Сумма n степеней – Бином Ньютона. Целая положительная степень n суммы. (a + b)n=. Родственные формулы.

Содержание

Бином Ньютона. Целая положительная степень n суммы. (a + b)n=. Родственные формулы.





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник  / / Бином Ньютона. Целая положительная степень n суммы. (a + b)n=. Родственные формулы.

Бином Ньютона b и родственные формулы. Целая положительная степень n суммы. (a + b)n=.

Описательный подход: Бином Ньютона для целой положительной степени n:

(a + b)n = a n + n a n-1 b + n ((n — 1) / 2!) a n-2 b 2 + n ((n — 1)(n — 2) / 3!) a n-3 b 3 + …. + n a b n-1 +bn

Биноминальные коэффициенты для n от 1 до 15 — Таблица Брадиса

Символьно:

Символьно, родственные формулы:

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:

  • Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса
  • Алфавиты греческий и латинский. Символы. Коды. Альфа, бета, гамма, дельта, эпсилон…
  • Римские цифры, римские числа / англ. — roman numerals. Правила составления. Запись умножения римских чисел на тысячу. Таблица римских чисел от 1 до 100, от 1 до 1000. Используют десятичную систему счета.
  • Арифметическая, Геометрическая прогрессии и суммы некоторых числовых рядов.
  • Брадиса таблицы. Таблицы Брадиса.
  • Дискретная математика. Множества. Теория графов. Виды, типы, свойства, отношения, операции.
  • Стандартный вид числ
  • dpva.ru

    Разложение на множители суммы и разности степеней

    Для любого натурального числа верно равенство

       

    Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, раскроем скобки и приведём подобные члены. Получим

       

       

    При раскрытии скобок вслед за произведением каждого слагаемого на мы записывали его произведение на После приведения подобных слагаемых в сумме останутся только первое и последнее слагаемое, то есть

    Если — нечётное число (), то после замены на в формуле разности степеней получим тождество

       

       

    umath.ru

    Помогите решить / разобраться (М)

    Вот ещё занятный способ найти сумму степеней.

    Пусть есть какая-то функция ; введём оператор , который по такой функции выдаёт её разность . Обозначим через оператор , выдающий по функции её производную .

    Представим в виде ряда Тейлора:
    , где последнее выражение есть символическая запись предыдущего.

    Отсюда получаем .
    Итак , поэтому оператор суммирования .

    Обозначим теперь . Хорошее свойство этой функции: , или же .

    Поэтому , где — постоянная суммирования, которая определится условием .

    Для функции известно разложение в ряд Тейлора по : , где — числа Бернулли, причём .

    Поэтому .

    и все более старшие производные зануляются, а даёт константу и поэтому её отбрасываем, так как константу суммирования всё равно надо подбирать отдельно. Получаем:

    .

    Мы получили известную формулу Бернулли: .

    Таким же образом несложно показать, что если считать , а не , то получится такая же формула, только слева — сумма до : .
    Символически это можно записать и так: где символически превращается в .

    ———————-

    Наконец укажу практически удобный способ вычисления степенных сумм, который подходит, если вы не помните на память всякие штуки вроде чисел Бернулли. Он основывается на формуле, которую привёл Sonic86: , или , где — постоянная, которую можно определить, задав желаемое значение суммы при , а .

    Мы таким образом легко просуммируем ; а хотим суммировать . Но несложно показать, что любой многочлен может быть представлен также в виде , а каогда мы его так представим — сможем просуммировать.

    Вычислим например . Представим в нужном виде:

    .
    Поэтому , откуда , или .

    dxdy.ru

    Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.





    Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.

    Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов
    и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.  Вариант для печати.

    Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.
    Разность квадратов a2-b2 = (a-b)(a+b)
    Квадрат суммы
    (a+b)2 = a2+2ab+b2
    Квадрат разности (a-b)2 = a2-2ab+b2
    Куб суммы (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
    Куб разности (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
    Сумма кубов a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
    Разность кубов
    a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
    Разность четвертых степеней a4-b4

    dpva.ru

    Формулы сумм ряда натуральных чисел в целочисленной степени

     

    Сумма натурального ряда

    Это известная формула, открытая еще Гауссом  в шестилетнем возрасте.

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен во  вторую степень

     

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в третью степень

     

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в четвертую степень

     

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в пятую степень

     

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в шестую степень

     

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в седьмую степень

     

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в восьмую степень

     

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в девятую степень

     

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в десятую степень

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в одинадцатую степень

     

    Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в двенадцатую степень

     

     

    • ФРС. Фундаментальное решение системы уравнений >>

    abakbot.ru

    Сумма пятой степени | Формулы с примерами

    1. 25 + 35 = (2 + 3) • (233 + 223223

    3 + 34) =
    5 • (1683 + 49227 + 81) =
    5 • (16 — 24 + 36 — 54 + 81) =
    5 • 55 = 275 ;
    a = 25 ;
    b = 35 ;

    2. 75 + 55 = (7 + 5) • (74735 + 7252753 + 54) =
    12 • (2 4013435 + 49257125 + 625) =
    12 • (2 401 — 1 715 + 1 225 — 875 + 625) =
    12 • 1 661 = 19 932 ;

    a = 75 ;
    b = 55 ;

    3. 35 + 35 = (3 + 5) • (34335 + 3252353 + 54) =
    8 • (81275 + 9253125 + 625) =
    8 • (81 — 135 + 225 — 375 + 625) =
    8 • 421 = 3 368 ;
    a = 35 ;
    b = 55 ;

    formula-xyz.ru

    Сумма седьмой степени | Формулы с примерами

    1. 17 + 37 = (1 + 3) • (16153 + 14321333 + 1234135 + 36) =
    4 • (1 — 3 + 9 — 27 + 81 — 243 + 729) =
    4 • 547 = 2 188 ;
    a = 17 ;
    b = 37 ;

    2. 27 + 37 = (2 + 3) • (26253 + 24322333 + 2434235 + 36) =
    5 • (64323 + 169827 + 4812243 + 729) =
    5 • (64 — 96 + 144 — 216 + 324 — 486 + 729) =
    5 • 463 = 2 315 ;
    a = 27 ;
    b = 37 ;

    3. 37 + 57 = (3 + 5) • (36355 + 34523353 + 3254355 + 56) =
    8 • (7291255 + 812527125 + 962533 125 + 15 625) =
    8 • (729 — 625 + 2 025 — 3 375 + 5 625 — 9 375 + 15 625) =
    80 312 ;
    a = 37 ;
    b = 57 ;

    formula-xyz.ru