1

Организационный момент

1 минута

Учитель проверяет готовность к уроку обучающихся, раздает карточки, формирует группы с разным уровнем успеваемости.

Объясняет правила работы с оценочным листом.

Занимают свои места, готовят к уроку основные принадлежности, проверяют на столах наличие раздаточного материала.

Выбирают в группе капитана, организующего деятельность.

Рассматривают структуру оценочного листа, в котором отметки индивидуально выполняет каждый ученик.

2

Целеполагание

2 минуты

Учитель обращает внимание обучающихся на экран:

— Деятельность на уроке будет успешной и продуктивной, если мы верно поставим себе цели и будем стремиться к их достижению.

Подумайте и найдите соответствующее продолжение к целям, которые начинаются со слов повторить, закрепить, проверить в соответствии с темой нашего урока.

Учитель выводит на экран верный ответ и проговаривает классу.

Напоминает правила работы в группах, умение уступать, сотрудничать, прислушиваться, доносить свою точку зрения до коллектива.

Обучающиеся смотрят на экран, совещаются в группах, предлагают варианты.

3

Повторение

Карточка 1

Самопроверка

7 минут

На этапе повторения материла учитель демонстрирует тригонометрический круг, правило работы с ним.

Учитель предлагает в группах решить первое задание, входе которого необходимо перевести радианную меру угла в градусную, показать на окружности данные углы.

После выполнения карточки учитель открывает готовый тригонометрический круг с данными углами и просить провести самопроверку.

Ученики в группах слушают, задают вопросы.

Ученики, посоветовавшись, повторяют формулу, распределяют примеры между собой и передают данные для изображения на круге ответственному за оформление карточки, которого назначил капитан.

Проверяют свои карточки, отмечают ошибки, задают вопросы, доносят до каждого участника группы правильное решение.

4

Закрепление

7 минут

Выполнение следующего задания способствует закреплению умения применять формулы.

Учитель предлагает в группах рассмотреть решенные задания и восстановить, по какой формуле было выполнено преобразование.

Время на выполнение 6-7 минут.

— Проверим, насколько вы справились с заданием, проведем самопроверку.

Учитель поочередно назначает отвечающую группу.

Ученики рассматривают формулы, предлагают варианты, пишут в тетрадях, редактируют, проверяют, возможно использование справочного материала в учебнике.

Ученики отвечают, анализируют, доказывают, почему именно такая формула была использована в задании.

Мини-проект «Формула успеха»

Слайд 12-22

10-15 минут

Учитель распределяет темы мини-проектов между группами с учетом мнения обучающихся.

Знакомит с основным алгоритмом работы:

1. Поставить цель мини-проекта.

2. Найти в учебнике или справочном материале подходящие формулы.

3. Подобрать проблемные ситуации, то есть примеры, которые без использования данных формул трудно преобразовать.

4. Показать применение формулы.

5. Продумать и составить план выступления по формулам данного вида.

Учитель заранее готовит слайды с формулами и примерам для групп, их выступлений.

Ученики получают определенные названия формул и строят работу по алгоритму.

При этом тесно сотрудничают между собой, педагогом, которые помогает распределить задания, наладить ход работы, продумать интересные выступления.

Выступают, либо в паре, либо распределяют текст выступления между собой.

5

Самостоятельная работа

10 минут

На данном этапе урока учитель раздает карточки каждому обучающемуся. Поясняет правило и порядок выполнения.

В конце проводят взаимопроверку в парах по готовым ответам на экране.

Выполняют карточку самостоятельно в течение 10 минут.

6

Подведение итогов

3 минуты

Учитель просит заполнить оценочные листы.

Выделить важные проблемы и предложить пути их решения.

Предлагает в классе озвучить проблемы представителям групп.

Заполняют оценочный лист.

Отвечают, предлагают варианты.

Помогают друг другу советом.

Ставят себе оценку.

Найти

Вариант2

Угол α

0

0

1

30

2

45

3

60

4

90

угол

4

0

3

30

2

45

1

60

0

90

Взаимосвязь между различными тригонометрическими функциями указана ниже:

\ (\ tan \ theta \) = \ (\ frac {1} {\ cot \ theta} \) = \ (\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} \)

\ (\ cot \ theta \) = \ (\ frac {1} {\ tan \ theta} \) = \ (\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} \)

\ (cosec \ theta \) = \ (\ frac {1} {\ sin \ theta} \)

\ (\ sec \ theta \) = \ (\ frac {1} {\ cos \ theta} \)

sin (π / 2 — \ (\ theta \)) = \ (\ cos \ theta \)

cos (π / 2 — \ (\ theta \)) = \ (\ sin \ theta \)

загар (π / 2 — \ (\ theta \)) = \ (\ cot \ theta \)

детская кроватка (π / 2 — \ (\ theta \)) = \ (\ tan \ theta \)

секунд (π / 2 — \ (\ theta \)) = cosec \ (\ theta \)

косекунд (π / 2 — \ (\ theta \)) = \ (\ sec \ theta \)

sin (π — \ (\ theta \)) = \ (\ sin \ theta \)

cos (π — \ (\ theta \)) = — \ (\ cos \ theta \)

загар (π — \ (\ theta \)) = — \ (\ tan \ theta \)

детская кроватка (π — \ (\ theta \)) = — \ (\ cot \ theta \)

секунд (π — \ (\ theta \)) = -sec \ (\ theta \)

косекунд (π — \ (\ theta \)) = косек \ (\ theta \)

sin (π + \ (\ theta \)) = — \ (\ sin \ theta \)

cos (π + \ (\ theta \)) = — \ (\ cos \ theta \)

загар (π + \ (\ theta \)) = \ (\ tan \ theta \)

детская кроватка (π + \ (\ theta \)) = \ (\ cot \ theta \)

сек (π + \ (\ theta \)) = -сек \ (\ theta \)

косекунд (π + \ (\ theta \)) = -cosec \ (\ theta \)

грех (2π — \ (\ theta \)) = — \ (\ sin \ theta \)

cos (2π — \ (\ theta \)) = \ (\ cos \ theta \)

загар (2π — \ (\ theta \)) = — \ (\ tan \ theta \)

детская кроватка (2π — \ (\ theta \)) = — \ (\ cot \ theta \)

сек (2π — \ (\ theta \)) = сек \ (\ theta \)

косекунд (2π — \ (\ theta \)) = -cosec \ (\ theta \)

sin (2nπ + \ (\ theta \)) = \ (\ sin \ theta \)

cos (2nπ + \ (\ theta \)) = \ (\ cos \ theta \)

загар (2nπ + \ (\ theta \)) = \ (\ tan \ theta \)

детская кроватка (2nπ + \ (\ theta \)) = \ (\ cot \ theta \)

сек (2nπ + \ (\ theta \)) = \ (\ sec \ theta \)

косекунд (2nπ + \ (\ theta \)) = косек \ (\ theta \)

\ (\ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1 \)

\ (\ tan ^ {2} \ theta + 1 = \ sec ^ {2} \ theta \)

\ (\ cot ^ {2} \ theta + 1 = cosec ^ {2} \ theta \)

\ (\ sin (- \ theta) = — \ sin \ theta \)

\ (\ соз (- \ тета) = \ соз \ тета \)

\ (\ tan (- \ theta) = — \ tan \ theta \)

\ (кодекс (- \ theta) = -cosec \ theta \)

\ (\ сек (- \ theta) = \ сек \ theta \)

\ (\ cot (- \ theta) = — \ cot \ theta \)

\ (\ sin (A + B) = \ sin A \ cos B + \ cos A \ sin B \)

\ (\ sin (A -B) = \ sin A \ cos B — \ cos A \ sin B \)

\ (\ cos (A + B) = \ cos A \ cos B — \ sin A \ sin B \)

\ (\ cos (A — B) = \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B \)

\ (\ tan (A + B) = \ frac {\ tan A + \ tan B} {1 — \ tan A \ tan B} \)

\ (\ tan (A — B) = \ frac {\ tan A — \ tan B} {1 + \ tan A \ tan B} \)

\ (\ sin \, A \, \ sin \, B = \ frac {1} {2} \ left [\ cos \ left (A — B \ right) — \ cos \ left (A + B \ right) \ right] \)

\ (\ cos \, A \, \ cos \, B = \ frac {1} {2} \ left [\ cos \ left (A — B \ right) + \ cos \ left (A + B \ right) \ right] \)

\ (\ sin \, A \, \ cos \, B = \ frac {1} {2} \ left [\ sin \ left (A + B \ right) + \ sin \ left (AB \ right) \ right ] \)

\ (\ cos \, A \, \ sin \, B = \ frac {1} {2} \ left [\ sin \ left (A + B \ right) — \ sin \ left (AB \ right) \ right ] \)

\ (\ sin \, A + \ sin \, B = 2 \, \ sin \ left (\ frac {A + B} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {AB} {2} \ right) \)

\ (\ sin \, A — \ sin \, B = 2 \, \ cos \ left (\ frac {A + B} {2} \ right) \ sin \ left (\ frac {AB} {2} \ справа) \)

\ (\ cos \, A + \ cos \, B = 2 \, \ cos \ left (\ frac {A + B} {2} \ right) \ cos \ left (\ frac {AB} {2} \ справа) \)

\ (\ cos \, A — \ cos \, B = — 2 \, \ sin \ left (\ frac {A + B} {2} \ right) \ sin \ left (\ frac {AB} {2} \ справа) \)

\ (\ sin 2A = 2 \ sin A \ cos A = \ frac {2 \ tan A} {1+ \ tan ^ {2} A} \)

\ (\ cos 2A = \ cos ^ 2 {A} — \ sin ^ {2} A = 1 — 2sin ^ {2} A = 2cos ^ {2} A — 1 = \ frac {1- \ tan ^ { 2} A} {1 + \ tan ^ {2} A} \)

\ (\ tan 2A = \ frac {2 \ tan A} {1 — \ tan ^ {2} A} \)

\ (\ sin 3A = 3 \ sin A — 4 \ sin ^ {3} A = 4 \ sin (60 ^ {\ circ} -A). {- 1} \ left (\ tan \ left (\ theta \ right) \ right) = \ theta \)

sin ^-1 (-x) = — sin ^-1 x

cos ^-1 (-x) = — sin ^-1 x

желто-коричневый ^-1 (-x) = — желтовато-коричневый ^-1 x

кодексов ^-1 (-x) = — кодексов ^-1 x

сек ^-1 (-x) = — сек ^-1 x

детская кроватка ^-1 (-x) = — детская кроватка ^-1 x

sin ^-1 (1 / x) = cosec ^-1 x

cos ^-1 (1 / x) = сек ^-1 x

желто-коричневый ^-1 (1 / x) = детская кроватка ^-1 x

желто-коричневый ^-1 (1 / x) = детская кроватка ^-1 x

sin ^-1 (x) + cos ^-1 (x) = π / 2

желто-коричневый ^-1 (x) + детская кроватка ^-1 (x) = π / 2

сек ^-1 (x) + cosec ^-1 (x) = π / 2

Уголки

00

300

450

Sin Ө

0

1/2

1 / √2

√3 / 2

1

1

√3 / 2

1 / √2

1/2

0

Тан Ө

1 9107

0 9025 √3

1

√3

∞

Cosec Ө

∞

2

√2

2 / √3

1

сек Ө

1

2 / √3

007 2

∞

Детская кроватка Ө

∞

√3

1

1 / √3

Тригонометрические тождества и формулы основаны на прямоугольном треугольнике.Это:

1. Формула Пифагора:

Для прямоугольного треугольника сумма квадратов основания и высоты равна квадрату гипотенузы.

Таким образом,

И, согласно теореме Пифагора,

2. Тождества суммы и разности:

Для двух углов u и v тождества, связанные с суммой и разностью этих двух углов, имеют вид ниже:

3. Формулы редукции:

Углы любых других квадрантов могут быть уменьшены до эквивалентного угла первого квадранта.Это можно сделать, изменив знаки и тригонометрические соотношения. Формулы редукции для того же:

Первый квадрант

Второй квадрант

Третий квадрант

Четвертый квадрант

Конгруэнтные треугольники:

Два треугольника совпадают, если они совпадают. . Термин «конгруэнтный» определяет объект и его зеркальное отображение.

Два треугольника должны быть конгруэнтными, если у них одинаковая длина сторон и одинаковая величина углов.Таким образом, их можно накладывать друг на друга. Соответствие может быть представлено символом.

Правила конгруэнтности:

SSS (Сторона-Сторона-Сторона)

Если два треугольника имеют эквивалентные соответствующие стороны, то эти два треугольника будут конгруэнтны по правилу SSS.

Например,

В двух вышеуказанных треугольниках ABC и PQR изображения будут загружены в ближайшее время.

Здесь треугольники ABC и PQR совпадают по правилу SSS, потому что соответствующие стороны этих двух треугольников эквивалентны.

Таким образом,

SAS (сторона-угол-сторона)

Если два треугольника имеют две эквивалентные стороны, а также углы, образованные этими соответствующими сторонами, эквивалентны, то эти треугольники будут конгруэнтны по правилу SAS .

Например,

В двух вышеуказанных треугольниках ABC и PQR изображения будут загружены в ближайшее время.

Здесь треугольники ABC и PQR конгруэнтны по правилу SAS, потому что соответствующие две стороны и углы, образованные этими сторонами, эквивалентны.

Таким образом,

ASA (Угол-Сторона-Угол)

Если два треугольника имеют два эквивалентных соответствующих угла, а также стороны между этими соответствующими углами эквивалентны, то эти треугольники будут конгруэнтными по правилу ASA.

Например,

В двух вышеуказанных треугольниках ABC и PQR изображения будут загружены в ближайшее время.

Здесь треугольники ABC и PQR совпадают по правилу ASA, потому что соответствующие два угла и стороны между этими углами эквивалентны.

Таким образом,

RHS (Прямой угол — сторона гипотенузы)

Если гипотенузы и соответствующие стороны двух прямоугольных треугольников эквивалентны, то эти два прямоугольных треугольника будут конгруэнтны по правилу RHS.

Например,

В двух вышеуказанных треугольниках XYZ и RST изображения будут загружены в ближайшее время.

Здесь треугольники XYZ и RST конгруэнтны по правилу RHS, потому что гипотенузы XZ и RT и соответствующие стороны YZ и ST прямоугольных треугольников эквивалентны.

Таким образом,

Подобные треугольники

Два треугольника будут похожими, если у них одинаковые углы и разная длина сторон. Подобие двух треугольников обозначается символом ~.

Таким образом, два треугольника должны быть подобны, если они имеют равные соответствующие углы и стороны пропорциональны.

Например,

В двух вышеуказанных треугольниках ABC и XYZ изображения будут загружены в ближайшее время.

Правила подобия:

AAA (Угол-Угол-Угол)

Два треугольника будут подобны по правилу AAA, если они имеют равные соответствующие углы.Например,

В двух вышеупомянутых треугольниках ABC и DEF,

Здесь треугольники ABC и DEF подобны по правилу AAA, потому что соответствующие углы этих двух треугольников равны.

Таким образом,

SSS (сторона-сторона-сторона)

Два треугольника будут подобны по правилу SSS, если соответствующие стороны треугольников пропорциональны. Например,

В двух вышеуказанных треугольниках ABC и DEF изображения будут загружены в ближайшее время.

Здесь треугольники ABC и DEF подобны по правилу SSS, потому что соответствующие стороны этих двух треугольников пропорциональны.

Таким образом,

SAS (сторона-угол-сторона)

Два треугольника будут подобны по правилу SAS, если две соответствующие стороны пропорциональны и углы между этими соответствующими сторонами равны.

Например,

В двух вышеуказанных треугольниках LMN и QRS изображения будут загружены в ближайшее время.

Здесь треугольники LMN и QRS подобны по правилу SAS, потому что две соответствующие стороны этих двух треугольников пропорциональны, а углы между этими двумя соответствующими сторонами равны.

Таким образом,

Теоремы о подобии

Если два треугольника подобны, то соотношение их площадей должно быть пропорционально квадратам отношения их сторон.

Для похожих треугольников ABC и DEF, изображения будут загружены в ближайшее время.

Закон синуса:

Если A, B и C — углы, а a, b и c — стороны треугольника, то:

Тригонометрические тождества — класс 10

Тригонометрия — это раздел математики, который занимается измерением сторон и углов треугольника.Концепция тригонометрии полностью основана на прямоугольных треугольниках. Существует шесть тригонометрических соотношений, а именно синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс опорного угла. Все эти тригонометрические отношения выражаются как отношения гипотенузы, основания и перпендикулярной стороны прямоугольного треугольника. Класс 10 тригонометрических идентичностей устанавливает взаимосвязь между различными тригонометрическими соотношениями. Эти тригонометрические тождества являются основными формулами, которые верны для всех значений опорного угла.

Тригонометрические тождества Список 10 класса:

Класс 10 описывает несколько тригонометрических тождеств, которые можно доказать с помощью базовых знаний тригонометрии. Это самая интересная часть тригонометрии 10 класса. Тригонометрические тождества можно использовать для простого решения тригонометрических задач за счет сокращения количества вычислительных шагов. На все вопросы класса 10 по тригонометрической идентичности можно легко ответить, зная эти идентичности.

Основные тригонометрические отношения:

Существует шесть тригонометрических отношений, а именно синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Определения каждого тригонометрического отношения для исходного угла ‘θ’ упоминаются в терминах сторон прямоугольного треугольника.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

• Синус угла θ — это отношение противоположной стороны к гипотенузе.

• Косинус угла θ — это отношение соседней стороны к гипотенузе.

• Касательная к углу θ — это отношение противоположной стороны к соседней стороне.

• Котангенс угла θ — это отношение соседней стороны к противоположной стороне.

• Секущая угла θ — это отношение гипотенузы к прилегающей стороне.

• Косеканс угла θ — это отношение гипотенузы к противоположной стороне.

Вывод тригонометрических тождеств Класс 10:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, стороны которого равны AB, BC и AC соответственно.Треугольник расположен под прямым углом в C. Если рассматривать «α» как опорный угол, противоположная сторона — это BC, а соседняя сторона — AC. AB — самая длинная сторона прямоугольного треугольника и называется гипотенузой.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Применяя теорему Пифагора к вышеуказанному треугольнику,

AB² = AC² + BC²

Разделив все уравнение на гипотенузу, то есть AB, мы получим

\ [\ frac {AB² } {AB²} \] = \ [\ frac {AC²} {AB²} \] + \ [\ frac {BC²} {AB²} \]

1 = (\ [\ frac {AC} {AB} \]) ² + (\ [\ frac {BC} {AB} \]) ²

По определению основных тригонометрических функций,

Sin α = \ [\ frac {Opposite} {Hypotenuse} \] = \ [\ frac { BC} {AB} \] и Cos α = \ [\ frac {Adjacent} {Hypotenuse} \] = \ [\ frac {AC} {AB} \]

Подставляя эти значения в приведенное выше уравнение, уравнение подразумевает,

1 = (cos α) ² + (sin α) ²

Уравнение можно переписать, чтобы получить первое среди тригонометрических тождеств класса 10 как:

(sin α) ² + (cos α) ² = 1

Вывод тригонометрических тождеств Класс 10 (2):

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, стороны которого равны AB, BC и AC соответственно.Треугольник расположен под прямым углом в C. Если рассматривать «α» как опорный угол, противоположная сторона — это BC, а соседняя сторона — AC. AB — самая длинная сторона прямоугольного треугольника и называется гипотенузой.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Применяя теорему Пифагора к вышеуказанному треугольнику,

AB² = AC² + BC²

Разделив все уравнение на смежную сторону, то есть AC, мы получим

\ [\ frac { AB²} {AC²} \] = \ [\ frac {AC²} {AC²} \] = \ [\ frac {BC²} {AC²} \]

(\ [\ frac {AB} {AC} \]) ² = 1 + (\ [\ frac {BC} {AC} \]) ²

По определению основных тригонометрических функций,

tan α = \ [\ frac {Opposite} {Смежный} \] = \ [\ frac {BC} {AC} \] и Sec α = \ [\ frac {Hypotenuse} {смежный} \] = \ [\ frac {AB} {AC} \]

Подставляя эти значения в приведенное выше уравнение, уравнение подразумевает ,

(sec α) ² = 1 + (tan α) ²

Уравнение может быть переписано, чтобы дать второе уравнение среди тригонометрических тождеств класса 10 как:

sec²α = 1 + tan²α

Получение класса тригонометрических идентичностей 10 (3):

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, стороны которого равны AB, BC и AC соответственно.Треугольник расположен под прямым углом в C. Если рассматривать «α» как опорный угол, противоположная сторона — это BC, а соседняя сторона — AC. AB — самая длинная сторона прямоугольного треугольника и называется гипотенузой.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Применяя теорему Пифагора к вышеуказанному треугольнику,

AB² = AC² + BC²

Разделив все уравнение на противоположную сторону, то есть BC, мы получим

\ [\ frac { AB²} {BC²} \] = \ [\ frac {AC²} {BC²} \] = \ [\ frac {BC²} {BC²} \]

(\ [\ frac {AB} {BC} \]) ² = (\ [\ frac {AC} {BC} \]) ² + 1

По определению основных тригонометрических функций,

cot α = \ [\ frac {Смежный} {Противоположный} \] = \ [\ frac {AC} {BC} \] и Cosec α = \ [\ frac {Hypotenuse} {Opposite} \] = \ [\ frac {AB} {BC} \]

Подставляя эти значения в приведенное выше уравнение, уравнение дает ,

(cosec α) ² = (cot α) ² + 1

Уравнение можно переписать, чтобы получить третье уравнение среди тригонометрических идентификаторов класса 10 как:

cosec² α = 1 + cot² α

Класс тригонометрических идентификаторов 10 проблем:

1.Найдите значение 1 — Sin2 A

Решение:

1 — Sin2 A = Sin2 A + Cos2 A — Sin2 A = Cos2 A

2. Докажите, что Sec2P — tan2P — Cosec2P + Cot2P = 0

Решение:

Sec2P — tan2P — Cosec2P + Cot2P = 1 + tan2P — tan2P — (1 + Cot2P) + Cot2P

= 1 + 0 — 1 — Cot2P + Cot2P

= 0

Интересные факты:

• идентичности верно для всех углов между 00 и 900.

• С помощью этих основных тригонометрических тождеств выводятся многие другие тождества.

Формулы тригонометрии для функций, соотношений и идентичностей PDF

Тригонометрия — это раздел математики, который имеет дело с углами, длиной и высотой треугольников и отношениями между различными частями окружностей и других геометрических фигур. Математические формулы — тригонометрические соотношения и тождества очень полезны, а изучение приведенных ниже формул помогает лучше решать проблемы. Формулы тригонометрии необходимы для решения вопросов по тригонометрическим соотношениям и идентичностям на конкурсных экзаменах.

Тригонометрические тождества — это равенства, которые включают тригонометрические функции и истинны для каждого значения встречающихся переменных, в которых определены обе стороны равенства. Геометрически это тождества, включающие определенные функции одного или нескольких углов.

Тригонометрическое соотношение соотношение между измерением углов и длиной стороны прямоугольного треугольника. Эти формулы связывают длины и площади определенных кругов или треугольников.На следующей странице вы найдете личности. Идентичности не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но верны для всех углов.

Формулы тригонометрии

Формулы дуг и секторов окружностей

Вы можете легко найти как длину дуги, так и площадь сектора для угла θ в окружности радиуса r .

Длина дуги. Длина дуги — это просто радиус r, умноженный на угол θ, где угол измеряется в радианах.Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте количество градусов на π / 180.

Arc = rθ .

Тригонометрические формулы — прямой угол

Наиболее важные формулы для тригонометрии — формулы для прямоугольного треугольника. Если θ — один из острых углов в треугольнике, то синус тэты — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, косинус — это отношение соседней стороны к гипотенузе, а тангенс — это отношение сторона, противоположная соседней стороне

Теорема Пифагора , хорошо известная геометрическая теорема о том, что сумма квадратов на катетах прямоугольного треугольника равна квадрату на гипотенузе (стороне, противоположной прямому углу), или, в известной алгебраической записи, ( P) ² + (B) ² = (H) ²

Применяя теорему Пифагора для данной прямоугольной теоремы, имеем:

(перпендикулярно) ² + (основание) ² = (гипотенуза) ²

^⇒ (P) ² + (B) ² = (H) ²

Тригонометрические свойства приведены ниже

Магический шестиугольник для тригонометрических идентичностей

Clock Wise:

• тангенс (x) = sin (x) / cos (x)
• sin (x) = cos (x) / кроватка (x)
• cos (x) = детская кроватка (x) / csc (x)
• кроватка (x) = csc (x) / sec (x)
• csc (x) = sec (x) / tan (x)
• сек (x) = tan (x) / sin (x)

Counterclock Wise:

• cos (x) = sin (x) / tan (x)
• sin (x) = tan (x) / sec (x)
• tan (x) = sec (x) / csc (x)
• сек (x) = csc (x) / кроватка (x)
• csc (x) = детская кроватка (x) / cos (x)
• кроватка (x) = cos (x) / sin (x)

Взаимные отношения

Тригонометрические формулы PDF

Формулы квадратичного закона

Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть они складываются в 90 °, вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

• Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.
• Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.

Многие тригонометрические формулы основаны на знаках тригонометрических соотношений, основанных на квадрантах, в которых они находятся. Поэтому для нас становится чрезвычайно важным понять, как тригонометрические отношения получают положительный или отрицательный знак
. Знак основан на квадранте, в котором лежит угол.

Предположим, что угол θ1 лежит в 1-м квадранте, а угол θ — в первом и втором квадранте вместе взятых.
Итак, давайте посмотрим, как знаки меняются по отношению к квадранту, в котором они лежат.

• В первом квартале все тригонометрические отношения положительны. (Углы между 0 ⁰ -90 ⁰ )
• В Q2 все тригонометрические отношения sinθ и cosecθ положительны. (Углы между 90 ⁰ — 180 ⁰ )
• В Q3 все тригонометрические отношения cosθ и secθ положительны.(Углы между 180 ⁰ — 270 ⁰ )
• В 4 квартале все тригонометрические отношения tanθ и cotθ положительны. (Углы между 270 ⁰ — 360 ⁰ )

θ — угол между осью x и линией в направлении против часовой стрелки. Если двигаться по часовой стрелке, угол будет равен — θ. Мы знаем, что в квадранте 4 только cosθ и secθ будут положительными, остальные — отрицательными, поэтому-

• Sin (- θ) = — Sin θ
• Cos (- θ) = Cos θ
• Желто-коричневый (- θ) = — Желто-коричневый θ
• сек (- θ) = + сек θ
• Детская кроватка (- θ) = — Детская кроватка θ

Нам нужно понимать, что тригонометрические отношения изменятся для углов — 90 ^o ± θ и 270 ^o ± θ , и они останутся такими же для 180 ^o ± θ и 360 ^o ± θ. Давайте посмотрим, что произойдет, если мы прибавим или вычтем θ из 90 ^o ± θ и 270 ^o ± θ

• сек (90 ^o + θ) = Cos θ
• Детская кроватка (90 ^o — θ) = Cos θ
• Желто-коричневый (90 ^o + θ) = — Детская кроватка θ
• Желто-коричневый (90 ^o — θ) = Детская кроватка θ
• сек (90 ^o + θ) = Cosec θ
• сек (90 ^o + θ) = Cosec θ
• Sin (270 ^o — θ) = — Cos θ
• Sin (270 ^o — θ) = — Cos θ

Это потому, что любой угол, равный 2700 + θ, попадет в квадрант 4, и в этом квадранте положительны только тригонометрические отношения cos
и sec.Так что вышесказанное будет отрицательным. 2700-θ попадет в квадрант 3, и в этом квадранте тригонометрические отношения tan и cot положительны, поэтому они снова будут отрицательными. Для 180 ^o ± θ и для 360 ^o ± θ знаки останутся прежними.

• Sin (360 ^o + θ) = Sin θ
• Sin (360 ^o — θ) = — Sin θ

Для 3600 + θ угол совершит один полный оборот и затем окажется в квадранте 1, где все тригонометрические отношения положительны.Итак, нужно запомнить 2 важные вещи —

• Знак тригонометрических соотношений меняется в зависимости от значения θ.
• sin становится cos, а cos становится sin для 900 + θ и для 2700 + θ, и остается неизменным для 1800 + θ
  и для 3600 + θ.

Формулы тригонометрии | Тригонометрические идентичности

Посмотрев на тригонометрические соотношения, давайте перейдем к тригонометрическим тождествам, которые являются основой большинства тригонометрических формул.Приведенные выше тождества верны для любого значения θ.

Обозначения продукта:

Формулы тригонометрии | Сумма и разность углов

Формулы тригонометрии | Формулы двойного угла

Формулы тригонометрии | Формулы тройного угла

Формулы тригонометрии | Преобразование произведения в сумму и разность

Формулы тригонометрии | Значения тригонометрических соотношений

Сводка тригонометрических идентичностей

Периодичность и периодические идентичности

Идентификаторы половинного угла

Сложные отношения

Обратные тригонометрические функции

Дополнительный угол

Отрицательные аргументы

Взаимные аргументы

Значения тригонометрических функций

Решение тригонометрических уравнений | Тригонометрия

\ (\ tan \ theta = \ text {1,7} \)

\ begin {align *} \ tan \ theta & = \ text {1,7} \\ \ theta & = \ text {59,5344…} \\ & \ ок \ текст {59,5} ° \ end {выровнять *}

\ (\ sin \ theta = \ text {0,8} \)

\ begin {align *} \ sin \ theta & = \ text {0,8} \\ \ theta & = \ text {53,1301 …} \\ & \ ок \ текст {53,1} ° \ end {выровнять *}

\ (\ cos \ alpha = \ text {0,32} \)

\ begin {align *} \ cos \ alpha & = \ text {0,32} \\ \ альфа & = \ текст {71,3370…} \\ & \ ок \ текст {71,3} ° \ end {выровнять *}

\ (\ tan \ beta = \ text {4,2} \)

\ begin {align *} \ tan \ beta & = \ text {4,2} \\ \ beta & = \ text {76,60750 …} \\ & \ ок \ текст {76,6} ° \ end {выровнять *}

\ (\ tan \ theta = 5 \ frac {3} {4} \)

\ begin {align *} \ tan \ theta & = 5 \ frac {3} {4} \\ & = \ текст {5,75} \\ \ theta & = \ text {80,13419…} \\ & \ приблизительно \ текст {80,1} ° \ end {выровнять *}

\ (\ sin \ theta = \ frac {2} {3} \)

\ begin {align *} \ sin \ theta & = \ frac {2} {3} \\ & = \ текст {0,666 …} \\ \ theta & = \ text {41,8103 …} \\ & \ ок \ текст {41,8} ° \ end {выровнять *}

\ (\ cos \ beta = \ text {1,2} \)

\ begin {align *} \ cos \ beta & = \ text {1,2} \\ & \ text {решения нет} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 4 \ соз \ тета & = 3 \\ \ cos \ theta & = \ frac {3} {4} \\ & = \ текст {0,75} \\ \ theta & = \ text {41,40962…} \\ & \ ок \ текст {41,4} ° \ end {выровнять *}

\ (\ cos 4 \ theta = \ text {0,3} \)

\ begin {align *} \ cos 4 \ theta & = \ text {0,3} \\ 4 \ theta & = \ text {72,54239 …} \\ \ theta & = \ text {18,135599 …} \\ & \ ок \ текст {18,1} ° \ end {выровнять *}

\ (\ sin \ beta + 2 = \ text {2,65} \)

\ begin {align *} \ sin \ beta + 2 & = \ text {2,65} \\ \ sin \ beta & = \ text {0,65} \\ \ beta & = \ text {40,54160…} \\ & \ приблизительно \ текст {40,5} ° \ end {выровнять *}

\ (2 \ sin \ theta + 5 = \ text {0,8} \)

\ begin {align *} 2 \ sin \ theta + 5 & = \ text {0,8} \\ 2 \ sin \ theta & = — \ text {4,2} \\ \ sin \ theta & = — \ text {2,1} \\ & \ text {решения нет} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 3 \ тан \ бета & = 1 \\ \ tan \ beta & = \ frac {1} {3} \\ & = \ текст {0,3333…} \\ \ beta & = \ text {18,434948 …} \\ & \ ок \ текст {18,4} ° \ end {выровнять *}

\ (\ sin 3 \ alpha = \ text {1,2} \)

\ begin {align *} \ sin 3 \ alpha & = \ text {1,2} \\ & \ text {решения нет} \ end {выровнять *}

\ (\ tan \ frac {\ theta} {3} = \ sin 48 ° \)

\ begin {align *} \ tan \ frac {\ theta} {3} & = \ sin48 ° \\ & = \ текст {0,7431…} \\ \ frac {\ theta} {3} & = \ text {36,61769 …} \\ \ theta & = \ text {109,8530 …} \\ & \ приблизительно \ text {109,9} ° \ end {выровнять *}

\ (\ frac {1} {2} \ cos 2 \ beta = \ text {0,3} \)

\ begin {align *} \ frac {1} {2} \ cos 2 \ beta & = \ text {0,3} \\ \ cos 2 \ beta & = \ text {0,6} \\ 2 \ beta & = \ text {53,1301 …} \\ \ beta & = \ text {26,56505 …} \\ & \ ок \ текст {26,6} ° \ end {выровнять *}

\ (2 \ sin 3 \ theta + 1 = \ text {2,6} \)

\ begin {align *} 2 \ sin 3 \ theta + 1 & = \ text {2,6} \\ 2 \ sin 3 \ theta & = \ text {1,6} \\ \ sin 3 \ theta & = \ text {0,8} \\ 3 \ theta & = \ text {53,1301…} \\ \ theta & = \ text {17,71003 …} \\ & \ приблизительно \ text {17,7} ° \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ грех (х — у) & = \ грех (16-36) \\ & = \ грех (-20) \\ & = — \ text {0,3420201 …} \\ & \ приблизительно — \ text {0,342} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 3 \ грех х & = 3 \ грех (16) \\ & = \ text {0,826912…} \\ & \ приблизительно \ текст {0,827} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ tan x — \ tan y & = \ tan (16) — \ tan (36) \\ & = — \ text {0,439797 …} \\ & \ приблизительно — \ text {0,440} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ соз х + \ соз у & = \ соз (16) + \ соз (36) \\ & = \ текст {1,77027…} \\ & \ приблизительно \ текст {1,770} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ frac {1} {3} \ tan y & = \ frac {1} {3} \ tan (36) \\ & = \ текст {0,24218 …} \\ & \ приблизительно \ текст {0,242} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ text {cosec} (x — y) & = \ text {cosec} (16 — 36) \\ & = \ text {cosec} (-20) \\ & = \ frac {1} {\ sin (-20)} \\ & = — \ текст {2,

…} \\ & \ приблизительно — \ text {2,924} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 2 \ cos x + \ cos 3y & = 2 \ cos (16) + \ cos (3 (36)) \\ & = 2 \ соз 16 + \ соз 108 \\ & = \ text {1,61350 …} \\ & \ приблизительно \ текст {1,614} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ tan (2x — 5y) & = \ tan (2 (16) — 5 (36)) \\ & = \ загар (-148) \\ & = \ текст {0,624869…} \\ & \ приблизительный \ текст {0,625} \ end {выровнять *}

\ (\ sin x = \ text {0,814} \)

\ begin {align *} \ sin x & = \ text {0,814} \\ х & = \ текст {54,48860 …} \\ & \ приблизительно \ text {54,49} ° \ end {выровнять *}

\ (\ sin x = \ tan \ text {45} ° \)

\ begin {align *} \ sin x & = \ tan \ text {45} ° \\ & = 1 \\ х & = \ текст {90} ° \ end {выровнять *}

\ (\ tan 2x = \ text {3,123} \)

\ begin {align *} \ tan 2x & = \ text {3,123} \\ 2x & = \ text {72,244677…} \\ х & = \ текст {36,12233 …} \\ & \ ок \ текст {36,12} ° \ end {выровнять *}

\ (\ tan x = 3 \ sin \ text {41} ° \)

\ begin {align *} \ tan x & = 3 \ sin \ text {41} ° \\ & = \ текст {1,96817 …} \\ х & = \ текст {63,06558 …} \\ & \ ок \ текст {63,07} ° \ end {выровнять *}

\ (\ sin (2x + 45) = \ text {0,123} \)

\ begin {align *} \ sin (2x + 45 °) & = \ text {0,123} \\ 2x + 45 & = \ text {7,06527…} \\ 2x & = — \ text {37,9347 …} \\ x & = — \ text {18,9673 …} \\ & \ приблизительно — \ text {18,97} ° \ end {выровнять *}

\ (\ sin (x — 10 °) = \ cos \ text {57} ° \)

\ begin {align *} \ sin (x — 10 °) & = \ cos \ text {57} ° \\ & = \ текст {0,54463 …} \\ х — 10 & = \ текст {33} \\ х & = \ текст {43} ° \ end {выровнять *}

Список основных тригонометрических формул: таблица тригонометрии и идентификаторы: 10-й класс

Тригонометрические формулы впервые представлены студентам в учебнике математики NCERT для 10-го класса.Тригонометрические формулы и тождества — полезные инструменты для студентов при изучении приложений тригонометрии. Кроме того, ученые, геологи и астрономы применяют эти формулы при проведении определенных экспериментов.

Здесь вы можете изучить основные тригонометрические формулы, которые также пригодятся в старших классах. По мере прокрутки вы также можете изучать тригонометрические формулы и тождества, которые являются частью учебной программы по математике 11 и 12 классов. Прежде чем приступить к работе с формулами, ознакомьтесь с определением и применением тригонометрии.

В греческом языке слово «тригонометрия» делится на три части; «Три» означает три, «гон» означает стороны, а «метрон» означает измерять. Другими словами, тригонометрия — это раздел математики, с помощью которого вы можете изучать взаимосвязь между сторонами и углами треугольника.

Эта глава впервые представлена ​​в книге CBSE для класса 10 по математике, чтобы учащиеся научились вычислять расстояние между звездами и планетами от Земли или других небесных объектов.Студенты, желающие изучать инженерное дело, архитектуру или астрономию, должны изучить основные концепции тригонометрии в математике NCERT Class 10. Если вы начали практиковать эту главу, наши формулы тригонометрии для класса 10 будут вам полезны.

В тригонометрических отношениях мы определим отношения для углов измерения 0 ° и 90 °. С помощью формул мы можем вычислить тригонометрические отношения для некоторых конкретных углов.

Взяв за основу прямоугольный треугольник, дайте нам знать тригонометрические отношения угла 𝚹.

• синус ∠𝚹 = Сторона, противоположная углу 𝚹 / Гипотенуза
• Косинус ∠𝚹 = Сторона, примыкающая к углу 𝚹 / Гипотенуза
• тангенс ∠𝚹 = Сторона, противоположная углу / Сторона, прилегающая к углу 𝚹
• косеканс of ∠𝚹 = 1 / sin 𝚹 = Гипотенуза / Сторона, противоположная углу 𝚹
• Секущая ∠𝚹 = 1 / cos 𝚹 = Гипотенуза / Сторона, прилегающая к углу 𝚹
• Котангенс ∠𝚹 = 1 / tan 𝚹 = Сторона, прилегающая к угол 𝚹 / Сторона, противоположная углу 𝚹

С помощью таблицы тригонометрии вы можете узнать значения всех тригонометрических отношений меры 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °.

На предыдущих занятиях вы узнали, что уравнение называется тождеством, если его левая часть равна правой части. Точно так же тождество тригонометрии — это уравнение, которое включает использование тригонометрических соотношений. Просмотрите список тригонометрических личностей класса 10 ниже.

• cos2𝚹 + sin2𝚹 = 1
• 1 + tan2𝚹 = sec2𝚹
• 1 + cot2𝚹 = cosec2𝚹

Напомним из более ранних классов, если их называют двумя дополнительными углами. сумма равна 90 °.

• sin (90 ° — 𝚹) = cos 𝚹
• cos (90 ° — 𝚹) = sin 𝚹
• tan (90 ° — 𝚹) = детская кроватка 𝚹
• детская кроватка (90 ° — 𝚹) = загар 𝚹
• сек (90 ° — 𝚹) = косек 𝚹
• косек (90 ° — 𝚹) = сек 𝚹

После того, как вы очистили базовые формулы тригонометрии , можно продолжить с попыткой ответить на вопросы по тригонометрии из Книги по математике NCERT Class 11, применив соответствующие формулы, приведенные здесь.

Полная угловая мера 360 °, образующая круг. Угол также можно измерять в градусах или радианах.

• Радианная мера = (π / 180) x Градусная мера
• Градусная мера = (180 / π) x Радианная мера

Вы можете найти знаки тригонометрических функции в разных квадрантах, обратившись к таблице ниже.

• sin (-x) = — sin x
• cos (-x) = cos x
• tan (-x) = — tan x
• sec (-x) — sec x
• cosec (-x) = — cosec x
• cot (-x) = -cot x

Ниже приведен список производных тригонометрических функций, имеющих сумму и разность двух углов.

• cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y
• cos (x — y) = cos x cos y + sin x sin y
• sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
• sin (x — y) = sin x cos y — cos x sin y
• tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 — tan x tan y)
• tan (x — y) = (tan x — tan y) / (1 + tan x tan y)

• sin 2x = 2 sin x cos x = 2 tan x / (1 + tan2 x)
• cos 2x = cos2x — sin2 x = 1 — 2sin2x = 2cos2x — 1 = (1 — tan2x ) / (1 + tan2x)
• tan 2x = 2 tan x / (1 — tan2x)

• sin 3x = 3 sin x — 4 sin3x
• cos 3x = 4 cos3x — 3 cos x
• tan 3x = (3 tan x — tan3 x) / (1-3 tan2x)

• sin x = 2 sin (x / 2) cos (x / 2) = 2 tan (x / 2) / {1 + tan2 (x / 2)}
• cos x = cos2 (x / 2) — sin2 (x / 2) = 1 — 2sin2 (x / 2) = 2cos2 (x / 2) — 1 = {1 — tan2 (x / 2)} / {1 + tan2 (x / 2)}
• tan x = 2 tan (x / 2) / {1 — tan2 (x / 2)}
• cos2 (x / 2) = ½ (1 + cos x)
• sin2 (x / 2 ) = ½ (1 — cos x)

• cos x + cos y = 2 cos {(x + y) / 2} cos {( x — y) / 2}
• cos x — cos y = -2 sin {(x + y) / 2} sin {(x — y) / 2}
• sin x + sin y = 2 sin {(x + y) / 2} cos {(x — y) / 2}
• sin x — sin y = 2 cos {(x + y) / 2} sin {(x — y) / 2}

• 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x — y)
• -2 sin x sin y = cos (x + y) — cos (x — y )
• 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x — y)
• 2 cos x sin y = sin (x + y) — sin (x — y)

Запишите Список формул тригонометрии в записной книжке для дальнейшего использования.