Свойства арифметического корня как решать – Квадратный корень. Подробная теория с примерами.

Арифметический корень

Арифметический корень

Корень называется арифметическим, если он извлекается из положительного числа и сам представляет собой положительное число.

Например, 

Арифметический корень данной степени из данного числа может быть только один.

Свойства арифметических корней

1) Чтобы извлечь арифметический корень из произведения, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно

Например, 

2) Чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его из числителя и знаменателя отдельно

Например, 

3) Чтобы извлечь корень из степени,  можно разделить показатель степени на показатель корня

Например, 

mirurokov.ru

Урок «Свойства арифметического корня «

Урок № 17 Дата___________ Обл. семинар ИПК

Тема: «Свойства арифметического квадратного корня».

Урок-игра «Аукцион математических знаний»

Цели урока:

К концу урока учащиеся должны знать :

1. Определение арифметического квадратного корня.

2. Теорему квадратного корня из степени.

3. Теорему квадратный корень из произведения и дроби.

Смарт-цель: к концу урока ученики будут применять свойства арифметического квадратного корня для вычисления значений квадратного корня и преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Форма проведения урока: урок-игра

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: экран, проектор, компьютер, плакаты, раздаточный и демонстрационный материал, карточки с номерами.

Структура урока:

1. Оргмомент.

2. Целеполагание и мотивация учебной деятельности учащихся (разъяснение правил игры).

3. Игровые действия:

— актуализация знаний;

— обобщение и систематизация знаний и умений при решении задач

— из истории корней

4. Подведение итогов. Рефлексия.

5. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности

Глубоко вдохните и выдохните. Выдохните негативные эмоции . Повернитесь к гостям и поздоровайтесь с ними с улыбкой. Садитесь.

Он есть у дерева, цветка,

Он есть у уравнений,

И знак особый – радикал –

С ним связан, вне сомнений.

Заданий многих он итог,

И с этим мы не спорим,

Надеемся, что каждый смог

Ответить: это …

Проверка дз Дайте вспомним определение арифметического квадратного корня.

  1. Сформулируйте свойство арифметического квадратного корня из произведения.

  2. Сформулируйте свойство арифметического квадратного корня из дроби.

  3. Взаимопроверка

Сегодня последний урок изучения свойств арифметического квадратного корня. Ваша задача на этом уроке показать свои умения и полученные знания. Открываем тетради, записываем число и тему урока.

2. Целеполагание учебной деятельности. А сейчас я вам расскажу интересную историю.

В Америке несколько десятилетий назад была объявлена премия автору, который напишет книгу «Как человек без математики жил». Премия осталась невыданной.

-Как вы думаете почему?

-Потому что, ни один из авторов не сумел изобразить жизнь человека без математических знаний.

На экране Записаны пословицы.

— Набирайся ума в ученье, храбрости в сраженье.

— Без муки нет науки.

— Была бы охота — заладится всякая работа.

— Математика – гимнастика ума.

Учитель: Ребята, прочитайте пословицы и выберите наиболее понравившуюся народную мудрость. Скажите, почему вы выбрали именно эту пословицу? Чем она вам так понравилась, в чём её смысл? Может она поможет нам вместе поставить перед собой цель на сегодняшний урок?

А мне нравится “ Математика – гимнастика ума”.

Что такое гимнастика?

Выслушав ответы, учитель подводит итог:

Гимнастика – это система упражнений для физического развития человека;

Гимнаст – человек ловкий, стройный, сильный, пластичный, красивый.

Также много даёт математика для умственного развития человека — заставляет думать, соображать, искать простые и красивые решения, помогает развивать логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать, тренирует память, внимание, закаляет характер. Но какова же цель урока?

SMART-цель: к концу урока ученики будут к концу урока применять свойства арифметического квадратного корня для вычисления значений квадратного корня и преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Мы сегодня проводим необычный урок – игру «Аукцион математических знаний».

Аукцион – слово латинское, оно означает – распродажа за большую цену (дороже). Обратите внимание на экран:

РУБРИКА

«Необходимые знания, умения и навыки по теме «Арифметический квадратный корень и его свойства»

Дескрипторы описывают уровни достижения учащегося по каждому критерию (знает,понимает,применяет)

1. Знать понятие квадратного корня и арифметического квадратного корня из числа.

2. Уметь применять определение арифметического квадратного корня при решении уравнения = а .

3. Уметь решать уравнение вида х= а.

4. Уметь применять тождество () = х.

5.Уметь находить приближенные значения арифметического квадратного корня.

6. Знать свойства арифметического квадратного корня.

7.Уметь применять свойства корней для вычисления значений квадратных корней и для преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

8. Знать историю возникновения понятия радикала и знака квадратного корня.

Для ведения аукциона мне необходим помощник. Учитель представляет помощника: ведущую торгов (ученик 11 класса Абдрахманов Ануар). Назначенный выходит к доске и занимает свое место.

Учитель: слово предоставляется ведущей аукциона.

Ведущая зачитывает «Правила поведения на аукционе» для его участников

Правила поведения на аукционе знаний

1. Стремись к победе.

2. Прояви свою смекалку.

3. Покажи свои знания, умения и навыки по теме.

4. Первоначальная сумма очков у каждого участника – 10 очков.

5. Если знаешь ответ, то назначь свою цену.

6. Считать проигравшим того, кто набрал 0 очков.

7. Покажи свой имидж в конкурсе.

Объявляет аукцион открытым.

3. Игровые действия.

Учитель знакомит с критериями игры. Оценивание по Вассерману. Матрица

Учащиеся . Если знают ответ, то могут назначить свою цену – 6 очков, 8 очков и т. д. Ведущий выбирает наибольшее количество очков и стучит молотком, произнося счет: «Раз! Два! Три!» Если не назначается еще большее число очков, то право отвечать отдается тому учащемуся, который назвал сумму очков. Учитель оценивает правильность ответа и сообщает о результате ассистенту.

Если ответ правильный, то ведущий объявляет, что вопрос продан. Если ответ неправильный, то право ответа предоставляется предыдущему участнику.

Если никто из участников не дает правильного ответа, то учитель кратко объясняет задание на доске.

Ануар ведет запись очков + или – в таблице.

Вопросы 3 уровня –базового по 5 очков, вопросы 2 уровня- основного по 10 очков,

вопросы 1 уровня- продвинутого по 15-20 баллов.

Дальнейшая работа с вопросами 2 – 12 проводится аналогично. Вопросы иллюстрируются слайдами на экране

Учитель задает вопрос №1: «Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях а выражение имеет смысл?» (первоначальная цена 5 очков).

Ведущая: «Кто дает больше?» Ведущий выбирает наибольшее количество очков и стучит молотком, произнося счет: «Раз! Два! Три!»

Вопрос 2 (5 очков) Происхождение термина радикал и знака ? (Дана) Историческая справка: С давних пор, наряду с отысканием площади квадрата по известной длине его стороны, приходилось решать и обратную задачу: “Какой должна быть сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась а ?”. Такую задачу умели решать еще четыре тысячи лет назад вавилонские ученые. Они составили таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. Вавилоняне использовали метод приближенного извлечения квадратных корней Указанный метод извлечения квадратного корня подробно описан древнегреческим ученым Героном Александрийским. (На экране портрет). В эпоху Возрождения европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень), radicalis – коренной, а затем сокращенно буквой R (r ) (отсюда произошел термин “радикал”, которым принято называть знак корня). Некоторые немецкие математики XV века для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень. Позднее вместо точки стали ставить ромбик, а в последствии знак V и над выражением, из которого извлекается корень, проводили черту. Затем знак V и черту стали соединять. Такие записи встречаются в «Геометрии» Декарта и «Всеобщей арифметике» Ньютона. Современное обозначение корня впервые появилось в книге «Руководство алгебры» французского математика М. Роля (1652 – 1719). (На экране портреты ученых)

Вопрос 3 (5 очков). Сформулируйте свойства арифметического квадратного корня.( 5 очков)

Вопрос 4. Вычислить: 0,5

=0,5*0,2-4*0,4=0,1-1,6=-1,5 (5 очков)

Вопрос 5 Вычислить: (10 очков)

Вопрос 6. Вычислить: (10 очков)

Физкультминутка

Учащиеся рассчитываются по порядку и запоминают свой номер.

Далее учитель показывает карточки с записью выражений: . Каждый раз встает ученик с номером, соответствующим ответу; если в ответе однозначное число – встает один человек; если в ответе двузначное число – встает два человека.

Вопрос 7 . Используя определение квадратного корня, решите уравнение:

(у доски) (10 очков).

Вопрос 8. Упростить выражение: (у доски) (15очков)

Вопрос 9. Из букв слова «РАДИКАЛ» составить существительные.(10 очков)

Вопрос 10. Число 2 запишите в виде двух двоек и математических символов (15 очков)

Вопрос 11. Решите уравнение (у доски) (20 очков)

Вопрос 12. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

(20 очков)

Вопрос 13.Самостоятельная работа.( 30 очков) Взаимопроверка.

1пример-3 очка

Ведущая объявляет: « Все вопросы проданы, аукцион закрывается

4. Подведение итогов.

Обратная связь; Рефлексия. Напишите отзывы на стикере лежащем перед вами и разместите в той четверти которую вы считаете нужной

В каждой четверти на координатной плоскости ХоУ. Написано

— Что мне дала эта игра
— Как я буду применять знания на практике
— Что я узнал? В чем продвинулся?
— В чем пока затрудняюсь

Ведущая аукциона вывешивает на магнитную доску таблицу списочного состава участников и набранное ими количество очков. Называет первых 8 участников, набравших наибольшее количество очков, и поздравляет их.

Учитель отмечает тех участников, которые не набрали ни одного очка, и предлагает им прийти на дополнительные занятия.

Учитель:

5. Домашнее задание.

Повторить п. п.2-3 ; подготовится к контрольной работе;

Подготовительный вариант

1. Найти значение выражения:

2. Решите уравнение:

1) х =100; 4) х = 13; 7) = -9;

2) х = -25; 5) = 0; 8) 4 х — 28 = 0;

3) х = 0; 6) = 4; 9) 3 — 2 = 0.

3. Сравнить числа:

4. Упростить выражение:

5. Доказать, что число — рациональное число.

1. Найти значение выражения:

2. Решите уравнение:

1) х =100; 4) х = 13; 7) = -9;

2) х = -25; 5) = 0; 8) 4 х — 28 = 0;

3) х = 0; 6) = 4; 9) 3 — 2 = 0.

3. Сравнить числа:

4. 4. Упростить выражение:

5. Доказать, что число — рациональное число.

1. Найти значение выражения:

2. Решите уравнение:

1) х =100; 4) х = 13; 7) = -9;

2) х = -25; 5) = 0; 8) 4 х — 28 = 0;

3) х = 0; 6) = 4; 9) 3 — 2 = 0.

3. Сравнить числа:

4. Упростить выражение:

5. Доказать, что число — рациональное число.

1. Найти значение выражения:

2. Решите уравнение:

1) х =100; 4) х = 13; 7) = -9;

2) х = -25; 5) = 0; 8) 4 х — 28 = 0;

3) х = 0; 6) = 4; 9) 3 — 2 = 0.

3. Сравнить числа:

4. 4. Упростить выражение:

5. Доказать, что число — рациональное число.

1. Найти значение выражения:

2. Решите уравнение:

1) х =100; 4) х = 13; 7) = -9;

2) х = -25; 5) = 0; 8) 4 х — 28 = 0;

3) х = 0; 6) = 4; 9) 3 — 2 = 0.

3. Сравнить числа:

4. Упростить выражение:

5. Доказать, что число — рациональное число.

1. Найти значение выражения:

2. Решите уравнение:

1) х =100; 4) х = 13; 7) = -9;

2) х = -25; 5) = 0; 8) 4 х — 28 = 0;

3) х = 0; 6) = 4; 9) 3 — 2 = 0.

3. Сравнить числа:

4. 4. Упростить выражение:

5. Доказать, что число — рациональное число.

1. Найти значение выражения:

2. Решите уравнение:

1) х =100; 4) х = 13; 7) = -9;

2) х = -25; 5) = 0; 8) 4 х — 28 = 0;

3) х = 0; 6) = 4; 9) 3 — 2 = 0.

3. Сравнить числа:

4. Упростить выражение:

5. Доказать, что число — рациональное число.

1. Найти значение выражения:

2. Решите уравнение:

1) х =100; 4) х = 13; 7) = -9;

2) х = -25; 5) = 0; 8) 4 х — 28 = 0;

3) х = 0; 6) = 4; 9) 3 — 2 = 0.

3. Сравнить числа:

4. 4. Упростить выражение:

5. Доказать, что число — рациональное число.

1. Найти значение выражения:

2. Решите уравнение:

1) х =100; 4) х = 13; 7) = -9;

2) х = -25; 5) = 0; 8) 4 х — 28 = 0;

3) х = 0; 6) = 4; 9) 3 — 2 = 0.

3. Сравнить числа:

4. Упростить выражение:

5. Доказать, что число — рациональное число.

«Необходимые знания, умения и навыки по теме «Арифметический квадратный корень и его свойства» (за несколько дней до урока вывесить в классе)

1. Знать понятие квадратного корня и арифметического квадратного корня из числа.

2. Уметь применять определение арифметического квадратного корня при решении уравнения = а .

3. Уметь решать уравнение вида х= а.

4. Уметь применять тождество () = х.

5.Уметь находить приближенные значения арифметического квадратного корня.

6. Знать свойства арифметического квадратного корня.

7.Уметь применять свойства корней для вычисления значений квадратных корней и для преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

8. Знать историю возникновения понятия радикала и знака квадратного корня.

Вопрос 13. Кто из математиков древности погиб от меча римского солдата, гордо воскликнув: «Отойди, не трогай моих чертежей!» (На доске закрытые буквы. У каждого на столе карточки с разными числами, включая правильные ответы на задания. Учащимся необходимо решить все задания и отобрать среди карточек на столе карточки с правильными ответами (на обратной стороне каждой карточки — порядковый номер буквы в слове). (35 очков)

( учащиеся делятся на две группы, результат демонстрирует та группа, которая быстрее справилась с заданием) Ответ: Архимед (на экране появляется портрет)

Если есть время, вопрос №14: №467 учебника

infourok.ru

Свойства арифметического корня

Организация класса на работу.

Здравствуйте ребята. Садитесь.

Кузбасс,

Ты маленькое сердце

На карте Родины большой,

Ты край добытчиков, умельцев

С сибирской щедрою душой.

Это замечательное короткое стихотворение Александр Сорокин посвятил нашему родному краю, Кузбассу. А какой город является столицей нашей области? Городу Кемерово исполнилось в 2008 году 90 лет со дня его создания, именно как города.

Сообщение темы и постановка целей.

Форма нашего урока будет необычной. Сегодня мы с вами отправимся в виртуальную экскурсию по г. Кемерово, закрепим все знания, полученные по теме «Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из произведения и дроби», а также отработаем умение применять свойства арифметического квадратного корня при нахождении значения выражений.

Актуализация имеющихся знаний.

1. Установление истинности или ложности.

Прежде чем нам начать давайте установим истинность или ложность высказываний. У вас на столах лежат карточки. Я сейчас прочитаю высказывание, и если оно ложно поднимаете красную карточку, а если истинно, то белую карточку.

— целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел (да)

— число 5 рациональное (да)

— множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел (да)

— квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а (да)

— при а > 0 выражение квадратный корень из а не имеет смысла (нет)

— если а > 0, то уравнение х2=а имеет один корень (нет)

— если а < 0, то уравнение х2=а корней не имеет (да)

— корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению этих множителей (нет)

Какие знания мы применили при выполнении этого задания?

Мы использовали свойства арифметического квадратного корня, закрепили понятие дробных, целых, рациональных чисел и случаи решения квадратного уравнения.

2. цепочка.

А сейчас посмотрите на слайд и найдите значение последнего звена цепочки. Для этого начните выполнять действия с первого звена.

Какое число получили в последнем звене?

Что это за дата?

Именно в 1918 году 9 мая село Щеглово преобразовали в город Щегловск. А когда его переименовали в город Кемерово?

В 1932 году 27 марта Щегловск был переименован в город Кемерово. Какими свойствами квадратных корней мы воспользовались?

Мы использовали свойствами квадратного корня из произведения, из степени.


Систематизация знаний.

1.Номер из учебника

Откройте учебник на странице 83, номер 377.

Выполняем у доски 2 строку.

Давайте вспомним и попробуем извлечь квадратный корень из разности квадратов.

Чему равна разность квадратов? (произведению их суммы на разность).

Какими свойствами квадратного корня мы воспользовались?

А какие формулы нам пригодились?

2. работа в парах.

Возьмите таблички

с выражениями. Подпишите их на обратной стороне.

Поменяйтесь с соседом по парте.

В пустых клетках расставьте точки таким образом, чтобы в каждой строчке и в каждом столбце была всего лишь одна точка.

Поменяйтесь обратно с соседом. Теперь, где появилась точка, там должен появиться ответ при выполнении действий над выражениями. Точка является пересечением определенного столбца и строки, смотрите какое выражение в данном столбце, затем какое действие нужно выполнить, и затем какое выражение в строке. И находите значение выражения. Например…

Теперь поменяйтесь табличками и проверьте по слайду, все ли правильно сделал ваш сосед.

Если ни одной ошибки, то поставьте 5, если одна ошибка 4.

Сегодня за урок вы получите две отметки: за эту работу и за тест. В целом за урок вы получите общую отметку по всем видам работ.

Какими свойствами квадратного корня мы воспользовались?

Изображение какого сооружения мы получили? (мост).

Старый коммунальный мост через реку Томь был построен еще в начале 1950-х годов и находился в аварийном состоянии. Поэтому в ноябре 2005 года, когда было принято решение о достройке нового моста, старый был закрыт и частично разобран.

«изюминка» моста — уникальное освещение. Правобережная развязка нового моста освещена, как Садовое кольцо в Москве. Подсветка управляется автоматически, с помощью компьютерной программы. Такого освещения нет нигде за Уралом.

2. Работа в МГ. Эстафета.

Сейчас мы посмотрим, как вы работаете в команде.

У нас получится 6 команд, по рядам. Я даю карточку с примерами первому человеку. Он записывает свою фамилию, решает первый пример, записывает ответ в геометрическую фигуру, которая стоит после знака равно и в начале следующего равенства, и отдает следующему.

Следующий записывает свою фамилию, решает полученное выражение и так все по порядку. Команда, которая первой узнает конечный результат, получает бонус, а какой, вы узнаете, после того как решите.

Какой результат получился?

Какими свойствами квадратного корня мы воспользовались?

Давайте проверим. Какое изображение мы получили?

5 сентября 2003 года в районе исторического центра Кемерово, на Красной Горке, была открыта скульптурная композиция «Память шахтеров Кузбасса» работы Эрнста Неизвестного. Это бронзовая скульптурная композиция высотой 7,5 метра и весом в пять тонн. По словам Бедина Владимира Ивановича – проректора по маркетингу и развитию образовательного комплекса (в этой должности работает с 20.12.2004 г.), профессора, заслуженного работника культуры Российской Федерации, действительный член Российской академии менеджмента в образовании и культуре, «эта крупная композиция очень точно передает дух шахтерской профессии и региона. В ней отражены и дань памяти горнякам, и их сила и мощь, и те условия, в которых они работают».

Победившая команда получает оценку 5, команда которая решила второй – 4.

4. номер из учебника.

Номер 384.

Давайте потренируемся извлекать квадратный корень из числа.

Что необходимо сделать, чтобы извлечь корень?

На какие множители удобно разложить?

Какой таблицей можно воспользоваться при нахождении квадратного корня из числа 441?

Какими свойствами квадратного корня мы воспользовались?

С помощью какой таблицы мы находили значение квадратного корня?

Физминутка для глаз.

Зажмурьте глаза. Откройте глаза (5 раз). Круговые движения глазами. Головой не вращать (10 раз). Не поворачивая головы, отведите глаза как можно дальше влево, вправо. Посмотрите прямо. Несколько раз моргните. Закройте глаза и отдохните. Посмотрите на доску и поворачивайте голову вправо и влево, не отрывая взгляда от доски. Посмотрите в окно.

5. шифровка.

Следующее задание вам придется расшифровать.

Результат первого примера дает начало слова, затем нужно решить задание, которое начинается числом, являющимся результатом предыдущего задания и т.д. когда вы выстроите все примеры последовательно у вас получится слово, которое нам нужно узнать.



75

В

О

Л

150

К

360

О

30

В

Какими свойствами квадратного корня мы воспользовались?

Какими формулами воспользовались?

Какое слово получилось? (Волков).

Кто такой Волков? Михайло Волков – русский рудознатец в 1721 году открыл мощный пласт каменного угля в горелой горе правобережья реки Томи, на территории нынешнего рудничного района. Официальной эмблемой Кемерово — областного центра Кузбасса стал памятник Михайло Волкову, первооткрывателю Кузнецкого каменного угля — главного богатства региона. Он стоит между кемеровской областной научной библиотекой им. В. Д. Федорова и Кузбасским государственным техническим университетом.

Разминка для рук.

Сцепите пальцы рук в замок, после чего отталкивайте ладони друг от друга.

Положите ладонь одной руки на тыльную поверхность другой. Надавливайте ладонью на тыльную поверхность.

Совместите ладони рук и поднимите руки на уровень груди пальцами кверху. Не разводя ладоней делайте наклоны ладоней вправо-влево, вперед-назад.

6. тест то теме «Свойства арифметического квадратного корня» с копиркой.

Давайте закрепим все знания, полученные по теме «Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из произведения и дроби».

Листочек прикладываете копиркой к странице в тетради. Чтобы после того, как вы напишите тест, мы потом смогли сдать листочки и проверить ответы по тетради, которые у вас откопируются.

1) Вычислите .

а) б) 1,4 в) г) 1,5

2) Решите уравнение 0,5у 2 = 8.

а) 2; -2
б) 2
в) 4; -4
г) 4

3)Применив свойства арифметического квадратного корня, вычислите.

а) б) в) г)

4) Вычислите .

а) ; — б) в) г) ; —

5) Найдите значение корня:

а) б) в) г)

6) Найдите значение выражения

а) 8,7 б) 87 в) 8,7; — 8,7 г)87; -87

Ученики проверяют по копирке и предвосхищают свой результат.

Итог урока.

Какие свойства арифметического квадратного корня мы сегодня закрепляли?

Чему равен квадратный корень из произведения?

Чему равен квадратный корень из дроби?

О каких памятниках мы сегодня вспомнили?

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Арифметический квадратный корень и его свойства

Площадь квадратного участка земли равна 81 дм². Найти его сторону. Предположим, что длина стороны квадрата равна х дециметрам. Тогда площадь участка равна х² квадратным дециметрам. Так как по условию эта площадь равна 81 дм², то х² = 81. Длина стороны квадрата — положительное число. Положительным числом, квадрат которого равен 81, является число 9.  При решении задачи требовалось найти число х, квадрат которого равен 81, т. е. решить уравнение х² = 81. Это уравнение имеет два корня: x1 = 9 и x2 = — 9, так как 9² = 81 и (- 9)² = 81. Оба числа 9 и — 9 называют квадратными корнями из числа 81.

Заметим, что один из квадратных корней х = 9 является положительным числом. Его называют арифметическим квадратным корнем из числа 81 и обозначают √81, таким образом √81 = 9.

Арифметическим  квадратным  корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Например, числа 6 и — 6 являются квадратными корнями из числа 36. При этом число 6 является арифметическим квадратным корнем из 36, так как 6 — неотрицательное число и 6² = 36. Число — 6 не является арифметическим корнем.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так: √а.

Знак называется знаком арифметического квадратного корня; а — называется подкоренным выражением. Выражение √а читается так: арифметический квадратный корень из числа а. Например, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, кратко говорят: «корень квадратный из а«.

Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Это действие является обратным к возведению в квадрат.

Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратные корни можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа — 4. Если бы такой корень существовал, то, обозначив его буквой х, мы получили бы неверное равенство х² = — 4, так как слева стоит неотрицательное число, а справа отрицательное.

Выражение √а имеет смысл только при а ≥ 0. Определение квадратного корня можно кратко записать так: √а ≥ 0, (√а)² = а. Равенство (√а)² = а справедливо при а ≥ 0. Таким образом, чтобы убедиться в том, что квадратный корень из неотрицательного числа а равен b, т. е. в том, что √а =b, нужно проверить, что выполняются следующие два условия: b ≥ 0, b² = а.

Квадратный корень из дроби

Вычислим . Заметим, что √25 = 5, √36 = 6, и проверим выполняется ли равенство .

Так как    и   , то равенство верно. Итак,   .

Теорема: Если а ≥ 0 и b > 0, то    т. е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.  Требуется доказать, что:     и .

Так как √а ≥0 и √b > 0, то  .

По свойству возведения дроби в степень и определению квадратного корня   теорема доказана. Рассмотрим несколько примеров.

Вычислить , по доказанной теореме  .

Второй пример: Доказать, что   , если а ≤ 0, b < 0.  .

Еще примерчик: Вычислить  .

.

Преобразование квадратных корней

Вынесение множителя из-под знака корня. Пусть дано выражение . Если а ≥ 0 и b ≥ 0, то по теореме о корне из произведения можно записать:

Такое преобразование называется вынесение множителя из под знака корня. Рассмотрим пример;

Вычислить  при х = 2. Непосредственная подстановка х = 2 в подкоренное выражение приводит к сложным вычислениям. Эти вычисления можно упростить, если вначале вынести из-под знака корня множители: .    Подставив теперь х = 2, получим:.

Итак, при вынесении множителя из-под знака корня представляют подкоренное выражение в виде произведения, в котором один или несколько множителей являются квадратами неотрицательных чисел. Затем применяют теорему о корне из произведения и извлекают корень из каждого множителя.    Рассмотрим пример: Упростить выражение А = √8 + √18 — 4√2 вынося в первых двух слагаемых множители из-под знака корня, получим:. Подчеркнем, что равенство  справедливо только при а ≥ 0 и b ≥ 0. если же а < 0, то .

В некоторых случаях полезно вносить множители под знак корня, т. е. выполнять преобразования вида, где а ≥ 0 и b ≥ 0. Рассмотрим пример;

Упростить выражение  где а > 0, b > 0. Внося положительные множители а и b под знак корня, получаем:.

Ну и в заключении хочется упомянуть, что сам значок называется радикал.

 

 

Автор публикации

0 Комментарии: 3Публикации: 82Регистрация: 04-09-2015

prostoi-sovet.ru

Свойства арифметического корня n-степени

Цели урока:

  1. Систематизировать знания по данной теме.
  2. Закрепить навыки в применении свойств арифметического корня n степени при решении различных задач.

Задачи урока:

  1. Активизация мыслительной деятельности учащихся, развитие математической речи, логического мышления, познавательной деятельности через знакомство с историческим материалом.
  2. Воспитание внимания, воли и настойчивости в достижении конечных результатов при выполнении заданий, воспитание уважения к чужому мнению при выполнении командных заданий, развитие навыков самоконтроля и самооценки при выполнении самостоятельной работы и при подведении итогов урока.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: компьютер, проектор, экран для демонстрации презентаций и проведения игры, карточки, сигнальные карточки, магнитная доска. (Технологическая карта) (см. Приложение 3)

Ход урока

  1. Организационно-мотивационный этап урока (1,5 мин). – Приветствие учащихся, сообщение темы, сообщение цели и девиза урока. Причём звучит только первая часть высказывания, вторая часть прозвучит в конце урока.
  2. Вся первая часть урока призвана повторить свойства арифметического корня n степени. Ребятам в помощь выдана Памятка. (см. Приложение 3)

  3. Устная работа. Задания – на слайдах, и тут же идёт проверка.
  4. Работа в группах. Цель такой работы: не только решить предложенные задания  (см. Приложение 3), но и при правильном их решении составляется слово “Рене Декарт”. Перед тем, как провести небольшой экскурс в историю математики, учитель отвечает на вопросы, возникшие при выполнении групповой работы.
  5. На слайде портрет Рене Декарта. Какое отношение к теме нашего урока имеет Рене Декарт – французский придворный математик?

    В Древней Индии неизвестное именовалось “мула”, что означает “начало”, “основание”, “корень” (дерева). Арабы для этих целей использовали слово “джизр” с тем же значением. Европейцы перевели его на латынь как radix – “корень”. Отсюда возник математический термин “радикал”. С этим названием связан и привычный нам значок корня . А история его такова. На протяжении нескольких веков математики вслед за Леонардо Пизанским квадратный корень обозначали знаком Rx (сокращение от слова radix). Постепенно Rx превратилось в строчную букву r. В книге по алгебре Кристофа Рудольфа – первом руководстве подобного рода, написанном на немецком языке (1525г), – вместо r используется значок (см. слайд). Этот символ уже похож на тот, которым пользуемся мы. А вот горизонтальную чёрточку ввёл в 1637 году Рене Декарт.

    4) Индивидуальная работа с проверкой (с помощью слайдов), самоанализом и самооценкой. Сначала решают предложенные четыре задания, затем сверяют ответы, оценивают, а затем анализируют свои ошибки, сравнивая свои решения с решениями на слайдах. По окончании работы учитель отвечает на вопросы учеников, если они будут.

    5) Перед последней работой закончить девиз урока: “Не ошибается тот, кто ничего не делает. Не бойтесь ошибаться, бойтесь повторять ошибки”. Эти слова весьма актуальны в свете предстоящего ЕГЭ.

    Работа “Проверь себя”. Ученик выходит к доске по желанию, выбирает тему задания и уровень сложности. Все задачи взяты из ЕГЭ прошлых лет. У ребят есть возможность познакомиться с заданиями ЕГЭ по данной теме и оценить свои знания по данной теме.

    6) Заключительный этап урока. На нём ученики оценивают степень усвоения материала с помощью сигнальных карточек. Критерии – на слайде.

    7) Ученикам даётся домашнее задание. (см. Приложение 3)

    8) Если останется время, то можно предложить ребятам решить нетривиальную задачу. Я предложила решить квадратное уравнение с большими коэффициентами. Как подсказку можно использовать портрет Француа Виета. А можно предложить решить задачу “на скорость” до звонка: “Все, кто решит задачу до звонка, получит 5”. Поверьте, желающих будет много.

    Урок окончен. До новых встреч. (Презентация)

    urok.1sept.ru

    Применение свойств арифметического квадратного корня

    Не пытайтесь объяснить ребёнку то,
    до чего он может додуматься сам.
    Давайте возможность каждому ребёнку
    сделать своё маленькое открытие 

    Э.И. Александрова.

    Тема урока: Применение свойств арифметического квадратного корня.

    Цель урока:

    • Получение способа вынесения множителя из-под знака корня.

    • Получение способа внесения множителя под знак корня.

    Тип урока: Постановочный урок – получение способов.

    Результат урока:

    • Способы внесения под знак корня и вынесения из-под знака корня, представленные в виде знаковых моделей.

    • Первичный контроль над применением полученных способов.

    Этапы урока:

    1. Организационный момент. Запись домашнего задания (п.17 № 403, № 411).

    2. Тренажёр (набор отработочных заданий по теме «Арифметический квадратный корень»)

    Время проведения: 3 минуты. Критерии оценки (по количеству правильных ответов):

    Для оперативной проверки результатов выполнения тренажёров каждому ученику выдаётся индивидуальный лист ответов, а после проведения работы – лист правильных ответов. Тексты тренажёра и листов ответов прилагаются (см. приложение 1).

    Проверку результатов осуществляют сами учащиеся, работая в парах. Оценивают друг друга, руководствуясь критерием.

    1. Устные упражнения.

    Выполните устно:

    Сравните выражения

    :

    В заданиях 8–13 “спрятана проблема”– корни из предложенных чисел не извлекаются. Поняв, что обычный способ сравнения выражений не подходит, учащиеся начинают искать новые пути решения. Это удаётся не сразу. Задания 8 –13 выполняют не по порядку, а выбирают то, решение которого наметили. Для 8А таким ключевым стало задание № 11.

    Дима М. предлагает “разбить” число 99 на множители 9 и 11 и, используя свойства арифметического квадратного корня, извлечь корень только из числа 9, а 11 оставить под знаком корня. Учащиеся примеряют предложенный Димой вариант решения на остальные задания.

    Анализируем свою работу, отвечая на вопросы:

    а) Почему не смогли сразу сделать задания 8–13?

    б) Чем задания 8–13 отличаются от предыдущих?

    в) Почему смогли выполнить задания 8–13?

    1. Составление схемы – модели способа.

    Задание №1: Придумайте подобные задания (варианты ответов на доске (3, 4) – обсуждение).

    Задание №2: Составьте схему полученного способа.

    Артём Ф. предлагает такой вариант:

    Эта схема берётся за основную. Учащимся сообщается, что такая операция над числами в алгебре носит название “вынесение множителя из-под знака корня”.

    1. Выполнение задания № 401 по учебнику “Алгебра–8”.

    Задания выполняются по цепочке, начиная с третьего ряда (одно выражение – один ученик), с комментированием. Перед началом работы с учащимися обсуждаем, для чего выполнять этот номер. Настя Е. формулирует цель выполнения: “Для того, чтобы проверить, как работает новый способ, чтобы каждый научился его применять”.

    1. Выполнение задания № 404 по учебнику “Алгебра–8”.

    Предлагаю учащимся прочитать задание номера и ответить на вопрос: “Чем это задание отличается от предыдущего?”. Учащиеся сразу видят изменение ситуации. Регина С. поясняет: “В задании № 401 предлагалось вынести множитель из-под знака корня, а в задании № 404 предлагается внести множитель под знак корня. Я думаю, что это “обратный ход”. Класс с Региной согласен. Выполняем по цепочке, начиная со второго ряда. Первым работает у доски Антон Д. и называет эту операцию “возвращением числа под корень”.

    1. Обучающий тест. У всех один вариант. Время выполнения 17 минут.

    Текст теста, ключи – ответы к нему, критерии оценки прилагаются (см. приложение 2).

    1. Дополнительное задание.

    Для тех, кто на выполнение теста затрачивает меньше времени, предлагается дополнительная карточка из десяти занимательных заданий. Текст прилагается (см. приложение 3).

    1. Подведение итогов урока.

    Отвечаем на вопросы:

    1) Какие способы работы с арифметическим квадратным корнем получили?

    2) Как по-другому можно сформулировать тему сегодняшнего урока?

    3) На основании каких свойств можно выполнять внесение множителя под знак корня, вынесение множителя из-под знака корня?

    Находки урока (понятийные термины):

    — “безквадратное число”,

    — “вернуть обратно”,

    — “разбить на множители”.

    Приложение 1

    Приложение 2

    Приложение 3

    infourok.ru