Сумма модулей и модуль суммы: Модуль — сумма — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Модуль — сумма — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Модуль — сумма

Cтраница 1

Модуль суммы не может превзойти сумму модулей слагаемых.  [1]

Модуль суммы двух или нескольких комплексных чисел не превосходит суммы модулей этих чисел.  [2]

Модуль суммы двух или нескольких чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел.  [3]

Модуль суммы индексов всех особых точек невырожденного векторного поля v степени т ( обозначается Ind v) не превосходит числа Петровского — — Олейник II ( т) и сравним по модулю 2 с числом и. Никаких других ограничений на Irul v не существует.  [4]

Заменим модуль суммы в правой части ( 20) суммой модулей и потребуем выполнения полученного неравенства. В этом случае ( 20) будет выполняться автоматически.

 [5]

Докажите, что модуль суммы двух перемещений не превосходит суммы модулей составляющих перемещений. В каком случае модуль суммы равен сумме модулей слагаемых перемещений.  [6]

Известно, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых.  [7]

Доказать, что модуль суммы двух комплексных чисел не превосходит суммы модулей этих чисел.  [8]

Установим теперь свойства модуля суммы

и разности двух комплексных чисел.  [9]

Теорема о том, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых, легко распространяется на случай абсолютно сходящихся рядов.  [10]

Теорема о том, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых, легко распространяется на случай абсолютно сходящихся рядов.  [11]

Поскольку разложить в ряд Фурье модуль суммы гармоник в общем виде нельзя, укажем, что при незначительных искажениях несущей выходной сигнал будет подобен детектированному.  [12]

Принципиальный интерес представляет способ выделения модуля суммы и разности входных — величин, предложенный в.  [13]

Установим теперь важные для дальнейшего свойства модуля суммы и разности двух комплексных чисел.  [14]

Такое отображение, фактически представляющее собой натягивание модуля суммы гауссовскнх полей на параболоиды в направлении внешней нормали, переведет гладкие параболоиды в некоторые случайные геометрические тела. Ограничивая эти фигуры снизу плоскостью z Л0, получим математическую модель кучевой облачности, в которой отдельные облака имеют случайную геометрию.

 [15]

Страницы:      1    2    3    4

ГДЗ учебник по математике 6 класс Зубарева. 9. Расстояние между точками координатной прямой. Номер №293

Сравните значения выражений:
а + b и a + |b|;
а − b и a − |b|;
|а + b| и |a| + |b|;
|а − b| и |a| − |b|, при:
а = 8, b = 6;
а = −8, b = −6;
а = −8, b = 6;
а = 8, b = −6.
Проанализируйте полученные результаты и определите, какие из следующих утверждений верны:
а) при замене слагаемого его модулем сумма увеличивается;

б) при замене вычитаемого его модулем сумма увеличивается;
в) модуль суммы чисел меньше суммы модулей слагаемых;
г) модуль разности чисел больше или равен разности их модулей.

Решение

а + b и a + |b|
а = 8, b = 6:
8 + 6 = 8 + |6|
14 = 14
 
а = −8, b = −6:
−8 − 6 < −8 + |−6|
−14 < −8 + 6
−14 < −2
 
а = −8, b = 6:
−8 + 6 = −8 + |6|
−2 = −2
 
а = 8, b = −6:
8 − 6 < 8 + |−6|
2 < 8 + 6
2 < 14
 
а − b и a − |b|
а = 8, b = 6:
8 − 6 = 8 − |6|
2 = 2
 
а = −8, b = −6:
−8 − (−6) > −8 − |−6|
−8 + 6 > −8 − 6
−2 > −14
 

а = −8, b = 6:
−8 − 6 = −8 − |6|
−14 = −14
 
а = 8, b = −6:
8 − (−6) > 8 − |−6|
8 + 6 > 8 − 6
14 > 2
 
|а + b| и |a| + |b|
а = 8, b = 6:
|8 + 6| = |8| + |6|
|14| = 8 + 6
14 = 14
 
а = −8, b = −6:
|−8 − 6| = |−8| + |−6|
|−14| = 8 + 6
14 = 14
 
а = −8, b = 6:
|−8 + 6| < |−8| + |6|
|−2| < 8 + 6
2 < 14
 
а = 8, b = −6:
|8 − 6| < |8| + |−6|
|2| < 8 + 6
2 < 14
 
|а − b| и |a| − |b|
а = 8, b = 6:
|8 − 6| = |8| − |6|
|2| = 8 − 6
2 = 2
 
а = −8, b = −6:
|−8 + 6| = |−8| − |−6|
|−2| = 8 − 6
2 = 2
 
а = −8, b = 6:
|−8 − 6| < |−8| − |6|

|−14| < 8 − 6
14 > 2
 
а = 8, b = −6:
|8 + 6| < |8| − |−6|
|14| < 8 − 6
14 > 2
 
а) неверно, при замене слагаемого его модулем сумма не уменьшается;
б) верно, при замене вычитаемого его модулем сумма увеличивается;
в) неверно, модуль суммы чисел меньше, либо равен сумме модулей слагаемых;
г) верно, модуль разности чисел больше или равен разности их модулей.

Модуль числа в Python 3 — Функция abs библиотеки math

Очень часто возникает необходимость вычисления модуля числа в Python. Рассмотрим, что такое модуль числа, какие есть способы его вычисления. Так же отдельно коснемся комплексных чисел.

Модуль числа

Часто в программировании требуется вычислить абсолютное значение числа. Иначе говоря, отбросить знак.

При вычислении модуля возможны 3 ситуации:

• Когда число больше 0. Если взять его по модулю — не изменится.
• Модуль нуля так же равен нулю.
• У отрицательного числа отбрасываем знак. То есть умножаем его на -1.

Но это все справедливо только для действительных чисел. Чему же тогда будет равен модуль комплексных?

Комплексное число состоит из действительной составляющей и мнимой. Геометрически это можно представить как 2 ортогональные оси: действительную и мнимую. Отмечаем на координатных осях требуемую точку. Модулем будет длина отрезка, проведенного из начала координат в эту точку.

Исходя из теоремы Пифагора получаем, что модуль комплексного числа это корень квадратный из суммы квадратов мнимой и действительной частей.

Вычисление

Вычислять модуль можно следующими способами:

• Используя стандартную функцию abs.
• С помощью функции fabs библиотеки math.
• При помощи самостоятельно написанной функции.

Все эти функции работают как в Python 2, так и в Python 3.

abs

Для вычисления в Python модуля числа используется функция abs. Результат функции того же типа, которого был аргумент.

a = -10
b = abs(a)
print(b)
print(type(b))

10
<class 'int'>

fabs

Можно так же воспользоваться функцией fabs из библиотеки math. Библиотеку можно подключить с помощью from math import fabs.

from math import fabs
a = -10
b = fabs(a)
print(b)
print(type(b))

10.0
<class 'float'>

Отличие abs от fabs заключается в том, что функция abs возвращает значение того же типа, что и аргумент. Функция же fabs вначале преобразует тип аргумента к вещественному числу.

Свое решение

Если по каким то причинам нет возможности или желания использовать стандартные функции, то можно написать свое решение.

Например, можно вычислить воспользоваться тернарным оператором.

a = -10
b = a if a > 0 else -a
print(b)

10

На основе такого условия сделаем свою функцию.

def my_abs(a):
    return a if a > 0 else -a
print(my_abs(-3))

3

Модуль комплексного числа

Мы разобрались как происходит вычисление с действительными числами. Теперь посмотрим, как в языке программирования Python можно получить модуль комплексного.

Функцией fabs мы не сможем воспользоваться. Если попытаемся это сделать, то получим ошибку приведения комплексного числа к действительному (TypeError).

from math import fabs
a = -10-2j
b = fabs(a)
print(b)

Traceback (most recent call last):
  File "main. py", line 3, in <module>
    b = fabs(a)
TypeError: can't convert complex to float

А вот с помощью abs преобразование удается.

a = -10-2j
b = abs(a)
print(b)

10.19803902718557

Или же напишем свою функцию:

from math import sqrt
def my_abs_complex(c):
    return sqrt(c.real**2 + c.imag**2)
a = -10-2j
b = my_abs_complex(a)
print(b)

10.198039027185569

Результаты получились одинаковыми. Но нам все равно пришлось подключить библиотеку math для вычисления квадратного корня.

Правило вычисления значения алгебраической суммы. 6 класс

6 класс
Что такое модуль числа?
I-7I=7
I0I=0
I6,2I=-6,2
I0,5I=0,5
Назовите числа
противоположные данным:
-12 ; 23,3 ; 0 ; -10,2 ; 78 ; -32,6
Какие числа называются противоположными?
Назовите слагаемые данных
алгебраических сумм:
1) 2,8 — 3,1 — 1,57 + 4,05 – 102 + 15,2
2) -3,25 – 0,0002 + а – 8,104 — x
Правило вычисления значения алгебраической суммы
–6 – 8= –14
+6 + 8 = 14
(–6) + (–8) = –14
(+6) + (+8) = 14
–2 – 11= –13
+11 + 2 = 13
(–2) + (–11) = –13
(+11) + (+2) = 13
Модуль суммы
(–6) + (–8)
=
(+6) + (+8)
–14 = 14
Слагаемые имеют
одинаковые
знаки
Сумма модулей
–6 + –8 = 6 + 8 = 14
=
+14 = 14
+6 + +8 = 6 + 8 = 14
=
-13 = 13
–2 + –11 = 2 + 11 = 13
(+11) + (+2) +13 = 13
+11 + +2 = 11 + 2 = 13
(–2) + (–11)
=
Знак суммы такой же, как и знак слагаемых
Модуль суммы равен сумме модулей
Если слагаемые имеют одинаковые
знаки, то сумма имеет тот же знак,
что и слагаемые, а модуль суммы
равен сумме модулей слагаемых.
(–16) + (–4) = – 20
ЧТОБЫ СЛОЖИТЬ ДВА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
ЧИСЛА, НАДО:
1. СЛОЖИТЬ ИХ МОДУЛИ;
2. ПОСТАВИТЬ ПЕРЕД ПОЛУЧЕННЫМ ЧИСЛОМ
ЗНАК –.
-8,7+(-3,5)=-(8,7+3,5)=-12,2
1+
1 = — 21 + 1
-2
-3
3 =
4
8
4
8
2
1
3
= — 2 + 3 = -5
8
8
8
Правило вычисления значения алгебраической суммы
–6 + 8 = 2
+6 – 8 = –2
(–6) + (+8) = 2
(+6) + (–8) = –2
–2 + 11 = 9
–11 + 2 = –9
(–2) + (+11) = 9
(–11) + (+2) = –9
=
(–6) + (+8) +2 = 2
+8 – –6 = 8 – 6 = 2
=
–2 = 2
–8 – +6 = 8 – 6 = 2
=
+9 = 9
+11 – –2 = 11 – 2 = 9
(–11) + (+2)
=
(–2) + (+11)
разные знаки
Разность модулей
Модуль суммы
(+6) + (–8)
Слагаемые имеют
–9 = 9
-11 – +2 = 11 – 2 = 9
Знак суммы такой же как и знак слагаемого с большим
модулем
Модуль суммы равен разности модулей слагаемых при
условии, что из большего модуля вычитается меньший
Если слагаемые имеют разные знаки, то
сумма имеет тот же знак, что и
слагаемое с большим модулем, а модуль
суммы равен разности модулей слагаемых,
при условии, что из большего модуля
вычитается меньший.
(–16) + (+4) = – 12
(+16) + (–4) = + 12
ЧТОБЫ СЛОЖИТЬ ДВА ЧИСЛА C РАЗНЫМИ
ЗНАКАМИ, НАДО:
1. ИЗ БОЛЬШЕГО МОДУЛЯ СЛАГАЕМЫХ
ВЫЧЕСТЬ МЕНЬШИЙ;
2. ПОСТАВИТЬ ПЕРЕД ПОЛУЧЕННЫМ ЧИСЛОМ
ЗНАК ТОГО СЛАГАЕМОГО, МОДУЛЬ
КОТОРОГО БОЛЬШЕ.
6,1+(-4,2)=+(6,1-4,2)=1,9
6,1+(-4,2)=6,1-4,2=1,9
— 6,1+4,2=-(6,1-4,2)=-1,9
2 + 5 = 45 — 2 13
-3
4
3 =
7
7
7
7
7
2,7+(-3,4)=-(3,4-2,7)=-0,7
4 + 1 = — 84 — 1
-8
2
2 =
5
3
5
3
12
5
= — 8 — 2 = -6 7
15 15
15
ЧТОБЫ СЛОЖИТЬ ДВА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
ЧИСЛА, НАДО:
1. СЛОЖИТЬ ИХ МОДУЛИ;
2. ПОСТАВИТЬ ПЕРЕД ПОЛУЧЕННЫМ ЧИСЛОМ
ЗНАК –.
-1,4+(-9,5)=-(1,4+9,5)=-10,9
ЧТОБЫ СЛОЖИТЬ ДВА ЧИСЛА C РАЗНЫМИ
ЗНАКАМИ, НАДО:
1. ИЗ БОЛЬШЕГО МОДУЛЯ СЛАГАЕМЫХ
ВЫЧЕСТЬ МЕНЬШИЙ;
2. ПОСТАВИТЬ ПЕРЕД ПОЛУЧЕННЫМ ЧИСЛОМ
ЗНАК ТОГО СЛАГАЕМОГО, МОДУЛЬ
КОТОРОГО БОЛЬШЕ.
-4,81 + 3,4=-(4,81 – 3,4)= — 1,41
Найдите сумму:
-15+(-38)
-2,1+(-3,9)
2
1
1
2
5
5
4+(-7)
-8+5
1
1
7
-11+1
8+(-4)
2+(-10)
Физминутка

14.

Преодоление страха «Не боюсь»
Я скажу себе, друзья,
Не боюсь я никогда
Ни диктанта, ни контрольной,
Ни стихов и ни задач,
Ни проблем, ни неудач.
Я спокоен, терпелив,
Сдержан я и не хмурлив,
Просто не люблю я страх,
Я держу себя в руках.
Реши в тетради
Оба числа положительные
Оба числа отрицательные
3,5 + 4,2 = 7,7
-8,5 – 2,4 = -10,9
Числа имеют разные знаки
20 – 42 = -22
-42 + 20 = -22
-20 + 42 = +22
42 — 20 = 22
ВОПРОСЫ:
1.
Может ли при сложении отрицательных чисел
получиться нуль? Отрицательное число?
2.
Числа a и b имеют разные знаки. Какой знак
будет иметь сумма этих чисел, если больший
модуль имеет отрицательное число?
3.
Сформулируйте правило сложения чисел с
разными знаками.
Математический
диктант
Проверьте себя:
1 вариант
Вычислите:
– 8,3 + (–11,5) – (– 1,9)
1.
17,9
–3 6 + –2 4 – 10
13
13
13
4 3
7
– 6,1 + (–12,4) – (– 2,8)
15,7
2.
–5
– –5 3 – 2 1 + 1 5
14
7
14
2 вариант
–2 7 + –1 5 – 12
19
19
19
–3
3.
– –4 4 – 2 1 + 1 5
33
11
33
3 2
11
Самостоятельная работа

Все ли я знаю о модуле. | Презентация к уроку по математике (6 класс) на тему:

Слайд 1

Тайны модуля числа

Слайд 2

Цель: Глубоко изучить тему «Модуль числа». Исследовать зависимость а) суммы, разности, произведения, частного от замены компонента его модулем; б) расположения точек координатной плоскости от замены координат точек их модулем. Задачи: Найти и изучить материал из истории модуля; Рассмотреть различные определения модуля; области применения модуля. Исследовать зависимость суммы, разности, произведения, частного от замены компонента его модулем; Исследовать зависимость расположения точек координатной плоскости от замены координат точек их модулем. . Разработать задачник по теме «Модуль »

Слайд 3

Что же такое модуль? Modulus (лат. ) — мера Модуль — это омоним, который имеет множество значений и применяется в архитектуре, физике, технике, программировании.

Слайд 4

В архитектуре – это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

Слайд 5

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль зацепления, модуль упругости и т.п. Модуль объемного сжатия (в физике) – отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению .

Слайд 6

А что же такое модуль с точки зрения математики? Существует несколько определений модуля. Например: Модуль неотрицательного числа равен самому числу. Пример: | 17 | = 17, | 25 | = 25 Модуль отрицательного числа равен числу, противоположному ему. Пример: | -17 | =17.

Слайд 7

0 – 3 3 X= 3 Второе , известное мне определение модуля — это расстояние от начала отсчета до точки с данной координатой .

Слайд 8

Это определение в старших классах будет выглядеть так: | x |= У модуля есть обозначение. Значит, его кто- то придумал, но кто? Считают, что термин предложил Роджер Котс Знак модуля введен в XIX веке Вейерштрассом.

Слайд 9

Модуль — одна из самых интересных и многогранных тем в математике. В школьной программе очень часто встречаются задания, содержащие модуль ,например, в заданиях повышенной сложности, практически все вступительные экзамены в вузы содержат задания с модулем — это уравнения, неравенства, графики. Как же научиться решать такие сложные упражнения? Только глубоко изучив модуль! Я решила начать с небольших исследований.

Слайд 10

1. Замена слагаемого его модулем: а + в и а + | в | а) а = 8, в = 6 8 + 6 и 8+ | 6 | 14 и 14 Сумма не меняется . б) а = -8, в = -6 -8 + (-6) и -8 + | -6 | -14 и -2 | -8 | + (-6) 2 Сумма увеличивается. Исследование №1:

Слайд 11

В) а= 8, в= — 6 8 +(- 6 ) и 8+ | -6 | 2 и 14 Сумма увеличилась . б) а = -8, в = 6 -8 + 6 и -8 + | -6 | -14 и -2 | -8 | +(-6) 2 Сумма увеличивается. 1. Замена слагаемого его модулем: а + в и а + | в | Вывод: При замене слагаемого его модулем сумма увеличивается или остаётся без изменения.

Слайд 12

Рассмотрим модуль суммы и сумму модулей: | а + в | и | а | + | в | а= 8, в= — 6 | 8 + (-6) | = | 2 | = 2 | 8 | + | -6 | =14 а= -8, в= — 6 | -8 + (-6) | = | -14 | = 14 | -8 | + | -6 | =14 Вывод: | а + в | ≤ | а | + | в | Аналогичные исследования я провела для разности, произведения и частного и увидела как влияет модуль на результат.

Слайд 13

Где же ещё можно использовать модуль? Оказывается при изучении вопроса о расположении точек в координатной плоскости. Я решила выяснить, влияет ли модуль на расположение точек, если координаты точек заменить их модулем. Мне известно, что, если взять произвольную точку М(х;у) и построить её в прямоугольной системе координат, то она может лежать в I, II, III, IV четвертях. Это зависит от значения х и у . Так, точки А (3;4) В (-3;4) С (-3;-4) D (3;-4) лежат в I, II, III, IV четвертях соответственно. А что произойдёт, если абсциссу заменить модулем? А ординату? А если обе координаты заменить модулем?

Слайд 14

Исследование №2 Исследование зависимости расположения точек при замене координаты точки её модулем. Гипотеза: расположение точки в прямоугольной системе координат зависит от замены координаты точки её модулем. Эту гипотезу нужно подтвердить или опровергнуть. Для этого построим в системе координат точки вида N (| x |; y ) : А (|3|;4), В (|-3|;4) С (|-3|;-4), D (|3|;-4).

Слайд 15

у о х Д С 1 1 2 А В

Слайд 16

Построив точки, у меня возникло предположение, что точки вида N (| x |; y ) располагаются в правой полуплоскости системы координат. Чтобы подтвердить это, возьмём дополнительные точки M , K , L , E и построим их. М (|5|;-5) К (|-5|;3) L (|-3|;2) Е (|2|;-5)

Слайд 17

у L о х Е 1 1 2 М К

Слайд 18

Вывод: Гипотеза подтвердилась: положение точек в прямоугольной системе координат изменилось. Если абсциссу точки заменить модулем, то точки будут располагаться в правой полуплоскости системы координат. Если ординату точки заменить модулем, то точки будут располагаться в верхней полуплоскости. Если же заменить модулем обе координаты, то точки будут располагаться в первой четверти.

Слайд 19

Использованные ресурсы: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. Математика 6. И.И. Зубарева, М.С. Мильштейн, М.Н. Шанцева. Математика 6.Самостоятельные работы. Энциклопедия для детей. Аванта. Математика. Том 11. http://collection.edu.yar.ru/catalog/rubr/ http://festival.1september.ru/articles/ Слайд из презентации учителя математики МОУ гимназия №1 г. Полярные зори Савченко Е. М. на сайте: http://www.it-n.ru/profil.aspx?cat_no=692&d_no=9658

Суммирование по модулю в Excel

Мой коллега однажды спросил меня, как использовать формулы Excel, чтобы вычислить сумму абсолютных значений в указанном диапазоне. Этот вопрос довольно регулярно всплывает на форумах, и многие пользователи часто испытывают большие трудности при работе с этим, казалось бы, простым действием.

К сожалению, в Microsoft Excel не существует встроенной функции способной выполнить суммирование по модулю, поэтому Вы должны немного поработать, чтобы получить правильный ответ.

Вот наши данные:

Мы видим, что сумма чисел в диапазоне A2:A8 дает результат -60:

= -10 + 10 + 20 + -20 + 30 + -40 + -50 = -60

Если бы мы рассматривали абсолютные значения (числа без знака “-“), то результат был бы 180:

= 10 + 10 + 20 + 20 + 30 + 40 + 50 = 180

Вариант 1 – Использование вспомогательного столбца

На мой взгляд, лучший способ подсчета суммы абсолютных значений в Excel – использовать вспомогательный столбец. В ячейку B2 вводим формулу:

=ABS(A2)

Затем протянем ее до ячейки B8. Функция ABS возвращает модуль числа. Так что теперь мы можем просто просуммировать диапазон B2:B8 и это даст нам результат 180.

=СУММ(B2:B8)
=SUM(B2:B8)

В моем примере диапазон A1:A8 – это полноценная таблица данных. Поэтому при добавлении формулы =ABS(A2) в ячейку В2, Excel расширил таблицу и автоматически заполнил все ячейки в столбце. Далее я перешел на вкладку Конструктор (Design), которая находится в группе вкладок Работа с таблицами (Table tools), и поставил галочку возле опции Строка итогов (Total Row). Все значения в столбце B автоматически просуммировались, а результат отобразился в отдельной строке.

Для подсчета суммы в строке итогов используется функция ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ (SUBTOTAL). Это универсальная функция, которая может выполнять суммирование, так же как и функция СУММ (SUM). Но есть и существенные отличия, например, ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ (SUBTOTAL) полностью игнорирует числа, которые были скрыты вручную или с помощью фильтрации. Есть еще несколько отличий, но это мало относится к теме данной статьи.

Способ со вспомогательным столбцом хорош тем, что дает большую гибкость, если необходимо использовать данные в дальнейшем, например, в виде таблицы или сводной таблицы. Кроме этого, вспомогательный столбец может использоваться для сортировки чисел по модулю.

Это без сомнения очень хороший способ, но что же делать, когда необходимо все уместить в одну формулу без каких-либо вспомогательных столбцов?

Вариант 2 – Использование функции СУММ в формуле массива или СУММПРОИЗВ

Использовать формулу массива или СУММПРОИЗВ (SUMPRODUCT) для решения такой задачи – очень грубый подход!

Функция СУММ в формуле массива:

=СУММ(ABS(A2:A8))
=SUM(ABS(A2:A8))

При вводе формулы массива не забудьте нажать Ctrl+Shift+Enter.

Формула с СУММПРОЗВ:

=СУММПРОИЗВ(ABS(A2:A8))
=SUMPRODUCT(ABS(A2:A8))

Учитывая, что можно использовать более эффективную функцию СУММЕСЛИ (SUMIF), чтобы получить тот же результат (см. вариант 3), путь с использованием этих двух формул становится непредпочтительным. Обе формулы прекрасно работают с небольшими диапазонами данных, уверен, вы даже не ощутите разницу. Если же понадобится просуммировать большое количество значений, скорость работы станет заметно замедляться.

Вариант 3 – Использование СУММЕСЛИ

Думаю, что данный подход самый удобный из всех ранее перечисленных. С помощью функции СУММЕСЛИ (SUMIF) значения делятся на 2 массива: с положительными и отрицательными числами и суммируются. Ноль по понятным причинам игнорируется. Затем мы просто вычитаем из положительной суммы отрицательную (т.е. суммируем их). Формула выглядит вот так:

=СУММЕСЛИ(A2:A8,">0")-СУММЕСЛИ(A2:A8,"<0")
=SUMIF(A2:A8,">0")-SUMIF(A2:A8,"<0")

Можно записать и в таком виде:

=СУММ(СУММЕСЛИ(A2:A8,{">0","<0"})*{1,-1})
=SUM(SUMIF(A2:A8,{">0","<0"})*{1,-1})

Если мы возьмем первый вариант формулы, получим следующее:

= 60-(-120) = 180

Для полноты картины, подсчитаем сумму с помощью второго варианта:

= СУММ({60,-120}*{1,-1}) = СУММ({60,120}) = 180

Думаю, что теперь вы знаете все основные способы подсчета суммы абсолютных значений в Excel. Если вы используете другой подход для суммирования чисел по модулю, поделитесь им в комментариях. Удачи!

Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

Решение уравнений с модулем (часть 1)

Уравнения с модулем с решениями (часть 1)

перейти к содержанию

Свойства модуля (справочник)

1. Найдите корни уравнения

Решение

Так как и для любого , то . Поэтому и уравнение принимает вид , откуда . Условию удовлетворяет только число .

Ответ:

2. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru Раскроем модуль. Для этого рассмотрим первый случай: . Тогда . Корнями этого уравнения являются числа и . После проверки остается только .

Второй случай: . Тогда , откуда . Условию удовлетворяет только .

Сумма корней равна

Ответ:

3. Найдите произведение корней уравнения .

Решение

Пусть , тогда , откуда или , то есть или . Первое уравнение имеет корни , второе уравнение корней не имеет, так как . Значит, произведение корней исходного уравнения равно .

Ответ:

4. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru , что равносильно при условии . Корнями первого уравнения совокупности являются числа и , корнями второго — числа и . Неравенству удовлетворяют только и . Значит, сумма корней исходного уравнения равна .

Ответ: 

5. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения

Решение

. Пусть , тогда и , то есть или . Первое уравнение корней не имеет, так как . Из второго следует, что . Сумма этих корней равна .

Ответ: 

6. Найдите сумму корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности , откуда  Избавимся от знаменателя: .

Ответ: 

7. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor. ru Уравнение равносильно совокупности , откуда . Сумма корней равна .

Ответ: 

8. Решите уравнение

Решение

Нули модулей равны и . Рассмотрим три случая: . Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай.

, то есть — любое число. С учетом ограничения случая, .

Второй случай. 

. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. 

, то есть корней нет.

Ответ: 

9. Найдите сумму корней уравнения

Решение

Нули модулей равны и . Рассмотрим три случая: . Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай.

. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Второй случай. 

. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. 

. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Сумма корней исходного уравнения равна .

Ответ: 

10. Найдите произведение корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности , откуда . Произведение корней равно .

Ответ: 

смотрите раздел «Математика»

 

{i = {(x_0 + \ lfloor \ frac {x-x_0 + 1} {m} \ rfloor m)}} f (x_0 + i) = \\ f (x_0) + f (x_0 + m) + f (x_0 + 2м) + f (x_0 + 3м) & \ quad + \ ldots + f \ left (x_0 + \ left \ lfloor \ frac {x-x_0 + 1} {m} \ right \ rfloor m \ right) \ end {align *} $$

Детали:

Если мы знаем функцию $ f $ и можем найти сумму ее членов (определенную как $ S_f $), как найти сумму, но с пренебрежением некоторыми множителями (определяемыми как $ MS_f $, где M представляет собой модульное выражение)?

Какая связь с функцией суммы ($ S_f $)? (Я думаю, что здесь используется корень единства, но не знаю как.{3 + 2j-1}} {(3 + 2j-1)!} = \ Ch (x) -1 \ end {align *} $$

Модульная арифметика | Britannica

Модульная арифметика , иногда называемая арифметикой модуля или арифметика часов , в ее наиболее элементарной форме, арифметика, выполняемая со счетом, который сбрасывается до нуля каждый раз, когда определенное целое число N больше единицы , известный как модуль (mod), был достигнут. Примерами являются цифровые часы в 24-часовой системе, которые сбрасываются на 0 в полночь ( N = 24), и круговой транспортир с отметкой 360 градусов ( N = 360).Модульная арифметика важна в теории чисел, где она является основным инструментом при решении диофантовых уравнений (особенно тех, которые ограничиваются целочисленными решениями). Обобщения предмета привели к важным попыткам 19 века доказать последнюю теорему Ферма и к развитию важных разделов современной алгебры.

В модульной арифметике (с модулем N ) единственными числами являются 0, 1, 2,…, N — 1, и они известны как остатки по модулю N .Остатки складываются путем вычисления обычной арифметической суммы, а затем вычитания модуля из суммы столько раз, сколько необходимо для уменьшения суммы до числа M от 0 до N — 1 включительно. M называется суммой чисел по модулю N . Используя обозначения, введенные немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом в 1801 году, можно записать, например, 2 + 4 + 3 + 7 ≡ 6 (mod 10), где символ ≡ читается как «конгруэнтно».

Примеры использования модульной арифметики встречаются в древних китайских, индийских и исламских культурах.В частности, они возникают в календарных и астрономических задачах, поскольку они связаны с циклами (искусственными или естественными), но модульная арифметика также встречается в чисто математических задачах. Пример из китайской книги 3-го века нашей эры, Сунь Цзы Sunzi suanjing ( Математическое руководство Мастера Сунь ), спрашивает

У нас есть ряд вещей, но мы не знаем точно, сколько. Если мы посчитаем их по три, у нас останется два. Если считать до пяти, у нас останется три.Если посчитать до семерок, останется две. Сколько всего там вещей?

Это эквивалентно запросу решения одновременных сравнений X 2 (mod 3), X 3 (mod 5) и X 2 (mod 7), одно решение которых равен 23. Общее решение таких задач стало известно как китайская теорема об остатках.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Швейцарский математик Леонард Эйлер был пионером современного подхода к конгруэнтности около 1750 года, когда он явно представил идею сравнения по модулю числа N и показал, что эта концепция разделяет целые числа на классы конгруэнтности N или классы остатков.Два целых числа находятся в одном классе сравнения по модулю N , если их разность делится на N . Например, если N равно 5, то −6 и 4 являются членами одного и того же класса сравнения {…, −6, −1, 4, 9,…}. Поскольку каждый класс сравнения может быть представлен любым из его членов, этот конкретный класс может называться, например, «классом сравнения −6 по модулю 5» или «классом сравнения 4 по модулю 5».

В системе Эйлера любые числа N , которые оставляют разные остатки при делении на N , могут представлять классы сравнения по модулю N .Таким образом, одной из возможных систем для арифметики по модулю 5 может быть −2, −1, 0, 1, 2. Добавление классов сравнения по модулю N определяется путем выбора любого элемента из каждого класса, сложения элементов вместе, а затем взятия класс сравнения по модулю N , которому принадлежит сумма в качестве ответа. Эйлер аналогичным образом определил вычитание и умножение классов вычетов. Например, чтобы умножить −3 на 4 (модуль 5), сначала умножьте −3 × 4 = −12; так как −12 ≡ 3 (mod 5), решение равно −3 × 4 ≡ 3 (mod 5).Эйлер показал, что можно получить тот же результат с любыми двумя элементами из соответствующих классов конгруэнтности.

Обратите внимание, что, когда модуль N не является простым, деление не всегда возможно. Например, 1 ÷ 2 3 (mod 5), поскольку 2 × 3 ≡ 1 (mod 5). Однако уравнение 1 ÷ 2 X (mod 4) не имеет решения, поскольку не существует X , такого что 2 × X ≡ 1 (mod 4). Когда модуль N не является простым, можно разделить класс, представленный как 70 , на класс, представленный как s , тогда и только тогда, когда s и N являются взаимно простыми (то есть, если их Единственным общим множителем является цифра 1). Например, 7 ÷ 4 4 (mod 9), поскольку 4 × 4 ≡ 7 (mod 9) — в этом случае 7 и 9 взаимно просты.

Алгоритм

— максимальная сумма подмассива по модулю M

Здесь уже перечислено множество отличных решений, но я хотел добавить одно, которое имеет время выполнения O (nlogn) без использования сбалансированного двоичного дерева, которого нет в стандартной библиотеке Python. Это решение не моя идея, но мне пришлось немного подумать, почему оно сработало. Вот код, объяснение ниже:

  def maximumSum (a, m):
    prefixSums = [(0, -1)]
    для idx, el в перечислении (a):
        prefixSums.append (((prefixSums [-1] [0] + el)% m, idx))
    
    prefixSums = отсортировано (prefixSums)
    maxSeen = prefixSums [-1] [0]
    
    для (a, a_idx), (b, b_idx) в zip (prefixSums [: - 1], prefixSums [1:]):
        если a_idx> b_idx и b> a:
            maxSeen = max ((a-b)% m, maxSeen)
            
    вернуть maxSeen
  

Как и в других решениях, мы сначала вычисляем суммы префиксов, но на этот раз мы также отслеживаем индекс суммы префиксов. Затем мы сортируем суммы префиксов, так как мы хотим найти наименьшую разницу между суммами префиксов по модулю m — сортировка позволяет нам просто смотреть на соседние элементы, поскольку они имеют наименьшее различие.

На этом этапе вы можете подумать, что мы пренебрегаем существенной частью проблемы — нам нужна наименьшая разница между суммами префиксов, но большая сумма префиксов должна стоять перед меньшей суммой префиксов (что означает, что у нее меньший индекс). В решениях, использующих деревья, мы обеспечиваем это, добавляя суммы префиксов одну за другой и пересчитывая лучшее решение.

Однако оказывается, что мы можем смотреть на соседние элементы и просто игнорировать те, которые не удовлетворяют нашему требованию индекса.Это сбивало меня с толку на некоторое время, но главное понимание состоит в том, что оптимальное решение всегда будет исходить из двух соседних элементов . Докажу от противного. Предположим, что оптимальное решение получается из двух несмежных префиксных сумм x и z с индексами i и k, где z> x (отсортировано!) И k> i:

  х . {2 \ pi i (am) / q},
$$
 где $ \ chi (m, q) $
числовой символ по модулю $ q $.{2}) / p},
$$
 где $ (a, p) = 1 $.
Изучая свойства суммы (*), Гаусс нашел точное выражение для модуля этой суммы:
 $$
| \ тау _ {а} (\ чи) | = \ sqrt p.
$$
 Он также решил более сложную задачу определения знака $ \ tau _ {a} (\ chi) $,
и показал, что
 $$
\ tau _ {a} (\ chi) = \ sqrt p \ \
\ textrm {if} p \ Equiv 1 (\ mathop {\ rm mod} 4)
$$
 и
 $$
\ tau _ {a} (\ chi) = i \ sqrt p \ \
\ textrm {if} p \ Equiv 3 (\ mathop {\ rm mod} 4).$$
 Гаусс использовал свойства суммы (*) для решения некоторых задач теории чисел; частный случай - одно из доказательств квадратичного закона взаимности.
 Значение сумм Гаусса в теории чисел стало очевидным только в 1920-х годах. В то время Г. Вейль использовал общие тригонометрические суммы (ср. Сумму Вейля) в своем исследовании о равномерном распределении. Одновременно с этими суммами И.М.Виноградов получил оценку сверху наименьшего квадратичного невычета по модулю $ p $. {2 \ pi i (am) / q} $,
которое следует из свойств сумм Гаусса общего типа, составляет основу доказательства функционального уравнения для $ L $ -
функция.
 Эти идеи эффективно применяются в методе большого сита и при переходе от оценки сумм аддитивных знаков к оценке сумм мультипликативных знаков. Суммы Гаусса также используются для представления $ L $ -
функции конечными суммами. Такое представление используется в задаче о числе классов делителей кругового поля.
 Проблема знака суммы Гаусса $ \ tau _ {a} (\ chi) $
принадлежащая квадратичному характеру, может быть сформулирована в более общем виде для суммы Гаусса, принадлежащей характеру $ \ chi $
порядка $ k \ geq 3 $.
Гипотеза Куммера о кубических суммах Гаусса с простым модулем $ p \ Equiv 1 $ (
$ \ mathop {\ rm mod} 3 $),
а также его обобщение на $ k> 3 $,
возникает.
 Список литературы 
 [1]
 C.F. Гаусс, "Disquisitiones Arithmeticae", Yale Univ. {*} $
кольца вычетов $ \ mathbf Z (q) $,
я.{*} \ rightarrow T $,
где $ T = \ {{z \ in \ mathbf C}: {| z | = 1} \} $.
Учитывая такой $ \ chi $
он расширяется до функции на $ \ mathbf Z $
установив
 $$
\ chi (a) = \ chi (\ overline {a} \;) \ \
\ textrm {if} (a, q) = 1,
$$
 $$
\ chi (a) = 0 \ \ textrm {if} (a, q)> 1.
$$
 Здесь $ \ overline {a} \; $
обозначает класс вычетов $ a $
по модулю $ q $.
Эта функция $ \ chi $
на $ \ mathbf Z $
тогда удовлетворяет $ \ chi (ab) = \ chi (a) \ chi (b) $,
$ \ chi (a) \ neq 0 $
тогда и только тогда, когда $ (a, q) = 1 $,
$ \ chi (a) = \ chi (b) $
если $ a \ Equiv b $
$ \ mathop {\ rm mod} q $,
и, наоборот, любая такая функция является числовым символом по модулю $ q $.Есть $ \ phi (q) $
из них, где $ \ phi $
- функция Эйлера. Вместо "числового символа по модулю q" можно также увидеть символ остатка фразы по модулю $ q $.
или характер Дирихле по модулю $ q $.
  Как цитировать эту запись:  
 Сумма Гаусса.  Математическая энциклопедия.  URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Gauss_sum&oldid=47051
% PDF-1.2
%
1298 0 объект
>
эндобдж
 xref
1298 74
0000000016 00000 н.
0000001835 00000 н.
0000001938 00000 н.
0000002715 00000 н.
0000003010 00000 н.
0000003120 00000 н.
0000003489 00000 н.
0000003613 00000 н.
0000003734 00000 н.
0000003758 00000 н.
0000005018 00000 н.
0000005318 00000 п.
0000006443 00000 н.
0000006574 00000 н.
0000006598 00000 н.
0000007801 00000 н.
0000007825 00000 н.
0000008964 00000 н.
0000008988 00000 н.
0000010145 00000 п.
0000010274 00000 п.
0000010298 00000 п.
0000011406 00000 п.
0000011522 00000 п.
0000011546 00000 п.
0000012637 00000 п.
0000012661 00000 п.
0000013771 00000 п.
0000014039 00000 п.
0000014332 00000 п.
0000014356 00000 п.
0000015472 00000 п.
0000015494 00000 п.
0000015516 00000 п.
0000015539 00000 п.
0000016066 00000 п.
0000016090 00000 н. 0000017590 00000 п.
0000017614 00000 п.
0000018970 00000 п.
0000018994 00000 п.
0000020794 00000 п.
0000020817 00000 п.
0000021484 00000 п.
0000021508 00000 п.
0000024199 00000 п.
0000024223 00000 п.
0000026004 00000 п.
0000026027 00000 н.
0000026677 00000 п.
0000026701 00000 п.
0000031678 00000 п.
0000031702 00000 п.
0000036759 00000 п.
0000036783 00000 п.
0000038786 00000 п.
0000038809 00000 п.
0000039324 00000 п.
0000039348 00000 п.
0000040775 00000 п.
0000040799 00000 п.
0000045033 00000 п.
0000045057 00000 п.
0000049552 00000 п.
0000049576 00000 п.
0000053676 00000 п.
0000053700 00000 п.
0000058375 00000 п.
0000058399 00000 н.
0000061100 00000 п.
0000061124 00000 п.
0000062656 00000 п.
0000002004 00000 н.
0000002692 00000 н.
трейлер
]
>>
startxref
0
%% EOF 
1299 0 объект
>
эндобдж
1300 0 объект
>
эндобдж
1370 0 объект
>
поток
H} _HSQǿ͕ * Wgq'X2% Iof = ݌4 E \ AnN * 50D + |
s ׃ C?}?; @ -,
 последовательностей и рядов - Суммирование функции по модулю.
 Этот вопрос вряд ли поможет будущим посетителям; это актуально только для небольшой географической области, определенного момента времени или чрезвычайно узкой ситуации, которая обычно не применима к всемирной аудитории Интернета. Чтобы сделать этот вопрос более применимым, посетите Справочный центр.
 Закрыт 9 лет назад.{i = {(x_0 + \ lfloor \ frac {x-x_0 + 1} {m} \ rfloor m)}} f (x_0 + i) = \\\\ f (x_0) + f (x_0 + m) + f (x_0 + 2m) + f (x_0 + 3m)
& \ quad + \ ldots + f \ left (x_0 + \ left \ lfloor \ frac {x-x_0 + 1} {m} \ right \ rfloor m \ right)
\ end {align *} $$
  Детали: 
 Я также разместил этот вопрос в Math.StackExchange (примерно за день до этого). Это по этой ссылке.
 Если мы знаем функцию $ f $ и можем найти сумму ее членов (определенную как $ S_f $), как найти сумму, но с пренебрежением некоторыми множителями (определяемыми как $ MS_f $, где M представляет собой модульное выражение)?
 Какая связь с функцией суммы ($ S_f $)? (Я думаю, что здесь используется корень единства, но не знаю как. i (x + x0))
 долларов
, но я точно не знаю.{3 + 2j-1}} {(3 + 2j-1)!} = \ Ch (x) -1
\ end {align *} $$
 Калькулятор по модулю
 [Примеры модификаций] 
 Этот калькулятор по модулю - удобный инструмент, если вам нужно найти результат операций по модулю. Все, что вам нужно сделать, это ввести начальное число  x  и целое число  y , чтобы найти число по модулю  r , согласно  x mod y = r . Читайте дальше, чтобы узнать, что такое операции по модулю, как вычислить по модулю и как правильно использовать этот калькулятор.
 Что такое операции по модулю? 
 Представьте себе часы, висящие на стене.Допустим, уже поздно - 23 часа. Вы задаетесь вопросом, во сколько вы проснетесь после 8 часов сна. Вы не можете просто прибавить 8 к 11, потому что нет такого времени, как 19 часов утра. Чтобы найти правильный ответ, вам нужно выполнить операцию по модулю (mod 12) - вы складываете эти два числа и продолжаете вычитать 12, пока не получите число меньше 12. В этом случае 7. Вы только что подсчитали, что проснетесь в 7 утра.
 Операции по модулю в случае часов настолько интуитивно понятны, что мы их даже не замечаем.В математике есть много типов более сложных операций по модулю, которые требуют большего осмысления. Мы можем записать это:
  x модуль y = r 
 истинно, если такое целое число  q  (называемое частным  ) существует, тогда:
  y * q + r = x .
 В противном случае число  r  - это  остаток  от деления, где  x  - это  дивиденд , а  y  -  делитель .
 Если определение по модулю вам не нравится, и вы все еще не знаете, как вычислить по модулю, посмотрите следующий абзац, и все должно стать кристально ясным.
 Что такое сравнение по модулю? 
 Два числа  a  и  b  считаются равными  по модулю n , если их разность  a - b  целиком делится на  n  (поэтому  (a - b)  кратно  n  ).
 Математически формула сравнения по модулю записывается как:
  a ≡ b (мод. N) 
 и  n  называется модулем сравнения.
 С другой стороны, вы можете сказать, что  a  и  b  считаются равными  по модулю n , когда они оба имеют одинаковый остаток при делении на n:
  мод n = r 
  b мод n = r 
, где r - общий остаток.
 Итак, проще говоря - совпадение по модулю происходит, когда два числа имеют одинаковый остаток после одного и того же делителя, например:
24 по модулю 10 и 34 по модулю 10 дают тот же ответ: 4.Следовательно, 24 и 34 сравнимы по модулю 10.
 Давайте посмотрим на другой пример:
  9 ≡ 21 (мод.6) ,
, потому что  21 - 9 = 12  делится на 6. Его также можно кратко записать как  6 | (21 - 9) . Или, что то же самое, 21 и 9 имеют одинаковый остаток, когда мы делим их на 6:
.
  9 мод 6 = 3 
  21 mod 6 = 3 
 Как вычислить по модулю - пример 
 Рассчитать модуль вручную - несложная задача.Просто следуйте инструкциям ниже!
  Начните с выбора начального числа  (перед выполнением операции по модулю). Допустим, 250. Это наши дивиденды.
  Выберите делитель.  Возьмем 24. Операция, которую мы хотим вычислить, будет тогда  250 mod 24  ( 250% 24 , если используется другое соглашение).
  Разделите одно число на другое с округлением в меньшую сторону: 250/24 = 10 .  Это частное. Кроме того, вы можете рассматривать эту операцию как целочисленное деление  на  - тип деления, при котором нам не важна дробная часть результата.
  Умножьте делитель на частное.  Итак, в нашем примере это  10 * 24 = 240 .
  Вычтите это число из вашего начального числа (делимого).  Здесь: 250 - 240 = 10 .
  Полученное число является результатом операции по модулю.  Мы можем записать это как 250 mod 24 = 10 .
 Как пользоваться нашим калькулятором модов? 10 mod 3 и другие примеры modulo 
 Определить по модулю с помощью нашего инструмента просто и удобно.Чтобы найти результат операций по модулю между целыми числами, вам необходимо:
  Введите начальное число - делимое - в первое поле . Возьмем пример из предыдущего абзаца, поэтому введите 250.
  Введите делитель . В нашем случае 24.
  Тадааа! Наш калькулятор по модулю вернет вам результат - остаток!  И это неудивительно, оно равно 10 - столько же, сколько мы рассчитывали ранее.
 Ниже вы найдете несколько типичных запросов, касающихся модуля:
 1 mod 1 = 0 (поскольку mod 1 всегда равен 0)
 1 мод 2 = 1
 1 мод 3 = 1
 5 мод 2 = 1
 5 мод 3 = 2
 6 мод 3 = 0
 7 мод 3 = 1
 10 мод 3 = 1
 18 мод 3 = 0
 100 мод 3 = 1
 100 мод 7 = 2
 Если вы не видите здесь тот, который хотите найти, воспользуйтесь нашим калькулятором по модулю!
 Модульная арифметика 
 Модульная арифметика - это, вообще говоря, арифметическая система для целых чисел, в которой числа «оборачивают» определенное число. Подведем итог тому, что мы узнали о различных представлениях операций по модулю - все приведенные ниже утверждения являются эквивалентами:
  A ≡ B (мод. C) 
  Мод C = B мод C 
  C | (А - В) 
  A = B + K * C , где  K  - некоторое целое число
 Мы также можем выполнять вычисления по модулю операций.
  1. Модульное сложение и вычитание 
  (A + B) мод C = (A мод C + B мод C) мод C 
  (A - B) мод C = (A мод C - B мод C) мод C 
 Итак, сумма по модулю суммы двух чисел равна сумме по модулю этих чисел, вычисленных отдельно, а затем умноженных на делитель по модулю.Первый этап делается для того, чтобы избавиться от частной части, а затем снова используется операция mod. Взгляните на пример:
 А = 11, В = 7, С = 4
  (11 + 7) по модулю 4 = (11 по модулю 4 + 7 по модулю 4) по модулю 4 
 левая часть уравнения:  (11 + 7) mod 4 = 18 mod 4 = 2 
 правая часть уравнения:  (11 mod 4 + 7 mod 4) mod 4 = (3 + 3) mod 4 = 6 mod 4 = 2 
 Аналогично, вычисления аналогичны для вычитания.
  2. Модульное умножение 
  (A * B) мод C = (A мод C * B мод C) мод C 
 Такое уравнение может быть полезно при работе с большими числами, и мы не можем сразу узнать модуль этого большого числа. Давайте посмотрим на тот же пример (A = 11, B = 7, C = 4) - можете ли вы найти результат 77 mod 4 на месте? 11 mod 4 и 7 mod 4 вычислить проще:
  (11 * 7) по модулю 4 = (11 по модулю 4 * 7 по модулю 4) по модулю 4 
 левая часть уравнения:  (11 * 7) mod 4 = 77 mod 4 = 1 
 правая часть уравнения:  (11 mod 4 * 7 mod 4) mod 4 = (3 * 3) mod 4 = 9 mod 4 = 1 
  3.100 мод 3 = (1 * 1) мод 3 = 1 
 Для некоторых конкретных случаев существуют даже более быстрые методы модульного возведения в степень (если B - степень двойки). Если вы хотите прочитать о них и попрактиковаться в модульной арифметике, ознакомьтесь с отличным учебником от Khan Academy под названием «Что такое модульная арифметика?»
 Неопределенность определения модуля 
 Слово modulo происходит от латинского слова  modus , означающего меру. Обычно, когда мы используем слово  по модулю , мы имеем в виду операцию  по модулю , например, e.грамм. 11 по модулю 3 равно 2, поэтому нужно просто найти остаток. В строгом понимании, модуль означает:
.
  По указанному модулю 
 или
  A то же самое, что B по модулю C, за исключением различий, учитываемых или объясняемых C 
 Это определение, о котором мы писали в сравнении по модулю абзаца.
 Однако,  по модулю  используется не только в математическом контексте.Иногда вы можете услышать это в повседневном разговоре, где это, вероятно, означает игнорирование, не учет чего-либо, с должным учетом чего-то, например:
  Дизайн был лучшим до сих пор, по модулю частей, которые все еще нуждаются в доработке. 
 Percent - символ операции по модулю 
 Операция по модулю часто используется в языках программирования. Для этого% - процент - используется для обозначения этой операции (или иногда оператор остатка для отрицательных чисел).Если вам интересно узнать о происхождении знака%, мы настоятельно рекомендуем вам прочитать небольшой абзац, который мы составили об истории знака процента.
 Вам нужно быть осторожным, так как при учете отрицательных значений есть некоторая двусмысленность с определением по модулю. Для остатка есть два возможных варианта - отрицательный и положительный, и результат зависит от реализации на выбранном языке программирования.
 Приложения Modulo 
 На первый взгляд они могут быть неочевидными, но существует множество применений модуло - от повседневной жизни до задач по математике и естествознанию!
 Наиболее очевидным и известным примером является так называемая арифметика часов   🕞.Это может быть добавление часов, как в объяснении по модулю выше, или минут, или секунд!
Никто не скажет, что «у вас осталось  40 минут 90 секунд », верно? Единственный вариант - выполнить операцию по модулю и найти частное и остаток -  60 * 1 + 30 = 90 .  41 минута 30 секунд  звучит намного лучше.
 Операции по модулю используются для вычисления контрольных сумм серийных номеров.  Контрольные цифры  используются в основном в длинных числах, и это цифры, вычисляемые алгоритмом.Они готовы сообщить вам о возникающих ошибках, например от опечаток. Вы можете найти применение по модулю в:
  Контрольные цифры GTIN, UPC, EAN  используются для подтверждения целостности штрих-кода. В формуле для контрольных цифр используется модуль 10.
  Номера ISBN и ISSN , которые являются уникальными периодическими идентификаторами и идентификаторами книг, имеют модуль 11 или 10, а в формуле контрольной цифры применяется средний вес.
  IBAN  - Номера международных банковских счетов - используйте модуль 97, чтобы проверить, правильно ли клиент ввел номер.
  NPI  - национальный идентификатор провайдера США использует операцию по модулю 10 для вычисления десятой цифры.
 Поскольку контрольные цифры используются для выявления человеческих ошибок транскрипции, они часто используются для длинных серийных номеров. Другие примеры алгоритмов контрольных цифр с использованием операций по модулю:
 национальный идентификационный номер (например, в Исландии, Турции, Польше)
 фискальный идентификационный номер (Испания)
 идентификационный номер автомобиля (США)
 и многие, многие другие.
 Он применяется во многих научных областях, таких как компьютерная алгебра, криптография, информатика или простая школьная математика - как в алгоритме Евклида для вычисления наибольшего общего множителя.
 Modulo полезен, когда вам нужно что-то разделить. Примером из реальной жизни может быть разделение пиццы с друзьями или семьей.
 Предположим, что в большой пицце для вечеринки 10 ломтиков, а вы - группа из трех человек.Сколько кусочков останется, если пиццу разделить поровну?
 Это как раз тот случай, когда можно использовать по модулю! 10 mod 3 = 1. Другими словами, 10, разделенное на 3, равняется 3, но остается 1 кусок 🍕. Это был не самый сложный пример, но мы надеемся, что вы видите полезность модуло.
  Кстати , а вы видели нашу коллекцию калькуляторов пиццы? У нас есть удивительный калькулятор вечеринки с пиццей, который может помочь оценить, сколько пиццы вам нужно заказать, а также инструменты, помогающие сравнить размеры пиццы - если вы когда-нибудь задумывались, что лучше купить две пиццы среднего размера или одну большую, пиццу Калькулятор сравнения - беспроигрышный вариант.Также мы приготовили калькуляторы для тех, кто хочет  испечь  идеальной пиццы самостоятельно!
 О нет. Мы проголодались. Давайте оставим это вкусное отвлечение и вернемся на Землю. Если вы заинтересованы в поиске более забавных приложений модульной арифметики, ознакомьтесь с этим сообщением в блоге betterexplained.
РубрикаРазное
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя * 
Email * 
Сайт