Сокращенные формулы умножения: Формулы сокращенного умножения 💣

Содержание

Формулы сокращенного умножения 💣

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.

Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a² — b² = (a — b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a

2 — b².

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a² — b² ≠ (a — b)².

Докажем, что a² — b² = (a — b) * (a + b).

Поехали:

Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.
+ a * b — a * b = 0
a² — b² = a² — b² + ab — ab

Сгруппируем иначе: a² — b² + a * b — a * b = a² — a * b + a * b — b²

Продолжим группировать: a² — a * b — b² +a * b = (a² — a * b) + (a * b — b²)

Вынесем общие множители за скобки:
(a² — a * b) + (a * b — b²) = a *(a — b) + b *(a — b)

Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)

Результат доказательства: a² — b² = (a — b) * (a + b)

Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a² — b², нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — b * a — b * b = a² — b².

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.

(a₁+a₂+…+a

n)² = a₁² + a₂² + … + a_n-1² + a_n² + 2 * a₁ * a₂ + 2 * a₁ * a₃ + 2 * a₁ * a₄ + … +

+ 2 * a₁ * a_n-1 + 2 * a₁ * a_n + 2 * a₂ * a₃ + 2 * a₂ * a₄ + … + 2 * a₂ * a_n-1 + 2 * a₂ * a_n +…+

+ 2 * a_n-1 * a_n

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

aⁿ

− bⁿ = (a − b) * (a^n-1 + a^n-2 * b + a^n-3 * b² + … + a * b^n-2 + b^n-1).

Для четных показателей можно записать так:

a^2*m − b^2*m = (a² − b²) *(a^2*m−2 + a^2*m−4 * b² + a^2*m−6 * b⁴ + … + b^2*m−2).

Для нечетных показателей:

a^2*m+1 − b^2*·m+1 = (a − b) * (a^2*m + a^2*m−1 * b + a^2*m−2 * b² + … + b^2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)².

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10)² = 55² + 2 * 55 * 10 + 10² = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с³ – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с³ – 8 = (4 * с)³ – 2³ = (4 * с – 2)((4 * с)² + 4 * с * 2 + 2²) = (4 * с – 2)(16 * с² + 8 * с + 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y + x).

Как решаем:

Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y² + 7 * y * x — 7 * y * x — x² = 49 * y² — x².

Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y + x) = (7 * y)² — x² = 49 * y² — x².2+4a=\)

Теперь приведем подобные слагаемые.

$=-8a+9=$

Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.

$=-8·\frac{17}{8}+9=-17+9=8$

Пишем ответ.

Ответ: $8$.

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Разность квадратов $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями.2}{x-2y+3}\)$=$

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой $a=(x-2y)$, $b=3$. Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

$\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}$$=$

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

$x-2y-3$

Готов ответ.

Скачать статью

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
формула квадрата разности: a-b2=a2-2ab+b2
формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+..+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn

Здесь Cnk — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

Cnk=n!k!·(n-k)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+..+2a2an+2an-1an

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+..+a2bn-2+bn-1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2

Для нечетных показателей 2m+1:

a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a+b2=a2+2ab+b2.

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a-b2=a2-2ab+b2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Прочитаем формулу a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a2-b2=a-ba+b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a2+ab+b2 и a2-ab+b2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a-b2=a2-2ab+b2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a-b2=a-ba-b.

Раскроем скобки:

a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9y-(1+3y)2.

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9y-(1+3y)2=9y-(1+6y+9y2)=9y-1-6y-9y2=3y-1-9y2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8×3-z64x2-z4.

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8×3-z64x2-z4=2x-z(4×2+2xz+z4)2x-z2x+z.

Сокращаем и получаем:

8×3-z64x2-z4=(4×2+2xz+z4)2x+z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений, запишем:

79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в вид 2×2+2·2·x·1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Формулы сокращённого умножения. Неполный квадрат суммы и разности

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a² + b² = (a + b)² — 2ab — сумма квадратов;

a² — b² = (a + b)(a — b) — разность квадратов;

(a + b)² = a² + 2ab + b² — квадрат суммы;

(a — b)² = a² — 2ab + b² — квадрат разности;

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²) — сумма кубов;

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²) — разность кубов;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ — куб суммы;

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³ — куб разности.

Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Разложение формул сокращенного умножения

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.

Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

a² + b² = (a + b)² — 2ab.

Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)² — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab = a² + ab + ab + b² — 2ab = a² + b².

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

a² — b² = (a + b)(a — b).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a — b) = a² — ab + ab — b² = a² — b².

Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

(a — b)² = a² — 2ab + b².

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b².

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²).

(a + b)(a² — ab + b²) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²).

(a — b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³.

Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a — b)³ = (a — b)(a — b)² = (a — b)(a² — 2ab + b²) = a³ — 2a²b + ab² — a²b + 2ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

Неполный квадрат суммы

Выражение:

a² + 2ab + b²

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a² + ab + b²,

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

Выражение:

a² — 2ab + b²

это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a² — ab + b²,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Все формулы сокращенного умножения, объяснения, примеры

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Формулы сокращённого умножения позволяют производить тождественные преобразования выражений — многочленов. С их помощью многочлены можно разложить на множители, а применяя формулы в обратном порядке — представлять произведения двучленов, квадраты и кубы в виде многочленов. Рассмотрим все общепринятые формулы сокращённого умножения, их вывод, распространённые задачи на тождественные преобразования выражений с помощью этих формул, а также домашние задания (ответы к ним открываются по ссылкам).

Формулой квадрата суммы называется равенство

(квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Вместо a и b в эту формулу могут быть подставлены любые числа.

Формула квадрата суммы часто применяется для упрощения вычислений. Например,

С помощью формулы квадрата суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 1. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Пример 2. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой квадрата разности называется равенство

(квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Формула квадрата разности часто применяется для упрощения вычислений. Например,

С помощью формулы квадрата разности многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 5. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле квадрата разности получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Часто в многочлене второй степени содержится квадрат суммы или разности, но содержится в скрытом виде. Чтобы получить полный квадрат в явном виде, нужно преобразовать многочлен. Для этого, как правило, одно из слагаемых многочлена представляется в виде удвоенного произведения, а затем к многочлену прибавляется и из него вычитается одно и то же число.

Пример 7. Рассмотрим многочлен второй степени

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили 5x в виде удвоенного произведения 5/2 на x, прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число , далее применили формулу квадрата суммы для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число .

Пример 8. Рассмотрим многочлен второй степени

Решение. Проведём над ним следующие преобразования:

Здесь мы представили 8x в виде удвоенного произведения x на 4, прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число 4², применили формулу квадрата разности для двучлена x − 4.

Итак, мы доказали равенство

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число −16.

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой куба суммы называется равенство

(куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго и плюс куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба суммы выводится так:

Пример 10. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле куба суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой куба разности называется равенство

(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

Формула куба разности выводится так:

Пример 12. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле куба разности получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой разности квадратов называется равенство

(разность квадратов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на их разность).

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 14. Записать в виде многочлена произведение

Решение. По формуле разности квадратов получаем

Пример 15. Разложить на множители

Решение. Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Но число 16 можно представить в виде степени с основанием 4: 16=4². Тогда исходное выражение примет иной вид:

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой суммы кубов называется равенство

(сумма кубов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на неполный квадрат разности этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b называется многочлен .

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 17. Записать в виде многочлена произведение

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках и получаем их сумму:

Тот же результат получаем, выполняя умножение выражений в скобках по правилам умножения многочленов:

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулой разности кубов называется равенство

(разность кубов двух чисел равна произведению разности эти чисел на неполный квадрат суммы этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b называется многочлен .

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Пример 19. Записать в виде многочлена произведение

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках:

Получаем разность этих кубов:

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Формулы сокращенного умножения

Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения.

Предварительные навыки

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y)².

Выражение (2x + 3y)² это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)

(2x + 3y)² = (2x + 3y)(2x + 3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x + 3y)² = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4x²+ 6xy + 6xy + 9y²= 4x²+ 12xy + 9y²

То есть выражение (2x + 3y)² равно 4x² + 12xy + 9y²

(2x + 3y)² = 4x²+ 12xy + 9y²

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a + b)²

Выражение (a + b)² это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)

(a + b)² = (a + b)(a + b)

Выполним это умножение:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a²+ ab + ab + b² = a²+ 2ab + b²

То есть выражение (a + b)² равно a²+ 2ab + b²

(a + b)² = a²+ 2ab + b²

Оказывается, что случай (a + b)²можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y)² можно решить с помощью тождества (a + b)² = a²+ 2ab + b². Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y)². В данном случае переменной a соответствует член 2x, а переменной b соответствует член 3y

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a + b)² = a²+ 2ab + b², но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x + 3y)² = (2x)² + 2 × 2x × 3y + (3y)² = 4x²+ 12xy + 9y²

Как и в прошлый раз получили многочлен 4x²+ 12xy + 9y². Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x + 3y)² = 4x²+ 12xy + 9y²

Тождество (a + b)² = a²+ 2ab + b² называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2 + 3)². Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2 + 3)² = 5² = 25

Второй способ:

(2 + 3)² = 2² + 2 × 2 × 3 + 3² = 4 + 12 + 9 = 25

Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3)² в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)² = a²+ 2ab + b²

(5a + 3)² = (5a)²+ 2 × 5a × 3 + 3² = 25a² + 30a + 9

Значит, (5a + 3)² = 25a² + 30a + 9.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

(5a + 3)² = (5a + 3)(5a + 3) = 25a² + 15a + 15a + 9 = 25a² + 30a + 9

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a². Если увеличить сторону квадрата на b, то площадь будет равна (a + b)²

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b. У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b, то остальные стороны тоже увеличатся на b

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a². Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab. Затем можно вычислить квадрат со стороной b

В результате получается следующая сумма площадей:

a² + ab + ab + b²

Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab, которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab». Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab. В результате получается выражение a²+ 2ab + b², которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:

(a + b)² = a²+ 2ab + b²

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

(a − b)² = a²− 2ab + b²

Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)² представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)

(a − b)² = (a − b)(a − b)

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a²− 2ab + b²

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a²− ab − ab + b² = a²− 2ab + b²

Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5)² в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(a − b)² = a²− 2ab + b²

(7x − 5)² = (7x)²− 2 × 7x × 5 + 5² = 49x² − 70x + 25

Значит, (7x − 5)² = 49x² − 70x + 25.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

(7x − 5)² = (7x − 5)(7x − 5) = 49x² − 35x − 35x + 25 = 49x² − 70x + 25.

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a², то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b, будет равна (a − b)²

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b. У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b, поскольку старая сторона a уменьшилась на b. Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a² вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a² минус площадь ab минус площадь (a − b)b

a² − ab − (a − b)b

Раскроем скобки в выражении (a − b)b

a² − ab − ab + b²

Приведем подобные слагаемые:

a² − 2ab + b²

В результате получается выражение a² − 2ab + b², которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

(a − b)² = a²− 2ab + b²

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y)², и мы хотим воспользоваться формулой (a − b)² = a²− 2ab + b², то вместо b нужно подставлять 2y, а не −2y. Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

(5x − 2y)²
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y)² = (5x)² − 2 × 5x × 2y + (2y)² = 25x² − 20xy + 4y²

Если подставлять −2y, то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

(5x − 2y)² = (5x + (−2y))²

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

(5x + (−2y)²
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y))² = (5x)² + 2 × 5x × (−2y) + (−2y)² = 25x² − 20xy + 4y²

Исключением могут быть выражения вида (x − (−y))². В данном случае, применяя формулу (a − b)² = a²− 2ab + b² вместо b следует подставить (−y)

(x − (−y))² = x² − 2 × x × (−y) + (−y)² = x² + 2xy + y²

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y), удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y. Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y)² и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

(a − b)³ = a³− 3a²b + 3ab²− b³

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

(a + b)³

Выражение (a + b)³ представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b)

(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)

Но выражение (a + b)³ также может быть записано как (a + b)(a + b)²

(a + b)³ = (a + b)(a + b)²

При этом сомножитель (a + b)² является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a²+ 2ab + b².

Тогда (a + b)³ можно записать как (a + b)(a²+ 2ab + b²).

(a + b)³ = (a + b)(a²+ 2ab + b²)

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(a + b)³ = (a + b)(a²+ 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

(a − b)³ = (a − b)(a² − 2ab + b²) = a³ − 2a²b + ab² − a²b + 2ab² − b³ = a³− 3a²b + 3ab²− b³

Пример 1. Преобразуйте выражение (x + 1)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

(x + 1)³ = x³ + 3 × x² × 1 + 3 × x × 1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1

Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(x + 1)³ = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x + 1)(x² + 2x + 1) = x³ + 2x² + x + x² + 2x + 1 = x³ + 3x² + 3x + 1

Пример 2. Преобразовать выражение (6a²+ 3b³)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

(6a² + 3b³)³= (6a²)³+ 3 × (6a²)² × 3b³ + 3 × 6a²× (3b³)² + (3b³)³ = 216a⁶ + 3 × 36a⁴ × 3b³+ 3 × 6a²× 9b⁶ + 27b⁹

Пример 3. Преобразовать выражение (n² − 3)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b) = a³− 3a²b + 3ab²− b³

(n² − 3)³ = (n²)³ − 3 × (n²)² × 3 + 3 × n² × 3² − 3³ = n⁶ − 9n⁴ + 27n² − 27

Пример 4. Преобразовать выражение (2x²− x³)³ в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b) = a³− 3a²b + 3ab²− b³

(2x²− x³)³= (2x²)³− 3 × (2x²)² × x³ + 3 × 2x²× (x³)²− (x³)³=
8x⁶ − 3 × 4x⁴ × x³ + 3 × 2x²× x⁶ − x⁹ =
8x⁶ − 12x⁷ + 6x⁸ − x⁹

Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

(a − b)(a + b)

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

(a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b²

То есть выражение (a − b)(a + b) равно a² − b²

(a − b)(a + b) = a² − b²

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b)(a + b) можно распространить для любых a и b. Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a² − b² имеем:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5²

Вычислим правую часть, получим 4x² − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b)(a + b) = a²− b². У нас получится тот же результат 4x² − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x²− 10x + 10x − 25 = 4x² − 25

Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x)² − (5y)² = 16x² − 25y²

Пример 3. Выполнить умножение (2a + 3b)(2a − 3b)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(2a + 3b)(2a − 3b) = (2a)² − (3b)² = 4a² − 9b²

В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a² − b² разность располагается раньше.

Нет никакой разницы как располагаются сомножители (a − b) в (a + b) в формуле. Они могут быть быть записаны как (a − b)(a + b), так и (a + b)(a − b). Результат по прежнему будет равен a² − b², поскольку от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Так и в данном примере сомножители (2a + 3b) и (2a − 3b) можно записать как (2a + 3b)(2a − 3b), так и (2a − 3b)(2a + 3b). Результат всё так же будет равен 4a²− 9b².

Пример 3. Выполнить умножение (7 + 3x)(3x − 7)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a² − b²

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x)² − 7² = 9x² − 49

Пример 4. Выполнить умножение (x²− y³)(x²+ y³)

(a − b)(a + b) = a² − b²

(x²− y³)(x²+ y³) = (x²)² − (y³)² = x⁴ − y⁶

Пример 5. Выполнить умножение (−5x − 3y)(5x − 3y)

В выражении (−5x − 3y) вынесем за скобки −1, тогда исходное выражение примет следующий вид:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Произведение (5x + 3y)(5x − 3y) заменим на разность квадратов:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)² − (3y)²)

Разность квадратов была заключена в скобки. Если этого не сделать, то получится, что −1 умножается только на (5x)². А это приведет к ошибке и изменению значения исходного выражения.

Далее вычисляем выражение в скобках:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)² − (3y)²) = −1(25x²− 9y²)

Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:

(−5x − 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)² − (3y)²) =
−1(25x²− 9y²) = −25x²+ 9y²

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

(a − b)(a² + ab + b²)

Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a² + ab + b²) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a² + ab + b². Он похож на обычный квадрат суммы a² + 2ab + b² за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x² + 6xy + 9y² является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y.

Действительно, первый член выражения 4x² + 6xy + 9y², а именно 4x² является квадратом выражения 2x, поскольку (2x)² = 4x². Третий член выражения 4x² + 6xy + 9y², а именно 9y² является квадратом выражения 3y, поскольку (3y)² = 9y². Член находящийся в середине 6xy, является произведением выражений 2x и 3y.

Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a² + ab + b²

(a − b)(a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) − b(a² + ab + b²) =
a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³

То есть выражение (a − b)(a² + ab + b²) равно a³ − b³

(a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²)

Первый многочлен (2x − 3y) это разность двух выражений 2x и 3y. Второй многочлен 4x² + 6xy + 9y² это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³. В нашем случае умножение (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) можно заменить на разность кубов 2x и 3y

(2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) = (2x)³ − (3y)³ = 8x³− 27y³

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a − b)(a²+ ab + b²) = a³− b³. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²) = 2x(4x² + 6xy + 9y²) − 3y(4x² + 6xy + 9y²) =
8x³ + 12x²y + 18xy² − 12x²y − 18xy² − 27y³ = 8x³ − 27y³

Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x²)

Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

(3 − x)(9 + 3x + x²) = 3³ − x³ = 27 − x³

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

(a + b)(a² − ab + b²)

Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a² − ab + b²) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a² − ab + b². Он похож на обычный квадрат разности a² − 2ab + b² за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x² − 6xy + 9y² является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y.

(2x)² − 2x × 3y + (3y)² = 4x² − 6xy + 9y²

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a² − ab + b²

(a + b)(a² − ab + b²) = a(a² − ab + b²) + b(a² − ab + b²) =
a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³

То есть выражение (a + b)(a² − ab + b²) равно a³ + b³

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x²− 6xy + 9y²)

Первый многочлен (2x + 3y) это сумма двух выражений 2x и 3y, а второй многочлен 4x² − 6xy + 9y² это неполный квадрат разности этих выражений. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³. В нашем случае умножение (2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²) можно заменить на сумму кубов 2x и 3y

(2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²) = (2x)³ + (3y)³ = 8x³+ 27y³

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a²− ab + b²) = a³+ b³. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x + 3y)(4x² − 6xy + 9y²) = 2x(4x² − 6xy + 9y²) + 3y(4x² − 6xy + 9y²) =
8x³ − 12x²y + 18xy² + 12x²y − 18xy² + 27y³ = 8x³ + 27y³

Пример 2. Выполнить умножение (2x + y)(4x² − 2xy + y²)

Первый многочлен (2x + y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x² − 2xy + y²) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a²− ab + b²) = a³+ b³

(2x + y)(4x² − 2xy + y²) = (2x)³ + y³ = 8x³ + y³

(2x + y)(4x² − 2xy + y²) = 2x(4x² − 2xy + y²) + y(4x² − 2xy + y²) =
8x³ − 4x²y + 2xy² + 4x²y − 2xy² + y³ = 8x³ + y³

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Преобразуйте выражение (m + n)² в многочлен.

Решение:

(m + n)² = m² + 2mn + n²

Задание 2. Преобразуйте выражение (x + 8)² в многочлен.

Решение:

(x + 8)² = x² + 2 × x × 8 + 8² = x² + 16x + 64

Задание 3. Преобразуйте выражение (2x² + 3x³)² в многочлен.

Решение:

(2x² + 3x³)² = (2x²)² + 2 × 2x² × 3x³ + (3x³)² = 4x⁴ + 12x⁵ + 9x⁶

Задание 4. Преобразуйте выражение (5a + 5)² в многочлен.

Решение:

(5a + 5)² = (5a)² + 2 × 5a × 5 + 5² = 25a² + 50a + 25

Задание 5. Преобразуйте выражение (9 − x)² в многочлен.

Решение:

(9 − x)² = 9² − 2 × 9 × x + x² = 81 − 18x + x²

Задание 6. Преобразуйте выражение (x − 25)² в многочлен.

Решение:

(x − 25)² = x² − 2 × x × 25 + 25² = x² − 50x + 625

Задание 7. Преобразуйте выражение (3x² − y³)² в многочлен.

Решение:

(3x² − y³)² = (3x²)² − 2 × 3x² × y³ + ( y³)² = 9x⁴ − 6x²y³ + y⁶

Задание 8. Выполните умножение (x − y)(x + y)

Решение:

(x − y)(x + y) = x² − y²

Задание 9. Выполните умножение (2x − y)(2x + y)

Решение:

(2x − y)(2x + y) = (2x)² − y² = 4x² − y²

Задание 10. Выполните умножение (7 + 3y)(3y − 7)

Решение:

(7 + 3y)(3y − 7) = (3y)² − 7² = 9y² − 49

Задание 11. Выполните умножение (x² − 5)(x² + 5)

Решение:

(x² − 5)(x² + 5) = (x²)² − 5² = x⁴ − 25

Задание 12. Выполните умножение (a³ − b²)(a³ + b²)

Решение:

(a³ − b²)(a³ + b²) = (a³)² − (b²)² = a⁶ − b⁴

Задание 13. Выполните умножение (5a² + 2b³)(5a² − 2b³)

Решение:

(5a² + 2b³)(5a² − 2b³) = (5a²)² − (2b³)² = 25a⁴ − 4b⁶

Задание 14. Выполните умножение (9x − y²)(y² + 9x)

Решение:

(9x − y²)(y² + 9x) = (9x)² − (y²)² = 81x² − y⁴

Задание 15. Выполните умножение (2 − x)(4 + 2x + x²)

Решение:

(2 − x)(4 + 2x + x²) = 2³− x³ = 8 − x³

Задание 16. Выполните умножение (3 − 2)(9 + 6 + 4)

Решение:

(3 − 2)(9 + 6 + 4) = 3³− 2³ = 27 − 8 = 19

Задание 17. Выполните умножение (4x + 1)(16x² − 4x + 1)

Решение:

(4x + 1)(16x² − 4x + 1) = (4x)³+ 1³ = 64x³+ 1

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Формулы сокращенного умножения | Кубенс

Формулы сокращенного умножения формулы умножения многочленов используются для разложения этих многочленов на множители, упрощения выражений и построения многочленов в стандартном виде. Формулы приведенного умножения нужно доказать непосредственно, открыв скобки и построив эти члены.

Формула квадратов

	квадрат суммы
	разность в квадрате
	разность квадратов

Формула кубометров

	куб суммы
	куб разности
	сумма кубиков
	разность кубиков

Формулы приведенного умножения в четвертой степени

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Квадрат суммы

Разница между квадратами двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность.

Разница квадратов

Куб представляет собой сумму двух чисел, равную потере первого дня плюс утроение квадрата произведения первого числа на второе, утроенное плюс произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго номера.

Куб суммы

Куб разницы равен котлу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, утроенное плюс произведение первого числа на квадрат второго минус куб второй номер.

Куб разницы

Сумма кубиков двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат разности этих чисел.

Сумма кубиков

Разница между кубиками двух чисел равна произведению разности чисел на неполном квадрате суммы этих чисел.

Разница кубиков

Формула сокращенного умножения

Наиболее важные сокращенные формулы умножения.

Формулы сокращенного умножения позволяют выполнять вычисления намного быстрее.
Наиболее часто используемые сокращенные формулы умножения:

(

a + b ) ² = a ² + 2 из + b ²

(

a — b ) ² = a ² — 2 из + b ²

(

a + b + c ) ² = a ² + b ² + c ² + 2 из + 2 ac c + 2 c + 2

a ² — b ² = ( a + b ) ( a — b )
(
a + b ) ³ = a ³ + 3 a ² b + 3 из ² + b ³
(
a — b ) ³ = a ³ — 3 a ² b + 3 из ² 3
a ³ + b ³ = ( a + b ) ( a ² — из + b ²)
a ³ — b ³ = ( a — b ) ( a ² + из + b ²)
Сокращенные формулы умножения полезны для умножения или расширения алгебраических выражений.Они облегчают эффективный подсчет. Таких шаблонов очень много. Ниже мы перечислим несколько наиболее часто используемых.
Квадрат суммы чисел
( a + b ) ² = a ² + 2 из + b ² например: 31 ² = (30 + 1) ² = 30 ² + 2 × 30 + 1 = 900 + 60 + 1 = 961
не встречается равенство: ( a + b ) ² = a ² + b ² e.г 25 = (3 + 2) ² ≠ 3 ² + 2 ² = 13
обоснование формулы счетом:
( a + b ) ² = ( a + b ) × ( a + b ) ^{= aa ^{+ из + ba + bb = a ² + 2 из + b ²}}
Квадрат разности чисел
Квадрат суммы трех чисел

( a + b + c ) ² = a ² + b ² + c ² + 2 из + 2 ac c + 2 c
e.г: 111 ² = (100 + 10 + 1) ² = 100 ² + 10 ² +1 + 2 × 100 × 10 + 2 × 100 + 2 × 10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321
не встречается равенство: ( a + b + c ) ² = a ² + b ² + c ² например, 36 = (3+ 2 + 1) ² ≠ 3 ² + 2 ² + 1 ² = 14
обоснование формулы:
( a + b + c ) ² = ( a + b + c ) × ( a + b + c ) ^{= aa ^{+ от + ac + ba + bb + bc + that + cb + cc = a ² + b ² + c 2} + 2 из + 2 ac + 2 до н.э.}

Произведение суммы и разности чисел = Разность квадратов чисел

Куб суммы чисел

( a + b ) ³ = a ³ + 3 a ² b + 3 из ² + b ^{3 90 .139г: 101 ³ = (100 + 1) ³ = ^{100 ³ + 3 × 100 ² + 3 × 100 + 1 =
= 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301}}
не встречается равенство: ( a + b ) ³ = a ³ + b ³ например 125 = (3 + 2) ³ ≠ 3 ³ + 2 ³ = 35
обоснование формулы счетом:
( a + b ) ³ = ( a + b ) × ( a + b ) × ( a + b ) ^{= ( aa ^{+ от + ba + bb ) × ( a + b ) = aaa ^{+ aab +}}} + 90 fig143 baa ^{+ глава + bba + bbb =
= a ³ + 3 a ² b + 3 от}
46 2 90 b147 +

Куб разности чисел

( a — b ) ³ = a ³ — 3 a ² b + 3 из ² — b ^{3 е.г: 99 ³ = (100-1) ³ = 100 ³ — 3 × 100 ² + 3 × 100 — 1 =
= 1000000 — 30000 + 300 — 1 = 970299}

Сумма кубиков чисел

a ³ + b ³ = ( a + b ) × ( a ² — из + b ²)

обоснование формулы:

( a + b ) × ( a ² — из + b ²) = aa ² — aab + 14 из ^{^{^{ba ²— глава + bb ² = a ³— a ² b + из ² +}}}

42 a

— из ² + b ³ =
= a ³ + b ³

Разность кубиков чисел

a ³ — b ³ = ( a — b ) × ( a ² + из + b ²)

обоснование формулы:

( a — b ) × ( a ² + от + b ²) = aa ² + aab + 14 от ^{^{^{ba ² — глава — bb ² = a ³ + a ² b + от ² —}}}

42

— из ² — b ³ =
= a ³ — b ³
Разность четвертых степеней чисел

a ⁴ — b ⁴ = ( a — b ) × ( a ³ + a ² b + от 2 b ³) = ( a + b ) × ( a ³ — a ² b + из ² — b )

Sum n — эти степени чисел (для n нечетное !!!)

a ⁿ + b ⁿ = ( a + b ) ( a ⁿ ^-1 — a ⁿ ^-2 9014 a ⁿ ^-3 b ² -… + b ⁿ ^-1)

Разница n — эти степени чисел (для n даже !!!)

a ⁿ — b ⁿ = ( a + b ) ( a ⁿ ^-1 — a ⁿ ^-2 9014 a ⁿ ^-3 b ² -… + b ⁿ ^-1)

Разница n — эти степени чисел (для каждого n натуральные)

a ⁿ — b ⁿ = ( a — b ) ( a ⁿ ^-1 + a ⁿ ^-2 9014 a ⁿ ^-3 b ² +… + a ² b ⁿ ^-3 + от ⁿ ^{-2 9014 n} ^-1)

Формулы сокращенного умножения.Решение двумя способами

Математические выражения (формулы) сокращенное умножение (Квадратные суммы и разности, Кубические суммы и разности, разность квадратов, количество и разность кубов) чрезвычайно заменены во многих областях точных наук. Эти 7 символов не заменяются упрощением выражений, решением уравнений, умножением многочленов, сокращением дробей, решением интегралов и многим другим.Так что будет очень полезно разобраться, как они получаются, для чего они нужны, а главное, как их запомнить, а затем применить. Затем примените формулы сокращенного умножения . На практике сложнее всего будет увидеть, что такое H. , а что y. Очевидно, что никаких ограничений для a. и б. нет, что означает, что это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И вот они:

Первый x 2 — U 2. = (x — y) (x + y) . Для вычисления разницы квадратов Два выражения должны умножить разницу между этими выражениями на их суммы.

Вторая (x + y) 2 = x 2. + 2h + in 2 . Чтобы найти квадратную сумму , нужно добавить два выражения к квадрату первого выражения, чтобы сложить двойное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третий (x — y) 2 = x 2. — 2ч + в 2 . Чтобы вычислить разницы квадратов , необходимы два выражения из квадрата первого выражения, чтобы убрать двойное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертый (x + y) 3 = x 3. + 3x 2 y + 3h 2 + 3. Для вычисления куба количество нужно добавить к Кубе первого выражения два выражения чтобы добавить утроенное произведение квадрата первого выражения ко второму плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат плюс куб второго выражения.

Пятый (x — y) 3 = x 3. — 3x 2 y + 3h 2 — 3. . Для вычисления разности кубов необходимы два выражения из первого куба выражения, чтобы взять утроенную работу квадрата первого выражения на втором плюс утроенное произведение первого выражения на второй минус куб второго выражения.

Шесть x 3 + 3. = (x + y) (x 2 — Hu + U 2) Для вычисления количества кубиков необходимо два выражения умножить суммы первого и второе выражение на неполном квадрате разности этих выражений.

Седьмой x 3 — 3. = (x — y) (x 2 + Hu + U 2) Чтобы произвести расчет кубических разностей два выражения необходимо умножить разницу между первым и вторым выражение на неполном квадрате суммы этих выражений.

Нетрудно вспомнить, что все формулы применяются при работе расчетов и в обратном направлении (справа налево).

Около 4 тысяч лет назад о существовании этих узоров.Их широко использовали жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались вербально или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберемся proof of Square Summa (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

Сначала это математический образец Доказано, что древнегреческий ученый Евклид, работавший в Александрии в III веке до нашей эры, использовал геометрический способ эволюции формулы, поскольку ученые древней Эллалы не использовали буквы для обозначения чисел.Повсеместно использовались не «А 2», а «квадрат на отрезке А», не «АВ», а «прямоугольник, заключенный между отрезками А и В».

В предыдущем уроке мы занимались разложением множителей. Освоены два способа: объединение скобок и группировка. В этом уроке — следующий мощный способ: формулы сокращенного умножения . Вкратце — БСС.

Формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики.Они используются для упрощения выражений, решения уравнений, умножения многочленов, сокращения дробей, решения интегралов и т. Д. И т. Д. Короче говоря, есть все основания иметь дело с ними. Понять, как их принимают, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Поняли?)

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Equality 6 и 7 написаны не очень знакомо. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево.В такой записи ясно, откуда взялся БСС.

Они взяты из умножения.) Например:

(A + B) 2 = (A + B) (A + B) = A 2 + AB + BA + B 2 = A 2 + 2AB + B 2

Вот и все, никаких научных уловок. Просто поменяйте скобки и отдайте их. Получается всех формул сокращенного умножения. Сокращенно Умножение происходит потому, что в самих формулах нет умножения скобок и приведения подобного.Уменьшено.) Сразу дан результат.

фсу нужно знать наизусть. Без первых трех нельзя и мечтать о тройке, без остальных — о четвертой с пятеркой.)

Зачем нужны формулы сокращенного умножения?

Есть две причины, узнайте, даже чтобы получить эти формулы. Первое — готовый ответ на автомате резко снижает количество ошибок. Но это не главная причина. А вот второй …

Если вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

К нему можно обратиться в примерах решения и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Узнай — с интересом!)

Вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, поэтому их все желательно выучить наизусть. До этого момента мы будем служить вере и истине, которые мы рекомендуем распечатать и постоянно держать перед глазами:

Первые четыре формулы из обозначенной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возвести в квадрат и куб количество или разность двух выражений.Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений A и B на их неполный квадрат разности (так называемое выражение формы A 2 -a · B + B 2) и разности двух выражений A и B на неполном квадрате их суммы (A 2 + A · B + B 2) соответственно.

Стоит отдельно отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему формулы сокращенного умножения также называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых разложение многочленов по множителям, часто используется FSU в виде переставленных мест с левой и правой частями:

Последние три идентификатора в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 -b 2 = (ab) · (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 -a · b + b 2) — формула количества кубиков , но a 3 -B 3 = (AB) · (A 2 + A · B + B 2) — кубическая разность по формуле .Обратите внимание, что мы не назвали соответствующие формулы с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Табличная формула для сокращенного умножения не мешает добавить еще несколько идентификаторов.

Сфера применения сокращенного умножения (FSU) и примеры

Основное назначение формул сокращенного умножения (FSU) объясняется их названием, то есть состоит в кратких выражениях умножения. Однако сфера применения БСС намного шире и не ограничивается кратким умножением.Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение формулы сокращенного умножения было найдено в выполнении идентичных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе упрощения выражений .

Пример.

Упростим выражение 9 · y- (1 + 3 · y) 2.

Решение.

В этом выражении построение квадрата можно выполнить сокращенно, имеем 9 · y- (1 + 3 · y) 2 = 9 · y- (1 2 + 2 · 1 · 3 · y + (3 · у) 2).Осталось только раскрыть скобки и вывести аналогичные элементы: 9 · Y- (1 2 + 2 · 1 · 3 · y + (3 · y) 2) = 9 · Y-1-6 · Y-9 · Y 2. = 3 · Y-1-9 · Y 2.

В числителе выражение — это разность кубиков двух выражений 2 · x и z 2, а в знаменателе — разность квадратов этих выражений. После применения соответствующих формул начальная дробь будет видна. Теперь вы можете сократить одни и те же множители в числителе и знаменателе:.

Оформим все решение вкратце:

Ответ:

Формулы сокращенного умножения иногда позволяют рационально вычислить значения выражений. В качестве примера покажем, как можно построить число 79 на квадрат по формуле разностного квадрата: 79 2 = (80-1) 2 = 80 2 -2 · 80 · 1 + 1 2 = 6400- 160 + 1 = 6 241. Такой подход позволяет производить аналогичные вычисления даже устно.

В заключение скажем еще об одном важном преобразовании — выделении квадрата двуугольника , которое основано на формуле сокращенного умножения количества квадрата.Например, выражение 4 · x 2 + 4 · X-3 может быть преобразовано в форму (2 · x) 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 -4, а первые три члена заменяются с использованием сумма суммы суммы. Таким образом, выражение принимает вид (2 · X + 1) 2 -4. Такие преобразования широко используются, например, когда.

Библиография.

Алгебра: урока. за 7 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворов]; Эд. С. А. Теликовский.- 17-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 240 с. : IL. — ISBN 978-5-09-019315-3.
Мордкович А.Г. Алгебра. 7-й класс. В 2 ч. Л. 1. Учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович. — 13-е изд., Акт. — М .: Мнемозина, 2009. — 160 с .: Ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): учеб. выгода. — м .; Выше. Шк., 1984.-351 с., Ил.

Плюс в кубинской формуле.Построение куба. Формулы сокращенного умножения

Последние три идентификатора в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 -b 2 = (ab) · (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 -a · b + b 2) — формула количества кубиков , но a 3 -b 3 = (AB) · (A 2 + A · B + B 2) — кубическая разность по формуле .Обратите внимание, что мы не назвали соответствующие формулы с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Табличная формула для сокращенного умножения не мешает добавить еще несколько идентификаторов.

Сфера применения сокращенного умножения (FSU) и примеры

Пример.

Упростим выражение 9 · y- (1 + 3 · y) 2.

Решение.

Поняли?)

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Они взяты из умножения.) Например:

(A + B) 2 = (A + B) (A + B) = A 2 + AB + BA + B 2 = A 2 + 2AB + B 2

фсу нужно знать наизусть. Без первых трех нельзя и мечтать о тройке, без остальных — о четвертой с пятеркой.)

Зачем нужны формулы сокращенного умножения?

Если вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Упражнение — это операция, тесно связанная с умножением, эта операция является результатом умножения любого числа на себя. Изобразим формулу: a1 * a2 *.3 = 8.

Вообще на выставке часто используются различные формулы по математике и физике. Эта функция имеет более научное предназначение, чем четыре основных: сложение, вычитание, умножение, деление.

Монтаж

Монтаж номера не сложный. Это связано с умножением, аналогичным умножению и сложению. Запись представляет собой сводку N-го числа чисел «А», умноженных друг на друга.

Рассмотрим упражнения от степени простых примеров, переходя к сложным.3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Девять на Кубе равняются семи сотням из двадцати девяти.

Формулы

Чтобы грамотно возвести в меру, необходимо запомнить и знать формулы, перечисленные ниже. Нет ничего сверх естественного, главное понять суть, и тогда они не только запомнятся, но и покажутся легкими.

Монтаж

Что собой представляет? Это произведение чисел и переменных в любом количестве. Например, два — унрочене.3).

Почему? Поскольку в степени есть минус, то это выражение просто переносится в знаменатель, а затем возводится в его третью степень. В самый раз?

Перекрестная

Рассмотрим вопрос на конкретном примере. 43/2. При чем здесь степень 3/2? 3 — Числитель, означает возведение числа (в данном случае 4) в куб. Число 2 — знаменатель, это извлечение корня второй степени из числа (в данном случае 4).3 = 8. Ответ: 8.

Итак, знаменатель дробной степени может быть как 3, так и 4 и до бесконечности любым числом и это число определяет степень извлечения квадратного корня из указанного числа. Конечно, знаменатель не может быть нулевым.

Быстрый корень

Если корень возводится в степени, равной степени самого корня, то ответом будет выражение кормления. Например, (√h) 2 = x. И так в любом случае равенство степени корня и степени построения корня.2. Для проверки решения переведите выражение в выражение с дробной степенью. Так как корень квадратный, знаменатель равен 2. А если корень возведен в четвертую степень, то в числителе 4. Получаем 4/2 = 2. Ответ: Х = 2.

В любом случае лучше всего Просто передать выражение в выражение с дробной степенью. Если дробь не сжимается, то такой ответ будет и будет при условии, что корень указанного числа не выделен.

Преобразование в степени интегрального числа

Что такое полное число? Комплексное число — выражение, имеющее формулу A + B * I; а, б — фактические числа.-9 = -5 + 12i.

Запишитесь на курс «Ускорьте устный счет, а не мысленную арифметику» Чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, строить числа в квадрат и даже извлекать корни. В течение 30 дней вы научитесь использовать легкие методы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

На сайте

С помощью нашего калькулятора можно рассчитать возведение числа по степени:

7 класс

Упражнение начинают сдавать школьники только в седьмом классе.3 = 8.

Примеры решения:

Презентация

Изложение упражнения в объеме, рассчитанном на семиклассников. Презентация может прояснить некоторые непонятные моменты, но, вероятно, благодаря нашей статье таких моментов не будет.

Результат

Мы рассмотрели только верхушку айсберга, чтобы лучше понять математику — запишитесь на наш курс: ускорение устного счета — это не ментальная арифметика.

Из курса вы не только узнаете десятки техник упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, вычисления процентов, но и отработаете их в специальных задачах и обучающих играх! Устный рассказ также требует много внимания и концентрации, которые активно тренируют при решении интересных задач.

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; Квадратные разности двух выражений; Куба суммы и кубическая разница двух выражений; Размеры и разности кубиков двух выражений.

Использование формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложение многочленов на множители, приведение многочленов к стандартным формулам сокращенного умножения. Необходимо знать сокращенные формулы умножения .

Пусть a, b r. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен Квадрат первого выражения плюс произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(а + б) 2 = а 2 + 2аб + б 2

2. Квадрат разности двух выражений равен Квадрат первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равняется произведению этих выражений на их сумму.

а 2 — В 2 = (А-В) (А + В)

4. Количество кубов два выражения равны Кубе первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражение.

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

5. Кубическая разница два выражения равны Кубе первого выражения минус утроенная работа квадрата первого выражения на втором плюс утроенная работа первого выражения на квадрате второго минус куб второго выражение.

(A — B) 3 = A 3 — 3A 2 B + 3AB 2 — B 3

6. Количество кубиков двух выражений равно сумме суммы первого и второго выражения на неполном квадрате разности этих выражений.

а 3 + В 3 = (А + В) (А 2 — АВ + В 2)

7. Кубические разности Два выражения равны произведению первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

а 3 — В 3 = (А — В) (А 2 + АВ + В 2)

Использование формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Рассчитать

а) используя сумму суммы двух выражений, имеем

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получаем

98 2 = (100-2) 2 = 100 2-2 · 100 · 2 + 2 2 = 1000-400 + 4 = 9604

Пример 2.

Рассчитать

Используя формулу размера квадратов двух выражений, получаем

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Используем квадратные формулы суммы и квадрата разности двух выражений

(x — y) 2 + (x + y) 2 = x 2 — 2h + in 2 + x 2 + 2h + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a + b )
(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
(A — B) 3 = A 3 — 3A 2 B + 3AB 2 — B 3
A 3 + B 3 \ u003d (A + B) (A 2 — AB + B 2)
A 3 — B 3 = (A — B) (A 2 + AB + B 2)

Полиномиальные тождества

Когда у нас есть сумма (разность) двух или трех чисел в степени 2 или 3 и нам нужно снять скобки, мы используем полиномиальные тождества
(короткие формулы умножения) :

(x + y) ² = x ² + 2xy + y ²
(x — y) ² = x ² — 2xy + y ²

Пример 1: Если x = 10, y = 5a
(10 + 5a) ² = 10 ² + 2 · 10 · 5a + (5a) ² = 100 + 100a + 25a ²

Пример 2: если x = 10 и y равно 4
(10-4) ² = 10 ²-2 · 10 · 4 + 4 ² = 100-80 + 16 = 36

Верно и обратное:
25 + 20a + 4a ² = 5 ² + 2 · 2 · 5 + (2a) ² = (5 + 2a) ²

Последствия вышеуказанных формул:

(-x + y) ² = (y — x) ² = y ² — 2xy + x ²
(-x — y) ² = (- (x + y)) ² = (x + y) ² = x ² + 2xy + y ²

Формулы 3 степени:

(x + y) ³ = x ³ + 3x ² y + 3xy ² + y ³
(x — y) ³ = x ³ — 3x ² y + 3xy ² — y ³

Пример: (1 + a ²) ³ = 1 ³ + 3.1 ² .a ² + 3.1. (A ²) ² + (a ²) ³ = 1 + 3a ² + 3a ⁴ + a ⁶

(x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z) ² = x ² + y ² + z ² — 2xy — 2xz + 2yz

Фактор Правила

x ² — y ² = (x — y) (x + y)

x ² + y ² = (x + y) ² — 2xy
или
x ² + y ² = (x — y) ² + 2xy

Пример: 9a ² — 25b ² = (3a) ² — (5b) ² = (3a — 5b) (3a + 5b)

x ³ — y ³ = (x — y) (x ² + xy + y ²)
x ³ + y ³ = (x + y) (x ² — ху + у ²)

Если n натуральное число

x ⁿ — y ⁿ = (x — y) (x ^n-1 + x ^n-2 y +. 2 + 20 $

3) Решите уравнение: x ²-25 = 0
Решение: x ²-25 = (x — 5) (x + 5)
=> мы должны решить следующие 2 уравнения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0
, поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5.

Связанные ресурсы:

Викторина о полиномиальных тождествах

Упрощение полиномиальных выражений — проблемы с решениями

Факторинговые полиномы — проблемы с решениями

Полиномиальные тождества на форуме

Раскрытие скобок на Кубе.Формулы сокращенного умножения

Последние три идентификатора в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 -b 2 = (ab) · (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 -a · b + b 2) — формула количества кубиков , но a 3 -b 3 = (AB) · (A 2 + A · B + B 2) — кубическая разность по формуле .Обратите внимание, что мы не назвали соответствующие формулы с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Табличная формула для сокращенного умножения не мешает добавить еще несколько идентификаторов.

Сфера применения сокращенного умножения (FSU) и примеры

Пример.

Упростим выражение 9 · y- (1 + 3 · y) 2.

Решение.

При вычислении алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все нужно знать наизусть.

Также следует помнить, что вместо a и b в формулах могут быть как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разница в квадрате

Разность квадратов двух чисел равна произведению этих чисел на их сумму.

а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)

Площадь

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс двойное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(А.+ б) 2 = а 2 + 2аб + б 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращенного умножения легко найти большие числа без использования калькулятора или умножения в столбце. Поясним на примере:

Найдите 112 2.

Разложите 112 на количество чисел, квадраты которых мы хорошо помним 2
112 = 100 + 1

Пишем сумму чисел в скобках и ставим квадрат над скобками.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся суммой квадрата резюме:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2400 + 144 = 12 544

Помните, что формула суммы Квадрата также верна для любых алгебраических многочленов.

(8A + C) 2 = 64A 2 + 16AC + C 2

Внимание !!!

(A + B) 2 НЕ РАВНО A 2 + B 2

Разница в квадрате

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(A. — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

Также стоит вспомнить очень полезное преобразование:

(a — b) 2 = (b — a) 2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 = b 2 — 2ab + a 2 = (b — a) 2

Количество кубиков

Куб двух чисел равен Кубе первого числа Плюс утроенная работа квадрата первого числа ко второму плюс утроенная работа первого плюс куб второго.

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

Помните, что эта «ужасная» формула довольно проста.

Узнай, что в начале идет 3.

Два полинома посередине имеют коэффициенты 3.

IN умолял, чтобы любое число в нулевой степени было 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Нетрудно заметить, что формула — это приведенная степень A и увеличение степени B. Это видно:
(A + B) 3 = A 3 B 0 + 3A 2 B 1 + 3A 1 B 2 + B 3 A 0 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

Внимание !!!

(A + B) 3 НЕ РАВНО A 3 + B 3

Кубическая разница

Куб разности двух чисел равен Кубе первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус второй куб.

(A — B) 3 = A 3 — 3A 2 B + 3AB 2 — B 3

Эта формула запоминается как предыдущая, но только с учетом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом A 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Итак, перед следующим членом будет стоять «-», затем снова «+» и т. Д.

(а — б) 3 = + А 3. — 3А 2 Б. + 3ab 2. — B 3 = A 3 — 3A 2 B + 3AB 2 — B 3

Количество кубиков ( Не путайте с количеством кубика!)

Количество кубиков равно количеству двух чисел на неполный квадрат разницы.

а 3 + В 3 = (А + В) (А 2 — АВ + В 2)

Количество кубиков складывается из двух скобок.

Первая скобка — это сумма двух чисел.

Вторая скобка представляет собой неполный квадрат разницы разницы. Неполный квадрат разности называется выражением:

A 2 — AB + B 2
Этот квадрат неполный, так как в середине вместо двойного работает обычное произведение чисел.

Разница куба (не путать с кубом разницы !!!)

Разность кубиков равна произведению двух чисел на неполную квадратную сумму.

а 3 — В 3 = (А — В) (А 2 + АВ + В 2)

Будьте осторожны при написании знаков. Следует помнить, что все вышеперечисленные формулы также используются и справа налево.

Трудно запомнить формулы сокращенного умножения? Случай легко помочь. Просто необходимо вспомнить, как изображается такая простая вещь в виде треугольника Паскаля. Тогда вы всегда и везде запоминаете эти формулы, а точнее не запоминаете, а восстанавливаете.

Что такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени вида биккуна в многочлен.

Спред, например:

В этой записи легко запомнить, что сначала идет куб первого числа, а в конце — куб второго числа. А вот что посередине — вспомнить сложно. И даже то, что в каждом следующем члене степень одного множителя все время уменьшается, а второго увеличивается — это легко увидеть и запомнить, сложнее запомнить с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?) .

Итак, сначала коэффициенты. Не запомни их! В полях блокнотов быстро нарисуйте треугольник Паскаля, и вот они коэффициенты, уже перед нами. Начинает рисовать с трех единиц, одна сверху, две снизу, вправо и влево — ага, уже треугольник получается:

Первая строка, с одной единственной — ноль. Затем идет первое, второе, третье и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно снова приписать единицы по краям, а в центре записать число, полученное добавлением двух чисел над ним:

Пишем в третьей строке: снова по краям блока, и снова, чтобы в новой строке получилось следующее число, складываем числа, стоявшие над ним в предыдущей:

Как вы уже догадались, получаем коэффициенты из разложения скрученных по полиномам:

Ну а знаки запомнить еще проще: первый такой же, как в развернутом отскоке (объявляем сумму — значит разница означает минус), а потом знаки чередуются!

Это полезная штука — треугольник Паскаля.Использовать!

Поняли?)

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Они взяты из умножения.) Например:

(A + B) 2 = (A + B) (A + B) = A 2 + AB + BA + B 2 = A 2 + 2AB + B 2

фсу нужно знать наизусть. Без первых трех нельзя и мечтать о тройке, без остальных — о четвертой с пятеркой.)

Зачем нужны формулы сокращенного умножения?

Если вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Математические выражения (формулы) сокращенное умножение (Квадратные суммы и разности, Кубические суммы и разности, разность квадратов, количество и разность кубов) чрезвычайно заменены во многих областях точных наук.Эти 7 символов не заменяются упрощением выражений, решением уравнений, умножением многочленов, сокращением дробей, решением интегралов и многим другим. Так что будет очень полезно разобраться, как они получаются, для чего они нужны, а главное, как их запомнить, а затем применить. Затем примените формулы сокращенного умножения . На практике сложнее всего будет увидеть, что такое H. , а что y. Очевидно, что никаких ограничений для a. и б. нет, что означает, что это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И вот они:

Первая x 2 — U 2. = (x — y) (x + y) . Для вычисления разницы квадратов Два выражения должны умножить разницу между этими выражениями на их суммы.

Вторая (x + y) 2 = X 2. + 2h + in 2 . Чтобы найти квадратную сумму , нужно добавить два выражения к квадрату первого выражения, чтобы сложить двойное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третий (x — y) 2 = X 2. — 2h + in 2 . Чтобы вычислить разницы квадратов , необходимы два выражения из квадрата первого выражения, чтобы убрать двойное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Нетрудно вспомнить, что все формулы применяются при работе расчетов и в обратном направлении (справа налево).

Разберемся proof of Square Summa (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

Формулы или сокращенные правила умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами формулы получены из правил, существующих в алгебре, для умножения нескольких многочленов.

Использование этих формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает упростить выражения.Правила алгебраических преобразований позволяют производить некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить выражение в правой части равенства в левой части равенства или преобразовать правую часть равенства (для получения выражение, стоящее слева после знака равенства).

Удобно знать формулы, используемые для сокращенного умножения, а также они часто используются при решении задач и уравнений. Ниже приведены основные формулы, включенные в этот список, и их названия.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого члена, удвоенного произведения первого члена на второй и квадрата второго. В виде выражения это правило записывается так: (A + C) ² = a² + 2as + C².

Разница в квадрате

Чтобы вычислить квадрат разницы, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного первого числа, ко второму (взятого с обратным знаком) и квадрата числа второй номер.В виде выражения это правило выглядит следующим образом: (a — c) ² = a² — 2as + C².

Разница в квадрате

Формула для разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна сумме суммы этих чисел на их разности. По форме выражения это правило выглядит следующим образом: A² — C² = (A + C) · (A — C).

Количество куба

Чтобы вычислить куб сумм двух компонентов, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого члена, утроенной работы квадрата первого члена и второго , утроенное произведение первого члена и второго в квадрате, а также куб второго члена.В форме выражения это правило выглядит следующим образом: (a + c) ³ = a³ + 3a² + 3As² + C³.

Количество кубиков

По формуле оно равно сумме слагаемых составляющих на их неполном квадрате разности. В виде выражения это правило выглядит следующим образом: A³ + C³ = (A + C) · (A² — AC + C²).

Пример. Необходимо рассчитать объем фигуры, который образуется сложением двух кубиков.Также известны только значения их партий.

Если значения сторон небольшие, то произвести расчеты просто.

Если длины сторон выражаются громоздкими числами, то в этом случае проще применить формулу «количества кубиков», что значительно упростит расчеты.

Кубическая разность

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенная отрицательная работа квадрата первого члена над вторым, утроенная работа первый член в квадрат второго и отрицательный куб второго члена.В виде математического выражения разница куба выглядит так: (A — C) ³ = a³ — 3A² + 3As² — C³.

Кубические разности

Формула разности кубов отличается от количества кубиков только одним знаком. Таким образом, разность кубов представляет собой формулу, равную произведению разности данных между их неполной квадратной суммой. В виде математического выражения разница кубиков следующая: a 3 — от 3 = (a — c) (и 2 + AC + C 2).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, который останется после вычитания из объема синего куба желтой контурной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна только величина стороны большого и малого куба.

Если значения сторон небольшие, то расчеты довольно простые. А если длины сторон выражены значащими числами, необходимо применить формулу «Различия кубиков» (или «Куб разности»), которая значительно упростит расчеты.

Как раскрывается формула. Сокращенные формулы умножения

Как раскрывается формула. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет Знаний

Сокращенные формулы умножения (FSF) необходимы для умножения и увеличения чисел, выражений, включая многочлены. То есть с помощью формул можно работать с числами намного быстрее и проще. Таким образом, вы можете составить обычное уравнение из сложного уравнения, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращенного умножения

Имя	Формула	Как читать
Квадрат суммы		Квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения.
Разница в квадрате		Квадрат разницы между двумя выражениями равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Суммарный куб		Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс троекратное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс троекратное произведение первого выражения и второго квадрата плюс второе выражение в кубе.
Куб разницы		Куб разности двух величин равен первому выражению в кубе минус троекратное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение плюс троекратное произведение первого выражения на второй квадрат за вычетом второе выражение в кубе.
Разность квадратов		Разница между квадратами первого и второго выражений равна произведению разницы между двумя выражениями и их суммой.
Сумма кубиков		Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разницы равно сумме их кубиков.
Разница кубиков		Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубиков.

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им вы можете возвести в квадрат или куб сумму (разность) двух выражений. Что касается пятой формулы, то ее нужно использовать для краткого умножения разности или суммы двух выражений.

Последние две формулы (6 и 7) используются для умножения сумм обоих выражений на их неполный квадрат разницы или суммы.

Приведенные выше формулы довольно часто нужны на практике. Поэтому их желательно знать наизусть.

Если вы встретите пример факторизации многочлена, то во многих случаях вам нужно переставить левую и правую части.

Например, возьмем ту же первую формулу:

и поместим левую часть вправо, а правую часть — влево:

Эту же процедуру можно проделать с остальными формулами.

Доказательство ФСО

Остановимся на доказательствах сокращенных формул умножения. Это не трудно. Вам просто нужно открыть скобки.Рассмотрим первую формулу — квадрат суммы:

Шаг первый.

Возведем a + b во вторую степень. Для этого не будем трогать градус, а произведем банальное умножение: = x.

Шаг второй. Теперь достаем скобки: x + x.

Шаг третий … Раскройте скобки: x + x + x + x.

Шаг четвертый … Умножаем, не забывая о знаках: x + x +.

Шаг пятый … Упростим выражение :.

Таким же образом можно доказать абсолютно любую формулу сокращенного умножения.

Примеры и решения с использованием FSO

Обычно эти семь формул используются, когда вам нужно упростить выражение, чтобы решить уравнение или даже общий пример.

Пример 1

Задача

Упростите выражение:

Как видите, первая формула сокращенного умножения — Квадрат суммы — подходит для этого примера.

Решение

Исходя из первой формулы, пример необходимо факторизовать. Для этого смотрим на формулу и подставляем цифры вместо букв. В нашем случае «a» равно 3x, а «b» — 5:

Мы читаем правую часть и записываем результат. Получаем:

В примере нужно перемножить все, что умножается, и мы сразу получаем ответ:

Конечно, есть примеры и с дробями. Но, если вы научитесь решать простые примеры, то других типов вы не будете бояться.

Пример 2

Задача

Упростите выражение

Решение

= — xx + =

Удвоенное произведение этих выражений равно -, что совпадает со вторым членом трехчлена (с знак плюс), что означает

Итак, как видите, в примерах нет ничего сложного. Главное знать формулы, где их можно применять, а где можно без них.

Полезные источники

Арефьева И.Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебное пособие для 7-х классов общеобразовательных учреждений: Минск «Народная Асвета», 2017 — 304 с.
Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра 7 класс: М: 2015 — 287 с.
Рубин А.Г., Чулков П.В. Алгебра. 7-й класс. Москва: 2015 — 224 с.

FSU — формулы сокращенного умножения по алгебре для 7 класса с примерами обновлено: 22 ноября 2019 г. Автор: Scientific Articles.Ru

Сокращенные формулы выражений очень часто используются на практике, поэтому желательно выучить их все наизусть.До этого момента он будет служить нам верой и правдой, который мы рекомендуем распечатать и постоянно держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы сокращенных формул умножения позволяют возвести в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятый предназначен для краткого умножения разницы на сумму двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (это название выражения в форме a 2 −ab + b 2) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 + ab + b 2) соответственно.

Следует отдельно отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему сокращенные формулы умножения также называют сокращенными тождествами умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место факторизация многочлена, FSO часто используется в форме с переставленными левой и правой сторонами:

Последние три идентификатора в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 — b 2 = (a — b) (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −ab + b 2) — формула суммы кубиков , но a 3 −b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2) — формула разности кубиков … Обратите внимание, что мы не назвали FSU для соответствующих формул с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Не помешает добавить еще несколько тождеств в таблицу сокращенных формул умножения.

Сферы применения сокращенных формул умножения (FSU) и примеры

Основное назначение сокращенных формул умножения (fsu) объясняется их названием, то есть состоит в кратком умножении выражений.Однако сфера применения FSU намного шире и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение сокращенной формулы умножения было найдено в выполнении идентичных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе упрощения выражений .

Пример.

Упростим выражение 9 y− (1 + 3 y) 2.

Решение.

В этом выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно: 9 y− (1 + 3 y) 2 = 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2)… Осталось только раскрыть скобки и привести аналогичные слагаемые: 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2) = 9 y — 1−6 y — 9 y 2 = 3 y — 1− 9 л 2.

В числителе выражение — это разность кубиков двух выражений 2 x и z 2, а в знаменателе — разность квадратов этих выражений. После применения соответствующих формул исходная дробь примет вид … Теперь вы можете отменить те же множители в числителе и знаменателе :.

Кратко подведем итоги всего решения:

Ответ:

Сокращенные формулы умножения иногда позволяют рационально оценивать значения выражений. В качестве примера покажем, как возвести число 79 в квадрат с помощью формулы возведения в квадрат разности: 79 2 = (80−1) 2 = 80 2 −2 80 1 + 1 2 = 6400–160 + 1 = 6 241. Это подход позволяет проводить такие расчеты даже устно.

В заключение скажем еще об одном важном преобразовании — выделение квадрата бинома , в основе которого лежит формула сокращенного умножения на квадрат суммы.Например, 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в (2 x) 2 + 2 2 x 1 + 1 2 −4, а первые три члена заменяются с использованием квадрата формулы суммы. Таким образом, выражение принимает вид (2 x + 1) 2 −4. Такие преобразования широко используются, например, для.

Библиография.

Алгебра: уч. за 7 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 17-е изд. — М .: Просвещение, 2008.- 240 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019315-3.
А.Г. Мордкович Алгебра. 7-й класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 13 изд., Перераб. — М .: Мнемозина, 2009. — 160 с .: Илл. ISBN 978-5-346-01198-9.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учебное пособие. руководство по эксплуатации. — М .; Выше. шк., 1984.-351 с., ил.

Также будут задачи для самостоятельного решения, на которые вы сможете увидеть ответы.

Сокращенные формулы умножения позволяют выполнять идентичные преобразования выражений — полиномов. С их помощью полиномы можно факторизовать, а, применяя формулы в обратном порядке, произведения биномов, квадратов и кубов можно представить в виде полиномов. Рассмотрим все общепринятые формулы сокращенного умножения, их вывод, общие задачи для идентичных преобразований выражений с помощью этих формул, а также домашние задания (ответы на них можно найти по ссылкам).

Квадрат суммы

Формула квадрата суммы — равенство

(Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Вместо a и b в эту формулу можно подставить любые числа.

Формула квадрата суммы часто используется для упрощения вычислений. Например,

Используя формулу квадрата суммы, можно факторизовать многочлен, а именно представить его как произведение двух одинаковых множителей.

Пример 1.

Пример 2. Записать выражение в виде полинома

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Квадрат разницы

Формула квадрата разности — равенство

(Квадрат разницы между двумя числами равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Формула квадрата разности часто используется для упрощения вычислений. Например,

Используя формулу квадрата разности, полином можно разложить на множители, а именно представить как произведение двух одинаковых множителей.

Формула следует из правила умножения многочлена на многочлен:

Пример 5. Запишите выражение в виде полинома

Решение. По формуле квадрата разности получаем

Самостоятельно примените сокращенную формулу умножения, а затем посмотрите решение

Выбор полного квадрата

Часто полином второй степени содержит квадрат суммы или разности, но он скрыт. Чтобы получить полный квадрат явно, вам нужно преобразовать многочлен. Для этого, как правило, один из членов полинома представляется в виде удвоенного произведения, а затем это же число добавляется и вычитается из полинома.

Пример 7.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили 5 x как удвоенное произведение 5/2 на x , добавили к многочлену и вычли из него такое же число, а затем применили формулу для вычисления квадрата суммы двучлена.

Итак, мы доказали равенство

равняется полному квадрату плюс число.

Пример 8. Рассмотрим полином второй степени

Решение.Сделаем на нем следующие преобразования:

Здесь мы ввели 8 x в виде удвоенного произведения x на 4, добавили к многочлену и вычли из него то же число 4², применили формулу квадрата разницы для двучлена x — 4 .

Итак, мы доказали равенство

, показывающий, что многочлен второй степени

равно полному квадрату плюс число −16.

Самостоятельно примените сокращенную формулу умножения, а затем посмотрите решение

Суммарный куб

Формула куба суммы — равенство

(куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс три раза квадрату первого числа и второго, плюс три раза произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа).

Формула куба суммы отображается следующим образом:

Пример 10. Записать выражение в виде полинома

Решение. По формуле куба суммы получаем

Самостоятельно примените сокращенную формулу умножения, а затем посмотрите решение

Куб разницы

Формула куба разности — равенство

(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус тройное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

Используя формулу куба, можно факторизовать суммы полиномов, а именно представить их как произведение трех одинаковых множителей.

Формула для куба разности отображается следующим образом:

Пример 12. Запишите выражение в виде полинома

Решение. По формуле для куба разности получаем

Самостоятельно примените сокращенную формулу умножения, а затем посмотрите решение

Разница квадратов

Формула разности квадратов — равенство

(разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность).

Используя формулу куба, можно факторизовать суммы любого многочлена вида.

Доказательство формулы получено с использованием правила умножения многочленов:

Пример 14. Запишите произведение в виде многочлена

Решение. По формуле разности квадратов получаем

Пример 15. Фактор

Решение. Это выражение в явной форме ни под какую тождественность не укладывается.Но число 16 можно представить как степень с основанием 4: 16 = 4². Тогда исходное выражение примет другую форму:

и это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получаем

При вычислении алгебраических многочленов для упрощения вычислений используйте сокращенных формул умножения … Всего таких формул семь. Вы должны знать их все наизусть.

Также следует помнить, что вместо «a» и «b» формулы могут содержать как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разница квадратов

Помните!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разницы между этими числами и их суммы.

а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)

15 2 — 2 2 = (15 — 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
9a 2 — 4b 2 c 2 = (3a — 2bc) (3a + 2bc)

Квадрат суммы

Помните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой сокращенной формулы умножения легко найти квадраты больших чисел без использования калькулятора или длинного умножения. Поясним на примере:

Найдите 112 2.

Разложим 112 на сумму чисел, квадраты которых мы хорошо помним.
112 = 100 + 1
Давайте запишем сумму чисел в скобки и поставим квадрат над скобками.
112 2 = (100 + 12) 2
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула возведения в квадрат суммы также верна для любого алгебраического многочлена.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Внимание!

(a + b) 2 не равно (a 2 + b 2)

Квадрат разницы

Помните!

Квадрат разницы между двумя числами равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(а — б) 2 = а 2 — 2аб + б 2

Также стоит запомнить очень полезное преобразование:

(a — b) 2 = (b — a) 2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a — b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 — 2ab + a 2 = (b — a) 2

Суммарный куб

Помните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс три квадрата первого числа и второго плюс три квадрата второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «пугающую» формулу довольно просто.

Научитесь начинать с «тройки».
Два полинома в середине имеют коэффициенты 3.
Напомним, что любое число до нуля равно 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко видеть, что в формуле происходит уменьшение степени «а» и увеличение степени «б». Вы можете убедиться в этом:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Внимание!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разницы

Помните!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус троекратный квадрат первого числа и второго плюс три умножения произведения первого числа и квадрата второго минус куб второй.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Эта формула запоминается так же, как и предыдущая, но только с учетом чередования знаков «+» и «-». Первому члену «а 3» предшествует «+» (мы не пишем его по правилам математики). Это означает, что следующему члену будет предшествовать «-», затем снова «+» и так далее.

(a — b) 3 = + a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Сумма кубиков

Не путать с кубом суммы!

Помните!

Сумма кубиков равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

Сумма кубиков — произведение двух скобок.

Первая скобка — это сумма двух чисел.
Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Выражение называется неполным квадратом разности:
(a 2 — ab + b 2)
Этот квадрат неполный, так как в середине вместо удвоенного произведения стоит обычное произведение чисел.

Разница кубиков

Не путать с кубом разницы!

Помните!

Разность кубиков равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Будьте осторожны при написании символов.

Применение сокращенных формул умножения

Следует помнить, что все приведенные выше формулы также используются справа налево.

Многие примеры в учебных пособиях предназначены для того, чтобы помочь вам снова собрать многочлены с помощью формул.

а 2 + 2а + 1 = (а + 1) 2
(ac — 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 — 16b 2

Таблицу со всеми формулами сокращенного умножения вы можете скачать в разделе «

При вычислении алгебраических многочленов для упрощения вычислений используйте сокращенные формулы умножения … Всего таких формул семь. Вы должны знать их все наизусть.

Также следует помнить, что вместо a и b формулы могут содержать как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разница между квадратами двух чисел равна произведению разницы между этими числами и их суммы.

а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)

Квадрат суммы

(а + б) 2 = а 2 + 2ab + б 2

Найдите 112 2.

Разложим 112 на сумму чисел, квадраты которых мы хорошо помним.
112 = 100 + 1

Напишем сумму чисел в скобках, а над скобками поставим квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрата суммы также верна для любого алгебраического многочлена.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Внимание !!!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Разница в квадрате

(а — б) 2 = а 2 — 2ab + б 2

Также стоит вспомнить очень полезное преобразование:

(a — b) 2 = (b — a) 2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 = b 2 — 2ab + a 2 = (b — a) 2

Суммарный куб

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «пугающую» формулу довольно просто.

Научитесь начинать с 3.

Два полинома в центре имеют коэффициенты 3.

IN Напомним, что любое число в нулевой степени равно 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко видеть, что степень a в формуле уменьшается, а степень b увеличивается. Вы можете убедиться в этом:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Внимание !!!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разницы

Куб разницы между двумя числами равен кубу первого числа минус три раза квадрат первого числа и второго плюс три раза произведение первого числа и квадрата второго минус куб второй.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Эта формула запоминается так же, как и предыдущая, но только с учетом чередования знаков «+» и «-». Первому члену a 3 предшествует «+» (мы не пишем его по правилам математики). Это означает, что следующему члену будет предшествовать «-», затем снова «+» и так далее.

(а — б) 3 = + а 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Сумма кубиков ( Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубиков равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разницы.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

Сумма кубиков — произведение двух скобок.

Первая скобка — это сумма двух чисел.

Вторая скобка представляет собой неполный квадрат разности чисел. Выражение называется неполным квадратом разности:

A 2 — ab + b 2
Этот квадрат неполный, так как в середине вместо удвоенного произведения стоит обычное произведение чисел.

Кубов Различий (Не путать с Кубами Различий !!!)

Разница между кубиками равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Будьте осторожны при написании символов. Следует помнить, что все приведенные выше формулы также используются справа налево.

Трудно запомнить сокращенные формулы умножения? Причине легко помочь. Вам просто нужно вспомнить, как изображена такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы всегда и везде будете помнить эти формулы, а точнее не вспоминать, а восстанавливать.

Что такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена формы в многочлен.

Развернем, например:

В этой записи легко запомнить, что в начале стоит куб первого числа, а в конце — куб второго числа. Но что посередине, вспомнить сложно. И даже то, что в каждом следующем члене степень одного фактора все время уменьшается, а второго увеличивается — это легко заметить и запомнить, сложнее обстоит дело с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс или минус?).

Итак, сначала шансы. Не запоминайте их! На полях тетради быстро нарисуйте треугольник Паскаля, и вот они — коэффициенты уже перед нами. Начинаем рисовать с трех единиц, одна сверху, две снизу, справа и слева — ага, уже треугольник получается:

Первая строка с единицей равна нулю. Затем идет первое, второе, третье и так далее. Чтобы получить вторую строку, вам нужно снова добавить единицы по краям, а в центре написать число, полученное сложением двух чисел над ним:

Записываем третью строку: снова по краям блока, и снова, чтобы в новой строке получилось следующее число, складываем числа над ним в предыдущей:

Как вы уже догадались, в каждой строке мы получаем коэффициенты разложения бинома в полином:

Что ж, знаки запомнить еще проще: первый такой же, как в расширяемом биноме (сумма раскрывается — значит плюс, разность означает минус), а потом знаки чередуются!

Вот такая вот полезная штука — треугольник Паскаля.Используй это!

РубрикаРазное

Сокращенные формулы умножения: Формулы сокращенного умножения 💣

Формулы сокращенного умножения 💣

Формулы сокращенного умножения

Как читать формулы сокращенного умножения

Доказательство формул сокращенного умножения

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Бином Ньютона

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

Решение задач

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Разность квадратов

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Как читать формулы сокращенного умножения?

Доказательство ФСУ

Примеры применения ФСУ

Формулы сокращённого умножения. Неполный квадрат суммы и разности

Разложение формул сокращенного умножения

Неполный квадрат суммы

Неполный квадрат разности

Все формулы сокращенного умножения, объяснения, примеры

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы двух выражений

Квадрат разности двух выражений

Куб суммы и куб разности

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Задания для самостоятельного решения

Навигация по записям

Формулы сокращенного умножения | Кубенс

Формула квадратов

Формула кубометров

Формулы приведенного умножения в четвертой степени

Формула сокращенного умножения

(

(

(

(

(

46 2 90 b147 +

42 a

42

Формулы сокращенного умножения.Решение двумя способами

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Зачем нужны формулы сокращенного умножения?

Дополнительные формулы

Сфера применения сокращенного умножения (FSU) и примеры

Плюс в кубинской формуле.Построение куба. Формулы сокращенного умножения

Дополнительные формулы

Сфера применения сокращенного умножения (FSU) и примеры

Откуда берутся сокращенные формулы умножения?

Зачем нужны формулы сокращенного умножения?

Монтаж

Формулы

Монтаж

Перекрестная

Быстрый корень

Преобразование в степени интегрального числа

На сайте

7 класс

Презентация

Результат

Полиномиальные тождества

Фактор Правила

Связанные ресурсы:

Раскрытие скобок на Кубе.Формулы сокращенного умножения