Сумма бесконечно убывающей прогрессии: Сумма бесконечно убывающей прогрессии | Онлайн калькулятор

Содержание

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Дата:24.12.2012 Алгебра 9 рус

Тема урока: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Цели и задачи урока: Научить приёмам комбинирования формул, определений, свойств арифметической и геометрической прогрессий. Научить приёму оформления задач через таблицу.

Развить навыки применения формул, составления уравнений, систем уравнений и методов их решений. Развить математический кругозор, мышление, математическую речь;

Воспитать активную работу на уроке, сознательное отношение к учёбе, интерес к изучению математики, воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию.

План урока.

Организационный момент.

Немного истории.

Теоретический опрос.

Решение задач.

Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.

Домашнее задание.

Ход урока.

Организационный момент.

Немного истории.

В клинописных табличках вавилонян, в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным. Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», в 1484 году.

Теоретический опрос.

Задание. Записать номер формулы.

Определение арифметической прогрессии.

Формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии через первый член и последний.

Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

Общую формулу для вычисления разности арифметической прогрессии.

Формулу свойства членов геометрической прогрессии.

Формулу суммы n-первых членов арифм-кой прогрессии через первый член и разность.

Общую формулу для вычисления знаменателя геометрической прогрессии.

Определение геометрической прогрессии.

Формулуn-го члена геометрическую прогрессии.

Формулу свойства членов арифметической прогрессии.

Формулуn-го члена арифметической прогрессии.

an+1 = an + d 7)

8)

an= a1+ (n – 1)d 9)

0)

6) 11)

12)

Проверить код ответов ( 1, 6, 12, 11, 2,0.

Расшифровать полученные числа, как день16.12.11. 20-летия Независимости Казахстана.

Решение комбинированных задач.

Даны 4 числа. Первые 3 из них составляют геометрическую

прогрессию со знаменателем 2, а последние 3 — арифметическую прогрессию с

разностью 6. Найти данные числа.

Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр. прогрессия{ а, в, с} и q = 2,

арифмет.прогрессия{ в, с, е} и d = 6.

Найти: а, в, с, е.

Решение:

а

в

с

е

Геометр.

прогрессия

а

аq = 2а

аq2= 4а

—

Арифмет.

прогрессия

—

в

в + d = в + 6

в + 2d = в + 12

По данным составим таблицу.

По таблице видно, что 2а = в и 4а = в + 6.

Имеем 4а = 2а + 6, 2а = 6, а = 3. Тогда в = 2

Ответ: 3, 6, 12, 18.

Сумма трёх чисел, образующих арифмет. прогрессию, равна 27.

Если от этих чисел отнять соответственно 1; 3; 2, то полученные числа будут

образовывать геометрическую прогрессию. Найти исходные три числа.

Дано: а, в, с – искомые числа, арифмет. прогрессия { а, в, с},

геометр. прогрессия {а – 1, в – 3, с – 1}.

Найти: а, в, с.

Искомые числа

а

в

с

Арифмет.

прогрессия

а

в = а+d

с = а + 2d

Геометр.

прогрессия

а — 1

(а + d) – 3

а + 2d – 2

Решение:

По данным составим таблицу.

По условию сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 27, тогда можно записать: а + а + d + а + 2d = 27, 3а + 3d = 27, а + d = 9 (1).

По данным таблицы получили при решении в = 9, так как в = а + d.

Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:

(а + d – 3)2 = (а – 1)(а + 2d – 2), (9 – 3)2= (а – 1)( а + d + d – 2), 62 = (а – 1)(7 + d)(2)

Составим систему уравнений из уравнений (1) и (2) решим её.

d2 – d – 20 = 0

По теореме Виета и ей обратной найдём корни полученного уравнения:
Найдём искомые числа: 1) а = 9 – (– 4) = 13, в = 9, с = 9 – 4 = 5.

2) а = 9 – 5 = 4, в = 9, с = 9 + 5 = 14.

Ответ: 13, 9, 4 или 4, 9, 14.

Даны 4 числа, составляющих геометрическую прогрессию. Если от

этих чисел отнять соответственно 10; 11; 9; 1, то полученные числа будут

образовывать арифметическую прогрессию. Найти данные числа.

Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр. прогрессия { а, в, с, е},

арифмет. прогрессия { а – 10, в – 11, с – 9, е – 1}.

Найти: а, в, с, е. Решение:По данным составим таблицу.

Числа

а

в

с

е

Геометр.

прогрессия

а

аq

аq2

аq3

Арифмет.

прогрессия

а – 10

в – 11 = аq – 11

с – 9 = аq2 – 9

е – 1 = аq3 – 1

По таблице используем данные и применим свойство арифметической прогрессии 1) , 2аq – 22 = a + аq2 – 19, аq2 — 2аq + a = – 3,

a(q2 — 2q + 1) = – 3, a(q – 1)2 = – 3 (1).

2) , 2аq2 – 18 = aq + аq3 – 12, аq3 — 2аq2 + aq = – 6,

aq(q2 — 2q + 1) = – 6, aq(q – 1)2 = – 6 (2).

Почленно разделим равенство (2) на равенство (1) = ,

После сокращения дробей получим q = 2.

Найдём значение а из равенства (1) а = – 3.

Вычислим остальные числа: в = – 3 · 2 = – 6, с = – 6 ·2 = – 12, е = – 12 · 2 = –24.

Ответ: – 3, – 6, – 12, – 24.

Даны 3 различных числа, составляющих геометрическую

прогрессию. Необходимо между вторым и третьим членом этой

последовательности вставить число, чтобы получившаяся последовательность

была арифметической прогрессией. Найти знаменатель заданной

геометрической прогрессии.

Дано: а, в, с – искомые числа, геометрическая прогрессия { а, в, с},

арифметическая прогрессия { а, в, х, с}.

Найти:q

Решение: Так как по условию 3 различных числа, составляющих геометрическую прогрессию, то q для арифметической прогрессии d

а

в

х

с

Геометр.

прогрессия

а

аq

—

аq2

Арифмет.

прогрессия

а

а + d

а + 2d

а + 3d

По данным составим таблицу.

По таблице видно, что 1) аq = а + d, d = аq – а, d = а(q – 1) (1)

2 ) аq2 = а + 3d, 3d = аq2 – а , 3d = а(q2 – 1) (2)

Подставим равенство (1) в равенство (2) 3а(q – 1) = а(q2 – 1).

Разделим полученное равенство на а(q – 1) , получим 3 = q + 1, q = 2. Ответ: 2.

Решить неравенство (3х + 7 + 3 – 1 – …)(2 + 4 + 8 + …+ х) 0, где в скобках по 6 числовых слагаемых.

Решение. 1) Рассмотрим числовые слагаемые первой скобки: 7; 3; — 1;…

Заметим, что 3 – 7 = – 4, – 1 – 3 = – 4 раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 6 слагаемых и они образуют арифметическую прогрессию с d = – 4 и а1= 7.

По формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии найдём сумму 6 членов:

Рассмотрим числовые слагаемые второй скобки: 2; 4; 8;…

Заметим, что 4 : 2 = 8: 4 = 2 раз не другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все 6 слагаемых образуют геометрическую прогрессию с

q = 2 и в1 = 2.

По формуле суммы n-первых членов геометрической прогрессии найдём сумму 6 членов:

Полученные данные подставим в заданное неравенство (3х – 18)(126 + х) 0 и решим его методом интервалов.

П остроим чертёж + –– +

– 126 6

Ответ: (-

Решить уравнение х2 – 6│х│ – 21 – 15 – 9 — … = 3 + 2 + 1 + 0,5 + ….. где в левой части уравнения 8 числовых слагаемых.

Решение.

Рассмотрим числовые слагаемые левой части уравнения: — 21; — 15; — 9;…

Заметим, что – 21 – (– 15) = – 15 – (– 9) = 6, раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 8 слагаемых образуют арифметическую прогрессию с d = 6 и а1= – 21.

По формуле суммы n-первых членов арифмет. прогрессии найдём сумму 8 членов:

Рассмотрим числовые слагаемые правой части уравнения без числа 3: 2; 1; 0,5;…

Заметим, что 1 : 2 = 0,5: 1 = 0,5 раз не другие слагаемые из этой последовательности не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с q = 0,5 и в1 = 2.

По формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии найдём сумму всех членов:

Подставим полученные результаты в уравнение х2 – 6│х│+ 0 = 3 + 4 и решим его.

х2 – 6│х│ = 7, х2 – 6│х│ – 7 = 0. Раскроем модуль по определению.

Если хто уравнение примет вид х2 – 6х – 7 = 0. Найдём его корни по второму свойству коэффициентов квадратного уравнения

Если хто уравнение примет вид х2 + 6х – 7 = 0. Найдём его корни по первому свойству коэффициентов квадратного уравнения

Ответ:

Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.

Домашнее задание.

Три числа составляют арифметическую прогрессию с разностью равной 4. Если к третье число увеличить на 8, эти три числа будут образовывать геометрическую прогрессию. Найти данные числа. (2, 6, 10)

Даны три числа образующих геометрическую прогрессию, первое из которых равно 8. Если второе число увеличить на 1, то эта последовательность станет арифметической прогрессией. Найти знаменатель геометрической прогрессии.(1,5 или 0,5)

Даны четыре числа. Первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую прогрессию. Сумма первого и последнего чисел равна 32, а сумма средних чисел – 24. Найти данные числа.(32, 16, 8, 0 или 2, 6, 18, 30)

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/48200-summa-beskonechno-ubyvajuschej-geometrichesko

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Определение 1.  Числовую последовательность

b1 ,  b2 , … bk , …

все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства

      Определение 2. Если последовательность чисел

b1 ,  b2 , … bk , …

является геометрической прогрессией, то число  q , определенное формулой

называют знаменателем этой геометрической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b1 и знаменатель геометрической прогрессии   q . Если числа   b1   и   q   известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

b2 = b1q ,
b3 = b2q ,
…
bk = bk – 1q
…
(1)

      По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел   b1   и   q.

      Из формул (1) вытекает общая формула

bk = b1qk – 1,      
k = 1, 2, 3, …		(2)

позволяющая по любому номеру   k   вычислить член bk  геометрической прогрессии, зная первый член и знаменатель прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена геометрической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: — «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

(3)

      В случае, когда

  b1 > 0   и   q > 0  

все члены геометрической прогрессии будут положительными, и формулу (3) можно переписать в другом виде:

(4)

      Равенство (4) означает, что каждый член такой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседних членов.

      Если для суммы первых   k   членов геометрической прогрессии ввести обозначение

Sk = b1 + b2 + … + bk  ,      
k = 1, 2, 3, …

то, воспользовавшись равенствами (1), получаем

q Sk =
= b1q + b2q + … + bk q =
= b2 + b3 + … + bk +1 .

      Следовательно,

Sk – q Sk = b1 – bk +1 .

      Таким образом , при будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.

      В случае, когда   q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

      Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет неравенству

  | q | < 1 .

      В этом случае выполнено равенство

а величину  S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

      Более подробно с понятием предела числовой последовательности можно ознакомиться в в разделе «Пределы числовых последовательностей» нашего справочника.

      С примерами решений различных задач по теме «Геометрическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

   На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Напомним, что геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, , , …, , …, где, что для всех натуральных  выполняется равенство, где . Число называется знаменателем геометрической последовательности, число –первым её членом, а число – общим её членом.

, , , , …, , …,

, , , , …, , …, 

Также напомним, что ­­—ый член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле

А сумму первых ­­ членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле , если ;

 , если .

Однако среди геометрических прогрессий особый интерес вызывают так называемые

бесконечно убывающие геометрические прогрессии. Давайте познакомимся с такими прогрессиями.

Начнём с примера. Итак, перед вами изображены квадраты.

Сторона первого, самого большого квадрата равна , сторона второго равна  , сторона третьего квадрата – , сторона четвёртого квадрата –  , сторона пятого квадрата –  и так далее.

Обратите внимание! Стороны наших квадратов образуют геометрическую прогрессию: , , , , , …

Перепишем эту геометрическую прогрессию в таком виде: , , , , , …, , …

Знаменатель этой

геометрической прогрессии равен  .

Заметим, что и площади этих квадратов также образуют геометрическую прогрессию:

, , , , , …

, , , , , …, , …

 

Хотелось бы отметить, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера   становятся всё меньше и всё больше приближаются к. Так вот, каждую из прогрессий, что мы с вами записали, называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

А теперь давайте рассмотрим следующую геометрическую прогрессию:

, , , , …, , …

Здесь, , , , … , знаменатель нашей

геометрической прогрессии  .

Видим, что с возрастанием номера члены этой прогрессии приближаются к. Значит, эта прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Обратите внимание! .

Запомните: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

А теперь давайте перейдём к выводу формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Итак, на экране вы видите квадрат со стороной равной единице. Разделим этот квадрат пополам. Заштрихуем обе части нашего квадрата, как показано на экране.

Продолжим делить пополам наши квадраты и штриховать их. Заметим, что площади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:  , , , , , …

Если мы заштрихуем все получающиеся таким образом прямоугольники, то понятно, что весь квадрат покроется штриховкой. Разумеется, сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников будет равна единице. То есть  …

Обратите внимание: в левой части нашего равенства стоит сумма бесконечного

числа слагаемых.

Давайте рассмотрим сумму первых слагаемых. Применяя формулу суммы членов геометрической прогрессии, имеем  …. Получим, что .

Заметим, что если  неограниченно возрастает, то  будет как угодно близко приближаться к 0. Это выражение записывают следующим образом:  при , а читают так: «единица делённая на два в степени эн стремится к нулю при эн стремящемся к бесконечности, или предел единицы делённой на два в степени эн при эн стремящемся к бесконечности равен нулю».

Так как  при , то  при , то есть  или . Поэтому бесконечную сумму   ….

В этом случае говорят, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности  , , , …, , …

Например, если мы возьмём бесконечно убывающую геометрическую прогрессию , , , , …, , …

Где ,.

,

,

, …,

, …

Так как , то .

А теперь выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Мы помним, что сумму первых  членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле  .

Перепишем эту формулу таким образом:  .

Так как , то ,.

Следовательно, .

Таким образом, сумму  бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: .

Из этой формулы при  имеем .

Это равенство обычно записывают следующим образом:

  … … .

Обратите внимание: это равенство справедливо при , в частности при .

Задание 1.

Докажите, что геометрическая прогрессия:

 … , является бесконечно убывающей.

Решение.

 , .

 

Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Задание  2.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии  …

Решение.

, .

 

   

Задание 3.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если , .

Решение. По условию нам даны и  прогрессии.

, .

 

 

 

 

  

    

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

а) Геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию

называется бесконечно убывающей.

б) Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии

называется предел S последовательности , где — сумма первых n членов этой прогрессии. Эта сумма выражается формулой

Примеры с решениями

Пример №31.

Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма этой прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192.

Решение:

Пусть

— первый член, — знаменатель, — сумма прогрессии, — сумма кубов ее членов. Тогда

откуда

так как Полученное уравнение, записанное в виде имеет корни Первый корень следует отбросить, так как Следовательно,

Ответ.

Пример №32.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее второй член, удвоенное произведение первого члена на четвертый и третий член являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью, равной

.

Решение:

Пусть

— первый член, — знаменатель, — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тогда

По условию,

Складывая уравнения (2) и (3), получаем

откуда

Подставляя выражение (4) для

\ в уравнение (2), получаем уравнение которое можно преобразовать к виду откуда Так как то и из (4) находим а из (1) следует, что

Ответ.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Текст песни Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии Научно-технический рэп

Well, you stand there honey, with you hands on your hips

Что ж, ты стоишь там, милая, с руками на бедрах.

Well, its stoppin’ your feeling, baby, button your lips

Что ж, это останавливает твои чувства, детка, застегни губы,

Yeah, you stand there honey with the devil in your eyes

Да, ты стоишь там, милая, с дьяволом в глазах,

You say youre gonna leave me, but I know its a lie

Ты говоришь, что бросишь меня, но я знаю, что это ложь.

Uh uh honey, you got a mean streak

О, милая, у тебя неприятная полоса.

Uh uh baby, you got a mean streak

Ух, детка, у тебя неприятная полоса.

Well, if you wanna stay with me, be my lovin’ honey

Что ж, если ты хочешь остаться со мной, будь моей любимой, милая,

You must lose your mean streak

Ты, должно быть, потеряешь свою подлость.

You look so cute and you walk so nice

Ты выглядишь так мило, и ты так хорошо ходишь.

Oh but your hide is as mean and as cold as ice

О, но твоя шкура такая же подлая и холодная, как лед.

Well, I found my heart, it was a big kind of faster

Что ж, я нашел свое сердце, оно было быстрее,

And I know I was living in disaster

И я знаю, что жил в катастрофе.

Uh uh honey, you got a mean streak

О, милая, у тебя неприятная полоса.

Uh uh baby, you got a mean streak

Ух, детка, у тебя неприятная полоса.

Well, if you wanna stay with me, be my lovin’ honey

Что ж, если ты хочешь остаться со мной, будь моей любимой, милая,

You must lose your mean streak

Ты, должно быть, потеряешь свою подлость.

Well, youre standing there honey, and youre looking so pretty

Что ж, ты стоишь там, милая, и ты такая красивая.

Well, Im gonna leave you standing there in a pity

Что ж, я оставлю тебя стоять в жалости.

Well, you took my love and you threw it away

Что ж, ты забрал мою любовь и выбросил ее,

And I know whats gonna happen to you someday

И я знаю, что однажды случится с тобой.

Uh uh honey, you got a mean streak

О, милая, у тебя неприятная полоса.

Uh uh baby, you got a mean streak

Ух, детка, у тебя неприятная полоса.

Well, if you wanna stay with me, be my lovin’ honey

Что ж, если ты хочешь остаться со мной, будь моей любимой, милая,

You must lose your mean streak

Ты, должно быть, потеряешь свою подлость.

Yeah, mean streak

Да, подлая полоса.

Oh baby, mean streak

О, детка, подлая полоса.

Oh honey, mean streak

О, милая, подлая полоса.

Oh, mean streak

О, подлая полоса.

Текст песни НТР — Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии перевод, слова песни, видео, клип

Здесь НТР, каждому преподу матана пример,
На наш традиционный абстракт хип-хоп манер
Сегодня в привычном пост-индустриальном шуме
Мы излагаем бесхитростную повесть о сумме
Бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Это не повод для затяжной депрессии,
Но только если единицы меньше знаменатель
По модулю. Доверься, детка, я преподаватель.

Припев
Прочь грусть, прочь уныние, прочь тоску,
S=b1/(1-q)

Здесь делается первое, что приходит на ум —
Берется последовательность частичных сумм,
Оставим промежуточные вычисления за сценой,
эс равно бэ один на один минус ку в энной
Делить на один минус ку. Переходим к пределу.
Ку в энной стремится к нулю. На него забиваем смело.
Сумма есть ни что иное, как первый член
На один минус знаменатель прогрессии. Повторяем рефрен.

Припев(много раз)

Here the STP, to each teacher Matan an example,
On our traditional abstract hip-hop manners
Today in the usual post-industrial noise
We set forth the unsophisticated story of the sum
An infinitely decreasing geometric progression.
This is not a reason for prolonged depression,
But only if the units are less than the denominator
Modulo. Trust, baby, I’m a teacher.

Chorus
Off of sadness, away from despondency, away from longing,
S = b1 / (1-q)

Here is the first thing that comes to mind —
We take a sequence of partial sums,
Leave the intermediate calculations behind the scene,
es is equal to one on one minus ku in the ninth
To divide by one minus ku. We pass to the limit.
Ku in the ennoy tends to zero. On it we hammer safely.
The sum is nothing but the first term
One minus the denominator of the progression. We repeat the refrain.

Chorus (many times)

Вычислите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей прогрессии это число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов убывающей прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Сумма бесконечно убывающей прогрессии выражается формулой:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями

q – знаменатель прогрессии

Геометрическая последовательность является возрастающей, если b1 > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81.

Геометрическая последовательность является убывающей, если b1 > 0, 0 n-1

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Пример 1.

Известно, что b1 = 2/3, q = – 3. Найти b6

Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.

Подставив в эту формулу n = 6 получим:

Пример 2.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …

S = 12 / (1 – 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3 / 2 = 18

Пример 3.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Reshak.ru – сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте – сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Информация

© adminreshak.ru

bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0
Формула n-го члена геометрической прогрессииbn = b1 · q n-1
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
Характеристическое свойство геометрической прогрессииbn 2 = bn-1 · b n+1

Вся элементарная математика — Учебное пособие — Алгебра

Последовательности. Числовые последовательности. Общий член числовой последовательности.
Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Бесконечно убывающая
геометрической прогрессии. Преобразование повторяющейся десятичной дроби в обычную дробь.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3,, n 1, n ,.
Если заменить каждое натуральное число n в этой серии некоторым числом u n , подчиненным какому-то закону, то получится новая серия чисел:

u 1 , u 2 , u 3 ,, u n — 1 , u n «

называется числовой последовательностью .Число u n называется общим термином числовой последовательности.
Экземпляры числовых последовательностей:

2, 4, 6, 8, 10,, 2 n ,; 1, 4, 9, 16, 25,, n ²,; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5« 1/ n ,.

Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, добавленному с константой для этого порядкового номера d , называется арифметической прогрессией . Число d называется общей разницей . Любой член арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

a n = a 1 + d (n 1 ) .

Сумма n первых членов арифметической прогрессии рассчитывается как:

E x a m p l e. Найдите сумму первых 100 нечетных чисел.
S o l u t i o n. Воспользуйтесь последней формулой. Здесь a

1 = 1, d = 2 . Итак, имеем:

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на константу для этого порядкового номера q , называется геометрической прогрессией . Число q называется обыкновенным соотношением . Любой член геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

b n = b 1 q n — 1 .

Сумма n первых членов геометрической прогрессии рассчитывается как:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это геометрическая прогрессия с
| кв. | <1. Для него понятие суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется как число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном увеличении числа n .Бесконечно убывающая сумма геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

E x a m p l e. Найдите сумму в бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S o l u t i o n. Воспользуйтесь последней формулой. Здесь b 1 = 1, q = 1/2. Итак, имеем:

Преобразование повторяющейся десятичной дроби в простую дробь. Предположим, что мы хотим преобразовать повторяющийся десятичный 0. (3) до вульгарной фракции. Рассмотрим эту десятичную дробь в более естественной форме:

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом 3/10 и общим отношением q = 1/10. Согласно приведенной выше формуле последняя сумма равна:

Назад

Infinite Geometric Series

Бесконечный геометрическая серия это сумма бесконечного геометрическая последовательность .У этой серии не будет последнего срока. Общий вид бесконечного геометрического ряда: а 1 + а 1 р + а 1 р 2 + а 1 р 3 + … , где а 1 это первый член и р это обычное отношение.

Мы можем найти сумму всех конечных геометрических рядов. Но в случае бесконечного геометрического ряда, когда обычное отношение больше единицы, члены в последовательности будут становиться все больше и больше, и если вы сложите большие числа, вы не получите окончательного ответа.Единственно возможный ответ — бесконечность. Итак, мы не имеем дело с обычным отношением больше единицы для бесконечного геометрического ряда.

Если обычное отношение р лежит между — 1 к 1 , мы можем получить сумму бесконечного геометрического ряда. То есть сумма выходит за | р | < 1 .

Сумма S бесконечного геометрического ряда с — 1 < р < 1 дается формулой,

S знак равно а 1 1 — р

Бесконечный ряд, в котором есть сумма, называется сходящимся рядом, а сумма S п называется частичной суммой ряда.

Вы можете использовать сигма-нотацию для представления бесконечной серии.

Например, ∑ п знак равно 1 ∞ 10 ( 1 2 ) п — 1 бесконечная серия. Символ бесконечности, расположенный над сигма-обозначением, указывает на то, что серия бесконечна.

Чтобы найти сумму вышеуказанного бесконечного геометрического ряда, сначала проверьте, существует ли сумма, используя значение р .

Здесь значение р является 1 2 . С | 1 2 | < 1 Сумма выходит.

Теперь воспользуемся формулой суммы бесконечного геометрического ряда.

S знак равно а 1 1 — р

Заменять 10 для а 1 а также 1 2 для р .

S знак равно 10 1 — 1 2

Упрощать.

S знак равно 10 ( 1 2 ) знак равно 20

Сумма бесконечно убывающего GP равна 4 и математики класса 11 CBSE

Подсказка: В этом вопросе мы получили данные о том, что сумма бесконечно убывающего GP составляет $ 4 $, а сумма кубов его членов равна $ \ dfrac {64} {7} $.{2}} = \ dfrac {1} {4} $, что является необходимым решением.

Примечание: Следует помнить, что геометрическая прогрессия называется убывающей геометрической прогрессией, когда члены в последовательности уменьшаются в значении, это означает, что значение $ r $, которое является общим кратным, меньше чем $ 1 $. Следует помнить о других типах последовательностей, таких как арифметическая прогрессия.

Геометрические последовательности и серии | Безграничная алгебра

Геометрические последовательности

Геометрическая последовательность — это упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на константу, называемую [латекс] r [/ латекс], обычное отношение.{n-1} [/ латекс].

Ключевые термины
  • геометрическая последовательность : упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением. Также известна как геометрическая прогрессия.

Определение геометрических последовательностей

Геометрическая прогрессия, также известная как геометрическая последовательность, представляет собой упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое обычным соотношением [латекс] r [/ latex ].{n-1} [/ латекс]

Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивному соотношению:

[латекс] a_n = ra_ {n-1} [/ латекс]

для каждого целого числа [латекс] n \ ge 1. [/ Latex]

Поведение геометрических последовательностей

Обычно, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение. Обычное отношение геометрического ряда может быть отрицательным, что приведет к чередованию последовательности. В чередующейся последовательности будут числа, которые переключаются между положительными и отрицательными знаками. Например: [латекс] 1, -3,9, -27,81, -243, \ cdots [/ latex] — геометрическая последовательность с общим соотношением [латекс] -3 [/ латекс].

Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения. Если общее отношение:

  • Положительно, все термины будут того же знака, что и исходные
  • Отрицательный, условия будут чередоваться между положительным и отрицательным
  • Больше, чем [latex] 1 [/ latex], будет экспоненциальный рост в сторону положительной бесконечности ([latex] + \ infty [/ latex])
  • [latex] 1 [/ latex], прогрессия будет постоянной последовательностью
  • Между [латексом] -1 [/ латексом] и [латексом] 1 [/ латексом], но не между [латексом] 0 [/ латексом] будет экспоненциальный спад в сторону [латекса] 0 [/ латекса]
  • [latex] -1 [/ latex], прогрессия — чередующаяся последовательность (см. Чередующиеся серии)
  • Меньше [latex] -1 [/ latex], для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост в сторону положительной и отрицательной бесконечности (из-за чередования знаков)

Геометрические последовательности (с общим соотношением, не равным [латекс] -1 [/ латекс], [латекс] 1 [/ латекс] или [латекс] 0 [/ латекс]) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальное затухание, в отличие от линейный рост (или снижение) арифметической прогрессии, такой как [латекс] 4, 15, 26, 37, 48, \ cdots [/ латекс] (с общим отличием [латекс] 11 [/ латекс]).Этот результат был получен T.R. Мальтуса в качестве математической основы его принципа народонаселения. Обратите внимание, что два вида прогрессии связаны между собой: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифм каждого члена в геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.

Интересным результатом определения геометрической прогрессии является то, что для любого значения общего отношения любые три последовательных термина [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс] удовлетворяет следующему уравнению:

[латекс] {b} ^ {2} = ac [/ latex]

Суммирование первых n членов геометрической последовательности

Используя обычное отношение и первый член геометрической последовательности, мы можем суммировать ее члены. {n}}}} [/ латекс]

является геометрическим, потому что каждый последующий член может быть получен умножением предыдущего члена на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {2}} [/ latex].{n}}} [/ латекс]

Эту концепцию можно представить в виде диаграммы:

Бесконечная геометрическая серия: Каждый из фиолетовых квадратов получается путем умножения площади следующего большего квадрата на [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex]. Площадь первого квадрата составляет [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4}} [/ latex], а площадь второй квадрат — [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}} [/ latex].

Ниже приведены несколько геометрических рядов с разными общими отношениями.Поведение терминов зависит от общего соотношения [латекс] г [/ латекс]:

  • [латекс] 4 + 40 + 400 + 4000 + \ точки [/ латекс] имеет общее отношение [латекс] 10 [/ латекс]
  • [латекс] \ displaystyle {9 + 3 + 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] {\ frac {1 } {3}} [/ латекс]
  • [латекс] 3 + 3 + 3 + 3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] 1 [/ латекс]
  • [латекс] \ displaystyle {1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} — \ frac {1} {8} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex]
  • [латекс] 3-3 + 3-3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] -1 [/ латекс]

Значение [latex] r [/ latex] дает информацию о характере серии:

  • Если [латекс] r [/ латекс] находится между [латекс] -1 [/ латекс] и [латекс] +1 [/ латекс], члены ряда становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю в пределе, и ряд сходится к сумме.Рассмотрим последовательность, в которой [латекс] r [/ latex] равен половине [латекса] {\ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {8}, \ cdots \ right)} [/ latex], сумма которого равна единице. {5}} {1-3} \\ & = 6 \ cdot \ frac {{-242}} {-2} \\ & = 6 \ cdot 121 \\ & = 726 \ end {align}} [/ латекс ]

    Серия Infinite Geometric

    Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

    Цели обучения

    Вычислить сумму бесконечного геометрического ряда и определить, когда геометрический ряд сойдется.

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Сумма геометрического ряда конечна, пока члены стремятся к нулю; поскольку числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.
    • Для бесконечного геометрического ряда, который сходится, его сумму можно вычислить по формуле [latex] \ displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ latex].
    Ключевые термины
    • сходиться : приблизиться к конечной сумме.
    • геометрическая серия : бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.

    Геометрический ряд — это бесконечный ряд, члены которого находятся в геометрической прогрессии или чьи последовательные члены имеют общее отношение. Если члены геометрического ряда стремятся к нулю, сумма его членов будет конечной. Когда числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.

    Говорят, что геометрический ряд с конечной суммой сходится. Ряд сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение общего отношения меньше единицы:

    [латекс] \ левый | г \ право | <1 [/ латекс]

    Что следует на примере бесконечного ряда с конечной суммой. Подсчитаем сумму [latex] s [/ latex] следующей серии:

    [латекс] \ displaystyle {s = 1+ \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ cdots} [/ latex]

    Эта серия имеет общее соотношение [латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex]. Если мы умножим на это обычное соотношение, то начальный член [латекс] 1 [/ latex] станет [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex], [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex] становится [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {9}} [/ latex] и так далее:

    [латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s = \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ frac {16} { 81} + \ cdots} [/ латекс]

    Эта новая серия такая же, как и исходная, за исключением того, что отсутствует первый член. Вычитая новую серию [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s} [/ latex] из исходной серии, [latex] s [/ latex] отменяет все термины в оригинале, кроме первого:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s- \ frac {2} {3} s & = 1 \\ \ поэтому s & = 3 \ end {align}} [/ latex]

    Подобный метод можно использовать для вычисления любого самоподобного выражения.n \ rightarrow 0 \\ & = \ frac {a} {1-r} \ end {align}} [/ latex]

    Следовательно, для [latex] | r | <1 [/ latex] мы можем записать бесконечную сумму как:

    [латекс] \ displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ latex]

    Пример

    Найдите сумму бесконечного геометрического ряда [латекс] 64+ 32 + 16 + 8 + \ cdots [/ latex]

    Сначала найдите [latex] r [/ latex], или постоянное соотношение между каждым членом и тем, что ему предшествует:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} r & = \ frac {32} {64} \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

    Подставьте [латекс] a = 64 [/ latex] и [latex] \ displaystyle r = \ frac {1} {2} [/ latex] в формулу суммы бесконечного геометрического ряда:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s & = \ frac {64} {1- \ frac {1} {2}} \\ & = \ frac {64} {\ frac {1} {2} } \\ & = 128 \ end {align}} [/ latex]

    Применения геометрической серии

    Геометрические ряды применяются в математике и естественных науках и являются одним из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

    Цели обучения

    Применение геометрических последовательностей и рядов к различным физическим и математическим темам

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Повторяющаяся десятичная дробь может рассматриваться как геометрическая последовательность, общее отношение которой равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].
    • Архимед использовал сумму геометрического ряда для вычисления площади, заключенной между параболой и прямой линией.
    • Внутренняя часть снежинки Коха представляет собой союз бесконечного множества треугольников.При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры.
    • Знание бесконечных рядов позволяет нам решать древние проблемы, такие как парадоксы Зенона.
    Ключевые термины
    • геометрическая серия : бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.
    • фрактал : природное явление или математический набор, который демонстрирует повторяющийся узор, который можно увидеть в любом масштабе.

    Геометрические ряды сыграли важную роль в раннем развитии исчисления и продолжают оставаться центральной частью изучения сходимости рядов. Геометрические ряды используются во всей математике. У них есть важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории массового обслуживания и финансах.

    Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все они обладают этим свойством.

    Повторяющаяся десятичная дробь

    Повторяющаяся десятичная дробь может рассматриваться как геометрическая последовательность, общее отношение которой равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].Например:

    [латекс] \ displaystyle {0,7777 \ cdots = \ frac {7} {10} + \ frac {7} {100} + \ frac {7} {1000} + \ frac {7} {10000} + \ cdots} [/ латекс]

    Формула суммы геометрического ряда может использоваться для преобразования десятичной дроби в дробь:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,7777 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {7} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {7} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {7} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {7} {9} \ end {align}} [/ latex]

    Формула работает для любого повторяющегося термина. n — 1 [/ latex].

    Квадратура Параболы Архимеда

    Архимед использовал сумму геометрического ряда для вычисления площади, заключенной между параболой и прямой линией. Его метод заключался в том, чтобы разрезать область на бесконечное количество треугольников.

    Теорема Архимеда: Разбиение Архимеда параболического отрезка на бесконечное количество треугольников.

    Теорема Архимеда утверждает, что общая площадь под параболой равна [латексу] \ displaystyle {\ frac {4} {3}} [/ latex] площади синего треугольника.{3} + \ cdots} [/ латекс]

    Первый член представляет площадь синего треугольника, второй член — площади двух зеленых треугольников, третий член — площади четырех желтых треугольников и так далее. Упрощение дробей дает:

    [латекс] \ displaystyle {1+ \ frac {1} {4} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {64} + \ cdots} [/ latex]

    Это геометрический ряд с общим соотношением [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex], а дробная часть равна [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {3} }[/латекс].

    Фрактальная геометрия

    Снежинка Коха: Внутренняя часть снежинки Коха состоит из бесконечного количества треугольников.

    Снежинка Коха — это фрактальная форма, внутренность которой состоит из бесконечного количества треугольников. При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры. В случае снежинки Коха ее площадь можно описать геометрическим рядом.

    Построение снежинки Коха: первые четыре итерации: каждая итерация добавляет набор треугольников снаружи формы.

    Область внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного числа равносторонних треугольников. На диаграмме выше треугольники, добавленные во второй итерации, имеют размер [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {3}} [/ latex], равный размеру стороны наибольшего треугольника, и поэтому они имеют ровно [латекс ] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] область. Точно так же каждый треугольник, добавленный во второй итерации, имеет [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] площадь треугольников, добавленных в предыдущей итерации, и так далее.{3} + \ cdots} [/ латекс]

    Первый член этого ряда представляет площадь первого треугольника, второй член — общую площадь трех треугольников, добавленных во второй итерации, третий член — общую площадь двенадцати треугольников, добавленных в третьей итерации, и т. Д. . Исключая начальный термин [латекс] 1 [/ латекс], этот ряд является геометрическим с постоянным соотношением [латекс] \ displaystyle {r = \ frac {4} {9}} [/ latex]. Первый член геометрического ряда — [латекс] \ displaystyle {a = 3 \ frac {1} {9} = \ frac {1} {3}} [/ latex], поэтому сумма составляет:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 1+ \ frac {a} {1-r} & = 1 + \ frac {\ frac {1} {3}} {1- \ frac {4} {9 }} \\ & = \ frac {8} {5} \ end {align}} [/ latex]

    Таким образом, снежинка Коха имеет [латекс] \ displaystyle {\ frac {8} {5}} [/ latex] площади основного треугольника.

    Парадоксы Зенона

    Парадоксы Зенона — это набор философских проблем, разработанных древнегреческим философом для поддержки учения о том, что истина противоречит нашим чувствам. Проще говоря, один из парадоксов Зенона гласит: есть точка A, которая хочет переместиться в другую точку B. Если A перемещается только на половину расстояния между ней и точкой B за раз, она никогда не доберется туда, потому что вы можете продолжать делить оставшееся пространство пополам навсегда. Ошибка Зенона заключается в предположении, что сумма бесконечного числа конечных шагов не может быть конечной.Теперь мы знаем, что его парадокс не соответствует действительности, о чем свидетельствует сходимость геометрического ряда с [латексом] \ displaystyle {r = \ frac {1} {2}} [/ latex]. Эта проблема была решена современной математикой, которая может применить концепцию бесконечного ряда, чтобы найти сумму пройденных расстояний.

    Формулы геометрической прогрессии, геометрические ряды, бесконечные геометрические ряды

    В математике геометрическая прогрессия (последовательность) (последовательность) (также неточно известная как геометрическая последовательность ) представляет собой последовательность чисел, так что частное любых двух последовательных членов последовательности является константой, называемой обычное отношение последовательности.

    Геометрическую прогрессию можно записать как:

    ar 0 = a, ar 1 = ar, ar 2 , ar 3 , …
    где r ≠ 0, r — общее отношение, а a — коэффициент масштабирования (также первый член) .

    Примеры

    Геометрическая прогрессия с общим соотношением 2 и масштабным коэффициентом 1 равна
    1, 2, 4, 8, 16, 32 …

    Геометрическая последовательность с общим соотношением 3 и масштабным коэффициентом 4 равна
    4, 12, 36, 108, 324 …

    Геометрическая прогрессия с обычным отношением -1 и масштабным коэффициентом 5 равна
    5, -5, 5, -5, 5, -5 ,…

    Формулы

    Формулу для n-го члена можно определить как:

    a n = a n-1 r
    a n = a 1 r n-1

    Формула обыкновенного отношения:

    Если общее соотношение:

    • Отрицательный, результаты будут чередоваться между положительными и отрицательными .
      Пример:
      1, -2, 4, -8, 16, -32 … — обычное отношение равно -2, а первый член равен 1.
    • Больше чем 1, будет экспоненциальный рост к бесконечности (положительный) .
      Пример :
      1, 5, 25, 125, 625 … — обычное отношение равно 5.
    • Менее -1, будет экспоненциальный рост к бесконечности (положительный и отрицательный) .
      Пример :
      1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 3

      , -1953125 … — общее отношение -5.
    • Между 1 и -1, будет экспоненциальный спад к нулю .
      Пример :
      4, 2, 1, 0,5, 0,25, 0,125, 0,0625 … — обычное отношение $ \ frac {1} {2} $
      4, -2, 1, -0,5, 0,25, -0,125, 0,0625 … — обычное отношение $ — \ frac {1} {2} $.
    • Ноль, результаты останутся на нуле .
      Пример :
      4, 0, 0, 0, 0 … — обычное отношение равно 0, а первый член равен 4.
    Свойства геометрической прогрессии

    a 2 k = a k-1 ⋅a k + 1
    a 1 ⋅a n = a 2 ⋅a n-1 =… = a k ⋅a n-k + 1

    Формула суммы первых n чисел геометрического ряда

    S n = а 1 — а н г 1 — г = А 1 . 1 — р н 1 — г
    Бесконечный геометрический ряд, где | r |
    <1

    Если | r | <1, тогда a n -> 0, когда n -> ∞.
    Сумма S такого бесконечного геометрического ряда определяется формулой:

    что справедливо только при | r | <1.

    1 — первый член.

    Калькулятор геометрической прогрессии
    Задачи геометрической прогрессии

    Задача 1.
    Последовательность 2, 4, 6, 8 … геометрическая прогрессия?
    Решение: Нет, это не так. (2, 4, 8 — геометрическая прогрессия)

    Задача 2
    Если 2, 4, 8 … образуют геометрическую прогрессию. Какой 10-й срок?
    Решение: Мы можем использовать формулу a n = a 1 ⋅ r n-1
    a 10 = 2 ⋅ 2 10-1 = 2 ⋅ 512 = 1024

    Задача 3
    Найдите масштабный коэффициент и командное отношение геометрической прогрессии, если
    a 5 — a 1 = 15
    a 4 — a 2 = 6
    Решение: есть две геометрические прогрессии.У первого есть масштабный коэффициент 1 и общее отношение = 2
    , второе решение -16, 1/2

    Дополнительные задачи:
    Геометрическая прогрессия — задачи
    Задачи с прогрессиями

    Геометрические прогрессии на математическом форуме

    Присоединяйтесь к нашему математическому форуму (регистрация не требуется!)

    Форумы с прогрессиями

    предположение — Каждая «убывающая» или «возрастающая» бесконечная последовательность, сумма которой сходится, содержит по крайней мере один член величины 0

    Примечание к названию: эта гипотеза не ограничивается действительными числами, «убывающий» и «возрастающий» использовались из-за ограничения количества символов.Фактическая гипотеза состоит в том, что каждая последовательность, члены которой строго увеличиваются или уменьшаются на величины , содержит по крайней мере один член, величина которого равна $ 0 $.

    Предупреждение: следующее содержит неоправданное превышение ‘$ \ infty $’. Рекомендуется, чтобы вы были знакомы по крайней мере с одним из следующего: расширенные действительные / комплексные числа (проективные действительные, гипереальные, сфера Римана и т. -стандартные числа, или «индийские» бесконечности (джайнские бесконечности, бхаскара и т. д.).

    Пусть $ \ mathbb {U} $ обозначает вселенную (например,n, \ mathbb {C}, \ mathbb {H} \ setminus \ mathbb {R}, \ ldots $ и т. д.), где $ u \ in \ mathbb {U} \ подразумевает | u | \ neq \ infty $

    Определение: конечное — число * $ z \ in \ mathbb {U} $ конечно тогда и только тогда, когда $ | z | \ in (0, \ infty) $

    Определение: бесконечно малое — число $ z \ in \ mathbb {U} $ бесконечно малое тогда и только тогда, когда $ \ forall w \ in \ mathbb {U} \ setminus \ {\ mathbb {U} _0 \}. | Z | < | w | $, где $ \ mathbb {U_0} $ - аддитивное тождество (ноль) $ \ mathbb {U} $

    Определение: infinite — число $ z \ in \ mathbb {U} $ бесконечно тогда и только тогда, когда $ \ forall w \ in \ mathbb {U}.| z |> | w | $

    Определение: сходимость — сумма бесконечной последовательности $ A \ substeq \ mathbb {U} $ сходится тогда и только тогда, когда $ \ sum A \ in \ mathbb {U} $

    Пусть $ A $ — бесконечная последовательность в $ \ mathbb {U} $, индексированная набором $ I \ substeq \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \} $, где: $$ A = \ bigcup_ {i \ in I} \ {a_i \}: \ qquad \ forall i, j \ in Ii

    Гипотеза:

    $$ \ sum_ {i \ in I} a_i \ in \ mathbb {U} \ подразумевает \ exists k \ in I: | a_k | = 0 $$

    Рассуждение:

    Сумма бесконечного числа конечных чисел всегда бесконечна (требуется доказательство). Таким образом, если $ A $ содержит только конечные члены, то сумма $ A $ не сходится.

    Если $ a_1 $ конечно и $ A $ возрастает, то либо все $ a \ in A $ конечны, либо $ | a_ \ infty | = \ infty $. В первом случае $ \ sum A $ представляет собой сумму бесконечного числа конечных членов и, следовательно, бесконечность.В последнем случае $ A $ содержит хотя бы один бесконечный член, поэтому $ | \ sum A | = | a_1 | + \ cdots + \ infty = \ infty $.

    Это интуитивно подкрепляется (хотя и не доказано) путем обработки суммы $ A $ как интеграла от непрерывной функции. **

    Если $ A $ увеличивается на и , сумма $ A $ сходится, тогда первый член должен быть бесконечно малым. Поскольку величина числа задается стандартным действительным числом, отсюда следует, что $ | a_1 | = 0 $.

    Если $ A $ убывает и сумма $ A $ сходится, то $ | a_ \ infty | = 0 $.В противном случае $ | a_ \ infty | $ конечно, что делает все $ a \ in A $ конечными; если бы это было так, то сумма $ A $ была бы суммой $ A $, которая не сходилась бы.

    Хотя это, по крайней мере, верно для всех целочисленных последовательностей (если нет доказательства того, что сумма бесконечной последовательности возрастающих целых чисел сходится), я не совсем уверен, что это верно для всех последовательностей. Если да, то как мне это доказать? Могу ли я доказать это?

    Я особенно скептически отношусь к тому, что произошло бы, если бы я применил это к последовательностям матриц или последовательностям с множеством бесконечных членов (например,грамм. где $ | a_1 | = | a_ \ infty | = \ infty $, но $ | a_1 + a_ \ infty | = 0 $)

    * термин «число» можно заменить на «элемент», поскольку это также может относиться к элементам любого $ \ mathbb {U} $, снабженным унарной операцией $ | \ cdot |: \ mathbb {U} \ to \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \} $, для которого $ u \ in \ mathbb {U} \ подразумевает | u | \ neq \ infty $

    ** Представьте себе функцию $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {U} $ такую, что из $ n \ in \ mathbb {N} \ следует f (n) = a_n $ и $ \ forall x, y, z \ in \ mathbb {R}. \ infty f (x) \ dx = \ infty $, даже если $ f (\ infty) $ конечно (требуется доказательство).

    На самом деле это один из способов показать, что $ \ int \ frac {1} {z} \ dx = \ ln {z} $.

    Геометрическая серия | Purplemath

    Purplemath

    Вы можете взять сумму конечного числа членов геометрической последовательности. И по причинам, которые вы будете изучать в математике, вы можете взять сумму бесконечной геометрической последовательности , но только в особых обстоятельствах, когда общее отношение r находится между –1 и 1; то есть у вас должно быть | r | <1.

    Для геометрической последовательности с первым членом a 1 = a и общим отношением r сумма первых n членов определяется как:

    MathHelp.com

    Примечание. В вашей книге может быть немного другая форма приведенной выше формулы частичной суммы. Например, « a » можно умножить через числитель, множители дроби можно поменять местами, или суммирование может начаться с i = 0 и иметь степень n + 1 в числителе.Все эти формы эквивалентны, и приведенная выше формулировка может быть получена из полиномиального деления в столбик.

    В частном случае, | r | <1, бесконечная сумма существует и имеет следующее значение:

    Первые несколько членов: –6, 12, –24:

    a 1 = 3 (–2) 1 = (3) (- 2) = –6

    a 2 = 3 (–2) 2 = (3) (4) = 12

    a 3 = 3 (–2) 3 = (3) (- 8) = –24

    Итак, это геометрический ряд с знаменателем r = –2.(Я также могу сказать, что это должен быть геометрический ряд из-за формы, данной каждому члену: по мере увеличения индекса каждый член будет умножаться на дополнительный коэффициент –2.)

    Первый член последовательности — a = –6. Подставляя в формулу суммирования, получаем:

    Итак, сумма суммирования:

    • Оценить S
      10 для 250, 100, 40, 16 ,….

    Обозначение «S10» означает, что мне нужно найти сумму первых десяти членов. Первый член — a = 250. Разделив пары терминов, я получу:

    100 ÷ 250 = 2/5

    40 ÷ 100 = 2/5

    … и так далее, поэтому добавляемые члены образуют геометрическую последовательность с общим отношением

    r = 2/5.

    В отличие от формулы для n -й частичной суммы арифметического ряда, мне не нужно значение последнего члена при нахождении n -ой частичной суммы геометрического ряда. Итак, у меня есть все, что нужно для продолжения. Когда я вставляю значения первого члена и общего отношения, формула суммирования дает мне:

    Я не буду «упрощать» это, чтобы получить десятичную форму, потому что это почти наверняка будет считаться «неправильным» ответом.Вместо этого мой ответ:


    Примечание. Если вы попытаетесь выполнить указанные выше вычисления на своем калькуляторе, он вполне может вернуть десятичное приближение 416,62297 … вместо дробного (и точного) ответа.

    Как вы можете видеть на снимке экрана выше, ввод значений в дробной форме и использование команды «преобразовать в дробь» по-прежнему приводит только к десятичной аппроксимации ответа.Но (на самом деле!) Десятичное приближение почти наверняка будет расценено как «неправильный» ответ. Найдите время, чтобы найти дробную форму.

    • Найдите
      a n , если S 4 = 26/27 и r = 1/3.

    Они дали мне сумму первых четырех членов, S 4 , и значение общего отношения r .Поскольку существует обычное соотношение, я знаю, что это должен быть геометрический ряд. Вставив в формулу геометрического ряда-суммы, я получу:

    Умножая обе стороны на

    27/40, чтобы найти первый член a = a 1 , я получаю:

    Затем, подставляя формулу для n -го члена геометрической последовательности, я получаю:

    • Покажите с помощью геометрического ряда, что 0.3333 … равно 1/3.

    В этом есть хитрость. Сначала мне нужно разбить повторяющуюся десятичную дробь на отдельные части; то есть «0,3333 …» становится:

    0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

    Разделение десятичной формы таким образом явно подчеркивает повторяющийся образец непрерывной (то есть бесконечной) десятичной дроби: для каждого члена у меня есть десятичная точка, за которой следует постоянно увеличивающееся количество нулей, а затем заканчивая цифрой «3».Эта расширенная десятичная форма может быть записана в дробной форме, а затем преобразована в форму геометрической последовательности:

    Это доказывает, что 0,333 … является (или, по крайней мере, может быть выражено как) бесконечный геометрический ряд с

    a = 3/10 и r = 1/10. Поскольку | r | <1, я могу использовать формулу для суммирования бесконечных геометрических рядов:

    Для приведенного выше доказательства, используя формулу суммирования, чтобы показать, что геометрический ряд «расширение» 0.333 … имеет значение одной трети. — это — «показатель», о котором просило упражнение (поэтому очень важно выполнять свою работу аккуратно и логично). И вы можете использовать этот метод для преобразования любого повторяющегося десятичного числа в его дробную форму.

    • Преобразуйте 1,363636 … в дробную форму с помощью геометрического ряда.

    Сначала я разобью это на составные части, чтобы найти узор:

    1.363636 .. = 1 + 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + …

    Две цифры повторяются, поэтому дроби немного отличаются. Но это все же геометрическая серия:

    Это показывает, что исходная десятичная дробь может быть выражена как ведущая «1», добавленная к геометрическому ряду, имеющему

    a = 9/25 и r = 1/100. Поскольку значение общего отношения достаточно мало, я могу применить формулу для бесконечных геометрических рядов.Тогда сумма оценивается как:

    Таким образом, эквивалентная дробь в форме неправильных дробей и смешанных чисел:

    Кстати, с помощью этой техники можно доказать, что 0,999 … = 1.

    URL: https://www.

РубрикаРазное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *