Степень на степень деление: Умножение степеней, деление, таблица

Содержание

Умножение степеней, деление, таблица

Что такое степень числа

Алгебра дает нам такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

  • an — степень, где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, an= a·a·a·a…·a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число — она решается довольно просто:

2 — основание степени

3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе — вот несколько подходящих:

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Неважно в какой класс перешел ребенок — таблица пригодится всегда.

Число

Вторая степень

Третья степень

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

5

25

125

6

36

216

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук и ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

an · am = am+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

 

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

(an)m = an· m 

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень.

Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Умножение чисел с одинаковыми степенями

Для того, чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:

an · bn = (a · b)n , где

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

  • a5 · b5 = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)5
  • 35 · 45 = (3·4)5 = 125 = 248 832
  • 16a2 = 42·a2 = (4a)2

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Степени с одинаковыми основаниями умножаются путём сложения показателей степеней:

am · an= am+n, где

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа

  • 35 · 32 = 35+3 = 38 = 6561
  • 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048 

Умножение чисел с разными степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше.

А именно:

an · bn = (a · b)n

Если же разные и степени, и основания и одно из оснований не преобразуется в число с той же степенью, как у другого числа (как здесь: 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048), то производим возведение в степень каждого числа и лишь затем умножаем:

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Деление чисел с одинаковыми степенями

При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:

an : bn = (a : b)n, где 

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Деление чисел со степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше. А именно:



Если же разные и степени, и основания, то возводим в степень каждое число и только потом умножаем:

Подготовиться к сложной контрольной ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься ей с удовольствием уже завтра.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Пусть надо a9 ÷ a3; здесь, согласно смыслу деления, дано произведение = a9 и дан один множитель = a3. Надо найти другой множитель. Напишем данное произведение (a9) подробнее

a · a · a · a · a · a · a · a · a

и отделим, например, подчеркивая, данный множитель, т. е. a3 или a · a · a. Тогда мы увидим, каков другой множитель, а именно осталось неподчеркнутым

a · a · a · a · a · a,

что = a6. Итак,

a9 ÷ a3

= a6.

Пусть надо b47 ÷ b18. Данное произведение есть b47 или такое произведение, где b повторяется множителем 47 раз; отделим один данный множитель, b18, или произведение, где b повторяется 18 раз множителем. Тогда мы сообразим, что искомым множителем является произведение, где b повторяется 29 раз множителем, т. е. b29. Итак, b47 ÷ b18 = b29.

Также

x15 ÷ x5 = x10
(a + b)7 ÷ (a + b) = (a + b)6
323 ÷ 320 = 33 = 27 и т. д.

Вообще

am ÷ an = am-n (если m > n)

или словами: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без изменения, а показатель делителя вычитается из показателя делимого (если показатель делимого больше показателя делителя).

Пусть теперь надо

20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2.

Здесь дано произведение (20a5b4c2d) и один множитель 5a3b3c2; надо найти другой множитель. У произведения коэффициент (+20), он получился от умножения коэффициента данного множителя (+5) на коэффициент искомого множителя. Чтобы найти этот коэффициент, надо (+20) ÷ (+5), получим +4. В данном произведении a взято множителем 5 раз, в данном множителе a входит множителем 3 раза. Поэтому в искомом множителе a должно входить множителем 2 раза, т. е. в искомом множителе должно быть a2. В данном произведении b берется множителем 4 раза, а в данном множителе – 3 раза; следовательно, в искомом множителе b должно входить множителем лишь 1 раз. В данном произведении имеем c

2 (c берется множителем 2 раза) и в данном множителе имеем c2. Поэтому в искомом множителе c не должно вовсе входить. В данном произведении имеется множитель d, а в данном множителе d вовсе нет; поэтому d должно иметься в искомом множителе. Итак,

20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2 = 4a2bd.

Еще примеры:

В предыдущем встречались деления, вроде c2 ÷ c2; a ÷ a; b3 ÷ b3; и т. д. Здесь уместно заметить, что частное от деления какого-либо числа на самое себя всегда равно 1.

Свойства степени с натуральным показателем. Примеры с решениями

Возведение произведения в степень

Выражение  (

ab)n  является степенью произведения множителей  a  и  b.  Это выражение можно представить в виде произведения степеней  anbn.  Докажем это на примере.

По определению степени:

Раскрываем скобки, а затем, используя переместительный закон умножения, переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом:

Группируем отдельно множители  a  и множители  b  и получаем:

Воспользовавшись определением степени, находим:

Следовательно, формула возведения произведения в степень будет выглядеть так:

(ab)n = anbn.

Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей:

(3a2b)2 = 9a4b2.

Отсюда следует правило:

Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.

Возведение частного в степень

Для возведения в степень частного надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.

Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней:

Так как частное в алгебре часто записывается в виде дроби (знак деления заменяется дробной чертой), то правило возведения частного в степень можно переформулировать так, чтобы оно подходило и для дробей:

Чтобы возвести дробь в степень надо возвести в эту степень отдельно её числитель и знаменатель.

Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так:

Возведение степени в степень

Для возведения степени числа в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений.

Например, нам нужно возвести  72  в третью степень:

(72)3.

Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что степень числа это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что:

(72)3 = 72 · 72 · 72 = 72+2+2 = 72·3 = 76.

Следовательно, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

Общая формула возведения степени в степень:

(ax)y = axy.

Примеры на свойства степеней

Пример 1. Выполните действия:

а) (x5)3;

б) 2(n3)5;

в) -4(a4)2.

Решение:

а) (x5)3 = x5 · 3 = x15;

б) 2(n3)5 = 2n3 · 5 = 2n15;

в) -4(a4)2 = -4a4 · 2 = -4a8.

Пример 2. Возведите в степень:

а) (-2mn)4;

б) (3bc)3;

в) (-6a4b)2.

Решение:

а) (-2mn)4 = (-2)4 · m4 · n4 = 16m4n4;

б) (3bc)3 = 33 · b3 · c3 = 27b3c3;

в) (-6a4b)2 = (-6)2 · (a4)2 · b2 = 36 · a8 · b2 = 36a8b2.

Пример 3. Возведите дробь в степень:


Решение:

а) (2a )2(2a)2 = 4a2 ;
55225

б) (-xy)5 = —(xy)5 = —x5y5 ;
zz5z5

в) (a2b)3 = (a2b)3 = (a2)3 · b3 = a6b3 .
2c3(2c3)323 · (c3)38c9

Свойства показателей степени с примерами: умножение, деление

Степень an равняется произведению числа a на само себя n-ое количество раз.

an = a * a * a… a (n раз)

В данном случае a – это основание, а n – показатель степени.

Примеры:

  • 31 = 3
  • 32 = 3 × 3 = 9
  • 33 = 3 × 3 × 3 = 27
  • 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
  • 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Произошение:

  • Число a2 следует произносить как “a в квадрате”. Например, 42 – это “четыре в квадрате”.
  • Число a3 произносится как “a в кубе”. Например, 43 – это “четыре в кубе”.
  • Во всех остальных случаях an говорится как “a в n-ой степени”. Например, 46 – это “четыре в шестой степени”.

Правила операций с показателями степени

#1. Умножение степеней (одинаковые основания)

an ⋅ am = an+m

Пример: 22 ⋅ 23 = 22+3 = 25 = 32

#2. Степень произведения

(a ⋅ b) = an ⋅ bn

Пример: (2 ⋅ 3)4 = 24 ⋅ 34 = 1296

#3. Деление степеней (одинаковые основания)

an / am = an-m

Пример: 25 ⋅ 23 = 25-3 = 22 = 4

#4. Степень частного

(a / b) = an / bn

Пример: (12 / 4)3 = 123 / 43 = 27

#5. Возведение степени в степень

(an)m = an · m

Пример: (52)3 = 52 · 3 = 3125

#6. Степень, возведенная в степень

anm = a(nm)

Пример: 242 = 2(42) = 2(4 · 4) = 2(16) = 65536

#7. Извлечение степени из числа в степени

m√(an) = a n/m

Пример: 3√(26) = 26/3 = 22 = 2⋅2 = 4

#8. Возведение в отрицательную степень

b-n = 1 / bn

Пример: 2-4 = 1 / 24 = 1 / (2⋅2⋅2⋅2) = 1/16 = 0,0625

#9. Число в нулевой степени

a0 = 1

Пример: 100 = 1

#10. Возведение нуля в степень

0n = 0, для n>0

Пример: 07 = 0

#11. Число в первой степени

a1 = a

Пример: 151 = 15

#12. Единица в степени (любой)

1n = 1

Пример: 120 = 1

#13. Минус один в степени

(-1)n = 1, если n – четное число

(-1)n = -1, если n – нечетное число

Пример: (-1)6 = 1

#14. Возведение числа в дробную степень (в числителе – единица)

a1/n = n√a

Пример: 271/3 = 3√27 = 3

Смотрите также:

правила вычисления степеней с разными основаниями или натуральными показателями по математике и порядок этого

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

  • 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
  • 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 279
10 100 1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m),
  • an : am = (a)(n-m),
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

  • 23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично:

  • 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
  • (23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
  • А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них,
  • затем возведение в степень,
  • потом выполнять действия умножения, деления,
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

  • A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

  • 1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

  • (A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

  • A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1… и т. д.
  • A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3 … и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот. Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
  • А˃1.
  • Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

  1. r1 – в этом случае равно 3,
  2. r2 – будет равно 4.
  3. Тогда, при А = 1, 1π = 1.
  4. А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.
  5. А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Источник: https://tvercult.ru/nauka/stepen-svoystva-pravila-deystviya-i-formulyi

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

  • Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3.
  • А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.
  • Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный  и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.
  • В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/stepennye-vyrazhenija/

Возведение в степень

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136.

Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

  • (13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так: am / an = a(m – n).

Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так: (am)n = a(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь: 154 / 154.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150.

Следовательно: 154 / 154 = 150 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так: a0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка.

Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.

Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как: a(m/n) есть корень n-ной степени из am. Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

Рост = a × e(kt),

  • где a – начальное значение,
  •  e – константа, равная 2,718;
  • k – коэффициент роста;
  • t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.

Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Источник: https://BBF.ru/calculators/73/

Свойства степени с целым показателем

Степень с целым показателем Первый урок посвящен понятию обыкновенной степени с целым показателем — это математическая операция, в ходе которой число многократно умножается на само себя.0=3*1=3; $$ В этом случае необходимо привести все степени к одинаковому основанию. Замечаем, что \(15\) раскладывается, как произведение 3 и 5, получим одинаковые основания и применим формулы №1,№3.

Алгебра 7-9 классы. 3. Степень с натуральным показателем. Свойства степени

Алгебра 7-9 классы. 3. Степень с натуральным показателем. Свойства степени

Подробности
Категория: Алгебра 7-9 классы

 

 

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

 

Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде степени. Например,

 Выражение 57 читают по-разному: «Пять в седьмой степени», «Седьмая степень числа пять», «Степень числа пять с показателем семь».

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Степень числа а с показателем n обозначают так: аn. Выражение аn называют степенью, число а — основанием степени, число n — показателем степени.

По определению степени:

Вообще,

Нахождение значения степени называют возведением в степень. Приведем примеры возведения в степень:

При возведении в степень отрицательного числа может получиться как положительное число, так и отрицательное. Например,

Степень отрицательного числа с четным показателем есть число положительное, так как произведение четного числа отрицательных множителей положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем есть число отрицательное, так как произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно.

Квадрат любого числа есть число положительное или нуль, т. е. при любом а.

Вычислим значения нескольких выражений, содержащих степени.

Пример 1. Найдем значение выражения :

Значит,

 

Пример 2. Найдем значение выражения

Значит,

 

 
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ

 


Выражение а2а3 представляет собой произведение двух степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно записать в виде степени с тем же основанием:

Значит,

Мы видим, что произведение а2а3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней.

Докажем, что для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n

Для этого, используя определение степени и свойства умножения, представим выражение аmаn сначала в виде произведения множителей, каждый из которых равен а, а затем в виде степени:

Таким образом,

Доказанное равенство выражает свойство произведения степеней. Его называют основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней.

Например,

Отсюда следует правило умножения степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Приведем примеры:

Выражение а73 является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Это частное при можно представить в виде степени с тем же основанием. Действительно, так как , то по определению частного

Мы видим, что частное а73 равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Докажем, что для любого числа и произвольных натуральных чисел тип, таких, что ,

Покажем, что .

Действительно, по основному свойству степени

Значит, по определению частного

Итак, при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Приведем примеры:

Мы вывели правило деления ат на аm для случая, когда . Если это правило применить к частному an:an, то получится

Степень с нулевым показателем не была определена. Так как при всяком   и любом натуральном n

то считают, что при

 

Определение. Всякое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

Например, 2° — 1, (— 3,5)° =1. Выражение не имеет смысла.

Теперь, после введения нулевой степени, мы можем применять формулу и в том случае, когда m = 0 или n = 0 (при ). Точно так же формула справедлива и тогда, когда или .

 

 
 ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СТЕПЕНИ

 


Выражение является степенью произведения множителей а и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней а и b:

Значит,

Мы видим, что четвертая степень произведения аb равна произведению четвертых степеней множителей а и b.

Докажем, что для любых а и b и произвольного натурального числа n

По определению степени

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим :

Воспользовавшись определением степени, находим:

Следовательно,

Свойство степени произведения, выраженное равенством , распространяется на степень произведения трех и более множителей. Например,

Отсюда следует правило: (пpu возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

Выражение есть степень, основание которой само является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием а:

В результате возведения степени а5 в третью степень мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным произведению показателей 5 и 3.

Докажем, что для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n

По определению степени

Согласно основному свойству степени

Заменим сумму  произведением mn.

Тогда получим:

Следовательно,

Из равенства следует правило: при возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

Свойства степеней, выраженные формулами и , имеют место и для степеней с нулевым показателем (если основания отличны от нуля).

Как WES оценивает трехлетнюю степень бакалавра в Индии

Персонал WES

World Education Services (WES) пересмотрела свою оценку трехлетней степени бакалавра, присуждаемой индийскими университетами, и теперь считает, что выбранные трехлетние степени, полученные в Индии, эквивалентны степени бакалавра в США. Решение было принято после исследования и анализа фундаментальных изменений в процессе обеспечения качества в высшем образовании Индии.

Традиционная оценка степени в Индии

Трехлетний курс бакалавриата из Индии традиционно рассматривается в США.S. как сравнимо с завершением трехлетнего обучения в бакалавриате, и обладатели степени, как правило, не имеют права на поступление в аспирантуру США.

Эта оценка основана на информации об образовании в Индии с 1970-х до середины 1980-х годов. С тех пор система образования претерпела фундаментальные реформы, которые привели к созданию единой системы образования. К середине 1980-х годов стандарт Standard XII был полностью внедрен в Индии, и почти все университеты приняли трехлетнюю степень бакалавра.

Несмотря на реформы, университетский сектор продолжал бороться с высокими показателями неудач на вступительных экзаменах в университет, а также с высоким процентом отсева. Быстрый рост числа студентов, поступающих в высшие учебные заведения, повлиял на стандарты качества в индийских университетах, особенно в области социальных и гуманитарных наук. Только в 1990-е годы количество студентов, обучающихся в университетах, почти удвоилось с 4,9 миллиона до 9,4 миллиона. Тем не менее, индийское высшее образование по-прежнему включает несколько центров передового опыта.

Обеспечение качества и аккредитация

Чтобы помочь повысить качество высшего образования, Комиссия по грантам университетов / UGC учредила в 1994 году Национальный совет по оценке и аккредитации / NAAC . Миссия NAAC заключается в оценке и аккредитации высших учебных заведений на основе четко определенных определенные критерии, которые включают учебную программу; обучение и оценка студентов; инфраструктура и ресурсы; поддержка студентов; и институциональное управление.Учреждения, успешно завершившие процесс и получившие право на аккредитацию, оцениваются следующим образом:

Институциональная оценка
(исключая верхний предел)
Оценка
95-100 A ++
90-95 А +
85-90 A
80-85 B ++
75-80 В +
70-75 B
65-70 C ++
60-65 C +
55-60 С

Шкала оценок в значительной степени ориентирована (70%) на преподавание и учебные ресурсы, а остальные 30 баллов присваиваются за поддержку студентов и управление учебным заведением.Аккредитация является добровольной, и в настоящее время 144 университета перечислены как аккредитованные на веб-сайте NAAC из 342, и 3492 из 5,386 колледжей, находящихся в ведении NAAC, также были аккредитованы. Для сравнения, в январе 2006 года 122 университета и 2558 колледжей были аккредитованы NAAC.

Проблемы, влияющие на степень эквивалентности

Обеспечение качества — Установив механизм обеспечения качества и аккредитации, высшее образование в Индии начало устранять серьезное препятствие, которое помешало признанию большинства университетских степеней.Важно отметить, что крупные британские университеты приняли к сведению последние изменения в индийском высшем образовании и соответствующим образом обновили свою политику приема. Крупные университеты, включая университеты Бата, Эксетера, Манчестера, Рединга, Шеффилда, Саутгемптона, Сассекса и многих других, теперь принимают очень сильных кандидатов с трехлетней степенью бакалавра из Индии непосредственно в магистерские программы.

Общее образование — Общее образование на уровне бакалавриата является уникальным для U.С. высшее образование и не существует в большинстве других стран независимо от продолжительности программ бакалавриата. Хотя отсутствие общего образования часто называют причиной непризнания трехлетних степеней для поступления в аспирантуру, университеты США с готовностью принимают студентов из этих самых систем, если они завершат как минимум четыре (4) года обучения. Это существенно противоречит аргументу о том, что отсутствие общего образования делает степень недостаточной для подготовки к учебе в аспирантуре, поскольку четвертый год уходит на дальнейшую специализацию.

Новая трехлетняя оценка WES

Ключевыми критериями, которые WES учитывает при оценке степени, являются уровень , структура , объем и намерение программы. Эти факторы выражаются в виде: требований для допуска к программе; его содержание и структура; и функция, для которой учетные данные предназначены для обслуживания в домашней системе, соответственно.Хотя количество лет обучения является одним из элементов, определяющих академическую квалификацию, это лишь один из нескольких критериев, которые WES учитывает при оценке иностранных академических достижений.

Рассмотрев все соответствующие факторы, и особенно изменения, которые произошли в индийском высшем образовании за последние два десятилетия, WES определил, что выбранные трехлетние степени в Индии функционально эквивалентны степени бакалавра в США. Эта новая оценка основана на относительном статусе университета, что отражается его оценкой NAAC, и результатами работы отдельного обладателя степени, как указано в классификации степени.

Результат:

  1. Трехлетние степени бакалавра, полученные в отделах или классах I и II в университетах, аккредитованных NAAC с оценкой A, будут оцениваться как эквивалентные степени бакалавра в США.
    По состоянию на июнь 2014 года эта политика была обновлена, и WES будет рассматривать только степени первого класса для полной эквивалентности бакалавриата. Пожалуйста, ознакомьтесь с официальным обновленным политическим документом здесь
  2. Все остальные трехлетние степени будут по-прежнему оцениваться как эквивалент трех лет обучения в бакалавриате.

Определение подразделений — Академические вопросы — Инженерный колледж

Определение «дивизиона» в СЕ

Следующее определение «Подразделения» инженерного колледжа было принято Командой инженерного руководства (ELT).

«Подразделение» инженерного колледжа (CoE) определяется как независимое подразделение с уникальной и определенной миссией или целью.Административный директор или руководитель подразделения подчиняется непосредственно декану инженерного отдела и участвует в качестве члена с правом голоса в группе инженерного руководства (EL T). Подразделение Совета Европы имеет все академические и административные права и обязанности как департамент или школа. В частности, подразделение внутри CoE должно иметь следующие атрибуты:

1. Новое подразделение инженерного колледжа может быть создано по предложению и положительному голосованию ELT и с одобрения декана инженерного колледжа.Подразделение должно проверяться на предмет продолжения один раз в 5 лет. Движение должно сопровождаться планом финансовой устойчивости и просьбами о размещении.

2. Подразделение — это академическое подразделение инженерного колледжа, которое управляет, поддерживает и предлагает междисциплинарные учебные программы и степени (степени) на уровне бакалавриата и / или магистратуры. Совместные усилия преподавателей могут привести к появлению новых курсов, сертификатов, областей специализации, областей обучения и степеней для продвижения междисциплинарных академических программ, которые опираются на сильные стороны школ / кафедр, которые в основном предлагают дисциплинарные академические программы.

3. Преподавательский состав, желающий участвовать в Дивизионе, сохранит свои назначения в своем «постоянном доме» (школе / отделении), но может иметь вежливое или совместное назначение в Дивизионе. *

4. Студенты бакалавриата и магистратуры по междисциплинарным академическим программам будут обучаться у участвующих преподавателей.

5. Подразделение также будет административным подразделением инженерного колледжа. Таким образом, в отделе будет руководитель, отвечающий за подготовку и управление ресурсами.Глава подчиняется декану и является членом ELT с правом голоса.

6. Начальник отдела будет работать с руководителями школ над подготовкой ежегодных оценок и т. Д. Преподавателей, которые участвуют в академических программах отдела. Кроме того, начальник отдела будет рекомендовать корректировки заработной платы сотрудников отдела.

7. Начальник отдела не будет членом Комитета по продвижению инженерной области с правом голоса. Однако руководитель будет работать с директорами школ для обеспечения того, чтобы вклад преподавателей в деятельность Отдела надлежащим образом документировался и признавался в ежегодных оценках и процессе P&T.

8. В дивизионе не будет назначений преподавателей с зачислением в штат. Следовательно, отдел должен разрабатывать академические программы, поощряя сотрудничество и полагаясь на междисциплинарную деятельность среди преподавателей школ / департаментов CoE и других преподавателей Purdue по мере необходимости.

9. Подразделение не предназначено быть подразделением в пределах одной школы / отдела РБ. Подразделение должно представлять совместные усилия нескольких школ / департаментов и действовать на благо участвующих школ и колледжа.

* Комитет по продвижению инженерной области (EAPC) рассмотрит и определит конкретную политику для совместных и вежливых встреч с подразделениями.

Измерение углов

Измерение углов
Понятие угла
Понятие угла — одно из важнейших понятий в геометрии. Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов .

Есть две обычно используемые единицы измерения углов. Более знакомая единица измерения — это градусы. Круг делится на 360 равных градусов, так что прямой угол равен 90 °. Пока мы будем рассматривать только углы от 0 ° до 360 °, но позже, в разделе о тригонометрических функциях, мы будем рассматривать углы больше 360 ° и отрицательные углы.

Градусы можно разделить на минуты и секунды, но это деление не так универсально, как раньше.Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусами и 30 минутами, записанными как 7 ° 30 ‘. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых секунды, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2 ° 5 ’30 «. Деление градусов на минуты и угловые секунды аналогично делению на часы в минуты и секунды.

Части степени теперь обычно обозначаются десятичной дробью.Например, семь с половиной градусов теперь обычно пишут как 7,5 & deg.

Когда один угол нарисован на плоскости xy для анализа, мы нарисуем его в стандартной позиции с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль x ось, а другая сторона выше оси x .

Радианы

Другое распространенное измерение углов — радианы.Для этого измерения рассмотрим единичный круг (круг радиуса 1), центр которого является вершиной рассматриваемого угла. Затем угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко переходить между градусами и радианами. Окружность всего круга равна 2 π , следовательно, 360 ° равняется 2 π радиан. Следовательно,

1 ° равняется π /180 радиан

а также

1 радиан равен 180/ π градуса

Большинство калькуляторов можно настроить на использование углов, измеряемых в градусах или радианах.Убедитесь, что вы знаете, в каком режиме работает ваш калькулятор.

Краткая справка по истории радианов
Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюиром и / или Джеймсом Томпсоном около 1870 года, математики долгое время измеряли углы таким способом. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своей работе Elements of Algebra явно сказал, что углы следует измерять по длине дуги, отрезанной в единичной окружности.Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу, включающую комплексные числа, которая связывает функции знака и косинуса с экспоненциальной функцией. e = cos θ + i sin θ

где θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. Мой Краткий курс комплексных чисел.

Радианы и длина дуги
Альтернативное определение радианов иногда дается в виде отношения. Вместо того, чтобы брать единичную окружность с центром в вершине угла θ , возьмите любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианная мера угла — это отношение длины вытянутой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус окружности равен 2, тогда мера в радианах равна 1.5.

Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина вытянутой дуги пропорциональна радиусу круга. В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, поскольку вы можете использовать его для соотнесения длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r, умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.

Например, дуга θ = 0,3 радиана в окружности радиуса r = 4 имеет длину 0,3 умноженную на 4, то есть 1,2.

Радианы и площадь сектора
Сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой круга, соединяющей их концы. Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r окружности и углу θ между радиусами, если он измеряется в радианах.Так как площадь всего круга равна πr 2 , а сектор относится к всей окружности, так как угол θ равен 2 π , поэтому
Углы общие
Ниже приведена таблица общих углов как при измерении в градусах, так и при измерении радиан. Обратите внимание, что измерение в радианах дано в терминах π . Его, конечно, можно было бы указать в десятичной дроби, но радианы часто появляются с коэффициентом π .
Уголок градуса Радианы
90 ° π /2
60 ° π /3
45 ° π /4
30 ° π /6
Упражнения
Эдвин С.Кроули написал книгу Тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии, Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914. Задачи этого короткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!). пять знаков точности, поэтому студентам пришлось потрудиться, чтобы решить их, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синус-косинусов, таблицей касательных, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan.Теперь мы можем пользоваться калькуляторами! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.

Кроули использовал не десятичные дроби для дробей градуса, а минуты и секунды.

Каждый комплекс упражнений включает в себя, во-первых, формулировку упражнений, во-вторых, некоторые подсказки для решения упражнений, а в-третьих, ответы на упражнения.

1. Выразите следующие углы в радианах.
(а). 12 градусов, 28 минут, то есть 12 ° 28 ‘.
(б). 36 ° 12 ‘.

2. Сократите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.
(а). 0,47623.
(б). 0,25412.

3. Учитывая угол a и радиус r, , чтобы найти длину продолжающейся дуги.
(а). a = 0 ° 17 ’48 дюймов, r = 6,2935.
(б). a = 121 ° 6 ’18 дюймов, r = 0,2163.

4. Учитывая длину дуги l и радиус r, , чтобы найти угол, стянутый в центре.
(а). l = 0,16296, r = 12,587.
(б). l = 1,3672, r = 1,2978.

5. Зная длину дуги l и угол a , который она проходит в центре, найти радиус.
(а). a = 0 ° 44 ’30 дюймов, l = 0,032592.
(б). a = 60 ° 21 ‘6 дюймов, l = 0,4572.

6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус 3200 футов.

7. Кривая железной дороги образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус до центральной линии пути составляет 2100 футов. Если калибр 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полудюйма.

9. На сколько можно изменить широту, идя на север на одну милю, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?

10. Вычислите длину в футах одной угловой минуты на большом круге Земли. Какова длина дуги в одну секунду?

14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги составляет 1,742 метра. Какой угол он образует в центре?

23. Воздушный шар, известный как 50 футов в диаметре, сужается к глазу под углом 8 1/2 минут.Как далеко это?

Подсказки

1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28 ‘равно 12 + 28/60, что равно 12,467 °. Затем умножьте на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.

2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите на π и умножьте на 180.Таким образом, 0,47623, деленное на π и умноженное на 180, дает 27,286 °. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умножить на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27 ° 17,16 ‘. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 равно примерно 10, поэтому угол также можно записать как 27 ° 17 ’10 дюймов.

3. Чтобы найти длину дуги, сначала преобразуйте угол в радианы. Для 3 (a) 0 ° 17’48 «составляет 0,0051778 радиана. Затем умножьте его на радиус, чтобы найти длину дуги.

4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Их можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.

5. Как упоминалось выше, радиан умноженный на радиус = длина дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar = l, , но a необходимо сначала преобразовать из градусного измерения в радиан .Итак, чтобы найти радиус r, сначала преобразует угол a в радианы, а затем разделит его на длину l дуги.

6. Длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах.

7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешнего рельса равен 2102,5, а радиус внутреннего рельса — 2097,5.

9. У вас есть круг радиусом 3956 миль и дуга этого круга длиной 1 милю.Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы узнать, каким, по мнению Эратосфена, был радиус Земли, еще в III веке до н. Э.)

10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус — 3956. Какова длина дуги?

14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус.Радианы легко преобразовать в градусы.

23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности с вами в центре. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко). Длина дуги составляет 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?

ответы
1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.

2. (а). 27 ° 17 ’10 «. (B). 14,56 ° = 14 ° 33,6′ = 14 ° 33’36».

3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.

4. (а). 0,16296 / 12,587 = 0,012947 радиан = 0 ° 44 ’30 дюймов.
(б). 1,3672 / 1,2978 = 1,0535 радианы = 60,360 ° = 60 ° 21,6 ‘= 60 ° 21’ 35 «.

5. (а). л / год = 0,032592 / 0,01294 = 2,518.
(б). л / год = 0,4572 / 1,0533 = 0,4340.

6. ra = (3200 ‘) (0.20604) = 659,31 ‘= 659’ 4 дюйма.

7. Угол a = 0,16776 радиана. Разница в длине составляет 2102,5 a — 1997,5 a , что равно 5 a. Таким образом, ответ составляет 0,84 фута, что с точностью до дюйма составляет 10 дюймов.

9. Угол = 1/3956 = 0,0002528 радиан = 0,01448 ° = 0,8690 ‘= 52,14 дюйма.

10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1.15075 миль = 6076 футов.Следовательно, одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.

14. a = л / об = 1,742 / 5,782 = 0,3013 радиан = 17,26 ° = 17 ° 16 ‘.

23. Угол a равен 8,5 ‘, что составляет 0,00247 радиана. Таким образом, радиус равен r = л / год = 50 / 0,00247 = 20222 ‘= 3,83 мили, почти четыре мили.

Насчет цифр точности.
Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах.Это важно, особенно сейчас, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 точка отсчета равна 12 ° 28 ‘, что соответствует примерно четырем знакам точности, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан только с точностью до четырех знаков. (Обратите внимание, что ведущие нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это может ввести в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.

Другой пример см. В задаче 3 (a). Данные 0 ° 17’48 «и 6.2935 с точностью до 4 и 5 знаков соответственно. Следовательно, ответ должен быть дан только с точностью до 4 цифр, так как ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не включая ведущие нули) до 0,03259.

Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующим числом цифр точности, вы все равно должны сохранять все цифры для промежуточных вычислений.

Раздел I Требования к получению степени | NCAA.org

Требования к получению степени
Академические требования До второго года зачисления До третьего года зачисления До четвертого года зачисления До пятого курса
Очередной академический семестр 6 семестр / 6 квартальных часов 6 семестр / 6 квартальных часов 6 семестр / 6 квартальных часов 6 семестр / 6 квартальных часов
Обычный учебный год 18 семестр / 27 квартальных часов 18 семестр / 27 квартальных часов 18 семестр / 27 квартальных часов 18 семестр / 27 квартальных часов
Кредитная степень Кредиты принимаются на любую степень, предлагаемую в учебном заведении Используемые кредиты должны соответствовать указанной степени Используемые кредиты должны соответствовать указанной степени Используемые кредиты должны соответствовать указанной степени
Годовая / в процентах 24 семестра / 36 квартальных часов Необходимо получить 40% установленной степени Должно быть завершено 60 процентов назначенной степени Необходимо получить 80 процентов установленной степени
Средний балл 90 процентов минимального среднего балла, необходимого для получения диплома (1.8, если 2,0 — минимум) 95% минимального среднего балла, необходимого для выпуска (1,9, если минимальный балл 2,0) 100 процентов минимального среднего балла, необходимого для выпуска (2,0, если 2,0 является минимальным) 100 процентов минимального среднего балла, необходимого для выпуска (2,0, если 2,0 является минимальным)

Associate Degrees — NUC-División Online

  • URL-адрес реферера
  • Имя *

    Первый

  • Фамилия *

    Последний

  • Страна *

    Фавор escoger су paísAfghanistanÅland IslandsAlbaniaAlgeriaAmerican SamoaAndorraAngolaAnguillaAntarcticaAntigua и BarbudaArgentinaArmeniaArubaAustraliaAustriaAzerbaijanBahamasBahrainBangladeshBarbadosBelarusBelgiumBelizeBeninBermudaBhutanBolivia (многонациональное государство) Бонайре, Синт-Эстатиус и SabaBosnia и HerzegovinaBotswanaBouvet IslandBrazilBritish Индийский океан TerritoryBrunei DarussalamBulgariaBurkina FasoBurundiCabo VerdeCambodiaCameroonCanadaCayman IslandsCentral африканских RepublicChadChileChinaChristmas IslandCocos (Килинг) IslandsColombiaComorosCongoCongo (Демократическая Республика) Кука IslandsCosta РикаКот-д’ИвуарХорватияКубаКюрасаоКипрЧехияДанияДжибутиДоминикаДоминиканская РеспубликаЭквадорЭгипетЭль-СальвадорЭкваториальная ГвинеяЭритреяЭстонияЭсватиниЭфиопияФолклендские (Мальвинские) острова (Мальвинские) Фарерские островаФранция, ГвинеяФранция GuamGuatemalaGuernseyGuineaGuinea-BissauGuyanaHaitiHeard остров и McDonald IslandsHoly SeeHondurasHong KongHungaryIcelandIndiaIndonesiaIran (Исламская Республика) IraqIrelandIsle из ManIsraelItalyJamaicaJapanJerseyJordanKazakhstanKenyaKiribatiKorea (Корейская Народно-Демократическая Республика) Корея (Республика) KuwaitKyrgyzstanLao Народная Демократическая RepublicLatviaLebanonLesothoLiberiaLibyaLiechtensteinLithuaniaLuxembourgMacaoMacedonia (бывшая югославская Республика) MadagascarMalawiMalaysiaMaldivesMaliMaltaMarshall IslandsMartiniqueMauritaniaMauritiusMayotteMexicoMicronesia (Федеративные Штаты) Молдова (Республика ) MonacoMongoliaMontenegroMontserratMoroccoMozambiqueMyanmarNamibiaNauruNepalNetherlandsNew CaledoniaNew ZealandNicaraguaNigerNigeriaNiueNorfolk IslandNorthern Mariana IslandsNorwayOmanPakistanPalauPalestine, Государственный ofPanamaPapua Новый GuineaParaguayPeruPhilippinesPitcairnPolandPortugalQatarRéunionRomaniaRussian FederationRwandaSaint BarthélemySaint Елены, Вознесения и Тристан-да CunhaSa ИНТ-Киттс и NevisSaint LuciaSaint Мартин (французская часть) Сен-Пьер и MiquelonSaint Винсент и GrenadinesSamoaSan MarinoSao Томе и PrincipeSaudi ArabiaSenegalSerbiaSeychellesSierra LeoneSingaporeSint Маартен (Голландская часть) SlovakiaSloveniaSolomon IslandsSomaliaSouth AfricaSouth Джорджия и Южные Сандвичевы IslandsSouth SudanSpainSri LankaSudanSurinameSvalbard и Ян MayenSwedenSwitzerlandSyrian Arab RepublicTaiwan, провинция ChinaTajikistanTanzania, Объединенная РеспубликаТаиландТимор-ЛештиТогоТокелауТонгаТринидад и ТобагоТунисТурцияТуркменистанТуркс и острова КайкосТувалуУгандаУкраинаОбъединенные Арабские ЭмиратыСоединенное Королевство Великобритании и Северной ИрландииСоединенные ШтатыМалые Острова Соединенных Штатов (Острова Британии) Виргинские острова (Британские Острова) Виргинские острова (Британские острова) Виргинские острова (Британские острова) Виргинские острова (Британские острова) Виргинские острова (Британские острова)С.) Уоллис и FutunaWestern SaharaYemenZambiaZimbabwe

  • * Государственный AlabamaAlaskaArizonaArkansasCaliforniaColoradoConnecticutDelawareFloridaGeorgiaHawaiiIdahoIllinoisIndianaIowaKansasKentuckyLouisianaMaineMarylandMassachusettsMichiganMinnesotaMississippiMissouriMontanaNebraskaNevadaNew HampshireNew JerseyNew MexicoNew YorkNorth CarolinaNorth DakotaOhioOklahomaOregonPennsylvaniaPuerto RicoRhode IslandSouth CarolinaSouth DakotaTennesseeTexasUtahVermontVirginiaWashingtonWest VirginiaWisconsinWyoming

  • E-mail *
  • Телефон *
  • Телефон Код страны
  • Телефон *
  • Уровень Степень *

    Пожалуйста, Выберите степень Ассоциированная степень Бакалавр Степень магистра

  • Интересующая программа *

    Выберите интересующую программу Степень младшего специалиста в области бухгалтерского учета Степень младшего специалиста в области делового администрирования Степень младшего специалиста в области делового администрирования Концентрация младшего специалиста в области предпринимательства Степень младшего специалиста в области уголовного правосудия Степень младшего специалиста по сестринскому делу (только в Пуэрто-Рико) Степень младшего специалиста в области сетевых технологий и разработки приложений (AAD) Степень младшего специалиста в области выставления счетов и кодирования в медицине

  • Интересная программа *

    Выберите интересующую программу Степень бакалавра делового администрирования с концентрацией на общем бизнесе Степень бакалавра Бакалавр делового администрирования с концентрацией Бухгалтерский учет Степень бакалавра делового администрирования с концентрацией Бизнес-аналитика Степень бакалавра делового администрирования с концентрацией Человеческие ресурсы Степень бакалавра делового администрирования с концентрацией в международном бизнесе Степень бакалавра делового администрирования с концентрацией в общем менеджменте Степень бакалавра делового администрирования с концентрацией в управлении здравоохранением степень бакалавра медицинских наук (только для Пуэрто-Рико) Степень бакалавра в области уголовного правосудия Степень бакалавра в области уголовного правосудия Правосудие с концентрацией в киберпреступлениях Степень бакалавра в области уголовного правосудия с концентрацией в судебных расследованиях Степень бакалавра в области уголовного правосудия с концентрацией в национальной безопасности Степень бакалавра в области уголовного правосудия с концентрацией в социальных службах Степень бакалавра в области сетевых технологий и разработки приложений Степень бакалавра информационных технологий Степень бакалавра информационных технологий с концентрацией Степень бакалавра в области информационных технологий с концентрацией в области анализа и разработки программного обеспечения Степень бакалавра в области информационных технологий с концентрацией в области обеспечения и безопасности информации

  • Программа интересов *

    Выберите интересующую программу Степень магистра делового администрирования Степень магистра делового администрирования с концентрацией в области цифровых технологий Степень магистра маркетинга в области делового администрирования с концентрацией в области планирования и стратегии, степень магистра в области делового администрирования. n в человеческих ресурсах Степень магистра в области лидерства в образовании Степень магистра в области образования в области оценки и эффективности Степень магистра в области образования в учебной программе Степень магистра в области сестринского дела со специальностью в образовании (только для США) Степень магистра в области сестринского дела со специальностью медико-хирургическая и роль в образовании

  • Имя

    Это поле предназначено для проверки и должно быть оставлено без изменений.

  • Degree Verification — HUB — Отдел регистрации

    Подтверждение степени официально обеспечивает подтверждение присвоенных степеней, и / или даты окончания, и / или ожидаемых степеней, и / или ожидаемой даты окончания.

    Информация о курсе или оценке не включается в проверки. Если требуется информация о курсе или оценке, студенты должны заказать официальный транскрипт. Расписания семестровых курсов и оценки также доступны в Информации о студентах в Интернете (SIO) для , в настоящее время обучающихся студентов.


    Письма о визе h2B

    h2B — это категория неиммиграционной визы, которая позволяет иностранному рабочему приехать в США и работать по «специальности», которая включает большинство профессиональных должностей на временной основе. Для получения визы h2B требуется степень бакалавра или аналогичный опыт. Диплом не требуется для подачи заявления на визу h2B; мы можем изготовить письмо о подтверждении специальной степени, которое соответствует требованиям.

    Чтобы запросить визу h2B, письмо:

    1. Выберите «Оценки» и «QPA» на вкладке «Академическая информация» в SIO, чтобы убедиться, что ваша степень сертифицирована (отмечена как завершенная) вашим отделом. Если он был сертифицирован, он будет указан в неофициальной академической справке как присужденный. Мы можем создавать письма на визу h2B только для дипломов, которые были сертифицированы. Если вы должны закончить учебу, но еще не закончили, мы не можем предоставить письмо на визу h2B. Пожалуйста, ознакомьтесь с инструкциями по досрочному завершению, если вы планируете закончить обучение до конца семестра.Обратите внимание, что если вы все еще посещаете занятия, даже если вы закончили все необходимые курсы, значит, вы не закончили свою программу обучения, и мы не можем предоставить письмо.
    2. Отправьте электронное письмо на адрес [email protected], указав в теме письма «Письмо о визе h2B». В электронном письме укажите, что вам требуется подтверждение степени для получения визы h2B, и приложите подписанную форму запроса на подтверждение (pdf).
    3. Мы подготовим письмо с подтверждением на фирменном бланке Службы регистрации, которое будет подписано Регистратором Университета.Это письмо соответствует требованиям для подтверждения степени, и его можно отправить вам по почте или забрать в The HUB. Требуется физическая подпись, поэтому мы не можем отправить письмо по электронной почте. На обработку потребуется 5–10 рабочих дней.

    Отдел бизнеса и информационных технологий (BIT)

    Миссия

    Чтобы подготовить наших студентов к улучшению своей жизни и жизни общества за счет передового опыта в области бизнеса и образования в области информационных технологий.

    Видение

    Установить стандарты качества образования в области бизнеса и информационных технологий среди двухгодичных колледжей.

    Добро пожаловать в Отдел бизнеса и информационных технологий (BIT). Мы предлагаем ряд программ для получения степени, которые могут привести к захватывающей и долгосрочной карьере в таких отраслях, как автомобилестроение, бизнес, энергетика, финансы, правительство, информационные технологии, логистика и производство, и это лишь некоторые из них.

    OCCC — ЕДИНСТВЕННЫЙ общественный колледж в районе Оклахома-Сити с национально аккредитованными программами для бизнеса (ACBSP), автомобильных технологий (NATEF) и кибернетической / информационной безопасности (CAE2Y). Наша степень в области кибербезопасности / информационной безопасности также признана Министерством внутренней безопасности и Агентством национальной безопасности (АНБ).

    Какой бы карьерный путь вы ни выбрали, BIT Division OCCC предлагает программу получения степени и сертификата, которая подходит именно вам.Если вы хотите сразу же после окончания учебы работать в выбранной вами области, вы можете выбрать либо младшего специалиста в области прикладных наук (A.A.S.), либо сертификат мастерства.

    Требование о публичной информации CHEA

    Если вы хотите перейти в университет или колледж, чтобы получить степень бакалавра, выберите младшего научного сотрудника (A.S.). Чтобы решить, какой университет лучше всего подходит для выбранного вами карьерного пути или вам нужна помощь в том, как максимально расширить ваши образовательные возможности за счет стипендий, вы можете посетить одного из консультантов факультета BIT Division или наших квалифицированных сотрудников в сфере академического консультирования или услуг по выпуску и переводу.

    Во время получения степени в OCCC есть возможности стажировки в области бизнеса, бухгалтерского учета и информационных технологий. Мы сотрудничаем с некоторыми из ведущих компаний в районе Оклахома-Сити.

    Мы с гордостью участвуем в таких студенческих организациях, как Phi Theta Kappa, Kappa Beta Delta, Enactus и Национальная киберлига.

    Большинство наших бизнес-классов и ИТ-классов доступны как онлайн, так и на территории кампуса, чтобы наилучшим образом соответствовать вашему расписанию.Многие курсы доступны в виде 8-недельных сессий.

    Чтобы получить дополнительную информацию о любой из наших программ на получение степени, выберите Программы на получение степени в столбце слева.

    Благодарим вас за выбор Общественного колледжа Оклахома-Сити.

    Джон Клейбон
    Декан отдела бизнеса и информационных технологий


    Общественный колледж Оклахома-Сити получил диплом Карла Д.Закон о карьере и техническом образовании Perkins от федерального гранта 2006 г., и деньги, полученные в рамках этого гранта, используются для финансирования покупки оборудования и возможностей профессионального развития для следующих программ:

    Автомобильные технологии
    Кибернетическая / информационная безопасность

    .