Свойства кубического корня: Функция кубического корня — урок. Алгебра, 9 класс.

3}=\frac{a}{b}$.
Получили, что число $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$ в кубе равно $\frac{a}{b}$ и тогда равно $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$, что и требовалось доказать.

Ребята, давайте построим график нашей функции.
1) Область определения множество действительных чисел.
2) Функция нечетная, так как $\sqrt[3]{(-x)}$=-$\sqrt[3]{x}$. Далее рассмотрим нашу функцию при $х≥0$, после отразим график относительно начала координат.
3) Функция возрастает при $х≥0$. Для нашей функции, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, что и означает возрастание.
4) Функция не ограничена сверху. На самом деле из сколь угодно большого числа можно вычислить корень третьей степени, и мы можем двигаться до бесконечности вверх, находя все большие значения аргумента.
5) При $х≥0$ наименьшее значение равно 0. Это свойство очевидно.
Построим график функции по точкам при х≥0.



Построим наш график функции на всей области определения. Помним, что наша функция нечетная.


Свойства функции:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Нечетная функция.
3) Возрастает на (-∞;+∞).
4) Неограниченна.
5) Наименьшего и наибольшего значения нет.
6) Функция непрерывна на всей числовой прямой.
7) Е(у)= (-∞;+∞).
8) Выпукла вниз на (-∞;0), выпукла вверх на (0;+∞).

Содержание

Примеры решения степенных функций


Примеры
1. Решить уравнение $\sqrt[3]{x}=x$.
Решение. Построим два графика на одной координатной плоскости $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=x$.
Как видим наши графики пересекаются в трех точках.
Ответ: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Построить график функции. $y=\sqrt[3]{(x-2)}-3$.

Решение. График нашей получается из графика функции $y=\sqrt[3]{x}$, параллельным переносом на две единицы вправо и три единицы вниз.
3. Построить график функции и прочитать его. $\begin{cases}y=\sqrt[3]{x}, x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end{cases}$.
Решение. Построим два графика функций на одной координатной плоскости с учетом наших условий. При $х≥-1$ строим график корня кубического, при $х≤-1$ график линейной функции. 2+1, x≤1 \end{cases}$.

Урок 16. арифметический корень натуральной степени — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.

Перечень тем, рассматриваемых на уроке:

  • преобразование и вычисление арифметических корней,
  • свойства арифметического корня натуральной степени,
  • корень нечетной степени из отрицательного числа,
  • какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени.

Глоссарий

  1. Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
  2. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
  3. Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число 
    а    .
  4. Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
  5. Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

  1. Сканави М. И., Зайцев В. В., Рыжков В. В. «Элементарная математика». – Книга по требованию, 2012.
  2. Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 3000 задач с ответами, математика под редакцией Москва, 2017.
  3. Ященко И. В. ЕГЭ 3300 задач с ответами, математика профильный уровень под редакцией Москва, 2017.

Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»

Решим задачу.

Площадь квадрата S=16 м².

Обозначим сторону квадрата а, м.

Тогда, а² = 16.

Решим данное уравнение:

a=4 и а= –4.

Проверим решение:

4² = 16;

(–4)² = 16.

Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.

Определение:

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.

Определение:

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Обозначение: .

Определение:

Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Обозначение: .

Например:

.

.

.

На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n

-ой степени.

Определение:

Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.

Определение:

Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Обозначение: – корень n-й степени, где

n–степень арифметического корня;

а– подкоренное выражение.

Давайте рассмотрим такой пример: .

Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно, .

Еще один пример: .

Мы знаем, что (–3)5 = –243, следовательно, .

На основании этих примеров, можно сделать вывод:

, при условии, что n –нечетное число.

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:

  1. .

Примеры:

.

.

  1. .

Примеры:

.

.

  1. .

Пример:

.

  1. .

Пример:

.

  1. Для любогоа справедливо равенство:

Пример:

Найдите значение выражения , при 3 <x< 6.

Степени заданных арифметических корней 4 и 2, четные числа, следовательно, мы можем применить свойство №5:

=|x – 3| = х – 3, т.к. х>3;

=|x – 6|=6 – x, т.к. х<6.

Получаем: х – 3 + 6 – х= 3.

Примеры заданий.

Первый пример.

Задача:

Выберите верные утверждения:

Разбор задания.

Применим определение арифметического корня: Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа

a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Следовательно, верными могут быть только неотрицательные выражения.

Ответ: ; ;

Второй пример.

Задача:

Выделите самое маленькое число:

Разбор задания:

Корень из отрицательного числа будет отрицательным числом, следовательно, наименьшее число –

Ответ: 4.

делители, простота, двоичный вид, куб, квадрат

Укажите число, чтобы получить всю информацию о нем:
Четность:

Число 1707 является нечетным.
Сумма цифр: 15
Произведение цифр: 0
Количество цифр: 4
Все делители числа 1 3 569 1707
Количество делителей 4
Сумма делителей 2280
Простое число

Составное число
Квадратный корень 41,3158565202272
Кубический корень 11,9511906284962
Квадрат 2913849
Куб 4973940243
Обратное число 0,000585823081429408
Предыдущее число: 1706 Следующее число: 1708

Описание числа 1707

Натуральное число 1707 является четырехзначным. Оно записывается 4 цифрами. Сумма цифр, из которых состоит число 1707, равна 15, а их произведение равно 0. Число 1707 является нечетным. Всего число 1707 имеет 4 делителей: 1, 3, 569, 1707, . Сумма делителей равна 2280. Куб числа 1707 равен 2913849, а квадрат составляет 4973940243. Квадратный корень рассматриваемого числа равен 41,3158565202272. Кубический корень равен 11,9511906284962. Число, которое является обратным к числу 1707, выглядит как 0,000585823081429408.

© 2020 — ZeroInf

Кубический корень wiki | TheReaderWiki

График функции y = x 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}

Куби́ческий ко́рень из a, обозначающийся как a 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}} или как a1/3 — это число x , {\displaystyle x,} куб которого равен a . {3}=a} (обычно подразумеваются вещественные решения).

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел (так, чтобы получился действительный результат):

− x 3 = − x 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-x}}=-{\sqrt[{3}]{x}}}

Кубический корень из ненулевого комплексного числа c {\displaystyle c} имеет ровно три значения (частный случай свойства корня n-ой степени):

c 3 = | c | 3 ( cos ⁡ φ + 2 k π 3 + i sin ⁡ φ + 2 k π 3 ) , k = 0 , 1 , 2 , … φ = arg ⁡ c . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}\left(\cos {\frac {\varphi +2k\pi }{3}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2,\dots \quad \varphi =\arg {c}.}

Здесь под | c | 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}} понимается арифметический корень из положительного числа | c | . {\displaystyle \left|c\right|.}

В частности

1 3 = { 1 cos ⁡ 2 π 3 + i sin ⁡ 2 π 3 = − 1 2 + i 3 2 cos ⁡ 2 π 3 − i sin ⁡ 2 π 3 = − 1 2 − i 3 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\cos {\frac {2\pi }{3}}-i\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{cases}}}
− 1 3 = { − 1 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 = 1 2 + i 3 2 cos ⁡ π 3 − i sin ⁡ π 3 = 1 2 − i 3 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-1}}={\begin{cases}-1\\\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{cases}}}

Два комплексных значения кубического корня получаются из вещественных по формуле:

x 3 2 , 3 = x 3 ( − 1 2 ± i 3 2 ) . {1/3}=\exp({\tfrac {1}{3}}\ln {x})}

Где ln — главное значение натурального логарифма.

Если представить x {\displaystyle x} как

x = r exp ⁡ ( i θ ) {\displaystyle x=r\exp(i\theta )}

то формула кубического такова:

x 3 = r 3 exp ⁡ ( 1 3 i θ ) . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp({\tfrac {1}{3}}i\theta ). }

Это геометрически означает, что в полярных координатах мы берем кубический корень с модулем r 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{r}}} и делим полярный угол исходного аргумента на три. Значит, если x {\displaystyle x} комплексное, то − 8 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}} будет обозначать не − 2 {\displaystyle -2} , а будет 1 + i 3 . {\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.}

Кубический корень не может быть извлечён с помощью циркуля и линейки. Именно поэтому неразрешимы сводимые к извлечению кубического корня классические задачи: удвоение куба, трисекция угла, а также построение правильного семиугольника.

При постоянной плотности вещества размеры двух подобных тел относятся друг к другу как кубические корни их масс. Так, если один арбуз весит вдвое больше, чем другой, то его диаметр (а также окружность) будет всего лишь чуть больше, чем на четверть (на 26 %) больше, чем у первого; и на глаз будет казаться, что разница в весе не столь существенна. Поэтому при отсутствии весов (продажа на глазок) обычно более выгодно покупать бо́льший плод.

Столбиком

Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.

Алгоритм таков:

  1. Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становится больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3. {3}} и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.
  • Корн Г., Корн Т. 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 32—33.

Умножение корней

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

  1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
  2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

Примеры.

\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

\[\begin{align} & \sqrt[4]{20}\cdot \sqrt[4]{\frac{125}{4}}=\sqrt[4]{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt[4]{625}=5; \\ & \sqrt[3]{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt[3]{0,16}=\sqrt[3]{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt[3]{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt[3]{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. {2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt[7]{23}$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

Правило умножения корней. {2}}}=\sqrt[3]{5}. \\ \end{align}\]

Но тогда получается какая-то хрень:

\[\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3]{5}\]

Этого не может быть, потому что $\sqrt[3]{-5} \lt 0$, а $\sqrt[3]{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

  1. Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
  2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. {2}}}=\sqrt[4]{75}. \end{align}\]

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

Смотрите также:

  1. Свойства арифметического квадратного корня
  2. Корень степени N
  3. Решение задач B12: №440—447
  4. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
  5. Тест по задачам B14: средний уровень, 1 вариант
  6. B15: Линейные функции и производная частного

Y корень их x. Функции вида y = √x, их свойства и графики — Гипермаркет знаний

Урок и презентация на тему: «График функции квадратного корня. Область определения и построение графика»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 8 класса
Электронное учебное пособие к учебнику Мордковича А. 2$ удобно использовать следующую таблицу: Отметим полученные точки на декартовой системе координат и аккуратно соединим их гладкой кривой. Наша функция не ограничена. Только этими точками мы можем подставить совершенно любое значение х из заданной области определения, то есть тех х, при которых выражение имеет смысл.

На одном из прошлых уроков мы изучили новую операцию извлечения корня квадратного . Возникает вопрос, а можем ли мы, используя эту операцию, задать какую-нибудь функцию и построить ее график? Воспользуемся общим видом функции $y=f(x)$. y и х оставим на своем месте, а вместо f введем операцию корня квадратного: $y=\sqrt{x}$.
Зная математическую операцию, мы смогли задать функцию.

Построение графика функции квадратного корня

Давайте построим график этой функции. Исходя из определения корня квадратного, мы можем вычислять его только из неотрицательных чисел, то есть $x≥0$.
Составим таблицу:
Отметим наши точки на координатной плоскости.

Нам осталось аккуратно соединить полученные точки.

Ребята, обратите внимание: если график нашей функции повернуть на бок, то получится левая ветка параболы. На самом деле, если строчки в таблице значений поменять местами (верхнюю строчку с нижней), то у нас получаться значения, как раз для параболы.

Область определения функции $y=\sqrt{x}$

Используя график функции, свойства описать довольно таки просто.
1. Область определения: $$.
б) $$.

Решение.
Мы можем решить наш пример двумя способами. В каждой букве опишем разные способы.

А) Вернемся к графику функции, построенному выше, и отметим требуемые точки отрезка. Хорошо видно, что при $х=9$ функция больше всех остальных значений. Значит и наибольшее значение она достигает в этой точке. При $х=4$ значение функции ниже всех остальных точек, а значит, тут и есть наименьшее значение.

$y_{наиб}=\sqrt{9}=3$, $y_{наим}=\sqrt{4}=2$.

Б) Мы знаем, что наша функция возрастающая. Значит, каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение достигаются на концах отрезка:

$y_{наиб}=\sqrt{11}$, $y_{наим}=\sqrt{2}$.


Пример 2.
Решить уравнение:

$\sqrt{x}=12-x$.


Решение.
Проще всего построить два графика функции и найти их точку пересечения.
На графике хорошо видна точка пересечения с координатами $(9;3)$. А значит, $х=9$ — решение нашего уравнения.
Ответ: $х=9$.

Ребята, а можем ли мы быть уверены, что больше решений у этого примера нет? Одна из функций возрастает, другая — убывает. В общем случае, они либо не имеют общих точек, либо пересекаются только в одной.

Пример 3.


Построить и прочитать график функции:

$\begin {cases} -x, x 9. \end {cases}$


Нам нужно построить три частных графика функции, каждый на своем промежутке.

Опишем свойства нашей функции:
1. Область определения: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ при $х=0$ и $х=12$; $у>0$ при $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Функция убывает на отрезках $(-∞;0)U(9;+∞)$. Функция возрастает на отрезке $(0;9)$.
4. Функция непрерывна на всей области определения.
5. Наибольшего и наименьшего значения нет.
6. Область значений: $(-∞;+∞)$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции корня квадратного на отрезке:
а) $$;
б) $$.
2. Решить уравнение: $\sqrt{x}=30-x$.
3. Построить и прочитать график функции: $\begin {cases} 2-x, x 4. \end {cases}$
4. Построить и прочитать график функции: $y=\sqrt{-x}$.

Урок и презентация на тему: «Степенные функции. Корень кубический. Свойства корня кубического»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 9 класса
Образовательный комплекс 1C: «Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы» Программная среда «1С: Математический конструктор 6. 3}=\frac{a}{b}$.
Получили, что число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ в кубе равно $\frac{a}{b}$ и тогда равно $\sqrt{\frac{a}{b}}$, что и требовалось доказать.

Ребята, давайте построим график нашей функции.
1) Область определения множество действительных чисел.
2) Функция нечетная, так как $\sqrt{(-x)}$=-$\sqrt{x}$. Далее рассмотрим нашу функцию при $х≥0$, после отразим график относительно начала координат.
3) Функция возрастает при $х≥0$. Для нашей функции, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, что и означает возрастание.
4) Функция не ограничена сверху. На самом деле из сколь угодно большого числа можно вычислить корень третьей степени, и мы можем двигаться до бесконечности вверх, находя все большие значения аргумента.
5) При $х≥0$ наименьшее значение равно 0. Это свойство очевидно.
Построим график функции по точкам при х≥0.


Построим наш график функции на всей области определения. Помним, что наша функция нечетная.

Свойства функции:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Нечетная функция.
3) Возрастает на (-∞;+∞).
4) Неограниченна.
5) Наименьшего и наибольшего значения нет.

7) Е(у)= (-∞;+∞).
8) Выпукла вниз на (-∞;0), выпукла вверх на (0;+∞).

Примеры решения степенных функций

Примеры
1. Решить уравнение $\sqrt{x}=x$.
Решение. Построим два графика на одной координатной плоскости $y=\sqrt{x}$ и $y=x$.

Как видим наши графики пересекаются в трех точках.
Ответ: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Построить график функции. $y=\sqrt{(x-2)}-3$.
Решение. График нашей получается из графика функции $y=\sqrt{x}$, параллельным переносом на две единицы вправо и три единицы вниз.

3. Построить график функции и прочитать его. $\begin{cases}y=\sqrt{x}, x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end{cases}$.
Решение. Построим два графика функций на одной координатной плоскости с учетом наших условий. При $х≥-1$ строим график корня кубического, при $х≤-1$ график линейной функции. 2. Из рисунка видно, что график лишь один раз касается оси Оу, в точке с координатами (0;0).
Теперь стоит отметить основные свойства этой функции.

Свойства функции y=√x

1. Область определения функции явяется луч .

Ответ. D(f) = [-1,4].

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе

Кубический корень – определение, символ, свойства и кубические корни чисел

Процесс возведения в куб аналогичен возведению в квадрат, только число умножается три раза, а не два, как при возведении в квадрат. Показатель степени, используемый для кубов, равен 3, что также обозначается верхним индексом³. Примеры: 4³ = 4*4*4 = 64 или 8³ = 8*8*8 = 512 и т. д.

Чтобы найти объем куба, у нас есть объем = сторона3, но если мы хотим найти сторону куба мы должны взять кубический корень из объема.Таким образом, можно сказать, что кубический корень — это операция, обратная возведению числа в куб. Символ кубического корня — \[\sqrt[3]{}\].

Предположим, нам нужно найти значение кубического корня из 2. Это значение получается путем трехкратного умножения этого числа. Оно выражается в виде ‘\[\sqrt[3]{2}\]’. Значение кубического корня — это, по сути, корень числа, который получается путем взятия куба другого числа. Следовательно, если значение \[\sqrt[3]{2}\] = x, то x3 =2 и нам нужно найти здесь значение x.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Мы можем определить кубический корень числа как специальное значение, которое при умножении ровно три раза дает нам это число.

Например, 3 × 3 × 3 равно 27, поэтому кубический корень из 27 равен 3.

Символ кубического корня » (символ может использоваться для квадратных корней), а с маленькой тройкой означает кубический корень.

\[\sqrt[3]{}\]

Вы можете использовать это так, кубический корень из 27: \[\sqrt[3]{27}\] = 3 (мы говорим «кубический корень из 27 равно 3″)

Вы также можете возлагать в куб отрицательные числа

Взгляните на это:

Когда мы возводим в куб +5, мы обычно получаем +125:  +5 × +5 × +5 = +125

Когда возьмем в куб -5, получим число -125: -5 × -5 × -5 = -125

Таким образом, кубический корень из числа -125 равен -5

кубических корней (для целочисленных результатов от 1 до 10)

  • Cube Coot из 1 1

  • Cube Coot из 8 составляет 2

  • Cube Coot 27 3

  • CUBE CORT 64 IS 4

  • CUBE CORT 125

  • CUBE CORE 216 IS 6

  • CUBE CORE 343 IS 7

  • CUBE CORT из 512 — 8

  • CUBE CORT 729 — 9

  • CUBE CORT of 1000 — 10

Что означает кубический корень?

Кубический корень из числа а — это число, которое при трехкратном умножении само на себя дает само число «а».

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Давайте посмотрим, например,

23 = 8, или кубический корень из числа 8 равен 2

33 = 27, или кубический корень из числа 27 равен 3

43 = 64, или кубический корень из 64 равен 4

53 = 125, или кубический корень из 125 равен 5

Символ кубического корня — a3  или \[\sqrt[3]{a}\]

Таким образом, кубический корень из 125 представлен как \[\sqrt[3]{125}\] = 5, а корень из 27 может быть представлен как \[\sqrt[3]{27}\] равен 3 и так далее. .

Мы знаем, что куб любого числа можно получить, умножив это число три раза. А кубический корень числа можно определить как операцию, обратную кубу числа.

Например:

Если куб числа 63 = 216

Тогда кубический корень из ∛216 равен 6.

Кубический корень любого наибольшего числа можно легко найти четырьмя способами:

  1. Способ фактора факторизации

  2. Метод длинного деления

  3. Использование логарифмов

    5

    с использованием логарифмов

  4. Метод переживания

Несколько свойств Coob Coot

для примера ∛125 = 5, ∛27 = 3.

  • Кубический корень всех четных натуральных чисел четен. Например: ∛8 = 2, ∛64 = 4.

  • Кубический корень из отрицательного целого числа всегда дает отрицательное значение.

Давайте узнаем кубические корни некоторых номеров

9095

Cube Coot из 160147

Cube Coot OF 16 IS 21598

Cube Coot из 5

Кубический корень из 5 равен 1.7099

Cube Coot из 6

Куб корня 6 — 1.1871

Cube Coot из 10

Cube Coot из 10 составляет 21544

Cube CORT 12

Куб корня 12 — 2. 2894

Cube Coot of 7

Cube Coot из 7 — 1.9129

Cube Coot of 0

Кубический корень из 0 равен 0

Кубический корень из 20

Кубический корень из 20 равен 2.7144

Что такое идеальные кубики?

Пример, который мы только что видели, также является примером идеального куба. Совершенный куб можно определить как куб целого числа. 27 — идеальный куб, потому что, чтобы получить число 27, нам нужно возвести в куб число 3. Вспомните куб. Это идеальный куб, потому что все строительные блоки представляют собой целые части. Чтобы найти идеальный куб, мы берем любое целое число и возводим его в куб, то есть умножаем его само на себя три раза.Знание идеальных кубов поможет нам легко находить кубические корни. Если бы мы начали с 1 и нашли идеальные кубики для наших номеров до 10, мы бы получили этот список:

3

4

50

1

8

7

729


1

2

3

4

5

50

7

7

8

9

10

10

Perfect Cube

1

8

27

64

64

125

125

216

216

343

512

729

1000150

Вопросы, требующие решения

Вопрос 1) Что такое кубический корень из 30?

Ответ

Итак, 3 × 3 × 3 = 27 и 4 × 4 × 4 = 64, поэтому мы можем предположить, что ответ находится между 3 и 4.

    • Давайте попробуем следующее 3.5: 3.5 × 3,5 × 3.5 = 42,875

    • Давайте попробуем следующие 3.2: 3.2 × 3.2 × 3.2 = 32,768

    • Давайте попробуем следующие 3.1: 3.1 × 3,1 × 3.1 = 29,791

    Теперь мы приближаемся, но постепенно, мы можем использовать калькулятор, и он говорит:

    3,1072325059538588668776624275224…… но цифры просто продолжаются и продолжаются, без какой-либо закономерности. Так что даже ответ калькулятора может быть известен только как приближение!

    Вопрос 2) Что такое кубический корень из 1728?

    Ответ

    Факторы 1728 приведены как

    1728 = 12 × 12 × 12

    ∛1728 = ∛ (12 × 12 × 12)

    ∛1728 = 12

    CUBE CORT of Unity — Определение, Формула, свойства, примеры

    Кубический корень из единицы имеет три корня: 1, ω, ω 2 . 3\sqrt 1\) и имеет три корня.Три корня кубического корня из единицы равны 1, ω, ω 2 , что при умножении дает единицу. Среди корней кубического корня из единицы один корень является действительным корнем, а два других корня являются мнимыми корнями. Значения мнимого кубического корня из единицы следующие.

    ω = \(\dfrac{-1+ i\sqrt3}{2}\), ω 2 = \(\dfrac{-1- i\sqrt3}{2}\)

    Далее, мнимые кубические корни из единицы обозначаются символом ω, ω 2 , и этот символ упоминается как омега.2}{4}\) = \(\dfrac{1 — 3(-1)}{4}\) = \(\dfrac{1 +3}{4}\) = \(\dfrac{4}{ 4}\) = 1

    1 × ω × ω 2 = 1

    Сумма кубических корней из единицы

    Сумма кубических корней из единицы равна нулю. Это можно наблюдать в приведенном ниже выражении.

    1 + ω + ω 2 = 1 + \(\dfrac{-1+ i\sqrt3}{2}\) + \(\dfrac{-1- i\sqrt3}{2}\) = 1 + \(\dfrac{-1 -1 + i\sqrt3- i\sqrt3}{2}\), = 1 + \(\dfrac{-2}{2}\) = 1 — 1 = 0

    1+ ω + ω 2 = 0

    Как найти кубический корень из единицы?

    Кубический корень из единицы можно представить в виде выражения \(^3\sqrt 1 = a\), и он имеет три корня. 2-4.1.1}}{2.1}\)

    а = \(\dfrac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}\)

    а = \(\dfrac{-1\pm i\sqrt3}{2}\)

    a = \(\dfrac{-1+ i\sqrt3}{2}\), или \(\dfrac{-1- i\sqrt3}{2}\)

    Из приведенного выше выражения три кубических корня из единицы равны 1, \(\dfrac{-1+ i\sqrt3}{2}\), \(\dfrac{-1- i\sqrt3}{2}\) .

    Свойства кубического корня из единства

    Ниже приведены некоторые важные свойства кубического корня из единицы.

    • Кубический корень из единицы имеет два мнимых корня (ω, ω 2 ) и один действительный корень (1).
    • Сумма корней кубического корня из единицы равна нулю. (1 + ω + ω 2 = 0)
    • Квадрат одного мнимого корня (ω) кубического корня из единицы равен другому мнимому корню (ω 2 ) кубического корня из единицы.
    • Произведение мнимых корней кубических корней из единицы равно 1.(ω.ω 2 = ω 3 = 1)

    Похожие темы

    Следующие темы помогут лучше понять кубический корень из единицы.

    Часто задаваемые вопросы о Cube Root of Unity

    Что такое кубический корень из единицы?

    Кубические корни из единицы имеют три корня: 1, \(\frac{-1+ i\sqrt3}{2}\), \(\frac{-1- i\sqrt3}{2}\), которые представлены как 1, ω, ω 2 . Здесь кубический корень из единицы имеет один действительный корень, 1, и два мнимых корня ω и ω 2 . Произведение трех кубических корней из единицы равно 1. (1.ω.ω 2 = ω 3 = 1), а сумма кубических корней из единицы равна нулю.3\sqrt 1 = a\), который далее упрощается до 3 — 1 = 0, и он использует формулу алгебры для нахождения трех кубических корней из единицы.

    Что такое кубические корни единства?

    Кубический корень из единицы имеет один действительный корень и два мнимых корня. Действительный корень равен 1, а два мнимых корня равны ω = \(\dfrac{-1+ i\sqrt3}{2}\) и ω 2 = \(\dfrac{-1- i\sqrt3} {2}\).

    Чему равна сумма кубического корня из единицы?

    Сумма кубических корней из единицы равна нулю.Три кубических корня из единицы включают действительное число 1 и два мнимых корня ω и ω 2 . И сумма этих трех корней равна нулю, (1 + ω + ω 2 = 0).

    Каковы свойства кубического корня из единицы?

    Три важных свойства кубического корня из единицы заключаются в следующем.

    • Сумма корней кубического корня из единицы равна нулю. (1 + ω + ω 2 = 0)
    • Квадрат одного мнимого корня (ω) кубического корня из единицы равен другому мнимому корню (ω 2 ) кубического корня из единицы.3\). Кубический корень числа \(x\) — это число, куб которого дает \(x\). Обозначим кубический корень из \(x\) через \(\sqrt[3]{x}\).

      В этой статье будут изучены определения кубов и кубических корней натуральных чисел, совершенных кубических чисел, кубов отрицательных целых чисел, куба рационального числа, кубического корня числа с использованием его разряда и кубического корня совершенного куба. 3\) \(1\) \(1\)

      1 \(2\)4901 \(8\) \(3\) \(27\) \(4\) \(64\) \(5\4\) 125 \) \ (6 \) \ (216 \) \ (7 \) \ (343 \) \ (8 \) \ (512 \ ) \ (9 \) \ (729 \) \ (729 \) \ (10 ​​\) \ (1000 \)

      Практические экзаменационные вопросы

      Свойства кубов натуральных чисел

      1. Кубы всех четных натуральных чисел четны.3\) также делит этот совершенный куб.

      Нахождение куба двузначного числа методом столбца

      Этот метод основан на старой индийской практике умножения двух чисел. Удобен для нахождения квадратов только двузначных чисел. По мере увеличения количества цифр этот метод становится сложным и трудоемким. 2\) для нахождения куба двузначного числа \(ab\), где \(a\) — это цифра десятков, а \(b\) — это цифра единиц, быть двузначным натуральным числом.3\). Другими словами, кубический корень числа \(n\) — это число \(m\), куб которого дает \(n\).
      Кубический корень числа \(n\) обозначается \(\sqrt[3]{n}\).\(\sqrt[3]{n}\) также называется радикалом, \(n\ ) называется подкоренным числом, а \(3\) называется подкоренным индексом.

      В таблице ниже представлены все кубические корни до \(1000\).

      Кубический корень 8\) \(2\) \(27\) \(3\) \(64\) \(4\) ) \ (5 \) \ (216 \) \ (6 \) \ (343 \) \ (7 \) \ (512 \) \ (8 \) \ (729 \) \ (729 \) \ (9 \) \ (1000 \) \ (10 ​​\)

      Куб Coot из натуральных чисел

      Натуральное число \(m\) является кубическим корнем натурального числа \(n\), если \(n = m^3\), и мы записываем его как \(\sqrt[3]{n} = m\ )

      Кубический корень числа с использованием единицы

      Разряд единиц куба натурального числа зависит от разряда единиц данного числа.
      Ниже приведены правила, которым необходимо следовать.

      1. Посмотрите на цифру в разряде единиц и определите цифру в разряде единиц в кубическом корне.
      2. Составьте группы из трех цифр, начиная с крайней правой цифры данного числа.
        Например, мы можем сгруппировать \(15625\) как \(\underline {15} \,\underline {625} \).
        Первая группа будет \(\underline {625} \), а вторая группа будет \(\underline {15} \).
      3. Посмотрите цифру на месте единицы в первой группе из трех цифр данного числа, а затем определите цифру на месте единицы в кубическом корне данного числа, используя следующую таблицу.
      Единица числа \(x\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) ) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\)
      Единица кубического корня числа \ (x\), т. е. из \(\sqrt[3]{n}\) \(0\) \(1\) \(8\) \(7\) \(4\) \(5\) \(6\) \(3\) \(2\) \(9\)

      Итак, единица места из \(15625\) будет \(5\), поскольку единичный разряд в первой группе из трех цифр \(15625\) равен \(5\).

      1. Зачеркивание единиц, десятков и сотен разрядов. Если цифры не пропущены, то цифра, полученная на шаге \(2\), является искомым кубическим корнем. Если цифра/цифры пропущены, продолжайте.
      2. Рассмотрим число, оставшееся после вычеркивания трех цифр на шаге \(2\). Найдите наибольшее однозначное число, куб которого меньше или равен этому неучтенному числу. Эта цифра будет цифрой десятков искомого кубического корня.
        В \(15625\) пропущено число \(\underline {15} \).3 = 8\).
      3. Теперь запишите число, в котором цифра единиц – это число, полученное на шаге \(1\), а цифра десятков – число, полученное на шаге \(3\), затем запишите требуемый кубический корень.
        Итак, \(\sqrt[3]{{15625}} = 25\)

      Пример : Найдем кубический корень из \(64\) указанным выше методом.
      Ответ : В данном числе \(64\) единица стоит \(4\). Следовательно, цифра на месте единицы в кубическом корне равна \(4\). Так как после вычеркивания единиц и разряда десятков числа не остается числа. Следовательно, требуемый кубический корень равен \(4\). то есть \(\sqrt[3]{{64}} = 4\)

      Кубический корень идеального куба по факторам

      Мы используем следующие шаги, чтобы найти кубический корень из совершенного куба по множителям.

      1. Получить заданное число
      2. Разложить его на простые множители
      3. Сгруппировать множители в тройки так, чтобы все три множителя в каждой тройке были равны.
      4. Возьмите по одному множителю из каждой тройки, образовавшейся на третьем шаге.
      5. Найдите произведение множителей, полученных на предыдущем шаге.3} = \frac{{27}}{{64}}\)
        Следовательно, \(\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{64}}}} = \frac{3}{ 4}\)

        Решенные примеры — кубы и кубические корни

        Q.1. Является ли \(216\) совершенным кубом? Каково число, куб которого равен \(216\)?
        Ответ: Разлагая \(216\) на простые множители, мы получаем
        \(216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3\)
        Группируя множители в тройки равных множителей, мы получить
        \(216 = [2 × 2 × 2] × [3 × 3 × 3]\)
        Мы находим, что мы можем сгруппировать простые множители \(216\) в тройки равных множителей, и множители не остаются . 3 = 658503\)

        Q.3. Докажите, что \(-17576\) — совершенный куб. Также найдите число, куб которого равен \(-17576\).
        Ответ: Разложив \(17576\) на простые множители, мы получим
        \(17576 = 2 × 2 × 2 × 13 × 13 × 13\)
        Мы можем сгруппировать \(17576\) в тройки равных множителей, и ни один множитель не остается.
        Итак, \(17576\) — совершенный куб.
        Таким образом, \(-17576\) также является совершенным кубом.
        Взяв один множитель из каждой группы, мы находим, что \(17576\) является совершенным кубом \(2 × 13 = 26\)
        Следовательно, \(-17576\) является совершенным кубом \(-26\) .3 = 512 > 389\)
        Следовательно, цифра десятков кубического корня данного числа равна \(7\).
        Следовательно, \(\sqrt[3]{{389017}} = 73\)

        Q.5. Найдите кубический корень из \(\).
        Ответ: Разложив данное число на простые множители, мы получим
        \( = 5×5×5×3×3×3×3×3×3×3\)
        при равных множителях получаем
        \( = [5 × 5 × 5] × [3 × 3 × 3] × [3 × 3 × 3]\)
        Взяв по одному множителю из каждой тройки, получим
        \(\sqrt [3] {{}} = 5 \× 3 \× 3 = 45\)

        Резюме

        В приведенной выше статье мы изучили определения кубов и кубических корней натуральных чисел, совершенных кубических чисел, кубов отрицательных целых чисел, куба рационального числа, кубического корня числа с использованием его единицы и кубического корня числа. совершенный куб по факторам.3\). Другими словами, кубический корень числа \(n\) — это число \(m\), куб которого дает \(n\).

        Q.2. Какова формула кубов и кубических корней?
        Ответ: Куб числа \(n = n × n × n\)
        Например, возьмем число \(3\). Мы знаем, что \(3 × 3 × 3 = 27\). Следовательно, \(27\) называется кубом \(3\).
        Кубический корень числа — это процесс, обратный кубу числа. Если \(m\) является кубом \(n\), то \(n = \sqrt[3]{m}\)
        Например: \(\sqrt[3]{125} = 5\)

        В.3. Как решать квадратные и кубические корни?
        Ответ: Шаги по нахождению кубического корня из совершенного куба по множителям.
        1. Получить заданное число и разложить его на простые множители.
        2. Сгруппировать множители в тройки так, чтобы все три множителя в каждой тройке были равны, и взять по одному множителю из каждой образованной тройки. Найдите произведение факторов, полученных на предыдущем шаге. Этот продукт является требуемым кубическим корнем.
        3. Сгруппировать множители в дубли так, чтобы все два множителя в каждом дубле были равны, и взять по одному множителю из каждого образовавшегося дубля.3 = 3 × 3 × 3 = 27\) и \(\sqrt[3]{{27}} = 3\)

        Q.5. Является ли \(45\) совершенным кубом?
        Ответ: Простые делители \(45\) равны \(3 × 3 × 5\). Здесь мы не найдем ни одного простого числа, повторяющегося трижды. Итак, \(45\) не является идеальным кубом.

        Мы надеемся, что эта подробная статья о кубах и кубических корнях помогла вам в учебе. Если у вас есть какие-либо сомнения или вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать нас в разделе комментариев.

        222 Просмотров

        свойств куба

        Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

        Электронное обучение — это будущее уже сегодня.

        Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться!!!

        Некоторые свойства кубов натуральных чисел:-

        Свойство 1: Кубы всех четных чисел четны.
        Пример: 6 3 = 6 x 6 x 6 = 216
        6 и 216 оба являются четными числами.

        Свойство 2: Кубы всех нечетных натуральных чисел нечетны.
         Пример: 7 3 = 7 x 7 x 7 = 343
        7 и 343 оба являются натуральными нечетными числами.

        Свойство 3: Сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату их суммы.
        1
        1 3 + 2 3 + 3 3 + … + N 3 = (1 + 2 + 3 + … + N) 2
        Пример: 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = (1 + 2 + 3 + 4) 3
        1 + 8 + 27 + 64 = (10) 2
        100 = 100

        80 числа, оканчивающиеся на цифру 1, 4, 5, 6 и 9, являются числами, оканчивающимися на одну и ту же цифру.

        Числа Кубики
        1 1
        2 8
        3 27
        4 64
        5 125
        6 216
        7 343
        8 512
        9 729
        10 1000

        ___________________________________________________________________
        Практика
        1) Выразите 8 3 в виде суммы нечетных натуральных чисел.
        2) Найдите нечетные числа, которые нужно сложить, чтобы получить следующие кубики.
        а) 7 3 .
        б) 12 3
        в) 4 3

        3) Укажите разряды единиц кубов следующих чисел.
        а) (387) 3
        b) (83) 3 3
        C) (-81) 3
        D) (55) 3
        E) (680) 3

        Куб и кубические корни

        • Куб чисел
        • Совершенный куб
        • Свойства куба
        • Метод куба по столбцу
        • Куб отрицательных чисел
        • Куб рациональных чисел
        • Кубический корень
        • Нахождение кубического корня методом простой факторизации
        • Кубический корень из рациональных чисел
        • Оценка кубического корня

        От свойств куба к экспонентам

        Домашняя страница

        Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

        Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

        Кубический корень: определение, формула и примеры — видео и стенограмма урока

        Передвижные кубики

        Я собираюсь переехать через город, поэтому я собираю как можно больше коробок, чтобы собраться. У меня был друг, который предложил мне несколько коробок, но она упомянула, что каждая сторона имеет длину, ширину и высоту всего 2 фута, и они могут не вместить очень много.

        Ну, я могу использовать математику, чтобы вычислить объем каждой коробки, чтобы знать, сколько моих вещей они поместят.Помните, формула для нахождения объема прямоугольной призмы: длина * ширина * высота . Поскольку каждая сторона коробки составляет 2 фута, я бы выполнил следующий расчет:

        Объем каждой коробки
        2 * 2 * 2
        4*2
        8

        Это означает, что каждая коробка имеет 8 кубических футов пространства. Коробка хорошего размера! Эй, ты заметил, что коробки имеют форму кубов? Вот почему мы говорим, что вы «возвели в куб» число, когда трижды умножаете его само на себя.Я умножил 2 саму на себя трижды или возвел в куб, чтобы получить 8.

        Теперь мы можем работать в обратном порядке и применить функцию кубического корня к числу 8, в результате чего получится 2. Это означает, что кубический корень из 8 равен 2!

        Совершенные кубы и кубические корни

        Теперь, когда мы лучше понимаем определение кубических корней, давайте рассмотрим некоторые совершенные кубы. Совершенный куб — это целое число, имеющее целочисленное значение в качестве кубического корня.Помните, что целое число — это значение, соответствующее делениям на числовой строке. Это означает, что целое число не содержит дробей или десятичных знаков. Используя приведенные выше числа, и 8, и 2 — целые числа, значит, 8 — идеальный куб.

        Идеальный куб Кубический корень
        8 2
        27 3
        64 4
        125 5
        216 6

        Если вам кажется, что я вытаскиваю цифры из шляпы, позвольте мне показать вам работу:

        Кубический корень Рабочий. .. Рабочий… Идеальный куб
        2 2 * 2 * 2 4*2 8
        3 3*3*3 9*3 27
        4 4*4*4 16*4 64
        5 5*5*5 25*5 125
        6 6*6*6 36*6 216

        А теперь аккуратная связь: вы заметили идеальные квадраты во втором наборе работ для каждого из примеров? Это означает, что нахождение куба числа равносильно умножению числа на его квадрат.Я понимаю, что я особый математический ботаник, но я думаю, что это довольно круто!

        Calculator Connection

        Что делать, если вам нужно найти кубический корень из числа, которое вам не очень знакомо? Что ж, калькулятор прекрасная штука, друг мой. Большинство научных калькуляторов будут иметь кнопку кубического корня, хотя для доступа к ней может потребоваться нажать клавишу Shift. Вы также должны отметить, что в зависимости от вашего калькулятора вам может потребоваться ввести число, прежде чем вы нажмете кнопку кубического корня, или наоборот.

        Почему бы вам не проверить свой калькулятор прямо сейчас? Найдите кубический корень из 729. На этом калькуляторе кубический корень можно найти, нажав клавишу Shift, а затем нажав клавишу квадратного корня, которая находится на три кнопки выше восьмой.

        Вы получили 9? Если да, то молодец! Если ваш расчет привел к сообщению об ошибке, вам может потребоваться изменить порядок ввода вычислений.

        Резюме урока

        Нахождение кубического корня числа на самом деле просто вычисление того, какое число трижды умножается само на себя, чтобы получить исходное значение.Использование функции кубического корня на вашем калькуляторе поможет вам с числами, которые не так знакомы. Запомните в уме, что возведение числа в куб и нахождение кубического корня из числа противоположны друг другу, так же как сложение и вычитание одного и того же числа противоположны друг другу. Теперь вперед и кубический корень!

        Ключевые термины

        • кубический корень: число, которое трижды умножается само на себя, чтобы получить кубическое значение
        • объем: относительно прямоугольной призмы рассчитайте длина * ширина * высота
        • целое число: значение, соответствующее делениям на числовой строке
        • совершенный куб: целое число, имеющее целочисленное значение в качестве кубического корня
        • научные калькуляторы: калькулятор с расширенными математическими функциями, такими как кнопка извлечения кубического корня
        Числа слева являются примерами идеальных кубов, поскольку они имеют целочисленное значение в качестве кубического корня.

        Результаты обучения

        После просмотра этого урока математики вы должны чувствовать себя комфортно, делая следующее:

        • Определение кубического корня
        • Вычисление кубического корня числа
        • Объяснение взаимосвязи между совершенным кубом и кубическим корнем

        кубических корней | Блестящая математика и естественные науки вики

        Кубический корень комплексного числа несколько неоднозначен. \text{rd}3-й корень из единицы.

        Каковы значения i3\sqrt[3]{i}3i​?

        ОТВЕЧАТЬ

        Во-первых, необходимо записать комплексное число в полярной форме. Для iii r=∣i∣=1r=|i|=1r=∣i∣=1 и θ=arccot(01)=π2+2kπ\theta=\text{arccot}\left(\frac{0}{ 1}\right)=\frac{\pi}{2}+2k\piθ=arccot(10​)=2π​+2kπ, где kkk — целое число.

        i=eiπ/2=ei5π/2=ei9π/2i3=i1/3i3=(eiπ/2)1/3=eiπ/6=32+i2i3=(ei5π/2)1/3=ei5π/6=− 32+i2i3=(ei9π/2)1/3=ei3π/2=−i.{i3\pi/2} & = & -i. \end{массив}i3i​3i​3i​3i​=====​eiπ/2i1/3(eiπ/2)1/3(ei5π/2)1/3(ei9π/2)1/3​ ====​ei5π/2eiπ/6ei5π/6ei3π/2​====​ei9π/223​+2i​−23​+2i​−i.​

        Есть три возможных результата для i3\sqrt[3]{i}3i​: 32+i2\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}23​​+2i​, −32+i2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}−23​​+2i​ и −ii−i. □_\квадрат□​

        Куб и кубические корни | Совершенный куб числа

        Куб и куб Корень числа можно легко найти с помощью самых простых и быстрых методов. Ознакомьтесь с полной информацией о том, как найти куб и кубический корень числа? Мы рассмотрели все, например, определение куба и отношения кубов с числами куба, идеальный куб и т. Д. Для лучшего понимания мы даже записали решенные примеры, объясненные подробно.

        Куб

        Куб числа вычисляется путем умножения самого числа в 3 раза. Если вы рассматриваете число n, то куб числа n равен n. Здесь n — натуральное число.

        Пример:

        1, 8, 27 — кубическое число чисел 1, 2 и 3 соответственно.

        Кубик из 9 = 9 × 9 × 9 = 729
        Куб из 8 = 8 × 8 × 8 = 512
        Куб из 6 = 6 × 6 × 6 = 216

        Связь кубов с числами куба

        В математике куб определяется как объемная фигура, все ребра которой имеют одинаковые размеры и каждое ребро перпендикулярно другим ребрам.

        Пример:

        Если взять кубики по 4 единицы, то можно составить больший куб из 64 единиц. Или же, если вы возьмете кубы по 3 единицы, то вы можете составить больший куб из 27 единиц.

        Идеальный куб Кубические числа

        Произведение трех одинаковых чисел даст вам куб числа (совершенный куб).

        Пример:

        Куб числа 2 равен 2 × 2 × 2 = 8.
        8 — совершенный куб.

        Свойства кубических чисел

        1. Куб четного числа всегда является четным числом.

        Пример:
        (i) Найдите куб числа 2?
        2 × 2 × 2 = 8
        8 — четное число.
        (ii) Найдите куб числа 4?
        4 × 4 × 4 = 64
        64 — четное число.
        (iii) Найдите куб числа 6?
        6 × 6 × 6 = 216

        2. Куб нечетного числа всегда является нечетным числом.

        Пример:
        (i) Найдите куб числа 3?
        3 × 3 × 3 = 27
        27 — нечетное число.
        (ii) Найдите куб числа 5?
        5 × 5 × 5 = 125
        125 — нечетное число.
        (ii) Найдите куб числа 7?
        7 × 7 × 7 = 343
        343 — нечетное число.

        Единицы Цифры в кубических числах

        Если число четное или нечетное, его куб четный или нечетный соответственно данному числу. Куб цифры единицы всегда показывает следующие результаты.

        (i) Куб 1 = 1 × 1 × 1 = 1;
        Единицы числа в кубе 1 равны 1.
        (ii) Куб 2 = 2 × 2 × 2 = 8
        Единицы числа в кубе 2 равен 8.
        (iii) Куб 3 = 3 × 3 × 3 = 27
        Единицы числа в кубе 3 равны 7.
        (iv) Куб 4 = 4 × 4 × 4 = 64
        Единицы числа в кубе 4 равен 4.
        (v) Куб 5 = 5 × 5 × 5 = 125
        Единицы измерения куба числа 5 равны 5.
        (vi) Куба числа 6 = 6 × 6 × 6 = 216
        Единицы измерения куба числа 6 равны 6.
        (vii) Куб 7 = 7 × 7 × 7 = 343
        Единицы измерения куба 7 равны 3.
        (viii) Куб 8 = 8 × 8 × 8 = 512
        Единицы измерения куба 8 равны 2.
        (ix) Куб 9 = 9 × 9 × 9 = 729
        Единицы измерения куба 9 равны 9.

        Кубические корни

        Кубический корень числа — это действие, обратное нахождению куба числа. Если куб числа 3 равен 27, то кубический корень из 27 равен 3.

        Как найти кубический корень числа методом простой факторизации?

        Прайм-факторизация любого числового кубического корня может быть вычислена путем группировки троек одинаковых чисел. Умножьте числа, взяв каждое из каждой тройки, чтобы получить кубический корень числа.

        Пример:
        Кубический корень из 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3 = 6
        6 — кубический корень из 216.

        Часто задаваемые вопросы о кубе и кубических корнях

        1. Найдите куб числа 3,4?
        Куб числа можно вычислить, умножив его три раза.
        Куб 3,4 = 3,4 х 3,4 х 3,4 = 39,304

        2. Является ли число 288 идеальным кубом? Если нет, найдите наименьшее натуральное число, на которое нужно умножить 288, чтобы произведение было полным кубом.
         Разложение числа 288 на простые множители равно
        288 = 2 x 2 x 2 x 6 x 6
        Поскольку мы видим, что число 6 не может быть парой в группе из трех. Следовательно, 288 не является идеальным кубом.
        Чтобы получить идеальный куб, нам нужно умножить 6 на исходное число.
        Таким образом, 2 х 2 х 2 х 6 х 6 х 6 = 1728, что является совершенным кубом.
        Следовательно, наименьшее натуральное число, которое нужно умножить на 288, чтобы получить совершенный куб, равно 6.

        3: Найдите наименьшее число, на которое нужно разделить 256, чтобы получить идеальный куб.
         Простая факторизация числа 256 равна
        256 = 2×2×2×2×2×2×4
        Теперь, если мы сгруппируем множители в тройки равных множителей,
        256 = (2×2×2)×( 2×2×2)×4
        Здесь 4 нельзя сгруппировать в тройки с одинаковыми множителями.
        Следовательно, мы разделим 256 на 4, чтобы получить идеальный куб.

        4. Михаил лепит из пластилина прямоугольный параллелепипед со сторонами 3 см, 2 см, 3 см. Сколько таких прямоугольных параллелепипедов ему понадобится, чтобы составить куб?
        Учитывая, что стороны куба равны 3 см, 2 см и 3 см.
        Следовательно, объем куба = 3×2×3 = 18
        Разложение 18 на простые множители = 3×2×3
        Здесь 2, 3 и 3 не могут быть сгруппированы в тройки одинаковых множителей.
        Следовательно, умножим 18 на 2×2×3 = 12, чтобы получить правильный квадрат.
        Следовательно, необходимо 12 прямоугольных параллелепипедов.

РубрикаРазное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *