Сумма четвертых степеней формула: Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.
Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности. Поделиться:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая | Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. {2\pi imx}F(x)\ dx\right\}$1.5 Сумма кубов n первых чисел натурального ряда. Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа БернуллиПохожие главы из других работ:Антипростые числа 1.2 Исследование количества антипростых чисел среди натуральных чиселБудем исследовать количество антипростых чисел среди натуральных чисел в следующем смысле. Необходимо попытаться найти или оценить количество антипростых чисел на различных отрезках (например, от 1 до 1000, от 1 до 1000000… Антипростые числа 1.3 Исследование частоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чиселБудем исследовать частоту встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел в следующем смысле. Необходимо исследовать свойства частоты встречаемости антипростых чисел на отрезках длины т… Математическая статистика 1.1 Построение статистического рядаИсходные данные к курсовой работе взяты на сайте: http://www. Математическое моделирование динамики опасных факторов пожара в помещении 5. Прогнозирование обстановки на пожаре к моменту прибытия первых подразделений на тушениеОпределяем обстановку на пожаре к моменту прибытия на пожар первых подразделений. Она определяется расчетом, при этом используются данные, полученные при расчете динамики опасных факторов пожара… Методология изучения темы «Признаки параллельности прямых» 1.6. Сумма углов треугольникаПри выводе теоремы о сумме углов треугольника можно использовать наглядные пособия. Вырезают треугольник АВС, пронумеровываются его углы, затем обрывают их и прикладывают друг к другу. Получается 1+2+3=2d… Определение данных натуральных наблюдений методами математической статистики Построение вариационного ряда;Группировка данных натурных наблюдений; Определение расчетных статистических характеристик (мер положения, рассеивания. Определение данных натуральных наблюдений методами математической статистики Группировка вариационного ряда — деление вариационного ряда на частиНеобходимо определить: количество классов (интервалов), длину и границы каждого класса, частоту. а) Количество классов, на которые необходимо разделить вариационный ряд, определяется различными способами (4, 7, 8, 12, 14… Способы получения псевдослучайных чисел. Генератор псевдослучайных чисел Джона фон НейманаВ программировании достаточно часто находят применение последовательности чисел, выбранных случайным образом из некоторого множества. В качестве примеров задач, в которых используются случайные числа… Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли 1.2 Сумма n первых чисел натурального рядаПоставим себе задачей найти сумму n первых чисел натурального ряда. Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли 1.3 Сумма квадратов n первых чисел натурального ряда.Поставим себе задачей найти сумму квадратов л первых чисел натурального ряда: 12+22+32+…+(n-1)2+n2 Обозначив эту сумму через S2… Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли 1.7 Выражение суммы k-х степеней n первых чисел натурального ряда через детерминантРекуррентная формула (5) предыдущего параграфа дает нам возможность получить непосредственное выражение суммы Sk с помощью детерминанта. Положим в этой формуле k равным k, k — 1, k — 2, k — 3,…, 2, 1, 0… Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли 2.2 Выражение суммы k-x степеней n первых чисел натурального ряда с помощью бернуллиевых чисел. Формула МоавраНа основании того, что говорилось в прошлом параграфе, мы можем положить: (1) где b0, b1, b2,…,bk — коэффициенты, не зависящие от n, но зависящие от k. Эти коэффициенты мы должны определить. Для этого заменим в равенстве (1) n на n-1… Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли 3. Сумма k-x степеней (n-1) первых чисел натурального ряда. Функция Бернулли.Кроме суммы: часто рассматривают сумму: (1) Выражение суммы (1) получится, если в формуле (7) § 2 перенести член nk в правую часть… Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли 2.6 Сумма степеней четных и нечетных чиселМы имеем [формула (1) § 4]: (1) Заменим в формуле (1) n на 2n. Получим: (2) Умножим теперь все члены формулы (1) на 2k. Получим: (3) Формула (3) дает сумму k-х степеней первых четных чисел вплоть до 2n. Вычитая почленно (3) из (2)… Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли 2. 7 Знакопеременная сумма степенейУмножим все члены формулы (3) § 6 на 2. Получим: (1) Вычтем равенство (1) почленно из равенства (2) предыдущего параграфа. Получим: (2) Преобразуем формулу (2). Получаем: (3) Формула (3) дает знакопеременную сумму k-х степеней первых 2n чисел… Суммирование некоторых последовательностей
Сумма n членов арифметической прогрессии, в сущности, сводится к суммированию первых n натуральных чисел. Уже в древности возник вопрос о суммировании квадратов и других степеней первых n натуральных чисел. На одной из глиняных табличек вавилонян (VI в. до н. э.) было обнаружено равенство:
Зато доказательство правила для вычисления суммы квадратов имеется у Архимеда, который применяет его в нескольких случаях, в частности, при определении площади спирали. Дело в том, что, чтобы найти площадь витка спирали, Архимед делит ее на секторы и показывает, что каждый сектор спирали по площади лежит между некими меньшим и большим круговыми секторами, причем разность между суммарной площадью больших секторов, с одной стороны, и меньших секторов, с другой, может быть сделана сколь угодно малой при увеличении числа секторов. А в силу того, что расстояние от точки спирали до центра пропорционально углу оборота, радиусы секторов и их дуги пропорциональны углам оборота, а значит, их площади пропорциональны квадратам углов оборота, пропорциональных, в свою очередь, последовательным натуральным числам.  Поэтому возникает вопрос, суммарная площадь больших или меньших круговых сегментов пропорциональна сумме квадратов первых n последовательных натуральных чисел, и такую сумму Архимеду надо было уметь определить.
Сумму квадратов Архимед находит, как обычно, в геометрических терминах. При переводе на язык современных алгебраических обозначений и с некоторыми сокращениями его доказательство выглядит так.
Если мы запишем такие равенства для всех k от 1 до n и просуммируем их, получится
Далее,
или
поэтому Так как
Сумму четвертых степеней первых n чисел получил арабский математик ал-Караджи (X–XI вв.). Он построил квадрат со стороной (1 + 2 + 3 + .
Интересную последовательность рассмотрел французский философ-схоласт XIV в. – Н. Орем. Он задался вопросом: чему была бы равна средняя скорость (в тогдашней терминологии средняя «интенсивность», это более общий термин, но нам сейчас достаточно рассмотреть среднюю скорость) на промежутке, равном 2, если этот промежуток разбит на участки, соответствующие убывающей геометрической прогрессии: 1, 1/2, (1/2)2, (1/2)3…, а скорость на каждом участке растет в арифметической прогрессии: 1, 2, 3, 4… Для того, чтобы решить этот вопрос, надо вычислить выражение такого вида:
1 ∙ 1 + 2 ∙ (1/2) + 3 ∙ (1/2)2 + 4 ∙ (1/2)2…
Сумму такого ряда Орем представлял в виде площади ступенчатой фигуры, сделанной из стоящих друг на друге прямоугольников, каждый из которых имеет высоту 1, а ширина нижнего 2, вышележащего 1, далее 1/2,
(1/2)2 и т. д. Вся фигура разбита вертикальными линиями на отрезки шириной 1, 1/2, (1/2)2 и т.
Эта фигура, по сути, ни что иное, как график скорости: высота в ее самой левой части равна 1, затем 2, затем 3 и т. д. Сумма ряда равна площади всей фигуры, вместе с тем эту площадь можно найти и иначе: площадь нижнего прямоугольника равна 2, более высокого 1, затем 1/2, (1/2)2 и т. д. – мы имеем дело не с чем иным, как с геометрической прогрессией, сумма которой равна 4. Средняя скорость на всем промежутке равна всей площади (4), деленной на длину промежутка (2) – то есть 2, скорости на втором промежутке.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ряд, рассмотренный Оремом, имеют конечную сумму. А другие ряды? Ясно, что для того, чтобы сумма бесконечного числа членов ряда равнялась бы конечной величине, нужно, чтобы сами члены ряда стремились бы к нулю, то есть начиная с достаточно большого номера становились бы меньше любой наперед заданной величины.
Кирпичи кладут один на другой так, чтобы они не падали: для этого центр масс всех верхних кирпичей должен лежать внутри основания нижнего.
Помимо бесконечных сумм, можно рассматривать и бесконечные произведения. Первое из них ввел Ф. Виет. Рассматривая задачу о квадратуре круга, Виет вывел зависимость между площадями правильных многоугольников с n и 2n сторонами, вписанными в один и тот же круг радиуса R. Каждый из этих многоугольников можно разделить на 2n треугольников с вершиной в центре многоугольников и углом при вершине, равным 180°/n: у первого из них каждый такой треугольник будет прямоугольным, а у второго равнобедренным. Что и требовалось доказать. Функция СУММКВВ этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции СУММКВ в Microsoft Excel. ОписаниеВозвращает сумму квадратов аргументов. СинтаксисСУММКВ(число1;[число2];…) Аргументы функции СУММКВ описаны ниже.
Замечания
ПримерСкопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Математика для блондинок: Формулы сокращенного умноженияСтраничка моего любимого справочника по математике, на которой увековечены формулы сокращенного умножения. Весьма полезная штучка, довольно часто приходилось заглядывать. Не смотря на заголовок, я что-то в упор не вижу формул сокращенного деления. Как видите, даже в справочниках бывают ошибки и опечатки. Нельзя слепо верить книжкам, как бы они не назывались.
Здесь и сами формулы сокращенного умножения, и их названия. И так, на картинке у нас представлены: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма и разность кубов, сумма и разность четвертых степеней, произведение двучленов, преобразование произведения и другие обитатели математического зоопарка. Очень примечательна формула преобразования произведения в сумму и разность. Оба элемента возводятся в квадрат. А возведение в квадрат — это то же умножение. Это мы друг другу можем сколько угодно рассказывать, что умножение — это многократное сложение. Математику не так-то просто обмануть. Очень поражает странность математиков. Как когда-то какой-то церковно-приходской дьячок нацарапал гусиным пером формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности, так их из учебника в учебник и переписывают. Абсолютное отсутствие мозгов и воображения. Даже в школе никто из математиков никогда не учился. Или это им в институте мозги матаном убивают? Любой школьник знает, что от перестановки местами слагаемых сумма не меняется. Я вот о чем.
 Вот такая она, современная математика жадных мародеров.Кстати, вопрос для любознательных блондинок. Смотрим на предпоследнюю формулу возведения в квадрат трех слагаемых. Теперь вопрос. Если возвести в квадрат четыре слагаемых, то в результате получим сумму квадратов четырех слагаемых плюс удвоенные произведения… Сколько элементов ещё нужно прибавить? Работают ли правила комбинаторики? Я ответ не знаю. Честно. Суммы и произведения корнейКорни многочлена«Корень» (или «ноль») — это полином , равный нулю. : Проще говоря: корень — это значение x, где значение y равно нулю. Общий многочленЕсли у нас есть такой общий многочлен: f (x) = ax n + bx n-1 + cx n-2 + … + z Тогда:
Что иногда может помочь нам решить проблемы. Как работает эта магия? Давайте узнаем … ФакторыМы можем взять многочлен, например: f (x) = ax n + bx n-1 + cx n-2 + … + z А затем разложите на множители так: f (x) = a (x − p) (x − q) (x − r) … Тогда p, q, r и т. Д. Являются корнями (где многочлен равен нулю) КвадратичныйДавайте попробуем это с помощью квадратичного уравнения (где наибольший показатель переменной равен 2): топор 2 + bx + c Когда корни равны p и q , то же квадратичное равенство: а (х-р) (х-д) Есть ли связь между a, b, c и p, q ? Давайте расширим a (x − p) (x − q): a (x − p) (x − q)
Теперь мы видим, что −a (p + q) x = bx, поэтому: -a (p + q) = b р + д = -b / а И apq = c, поэтому: pq = c / a И получаем такой результат:
Это поможет нам ответить на вопросы. Пример: что такое уравнение, корни которого равны 5 + √2 и 5 — √2 Сумма корней равна (5 + √2) + (5 — √2) = 10 И нам нужно уравнение вроде: топор 2 + bx + c = 0 Когда a = 1 , мы можем вычислить, что:
Что дает нам этот результат x 2 — (сумма корней) x + (произведение корней) = 0 Сумма корней равна 10, а произведение корней равно 23, поэтому мы получаем: x 2 — 10x + 23 = 0 А вот его сюжет: (Вопрос: что произойдет, если мы выберем a = −1 ?) КубическийТеперь давайте посмотрим на кубический (на один градус выше квадратичного): топор 3 + bx 2 + cx + d Как и в случае квадратичной, расширим коэффициенты: a (x − p) (x − q) (x − r) И получаем:
Теперь мы видим, что −a (p + q + r) x 2 = bx 2 , поэтому: -a (p + q + r) = b р + д + г = -b / а И −apqr = d, поэтому: pqr = -d / a Это интересно.
(Мы также получаем pq + pr + qr = c / a, что само по себе может быть полезно.) Высшие полиномыТот же самый образец продолжается с более высокими полиномами. В целом:
ФОРМУЛЫ ВЬЕТЫЕго 6 корней равны X1 = 2 X2 = -3 X3 = 4 X4 = -5 X5 = 6 X6 = -7а его 7 коэффициентов равны a = 3 b = 9 c = -195 d = -405 e = 3,432 f = 3,636 g = -15,120 Приведем 6 формул Виета для шестнадцатеричных уравнений, а затем Х1 + Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х6 = — (б / а) (X1 • X2) + (X1 • X3) + (X1 • X4) + (X1 • X5) + (X1 • X6) + (X2 • X3) + (X2 • X4) + (X2 • X5) + (X2 • X6) + (X3 • X4) + (X3 • X5) + (X3 • X6) + (X4 • X5) + (X4 • X6) + (X5 • X6) = (c / a) (X1 • X2 • X3) + (X1 • X2 • X4) + (X1 • X2 • X5) + (X1 • X2 • X6) + (X1 • X3 • X4) + (X1 • X3 • X5) + (X1 • X3 • X6) + (X1 • X4 • X5) + (X1 • X4 • X6) + (X1 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4) + (X2 • X3 • X5) + (X2 • X3 • X6) + (X2 • X4 • X5) + (X2 • X4 • X6) + (X2 • X5 • X6) + (X3 • X4 • X5) + (X3 • X4 • X6) + (X3 • X5 • X6 ) + (X4 • X5 • X6) = — (d / a) (X1 • X2 • X3 • X4) + (X1 • X2 • X3 • X5) + (X1 • X2 • X3 • X6) + (X1 • X2 • X4 • X5) + (X1 • X2 • X4 • X6) + (X1 • X2 • X5 • X6) + (X1 • X3 • X4 • X5) + (X1 • X3 • X4 • X6) + (X1 • X3 • X5 • X6) + (X1 • X4 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4 • X5) + (X2 • X3 • X4 • X6) + (X2 • X3 • X5 • X6) + (X2 • X4 • X5 • X6) + (X3 • X4 • X5 • X6) = (э / а) (X1 • X2 • X3 • X4 • X5) + (X1 • X2 • X3 • X4 • X6) + (X1 • X2 • X3 • X5 • X6) + (X1 • X2 • X4 • X5 • X6) + (X1 • X3 • X4 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4 • X5 • X6) = — (f / a) (X1 • X2 • X3 • X4 • X5 • X6) = (г / год) • • • • • • • • • • Если вам нужно определить формулы Виета для других уравнений, следующая информация может оказаться очень полезной. Квадратичные уравнения (многочлены второй степени)
Кубические уравнения (многочлены третьей степени)
Уравнения четвертой степени (многочлены четвертой степени)
Уравнения пятой степени (многочлены пятой степени)
Шестические уравнения (полиномы шестой степени)
Как решить уравнения четвертой степени Освоив приемы решения в случае работы с квадратными уравнениями, школьники сталкиваются с необходимостью подняться на более высокую ступень. ИнструкцииШаг 1 Примените формулу Виета, которая устанавливает связь между корнями уравнения в четвертом и его коэффициентами. Согласно его положениям, сумма корней дает значение, равное отношению первого коэффициента ко второму, взятому с обратным знаком.Порядок нумерации совпадает с убывающими степенями: первая соответствует максимальной степени, четвертая — минимальной. Сумма попарных произведений корней — это отношение третьего коэффициента к первому. Соответственно, сумма произведений x1x2x3, x1x3x4, x1x2x4, x2x3x4 является значением, равным противоположному результату деления четвертого коэффициента на первый. А умножив все четыре корня, вы получите число, равное отношению отрезка уравнения к коэффициенту перед переменной в максимальной степени.Составленные таким образом четыре уравнения дают вам систему с четырьмя неизвестными, для решения которой достаточно базовых навыков. Шаг 2Проверьте, принадлежит ли ваше выражение к одному из типов уравнений четвертой степени, которые называются «легко решаемыми»: биквадратичным или рефлексивным. Превратите первое в квадратное уравнение, изменив параметры и обозначив квадрат неизвестного через другую переменную. Шаг 3Используйте стандартный алгоритм для решения рекуррентных уравнений четвертой степени, в которых коэффициенты на симметричных позициях совпадают.Для первого шага разделите обе части уравнения на квадрат неизвестной переменной. Преобразуйте полученное выражение таким образом, чтобы можно было изменить переменную, которая превращает исходное уравнение в квадратное. Для этого в вашем уравнении должно быть три члена, два из которых содержат выражения с неизвестным: первое — это сумма квадрата и обратного значения, второе — сумма переменного и обратного. Решение многочлена 4-й степени Привет, я просто хотел добавить в микс еще один метод, называемый синтетическим делением. Сначала мы можем найти возможные корни с помощью теста рациональных корней. Для x 4 + 3x 3 + + 0x 2 + x + 3 = 0 мы берем ± из простых множителей коэффициента самой низкой степени (в данном случае x 0 равно 3,1) и делим на ± простые множители коэффициента наивысшей степени (в данном случае x 4 равно 1), ± 3,1 / 1 дает ± 3 и ± 1 как возможные рациональные корни. Я начну с 1 как первого возможного корня. 1 | 1 3 0 1 3 Чтобы установить это, выбранный корень 1 находится в крайнем левом углу, затем нарисуйте L-образную форму (как я пытался). | 1 4 4 5 1 3 0 1 3 справа от возможного корня 1 — это коэффициенты. затем понизьте | ___________ под нижней строкой первый коэффициент 1. умножьте корень 1 на нижний 1 4 4 5 8 коэффициент 1, то есть 1 во второй строке. Добавьте второй коэффициент в первой строке 3 к 1 во второй строке, чтобы получить 4 внизу. Продолжайте, пока не будете готовы. дает ноль, у вас есть корень.Что в данном случае — нет. -1 | 1 3 0 1 3 В этом случае мы нашли корень из -1. Итак, (x + 1) — решение, и мы можем взять нижнюю | -1-2 2-3 числа для записи нашего факторизованного уравнения (x + 1) (x 3 + 2x 2 -2x + 3). Снова наши рациональные корни | ___________ для нашего нового уравнения равны ± 3,1 / 1 или ± 1,3. 1 2-2 3 0 3 | 1 2 -2 3 На этот раз я начинаю с 3, но безуспешно. | 3 15 39 | __________ 1 5 13 42 -3 | 1 2 -2 3 Другой рут.Теперь у нас есть (x + 1) (x + 3) (x 2 -x + 1). Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем | -3 3 -3 1 ± √1-4 * 1 * 1 | / 2 или 1 ± √-3/2 и не осталось никаких вещественных корней. | __________ 1-1 1 0 Надеюсь, это поможет, Джо. Формула Виета | Блестящая вики по математике и наукеРассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами и корнями r1r_1r1, r2: r_2: r2: a2x2 + a1x + a0 = a2 (x − r1) (x − r2). (PDF) Классический новый метод решения уравнений четвертой степениПрикладная и вычислительная математика, 2013, 2 (2): 24-27 27 ii N 5622.06624.0,5622.06624.0 67.1398688.0,32.408688.0 3 + −− → ∠ − ∠ = Выбираются корни, удовлетворяющие уравнению (18): 3247,1 1 = N iN 5619.06224.0 2 −− = 5622.06624.0 3 + — = N iN 8749. 41 + −− = iiN 8749.03210.0,8 42 −− + = 15095,1,15095.1 43 — = N Выбираются ответы, удовлетворяющие уравнению (16): 7929.1 1 — = x ix ix x 75.11510.1 75.11510.1 5089.0 4 3 2 + используя Второй метод мы проверяем на следующем примере. 5. Выводы Самым важным моментом во всех методах решения уравнения четвертой степени является сложность этих решений. Чтобы доказать эффективность и простоту предложенного метода , в четвертом разделе статьи приведен пример четверки, который решается с помощью предложенного инициированного метода. Ссылки [1] «Простой метод решения уравнений четвертой степени» Амир Фати, Пуйя Мобадерсани, Рахим Фатхи, Австралийский журнал Основные и прикладные науки, 6 (6): 331-336, 2012, ISSN 1991-8178. [2] Кардано, Джироламо, (перевод Т. Ричарда Витмера), Ars Magna или правила алгебры, Дувр, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, 1993. [3] Фосетт, WM «Геометрическая интерпретация Решение общего многочлена четвертой степени ». Амер. Математика. Ежемесячно 103, 51-57, 1996. [4] Gellert, W .; Gottwald, S .; Hellwich, M .; Kästner, H .; и Künstner, H. (Eds.). ВНР Краткая энциклопедия математики, 2-е изд.Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд, 1989. [5] Хазевинкель М. (Управляющий ред.). Энциклопедия Математика: обновленный и аннотированный перевод советской «Математической энциклопедии ». Дордрехт, Нидерланды: Рейдел, 1988. [6] MathPages. «Преобразование квартиков в кубики». http://www.mathpages.com/home/kmath396.htm. [7] Смит Д. Э. Справочник по математике. Нью-Йорк: Дувр, 1994. [8] ван дер Варден, Б. Л. §64 по алгебре, т. 1. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1993. [9] Бейер, У. Х. Стандартные математические таблицы CRC, 28-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 12, 1987а. [10] Бейер, У. Х. Справочник по математическим наукам, 6-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, 1987b. [11] Биркгоф, Г., Мак Лейн, С. Обзор современной алгебры, 5-е изд. Нью-Йорк: Macmillan, стр.107-108, 1996. [12] Borwein, P. and Erdélyi, T. «Quartic Equations». §1.1.E.1e в полиномах и полиномиальных неравенствах. Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 4, 1995. [13] Бойер, К. Б., Мерцбах, У. С. История математики, 2-е изд. New York: Wiley, pp. 286-287, 1991. [14] И. Стюарт, «Теория Галуа», изд: Chapman & Hall / CRC Mathematics, 2004. [15] JJ O’Connor and Э.Ф. Робертсон, «Лодовико Феррари», в Архив истории математики MacTutor, изд. Школа математики и статистики, Сент-Эндрюсский университет Шотландия. [16] ЛЕГКИЙ ВЗГЛЯД НА КУБИЧЕСКУЮ ФОРМУЛУ. Ослер. Математический факультет, Университет Роуэн, Глассборо, штат Нью-Джерси, 08028. Математическая сцена — уравнения III — Урок 2Математическая сцена — уравнения III- Урок 2- Квадратные уравнения
Урок 2 Уравнения кубической и четвертой степени Как мы можем решить такие уравнения, как кубическое уравнение показано здесь? x 3 — x 2 4x + 4 = 0 Существует чрезвычайно сложная формула решения кубические уравнения.Некоторые калькуляторы имеют встроенную формулу и поэтому могут использоваться для решения кубических уравнений. Мы собираемся узнать, как эти уравнения могут быть решены с помощью факторизация. Если уравнение имеет решения, которые являются целыми числами a, b и c, то мы можем разложить уравнение на множители следующим образом: x 3 — x 2 4x + 4 = (x — а) (х — б) (х — в) = 0 Умножая скобки, видим, что константа
Член 4 должен быть числом, которое мы получаем, когда мы умножаем a, b и c вместе. abc = 4 Все решения a, b и c должны быть множителями 4, поэтому не так много целых чисел, которые нам нужно учитывать. У нас есть только следующие возможности: 1, 2 и 4 Хорошо изучите каждое из этих чисел, чтобы найти, какие из них являются решениями уравнения. f (1) = 1 3 — 1 2 4 × 1 + 4 = 0 1 — решение f (−1) = (−1) 3 — (−1) 2 4 × (-1) + 4 = 6 f (2) = 2 3 — 2 2 4 × 2 + 4 = 0 2 — решение f (−2) = (−2) 3 — (−2) 2 4 × (−2) + 4 = 0 −2 — решение Мы нашли три решения, поэтому нам не нужно попробуйте 4 и −4 как кубический уравнение имеет максимум три решения. Эти три числа дают нам значения a, b и c и мы можем факторизовать уравнение. x 3 — x 2 4x + 4 = (x — 1) (х — 2) (х + 2) = 0 Этот метод включает поиск целых чисел, которые являются множителями
(можно разделить на) постоянный член, а затем проверить, действительно ли эти
целые числа являются решениями уравнения. Пример 1 Решите уравнение x 3 — 3x 2 2x + 4 = 0 Ставим числа, кратные 4 в уравнение, чтобы проверить, верны ли какие-либо из них. f (1) = 1 3 — 3 × 1 2 2 × 1 + 4 = 0 1 — решение f (−1) = (−1) 3 — 3 × (−1) 2 2 × (-1) + 4 = 2 f (2) = 2 3 — 3 × 2 2 2 × 2 + 4 = −4 f (−2) = (−2) 3 — 3 × (−2) 2 2 × (−2) + 4 = −12 f (4) = 4 3 — 3 × 4 2 2 × 4 + 4 = 12 f (−4) = (−4) 3 — 3 × (−4) 2 2 × (−4) + 4 = −100 Единственное целочисленное решение — x = 1. Теперь мы можем разложить наши выражение следующим образом: x 3 — 3x 2 2x + 4 = (х — 1) (х 2 — 2х — 4) = 0 Теперь нам остается решить квадратичную уравнение. x 2 — 2x — 4 = 0 Используем формулу для квадратичных расчетов с a = 1, b = −2 и c = −4. Теперь мы нашли все три решения уравнение x 3 — 3x 2 2x + 4 = 0. Это: эфтирфаранди: .х = 1 х = 1 + 5 x = 1- 5 Пример 2 Мы можем легко использовать тот же метод для решения
уравнение четвертой степени или уравнения еще более высокой степени. Сначала мы находим целые множители постоянный член, 2. Целочисленные множители 2 равны 1 и 2. f (1) = 1 4 — 1 3 — 5 × 1 2 + 3 × 1 + 2 = 0 1 — решение f (−1) = (−1) 4 — (−1) 3 — 5 × (−1) 2 + 3 × (−1) + 2 = −4 f (2) = 2 4 — 2 3 — 5 × 2 2 + 3 × 2 + 2 = −4 f (−2) = (−2) 4 — (−2) 3 — 5 × (−2) 2 + 3 × (−2) + 2 = 0 ср нашли второй решение. Два найденных нами решения 1 и −2 означают, что мы можем разделить на x —
1 и x + 2 и остатка не будет. Сделайте это в два этапа. Теперь разделите полученное
кубический коэффициент по x — 1. Теперь мы разложили на множители x 2 — 2x — 1 = 0.Мы используем формула с a = 1, b = −2 и c = −1. Всего найдено четыре решения. Их: х = 1 х = -2 х = 1 + х = 1 — Иногда мы можем решить уравнение третьей степени, заключив в скобки члены два на два и найдя множитель что у них общего.Давайте посмотрим на это на примере. Пример 3. Решите уравнение x 3 — 2x 2 — 4x + 8 = 0
Обратите внимание, что скоба (x — 2) происходит дважды, когда мы закончили факторизацию. x = 2 — это поэтому двойное решение, и у нас есть только два разных. Это: х = 2 и х = -2 .Лауснир: x = 2 og x = −2 . Примеры, которые мы рассмотрели до сих пор, являются уравнения, в которых член с наибольшей степенью имеет коэффициент 1. Как мы иметь дело с уравнениями, где этот коэффициент — какое-то другое число? Общая форма — f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c и d — целые числа. Мы можем искать целочисленные решения в том же как и раньше, проверяя множители постоянного члена d. Если мы найдем целочисленное решение, тогда мы можем разделить и найти другие решения, как и раньше. Если ни один из факторов d не дает нам решения
затем мы ищем решения, которые являются дробями. Это означает, что x — t / n является фактором f (x), или, если мы умножаем на n, то xn — t является множителем. Теперь предположим, что мы разделили f (x) на xn.
— t и нашли квадратичный множитель, мы можем назвать его Теперь у нас есть результат ax 3 + bx 2 + cx + d = (xn — t) (Ax 2 + Bx + C) сравнивая коэффициенты х 3 на
обе стороны уравнения мы видим, что a = nA и, следовательно, n должно быть множителем
а. Мы заключаем, что любая дробь является решением кубическое уравнение ax 3 + bx 2 + cx + d должен иметь вид t / n, где t — множитель числа d, а n — фактор числа a. Обобщение для функции степени n: ф (х) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + × × × × + а 1 х + а 0 с коэффициентами a 0 ,
а 1 , а 2 , × × × × × а n − 2 , n − 1 и n . Если эта функция имеет рациональное решение, скажем, t / n, тогда t — коэффициент 0 , а n — коэффициент n . Пример 4 Решите уравнение f (x) = 2x 3 — 7x 2 + 4x + 3 = 0. Возможные целые корни f (x) — это делители 3, они равны 1 и 3. Дроби, которые могут быть корнями, — это эти четыре числа, разделенные на множители 2.Итак, полный список рациональных чисел, которые нам нужно рассмотреть, — это , 1, 3 / 2 и 3.Сразу видно, что нам не нужно рассмотрите любые отрицательные значения, поскольку все они будут давать отрицательные значения для f (x), а не 0. Теперь попробуем другие возможностиf () = 2 () 3 — 7 () 2 + 4 × + 3 = 3 f (1) = 2 × 1 3 — 7 × 2 + 4 × 1 + 3 = 2 ф ( 3 / 2 )
= 2 ( 3 / 2 ) 3 — 7 ( 3 / 2 ) 2 + 4 × 3 / 2 + 3 = 0, поэтому мы нашли решение. x = 3 / 2 — это решение, поэтому (x — 3 / 2 ) является множителем. Разделить на (x — 3 / 2 ) может быть сложно. Поэтому мы умножаем на 2 и вместо этого делим на (2x — 3). Если (x — 3 / 2 ) является фактор , то (2x — 3). Теперь нам нужно решить уравнение x 2 — 2x — 1 = 0.Мы уже решили это уравнение в примере 2. Решения: 1 + 2 og 1 — 2. Итак, мы нашли три решения. Их: х = 3 / 2 = 1 х = 1 + 2 х = 1 — 2 Попробуйте пройти тест 2 по уравнениям III. Не забудьте использовать контрольный список для следите за своей работой. .
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов
Целая положительная степень n суммы. (a + b)n=
gks.ru/Официальная статистикаРынок труда, занятость и заработная платаТрудовые ресурсы. Для построения статистического ряда необходимо найти долю населения…
..
Обозначим эту сумму через S1 Тогда будем иметь: S1= 1+2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + n. (1) Напишем эту сумму в обратном порядке, а именно: S1=n + (n-1) + (n-2) +… + 3+ 2 + 1. (2) Сложим почленно выражения (1) и (2)…
.. + n2 = (1 ∙ (1/3) + n ∙ (2/3)) ∙ (1 + 2 + 3 + … + n),
.. + (k – 1)) + k
..
6. Дальнейшие операции с рядом 12 + 22 + 32 + … + n2, сложим три исходных ряда
.. + (n – 1) + n), а в нем – другой квадрат (примыкающий к углу первого квадрата) со стороной (1 + 2 + 3 + … + (n – 1)). Разностью этих двух квадратов является гномон, ширина которого n, а большая сторона равна
(1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n) = n (n + 1) / 2. Площадь этого гномона 2n2 (n + 1) / 2 – n2 = n3. Если теперь в квадрате со стороной (1 + 2 + 3 + … + (n – 1)) выделить аналогичный гномон шириной (n – 1), его площадь будет (n – 1)3. Продолжая таким образом, в конце концов дойдем до квадрата со стороной 1. Площадь первоначального квадрата со стороной (1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n), таким образом, разбилась на гномоны, площади которых равны n3, (n – 1)3, …,33, 23, и квадрат площади 1 = 13. Таким образом, 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2 = (n (n + 1) / 2)2.
8. Площадь гномона рана n3
д.
Но этого мало. Бывают, оказываются, последовательности, стремящиеся к нулю, такие, что сумма ряда стремится к бесконечности. Орем первым доказал, что гармонический ряд
Если кирпичей два, то один может быть сдвинут относительно другого на половину длины. Если три, то средний относительно нижнего должен быть сдвинут на четверть, потому что центр масс верхних двух располагается посередине между центрами масс каждого. Если четыре, то по отношению к нижнему кирпичу следующий должен быть сдвинут на одну шестую длины одного кирпича. И т. д. В общем, получается, что, при неограниченном количестве идеальных кирпичей, самый верхний может быть сдвинут относительно самого нижнего на любое расстояние, поскольку гармонический ряд может принимать сколь угодно большое значение.
6$
.. получаем то же самое:
Однако этот переход не всегда кажется простым, и требование найти корни в уравнении четвертой степени иногда становится непосильной задачей.
Если последнее сложение
{n-1} + \ cdots + a_0P (x) = xn + an − 1 xn − 1 + ⋯ + a0 такое, что ai = ± 1a_i = \ pm 1ai = ± 1 для всех 0≤i≤n − 10 \ leq i \ leq n-10 ≤i≤n − 1, удовлетворяющее условию вещественности всех корней P (x) P (x) P (x).2-3 \ times \ frac {7} {5} \ right] \\
& = — \ frac {49} {125}. \ _\квадратный
\ end {array} r13 + r23 + r33 = 3r1 r2 r3 + (r1 + r2 + r3) [r12 + r22 + r32 — (r1 r2 + r2 r3 + r3 r1)] = 3r1 r2 r3 + (r1 + r2 + r3) [(r1 + r2 + r3) 2−3 (r1 r2 + r2 r3 + R3 r1)] = 3 × (−53) + (511) [(511) 2−3 × 57] = — 12549. □
03210.0,8749.03210.0
Томас Дж.
Когда мы
нашли одно решение, нам действительно не нужно проверять какие-либо другие числа, потому что
теперь мы можем решить уравнение, разделив на (x — 1) и попытавшись решить
квадратичный получаем из деления.
Решите уравнение f (x) = x 4 — x 3 — 5x 2 + 3x + 2 = 0.
