Способы решения уравнений с модулем – Способы решения уравнений содержащих модуль

Занятие элективного курса «Методы решения уравнений. содержащих модуль»



Цели и задачи:

  • познакомить с методами решения уравнений,
    содержащих под знаком модуля выражение с
    переменной;
  • формирование умения решать данные уравнения,
    научить выбирать наиболее рациональный метод
    решения уравнений;
  • развитие логического мышления, речи;
  • создание условий, способствующих воспитанию у
    учащихся внимательности и аккуратности в
    решении уравнения.



Методы обучения: объяснение, выполнение
тренировочных упражнений.



Формы контроля: самопроверка самостоятельно
решенных задач.



Оборудование: компьютер, мультимедийный
проектор, экран, папка с файлами (практикум),
презентация урока (слайды).



Ход занятия

Фронтальный опрос.

Сформулируйте определение модуля числа.

Сформулируйте геометрическое истолкование
модуля.

Может ли быть отрицательным значение суммы 2+?

Может ли равняться нулю значение разности 2-?

Как сравниваются два отрицательных числа?

Устная работа. Раскрыть модуль:

Проверка домашнего задания (класс разбит на 6
групп, каждая группа готовила презентацию по
заранее выбранному методу, которая и будет
представлять, и защищать ее).

Изучение нового материала.



1. Метод интервалов

Для того, чтобы решить уравнение, содержащее
неизвестную под знаком модуля, необходимо
освободиться от знака модуля, используя его
определение. Для этого следует:

1) Найти критические точки, т.е. значение
неизвестной, при которых выражение, стоящее под
знаком модуля, обращается в нуль;

2) Разбить область допустимых значений
уравнения на промежутки, на каждом из которых,
выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют
знак;

3) На каждом из этих промежутков уравнение
записать без знака модуля, а затем решить его.

Объединение решений, найденных на всех
промежутках, и составляет решение исходного
уравнения.

Пример 1. Решите уравнение: |x+4|=2x -10.

Ответ: 14.



Пример 2. Решите уравнение: х 2-5|x|+6=0

Ответ: 2; 3.



Пример 3. Решите уравнение: |5-2x|+|x+3|=2-3x

5-2x=0 x+3=0

х=2,5 х=-3





 (- ;-3)[-3;+2,5)[-2,5;+ )
5-2х++
х+3++




(- ;-3)[-3;+2,5)[-2,5;+
)
5-2х-х-3-2+3х=0

0х=0

х-любое число

(- ;-3)

5-2x+x+3-2+3x=0

2х=-6

х=-3 [-3;2,5)

2х-5+х+3-2+3х=0

6х=4

x=2/3 [2,5;+ )

(- ;-3) {-3}=(- ;-3]

Ответ: (- ;-3].



2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Для того, чтобы решить уравнение содержащее
модуль, необходимо освободиться от знака модуля.
Для этого следует: возвести в квадрат обе части
уравнения, решить его. Но не забывать, что при
возведении в квадрат появляются лишние корни,
поэтому, надо найти ОДЗ и выявить принадлежат ли
корни данному условию.



Пример 4. Решите уравнение: |x+4|=2x-10.

Возведем в квадрат обе части уравнения

X2 +8x+16=4x2 -40x+100

3x2 -48x+84=0 /3

X2 -16x+28=0



X1=14, X2=2

Найдём ОДЗ:

2x-100;

2×10 ;

x5.

x1=14 [5;+
), х2=2 [5;+ )

Ответ:14



Пример 5. Решите уравнение: |x+3|=2x-3

Возведем в квадрат обе части уравнения

х2 +6x+9=4x2 -12x+9; 3x2 -18x=0 /:3

х2 -6x=0; x(x-6)=0

x=0, x=6.

Найдём ОДЗ: 2х-30, 2×3,
x1,5

x=0 [1,5;+)

x=6 [1,5;+ )

Ответ: 6.



3. Метод введения новой переменной

Иногда уравнение, содержащее переменную под
знаком модуля, можно решить довольно просто,
используя метод введения новой переменной.

Продемонстрируем данный метод на конкретных
примерах:



Пример 6. Решите уравнение: х2 -5|x|+6=0.

Пусть |x |=t,тогда

|x|2 =x2 =t2 ,тогда уравнение
примет вид:

t2 -5t+6=0

t1=2, |x |=2, x1,2= 2,

t2=3, |x |=3, x3,4= 3.

Ответ: 2, 3.



Пример 7. Решите уравнение: (x-2)2 — 8|x-2|+15=0.

Пусть |x-2|=t ,|x-2|2 =(x-2)2 =t2 ,

тогда уравнение примет вид: t2 -8t+15=0, D=16-15=1.

t1=3, t2=5.

t1=3, |x-2|=3, x1=5, x2=-1.

t2=5, |x-2|=5, x3=7, x4=3.

Ответ: -1; 3; 5; 7.



4. Метод замены уравнения совокупностью систем.

Рассмотрим ещё один метод решения подобных
уравнений — метод замены уравнения
совокупностью систем. Методом замены уравнения
совокупностью систем можно решать уравнения
вида

(2)

Причём данное уравнение можно заменять
совокупностью систем двумя способами.

I способ:

II способ:

Если в уравнении функция имеет более простой вид, нежели
функция , то
имеет смысл исходное уравнение заменять первой
совокупностью систем, а если более простой вид
имеет функция ,
тогда исходное уравнение следует заменять
второй совокупностью систем.

В частности, используя определение модуля,
уравнение: ,

при С 0
равносильно совокупности уравнений и , т.е.

при С=0

при С0
уравнение
решений не имеет.

Воспользуемся данным методом при решении
следующих уравнений.



Пример 8. Решите уравнение: 2|х2+2х-5|=х-1.

Данное уравнение равносильно совокупности
систем:

Ответ: .



Пример 9. Решите уравнение: |2|x-1|-3|=5.

Используя определение модуля уравнение <=>
совокупности двух уравнений:

Первое уравнение совокупности равносильно
совокупности двух уравнений:

Второе уравнение совокупности решений не
имеет, т.к.

Ответ: -3; 5.



5. Графический метод

Существует ещё один метод решения уравнений с
модулем. Он основан на геометрической
интерпретации понятия абсолютной величины
числа, а именно модуль х равен расстоянию от
точки с координатой х до точки с координатой 0 на
числовой прямой Ох. Используя геометрическую
интерпретацию, легко решаются уравнения вида:

(4)

(5)

(6) где а,в,с
— числа.

Решить уравнение (4) — это значит найти все точки
на числовой оси Ох, которые отстоят от точки с
координатой а на расстояние с.

При
уравнение решений не имеет;

при
уравнение имеет один корень;

при
уравнение имеет два корня

Решить уравнение (5) — это значит найти все точки
на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма
расстояний от неё до точки с координатами а и
в
равна с.

Аналогично интерпретируется решение уравнения
вида (6).

Пример 12. Решите уравнение: |x-1|-|x-3|=2

Для того, чтобы решить данное уравнение, нужно
на числовой оси Ох найти все такие точки, для
каждой из которых разность расстояния от нее до
точки с координатой 1 и расстояния от неё до точки
с координатой 3 равна 2. Так как длина отрезка [1;3]
равна 2,то ясно, что любая точка с координатой х3 удовлетворяет данному
уравнению, а любая точка с координатой х<3 не
удовлетворяет ему. Таким образом, решением
исходного уравнения является множество чисел
промежутка [3;+ ).

Ответ: [3;+ ).

Рассмотренный метод можно отнести к
графическим методам решения уравнения. Все
необходимые построения здесь производились на
числовой оси. Рассмотрим теперь метод решения
уравнения, в котором будем использовать
построения на координатной плоскости. Этим
методом, теоретически, можно решать уравнения с
модулем любого вида, однако практическая
реализация метода иногда бывает довольно
сложной.

Суть метода состоит в следующем. Решить
уравнение f(х)=q(x) это значит найти все
значения х, для которых значение функций y=f(x)
и y=q(x) равны, т.е. найти абсциссы всех точек
пересечения графиков этих функций. Если же
графики не имеют общих точек, то уравнение не
имеет корней. Следует, однако, иметь в виду, что
точное построение графиков функций практически
невозможно, поэтому решение, найденное
графическим способом требует проверки
подстановкой.

Воспользуемся этим методом для решения
уравнения вида (3).



Пример 13. Решите уравнение: |- 1| = 3.

Решение. Построим графики двух функций y=|-1| и y=3

Из чертежа видно, что графики имеют 2 общие
точки. Координаты одной точки: (8; 3) , другой: (-4; 3).

Следовательно, исходное уравнение имеет два
решения: х1=8, x2= -4. Как уже говорилось,
при каждом методе значения корней уравнения
определяются приблизительно, и только проверка
позволит доказать, что найденные значения
действительно являются корнями исходного
уравнения. При подстановке х1=8, x2= -4 в
уравнение получаем, соответственно два верных
числовых равенства: |-3|=3 и |3|=3.

Ответ: -4; 8.

Так как при графическом методе решения
зачастую не удается найти точное значение корня,
но применение данного метода бывает обосновано,
если требуется найти не сами корни, а всего лишь
определить их количество.



6. Решение уравнений, содержащих модуль под
знаком модуля.

При решении уравнения, в котором под знаком
модуля находится выражение, также содержащее
модуль, можно сначала освобождаться от
внутренних модулей, а затем в полученных
уравнениях раскрывать оставшиеся модули.



Пример 10. Решите уравнение: |x-|4-х||- 2x = 4

Уравнение |x-|4-х||-2x=4 совокупности двух систем:

urok.1sept.ru

Способы решения уравнений с модулем.

Уравнение с модулем и способы его решения.

Уравнение с модулем — это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Например: |x|=5.
Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

При решении уравнений, содержащих модуль, поступают следующим образом:
1) находят значения х, которые обращают выражения под знаком модуля, в нуль.
2) эти значения  разбивают множество всех чисел на несколько промежутков.
3) решают исходное уравнение на каждом промежутке, учитывая, что

| х |=  х,
если х > 0,
     — х, если х < 0.
4) выбирают в ответ те значения, которые  принадлежат выбранным промежуткам или делают проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение.

Уравнений, содержащих знак абсолютной величины можно решать аналитически и графически уравнение.

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней (удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

При решении уравнений необходимо вспомнить свойства модуля:

Пример1. | х – 6 | = 9

Решение. Найдём значение х, при котором х – обращается в нуль . Это  значение равно 6, значит число 6 разбивает всю числовую прямую на  два промежутка.
Рассмотрим исходное уравнение  на каждом промежутке.
х – 6 = 9
х = 9 + 6
х = 15.
Число 15 принадлежит промежутку, значит, 15 является корнем данного уравнения. Рассмотрим исходное уравнение на промежутке х < 6, на этом промежутке выражение х – 6 принимает отрицательные значения, поэтому надо поменять его знак, раскрывая модуль.

 — ( х – 6 ) = 15
 — х + 6 = 15
 — х = 15 –  6
 — х = 9
 х = — 9.
Число – 9 принадлежит промежутку х < 6, значит,  — 9 является корнем исходного уравнения.
Ответ: х =15, х = — 9.

Пример 2. | 2х – 12 | + | 6х + 48 | = 160.

           Решение: Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля:
  2х –12 = 0;  х = 6;  6х + 48 = 0;  х = — 8.
Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка.

Решение данного уравнения рассматриваем на каждом промежутке отдельно.
В промежутке х < — 8  оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны.
Поэтому в этом промежутке при записи уравнения без знаков модуля знаки этих выражений меняем на противоположные. Получим уравнение:
— (2х – 12 ) – ( 6х + 48 ) = 160
— 2х +12 – 6х – 48 = 160
— 8х – 36 = 160
— 8х = 160 + 36
— 8х = 196
х = 196 : ( -8 )
х = — 24,5
Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку. Значит, оно является решением данного уравнения. Во втором промежутке  первое выражение отрицательно, а второе положительно, следовательно, в этом промежутке уравнение запишется в виде:

— (2х – 12 ) + (6х + 48) = 160
— 2х + 12 +  6х + 48 = 160
4х + 60 =160
4х = 160 – 60
4х = 100
х = 100 : 4
х = 25
 Это значение не принадлежит рассматриваемому промежутку, значит, оно не является корнем данного уравнения.
В третьем промежутке оба выражения положительны. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:
   ( 2х – 12 ) + (6х + 48 ) = 160
   2х – 12 + 6х + 48 = 160
   8х +  36 = 160
   8х = 160 – 36
   8х = 124
   х = 124 : 8
   х = 15,8
Это значение  х  принадлежит рассматриваемому промежутку.

Значит, число 15,8 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = — 24,5 и х = 15,8.

Уравнения с модулем.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

infourok.ru

Решение уравнений с модулями методом промежутков

Тема урока :

«Решение уравнений с модулями методом промежутков»

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть -и далее подтвердить это -что следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц.

Цели урока :

  • отработка навыков решения уравнений с модулями методом промежутков.

  • развитие умений сравнивать, анализировать, классифицировать, обобщать, выявлять закономерности .

  • воспитание ответственного отношения к учебному труду; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов, воспитание уважительного отношения к сверстникам

Тип урока: комбинированный.

Ход урока:

Вспомним определение и свойства модуля:

=

=

=

=

0

Для решения уравнения, содержащего переменную под знаком модуля, часто используют метод промежутков. Освоением этого метода мы и займемся на данном уроке. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала находят все точки, в которых подмодульные выражения обращаются в ноль, расставляют их на числовой прямой. Эти точки делят прямую на промежутки, внутри которых подмодульные выражения не меняют своего знака. Для удобства знак каждого подмодульного выражения на каждом промежутке записываем в столбик, т.е. если уравнение содержит , к примеру, три разных модуля, то на каждом промежутке будут друг под другом стоять три знака, верхний из которых соответствует первому модулю, средний –второму и нижний знак третьему модулю. Затем, используя определение модуля, рассматриваем исходное уравнение на каждом из полученных промежутков.

Пример1.Решить уравнение +=2х-4

Х-1=0; х-3=0;

Х=1 ; х=3;

_ + +

_ _ +

─────────•─────────•───────→ х

1 3

На первом промежутке оба подмодульных выражения имеют знак минус, на втором промежутке первое подмодульное выражение с плюсом, второе- с минусом, а на третьем оба имеют знак минус.

1) при х(-;1) уравнение примет вид:

-х+1-х+3=2х-4, откуда х=0.Полученное значение принадлежит указанному промежутку (-;1), следовательно х=0 является корнем данного уравнения.

2)при х ( 1 включаем в промежуток, т.к. при х=1 первый модуль раскрывается со знаком плюс, а 3 не включаем, т.к.второй модуль на этом промежутке раскрывается с минусом) уравнение имеет вид:

х-1-х+3=2х-4, откуда х=-1.Это значение х не входит в промежуток , следовательно, не является корнем уравнения.

3) при х уравнение имеет вид

х-1+х-3=2х+4, откуда -4=4, что означает, что на этом промежутке уравнение не имеет корней.

Ответ : 0.

Пример 2.Решить уравнение +=3.

_ _ + +

_ + + +

_ _ _ +

─────────•─────────•─────────•───────→ х

-2 3 4

Точки х=3; х=-2 и х=4 разбивают числовую прямую на 4 промежутка. Расставляем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке и рассматриваем исходное уравнение на каждом из промежутков, используя определение модуля:

1)при х уравнение примет вид

-х+3-х-2+х-4=3, откуда х=-6.Это значение х принадлежит означенному промежутку, значит, х=-6 является корнем данного уравнения.

2)при х уравнение имеет вид

-х+3+х+2+х-4=3, откуда х=2.Это значение тоже принадлежит исходному промежутку и тоже является корнем уравнения.

3) при х уравнение имеет вид

х-3+х+2+х-4=3, откуда х=8/3, но это число не принадлежит , поэтому не является корнем данного уравнения.

4) при х уравнение имеет вид

х-3+х+2-х+4=3, откуда х=0, что не принадлежит промежутку , следовательно, не является корнем.

Ответ: -6; 2.

.Решим теперь уравнение с «вложенными» модулями.

Пример3 . ||x+1|+|x-2|| = 0

|x+1| > 0, |x-2| > 0, значит |x+1|+|x-2| > 0 для всех х, тогда

||x+1|+|x-2|| = |x+1|+|x-2|.

Получаем |x+1|+|x-2|=0; x+1=0 ; x-2=0 ;

x=-1 x=2

_ + +

_ _ +

─────────•─────────•───────→ х

-1 2

1) Если x < 1 ,то получаем -x-1-x+2 = 0, откуда х=0,5

(не удовлетворяет условию x<-1, значит не является корнем исходного уравнения).

2) Если -1 x < 2, то получаем x+1+2-x = 0

0x = -3 – уравнение не имеет корней.

3) Если x 2, то получаем x+1+x-2 = 0, откуда х=0,5 (не удовлетворяет условию x 2, значит не является корнем исходного уравнения).

Ответ: уравнение не имеет корней.

Пример 4. ||x-7|+4| = |x+3|

|x-7| > 0; 4 > 0, значит |x-7|+4 > 0 при всех значениях х, тогда

||x-7|+4| = |x-7|+4.

Получаем |x-7|+4 = |x+3| (дальше учащиеся самостоятельно доканчивают решение примера)

x-7 = 0 ; x+3 = 0;

x = 7; x = -3.

_ _ +

_ + +

─────────•─────────•───────→ х

-3 7

1) Если x < -3, то получаем 7-x+4 = -x-3

0x = -14 – уравнение не имеет корней.

2) Если -3 x 7, то получаем. 7-x+4 = x+3

-2x = 3-11

-2x = -8

х = 4(удовлетворяет условию -3 x < 7).

3) Если x 7, то получаем x-7+4 = x+3

0x = 6 – уравнение не имеет корней.

Ответ: 4.

Подведение итогов.

Задания для самостоятельного решения:

1.=3

2.=0

3.=х-1

4.=х+6

5.=1+

6.-2

7.+=3 ( подсказка :подкоренные выражения являются полными квадратами )

Использованная литература:

1. Журналы «Математика в школе»

2.Математика./ Еженедельное Учебно-методическое приложение к газете «ПЕРВОЕ СЕНТЯБРЯ».

3.Методическое пособие по математике для поступающих ф Финансовую академию под ред.В.А.Бабайцева МОСКВА 2003

4.Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике А.Н.Руркин МОСКВА «ВАКО» 2006

infourok.ru

Проект «Решение уравнений с модулем»

«Решение уравнений с модулем»

Математика

Учебный проект

Тема проекта «Решение уравнений с модулем»

Участники проекта: обучающиеся 11 класса Тюхтин Евгений и Яковлева Светлана

Руководитель проекта: учитель математики Олейникова Г.М.

Содержание:

  1. Автор проекта

  2. Портфолио проекта

  3. Предмет

  4. Участники проекта

  5. Краткая аннотация проекта

  6. Вопросы, направляющие проект

  7. Публикация учителя

  8. Пример продукта проектной деятельности

  9. Критерии оценки проекта

10.Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности.

Краткая аннотация проекта

Проект может быть использован при изучении темы «Решение уравнений с модулем» в 10-11 классах. Применяться при подготовке к единому государственному экзамену.

Данная работа позволяет увидеть различные способы решения уравнений с модулем: по определению, возведение в квадрат, с помощью числовой прямой.

Данный проект позволит обучающимся расширить объем знаний по данной теме, развивать специальные и общеучебные умения.

Цель проекта:

  • Развивать коммуникативные способности обучающихся, навыки исследовательской работы.

  • Учить обобщать и систематизировать, применять на практике.

Что участие в проекте даст его участникам

После завершения проекта обучающиеся смогут

— знать определение модуля, решать уравнения с модулем по определению;

— решать уравнения с модулем способом возведения в квадрат обеих частей уравнения;

— уметь решать уравнения с модулем, использую числовую ось, определяя знак модуля на промежутках;

— уметь раскрывать знак модуля;

— научаться работать по алгоритму;

— приобретут навыки, умения ориентироваться в информационной среде.

Этапы проекта:

  1. Планирование проекта.

  2. Поиск информации.

  3. Оформление материалов исследования.

  4. Защита проекта.

  5. Рефлексия.

Ход проекта.

Подготовительный этап:

  1. Обсуждение темы проекта

  2. Подбор литературы.

Основной этап:

  1. Подбор материала

  2. Последовательность подачи материала

  3. Обсуждение форм представления работы

Заключительный этап:

  1. Презентация работы.

  2. Подведение итогов, оценивание.

Вопросы, направляющие проект

Основополагающий вопрос

Способы решения уравнений с модулем?

Проблемные вопросы

  1. Можно ли решить уравнение с модулем используя определение модуля?

  2. Можно ли решить уравнение с модулем используя другие способы решения?

  3. Можно ли составить алгоритмы решения уравнения с модулем?

Учебные вопросы

Публикации учителя

Буклет

Публикации обучающихся

Презентация обучающихся:

«Решение уравнений с модулем по определению модуля»

«Решение уравнений с модулем способом возведения в квадрат»

«Решение уравнений с модулем с использованием числовой оси»

Наглядность

Карточки с заданиями

Алгоритм решения

Критерии оценки проекта

  1. Самостоятельность работы над проектом

  2. Актуальность и значимость темы

  3. Полнота раскрытия темы

  4. Оригинальность решения проблемы

  5. Презентация содержания проекта

  6. Использование средств наглядности, технические средства

  7. Ответы и вопросы

  8. Оформление проекта

Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности:

  1. С.М. Никольский «Алгебра и начала математического анализа» изд. Просвещение 2009 г

  2. Р.Б. Райхмист «Задачник по математике» изд. «Московский лицей» Москва 2003 г.

  3. Е.Е. Калугина «Уравнения, содержащие знак модуля» изд. «Илекса» Москва 2010 г.

infourok.ru

В материале представлены основные способы решения уравнений с модулем. Можно использовать на уроке и для индивидуальной работы с сильными учащимися

Методы решения уравнений, содержащих знак модуль.

I) Уравнения вида решаются следующим образом.

Если , то корней нет.

Если , то уравнению соответствует уравнение

Если , то уравнению соответствует равносильная совокупность

II) Уравнения вида решаются следующим образом.

Способ №1

Уравнению соответствует равносильная совокупность систем

Способ №2

Уравнению соответствует равносильная совокупность систем

III) Уравнения вида решаются следующим образом.

Способ №1

Уравнению соответствует равносильное уравнение

Способ №2

Уравнению соответствует равносильная совокупность

IV) Уравнения вида и решаются следующим образом.

Уравнению соответствует равносильное неравенство

Уравнению соответствует равносильное неравенство

V) Общая схема решения уравнений содержащих знак модуль.

Например.

Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуль.

I) II) III)

— промежуток

IV) V)

— промежуток

Ответ:

P. S. В уравнениях вида рекомендуется начинать раскрывать с внешнего модуля.

infourok.ru

Статья по алгебре на тему: Решение уравнений с модулем


Необходимость говорить сегодня о модуле объясняется, во-первых, их популярностью на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и, во-вторых, традиционной и незаслуженной «нелюбовью» школьников к задачам с модулями. Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ.

Почему важно уделить этой теме внимание…

Во-первых, модуль очень активно используется в высшей математике.

Во-вторых, модуль носит исследовательский характер (учащиеся проводят классификацию (если в примере есть |а|, то при а ≥ 0 модуль раскрывается как |а|=а и пример принимает один вид, при а

В-третьих, модули приучают учащихся критически оценивать полученные результаты.

В-четвертых, использование модуля во многих случаях позволяет более компактно записывать условие задачи.

В-пятых, модуль можно легко включить в условие практически любого примера из алгебры, тригонометрии, начала анализа, что сразу же повышает рейтинг примера.

Теоретический материал

  1. При решении уравнений, содержащих абсолютные величины, применяется метод, при котором знак абсолютной величины раскрывается на основании ее определения:
  1. Если уравнение содержит алгебраическую сумму абсолютных величин, то уравнение решается методом интервалов:
  1. Находят значения переменных, при которых каждая из абсолютных величин обращается в нуль.
  2. Определяют интервалы знакопостоянства выражений, стоящих под знаком абсолютной величины.
  3. Данное уравнение равносильно совокупности систем для каждого промежутка знакопостоянства.

Примеры:

  1. Х2 – 5 |х| + 6 = 0;
  2. 2 |х+1| + |2х – 1| = 3;
  3. 2|х +2| — |2х+1 – 1| = 2х+1;
  4. (3х – 7) |lg (3x – 4,4)|= 4lg (3x – 4,4).

Пример 1

Х2 – 5 |х| + 6 = 0;

Х ≥ 0

Х2 – 5 х + 6 = 0;

Д = 1.

Х1 = 3 € [0;+∞)

Х2 = 2 € [0;+∞)

Ответ: 3; -3; 2; -2.

Пример 2

2 |х+1| + |2х – 1| = 3;

Х + 1 = 0.                2х – 1 = 0.

Х = -1                х = ½

                                                 

        — 1            ½

1)  (-∞;-1]

     -2(х+1) – (2х-1) = 3

Х = -1

2)  (-1; 1/2)

      2(х+1) – (2х-1) = 3

Х – любое на данном промежутке т.е. (-1;½)

3)  [1/2; +∞)

      2(х+1) + 2х-1 = 3

Х = ½

Ответ: [-1; ½ ]

nsportal.ru

Открытый урок по теме: «Решение уравнений с модулем»

Как решать уравнения с модулем

 

Одна из самых сложных тем для учащихся  – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля. Итак,  модулем числа aназывается само это число, если a неотрицательно и  -a, если  число a меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее  координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

                             {±c, если с > 0

 Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

                             {нет корней, если с < 0

Примеры:

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.

Примеры:

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

x = 2             x = -6

2) |x– 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x2 – 5 = 11 или x2 – 5 = -11

x2 = 16            x= -6

x = ± 4             нет корней

3) |x– 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Примеры:

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

              5x ≥ 10  

               x ≥ 2.  

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3x = 9                     7x = 11

x = 3                       x = 11/7

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3  

2) |x – 1| = 1 – x2.

1. О.Д.З. 1 – x2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

             (1 – x)(1 + x) ≥ 0

             -1 ≤ x ≤ 1  

2. Решение:

x – 1 = 1 – x2      или   x – 1 = -(1 – x2)

x+ x – 2 = 0            x– x = 0

x = -2 или x = 1         x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1. 

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Пример:

1) |x– 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x2 – 5x + 7  = 2x – 5 или x2 – 5x +7  = -2x + 5   

x– 7x + 12  = 0            x2 – 3x + 2  = 0

x = 3 или x = 4             x = 2 или x = 1  

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

 x– 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x2 = |x|2, поэтому уравнение можно переписать  так:

|x|– 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t– 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1        x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5. 

Рассмотрим еще один пример:

x+ |x| – 2 = 0. По свойству модуля  x2 = |x|2, поэтому

|x|+ |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t+ t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2   или |x| = 1

Нет корней     x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

Примеры:

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или  3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5      или     3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2                       |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2.   Нет корней.

x = 1            x = -3

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

infourok.ru