Свойства степеней примеры решения: Ваш браузер не поддерживается

Содержание

Обобщение понятия степени и решение примеров со степенями

Здравствуйте. Многие ученики испытывают сложности при решении заданий, в которых встречаются выражения с корнями. В данной статье я попытаюсь обобщить материал по темам «Радикал» и «Степень». Покажу как решать некоторые задания. Если у Вас во время прочтения статьи появятся вопросы, Вы можете записаться ко мне на занятие, я с радостью помогу Вам во всем разобраться, помогу с решением именно Ваших задач! 

1. Свойства степеней и корней

Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равняется а.
Степень числа а с показателем обозначают an, например:

В общем случае при > 1  имеем

Число a называется

основой степени, число n — показателем степени.

Приведем основные свойства действий со степенями.

Приведенные свойства обобщаются для любых показателей степени

Часто в вычислениях используются степени с рациональным показателем. При этом удобным оказалось такое обозначение:

Корнем nой степени из числа а называется число b, n— я степень которого равняется a:

Корень также называется радикалом.

Корень нечетной степени n всегда существует. Корень четной степени 2из отрицательного числа не существует. Существуют два противоположных числа, которые являются корнями четной степени из положительного числа а > 0. Положительный корень n— ой степени из положительного числа называют арифметическим корнем.

Из формул (3), (4) вытекают такие свойства радикалов

Если степень корня n = 2, то показатель корня обычно не пишется.

 

Пример 1.1. Найти значение выражения

Подкоренное выражение разложим на простые множители:

Пример 1.2. Упростить выражение

Имеем: 

 

Пример 1.3. Извлечь корень 

Имеем: 

Пример 1.4. Упростить выражение 

Поскольку при

2. Действия с радикалами

1) Преобразование корня по формуле  называется внесением множителя под знак радикала.

Пример 2.1. Внести множитель под знак корня 5√2.

Исходя из формулы (7) получим 

Пример 2.2. Внести множитель под знак радикала xy  при x< 0.

Имеем равенство 

2) Преобразование корня исходя из формулы  называется вынесением множителя из-под знака радикала.

Пример 2.3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении  

Получим: 

Пример 2.4.

Вынести множитель из-под знака корня

Имеем: 

Пример 2.5. Вынести множитель из-под знака корня:

Радикалы вида , где a, b — рациональные числа, называются подобными. Их можно прибавлять и отнимать:

Пример 2.6. Упростить:

Пример 2.7. Сложить радикалы:

Пример 2.8. Выполнить действие:

Заметим, что равенство  не выполняется. В этом можно убедиться на таком примере:

Приведем примеры умножения радикалов.

Пример 2.9.

Аналогично освобождаются от кубических иррациональностей в знаменателе:

Рассмотрим более сложные примеры рационализации знаменателей:

Чтобы перемножить радикалы с разными степенями, их сначала превращают в радикалы с одинаковыми степенями.

Пример 2.10. Перемножим радикалы:

Во время умножения радикалов можно использовать формулы сокращенного умножения. Например:

Если радикалы находятся в знаменателе дроби, то, используя свойства радикалов, можно избавиться от иррациональности.

 

Пример 2.11. Рационализируем знаменатели дробей

Выражения  называются сопряженными. Произведение сопряженных выражений не содержит радикалов:

Это свойство используется для рационализации знаменателей.

Пример 2.12. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:

3. Вычисление иррациональных выражений

С помощью свойств корней можно упрощать и вычислять иррациональные выражения. 

Пример 3.1. Вычислить

Выполним последовательно действия:

Пример 3. 2. Вычислить:

Выполним действия.

Часто используется формула двойного радикала:

Пример 3.3. Исходя из формулы (8) находим:

Пример 3.4. Вычислить

Исходя из формулы (8) находим:

Окончательно получаем:

Аналогично вычисляются кубические корни. Имеем:

Возводим обе части равенства в куб:

Сравнивая выражения при

с, получаем однородную систему уравнений:

Поделив уравнение почленно, приходим к уравнению для = y/x:

Пример 3.5. Вычислить значение радикала

После возведения в куб уравнения приходим к системе уравнений:

Поделив почленно первое уравнение на второе, получим уравнение для z= y/x:

По схеме Горнера находим корень z = — ½

Из системы уравнений и уравнения y/x = — ½ находим x =

2= -1. Итак, 

Пример 3.6. Вычислить .

Возьмем .

Возведя обе части уравнения в куб, получаем откуда вытекает система уравнений

Система уравнений имеет очевидное решение x= 1, y= 1.

Поэтому .

Вычисляем радикал

Окончательно имеем = — 1.

Пример 3.7. Вычислить

Поскольку 

Дальше имеем:

Итак, = — 2.

Пример 3.8.

Вычислить

Возведем уравнение в куб, воспользовавшись равенством .

Получили для x кубическое уравнение


или x3 – 3x – 18 = 0,

имеет корни 

Во множестве действительных чисел имеем корень = 3.

4. Оценки для радикалов

Если 

Это неравенство можно использовать для доведения неровностей, которые содержат радикалы.

Пример 4.1. Доказать, что .

Возведя неравенство в шестую степень, получим очевидное неравенство

Можно приводить радикалы к одной и то й же самой степени :

Пример 4.2. Оценим  .

Поскольку

 

При преобразовании неравенств можно использовать символ V, понимая под ним знаки « > », « < », или « ». 

Пример 4.3. Какое число больше 

.

Поскольку 

На этом все. Напоминаю, что Вы можете записываться ко мне на занятия в расписании, я с радостью помогу Вам с любыми вопросами по математике или высшей математике.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решение примеров со степенями. Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Разделы: Математика

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Цели:

  • обучающие – повторить определение степени, правила умножения и деления степеней, возведения степени в степень, закрепить умения решения примеров, содержащих степени,
  • развивающие – развитие логического мышления учащихся, интереса к изучаемому материалу,
  • воспитывающие – воспитание ответственного отношения к учебе, культуры общения, чувства коллективизма.
  • Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация “Степени” для устного счета, карточки с заданиями, раздаточный материал.

    План урока:

  • Организационный момент.
  • Повторение правил
  • Устный счет.
  • Историческая справка.
  • Работа у доски.
  • Физкультминутка.
  • Работа на интерактивной доске.
  • Самостоятельная работа.
  • Домашнее задание.
  • Подведение итогов урока.
  • Ход урока

    I. Организационный момент

    Сообщение темы и целей урока.

    На предыдущих уроках вы открыли для себя удивительный мир степеней, научились умножать и делить степени, возводить их в степень. Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.

    II. Повторение правил (устно)

    1. Дайте определение степени с натуральным показателем? (Степенью числа а с натуральным показателем, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а . )
    2. Как умножить две степени? (Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели сложить.)
    3. Как разделить степень на степень? (Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.)
    4. Как возвести произведение в степень? (Чтобы возвести произведение в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень)
    5. Как возвести степень в степень? (Чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить тем же, а показатели перемножить)
    6. III. Устный счет (по мультимедиа)

      IV. Историческая справка

      Все задачи из папируса Ахмеса, который записан около 1650 года до н. э. связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, здесь присутствует и возведение в разные степени, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

      Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, и даже владели зачатками алгебры.

      V. Работа у доски

      Найдите значение выражения рациональным способом:

      Вычислите значение выражения:

      VI. Физкультминутка

    7. для глаз
    8. для шеи
    9. для рук
    10. для туловища
    11. для ног
    12. VII. Решение задач (с показом на интерактивной доске)

      Является ли корень уравнения положительным числом?

      xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

      Формулы степеней и корней.

      Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

      Число c является n -ной степенью числа a когда:

      Операции со степенями.

      1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

      2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

      3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

      (abc…) n = a n · b n · c n …

      4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

      5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

      Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

      Операции с корнями.

      1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

      2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

      3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

      4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

      5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

      Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

      Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

      Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

      Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

      Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

      Формулы степеней.

      6. a n = — деление степеней;

      7. — деление степеней;

      8. a 1/n = ;

      Степени правила действия со степенями

      1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

      (abc…) n = a n b n c n …

      Пример 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

      Практически более важно обратное преобразование:

      a n b n c n … = (abc…) n

      т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

      Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

      2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

      Пример 5. Пример 6.

      Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

      3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

      Пример 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

      4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

      Пример 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

      5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

      Пример 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Пример 14.

      www.maths.yfa1.ru

      Степени и корни

      Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

      нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

      Операции со степенями.

      1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

      a m · a n = a m + n .

      2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

      3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

      4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

      (a / b ) n = a n / b n .

      5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

      Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

      П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

      Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

      1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

      2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

      3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

      4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

      5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


      Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

      Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

      Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

      П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

      Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

      Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

      П р и м е р ы. 2 0 = 1, ( 5) 0 = 1, ( 3 / 5) 0 = 1.

      Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

      О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

      где a ≠ 0 , не существует.

      В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

      любое число.

      В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

      0 0 — любое число.

      Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

      1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

      2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

      что x – любое число; но принимая во внимание, что в

      нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

      Свойства степени

      Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

      Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

      Свойство № 1


      Произведение степеней

      При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

      a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

      Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
    • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

      Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
      посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

      Свойство № 2


      Частное степеней

      При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    • Записать частное в виде степени
      (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
    • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    Пример. Упростить выражение.
    4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3


    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

  • Пример.
    (a 4) 6 = a 4 · 6 = a 24
  • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .
  • По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

    Свойства 4


    Степень произведения

    При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

    (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

    • Пример 1.
      (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    • Пример 2.
      (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6
    • Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

      (a n · b n)= (a · b) n

      То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    • Пример. Вычислить.
      2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
    • Пример. Вычислить.
      0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
    • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

      Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

      Пример возведения в степень десятичной дроби.

      4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

      Свойства 5


      Степень частного (дроби)

      Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

      (a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

    • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
      (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
    • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Что представляют собой степенные выражения?

    В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

    Определение 1

    Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

    Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

    Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: (0 , 5) 2 + (0 , 5) — 2 2 .

    Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 — 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 — 2 2 — 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 — 2 · a — 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 — π , 2 3 3 + 5 .

    В качестве показателя может выступать переменная 3 x — 54 — 7 · 3 x — 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x .

    С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

    Основные виды преобразований степенных выражений

    В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

    Пример 1

    Вычислите значение степенного выражения 2 3 · (4 2 − 12) .

    Решение

    Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4 .

    Нам остается заменить степень 2 3 ее значением 8 и вычислить произведение 8 · 4 = 32 . Вот наш ответ.

    Ответ: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

    Пример 2

    Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 .

    Решение

    Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

    Ответ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

    Пример 3

    Представьте выражение со степенями 9 — b 3 · π — 1 2 в виде произведения.

    Решение

    Представим число 9 как степень 3 2 и применим формулу сокращенного умножения:

    9 — b 3 · π — 1 2 = 3 2 — b 3 · π — 1 2 = = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1

    Ответ: 9 — b 3 · π — 1 2 = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1 .

    А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

    Работа с основанием и показателем степени

    Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 и . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

    Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

    Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3 . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) и получить степенное выражение более простого вида a 2 · (x + 1) .

    Использование свойств степеней

    Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:

    Определение 2

    • a r · a s = a r + s ;
    • a r: a s = a r − s ;
    • (a · b) r = a r · b r ;
    • (a: b) r = a r: b r ;
    • (a r) s = a r · s .

    В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n , где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0 .

    Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

    При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

    Пример 4

    Представьте выражение a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 в виде степени с основанием a .

    Решение

    Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a 2) − 3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

    a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

    Ответ: a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

    Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

    Пример 5

    Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

    Решение

    Если мы применим равенство (a · b) r = a r · b r , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

    Есть еще один способ провести преобразования:

    3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

    Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

    Пример 6

    Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 , введите новую переменную t = a 0 , 5 .

    Решение

    Представим степень a 1 , 5 как a 0 , 5 · 3 . Используем свойство степени в степени (a r) s = a r · s справа налево и получим (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5 : получаем t 3 − t − 6 .

    Ответ: t 3 − t − 6 .

    Преобразование дробей, содержащих степени

    Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

    Пример 7

    Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 .

    Решение

    Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

    3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 3 · 5 2 3 · 5 — 2 3 — 2 — x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 — 3 · 5 2 3 + — 2 3 — 2 — x 2 = 3 · 5 1 — 3 · 5 0 — 2 — x 2

    Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 — 2 — x 2 = — 12 2 + x 2

    Ответ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = — 12 2 + x 2

    Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

    Пример 8

    Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

    Решение

    а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3 . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3 не обращается в нуль.

    Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3 :

    a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

    б) Обратим внимание на знаменатель:

    x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 — x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

    Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т. е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

    Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x и y выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
    1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

    Ответ: а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

    Пример 9

    Сократите дробь: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 .

    Решение

    а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 .

    Получаем:

    30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)

    б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

    a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 2 — b 1 2 2 = = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 — b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

    Ответ: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

    К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

    Пример 10

    Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

    Решение

    Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

    x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1

    Вычтем числители:

    x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 — x 1 2 — 1 · x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 — 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 — x 1 2 — 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 — x 1 2 2 — 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

    Теперь умножаем дроби:

    4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

    Произведем сокращение на степень x 1 2 , получим 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 .

    Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 — 1 2 = 4 x — 1 .

    Ответ: x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x — 1

    Пример 11

    Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
    Решение

    Мы можем произвести сокращение дроби на (x 2 , 7 + 1) 2 . Получаем дробь x 3 4 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

    Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 — — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

    Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

    Ответ: x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

    Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x + 1) — 0 , 2 3 · x — 1 можно заменить на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

    Преобразование выражений с корнями и степенями

    В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

    Пример 12

    Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

    Решение

    Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x ≥ 0 и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞) .

    На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

    x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

    Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

    x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

    Ответ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

    Преобразование степеней с переменными в показателе

    Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0 .

    Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

    5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

    Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

    5 · 5 — 3 · 5 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

    Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x 7 x — 2 = 0 .

    Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x — 3 · 5 7 x — 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 — 3 · 5 7 x — 2 = 0 .

    Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

    Преобразование выражений со степенями и логарифмами

    Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 — 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 — log 3 5) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Степень используется для упрощения записи операции умножения числа само на себя. Например, вместо записи можно написать 4 5 {\displaystyle 4^{5}} (объяснение такому переходу дано в первом разделе этой статьи). {a}ix=cosax+isinax} , где i = (− 1) {\displaystyle i={\sqrt {(}}-1)} ; е — константа, примерно равная 2,7; а — произвольная постоянная. Доказательство этого равенства можно найти в любом учебнике по высшей математике.

    Предупреждения

    • При увеличении показателя степени ее значение сильно возрастает. Поэтому если ответ кажется вам неправильным, на самом деле он может оказаться верным. Вы можете проверить это, построив график любой показательной функции, например, 2 x .

    Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

    В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

    Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

    Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

    Онлайн-калькулятор возведения в степень

    Что такое степень числа

    Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

    Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

    Математически это выглядит следующим образом:

    a n = a * a * a * …a n .

    Например:

    • 2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
    • 4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
    • 5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
    • 10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
    • 10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

    Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

    Таблица степеней от 1 до 10

    Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

    Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
    1 1 1
    2 4 8
    3 9 27
    4 16 64
    5 25 125
    6 36 216
    7 49 343
    8 64 512
    9 81 279
    10 100 1000

    Свойства степеней

    Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

    Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

    • a n * a m = (a) (n+m) ;
    • a n: a m = (a) (n-m) ;
    • (a b) m =(a) (b*m) .

    Проверим на примерах:

    2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

    Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.

    (2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

    Как видим, правила работают.

    А как же быть со сложением и вычитанием ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

    Посмотрим на примерах:

    • 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
    • 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.

    А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

    Как производить вычисления в более сложных случаях ? Порядок тот же:

    • при наличии скобок – начинать нужно с них;
    • затем возведение в степень;
    • потом выполнять действия умножения, деления;
    • после сложение, вычитание.

    Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

    1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
    2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
    3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
    4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
    5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
    6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

    Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

    Степень с отрицательным показателем

    Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

    Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается :

    A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

    И наоборот:

    1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

    А если дробь?

    (A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

    Степень с натуральным показателем

    Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

    Что нужно запомнить:

    A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.

    A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.

    Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

    Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

    Дробная степень

    Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

    С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

    Степень с иррациональным показателем

    Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

    Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

    • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;

    А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;

    В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

    Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

    r 1 – в этом случае равно 3;

    r 2 – будет равно 4.

    Тогда, при А = 1, 1 π = 1.

    А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

    А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

    Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

    Заключение

    Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

    Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

    На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

    Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

    Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

    1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

    3. a n a m = a n + m

    4. (a n) m = a nm

    5. a n b n = (ab) n

    7. a n /a m = a n — m

    Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

    Примеры показательных уравнений:

    В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

    Приведем еще примеры показательных уравнений.
    2 x *5=10
    16 x — 4 x — 6=0

    Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

    Возьмем простое уравнение:

    2 х = 2 3

    Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
    А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

    2 х = 2 3
    х = 3

    Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

    Теперь подведем итоги нашего решения.

    Алгоритм решения показательного уравнения:
    1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
    2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

    Теперь прорешаем несколько примеров:

    Начнем с простого.

    Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

    x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
    x=4 — 2
    x=2
    Ответ: x=2

    В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

    3 3х — 9 х+8 = 0

    Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

    Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

    3 3х = (3 2) х+8

    Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

    3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

    3x=2x+16 получили простейшее уравнение
    3x — 2x=16
    x=16
    Ответ: x=16.

    Смотрим следующий пример:

    2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

    В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

    4 х = (2 2) х = 2 2х

    И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

    2 2х+4 = 2 2х 2 4

    Добавляем в уравнение:

    2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

    Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

    2 2х (2 4 — 10) = 24

    Посчитаем выражение в скобках:

    2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

    Все уравнение делим на 6:

    Представим 4=2 2:

    2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
    2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
    х = 1
    Ответ: х = 1.

    Решим уравнение:

    9 х – 12*3 х +27= 0

    Преобразуем:
    9 х = (3 2) х = 3 2х

    Получаем уравнение:
    3 2х — 12 3 х +27 = 0

    Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

    Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

    Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

    t 2 — 12t+27 = 0
    Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
    D=144-108=36
    t 1 = 9
    t 2 = 3

    Возвращаемся к переменной x .

    Берем t 1:
    t 1 = 9 = 3 х

    Стало быть,

    3 х = 9
    3 х = 3 2
    х 1 = 2

    Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
    t 2 = 3 = 3 х
    3 х = 3 1
    х 2 = 1
    Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

    На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

    Вступайте в группу

    Свойства степеней примеры решения. Решение показательных уравнений

    Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

    В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

    Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

    Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

    Онлайн-калькулятор возведения в степень

    Что такое степень числа

    Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

    Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

    Математически это выглядит следующим образом:

    a n = a * a * a * …a n .

    Например:

    • 2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
    • 4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
    • 5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
    • 10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
    • 10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

    Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

    Таблица степеней от 1 до 10

    Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

    Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
    1 1 1
    2 4 8
    3 9 27
    4 16 64
    5 25 125
    6 36 216
    7 49 343
    8 64 512
    9 81 279
    10 100 1000

    Свойства степеней

    Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

    Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

    • a n * a m = (a) (n+m) ;
    • a n: a m = (a) (n-m) ;
    • (a b) m =(a) (b*m) .

    Проверим на примерах:

    2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

    Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.

    (2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

    Как видим, правила работают.

    А как же быть со сложением и вычитанием ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

    Посмотрим на примерах:

    • 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
    • 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.

    А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

    Как производить вычисления в более сложных случаях ? Порядок тот же:

    • при наличии скобок – начинать нужно с них;
    • затем возведение в степень;
    • потом выполнять действия умножения, деления;
    • после сложение, вычитание.

    Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

    1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
    2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
    3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
    4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
    5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
    6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

    Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

    Степень с отрицательным показателем

    Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

    Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается :

    A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

    И наоборот:

    1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

    А если дробь?

    (A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

    Степень с натуральным показателем

    Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

    Что нужно запомнить:

    A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.

    A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.

    Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

    Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

    Дробная степень

    Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

    С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

    Степень с иррациональным показателем

    Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

    Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

    • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;

    А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;

    В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

    Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

    r 1 – в этом случае равно 3;

    r 2 – будет равно 4.

    Тогда, при А = 1, 1 π = 1.

    А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

    А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

    Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

    Заключение

    Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

    Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

    I. Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n -й степенью числа а и обозначается а n .

    Примеры. Записать произведение в виде степени.

    1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5·5·5·5·ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

    Решение.

    1) mmmm=m 4 , так как, по определению степени, произведение четырех сомножителей, каждый из которых равен m , будет четвертой степенью числа m .

    2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

    II. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, а n – степень, а – основание степени, n – показатель степени. Например:

    2 3 — это степень. Число 2 — основание степени, показатель степени равен 3 . Значение степени 2 3 равно 8, так как 2 3 =2·2·2=8.

    Примеры. Написать следующие выражения без показателя степени.

    5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8) 2a 4 +3b 2 .

    Решение.

    5) 4 3 = 4·4·4; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

    III. а 0 =1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Например, 25 0 =1.
    IV. а 1 =а Любое число в первой степени равно самому себе.

    V. a m a n = a m + n При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

    Примеры. Упростить:

    9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 ·b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

    Решение.

    9) a·a 3 ·a 7 =a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 ·b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

    11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 = 1·c 2 ·c·c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

    VI. a m : a n = a m n При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    Примеры. Упростить:

    12) a 8:a 3 ; 13) m 11:m 4 ; 14) 5 6:5 4 .

    12) a 8:a 3 =a 8-3 =a 5 ; 13) m 11:m 4 =m 11-4 =m 7 ; 14) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

    VII. (a m ) n = a mn При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

    Примеры. Упростить:

    15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2 .

    15) (a 3) 4 =a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2 =c 5·2 =c 10 .

    Обратите внимание , что, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то :

    15) (a 3) 4 =(a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .

    V I II . (a∙b) n =a n ∙b n При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

    Примеры. Упростить:

    17) (2a 2) 5 ; 18) 0,2 6 ·5 6 ; 19) 0,25 2 ·40 2 .

    Решение.

    17) (2a 2) 5 =2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 ·5 6 =(0,2·5) 6 =1 6 =1;

    19) 0,25 2 ·40 2 =(0,25·40) 2 =10 2 =100.


    IX. При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

    Примеры. Упростить:

    Решение.

    Страница 1 из 1 1

    Урок на тему: «Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями.

    3=8$.

    Разделы: Математика

    Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

    Цели:

  • обучающие – повторить определение степени, правила умножения и деления степеней, возведения степени в степень, закрепить умения решения примеров, содержащих степени,
  • развивающие – развитие логического мышления учащихся, интереса к изучаемому материалу,
  • воспитывающие – воспитание ответственного отношения к учебе, культуры общения, чувства коллективизма.
  • Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация “Степени” для устного счета, карточки с заданиями, раздаточный материал.

    План урока:

  • Организационный момент.
  • Повторение правил
  • Устный счет.
  • Историческая справка.
  • Работа у доски.
  • Физкультминутка.
  • Работа на интерактивной доске.
  • Самостоятельная работа.
  • Домашнее задание.
  • Подведение итогов урока.
  • Ход урока

    I. Организационный момент

    Сообщение темы и целей урока.

    На предыдущих уроках вы открыли для себя удивительный мир степеней, научились умножать и делить степени, возводить их в степень. Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.

    II. Повторение правил (устно)

    1. Дайте определение степени с натуральным показателем? (Степенью числа а с натуральным показателем, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а .)
    2. Как умножить две степени? (Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели сложить.)
    3. Как разделить степень на степень? (Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.)
    4. Как возвести произведение в степень? (Чтобы возвести произведение в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень)
    5. Как возвести степень в степень? (Чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить тем же, а показатели перемножить)
    6. III. Устный счет (по мультимедиа)

      IV. Историческая справка

      Все задачи из папируса Ахмеса, который записан около 1650 года до н. э. связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, здесь присутствует и возведение в разные степени, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

      Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, и даже владели зачатками алгебры.

      V. Работа у доски

      Найдите значение выражения рациональным способом:

      Вычислите значение выражения:

      VI. Физкультминутка

    7. для глаз
    8. для шеи
    9. для рук
    10. для туловища
    11. для ног
    12. VII. Решение задач (с показом на интерактивной доске)

      Является ли корень уравнения положительным числом?

      xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

      Формулы степеней и корней.

      Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

      Число c является n -ной степенью числа a когда:

      Операции со степенями.

      1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

      2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

      3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

      (abc…) n = a n · b n · c n …

      4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

      5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

      Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

      Операции с корнями.

      1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

      2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

      3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

      4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

      5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

      Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

      Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

      Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

      Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

      Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

      Формулы степеней.

      6. a n = — деление степеней;

      7. — деление степеней;

      8. a 1/n = ;

      Степени правила действия со степенями

      1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

      (abc…) n = a n b n c n …

      Пример 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

      Практически более важно обратное преобразование:

      a n b n c n … = (abc…) n

      т. е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

      Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

      2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

      Пример 5. Пример 6.

      Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

      3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

      Пример 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

      4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

      Пример 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

      5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

      Пример 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Пример 14.

      www.maths.yfa1.ru

      Степени и корни

      Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

      нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

      Операции со степенями.

      1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

      a m · a n = a m + n .

      2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

      3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

      4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

      (a / b ) n = a n / b n .

      5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

      Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

      П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

      Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

      1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

      2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

      3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

      4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

      5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


      Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

      Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

      Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

      П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

      Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

      Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

      П р и м е р ы. 2 0 = 1, ( 5) 0 = 1, ( 3 / 5) 0 = 1.

      Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

      О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

      где a ≠ 0 , не существует.

      В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

      любое число.

      В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

      0 0 — любое число.

      Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

      1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

      2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т. e. 1 = 1, откуда следует,

      что x – любое число; но принимая во внимание, что в

      нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

      Свойства степени

      Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

      Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

      Свойство № 1


      Произведение степеней

      При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

      a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

      Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
    • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

      Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
      посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

      Свойство № 2


      Частное степеней

      При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    • Записать частное в виде степени
      (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
    • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    Пример. Упростить выражение.
    4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3


    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

  • Пример.
    (a 4) 6 = a 4 · 6 = a 24
  • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .
  • По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

    Свойства 4


    Степень произведения

    При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

    (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

    • Пример 1.
      (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    • Пример 2.
      (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6
    • Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

      (a n · b n)= (a · b) n

      То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    • Пример. Вычислить.
      2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
    • Пример. Вычислить.
      0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
    • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

      Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

      Пример возведения в степень десятичной дроби.

      4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

      Свойства 5


      Степень частного (дроби)

      Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

      (a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

    • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
      (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
    • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

    Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

    Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

    1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

    3. a n a m = a n + m

    4. (a n) m = a nm

    5. a n b n = (ab) n

    7. a n /a m = a n — m

    Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

    Примеры показательных уравнений:

    В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

    Приведем еще примеры показательных уравнений.
    2 x *5=10
    16 x — 4 x — 6=0

    Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

    Возьмем простое уравнение:

    2 х = 2 3

    Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
    А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

    2 х = 2 3
    х = 3

    Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

    Теперь подведем итоги нашего решения.

    Алгоритм решения показательного уравнения:
    1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
    2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

    Теперь прорешаем несколько примеров:

    Начнем с простого.

    Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

    x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
    x=4 — 2
    x=2
    Ответ: x=2

    В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

    3 3х — 9 х+8 = 0

    Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

    Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

    3 3х = (3 2) х+8

    Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

    3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

    3x=2x+16 получили простейшее уравнение
    3x — 2x=16
    x=16
    Ответ: x=16.

    Смотрим следующий пример:

    2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

    В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

    4 х = (2 2) х = 2 2х

    И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

    2 2х+4 = 2 2х 2 4

    Добавляем в уравнение:

    2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

    Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

    2 2х (2 4 — 10) = 24

    Посчитаем выражение в скобках:

    2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

    Все уравнение делим на 6:

    Представим 4=2 2:

    2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
    2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
    х = 1
    Ответ: х = 1.

    Решим уравнение:

    9 х – 12*3 х +27= 0

    Преобразуем:
    9 х = (3 2) х = 3 2х

    Получаем уравнение:
    3 2х — 12 3 х +27 = 0

    Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

    Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

    Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

    t 2 — 12t+27 = 0
    Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
    D=144-108=36
    t 1 = 9
    t 2 = 3

    Возвращаемся к переменной x .

    Берем t 1:
    t 1 = 9 = 3 х

    Стало быть,

    3 х = 9
    3 х = 3 2
    х 1 = 2

    Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
    t 2 = 3 = 3 х
    3 х = 3 1
    х 2 = 1
    Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

    На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

    Вступайте в группу

    Степень с отрицательным показателем, 8 класс, примеры

    Дата публикации: . 1=2\)

     

    Готов ответ.

    Ответ: \(2\)

    Степень с натуральным показателем

    Предварительные навыки

    Что такое степень?

    Степенью называют произведение из нескольких одинаковых множителей. Например:

    2 × 2 × 2

    Значение данного выражения равно 8

    2 × 2 × 2 = 8

    Левую часть этого равенства можно сделать короче – сначала записать повторяющийся множитель и указать над ним сколько раз он повторяется. Повторяющийся множитель в данном случае это 2. Повторяется он три раза. Поэтому над двойкой записываем тройку:

    23 = 8

    Это выражение читается так: «два в третьей степени равно восемь» или «третья степень числа 2 равна 8».

    Короткую форму записи перемножения одинаковых множителей используют чаще. Поэтому надо помнить, что если над каким-то числом надписано другое число, то это есть перемножение нескольких одинаковых множителей.

    Например, если дано выражение 53, то следует иметь ввиду, что это выражение равносильно записи 5 × 5 × 5.

    Число, которое повторяется называют основанием степени. В выражении 5основанием степени является число 5.

    А число, которое надписано над числом 5 называют показателем степени. В выражении 5показателем степени является число 3. Показатель степени показывает сколько раз повторяется основание степени. В нашем случае основание 5 повторяется три раза

    Саму операцию перемножения одинаковых множителей называют возведением в степень.

    Например, если нужно найти произведение из четырёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, то говорят, что число 2 возводится в четвёртую степень:

    Видим, что число 2 в четвёртой степени есть число 16.

    Отметим, что в данном уроке мы рассматриваем степени с натуральным показателем. Это вид степени, показателем которой является натуральное число. Напомним, что натуральными называют целые числа, которые больше нуля. Например, 1, 2, 3 и так далее.

    Вообще, определение степени с натуральным показателем выглядит следующим образом:

    Степень числа a с натуральным показателем n — это выражение вида an, которое равно произведению n множителей, каждый из которых равен a

    Примеры:

    Следует быть внимательным при возведении числа в степень. Часто по невнимательности человек умножает основание степени на показатель.

    Например, число 5 во второй степени есть произведение двух множителей каждый из которых равен 5. Это произведение равно 25

    Теперь представим, что мы по невнимательности умножили основание 5 на показатель 2

    Получилась ошибка, поскольку число 5 во второй степени не равно 10.

    Дополнительно следует упомянуть, что степень числа с показателем 1, есть само это число:

    Например, число 5 в первой степени есть само число 5

    Соответственно, если у числа отсутствует показатель, то надо считать, что показатель равен единице.

    Например, числа 1, 2, 3 даны без показателя, поэтому их показатели будут равны единице. Каждое из этих чисел можно записать с показателем 1

    А если возвести 0 в какую-нибудь степень, то получится 0. Действительно, сколько бы раз ничего не умножалось на само себя получится ничего. Примеры:

    А выражение 0 не имеет смысла. Но в некоторых разделах математики, в частности анализе и теории множеств, выражение 00 может иметь смысл.

    Для тренировки решим несколько примеров на возведение чисел в степени.

    Пример 1. Возвести число 3 во вторую степень.

    Число 3 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 3

    32 = 3 × 3 = 9


    Пример 2. Возвести число 2 в четвертую степень.

    Число 2 в четвертой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен 2

    24 =2 × 2 × 2 × 2 = 16


    Пример 3. Возвести число 2 в третью степень.

    Число 2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен 2

    23 =2 × 2 × 2 = 8


    Возведение в степень числа 10

    Чтобы возвести в степень число 10, достаточно дописать после единицы количество нулей, равное показателю степени.

    Например, возведем число 10 во вторую степень. Сначала запишем само число 10 и в качестве показателя укажем число 2

    102

    Теперь ставим знак равенства, записываем единицу и после этой единицы записываем два нуля, поскольку количество нулей должно быть равно показателю степени

    102 = 100

    Значит, число 10 во второй степени это число 100. Связано это с тем, что число 10 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 10

    102 = 10 × 10 = 100


    Пример 2. Возведём число 10 в третью степень.

    В данном случае после единицы будут стоять три нуля:

    103 = 1000


    Пример 3. Возведем число 10 в четвёртую степень.

    В данном случае после единицы будут стоять четыре нуля:

    104 = 10000


    Пример 4. Возведем число 10 в первую степень.

    В данном случае после единицы будет стоять один нуль:

    101 = 10


    Представление чисел 10, 100, 1000 в виде степени с основанием 10

    Чтобы представить числа 10, 100, 1000 и 10000 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать число, равное количеству нулей исходного числа.

    Представим число 10 в виде степени с основанием 10. Видим, что в нём один нуль. Значит, число 10 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 101

    10 = 101


    Пример 2. Представим число 100 в виде степени основанием 10. Видим, что число 100 содержит два нуля. Значит, число 100 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 102

    100 = 102


    Пример 3. Представим число 1 000 в виде степени с основанием 10.

    1 000 = 103


    Пример 4. Представим число 10 000 в виде степени с основанием 10.

    10 000 = 104


    Возведение в степень отрицательного числа

    При возведении в степень отрицательного числа, его обязательно нужно заключить в скобки.

    Например, возведём отрицательное число −2 во вторую степень. Число −2 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен (−2)

    (−2)2 = (−2) × (−2) = 4

    Если бы мы не заключили в скобки число −2, то получилось бы что мы вычисляем выражение −22, которое не равно 4. Выражение −2² будет равно −4. Чтобы понять почему, коснёмся некоторых моментов.

    Когда мы ставим перед положительным числом минус, мы тем самым выполняем операцию взятия противоположного значения.

    Допустим, дано число 2, и нужно найти его противоположное число. Мы знаем, что противоположное числу 2 это число −2. Иными словами, чтобы найти противоположное число для 2, достаточно поставить минус перед этим числом. Вставка минуса перед числом уже считается в математике полноценной операцией. Эту операцию, как было указано выше, называют операцией взятия противоположного значения.

    В случае с выражением −22 происходит две операции: операция взятия противоположного значения и возведение в степень. Возведение в степень является более приоритетной операцией, чем взятие противоположного значения.

    Поэтому выражение −22 вычисляется в два этапа. Сначала выполняется операция возведения в степень. В данном случае во вторую степень было возведено положительное число 2

    Затем выполнилось взятие противоположного значения. Это противоположное значение было найдено для значения 4. А противоположное значение для 4 это −4

    −2 = −4

    Скобки же имеют самый высокий приоритет выполнения. Поэтому в случае вычисления выражения (−2)2 сначала выполняется взятие противоположного значения, а затем во вторую степень возводится отрицательное число −2. В результате получается положительный ответ 4, поскольку произведение отрицательных чисел есть положительное число.

    Пример 2. Возвести число −2 в третью степень.

    Число −2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен (−2)

    (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8


    Пример 3. Возвести число −2 в четвёртую степень.

    Число −2 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен (−2)

    (−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

    Легко заметить, что при возведении в степень отрицательного числа может получиться либо положительный ответ либо отрицательный. Знак ответа зависит от показателя исходной степени.

    Если показатель степени чётный, то ответ будет положительным. Если показатель степени нечётный, ответ будет отрицательным. Покажем это на примере числа −3

    В первом и в третьем случае показатель был нечётным числом, поэтому ответ стал отрицательным.

    Во втором и в четвёртом случае показатель был чётным числом, поэтому ответ стал положительным.


    Пример 7. Возвести число −5 в третью степень.

    Число −5 в третьей степени это произведение трёх множителей каждый из которых равен −5. Показатель 3 является нечётным числом, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет отрицательным:

    (−5)3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125


    Пример 8. Возвести число −4 в четвёртую степень.

    Число −4 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен −4. При этом показатель 4 является чётным, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет положительным:

    (−4)4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256


    Нахождение значений выражений

    При нахождении значений выражений, не содержащих скобки, возведение в степень будет выполняться в первую очередь, далее умножение и деление в порядке их следования, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.

    Пример 1. Найти значение выражения 2 + 52

    Сначала выполняется возведение в степень. В данном случае во вторую степень возводится число 5 — получается 25. Затем этот результат складывается с числом 2

    2 + 52 = 2 + 25 = 27


    Пример 10. Найти значение выражения −62 × (−12)

    Сначала выполняется возведение в степень. Заметим, что число −6 не взято в скобки, поэтому во вторую степень будет возведено число 6, затем перед результатом будет поставлен минус:

    −62 × (−12) = −36 × (−12)

    Завершаем пример, умножив −36 на (−12)

    −62 × (−12) = −36 × (−12) = 432


    Пример 11. Найти значение выражения −3 × 22

    Сначала выполняется возведение в степень. Затем полученный результат перемножается с числом −3

    −3 × 22 = −3 × 4 = −12

    Если выражение содержит скобки, то сначала нужно выполнить действия в этих скобках, далее возведение в степень, затем умножение и деление, а затем сложение и вычитание.


    Пример 12. Найти значение выражения (32 + 1 × 3) − 15 + 5

    Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок применяем ранее изученные правила, а именно сначала возводим во вторую степень число 3, затем выполняем умножение 1 × 3, затем складываем результаты возведения в степень числа 3 и умножения 1 × 3. Далее выполняется вычитание и сложение в порядке их следования. Расставим такой порядок выполнения действия над исходным выражением:

    (32 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2


    Пример 13. Найти значение выражения 2 × 53 + 5 × 23

    Сначала возведем числа в степени, затем выполним умножение и сложим полученные результаты:

    2 × 53 + 5 × 23 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290


    Тождественные преобразования степеней

    Над степенями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым упрощая их.

    Допустим, потребовалось вычислить выражение (23)2. В данном примере два в третьей степени возводится во вторую степень. Иными словами, степень возводится в другую степень.

    (23)2это произведение двух степеней, каждая из которых равна 23

    При этом каждая из этих степеней является произведением трёх множителей, каждый из которых равен 2

    Получили произведение 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, которое равно 64. Значит значение выражения (23)2 или равно 64

    Этот пример можно значительно упростить. Для этого показатели выражения (23)2 можно перемножить и записать это произведение над основанием 2

    Получили 26. Два в шестой степени это произведение шести множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение равно 64

    Данное свойство работает по причине того, что 23 это произведение 2 × 2 × 2, которое в свою очередь повторяется два раза. Тогда получается, что основание 2 повторяется шесть раз. Отсюда можно записать, что 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 это 26

    Вообще, для любого основания a с показателями m и n, выполняется следующее равенство:

    (an)m = an × m

    Это тождественное преобразование называют возведением степени в степень. Его можно прочитать так: «При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают».

    После перемножения показателей, получится другая степень, значение которой можно найти.

    Пример 2. Найти значение выражения (32)2

    В данном примере основанием является 3, а числа 2 и 2 являются показателями. Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Основание оставим без изменений, а показатели перемножим:

    Получили 34. А число 3 в четвёртой степени есть 81

    Рассмотрим остальные преобразования.

    Умножение степеней

    Чтобы перемножить степени, нужно по отдельности вычислить каждую степень, и полученные результаты перемножить.

    Например, умножим 22 на 33.

    22 это число 4, а 33 это число 27. Перемножаем числа 4 и 27, получаем 108

    22 × 33 = 4 × 27 = 108

    В этом примере основания степеней были разными. В случае, если основания будут одинаковыми, то можно записать одно основание, а в качестве показателя записать сумму показателей исходных степеней.

    Например, умножим 22 на 23

    В данном примере основания у степеней одинаковые. В этом случае можно записать одно основание 2 и в качестве показателя записать сумму показателей степеней 22 и 23. Иными словами, основание оставить без изменений, а показатели исходных степеней сложить. Выглядеть это будет так:

    Получили 25. Число 2 в пятой степени есть 32

    Данное свойство работает по причине того, что 22 это произведение 2 × 2, а 23 это произведение 2 × 2 × 2. Тогда получается произведение из пяти одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение представимо в виде 25

    Вообще, для любого a и показателей m и n выполняется следующее равенство:

    Это тождественное преобразование носит название основного свойства степени. Его можно прочитать так: «При перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают».

    Отметим, что данное преобразование можно применять при любом количестве степеней. Главное, чтобы основание было одинаковым.

    Например, найдем значение выражения 21 × 22 × 23. Основание 2 оставим без изменений, а показатели сложим:

    В некоторых задачах достаточным бывает выполнить соответствующее преобразование, не вычисляя итоговую степень. Это конечно же очень удобно, поскольку вычислять большие степени не так-то просто.

    Пример 1. Представить в виде степени выражение 58 × 25

    В данной задаче нужно сделать так, чтобы вместо выражения 58 × 25 получилась одна степень.

    Число 25 можно представить в виде 52. Тогда получим следующее выражение:

    В этом выражении можно применить основное свойство степени — основание 5 оставить без изменений, а показатели 8 и 2 сложить:

    Задачу можно считать решённой, поскольку мы представили выражение 58 × 25 в виде одной степени, а именно в виде степени 510.

    Запишем решение покороче:


    Пример 2. Представить в виде степени выражение 29 × 32

    Число 32 можно представить в виде 25. Тогда получим выражение 29 × 25. Далее можно применить основание свойство степени — основание 2 оставить без изменений, а показатели 9 и 5 сложить. В результате получится следующее решение:


    Пример 3. Вычислите произведение 3 × 3, используя основное свойство степени.

    Все хорошо знают, что три умножить на три равно девять, но задача требует в ходе решения воспользоваться основным свойством степени. Как это сделать?

    Вспоминаем, что если число дано без показателя, то показатель нужно считать равным единице. Стало быть сомножители 3 и 3 можно записать в виде 31 и 31

    31 × 31

    Теперь воспользуемся основным свойством степени. Основание 3 оставляем без изменений, а показатели 1 и 1 складываем:

    31 × 31 = 32

    Далее вычисляем значение выражения. Число 3 во второй степени равно числу 9

    31 × 31 = 32 = 9


    Пример 4. Вычислите произведение 2 × 2 × 32 × 33, используя основное свойство степени.

    Произведение 2 × 2 заменим на 21 × 21, затем на 21 + 1, а затем на 22. Произведение 32 × 33 заменим на 32 + 3, а затем на 35

    Далее вычисляем значение каждой степени и находим произведение:


    Пример 5. Выполнить умножение x × x

    Это два одинаковых буквенных сомножителя с показателями 1. Для наглядности запишем эти показатели. Далее основание x оставим без изменений, а показатели сложим:

    Находясь у доски, не следует записывать перемножение степеней с одинаковыми основаниями так подробно, как это сделано здесь. Такие вычисления нужно выполнять в уме. Подробная запись скорее всего будет раздражать учителя и он снизит за это оценку. Здесь же подробная запись дана, чтобы материал был максимально доступным для понимания.

    Решение данного примера желательно записать так:


    Пример 6. Выполнить умножение x2 × x

    Показатель второго сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:


    Пример 7. Выполнить умножение y3y2y

    Показатель третьего сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:


    Пример 8. Выполнить умножение aa3a2a5

    Показатель первого сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:


    Пример 9. Представить степень 38 в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями.

    В данной задаче нужно составить произведение степеней, основания которых будут равны 3, и сумма показателей которых будет равна 8. Можно использовать любые показатели. Представим степень 38 в виде произведения степеней 35 и 33

    В данном примере мы опять же опирались на основное свойство степени. Ведь выражение 35 × 33 можно записать как 35 + 3, откуда 38.

    Конечно можно было представить степень 38 в виде произведения других степеней. Например, в виде 37 × 31, поскольку это произведение тоже равно 38

    Представление степени в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями это по большей части творческая работа. Поэтому не нужно бояться экспериментировать.


    Пример 10. Представить степень x12 в виде различных произведений степеней с основаниями x.

    Воспользуемся основным свойство степени. Представим x12 в виде произведений с основаниями x, и сумма показателей которых равна 12

    Конструкции с суммами показателей были записаны для наглядности. Чаще всего их можно пропустить. Тогда получится компактное решение:


    Возведение в степень произведения

    Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в указанную степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты.

    Например, возведём во вторую степень произведение 2 × 3. Возьмём в скобки данное произведение и в качестве показателя укажем 2

    Теперь возведём во вторую степень каждый множитель произведения 2 × 3 и перемножим полученные результаты:

    Принцип работы данного правила основан на определении степени, которое было дано в самом начале.

    Возвести произведение 2 × 3 во вторую степень означает повторить данное произведение два раза. А если повторить его два раза, то можно получить следующее:

    2 × 3 × 2 × 3

    От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Это позволяет сгруппировать одинаковые множители:

    2 × 2 × 3 × 3

    Повторяющиеся множители можно заменить на короткие записи — основания с показателями. Произведение 2 × 2 можно заменить на 22, а произведение 3 × 3 можно заменить на 32. Тогда выражение 2 × 2 × 3 × 3 обращается в выражение 22 × 32.

    Пусть ab исходное произведение. Чтобы возвести данное произведение в степень n, нужно по отдельности возвести множители a и b в указанную степень n

    Данное свойство справедливо для любого количества множителей. Следующие выражения также справедливы:


    Пример 2. Найти значение выражения (2 × 3 × 4)2

    В данном примере нужно возвести во вторую степень произведение 2 × 3 × 4. Чтобы сделать это, нужно возвести во вторую степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты:


    Пример 3. Возвести в третью степень произведение a × b × c

    Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем число 3

    Далее возводим в третью степень каждый множитель данного произведения:


    Пример 4. Возвести в третью степень произведение 3xyz

    Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем 3

    (3xyz)3

    Возведём в третью степень каждый множитель данного произведения:

    (3xyz)3 = 33x3y3z3

    Число 3 в третьей степени равно числу 27. Остальное оставим без изменений:

    (3xyz)3 = 33x3y3z3 = 27x3y3z3

    В некоторых примерах умножение степеней с одинаковыми показателями можно заменять на произведение оснований с одним показателем.

    Например, вычислим значение выражения 52 × 32. Возведем каждое число во вторую степень и перемножим полученные результаты:

    52 × 32 = 25 × 9 = 225

    Но можно не вычислять по отдельности каждую степень. Вместо этого, данное произведение степеней можно заменить на произведение с одним показателем (5 × 3)2. Далее вычислить значение в скобках и возвести полученный результат во вторую степень:

    52 × 32 = (5 × 3)2 = (15)2 = 225

    В данном случае опять же было использовано правило возведения в степень произведения. Ведь, если (a × b)n = an × bn, то an × bn = (a × b)n. То есть левая и правая часть равенства поменялись местами.


    Возведение степени в степень

    Это преобразование мы рассматривали в качестве примера, когда пытались понять суть тождественных преобразований степеней.

    При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают:

    (an)m = an × m

    К примеру, выражение (23)2 является возведением степени в степень — два в третьей степени возводится во вторую степень. Чтобы найти значение этого выражения, основание можно оставить без изменений, а показатели перемножить:

    (23)2 = 23 × 2 = 26

    Далее вычислить степень 26, которая равна 64

    (23)2 = 23 × 2 = 26 = 64

    Данное правило основано на предыдущих правилах: возведении в степень произведения и основного свойства степени.

    Вернёмся к выражению (23)2. Выражение в скобках 23 представляет собой произведение из трёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Тогда в выражении (23)2 степень, находящуюся внутри скобок можно заменить на произведение 2 × 2 × 2.

    (2 × 2 × 2)2

    А это есть возведение в степень произведения, которое мы изучили ранее. Напомним, что для возведения в степень произведения, нужно возвести в указанную степень каждый множитель данного произведения и полученные результаты перемножить:

    (2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22

    Теперь имеем дело с основным свойством степени. Основание оставляем без изменений, а показатели складываем:

    (2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22 = 22 + 2 + 2 = 26

    Как и раньше получили 26. Значение этой степени равно 64

    (2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22 = 22 + 2 + 2 = 26 = 64

    В степень также может возводиться произведение, сомножители которого тоже являются степенями.

    Например, найдём значение выражения (22 × 32)3. Здесь показатели каждого множителя нужно умножить на общий показатель 3. Далее найти значение каждой степени и вычислить произведение:

    (22 × 32)= 22×3  × 32×3 = 2× 36 = 64 × 729 = 46656

    Примерно тоже самое происходит при возведении в степени произведения. Мы говорили, что при возведении в степень произведения, в указанную степень возводится каждый множитель этого произведения.

    Например, чтобы возвести произведение 2 × 4 в третью степень, нужно записать следующее выражение:

    Но ранее было сказано, что если число дано без показателя, то показатель надо считать равным единице. Получается, что множители произведения 2 × 4 изначально имеют показатели равные 1. Значит в третью степень возводилось выражение 21 × 41. А это есть возведение степени в степень.

    Перепишем решение с помощью правила возведения степени в степень. У нас должен получиться тот же результат:


    Пример 2. Найти значение выражения (33)2

    Основание оставляем без изменений, а показатели перемножаем:

    Получили 36. Число 3 в шестой степени есть число 729


    Пример 3. Выполнить возведение в степень в выражении (xy

    Возведём в третью степень каждый множитель произведения:


    Пример 4. Выполнить возведение в степень в выражении (abc)⁵

    Возведём в пятую степень каждый множитель произведения:


    Пример 5. Выполнить возведение в степень в выражении (−2ax)3

    Возведём в третью степень каждый множитель произведения:

    Поскольку в третью степень возводилось отрицательное число −2, оно было взято в скобки.

    Далее нужно вычислить то, что вычисляется. В данном случае можно вычислить (−2)3 — получится −8. Буквенная часть останется без изменений:


    Пример 6. Выполнить возведение в степень в выражении (10xy)2


    Пример 7. Выполнить возведение в степень в выражении (−5x)3


    Пример 8. Выполнить возведение в степень в выражении (−3y)4


    Пример 9. Выполнить возведение в степень в выражении (−2abx)⁴


    Пример 10. Упростите выражение x5 × (x2)3 

    Степень x5 пока оставим без изменений, а в выражении (x2)3 выполним возведение степени в степени:

    x5 × (x2)3 = x5 × x2 × 3 = x5 × x6

    Теперь выполним умножение x5× x6. Для этого воспользуемся основным свойством степени — основание x оставим без изменений, а показатели сложим:

    x5 × (x2)3 = x5 × x2× 3 = x5 × x6 = x5 + 6x11


    Пример 9. Найти значение выражения 43 × 22, используя основное свойство степени.

    Основное свойство степени можно использовать в случае, если основания  исходных степеней одинаковы. В данном примере основания разные, поэтому для начала исходное выражение нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы основания степеней стали одинаковыми.

    Посмотрим внимательно на степень 43. Основание у этой степени есть число 4, которое можно представить в виде 22. Тогда исходное выражение примет вид (22)3 × 22. Выполнив возведение степени в степень в выражении (22)3, мы получим 26. Тогда исходное выражение примет вид 26 × 22, вычислить которое можно, используя основное свойство степени.

    Запишем решение данного примера:


    Деление степеней

    Чтобы выполнить деление степеней, нужно найти значение каждой степени, затем выполнить деление обыкновенных чисел.

    Например, разделим 43 на 22.

    Вычислим 43, получим 64. Вычислим 22, получим 4. Теперь разделим 64 на 4, получим 16

    Если при делении степеней основания окажутся одинаковыми, то основание можно оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

    Например, найдем значение выражения 23 : 22

    Основание 2 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

    Значит, значение выражения 23 : 22 равно 2.

    Данное свойство основано на умножении степеней с одинаковыми основаниями, или как мы привыкли говорить на основном свойстве степени.

    Вернемся к предыдущему примеру 23 : 22. Здесь делимое это 23, а делитель 22.

    Разделить одно число на другое означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст в результате делимое.

    В нашем случае, разделить 23 на 22 означает найти такую степень, которая при умножении на делитель 22 даст в результате 23. А какую степень можно умножить на 22, чтобы получить 23 ? Очевидно, что только степень 21. Из основного свойства степени имеем:

    Убедиться, что значение выражения 23 : 22 равно 21 можно непосредственно вычислив само выражение 23 : 22. Для этого сначала найдём значение степени 23, получим 8. Затем найдём значение степени 22, получим 4. Разделим 8 на 4, получим 2 или 21, поскольку 2 = 21.

    23 : 22 = 8 : 4 = 2

    Таким образом, при делении степеней с одинаковыми основаниями выполняется следующее равенство:

    Может случиться и так, что одинаковыми могут оказаться не только основания, но и показатели. В этом случае в ответе получится единица.

    Например, найдём значение выражения 22 : 22. Вычислим значение каждой степени и выполним деление получившихся чисел:

    При решении примера 22 : 22 также можно применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получается число в нулевой степени, поскольку разность показателей степеней 22 и 22 равна нулю:

    В математике принято считать, что любое число в нулевой степени есть единица:

    Почему число 2 в нулевой степени равно единице мы выяснили выше. Если вычислить 22 : 22 обычным методом, не используя правило деления степеней, получится единица.


    Пример 2. Найти значение выражения 412 : 410

    Воспользуемся правилом деления степеней. Основание 4 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

    412 : 410 = 412 − 10 = 42 = 16


    Пример 3. Представить частное x3 : x в виде степени с основанием x

    Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя. Показатель делителя равен единице. Для наглядности запишем его:


    Пример 4. Представить частное x3 : x2 в виде степени с основанием x

    Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

    Деление степеней можно записывать в виде дроби. Так, предыдущий пример можно записать следующим образом:

    Числитель и знаменатель дроби  разрешается записывать в развёрнутом виде, а именно в виде произведений одинаковых множителей. Степень x3 можно записать как x × x × x, а степень x2 как x × x. Тогда конструкцию x3 − 2 можно будет пропустить и воспользоваться сокращением дроби. В числителе и в знаменателе можно будет сократить по два множителя x. В результате останется один множитель x

    Или ещё короче:

    Также, полезно уметь быстро сокращать дроби, состоящие из степеней. Например, дробь  можно сократить на x2. Чтобы сократить дробь  на x2 нужно числитель и знаменатель дроби  разделить на x2

    Деление степеней подробно можно не расписывать. Приведённое сокращение можно выполнить короче:

    Или ещё короче:


    Пример 5. Выполнить деление x12 : x3

    Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

    Запишем решение при помощи сокращения дроби. Деление степеней x12 : x3 запишем в виде  . Далее сократим данную дробь на x3.


    Пример 6. Найти значение выражения 

    В числителе выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями:

    Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Основание 7 оставляем без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

    Завершаем пример, вычислив степень 72


    Пример 7. Найти значение выражения 

    Выполним в числителе возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (23)4

    Теперь выполним в числителе умножение степеней с одинаковыми основаниями:

    Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

    Значит, значение выражения  равно 16

    В некоторых примерах можно сокращать одинаковые множители в ходе решения. Это позволяет упростить выражение и само вычисление в целом.

    Например, найдём значение выражения . Степень 43 запишем в виде возведения степени в степень (22)3. Тогда получим следующее выражение:

    В числителе выполним возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (22)3

    В числителе и в знаменателе получившегося выражения содержится степень 26, которую можно сократить на 26

    Видим, что в результате осталась единственная степень 32, значение которой равно 9.


    Пример 8. Найти значение выражения 

    В знаменателе содержится произведение степеней с одинаковыми показателями. Согласно правилу возведения в степень произведения, конструкцию 75 × 45 можно представить в виде степени с одним показателем (7 × 4)5. Далее перемножим выражение в скобках, получим 285. В результате исходное выражение примет следующий вид:

    Теперь можно применить правило деления степеней:

    Значит, значение выражения  равно 28. Запишем решение полностью:


    Возведение в степень обыкновенных дробей

    Чтобы возвести в степень обыкновенную дробь, нужно возвести в указанную степень числитель и знаменатель этой дроби.

    Например, возведём обыкновенную дробь  во вторую степень. Возьмём в скобки данную дробь и в качестве показателя укажем 2

    Если не брать в скобки всю дробь, то это равносильно возведению в степень только числителя данной дроби. Иными словами, если мы хотим возвести во вторую степень дробь , мы не должны записывать это как .

    Итак, чтобы вычислить значение выражения , нужно возвести во вторую степень числитель и знаменатель данной дроби:

    Получили дробь в числителе и в знаменателе которой содержатся степени. Вычислим каждую степень по отдельности

    Значит обыкновенная дробь  во второй степени равна дроби .

    Приведённое правило работает следующим образом. Дробь  во второй степень это произведение двух дробей, каждая из которых равна 

    Мы помним, что для перемножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели:

    А поскольку в числителе и в знаменателе происходит перемножение одинаковых множителей, то выражения 2 × 2 и 3 × 3 можно заменить на 22 и 32 соответственно:

    Откуда и получится ответ .

    Вообще, для любого a и ≠ 0 выполняется следующее равенство:

    Это тождественное преобразование называют возведением в степень обыкновенной дроби.


    Пример 2. Возвести дробь  в третью степень

    Заключим данную дробь в скобки и в качестве показателя укажем число 3. Далее возведём числитель и знаменатель данной дроби в третью степень и вычислим получившуюся дробь:

    Отрицательная дробь возводится в степень таким же образом, но перед вычислениями надо определиться какой знак будет иметь ответ. Если показатель четный, то ответ будет положительным. Если показатель нечетный, то ответ будет отрицательным.

    Например, возведём дробь  во вторую степень:

    Показатель является чётным числом. Значит ответ будет положительным. Далее применяем правило возведения в степень дроби и вычисляем получившуюся дробь:

    Ответ положителен по причине того, что выражение  представляет собой произведение двух сомножителей, каждый из которых равен дроби 

    А произведение отрицательных чисел (в том числе и рациональных) есть положительное число:

    Если возводить дробь  в третью степень, то ответ будет отрицательным, поскольку в данном случае показатель будет нечётным числом. Правило возведения в степень остаётся тем же, но перед выполнением этого возведения, нужно будет поставить минус:

    Здесь ответ отрицателем по причине того, что выражение  представляет собой произведение трёх множителей, каждый из которых равен дроби 

    Сначала перемножили  и , получили , но затем умножив  на  мы получим отрицательный ответ 


    Пример 3. Найти значение выражения 

    Выполним возведение в степень обыкновенной дроби:

    Далее вычислим значение получившегося выражения:


    Возведение в степень десятичных дробей

    При возведении в степень десятичной дроби её необходимо заключить в скобки. Например, возведём во вторую степень десятичную дробь 1,5

    Допускается переводить десятичную дробь в обыкновенную и возводить в степень эту обыкновенную дробь. Решим предыдущий пример, переведя десятичную дробь в обыкновенную:


    Пример 2. Найти значение степени (−1,5)3

    Показатель степени является нечётным числом. Значит ответ будет отрицательным


    Пример 3. Найти значение степени (−2,4)2

    Показатель степени является чётным числом. Значит ответ будет положительным:


    Задания для самостоятельного решения

    Задание 1. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 2. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 3. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 4. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 5. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 6. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 7. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 8. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 9. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 10. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 11. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 12. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 13. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 14. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 15. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 16. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 17. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 18. Представьте в виде степени частное и найдите значение получившейся степени при = 3 и = 2

    Решение:

    Задание 19. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 20. Сократите дробь на

    Решение:

    Задание 21. Представьте в виде степени следующее произведение:

    Решение:

    Задание 22. Представьте в виде степени следующее произведение:

    Решение:

    Задание 23. Представьте в виде степени следующее произведение:

    Решение:

    Задание 24. Представьте в виде степени следующее произведение:

    Решение:

    Задание 25. Представьте в виде степени следующее произведение:

    Решение:

    Задание 26. Представьте следующую степень в виде произведения степеней:

    Решение:

    Задание 27. Представьте следующую степень в виде произведения степеней:

    Решение:

    Задание 28. Представьте следующую степень в виде произведения степеней:

    Решение:

    Задание 29. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 30. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 31. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 32. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 33. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 34. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 35. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 36. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 37. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 38. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 39. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 40. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 41. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 42. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 43. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 44. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:


    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    Возникло желание поддержать проект?
    Используй кнопку ниже

    Навигация по записям

    Урок 17.

    степень с рациональным и действительным показателем — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

    Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

    Урок №17. Степень с рациональным и действительным показателем.

    Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

    1) понятие степени;

    2) определение степени с рациональным и действительным показателем;

    3) нахождения значения степени с действительным показателем.

    Глоссарий по теме

    Если n- натуральное число, , m— целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство:

    .

    При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:

    Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что

    При выражение не имеет смысла.

    Основная литература:

    Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

    Дополнительная литература:

    Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Пример: вычислим

    Мы можем представить , тогда

    Таким образом, мы можем записать

    или

    На основании данного примера можно сделать вывод:

    Если n- натуральное число, , m— целое число и частное является целым числом, то при 0 справедливо равенство:

    .

    Напомним, что r-рациональное число вида , где m— целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:

    Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.

    Если , то выражение имеет смысл не только при 0, но и при а=0, причем, Поэтому считают, что при r0 выполняется равенство

    Пользуясь формулой степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

    Рассмотрим несколько примеров:

    Отметим, что все свойства степени с натуральным показателем, которые мы с вами повторили, верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, а именно, для любых рациональных чисел p и q и любых 0 и 0 ы следующие равенства:

    1. ;
    2. ;

    Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:

    1. Вычислим:

    1. Упростить выражение:

    В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:

    А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере .

    Пусть последовательность десятичных приближений с недостатком :

    Эта последовательность стремится к числу , т.е.

    Числа являются рациональными, и для них определены степени т.е. определена последовательность

    Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают , т. (х₂). Умножив обе части этого равенства на положительное число , получим . По свойству умножения степеней получаем: , т.е. .

    Из данной теоремы вытекают три следствия:

    1. Пусть Тогда
    2. Пусть и

    .

    1. Пусть и

    .

    Эти теорема и следствия помогают при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел.

    Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

    Пример 1. Сравнить числа

    Сравним показатели

    Т.к. , и 12 < 18, то .

    Поэтому по теореме

    Пример 2. Решим уравнение

    .

    Поэтому уравнение можно записать так:

    Получим, , разделим на 2 обе части уравнения.

    Следовательно,

    Пример 3. Сравнить числа

    Избавимся от корней, для это возведем оба числа в шестую степень, т.к. шесть делится — наименьшее общее кратное двух и трех:

    Т.к. 0<8<9 и , то , т.е. .

    9.4: Свойства растворов — Chemistry LibreTexts

    Цели обучения

    • Чтобы описать, чем свойства растворов отличаются от свойств чистых растворителей.

    Растворы, вероятно, будут иметь свойства, аналогичные свойствам их основного компонента — обычно растворителя. Однако некоторые свойства раствора значительно отличаются от свойств растворителя. Здесь мы сосредоточимся на жидких растворах, которые содержат твердое растворенное вещество, но многие эффекты, которые мы обсудим в этом разделе, применимы ко всем растворам.

    Коллигативные свойства

    Растворенные вещества влияют на некоторые свойства растворов, которые зависят только от концентрации растворенных частиц. Эти свойства называются объединяющими свойствами . Четыре важных объединяющих свойства, которые мы рассмотрим здесь: снижение давления пара, повышение точки кипения, снижение температуры замерзания и осмотическое давление.

    Молекулярные соединения при растворении разделяются на отдельные молекулы, поэтому на каждый 1 моль растворенных молекул мы получаем 1 моль частиц.Напротив, ионные соединения разделяются на составляющие ионы при растворении, поэтому 1 моль ионного соединения будет производить более 1 моля растворенных частиц. Например, на каждый моль NaCl , который растворяется, дает 1 моль Na + ионов и 1 моль Cl ионов , что в сумме дает 2 моль частиц в растворе. Таким образом, влияние растворения NaCl на свойства раствора может быть вдвое больше, чем эффект растворения того же количества молей глюкозы (C 6 H 12 O 6 ).

    Понижение давления паров

    Все жидкости испаряются. Фактически, при достаточном объеме жидкость полностью превратится в пар. При отсутствии достаточного объема жидкость будет испаряться только до точки, при которой скорость испарения равна скорости конденсации пара обратно в жидкость. Давление пара в этой точке называется давлением пара жидкости.

    Присутствие растворенного твердого вещества снижает характеристическое давление пара жидкости, поэтому она испаряется медленнее.(Исключениями из этого утверждения являются случаи, когда растворенное вещество само по себе является жидкостью или газом, и в этом случае растворенное вещество также будет вносить какой-то вклад в процесс испарения. Мы не будем здесь обсуждать такие решения.) Это свойство называется понижением давления пара и является изображено на рисунке \ (\ PageIndex {1} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Понижение давления пара. Присутствие частиц растворенного вещества частично блокирует способность частиц жидкости испаряться. Таким образом, растворы твердых растворенных веществ обычно имеют более низкое давление пара, чем чистый растворитель.

    Влияние температуры кипения и замерзания

    Связанное свойство растворов состоит в том, что их точки кипения выше, чем точка кипения чистого растворителя. Поскольку присутствие частиц растворенного вещества снижает давление пара жидкого растворителя, для достижения точки кипения требуется более высокая температура. Это явление называется повышением точки кипения. На каждый моль частиц, растворенных в литре воды, температура кипения воды увеличивается примерно на 0,5 ° C. Добавление одного моля сахарозы (молекулярного соединения) в один литр воды повысит температуру кипения с 100 0 C до 100. 5 0 C, но добавление одного моля NaCl в один литр воды повысит точку кипения на 2 x 0,5 0 C = 1 0 C. Кроме того, добавление одного моля CaCl 2 в одном литре воды повысит точку кипения на 3 x 0,5 0 C = 1,5 0 C.

    Некоторые люди утверждают, что добавление щепотки или двух соли в воду, используемую для приготовления спагетти или другой пасты, дает раствор с более высокой температурой кипения, поэтому паста готовится быстрее.На самом деле количество растворенного вещества настолько мало, что температура кипения воды практически не меняется.

    Присутствие частиц растворенного вещества оказывает противоположное влияние на точку замерзания раствора. Когда раствор замерзает, только частицы растворителя объединяются, образуя твердую фазу, и присутствие частиц растворенного вещества мешает этому процессу. Следовательно, для того, чтобы жидкий растворитель замерз, из раствора должно быть отведено больше энергии, что снижает температуру. Таким образом, растворы имеют более низкие точки замерзания, чем чистые растворители.Это явление называется понижением точки замерзания. На каждый моль частиц в литре воды температура замерзания снижается примерно на 1,9 ° C.

    Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Сравнение точек кипения и замерзания чистой жидкости (справа) и раствора (слева).

    Как повышение температуры кипения, так и понижение точки замерзания имеют практическое применение. Например, растворы воды и этиленгликоля (C 2 H 6 O 2 ) используются в качестве охлаждающих жидкостей в автомобильных двигателях, поскольку температура кипения такого раствора превышает 100 ° C, нормальную температуру кипения вода.Зимой соли, такие как NaCl и CaCl 2 , разбрызгивают на землю, чтобы растопить лед или предотвратить образование льда на дорогах и тротуарах (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Это связано с тем, что раствор, полученный путем растворения хлорида натрия или хлорида кальция в воде, имеет более низкую температуру замерзания, чем чистая вода, поэтому образование льда подавляется.

    Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Эффект понижения точки замерзания. Соль, посыпанная на этот тротуар, приводит к тому, что вода на тротуаре имеет более низкую температуру замерзания, чем чистая вода, поэтому она не замерзает так легко.Это делает прогулку по тротуару менее опасной зимой. © Thinkstock

    Пример \ (\ PageIndex {1} \)

    Температура замерзания какого раствора больше отличается от точки замерзания чистой воды — 1 М раствора NaCl или 1 М раствора CaCl 2 ?

    Решение

    Коллигативные свойства зависят от количества растворенных частиц, поэтому раствор с большим количеством частиц в растворе покажет наибольшее отклонение. Когда NaCl растворяется, он разделяется на два иона: Na + и Cl .Но когда CaCl 2 растворяется, он разделяется на три иона — один ион Ca 2 + и два иона Cl . Таким образом, моль на моль, CaCl 2 будет иметь на 50% большее влияние на понижение точки замерзания, чем NaCl.

    Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

    Температура кипения какого раствора больше отличается от точки кипения чистой воды — 1 М раствора CaCl 2 или 1 М раствора MgSO 4 ?

    Ответ

    CaCl 2

    Пример \ (\ PageIndex {2} \)

    Оценить точку кипения 0.2 М раствор CaCl 2 .

    Решение

    Температура кипения увеличивается на 0,5 0 C на каждый моль растворенного вещества на литр воды. Для этой оценки предположим, что 1 литр раствора примерно такой же объем, как 1 литр воды. 0,2 М раствор CaCl 2 содержит 0,2 моль формульных единиц раствора CaCl 2 на литр раствора. Каждая единица CaCl 2 разделяется на три иона.

    \ (\ mathrm {0,2 \: моль \: CaCl_2 \ раз \ dfrac {3 \: моль \: ion} {1 \: моль \: CaCl_2} \ раз \ dfrac {0.5 \: deg \: C} {1 \: mol \: ion} = 0,3 \: deg \: C} \)

    Нормальная температура кипения воды составляет 100 0 ° C, поэтому температура кипения раствора повышается до 100,3 0 ° C

    Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

    Оценить точку замерзания 0,3 М раствора CaCl 2 .

    Ответ

    минус 1,7 0 C

    Осмотическое давление

    Последнее коллигативное свойство растворов, которое мы рассмотрим, очень важно для биологических систем.Он включает осмос , процесс, при котором молекулы растворителя могут проходить через определенные мембраны, а частицы растворенного вещества — нет. Когда по обе стороны от этих мембран присутствуют два раствора разной концентрации (называемые полупроницаемыми мембранами ), молекулы растворителя имеют тенденцию переходить из более разбавленного раствора в более концентрированный, пока концентрации двух растворов не станут равными. . Эта тенденция называется осмотическим давлением .На раствор можно оказывать внешнее давление, чтобы противодействовать потоку растворителя; давление, необходимое для остановки осмоса растворителя, равно осмотическому давлению раствора.

    Осмолярность (осмоль) — это способ сообщения об общем количестве частиц в растворе для определения осмотического давления. Он определяется как молярность растворенного вещества, умноженная на количество частиц, которые образует формульная единица растворенного вещества, когда оно растворяется (представлено как i ):

    \ [osmol = M \ times i \ label {Eq1} \]

    Если в растворе присутствует более одного растворенного вещества, индивидуальные осмолярности складываются для получения общей осмолярности раствора.Растворы с одинаковой осмолярностью имеют одинаковое осмотическое давление. Если растворы различной осмолярности присутствуют на противоположных сторонах полупроницаемой мембраны, растворитель будет переходить из раствора с более низкой осмолярностью в раствор с более высокой осмолярностью. Противодавление, оказываемое на раствор с высокой осмолярностью, уменьшит или остановит перенос растворителя. Еще более высокое давление может быть оказано для вытеснения растворителя из раствора с высокой осмолярностью в раствор с низкой осмолярностью, процесс, называемый обратным осмосом . Обратный осмос используется для производства питьевой воды из соленой воды там, где источников пресной воды мало.

    Пример \ (\ PageIndex {3} \)

    Водный раствор 0,50 М NaCl и водный раствор 0,30 М Ca (NO 3 ) 2 размещают на противоположных сторонах полупроницаемой мембраны. Определите осмолярность каждого раствора и спрогнозируйте направление потока растворителя.

    Решение

    Растворитель перейдет в раствор с более высокой осмолярностью.Растворенное вещество NaCl при растворении разделяется на два иона — Na + и Cl , поэтому его осмолярность следующая:

    осмоль (NaCl) = 0,50 M × 2 = 1,0 осмоль

    Растворенное вещество Ca (NO 3 ) 2 разделяется на три иона — один Ca 2 + и два NO 3 — когда он растворяется, его осмолярность следующая:

    осмоль [Ca (NO 3 ) 2 ] = 0,30 M × 3 = 0,90 осмоль

    Осмолярность раствора Ca (NO 3 ) 2 ниже, чем у раствора NaCl, поэтому вода будет переходить через мембрану из раствора Ca (NO 3 ) 2 в раствор NaCl.

    Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

    A 1,5 M C 6 H 12 O 6 водный раствор и 0,40 M водный раствор Al (NO 3 ) 3 водный раствор помещают на противоположных сторонах полупроницаемой мембраны. Определите осмолярность каждого раствора и спрогнозируйте направление потока растворителя.

    Ответ

    осмоль C 6 H 12 O 6 = 1,5; осмоль Al (NO 3 ) 3 = 1.6

    Растворитель течет из раствора C 6 H 12 O 6 (более низкая осмолярность) в раствор Al (NO 3 ) 3 (более высокая осмолярность).

    Для вашего здоровья: диализ

    Основная функция почек — фильтровать кровь для удаления шлаков и лишней воды, которые затем выводятся из организма в виде мочи. Некоторые заболевания лишают почки способности выполнять эту функцию, вызывая накопление отходов в кровотоке.Если пересадка почки недоступна или нежелательна, можно использовать процедуру, называемую диализом, для удаления отходов и избытка воды из крови.

    В одной из форм диализа, называемой гемодиализом , кровь пациента проходит через трубку, которая проходит через аппарат для искусственной почки (также называемый диализным аппаратом ). Часть трубки, состоящая из полупроницаемой мембраны, погружается в раствор стерильной воды, глюкозы, аминокислот и некоторых электролитов.Осмотическое давление крови заставляет молекулы отходов и избыток воды через мембрану попадать в стерильный раствор. Красные и белые кровяные тельца слишком велики, чтобы пройти через мембрану, поэтому они остаются в крови. После очищения таким образом кровь возвращается в тело.

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Пациент, находящийся на гемодиализе, зависит от осмоса для очистки крови от продуктов жизнедеятельности, которые почки не могут удалить из-за болезни. из Википедии.

    Диализ — это непрерывный процесс, так как осмос отходов и лишней воды требует времени.Обычно 5–10 фунтов жидкости, содержащей отходы, удаляется за каждый сеанс диализа, который может длиться 2–8 часов и должен проводиться несколько раз в неделю. Хотя некоторые пациенты находятся на диализе в течение 30 или более лет, диализ всегда является временным решением, поскольку отходы постоянно накапливаются в кровотоке. Более постоянное решение — пересадка почки.

    Клеточные стенки представляют собой полупроницаемые мембраны, поэтому осмотическое давление жидкостей организма имеет важные биологические последствия.Если по обе стороны от клеток существуют растворы разной осмолярности, растворитель (вода) может проникать в клетки или выходить из них, что иногда приводит к катастрофическим результатам. Подумайте, что произойдет, если эритроциты поместить в гипотонический раствор , то есть раствор с более низкой осмолярностью, чем жидкость внутри клеток. Клетки набухают по мере того, как в них попадает вода, нарушая клеточную активность и в конечном итоге вызывая их разрыв. Этот процесс называется гемолизом . Если красные кровяные тельца помещаются в гипертонический раствор , то есть тот, который имеет более высокую осмолярность, чем существует внутри клеток, вода покидает клетки, чтобы разбавить внешний раствор, а красные кровяные клетки сморщиваются и умирают.Этот процесс называется crenation . Только если эритроциты помещены в изотонический раствор , имеющий ту же осмолярность, что и внутри клеток, они не подвержены негативному воздействию осмотического давления. Растворы глюкозы примерно 0,31 М или растворы хлорида натрия примерно 0,16 М изотоничны плазме крови.

    Концентрация изотонического раствора хлорида натрия (NaCl) составляет только половину от концентрации изотонического раствора глюкозы (C 6 H 12 O 6 ), поскольку NaCl производит два иона при растворении формульной единицы, а молекулярный C 6 H 12 O 6 дает только одну частицу при растворении формульной единицы.Следовательно, осмолярности одинаковы, хотя концентрации двух растворов различаются.

    Осмотическое давление объясняет, почему вам не следует пить морскую воду, если вас бросили в спасательном плоту посреди океана. Его осмолярность примерно в три раза выше, чем у большинства жидкостей организма. Вы действительно стали бы испытывать большую жажду, если бы вода из ваших клеток была откачана, чтобы разбавить соленую океанскую воду, которую вы проглотили. Наш организм лучше справляется с гипотоническими растворами, чем с гипертоническими.Избыток воды собирается нашими почками и выводится из организма.

    Эффекты осмотического давления используются в пищевой промышленности для приготовления солений из огурцов и других овощей, а также при засолке мяса для приготовления солонины. Это также фактор, влияющий на механизм попадания воды от корней к верхушкам деревьев!

    Карьера: перфузионист

    Перфузиолог — это медицинский техник, обученный оказывать помощь во время любой медицинской процедуры, при которой функции кровообращения или дыхания пациента требуют поддержки.Использование перфузиологов быстро выросло с момента появления хирургии на открытом сердце в 1953 году.

    Большинство перфузиологов работают в операционных, где их основная обязанность — управлять аппаратами искусственного кровообращения. Во время многих операций на сердце необходимо останавливать само сердце. В таких ситуациях аппарат искусственного кровообращения поддерживает жизнь пациента, насыщая кровь кислородом и удаляя углекислый газ. Перфузиолог следит как за аппаратом, так и за состоянием крови, уведомляя хирурга и анестезиолога о любых проблемах и предпринимая корректирующие действия, если состояние крови становится ненормальным.

    Несмотря на узкие параметры своей специальности, перфузиологи должны быть хорошо подготовлены. Сертифицированные образовательные программы по перфузии требуют, чтобы студент изучал анатомию, физиологию, патологию, химию, фармакологию, математику и физику. Обычно требуется высшее образование. Некоторые перфузиологи работают с другими внешними искусственными органами, такими как аппараты для гемодиализа и искусственная печень.

    Упражнения по обзору концепции

    1. Каковы коллигативные свойства решений?

    2. Объясните, чем следующие свойства растворов отличаются от свойств чистого растворителя: давление пара, точка кипения, точка замерзания и осмотическое давление.

    Ответы

    1. Коллигативные свойства — это характеристики раствора, которые зависят от количества, а не от идентичности частиц растворенного вещества.

    2. В растворах давление пара ниже, точка кипения выше, точка замерзания ниже и осмотическое давление выше.

    Упражнения

    1. В каждой паре водных систем будет более низкое давление пара?

      1. чистая вода или 1.0 М NaCl
      2. 1,0 M NaCl или 1,0 M C 6 H 12 O 6
      3. 1,0 M CaCl 2 или 1,0 M (NH 4 ) 3 PO 4
    2. В каждой паре водных систем будет более низкое давление пара?

      1. 0,50 M Ca (NO 3 ) 2 или 1,0 M KBr
      2. 1,5 M C 12 H 22 O 11 или 0.75 M Ca (OH) 2
      3. 0,10 M Cu (NO 3 ) 2 или чистая вода
    3. В каждой паре водных систем какая температура кипения будет выше?

      1. чистая вода или 1,0 M NaCl
      2. 1,0 M NaCl или 1,0 M C 6 H 12 O 6
      3. 1,0 M CaCl 2 или 1,0 M (NH 4 ) 3 PO 4
    4. В каждой паре водных систем какая температура кипения будет выше?

      1. 0.50 M Ca (NO 3 ) 2 или 1,0 M KBr
      2. 1,5 M C 12 H 22 O 11 или 0,75 M Ca (OH) 2
      3. 0,10 M Cu (NO 3 ) 2 или чистая вода
    5. Оцените точку кипения каждого водного раствора. Температура кипения чистой воды 100,0 ° C.

      1. 0,50 М NaCl
      2. 1,5 М Na 2 SO 4
      3. 2.0 M C 6 H 12 O 6
    6. Оцените точку замерзания каждого водного раствора. Температура замерзания чистой воды 0,0 ° C.

      1. 0,50 М NaCl
      2. 1,5 М Na 2 SO 4
      3. 2,0 M C 6 H 12 O 6
    7. Объясните, почему соль (NaCl) разбрасывается на дорогах и тротуарах, чтобы препятствовать образованию льда в холодную погоду.

    8. Соль (NaCl) и хлорид кальция (CaCl 2 ) широко используются в некоторых областях для минимизации образования льда на тротуарах и дорогах. Одно из этих ионных соединений лучше, моль за моль, препятствует образованию льда. Что это может быть? Почему?

    9. Какова осмолярность каждого водного раствора?

      1. 0,500 M NH 2 CONH 2
      2. 0.500 M NaBr
      3. 0,500 M Ca (NO 3 ) 2
    10. Какова осмолярность каждого водного раствора?

      1. 0,150 M KCl
      2. 0,450 M (CH 3 ) 2 CHOH
      3. 0,500 M Ca 3 (PO 4 ) 2

    11. Осмолярность 1,0 М раствора неизвестной растворимой соли составляет 3,0 осмоля.Что можно сделать по поводу соли?

    12. Раствор 1,5 М NaCl и раствор 0,75 М Al (NO 3 ) 3 находятся на противоположных сторонах полупроницаемой мембраны. Определите осмолярность каждого раствора и направление потока растворителя, если таковое имеется, через мембрану.

      1. 1,0 М NaCl
      2. 1,0 М NaCl
      3. 1,0 M (NH 4 ) 3 PO 4

    2.

    • 1,0 млн KBr
    • 0,75 M Ca (OH) 2
    • 0,10 M Cu (НЕТ 3 ) 2

    3.

    1. 1,0 М NaCl
    2. 1,0 М NaCl
    3. 1,0 M (NH 4 ) 3 PO 4

    4.

    • 1,0 млн KBr
    • 0,75 M Ca (OH) 2
    • 0,10 M Cu (НЕТ 3 ) 2

    5.

    6.

    1. -1,9 ° С
    2. -8,6 ° С
    3. -3,8 ° С

    7. NaCl снижает точку замерзания воды, поэтому для замерзания воды необходимо, чтобы она была холоднее.

    8. CaCl 2 распадается на 3 иона, а NaCl распадается только на 2 иона. CaCl 2 будет эффективнее.

    9.

    1. 0,500 осмоль
    2. 1.000 осмоль
    3. 1.500 осмоль

    10.

    1. 0,300 осмоль
    2. 0,450 осмоль
    3. 2,50 осмоль

    11. При растворении он должен разделиться на три иона.

    12. И NaCl, и Al (NO 3 ) 3 имеют осмоль 3,0. Чистой разницы в потоке растворителя не будет.

    примеров коллигативной собственности | Синоним

    … Hemera Technologies / Photos.com / Getty Images

    Вы когда-нибудь замечали, как грузовик засыпает дороги зимой? Вы когда-нибудь добавляли соль в воду при приготовлении макарон? Если это так, то вы уже были подвержены группе из четырех физических явлений, называемых коллигативными свойствами.Эти характеристики полностью зависят от количества растворенных в растворе частиц — не имеет значения, что это за частицы. Если количество частиц значительное, коллигативные свойства могут быть значительными. Растворение частиц в растворе имеет четыре различных коллигативных эффекта.

    1 Нижняя точка замерзания

    Когда вещество растворяется в воде или другом растворителе, точка замерзания понижается. Каждый растворитель по-разному подвержен коллигативным эффектам.Добавление примерно 68,5 граммов соли на 1 литр воды снижает температуру замерзания на 1,86 градуса по Цельсию (3,4 градуса по Фаренгейту). Когда соль добавляется к обледенелой дороге, она растворяется в воде над льдом и не дает ей замерзнуть, даже если температура дороги ниже 0 градусов Цельсия — точки замерзания воды. Это происходит потому, что при замерзании молекулы растворителя должны упорядочиваться в решетку, а растворенные частицы мешают процессу. Кроме того, при растворении соли выделяется тепло, которое растапливает часть льда внизу, что затем позволяет большему количеству соли раствориться в своего рода цепной реакции.

    2 Более высокая точка кипения и более низкое давление пара

    На другом конце спектра точка кипения растворителя с растворенными частицами повышена. То же количество соли, что и раньше, повысит температуру кипения воды на 0,5 градуса по Цельсию (примерно на 1 градус по Фаренгейту). Это свойство напрямую связано с третьим коллигативным свойством: более низким давлением пара. Жидкости закипают, когда давление пара над жидкостью выше атмосферного, поэтому растворителю с присутствующими растворенными частицами требуется больше энергии, чтобы преодолеть атмосферное давление и закипеть.Добавление соли в воду для приготовления повышает температуру, при которой можно готовить пищу.

    3 Осмотическое давление

    Последним коллигативным свойством является осмотическое давление. Осмос — это процесс, при котором вода перетекает из зоны с высокой концентрацией в зону с низкой концентрацией. Это свойство является важным компонентом жидкостей организма, поскольку оно определяет, сколько воды поступает в клетки или выходит из них. Если во внеклеточной жидкости слишком много растворенных электролитов, вода будет вытекать из клеток.С другой стороны, если в жидкости слишком мало электролитов, вода потечет в ячейку, что приведет к ее взрыву. Эффект осмотического давления можно увидеть, опустив кровь в чистую воду и 10% раствор соли. В чистой воде красная капля станет бледнее и растечется по воде, как пищевой краситель, когда клетки лопнут. В солевом растворе будет казаться, что капля крови собирается в комок, а клетки сморщиваются.

    4 Проиллюстрировано осмотическое давление

    Если вы разделите контейнер с водой на две части мембраной, не пропускающей ничего, кроме воды, вы сможете увидеть изменение осмотического давления, добавив соль в одну из частей.Из-за разницы в концентрации воды между двумя секциями вода будет течь с чистой стороны на соленую, в результате чего уровень воды поднимется выше чистой секции.

    Глава 7 — Растворы — Химия

    Глава 7: Растворы A Стехиометрия раствора

    7.1 Введение

    7.2 Типы решений

    7.3 Растворимость

    7.4 Температура и растворимость

    7.5 Влияние давления на растворимость газов: закон Генри

    7,6 Твердые гидраты

    7.7 Концентрация раствора
    7.7.1 Молярность
    7.7.2 Количество частей в решениях

    7,8 Разведения

    7,9 Концентрации ионов в растворе

    7.10 Внимание к окружающей среде: загрязнение свинцом

    7.11 Резюме

    7.12 источников

    7.1 Введение:

    Напомним из Главы 1, что растворов определены как гомогенные смеси, которые перемешаны настолько тщательно, что ни один компонент не может наблюдаться независимо от другого. Решения повсюду вокруг нас. Например, воздух — это решение. Если вы живете рядом с озером, рекой или океаном, этот водоем не является чистым H 2 O, но, скорее всего, является решением. Многие из того, что мы пьем, например газированные напитки, кофе, чай и молоко, являются растворами.Решения — большая часть повседневной жизни. Большая часть химии, происходящей вокруг нас, происходит в растворе. Фактически, большая часть химии, которая происходит в нашем собственном организме, происходит в растворе, и многие растворы, такие как раствор лактата Рингера для внутривенного введения, важны для здравоохранения. В нашем понимании химии нам нужно немного разбираться в растворах. В этой главе вы узнаете об особых характеристиках решений, их характеристиках и некоторых их свойствах.

    Навыки для развития

    • Определите эти термины: раствор, растворенное вещество и растворитель.
    • Различают растворы, смеси и коллоиды.
    • Опишите различные типы решений.
    • Различают ненасыщенные, насыщенные и перенасыщенные растворы.

    Главный компонент раствора называется растворителем , а второстепенный компонент (ы) называется растворенным веществом . Если оба компонента в растворе составляют 50%, термин «растворенное вещество» может относиться к любому компоненту.Когда газообразный или твердый материал растворяется в жидкости, газ или твердый материал называется растворенным веществом. Когда две жидкости растворяются друг в друге, основной компонент называется растворителем , а второстепенный компонент — растворенным веществом .

    Многие химические реакции протекают в растворах, и растворы также тесно связаны с нашей повседневной жизнью. Воздух, которым мы дышим, жидкости, которые мы пьем, и жидкости в нашем теле — все это решения.Кроме того, нас окружают такие решения, как воздух и вода (в реках, озерах и океанах).

    По теме решений мы включаем следующие разделы.

    1. Типы растворов: газообразные, жидкие и твердые растворы в зависимости от состояния раствора.
    2. Стехиометрия раствора: выражение концентрации в различных единицах (масса на единицу объема, моль на единицу объема, процент и доли), расчеты стехиометрии реакции с использованием растворов.
    3. Растворы электролитов: растворы кислот, оснований и солей, в которых растворенные вещества диссоциируют на положительные и отрицательные гидратированные ионы.
    4. Метатезис или обменные реакции: реакция электролитов, приводящая к нейтральным молекулам, газам и твердым веществам.

    Решение проблем стехиометрии раствора требует концепций, введенных в стехиометрию в главе 6, которая также обеспечивает основу для обсуждения реакций.

    (Вернуться к началу)

    7.2 типа решений

    В главе 1 вы познакомились с концепцией смеси , которая представляет собой вещество, состоящее из двух или более веществ. Напомним, что смеси могут быть двух типов: гомогенные и гетерогенные, где гомогенные смеси сочетаются так тесно, что их можно рассматривать как единое вещество, хотя это не так. Гетерогенные смеси, с другой стороны, неоднородны и имеют участки смеси, которые отличаются от других участков смеси.Гомогенные смеси можно разделить на две категории: коллоиды и растворы. Коллоид — это смесь, содержащая частицы диаметром от 2 до 500 нм. Коллоиды кажутся однородными по своей природе и имеют одинаковый состав во всем, но являются мутными или непрозрачными. Молоко — хороший пример коллоида. Истинные растворы имеют размер частиц типичного иона или небольшой молекулы (от ~ 0,1 до 2 нм в диаметре) и прозрачны, хотя могут быть окрашены. В этой главе основное внимание будет уделено характеристикам истинных решений.

    Материал существует в трех состояниях: твердом, жидком и газообразном. Решения также существуют во всех этих состояниях:

    1. Газовые смеси обычно однородны и обычно представляют собой газо-газовые растворы . Для количественной обработки такого типа растворов выделим единицу газам. Атмосфера представляет собой газообразный раствор, состоящий из азота, кислорода, аргона, двуокиси углерода, воды, метана и некоторых других второстепенных компонентов. Некоторые из этих компонентов, такие как вода, кислород и углекислый газ, могут различаться по концентрации в разных местах на Земле в зависимости от таких факторов, как температура и высота над уровнем моря.
    2. Когда молекулы газа, твердого вещества или жидкости диспергированы и смешаны с молекулами жидкости, гомогенные (однородные) состояния называются жидкими растворами . Твердые вещества, жидкости и газы растворяются в жидком растворителе с образованием жидких растворов. В этой главе большая часть химии, которую мы будем обсуждать, происходит в жидких растворах, в которых вода является растворителем.
    3. Многие сплавы, керамика и полимерные смеси представляют собой твердые растворы . В определенных пределах медь и цинк растворяются друг в друге и затвердевают с образованием твердых растворов, называемых латунью.Серебро, золото и медь образуют множество различных сплавов, уникальных по цвету и внешнему виду. Сплавы и другие твердые растворы важны в мире химии материалов.
    (Вернуться к началу)

    7.3 Растворимость

    Максимальное количество вещества, которое может быть растворено в данном объеме растворителя, называется растворимостью . Часто растворимость в воде выражается в граммах / 100 мл. Раствор, растворимость которого не достигла максимальной, называется ненасыщенным раствором . Это означает, что к растворителю все еще может быть добавлено больше растворенного вещества, и растворение все равно будет происходить.

    Раствор, достигший максимальной растворимости, называется насыщенным раствором . Если в этот момент добавить больше растворенного вещества, оно не растворится в растворе. Вместо этого он останется в осадке в виде твердого вещества на дне раствора. Таким образом, часто можно сказать, что раствор является насыщенным, если присутствует дополнительное растворенное вещество (оно может существовать в виде другой фазы, такой как газ, жидкость или твердое вещество).В насыщенном растворе нет чистого изменения количества растворенного вещества, но система никоим образом не статична. Фактически, растворенное вещество постоянно растворяется и откладывается с одинаковой скоростью. Такое явление называется равновесием . Например:

    В особых случаях раствор может быть перенасыщенным . Перенасыщенные растворы — это растворы, в которых растворенные вещества растворяются за пределами нормальной точки насыщения.Обычно для создания перенасыщенного раствора требуются такие условия, как повышенная температура или давление. Например, ацетат натрия имеет очень высокую растворимость при 270 К. При охлаждении такой раствор остается растворенным в так называемом метастабильном состоянии . Однако, когда к раствору добавляется затравочный кристалл , дополнительное растворенное вещество быстро затвердевает. В процессе кристаллизации выделяется тепло, и раствор становится теплым. Обычные грелки для рук используют этот химический процесс для выработки тепла.

    Видео 7.1: Видео, показывающее кристаллизацию перенасыщенного раствора ацетата натрия. Видео: Школа естественных и математических наук Северной Каролины


    Итак, как мы можем предсказать растворимость вещества?

    Одна полезная классификация материалов — полярность. Читая о ковалентных и ионных соединениях в главах 3 и 4, вы узнали, что ионные соединения имеют самую высокую полярность, образуя полные катионы и анионы внутри каждой молекулы, поскольку электроны передаются от одного атома к другому.Вы также узнали, что ковалентные связи могут быть полярными или неполярными по своей природе в зависимости от того, разделяют ли атомы, участвующие в связи, электроны неравномерно или поровну, соответственно. Напомним, что по разнице электроотрицательностей можно определить полярность вещества. Обычно ионная связь имеет разность электроотрицательностей 1,8 или выше, тогда как полярная ковалентная связь составляет от 0,4 до 1,8, а неполярная ковалентная связь составляет 0,4 или ниже.

    Рисунок 7.1 Диаграмма разности электроотрицательностей. Приведенная выше диаграмма является руководством для определения типа связи между двумя разными атомами. Взяв разницу между значениями электроотрицательности для каждого из атомов, участвующих в связи, можно предсказать тип связи и полярность. Обратите внимание, что полный ионный характер достигается редко, однако, когда металлы и неметаллы образуют связи, они называются в соответствии с правилами ионного связывания.


    Вещества с нулевой или низкой разностью электроотрицательности, такие как H 2 , O 2 , N 2 , CH 4 , CCl 4 , являются неполярными соединениями , тогда как H 2 O, NH 3 , CH 3 OH, NO, CO, HCl, H 2 S, PH 3 Более высокая разница электроотрицательности — это полярных соединений .Обычно соединения, имеющие сходную полярность, растворимы друг в друге. Это можно описать правилом:

    Like Dissolves Like.

    Это означает, что вещества должны иметь одинаковые межмолекулярные силы для образования растворов. Когда растворимое растворенное вещество вводится в растворитель, частицы растворенного вещества могут взаимодействовать с частицами растворителя. В случае твердого или жидкого растворенного вещества взаимодействия между частицами растворенного вещества и частицами растворителя настолько сильны, что отдельные частицы растворенного вещества отделяются друг от друга и, окруженные молекулами растворителя, входят в раствор.(Газообразные растворенные вещества уже отделены от составляющих частиц, но концепция окружения частицами растворителя все еще применима.) Этот процесс называется solvatio n и проиллюстрирован на рисунке 7.2. Когда растворителем является вода, вместо сольватации используется слово гидратация .

    Обычно полярные растворители растворяют полярные растворенные вещества, тогда как неполярные растворители растворяют неполярные растворенные вещества. В целом процесс растворения зависит от силы притяжения между частицами растворенного вещества и частицами растворителя.Например, вода представляет собой высокополярный растворитель, способный растворять многие ионные соли. На рис. 7.2 показан процесс растворения, в котором вода действует как растворитель для растворения кристаллической соли хлорида натрия (NaCl). Обратите внимание, что когда ионные соединения растворяются в растворителе, они распадаются на свободно плавающие ионы в растворе. Это позволяет соединению взаимодействовать с растворителем. В случае растворения хлорида натрия в воде ион натрия притягивается к частичному отрицательному заряду атома кислорода в молекуле воды, тогда как ион хлорида притягивается к частичным положительным атомам водорода.

    Рисунок 7.2: Процесс растворения. Когда ионная соль, такая как хлорид натрия, показанная на (A), вступает в контакт с водой, молекулы воды диссоциируют ионные молекулы хлорида натрия в их ионное состояние, что показано в виде молекулярной модели на (B) твердого тела. кристаллическая решетка хлорида натрия и (C) хлорид натрия, растворенный в водном растворителе. (Фотография хлорида натрия предоставлена ​​Крисом 73).


    Многие ионные соединения растворимы в воде, однако не все ионные соединения растворимы.Ионные соединения, растворимые в воде, существуют в растворе в ионном состоянии. На рис. 7.2 вы заметите, что хлорид натрия распадается на ион натрия и ион хлорида по мере растворения и взаимодействия с молекулами воды. В случае ионных соединений, не растворимых в воде, ионы настолько сильно притягиваются друг к другу, что не могут быть разрушены частичными зарядами молекул воды. Следующая таблица может помочь вам предсказать, какие ионные соединения будут растворимы в воде.

    Таблица 7.1 Правила растворимости

    Диссоциация растворимых ионных соединений придает растворам этих соединений интересное свойство: они проводят электричество. Из-за этого свойства растворимые ионные соединения называются электролитами . Многие ионные соединения полностью диссоциируют и поэтому называются сильными электролитами . Хлорид натрия — пример сильного электролита.Некоторые соединения растворяются, но диссоциируют лишь частично, и растворы таких растворенных веществ могут лишь слабо проводить электричество. Эти растворенные вещества называются слабыми электролитами . Уксусная кислота (CH 3 COOH), входящая в состав уксуса, является слабым электролитом. Растворенные вещества, которые растворяются в отдельные нейтральные молекулы без диссоциации, не придают своим растворам дополнительную электропроводность и называются неэлектролитами . Полярные ковалентные соединения, такие как столовый сахар (C 12 H 22 O 11 ), являются хорошими примерами неэлектролитов .

    Термин электролит используется в медицине для обозначения любых важных ионов, растворенных в водном растворе в организме. Важные физиологические электролиты включают Na + , K + , Ca 2 + , Mg 2 + и Cl . Спортивные напитки, такие как Gatoraid, содержат комбинации этих ключевых электролитов, которые помогают восполнить потерю электролитов после тяжелой тренировки.

    Аналогичным образом решения могут быть получены путем смешивания двух совместимых жидкостей.Жидкость с более низкой концентрацией называется растворенным веществом , , а жидкость с более высокой концентрацией — растворителем . Например, зерновой спирт (CH 3 CH 2 OH) представляет собой полярную ковалентную молекулу, которая может смешиваться с водой. Когда два одинаковых раствора помещаются вместе и могут смешиваться в раствор, они считаются смешиваемыми . С другой стороны, жидкости, которые не имеют сходных характеристик и не могут смешиваться вместе, называются несмешивающимися .Например, масла, содержащиеся в оливковом масле, такие как олеиновая кислота (C 18 H 34 O 2 ), имеют в основном неполярные ковалентные связи, которые не имеют межмолекулярных сил, достаточно сильных, чтобы разорвать водородную связь между молекулы воды. Таким образом, вода и масло не смешиваются и считаются несмешивающимися .

    Другие факторы, такие как температура и давление, также влияют на растворимость растворителя. Таким образом, при определении растворимости следует также помнить об этих других факторах.

    (Вернуться к началу)

    7.4 Температура и растворимость

    При рассмотрении растворимости твердых веществ соотношение температуры и растворимости не является простым или предсказуемым. На рис. 7.3 показаны графики растворимости некоторых органических и неорганических соединений в воде в зависимости от температуры. Хотя растворимость твердого вещества обычно увеличивается с повышением температуры, нет простой взаимосвязи между структурой вещества и температурной зависимостью его растворимости.Многие соединения (например, глюкоза и CH 3 CO 2 Na) демонстрируют резкое увеличение растворимости с повышением температуры. Другие (такие как NaCl и K 2 SO 4 ) мало изменяются, а третьи (такие как Li 2 SO 4 ) становятся менее растворимыми с повышением температуры.

    Рис. 7.3. Растворимость некоторых неорганических и органических твердых веществ в воде в зависимости от температуры. Растворимость может увеличиваться или уменьшаться с температурой; величина этой температурной зависимости широко варьируется между соединениями.


    Изменение растворимости в зависимости от температуры было измерено для широкого диапазона соединений, и результаты опубликованы во многих стандартных справочниках. Химики часто могут использовать эту информацию для разделения компонентов смеси с помощью фракционной кристаллизации , разделения соединений на основе их растворимости в данном растворителе. Например, если у нас есть смесь 150 г ацетата натрия (CH 3 CO 2 Na) и 50 г KBr, мы можем разделить два соединения, растворив смесь в 100 г воды при 80 ° C. а затем медленно охлаждают раствор до 0 ° C.Согласно температурным кривым на рисунке 7.3 оба соединения растворяются в воде при 80 ° C, и все 50 г KBr остаются в растворе при 0 ° C. Однако только около 36 г CH 3 CO 2 Na растворимы в 100 г воды при 0 ° C, поэтому кристаллизуется примерно 114 г (150 г — 36 г) CH 3 CO 2 Na при охлаждении. Затем кристаллы можно отделить фильтрованием. Таким образом, фракционная кристаллизация позволяет нам восстановить около 75% исходного CH 3 CO 2 Na в практически чистой форме всего за одну стадию.

    Фракционная кристаллизация — это распространенный метод очистки таких разнообразных соединений, как показано на рис. 7.3, и от антибиотиков до ферментов. Чтобы методика работала должным образом, интересующее соединение должно быть более растворимым при высокой температуре, чем при низкой температуре, чтобы понижение температуры заставляло его кристаллизоваться из раствора. Кроме того, примеси должны быть на более растворимыми на , чем представляющее интерес соединение (как KBr в этом примере), и предпочтительно присутствовать в относительно небольших количествах.

    Растворимость газов в жидкостях гораздо более предсказуема. Растворимость газов в жидкостях уменьшается с повышением температуры, как показано на рисунке 7.4. Привлекательные межмолекулярные взаимодействия в газовой фазе практически равны нулю для большинства веществ, потому что молекулы находятся так далеко друг от друга, когда находятся в газовой форме. Когда газ растворяется, это происходит потому, что его молекулы взаимодействуют с молекулами растворителя. Когда формируются эти новые силы притяжения, выделяется тепло. Таким образом, если к системе добавляется внешнее тепло, оно преодолевает силы притяжения между газом и молекулами растворителя и снижает растворимость газа.

    Рис. 7.4 Зависимость растворимости нескольких обычных газов в воде от температуры при парциальном давлении 1 атм. Растворимость газов уменьшается с повышением температуры.


    Уменьшение растворимости газов при более высоких температурах имеет как практические, так и экологические последствия. Любой, кто регулярно кипятит воду в чайнике или электрочайнике, знает, что внутри накапливается белый или серый налет, который в конечном итоге необходимо удалить.То же явление происходит в гораздо большем масштабе в гигантских котлах, используемых для подачи горячей воды или пара для промышленных целей, где это называется «котельная накипь», — нагар, который может серьезно снизить пропускную способность труб горячего водоснабжения ( Рисунок 7.5). Проблема не только в современном мире: акведуки, построенные римлянами 2000 лет назад для транспортировки холодной воды из альпийских регионов в более теплые и засушливые регионы на юге Франции, были забиты аналогичными отложениями. Химический состав этих отложений умеренно сложен, но движущей силой является потеря растворенного диоксида углерода (CO 2 ) из раствора.Жесткая вода содержит растворенные ионы Ca 2+ и HCO 3 (бикарбонат). Бикарбонат кальция [Ca (HCO 3 ) 2 ] довольно растворим в воде, но карбонат кальция (CaCO 3 ) совершенно нерастворим. Раствор бикарбонат-ионов может реагировать с образованием диоксида углерода, карбонат-иона и воды:

    2HCO 3 (водн.) → CO 2 2− (водн.) + H 2 O (л) + CO 2 (водн.)

    Нагревание раствора снижает растворимость CO 2 , который уходит в газовую фазу над раствором.В присутствии ионов кальция ионы карбоната осаждаются в виде нерастворимого карбоната кальция, основного компонента накипи в котле.

    Рисунок 7.5 Вес котла в водопроводе. Отложения карбоната кальция (CaCO 3 ) в трубах горячего водоснабжения могут значительно снизить пропускную способность труб. Эти отложения, называемые котловой накипью, образуются, когда растворенный CO 2 переходит в газовую фазу при высоких температурах.


    В разделе тепловое загрязнение озерная или речная вода, которая используется для охлаждения промышленного реактора или электростанции, возвращается в окружающую среду при более высокой температуре, чем обычно.Из-за пониженной растворимости O 2 при более высоких температурах (рис. 7.4) более теплая вода содержит меньше растворенного кислорода, чем вода, когда она попадала в растение. Рыбы и другие водные организмы, которым для жизни необходим растворенный кислород, могут буквально задохнуться, если концентрация кислорода в их среде обитания будет слишком низкой. Поскольку теплая, обедненная кислородом вода менее плотная, она имеет тенденцию плавать на поверхности более холодной, плотной и богатой кислородом воды в озере или реке, образуя барьер, препятствующий растворению атмосферного кислорода.В конце концов, если проблему не устранить, можно задохнуться даже в глубоких озерах. Кроме того, большинство рыб и других водных организмов, не являющихся млекопитающими, хладнокровны, а это означает, что температура их тела такая же, как температура окружающей среды. Температура, значительно превышающая нормальный диапазон, может привести к тяжелому стрессу или даже смерти. Системы охлаждения для электростанций и других объектов должны быть спроектированы таким образом, чтобы свести к минимуму любые неблагоприятные воздействия на температуру окружающих водоемов.На северо-западе Тихого океана популяции лососевых чрезвычайно чувствительны к изменениям температуры воды. Для этой популяции оптимальная температура воды составляет от 12,8 до 17,8 o C (55-65 o F). Помимо пониженного уровня кислорода, популяции лосося гораздо более восприимчивы к болезням, хищничеству и паразитарным инфекциям при более высоких температурах воды. Таким образом, тепловое загрязнение и глобальное изменение климата создают реальные проблемы для выживания и сохранения этих видов.Для получения дополнительной информации о влиянии повышения температуры на популяции лососевых посетите Focus Publication штата Вашингтон.

    Похожий эффект наблюдается в повышении температуры водоемов, таких как Чесапикский залив, крупнейший эстуарий в Северной Америке, причиной которого является глобальное потепление. На каждые 1,5 ° C, которые нагревает вода в заливе, способность воды растворять кислород уменьшается примерно на 1,1%. Многие морские виды, находящиеся на южной границе своего ареала, переместили свои популяции дальше на север.В 2005 году угорь, который является важным местом обитания рыб и моллюсков, исчез на большей части залива после рекордно высоких температур воды. Предположительно, снижение уровня кислорода уменьшило популяцию моллюсков и других фильтраторов, что затем уменьшило светопропускание, что позволило угрям расти. Сложные взаимоотношения в экосистемах, таких как Чесапикский залив, особенно чувствительны к колебаниям температуры, вызывающим ухудшение качества среды обитания.

    (Вернуться к началу)

    7.5 Влияние давления на растворимость газов: закон Генри

    Внешнее давление очень мало влияет на растворимость жидкостей и твердых тел. Напротив, растворимость газов увеличивается с увеличением парциального давления газа над раствором. Эта точка проиллюстрирована на рисунке 7.6, где показано влияние повышенного давления на динамическое равновесие, которое устанавливается между молекулами растворенного газа в растворе и молекулами в газовой фазе над раствором.Поскольку концентрация молекул в газовой фазе увеличивается с увеличением давления, концентрация молекул растворенного газа в растворе в состоянии равновесия также выше при более высоких давлениях.

    Рис. 7.6. Модель, показывающая, почему растворимость газа увеличивается при увеличении парциального давления при постоянной температуре. (a) Когда газ входит в контакт с чистой жидкостью, некоторые молекулы газа (пурпурные сферы) сталкиваются с поверхностью жидкости и растворяются.Когда концентрация растворенных молекул газа увеличилась так, что скорость, с которой молекулы газа уходят в газовую фазу, была такой же, как скорость, с которой они растворяются, было установлено динамическое равновесие, как показано здесь. (б) Увеличение давления газа увеличивает количество молекул газа в единице объема, что увеличивает скорость, с которой молекулы газа сталкиваются с поверхностью жидкости и растворяются. (c) По мере того, как дополнительные молекулы газа растворяются при более высоком давлении, концентрация растворенного газа увеличивается до тех пор, пока не установится новое динамическое равновесие.


    Взаимосвязь между давлением и растворимостью газа количественно описывается законом Генри, названным в честь его первооткрывателя, английского врача и химика Уильяма Генри (1775–1836):

    C = кПа

    , где C — концентрация растворенного газа в состоянии равновесия, P — парциальное давление газа, а k — константа закона Генри , которая должна определяться экспериментально для каждой комбинации газа, растворителя, и температура.Хотя концентрацию газа можно выразить в любых удобных единицах, мы будем использовать исключительно молярность. Таким образом, единицами измерения постоянной закона Генри являются моль / (л · атм) = М / атм. Значения констант закона Генри для растворов нескольких газов в воде при 20 ° C приведены в таблице 7.2


    Видеоурок по закону Генри от Академии Кана

    Все материалы Khan Academy доступны бесплатно на сайте www.khanacademy.org


    Как данные в таблице 7.2 демонстрируют, что концентрация растворенного газа в воде при заданном давлении сильно зависит от ее физических свойств. Для ряда родственных веществ дисперсионные силы Лондона возрастают с увеличением молекулярной массы. Таким образом, среди элементов группы 18 константы закона Генри плавно возрастают от He до Ne и до Ar. Из таблицы также видно, что O 2 почти вдвое растворимее, чем N 2 . Хотя силы лондонской дисперсии слишком слабы, чтобы объяснить такую ​​большую разницу, O 2 является парамагнитным веществом и, следовательно, более поляризуемым, чем N 2 , что объясняет его высокую растворимость.(Примечание: когда вещество парамагнитно , оно очень слабо притягивается полюсами магнита, но не сохраняет никакого постоянного магнетизма).

    Таблица 7.2 Константы закона Генри для выбранных газов в воде при 20 ° C

    Парциальное давление газа можно выразить как концентрацию, записав закон Генри как P газ = C / k. Это важно во многих сферах жизни, включая медицину, где обычно измеряются газы крови, такие как кислород и углекислый газ.Поскольку парциальное давление и концентрация прямо пропорциональны, если парциальное давление газа изменяется, а температура остается постоянной, новую концентрацию газа в жидкости можно легко рассчитать, используя следующее уравнение:

    Где C 1 и P 1 — соответственно концентрация и парциальное давление газа в исходном состоянии, а C 2 и P 2 — концентрация и парциальное давление, соответственно, газа в конечном состоянии.Например:

    Практическая задача: Концентрация CO 2 в растворе составляет 0,032 М при 3,0 атм. Какова концентрация CO 2 при давлении 5,0 атм?
    Решение: Чтобы решить эту проблему, сначала мы должны определить, что мы хотим найти. Это концентрация CO 2 при давлении 5,0 атм. Эти два значения представляют C 2 = ?? и P 2 = 5.0 атм. На этом этапе будет проще всего изменить приведенное выше уравнение, чтобы найти C 2 . Далее нам нужно определить начальные условия, C 1 = 0,032 M и P 1 = 3,0 атм. Затем мы можем подставить эти значения в уравнение и решить для C 2 :

    Газы, которые химически реагируют с водой, такие как HCl и другие галогениды водорода, H 2 S и NH 3 , не подчиняются закону Генри; все эти газы гораздо более растворимы, чем предсказывает закон Генри.Например, HCl реагирует с водой с образованием H + (водн.) И Cl (водн.), , а не растворенных молекул HCl, и его диссоциация на ионы приводит к гораздо более высокой растворимости, чем ожидалось для нейтральной молекулы. В целом газы, вступающие в реакцию с водой, не подчиняются закону Генри.

    Обратите внимание на узор

    Закон Генри имеет важные приложения. Например, пузырьки CO 2 образуются, как только газированный напиток открывается, потому что напиток был разлит под CO 2 при давлении более 1 атм.При открытии бутылки давление CO 2 над раствором быстро падает, и часть растворенного газа улетучивается из раствора в виде пузырьков. Закон Генри также объясняет, почему аквалангисты должны быть осторожны, чтобы медленно всплывать на поверхность после погружения, если они дышат сжатым воздухом. При более высоком давлении под водой во внутренних жидкостях дайвера растворяется больше N 2 из воздуха. Если дайвер всплывает слишком быстро, резкое изменение давления вызывает образование мелких пузырьков N 2 по всему телу, состояние, известное как «изгибы».«Эти пузырьки могут блокировать кровоток по мелким кровеносным сосудам, вызывая сильную боль и в некоторых случаях даже заканчиваясь смертельным исходом.

    Из-за низкой константы закона Генри для O 2 в воде уровни растворенного кислорода в воде слишком низкие для удовлетворения энергетических потребностей многоклеточных организмов, включая человека. Чтобы увеличить концентрацию O 2 во внутренних жидкостях, организмы синтезируют хорошо растворимые молекулы-носители, которые обратимо связывают O 2 . Например, красные кровяные тельца человека содержат белок, называемый гемоглобином, который специфически связывает O 2 и облегчает его транспортировку из легких в ткани, где он используется для окисления молекул пищи с целью получения энергии.Концентрация гемоглобина в нормальной крови составляет около 2,2 мМ, и каждая молекула гемоглобина может связывать четыре молекулы O 2 . Хотя концентрация растворенного O 2 в сыворотке крови при 37 ° C (нормальная температура тела) составляет всего 0,010 мМ, общая концентрация растворенного O 2 составляет 8,8 мМ, что почти в тысячу раз больше, чем было бы возможно без гемоглобина. Синтетические переносчики кислорода на основе фторированных алканов были разработаны для использования в качестве экстренной замены цельной крови.В отличие от донорской крови, эти «кровезаменители» не требуют охлаждения и имеют длительный срок хранения. Их очень высокие константы закона Генри для O 2 приводят к концентрации растворенного кислорода, сравнимой с таковой в нормальной крови.

    (Вернуться к началу)

    7,6 Твердые гидраты:

    Некоторые ионные твердые вещества принимают небольшое количество молекул воды в свою кристаллическую решетку и остаются в твердом состоянии.Эти твердые вещества называются твердыми гидратами . Твердые гидраты содержат молекулы воды, объединенные в определенном соотношении в качестве неотъемлемой части кристалла, которые либо связаны с металлическим центром, либо кристаллизовались с комплексом металла. Сообщается также, что такие гидраты содержат кристаллизационную воду или гидратную воду .

    Ярким примером является хлорид кобальта (II), который при гидратации меняет цвет с синего на красный и поэтому может использоваться в качестве индикатора воды.

    Рис. 7.7: Хлорид кобальта как пример твердого гидрата. Безводный хлорид кобальта (вверху слева) и его структура кристаллической решетки (внизу слева) по сравнению с гексагидратом хлорида кобальта (вверху справа) и его кристаллическая решетка (внизу справа). Обратите внимание, что молекулы воды, показанные красным (кислород) и белым (водород), интегрированы в кристаллическую решетку хлорида кобальта (II), показанного синим (кобальт) и зеленым (хлорид), в зависимости от полярности. Частично отрицательные атомы кислорода притягиваются к положительно заряженному кобальту, а частично положительные атомы водорода притягиваются к отрицательно заряженным ионам хлорида.Изображения предоставлены Wikipedia Commons (вверху слева и внизу слева), Benjah-bmm27 (вверху справа) и Smokefoot (внизу справа)

    Обозначение, используемое для представления твердого гидрата: « гидратированное соединение n H 2 O », где n — количество молекул воды на формульную единицу соли. n обычно является низким целым числом, хотя возможны дробные значения. Например, в моногидрате n равно единице, а в гексагидрате n равно 6.В примере на рис. 7.7 гидратированный хлорид кобальта будет обозначен: «хлорид кобальта (II) 6 H 2 O». Числовые префиксы греческого происхождения, которые используются для обозначения твердых гидратов:

    • Hemi — 1/2
    • моно — 1
    • Sesqui — 1½
    • Ди — 2
    • Три — 3
    • Тетра — 4
    • Пента — 5
    • Hexa — 6
    • Hepta — 7
    • Окта — 8
    • Нона — 9
    • дека — 10
    • ундека — 11
    • Додека — 12

    Гидрат, потерявший воду, называют ангидридом ; оставшуюся воду, если она есть, можно удалить только при очень сильном нагревании.Вещество, не содержащее воды, обозначается как безводное . Некоторые безводные соединения настолько легко гидратируются, что вытягивают воду из атмосферы и становятся гидратированными. Эти вещества считаются гигроскопичными и могут использоваться как осушители или осушители .

    (Вернуться к началу)

    7.7 Концентрация раствора

    В химии концентрация определяется как содержание компонента, деленное на общий объем смеси.Все мы качественно представляем, что подразумевается под концентрацией . Любой, кто варил растворимый кофе или лимонад, знает, что слишком много порошка дает сильно ароматный и высококонцентрированный напиток, а слишком маленькое — разбавленный раствор, который трудно отличить от воды. Количественно концентрация раствора описывает количество растворенного вещества, которое содержится в определенном количестве этого раствора. Знание концентрации растворенных веществ важно для контроля стехиометрии реагентов для реакций, протекающих в растворе, и имеет решающее значение для многих аспектов нашей жизни, от измерения правильной дозы лекарства до обнаружения химических загрязнителей, таких как свинец и мышьяк.Химики используют множество разных способов определения концентраций. В этом разделе мы рассмотрим наиболее распространенные способы представления концентрации раствора. К ним относятся: молярность и количество частей на раствор.

    7.7.1 Молярность

    Наиболее распространенной единицей концентрации является молярность , что также является наиболее полезным для расчетов, включающих стехиометрию реакций в растворе. Молярность раствора (M) — это количество молей растворенного вещества, присутствующего точно в 1 л раствора.

    Таким образом, единицами молярности являются моль на литр раствора (моль / л), сокращенно М. Обратите внимание, что указанный объем является общим объемом раствора и включает как растворенное вещество, так и растворитель. Например, водный раствор, содержащий 1 моль (342 г) сахарозы в достаточном количестве воды, чтобы получить конечный объем 1,00 л, имеет концентрацию сахарозы 1,00 моль / л или 1,00 М. В химической записи квадратные скобки вокруг названия или формула растворенного вещества представляет собой концентрацию растворенного вещества.Итак

    [сахароза] = 1,00 M

    читается как «концентрация сахарозы 1,00 молярная». Приведенное выше уравнение можно использовать для расчета количества растворенного вещества, необходимого для получения любого количества желаемого раствора.

    Пример проблемы:

    Рассчитайте количество молей гидроксида натрия (NaOH), необходимое для получения 2,50 л 0,100 M NaOH.

    Дано: (1) идентичность растворенного вещества = NaOH, (2) объем = 2,50 л и (3) молярность раствора = 0.100 моль / л (Примечание: при вычислении задач всегда записывайте единицы молярности как моль / л, а не М. Это позволит вам отменить единицы при выполнении вычислений.)

    Запрошено: количество растворенного вещества в молях

    Стратегия: (1) Измените приведенное выше уравнение, чтобы найти желаемую единицу, в данном случае молей. (2) Еще раз проверьте все единицы в уравнении и убедитесь, что они совпадают. Выполните все необходимые преобразования, чтобы единицы совпадали. (3) Введите значения соответствующим образом и выполните математические вычисления.

    Решение:

    (1) Измените приведенное выше уравнение, чтобы найти количество молей.

    (2) Еще раз проверьте все единицы в уравнении и убедитесь, что они совпадают.

    Приведенные значения для этого уравнения: объем 2,50 л и молярность 0,100 моль / л. Единицы объема для обоих этих чисел указаны в литрах (L) и, следовательно, совпадают. Следовательно, никаких преобразований производить не нужно.

    (3) Введите значения соответствующим образом и выполните математические вычисления.

    Приготовление растворов

    Обратите внимание, что в приведенном выше примере у нас все еще недостаточно информации, чтобы фактически приготовить раствор в лаборатории. Не существует оборудования, которое могло бы измерить количество молей вещества. Для этого нам нужно преобразовать количество молей образца в количество граммов, представленное этим числом. Затем мы можем легко использовать весы для взвешивания количества вещества, необходимого для приготовления раствора.В приведенном выше примере:

    Чтобы фактически приготовить раствор, обычно растворяют растворенное вещество в небольшом количестве растворителя, а затем, когда растворенное вещество растворяется, конечный объем может быть доведен до 2,50 л. Если вы добавляете 10 г NaOH напрямую до 2,50 л конечный объем будет больше 2,50 л, а концентрация раствора будет меньше 0,100 М. Помните, что конечный объем должен включать как растворенное вещество, так и растворитель.

    На рис. 7.8 показана процедура приготовления раствора дигидрата хлорида кобальта (II) в этаноле.Обратите внимание, что объем растворителя не указан. Поскольку растворенное вещество занимает пространство в растворе, необходимый объем растворителя на меньше, чем на желаемый общий объем раствора.

    Рисунок 7.8: Приготовление раствора известной концентрации с использованием твердого вещества. Чтобы приготовить раствор, сначала добавьте в колбу часть растворителя. Затем взвесьте необходимое количество растворенного вещества и медленно добавьте его к растворителю.После растворения в растворителе объем раствора можно довести до конечного объема раствора. Для показанной мерной колбы это обозначено черной линией на горловине колбы. В данном случае это 500 мл раствора. Мерные колбы бывают разных размеров, чтобы вместить разные объемы раствора. Градуированные цилиндры также можно использовать для точного доведения раствора до конечного объема. Другая стеклянная посуда, включая химические стаканы и колбы Эрленмейера, недостаточно точна для большинства решений.


    Пример расчета молярности

    Раствор на рисунке 7.8 содержит 10,0 г дигидрата хлорида кобальта (II), CoCl 2 · 2H 2 O, в этаноле, достаточном для приготовления ровно 500 мл раствора. Какова молярная концентрация CoCl 2 · 2H 2 O?

    Дано: масса растворенного вещества и объем раствора

    Запрошено: концентрация (M)

    Стратегия:

    1.Мы знаем, что молярность равна

    моль / литр.

    2. Чтобы вычислить молярность, нам нужно выразить:

    • масса в виде молей
    • объем в литрах
    • Подставьте оба в уравнение выше и вычислите

    Решение:

    1. Преобразование массы в моль. Мы можем использовать молярную массу для перевода граммов CoCl 2 · 2H 2 O в моль.
    • Молярная масса CoCl 2 · 2H 2 O равна 165.87 г / моль (включая две молекулы воды, поскольку они являются частью структуры кристаллической решетки этого твердого гидрата!)

    2. Перевести объем в литры

    3. Подставьте значения в уравнение полярности:

    7.7.2 Количество частей в решениях

    В потребительском и промышленном мире наиболее распространенный метод выражения концентрации основан на количестве растворенного вещества в фиксированном количестве раствора.Упомянутые здесь «количества» могут быть выражены в массе, в объеме или и в том, и в другом (т. Е. Масса растворенного вещества в данном объеме раствора). Чтобы различать эти возможности, используются сокращения (m / м), (об / об) и (м / об).

    В большинстве прикладных областей химии часто используется мера (м / м), тогда как в клинической химии обычно используется (м / об) с массой , выраженной в граммах и объемом в мл.

    Один из наиболее распространенных способов выражения таких концентраций как « частей на 100 », которые все мы знаем как « процентов ».« Cent » — это префикс латинского происхождения, относящийся к числу 100
    (L. centum ), например, столетие или столетие . Он также обозначает 1/100 (от L. centesimus ), как в сантиметре и денежной единице центов . Процентные растворы определяют количество растворенного вещества, которое растворено в количестве раствора, умноженном на 100. Процентные растворы могут быть выражены в единицах массы растворенного вещества на массу раствора (м / м%) или массы растворенного вещества на объем раствора (м / об.%) или объем растворенного вещества на объем раствора (об. / об.%).При создании процентного раствора важно указать, какие единицы измерения используются, чтобы другие также могли правильно принять решение. Также помните, что раствор представляет собой сумму как растворителя, так и растворенного вещества, когда вы выполняете расчет процентов.

    Раствор = Раствор + Растворитель

    Таким образом, при вычислении процентных решений можно использовать следующее уравнение:

    Пример 1:

    В качестве примера, раствор этанола в воде с концентрацией 7,0% об. / Об. Должен содержать 7 мл этанола в общем количестве 100 мл раствора.Сколько воды в растворе?

    В этой задаче мы знаем, что:

    Раствор = Раствор + Растворитель

    Таким образом, мы можем ввести значения, а затем найти неизвестное.

    100 мл = 7 мл + X мл растворителя (в данном случае вода)

    переместив 7 на другую сторону, мы увидим, что:

    100 мл — 7 мл = 93 мл H 2 O

    Пример 2

    Какое (м / об)% раствора, если 24.0 г сахарозы растворяется в общем растворе 243 мл?

    Пример 3

    Сколько граммов NaCl требуется для приготовления 625 мл 13,5% раствора?


    Для более разбавленных растворов используются части на миллион (10 6 ppm) и части на миллиард (10 9 ; ppb). Эти термины широко используются для обозначения количества следов загрязняющих веществ в окружающей среде.

    Одинаковые процентные («части на сотню») единицы, ppm и ppb могут быть определены в единицах массы, объема или смешанных единиц массы-объема.Также существуют единицы ppm и ppb, определяемые по количеству атомов и молекул.

    Массовые определения ppm и ppb приведены здесь:

    Как ppm, так и ppb являются удобными единицами измерения концентраций загрязняющих веществ и других микропримесей в воде. Концентрации этих загрязнителей, как правило, очень низкие в очищенных и природных водах, и их уровни не могут превышать относительно низкие пороговые значения концентрации, не вызывая неблагоприятных последствий для здоровья и дикой природы.Например, EPA определило, что максимально безопасный уровень фторид-иона в водопроводной воде составляет 4 ppm. Встроенные фильтры для воды предназначены для снижения концентрации фторида и некоторых других незначительных примесей в водопроводной воде (рис. 7.9).

    Рисунок 7.9. (a) В некоторых районах следовые концентрации загрязняющих веществ могут сделать нефильтрованную водопроводную воду небезопасной для питья и приготовления пищи. (b) Встроенные фильтры для воды снижают концентрацию растворенных веществ в водопроводной воде.(кредит А: модификация работы Дженн Дарфи; кредит б: модификация работы «Вастатепаркстафф» / Wikimedia commons


    При сообщении о загрязнителях, таких как свинец, в питьевой воде, концентрации ppm и ppb часто указываются в смешанных единицах измерения массы / объема. Это может быть очень полезно, поскольку нам легче думать о воде с точки зрения ее объема, а не массы. Кроме того, плотность воды составляет 1,0 г / мл или 1,0 мг / 0,001 мл, что упрощает преобразование между двумя единицами измерения.Например, если мы обнаружим, что содержание свинца в воде составляет 4 ppm, это будет означать, что есть:

    7.74 Эквиваленты

    Концентрации ионных растворенных веществ иногда выражаются в единицах, называемых эквивалентами (уравнение). Один эквивалент равен 1 моль положительного или отрицательного заряда. Таким образом, 1 моль / л Na + (водн.) Также равен 1 экв / л, потому что натрий имеет заряд 1+. Раствор ионов Ca 2 + (водн.) С концентрацией 1 моль / л имеет концентрацию 2 экв / л, потому что кальций имеет заряд 2+.Разбавленные растворы могут быть выражены в миллиэквивалентах (мэкв.) — например, общая концентрация плазмы крови человека составляет около 150 мэкв / л.

    В более формальном определении, эквивалент — это количество вещества, необходимое для выполнения одного из следующих действий:

    • реагирует или поставляет один моль ионов водорода (H + ) в кислотно-щелочной реакции
    • реагирует или поставляет один моль электронов в окислительно-восстановительной реакции.

    Согласно этому определению, эквивалент — это количество молей иона в растворе, умноженное на валентность этого иона.Если 1 моль NaCl и 1 моль CaCl 2 растворяются в растворе, в этом растворе содержится 1 экв. Na, 2 экв. Ca и 3 экв. Cl. (Валентность кальция равна 2, поэтому для этого иона у вас 1 моль и 2 эквивалента.)

    (Вернуться к началу)

    7,8 Разведения

    Раствор желаемой концентрации можно также приготовить путем разбавления небольшого объема более концентрированного раствора дополнительным растворителем. Для этой цели часто используется основной раствор, который представляет собой приготовленный раствор известной концентрации.Разбавление основного раствора предпочтительнее при приготовлении растворов с очень слабой концентрацией, потому что альтернативный метод, взвешивание крошечных количеств растворенного вещества, может быть трудным для выполнения с высокой степенью точности. Разбавление также используется для приготовления растворов из веществ, которые продаются в виде концентрированных водных растворов, таких как сильные кислоты.

    Раствор желаемой концентрации можно также приготовить путем разбавления небольшого объема более концентрированного раствора дополнительным растворителем.Для этой цели часто используется основной раствор, который представляет собой приготовленный раствор известной концентрации. Разбавление основного раствора предпочтительнее при приготовлении растворов с очень слабой концентрацией, потому что альтернативный метод, взвешивание крошечных количеств растворенного вещества, может быть трудным для выполнения с высокой степенью точности. Разбавление также используется для приготовления растворов из веществ, которые продаются в виде концентрированных водных растворов, таких как сильные кислоты.

    Процедура приготовления раствора известной концентрации из основного раствора показана на рисунке 7.10. Это требует расчета желаемого количества растворенного вещества в конечном объеме более разбавленного раствора, а затем расчета объема исходного раствора, который содержит это количество растворенного вещества. Помните, что при разбавлении данного количества исходного раствора растворителем , а не , изменяет количество присутствующего растворенного вещества, изменяется только объем раствора. Соотношение между объемом и концентрацией основного раствора и объемом и концентрацией желаемого разбавленного раствора, таким образом, может быть выражено математически как:

    Где M s — концентрация основного раствора, V s — объем основного раствора, M d — концентрация разбавленного раствора, а V d — объем разбавленного раствора. .

    Рисунок 7.10 Приготовление раствора известной концентрации путем разбавления исходного раствора. (a) Объем ( V s ), содержащий желаемое количество растворенного вещества (M s ), измеряется из исходного раствора известной концентрации. (b) Отмеренный объем исходного раствора переносят во вторую мерную колбу. (c) Измеренный объем во второй колбе затем разбавляется растворителем до объемной отметки [( V s ) (M s ) = ( V d ) (M d ). ].


    Пример расчета разбавления

    Какой объем 3,00 М исходного раствора глюкозы необходим для приготовления 2500 мл 0,400 М раствора?

    Дано: Объем и молярность разбавленного раствора и молярность основного раствора

    Запрошено: объем основного раствора

    Стратегия и решение:

    Для задач разбавления, если вам известны 3 переменные, вы можете решить 4-ю переменную.

    1. Начните с перестановки уравнения, чтобы найти переменную, которую вы хотите найти. В этом случае вы хотите найти объем основного раствора, В с

    2. Затем убедитесь, что одинаковые термины имеют одинаковые единицы измерения. Например, Md и Ms являются концентрациями, поэтому для проведения расчетов они должны быть в одной и той же единице (в данном случае они оба указаны в разделе «Молярность»). Если бы концентрации были разными, скажем, один был дан в молярности, а другой в процентах, или один был в молярности, а другой был в миллимолярности, один из терминов нужно было бы преобразовать, чтобы они совпадали.Таким образом, единицы будут отменены, и в этом случае вы останетесь с единицами громкости.

    3. Наконец, заполните уравнение с известными значениями и вычислите окончательный ответ.

    Обратите внимание, что если требуется 333 мл исходного раствора, вы также можете рассчитать количество растворителя, необходимое для окончательного разбавления. (Общий объем — объем исходного раствора = объем растворителя, необходимый для окончательного разбавления. В этом случае 2500 мл — 333 мл = 2167 мл воды, необходимой для окончательного разбавления (это следует делать в мерном цилиндре или мерной колбе) .

    (Вернуться к началу)

    7,9 Концентрации ионов в растворе

    До сих пор мы обсуждали концентрацию всего раствора в терминах общего растворенного вещества, деленного на объем раствора. Давайте более подробно рассмотрим, что это означает при рассмотрении ионных и ковалентных соединений. Когда ионные соединения растворяются в растворе, они переходят в ионное состояние.Катионы и анионы связываются с полярными молекулами воды. Напомним, что растворы, содержащие ионы, называются электролитами из-за их способности проводить электричество. Например, дихромат аммония (NH 4 ) 2 Cr 2 O 7 представляет собой ионное соединение, которое содержит два иона NH 4 + и один Cr 2 O 7 2− ионов на формульную единицу. Как и другие ионные соединения, это сильный электролит, который диссоциирует в водном растворе с образованием гидратированных ионов NH 4 + и Cr 2 O 7 2-.Если мы рассмотрим это решение математически, мы увидим, что для каждой молекулы дихромата аммония, которая растворяется, образуются три результирующих иона (два иона NH 4 + и один Cr 2 O 7 2− ион). Это также можно представить в более крупном молярном масштабе. Когда 1 моль (NH 4 ) 2 Cr 2 O 7 растворяется, получается 3 моля ионов (1 моль Cr 2 O 7 2- анионов и 2 моль катионов NH 4 + ) в растворе (рисунок 7.11). Чтобы обсудить взаимосвязь между концентрацией раствора и результирующим количеством ионов, используется термин эквиваленты .

    Один эквивалент определяется как количество ионного соединения, которое обеспечивает 1 моль электрического заряда (+ или -). Он рассчитывается путем деления молярности раствора на общий заряд, созданный в растворе.

    Рис. 7.11 Растворение 1 моля ионного соединения. Растворение 1 моля формул дихромата аммония в воде дает 1 моль анионов Cr 2 O 7 2− и 2 моль катионов NH 4 + . (Молекулы воды не показаны с молекулярной точки зрения для ясности.)


    Когда мы проводим химическую реакцию с использованием раствора соли, такого как дихромат аммония, нам необходимо знать концентрацию каждого иона, присутствующего в растворе. Если раствор содержит 1,43 M (NH 4 ) 2 Cr 2 O 7 , то концентрация Cr 2 O 7 2− также должна быть равна 1.43 M, потому что на формульную единицу приходится один ион Cr 2 O 7 2-. Однако на формульную единицу приходится два иона NH 4 + , поэтому концентрация ионов NH 4 + составляет 2 × 1,43 M = 2,86 М. Поскольку каждая формульная единица (NH 4 ) 2 Cr 2 O 7 при растворении в воде образует три иона (2NH 4 + + 1Cr 2 O 7 2−), общая концентрация ионов в решение 3 × 1.43 M = 4,29 M. Эквивалентное значение (NH 4 ) 2 Cr 2 O 7 затем можно рассчитать, разделив 1,43 M на 4,29 M, получив 0,333 эквивалента. Таким образом, для (NH 4 ) 2 Cr 2 O 7 растворение 0,333 моля соединения даст 1 моль ионов в растворе.

    Пример 1

    Каковы концентрации всех ионных частиц, полученных из растворенных веществ в этих водных растворах?

    1. 0.21 М NaOH
    2. 3,7 M (CH 3 ) CHOH
    3. 0,032 M дюйм (NO 3 ) 3

    Дано: Молярность

    Запрошено: концентрации

    Стратегия:

    A Классифицируйте каждое соединение как сильнодействующий электролит или как неэлектролит.

    B Если соединение неэлектролит, его концентрация такая же, как молярность раствора. Если соединение является сильным электролитом, определите количество каждого иона, содержащегося в одной формульной единице.Найдите концентрацию каждого вида, умножив количество каждого иона на молярность раствора.

    Решение:

    1. 0,21 М NaOH

    A Гидроксид натрия — это ионное соединение, которое является сильным электролитом (и сильным основанием) в водном растворе:

    B Поскольку каждая формульная единица NaOH производит один ион Na + и один ион OH , концентрация каждого иона такая же, как концентрация NaOH: [Na + ] = 0.21 M и [OH ] = 0,21

    2. 3,7 M (CH 3 ) CHOH

    A Формула (CH 3 ) 2 CHOH представляет собой 2-пропанол (изопропиловый спирт) и содержит группу –OH, поэтому это спирт. Напомним из раздела 4.1 «Водные растворы», что спирты — это ковалентные соединения, которые растворяются в воде с образованием растворов нейтральных молекул. Таким образом, спирты не являются электролитами

    B Таким образом, единственными растворенными веществами в растворе являются (CH 3 ) 2 молекулы CHOH, поэтому [(CH 3 ) 2 CHOH] = 3.7 м

    3. 0,032 M дюйм (NO 3 ) 3

    A Нитрат индия — это ионное соединение, которое содержит ионы In 3+ и ионы NO 3 , поэтому мы ожидаем, что он будет вести себя как сильный электролит в водном растворе

    B Одна формульная единица In (NO 3 ) 3 дает один ион In 3+ и три иона NO 3 , поэтому 0,032 M In (NO 3 ) 3 Решение содержит 0.032 M In 3+ и 3 × 0,032 M = 0,096 M NO 3 , то есть [In 3+ ] = 0,032 M и [NO 3 ] = 0,096 M

    (Вернуться к началу)

    7.10 Внимание к окружающей среде: загрязнение свинцом
    История использования свинца в США

    В главе 5 вы познакомились с EPA и с тем, как параметры качества воздуха отслеживаются для определения уровней загрязнения.Одним из шести основных параметров, за которым ведется мониторинг в соответствии с Законом о чистом воздухе, является свинец. Свинец естественным образом встречается в земной коре в очень низких концентрациях, ~ 0,001%, и выглядит как сине-серый металл, который является мягким и плотным. Он широко используется в Соединенных Штатах во многих различных продуктах, включая батареи и смеси металлов, в качестве материала для пайки труб и керамики, хрусталя и других известных коммерческих продуктов. Особенно часто свинец использовался в красках для наружных работ и в качестве добавки к бензину (рис.12). Из-за растущих проблем со здоровьем использование свинца во многих продуктах было прекращено и прекращено. Однако загрязнение свинцом почвы, воды и воздуха по-прежнему является проблемой и вызывает повышенный риск для здоровья населения.

    Рисунок 7.12 История использования свинца в красках и бензине на протяжении большей части 20 века. На графике показано раннее преобладание свинцовых красок, за которым последовал бум в транспортировке, что привело к высокому использованию этилированного бензина.Спад после середины 1970-х годов был связан с контролем, введенным EPA для исключения этилированного бензина. Источник: Filippelli и др. (2005) использовано с разрешения.


    Национальные стандарты качества окружающего воздуха (NAAQS) для свинца установлены на уровне 0,15 микрограмма на кубический метр Pb в общем количестве взвешенных частиц в среднем за 3 месяца. Как видно из рисунка 7.13, уровни свинца в атмосфере были очень высокими до середины 1990-х годов, после чего мы стали свидетелями резкого падения уровней свинца в атмосфере.Этот всплеск содержания свинца в значительной степени связан с выбросами транспортных средств, когда свинец использовался в качестве добавки к бензину. В 1970 году, когда было полностью признано отрицательное воздействие свинца на здоровье, Агентство по охране окружающей среды начало программу сокращения использования свинца в бензине. Полный запрет на этилированный бензин вступил в силу в 1996 году.

    Рис. 7.13 Уровни содержания свинца в атмосфере с 1980 по 2014 год. (A) Как интерпретировать графики качества воздуха от EPA. синяя полоса показывает распределение уровней загрязнения воздуха по участкам тренда, отображая средние 80%.Белая линия представляет собой среднее значение по всем сайтам трендов. Девяносто процентов участков имеют концентрации ниже верхней черты, в то время как десять процентов площадок имеют концентрации ниже нижней черты. (B) Максимальный годовой максимальный трехмесячный средний уровень содержания свинца в атмосфере, демонстрирующий снижение уровней загрязнения свинцом на 99% с 1980 по 2017 год. Источник: EPA


    Использование тетраэтилсвинца (TEL) было определено General Motors в качестве присадки к топливу, которая увеличивает общее октановое число бензина.Это позволило значительно повысить компрессию двигателя, что привело к увеличению производительности автомобиля и большей экономии топлива.

    TEL получают путем реакции хлорэтана с натрием свинцом сплавом

    4 NaPb + 4 CH 3 CH 2 Cl → (CH 3 CH 2 ) 4 Pb + 4 NaCl + 3 Pb

    Продукт регенерируется путем перегонки с водяным паром, в результате чего остается ил из отходов свинца и хлорида натрия.Несмотря на десятилетия исследований, не было обнаружено никаких реакций, улучшающих этот довольно сложный процесс, который включает металлический натрий и превращает только 25% свинца в TEL. ТЕЛ — вязкая бесцветная жидкость. Поскольку TEL является нейтральным по заряду и содержит внешние углеродные группы, он очень липофильный (жиросодержащий) и растворим в бензине.

    При сжигании этилированного бензина выделяется не только диоксид углерода и вода, но и свинец

    (CH 3 CH 2 ) 4 Pb + 13 O 2 → 8 CO 2 + 10 H 2 O + Pb

    Образующийся свинец также может окисляться при сгорании с образованием оксида свинца (II)

    2 Pb + O 2 → 2 PbO

    Образование Pb и PbO внутри автомобильного двигателя быстро накапливается в избытке и вызывает серьезные повреждения двигателя.Таким образом, молекулы, улавливающие свинец, также должны были быть добавлены в бензин для реакции с продуктами свинца, образующимися при сгорании. Обычно для этого процесса использовались 1,2-дибромэтан и 1,2-дихлорэтан. Эти агенты реагируют с побочными продуктами свинца и образуют летучий бромид свинца (II) и хлорид свинца (II), которые затем могут выбрасываться в атмосферу из двигателя.

    Повышенные уровни свинца в атмосфере, вызванные использованием автомобилей, сильно коррелировали с повышенными уровнями свинца в крови среди населения.

    7.14 Снижение среднего уровня свинца в крови у детей в США и общего количества свинца, использованного в год в бензине в 1974-1992 годах (адаптировано из U.S.EPA 1999).


    Биологические эффекты свинца

    После того, как свинец попадает в организм, он не выводится из организма. Вместо этого он накапливается в минерализующихся тканях, таких как кости и зубы, или в мягких тканях, таких как печень, почки и мозг. Мозг очень чувствителен. Проведенное в Цинциннати исследование продемонстрировало, что воздействие свинца в детстве вызывает потерю серого вещества в головном мозге, особенно в лобных областях, участвующих в исполнительной функции и принятии решений (рис.15).

    Рис. 7.15. Воздействие свинца в детстве уменьшает размер мозга. Мозг взрослых, подвергшихся воздействию свинца в детстве, показывает уменьшенный объем, особенно в префронтальной коре на МРТ. Области потери объема показаны цветом на шаблоне нормального мозга. Источник: Cecil, KM, et al.


    Острое воздействие свинца может вызвать отравление свинцом и вызвать боли в животе, запоры, головные боли, раздражительность, проблемы с памятью, неспособность иметь детей и покалывание в руках и ногах.Это вызывает почти 10% умственной отсталости по другой неизвестной причине и может привести к поведенческим проблемам. Некоторые эффекты постоянны. В тяжелых случаях может наступить анемия, судороги, кома или смерть.

    Воздействие свинца может происходить через загрязненный воздух, воду, пыль, продукты питания или товары широкого потребления что они едят. Воздействие свинца на работе — частая причина отравления свинцом у взрослых людей определенных профессий, которым грозит особый риск.Диагноз обычно ставится путем измерения уровня свинца в крови. Центры по контролю за заболеваниями (США) установили верхний предел содержания свинца в крови для взрослых на уровне 10 мкг / дл (10 мкг / 100 г) и для детей на уровне 5 мкг / дл.

    Интересная корреляция: преступность и уровни свинца в крови

    Ряд исследований, проведенных за последнее десятилетие, показали сильную корреляцию между уровнем свинца в крови дошкольного возраста и последующим уровнем преступности, особенно насильственных преступлений, произошедших 20 лет спустя (Рисунок 7.16).

    Рис. 7.16. Соотношение уровней содержания свинца в крови в дошкольном возрасте и насильственных преступлений, совершенных 23 года спустя.


    В начале 1990-х годов убийства и насильственные преступления достигли рекордного уровня, которому не видно конца. Однако к концу 1990-х годов количество насильственных преступлений по стране сократилось на 40%. Было предложено множество гипотез этого быстрого спада, включая увеличение количества заключенных и увеличение количества полицейских.Однако уровни свинца в крови показывают очень сильную корреляцию с частотой насильственных преступлений с запаздыванием примерно в 20 лет. Кроме того, исследования на животных, в том числе на хомяках и кошках, показали, что воздействие свинца увеличивает или усиливает агрессивное поведение. Кроме того, данные, собранные Риком Невином из других стран (Франция, Западная Германия, Италия и Австралия), которые имеют разные уровни тюремного заключения и охраны правопорядка, показывают аналогичные тенденции в насильственных преступлениях с уровнями свинца в крови детей.Таким образом, есть убедительные доказательства того, что повышенное воздействие свинца в детстве в результате употребления этилированного бензина объясняет, по крайней мере частично, рост уровня насильственной преступности в 1980-х и начале 1990-х годов в Соединенных Штатах.

    Текущие проблемы и опасения

    Несмотря на то, что за последние 40-50 лет использование свинца резко сократилось, он все еще может быть обнаружен в повышенных концентрациях в почвах, особенно в городских и промышленных районах.Кроме того, свинец ранее использовался для строительства водопроводных труб, поскольку он прочен и податлив. Свинец больше не используется для строительства труб, но в более старых городах, таких как Флинт, все еще есть свинцовые трубы, а также медные и железные водопроводные трубы, в стыках и соединениях которых использовалась свинцовая пайка. В апреле 2014 года это стало серьезной проблемой для жителей Флинта, штат Мичиган. Город Флинт, штат Мичиган, столкнулся с серьезными финансовыми проблемами и, пытаясь сэкономить, решил построить новый водопровод от озера Гурон для подачи питьевой воды в этот район.Экономия затрат оценивалась примерно в 10 миллионов долларов в год. Однако на строительство трубопровода уйдет несколько лет. Таким образом, чтобы сразу сэкономить деньги, городские власти города Флинт решили временно переключить городскую воду на реку Флинт на время завершения строительства нового трубопровода. Однако с речной водой может быть труднее справиться из-за более сильных колебаний в остатках стока, и почти сразу жители Флинта, штат Мичиган, начали жаловаться на неприятный запах, неконтролируемую цветную воду, идущую из кранов (рис.7.17).

    Рисунок 7.17. Ли-Энн Уолтерс демонстрирует образцы водопроводной воды на публичном собрании в январе 2015 года. Источник: Ladapo, J.A, et. al. (2017).


    Анализ воды первоначально показал высокий уровень фекальных колиформных бактерий, из-за чего Флинт, штат Мичиган, выпустил рекомендации по кипячению и увеличил количество хлора, используемого для обработки воды. Это, в свою очередь, увеличило производство тригалометанов. Тригалометаны образуются в результате реакции хлорных дезинфицирующих средств в воде с присутствующими органическими веществами, такими как те, которые образуются водорослями, присутствующими в реке Флинт.Тригалометаны связаны со многими проблемами со здоровьем, включая проблемы с печенью, почками и легкими, а также создают неприятный запах и привкус воды. Они также опасны при вдыхании, делая душ в горячей загрязненной воде серьезным риском для здоровья.

    Таким образом, в попытке уменьшить образование побочных продуктов тригалогенметана, город Флинт начал добавлять в воду больше FeCl 3 , чтобы помочь удалить дополнительные органические материалы из этого источника воды.Однако они не смогли добавить никаких молекул, контролирующих коррозию, таких как ортофосфат. Многие водоочистные сооружения используют низкие концентрации ортофосфатов для взаимодействия со свинцом в трубах и образования нерастворимого фосфата свинца, который не проникает в водопровод (рис. 7.18). Отсутствие контроля над коррозией со стороны города Флинт в сочетании с повышенным количеством FeCl 3 привело к резкому увеличению количества присутствующих ионов Cl . Результатом было общее увеличение потенциала коррозии, измеренное по массовому отношению хлорида к сульфату, с 0.45 для системы водоснабжения Детройта до 1,60 для новой системы водоснабжения реки Флинт. Имея такой потенциал коррозии, молекулы кислорода в воде начали окисляться и выделять растворимые формы свинца в водную систему (рис. 7.18). В дополнение к окисленным побочным продуктам свинца выделялись окисленные формы железа, вызывающие большее обесцвечивание воды.

    Рис. 7.18. Процесс коррозии во время водного кризиса во Флинте, штат Мичиган.


    Чтобы получить интерактивную анимацию этого химического процесса, посмотрите этот

    Видео журнала Scientific American — Коррозионная химия: как свинец попал в питьевую воду Флинта


    Из-за протеста общественности и отказа города Флинта принимать меры в связи с плохим качеством воды компания Virgina Tech начала программу тестирования воды и обнаружила чрезвычайно высокие уровни свинца во многих домах во Флинте, штат Мичиган.CDC заявляет, что не существует безопасных уровней свинца, которые можно было бы употреблять в пищу, а стандарты EPA ограничивают содержание свинца в питьевой воде до 15 частей на миллиард. Самый высокий образец, зарегистрированный Технологическим институтом штата Вирджиния, составил 13 000 частей на миллиард из образца в доме Ли-Энн Уолтерс (рис. 7.17). Город Флинт вернулся к использованию системы водоснабжения Детройта в октябре 2015 года. Однако риск воздействия свинца на детей, находящихся в этом районе, превышающий установленные CDC предельные уровни в крови, за это время увеличился вдвое (рис. 7.19). Несколько ожидающих рассмотрения судебных процессов в настоящее время находятся в стадии рассмотрения из-за халатности города Флинт и органов, регулирующих качество воды в регионе.

    Рисунок 7.19. Сравнение уровней свинца в крови во Флинте, штат Мичиган, до и после переключения на источник воды из реки Флинт. Верхняя диаграмма показывает, что качество воды в 1 из 6 домов во Флинте, штат Мичиган, по результатам испытаний, превышающих пределы безопасности Агентства по охране окружающей среды на содержание свинца, после перехода на источник воды в реке Флинт. Нижняя панель показывает уровни свинца в крови у детей, которые регулярно проверяются на уровни свинца в крови в районе как до, так и после перехода на новый источник воды. Источник: Flint Water Study

    .

    Предлагаемое задание: Учителя могут загрузить дискуссионное задание на тему «Экологическая несправедливость и влияние токсичного загрязнения воды во Флинте, штат Мичиган,

    ».

    Flint Water Crisis Environmental Justice Assignment


    7.11 Резюме

    Чтобы убедиться, что вы понимаете материал этой главы, вам следует проанализировать значения терминов, выделенных жирным шрифтом в следующем резюме, и спросить себя, как они соотносятся с темами в главе.

    Раствор представляет собой однородную смесь. Основным компонентом является растворитель , а второстепенным компонентом — растворенное вещество . Решения могут иметь любую фазу; например, сплав представляет собой твердый раствор.Растворенные вещества растворимы, или нерастворимы, , что означает, что они растворяются или не растворяются в конкретном растворителе. Термины смешивающийся, и несмешивающийся, вместо «растворимый и нерастворимый» используются для жидких растворенных веществ и растворителей. Утверждение « как растворяется как » является полезным руководством для прогнозирования того, будет ли растворенное вещество растворяться в данном растворителе.

    Растворение происходит путем сольватации , процесса, в котором частицы растворителя окружают отдельные частицы растворенного вещества, разделяя их с образованием раствора.Для водных растворов используется слово гидратация . Если растворенное вещество является молекулярным, оно растворяется на отдельные молекулы. Если растворенное вещество является ионным, отдельные ионы отделяются друг от друга, образуя раствор, который проводит электричество. Такие растворы называются электролитами . Если диссоциация ионов завершена, раствор представляет собой сильный электролит . Если диссоциация только частичная, раствор представляет собой слабый электролит . Растворы молекул не проводят электричество и называются неэлектролитами .

    Количество растворенного вещества в растворе представлено концентрацией раствора. Максимальное количество растворенного вещества, которое растворяется в данном количестве растворителя, называется растворимостью растворенного вещества. Такими решениями являются насыщенные . Растворы, у которых количество меньше максимального, — это ненасыщенные . Большинство растворов являются ненасыщенными, и их концентрацию можно указать разными способами. Массовый / массовый процент , объемный / объемный процент и массовый / объемный процент указывают процент растворенного вещества в общем растворе. частей на миллион (ppm) и частей на миллиард (ppb) используются для описания очень малых концентраций растворенного вещества. Молярность , определяемая как количество молей растворенного вещества на литр раствора, является стандартной единицей концентрации в химической лаборатории. Эквиваленты выражают концентрации в молях заряда на ионах. Когда раствор разбавляется, мы используем тот факт, что количество растворенного вещества остается постоянным, чтобы можно было определить объем или концентрацию конечного разбавленного раствора.Растворы известной концентрации могут быть приготовлены либо путем растворения известной массы растворенного вещества в растворителе и разбавления до желаемого конечного объема, либо путем разбавления соответствующего объема более концентрированного раствора (исходный раствор ) до желаемого конечного объема.

    Key Takeaway

    • Концентрации раствора обычно выражаются в виде молярности и могут быть получены путем растворения известной массы растворенного вещества в растворителе или разбавления исходного раствора.

    Концептуальные проблемы

    1. Какое из представлений лучше всего соответствует 1 М водному раствору каждого соединения? Обоснуйте свои ответы.

      1. NH 3
      2. ВЧ
      3. Канал 3 Канал 2 Канал 2 Канал
      4. Na 2 SO 4

    2. Какое из представлений, показанных в задаче 1, лучше всего соответствует 1 М водному раствору каждого соединения? Обоснуйте свои ответы.

      1. CH 3 CO 2 H
      2. NaCl
      3. Na 2 S
      4. Na 3 PO 4
      5. ацетальдегид
    3. Можно ли ожидать, что 1,0 М раствор CaCl 2 будет лучше проводить электричество, чем 1,0 М раствор NaCl? Почему или почему нет?

    4. Альтернативный способ определения концентрации раствора — молярность , сокращенно м .Моляльность определяется как количество молей растворенного вещества в 1 кг растворителя . Чем это отличается от молярности? Ожидаете ли вы, что 1 M раствор сахарозы будет более или менее концентрированным, чем 1 m раствор сахарозы ? Поясните свой ответ.

    5. Каковы преимущества использования решений для количественных расчетов?

    Ответ

    1. a) Nh4 — слабое основание, что означает, что некоторые молекулы будут принимать протон от молекул воды, заставляя их диссоциировать на ионы H + и -OH.Ион H + будет ассоциироваться с Nh4 с образованием Nh5 +. Таким образом, это будет больше всего похоже на стакан №2. б) HF — слабая кислота, хотя F сильно электроотрицателен. Это связано с тем, что молекула H-F может образовывать прочные водородные связи с молекулами воды и оставаться в ковалентной связи, которую труднее диссоциировать. Таким образом, стакан № 2 также является хорошим выбором для этой молекулы, так как только часть H-F будет диссоциировать на ионы h4O + и F-. c) CH 3 CH 2 CH 2 OH является ковалентным соединением и не будет диссоциировать в какой-либо заметной степени, поэтому стакан № 3 является правильным выбором.г) Na 2 SO 4 — это растворимое ионное соединение, которое полностью диссоциирует на ионы, больше всего напоминающие химический стакан № 1.

    2. Да, потому что когда CaCl 2 диссоциирует, он образует 3 иона (1 Ca 2+ и 2 иона Cl ), тогда как NaCl будет диссоциировать только на 2 иона (Na + и Cl ) для каждой молекулы. Таким образом, CaCl 2 будет генерировать больше ионов на моль, чем 1 моль NaCl, и будет лучше проводить электричество.

    3. Если количество вещества, необходимое для реакции, слишком мало для точного взвешивания, использование раствора вещества, в котором растворенное вещество диспергировано в гораздо большей массе растворителя, позволяет химикам измерить количество вещества. вещество, точнее.

    Числовые задачи

    1. Рассчитайте количество граммов растворенного вещества в 1.000 л каждого раствора.

      1. 0,2593 M NaBrO 3
      2. 1.592 М КНО 3
      3. 1,559 М уксусная кислота
      4. 0,943 M йодат калия
    2. Рассчитайте количество граммов растворенного вещества в 1.000 л каждого раствора.

      1. 0,1065 Мбайн 2
      2. 1,135 M Na 2 SO 4
      3. 1,428 M NH 4 Br
      4. 0,889 М ацетат натрия
    3. Если все растворы содержат одно и то же растворенное вещество, какой раствор содержит большую массу растворенного вещества?

      1. 1.40 л 0,334 М раствора или 1,10 л 0,420 М раствора
      2. 25,0 мл 0,134 М раствора или 10,0 мл 0,295 М раствора
      3. 250 мл 0,489 М раствора или 150 мл 0,769 М раствора
    4. Заполните следующую таблицу для 500 мл раствора.

      Соединение Масса (г) Родинки Концентрация (М)
      сульфат кальция 4,86 ​​
      уксусная кислота 3.62
      дигидрат иодистого водорода 1,273
      бромид бария 3,92
      глюкоза 0,983
      ацетат натрия 2,42
    5. Какая концентрация каждого вида присутствует в следующих водных растворах?

      1. 0,489 моль NiSO 4 в 600 мл раствора
      2. 1.045 моль бромида магния в 500 мл раствора
      3. 0,146 моль глюкозы в 800 мл раствора
      4. 0,479 моль CeCl 3 в 700 мл раствора
    6. Какая концентрация каждого вида присутствует в следующих водных растворах?

      1. 0,324 моль K 2 MoO 4 в 250 мл раствора
      2. 0,528 моль формиата калия в 300 мл раствора
      3. 0,477 моль KClO 3 в 900 мл раствора
      4. 0.378 моль йодида калия в 750 мл раствора
    7. Какова молярная концентрация каждого раствора?

      1. 8,7 г бромида кальция в 250 мл раствора
      2. 9,8 г сульфата лития в 300 мл раствора
      3. 12,4 г сахарозы (C 12 H 22 O 11 ) в 750 мл раствора
      4. 14,2 г гексагидрата нитрата железа (III) в 300 мл раствора
    8. Какова молярная концентрация каждого раствора?

      1. 12.8 г гидросульфата натрия в 400 мл раствора
      2. 7,5 г гидрофосфата калия в 250 мл раствора
      3. 11,4 г хлорида бария в 350 мл раствора
      4. 4,3 г винной кислоты (C 4 H 6 O 6 ) в 250 мл раствора
    9. Укажите концентрацию каждого реагента в следующих уравнениях, принимая 20,0 г каждого и объем раствора 250 мл для каждого реагента.

      1. BaCl 2 (водн.) + Na 2 SO 4 (водн.) →
      2. Ca (OH) 2 (водн.) + H 3 PO 4 (водн.) →
      3. Al (NO 3 ) 3 (водн.) + H 2 SO 4 (водн.) →
      4. Pb (NO 3 ) 2 (водн.) + CuSO 4 (водн.) →
      5. Al (CH 3 CO 2 ) 3 (водн.) + NaOH (водн.) →
    10. На эксперимент потребовалось 200.0 мл 0,330 М раствора Na 2 CrO 4 . Для приготовления этого раствора использовали исходный раствор Na 2 CrO 4 , содержащий 20,0% растворенного вещества по массе с плотностью 1,19 г / см 3 . Опишите, как приготовить 200,0 мл 0,330 М раствора Na 2 CrO 4 с использованием исходного раствора.

    11. Гипохлорит кальция [Ca (OCl) 2 ] — эффективное дезинфицирующее средство для одежды и постельного белья. Если в растворе концентрация Ca (OCl) 2 равна 3.4 г на 100 мл раствора, какова молярность гипохлорита?

    12. Фенол (C 6 H 5 OH) часто используется в качестве антисептика в жидкостях для полоскания рта и леденцах для горла. Если в жидкости для полоскания рта концентрация фенола составляет 1,5 г на 100 мл раствора, какова молярность фенола?

    13. Если таблетка, содержащая 100 мг кофеина (C 8 H 10 N 4 O 2 ), растворяется в воде с получением 10,0 унций раствора, какова молярная концентрация кофеина в растворе?

    14. На этикетке определенного лекарства есть инструкция по добавлению 10.0 мл стерильной воды, заявив, что каждый миллилитр полученного раствора будет содержать 0,500 г лекарства. Если пациенту назначена доза 900,0 мг, сколько миллилитров раствора следует ввести?

    ответов

    1. а. 39,13 г б. 161,0 г c. 93,57 г г. 201,8 г

    2. а. 1,40 л 0,334 М раствора, б. 25,0 мл 0,134 М раствора, c. 150 мл 0,769 М раствора

    3. а.0.815 М, г. 2.09 М, c. 0.182 М, д. 0,684 M

    4. а. 0.174 М, г. 0.297 М, c. 0,048 М, д. 0,135 М

    5. а. BaCl 2 = 0,384 M, Na 2 SO 4 = 0,563 M, б. Ca (OH) 2 = 1.08 M, h4PO4 = 0.816 M, c. Al (NO 3 ) 3 = 0,376 M, H 2 SO 4 = 0,816 M, d. Pb (NO 3 ) 2 = 0,242 M, CuSO 4 = 0,501 M, т.е. Al (CH 3 CO 2 ) = 0.392 M, NaOH = 2,00 M

    6. 1,74 × 10 −3 M кофеин

    (Вернуться к началу)

    7.12 Ссылки
    • Чанг (Питер) Чие (2016) Неорганическая химия. Либретексты . Доступно по адресу: https://chem.libretexts.org/Core/Inorganic_Chemistry/Chemical_Reactions/Chemical_Reactions_1/Solutions
    • .
    • Болла, Д.У., Хилл, Дж. У. и Скотт, Р. Дж. (2016) MAP: Основы общей, органической и биологической химии . Свободные тексты. Доступно по адресу: https://chem.libretexts.org/Textbook_Maps/Introductory_Chemistry_Textbook_Maps/Map%3A_The_Basics_of_GOB_Chemistry_(Ball_et_al.)
    • Аверилл, Б.А., Элдридж, П. (2012) Принципы химии . Свободные тексты. Доступно по адресу: https://2012books.lardbucket.org/books/principles-of-general-chemistry-v1.0/index.html
    • Гидрат. (2017, 30 августа).В Википедия, Бесплатная энциклопедия . Получено 16:20, 26 сентября 2017 г., с https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hydrate&oldid=798015169
    • .
    • Нижний, С. (2010). Растворы 1: Растворы и их концентрации. В онлайн-учебнике «Виртуальный учебник Chem1». Доступно по адресу: http://www.chem1.com/acad/webtext/solut/solut-1.html
    • Мичиганская сеть по охране окружающей среды детей (2013 г.) Здоровье окружающей среды детей в Мичигане.Вики по гигиене окружающей среды. Проверено 6 сентября 2018 г. по адресу: http://wiki.mnceh.org/index.php/Neurotoxicity:_Lead
    • .
    • авторов Википедии. (2018, 5 сентября). Отравление свинцом. В Википедия, Бесплатная энциклопедия . Получено в 02:05, 7 сентября 2018 г., с https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lead_poisoning&oldid=858177302
    • .
    • Ladapo, J.A., Mohammed, A.K., and Nwosu, V.C. (2017) Загрязнение свинцом во Флинте, Мичиган, США и других городах. Международный журнал экологического и научного образования, 11 (5): 1341-1351.Открытый доступ. Доступно по адресу: www.ijese.net/makale_indir/1899

    Расчет повышения температуры кипения раствора — стенограмма видео и урока

    Уравнение высоты точки кипения

    Довольно простое уравнение для определения точки кипения раствора: дельта T = м Kb .

    Дельта T означает превышение точки кипения , или насколько выше точка кипения раствора, чем у чистого растворителя.Единицы измерения — градусы Цельсия.

    Kb — постоянная повышения мольной точки кипения. Значение Kb зависит от типа присутствующего растворителя и ни от чего другого. Поскольку это константа, ее значение всегда одно и то же; вы ищите в Kb растворитель, входящий в состав раствора, и вводите число. Единицы измерения — градусы Цельсия, кг / моль. Вот таблица некоторых распространенных растворителей, их нормальных точек кипения и констант повышения молярных точек кипения.

    Растворитель Температура кипения Кб
    Вода100 градусов Цельсия 0.51
    Бензол 80,1 ° C 2,53
    Диэтиловый эфир 34,5 градуса Цельсия 2,02

    Наконец, м относится к моляльности. Единицы измерения — моль / кг. Моляльность — важное понятие при определении точки кипения раствора. Это связано с тем, что количество присутствующего растворенного вещества определяет температуру кипения. Тип растворителя не важен.

    Пример повышения точки кипения

    Давайте представим, что нам нужно определить точку кипения раствора, состоящего из 36 граммов глюкозы, растворенных в 300 граммах воды. Перечислим всю информацию, которую мы знаем об этой проблеме, а затем решим ее.

    • Глюкоза — это растворенное нами вещество, а вода — растворитель.
    • Кбайт для воды составляет 0,51 градуса Цельсия кг / моль.
    • Молярная масса глюкозы 180 г / моль.
    • Температура кипения воды — 100 градусов Цельсия.
    • Уравнение для превышения точки кипения : дельта T = м Кбайт.

    Давайте на секунду изучим уравнение. Мы решаем дельту T, и у нас уже есть Kb. Все, что нам нужно сделать, это определить моляльность и включить ее в уравнение.

    моляльность = моль растворенного вещества / кг растворителя

    Чтобы найти моль растворенного вещества, мы делим 36 граммов глюкозы на молярную массу глюкозы, или 180 г / моль. Это равно 0,20 моль глюкозы.

    Чтобы найти килограмм растворителя, нам просто нужно преобразовать наши 300 граммов воды в килограммы.Поскольку в килограмме 1000 граммов, мы можем найти килограммы растворителя, разделив 300 граммов воды на 1000 граммов, чтобы получить 0,3000 килограмма воды.

    Теперь мы можем подставить наш моль растворенного вещества и / или кг растворителя в наше уравнение моляльности:

    моляльность = 0,20 моль глюкозы / 0,3000 кг воды = 0,67 моль / кг

    Теперь, когда у нас есть моляльность, мы можем подставить в уравнение повышения точки кипения, чтобы найти дельту Т, которая равна 0,51 градуса Цельсия кг / моль x 0,67 моль / кг.

    Дельта T = 0,34 градуса Цельсия.

    Отлично! Мы обнаружили, что изменение температуры составило +,34 градуса по Цельсию. Однако это не новая точка кипения. Чтобы найти это, мы должны добавить дельту Т к температуре кипения чистой воды.

    0,34 градуса Цельсия + 100 градусов Цельсия = 100,34 градуса Цельсия.

    Растворы с электролитами

    Электролиты — это ионные соединения, которые при растворении в воде распадаются на составляющие ионы. Это усложняет наше уравнение высоты точки кипения, но не намного.Давайте посмотрим, что может произойти, если мы сделаем раствор хлорида натрия (NaCl) в воде. Когда соль растворяется в воде, на каждое растворенное соединение NaCl образуется два иона (Na + и Cl-). Расщепление ионов влияет на моляльность.

    Иногда, однако, ионы полностью не растворяются в растворе. Фактор Вант-Гоффа — это число, которое учитывает количество ионов, образующихся при растворении соединения в растворе. Фактор Вант-Гоффа представлен как i .Наше уравнение для повышения точки кипения выглядит следующим образом:

    Delta T = i * m * Kb

    В большинстве случаев проблема, связанная с электролитическим раствором, предполагает полную диссоциацию ионного соединения. Иногда проблема требует использования фактора Вант-Хоффа, который учитывает неполную диссоциацию.

    Для 0,05 молярного раствора NaCl, например, мы ожидаем, что раствор будет диссоциировать в соотношении 1: 2, как показано на изображении ниже:

    Фактически соотношение диссоциации составляет 1: 1.9.

    Проблема может потребовать, чтобы вы предполагали полную диссоциацию, и в этом случае вы должны использовать 2 для значения i . В других случаях вам, возможно, придется использовать данный фактор Вант-Хоффа, если предполагается неполная диссоциация. Эти значения должны быть представлены вам в виде таблицы или диаграммы.

    Краткое содержание урока

    Температура кипения раствора зависит от температуры кипения чистого растворителя. Температура кипения любого раствора всегда выше, чем точка кипения растворителя, и рассчитывается с использованием уравнения для повышения точки кипения : Дельта T = м Кбайт.

    Дельта T — это изменение температуры в градусах Цельсия, м — молярность раствора в моль / кг, а Kb — молярная константа повышения температуры кипения растворителя. Единицы измерения Kb — градусы Цельсия, кг / моль.

    Кбайт — это постоянная, уникальная для растворителя. Его можно найти, посмотрев на стол. Как только дельта Т определена, ее значение прибавляется к температуре кипения чистого растворителя.

    Если растворенным веществом является электролит, то уравнение повышения точки кипения должно быть изменено с учетом диссоциации электролита.Коэффициент Вант-Гоффа , i добавляется в уравнение для растворов электролитов.

    коллигативных свойств

    коллигативных свойств

    Коллигативные свойства растворов — это свойства, которые зависят от концентрации молекул или ионов растворенного вещества, но не от идентичности растворенного вещества. Коллигативные свойства включают снижение давления пара, повышение точки кипения, снижение точки замерзания и осмотическое давление.

    Понижение давления пара:

    Давайте сначала напомним себе, что такое давление пара и что влияет на него химически и физически.В закрытом контейнере жидкость будет испаряться до тех пор, пока такое же количество молекул не вернется в жидкое состояние, как они уходят в газовую фазу. Давление паровой фазы над жидкостью в этой точке называется равновесным давлением пара. Это давление пара зависит от ряда факторов, включая температуру системы (кинетическая энергия требуется, чтобы помочь молекулам уйти в газовую фазу), давление в системе (высокое давление может удерживать газ, содержащийся в жидкости e .г. бутылка кокса), а также межмолекулярные силы самой жидкости (более сильные связи потребуют больше кинетической энергии для разрыва, замедляя процесс испарения, снижая общее давление пара в системе).

    Что произойдет с системой, если мы добавим растворенное вещество в рассматриваемый растворитель? Проще говоря, поскольку некоторые молекулы растворенного вещества будут занимать места на поверхности жидкости, это ограничит количество молекул растворителя на поверхности. Поскольку только молекулы растворителя, расположенные на поверхности, могут улетучиваться (испаряться), явное присутствие растворенного вещества снижает количество приходящих и уходящих молекул растворителя и, следовательно, снижает равновесное давление пара.Чтобы выяснить, насколько растворенное вещество повлияло на давление пара, нам нужно приблизительно определить, на сколько меньшее количество молекул может достигнуть поверхности жидкости, верно? Хорошим приближением того, сколько существует молекул растворителя по сравнению с растворенным веществом, является мольная доля X растворителя . Если мы просто умножим новую мольную долю растворителя на стандартное давление паров (P o растворитель ) чистого растворителя, это даст нам хорошее приближение к новому давлению паров растворителя.Уравнение будет выглядеть так: P растворитель = X растворитель P o растворитель . Это уравнение называется законом Рауля. Обратите внимание, что давление, которое вы получаете из этого уравнения, является новым равновесным давлением пара системы с включенным растворенным веществом. Если вы хотите узнать, сколько изменений произошло, вам нужно будет посмотреть на разницу между новым растворителем P и исходным P o растворителем чистого растворителя (другими словами, вычтите одно из другого. ) DP = P растворитель — P o растворитель = изменение давления пара в системе.Почти для всех нелетучих растворителей это изменение будет отрицательным.

    Ограничения по закону Рауля:

    Закон Рауля работает только для растворов с низкой концентрацией. Почему? Что ж, для того, чтобы наше приближение работало, взаимодействия между молекулами растворенного вещества и растворителя должны быть почти идентичными. Если взаимодействия сильнее, тогда теплота испарения растворителя изменится, и, таким образом, все наше приближение развалится. Поскольку мы знаем, что межмолекулярные силы сильно различаются между молекулами, влияние этих сил должно быть сведено к минимуму, поддерживая очень низкую концентрацию растворенного вещества.Вы можете представить себе это как присутствие одного вонючего парня на вечеринке в комнате на 1000 человек, есть очень хороший шанс, что вам не придется нюхать его, но если бы в комнате было 100 вонючих парней, это испортило бы вся партия, верно?

    Еще одно соображение — это тип растворенного вещества. Если растворенное вещество является ионным веществом (солью), то оно, скорее всего, разделится на составляющие ионы при попадании в растворитель (обычно воду). Если это так, нам нужно рассмотреть каждую формирующуюся частицу.Например, если вы добавили в раствор 0,25 моль NaCl, вы фактически добавили бы 0,25 моль Na + и 0,25 моль Cl для общего коллигативного эффекта 0,50 моль ионов. Это значение 2 x 0,25 называется фактором Вант-Гоффа ( i ) и должно использоваться всякий раз, когда вы рассчитываете коллигативные свойства растворов, содержащих ионы.

    Высота точки кипения:

    Теперь, когда мы увидели, как добавление растворенных веществ к растворителю может снизить давление его паров, давайте посмотрим, сможем ли мы выяснить, как это связано с точкой кипения того же растворителя.Нормальная точка кипения жидкости определяется как температура, при которой давление пара жидкости равно стандартному давлению (1 атм). Если мы изменим внешнее давление с 1 атм ниже или выше, точка кипения также изменится. Точка кипения — это просто температура, при которой давление пара растворителя равно давлению окружающей среды. Если вы думаете об этом, до тех пор, пока давление пара не достигнет этой точки, молекулы газа не могут вырваться, верно? Давление на поверхность сдерживает их.Как только вы достигнете температуры кипения, давление пара станет равным внешнему давлению, и молекулы могут улететь. Учтите, что вам действительно нужно превысить температуру кипения, чтобы жидкость полностью испарилась. Т.е. пар горячее 100 o C.

    Теперь вернемся к коллигативным свойствам … как добавление растворенных веществ в растворитель влияет на температуру кипения? Что ж, теперь мы понимаем, что молекулы растворенных веществ, занимающие позиции на поверхности жидкости, снижают давление пара.Мы также знаем, что нам нужно повысить давление пара жидкости, чтобы достичь точки кипения, поэтому это должно означать, что нам придется вложить больше энергии, чтобы достичь того же давления пара. Ввод большего количества энергии приравнивается к подаче тепла в систему этого типа, поэтому температура точки кипения должна быть выше, чтобы получить такое же давление пара. Таким образом, добавление нелетучего растворенного вещества к раствору повышает температуру кипения этого раствора.

    Когда растворенное вещество растворяется в растворителе, температура кипения раствора повышается в соответствии с уравнением:

    D T = i K b m

    DT = изменение температуры
    i = фактор Вант-Гоффа, который представляет собой количество частиц, на которые диссоциирует растворенное вещество
    м = моляльность, которая представляет собой моли растворенного вещества на килограммы растворителя
    K b = молярная константа точки кипения (для воды K b = 0.5121 o C / м )

    Хотите попрактиковаться в вычислениях с использованием этого уравнения? Щелкните здесь .

    Депрессия точки замерзания:

    Давайте начнем это обсуждение так же, как мы начали предыдущие, с определения нормальной точки замерзания. Нормальная точка замерзания жидкости — это температура, при которой жидкость становится твердой при давлении 1 атм. Более конкретное определение точки замерзания — это температура, при которой твердая и жидкая фазы сосуществуют в равновесии.Давайте посмотрим, сможем ли мы выяснить, почему точка замерзания понижается, когда мы добавляем растворенные вещества в раствор. Мы уже знаем, что для того, чтобы жидкость заморозить, нужно понизить температуру. С понижением температуры раствор становится более упорядоченным по мере продвижения к твердой фазе. Это эффект, который противоречит второму закону термодинамики . Короче говоря, энтропия (беспорядок) любит возрастать, а не убывать в естественном порядке вещей. Итак, если нам нужно снизить температуру до определенной точки, чтобы заморозить чистый растворитель, когда мы добавляем растворенное вещество, мы добавляем его к энтропии системы, верно? Смесь более неупорядоченная, чем чистая.Теперь необходимо преодолеть это дополнительное количество энтропии, чтобы позволить жидкости преобразовать фазы в твердое тело (стать упорядоченным). Значит, температура должна быть еще ниже, чем раньше. Таким образом, добавление любого типа растворенного вещества к растворителю снижает его точку замерзания.

    Как и в случае с повышением точки кипения, уравнение для определения того, насколько велико будет изменение температуры, имеет следующий вид:

    D T = i K f m

    DT = изменение температуры
    i = фактор Вант-Гоффа, который представляет собой количество частиц, на которые диссоциирует растворенное вещество
    м = моляльность, которая представляет собой моли растворенного вещества на килограммы растворителя
    K f = постоянная молярной точки замерзания (для воды K f = -1.86 o C / м )

    Хотите попрактиковаться в задачах? Щелкните здесь .

    Использование коллигативных свойств для определения молекулярной массы вещества:

    Сопутствующие свойства, такие как понижение точки замерзания или повышение температуры кипения, можно использовать для расчета молекулярной массы растворимого твердого вещества. Для завершения этого расчета необходимо знать массу растворенного вещества и растворителя, а также точки замерзания / кипения чистого растворителя и раствора.

    или

    Вот шаги, которые необходимо предпринять:

    1) Определить DT

    2) Используйте DT, i и K b или K f для определения моляльности растворенного вещества (m = g растворенного вещества / кг растворителя ).

    3) Подставьте все значения и рассчитайте для m.w.

    4) Используйте здравый смысл, чтобы оценить вашу расчетную стоимость как разумную или нет! Другими словами, проверьте на бу-бу.

    Примечание. Таким же образом можно использовать изменение давления пара или осмос для расчета молекулярной массы.

    Процесс решения

    Процесс решения

    Процесс решения

    Что такое решение?

    Растворы представляют собой гомогенные смеси двух или более чистых веществ. Для наших целей мы обычно будем обсуждать растворы, содержащие одно растворенное вещество и воду в качестве растворителя. Что такое растворитель? Грубо говоря, это молекула в смеси с наивысшей концентрацией.То есть, если у вас был литр соли и 2 грамма воды. В этом случае соль будет растворителем, а вода — растворенным веществом. Но такая смесь бесполезна, так зачем вообще ее готовить ???

    Когда мы соединяем растворенные вещества и растворители вместе, происходит то, что мы называем процессом растворения. Вы можете думать об этом как о том, что вы испытали бы, если бы попытались протиснуться в уже забитый лифт. Каждому приходится приспосабливаться, чтобы снова «найти свое место». Теперь, как и в лифте, молекулы будут регулироваться по-разному в зависимости от типа молекулы, совершающей вход.И также, как в лифте, наступит момент, когда больше нельзя будет добавлять людей. Для раствора эта точка называется точкой насыщения, а сам раствор называется насыщенным раствором . В точке насыщения растворенные вещества больше не растворяются в растворителе. Скорее процесс растворения и осаждения происходят одновременно и с одинаковой скоростью.

    Обычно в воде растворяются только определенные молекулы.Старая фраза «подобное растворяется в подобном» или «птицы в перьях стекаются вместе» очень верна в отношении того, в какой степени растворенные вещества растворимы или смешиваются в различных растворителях. При очень низких концентрациях почти все молекулы растворимы во всех растворителях. Но согласно тенденции ионные и полярные растворенные вещества более растворимы в полярных растворителях, а неполярные молекулы растворимы в неполярных (в основном органических) растворителях. Единицы концентрации, которые мы только что обсудили, используются для описания степени растворимости растворенного вещества в растворителе.

    Когда вы помещаете неполярную молекулу в полярный растворитель (например, масло в воде), молекулы пытаются минимизировать поверхностный контакт между собой. (как ты и простуженный парень в лифте). На самом деле это основа клеток нашего тела. Липиды (масляные жирные кислоты) образуют клеточные мембраны, так что их неполярные хвосты обращены внутрь от полярной цитоплазмы, а полярные головки обращены к полярной цитоплазме.

    Почему возникают решения?

    Хотя большая часть объяснения того, почему одни вещества смешиваются и образуют растворы, а другие — нет, выходит за рамки этого класса, мы можем получить представление о том, почему образуются растворы, взглянув на процесс, посредством которого этанол, C 2 H 5 OH, растворяется в воде.Этанол на самом деле смешивается с водой, а это означает, что две жидкости можно смешивать в любой пропорции без ограничения их растворимости. Многое из того, что мы сейчас знаем о тенденции частиц к более дисперсному, можно использовать для понимания такого рода изменений.
    Представьте себе слой этанола, который осторожно добавляют в воду (рисунок ниже). Поскольку частицы жидкости постоянно движутся, некоторые частицы этанола на границе между двумя жидкостями немедленно переместятся в воду, а некоторые молекулы воды переместятся в этанол.В этом процессе аттракционы вода-вода и этанол-этанол разрушаются, и образуются аттракционы этанол-вода. Поскольку и этанол, и вода являются молекулярными веществами со связями O-H, притяжения, разорванные между молекулами воды, и притяжения, разорванные между молекулами этанола, являются водородными связями. Аттракционы, которые образуются между молекулами этанола и воды, также являются водородными связями (рисунок ниже).

    Поскольку притяжения между частицами очень похожи, свобода движения молекул этанола в водном растворе примерно такая же, как их свобода движения в чистом этаноле.То же самое можно сказать и о воде. Благодаря этой свободе движения обе жидкости будут растекаться, чтобы заполнить общий объем объединенных жидкостей. Таким образом, они перейдут в наиболее вероятное, наиболее дисперсное состояние, состояние полного перемешивания. Для этой системы существует гораздо больше возможных устройств, когда молекулы этанола и воды диспергированы по всему раствору, чем когда они ограничены отдельными слоями. (Рисунок ниже).

    Теперь мы можем объяснить, почему охлаждающая жидкость автомобильного радиатора растворяется в воде.Охлаждающие жидкости обычно содержат этиленгликоль или пропиленгликоль, которые, как этанол и вода, содержат водородные связи O-H.

    Эти вещества легко смешиваются с водой по той же причине, по которой этанол легко смешивается с водой. Притяжения, разрушаемые при перемешивании, являются водородными связями, а образующиеся притяжения также являются водородными связями. Нет причин, по которым частицы каждой жидкости не могут свободно перемещаться от одной жидкости к другой, и поэтому они переходят в наиболее вероятное (наиболее дисперсное) смешанное состояние.

    Почему углеводороды не растворяются в воде?

    У нас другая ситуация, когда мы пытаемся смешать гексан, C 6 H 14 и воду. Если мы добавим гексан в воду, гексан будет плавать над водой без видимого перемешивания. Причины, по которым гексан и вода не смешиваются, сложны, но следующее дает вам представление о , почему гексан нерастворим в воде.

    На самом деле происходит очень небольшое смешение молекул гексана и воды.Естественная тенденция к рассеянию действительно заставляет некоторые молекулы гексана перемещаться в воду, а некоторые молекулы воды — в гексан. Когда молекула гексана движется в воду, силы Лондона между молекулами гексана и водородные связи между молекулами воды разрываются. Новые притяжения между гексаном и молекулами воды образуются, но поскольку новые притяжения сильно отличаются от разрушенных, они вносят значительные изменения в структуру воды.Считается, что молекулы воды приспосабливаются, чтобы компенсировать потерю некоторых водородных связей и образование более слабого притяжения гексан-вода, образуя новые водородные связи и приобретая новое расположение.

    В целом, притяжения в системе после того, как молекулы гексана и других углеводородов перемещаются в воду, примерно эквивалентны по силе притяжениям в отдельных веществах. По этой причине при растворении небольшого количества углеводорода в воде поглощается или выделяется мало энергии.Поэтому, чтобы объяснить, почему в воде растворяются только очень небольшие количества углеводородов, таких как гексан, мы должны посмотреть на изменение энтропии системы. Это не очевидно, но когда молекулы гексана перемещаются в слой воды, частицы в новом созданном устройстве на самом деле менее диспергированы (более низкая энтропия), чем отдельные жидкости. Естественная тенденция к большему рассеянию способствует разделению гексана и воды и препятствует их смешиванию.

    Это помогает объяснить, почему бензин и вода не смешиваются.Бензин — это смесь углеводородов, в том числе гексан. Бензин и вода не смешиваются, потому что молекулы неполярных углеводородов разрушают воду таким образом, чтобы образовалась структура с более низкой энтропией; следовательно, существует меньшая вероятность существования смеси, чем отдельных жидкостей.

    Мы можем применить то, что мы знаем о смешивании этанола и воды, к смешиванию двух углеводородов, таких как гексан, C 6 H 14 , и пентан, C 5 H 12 .Когда неполярные молекулы пентана перемещаются в неполярный гексан, силы Лондона разрушаются между молекулами гексана, но новые силы Лондона образуются между молекулами гексана и пентана. Поскольку молекулы очень похожи, структура раствора и сила притяжения между частицами очень похожи на структуру и притяжения, обнаруженные в отдельных жидкостях. Когда эти свойства не сильно отличаются в растворе от отдельных жидкостей, можно предположить, что раствор имеет более высокую энтропию, чем отдельные жидкости.Следовательно, когда смешиваются очень похожие жидкости, такие как пентан и гексан, естественная тенденция к увеличению энтропии переводит их в раствор.

    Экзотермические изменения приводят к увеличению энергии окружающей среды, что приводит к увеличению количества способов, которыми эта энергия может быть распределена в окружающей среде, и, следовательно, приводит к увеличению энтропии окружающей среды. Эндотермические изменения приводят к снижению энергии окружающей среды, что приводит к уменьшению количества способов, которыми эта энергия может быть распределена в окружающей среде, и, следовательно, приводит к снижению энтропии окружающей среды.Таким образом, вероятность возникновения экзотермических изменений выше, чем эндотермических изменений. Мы можем использовать это обобщение, чтобы объяснить, почему ионные соединения нерастворимы в гексане. Для того чтобы ионное соединение растворилось в гексане, должны быть разорваны ионные связи и притяжения между молекулами гексана, и возникнет притяжение между ионами и гексаном. Новые притяжения, образованные между ионами и гексаном, будут значительно слабее, чем разрушенные притяжения, что сделает процесс растворения значительно эндотермическим.Тенденция перехода к раствору с более высокой энтропией не может преодолеть уменьшение энтропии окружающей среды, которое сопровождает эндотермическое изменение, поэтому ионные соединения нерастворимы в гексане.

    Ионные соединения часто растворимы в воде, потому что притяжения, образованные между ионами и водой, часто достаточно сильны, чтобы сделать их раствор либо экзотермическим, либо лишь слегка эндотермическим. Например, раствор гидроксида натрия экзотермичен, а раствор хлорида натрия несколько эндотермичен.Даже если раствор является слегка эндотермическим, тенденция перехода к раствору с более высокой энтропией часто делает ионные соединения растворимыми в воде.

    Прогнозирование растворимости

    Граница между тем, что мы называем растворимым, и тем, что мы называем нерастворимым, произвольна, но следующие общие критерии для описания веществ как нерастворимых, растворимых или умеренно растворимых.

    Если менее 1 грамма вещества растворяется в 100 миллилитрах (или 100 г) растворителя, вещество считается нерастворимым.

    Если более 10 граммов вещества растворяется в 100 миллилитрах (или 100 г) растворителя, вещество считается растворимым.

    Если от 1 до 10 граммов вещества растворяется в 100 миллилитрах (или 100 г) растворителя, вещество считается умеренно растворимым.

    Хотя трудно определить конкретные растворимости, не обнаружив их экспериментально или не обращаясь к таблице растворимостей, у нас есть рекомендации, которые позволяют нам предсказать относительную растворимость.Основным среди них является

    .

    Подобное растворяется в подобном.

    Например, это руководство можно использовать для предсказания того, что этанол, состоящий из полярных молекул, будет растворим в воде, которая также состоит из полярных молекул. Точно так же пентан (C5h22), который имеет неполярные молекулы, смешивается с гексаном, который также имеет неполярные молекулы. Мы будем использовать руководство «Подобное растворяться в подобном», чтобы предсказать, будет ли вещество более растворимым в воде или в гексане.Его также можно использовать для прогнозирования, какое из двух веществ, вероятно, будет более растворимым в воде, а какое из двух веществ, вероятно, будет более растворимым в неполярном растворителе, таком как гексан:
    Полярные вещества могут растворяться в полярных растворителях. Например, ионные соединения, которые очень полярны, часто растворимы в полярном растворителе — воде.
    Неполярные вещества могут растворяться в неполярных растворителях. Например, неполярные молекулярные вещества могут растворяться в гексане, обычном неполярном растворителе.

    Из них вытекают два дополнительных правила:

    Неполярные вещества вряд ли в значительной степени растворятся в полярных растворителях. Например, неполярные молекулярные вещества, такие как углеводороды, скорее всего, нерастворимы в воде.

    Полярные вещества вряд ли в значительной степени растворятся в неполярных растворителях. Например, ионные соединения нерастворимы в гексане.

    Предсказать растворимость полярных молекулярных веществ труднее, чем предсказать растворимость ионных соединений и неполярных молекулярных веществ.Многие полярные молекулярные вещества растворимы как в воде, так и в гексане. Например, этанол смешивается как с водой, так и с гексаном. Полезно следующее обобщение:

    Вещества, состоящие из небольших полярных молекул, такие как ацетон и этанол, обычно растворимы в воде. (Они также часто растворяются в гексане.)

    Краткое изложение рекомендаций по растворимости

    Тип вещества Растворим в воде? Растворим в гексане?
    Ионные соединения Часто Нет
    Молекулярные соединения с неполярными молекулами Нет Есть
    Молекулярные соединения с малыми полярными молекулами Обычно Часто

    Тепло растворения

    Процесс растворения — это процесс, который включает разрыв и образование связей , а требует энергии .Из закона Гесса мы знаем, что можем складывать энергии каждого шага в цикле, чтобы определить энергию всего процесса. Следовательно, энергия образования раствора, энтальпия растворения, равна сумме трех стадий: DH soln = DH 1 + DH 2 + DH 3 .

    1. Разрыв связей требует или поглощает энергию. Этот процесс эндотермический. -DH решетка (отрицательный знак здесь необходим, потому что энергия решетки обычно измеряется для образования соли, не разламывая ее)
    2. Образование связей высвобождает энергию.Этот процесс экзотермический. DH гидратация
    3. В целом растворение может быть либо эндотермическим, либо экзотермическим, в зависимости от того, было ли использовано больше энергии для разрыва связей или больше энергии было высвобождено при образовании новых связей. Если при образовании связей выделяется больше энергии, чем используется для разрыва связей, процесс является экзотермическим. Если энергии используется больше, чем выделяется, процесс является эндотермическим.

    Щелкните в любом месте рисунка ниже, чтобы начать анимацию.ПРИМЕЧАНИЕ. Для его запуска вам потребуется Java Script.

    коллигативных свойств и закон Рауля | Уравнения и примеры — видео и стенограмма урока

    Примеры коллигативной собственности

    Для тех, кто живет достаточно далеко от экватора, обычным примером коллигативной собственности в зимнее время является практика засоления дорог и пешеходных дорожек перед ожидаемым снегопадом. Как только выпавший снег начинает таять, соль на тротуаре растворяется в воде.Увеличение концентрации растворенного вещества внутри вновь образующихся луж затем приводит к снижению их точки замерзания, тем самым уменьшая вероятность того, что эти лужи замерзнут в лед, когда температура упадет в течение ночи.

    Грузовик загружается солью для засолки дорог.

    Осмотическое давление — это коллигативное свойство, которое чрезвычайно важно для функционирования клеток в организме.В частности, клетки крови можно рассматривать как контейнеры с раствором, которые дрейфуют в другом растворе. Если концентрации каждого из этих растворов не равны, то растворитель из раствора с более низкой концентрацией будет течь в сторону раствора с более высокой концентрацией. Если концентрация внутри клеток крови выше, чем в кровотоке, жидкость может попасть в клетки крови, что приведет к их взрыву. Однако, если концентрация за пределами клеток крови слишком высока, растворитель вытекает из клеток крови, что может привести к их сморщиванию и гибели.

    Уравнения коллигативных свойств

    Уравнения для четырех коллигативных свойств следующие.

    • Понижение точки замерзания

    $$ T_f = -iK_fm $$, где T {eq} _f {/ eq} — изменение температуры замерзания раствора, K {eq} _f {/ eq} — постоянная величина, а м — моляльность раствора, измеренная в кг / моль. i — фактор Вант-Гоффа, который определяется числом отдельных ионов, в которых растворяется растворенное вещество.Например, коэффициент Вант-Гоффа для поваренной соли (NaCl) равен 2, поскольку, когда она растворяется в растворителе, соль разделяется на два иона — один натрий и один хлор.

    $$ T_b = iK_bm $$, где T {eq} _b {/ eq} — изменение температуры кипения, i — коэффициент Вант-Хоффа, K {eq} _b {/ eq} — постоянная величина, а м — моляльность.

    • Давление пара (закон Рауля)

    $$ P = p_a \ chi_a + p_b \ chi_b …. $$ где P — давление пара раствора, p {eq} _i {/ eq} — давление пара соответствующего чистого растворитель, а {eq} \ chi_i {/ eq} — мольная доля этого растворителя в растворе.

    $$ \ Gamma = iMRT $$, где i — фактор Вант-Гоффа, M — молярность раствора, R — постоянная идеального газа, а T — температура.

    Давление пара

    Давление пара , также известное как равновесное давление пара, относится к давлению, которое газ (или пар) над раствором оказывает на поверхность этого раствора в состоянии равновесия. Раствор с высоким давлением пара будет кипеть быстрее, чем раствор с низким давлением пара.Это связано с тем, что молекулы пара высокого давления обладают большей кинетической энергией, чем молекулы пара более низкого давления, и когда они ударяются о поверхность раствора, они передают эту кинетическую энергию молекулам в растворе, что приближает их кинетическую энергию к уровню, на котором они может выходить из раствора в виде газа.

    Закон Рауля

    Как давление пара зависит от концентрации раствора? Когда растворенное вещество добавляется к раствору, эти молекулы занимают место некоторых молекул растворителя на поверхности раствора.В результате молекулы пара иногда сталкиваются с частицами растворенного вещества, а не с частицами растворителя, что снижает скорость передачи кинетической энергии, тем самым понижая давление пара жидкости. Закон Рауля — это математический инструмент, используемый для описания коллигативного свойства давления пара в растворах. Он связывает парциальное давление и мольную долю каждого компонента в растворе с общим давлением пара раствора. Хотя закон Рауля не использует явно температуру для описания давления пара, давление пара является функцией температуры и должно приниматься во внимание при поиске давления пара чистых растворителей для целей расчета.

    Закон Рауля Уравнение

    Уравнение закона Рауля:

    $$ P = p_a \ chi_a + p_b \ chi_b …. $$, где P — давление пара раствора, p {eq } _i {/ eq} — давление паров соответствующего чистого растворителя, а {eq} \ chi_i {/ eq} — мольная доля этого растворителя в растворе. Эллипсы в конце уравнения означают, что каждый компонент раствора необходимо просуммировать, чтобы получить полное давление пара. В зависимости от того, какая информация изначально известна, закон Рауля позволяет рассчитать равновесное давление пара над раствором, давление пара чистого растворителя или мольную долю чистого растворителя.o {/ eq} C. Давление пара чистой воды при этой температуре составляет 525 мм рт. Каково изменение давления пара? Чтобы определить это, массу растворенного вещества и растворителя необходимо преобразовать в моль, чтобы получить мольную долю. После определения молярной массы каждого соединения количество молей рассчитывается с помощью анализа размеров.

    $$ \ frac {95 \ text {г воды}} {1} \ times \ frac {1 \ text {моль воды}} {18.01 \ text {г воды}} = 5,275 \ text {моль воды вода} $$

    $$ \ frac {15.0 \ text {г пропанола}} {1} \ times \ frac {1 \ text {моль пропанола}} {60.10 \ text {г пропанола}} = 0,250 \ text {моль пропанола} $$.

    Чтобы рассчитать новое равновесное давление пара, нам нужна только мольная доля растворителя, которая дает

    $$ \ frac {5.275 \ text {моль воды}} {5.525 \ text {моль раствора}} = 0,95 $$

    Тогда мольная доля воды в растворе равна 0,95, которую можно умножить на давление ее чистого пара, чтобы найти давление пара в растворе.

    $$ 525 \ text {мм рт. Ст.} \ Times0.95 = 498,75 \ text {мм рт. Ст.} $$

    Следовательно, добавление 15 г пропанола к 95 г воды снижает давление пара на 26,25 мм рт.

    Осмотическое давление

    Если два раствора разной концентрации разделены селективно проницаемым барьером, растворитель раствора с более низкой концентрацией будет проходить через барьер, чтобы разбавить раствор с более высокой концентрацией до тех пор, пока их концентрации не станут равновесными. Этот процесс известен как осмос. Осмотическое давление — это коллигативное свойство, которое влияет на скорость осмоса.Чем выше концентрация одного из растворов, тем быстрее произойдет осмос. Уравнение для осмотического давления:

    $$ \ Gamma = iMRT $$, где i — фактор Вант-Гоффа, M — молярность раствора, R — постоянная идеального газа и T — температура. Используя это уравнение, каким будет осмотическое давление, если 2,11 г бензола (C {eq} _6 {/ eq} H {eq} _6 {/ eq}) растворить в воде при 300 К с образованием 150 мл раствора? Поскольку температура задана, а постоянная идеального газа уже известна, остается рассмотреть только молярность и фактор Вант-Гоффа.Бензол не ионизируется в воде, поэтому его коэффициент Вант-Гоффа равен 1. Чтобы получить молярность, необходимо использовать молярную массу бензола для преобразования граммов в моль.

    $$ \ frac {2.11 \ text {g бензола }} {1} \ times \ frac {1 \ text {моль бензола}} {78.11 \ text {г бензола}} = 0,027 \ text {моль бензола} $$ Конечный объем раствора составляет 150 мл, поэтому молярность бензола в растворе составляет 0,18М. Добавление всех этих значений дает осмотическое давление

    $$ \ Gamma = 1 \ times0.18 \ text {M} \ times0.082 \ text {L атм / моль K} \ times300 \ text {K} = 4.43 \ text {atm} $$

    Резюме урока

    Коллигативные свойства — это свойства решений, которые зависят только от от соотношения растворенного вещества и растворителя , присутствующего в растворе . Это соотношение часто выражается в единицах молярности или молярности . Четыре основных свойства — это повышение точки кипения, понижение точки замерзания, давление пара и осмотическое давление. Повышение точки кипения описывает явление, когда точка кипения раствора увеличивается с добавлением растворенного вещества. Понижение точки замерзания. описывает аналогичное явление, когда точка замерзания вещества понижается при добавлении дополнительного растворенного вещества в раствор. Изменение температуры замерзания / кипения определяется фактором Вант-Гоффа, моляльностью раствора и константой, зависящей от растворителя.