Степени корень: Корень n-й степени из действительного числа — урок. Алгебра, 11 класс.
Определение корня n-ой степени. Свойства арифметического корня n-ой степени 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком
Тема 15.
Определение корня n-ой степени. Свойства арифметического корня n-ой степени.
Давай вспомним, что квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень любой натуральной степени n.
Итак, корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна а.
Например, корнем пятой степени из 32 является число 2, так как 25=32, корнем четвертой степени из 81 является каждое из чисел 3 и -3, так и 34=81 и (-3)4=81. Корень второй степени принято называть квадратным корнем, а корень третьей степени – кубическим корнем.
Если n — нечетное число, то выражение an имеет смысл при любом a; если n — четное число, то выражение an имеет смысл при
Из определения корня n-ой степени следует, что при всех значениях а, при которых выражение anимеет смысл, верно равенствоann=a.
Определение: Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.
Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень. Например,
-83=-83=-2
Значит, при любом положительном a и нечетном n верно равенство:
-an=-an
Решим уравнение: x6 = 7. Корнями уравнения служат числа, шестая степень которых равна 7. И таких чисел два: 76 и -76.
Решим уравнение x3 = 27. Уравнение имеет единственный корень, это число, третья степень которого равна 27, то есть 273=3.
Рассмотрим свойства арифметического корня n-ой степени.
- Если a≥0 и b≥0, то abn=anbn
Корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Например, найдем значение выражения 16∙814=164∙814=2∙3=6
- Если a≥0 и b>0, то abn=anbn
Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
Например, найдем значение выражения 210273=64273=643273=43=113.
- Если n и k – натуральные числа и a≥0, то akn=ank
- Если n,k и m – натуральные числа и a≥0, то amknk=amn
Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.
Рассмотрим некоторые примеры.
Вычислим значение выражения:
1353∙253=135∙253=27∙5∙253=27∙1253=3∙5=15
5106212∙526=510∙212∙526=512∙2126=10126=102=100
8-373∙8+373=8-378+373=64-373=273=3
| 1 | Найти объем | сфера (5) | |
| 2 | Найти площадь | окружность (5) | |
| 3 | Найти площадь поверхности | сфера (5) | |
| 4 | Найти площадь | окружность (7) | |
| 5 | Найти площадь | окружность (2) | |
| 6 | Найти площадь | окружность (4) | |
| 7 | Найти площадь | окружность (6) | |
| 8 | Найти объем | сфера (4) | |
| 9 | Найти площадь | окружность (3) | |
| 10 | (5/4(424333-10220^2))^(1/2) | ||
| 11 | Разложить на простые множители | 741 | |
| 12 | Найти объем | сфера (3) | |
| 13 | Вычислить | 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10 | |
| 14 | Найти площадь | окружность (10) | |
| 15 | Найти площадь | окружность (8) | |
| 16 | Найти площадь поверхности | сфера (6) | |
| 17 | Разложить на простые множители | 1162 | |
| 18 | Найти площадь | окружность (1) | |
| 19 | Найти длину окружности | окружность (5) | |
| 20 | Найти объем | сфера (2) | |
| 21 | Найти объем | сфера (6) | |
| 22 | Найти площадь поверхности | сфера (4) | |
| 23 | Найти объем | сфера (7) | |
| 24 | Вычислить | квадратный корень из -121 | |
| 25 | Разложить на простые множители | 513 | |
| 26 | Вычислить | квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9 | |
| 27 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2) | |
| 28 | Найти длину окружности | окружность (6) | |
| 29 | Найти длину окружности | окружность (3) | |
| 30 | Найти площадь поверхности | сфера (2) | |
| 31 | Вычислить | 2 1/2÷22000000 | |
| 32 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5) | |
| 33 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10) | |
| 34 | Найти длину окружности | окружность (4) | |
| 35 | Перевести в процентное соотношение | 1. 2-4*-1+2 | |
| 45 | Разложить на простые множители | 228 | |
| 46 | Вычислить | 0+0 | |
| 47 | Найти площадь | окружность (9) | |
| 48 | Найти длину окружности | окружность (8) | |
| 49 | Найти длину окружности | окружность (7) | |
| 50 | Найти объем | сфера (10) | |
| 51 | Найти площадь поверхности | сфера (10) | |
| 52 | Найти площадь поверхности | сфера (7) | |
| 53 | Определить, простое число или составное | 5 | |
| 54 | Перевести в процентное соотношение | 3/9 | |
| 55 | Найти возможные множители | 8 | |
| 56 | Вычислить | (-2)^3*(-2)^9 | |
| 57 | Вычислить | 35÷0. 2 | |
| 60 | Преобразовать в упрощенную дробь | 2 1/4 | |
| 61 | Найти площадь поверхности | сфера (12) | |
| 62 | Найти объем | сфера (1) | |
| 63 | Найти длину окружности | окружность (2) | |
| 64 | Найти объем | прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12) | |
| 65 | Сложение | 2+2= | |
| 66 | Найти площадь поверхности | прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3) | |
| 67 | Вычислить | корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7 | |
| 68 | Вычислить | 7/40+17/50 | |
| 69 | Разложить на простые множители | 1617 | |
| 70 | Вычислить | 27-( квадратный корень из 89)/32 | |
| 71 | Вычислить | 9÷4 | |
| 72 | Вычислить | 2+ квадратный корень из 21 | |
| 73 | Вычислить | -2^2-9^2 | |
| 74 | Вычислить | 1-(1-15/16) | |
| 75 | Преобразовать в упрощенную дробь | 8 | |
| 76 | Оценка | 656-521 | |
| 77 | Вычислить | 3 1/2 | |
| 78 | Вычислить | -5^-2 | |
| 79 | Вычислить | 4-(6)/-5 | |
| 80 | Вычислить | 3-3*6+2 | |
| 81 | Найти площадь поверхности | прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5) | |
| 82 | Найти площадь поверхности | сфера (8) | |
| 83 | Найти площадь | окружность (14) | |
| 84 | Преобразовать в десятичную форму | 11/5 | |
| 85 | Вычислить | 3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6 | |
| 86 | Вычислить | (11/-7)^4 | |
| 87 | Вычислить | (4/3)^-2 | |
| 88 | Вычислить | 1/2*3*9 | |
| 89 | Вычислить | 12/4-17/-4 | |
| 90 | Вычислить | 2/11+17/19 | |
| 91 | Вычислить | 3/5+3/10 | |
| 92 | Вычислить | 4/5*3/8 | |
| 93 | Вычислить | 6/(2(2+1)) | |
| 94 | Упростить | квадратный корень из 144 | |
| 95 | Преобразовать в упрощенную дробь | 725% | |
| 96 | Преобразовать в упрощенную дробь | 6 1/4 | |
| 97 | Вычислить | 7/10-2/5 | |
| 98 | Вычислить | 6÷3 | |
| 99 | Вычислить | 5+4 | |
| 100 | Вычислить | квадратный корень из 12- квадратный корень из 192 |
Степень (выражения)
«Степень» может означать несколько вещей в математике:
- В геометрии градус (°) — это способ измерения углов,
- Но здесь мы посмотрим, что означает степень в Алгебре .
В алгебре «Степень» иногда называют «Порядком»
Степень многочлена (с одной переменной)
Многочлен выглядит так:
| пример многочлена этот имеет 3 члена |
Степень (для многочлена с одной переменной, например x ) равна:
наибольший показатель степени этой переменной.
Другие примеры:
| 4x | Степень равна 1 (переменная без показателя степени фактически имеет показатель степени 1) | |
| 4x 3 − x + 3 | Степень 3 (наибольшая степень x) | |
| x 2 + 2x 5 − x | Степень 5 (наибольшая степень x) | |
| z 2 − z + 3 | Степень 2 (наибольшая степень z) |
Названия степеней
Когда мы знаем степень, мы также можем дать ей имя!
| Степень | Имя | Пример |
|---|---|---|
| 0 | Константа | 7 |
| 1 | Линейный | х+3 |
| 2 | Квадратичный | х 2 −x+2 |
| 3 | Кубический | x 3 −x 2 +5 |
| 4 | Квартик | 6x 4 −x 3 +x−2 |
| 5 | Квинтик | х 5 −3x 3 +x 2 +8 |
Пример: y = 2x + 7 имеет степень 1, поэтому это линейное уравнение
Пример: 5w 2 − 3 имеет степень 2, поэтому квадратично
Уравнения более высокого порядка обычно сложнее решить:
- Линейные уравнения легко решать
- Квадратных уравнений немного сложнее решить
- Кубические уравнения снова сложнее, но есть формулы в помощь
- Уравнения четвертой степени тоже можно решить, но формулы очень сложные
- Квинтовые уравнения не имеют формул, и иногда может быть неразрешимым !
Степень многочлена с более чем одной переменной
Если многочлен имеет более одной переменной, нам нужно посмотреть на каждый термин .
Термины разделяются знаком + или -:
| пример многочлена с более чем одной переменной |
Для каждого термина :
- Найдите степень по , добавив в нее показатели степени каждой переменной ,
наибольшая такая степень является степенью многочлена.
Пример: какова степень этого многочлена:
Проверка каждого члена:
- 5xy 2 имеет степень 3 (x имеет показатель степени 1, y имеет 2 и 1+2=3)
- 3x имеет степень 1 (x имеет показатель степени 1)
- 5 лет 3 имеет степень 3 (y имеет степень 3)
- 3 имеет степень 0 (без переменной)
Наибольшая степень из них равна 3 (на самом деле два члена имеют степень 3), поэтому полином имеет степень 3
Пример: какова степень этого полинома:
4Z 3 + 5Y 2 Z 2 + 2YZ
Проверка Каждый термин:
- 4Z 3 3 9999999 3 3 999999999 3 (z имеет показатель степени 3)
- 5y 2 z 2 имеет степень 4 (y имеет показатель степени 2, z имеет 2 и 2+2=4)
- 2yz имеет степень 2 (y имеет показатель степени 1, z имеет 1 и 1+1=2)
Наибольшая степень из них равна 4, поэтому полином имеет степень 4
Записываем
Вместо того, чтобы говорить « степень (чего бы то ни было) равна 3 », мы пишем это так:
Когда выражение является дробью
Мы можем вычислить степень рационального выражения (того, которое имеет форму дроби), взяв степень наверху (числитель) и вычтя степень на дне (знаменатель).
Вот три примера:
../алгебра/изображения/степень-example.js?mode=x0
../алгебра/изображения/степень-example.js?mode=x1
../алгебра/изображения/степень-example.js?mode=xm1
Вычисление других типов выражений
Предупреждение: передовые идеи впереди!
Иногда мы можем определить степень выражения, разделив …
- логарифм функции на
- логарифм переменной
… затем сделайте это для все больших и больших значений, чтобы увидеть, куда «направляется» ответ.
(Более правильно мы должны вычислить Предел бесконечности ln(f(x)) ln(x) , но я просто хочу, чтобы это было просто).
Примечание: « ln » — функция натурального логарифма. |
Пример: Степень 3 + √x
Попробуем увеличить значения x:
| x | пер(3 + √х) | Л(х) | пер(3 + √x) пер(х) |
|---|---|---|---|
| 2 | 1. 48483 | 0,69315 | 2.1422 |
| 4 | 1.60944 | 1.38629 | 1.1610 |
| 10 | 1,81845 | 2.30259 | 0,7897 |
| 100 | 2,56495 | 4.60517 | 0,5570 |
| 1000 | 3,54451 | 6.90776 | 0,5131 |
| 10 000 | 4.63473 | 9.21034 | 0,5032 |
| 100 000 | 5.76590 | 11.51293 | 0,5008 |
| 1 000 000 | 6.91075 | 13.81551 | 0,5002 |
Глядя на таблицу:
- , поскольку x становится больше, чем ln(3 + √x) ln(x) все ближе и ближе к 0,60090 0,50098
Таким образом, степень равна 0,5 (другими словами, 1/2)
(Примечание: это хорошо согласуется с x ½ = квадратный корень из x, см. Дробные показатели степени)
Некоторые значения степени
| Выражение | Степень |
|---|---|
| журнал(х) | 0 |
| е х | ∞ |
1 шт. | −1 |
| √х | 1/2 |
462, 4003, 2092, 4004,463, 1108, 2093, 4005, 1109, 4006
Кубическая формула
Кубическая формула(Решить любое полиномиальное уравнение 3-й степени)
Я размещаю это в Интернете, потому что некоторые студенты могут найти это интересно. Его можно было бы легко упомянуть в многие математические курсы бакалавриата, хотя это не кажется появляться в большинстве учебников, используемых для этих курсов. Ни один из этих материалов не был обнаружен мной. — ЕС
Вы должны знать, что решение ax 2 +bx+c=0 равно
Аналогичная формула существует для многочленов степени три: решение ax 3 +bx 2 +cx+d=0 есть
(Подобная формула была впервые опубликована Кардано в 1545 году.) Или, короче,
куда
Но я , а не рекомендую вам запомнить эти формулы.
Помимо того, что это слишком сложно, другие причины, по которым мы не учим этой формуле студентам-счетчикам. Одна из причин в том, что мы пытаемся не учить их сложным числа. Комплексные числа (т. е. рассматривающие точки на плоскости как цифры) это более продвинутая тема, лучше оставить для более продвинутого курса. Но тогда только числа, которые нам разрешено использовать в исчислении — действительные числа (т. е. точки на прямой). Это накладывает на нас некоторые ограничения — например, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного количество. Теперь формула Кардана имеет недостаток что это может привести к использованию таких квадратных корней на промежуточных этапах вычислений, даже если те числа не появляются в задаче или ее ответе.
Например, рассмотрим кубическое уравнение
х 3 -15х-4=0.
(Этот пример был
упоминается Бомбелли в его книге в 1572 г.)
Эта проблема имеет реальную
коэффициенты, и имеет три действительных корня
за его ответы. (Подсказка: один из корней
маленькое положительное целое число; Теперь ты можешь найти все
три корня?)
Но если мы применим к этому примеру формулу Кардано,
мы используем a=1, b=0, c=-15, d=-4 и находим, что
нам нужно извлечь квадратный корень из -109в
полученный расчет. В конечном счете,
квадратные корни отрицательных чисел сокращаются
позже в вычислении, но это вычисление
не может быть понят студентом, изучающим математику, без
дополнительное обсуждение комплексных чисел.
Существует также аналогичная формула для многочленов от степень 4, но гораздо хуже записывается; я не буду хоть здесь попробуй.
нет аналогичной формулы для многочленов степени
5. Я не просто имею в виду, что никто не нашел формулы
пока что; Я имею в виду, что в 1826 году Абель доказал, что не может быть
быть такой формулой.