Степень с натуральным и рациональным показателем арифметический корень: Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень

..

Этот корень единственный и обозначается так же, как и арифметический.

.

Корень нечётной n-й степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа -а=|а| следующим равенством:

, где a, n-нечётное натуральное число (n?3).

В дальнейшем запись вида будет означать арифметический корень, когда а?0, или корень нечётной степени из отрицательного числа, когда а.

Свойства арифметического корня:

1. 
   Основное свойство арифметического корня: величина арифметического корня не изменится, если показатель корня умножить на любое натуральное число k и одновременно подкоренное выражение возвести в степень с тем же показателем k : .
   
2. 
   При умножении арифметических корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения перемножаются, а показатель корня остаётся прежним: .
   
3. 
   При делении арифметических корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения делятся, а показатель корня остаётся прежним: .
   
4. 
   При возведении арифметического корня в степень с натуральным показателем возводится в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня остаётся прежним, .
   
5. 
   При извлечении корня из корня перемножаются показатели корней, а подкоренное выражение остаётся прежним: ..
   
6. 
   Сравнение арифметических корней основано на следующем свойстве:
   

если a>b>0, то , и обратно: если ( a>0, b>0), то a>b.

Доказать: . Для доказательства применим основное свойство арифметического корня и приведём корни к общему показателю 6 (наименьшему общему кратному показателю данных корней): Так как , то по свойству сравнения арифметических корней получим: .

Замечание: Для корня нечётной степени из отрицательного числа справедлива формула: .

С помощью этой формулы можно показать, что свойства 2ч 5 арифметических корней справедливы также и для корней нечётной степени из отрицательного числа.

Пример 1. Вычислить: .

Решение. ; ;

. Отсюда: .

Пример 2. Выполнить действия: .

Решение.

; .

Отсюда: 5³∙2⁴+5=(5∙2)³∙2+5=2000+5=2005.

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 7. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

.

2.6. Упражнения

Вычислить:

1. 
   3,2⁰ + 64^1/6 – 0,2³ ·0,2^-2 – 5³ : 5;
   
2. 
   27^1/3 – 4,8⁰ – 1,5³ –1,5^-2 + 2² : 2^-3;
   

3. 5² : 5^-1 + — 4² · 4^-3 – 27^2/3.

Упростить иррациональные выражения:

1. 
   
   
2. 
   
   

3.

4. ;

5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   ;
   
9. 
   
   

5. 
   
   

5. 
   ;
   
6. 
   .
   

Глава 2 степени 2 1 степень с натуральным показателем

ГЛАВА 2. СТЕПЕНИ

2.1. Степень с натуральным показателем

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n(n>1) называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен а. , а¹=а.

Свойства степеней с натуральным показателем:

Пример 1. Вычислить: .

Решение.

Пример 2. Найти значение выражения: .

Решение.

Пример 3. Выполнить действия: .

Решение.

Пример 4. Расположить в порядке возрастания следующие числа:

Решение.

Отсюда:

2.2. Степень с целым показателем

Обобщая понятие степени с натуральным показателем, введем степени с нулевым и целым отрицательным показателями.

Определение: Если a≠0, то a⁰=1. Выражение 0^{0 не имеет смысла.}

Определение: Если a≠0, и n– натуральное, то

Выражение 0^{—n не имеет смысла.}

Свойство 2 степени с натуральным показателем можно теперь, используя понятие степени с нулевым и целым отрицательным показателем, записать в виде: Остальные свойства имеют ту же запись.

Пример 1. Вычислить: ;

Решение.

Пример 2. Найти значение выражения: .

Решение.

Пример 3. Упростить: .

Решение. .

2.3. Арифметический корень n-й степени

Определение: Корнем п-й степени из числа называется число, п-я степень которого равна а.

Если n=2, то имеем квадратный корень. Если n=3 , то корень называется кубическим.

Если

а>0 и b–корень чётной n-й степени (n=2k), то и (-b) также является корнем n—й степени из числа а, т.к. (-b)ⁿ=(-b)^2k=(b)^2k=(b)ⁿ=a.

Действие нахождения корня n-й степени из числа называется извлечением корня n-й степени. Это действие является обратным к возведению в n-ю степень.

Если a<0 , то корень чётной n-й степени из числа

а не существует (на множестве действительных чисел).

Определение: Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число b, n-степень которого равна а.

Например, числа 3 и -3 являются корнями четвёртой степени из числа 81. При этом число 3 – арифметический корень четвёртой степени из числа 81, а число -3 не является арифметическим корнем.

Арифметический корень n-й степени из числа обозначается так:; а называется подкоренным числом, а натуральное число

n (n≥2) – показателем корня.

Если n=2, показатель корня не пишется. Например, вместо , пишут .

Теорема. Из любого действительного числа а≥0 можно извлечь арифметический корень n—й степени и притом только один.

Корень чётной степени из отрицательного числа не существует.

Корень нечётной степени из отрицательного числа – число отрицательное..

Этот корень единственный и обозначается так же, как и арифметический.

.

Корень нечётной n-й степени из отрицательного числа

а связан с арифметическим корнем из числа -а=|а| следующим равенством:

, где a<0, n-нечётное натуральное число (n≥3).

В дальнейшем запись вида будет означать арифметический корень, когда а≥0, или корень нечётной степени из отрицательного числа, когда а<0.

Свойства арифметического корня:

1. Основное свойство арифметического корня: величина арифметического корня не изменится, если показатель корня умножить на любое натуральное число k и одновременно подкоренное выражение возвести в степень с тем же показателем k : .

2. При умножении арифметических корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения перемножаются, а показатель корня остаётся прежним: .

3. При делении арифметических корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения делятся, а показатель корня остаётся прежним: .

4. При возведении арифметического корня в степень с натуральным показателем возводится в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня остаётся прежним, .

5. При извлечении корня из корня перемножаются показатели корней, а подкоренное выражение остаётся прежним: ..

6. Сравнение арифметических корней основано на следующем свойстве:

если a>b>0, то , и обратно: если ( a>0, b>0), то a>b.

Доказать: . Для доказательства применим основное свойство арифметического корня и приведём корни к общему показателю 6 (наименьшему общему кратному показателю данных корней): Так как , то по свойству сравнения арифметических корней получим: .

Замечание: Для корня нечётной степени из отрицательного числа справедлива формула: .

С помощью этой формулы можно показать, что свойства 2÷ 5 арифметических корней справедливы также и для корней нечётной степени из отрицательного числа.

В общем случае, когда в преобразованиях участвуют как арифметические, так и корни нечётной степени из отрицательного числа, эти свойства неверны.

Например, для произведения применение свойств 1. и 2. приведёт к неверному результату: .

Правильное решение: .

В случае арифметического квадратного корня было доказано, что для любого действительного числа а. Аналогично:

Например, в преобразованиях:

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении: .

Решение. Так как , то

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении: , где а<0.

Решение. , то .

Пример 3. Выполнить действия: .

Решение. ; .

Отсюда: .

2.4. Степень с рациональным показателем

Понятия и свойства степени с любым целым показателем были рассмотрены выше.

Введём теперь в рассмотрение степень с дробным показателем.

Определение. Если a>0 и x– рациональное число, представленное дробью , где m – целое, и n≥2 – натуральное число, то: ; если а0 и x>0, то a^x 0.

Например, при а≥0; или при b>0.

Рациональное число представляется в виде дроби неоднозначно, так как при любом натуральном k.

Покажем, что: . В самом деле: (использовано основное свойство арифметического корня).

Свойства функции с целым показателем распространяются на степень с любым рациональным показателем и положительным основанием, например: a^p∙a^q=a^p+q (a>0).

2.5. Примеры вычисления арифметических выражений со степенями

Пример 1. Вычислить: .

Решение. ; ;

. Отсюда: .

Пример 2. Выполнить действия: .

Решение.

; .

Отсюда: 5³∙2⁴+5=(5∙2)³∙2+5=2000+5=2005.

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 7. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

.

2.6. Упражнения

Вычислить:

1. 3,2⁰ + 64^1/6 – 0,2³ ·0,2^-2 – 5³ : 5;

2. 27^1/3 – 4,8⁰ – 1,5³ –1,5^-2 + 2² : 2^-3;

3. 5² : 5^-1 + — 4² · 4^-3 – 27^2/3.

Упростить иррациональные выражения:

3.

4. ;

8. ;

5. ;

6. .

Степень с рациональным показателем

Вам уже знакомы понятия степени числа с натуральным и целым показателями. Напомним, что степенью с натуральным показателем называется произведение . Здесь а – основание степени, – показатель степени, при  .

В свою очередь, степенью с отрицательным целым показателем называется , где ,  – натуральное число.

.

Однако в алгебре существует ещё и понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число. Итак, попытаемся записать  как некоторую степень числа а, то есть .

Мы знаем, что . Исходя из того, что мы представили , то получим, что . По свойству возведения степени в степень имеем . Откуда видим, что произведение . Следовательно, .

Тогда получаем, что . По свойству возведения корня n-й степени в степень получим, что .

Например,

.

Сделаем вывод: если   — натуральное число, причём  ,  — целое число и частное   является целым числом, то при  справедливо равенство .

Пусть , причём   — целое число. Отсюда . Тогда .

Если же частное    не является целым числом, то степень числа а, где , определяют так, чтобы выполнялась формула , то есть и в этом случае считают, что .

Таким образом, формула  справедлива для любого целого числа  и любого натурального числа  и положительного основания степени .   

Например,

.

Напомним, что рациональное число  – это число вида , где  – целое,  – натуральное число. Тогда по формуле  получаем .

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя и любого положительного основания а.

Если рациональное число , то выражение  имеет смысл не только при положительном основании степени, но и при , причём . Поэтому считают, что при .

Пользуясь формулой , степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Запомните! Степенью числа с рациональным показателем , где  – целое число, а  – натуральное, причём , называется число .

Замечание: из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого  и любого рационального  число – положительно.

Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби. По основному свойству дроби частное   можно представить, как частное , где
 и – натуральные числа,  – целое число. Тогда при любом  справедливо равенство.

Что легко доказать применяя свойства корней.

Имеем.

Заметим, что при отрицательном основании степени рациональная степень числа а не определяется. Отрицательные числа нельзя возводить в рациональную степень, не являющуюся целым числом.

А теперь перейдём к основным свойствам степени и покажем, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.

А именно для любых рациональных чисел  и  и любых  и  верны равенства:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Для доказательства этих свойств нужно воспользоваться определением степени с рациональным показателем и свойствами корней.

Докажем первое свойство.

1. .

Итак, пусть , , где  и  – натуральные числа,  и   – целые числа.

Нам нужно доказать, что .

Приведём дроби к общему знаменателю , .

По определению степени с рациональным показателем имеем .

Аналогичным образом можно доказать и все остальные свойства степени с рациональным показателем.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Найдите значения выражения .

Решение.

.

Разработка урока по Алгебре и начале математического анализа по теме «Арифметический корень натуральной степени. Степень с рациональным и действительным показателем».

Тема урока: Арифметический корень натуральной степени. Степень с рациональным и действительным показателем.

Цель урока: Усвоить понятие арифметического корня, свойства арифметического корня;

Развивать логическое мышление;

Воспитывать аккуратность.

Тип урока: комбинированный.

Метод обучения: рассказ, упражнение.

Демонстрация: плакат со свойствами арифметического корня, раздаточный материал.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщить тему и цель урока.

2. Проверка домашней работы.

Один учащийся выполняет у доски № 10.

3. Устная работа.

Математический диктант

Вычислите:

1. — 4 +8 = 4;

2. 15 – 27 = — 8;

3. – 7 ∙ 10 = — 70;

4. – 5 ∙ (-4) = 20;

5. – 80 : ( — 20) = 4;

6. 0 : ( — 4) = 0;

4. Объяснение нового материала

Арифметический корень натуральной степени

Определение. Арифметическим корнем натуральной степени n ≥ 2 из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n – я степень которого равна a.

Арифметический корень n–й степени из числа а обозначается так: Число а называется подкоренным выражением. Если n = 2, то вместо пишут

Арифметический корень второй степени называют также квадратным корнем, а корень третьей степени – кубическим корнем. В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне n-й степени, кратко говорят: «Корень n-й степени».

Для любого нечетного натурального числа 2k + 1 уравнение при а < 0 имеет только один корень. Причем отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом Его называют корнем нечетной степени из отрицательного числа. Например:

Корень нечетной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа –а = следующим равенством:

Например:

Арифметический корень n-й степени обладает следующими свойствами: если a ≥ 0, b > 0 и n,m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥2, то

Примеры применения свойств арифметического корня:

Степень с рациональным и действительным показателем

Если n – число, m – целое число и частное является целым числом.е=1$.

Математических изображений | Степени с натуральными показателями (и положительными рациональными показателями)

Основные силовые функции:

n называется показателем степени. Начнем изучать степенные функции с положительной целочисленной экспонентой. Выражение x ⁿ известно как «x в n-й степени».

В это семейство входят прямые, параболы, кубические параболы и т. Д.

Они являются основой многочленов.

Это примеры четных и нечетных функций.Ось y четной функции является осью симметрии функции: одна половина графика является «зеркальным отображением» другой половины. Когда показатель четный, функция четная:

Некоторые функции симметричны относительно начала координат. Эти функции называются нечетными. Когда показатель степенной функции равен odd, функция нечетная:

Четные и нечетные степенные функции имеют разное поведение конца (справа и слева).

Увидев этот апплет, мы можем (интуитивно) принять эти ограничения:

Обратным возведению в степень является извлечение корня (функции корня n-й степени):

Корневые функции — это степенные функции с показателем, обратным положительному целому числу (n называется корневым индексом).

Одна функция и ее инверсия симметричны относительно диагонали первого квадранта. Вы получаете график обратной функции, отражающий график через линию y = x.

Областью применения этих функций являются все действительные числа, когда n нечетно, и только неотрицательные действительные числа, когда n четно.

Играя с математикой, вы можете принять (интуитивно) этот предел:

БОЛЬШЕ ССЫЛКИ

Многочлены степени 3 — это кубические функции.Реальная кубическая функция всегда пересекает ось x хотя бы один раз.

Мы можем рассматривать полиномиальную функцию, проходящую через серию точек плоскости. Это проблема интерполяции, которая здесь решается с помощью интерполяционного полинома Лагранжа.

Производная линейной функции — постоянная функция.

Производная квадратичной функции — это линейная функция, то есть прямая линия.

Производная кубической функции — это квадратичная функция, парабола.

Многочлены Лагранжа — это многочлены, проходящие через n заданных точек. Мы используем полиномы Лагранжа, чтобы исследовать общую полиномиальную функцию и ее производную.

Если производная от F (x) равна f (x), то мы говорим, что неопределенный интеграл от f (x) относительно x равен F (x). Мы также говорим, что F — первообразная или примитивная функция от f.

Интегральное понятие ассоциируется с понятием площади. Мы начали рассматривать область, ограниченную графиком функции и осью абсцисс между двумя вертикальными линиями.

Монотонные функции на отрезке интегрируемы. В этих случаях мы можем ограничить ошибку, которую мы допускаем при приближении интеграла с помощью прямоугольников.

Если мы рассматриваем нижний предел интегрирования a как фиксированный и если мы можем вычислить интеграл для различных значений верхнего предела интегрирования b, то мы можем определить новую функцию: неопределенный интеграл от f.

Подсчитать площадь под прямой несложно. Это первый пример интеграции, который позволяет нам понять идею и ввести несколько основных понятий: интегральное как область, пределы интеграции, положительные и отрицательные области.

Вычислить площадь по параболе сложнее, чем вычислить площадь по линейной функции. Мы покажем, как аппроксимировать эту область с помощью прямоугольников и что интегральная функция многочлена степени 2 является многочленом степени 3.

Мы можем увидеть некоторые основные понятия об интегрировании, применяемые к общей полиномиальной функции. Интегральные функции от полиномиальных функций — это полиномиальные функции с одной степенью выше, чем исходная функция.

Фундаментальная теорема исчисления говорит нам, что каждая непрерывная функция имеет первообразную, и показывает, как построить ее с помощью интеграла.

Вторая основная теорема исчисления — мощный инструмент для вычисления определенного интеграла (если мы знаем первообразную функции).

В качестве введения в кусочно-линейные функции мы изучаем линейные функции, ограниченные открытым интервалом: их графики подобны отрезкам.

Кусочная функция — это функция, которая определяется несколькими подфункциями.Если каждый кусок является постоянной функцией, то кусочная функция называется кусочно-постоянной функцией или ступенчатой ​​функцией.

Непрерывная кусочно-линейная функция определяется несколькими отрезками или лучами, соединенными без скачков между ними.

Комплексные степенные функции с натуральным показателем имеют в начале координат нуль (или корень) кратности n.

Многочлен степени 2 имеет два нуля или корня. На этом изображении вы видите овалы Кассини и лемнискату.

Комплексный полином степени 3 имеет три корня или ноль.

Каждый комплексный многочлен степени n имеет n нулей или корней.

Рациональные экспоненты и сурды | Показатели и показатели

1,2 Рациональные показатели и показатели (EMBF5)

Законы экспонент также могут быть расширены, чтобы включать рациональные числа. Рациональное число — это любое число, которое можно записать в виде дроби с целым числом в числителе и знаменателе. У нас также есть следующие определения для работы с рациональными показателями.м} \) где \ (a> 0 \), \ (r> 0 \) и \ (m, n \ in \ mathbb {Z} \), \ (n \ ne 0 \).

Для \ (\ sqrt {25} = 5 \) мы говорим, что \ (\ text {5} \) — квадратный корень из \ (\ text {25} \), а для \ (\ sqrt [3] { 8} = 2 \), мы говорим, что \ (\ text {2} \) является кубическим корнем \ (\ text {8} \). Для \ (\ sqrt [5] {32} = 2 \) мы говорим, что \ (\ text {2} \) является корнем пятой степени из \ (\ text {32} \).

При работе с экспонентами корень относится к числу, которое многократно умножается само на себя определенное количество раз, чтобы получить другое число.Радикал относится к числу, написанному, как показано ниже.

Символ корня и степень показывают, какой корень определяется. Подкоренное выражение — это число под радикальным символом.

• Если \ (n \) — четное натуральное число, подкоренное выражение должно быть положительным, иначе корни не являются действительными. {\ frac {1} {2}} \ end {align *}

  Извлеките квадратный корень

  \ begin {align *} & = \ sqrt {36} \\ & = 6 \ end {align *}

  Ты справишься! Позвольте нам помочь вам учиться с умом для достижения ваших целей.{\ frac {31} {16}} \ end {выровнять *}

  Упрощение сурдов (EMBF6)

  Мы видели в предыдущих примерах и упражнениях, что рациональные показатели тесно связаны с сурдами. Часто бывает полезно записать сурд в экспоненциальной записи, поскольку это позволяет нам использовать экспоненциальные законы.

  Дополнительные законы, перечисленные ниже, упрощают упрощение сурдов:

  • \ (\ sqrt [n] {a} \ sqrt [n] {b} = \ sqrt [n] {ab} \)
  • \ (\ sqrt [n] {\ dfrac {a} {b}} = \ dfrac {\ sqrt [n] {a}} {\ sqrt [n] {b}} \)
  • \ (\ sqrt [m] {\ sqrt [n] {a}} = \ sqrt [mn] {a} \)
  • \ (\ sqrt [n] {a ^ m} = a ^ {\ frac {m} {n}} \)
  • \ (\ left (\ sqrt [n] {a} \ right) ^ m = a ^ {\ frac {m} {n}} \)

  Рабочий пример 5: Упрощение Surds

  Покажите, что:

  1. \ (\ sqrt [n] {a} \ times \ sqrt [n] {b} = \ sqrt [n] {ab} \)
  2. \ (\ sqrt [n] {\ dfrac {a} {b}} = \ dfrac {\ sqrt [n] {a}} {\ sqrt [n] {b}} \)
  1. \ begin {align *} \ sqrt [n] {a} \ times \ sqrt [n] {b} & = a ^ {\ frac {1} {n}} \ times b ^ {\ frac {1} {n}} \\ & = (ab) ^ {\ frac {1} {n}} \\ & = \ sqrt [n] {ab} \ end {выровнять *}
  2. \ begin {align *} \ sqrt [n] {\ frac {a} {b}} & = \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} \\ & = \ dfrac {a ^ {\ frac {1} {n}}} {b ^ {\ frac {1} {n}}} \\ & = \ dfrac {\ sqrt [n] {a}} {\ sqrt [n] {b}} \ end {выровнять *}

  Примеры:

  1. \ (\ sqrt {2} \ times \ sqrt {32} = \ sqrt {2 \ times 32} = \ sqrt {64} = 8 \)

  2. \ (\ dfrac {\ sqrt [3] {24}} {\ sqrt [3] {3}} = \ sqrt [3] {\ dfrac {24} {3}} = \ sqrt [3] {8}) = 2 \)

  3. \ (\ sqrt {\ sqrt {81}} = \ sqrt [4] {81} = \ sqrt [4] {3 ^ 4} = 3 \)

  Как и в отличие от Surds (EMBF7)

  Два сурда \ (\ sqrt [m] {a} \) и \ (\ sqrt [n] {b} \) похожи на сурды, если \ (m = n \), в противном случае они называются в отличие от сурдов. {- 1}} & = \ sqrt {25 \ times 3} \ times \ sqrt [3] {\ frac {1} {48}} \ \ & = \ sqrt {25 \ times 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt [3] {8 \ times 6}} \ end {align *}

  Упростите, используя \ (\ sqrt [n] {ab} = \ sqrt [n] {a} \ times \ sqrt [n] {b} \)

  \ begin {align *} & = \ sqrt {25} \ times \ sqrt {3} \ times \ frac {1} {\ sqrt [3] {8} \ times \ sqrt [3] {6}} \\ & = 5 \ times \ sqrt {3} \ times \ frac {1} {2 \ times \ sqrt [3] {6}} \ end {align *}

  Упростите и напишите окончательный ответ

  \ begin {align *} & = 5 \ sqrt {3} \ times \ frac {1} {2 \ sqrt [3] {6}} \\ & = \ frac {5 \ sqrt {3}} {2 \ sqrt [3] {6}} \ end {align *}

  Ты справишься! Позвольте нам помочь вам учиться с умом для достижения ваших целей.{\ frac {1} {2}} \ right) \ end {выровнять *}

  Рационализирующие знаменатели (EMBF9)

  Часто проще работать с дробями, имеющими рациональные знаменатели, а не с сомнительными знаменателями. Рационализируя знаменатель, мы конвертируем дробь с помутнением в знаменателе в дробь с рациональным знаменателем.

  Рабочий пример 11: Рационализация знаменателя

  Рационализируем знаменатель: \ [\ frac {5x-16} {\ sqrt {x}} \]

  Умножьте дробь на \ (\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} \)

  Обратите внимание, что \ (\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} = 1 \), поэтому значение дроби не изменилось.2} \\ & = \ frac {\ sqrt {x} (5x — 16)} {x} \ end {align *}

  Число в знаменателе изменилось с сурд на рациональное число. Выражение сурда в числителе — предпочтительный способ написания выражений.

  Рабочий пример 12: Рационализация знаменателя

  Запишите следующее в рациональном знаменателе: \ [\ frac {y-25} {\ sqrt {y} +5} \]

  Умножьте дробь на \ (\ frac {\ sqrt {y} -5} {\ sqrt {y} -5} \)

  Чтобы исключить из знаменателя каплю, мы должны умножить дробь на выражение, которое приведет к разнице в два квадрата в знаменателе.2 -25} \\ & = \ frac {(y-25) (\ sqrt {y} -5)} {y-25} \\ & = \ sqrt {y} -5 \ end {align *}

  Рационализация знаменателя

  Упражнение 1.5

  \ begin {align *} \ dfrac {10} {\ sqrt {5}} & = \ frac {10} {\ sqrt {5}} \ times \ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {5}} \\ & = \ frac {10 \ sqrt {5}} {5} \\ & = 2 \ sqrt {5} \ end {выровнять *}

  \ begin {align *} \ dfrac {3} {\ sqrt {6}} & = \ frac {3} {\ sqrt {6}} \ times \ dfrac {\ sqrt {6}} {\ sqrt {6}} \\ & = \ frac {3 \ sqrt {6}} {6} \\ & = \ frac {\ sqrt {6}} {2} \ end {выровнять *}

  \ (\ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ div \ dfrac {\ sqrt {2}} {3} \)

  \ begin {align *} \ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ div \ dfrac {\ sqrt {2}} {3} & = \ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ div \ dfrac {\ sqrt {2}} {3} \\ & = \ dfrac {2} {\ sqrt {3}} \ times \ dfrac {3} {\ sqrt {2}} \\ & = \ dfrac {6} {\ sqrt {6}} \ times \ dfrac {\ sqrt {6}} {\ sqrt {6}} \\ & = \ frac {6 \ sqrt {6}} {6} \\ & = \ sqrt {6} \ end {выровнять *}

  \ (\ dfrac {3} {\ sqrt {5} -1} \)

  \ begin {align *} \ dfrac {3} {\ sqrt {5} -1} & = \ dfrac {3} {\ sqrt {5} -1} \ times \ dfrac {\ sqrt {5} +1} {\ sqrt {5} +1} \\ & = \ dfrac {3 \ sqrt {5} +3} {5-1} \\ & = \ dfrac {3 \ sqrt {5} +3} {4} \ end {выровнять *}

  \ begin {align *} \ dfrac {x} {\ sqrt {y}} & = \ dfrac {x} {\ sqrt {y}} \ times \ dfrac {\ sqrt {y}} {\ sqrt {y}} \\ & = \ dfrac {x \ sqrt {y}} {y} \ end {выровнять *}

  \ (\ dfrac {\ sqrt {3} + \ sqrt {7}} {\ sqrt {2}} \)

  \ begin {align *} \ dfrac {\ sqrt {3} + \ sqrt {7}} {\ sqrt {2}} & = \ dfrac {\ sqrt {3} + \ sqrt {7}} {\ sqrt {2}} \ times \ dfrac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} \\ & = \ dfrac {\ sqrt {3} \ sqrt {2} + \ sqrt {7} \ sqrt {2}} {2} \\ & = \ dfrac {\ sqrt {6} + \ sqrt {14}} {2} \ end {выровнять *}

  \ (\ dfrac {3 \ sqrt {p} — 4} {\ sqrt {p}} \)

  \ begin {align *} \ dfrac {3 \ sqrt {p} — 4} {\ sqrt {p}} & = \ dfrac {3 \ sqrt {p} -4} {\ sqrt {p}} \ times \ dfrac {\ sqrt {p}} {\ sqrt {p}} \\ & = \ dfrac {3 \ left (\ sqrt {p} \ right) ^ 2-4 \ left (\ sqrt {p} \ right)} {p} \\ & = \ dfrac {3p-4 \ sqrt {p}} {p} \ end {выровнять *}

  \ (\ dfrac {t-4} {\ sqrt {t} + 2} \)

  \ begin {align *} \ dfrac {t-4} {\ sqrt {t} + 2} & = \ dfrac {t-4} {\ sqrt {t} +2} \ times \ dfrac {\ sqrt {t} -2} {\ sqrt {t} -2} \\ & = \ dfrac {\ left (t-4 \ right) \ left (\ sqrt {t} -2 \ right)} {t-4} \\ & = \ sqrt {t} -2 \ end {выровнять *}

  \ (\ left (1 + \ sqrt {m} \ right) ^ {- 1} \)

  \ begin {align *} \ left (1 + \ sqrt {m} \ right) ^ {- 1} & = \ frac {1} {1+ \ sqrt {m}} \ times \ frac {1- \ sqrt {m}} {1- \ sqrt {m}} \\ & = \ frac {1- \ sqrt {m}} {1-m} \ end {выровнять *}

  \ (a \ left (\ sqrt {a} \ div \ sqrt {b} \ right) ^ {- 1} \)

  \ begin {align *} a \ left (\ sqrt {a} \ div \ sqrt {b} \ right) ^ {- 1} & = a \ left (\ sqrt {a} \ times \ frac {1} {\ sqrt {b}} \ right) ^ {- 1} \\ & = a \ left (\ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}} \ right) ^ {- 1} \\ & = a \ frac {\ sqrt {b}} {\ sqrt {a}} \ times \ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {a}} \\ & = \ frac {a \ sqrt {ab}} {a} \\ & = \ sqrt {ab} \ end {выровнять *}

  Рациональные показатели — Полный курс алгебры

  29

  Дробный показатель

  Экспоненциальная форма vs.радикальная форма

  Отрицательная экспонента

  Оценки

  Правила экспонентов

  КУБИЧЕСКИМ КОРНЕМ a мы подразумеваем то число, третья степень которого равна a .

  Таким образом, кубический корень из 8 равен 2, потому что 2 ³ = 8. Кубический корень из −8 равен −2, потому что (−2) ³ = −8.

  — это кубический корень из на .3 называется индексом радикала.

  В целом

  означает b ⁿ = a. .

  Эквивалентно

  Прочтите « n -й корень из a ».

  Например,

  — Корень 4-й степени из 81 — это 3
  , потому что 81 — это 4-я степень числа 3.

  Если индекс опущен, например, индекс считается равным 2.

  Пример 1.		=	11.
  		=	2, потому что 2 5 = 32.
  		=	10, потому что 10 4 = 10,000.
  		=	−2, потому что (−2) 5 = −32.

  Мы видим, что если индекс нечетный , то подкоренное выражение может быть отрицательным. Но если индекс четный, подкоренное выражение не может быть отрицательным. Нет такого реального числа, например, как.

  Проблема 1. Оцените каждое следующее — если оно реально.

  а)

  =

  3

  б)

  =

  −3

  в)

  =

  2

  г)

  =

  Не реально.

  д)

  =

  −5

  е)

  =

  1

  г)

  =

  Не реально.

  ч)

  =

  -1

  Проблема 2.Доказательство:

  Совет : Умножьте числитель и знаменатель на

  Дробный показатель

  Мы видели, что чтобы возвести в квадрат степень, удвойте показатель степени.

  ( a ⁴ ) ² = a ⁸ .

  И наоборот, квадратный корень из степени равен половине показателя степени.Корень квадратный из a ⁸ равен a ⁴ ; значение a ¹⁰ равно a ⁵ ; значение a ¹² равно a ⁶ .

  Это будет держаться для всех сил. Квадратный корень из a ³ равен a . Это ⁵ . И особенно квадратный корень из ¹ .

  Другими словами, равно.

  =.

  Точно так же, поскольку куб степени будет показателем, умноженным на 3 — куб из a ⁿ равен a ^{3 n} — кубический корень из степени будет делением экспоненты на 3. Кубический корень из a ⁶ равен a ² ; то ² . И кубический корень из a ¹ равен a .

  a =.

  Это общее правило:

  =

  Знаменатель дробной экспоненты
  равен индексу радикала.
  Знаменатель указывает корень.

  Пример 2.	8 означает кубический корень из 8, который равен 2.
  	81 означает четвертый корень из 81, что составляет 3.
  	(-32) означает пятый корень из -32, что равно -2.

  8 — экспоненциальная форма кубического корня из 8.

  — его радикальная форма.

  Проблема 3. Оцените следующее.

  Задача 4. Выразите каждый радикал в экспоненциальной форме

  a — кубический корень из a ² .Показатель 2 был разделен на 3. Однако по правилам показателей:

  a = ( a ² ) = ( a ) ² .

  То есть

  Например,

  8 = (8) ² = 2 ² = 4.

  8 — это кубический корень из 8 в квадрате.

  снова:

  Знаменатель дробной степени
  указывает корень .

  Хотя 8 = (8 ² ), для оценки дробной степени более эффективно сначала извлечь корень, потому что мы возьмем степень меньшего числа.

  В целом

  Проблема 5. Оцените следующее.

  Задача 6. Выразите каждый радикал в экспоненциальной форме.

  Отрицательная экспонента

  Число с отрицательной экспонентой и показателем является обратной величиной этого числа с положительной экспонентой.

  a ^−v — это , обратное от a ^v .

  Следовательно,

  Задача 7. Выразите каждое из следующих значений отрицательной экспонентой.

  Задача 8. Выразить в радикальной форме.

  Оценки

  На уроке экспонент мы увидели, что −2 ⁴ — отрицательное число.Это отрицательный результат 2 ⁴ .

  В самом деле, знак минус означает отрицательное значение числа, следующего за ним. И число, следующее за знаком минус, −2 ⁴ , равно 2 ⁴ .

  [(−2) ⁴ — положительное число. Урок 13.]

  Таким образом, аналогично

  −8 — это отрицательное значение из 8:

  −8 = −2 ² = −4.

  С другой стороны,

  (−8) — положительное число:

  (−8) = (−2) ² = 4.

  Проблема 9. Оцените следующее.

  а)

  9 −2

  =

  1 9 2

  =

  1 81

  б)

  9

  =

  3

  в)

  9

  =

  1 3

  г)

  −9

  =

  −3

  д)

  −9 2

  =

  −81

  е)

  (−9) 2

  =

  81

  г)

  −9 −2

  =

  –

  1 81

  ч)

  (−9) −2

  =

  1 81

  и)

  −27

  =

  −9

  к)

  (-27)

  =

  9

  к)

  27

  =

  1 9

  л)

  (-27)

  =

  1 9

  Проблема 10.Оценить

  Это величина, обратная 16/25 — с положительным показателем степени.
  Итак, это квадратный корень из 25/16, который равен 5/4, затем возведенный в 3-ю степень: 125/64.

  Правила экспонентов

  Показателем степени может быть любое рациональное число. Рациональные показатели u, v подчиняются обычным правилам.

  a u a v	=	a u + v	Та же база
  	=	a u — v
  ( ab ) u	=	a u b u	Мощность продукта
  ( a u ) v	=	a УФ	Мощность мощности
  	=		Мощность дроби

  Пример 3.Перепишите в экспоненциальной форме и примените правила.

  См. «Арифметика, сложение и вычитание дробей».

  Задача 11. Примените правила экспонент.

  а)	4 · 4 = 4 = 4 = 2

  б)

  8 8

  = 8 = 8 = 2

  в)

  (10)

  = 10 = 10 −3 знак равно

  1 1000

  Проблема 12.Выразите каждый радикал в экспоненциальной форме и примените правила экспонент.

  а)	x знак равно х · х = х = x

  б)	x 2 знак равно x 2 · x = х = x

  в)

  =

  ( х + 1) = ( х + 1)

  Теперь мы можем понять, что правила для радикалов — в частности,

  — это правила экспонентов.Таким образом, они применяются только к факторам.

  Задача 13. Доказать:

  = ( ab ) = a · b = ·

  Чтобы решить уравнение, которое выглядит следующим образом:

  Для, x · = x ¹ = x .

  Проблема 14.Решите относительно x .

  а)

  x

  =

  8

  б)

  x

  =

  −32

  x

  =

  8

  =

  4

  x

  =

  (-32)

  =

  −8

  в)	( x — 1)	=	64			г)	x 7	=	5
  x — 1		=	64	x				=
  x		=	256 + 1 = 257

  e)	x	=	7			е)		=	5
  x		=	7 5	x				=	5 =

  Следующий урок: Комплексные числа

  Содержание | Дом

  ---

  Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
  Даже 1 доллар поможет.

  ---

  Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

  Вопросы или комментарии?

  Эл. Почта: [email protected]

  
  

  ROOTS AND EXPONENTS: РЕШАЕМЫЕ УПРАЖНЕНИЯ: SYMPLIFY ROOTS: ELEMENTAL AND HIGH SCHOOL

  Содержимое этой страницы:

  • Введение

  • Корни как полномочия, свойства полномочий, важное свойство, произведение и соотношение корней

  • Решенные упражнения: упрощающие выражения с корнями

  ---

  Введение

  Степень является выражением этого типа

  a ^b = a · a · · · a · a

  Это выражение представляет собой результат умножения с основанием , на , само по себе столько раз, сколько указывает показатель , b . n = a $$

  Другими словами, n -й корень числа — это число b , которое в степени n равно a (так, b ⁿ = a ).

  Число n называется степенью корня, а — . называется подкоренным элементом и корня.

  Давайте посмотрим на некоторые частные случаи:

  • Корень степени n = 2 известен как корень квадратный .

    Пример:

    Квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 в степени двойки равно 9.

    $$ \ sqrt {9} = 3 $$

  • Корень степени n = 3 известен как кубический корень .

    Пример:

    Кубический корень из -8 равен -2, потому что -2 в степени трех равняется -8.

    $$ \ sqrt [3] {- 8} = -2 $$

  Важно: Нет корней с четной степенью (2, 4, 6, 8 ..) отрицательных чисел (это комплексные числа), но там являются корнями отрицательных чисел, если степень нечетное число.

  ---

  СВОЙСТВА ДАННЫХ
  Товар	Мощность
  Частное	Отрицательная экспонента
  Обратное	Обратное обратное

  ---

  Важная недвижимость

  Вероятно, мы будем использовать чаще всего следующее свойство:

  $$ a ^ \ frac {b} {c} = \ sqrt [c] {a ^ b} $$

  
  

  ---

  Произведение и соотношение корней

  Произведение двух корней с одинаковым степень — это корень (той же степени) произведения подкоренных выражений, это,

  $$ \ sqrt [n] {a} \ cdot \ sqrt [n] {b} = \ sqrt [n] {a \ cdot b} $$

  То же самое и с частным:

  $$ \ frac {\ sqrt [n] {a}} {\ sqrt [n] {b}} = \ sqrt [n] {\ frac {a} {b}} $$

  
  

  ---

  ---

  ---

  Упростите выражения с дробными показателями

  Упражнение 1

  Показать решение

  У нас есть квадратный корень, записанный в виде степени.Мощность представляет:

  Мы знаем, что квадратный корень из 9 равен 3, но мы можем записать 9 как 9 = 3 ² , чтобы лучше понять, как исчезает квадратный корень (это то, что мы будем делать с более сложными выражениями):

  
  

  ---

  Упражнение 2

  Показать решение

  Пишем власть в виде корня.Поскольку знаменатель показатель степени равен 4, это четвертый корень степени (корень четвертой степени):

  Обратите внимание, что числитель 3 остается показателем степени подкоренного выражения.

  Мы не можем удалить термин из корня, потому что это корень четвертой степени, и для этого подкоренное выражение должно иметь показатель больше или равно 4.

  
  

  ---

  Упражнение 3

  Показать решение

  Мы можем записать квадратный корень в виде степени для работы с показателем степени:

  Теперь применим свойства степеней: у нас есть степень степени, поэтому мы умножаем показатели:

  Запишем степень в виде корня (четвертая степень):

  Мы выразили подкоренное выражение как продукт, который нужно увидеть есть фактор, который мы можем извлечь из выражение.Поскольку это корень четвертой степени, мы можем написать по 5 для каждого 5 ⁴ мы имеем в подкоренном выражении:

  Мы не можем дальше упрощать выражение.

  
  

  ---

  Упражнение 4

  Показать решение

  Помните, что продукт корни с одинаковой степенью является корнем с той же степенью произведение подкоренных выражений:

  Потому что у нас в числителе корень и знаменатель (в той же степени) мы можем запишите их как один корень:

  Примечание: : шаг выше обусловлен свойствами степеней, потому что

  Теперь мы можем упростить дробь подкоренного выражения:

  В связи с тем, что у нас 1 в числитель и его квадратный корень равен 1, мы собираемся снова записать два корня:

  Рассчитываем куб частного:

  Наконец, математики не любят корни в знаменатель, поэтому умножаем в числителе и знаменатель по корню, чтобы он оставался в числителе:

  
  

  ---

  Упражнение 5

  Показать решение

  Запишем корень двенадцатой степени как степень:

  Мы упростили дробь экспоненты.Теперь запишем подкоренное выражение (49) в виде степени: 49 = 7 ² .

  
  

  ---

  Упражнение 6

  Показать решение

  Это упражнение может показаться сложным, потому что в корнях есть корни, но единственное нам нужно написать квадрат корни как силы и применяют свойства of powers (мощность мощности):

  
  

  ---

  Упражнение 7

  Показать решение

  Мы пишем 72 как сила для применения свойств:

  Запишем дробную экспоненту как кубический корень, и мы сможем извлечь множитель:

  Обратите внимание, что поскольку это куб корень (третья степень), мы можем извлечь 3 от подкоренного выражения для каждого 3 ³ .

  
  

  ---

  Упражнение 8

  Показать решение

  Запишем корни степенями:

  Теперь мы запишем 4 как степень, 4 = 2 ² , чтобы иметь возможность упростить:

  
  

  ---

  Упражнение 9

  Показать решение

  Мы записываем числа и корни в экспоненциальной форме, чтобы применить свойства:

  Следовательно,

  
  

  ---

  Упражнение 10

  Показать решение

  Мы запишем корни как степени (один куб, а другой квадрат), а 9 как 9 = 3 ²

  Теперь умножаем все показатели (степень степени):

  Наконец, упростим дроби в показателях степени:

  Мы можем извлечь множитель:

  Как обычно, мы удалим корень из знаменателя.

  Поскольку это кубический корень, мы должны умножить его дважды в числителе и в знаменателе, чтобы он исчез:

  
  

  ---

  Упражнение 11

  Показать решение

  Прежде всего, потому что мы иметь дробь в степени минус единицы, мы пишем обратное, так что показатель степени исчезает:

  Теперь, поскольку все корни квадратные, мы можем их умножить:

  Упростим дробь:

  Теперь немного поработаем, чтобы избегаем корня в знаменателе: разделяем корни

  Умножаем и делим на корень 2:

  
  

  ---

  Упражнение 12

  Показать решение

  Выражение довольно пугающее, но все, что нам нужно сделать, это записать все корни как степени:

  Обратите внимание, что мы записали все показатели только за один шаг.

  Упростим показатель степени:

  
  

  ---

  Упражнение 13

  Показать решение

  У нас есть корень отрицательного числа, но поскольку это куб корень (неравномерная степень), он существует.

  Запишем кубический корень в виде степени:

  Умножаем показатели (степень степени):

  Обратите внимание, что мы можем удалить отрицательный знак, потому что (-5) ² = 5 ²

  
  

  ---

  Упражнение 14

  Показать решение

  Запишем пять корней как степени:

  Умножаем показатели (степень степени):

  Дробь равна 1.

  Следовательно,

  
  

  ---

  Упражнение 15

  Показать решение

  Мы можем извлечь 4 как общий множитель в подкоренном выражении:

  4 оставляет квадратный корень как 2 (потому что это 2 ² ):

  Нам нужно понять, что подкоренное выражение является результатом биномиальной теоремы Ньютона (квадрат вычитания):

  Наконец, корень исключает квадрат

  Важно: На самом деле, когда мы отменяем квадратный корень с число в квадрате нам нужно написать абсолютное значение

  Это связано с тем, что если значение x делает полином x — 3 отрицательное, (когда x <3 ), тогда степень двойки составляет подкоренное выражение положительное и, следовательно, квадратный корень существует и является положительное число.Но, если мы не запишем число как абсолютное значение, когда мы исключаем корень, получаем отрицательное число и, как следствие, ложное равенство.

  Давайте посмотрим на пример:

  Предположим, что x = 0 . Затем

  Но

  Однако, если мы запишем абсолютное значение, мы получим

  
  

  ---

  
  Matesfacil.ком от J. Llopis под лицензией творческий Международная лицензия Commons Attribution-NonCommercial 4.0.

  Рациональные экспоненты — стенограмма видео и урока

  От рационального к радикальному

  Радикальное выражение

  Во-первых, у нас есть радикальный символ. b называется индексом или корневым числом .(1/2). Вы видите, что изображение 4 x не указано в скобках, как в предыдущем примере? Поскольку 4 и x не указаны в скобках, только x возведены в степень 1/2. Четверка сама по себе. Так как это выглядело бы радикально? Поскольку 4 не возведена в степень, она будет стоять перед радикалом. Что касается радикала, числитель равен 1, поэтому показатель степени внутри подкоренного выражения равен 1. Знаменатель равен 2, так что это будет наш индекс. Когда мы видим радикальный символ без числа в индексе, мы всегда предполагаем, что это 2.

  Резюме урока

  Как вы видели, дробь говорит нам, что мы будем переписывать экспоненту как радикальное выражение. Числитель дроби — это показатель степени внутри подкоренного выражения, а знаменатель — это просто индекс.

  Цели урока

  По завершении этого урока у вас не возникнет проблем с преобразованием рациональной степени в радикальное выражение и наоборот.

  Дробные экспоненты: правила умножения и деления

  Обновлено 8 декабря 2020 г.

  Ли Джонсон

  Обучение работе с экспонентами является неотъемлемой частью любого математического образования, но, к счастью, правила их умножения и деления соответствуют правилам для недробные показатели.Первым шагом к пониманию того, как обращаться с дробными показателями, является краткое изложение того, что они собой представляют, а затем вы можете посмотреть, как можно комбинировать показатели, когда они умножаются или делятся и имеют одинаковое основание. Короче говоря, вы складываете показатели вместе при умножении и вычитаете одну из другой при делении, при условии, что они имеют одинаковое основание.

  TL; DR (слишком длинный; не читал)

  Умножьте члены на показатели по общему правилу:

  x ^a + x ^b = x ^{( a + b )}

  И разделите члены на показатели по правилу:

  x ^a ÷ x ^{b = x ( a — b )}

  Эти правила работают с любым выражением вместо a и b , даже с дробями.2 = -9. Различные случаи корней n-й степени действительного числа a заключаются в следующем.

  1. Если n четно и a положительно, то имеется два корня n-й степени, и один из них отрицательный. Положительный корень n-й степени называется главным корнем n-й степени числа a.

  2. Если n четно и a отрицательно, то у a нет действительных корней n-й степени.

  3. Если n нечетное, то для всех a существует ровно один корень n-й степени из a, который называется главным корнем n-й степени.

  4. Если a = 0, то для всех n 0 является единственным корнем n-й степени из 0, и, таким образом, 0 является главным корнем n-й степени из 0.(1/4)

  = корень (4,27)

  В общем, выражение, содержащее радикалы, называется стандартным, если выполняются следующие три условия.
  1. У подкоренного выражения нет множителей с показателями, равными или превышающими индекс.
  2. Индекс радикала как можно меньше.
  3. Знаменатель рационализирован.
  Обратите внимание, что в примерах с 3 по 9 мы упростили данные выражения, изменив их на стандартную форму.

  5.5 Сложение и вычитание радикалов

  Некоторые выражения, содержащие радикалы, можно складывать и вычитать с помощью закона распределения. Например,

  2 корня (5) + 7 корня (5) -3 корня (5)

  = (2 + 7-3) корень (5)

  = 6 корень (5)

  Бывают случаи, когда данные термины в выражении не похожи, но когда они записаны в стандартной форме, появляются общие множители.

  Пример 1. Упростить корень (50) + корень (98).

  корень (50) + корень (98)

  = корень (25 * 2) + корень (49 * 2)

  = 5 корень (2) + 7 корень (2)

  = 12 корень (2)

  Пример 2.2xroot (2x)

  = (- 1 / x + 28x) корень (2x)

  5.6 Умножение и деление радикалов

  Из правил R.2 и R3 раздела 5.4 ясно, что два радикала с одинаковым индексом можно умножить или разделить, выполнив операцию под знаком радикала.

  Пример 1.

  (a) корень (3) корень (5) = корень (3 * 5) = корень (15)

  (b) (корень (3,81)) / (корень (3,3)) = корень (3,81 / 3) = корень (3,27) = 3

  Если радикалы имеют разные индексы, измените выражения на экспоненциальную форму для упрощения.2

  = 2-3

  = -1

  Сопряжения можно использовать для упрощения некоторых дробей, знаменатели которых имеют вид a√x + b√y, путем удаления радикалов из знаменателей. Как и в разделе 5.4, это также называется рационализацией знаменателя.

  Пример 4. Упростим (корень (3) + корень (5)) / (корень (3) -корень (5)), рационализируя знаменатель.

  (корень (3) + корень (5)) / (корень (3) -корень (5))

  = (корень (3) + корень (5)) / (корень (3) -корень (5)) * (корень (3) + корень (5)) / (корень (3) + корень (5))

  = (3 + 2sqrt (3) sqrt (5) +5) / (3-5)

  = (8 + 2 корень (15)) / (- 2)

  = -4-корень (15)

  5.м

  При рассмотрении отрицательных подкормок есть определенные трудности. В случае, когда n нечетно, вышеупомянутые уравнения sh ‘] _ l остаются в силе, и законы степеней и радикалов по-прежнему применяются. В частности, если n нечетное,

  корень (n, -a) = — корень (n, a)

  Это равенство выполняется с

  корень (n, -a)

  = корень (n, (- 1) a)

  = корень (n, -1) корень (n, a)

  = (- 1) корень (n, a)

  = -корень (n, a)

  Например, root (3, -8) = — root (3,8) = — 2.2.

  5.8 Комплексные числа.

  В наших предыдущих обсуждениях действительной системы счисления и радикалов было указано, что корень (a) не является действительным числом в случае, когда n четно, а a отрицательно. Например, корень (-2), корень (4, -8) и корень (6, -3) не представляют собой действительные числа. Однако теперь мы вводим новые числа, называемые комплексными числами, которые придают смысл этим выражениям. Удивительно, но у комплексных чисел есть приложения в инженерных и физических задачах.

  Мы вводим новое число i, квадрат которого равен -1. Таким образом,

  -1 = я

  Если b — любое положительное действительное число, то

  корень (-b)

  = корень (b (-1))

  = корень (b) корень (-1)

  = корень (б) я

  Следовательно, квадратный корень из любого отрицательного действительного числа может быть представлен как произведение действительного числа и числа i. Например,

  корень (-16) = корень (16) корень (-1) = 4i

  и

  корень (-5) = корень (5) корень (-1) = корень (5) i

  Число i называется мнимой единицей, а любое число в форме bi, где b — действительное число, называется мнимым числом.
  Теперь рассмотрим все выражения вида a + bi, где a и b — действительные числа. Эти числа называются комплексными числами. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью a + bi. Например, 2-3i — это комплексное число, действительная часть которого равна 2, а мнимая часть — -3. С

  а = а + 0i

  Каждое действительное число a — комплексное число. Точно так же каждое мнимое число bi является комплексным числом, так как

  би = 0 + би

  Два комплексных числа a + bi и c + di равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d, то есть тогда и только тогда, когда действительные части равны, а мнимые части равны.

  Сумма и разность двух комплексных чисел определены способом, совместимым с тем, как мы выполняли эти операции с другими радикалами. У нас

  (а + би) + (с + ди)

  = (а + с) + (би + ди)

  = (а + в) + (б + г) я

  и

  (а + би) — (с + ди)

  = (а-с) + (би-ди)

  = (а-в) + (б-г) я

  Например,

  (2 + 3i) + (- 3 + 4i)

  = (2-3) + (3i + 4i)

  = -1 + 7i

  и

  (2-3i) — (- 2-i)

  = (2 + 2) + (- 3i + i)

  = (4-2i)

  Пример 1. Запишите каждое из следующих значений в форме a + bi: (a) 5-корень (-9) (b) (2 + корень (-8)) / (2)

  (а) 5-корень (-9)

  = 5-корень (9) корень (-1)

  = 5-3i

  (б) (2 + корень (-8)) / (2)

  = (2 + корень (8) корень (-1)) / (2)

  = (2 + 2 корень (2i)) / 2

  = 1 + корень (2i)

  Пример 2. Упростить (2 + корень (-4)) + (3 + корень (-25)) — (- 6-корень (-9)).

  (2 + корень (-4)) + (3 + корень (-25)) — (- 6-корень (-9))

  = (- 2 + корень (4) корень (-1)) + (3 + корень (25) корень (-1)) — (- 6-корень (9) корень (-1))

  = 2 + 2i + 3 + 5i + 6 + 3i

  = 11 + 10i

  Произведение двух комплексных чисел определяется таким образом, что оно соответствует произведению двух биномов.2) я

  .