Сумма коэффициентов в квадратном уравнении – Свойства коэффициентов квадратного уравнения — Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

где x{\displaystyle x} — неизвестное, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} — коэффициенты, причём a≠0.{\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом[1].

Корень — это значение переменной x{\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия[1]:

  • a{\displaystyle a} называют первым или старшим коэффициентом,
  • b{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при x{\displaystyle x},
  • c{\dis

ru.wikipedia.org

Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида , то есть при чётном , где
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

Действительно, подставим в вышеприведённую универсальную формулу (1) корней уравнения указанное соотношение:

Для приведённого квадратного уравнения эта формула принимает вид:

.

Также при чётном удобнее вычислять значение не целого дискриминанта, а его четверти:

или, если уравнение приведённое:

www.sites.google.com

Урок по алгебре в 8-м классе “Свойства коэффициентов квадратного уравнения”

Цели урока:

Образовательная (учебная).

Сформировать умения и навыки метода устного решения квадратных уравнений.

Воспитательные.

— Формирование мировоззрения:

Показать учащимся, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи.

— Формирование общественных навыков:

  1. Вычислительных;
  2. Эстетических навыков при оформлении записей;
  3. Приобретение навыков исследовательской работы.

— Формирование качеств личности.

  1. Трудолюбия;
  2. Самостоятельности;
  3. Ответственности за принятое решение.

Развивающие задачи:

  1. Развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать;
  2. Развитие творческой деятельности: интуиции, смекалки.

Актуализация знаний.

На доске записано: ах2 + bх + с, где а 0

— Что написано на доске? (Квадратный трехчлен)
— А теперь что написано на доске? ах

2 + bх + с = 0, где а 0 (Квадратное уравнение)
— Всегда ли имеют ли корни квадратный трехчлен и квадратное уравнение? (Нет, не всегда)
— От чего зависит количество корней? (От дискриминанта)
— Как найти дискриминант квадратного трехчлена или квадратного уравнения? (Д = в2 – 4ас)
— Сколько корней в зависимости от дискриминанта может иметь квадратный трехчлен или квадратное уравнение? (Два различных корня, два одинаковых корня или нет корней).
— Как найти корни квадратного трехчлена или квадратного уравнения?1,2 = )
— По какой формуле можно квадратный трехчлен разложить на линейные множители? (ах2 + bх + с =а(х – х1)(х – х2))

1. Найдите корни квадратного трехчлена: 5х

2 + 8х + 3;
(Ответ: )

2. Решите квадратное уравнение: х2 + 6х + 8 = 0;
(Ответ: -4 и -2)

3. Разложите на линейные множители квадратный трехчлен: 3х2 – 10х + 8;
(Ответ: 3(х — 2)(х — ))

Введение знаний.

— Решая математические задачи, часто приходится встречаться с квадратными уравнениями. Поэтому помимо основных формул для вычисления корней таких уравнений полезно знать методы устного решения. Это помогает не только экономить время, но и развивать внимание. Конечно, не каждое квадратное уравнение можно решить с помощью свойства его коэффициентов, но в школьных учебниках многие уравнения решаются таким способом.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть ах2 + bх + с = 0, где а 0

  1. Если а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = ;
  2. Если а + с = b, то х1 = -1, х2 = -.

Пример 1. Решить уравнение: 341х2 + 290х – 51 = 0

Решение. Имеем: а = 341, b = 290, с = -51.

341 + (-51) = 290, т.е. а + с = b. Следовательно, х1 = -1, х2 = .

Пример 2. Решить уравнение: 67х2 – 75х + 8 = 0.

Решение. Замечаем, что 67 + 8 = 75, следовательно, х1 = = 1, х2 = .

Пример 3. Решить уравнение: 19х2 + 15х – 34 = 0.

Решение. Так как 19 + 15 – 34 = 0, то искомые числители дробей равны 19 и -34, тогда, х

1 = = 1, х2 = -.

Задания для закрепления.

  1. 2 – 5х + 2 = 0;
  2. 2 + 3х + 1 = 0;
  3. 2 + 9х –14 = 0;
  4. 2 + х – 6 = 0;
  5. 2 + 4х — 9 = 0;
  6. х2 + 29х – 30 = 0;
  7. х2 — 2000х – 2001 = 0;
  8. 72х2 + 69х – 3 = 0;
  9. 83х2 – 97х + 14 = 0.

Квадратное уравнение с коэффициентом 1 при х2( т.е.а = 1) называют приведенным квадратным уравнением.

— Посмотрите на таблицу. Все ли уравнения , записанные в ней, являются приведенными квадратными уравнениями?

Уравнение
a b c Д х1 х2 х12 х1 х2
х2 – 7х + 12 =0            
 
 
х2 – 8х + 12 =0                
х2 – 12х+11 =0                
х2 + 7х – 8 =0                
х2 – 5х + 12 =0                
х2 – х — 12 =0                
х2 – 2х – 3 =0  
 
           
х2 + 5х – 14 =0                
х2 + 18х+32 =0                
х2 +5х + 4 =0                
х2 – 7х + 10 =0                
х2 – 7х + 15 =0                
х2 + 2х — 8 =0                
х2 + 5х – 6 =0                
х2 + 3х — 4 =0            
 
 
х2 + 5х — 24 =0                
х2 – х – 20 =0                
х2 – 2х + 9 =0                
х2 + 9х + 14 =0                
х2 + 14х — 32=0                

(Далее решаем уравнения из таблицы и все последовательно заполняем)

Сообщаю, что домашнее задание – закончить заполнение таблицы.

Подведение итогов обучения.

urok.1sept.ru

Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов.

Урок в 8 классе по алгебре с применением технологии критического мышления в процессе преподавания математики.

Тема:   «Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов»

Учитель: Гусак Валентина Арсентьевна  КГУ «Новосветловская средняя  школа».

 

Цели: -расширить знания способов решения квадратных уравнений, повторить теорему Виета, изучить свойства коэффициентов;

-подготовить учащихся к выполнению теста;

-воспитывать коллективизм, поддержку в командах;

-развивать логическое мышление, быстроту, сообразительность;

-учить грамотной математической речи;

-формировать у учащихся умение прислушиваться к ответам своих товарищей,отстаивать свое решениеесли уверены вправильности ответа.

 

Оборудование и раздаточный материал: проектор, компьютер, карточки с заданиями и сигнальные карточки, стикеры, ватманы, магниты.

План урока:

Этапы урока

Время, мин

Приемы и методы

1. Этап актуализации знаний.

2.  Мотивация учебной проблемы

5

Беседа учителя

3.  Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

4. Проверка понимания материала темы.

15

 

 

8

Групповая работа. Изучение темы и составление постеров, вопросов высокого и низкого порядков.

5. Закрепление изученного материала.Формирование умений и навыков.

6. Ассоциации.

3

 

3

Защита постеров. Ответы на вопросы

7. Проверка усвоения знаний.

5

Ранжирование по признакам, работа по карточкам. Проверка решений.

8. Рефлексия

3

Пожелание. «Дартс».

 

Ход урока

Этап

Время

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Ресурсы

  1. Эмоциональный настрой на урок.

3

Встать в круг. Игра летает, не летает.

 На дворе весна, апрель месяц. Вернулись перелетные птицы.

На столах лежат карточки, найдите  какие перелетные птицы к нам прилетели, образуйте группы по 6 человек.(4 группы)

Формируют группы:

  скворцы, цапли, грачи, лебеди.

картинки с птицами

журавли, ласточки, скворцы, цапли.

  1. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы. Постановка целей

— я знаю что коэффициенты обладают определенными свойствами

— я могу применять данные свойства при  решении уравнений

-я могу объяснить товарищам в решении уравнений, как используются данные свойства.

2

  1. Мы с вами уже изучили некоторые способы решения квадратных уравнений. Обсудите в группе и назовите эти способы. Заполним «Понятийное колесо».
  2. Каждая группа назовите по одному способу. И заполните понятийное колесо.

Сегодня мы расширим представление о способах решения квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Сформулируем цели урока, чего вы должны достичь сегодня.

На кругах пишут способы решения квадратного уравнения:

1. Решение неполного квадратного уравнения

2. Выделения квадрата двучлена

3.С помощью формулы

4. Графически

5. С помощью теоремы Виета.

6. Используя формулы сокращенного умножения

7. По формуле с четным коэффициентом.

8. Другое.

 

круги по колличеству групп.

8 по 4=32, магниты 10 шт.

  1. Стадия осмысления.

 

 

Формирование и закрепление представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

5

 

 

 

 

10

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко.

Тема «Свойства коэффициентов» в курсе алгебры рассматривается после изучения темы «Решение квадратного уравнения по формуле».

прием «Зигзаг».

Каждый в группе получает ресурс, один из трех, пронумерованный 1,2,3.

Каждый знакомится с материалом и формируются новые группы по 6 человек (с №1, с №2, с №3).

на постерах

«Зигзаг» (один из вариантов использования приемов). Класс разделен на четверки, у каждого школьника номер от 1 до 4. Дети работают с текстом, каждый сосредоточен на части с соответствующим номером, затем первые номера объединяются с первыми, вторые – со вторыми и т.д. для обсуждения своей части текста,  составления схемы рассказа по теме и выбора представителя, который проведет итоговую презентацию. Вернувшись в свою группу, школьники по схеме рассказывают о своей части текста, слушают других, делают записи в тетрадях, затем эксперты от каждого номера проводят презентации своих тем, все остальные вносят уточнения и дополнения. 

Ресурсы (№1,№2, №3) на 4 группы.

  1. Проверка понимания материала темы

 

8

Группе «Цапля» предоставляется возможность защитить свой постер.

Остальным участникам подготовить по два вопроса  для осмысления и закрепления данной темы.

Защита постера и ответы на вопросы.

Когда целесообразней изучать свойство коэффициентов, до или после изучения теоремы Виета?

 

маркеры, 6 ватманов.

  1. Закрепление изученного материала. Формирование умений и навыков.

3

Найдите три признака, общих для данных свойств и три отличия.

Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а».  Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит единица  как, произносится как…и это слово  уже сегодня звучало в аудитории?

В природе существуют несколько видов цапли. Есть белая цапля и серая цапля. Как вы думаете, какую цаплю можно соотнести к какому из свойств?

 

Группы отвечают:

1. Используются все три коэффициента

2. К сумме (с+а)…. 3.Похожие формулы корней.

  1. (с+а)+-в  
  2. +-1  
  3. +-с/а.

 

Диалогическая беседа. Обсуждение слайда.

 

слайд «Цапля белая и серая»

6. Ассоциации

3

Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а».  Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит как, произносится как…«Цапля».

Обсудите и назовите, что есть общего и в чем различия между белой и серой цаплей? Назовите по оному признаку и соотнесите с цаплями.

Выглядит, как…

Звучит, как…

При условии: а+в+с=о

«Цапля» белая

 

 

 

При условии:

а-в+с=о

«Цапля» серая

 

 

 

 

 

7.Проверка усвоения знаний.

5

  1. -5х² — 8х – 3=0
  2. 3х2-10х+7=0
  3. 4х2-11х+7=0
  4. -2х2-4х+6=0
  5. 3х² + 11х – 4=0 
  6. х² — 4х +3=0 
  7. 3х² — 2х – 5=0
  8. х² + 7х – 8=0
  9. х² + 6х – 7=0 
  10. х² — 7х + 10=0

 

Выполните задание. Разложите в три колонки уравнения, решаемые по свойству «белой цапли», «серой цапли» и по формуле, через дискриминант.

Назови корни уравнений.

ресурс 4.

8. Рефлексия.

3

Подведем итог нашей работы в виде игры в «Дартс».

На стикерах напишите 1 пожелание и 1 замечание и приклейте в один из секторов.

Пишут пожелания.

стикеры, плакат.

 

 

 

 

РЕСУРС №1

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

 

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

 

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются  и отношение свободного члена к старшему коэффициенту .

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

D=b2-4ac= (-(a+c))2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=(a-c)2

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

 

 

 

В частности, если а=с, то корень будет один:  1.

 

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

 

 

 

 

 

 

 

РЕСУРС №2

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

 

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

 

Если в квадратном уравнении  сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту:  (речь идёт об уравнении с вещественными коэффициентами), то его корнями являются   и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту.

Доказательство

Способ 2. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

.

 

 

В частности, если , то корень будет один: 

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

 

 

 

 

 

 

РЕСУРС №3

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

 

Пусть дано квадратное уравнение  ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0.

  1. Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),
  2.  
  3.     

Доказательство

 Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + x + = 0.

 Согласно теореме Виета

x1x2 = 1•

x1 + x2 = — .

 

 

  1. Если же  а – b +  с = 0, откуда b = а + с, то:
  2.  
  3.  

 

Согласно теореме Виета

x1x2  = — 1• ( — ),

x1 + x2 = — а + = -1 – .

                            

т.е. х1 = -1 и х2 = — , что и требовалось доказать.

Просмотр содержимого документа
«Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов. »

Урок в 8 классе по алгебре с применением технологии критического мышления в процессе преподавания математики.

Тема: «Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов»

Учитель: Гусак Валентина Арсентьевна КГУ «Новосветловская средняя школа».

Цели: -расширить знания способов решения квадратных уравнений, повторить теорему Виета, изучить свойства коэффициентов;

-подготовить учащихся к выполнению теста;

-воспитывать коллективизм, поддержку в командах;

-развивать логическое мышление, быстроту, сообразительность;

-учить грамотной математической речи;

-формировать у учащихся умение прислушиваться к ответам своих товарищей,отстаивать свое решениеесли уверены вправильности ответа.

Оборудование и раздаточный материал: проектор, компьютер, карточки с заданиями и сигнальные карточки, стикеры, ватманы, магниты.

План урока:

Этапы урока

Время, мин

Приемы и методы

1. Этап актуализации знаний.

2. Мотивация учебной проблемы

5

Беседа учителя

3. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

4. Проверка понимания материала темы.

15

8

Групповая работа. Изучение темы и составление постеров, вопросов высокого и низкого порядков.

5. Закрепление изученного материала.Формирование умений и навыков.

6. Ассоциации.

3

3

Защита постеров. Ответы на вопросы

7. Проверка усвоения знаний.

5

Ранжирование по признакам, работа по карточкам. Проверка решений.

8. Рефлексия

3

Пожелание. «Дартс».

Ход урока

Этап

Время

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Ресурсы

  1. Эмоциональный настрой на урок.

3

Встать в круг. Игра летает, не летает.

На дворе весна, апрель месяц. Вернулись перелетные птицы.

На столах лежат карточки, найдите какие перелетные птицы к нам прилетели, образуйте группы по 6 человек.(4 группы)

Формируют группы:

скворцы, цапли, грачи, лебеди.

картинки с птицами

журавли, ласточки, скворцы, цапли.

  1. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы. Постановка целей

— я знаю что коэффициенты обладают определенными свойствами

— я могу применять данные свойства при решении уравнений

-я могу объяснить товарищам в решении уравнений, как используются данные свойства.

2

  1. Мы с вами уже изучили некоторые способы решения квадратных уравнений. Обсудите в группе и назовите эти способы. Заполним «Понятийное колесо».

  2. Каждая группа назовите по одному способу. И заполните понятийное колесо.

Сегодня мы расширим представление о способах решения квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

Сформулируем цели урока, чего вы должны достичь сегодня.

На кругах пишут способы решения квадратного уравнения:

1. Решение неполного квадратного уравнения

2. Выделения квадрата двучлена

3.С помощью формулы

4. Графически

5. С помощью теоремы Виета.

6. Используя формулы сокращенного умножения

7. По формуле с четным коэффициентом.

8. Другое.

круги по колличеству групп.

8 по 4=32, магниты 10 шт.

  1. Стадия осмысления.

Формирование и закрепление представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

5

10

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко.

Тема «Свойства коэффициентов» в курсе алгебры рассматривается после изучения темы «Решение квадратного уравнения по формуле».

прием «Зигзаг».

Каждый в группе получает ресурс, один из трех, пронумерованный 1,2,3.

Каждый знакомится с материалом и формируются новые группы по 6 человек (с №1, с №2, с №3).

на постерах

«Зигзаг» (один из вариантов использования приемов). Класс разделен на четверки, у каждого школьника номер от 1 до 4. Дети работают с текстом, каждый сосредоточен на части с соответствующим номером, затем первые номера объединяются с первыми, вторые – со вторыми и т.д. для обсуждения своей части текста, составления схемы рассказа по теме и выбора представителя, который проведет итоговую презентацию. Вернувшись в свою группу, школьники по схеме рассказывают о своей части текста, слушают других, делают записи в тетрадях, затем эксперты от каждого номера проводят презентации своих тем, все остальные вносят уточнения и дополнения.

Ресурсы (№1,№2, №3) на 4 группы.

  1. Проверка понимания материала темы

8

Группе «Цапля» предоставляется возможность защитить свой постер.

Остальным участникам подготовить по два вопроса для осмысления и закрепления данной темы.

Защита постера и ответы на вопросы.

Когда целесообразней изучать свойство коэффициентов, до или после изучения теоремы Виета?

маркеры, 6 ватманов.

  1. Закрепление изученного материала. Формирование умений и навыков.

3

Найдите три признака, общих для данных свойств и три отличия.

Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а». Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит единица как, произносится как…и это слово уже сегодня звучало в аудитории?

В природе существуют несколько видов цапли. Есть белая цапля и серая цапля. Как вы думаете, какую цаплю можно соотнести к какому из свойств?

Группы отвечают:

1. Используются все три коэффициента

2. К сумме (с+а)…. 3.Похожие формулы корней.

  1. (с+а)+-в

  2. +-1

  3. +-с/а.

Диалогическая беседа. Обсуждение слайда.

слайд «Цапля белая и серая»

6. Ассоциации

3

Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а». Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит как, произносится как…«Цапля».

Обсудите и назовите, что есть общего и в чем различия между белой и серой цаплей? Назовите по оному признаку и соотнесите с цаплями.

Выглядит, как…

Звучит, как…

При условии: а+в+с=о

«Цапля» белая

При условии:

а-в+с=о

«Цапля» серая

7.Проверка усвоения знаний.

5

  1. -5х² — 8х – 3=0

  2. 2-10х+7=0

  3. 2-11х+7=0

  4. -2х2-4х+6=0

  5. 3х² + 11х – 4=0

  6. х² — 4х +3=0

  7. 3х² — 2х – 5=0

  8. х² + 7х – 8=0

  9. х² + 6х – 7=0

  10. х² — 7х + 10=0

Выполните задание. Разложите в три колонки уравнения, решаемые по свойству «белой цапли», «серой цапли» и по формуле, через дискриминант.

Назови корни уравнений.

ресурс 4.

8. Рефлексия.

3

Подведем итог нашей работы в виде игры в «Дартс».

На стикерах напишите 1 пожелание и 1 замечание и приклейте в один из секторов.

Пишут пожелания.

стикеры, плакат.

РЕСУРС №1

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются  и отношение свободного члена к старшему коэффициенту .

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

D=b2-4ac= (-(a+c))2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=(a-c)2

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

В частности, если а=с, то корень будет один:  1.

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

РЕСУРС №2

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении  сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту:  (речь идёт об уравнении с вещественными коэффициентами), то его корнями являются   и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту.

Доказательство

Способ 2. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

.

В частности, если , то корень будет один: 

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

РЕСУРС №3

Использование частных соотношений коэффициентов.

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

  1. Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

то х1 = 1,

х2 =

Доказательство

Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + x + = 0.

Согласно теореме Виета

x1x2 = 1•

x1 + x2 = — .

  1. Если же а – b + с = 0, откуда b = а + с, то:

х1 = -1,

х2 = —

Доказательство

Согласно теореме Виета

x1x2 = — 1• ( — ),

x1 + x2 = — а + = -1 – .

т.е. х1 = -1 и х2 = — , что и требовалось доказать.

kopilkaurokov.ru

План-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему: «Решение квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов»

Материал к уроку по теме «Решение квадратных уравнений с помощью свойств   коэффициентов»

Тема: «Решение квадратных уравнений с помощью свойств   коэффициентов»

Тип занятия: Изучение нового материала

Вид занятия: Урок  углубления знаний

Возраст учащихся: 8 класс

Форма работы: индивидуальная, групповая

Оборудование: мультимедийный компьютер.

Методы обучения:

  • Познавательный
  • Частично-поисковый
  • Систематизирующий
  • Коммуникативный
  • Логический

Цель:

Формирование знания и умения решения квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов

Задачи:

Обучающие:

  • Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов
  • Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов на практике
  • Сформировать умения составлять алгоритмы для данного способа решения квадратных уравнений
  • Развитие вычислительных навыков
  • Развитие  кругозора учащихся

Развивающие:

  • Развитие умения наблюдать, анализировать.
  • Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.
  • Развитие коммуникативных качеств личности

Воспитательные:

  • Воспитание навыков сотрудничества в процессе совместной работы.
  • Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей
  • Воспитание самостоятельности, умения представлять выбранный способ решения уравнения

Структура занятия

  • Организационный момент. Вступительное слово учителя
  • Актуализация опорных теоретических и практических знаний о способах решения квадратных уравнений
  • Объяснение нового материала
  • Закрепление нового материала
  • Подведение итогов

Оформление доски: на доске написано

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезно решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче, эффективнее. Так вырабатывается опыт».                                                                                                                                                                                                                                                                                                У.У. Сойер    

Организационный момент.          

Вступительное слово учителя. Сообщается цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических и практических знаний – повторение формул корней квадратных уравнений, алгоритмов известных способов решения квадратных уравнений.

С целью повторения и закрепления теоретических знаний проводится математический диктант. Продолжите предложение:

1. Уравнение вида ax2  + bx + c = 0 называется…

2. Дискриминант находится по формуле  D =…

3.Формула корней квадратного уравнения  x =…

4. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет …

5. Если D , то уравнение …

6. Если D = 0, то уравнение….

7. Уравнение вида x2 +  qx +  p = 0 называется …

8. Уравнения вида ax2 = 0, ax2 + b x= 0, ax2 + c = 0, где а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 называются …

9.Если х1 и х2 – корни уравнения х2 + рх + q = 0, то справедливы формулы            x1 + x2 =… и  х1 х2 =…

Взаимопроверка (ответы проецируются на экран).

 Работа в группах (учащиеся делятся на 3 группы, назначается руководитель группы, который помогает организовать работу группы).

На экран проецируются в произвольном порядке различные виды квадратных уравнений. I группа выписывает и решает уравнения вида ax2+bx+c=0. II группа – приведённые квадратные уравнения.  III группа –   неполные квадратные уравнения.

1) 2×2 – 9x + 4 = 0                    4) x2 – 6x – 16 = 0                              7) 10 + 3x-x2 = 0 

2) x2 – 16x = 0                           5) 9 –  x2  = 0                                      8) 8×2 + 8 = 0

3) 7×2  +9x + 2 = 0                    6) 3 – 5x – 2×2 = 0                               9) x2-5x-1 = 0

Руководители групп делегируют учеников поочередно к доске для решения уравнений.

 Далее повторение следующих способов решения квадратных уравнений:

1. Способа разложения на множители

7х2 + 9х + 2 = 0

2. Способа выделения квадрата двучлена

3х2 + 2х – 5 = 0

3. Графического способа

х2 – 2х – 3 = 0

К доске выходят по одному представителю от каждой группы, остальные учащиеся решают в тетради. I группа решает квадратное уравнение разложением левой части уравнения на множители, II группа – выделением квадрата двучлена, III группа – графическим способом.

Проверка проводится по группам учащихся с одинаковыми заданиями.

1) Способом разложения на множители:

7х2 + 9х + 2 = 0

7х2 + 7х + 2х + 2 = 0

7х (х + 1) + 2(х +1) = 0

(7х + 2) (х + 1) = 0

7х + 2 = 0 или  х + 1 = 0

х = – 2/7 или х = – 1

Ответ: – 2/7; –1.

2) Способом выделения квадрата двучлена:

3х2 + 2х – 5 = 0

3(х2 + 2/3 х –5/3) = 0

х2 + 2* 1/3 х + 1/9 – 1/9 – 5/3=0

(х + 1/3)– 16/9 = 0

(х + 1/3)= 16/9

х + 1/3 = 4/3 или х + 1/3 = –4/3

х = –5/3 или х = 1

Ответ: –5/3; 1.

3) Графическим способом

 х2 – 2х – 3 = 0

у = х2 , графиком является парабола

у = 2х + 3, графиком является прямая

Прямая и парабола

имеют две общие точки,

абсциссы которых являются

корнями уравнения

х2 – 2х – 3 = 0

Ответ: – 1; 3.

Изучение нового материала. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений, который поможет быстро и, притом, устно найти корни уравнения. Его можно назвать так: свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Рассмотрим несколько квадратных уравнений и найдём сумму коэффициентов.

5×2 – 8x + 3 = 0                           x1 = 11   x2 = 3/5                             5 – 8 + 3 = 0

6×2 – 7x + 1 = 0                           x1 = 11   x2 = 1/6                             6 – 7 + 1 = 0

2×2 + 3x – 5 = 0                           x1 = 11   x2 = 5/2                             2 + 3 – 5 = 0

x2 – 8x + 7 = 0                             x1 = 11   x2 = 7                               1 – 8 + 7 = 0

Какой вывод вы можете сделать?

Вывод: Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то:

1) один корень равен 1;

2) другой корень равен C/а.

Решите устно (уравнения спроецированы на экран).

1) x2 + 23x – 24 = 0

2) 2×2 + x – 3 = 0

3) x2 + 15x – 16  = 0

4) 5×2 + x – 6 = 0

5) 7×2 – 9x + 2  = 0

6) 4×2 –  x – 3  = 0

7) 1999×2 – 2000x + 1 = 0

8) 839×2 – 448x – 391 = 0

Проверка: представители групп записывают варианты своих ответов на доске.

Решим письменно на доске и в тетрадях 3 квадратных уравнения (по одному уравнению каждой группе) по формулам корней квадратных уравнений:

1) 4×2  +7x +  3= 0

2) x2 – 9x – 10 = 0

3) 5×2 – 4x – 9 = 0

Попробуйте найти некую закономерность в корнях уравнений в соответствии с коэффициентами. Сделайте вывод.

Вывод: Если для коэффициентов выполняется равенство  а – в + с = 0, то один из корней уравнения равен  –1, а другой – с/а.

Решите устно уравнения (спроецированы на экран).

1) 11×2 + 27x + 16 = 0

2) x2 – 7x – 8 = 0

3) 9×2 + 10x + 1 = 0

4) 6×2 + 5x – 1 = 0

5) 7×2 +  x – 6= 0

6) 939×2 + 978х + 39 = 0

Проверка: Запись ответов на доске по группам.

Доказываем справедливость полученных выводов и записываем доказательство с примерами в  справочной тетради.

 Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх +  с = 0, а ≠ 0.

1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то    х1 = 1, х2  = . 

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

х2  +  х +   = 0.

Согласно теореме Виета

           

По условию а + b + с = 0, откуда  b =  – а – с. Значит,  

Получаем х1 = 1, х2  = , что и требовалось доказать.

2. Если а – b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2  = –  . 

Доказательство. По теореме Виета

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

 

т.е. х1 = – 1 и х2  =  , что и требовалось доказать.  

   Примеры

1. Решим уравнение 345х2  – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как  а +  b +  с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1  = 1,  х2  =  =     = –  

Ответ: 1; – .

2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0

Решение. Так как  а  –  b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то  х1= – 1,  х2= –    

Ответ: – 1; – .

Самостоятельная работа.

  1. 5х2 – 7х + 2 = 0                            5) 839х2 – 448х – 391 = 0
  2. 3х2 + 5х – 8 = 0                            6) 939х2 + 978х +39 = 0
  3. 11х2 + 25х – 36 = 0                      7) 313х2 + 326х + 13 = 0
  4. 11х2 + 27х +16 = 0                       8) 2006х2 – 2007х + 1 = 0

 Итог занятия.

Подвести итоги занятия.

Учитель сообщает о том, что есть еще несколько способов решения квадратных уравнений, которые будут рассмотрены на следующих занятиях, рекомендует поискать их в математических книгах.

nsportal.ru

этап. Свойства коэффициентов для быстрого нахождения корней квадратного уравнения.



этап. Свойства коэффициентов для быстрого нахождения корней квадратного уравнения.
Поиск Лекций

Свойство 1. Если в уравнении ах2 + bх +с = 0, а + b + с = 0, то один из его корней равен 1, а другой, в соответствии с теоремой Виета, равен с/а.

Доказательство: Имеем а+b+с=0, тогда b= — (а+с). Найдем дискриминант D=b2 -4ас= а2+2ас+с2 — 4ас = а2— 2ас+с2=(а — с)2. Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 1: х2 + х – 2 = 0; а = 1, в = 1, с = -2. Так как 1+1–2 =0, то х1 =1, х2 = -2.

Свойство 2. Если в уравнении ах2 + bх + с = 0, а – b + с = 0 или b=a+c, то один из его корней равен –1, а другой –с/а .

Доказательство: Имеем а — b+с=0, тогда b= а+с. Найдем дискриминант D=b2 -4ас= а2+2ас+с2 — 4ас = а2— 2ас+с2=(а — с)2. Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 2 : х2 – х – 2 = 0. Так как 1 – (- 1 ) + ( -2 ) = 0, то х1 = -1, х2 = 2.

 

Свойство 3. Если a = c, b = a2 + 1, то x1 = — a, x2 = -1/a.

Доказательство: Имеем a = c, b = a2 + 1. Найдем дискриминант D=b2 -4ас= а4+2а2+1— 4а2 = а4— 2а2+1=(а2 — 1)2. Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 3. 3х2+10х+3=0, а=3, b=10, с=3. Так как а=с=3, b=32+1=10, то х1= -3, х2=-1/3.

 

Свойство 4. Если a = c, b = -(a2 + 1), то x1 = a, x2 = 1/a.

Доказательство: Имеем a = c, b = -(a2 + 1). Найдем дискриминант D=b2 -4ас= а4+2а2+1— 4а2 = а4— 2а2+1=(а2 — 1)2. Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 4.2 — 10х+3=0, а=3,b=-10,с=3. Так как а=с=3, b=-(32+1)=-10, то х1=3, х2=1/3.

 

Приём переброски.

, первый коэффициент в качестве множителя «перебрасываем к -3», получим уравнение

Корни 9 и -2 . Делим числа 9 и ( -2) на 6:

Ответ:

6 этап. Практическая направленность.

Задания, при решении которых необходимо умение решать квадратные уравнения.

С помощью квадратных уравнений можно решать многие текстовые задачи. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары, решить ее можно с помощью квадратного уравнения.

На две партии разбившись, забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате в роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать воздух свежий оглашали…

Вместе сколько, ты мне скажешь, обезьян там было в роще?

Вывод:

1. Проводя исследование, выяснили, что кроме традиционных методов решения квадратного уравнения , которые мы узнали на уроках математики, существуют еще не менее интересные, а главные полезные свойства, практически устного решения квадратного уравнения.

2. Исследовательскую работу по математике планируем продолжать и далее.

3. Результаты своего исследования я представила в виде карточки-памятки( приложение 1) по решению квадратного уравнения.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

· А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С.Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса», «ИЛЕКСА»,Москва,2003 .

· М.Б.Миндюк, Н.Г.Миндюк «Разноуровневые дидактические материалы по алгебре, 8 класс», «ГЕНЖЕР»,Москва,2002.

· Л.В.Кузнецова, Л.О.Дедищева

· «Алгебра 7-9 .Тематические зачеты»

· Г.И.Ковалева «Уроки математики в 8 классе»,издательство «БРАТЬЯ ГРИНИНЫ»,Волгоград, 2001.

 


Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту



poisk-ru.ru

Корни квадратного уравнения | Формулы с примерами

Нахождение корней квадратного уравнения 8 класс

Формула
Корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно найти по
формуле: , где — дискриминант

квадратного уравнения.

Возможны три правила:

Правило 1
1.  D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня:

Пример
2x2 + 7x — 4 = 0;

a = 2, b = 7, c = -4.

D = 72 — 4 • 2 • (- 4) = 81 > 0,

x1 = -7 — ? 812 • 2 = — 4;

x2 = -7 + ? 812 • 2 = 12.

Правило 2
2.  D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень.

Пример
x2 — 4x + 4 = 0.

D = (-4)2 — 4 • 1 • 4 = 0, x = —  -4 2 • 1 = 2.

Заметим, что x2 — 4x + 4 = 0 x = 2.

Правило 3
3. D . Тогда уравнение не имеет корней, так как не существует ? D.

Пример
3x2 — x + 7 = 0.

D = (-1)2 — 4 • 3 • 7 = -83

С четным вторым коэффициентом

Правило, формулы
Если b = 2k, то корни уравнения ax2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле:

Где:

Пример 1
1.  x2 + 18x + 32 = 0.

a = 1; b = 18 => k = b2 = 9; c = 32.

D1 = D4 = ( 182)2 — 1 • 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:

x1 = -9 -? 491 = -16, x2 = -9 + 7 = -2.

Пример 2
2.  3x2 + 2x + 1 = 0.

a = 3; b2 = 1; c = 1.

D1 = D4 = 12 — 1 • 3 = -2

Пример 3
3.  196x2 + 28x + 1 = 0.

a = 196; b2 = -14; c = 1.

D1 = D4 = (- 14)2 — 196 = 0, значит уравнение имеет один корень.

x =  14 196 =  1 14.

Формулы по алфавиту:

© 2019 Все права защищены
При использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

formula-xyz.ru