Степенные корни свойства – формулировки, доказательства, примеры, свойства корней n й степени
| 1. | Корень из произведения, десятичные дроби и целые числа | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Вычисление корня степени n из произведения. |
| 2. | Корень из произведения, целые числа и обыкновенные дроби | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 3 Б. | Вычисление корня степени n из произведения. |
| 3. | Корень из частного, обыкновенные дроби | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Вычисление корня степени n из дроби. |
| 4. | Корень из произведения | лёгкое | 4 Б. | Вычисление корня степени n из произведения. | |
| 5. | Корень из корня | лёгкое | 1 Б. | Преобразование корня степени n из корня степени n к корню. | |
| 6. | Извлечение корня из степени | лёгкое | 3 Б. | Применение свойства «извлечение корня из корня». | |
| 7. | Показатели корня | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 2 Б. | Приведение к одному показателю корня. |
| 8. | Корни с разными показателями | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 2 Б. | Приведение к одному показателю корня. |
| 9. | Корень из произведения степеней, корень в степени (целые числа) | 2 вид — интерпретация | среднее | 3 Б. | Упрощение выражения. |
| 10. | Корень из дроби | 2 вид — интерпретация | среднее | 5 Б. | Применение свойств: корень из дроби, корень из произведения. |
| 11. | Произведение корней | 2 вид — интерпретация | среднее | 4 Б. | Применение свойства. |
| 12. | Частное корней | 2 вид — интерпретация | 3 Б. | Применение свойства. | |
| 13. | Произведение корня из произведения степеней и корня из степени | 2 вид — интерпретация | 5 Б. | Вычисление значения произведения. | |
| 14. | Корень из частного степеней | 2 вид — интерпретация | среднее | 3 Б. | Вычисление корня степени n из дроби. |
| 15. | Корень из степени | 2 вид — интерпретация | среднее | 4 Б. | Применение свойства «корень в степени». |
| 16. | Сравнение корней | 2 вид — интерпретация | среднее | 3 Б. | Сравнение корней с разными показателями. |
| 17. | Произведение корней с разными показателями | 2 вид — интерпретация | среднее | 3 Б. | Преобразование произведения корней к корню степени n. |
| 18. | Частное корней с разными показателями | 2 вид — интерпретация | среднее | 3 Б. | Преобразование частного корней к корню степени n. |
| 19. | Произведение корней с разными показателями из произведений степеней | 2 вид — интерпретация | среднее | 6 Б. | Преобразование произведения корней из произведений степеней к корню степени n. |
| 20. | Степень произведения (число и корень) | 2 вид — интерпретация | среднее | 6 Б. | Возведение в степень произведения. |
| 21. | Степень произведения (одночлен и корень) | 2 вид — интерпретация | среднее | 4 Б. | Возведение в степень произведения. |
| 22. | Корень из произведения степеней (десятичные дроби) | 2 вид — интерпретация | среднее | 4 Б. | Вычисление значения выражения. |
| 23. | Уравнение | 2 вид — интерпретация | сложное | 5 Б. | Решение уравнения. |
| 24. | Уравнение, сводимое к квадратному (метод введения новой переменной) | 2 вид — интерпретация | сложное | 5 Б. | Решение уравнения. |
| 25. | Уравнение, сводимое к квадратному (полное) | 2 вид — интерпретация | сложное | 8 Б. | Решение уравнения. |
www.yaklass.ru
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график. — Свойства корня n-ой степени. Примеры решения типовых задач.
Комментарии преподавателя
При доказательстве свойств корня n-й степени мы будем опираться на его определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например, , т. к. ; , т. к. ;
Обратим внимание, что под знаком корня может стоять отрицательное число, но только в том случае, если корень – нечетной степени. В этом случае следует вынести минус из-под знака корня, и мы получим корень из неотрицательного числа: .
Напомним геометрическую интерпретацию корня n-й степени и дадим пояснения к определению.
Рассмотрим функцию на множестве всех действительных значений. Рис. 1.
Рис. 1. График функции
Значение функция принимает при двух различных значениях аргумента: . Другими словами, уравнение имеет два решения, положительное и отрицательное, – неотрицательное значение – носит название арифметического корня.
Рассмотрим функцию на множестве . Рис. 2.
Рис. 2. График функции на множестве
Данная функция принимает значение при единственном значении аргумента . Система
имеет единственное решение .
Корень n-й степени (n=2, 3, 4…) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Обозначим исходные выражения через х, у и z:
Так как все выражения неотрицательные и возводятся в натуральную степень, имеем право записать:
Теорема доказана.
Рассмотрим несколько примеров на применение доказанной теоремы.
Пример 1 – вычислить:
Теорема удобна тем, что не нужно выполнять трудоемкое умножение, а иногда, наоборот, раскладывать большие числа на множители.
Пример 2 – вычислить:
Теорема 1 допускает обобщение, например, для произведения трех сомножителей.
Обобщение:
Дано: ,
Доказать:
Доказательство:
Согласно условию , если рассматривать ab как один множитель, а с как второй, можем применить к выражению теорему 1:
Теперь можем применить теорему 1 к корню из ab:
Обобщение доказано.
Пример 3 – вычислить:
Пример 4 – вычислить:
www.kursoteka.ru
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график. — Свойства корня n-ой степени. Примеры решения типовых задач.
Комментарии преподавателя
При доказательстве свойств корня n-й степени мы будем опираться на его определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например, , т. к. ; , т. к. ;
Обратим внимание, что под знаком корня может стоять отрицательное число, но только в том случае, если корень – нечетной степени. В этом случае следует вынести минус из-под знака корня, и мы получим корень из неотрицательного числа: .
Напомним геометрическую интерпретацию корня n-й степени и дадим пояснения к определению.
Рассмотрим функцию на множестве всех действительных значений. Рис. 1.
Рис. 1. График функции
Значение функция принимает при двух различных значениях аргумента: . Другими словами, уравнение имеет два решения, положительное и отрицательное, – неотрицательное значение – носит название арифметического корня.
Рассмотрим функцию на множестве . Рис. 2.
Рис. 2. График функции на множестве
Данная функция принимает значение при единственном значении аргумента . Система
имеет единственное решение .
Корень n-й степени (n=2, 3, 4…) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Обозначим исходные выражения через х, у и z:
www.kursoteka.ru
Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства [wiki.eduVdom.com]
Число, n-я степень которого равна a, называется корнем n-й степени из числа $a (n\in\mathbb{N}) и обозначается $\sqrt[n]{a}$.
Неотрицательное число, n-я степень которого равна неотрицательному числу а, называется арифметическим корнем n-и степени из числа а.
Свойства арифметического корня n-й степени:
Если $a\geq 0 ; b \geq 0 \text{ , то } \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$
Если $a \geq 0; b \geq 0 \text{ , то } \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
Если $n,\,k\in,\,a\geq 0\text{ , то } \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$
Если $n,\,k\in,\,a\geq 0\text{ , то } \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$
Если $a>0\text{ , те }\mathbb{Z},\,n\in\mathbb{N}\text{ , то }a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{m} $.
Если $m\,,n\in\mathbb{N}\text{ , то }0^{\frac{m}{n}} = 0 $.
Свойства степени с рациональным показателем:
Для любого $a>0\text{ и }p, q\in\mathbb{Q}$:
$a^pa^q = a^{p+q}$;
$a^p:a^q = a^{p-q}$;
$(a^p)^q = a^{pq}$;
Для любых a>0, b>0 и $p\in\mathbb{Q}$:
—- Пример 1. Найдите значение выражения $\sqrt[3]{8\cdot 0,001} \cdot \sqrt[5]{\frac{243}{32}}$
Решение:
$\sqrt[3]{8\cdot 0,001} \cdot \sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{0,001}\cdot\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = 2\cdot0,1\cdot\frac{3}{2} = 0,3$
Ответ: 0,3
Пример 2. Упростите выражение $((a^{-0,4}b^{0,2})^5\cdot a^2b)^\frac{1}{3}$
Решение:
$((a^{-0,4}b^{0,2})^5\cdot a^2b)^\frac{1}{3} = ((a^{-0,4})^5\cdot(a^{0,2})^5\cdot a^2b)^{\frac{1}{3}} = (a^{-2}\cdot b\cdot a^2b)^{\frac{1}{3}} = (b^2)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{2}{3}}$
Ответ: $b^{\frac{2}{3}}$
www.wiki.eduvdom.com
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график. — Свойства корня n-ой степени. Примеры решения типовых задач.
Комментарии преподавателя
При доказательстве свойств корня n-й степени мы будем опираться на его определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например, , т. к. ; , т. к. ;
Обратим внимание, что под знаком корня может стоять отрицательное число, но только в том случае, если корень – нечетной степени. В этом случае следует вынести минус из-под знака корня, и мы получим корень из неотрицательного числа: .
Напомним геометрическую интерпретацию корня n-й степени и дадим пояснения к определению.
Рассмотрим функцию на множестве всех действительных значений. Рис. 1.
Рис. 1. График функции
Значение функция принимает при двух различных значениях аргумента: . Другими словами, уравнение имеет два решения, положительное и отрицательное, – неотрицательное значение – носит название арифметического корня.
Рассмотрим функцию на множестве . Рис. 2.
Рис. 2. График функции на множестве
Данная функция принимает значение при единственном значении аргумента . Система
имеет единственное решение .
Корень n-й степени (n=2, 3, 4…) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Обозначим исходные выражения через х, у и z:
www.kursoteka.ru
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график. — Свойства корня n-ой степени. Примеры решения типовых задач.
Комментарии преподавателя
При доказательстве свойств корня n-й степени мы будем опираться на его определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например, , т. к. ; , т. к. ;
Обратим внимание, что под знаком корня может стоять отрицательное число, но только в том случае, если корень – нечетной степени. В этом случае следует вынести минус из-под знака корня, и мы получим корень из неотрицательного числа: .
Напомним геометрическую интерпретацию корня n-й степени и дадим пояснения к определению.
Рассмотрим функцию на множестве всех действительных значений. Рис. 1.
Рис. 1. График функции
Значение функция принимает при двух различных значениях аргумента: . Другими словами, уравнение имеет два решения, положительное и отрицательное, – неотрицательное значение – носит название арифметического корня.
Рассмотрим функцию на множестве . Рис. 2.
Рис. 2. График функции на множестве
Данная функция принимает значение при единственном значении аргумента . Система
имеет единственное решение .
Корень n-й степени (n=2, 3, 4…) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Обозначим исходные выражения через х, у и z:
www.kursoteka.ru