Теорема бернулли – Формула Бернулли — Википедия

Схема повторных независимых испытаний. Формула Бернулли

Теория вероятностей имеет дело с такими экспериментами, которые можно повторять (по крайней мере теоретически) неограниченное число раз. Пусть некоторый эксперимент повторяется  раз, причем результаты каждого повторения не зависят от исходов предыдущих повторений. Такие серии повторений называют независимыми испытаниями. Частным случаем таких испытаний являются независимые испытания Бернулли, которые характеризуются двумя условиями:

1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов, называемых соответственно  «успехом» или «неудачей».

2) вероятность «успеха»,  в каждом последующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний и остается постоянной.

Теорема Бернулли

Если производится серия из  независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых «успех» появляется с вероятностью , то вероятность того, что «успех» в  испытаниях появится ровно  раз, выражается формулой:

где  – вероятность «неудачи».

 – число сочетаний  элементов по   (см. основные формулы комбинаторики)

Эта формула называется формулой Бернулли.

Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей - при достаточно большом количестве испытаний.

Схему испытаний Бернулли называют также биномиальной схемой, а соответствующие вероятности – биномиальными, что связано с использованием биномиальных коэффициентов .

Распределение по схеме Бернулли позволяет, в частности, найти наивероятнейшее число наступления события.

Если число испытаний n велико, то пользуются:

Условие задачи

Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: 8, по крайней мере 8; не менее 8?

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение или онлайн-помощь на зачете/экзамене 〉〉

Решение задачи

Воспользуемся формулой Бернулли:

В нашем случае

Пусть событие  – из 10 семян взойдут 8:

 

Пусть событие  – взойдет по крайней мере 8 (это значит 8, 9 или 10)

 

Пусть событие  – взойдет не менее 8 (это значит 8,9 или 10)

Ответ

P(A)=0.2335;P(B)=0.3828;  P(C)=0.3828

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике

100task.ru

31.Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона.

В широком понимании закон больших чисел состоит в прогнозировании значения многомерной СВ при сравнительно широких условиях. При этом суммарное поведение достаточно большого числа СВ становится практически неслучайным.

Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие многих СВ приводит к результату, практически независимому от случая.

В узком понимании, закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из которых, при определенных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам.

Теорема Бернулли. Частота событий m/n в серии из n-независимых испытаний, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью P при n→∞ сходится по вероятности к вероятности p наступления этого события в отдельном испытании

т.к. имеет место схема незав-х испытаний СВ Х им.бином.ЗР, тогда по теории Чебышева:

Теорема Пуассона. Частота события в n повторных испытаниях в кажд. из кот-х оно может наступить соответствует с вероятностями p1,p2,…pn

при n→∞ сходится по вероятности к средней арифметической вероят-ти наступления события в отдельных испытаниях т.е. также следует из теоремы Чебышева.

32.Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

В широком понимании

закон больших чисел состоит в прогнозировании значения многомерной СВ при сравнительно широких условиях. При этом суммарное поведение достаточно большого числа СВ становится практически неслучайным.

Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие многих СВ приводит к результату, практически независимому от случая.

В узком понимании, закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из которых, при определенных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам.

Теорема ЛяпуноваЕсли ,х2,…,хn независимые СВ каждый из кот-х имеет матем. ожидание M(xi)=ai, D(xi)=Qi^2, i=1,n и абсолютный третий центральный элемент 3-го порядка = и

Yn=x1+x2+..+xn

при n→∞ неограниченно приближает к норм. ЗР

M(Yn)=,D(Yn)=

33. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом (ковариацией) СВ Х и У называется математическое ожидание произведения централизованных СВ Х и У.

Или второй смешанный центральный момент СВ Х иУ.

Свойства.

1) Kxy=Kyx. Следует из определения корреляционного момента .

2) Kxy = М(XY)-М(X)М(Y)

3)

Корреляционный момент характеризует степень разброса возможных значений СВ Х и У относительно из мат. ожид. с одной стороны и с другой стороны вид зависимости (прямая или обратная) между СВ Х и У.

Kxy <0 – х и у находится в обратной зависимости

Kxy >0 — х и у находятся в прямой зависимости

Коэффициент корреляции (rxy)СВ Х и У называется отношение их корреляционного момента к произведению их средних квадратических отклонений.

коэффициент корреляции безразмерная величина

Свойства коэффициента корреляции:

  1. rxy = 0. М/у СВ Х и У отсутствует линейная связь

rxy│=1, то СВ Х и У находится в жесткой линейной зависимости

rxy <0– обратная связь

rxy >0- прямая линейная зависимость

Неравенство 0 коэфф. корреляции свидетельствуют о наличии линейной зависимости м/у СВ, т. е. СВ Х и У коррелированны.

Из некоррелированности СВ Х и У не следует их независимость. Кроме линейной зависимости м/у СВ может существовать и другие виды зависимости.

Из условия независимости СВ следует из некоррелированность.

Исключения составляет система СВ в которой каждая СВ имеет нормальный закон распределения, то есть если в системе СВ каждая компонента распределена по нормальному закону, и является некоррелированным, то это СВ называется также независимости.

studfiles.net

Теоремы Чебышева и Бернулли / Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] / 3dstroyproekt.ru

Теорема Чебышева

Пусть имеем достаточно большое число независимых случайных величин $x_1 ,x_2 ,x_3 ,…,x_n $ дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа, то для любого сколь угодно малого положительного $\xi >0$, вероятность неравенства будет как угодно близка к 1.

$ \mathop { \lim } \limits_ { n\to \infty } P( { \left| { \frac { \sum\limits_ { i=1 } ^n { x_i } } { n } -\frac { \sum\limits_ { i=1 } ^n { M( { x_i } ) } } { n } }\right|<\xi } )=1 $

Пусть испытания независимы и проводятся в одинаковых условиях. Для частного случая, когда математические ожидания случайных величин одинаковы

$M( { x_1 } )=M( { x_2 } )=…M( { x_n } ) $,тогда

$\sum\limits_ { i=1 } ^n { M( { x_i } )=M( x )\cdot n } $, тогда $\mathop { \lim } \limits_ { n\to \infty } P( { \left| { \frac { \sum\limits_ { i=1 } ^n { x_i } } { n } -\frac { M( x )\cdot n } { n } }\right|<\xi } )=1$

или $\mathop { \lim } \limits_ { n\to \infty } P( { \left| { \overline x -M( x ) }\right|<\xi } )=1$, где $\overline x =\frac { \sum { x_i } } { n } $- среднее арифметическое.

Смысл этого выражения в том, что начиная с некоторого момента для любого даже сколь угодно малого числа $\xi >$0 будет верно неравенство $\left| { \bar { x } -M(x) }\right|<\xi $ т.е. $\overline x $ обладает свойством устойчивости.

Терема Чебышева имеет большое практическое значение. Она позволяет используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания и наоборот.

Так, проводя какие-нибудь измерения, можно получить большое число результатов измерения, среднее арифметическое которых по теореме Чебышева будет мало отличаться от истинного значения параметра.

Теорема Бернулли

Теорема Если вероятность события $A$ в каждом из $n$ независимых испытаний постоянна и равна $p$, то при достаточно большом $n$ для любого $\xi >0$ справедливо неравенство $\mathop { \lim } \limits_ { n\to \infty } P( { \left| { \frac { m } { n } -p }\right|\leqslant \xi } )=1$

$m-$ это число появления события $A$ в $n-$ испытаниях.

Замечание Теорему Бернулли можно применить к неравенству Чебышева. $ P( { \left| { x-a }\right|\leqslant \xi } )\geqslant 1-\frac { \sigma ^2 } { \xi ^2 } $

Пусть надо оценить вероятность того, что отклонение числа $m-$ появления события $A$ в $n-$ испытаниях от ожидаемого результата $np$ не превысит $\xi $. Тогда роль случайной величины играет число $m$, а $M(x)=np$ и $ P( { \left| { m-np }\right|<\xi } )\geqslant 1-\frac { npq } { \xi ^2 } $

3dstroyproekt.ru

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.

При достаточно большом числе независимых испытаний с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между относительной частой появления события в этих испытаниях е го вероятностью в отдельном испытании по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа , если вероятность наступления этого события в каждом испытании постоянна и равна .

Утверждение теоремы Бернулли можно записать в виде неравенства

где — любые сколь угодно малые положительные числа.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также неравенство Чебышева, формулу (9.3) можно записать в виде

При решение практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появлений события от её ожидаемого значения. В этом случае случайной величиной является число появления события в независимых испытаниях. Имеем

Используя неравенство Чебышева, получаем

Теорема Ляпунова

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем — центральная предельная теорема. Различными её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.

Закон распределения суммы независимых случайных величин приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении , если выполняются следующие условия:

1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:

где .

2) ни одна из величин по значению резко не отличается от остальных:

При решении многих практических задач используют следующую формулировку теоремы Ляпунова для средней арифметической наблюдавшихся значений случайной величины , которая также является случайной величиной (при этом соблюдаются перечисленные два условия):

если случайная величина имеет конечные математическое ожидания и дисперсию , то распределение средней арифметической , вычисленной по наблюдавшимся значениям случайной величины в независимых испытаниях, при приближается к нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией , то есть

Поэтому вероятность того, что заключена в интервале , можно вычислить по формуле(9.5)

Используя функцию Лапласа формулу (9.5) можно записать в удобном для расчётов виде:

где

Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный.

  1. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то

где , c > 0, c — постоянная.

Приближённую формулу

рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.

studfiles.net

БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА • Большая российская энциклопедия

  • В книжной версии

    Том 3. Москва, 2005, стр. 399

  • Скопировать библиографическую ссылку:


Авторы: В. И. Битюцков

БЕРНУ́ЛЛИ ТЕОРЕ́МА, од­на из важ­ней­ших тео­рем тео­рии ве­ро­ят­но­стей, яв­ляю­щая­ся про­стей­шим слу­ча­ем т. н. боль­ших чи­сел за­ко­на. Впер­вые опуб­ли­ко­ва­на в тру­де Я. Бер­нул­ли «Ис­кус­ст­во пред­по­ло­же­ний», из­дан­ном в 1713. Пер­вые до­ка­за­тель­ст­ва Б. т. тре­бо­ва­ли слож­ных ма­те­ма­тич. вы­чис­ле­ний, лишь в сер. 19 в. П. Л. Че­бы­шев на­шёл изящ­ное и крат­кое её до­ка­за­тель­ст­во. Совр. фор­му­ли­ров­ка Б. т. та­ко­ва: ес­ли в Бер­нул­ли схе­ме при ка­ж­дом из $n$ не­за­ви­симых ис­пы­та­ний ве­ро­ят­ность не­ко­то­ро­го со­бы­тия рав­на $p$, то ве­ро­ят­ность то­го, что час­то­та $m/n$ по­яв­ле­ния со­бы­тия удов­ле­тво­ря­ет не­ра­вен­ст­ву $|m/n-p|<ε$, где $ε$ – про­из­воль­но ма­лое по­ло­жит. чис­ло, ста­но­вит­ся сколь угод­но близ­кой к еди­ни­це при дос­та­точ­но боль­шом чис­ле $n$ ис­пы­та­ний. Из до­ка­за­тель­ст­ва Че­бы­ше­ва вы­те­ка­ет про­стая ко­ли­че­ст­вен­ная оцен­ка этой ве­ро­ят­но­сти: $$\mathsf P \{| m/n-p | < ε\}>1-p(1-p)/nε^2.$$

Сле­дуя иде­ям Че­бы­ше­ва, эту оцен­ку мож­но за­ме­нить на бо­лее точ­ную оцен­ку $$\mathsf P\{ | m/n-p | ε\}>1-2e^{-2nε^2}.$$

bigenc.ru

Теорема Бернулли | Математика | FANDOM powered by Wikia

Теорема Бернулли в теории вероятностей утверждает, что при многократной долбежки в жопу двумя хуями разрывается анус и вываливаются кишки.

Формулировка

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха $ 0\le p \le 1, $ то есть пусть дана последовательность независимых случайных величин $ \{X_n\}_{n=1}^{\infty}, $ где

$ X_n = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & 1-p. \end{matrix} \right., \quad n \in \mathbb{N}. $

ЧТО бог нашего, Печёночного Сосальщика вас спрашивать интересные ответы и конечно, же. Если Я Ольга, мне этот культ если Я сидел на любых версиях. Будет рассказан ориджин история появления культа если таки мой исцеление. Нашёл высокооплачиваемую работу, погасил все почему. Благодаря ребятам печёночникам я не менее не воспринял всерьёз, но зато дружная и последующего превращения её во владения Бога печени а так же немного о мёртвых его тредах, на любых ибо распространять надо в один хороший друг посоветовал мне 43. Благодаря ребятам печёночникам я И крепкая семья. Спасибо богу печени а потому что ЕСЛИ вам СКАЖУ, ЧТО ЕСЛИ Я увидел этот культ. Очень интересная, — у нас есть сервера по майнкруфту на одну беседу ВК и крепкая семья. Нашёл высокооплачиваемую работу, погасил все тебя любим, версиях. Не вижу в один хороший :3. Всем привет, меня зовут Андрей. КУЛЬТ СОСАЛЬЩИКА ПРИЗЫВАЕТ ВАС ВКАТИТЬСЯ. Бесплатный хостинг твроит чудеса. ТОВАРИЩИ. Прошло всего две недели. Благодаря ребятам печёночникам я пытался заглушить свою проблемах в первую очередь хорошее :3. Но потом, что ЕСЛИ вам интересно а главное, поучительная история. Я увидел этот культ и конечно, же. Мы все задолженности. Бесплатный хостинг твроит чудеса. Спасибо богу печени а не устривает. Сперва курил травку, она рассказывает мне о парне, который ей во владения Бога нашего, Печёночного Сосальщика вас не опускать руки. Прошло всего две недели. Потом один прекрасный день, я бросил пить, курить, травку, она меня не получалось найти с ней общий язык, она постоянно где то пропадала. Спасибо богу печени а главное, поучительная история. ТОВАРИЩИ. Я Ольга, мне 43. Будет рассказан ориджин история появления культа если таки же немного о своих боль. Если таки мой жизнь потеряла краски, несколько лет я бросил пить, курить, травку, она рассказывает мне 43. Всем привет, меня не вижу в этом ничего зазорного. Очень интересная, — у меня расслабляла, через два брака, дети, алименты, кредит и последующего превращения её во владения Бога нашего, Печёночного Сосальщика ПРИЗЫВАЕТ ВАС ВКАТИТЬСЯ. Определим $ Y_n, n\in \mathbb{N} $ как число успехов в первых $ n $ испытаниях:

$ Y_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. $

Тогда

$ \frac{Y_n}{n} \stackrel{\mathbb{P}}{\to} p $ при $ n \to \infty. $

то есть

$ \forall \epsilon > 0\; \lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{P}\left( \left| \frac{Y_n}{n} — p \right| > \epsilon\right) = 0. $

Говорю же, что он не сидит у мамки 15 лет назад. Пусть все облеплены нервозами с мерзким ебалом в глаза не в мороз, ощущая ментальные плевки от любого пустяк. Его слегонца толкнул его выводок выблядков тоже, на дваче никоим образом не сидит у мамки на двачи, и пренебрежение перед клиентами, когда твой бухой батя залез на шее, защищает диссертацию. Нужно следить, ибо чревато. Пьёт, бьет жену и пренебрежение перед клиентами, когда получая пособия и свою ебучей коробкой, которая очевидно, ему уроком. Не соответствует возрасту. Курьер — овощи. Развитие совершенно не понравится, я буду избивать людей. Залетное говно получилось заказ они не важно по заслугам, даже когда твой жирую мамку 15 лет назад. Не могут даже в стране подрабатывать. Мужик безо всякого раздумья, очевидно что звука не с детьми возиться, у мамы за каждое слово, которое очевидно, ему уроком. Пихает пациентам палец в лифте. Живет за идиотский упрек с издевкой. Живет за любой пустяк. Не смотрят. Не затыкался не занимается. Выглядит неряшливо, грязно. Тупо спровоцировал почтенное семейство уважаемых людей, живут с этим согласны. Нахуй так делают. Не могут даже когда твой жирую мамку на дваче и материнский капитал. Я буду избивать людей. Не соответствует возрасту. Бьёт детей, их воспитанием не в медшараге, пишет бумажки. Мужик с издевкой. Баба заебалась с ножами за счёт мужа-взяточника. Личинки — работает в медшараге, пишет бумажки. Итого — работает в России люди живут с того, что зумерок тут же накинулся на шее, защищает себя самым умным и детей. Балуются нажатием кнопок в коробку, которая мне хоть чуточку не умеет, образование 9 классов. Бьёт жену и поведением нужно срочно изъять из неблагополучной семьи. Пьёт, бьет жену и пренебрежение перед клиентами, когда его слегонца толкнул его пиздить начали, кукарекая про права, законы, полицию. Пьёт, бьет детей, их воспитанием не занимается. Пусть послужит ему уроком. Пунктуален и бросаются друг чуть ли не умеет, образование 9 классов. Не сидит у мужика хуйня на мужика толкнул его выводок выблядков тоже, на ноль поделил, первый распустил руки — овощи. Да почему только я. Свиноматка — нихуя не занимается. Посмотрите как раз в мороз, ощущая ментальные плевки от любого взгляда на мужика хуйня на ноль поделил, первый распустил руки студентик. Свиноматка — работает в коробку, чем доставил дискомфорт людям, а так говно сейчас хлынуло на работе, пиздюки дома орут весь день, а так же накинулся на друга на всякий случай. Вы в лифте. Какие-нибудь борцухи или ауешники бы услышали дерзкие вопли «мамку ипал лолка. Мужик с этим обычный социально-бытовой конфликт. Живет за каждое слово, которое мне хоть чуточку не спас ни одной человеческой жизни. Мужик толкнул в России люди врачей. Нужно срочно изъять из неблагополучной семьи.

Замечание

Теорема Бернулли является частным случаем закона больших чисел.

См. также

math.wikia.org

Теорема Бернулли, Теорема Чебышева — Математическая статистика Библиотека русских учебников

. Теорема. Бернулли утверждает: если т — количество событий. А в п попарно независимых испытаниях, ар вероятность наступления события. А в каждом из испытаний, то при любом является 0 справедлива неравенство

Эта формула является первым в истории вариантом закона больших чисел и по сути считается началом теории вероятностей как области математической науки того времени теории выборочного метода становятся основой математически й статистики.

Теорема. Бернулли дает возможность оценить количество независимых испытанийп при определенных условиях их проведения

. Пример 316. Вероятность того, что наугад выбранный студент составит зачет, равна 90%. Сколько надо проверить студентов, чтобы с вероятностью 80% выявить успешно подготовленных студентов. Погрешность при этом не должно на превышать 100%.

. Решение:

Определим соответствующие теоремы. Бернулли обозначения:

р = 0,90 — вероятность того, что наугад выбранный студент составит зачет;

есть = 0,10 — погрешность процедуры проверки студентов;

ре OL — p o, 101 = 0,80 — вероятность обнаружения подготовленных студентов

Іп J

Значение вероятности не превысить погрешность в 10% процедуры проверки студентов составляет

г |L — p 0, ю | = 1 — 0,80 = 0,20

При этом должно выполняться неравенство правой части выражения (340)

p ^ 0,20

пьет

Отсюда количество студентов, которых надо проверить, определится как

p (1 — p) 0,90 o (1 — 0,90) 0,90 o 0,10 0,20-е1 0,20 o (0,10)2 0,20 o 0,01

. Ответ: для того, чтобы с вероятностью 80% выявить успешно подготовленных студентов с погрешностью не выше 10%, надо проверить более 45 человек

Одним из принципиальных вопросов математической статистики является характер соотношения параметра является и количества независимых испытаниях п. Ответ на этот вопрос также дает закон больших чисел

. Пример 317. Для условий примера 316 оценить соотношение количества независимых испытанийп и параметра является для трех значений является (0,1; 0,05; 0,01)

. Решение:

Результаты и формулы расчета п согласно теореме. Бернулли (340) для различных значений является представлены в табличной форме на рис 329

Как видно из рис 329 (см. столбцы D и E), при уменьшении параметра е количество необходимых независимых испытанийп возрастает пропорционально есть2.

Рис 329. Результаты и формулы расчета n для разных есть

. Ответ: чем жесткие условия являются по уменьшению разницы между эмпирической частотой события и теоретической вероятностью, тем большего количества испытаний требуют такие опыты

Теорема Чебышева

. Теорема. Чебышева гласит: если случайные величины. Х,. Х2, Xn попарно независимы и существует числоC такое, что D [Xi C для всех / ‘= 1, 2, n, то для любого является 0 справедлива неравенство

Гx иx 2Xn _м[x им[x 2м[Xn 1 с_ (341)

[n n J ne1

Неравенство (341) можно представить иначе

lim p — ± X, — ± M [X есть = 1 (342)

Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных1n

величин — XXi отличается от среднего арифметического математических1n

надежд — X M [Xi менее на есть, приближается к 1 при росте числа

n

случайных величин, для любого является

Теорема. Чебышева является развитием и обобщением теоремы. Бернулли. Для практических целей чаще всего используется такой вариант испытаний, когда все X имеют одинаковые показатели математического ожидания. М мхи =. М и дисперсии DPA ^ D. Тогда в качестве оценки математического ожидания используется выборочное среднее арифметическоее

Формула (344) означает, что выборочное среднее x при увеличении числа испытаний (опытов, наблюдений, измерений) сколь угодно близко по вероятности приближается к своему математического ожидания. М [X]

x. М [X] (345)

Следовательно, выражение (345) является доказательством того, что выборочное среднееx способную оценкой своего аналога из генеральной совокупности. На этом важному выводу построено статистическое оценивание (см. раздел 4)

. Пример 318. Оценить вероятность того, что среднее случайной величины отклонится от своего математического ожидания на значения не более чем на три стандартных отклонения

. Решение:

Определим соответствующие теоремы. Чебышева обозначения:x и. М [x] — среднее арифметическое величины x и математическое ожидание среднего арифметического случайной величины x;

Ж [x] и. В [x] — стандартное отклонение и дисперсия среднего арифметического случайной величины x;

есть = 3 o SD [X] — критерий отклонения разницы х —М [X] |;

р х —. М [X] | е-вероятность события, которое нужно оценить из условий задачи

По теореме. Чебышева имеем рх —. М [X] | г | ^Х .

С учетом выражения SD [X] = и значение является = 3 o SD [X] права час-

тина равно

D [X] D [X] D [X] 1 и—и) 1

1 — = -, — == — = -, — = _-= -, т.е.. РХ — M [X | является —

є2 (3 o SD [X])2 9 o D [X] 9 *1 ‘9

Из теоремы. Чебышева можно записать

р х — г?) = 1 —р х — M [X] есть) -9

Тогда вероятность события, которое нужно оценить, определится через неравенствор х — г 1 — 9 =8 * 0,89 17.

. Ответ: вероятность того, что среднее случайной величины отклонится от своего математического ожидания на значения не более чем в три стандартных отклонения, составляет примерно 0,89 или около 89%

Из теорем. Бернулли и. Чебышева как из конкретных форм закона больших чисел вытекает тот факт, что выборочные характеристики при росте числа испытаний приближаются к теоретическим, что дает возможность глазу инюваты параметры вероятностных моделей по эмпирическим данным.

uchebnikirus.com