Сокращенные формулы умножения: Применение формул сокращённого умножения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

Применение формул сокращённого умножения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Формула квадрата суммы или квадрата разности, проверка правильности использования формулы Сложность: лёгкое	1
2.	Применение формулы разности квадратов Сложность: лёгкое	1
3.	Формула квадрата суммы, возведение многочлена в квадрат Сложность: лёгкое	2
4.	Формула разности квадратов Сложность: лёгкое	1
5.	Формула квадрата разности Сложность: лёгкое	1
6.	Формулы сокращённого умножения (формулировки) Сложность: лёгкое	1
7.	Произведение разности и суммы (обыкновенные дроби) Сложность: среднее	3
8.	Разность квадратов (степень) Сложность: среднее	3
9.	Разность квадратов (десятичные дроби) Сложность: среднее	3
10.	Произведение суммы и разности (целые числа) Сложность: среднее	3
11.	Значение выражения Сложность: среднее	4
12.	Квадрат суммы (десятичные дроби) Сложность: среднее	5
13.	Квадрат разности (обыкновенные дроби) Сложность: среднее	5
14.	Квадрат суммы (трином) Сложность: среднее	5
15.	Квадрат разности (трином) Сложность: среднее	5
16.	Разность кубов Сложность: среднее	5
17.	Квадрат разности (умножение на число) Сложность: среднее	3
18.	Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности Сложность: сложное	3
19.	Формулы сокращённого умножения (десятичные дроби) Сложность: сложное	8
20.	Разность квадратов (целые числа) Сложность: сложное	7
21.	Произведение суммы и разности (числовое выражение) Сложность: сложное	5

Формулы сокращенного умножения с примерами

Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.

ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями), решении уравнений и неравенств, при разложении на множители и т. 2+4a=\)

 

Теперь приведем подобные слагаемые.

\(=-8a+9=\)

 

Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.

\(=-8·\frac{17}{8}+9=-17+9=8\)

 

Пишем ответ.

Ответ: \(8\).

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями. 2}{x-2y+3}\)\(=\)

 

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

\(\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}\)\(=\)

 

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

\(x-2y-3\)

 

Готов ответ.

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Номер	Название формулы	Короткая запись	Раскрытие скобок/разложение на множители
(1)	Разность квадратов	a2-b2	(a-b)(a+b)
(2)	Квадрат суммы/разности	(a±b)2	a2±2ab+b2
(3)	Квадрат суммы для n переменных	(a1+a2+. ..+an)2	a12+a22+…+an2+2∑i,jaiaj
(4)	Сумма/разность кубов	a3±b3	(a±b)(a2∓ab+b2)
(5)	Куб суммы/разности	(a±b)3	a3±3a2b+3ab2±b3
(6)	Куб суммы для n переменных	(a1+a2+…+an)3	a13+a23+…+an3+3∑i,jai2aj+6∑i,j,kaiajak
(7)	Разность четвертых степеней	a4-b4	(a-b)(a+b)(a2+b2)
(8)	Четвертая степень суммы/разности	(a±b)4	a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4
(9)	Сумма/разность nх степеней	an-bn	(a±b)(an-1+an-2b+an-3b2+. ..+bn-3a2+bn-2a+bn-1)
(10)	Сумма (2n+1)х степеней	a2n+1+b2n+1	(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2+…+b2n-2a2-b2n-1a+b2n)
(11)	Nая степень суммы/разности	(a±b)n	an±(n1)an-1b+(n2)an-2b2±..+(nn-2)a2bn-2±(nn-1)abn-1+bn

— версия для печати

---

Определение

N^ая степень числа — результат умножения числа на себя n раз. Также квадратом числа называется результат возведения числа в степень n (в n^ую степень).

Пример:

(4a—3b)³ = 64a³ — 144a²b + 108ab² — 27b³

Пояснение

Под (ⁿ_k) подразумевается биномиальный коэффициент, равный

Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2021

Формулы сокращенного умножения

У нас есть сумма (разница) двух чисел и нам необходимо избавиться от скобок, используя формулы для сокращенного умножения:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x — y)² = x² — 2xy + y²

Пример: если x = 10, y = 5a
(10 + 5a)² = 10² + 2.10.5a + (5a)² = 100 + 100a + 25a²
(10 — 4)² = 10² — 2.10.4 + 4² = 100 — 80 + 16 = 36
Конечно, если мы имеем следующую ситуацию:
25 + 20a + 4a² = 5² + 2.2.5 + (2a)² = (5 + 2a)²

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
(x — y)³ = x³ — 3x²y + 3xy² — y³

Пример: (1 + a²)³ = 1³ + 3. 1².a² + 3.1.(a²)² + (a²)³ = 1 + 3a² + 3a⁴ + a⁶

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z)² = x² + y² + z² — 2xy — 2xz + 2yz

---

x² — y² = (x — y)(x + y)

x² + y² = (x + y)² — 2xy
или
x² + y² = (x — y)² + 2xy

Пример: 9a² — 25b² = (3a)² — (5b)² = (3a — 5b)(3a + 5b)

x³ — y³ = (x — y)(x² + xy + y²)
x³ + y³ = (x + y)(x² — xy + y²)

Если n есть натуральное число

xⁿ — yⁿ = (x — y)(x^n-1 + x^n-2y +…+ y^n-2x + y^n-1)

Если n есть чётное (n = 2k)

xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^n-1 — x^n-2y +. 2 + 20$

---

3) Решите уравнение: x² — 25 = 0
Решение: x² — 25 = (x — 5)(x + 5)
=> чтобы решить это уравнение мы должны решить 2 следующих выражения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0 и поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5

Больше

Тест — формулы сокращенного умножения

Действия с многочленами — задачи с решениями

Разложиние на множители — задачи с решениями

Формулы сокращенного умножения в математическом форуме

Формулы сокращенного умножения, формулы и вычисления онлайн

Содержание:

В некоторых конкретных случаях можно умножение одного выражения (многочлена, числа) на другое (другой многочлен, число) свести к компактному, легко запоминающемуся результату. То есть на практике можно сэкономить время, не умножая каждый раз одно выражение на другое, а воспользовавшись уже известным результатом. Такие случаи называют формулами сокращенного умножения:

Квадрат суммы:

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$$

Квадрат разности:

$$(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$$

Разность квадратов:

$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$

Куб суммы:

$$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$$

Куб разности:

$$(a-b)^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}$$

Сумма кубов:

$$a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)$$

Разность кубов:

$$a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$$

 

 

Выражения и , стоящие в правых частях равенств (1) и (2), называются соответственно полный квадрат суммы и полный квадрат разности. {3}$$

Формулы сокращенного умножения применяются непосредственно для сокращенного умножения, для разложения выражений на множители. С их помощью можно сравнительно быстро и легко выполнять тождественные преобразования алгебраических выражений.

Читать дальше: формула «квадрат суммы».

Формулы сокращенного умножения — Математика

1. (a + b)² = a² + 2ab + b².

2. (a — b)² = a² — 2ab + b².

3. a² — b² = (a + b)(a — b).

4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

5. (a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

6.  a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²).

7. a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²).

Раздел «Формулы сокращенного умножения» содержит простые, но в то же время фундаментальные задачи, позволяющие в многочлене увидеть большее, чем просто разложение на множители. Научившись решать такие задачи, вы развиваете интуитивные начала, которые пригодятся в будущем при анализе и решении многих задач.

Применение формул сокращенного умножение не должно доставить много трудностей. Достаточно выучить их и закрепить решением ряда примеров. А посидев некоторое время над многочленами в поисках группировок и разложения на множители, вы вскоре легко станете «щелкать» такие задачи.

 

 

Разложить на множители x³ — 3x² + 4.

________________________________

Глянув на выражение сложно решить, что делать, какую формулу сокращенного умножения здесь применить. Потому для начала нужно сгруппировать выражение так, чтобы применение формулы стало очевидным. Такие решения нетривиальны. Навык, чувство группировки вырабатывается после решения определенного количества подобных задач.

В данной задаче отметим, что отняв и добавив x² у нас появляются возможные варианты для группирования. Далее применяя формулы сокращенного умножения получаем ответ:

x³ — 3x² + 4 = x³ + x² — 4x² + 4 = x²(x + 1) — 4(x² — 1) =

= x²(x + 1) — 4(x — 1)(x + 1) = (x² — 4(x — 1))(x + 1) = (x² — 4x + 4)(x + 1) = (x — 2)²(x + 1).

Ответ: (x — 2)²(x + 1).

 

Разложить на множители x⁴ — 4x³ + 3x² + 4x — 4.

_________________________________________

Пусть вас не пугает степень многочлена и неясность, что делать. Начинайте группировать выражения и вскоре вы прийдете к ответу:

x⁴ — 4x³ + 3x² + 4x — 4 = x²(x² — 4x + 3) + 4(x — 1) = x²(x² — x — 3x + 3) + 4(x — 1) =

= x²(x[x — 1] — 3[x — 1]) + 4(x — 1) = x²(x — 3)(x — 1) + 4(x — 1) = (x — 1)(x²[x — 3] + 4) =

= (x — 1)(x³ — 3x² + 4).

Так как мы уже решили предыдущую задачу, то знаем, что второй множитель (x³ — 3x² + 4) равен (x — 2)²(x + 1), а потому:

(x — 1)(x³ — 3x² + 4) = (x — 1)(x + 1)(x — 2)².

Ответ: (x — 1)(x + 1)(x — 2)².

Формулы сокращённого умножения

Основная задача формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Таблица с формулами сокращённого умножения

Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений. Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.

Например, возмём ту же первую формулу:

и левую часть поставим вправо, а правую влево: 

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Остановимся на доказательствах формул сокращённого умножения. Это не сложно. Нужно всего лишь раскрыть скобки. Рассмотрим на первой формуле – квадрат суммы: .

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение:  = x .

Шаг второй. Теперь и выносим за скобки: x + x .

Шаг третий. Раскрываем скобки: x + x + x + x .

Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: x + x + .

Шаг пятый. Упрощаем выражение: .

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

Задание

Упростите выражение:

Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.

Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

x x +

Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:

+ x x +

В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2 Пример 3

Задание

Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен

Решение

Здесь квадраты выражений – и

Выражения, которые возводились в квадрат – и

Удвоенное произведение этих выражений – , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит,

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
2. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
3. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

Полиномиальные тождества

Когда у нас есть сумма (разность) двух или трех чисел в степени 2 или 3 и нам нужно снять скобки, мы используем полиномиальные тождества
(короткие формулы умножения) :

(x + y) ² = x ² + 2xy + y ²
(x — y) ² = x ² — 2xy + y ²

Пример 1: Если x = 10, y = 5a
(10 + 5a) ² = 10 ² + 2 · 10 · 5a + (5a) ² = 100 + 100a + 25a ²

Пример 2: если x = 10 и y равно 4
(10-4) ² = 10 ² — 2 · 10 · 4 + 4 ² = 100 — 80 + 16 = 36

Верно и обратное:
25 + 20a + 4a ² = 5 ² + 2 · 2 · 5 + (2a) ² = (5 + 2a) ²

Последствия вышеуказанных формул:

(-x + y) ² = (y — x) ² = y ² — 2xy + x ²
(-x — y) ² = (- (x + y)) ² = (x + y) ² = x ² + 2xy + y ²

Формулы 3 степени:

(x + y) ³ = x ³ + 3x ² y + 3xy ² + y ³
(x — y) ³ = x ³ — 3x ² y + 3xy ² — y ³

Пример: (1 + ² ) ³ = 1 ³ + 3. 1 ² .a ² + 3.1. (A ² ) ² + (a ² ) ³ = 1 + 3a ² + 3a ⁴ + a ⁶

(x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z) ² = x ² + y ² + z ² — 2xy — 2xz + 2yz

Факторные правила

x ² — y ² = (x — y) (x + y)

x ² + y ² = (x + y) ² — 2xy
или
x ² + y ² = (x — y) ² + 2xy

Пример: 9a ² — 25b ² = (3a) ² — (5b) ² = (3a — 5b) (3a + 5b)

x ³ — y ³ = (x — y) (x ² + xy + y ² )
x ³ + y ³ = (x + y) (x ² — ху + у ² )

---

Если n натуральное число

x ⁿ — y ⁿ = (x — y) (x ^n-1 + x ^n-2 y +. 2 + 20 $

---

3) Решите уравнение: x ² -25 = 0
Решение: x ² -25 = (x — 5) (x + 5)
=> мы должны решить следующие 2 уравнения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0
, поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5.

Связанные ресурсы:

Викторина о полиномиальных тождествах

Упрощение полиномиальных выражений — проблемы с решениями

Факторинговые полиномы — проблемы с решениями

Полиномиальные тождества на форуме

Что такое куб из суммы двух чисел.Сокращенные формулы умножения

При вычислении алгебраических многочленов для упрощения вычислений используйте сокращенные формулы умножения … Всего таких формул семь. Вы должны знать их все наизусть.

Также следует помнить, что вместо a и b формулы могут содержать как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разница квадратов

Разница между квадратами двух чисел равна произведению разницы между этими числами и их суммы.

а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(а + б) 2 = а 2 + 2ab + б 2

Обратите внимание, что с помощью этой сокращенной формулы умножения легко найти квадраты больших чисел без использования калькулятора или длинного умножения.Поясним на примере:

Найдите 112 2.

Разложим 112 на сумму чисел, квадраты которых мы хорошо помним.
112 = 100 + 1

Напишем сумму чисел в скобках, а над скобками поставим квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрата суммы также верна для любого алгебраического полинома.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предупреждение !!!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Разница в квадрате

Квадрат разницы между двумя числами равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(а — б) 2 = а 2 — 2ab + б 2

Также стоит вспомнить очень полезную трансформацию:

(a — b) 2 = (b — a) 2
Приведенная выше формула доказывается простым раскрытием скобок:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 = b 2 — 2ab + a 2 = (b — a) 2

Суммарный куб

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс три квадрата первого числа и второго плюс три квадрата второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «пугающую» формулу довольно просто.

Научитесь начинать с 3.

Два полинома в середине имеют коэффициенты 3.

В Напомним, что любое число в нулевой степени равно 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко видеть, что степень a в формуле уменьшается, а степень b увеличивается. Вы можете убедиться в этом:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предупреждение !!!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разницы

Куб разницы между двумя числами равен кубу первого числа минус три раза квадрат первого числа и второго плюс три раза произведение первого числа и квадрата второго минус куб секунда.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Эта формула запоминается так же, как и предыдущая, но только с учетом чередования знаков «+» и «-». Первому члену a 3 предшествует «+» (мы не пишем его по правилам математики). Это означает, что следующему члену будет предшествовать «-», затем снова «+» и так далее.

(а — б) 3 = + а 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Сумма кубиков ( Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубиков равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разницы.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

Сумма кубиков — произведение двух скобок.

Первая скобка — это сумма двух чисел.

Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Выражение называется неполным квадратом разности:

A 2 — ab + b 2
Этот квадрат неполный, так как в середине вместо удвоенного произведения стоит обычное произведение чисел.

Кубы различий (не путать с кубами различий !!!)

Разница между кубиками равна произведению разницы двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Будьте осторожны при написании символов. Следует помнить, что все приведенные выше формулы также используются справа налево.

Трудно запомнить сокращенные формулы умножения? Причине легко помочь.Просто нужно вспомнить, как изображена такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы всегда и везде будете помнить эти формулы, а точнее не вспоминать, а восстанавливать.

Что такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена формы в многочлен.

Развернем, например:

В этой записи легко вспомнить, что в начале стоит куб первого числа, а в конце — куб второго числа.Но что посередине, вспомнить сложно. И даже то, что в каждом следующем члене степень одного фактора все время уменьшается, а второго увеличивается — это легко заметить и запомнить, сложнее обстоит дело с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс или минус?).

Итак, шансы в первую очередь. Не запоминайте их! На полях тетради быстро нарисуйте треугольник Паскаля, и вот они — коэффициенты уже перед нами. Начинаем рисовать с трех единиц, одна сверху, две снизу, справа и слева — ага, уже треугольник получается:

Первая строка с единицей равна нулю.Затем идет первое, второе, третье и так далее. Чтобы получить вторую строку, вам нужно снова добавить единицы по краям, а в центре написать число, полученное сложением двух чисел над ним:

Записываем третью строку: снова по краям блока, и снова, чтобы в новой строке получилось следующее число, складываем числа над ним в предыдущей:

Как вы уже догадались, в каждой строке мы получаем коэффициенты разложения бинома в полином:

Ну, а знаки запомнить еще проще: первый такой же, как и в расширяемом биноме (мы раскрываем сумму, что означает плюс, разница означает минус), а затем знаки чередуются!

Вот такая вот полезная штука — треугольник Паскаля. Используй это!

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике или, скорее, в алгебре для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами формулы являются производными от правил, существующих в алгебре для умножения нескольких многочленов.

Использование этих формул обеспечивает довольно быстрое решение различных математических задач, а также помогает упростить выражения. Правила алгебраического преобразования позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым вы можете получить выражение в левой части равенства в правой части или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение в левой части после знак равенства).

Формулы, используемые для приведенного умножения по памяти, удобно знать, так как они часто используются при решении задач и уравнений. Ниже приведены основные формулы, включенные в этот список, и их названия.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, вам нужно найти сумму, состоящую из квадрата первого члена, удвоенного произведения первого члена на второе и квадрата второго. В виде выражения это правило записывается следующим образом: (a + c) ² = a² + 2ac + c².

Квадрат разницы

Чтобы вычислить квадрат разницы, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятого с обратным знаком) и квадрат второго числа. В виде выражения это правило выглядит следующим образом: (a — c) ² = a² — 2ac + c².

Разница квадратов

Формула для вычисления разницы между двумя числами в квадрате равна произведению суммы этих чисел на их разность.В виде выражения это правило выглядит следующим образом: a² — c² = (a + c) · (a — c).

Куб сумм

Чтобы вычислить куб суммы двух членов, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого члена, тройного произведения квадрата первого члена и второго, тройного произведение первого члена и второго квадрата, а также куб второго члена. В форме выражения это правило выглядит следующим образом: (a + c) ³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Сумма кубиков

Согласно формуле, она приравнивается к произведению суммы этих членов на их неполный квадрат разности. В форме выражения это правило выглядит следующим образом: a³ + c³ = (a + c) · (a² — ac + c²).

Пример. Необходимо рассчитать объем фигуры, которая получается сложением двух кубиков. Известны только размеры их сторон.

Если боковые значения небольшие, то вычисления просты.

Если длины сторон выражаются громоздкими числами, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности выглядит следующим образом: как сумма третьей степени первого члена, утроить отрицательное произведение квадрата первого члена на второй, утроить произведение первого члена на квадрат второго и отрицательный куб второго члена.В форме математического выражения куб разности выглядит так: (a — c) ³ = a³ — 3a²c + 3ac² — c³.

Разница кубиков

Формула разности кубиков отличается от суммы кубов только одним знаком. Таким образом, разность кубиков представляет собой формулу, равную произведению разности этих чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разница между кубиками следующая: a 3 — c 3 = (a — c) (a 2 + ac + c 2).

Пример. Необходимо рассчитать объем фигуры, который останется после вычитания желтой объемной фигуры из объема синего куба, который также является кубом. Известен только размер стороны большого и малого куба.

Если боковые значения небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражены значащими числами, то стоит воспользоваться формулой под названием «Кубы разности» (или «Куб разности»), которая значительно упростит вычисления.

Сокращенные формулы выражений очень часто используются на практике, поэтому желательно выучить их все наизусть. До этого момента он будет служить нам верой и правдой, который мы рекомендуем распечатать и постоянно держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы сокращенных формул умножения позволяют возвести в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятый предназначен для краткого умножения разницы на сумму двух выражений.А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (это название выражения вида a 2 — ab + b 2) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 + ab + b 2) соответственно.

Следует отдельно отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему сокращенные формулы умножения также называют сокращенными тождествами умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место факторизация многочлена, FSO часто используется в форме с переставленными левой и правой сторонами:

Последние три идентификатора в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 — b 2 = (a — b) (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −ab + b 2) — формула суммы кубиков , aa 3 −b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2) — формула разности кубиков … Обратите внимание, что мы не называли FSU для соответствующих формул с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Не помешает добавить еще несколько тождеств в таблицу сокращенных формул умножения.

Сферы применения сокращенных формул умножения (ФСС) и примеры

Основное назначение сокращенных формул умножения (фсу) объясняется их названием, то есть состоит в кратком умножении выражений.Однако область применения FSU намного шире и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение сокращенной формулы умножения было найдено в выполнении идентичных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе упрощения выражения .

Пример.

Упростим выражение 9 y− (1 + 3 y) 2.

Решение.

В этом выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно: 9 y− (1 + 3 y) 2 = 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2)… Осталось только раскрыть скобки и привести аналогичные слагаемые: 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2) = 9 y — 1−6 y — 9 y 2 = 3 y — 1− 9 л 2.

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и дайте нам знать, если у вас возникнут вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация — это данные, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или для связи с ним.

Вас могут попросить предоставить вашу личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете запрос на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. Д.

Как мы используем вашу личную информацию:

• Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
• Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, например, для проведения аудитов, анализа данных и различных исследований с целью улучшения предоставляемых нами услуг и предоставления вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления этими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае необходимости — в соответствии с законом, постановлением суда, в ходе судебного разбирательства и / или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть вашу персональная информация. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если мы определим, что такое раскрытие необходимо или целесообразно по соображениям безопасности, правоохранительной деятельности или по другим социально важным причинам.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему третьему лицу — правопреемнику.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей личной информации от потери, кражи и злоупотребления, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Уважение к вашей конфиденциальности на уровне компании

Чтобы убедиться, что ваша личная информация в безопасности, мы доводим до наших сотрудников правила конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением мер конфиденциальности.

На предыдущем уроке мы разобрались с факторингом. Мы освоили два метода: выведение общего множителя за скобки и группирование. В этом руководстве следующий эффективный способ: сокращенных формул умножения … Короче — FSU.

Сокращенные формулы умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) необходимы во всех разделах математики. Они используются для упрощения выражений, решения уравнений, умножения многочленов, сокращения дробей, решения интегралов и т. Д.Короче говоря, есть все основания с ними бороться. Понять, откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Понимание?)

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Равенства 6 и 7 написаны не очень привычным образом. Как бы наоборот. Это сделано специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи яснее, откуда взялось ФСО.

Они происходят от умножения.) Например:

(a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Вот и все, никаких научных уловок. Просто умножаем скобки и даем похожие. Получается всех сокращенных формул умножения. Сокращенное умножение связано с тем, что в самих формулах отсутствует умножение скобок и приведение похожих. Сокращенно.) Результат выдается сразу.

ФСО нужно знать наизусть. Без первых трех нельзя и мечтать о тройке, без остальных — о четверке и пятерке.)

Зачем нужны сокращенные формулы умножения?

Есть две причины учиться, даже запоминать эти формулы. Во-первых, готовый ответ на автомате резко снижает количество ошибок. Но это не главная причина. А вот второй …

Если вам нравится этот сайт …

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Сокращенные схемы умножения. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (FSO) необходимы для умножения и увеличения чисел, выражений, включая многочлены. То есть с помощью формул можно работать с числами намного быстрее и проще.Таким образом, вы можете составить обычное уравнение из сложного уравнения, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращенного умножения

Название	Формула	Как читать
Квадрат суммы		Квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разницы		Квадрат разницы между двумя выражениями равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Суммарный куб		Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс троекратное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс троекратное произведение первого выражения и второго квадрата, плюс второе выражение в кубе.
Куб разницы		Куб разности двух величин равен первому выражению в кубе минус троекратное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение плюс троекратное произведение первого выражения на второй квадрат минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов		Разница между квадратами первого и второго выражений равна произведению разницы между двумя выражениями на их сумму.
Сумма кубов		Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разницы равно сумме их кубиков.
Разница кубиков		Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубиков.

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им вы можете возвести в квадрат или куб сумму (разность) двух выражений. Что касается пятой формулы, ее нужно применять для краткого умножения разности или суммы двух выражений.

Последние две формулы (6 и 7) используются для умножения сумм обоих выражений на их неполный квадрат разницы или суммы.

Приведенные выше формулы довольно часто нужны на практике. Поэтому их желательно знать наизусть.

Если вы встретите пример факторизации многочлена, то во многих случаях вам нужно переставить левую и правую части.

Например, возьмем ту же первую формулу:

и поместим левую часть вправо, а правую часть — влево:

Эту же процедуру можно проделать с остальными формулами.

Доказательство ФСО

Остановимся на доказательствах формул приведенного умножения. Это не сложно. Вам просто нужно открыть скобки.Рассмотрим первую формулу — квадрат суммы :.

Шаг первый.

Возведем a + b во вторую степень. Для этого не будем трогать градус, а произведем банальное умножение: = x.

Шаг второй. Теперь снимаем скобки: x + x.

Шаг третий … Раскройте скобки: x + x + x + x.

Шаг четвертый … Умножаем, не забывая о знаках: x + x +.

Шаг пятый … Упростим выражение :.

Таким же образом можно доказать абсолютно любую формулу сокращенного умножения.

Примеры и решения с использованием FSO

Обычно эти семь формул используются, когда вам нужно упростить выражение, чтобы решить уравнение или даже общий пример.

Пример 1

Упражнение

Упростите выражение:

Как видите, первая формула сокращенного умножения — Квадрат суммы — подходит для этого примера.

Решение

Исходя из первой формулы, пример необходимо факторизовать. Для этого смотрим на формулу и подставляем цифры вместо букв. В нашем случае «a» равно 3x, а «b» — 5:

Мы читаем правую часть и записываем результат. Получаем:

В примере нужно перемножить все, что умножается, и мы сразу получаем ответ:

Конечно, есть примеры и с дробями. Но, если вы научитесь решать простые примеры, то других типов вы не будете бояться.

Пример 2

Упражнение

Упростите выражение

Решение

= — xx + =

Удвоенное произведение этих выражений равно -, что совпадает со вторым членом трехчлена (с плюсом знак), что означает

Итак, как видите, в примерах нет ничего сложного. Главное знать формулы, где их можно применить, а где можно без них.

Полезные источники

1. Арефьева И.Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебное пособие для 7-х классов общеобразовательных учреждений: Минск «Народная Асвета», 2017 — 304 с.
2. Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра 7 класс: М: 2015 — 287 с.
3. Рубин А.Г., Чулков П.В. Алгебра. 7-й класс. Москва: 2015 — 224 с.

ФГУ — формулы сокращенного умножения по алгебре для 7 класса с примерами обновлено: 22 ноября 2019 г. Автор: Научные статьи.Ru

На предыдущем уроке мы разобрались с факторингом.Мы освоили два метода: выведение общего множителя за скобки и группирование. В этом руководстве следующий эффективный способ: сокращенных формул умножения … Короче — FSU.

Сокращенные формулы умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) необходимы во всех разделах математики. Они используются для упрощения выражений, решения уравнений, умножения многочленов, сокращения дробей, решения интегралов и т. Д.Короче говоря, есть все основания с ними бороться. Понять, откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Понимание?)

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Равенства 6 и 7 написаны не очень привычным образом. Как бы наоборот. Это сделано специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи яснее, откуда взялось ФСО.

Они происходят от умножения.) Например:

(a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Вот и все, никаких научных уловок. Просто умножаем скобки и даем похожие. Получается всех сокращенных формул умножения. Сокращенное умножение связано с тем, что в самих формулах отсутствует умножение скобок и приведение похожих. Сокращенно.) Результат выдается сразу.

FSO нужно знать наизусть.Без первых трех нельзя мечтать о тройке, без остальных — о четверке и А.)

Зачем нужны сокращенные формулы умножения?

Есть две причины учиться, даже запоминать эти формулы. Во-первых, готовый ответ на автомате резко снижает количество ошибок. Но это не главная причина. А вот второй …

Если вам нравится этот сайт …

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Выражение ( a + b ) 2 — это квадрат суммы чисел a и b … По определению степени выражение ( a + b a + b ) ( a + b ).Следовательно, из квадрата суммы можно сделать вывод, что

( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 = а 2 + 2 ab + б 2,

, то есть квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

формула суммы квадратов

( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2

Полином a 2 + 2 ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.

Поскольку a и b обозначают любые числа или выражения, то правило дает нам возможность, сокращенно, возвести в квадрат любое выражение, которое можно рассматривать как сумму двух членов.

Пример. Квадратное выражение 3 x 2 + 2 xy .

Решение: чтобы не делать дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. Мы должны получить сумму квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе, и квадрата второго числа:

(3 x 2 + 2 xy ) 2 = (3 x 2) 2 + 2 (3 x 2 2 xy ) + (2 xy ) 2

Теперь, используя правила умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

(3 x 2) 2 + 2 (3 x 2 2 xy ) + (2 xy ) 2 = 9 x 4 + 12 x 3 y + 4 x 2 y 2

Квадрат разницы

Выражение ( a — b ) 2 — это квадрат разницы чисел a и b . .. Выражение ( a — b ) 2 является произведением двух полиномов ( a — b ) ( a — b ). Следовательно, из разницы в квадрате можно заключить, что

( a — b ) 2 = ( a — b ) ( a — b ) = a 2 — ab — ab + b 2 = a 2–2 ab + b 2,

, то есть квадрат разницы между двумя числами равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов без промежуточных преобразований будет выглядеть так:

( a — b ) 2 = a 2 — 2 ab + b 2

Полином a 2–2 ab + b 2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращенному возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте себе квадрат разницы как трехчленный:

(2 a 2-5 ab 2) 2

Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:

(2 a 2-5 ab 2) 2 = (2 a 2) 2-2 (2 a 2 5 ab 2) + (5 ab 2) 2

Теперь преобразуем выражение в стандартный многочлен:

(2 a 2) 2-2 (2 a 2 5 ab 2) + (5 ab 2) 2 = 4 a 4-20 a 3 b 2 + 25 a 2 b 4

Разница квадратов

Выражение a 2 — b 2 — это разность квадратов чисел a и b … Выражение a 2 — b 2 — это сокращенный способ умножения суммы двух чисел на их разность:

( a + b ) ( a — b ) = a 2 + ab — ab — b 2 = a 2 — b 2,

то есть произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a 2 — b 2 = ( a + b ) ( a — b )

Это правило применяется к сокращенному умножению выражений, которые могут быть представлены: одно как сумма двух чисел, а другое как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте работу в бином:

(5 a 2 + 3) (5 a 2-3)

Решение:

(5 a 2 + 3) (5 a 2-3) = (5 a 2) 2-3 2 = 25 a 4-9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дали формулу правой части, и мы преобразовали ее в левую:

( a + b ) ( a — b ) = a 2- b 2

На практике все три рассмотренные формулы применяются как слева направо, так и справа налево, в зависимости от ситуации.

Для упрощения алгебраических многочленов существует сокращенных формул умножения . .. Их не так много и их легко запомнить, но запоминать их нужно. Обозначения, которые используются в формулах, могут иметь любую форму (числовую или полиномиальную).

Первая формула сокращенного умножения называется разностью квадратов … Она состоит в том, что квадрат второго числа вычитается из квадрата одного числа, что равно величине разности этих чисел , а также их продукт.

а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)

Разберем для наглядности:

22 2 — 4 2 = (22-4) (22 + 4) = 18 * 26 = 468
9a 2 — 4b 2 c 2 = (3a — 2bc) (3a + 2bc)

Вторая формула — это примерно сумма квадратов … Похоже, сумма двух квадратов величин равна квадрату первой величины, к ней добавляется двойное произведение первой величины, умноженной на второе, к ним добавляется квадрат второй величины.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Благодаря этой формуле становится намного проще вычислить квадрат большого числа без использования компьютеров.

Так, например: квадрат 112 будет
1) Вначале разберем 112 на числа, квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Введем полученное в квадрат в скобки
112 2 = (100 + 12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула: квадрат разницы … В котором говорится, что два вычтенных значения в квадрате равны тому факту, что из первого значения в квадрате мы вычитаем двойное произведение первого значения, умноженного на второе, добавляя к ним квадрат второе значение.

(a + b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

где (a — b) 2 равно (b — a) 2. Чтобы доказать, что, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Четвертая формула сокращенного умножения называется суммой куба … Это звучит так: два члена значения в кубе равны кубу из 1 значения, тройное произведение 1 в квадрате значения, умноженное на 2-е значение, прибавляется к ним, тройное произведение 1 значения, умноженное на квадрат двух значений плюс второе значение в кубе.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Пятый, как вы уже поняли, называется кубом разностей … Который находит различия между величинами, так как из первого обозначения в кубе мы вычитаем тройное произведение первого обозначения в квадрате, умноженное на второе. , к ним добавляется тройное произведение первого обозначения, умноженное на квадрат второго обозначения, за вычетом второго обозначения в кубе.

(a-b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Шестой называется — сумма кубиков … Сумма кубиков равна произведению двух членов, умноженных на неполный квадрат разницы, так как в середине нет удвоенного значения.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Другими словами, сумму кубиков можно назвать произведением в двух скобках.

Седьмая и последняя называется разностью кубов (ее легко спутать с формулой разностного куба, но это разные вещи).Разница между кубиками равна произведению разницы двух значений, умноженному на неполный квадрат суммы, поскольку в середине нет удвоенного значения.

a 3 — b 3 = (a-b) (a 2 + ab + b 2)

А так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, главное не запутаться в знаках. Они также предназначены для использования в обратном порядке, и таких заданий довольно много, собранных в учебниках.Будьте осторожны и у вас все получится.

Если возникнут вопросы по формулам, обязательно напишите их в комментариях. Будем рады Вам ответить!

Если вы находитесь в декретном отпуске, но хотите заработать. Просто перейдите по ссылке Интернет-бизнес с Орифлейм. Там все написано и показано очень подробно. Это будет интересно!

Математические выражения (формулы) сокращенное умножение (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) чрезвычайно незаменимы во многих областях точных наук.Эти 7 символических обозначений незаменимы для упрощения выражений, решения уравнений, умножения многочленов, сокращения дробей, решения интегралов и многого другого. Это означает, что будет очень полезно понять, как они получены, для чего они нужны и, самое главное, как их запомнить, а затем применять. Затем, применив на практике сокращенную формулу умножения , сложнее всего будет увидеть, что такое NS и что у вас есть. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, что означает, что это могут быть любые числовые или буквальные выражения.

И вот они:

Первое x 2 — at 2 = (x — y) (x + y) . Для вычисления разности квадратов два выражения необходимо умножить на разности этих выражений на их суммы.

Второй (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 … Чтобы найти квадрат суммы двух выражений, вам нужно сложить удвоенное произведение первого выражения к второе плюс квадрат второго выражения к квадрату первого выражения.

Третье (x — y) 2 = x 2 — 2xy + y 2 … Чтобы вычислить квадрат разницы двух выражений, вам нужно вычесть двойное произведение первого выражения на второй плюс квадрат второго выражения из квадрата первого выражения.

Четвертый (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + y 3. Для вычисления суммы куба двух выражений необходимо сложить куб первого выражения тройное произведение квадрата первого выражения на второе плюс тройное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятый (x — y) 3 = x 3 — 3x 2 y + 3x 2 — at 3 … Для вычисления куба разности двух выражений необходимо вычесть из куба первого выражения — тройное произведение квадрата первого выражения на второе плюс тройное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестой x 3 + at 3 = (x + y) (x 2 — xy + y 2) Чтобы вычислить сумму кубов двух выражений, вам необходимо умножить суммы первого и вторые выражения — неполным квадратом разности этих выражений.

Седьмой x 3 — at 3 = (x — y) (x 2 + xy + y 2) Для выполнения вычисления кубов разности двух выражений, разница между первым и вторым выражениями должна умножается на неполный квадрат суммы этих выражений.

Нетрудно вспомнить, что все формулы применяются для выполнения расчетов и в обратном направлении (справа налево).

Существование этих закономерностей было обнаружено около 4 тысяч лет назад.Их широко использовали жители древнего Вавилона и Египта. Но тогда они выражались словесно или геометрически и в расчетах не использовали буквы.

Давайте проанализируем доказательство квадрата суммы (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

Первым этот математический образец доказал древнегреческий ученый Евклид, работавший в Александрии в 3 веке до нашей эры, он использовал для этого геометрический метод доказательства формулы, поскольку буквы не использовались для обозначения чисел, а ученые древности Эллада… Они широко использовали не «а 2», а «квадрат на отрезке а», не «аб», а «прямоугольник, заключенный между отрезками а и b».

Математика для блондинок: Кубик 101

Сегодня мы рассмотрим пример того, как можно найти сто один кубический , используя сокращенные формулы умножения. 3

Не понимаю как решите это с помощью сокращенных формул умножения.3 = 101 * 101 * 101 = 1030301

Если у вас под рукой нет калькулятора (мало ли, телефон только что украли), то можете посчитать на листе бумаги в столбик (рисунок будет в конце, как и проверка калькулятора и формулы).

Куб 101

Применим формулу куба суммы.

В постановке задачи говорится, что вам нужно найти куб из 101 , используя сокращенную формулу умножения. По мнению учителей математики, эти формулы должен знать каждый.Наивный. Где найти эту формулу?

Вы можете найти в Интернете куб с суммой . Google вам в помощь. Эти формулы можно найти в справочнике по математике, в учебнике по математике, можно спросить одноклассника, который знает формулы сокращенного умножения наизусть. Нужная нам формула сокращенного умножения называется кубиком суммы . Вы увидите это ниже.

А теперь ответ на самый каверзный вопрос: как получить сумму чисел из одного числа? Это число необходимо расширить до терминов. С точки зрения математики количество членов может быть любым, но … Сокращенные формулы умножения суммы в куб я нашел только для двух и трех членов. Формула куба суммы трех слагаемых очень сложна, желаю вам никогда с таким не сталкиваться. Но куб из суммы двух слагаемых выглядит красиво. Основной принцип разложения на термины для применения сокращенных формул умножения заключается в том, что числа можно легко умножать в уме без использования калькулятора.Для числа 101 лучшим вариантом будет 101 = 100 + 1 . Числа 100 и 1 легко умножить без калькулятора. Посмотрим, что у нас получится.

Куб из 101

Не знаю, как вы, но мне не обойтись без бумажки. Да, я все записал в строку, а не в столбец, но тем не менее. И в заключение проверим наше решение умножением в столбик на листе бумаги.

Кубик из 101 в столбце на листе бумаги

Ну, что-то вроде этого. Зачем вам это все? Чтобы вы знали, что умножать можно не только на калькуляторе или в столбце, но иногда можно эффективно использовать сокращенные формулы умножения. Если, конечно, вы их знаете.

Решатель математических уравнений | Порядок действий

Использование калькулятора

Решайте математические задачи, используя порядок операций, например PEMDAS, BEDMAS, BODMAS, GEMDAS и MDAS.(Предупреждение PEMDAS) Этот калькулятор решает математические уравнения, которые складывают, вычитают, умножают и делят положительные и отрицательные числа и экспоненциальные числа. Вы также можете включать круглые скобки и числа с показателями или корнями в свои уравнения.

Используйте эти математические символы:

+ Дополнение
— Вычитание
* Умножение
/ Отдел
^ Показатели (2 ^ 5 равно 2 в степени 5)
r корня (2r3 — это третий корень из 2)
() [] {} Скобки или группировка

Вы можете попытаться скопировать уравнения из других печатных источников и вставить их сюда, и, если они используют ÷ для деления и × для умножения, этот калькулятор уравнений попытается преобразовать их в / и * соответственно, но в некоторых случаях вам может потребоваться повторно ввести скопированные и вставленные символы или даже полные уравнения. (2/3) 5 повышено до 2/3

5r (1/4) — корень 1/4 из 5, который равен 5 в четвертой степени

Ввод дробей

Если вы хотите, чтобы такая запись, как 1/2, рассматривалась как дробь, введите ее как (1/2). Например, в уравнении 4, деленном на ½, вы должны ввести его как 4 / (1/2). Тогда сначала выполняется деление 1/2 = 0,5, а последним — 4 / 0,5 = 8. Если вы неправильно введете его как 4/1/2, то сначала решается 4/1 = 4, а затем 4/2 = 2 в последнюю очередь.2 — неправильный ответ. 8 был правильным ответом.

Математический порядок операций — PEMDAS, BEDMAS, BODMAS, GEMDAS, MDAS

PEMDAS — это аббревиатура, которая может помочь вам запомнить порядок операций при решении математических уравнений. PEMDAS обычно расширяется до фразы: «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли». Первая буква каждого слова во фразе образует аббревиатуру PEMDAS. Решайте математические задачи в стандартном математическом порядке операций слева направо:

1. Круглые скобки, квадратные скобки, группировка — работая слева направо в уравнении, сначала найдите и решите выражения в скобках; если у вас есть вложенные круглые скобки, работайте от самого внутреннего к самому внешнему
2. Экспоненты и корни — работая слева направо в уравнении, вычислить все экспоненциальные и корневые выражения второй
3. Умножение и деление — затем решите оба выражения умножения И деления по мере их появления, работая слева направо в уравнении. Для правила MDAS вы начнете с этого шага.
4. Сложение и Вычитание — затем решите оба выражения сложения И вычитания по мере их появления, работая слева направо в уравнении

PEMDAS Осторожно

Умножение НЕ всегда выполняется перед Делением. Умножение и деление выполняются в том порядке, в котором они встречаются в уравнении, слева направо.

Сложение НЕ всегда выполняется перед вычитанием.Сложение и вычитание выполняются по мере их появления в уравнении слева направо.

Порядок «MD» (DM в BEDMAS) иногда путают, когда он означает, что умножение происходит до деления (или наоборот). Однако умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Другими словами, умножение и деление выполняются на одном шаге слева направо. Например, 4/2 * 2 = 4 и 4/2 * 2 не равно 1.

Такая же путаница может произойти и с «AS», однако сложение и вычитание также имеют одинаковый приоритет и выполняются на одном и том же шаге слева направо. Например, 5-3 + 2 = 4 и 5-3 + 2 не равно 0.

Чтобы запомнить это, можно записать PEMDAS как PE (MD) (AS) или BEDMAS как BE (DM) (AS).

Порядок операций Сокращения

Сокращения, обозначающие порядок операций, означают, что вы должны решать уравнения в этом порядке, всегда работая слева направо в вашем уравнении.

PEMDAS означает « P арентезов, E компонентов, M ultiplication и D ivision, A ddition и S убракция «

Вы также можете видеть BEDMAS, BODMAS и GEMDAS в качестве сокращений порядка операций.В этих акронимах «квадратные скобки» совпадают с круглыми скобками, а «порядок» такой же, как и с порядковыми номерами. Для GEMDAS «группировка» подобна скобкам или скобкам.

BEDMAS означает « B ракетки, E компонентов, D ivision и M ultiplication, A ddition и S убракция «

BEDMAS похож на BODMAS.

BODMAS означает « B ракетки, O rder, D ivision и M ultiplication, A ddition и S убракция «

GEMDAS означает « G rouping, E xponents, D ivision и M ultiplication, A ddition и S убракция «

MDAS — это подмножество сокращений, указанных выше.Это означает « M ultiplication, и D ivision, A ddition и S ubtraction»

Ассоциативность операторов

Умножение, деление, сложение и вычитание левоассоциативны. Это означает, что при решении выражений умножения и деления вы переходите от левой части уравнения к правой. Точно так же, когда вы решаете выражения сложения и вычитания, вы действуете слева направо.(4/5)

Для вложенных круглых скобок или скобок: сначала решите самые внутренние круглые скобки или выражения скобок и двигайтесь к самым внешним скобкам. Для каждого выражения в круглых скобках следуйте остальной части порядка PEMDAS: сначала вычислите экспоненты и радикалы, затем умножение и деление и, наконец, сложение и вычитание.

Вы можете решать умножение и деление на одном и том же этапе математической задачи: после решения скобок, степеней и радикалов и перед сложением и вычитанием.Для умножения и деления действуйте слева направо. Решение сложения и вычитания следует после скобок, показателей степени, корней и умножения / деления. Снова действуйте слева направо для сложения и вычитания.

Сложение, вычитание, умножение и деление положительных и отрицательных чисел

Этот калькулятор следует стандартным правилам для решения уравнений.

Правила сложения (+)

Если знаки одинаковые, оставьте знак и складывайте числа.

-21 + -9 = — 30

(+7) + (+13) = (+20)

Если знаки разные, вычтите меньшее число из большего числа и сохраните знак большего числа.

(-13) + (+5) = (-8)

(-7) + (+9) = (+2)

Правила для операций вычитания (-)

Сохраните знак первого числа.Замените все следующие знаки вычитания на знаки сложения. Измените знак каждого следующего числа так, чтобы положительное стало отрицательным, а отрицательное стало положительным, затем следуйте правилам для задач сложения.

(-15) — (-7) =

(-5) — (+6) =

(+4) — (-3) =

(-15) + (+7) = (-8)

(-5) + (-6) = (-11)

(+4) + (+3) = (+7)

Правила операций умножения (* или ×)

Умножение отрицательного на отрицательный или положительного на положительный дает положительный результат.Умножение положительного на отрицательное или отрицательного на положительное дает отрицательный результат.

-10 * -2 = 20

10 * 2 = 20

10 * -2 = -20

-10 * 2 = -20

-10 × -2 = 20

10 × 2 = 20

10 × -2 = -20

-10 × 2 = -20

Правила для операций дивизии (/ или ÷)

Подобно умножению, деление отрицательного на отрицательное или положительного на положительное дает положительный результат. Разделение положительного на отрицательный или отрицательного на положительное дает отрицательный результат.

-10 / -2 = 5

10/2 = 5

10 / -2 = -5

-10 / 2 = -5

-10 ÷ -2 = 5

10 ÷ 2 = 5

10 ÷ -2 = -5

-10 ÷ 2 = -5

Как умножить в Excel в 2020 (+ примеры и скриншоты)

Microsoft Excel может мгновенно решить любую математическую задачу за вас.

Проблема, с которой борются многие люди, заключается в том, что они не знают, как ввести эти проблемы в Excel.

Вот и я.

Я потратил много времени на использование Microsoft Excel. Итак, я могу научить вас вычитать в Excel, как складывать в Excel и как делить в Excel. Может быть, немного о том, как объединить ячейки в Excel? Этот список можно продолжить.

Но в этой статье я здесь, чтобы научить вас умножать в Excel.

Как умножить в Excel ярлык

Для умножения в Excel вам необходимо написать формулу с арифметическим оператором умножения, символом звездочки (*).Не забывайте, что все формулы должны начинаться со знака равенства (=)!

Пр. = 5 * 5 дает 25

А теперь перейдем к делу.

Если вы хотите умножать в Excel, вам нужно знать, что такое формулы Excel и как их писать.

Формулы

Excel — это выражения, используемые в Excel для отображения значений, рассчитываемых на основе введенных вами данных, и обычно используются для выполнения различных математических, статистических и логических операций.

Итак, прежде чем мы перейдем к особенностям умножения в Excel, вот несколько напоминаний, которые следует иметь в виду при написании формул Excel:

• Все формулы Excel должны начинаться со знака равенства (=). Это должно , чтобы Excel распознал его как формулу.
• В ячейках будет отображаться результат формулы, а не фактическая формула. Таким образом, используя ссылки на ячейки, а не просто вводя данные в ячейку, если вам нужно будет вернуться позже, значения будут легче понять.
• При использовании арифметических операторов в формуле помните порядок операций (я лично ссылаюсь на аббревиатуру PEMDAS: P arenthesis, E xponentiation, M ultiplication, D ivision, A ddition, S убтракция.) Ниже вы найдете пример того, как порядок операций применяется к формулам в Excel.

Как умножить в ячейке

Чтобы умножать числа в ячейке, вам нужно написать формулу в указанной ячейке. Ваша формула должна начинаться со знака равенства (=) и содержать арифметический оператор (*), необходимый для вычисления. В этом случае вы хотите умножить 10 на 5, поэтому ваша формула будет = 10 * 5.

После того, как вы ввели формулу, нажмите «Enter», и ваш результат отобразится.В этом примере формула умножения = 10 * 5 дает результат 50 (см. Ниже).

Как умножить клетки

Для этого ваши данные должны быть в отдельных ячейках, чтобы вы могли использовать ссылки на ячейки в формуле.

Ниже вы можете видеть, что формула умножения была записана в ячейку C1 с использованием ссылок на ячейки, но данные нужно было вводить отдельно в ячейки A1 и B1.

После того, как вы ввели формулу, нажмите «Enter», и ваш результат отобразится.В этом примере формула умножения = A1 * B1 дает результат 10 (см. Ниже).

Как умножить диапазон ячеек

Оба приведенных выше значения связаны с умножением двух переменных. Но знаете ли вы, что с помощью Excel можно создавать формулы, которые умножают за вас целый ряд чисел? Довольно круто, да?

Для этого вы можете использовать предустановленную формулу, называемую функцией — точнее, функцией ПРОДУКТ.

После того, как вы ввели данные в отдельные ячейки, используйте функцию ПРОДУКТ (вы можете найти ее в разделе «Вставить функцию» или начать вводить = Продукт в ячейке) и введите диапазон значений, которые вы хотите умножить.

Для этого введите ссылку на первую ячейку в диапазоне (A1), затем двоеточие (:) и ссылку на последнюю ячейку в диапазоне (A5).

После того, как вы ввели функцию и диапазон ячеек, нажмите «Enter», и ваш результат будет заполнен!

В этом случае значения в ячейках с A1 по A5 были умножены, в результате получилось 120.

Вы готовы к умножению в Excel

В этой статье мы рассмотрели все, что вам нужно знать о умножении в Excel! Теперь возьмите свой компьютер и погрузитесь в Excel, чтобы попробовать его на себе!

Вам понравилась эта статья? Узнайте, как заблокировать ячейки в Excel и как построить линейный график в Excel!

Простой онлайн-калькулятор алгебраических выражений и уравнений

 MINIMATH - это веб-приложение алгебры для решения уравнений и упрощения
 выражения одночленов, многомерных многочленов и рациональных дробей
 (с целыми или рациональными коэффициентами), показывая все шаги. )
 - деление / дробь (/), деление (:), умножение (*)
 - сложение (+), вычитание (-)
 - квадратный корень из m (sqrt (m)), только если m - полный квадрат
 - корень n из m (root (n) (m)), только если n - целое число, а m - совершенная степень  Наибольший общий делитель - НОД ($) и наименьшее общее кратное - операторы НОК (&)
 можно использовать для вычисления одного из полиномов, принадлежащих НОД и НОК
 наборы заданной пары многочленов.ПРИМЕР = (x4-9x2-4x + 12) $ (x3 + 5x2 + 2x-8) => вычисляет один наибольший общий делитель
 РЕЗУЛЬТАТ = x2 + x-2 => полиномиальный НОД определяется только вверх
 умножению на обратимый
 постоянный  Наибольший общий делитель также называется наибольшим общим делителем (ОКФ). 
 ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: приложение MINIMATH предоставляется «как есть», без каких-либо гарантий.
 Вы несете риск его использования.Авторы не могут считаться ответственными за
 любые последствия из-за использования приложения.