Сумма геометрической и арифметической прогрессии: Алгебра: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметические,геометрические прогрессии — Математика

Если каждому натуральному числу n (n = 1, 2,…) поставлено в соответствие число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность x₁, x₂,…, x_n…, обозначаемая {x_n}. Числаx₁, x₂,…, x_n… называются членами последовательности, а член с номером n – ее n-м членом.

Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность {a_n}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии: a_n+1 = a_n + d. Число S_n называется суммой n первых членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность {b_n}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией.

Число q называется называется знаменателем прогрессии: b_n+1 = b_nq.

Число S_n называется суммой n первых членов геометрической прогрессии, P_n — произведением n первых членов геометрической прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии:

Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.

____________________________________________________________________________

Обозначим через a_i — члены арифметической прогрессии c разностью d, через b_i — геометрической, с знаменателем q.

Согласно формуле суммы арифметической прогрессии имеем S₃ = (2a₁ + 2d) · 3 / 2 = 21 или a₁ + d = 7.

По условию a₁ — 1, a₁ + d — 1, a₁ + 2d + 2 — три последовательных члена геометрической прогрессии. Используем свойство геометрической прогрессии:

(a₁ + d — 1)² = (a₁ + 2d + 2)(a₁ — 1).

После замены переменной a₁ = 7 — d и открытия скобок получаем квадратное уравнение

d² + 3d — 18 = 0, т.е. d₁ = 3, d₂ = -6.

Условию удовлетворяет лишь d₁ = 3 (т.к. арифметическая прогрессия возрастающая). В этом случае a₁ = 4. Находим b₁ = a₁ — 1 = 3. b₂ = a₁ + d — 1 = 6, откуда q = 2.

Наконец, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем:

S₈ = [b₁(q₈ — 1)] / (q — 1) = 765.

Ответ: S₈ = 765.

 

Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна ¹⁴/₉. Найти эти числа.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют арифметическую прогрессию, запишем их какa, a + d, a + 2d.

Согласно условию их сумма равна 2, т.е. 3a + 3d = 2, a = ²/₃ — d.

Согласно второму условию a² + (a + d)² + (a + 2d)² = ¹⁴/₉.

После раскрытия скобок получаем 27a² + 45d² + 54ad = 14.

Делаем замену переменной a = ²/₃ — d, раскрываем скобки и получаем:

d² = ¹/₉.

d = ±¹/₃.

Теперь легко найти числа, составляющие арифметическую прогрессию. При любом из значений d = ±¹/₃ числа будут равны ¹/₃, ²/₃, 1.

Ответ: ¹/₃, ²/₃, 1.

 

Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их какb, bq, bq², bq³.

По условию:

1) bq² = b + 9.

2) bq = bq³ + 18.

Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым:

9q + 18 = 0.

Откуда q = -2. Из первого уравнения находим b. b = 3.

Теперь легко найдем все числа: 3, -6, 12, -24.

Ответ: 3, -6, 12, -24.

 

Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.

___________________________________________________

Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на 7. Это числа 105 и 994 соотвественно. Запишем a₁ = 105, a_m = 994.

Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство прогрессии и получаем:

994 = 105 + 7(m — 1).

Откуда m = 128.

А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S₁₂₈ = (105 + 994) · 128 / 2 = 70336.

Ответ: 70336.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессия не будет для Вас сложной темой после просмотра следующих примеров. Внимательно ознакомьтесь с ответами среднего уровня сложности и выберите для себя самое необходимое. Если приведенные примеры для Вас тяжелые, прочитайте для начала простые примеры на арифметическую и геометрическую прогрессию (1 уровень).

Группа Б (уровень 2)

Пример 1. В арифметической прогрессии а₈=12,4; a₂₃=4,7. Вычислить сумму а₁₄+a₁₇.
Решение: Представим 14 член прогрессии через 8 и 17 через 23. В виде формул они будут запись
a₁₄=а₈+6d;
a₁₇=a₂₃-6d.
Находим искомую сумму членов прогрессии
a₁₄+a₁₇=a₈+6d+a₂₃-6d=a₈+a₂₃;
a₁₄+a₁₇=12,4+4,7=17,1.
Ответ: сумма равна 17,1.

 

Пример 2. В геометрической профессии b₄=3; b₁₇=14,7. Вычислить произведение b₉*b₁₂.
Решение: Учитывая свойства геометрической прогрессии, запишем ее 9 член через 4, а 12 через 17.


Видим, что при умножении знаменатель геометрической прогрессии упрощается

b₉*b₁₄=3*14,7=44,1. 2+6*2=24.
Из второго уравнения, учитывая значение первого члена, находим шаг прогрессии
d=24-2a₁=24-2*9=6.
По общей формуле вычисляем 6 член арифметической прогрессии
a₆=a₁+5d=9+5*6=39.
Ответ: a₆=39.

 

Пример 4. Сумма п первых членов арифметической прогрессии выражается формулой S_n=n²+5n. Вычислить a₁₀.
Решение: Задача идентичное предыдущей, только на этот раз попробуем решить по другой методике. Используем сумму арифметической прогрессии в виде

Подставим в эту формулу заданную зависимость суммы и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях n


Это и есть важная формула, из которой находим первый член прогрессии и разность (шаг)

d=2; a₁=5+d/2=6.
Вычисляем 10 член прогрессии
a₁₀=a₁+9d=6+9*2=24.
Ответ: a₁₀=24.

 

Пример 5. Вычислить сумму всех четных натуральных чисел до 100 включительно.
Решение: Первый элемент последовательности равен a₁=2, последний равен 100. От 1 до 10 имеем 5 четных чисел. В сотни всего 10 десятков то есть 10*5 четных чисел. Если рассуждать по-другому, то половина элементов до 100 четные, половина — нечетные.
100/2=50 – количество четных чисел.
Разница прогрессии равна 2.
Далее подставляем известные значения в формулу и вычисляем

Сумма четных чисел до 100 равна 2550.
Ответ: S₅₀=2550.

 

Пример 6. Вычислить сумму всех двузначных чисел.
Решение: Номер члена прогрессии будет равен его значению
a₁=1;… a₉₉=99.
Разница прогрессии равна единице d=1. Находим сумму арифметической прогрессии по формуле

Сумма равна 4950.
Ответ: S₉₉=4950.

 

Пример 7. В арифметической прогрессии а₂+a₁₁=10, а₅+a₆=13. Вычислить разницу прогрессии.
Решение: Аглоритм решения подобных примеров следующий: Выражаем члены прогрессии через один, имеющий наименьший порядковый номер
a₁₁=a₂+9d;
a₅=a₂+3d;
a₆=a₂+4d.
Подставляем ету запись в сумму членов прогрессии
a₂+a₂+9d=2*a₂+9d=10;
a₂+3d+a₂+4d=2*a₂+7d=13.
Есть два уравнения с двумя неизвестными. Для отыскания разницы прогрессии от первого уравнения вычитаем второе
9d-7d=2d=10-13;
2d=-3; d=-1,5.
Ответ: d=-1,5.

 

Пример 8. В арифметической прогрессии а₂+a₁₁=10, а₅+a₆=13. Вычислить a₁.
Решение: Задача аналогична предыдущей. Выражаем, для удобства, все члены суммы через 1 номер
a₂=a₁+d; a₁₁=a₁+10d;
a₅=a₁+4d; a₆=a₁+5d.
Подставляем в формулы и составляем уравнение
a₁+d+a₁+10d=2*a₁+11d=10;
a₁+4d+a₁+5d=2*a₁+9d=13.
От первого уравнения вычтем второе и найдем шаг прогрессии
11d-9d=2d=10-13=-3.
2d=-3; d=-1,5.
Зная шаг прогрессии, первый ее элемент находим из уравнения
2*a₁+9*(-1,5)=13; 2*a₁=13+13,5=26,5;
a₁=26,5/2=13,25.
Ответ: a₁=13,25.

 

Пример 9. Вычислить сумму всех двузначных натуральных чисел которые при делении на 3 дают в остатка 2.
Решение: Сначала запишем общую формулу члена прогрессии для данной задачи. Учитывая условие получим зависимость
a[n]=3*n+2.
Первое двузначное число, которое удовлетворяет условию это 11.
a[3]=3*3+2=11.
Последнее число равно 98 и оно соответствует 32 номеру прогрессии
a[32]=3*32+2=98.
Дальше есть выбор из двух вариантов — искать частичную сумму прогрессии или от полной суммы вычесть первых два элемента. Поступим по второй схеме
a₁=3+2=5; a₂=3*2+2=8;

От найденной суммы вычитаем первые два элемента прогрессии
S=1648-5-8=1635.
Ответ: S=1635.

 

Пример 10. Вычислить сумму всех двузначных натуральных чисел которые при делении на 4 дают в остатка 1.
Решение: Выпишем общую формулу члена прогрессии
a[n]=4*n+1.
Всегда поступайте таким образом для описания прогрессии.
Первое нужное число равно 13. Его легко получить взяв несколько членов прогрессии – 5; 9;13; …
С последним номером немного больше поисков, но можно установить, что это будет 97.
a[3]=13; a[24]=97.
Шаг прогрессии составляет d=4.
Находим сумму двузначных натуральных чисел

Получили в сумме 1210.
Ответ: S=1210.

 

Пример 11. Вычислить сумму всех нечетных натуральных чисел от 13до 81 включительно.
Решение: Запишем формулу нечетных чисел.
a[n]=2*n+1, n=0; 1; …
Сделаем замену в прогрессии так, чтобы элемент под первым номером был равен 13.
a[n]=2*n+1=13.
Отсюда n=6. Значит новая прогрессия выходит с предыдущей добавлением к индексу n+1=6; n=5.
b[n]=2(n+5)+1.
Найдем под каким номером в прогрессии идет число 81.
2*(n+5)+1=81;
n+5=(81-1)/2=40; n=35.
Итак b[35]=81.
Находим сумму первых 35 членов прогрессии

Следовательно, искомая сумма равна 1645.
Второй метод заключается в нахождении суммы прогрессии a[n] с определенного ее номера. Для этого нужно знать формулу, которую порой нет возможности на контрольных или тестах выводить из формулы суммы прогрессии

Если Вы ее знаете, то в этом случае нужную найти сумму от 6 до 40 члена прогрессии a[n]

И на «закуску» третий способ, который заключается в вычитании из полной суммы прогрессии суммы ее первых членов.

На этом вычисления примера завершены.
Ответ: S=1645.

 

Пример 12. В арифметической прогрессии а₁₈=12,3; a₃₂=2,8. Вычислить а₂₁+a₂₉.
Решение: Если Вы внимательно просмотрели ответы в предыдущих примерах то знаете как поступить в этом задании. Сначала выражаем 21 и 29 член прогрессии через 18 и 32.
a₂₁=a₁₈+(21-18)d=a₁₈+3d;
a₂₉=a₃₂+(29-32)d=a₃₂-3d.
Легко видеть, что при суммировании разница прогрессии пропадает
a₂₁+a₂₉=a₁₈+a₃₂=12,3+2,8=15,1.
Ответ: сумма равна 15,1.

 

Пример 13. Сумма п первых членов арифметической прогрессии выражается формулой S_n=13n²+5n. Вычислить разницу прогрессии.
Решение: Подобная задача рассматривали под номером 3, 4. Запишем общую формулу суммы прогрессии и приравняем к заданной

Приравняем коэффициенты при квадрате номера прогрессии

Разница прогрессии равна 26
Ответ: d=26.

 

Пример 14 Сумма п первых членов арифметической прогрессии выражается формулой S_n=3n²+8n. Вычислить разницу прогрессии.
Решение: Здесь не будем Вас утомлять и по аналогии с предыдущим примером запишем, что коэффициент при квадрате индекса равен половине разницы прогрессии
d/2=3; d=3*2=6.
Видим, наскоько просто найти разницу прогрессии.
Ответ: d=6.

 

Пример 15. В геометрической прогрессии b_m-n=7,2; b_m=9,6. Вычислить b_m+n
Решение: На вид задания на геометрическую прогрессию сложное. n.

Выполним соответствующие расчеты
b[m-n]=4,2*4,2/6,3=2,8.
Ответ: b[m-n]=2,8.

 

Пример 17. В арифметической прогрессии а_т+п=1,4; а_т-п=92,8. Вычислить а_т.
Решение: Неизвестный член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних элементов. Поскольку а_т+п и а_т-п есть равноудалены елементами прогрессии от а_т , то его находим по формуле

a[m]=(92,8+1,4)/2=47,1.
Ответ a[m]=47,1.

 

Пример 18. В арифметической прогрессии а_т =8,75; а_т+п=13,8. Вычислить a[m-n]

Решение: Выразим следующие члены прогрессии через предыдущие
a[m+n]=a[m]+n*d;
a[m]=a[m-n]+ n*d.
С первой формулы находим произведение n*d и подставляем во вторую
n*d= a[m+n]-a[m];
a[m-n]=a[m]-n*d=2*a[m]-a[m+n].
Подставим значение в формулу и найдем нужный элемент прогрессии
a[m-n]= 2*8,75-13,8=3,7.
Ответ: a[m-n]=3,7.

 

Пример 19. В геометрической прогрессии b₂1*b₇=62,7. Вычислить b₁₉ если b₉=5,5.
Решение: Задача одна из сложных среди всех которые рассмотренные здесь, однако на практике решить возможно. Запишем все старшие члены геометрической прогрессии через b₇

Запишем произведение 21 и 7 члена геометрической прогрессии и расписано b₉

Чтобы получить выражение для 19 члена прогрессии нужно произведение b₂₁*b₇ разделить на b₉

С опытом Вы увидите, что в подобных примерах остается делить одни значения на вторые или умножать, примеры где нужно тянуть корни или подносить к степени в геометрических прогрессиях встречаются крайне редко.
Вычисляем b₁₉
b[19]=62,7/5,5=11,4.
Ответ: b[19]=11,4.

 

Пример 20. Вычислить сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (а_n) если а₆ +а₉+а₁₂+ а₁₅ = 20 .
Решение: Выглядит на первый взгляд непонятно, как с такой записи получить сумму. Однако, если вспомнить формулу суммы арифметической прогрессии, то все что там фигурирует — это первый и последний член суммы, а также их количество. Таким образом следует представить сумму заданных членов прогрессии через первый и последний элемент. Уверяю Вас, что разница прогрессии в расчетах упростится и заданное условие не что иное, как удвоенная сумма первого и 20 члена прогрессии. В этом Вы сейчас наглядно убедитесь. Расписываем первые два слагаемые суммы через a [1], а остальные через a[20].
a[6]=a[1]+5d;
a[9]=a[1]+8d;
a[12]=a[20]-8[d];
a[15]=a[20]-5d.
Просуммировав их всех получим
a[6]+a[9]+a[12]+a[15]=2*a₁+2*a[20].
Формула суммы 20 членов арифметической прогрессии имеет вид

Числитель дроби и является заданной суммой, разделенной на 2 Поэтому сразу выполняем вычисления
S[20]=20/2/2*20=100.
Ответ: S[20]=100.

 

Пример 21. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 28,а произведение четвертого и третьего членов 280. Вычислить сумму первых десяти членов прогрессии.
Решение: В этом задании и подобных нужно составлять систему уравнений. Для этого запишем сначала условие задания в виде
a[1]+a[5]=28; a[3]*a[4]=28.
Поскольку 3 член прогрессии является равноудален от 1 и 5, то их среднее арифметическое и будет 3 членом прогрессии
a[3]=(a[1]+a[5])/2=28/2=14.
Произведение распишем через 3 член прогрессии
a[3]*a[4]=a[3]*(a[3]+d)=280;
14*(14+d)=280.
Отсюда находим разницу прогрессии
14+d=280/14=20;
d=20-14=6.
Вычислим 1 и 10 член арифметической прогрессии
a[1]=a[3]-2d=14-2*6=2;
a[10]=a[3]+7d=14+7*2=28.
Есть все необходимые елементы для вычисления суммы прогрессии
S[10]=(2+28)*10/2=150.
Ответ: S[10]=150.

 

Пример 22. Знайты четыре числа которые образуют геометрическую прогрессию в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18. В ответе записать их сумму.
Решение: Запишем условие задачи в виде
b[3]-b[1]=9; b[2]-b[4]=18.
Распишем члены геометрической прогрессии через 1 элемент

Поделив второе уравнения на первое получим знаменатель прогрессии

Из первого уравнения находим 1 член геометрической прогрессии

Все остальные члены прогрессии получаем умножением предыдущего номера на знаменатель.
b[2]=b[1]*q=3*(-2)=-6;
b[3]=b[2]*q=-6*(-2)=12;
b[4]=12*(-2)=-24.
Осталось вычислить сумму членов геометрической прогрессии
S=3-6+12-24=-15.
Ответ: S=-15.

 

Пример 23. Знаменатель геометрической прогрессии 1/3, третий член геометрической прогрессии 1/9, а сумма всех членов геометрической прогрессии 13/9. Найти количество членов геометрической прогрессии.
Решение: Сумма членов геометрической прогрессии находим по формуле

Найдем первый член прогрессии через 3 и знаменатель.


Подставим значение в формулу суммы и найдем количество суммируемых членов


Итак, получили 3 члена геометрической прогрессии.
Ответ: n=3.

 

Пример 24. Дано две арифметические прогрессии. Первый и пятый члены первой прогрессии соответственно равны 7 и -5. Первый член второй прогрессии равна 0, а последний 7/2. Вычислить сумму членов второй прогрессии если известно,что третьи члены обеих прогрессий равны между собой.
Решение: Запишем условие примера
a[1]=7;a[5]=-5;
b[1]=0; b[n]=7/2;
a[3]=b[3]; S[n]-?
Найдем 3 член первой прогрессии через среднее арифметическое соседних
a[3]=(a[1]+a[5])/2=(7-5)/2=1.
Учитывая что
b[3]=a[3]=1,
найдем шаг второй прогрессии.
b[3]=b[1]+2*d;
1=0+2*d; d=1/2=0,5.
Найдем номер последнего члена второй прогрессии
b[n]=0+(n-1)d=7/2=3,5;
n-1=3,5/d=3,5/0,5=7;
n=7+1=8.
Вычислим сумму восьми членов прогрессии
S[8]=(0+3,5)*8/2=3,5*4=14.
Ответ: S[8]=14.

 

После такой практиктики я думаю Вы знаете как находить сумму арифметической и геометрической прогрессии. Если нет ознакомьтесь с примерами изначально (это была шутка).

Похожие материалы:

Если примеры были полезны Вам — посоветуйте их друзьям.

Геометрическая прогрессия (ЕГЭ — 2021)

Многие знают, что шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.

Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски \( \displaystyle 1\) пшеничное зерно, за вторую \( \displaystyle 2\) пшеничных зерна, за третью \( \displaystyle -4\), за четвертую \( \displaystyle -8\) и т.д.

Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все \( \displaystyle 64\) клетки доски.

А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?

Начнем рассуждать. {64}}=1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 64\)

Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет \( \displaystyle 18~\ 446~\ 744~\ 073~\ 709~\ 551~\ 615\).

То есть:

\( \displaystyle 18\) квинтильонов \( \displaystyle 446\) квадрильонов \( \displaystyle 744\) триллиона \( \displaystyle 73\) миллиарда \( \displaystyle 709\) миллионов \( \displaystyle 551\) тысяч \( \displaystyle 615\).

Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.

При высоте амбара \( \displaystyle 4\) м и ширине \( \displaystyle 10\) м длина его должна была бы простираться на \( \displaystyle 300\text{ }000\text{ }000\) км, — т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее \( \displaystyle 10\) суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать \( \displaystyle 18\) квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.

А теперь решим простую задачку на сумму членов геометрической прогрессии.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии + примеры

 

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .

Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.

Монотонная и постоянная последовательность

Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. 8 -1))/(3-1) = 19 680.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Определение геометрической прогрессии: формула n-го члена прогрессии
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|

Арифметическая и геометрическая прогрессия. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Нахождение члена геометрической прогрессии, даны два предыдущих Сложность: лёгкое	2
2.	Разность арифметической прогрессии Сложность: лёгкое	1
3.	Нахождение члена геометрической прогрессии Сложность: лёгкое	2
4.	Нахождение члена и разности арифметической прогрессии Сложность: лёгкое	1
5.	Вычисление членов геометрической прогрессии Сложность: лёгкое	3
6.	Нахождение членов арифметической прогрессии Сложность: лёгкое	5
7.	Вычисление членов геометрической прогрессии Сложность: лёгкое	2
8.	Сумма членов арифметической прогрессии Сложность: среднее	1
9.	Нахождение члена арифметической прогрессиии, даны разность и первый член Сложность: среднее	3
10.	Нахождение члена геометрической прогрессии, даны два первых члена Сложность: среднее	3
11.	Знаменатель геометрической прогрессии Сложность: среднее	2
12.	Сумма первых членов арифметической прогрессии Сложность: среднее	4
13.	Разность арифметической прогрессии Сложность: лёгкое	2
14.	Сумма членов геометрической прогрессии, даны два первых члена Сложность: среднее	2
15.	Сумма членов арифметической прогрессии Сложность: среднее	2
16.	Сумма членов геометрической прогрессии, даны q и b1 Сложность: среднее	2
17.	Прогрессия в текстовой задаче, вычисление высоты Сложность: среднее	4
18.	Сумма членов геометрической прогрессии Сложность: среднее	3
19.	Преобразование бесконечной десятичной дроби Сложность: среднее	2
20.	Сумма натуральных чисел Сложность: сложное	4
21.	Вычисление разности при наименьшем значении членов прогрессии Сложность: сложное	4,5
22.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии Сложность: сложное	5
23.	Арифметическая прогрессия и трапеция Сложность: сложное	8
24.	Вычисление значения дроби Сложность: сложное	4
25.	Члены геометрической прогрессии Сложность: сложное	5

Тест: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Тест состоит из 10 вопросов, к каждому предложено 4 варианта ответов, из которых один верный.

Математика 9 класс | Автор: Нажалова Наталья Ивановна | ID: 1893 | Дата: 5.4.2014

«;} else {document.getElementById(«torf1″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(1)==»1″) {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(2)==»1″) {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(3)==»1″) {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(4)==»1″) {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(5)==»1″) {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(6)==»1″) {document. getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(7)==»1″) {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(8)==»1″) {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(9)==»1″) {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(10)==»1″) {document.getElementById(«torf11″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf11″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(11)==»1″) {document.getElementById(«torf12″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf12″).innerHTML=»»;}; } }

Получение сертификата
о прохождении теста

Некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии | Статья в журнале «Юный ученый»

 

В школьном курсе математики в полной мере изучаются два специальных вида последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии, однако последовательности, обобщающие их, т.  е. сочетающие их свойства и признаки, в явном виде не рассматриваются.

Известно, что ряд различных типов последовательностей по природе своей являются рекуррентными, или возвратными, в том смысле, что каждый следующий член последовательности по определенному правилу выражается через некоторое фиксированное число предыдущих. К таким последовательностям относятся арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательность Фибоначчи и др. [1]

В данной статье представлены итоги исследования рекуррентной последовательности , заданной по правилу , где числа и называем соответственно знаменателем и разностью этой последовательности, а саму последовательность — арифметико-геометрической прогрессией.

Актуальность исследования обусловлена тем, что в настоящее время эта проблема стала особенно значима для науки и практики. Этим вопросом занимаются многие теоретики и исследователи. Изучению прогрессий посвящены статьи в периодических изданиях и монографии многих ученых. Как правило, информация, посвященная данной проблеме, изложенная в учебной литературе, имеет общий характер, а в современных монографиях по этой теме анализируются более узкие вопросы проблемы.

Высокая значимость и недостаточная теоретическая разработанность проблемы изучения арифметико-геометрической прогрессии определяют несомненную новизну данного исследования.

Определение 1. [2] Арифметико-геометрическая прогрессия задается следующим рекуррентным соотношением:

, (1)

где и  — постоянные, называемые соответственно знаменателем и разностью арифметико-геометрической прогрессии.

Замечание 1. При q=1 и d=0 получим стационарную последовательность .

В случае и в (1), получим арифметическую прогрессию , а при и , — геометрическую прогрессию: .

Вышеуказанное замечание отражается в названии рассматриваемой последовательности: арифметико-геометрическая прогрессия.

Рассмотрим примеры арифметико-геометрических прогрессий.

1) ;

2) .

Указание явных формул для нахождения общего члена последовательности, а также для суммы ее первых n членов являются основными задачами о последовательностях.

Арифметико-геометрическая прогрессия является обобщением арифметической и геометрической прогрессий. А значит, по аналогии можно вывести формулы для нахождения общего члена арифметико-геометрической прогрессии, а также для суммы ее первых n членов, и установить характеристическое свойство данного типа последовательности, а также ряд других важных свойств.

В ходе исследования были получены конкретные результаты:

1. Выведена формула n-го члена последовательности: .

Пусть в соотношении (1) . Прибавив к обеим частям равенства выражение , получим

.

Последнее соотношение является рекуррентным, поэтому можно записать аналогичные равенства для :

, ,…, .

Перемножив выписанные равенства, имеем:

Разделив обе части последнего равенства на произведение , получим , откуда .

Таким образом, получили формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии

. (2)

2. Доказано, что арифметико-геометрическая прогрессия сходится и ограничена только в случае, когда ;

Из формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии следует, что

а) при арифметико-геометрическая прогрессия сходится к числу

, а значит, при эта последовательность ограничена.

б) при арифметико-геометрическая прогрессия расходится и не ограничена.

3. Выведена формула суммы первых n членов арифметико-геометрической прогрессии: . Также установлено, что сумма бесконечного числа членов последовательности не существует.

Рассмотрим n-ую частичную сумму арифметико-геометрической прогрессии .

Согласно соотношению (1), имеем:

Тогда

. (3)

Умножив последнее равенство на знаменатель , получим

или (4)

Из равенства (3) вычтем равенство (4) и выполним преобразования.

Преобразуя последнее равенство, получим формулу суммы первых n членов арифметико-геометрической прогрессии: .               (5)

4. Доказано, что арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задается возвратным уравнением ; как следствия были получены характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий.

Действительно, будем утверждать, что при k=1 и при любом справедливо равенство . Осталось определить значения .

В силу соотношения (1) , тогда

.

Из равенства следует, что

,

,

, откуда уравняв коэффициенты, получим систему линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является .

Итак, верно равенство . Что и требовалось доказать.

5. Выведены формулы для нахождения разности и знаменателя арифметико-геометрической прогрессии: и .

6. Доказано характеристическое свойство арифметико-геометрической прогрессии : последовательность , где , является геометрической прогрессией с тем же знаменателем , то есть .              (6)

Доказательство. Согласно формуле (2)

.

Упростив правую часть равенства (6), получим:

.

Тогда .

Таким образом, доказано равенство (6), которое и является характеристическим свойством арифметико-геометрической прогрессии.

Все полученные результаты являются новыми. Данные результаты имеют научную и практическую ценность, в частности, они могут быть использованы при решении геометрических задач. [2]

В доступной нам литературе подобные исследования ранее не встречались, лишь некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии встречаются без доказательства.

 

Литература:

 

1.      Маркушевич А. И. Возвратные последовательности — М.: Наука, 1975. — 47 с.
2.      Суконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», № 1 1975г. — с.80
3.      Вавилов В. В., Красников П. М. Математические коллоквиумы. — М.: Школа им. А. Н. Колмогорова СУНЦ МГУ, 2006. — с. 60

Арифметико-геометрическая прогрессия | Блестящая вики по математике и науке

Теперь, когда мы нашли сумму конечного числа членов, давайте рассмотрим случай бесконечного числа членов. Мы, конечно, не можем вручную суммировать бесконечные числа, поэтому нам придется найти общий подход. Начнем с обсуждения проблемы, с которой вы столкнулись в верхней части этой страницы:

12 + 24 + 38 + 416 + 532 + ⋯ =? \ Large \ dfrac {\ color {# 3D99F6} {1}} {\ color {# D61F06} {2}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} { 2}} {\ color {# D61F06} {4}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} {3}} {\ color {# D61F06} {8}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} { 4}} {\ color {# D61F06} {16}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} {5}} {\ color {# D61F06} {32}} + \ cdots = \,? 21 +42 +83 +164 +325 + ⋯ =?

---

Допустим, данная серия является SSS, тогда

S = 12 + 24 + 38 + 416 + 532 + ⋯. S = \ dfrac 12 + \ dfrac 24 + \ dfrac 38+ \ dfrac {4} {16} + \ dfrac {5} {32} + \ cdots.S = 21 +42 +83 +164 +325 + ⋯.

Умножая SSS на 12 \ frac 1221, получаем

S2 = 14 + 28 + 316 + 432 + 564 + ⋯. \ dfrac S2 = \ dfrac 14 + \ dfrac 28 + \ dfrac {3} {16} + \ dfrac {4} {32} + \ dfrac {5} {64} + \ cdots.2S = 41 +82 +163 +324 +645 + ⋯.

Теперь вычитая S2 \ frac S22S из SSS, получаем

S = 12 + 24 + 38 + 416 + 532 + ⋯ S2 = 0 + 14 + 28 + 316 + 432 + 564 + ⋯ S (1−12) = 12 + 14 + 18 + 116 + 132 + ⋯ ⇒S2 = 12 + 14 + 18 + 116 + 132 + ⋯, \ begin {array} {rlllllllll} S & = \ dfrac 12 & + \ dfrac 24 & + \ dfrac 38 & + \ dfrac {4} {16} & + \ dfrac {5} {32} + \ cdots \\ \ dfrac S2 & = 0 & + \ dfrac 14 & + \ dfrac 28 & + \ dfrac {3} {16} & + \ dfrac {4} {32} + \ dfrac {5} {64} + \ cdots \\ \ hline S \ left (1- \ dfrac 12 \ right) & = \ dfrac 12 & + \ dfrac 14 & + \ dfrac 18 & + \ dfrac {1} {16} & + \ dfrac {1} {32} + \ cdots \ \ \ Rightarrow \ dfrac S2 & = \ dfrac 12 & + \ dfrac 14 & + \ dfrac 18 & + \ dfrac {1} {16} & + \ dfrac {1} {32} + \ cdots, \ end {array} S2S S (1-21) ⇒2S = 21 = 0 = 21 = 21 +42 +41 +41 +41 +83 +82 + 81 +81 +164 +163 +161 +161 +325 + ⋯ + 324 +645 + ⋯ + 321 + ⋯ + 321 + ⋯,

, который является GP. 2} = 2 1−21 21 + (1−21) 21 × 21 = 2.
Второе суммирование — это геометрическая прогрессия с суммой до бесконечности 141−12 = 12 \ frac {\ frac {1} {4}} {1 — \ frac {1} {2}} = \ frac {1} { 2} 1−21 41 = 21.
Следовательно, общая сумма равна 2−12 = 1,5 □ 2 — \ frac {1} {2} = 1,5 \ _ \ square 2−21 = 1,5 □.

Решение 2:

Данную серию можно записать как

14 + 38 + 516 + 732 + ⋯. \ Dfrac 14+ \ dfrac 38 + \ dfrac {5} {16} + \ dfrac {7} {32} + \ cdots .41 +83 +165 +327 + ⋯.

Умножив и разделив ряд на 444, получим

14 (1 + 32 + 54 + 78 + ⋯).2} \ right) = \ dfrac 14 \ left (2 + 4 \ right) = 1,5. \ _ \ квадрат S = 41 ⎝⎜⎜⎜⎛ 1−21 1 + (1−21) 22⋅21 ⎠⎟⎟⎟⎞ = 41 (2 + 4) = 1,5. □

Решение проблем, указанных ниже, позволит проверить, хорошо ли вы разбираетесь в концепциях и способах решения проблем:

Найдите значение ppp для данного

3 + 14 (3 + p) +142 (3 + 2p) +143 (3 + 3p) + ⋯ = 8. n} n = 1∑∞ 3n2n может быть выражено в форме ab \ frac { a} {b} ba, где aaa и bbb взаимно простые положительные целые числа.Найдите a − b a — b a − b.

2.2: Арифметические и геометрические последовательности

Расследуй!

Для рисунков из точек ниже нарисуйте следующий рисунок в последовательности. Затем дайте рекурсивное определение и замкнутую формулу для количества точек в \ (n \) -м шаблоне.

Теперь перейдем к вопросу о нахождении замкнутых формул для конкретных типов последовательностей.

Арифметические последовательности

Если члены последовательности отличаются на константу, мы говорим, что последовательность равна арифметическим . Если начальный член (\ (a_0 \)) последовательности равен \ (a \), а общая разность равна \ (d \ text {,} \), то мы имеем,

Рекурсивное определение: \ (a_n = a_ {n-1} + d \) с \ (a_0 = a \ text {. } \)

Закрытая формула: \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

Откуда мы это знаем? Для рекурсивного определения нам нужно указать \ (a_0 \ text {.} \) Затем нам нужно выразить \ (a_n \) через \ (a_ {n-1} \ text {.} \) Если мы назовем первый термин \ (a \ text {,} \), то \ ( a_0 = a \ text {.} \) Для рекуррентного отношения, по определению арифметической последовательности, разница между последовательными членами является некоторой константой, скажем, \ (d \ text {.} \) Итак \ (a_n — a_ { n-1} = d \ text {,} \) или, другими словами,

\ begin {уравнение *} a_0 = a \ qquad a_n = a_ {n-1} + d. \ end {уравнение *}

Чтобы найти замкнутую формулу, сначала напишите общую последовательность:

\ begin {align *} a_0 & = a \\ a_1 & = a_0 + d = a + d \\ a_2 & = a_1 + d = a + d + d = a + 2d \\ a_3 & = a_2 + d = a + 2d + d = a + 3d \\ & \ vdots \ end {align *}

Мы видим, что для нахождения \ (n \) -го члена нам нужно начать с \ (a \), а затем добавить \ (d \) несколько раз. Фактически, добавьте это \ (n \) раз. Таким образом, \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Найдите рекурсивные определения и закрытые формулы для приведенных ниже последовательностей. Предположим, что первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \)

1. \ (2, 5, 8, 11, 14, \ ldots \ text {.} \)
2. \ (50, 43, 36, 29, \ ldots \ text {.} \)

Раствор

Сначала мы должны проверить, что эти последовательности действительно арифметические, взяв разности последовательных членов.Это покажет общую разницу \ (d \ text {.} \)

1. \ (5-2 = 3 \ text {,} \) \ (8-5 = 3 \ text {,} \) и т. Д. Чтобы перейти от каждого термина к следующему, мы добавляем три, поэтому \ (d = 3 \ text {.} \) Следовательно, рекурсивное определение — \ (a_n = a_ {n-1} + 3 \) с \ (a_0 = 2 \ text {.} \) Замкнутая формула — \ (a_n = 2 + 3n \ text {.} \)
2. Здесь общая разница \ (- 7 \ text {,} \), поскольку мы добавляем \ (- 7 \) к 50, чтобы получить 43, и так далее. Таким образом, у нас есть рекурсивное определение \ (a_n = a_ {n-1} — 7 \) с \ (a_0 = 50 \ text {.} \) Замкнутая формула \ (a_n = 50 — 7n \ text {.} \)

А как насчет последовательностей типа \ (2, 6, 18, 54, \ ldots \ text {?} \) Это не арифметика, потому что разница между терминами непостоянна. Однако соотношение между последовательными членами постоянно. Мы называем такие последовательности геометрическими .

Рекурсивное определение геометрической последовательности с начальным членом \ (a \) и общим отношением \ (r \): \ (a_n = a_ {n} \ cdot r; a_0 = a \ text {.{n} \ text {.} \)

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Найдите рекурсивную и замкнутую формулу для последовательностей ниже. Опять же, первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \)

1. \ (3, 6, 12, 24, 48, \ ldots \) ​​
2. \ (27, 9, 3, 1, 1/3, \ ldots \) ​​

Раствор

Опять же, мы должны сначала проверить, действительно ли эти последовательности геометрически, на этот раз разделив каждый член на его предыдущий член. Предполагая, что это соотношение является постоянным, мы найдем \ (r \ text {.{п} \ текст {.} \)

В приведенных выше примерах и формулах мы предположили, что начальный термин для был \ (a_0 \ text {.} \). Если ваша последовательность начинается с \ (a_1 \ text {,} \), вы можете легко найти термин, который было бы \ (a_0 \) и использовать это в формуле. Например, если мы хотим получить формулу для последовательности \ (2, 5, 8, \ ldots \) ​​и настаиваем на том, чтобы \ (2 = a_1 \ text {,} \), то мы можем найти \ (a_0 = -1 \) (поскольку последовательность арифметическая с общей разностью 3, имеем \ (a_0 + 3 = a_1 \)).Тогда закрытая формула будет \ (a_n = -1 + 3n \ text {.} \)

Суммы арифметических и геометрических последовательностей

Расследуй!

В вашем соседском продуктовом магазине есть автомат с кеглями.

1. Предположим, что автомат для конфет в настоящее время вмещает ровно 650 кеглей, и каждый раз, когда кто-то вставляет четверть, из автомата выходит ровно 7 кеглей.
   1. Сколько кеглей останется в машине после того, как будут вставлены 20 четвертей?
   2. Останется ли когда-нибудь в автомате ровно ноль кеглей? Объяснять.
2. Что, если автомат выдаст 7 Skittles первому покупателю, вложившему четверть, 10 — второму, 13 — третьему, 16 — четвертому и т.д. машина?
3. Теперь, что, если автомат выдаст 4 Skittles первому покупателю, 7 — второму, 12 — третьему, 19 — четвертому и т. Д. Сколько Skittles выдало автомат после того, как 20 четвертей были помещены в автомат?

Посмотрите на последовательность \ ((T_n) _ {n \ ge 1} \), которая начинается с \ (1, 3, 6, 10, 15, \ ldots \ text {.} \) Эти числа называются треугольными числами , поскольку они представляют количество точек в равностороннем треугольнике (подумайте о том, как вы расставляете 10 кеглей: ряд из 4 плюс ряд из 3 плюс ряд из 2 и ряд из 1).

Это арифметическая последовательность? Нет, поскольку \ (3-1 = 2 \) и \ (6-3 = 3 \ ne 2 \ text {,} \), поэтому нет общей разницы. Последовательность геометрическая? Нет. \ (3/1 = 3 \), но \ (6/3 = 2 \ text {,} \), поэтому нет общего отношения. Что делать?

Обратите внимание, что различия между терминами образуют арифметическую последовательность: \ (2, 3, 4, 5, 6, \ ldots \ text {.} \) Это говорит о том, что \ (n \) -й член последовательности \ (1,3,6,10,15, \ ldots \) ​​- это сумма первых \ (n \) членов последовательности \ (1,2,3,4,5, \ ldots \ text {.} \) Мы говорим, что первая последовательность — это последовательность частичных сумм второй последовательности (частичные суммы, потому что мы не берем сумму всего бесконечно много терминов). Если мы знаем, как складывать члены арифметической последовательности, мы могли бы использовать это, чтобы найти замкнутую формулу для последовательности, отличия которой являются членами этой арифметической последовательности.

Это станет яснее, если мы запишем треугольные числа так:

\ begin {align *} 1 & = 1 \\ 3 & = 1 + 2 \\ 6 & = 1 + 2 + 3 \\ 10 & = 1 + 2 + 3+ 4 \\ \ vdots & \ qquad \ vdots \ \ T_n & = 1 + 2 + 3 + \ cdots + n. \ end {выровнять *}

Подумайте, как мы можем найти сумму первых 100 натуральных чисел (то есть \ (T_ {100} \)). Вместо того, чтобы складывать их по порядку, мы перегруппируем и добавим \ (1 + 100 = 101 \ text {.} \) Следующая пара, которую нужно объединить, это \ (2 + 99 = 101 \ text {.} \) Затем \ (3+ 98 = 101 \ текст {.}\) Продолжать. Это дает 50 пар, каждая из которых в сумме составляет \ (101 \ text {,} \), поэтому \ (T_ {100} = 101 \ cdot 50 = 5050 \ text {.} \)

В общем, используя такую ​​же перегруппировку, мы обнаруживаем, что \ (T_n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \) Между прочим, это в точности то же самое, что \ ({n +1 \ choose 2} \ text {,} \), что имеет смысл, если вы думаете о треугольных числах как о подсчете количества рукопожатий, которые происходят на вечеринке с \ (n + 1 \) людьми: первый человек трясет \ (n \) рук, следующий пожимает еще \ (n-1 \) рук и так далее.

Суть всего этого в том, что некоторые последовательности, хотя и не арифметические или геометрические, могут быть интерпретированы как последовательность частичных сумм арифметических и геометрических последовательностей. К счастью, есть методы, которые можно использовать для быстрого вычисления этих сумм.

Суммирование арифметических последовательностей: обратное и сложение

Вот метод, который позволяет нам быстро найти сумму арифметической последовательности.

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Найдите сумму: \ (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + \ cdots + 470 \ text {.} \)

Раствор

Идея состоит в том, чтобы имитировать, как мы нашли формулу для треугольных чисел. Если мы сложим первый и последний члены, мы получим 472. Второй член и предпоследний член также в сумме составляют 472. Чтобы отслеживать все, мы могли бы выразить это следующим образом. Назовем сумму \ (S \ text {.} \) Тогда

\ (S = \)	\ (2 \)	\ (+ \)	\ (5 \)	\ (+ \)	\ (8 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (467 \)	\ (+ \)	470
\ (+ \ quad S = \)	\ (470 \)	\ (+ \)	\ (467 \)	\ (+ \)	\ (464 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (5 \)	\ (+ \)	2
\ (2S = \)	\ (472 \)	\ (+ \)	\ (472 \)	\ (+ \)	\ (472 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (472 \)	\ (+ \)	\ (472 \)

Чтобы найти \ (2S \), мы прибавляем 472 к себе несколько раз.Какой номер? Нам нужно решить, сколько членов ( слагаемых, ) в сумме. Поскольку члены образуют арифметическую последовательность, \ (n \) -й член в сумме (считая \ (2 \) как 0-й член) можно выразить как \ (2 + 3n \ text {.} \) Если \ ( 2 + 3n = 470 \), тогда \ (n = 156 \ text {.} \) Итак, \ (n \) находится в диапазоне от 0 до 156, что дает 157 членов в сумме. Это число 472 в сумме для \ (2S \ text {.} \) Таким образом,

\ begin {уравнение *} 2S = 157 \ cdot 472 = 74104 \ end {уравнение *}

Теперь легко найти \ (S \ text {:} \)

\ begin {уравнение *} S = 74104/2 = 37052 \ end {уравнение *}

Это будет работать для любой суммы из арифметических последовательностей.Назовите сумму \ (S \ text {.} \) Обратный и сложите. Это дает одно число, добавленное к самому себе много раз. Найдите количество раз. Умножить. Разделить на 2. Готово.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Найдите замкнутую формулу для \ (6 + 10 + 14 + \ cdots + (4n — 2) \ text {.} \)

Раствор

Опять же, у нас есть сумма арифметической последовательности. Нам нужно знать, сколько терминов в последовательности. Ясно, что каждый член в последовательности имеет вид \ (4k -2 \) (о чем свидетельствует последний член).Но для каких значений \ (k \)? Чтобы получить 6, \ (k = 2 \ text {.} \) Чтобы получить \ (4n-2 \), возьмите \ (k = n \ text {.} \) Итак, чтобы найти количество терминов, нам нужно знать сколько целых чисел находится в диапазоне \ (2,3, \ ldots, n \ text {.} \) Ответ: \ (n-1 \ text {.} \) (Есть \ (n \) числа от 1 в \ (n \ text {,} \), поэтому на один меньше, если мы начнем с 2.)

Теперь переверните и добавьте:

\ (S = \)	\ (6 \)	\ (+ \)	\ (10 ​​\)	\ (+ \ cdots + \)	\ (4н-6 \)	\ (+ \)	\ (4н-2 \)
\ (+ \ quad S = \)	\ (4н-2 \)	\ (+ \)	\ (4н-6 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (10 ​​\)	\ (+ \)	6
\ (2S = \)	\ (4n + 4 \)	\ (+ \)	\ (4n + 4 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (4n + 4 \)	\ (+ \)	\ (4n + 4 \)

Поскольку есть \ (n-2 \) членов, получаем

\ begin {уравнение *} 2S = (n-2) (4n + 4) \ qquad \ mbox {so} \ qquad S = \ frac {(n-2) (4n + 4)} {2} \ end { уравнение *}

Помимо нахождения сумм, мы можем использовать эту технику для нахождения замкнутых формул для последовательностей, которые мы распознаем как последовательности частичных сумм.

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Используйте частичные суммы, чтобы найти замкнутую формулу для \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \), которая начинается с \ (2, 3, 7, 14, 24, 37, \ ldots \ ldots \) ​​

Раствор

Во-первых, если вы посмотрите на различия между терминами, вы получите последовательность различий: \ (1,4,7,10,13, \ ldots \ text {,} \), которая является арифметической последовательностью. Написано по-другому:

\ begin {align *} a_0 & = 2 \\ a_1 & = 2 + 1 \\ a_2 & = 2 + 1 + 4 \\ a_3 & = 2 + 1 + 4 + 7 \ end {align *}

и так далее.Мы можем записать общий член \ ((a_n) \) в терминах арифметической последовательности следующим образом:

\ begin {уравнение *} a_n = 2 + 1 + 4 + 7 + 10 + \ cdots + (1 + 3 (n-1)) \ end {уравнение *}

(мы используем \ (1 + 3 (n-1) \) вместо \ (1 + 3n \), чтобы индексы выровнялись правильно; для \ (a_3 \) мы складываем до 7, что составляет \ ( 1 + 3 (3-1) \)).

Мы можем перевернуть и сложить, но начальные 2 не соответствуют нашему шаблону. Это просто означает, что нам нужно убрать двойку с обратной стороны:

\ (a_n = \)	\ (2 \)	\ (+ \)	\ (1 \)	\ (+ \)	\ (4 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (1 + 3 (п-1) \)
\ (+ ~ a_n = \)	\ (2 \)	\ (+ \)	\ (1 + 3 (п-1) \)	\ (+ \)	\ (1 + 3 (п-2) \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (1 \)
\ (2a_n = \)	\ (4 \)	\ (+ \)	\ (2 + 3 (п-1) \)	\ (+ \)	\ (2 + 3 (п-1) \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (2 + 3 (п-1) \)

Не считая первого члена (4), есть \ (n \) слагаемых в \ (2 + 3 (n-1) = 3n-1 \), поэтому правая часть становится \ (2+ (3n-1 ) п \ текст {.} \)

Наконец, решая \ (a_n \), получаем

\ begin {уравнение *} a_n = \ d \ frac {4+ (3n-1) n} {2}. \ end {уравнение *}

На всякий случай проверяем \ (a_0 = \ frac {4} {2} = 2 \ text {,} \) \ (a_1 = \ frac {4 + 2} {2} = 3 \ text {,} \) и т.д. У нас есть правильная замкнутая формула.

Суммирование геометрических последовательностей: умножение, сдвиг и вычитание

Чтобы найти сумму геометрической последовательности, мы не можем просто перевернуть и сложить. Вы понимаете почему? Причина, по которой мы добавляли один и тот же термин много раз к самому себе, заключается в том, что разница была постоянной.Таким образом, когда мы добавили разницу в одном направлении, мы вычли разницу в другом направлении, оставив постоянную сумму. Для геометрических сумм у нас есть другая техника.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Что такое \ (3 + 6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \ text {?} \)

Раствор

Умножьте каждый член на 2, обычное отношение. Вы получите \ (2S = 6 + 12 + 24 + \ cdots + 24576 \). Теперь вычтите: \ (2S — S = -3 + 24576 = 24573 \ text {.} \) Поскольку \ (2S — S = S \ text {,} \), у нас есть ответ.

Чтобы лучше понять, что произошло в приведенном выше примере, попробуйте написать это так:

\ (S = \)	\ (3 \, + \)	\ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \)
\ (- ~ 2S = \)		\ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \)	\ (+ 24576 \)
\ (- S = \)	\ (3 \, + \)	\ (0 + 0 + 0 + \ cdots + 0 \)	\ (- 24576 \)

Затем разделите обе стороны на \ (- 1 \), и мы получим тот же результат для \ (S \ text {.{n + 1}} {- 4} \)

Даже если это может показаться новой техникой, вы, вероятно, использовали ее раньше.

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Экспресс \ (0,464646 \ ldots \) ​​в виде дроби.

Раствор

Пусть \ (N = 0.46464646 \ ldots \ text {.} \) Рассмотрим \ (0.01N \ text {.} \) Получаем:

	\ (N = \)	\ (0,4646464 \ ldots \) ​​
\ (- \)	\ (0.01N = \)	\ (0,00464646 \ ldots \) ​​
	\ (0,99N = \)	\ (0,46 \)

Итак \ (N = \ frac {46} {99} \ text {.} \) Что мы сделали? Мы рассматривали повторяющуюся десятичную дробь \ (0,464646 \ ldots \) ​​как сумму геометрической последовательности \ (0,46, 0,0046, 0,000046, \ ldots \). Общее отношение равно \ (0,01 \ text {.} \) Единственная реальная разница в том, что что сейчас мы вычисляем бесконечную геометрическую сумму , у нас нет лишнего «последнего» члена, который нужно учитывать.п к = п! \ текст {.} \)

Сумма первых n членов геометрической последовательности

Если последовательность геометрическая, есть способы найти сумму первых n элементов. термины, обозначенные Sn, без фактического добавления всех терминов.

Чтобы найти сумму первых Sn члены геометрической последовательности используют формулу
Sn = a1 (1 − rn) 1 − r, r ≠ 1,
где n — количество слагаемых, a1 — первый член, а r это обычное отношение.

Сумма первых n термины геометрической последовательности называется геометрической серией.

Пример 1:

Найдите сумму первых 8 членов геометрического ряда, если a1 = 1 и r = 2.

S8 = 1 (1-28) 1-2 = 255

Пример 2:

Найти S10 геометрической последовательности 24,12,6, ⋯.

Сначала найдите r.

r = r2r1 = 1224 = 12

Теперь найдите сумму:

S10 = 24 (1− (12) 10) 1−12 = 306964

Пример 3:

Вычислить.

∑n = 1103 (−2) n − 1

(Вы находите S10 для ряда 3−6 + 12−24 + ⋯, значащий коэффициент которого равен −2.)

Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS10 = 3 [1 — (- 2) 10] 1 — (- 2) = 3 (1−1024) 3 = −1023

Для того, чтобы бесконечный геометрический ряд имел сумму, знаменатель r должно быть между -1 и 1. Тогда при n увеличивается, рН становится все ближе и ближе к 0. Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с абсолютным значением меньше единицы, используйте формулу S = a11 − r, где a1 — первый член, а r это обычное отношение.

Пример 4:

Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
27,18,12,8, ⋯.

Сначала найдите r:

r = a2a1 = 1827 = 23

Затем найдите сумму:

S = a11 − r

S = 271−23 = 81

Пример 5:

Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
8,12,18,27, ⋯ если он существует.

Сначала найдите r:

r = a2a1 = 128 = 32

Так как r = 32 не меньше единицы. Серия не имеет суммы.

Существует формула для вычисления n ^th члена геометрического ряда, то есть суммы первых n члены геометрической последовательности.

См. Также: сигма-обозначение ряда и сумма первых n члены арифметической последовательности

Арифметические и геометрические прогрессии | S-cool, сайт доработки

Если у вас есть последовательность 2, 8, 14, 20, 26, то каждый член на 6 больше, чем предыдущий. Это пример арифметической прогрессии (AP) , а постоянное значение, определяющее разницу между любыми двумя последовательными членами, называется общей разницей .

Если арифметическая разность имеет первый член a и общую разницу d , то мы можем записать

a, (a + d), (a + 2d), … {a + ( n-1) d}

, где n ^th term = a + (n − 1) d

Сумма арифметических рядов

Сумма арифметического ряда из n членов находится путем составления n / 2 пар, каждая со значением суммы первого и последнего слагаемых. (Попробуйте это с суммой первых 10 целых чисел, составив 5 пар по 11.)

Это дает нам формулу:

, где a = первый член и l = последний член.

Поскольку последний член — это n ^th term = a + (n — 1) d, мы можем переписать это как:

(Используйте первую формулу, если вы знаете первый и последний члены; используйте второй, если вы знаете первый член и общее различие.)

Если у вас есть такая последовательность, как: 81, 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, … , то каждый член составляет одну треть срок до.

Это можно записать как 81, 81 (1/3), 81 (1/3) ² , 81 (1/3) ³ , 81 (1/3) ⁴ , …

Это пример геометрической прогрессии (GP) , где каждый член кратен предыдущему. Коэффициент умножения называется общим отношением .

Таким образом, GP с первым членом a и общим соотношением r с n членами можно указать как

a, ar, ar ² , ar ³ , ar ⁴ …ar ^n-1 , где n ^th term = ar ^n-1

Пример:

В последовательности 400, 200, 100, 50, … найдите член 8 ^th .

a = 400, r = 0,5, поэтому 8 ^th term = 400 × 0.5 ⁷ = 3,125

Примечание: Чтобы определить, какой член имеет определенное значение, вам нужно будет использовать логарифмов .

Пример:

В последовательности 2, 6, 18, 54… какой первый срок превысит 1 000 000?

a = 2, r = 3.

2 × 3 ^n-1 > 1000000

3 ^n-1 > 500000

(n — 1) log 3> log 500000

n> 12,94

Следовательно:

n = 13

Пример:

В предыдущей последовательности 400, 200, 100, 50 … какой первый член меньше 1?

400 × 0,5 ^(n-1] <1

0.5 ^(n-1) <0,0025

(n-1) log 0,5

Следовательно:

n> 9, или n = 10

Примечание: Знак неравенства изменился, потому что мы разделили на отрицательное (log 0,5 <0)

Сумма геометрического ряда

Сумма членов может быть написано двумя способами.

где a = первый член, r = обычное отношение и r 1.

(используйте эту формулу, когда r <1).

Пример:

Оценить,

( Примечание: состоит из 9 терминов.)

Первый член — это когда n = 2

(т.е. 2,36 ² = 5,5696)

Использование формулы для суммы геометрической прогрессии дает:

, что составляет примерно 9300 (до 3 с.ф.).

Сходимость

Сумма бесконечного ряда существует, если:

-1

Это связано с тем, что каждый последующий член становится меньше, и поэтому ряд будет стремиться к определенному пределу.Этот предел находится с помощью второй из двух формул:

If | г | <1, то при n → ∞ r ⁿ → 0

и так:

Пример:

ряд 1/3 + (1/3) ² + (1/3) ³ + (1/3) ⁴ + … сходится и его сумма равна 1, когда n приближается к ∞.

(Последовательность, такая как n ³ , имеет первые 6 членов как 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216. По мере приближения n к бесконечности сумма также увеличивается. Следовательно, она не сходится.Эта серия расходится с .

Каждая точка доступа имеет сумму, которая приближается к бесконечности с увеличением n, поэтому каждая точка доступа расходится.)

Пример

Найти 1 — 1/2 + 1/4 — 1/8 + …

1 — 1/2 + 1/4 — 1/8 + … = 1 + (-1/2) + (-1/2) ² + (-1/2) ³ + …

Это геометрическая прогрессия, где r = -½, поэтому | г | <1.

Следовательно, этот ряд сходится к:

Два последних элемента информации, которые могут быть полезны:

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое двух чисел m и n определяется как:

Среднее арифметическое = ½ (m + n)

Это способ поиска пропущенного члена между двумя известными терминами.

Пример:

4 ^{-й член} AP равен 14, 6 ^{-й член} равен 22. 5 ^{-й член} будет средним арифметическим этих двух значений.

то есть (14 + 22) / 2 = 18 (здесь d = 4 и a = 2).

Среднее геометрическое

Среднее геометрическое двух чисел m и n определяется как:

Среднее геометрическое = √ (mn)

Это представляет собой значение между двумя другими в GP.

Пример:

7 ^{-й срок} GP равен 6, 9 ^-й равен 1,5. Термин 8 ^-й :

√ (6 × 1,5) = √9 = 3

Здесь r = 0,5 и a = 384.

арифметических и геометрических последовательностей | Purplemath

Purplemath

Две самые простые последовательности для работы — это арифметическая и геометрическая последовательности.

Арифметическая последовательность переходит от одного члена к другому, всегда добавляя (или вычитая) одно и то же значение. Например, 2, 5, 8, 11, 14, … является арифметическим, потому что каждый шаг добавляет три; а 7, 3, –1, –5, … является арифметическим, потому что каждый шаг вычитает 4.

Число, добавляемое (или вычитаемое) на каждом этапе арифметической последовательности, называется «общей разницей» d , потому что, если вы вычтите (то есть, если вы найдете разницу) последовательных членов, вы всегда получите это общая ценность.

MathHelp.com

Геометрическая последовательность переходит от одного члена к другому путем умножения (или деления) на одно и то же значение.Итак, 1, 2, 4, 8, 16, … геометрически, потому что каждый шаг умножается на два; и 81, 27, 9, 3, 1, 1/3, … является геометрическим, потому что каждый шаг делится на 3.

Число, умноженное (или разделенное) на каждом этапе геометрической последовательности, называется «общим соотношением» r , потому что, если вы разделите (то есть, если вы найдете соотношение) последовательных членов, вы всегда получите это общая ценность.

---

• Найдите общее различие и следующий член следующей последовательности:

Чтобы найти общую разницу, я должен вычесть пару следующих друг за другом членов.Неважно, какую пару я выберу, если они находятся рядом друг с другом. Чтобы быть внимательным, сделаю все вычитания:

11–3 = 8

19–11 = 8

27–19 = 8

35–27 = 8

Разница всегда равна 8, поэтому общая разница составляет d = 8.

Мне дали пять членов, так что шестой член последовательности будет следующим термином.Я нахожу следующий член, добавляя общее различие к пятому члену:

Тогда мой ответ:

общая разница: d = 8

шестой семестр: 43

---

• Найдите общее отношение и седьмой член следующей последовательности:

Чтобы найти общее отношение, я должен разделить следующие пары членов.Неважно, какую пару я выберу, если они находятся рядом друг с другом. Чтобы быть внимательным, сделаю все деления:

Соотношение всегда 3, поэтому r = 3.

Мне дали пять сроков, так что шестой срок — это следующий семестр; седьмой будет срок после этого. Чтобы найти значение седьмого члена, я дважды умножу пятый член на обычное отношение:

a 6 = (18) (3) = 54

a 7 = (54) (3) = 162

Тогда мой ответ:

стандартное отношение: r = 3

седьмой семестр: 162

---

Поскольку арифметические и геометрические последовательности настолько хороши и правильны, у них есть формулы.

Для арифметических последовательностей общая разница составляет d , а первый член a 1 часто обозначается просто как « a ». Поскольку мы получаем следующий член, добавляя общую разницу, значение a 2 будет просто:

Продолжая, третий член:

a 3 = ( a + d ) + d = a + 2 d

Четвертый член:

a 4 = ( a + 2 d ) + d = a + 3 d

На каждом этапе общая разница умножалась на значение, которое было на единицу меньше индекса.Следуя этому шаблону, n -й член a _n будет иметь форму:

---

Для геометрических последовательностей обычное отношение составляет r , а первый член a 1 часто обозначается просто как « a ». Поскольку следующий член мы получаем умножением на обычное отношение, значение a 2 будет просто:

Продолжая, третий член:

Четвертый член:

На каждом этапе обычное отношение увеличивалось до степени, которая была на единицу меньше индекса.Следуя этому шаблону, n -й член a _n будет иметь форму:

Запомните эти n формул -го члена перед следующим тестом.

---

• Найдите десятый член и

  n -й член следующей последовательности:

Первое, что мне нужно сделать, это выяснить, какой это тип последовательности: арифметический или геометрический.Я быстро вижу, что различия не совпадают; например, разница между вторым и первым членами составляет 2 — 1 = 1, но разница между третьим и вторым членами составляет 4 — 2 = 2. Так что это не арифметическая последовательность.

С другой стороны, отношения последовательных членов одинаковы:

2 ÷ 1 = 2

4 ÷ 2 = 2

8 ÷ 4 = 2

(Я не делал деление с первым членом, потому что в нем участвовали дроби, и я ленив.Однако деление дало бы точно такой же результат.)

Очевидно, что это геометрическая последовательность с общим отношением r = 2, а первый член равен a = 1/2. Чтобы найти n -й член, я могу просто подставить в формулу a _n = ar ^{( n — 1)} :

a _n = (1/2) 2 ^{n –1} = (2 ^-1 ) (2 ^{n –1} )

= 2 ^{(–1) + ( n — 1)} = 2 ^{n — 2}

Чтобы найти значение десятого члена, я могу подставить n = 10 в формулу n -го члена и упростить:

Тогда мой ответ:

n -й семестр:

a _n = 2 ^{n –2}

десятый семестр: 256

---

• Найдите

  n -й член и первые три члена арифметической последовательности, имеющей a 6 = 5 и d = 3/2

n -й член арифметической последовательности имеет вид a _n = a + ( n — 1) d .В данном случае эта формула дает мне

a ₆ = a + (6 — 1) (3/2) = 5. Решая эту формулу для значения первого члена последовательности, я получаю а = –5/2. Потом:

a 1 =

–5/2

a 2 =

–5/2 + 3/2 = –1

a 3 =

–1 + 3/2 = 1/2

Это дает мне первые три члена последовательности.Поскольку у меня есть значение первого члена и общая разница, я также могу создать выражение для n -го члена и упростить:

–5/2 + ( n — 1) (3/2)

= –5/2 + (3/2) n — 3/2

= –8/2 + (3/2) n = (3/2) n — 4

Тогда мой ответ:

n -й семестр:

(3/2) n -4

первые три семестра:

–5/2, –1, 1/2

---

• Найдите

  n -й член и первые три члена арифметической последовательности, имеющей a 4 = 93 и a 8 = 65.

Поскольку a 4 и a 8 разделены на четыре позиции, то из определения арифметической последовательности я знаю, что я бы получил от четвертого члена к восьмому, добавив общую разницу четыре раза к четвертому члену. ; Другими словами, определение говорит мне, что a 8 = a 4 + 4 d . Используя это, я могу найти общую разницу d :

65 = 93 + 4 д

–28 = 4 д

–7 = д

Кроме того, я знаю, что четвертый член относится к первому члену по формуле a 4 = a + (4-1) d , поэтому, используя значение, которое я только что нашел для d , я могу найти значение первого члена a :

93 = a + 3 (–7)

93 + 21 = а

114 = а

Теперь, когда у меня есть значение первого члена и значение общей разницы, я могу без труда найти значения первых трех членов и общую форму n -го члена:

a 1 = 114

a 2 = 114-7 = 107

a 3 = 107 — 7 = 100

a _n = 114 + ( n — 1) (- 7)

= 114-7 n + 7 = 121-7 n

Тогда мой ответ:

n -й семестр: 121-7 n

первые три семестра: 114, 107, 100

---

• Найдите

  n, -й и 26-й члены геометрической последовательности: a 5 = 5/4 и a 12 = 160.

Два члена, для которых мне дали числовые значения, разнесены на 12-5 = 7 мест, поэтому, исходя из определения геометрической последовательности, я знаю, что перейду от пятого члена к двенадцатому, умножив пятый член по обыкновению семь раз; то есть a 12 = ( a 5) ( r ⁷ ). Я могу использовать это, чтобы найти значение общего отношения r :

160 = (5/4) ( r ⁷ )

128 = r ⁷

2 = r

Кроме того, я знаю, что пятый член относится к первому по формуле a 5 = ar ⁴ , поэтому я могу найти значение первого члена a :

5/4 = a (2 ⁴ ) = 16 a

5/64 = а

Теперь, когда у меня есть значение первого члена и значение общего отношения, я могу вставить каждое из них в формулу для n -го члена, чтобы получить:

a _n = (5/64) 2 ^{( n — 1)}

= (5/2 ⁶ ) (2 ^{n –1} )

= (5) (2 ^–6 ) (2 ^{n –1} )

= 5 (2 ^{n –7} )

С помощью этой формулы я могу вычислить двадцать шестой член и упростить:

Тогда мой ответ:

n -й семестр:

(5/64) (2 ^{n –1} )

26 семестр: 2,621,440

---

Когда мы узнаем, как работать с последовательностями арифметических и геометрических терминов, мы можем перейти к рассмотрению добавления этих последовательностей.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/series3.htm

Арифметическая серия | Purplemath

Purplemath

Арифметический ряд — это сумма членов арифметической последовательности. Геометрический ряд — это сумма членов геометрической последовательности.Существуют и другие типы рядов, но вы вряд ли будете много работать с ними, пока не изучите математический анализ. На данный момент вы, вероятно, в основном будете работать с этими двумя. На этой странице объясняется и показано, как работать с арифметическими рядами.

По причинам, которые будут объяснены в математике, вы можете взять только «частичную» сумму арифметической последовательности. Частичная сумма — это сумма ограниченного (то есть конечного) числа членов, таких как первые десять членов или с пятого по сотый член.

Формула для первых n членов арифметической последовательности, начиная с i = 1, выглядит так:

MathHelp.com

Если вы возьмете «2» в правой части знака «равно» из-под числа n и преобразуете его в умножение на половину в круглых скобках, вы увидите, что формула для суммы имеет следующий вид: , фактически, n раз больше «среднего» первого и последнего терминов.

Подобный подход к формуле суммирования может оказаться полезным способом запомнить формулу. (Кстати: формулу суммирования можно доказать с помощью индукции.)

Сумма первых n членов ряда называется « n -я частичная сумма» и часто обозначается как «S _n ».

---

• Найдите 35-ю частичную сумму S35 арифметической последовательности с членами

  a _n = (1/2) n + 1

35-я частичная сумма этой последовательности — это сумма первых тридцати пяти членов.Первые несколько членов последовательности:

a 1 = (1/2) (1) + 1 = 3/2

a 2 = (1/2) (2) + 1 = 2

a 3 = (1/2) (3) + 1 = 5/2

Члены имеют общую разницу

d = 1/2, так что это действительно арифметическая последовательность. Последним членом частичной суммы будет:

Тогда, подставив в формулу, 35-я частичная сумма будет:

(35/2) ( a 1 + a 35)

= (35/2) (3/2 + 37/2)

= (35/2) (40/2)

= 350

Тогда мой ответ:

35-я частичная сумма: S35 = 350

---

Я мог бы найти общее различие в приведенной выше последовательности, просто взглянув на формулу для членов последовательности.Поскольку это арифметическая последовательность, каждый член на фиксированную величину больше предыдущего. Если бы мы использовали непрерывную переменную, такую ​​как « x », которую мы использовали при построении прямых линий, вместо дискретной переменной n , тогда «

y = (1/2) x + 1 «будет прямой линией, увеличивающейся наполовину на каждом шаге.

Мы можем использовать то, что мы узнали о наклоне прямой линии и о том, как это соотносится с уравнением для прямой линии, чтобы определить общую разницу в формуле для членов… что может сэкономить время на тестировании.

---

• Найдите значение следующей суммы:

Из формулы «2 n — 5» для n -го члена я вижу, что каждый член будет на две единицы больше, чем предыдущий член. (Если бы я не был в этом уверен, я всегда мог бы ввести некоторые значения для n для подтверждения.) Так что это действительно арифметическая сумма. Но это суммирование начинается с n = 15, а не с n = 1, и формула суммирования применяется к суммам, начинающимся с n = 1. Итак, как я могу работать с этим суммированием? Используя небольшой трюк:

Самый быстрый способ найти значение этой суммы — найти 14-ю и 47-ю частичные суммы, а затем вычесть 14-ю из 47-й. S14 — это сумма с первого по четырнадцатый слагаемые. Выполняя это вычитание, я вычту с первого по четырнадцатый член из первого по сорок седьмой, так что у меня останется сумма с 15-го по 47-й член.

Первый член:

Другими необходимыми условиями являются четырнадцатый и сорок седьмой:

a 14 = 2 (14) — 5 = 23

a 47 = 2 (47) — 5 = 89

С этими значениями у меня теперь есть все, что мне нужно, чтобы найти две частичные суммы для моего вычитания:

Вычитая, получаем:

Тогда мой ответ:

---

Кстати, это вычитание можно также выразить как «S ₄₇ — S ₁₄ ».Не удивляйтесь, если вы увидите упражнение, использующее эти обозначения и ожидающее, что вы извлечете из него смысл, прежде чем сможете приступить к вычислениям.

Примечание по форматированию: поскольку это было просто суммирование, можно с уверенностью предположить, что суммируемым выражением является «2 n -5». Однако (и особенно если вы имеете дело с чем-то более сложным) иногда может потребоваться группировка символов, чтобы прояснить смысл. Правильно, автор предыдущего упражнения должен был отформатировать суммирование с помощью группирующих символов следующим образом:

---

• Найдите значение

  n , для которого верно следующее уравнение:

Я знаю, что первый член имеет значение:

Я вижу из формулы, что каждый член будет равен 0.На 25 единиц больше, чем в предыдущем члене, поэтому это арифметический ряд с d = 0,25. Тогда формула суммирования арифметических рядов дает мне:

( n /2)(2,25 + [0,25 n + 2]) = 21

n (2,25 + 0,25 n + 2) = 42

n (0,25 n + 4,25) = 42

0,25 n ² + 4.25 n — 42 = 0

n ² + 17 n — 168 = 0

( n + 24) ( n -7) = 0

Решая это квадратное уравнение, я получаю, что n = –24 (что не имеет смысла в данном контексте) или n = 7. Тогда:

---

Вы, , могли бы выполнить указанное выше упражнение, добавляя термины, пока не дойдете до требуемой суммы, равной 21.Но ваш инструктор может легко дать вам суммирование, которое потребует, скажем, восьмидесяти шести или тысячи, прежде чем вы подойдете к правильной сумме. Даже если бы вы, , могли выполнить все шаги , это было бы нелепой тратой времени, особенно на тесте. Поэтому убедитесь, что вы можете выполнять вычисления по формуле.

---

• Найдите сумму 1 + 5 + 9 + … + 49 + 53

Проверяя термины, я вижу, что это действительно арифметический ряд:

5 — 1 = 4

9–5 = 4

53 — 49 = 4

(И я хочу иметь привычку проверять так, потому что они не всегда говорят мне, особенно на тесте, какие серии они мне дали.)

Мне дали первый и последний термины этой серии, но сколько всего терминов? Я должен разобраться в этом сам.

У меня есть формула для n -го члена арифметической последовательности:

Мне дали a 1 = 1, и я выяснил, что d = 4. Подставляя эти значения в формулу, я могу вычислить, сколько там терминов:

a _n = a 1 + ( n — 1) d

53 = 1 + ( п -1) (4)

53 = 1 + 4 n — 4

53 = 4 n — 3

56 = 4 n

14 = n

Итак, в этой серии 14 терминов.Теперь у меня есть вся необходимая информация, чтобы найти сумму, хотя я не знаю всех суммируемых терминов:

1 + 5 + 9 + … + 49 + 53

= (14/2) (1 + 53)

= (7) (54) = 378

Тогда мой ответ:

---

Далее мы рассматриваем геометрические ряды.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/series4.htm

Серия

по арифметике и геометрии — IB Math Stuff

Определения

Серия — Ряд образован суммой или сложением членов в последовательности. Например, арифметический ряд формируется путем суммирования членов в арифметической последовательности.

Последовательность:	(1) \ begin {Equation} 3, 5, 7, 9, … \ end {equal}
Серия:	(2) \ begin {уравнение} 3 + 5 + 7 + 9 + … \ end {уравнение}

n ^-й Частичная сумма — определяется как сумма от 1 ^{-го члена} до n ^{-го члена} в последовательности. Например, частичная сумма 5 ^-го вышеприведенного ряда будет:

(3)

\ begin {уравнение} 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35 \ end {уравнение}

Обозначение частичных сумм

Имеется два вкуса.Тот, который довольно прост для понимания и наиболее часто используется в математике SL. Второй — более сложный, пугающий и редко используется в SL.

Первое обозначение: Частичное число n ^-го может быть обозначено как $ S_n $, где n сообщает читателю, сколько членов нужно суммировать. Например, используя арифметический ряд $ 3 + 5 + 7 + 9 + … $, тогда частичная сумма 5 ^th будет:

(4)

\ begin {уравнение} S_5 = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35 \ end {уравнение}

Стоит отметить, что «частичная сумма n ^th » обычно относится к фактическому результату сложения, а не к утверждению, показывающему все сложение.

Второе обозначение: Это обозначение часто называется «нотацией суммирования» и включает в себя номер члена, с которого мы начинаем, номер члена, которым мы заканчиваем, и детали того, что мы суммируем. Например:

Это обозначение позволяет нам начать суммирование с любого члена, который мы захотим. В следующем примере суммирование начинается с 5 ^{-го члена} и продолжается до 7 ^{-го члена} .

«Уравнение» в нотации суммирования работает путем простой подстановки значений n в уравнение, выполняя арифметические вычисления в одном из членов ряда.

Суммирование арифметических рядов

Немного сообразительности и наблюдательности можно создать два уравнения, которые позволяют легко вычислить арифметический ряд:

(5)

\ begin {align} S_n = \ frac {n} {2} (u_1 + u_n) \ end {align}

Эта формула требует, чтобы вы знали первый и последний член ряда. Второе уравнение, показанное ниже, позволяет вычислить сумму, не зная окончательного члена, который вы будете суммировать (умно!). Следующее уравнение позволяет вычислить сумму, если вы знаете первый член и общую разницу.

(6)

\ begin {align} S_n = \ frac {n} {2} (2u_1 + (n-1) d) \ end {align}

Это уравнение происходит из предыдущего уравнения, когда выполняется замена $ u_n = u_1 + (n-1) d $ и алгебраическое выражение упрощается.

Примеры

Пример 1 Найдите частичную сумму 12 ^-го для 4,5 + 6 + 7,5 + …

долл.

Сначала найдите общую разницу:

(7)

\ begin {уравнение} 6 — 4,5 = 1,5 \ end {уравнение}

Тогда простая замена:

(8)

\ begin {align} S_ {12} = \ frac {12} {2} (2 \ cdot 4.5 + (12-1) 1.5) = 153 \ end {align}

---

Пример 2 Найдите $ S_ {20} $ за 5 + 2 + -1 + -4 $

Сначала найдите общую разницу:

(9)

\ begin {уравнение} 2 — 5 = -3 \ end {уравнение}

Опять же, простая замена:

(10)

\ begin {align} S_ {20} = \ frac {20} {2} (2 \ cdot 5 + (20-1) (- 3)) = — 470 \ end {align}

---

Пример 3 Найдите значение n такое, что $ S_n = 205 $ для $ 7 + 10 + 13 + … $

Сначала найдите общую разницу:

(11)

\ begin {уравнение} 10-7 = 3 \ end {уравнение}

Затем подставьте:

(12)

\ begin {align} S_ {n} = \ frac {n} {2} (2 \ cdot 7 + (n-1) 3) = 205 \ end {align}

Теперь уравнение квадратично для n и выглядит примерно так:

(13)

\ begin {уравнение} 1.2 + 5,5n = 205 \ end {уравнение}

Выберите свой любимый способ решения ..

В любом случае вы должны получить $ n = 10 $. Вот как это решила Wolfram Alpha.

Вы должны заметить, что вы получаете два решения (в конце концов, это квадратичное), в этом случае желателен только положительный ответ, поскольку последовательность / ряд не определен для отрицательных чисел термов. Также второе решение не является целым числом, что обычно указывает на то, что что-то не так.

---

Суммирование геометрических рядов

Составление уравнения для суммирования геометрического ряда требует большого ума и здоровой дозы того, что кажется волшебством.n)} {1-1.7} \ приблизительно 443 088 \ end {align}

Это оставляет нам экспоненциальное уравнение, которое можно решить с помощью логарифма или GDC. И снова вот как это сделал Wolfram Alpha.

Ответ: $ n \ приблизительно 19 $.

---

Еще несколько определений

Infinite Series — серия, содержащая бесконечное количество членов. Я бы привел пример, но на то, чтобы записать, потребуется время…

Divergent Infinite Series — Серия, в которой при сложении всего бесконечного числа членов результатом является положительная или отрицательная бесконечность.Если это похоже на «А, разве это не всегда происходит?» взгляните на следующее определение.

Конвергентная бесконечная серия — Серия, в которой при сложении всего бесконечного числа членов получается конечное (или не бесконечное) число. Вы спросите, как такое возможно? Попробуйте сложить на своем калькуляторе ряды, указанные ниже.

(19)

\ begin {align} 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {16} + … \ end { align}

Добавляйте все больше и больше терминов в этот ряд, и он будет «сходиться» или приближаться к 2, но никогда не достигнет этого, потому что вам придется буквально добавлять бесконечное количество терминов.Или попробуйте:

(20)

\ begin {align} 3- \ frac {4} {2 \ times 3 \ times 4} + \ frac {4} {4 \ times 5 \ times 6} — \ frac {4} {6 \ times 7 \ times 8} + \ frac {4} {8 \ times 9 \ times 10} -. n $ будет приближаться к нулю.{\ infty} = 0 $ оставим нам уравнение:

(22)

\ begin {align} S_ \ infty = \ frac {u_1} {1-r} \ end {align}

Ницца. А также. Простой.

Пример

Пример 1 Найдите значение бесконечной суммы $ 1 + \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + … $

Сначала найдите общее отношение:

(23)

\ begin {align} \ frac {\ frac {2} {3}} {1} = \ frac {2} {3} \ end {align}

Еще раз небольшая подмена:

(24)

\ begin {align} S_ \ infty = \ frac {1} {1- \ frac {2} {3}} = 3 \ end {align}

---

---

Хотите добавить или прокомментировать эти заметки? Сделайте это ниже.

.