Сколько корней имеет квадратное уравнение: Квадратные уравнения. Формулы нахождения корней. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от дискриминанта. Неполные квадратные уравнения.

Содержание

Квадратные уравнения. Формулы нахождения корней. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от дискриминанта. Неполные квадратные уравнения.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Определение

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогдадискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D < 0, корней нет;
Если D = 0, есть ровно один корень;
Если D > 0, корней будет два.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

x² + 9x = 0;
x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Определение

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень:

x = 0.

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/

a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители.

Теорема Виета. Разношение квадрата трехчлена на линейные множители.

— формулы Виета и

аx² + bх + с = a(х — x₁)(х — x₂)

— разложение трехчлена на линейные множители;

b) при D = 0 один корень (говорят также о двух одинаковых или совпадающих корнях х

1— х₂ = х₀)

Уравнение

aх² + bx + с = 0

может иметь один корень, если a = 0 и b # 0;

c) при D < 0 уравнение не имеет действительных корней, а соответствующий квадратный трехчлен на линейные действительные множители не разлагается.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение

2. На рис. 1 видны промежутки, на которых квадратный трехчлен сохраняет знак.

Сколько корней имеет квадратное уравнение? Вы точно уверены, что 2 ? | Математика не для всех

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм «Математика не для всех», чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Сколько корней имеет квадратное уравнение? Менее умудренные математики ответят, что может иметь два, один или вообще не иметь корней. Другие же отметят, что квадратное уравнение в любом случае имеет два корня (комплексных с ненулевой мнимой частью), даже если его дискриминант меньше нуля, а в случае равенства дискриминанту нуля — два совпадающих корня. Но что, если я скажу, квадратный трехчлен может иметь 4 (!!!) разных корня? Как пелось в песне: «Не спешите нас хоронить, а у нас еще здесь дела…«. И моё дело — рассказать, как такое возможно. Поехали!

Часть 1. Теорема Безу и кольца

Теорема Безу известна большинству тех, кто знал математику хотя бы на «хорошо». В школьном курсе (в 7-8 классе) она формулировалась таким образом:

Таким образом, если многочлен делится без остатка на выражение (x-a), то число а — является корнем многочлена, а также корнем уравнения P(x)=0.

Вот как это выглядит на самом простом примере:

Но не всё так однозначно. В школьной математике теорема Безу формулируется без уточнения над каким кольцом чисел она применяется. Этот важный факт и приведет нас к неожиданному результату.

Что такое кольцо?

Под кольцом понимается любая алгебраическая структура (будем говорить для простоты «множество») в котором определены операции умножения и обратимого сложения, а также некоторые свойства, такие как коммутативность и ассоциативность сложения, наличие нейтрального элемента относительно сложения (наличие 0), наличие обратного элемента относительно сложения (наличие -a) дистрибутивность

В общем случае наличие нейтрального элемента относительно умножения (наличие 1) и коммутативность относительно умножения (a x b = b x a) не требуется. Если эти условия выполняются, такое кольцо называется коммутативным с единицей.

Школьная математика (если не залезать в комплексные числа) «живет» над кольцом вещественных чисел (которое, кроме того, является и полем, но эту уже другая история). Вот пример множества, не являющегося кольцом:

Очевидно, что если рассмотреть множество целых чисел, то есть добавить к натуральным 0 и отрицательные числа, то полученное множество можно будет назвать кольцом, более того сразу коммутативным кольцом с единицей. Так же дела обстоят и с множеством вещественных чисел. Ведь и там и там есть нейтральные элементы (0 и 1) и все остальные требования выполняются (например, 3 + (-3) = 0, 3*4=4*3 и т.д.).

Мои статьи про числа: про натуральные и про вещественные.

Подведем итог первой части, исправив школьный пробел: теорема Безу верна, если коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей. По-простому: если коэффициенты — это любые числа из обычного курса математики, то квадратное уравнение имеет 2 корня и его можно разложить в виде (x-x1)*(x-x2).

Однако, бывают и другие коммутативные кольца, где всё не так однозначно и корней может быть больше. Поговорим об этом во второй части

Источник: https://www.mirf.ru/wp-content/uploads/2018/04/The_One_Ring_1510632814498.jpg

**************************************************************************

Путеводитель по каналу «Математика не для всех» — здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, почитайте про самое маленькое число, которое когда-либо использовалось учеными.

Второй проект — канал «Русский язык не для всех»

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************

Решение (корни) квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x — переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате,

a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0.

Например, квадратным является уравнение

2x² — 3x + 1 = 0,

в котором a = 2, b = — 3, c = 1.

В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.

Уравнения вида ax² + bx = 0,

где c =0,

ax² + c = 0,

где b =0, и

² = 0,

где a =0 и b =0,

называются неполными квадратными уравнениями.

Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.

Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² — 4ac, которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:

— для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности, при нахождении пределов, производных и интегралов;

— для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения, чаще всего один, являются обычно конечным решением).

График квадратичного трёхлена ax² + bx + c — левой части квадратного уравнения — представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна оси 0y. Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось

0x, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.

Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная — в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x.

1. Если дискриминант больше нуля (), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Они вычисляются по формулам:

Часто пишется так: .

2. Если дискриминант равен нулю (), то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое — два равных действительных корня, которые равны .

3. Если дискриминант меньше нуля (), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

Решение. Найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.

Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, . О том, как это делается — в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 2.

Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

Решение. Найдём дискриминант:

Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.

Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

Решение. Найдём дискриминант:

Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений

Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:

В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:

Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Корни приведённого квадратного уравнения

Формула корней приведённого уравнения имеет вид:

Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна — b/a, а произведение равно с/a:

Следствие. Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни и , то

Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения.

Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно разложить на множители по следующей формуле:

Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.

Пример 9. Упростить выражение:

Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Корни квадратного уравнения будут следующими:

Разложим квадратный многочлен на множители:

Упростили выражение, проще не бывает:

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 10. Упростить выражение:

Решение. И числитель, и знаменатель — квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:

Корни первого квадратного уравнения будут следующими:

Находим дискриминант второго квадратного уравнения:

Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39).

Площадь большого квадрата равна (x + 5)². Она складывается из площади x² + 10x заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной 5/2, равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:

Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?

Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:

Произведём дальнейшие преобразования:

Получили квадратное уравнение, которое и решим:

Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень — положительный.

Ответ: в отрезке 20 м ткани.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?

Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Процесс записывается так:

Найдём дискриминант:

Найдём корни квадратного уравнения:

Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Если D < 0, корней нет;
Если D = 0, есть ровно один корень;
Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на пример — и сами все поймете:

Сколько корней имеют квадратные уравнения:

x² − 8x + 12 = 0; Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.
Корни квадратных уравнений
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
Неполные квадратные уравнение
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении.2-bx=0 x(ax-b)=0 x1=0 ax-b=0 ax=b x2=b:a
Вынесение общего множителя за скобку. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни.
Задания для отработки квадратных уравнений:тренировочные задания по квадратным уравнениям

Как понять сколько корней имеет уравнение

1) Линейное уравнение имеет всегда один корень 2) Если это квадратное уравнение, надо найти дискриминант и проверить:

если D>0,то уравнение имеет 2 корня

если D =0, то уравнение имеет только 1 корень 3) Если уравнение выражено многочленом, то корни в нем есть всегда, просто иногда часть их или все они комплексные, а так же часть может совпадать. А число корней равно старшей степени многочлена.4) уравнение вида sin(x)=0 имеет бесконечное число корней

Если ответ по предмету Алгебра отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня – три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня – 2 , 1 и 5 , то пишем – 2 , 1 , 5 или < – 2 , 1 , 5 >.

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых – Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Ответ

Проверено экспертом

Основная теорема алгебры. Уравнение n-го степеня имеет n корней. Иными словами: каков старший степень – столько и корней (действительные и комплексные)

Решим к примеру уравнение в действительных корнях.

Рассмотрим функцию . Эта функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Также рассмотрим правую часть уравнения: функцию . Графиком линейной функции является прямой, проходящей через точки (0;6), (-6;0).

графики пересекаются в одной точке, следовательно, уравнение имеет один действительный корень и 6 комплексно-сопряженные корни.

Возьмем теперь к примеру уравнение

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корня.

Если D=0, то квадратное уравнение имеет два равные корни.

Математика

Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение Камбарская средняя общеобразовательная школа № 3

КОНСПЕКТ УРОКА ПО АЛГЕБРЕ

«КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Подготовила

Учитель математики

Шляпникова Елена Ивановна

г. Камбарка

2015

Урок-соревнование по теме: «Квадратные уравнения» , 8 класс.

Цели: образовательные: повторение, обобщение и систематизация материала темы,

контроль усвоения знаний и умений;

развивающие: развитие математического и общего кругозора, мышления и речи,

внимания и памяти;

воспитательные: воспитание интереса к математике, активности, умения общаться.

Подготовка к уроку: класс делиться на группы по 4 человека.

Ход урока.

Добрый день!

Сегодня на уроке мы должны показать свои знания. Проводя упорные «тренировки» на предыдущих занятиях по решению квадратных уравнений, сегодня мы узнаем, кто из вас «возьмет больший вес». Условно вес штанги будет определяться в количестве баллов полученных за решение заданий.

(Класс делится на команды по 4 человека.)

Каждый этап соревнования оценивается баллами: за каждое верно выполненное задание – 1 балл. Если во время какого-то этапа команда выполняет быстрее всех задание, то она может взять дополнительное задание, за которое может получить дополнительные баллы.

Дополнительные задания:

1) (х² + 1 )/ 2 – 2х = -1 2) (х² — 3 )/2 – 6х = 5

3) (х² — 4 )/3 + 4х = 3 4) (х² — х )/3 = ( 2х – 4 )/ 5

І. Разминка: (мах 3 балла)

Команды отвечают по очереди на вопросы ( по одному каждой команде )

Дайте определение квадратного уравнения.
Какие квадратные уравнения называются неполными?
Какие квадратные уравнения называются приведенными?
По какой формуле вычисляется дискриминант квадратного уравнения?
Если дискриминант меньше нуля, сколько корней имеет квадратное уравнение?
Если дискриминант больше нуля, сколько корней имеет квадратное уравнение?
Если дискриминант равен нулю, сколько корней имеет квадратное уравнение?
Сформулировать теорему Виета. Что позволяет сделать эта теорема?
Сформулировать теорему обратную теореме Виета. Что позволяет сделать эта теорема?

ІІ. «4-й лишний» (мах 3 балла)

Найти лишнее уравнение в каждой группе

1 группа

1) х²-4=0

2) х²-6х+1=0

3) х²-121=0

4) х²-9х=0

2 группа

1) х²-6х=0

2) х²+3х=0

3) 4х²+5х=0

4) 3х²=0

3 группа

1) 9х²+х-4=0

2) 7х²-6х=0

3) х²-3х-7=0

4) х²-4х+2=0

ІІІ. «Торопись, да не ошибись» (мах 4 балла)

Члены команд на листочках выполняют задания:

1) 49 = 14х + 2х²

2) х² — 4х = 5

3) 2х² — 8 = 0

4) ( х – 2 ) х = 0

5) х² — 9 = 0

6) 35 х² + 2х — 1 = 0

7) х – 5 = 0.

а ) среди данных уравнений укажите номера тех, которые являются полными, приведенными, неполными;

б ) в уравнении №5 запишите значения коэффициентов а, в, с;

в ) найдите сумму и произведение корней уравнения №2;

г ) решите уравнение №6.

ІV. Конкурс капитанов + «Цепочка» (мах 2 балла)

Капитаны решают уравнение:

(х + 1)² + ( 1 + х )5 = 14

Одновременно с конкурсом капитанов проводится эстафета «Цепочка»: сидящие за партами решают уравнение, в котором дискриминант находит первый ученик, первый корень – второй ученик, второй корень – третий ученик.

5 х² — 4х – 1 = 0

V. «Найди ошибку» ( мах 7 баллав)

Каждая команда должна в данных уравнениях найти ошибку:

1) 2 х² — 3х – 2 = 0 2) 2у – 9у² + 10 = 0

Д = (-3)² — 4∙2∙(-2) = 9 + 16 = 25 Д = (-9)² — 4∙2∙10 = 81 – 80 = 1

х₁ = = = у₁ = = = 2,5

х₂ = = = -2 у₂ = = = 2

3) 9 х² — 14х + 5 = 0 4) 12 х² — 4х – 1 = 0

Д = (-7)² — 5∙9 =49 – 45 = 4 Д = (-2)² — 12∙(-1) = 4 + 12 = 16

х₁ = = = 1 х₁ = = =

х₂ = = = 1 х₂ = = = 0

5) х² + 11х – 12 = 0 6) х² + х – 56 = 0 7) х² — 49 = 0

х₁ + х₂ = 11 х₁ = 12 х₁ + х₂ = -1 х₁ = -7 х² = 49

х₁ ∙ х₂ = — 12 х₂ = -1 х₁ ∙ х₂ = -56 х₂ = 8 х = 7

VІ. «Тише едешь, дальше будешь» ( мах 5 баллов, за задачу 2 балла)

Команде дается задание, которое она должна выполнить за 7 мин.

1) Решить уравнение х² = 12 – 11х

2) Решить уравнение 2 х² — 3х + 2 = 0

3) Уравнение х² + bх + 24 = 0 имеет корень х = 8. Найдите b и второй корень.

4) Решить задачу: В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой – на 6 см меньше гипотенузы. Найти гипотенузу и площадь треугольника.

В конце урока пока жюри подводит итоги, выполняются задания из рубрики «Это интересно»

1. Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 сумма коэффициентов а + b + с = 0,

то х = 1 и х = с/а

Например, 5х² — 7х + 2 = 0 ; а + b + с = 5 — 7 + 2 = 0 следовательно, х = 1 и х = 2/5

2. Если в том же уравнении а — b + с = 0, то х = -1 и х = -с/а

Например, 3х² + 2х – 1 = 0 ; а — b + с = 3 – 2 + (-1) = 0 следовательно, х = -1 и х = ⅓.

Используя теоремы, найти корни уравнения: 1978 х² + 1984х + 6 = 0

Жюри подводит итоги и называет победителей- чья команда смогла поднять самую тяжелую штангу.

Задание на дом: 1. Используя теоремы, записанные в конце урока, решить уравнения:

а) 345х² + 137х – 208 = 0; б) 132х² — 247х + 115 = 0.

2. № 650 (а), 654(а,б)

Приложения

Вопросы

Дайте определение квадратного уравнения.
Какие квадратные уравнения называются неполными?
Какие квадратные уравнения называются приведенными?
По какой формуле вычисляется дискриминант квадратного уравнения?
Если дискриминант меньше нуля, сколько корней имеет квадратное уравнение?
Если дискриминант больше нуля, сколько корней имеет квадратное уравнение?
Если дискриминант равен нулю, сколько корней имеет квадратное уравнение?
Сформулировать теорему Виета. Что позволяет сделать эта теорема?
Сформулировать теорему обратную теореме Виета. Что позволяет сделать эта теорема?

«4-й лишний»

Найти лишнее уравнение в каждой группе

1 группа

1) х²-4=0

2) х²-6х+1=0

3) х²-121=0

4) х²-9х=0

2 группа

1) х²-6х=0

2) х²+3х=0

3) 4х²+5х=0

4) 3х²=0

3 группа

1) 9х²+х-4=0

2) 7х²-6х=0

3) х²-3х-7=0

4) х²-4х+2=0

«Торопись, да не ошибись»

1) 49 = 14х + 2х²

2) х² — 4х = 5

3) 2х² — 8 = 0

4) ( х – 2 ) х = 0

5) х² — 9 = 0

6) 35 х² + 2х — 1 = 0

7) х – 5 = 0.

а ) среди данных уравнений укажите номера тех, которые являются полными-

приведенными-

неполными-

б ) в уравнении №5 запишите значения коэффициентов а= , в= , с= ;

в ) найдите сумму и произведение корней уравнения №2; х₁+х₂= х₁х₂=

г ) решите уравнение №6.

Конкурс капитанов + «Цепочка»

Капитанам решить уравнение (х+1)²+5 (1+х)=14

Остальные ребята решают по цепочке уравнение 5х²-4х-1=0

1-й выписать коэффициенты

Вычислить дискриминант Д=

2-й найти один корень х₁=

3-й найти второй корень х₂=

«Найди ошибку»

1) 2 х² — 3х – 2 = 0 2) 2у – 9у² + 10 = 0

Д = (-3)² — 4∙2∙(-2) = 9 + 16 = 25 Д = (-9)² — 4∙2∙10 = 81 – 80 = 1

х₁ = = = у₁ = = = 2,5

х₂ = = = -2 у₂ = = = 2

3) 9 х² — 14х + 5 = 0 4) 12 х² — 4х – 1 = 0

Д = (-7)² — 5∙9 =49 – 45 = 4 Д = (-2)² — 12∙(-1) = 4 + 12 = 16

х₁ = = = 1 х₁ = = =

х₂ = = = 1 х₂ = = = 0

5) х² + 11х – 12 = 0 6) х² + х – 56 = 0 7) х² — 49 = 0

х₁ + х₂ = 11 х₁ = 12 х₁ + х₂ = -1 х₁ = -7 х² = 49

х₁ ∙ х₂ = — 12 х₂ = -1 х₁ ∙ х₂ = -56 х₂ = 8 х = 7

«Тише едешь, дальше будешь»

1) Решить уравнение х² = 12 – 11х

2) Решить уравнение 2 х² — 3х + 2 = 0

3) Уравнение х² + bх + 24 = 0 имеет корень х = 8. Найдите b и второй корень.

Использованная литература

Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2002.

Урок – викторина и форме «Счастливый случай» Тема «Квадратные уравнения» Цель -образовательная

Урок – викторина и форме «Счастливый случай».

Тема «Квадратные уравнения».

Цель:

-образовательная: повторение, обобщение, систематизация знаний по решению

квадратных уравнений по формулам, по теореме Виета, решению неполных

квадратных уравнений. Контроль за усвоением знаний и умений.

— развивающая: развитие математического мышления, логики, общего кругозора,

речи, памяти, внимания.

— воспитательная: привитие интереса к математике, активизировать деятельность

учащихся на уроке, умение сообща работать в группах, чувствовать ответственность за общее дело.

Оборудование: компьютеры, проектор, математическое домино, бочонки из лото.

Девиз урока: «Предмет математики столь серьёзен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным» Блез Паскаль.

Класс поделен на две команды, выбран капитан команды, название и эмблема. Учителю помогают два ученика (раздают и собирают карточки, заносят результаты геймов в таблицу на компьютере, проводят физкультминутку).

Ход урока

Организационный момент: тема урока, цель, эпиграф. Представление команд, капитанов.

I гейм. «Разминка»

А). На карточках написаны квадратные корни из 49; 121; 225; 400; 25; 81; 64; 169; 196; 0. вычислить их значения. По пять карточек каждой команде. ( За каждый правильный ответ 1 балл).

В). Ответить на вопросы. По 4 вопроса каждой команде. Если команда не отвечает, помогает вторая команда и балл засчитывается ей.

Вопросы:

Дать определение квадратного уравнения.
При каких условиях квадратное уравнение будет неполным?
При каком условии квадратное уравнение будет приведённым?
В каком случае квадратное уравнение может стать линейным?
По какой формуле вычисляется дискриминант?
По какой формуле вычисляются корни квадратного уравнения?
Какие формулы вычисления корней квадратного уравнения вы ещё знаете?

II гейм. «Заморочки из бочки»

По одному участнику от команды играют в математическое домино. (Первый правильно выполнивший задание – 3 балла). Остальные участники по очереди вынимают по одному бочонку и отвечают на вопрос (1 вопрос – 1 балл). Вопросы и задания высвечиваются на экране через проектор.

Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант больше нуля?
Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант равен нулю?
Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше нуля?
Чему равна сумма корней приведённого квадратного уравнения?
Чему равно произведение корней приведённого квадратного уравнения?
Какое из уравнений является квадратным

А). 5х² – 4/х = 0 в). 4х + 3 =0

Б). х² – 2х³ + 7 = 0 г). 1,2х² – 3х + 1 = 0 ?

7. Составить неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен -5, а свободный член равен -2.

8. В квадратном уравнении 7х + 6 – 2х² = 0 указать коэффициенты.

9. Найти корни квадратного уравнения 6х² – 54 = 0.

10. Записать приведённое квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный член равны -2.

III гейм. « Тёмная лошадка»

А). Конкурс капитанов.

Решить уравнение: а). (х + 1)² +5(х + 1) = 14; б). (х — 4)(х + 4) = -2х + 64 ( 2 балла — первому кто правильно решит, 1 балл — второму, 0 баллов – если решат неправильно).

Б). В это время команды получают задания для работы в группах.

Даны уравнения: 1. 2х² – 7х =0

2. -2х² – х =12

3. х(х + 3) = 0

4. х² = 4

5. 5 + х² = х

6. 5х² – 16х + 3 =0

7. 2х – 4 = 0

Задания:

1. Среди данных уравнений указать номера уравнений, которые являются:

А). полными

Б). приведёнными

В). неполными

2. В уравнении № 5 записать коэффициенты а, в, с.

3. В уравнении № 5 найти сумму и произведение корней.

4. Решить уравнение № 6.

5. Определить имеет ли уравнение № 2 корни, если имеет, то

сколько?

Физкультминутка:

Мы решали и устали,

Дружно мы тихонько встали.

Раз, два – потянулись,

Три, четыре – улыбнулись,

Пять, шесть – все встряхнулись,

Семь, восемь – повернулись.

Сели, встали, встали, сели,

И друг друга не задели.

Выше руки! Шире плечи!

Раз, два, три! Дыши ровней!

От зарядки станешь крепче,

Станешь крепче и сильней!

IV гейм. «Это интересно»

Для нахождения корней полного квадратного уравнения есть теоремы, позволяющие при определённых условиях быстро находить его корни.

На экране:

Теорема 1: Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 сумма коэффициентов а + в + с = 0, то х₁=1, х₂=с/а.

Пример: Дано уравнение 5х² – 7х +2 = 0

а + в + с = 5-7+2=0, значит х₁=1, х₂= 0,4.

Теорема 2: Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 сумма коэффициентов а — в + с = 0, то х₁=-1, х₂= -с/а.

Пример: Дано уравнение 3х² + 2х -1 = 0

а — в + с = 3 -2 – 1= 0, значит х₁=-1, х₂= 1/3.

Задания командам: применяя данные теоремы, найти корни уравнения 17х²+9х-8=0.

( команда, которая решит раньше получает 1 балл)

Задание на дом: придумать по три уравнения на применение каждой теоремы и решить их. (каждый ученик получает теоремы в распечатанном виде)

V гейм «Гонка за лидером»

Самостоятельная работа за компьютером. В компьютер введена программа по решению квадратных уравнений. Даны уравнения: 2х²+7х-4=0; х²+8х-9=0; 2х²-98=0. Учащиеся решают уравнения и ответы заносят в компьютер, если решено верно, то переходят к решению следующего уравнения. Оценивает компьютер в зависимости от числа правильно решённых уравнений.

VI гейм «Из истории»

Девизом этого гейма служат слова Лейбница: «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймёт».

Проверка домашнего задания. Командам было предложено найти материал на тему: «История развития учения о квадратных уравнениях». Часто для решения квадратных уравнений применяется теорема Виета. Командам нужно было подготовить о нём материал. (Слово предоставляется командам)

Один из учащихся читает стихотворение.

Теорема Виета.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни и дробь уж готова:

В числителе С, в знаменателе А,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь – это что за беда

В числителе В, в знаменателе А.

На протяжении всего урока помощники заносили результаты геймов в следующую таблицу и через проектор высвечивали на экран.

гейм	Команда «РАДИКАЛ»	Команда «ДИСКРИМИНАНТ»
Разминка
Заморочки из бочки
Тёмная лошадка
Это интересно
Гонка за лидером
Из истории

Подведение итогов. Оценки за урок. Капитаны команд, посовещавшись с товарищами, учитывая вклад каждого участника команды в общее дело и выставляют им оценки за урок.

Математическое домино.

BioMath: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень (корень) квадратного уравнения. Корни также называются перехватами x или нулями. Квадратичная функция графически представлена параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевой корень.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни.Мы уже видели, что завершение квадрата — полезный метод решения квадратных уравнений. Этот метод можно использовать для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. Фактически, корни функции

f ( x ) = ax ² + bx + c

даются по формуле корней квадратного уравнения. Корни функции — это перехваты x . По определению, координата y точек, лежащих на оси x , равна нулю.Следовательно, чтобы найти корни квадратичной функции, мы полагаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение:

ax ² + bx + c = 0.

Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

Решая x и упрощая, получаем

Таким образом, корни квадратичной функции имеют вид,

Эта формула называется квадратной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась.Мы называем термин b ² −4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b ² −4 ac <0 Настоящих корней нет.

2. b ² −4 ac = 0 Существует один действительный корень.

3. b ² −4 ac > 0 Есть два действительных корня.

Рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: Нет настоящих корней

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает ось x . Поскольку квадратная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определяется по действительной прямой.Пример квадратичной функции без действительных корней дается формулой

f ( x ) = x ² — 3 x + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный,

b ² −4 ac = (−3) ² — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = −7.

Эта функция графически представлена открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит выше оси x.Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

Случай 2: Один настоящий корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке. Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b ² −4 ac = 0 в формуле корней квадратного уравнения, чтобы получить

Обратите внимание, что это координата x вершины параболы.Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, —

y = x ²,

, где действительный корень равен x = 0.

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем:

f ( x ) = −4 x ² + 12 x — 9.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

b ² −4 ac = (12) ² — 4 · −4 · −9 = 144 — 144 = 0.

Эта функция графически представлена параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,

Случай 3: два настоящих корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -перехвата).Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня равны,

Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями:,

f ( x ) = 2 x ²-11 x + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

b ² — 4 ac = (−11) ² — 4 · 2 · 5 = 121 — 40 = 81.

Эта функция графически представлена открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. иметь два корня), как показано ниже,

*****

В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений

Дискриминанты и определение числа действительных корней квадратного уравнения

Что такое дискриминант?

Дискриминант — это величина, вычисляемая по квадратному уравнению.Он использует его, чтобы «различать» корни (или решения) квадратного уравнения.

Квадратное уравнение имеет вид: ax ² + bx + c

Дискриминант, D = b ² — 4ac

Примечание: это выражение внутри квадратного корня квадратной формулы

Дискриминант бывает в трех случаях;

Корпус 1:

b ² — 4ac> 0

Если дискриминант больше нуля, это означает, что квадратное уравнение имеет два действительных, различных корня (разных) .

Пример

х ² — 5x + 2 = 0

а = 1, б = -5, в = 2

Дискриминант, D = b ² — 4ac

= (-5) ² — 4 * (1) * (2)

= 17

Следовательно, квадратное уравнение

имеет два действительных различных корня.

х ² — 5х + 2.

Корпус 2:

b ² — 4ac <0

Если дискриминант больше нуля, это означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней .

Пример

3x ² + 2x + 1 = 0

а = 3, б = 2, с = 1

Дискриминант, D = b ² — 4ac

= (2) ^{2 —} 4 * (3) * (1)

= — 8

Следовательно, у квадратного уравнения 3x ² + 2x + 1 нет действительных корней.

Корпус 3:

b ² — 4ac = 0

Если дискриминант равен нулю, это означает, что квадратное уравнение имеет два действительных идентичных корня .

Пример

х ² + 2х + 1 = 0

а = 1, б = 2, с = 1

Дискриминант, D = b ² — 4ac

= (2) ²-4 * (1) * (1)

= 0

Следовательно, есть два действительных идентичных корня квадратного уравнения x ² + 2x + 1.

Сводка

Квадратное уравнение: ax ² + bx + c

Определитель D = b ² — 4ac

D> 0 означает два реальных, различных корня.

D = 0 означает два настоящих одинаковых корня /

D <0 означает отсутствие реальных корней.

Теперь попробуйте эти (будьте осторожны со знаками минус)

Вопросы

Q1.х ² — 7x + 2 = 0

Q2. — 3x ² + 2x — 1 = 0

Q3. 9x ² — 12x + 4 = 0

Q4. — х ² + х + 1 = 0

ответов

Q1. D = 41 означает два реальных, различных корня.

Q2. D = -16, означает отсутствие настоящих корней.

Q3. D = 0 означает два настоящих одинаковых корня.

Q4. D = 5 означает два реальных, различных корня.

Как узнать, сколько решений имеет квадратное уравнение?

Квадратичное уравнение — это уравнение, которое выглядит так:

x ² + 4x — 2 = 0.

В общем виде это записывается как ax ² + bx + c = 0, где a, b и c — все числа, а x — наша неизвестная переменная. В приведенном выше примере у нас будет a = 1, b = 4 и c = -2.

Чтобы найти количество решений, мы разделим квадратное уравнение на 3 случая.

Случай 1: 2 уникальных решения — например, x ² + 5x + 6 = 0. Имеет решения x = 2 и x = 3.

Случай 2: 1 повторное решение — например, x ² + 4x + 4 = 0.Имеет решение x = 2.

Случай 3: Нет решений — например, x ² + 2x + 4 = 0. Не имеет решений.

Но как мы узнаем, в каком мы деле? Для этого мы рассмотрим квадратную формулу, которую вы, надеюсь, уже видели. Для справки, это дает решение общей квадратной оси ² + bx + c = 0 как:

x = [- b ± √ ( b ² — 4 ac )] / 2 а

, где ± означает, что два решения равны

x = [- b + √ ( b ² — 4 ac )] / 2 a и

x = [- b — √ ( b ² — 4 ac )] / 2 a.

В случае 1 это даст два отдельных ответа для x. В случае 2 оба ответа будут одинаковыми.

Однако в случае 3 вы, скорее всего, получите ошибку! Эта ошибка возникает из-за того, что мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа *. Это означает, что если мы в случае 3, то участок √ ( b ² — 4 ac ) является частью, которая вызывает проблемы! Как я уже сказал, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому, если b ²-4 ac отрицательное, у нас есть ошибка и нет решений.

Это ключ к знанию того, сколько решений у нас есть:

Если b ²-4 ac положительно (> 0), то у нас есть 2 решения.

Если b ² — 4 ac равно 0, то у нас есть только одно решение, поскольку формула сокращается до x = [- b ± 0] / 2 a. Итак, x = -b / 2 a , что дает только одно решение.

Наконец, если b ²-4 ac меньше 0, у нас нет решений.

Пример:

Сколько решений у x ² — 3x + 2 = -1?

1) Переставьте, чтобы соответствовать общей формуле: x ² — 3x + 3 = 0. Итак, a = 1, b = -3 и c = 3.

2) Используйте формулу: b ² — 4ac = (-3) ² — 4 (1) (3) = 9-12 = -3.

3) Поскольку b ² — 4ac <0, у нас нет решений.

Вот и все! Пожалуйста, свяжитесь с нами, если вам потребуется дополнительная помощь.

* Для заинтересованных / продвинутых студентов: Технически вы МОЖЕТЕ извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Это выходит за рамки курса GCSE, поэтому, если после этого вас что-то смущает, не волнуйтесь! Но прежде всего я объясню, почему вам этого еще никто не сказал.

Представьте, что я попросил вас дать мне ответ на 7 ÷ 3, но вы могли использовать только целые числа. Уравнение 7 ÷ 3 равно 2,33 …, но это не целое число! Так что не существует целочисленных решений.Если бы я позволил вам использовать дроби, вы могли бы сказать мне, что 7 ÷ 3 равно 7/3 или 2 и 1/3.

Та же идея применима и к проблеме здесь. У нас есть только действительные числа (то есть дроби, десятичные дроби, целые числа и «иррациональные» числа, такие как пи), чтобы справиться с вопросом, и если вас попросят извлечь квадратный корень из отрицательного числа, реальных решений не будет. !

Решение действительно существует в «мнимых» числах. Вы еще не знаете об этих числах (точно так же, как сначала не знали о дробях).Вы узнаете больше об этом в A level Further Maths или, возможно, в университете, но если это звучит интересно, пожалуйста, проверьте их через Google.

Если b ² — 4ac <0, то "Реальных" решений нет.

Однако для экзамена GCSE, сказав, что нет никаких решений, будет достаточно для экзамена!

Сколько корней?

Когда вы решаете корни квадратного уравнения, есть несколько возможных результатов.

У вас может быть два вещественных числа. Если вы установите x равным любому решению, результат оба раза будет равен нулю.
Может быть только одно вещественное число.
Уравнение может иметь два решения комплексных чисел. Реальных числовых решений не существует.

Не волнуйтесь; есть простой способ узнать, сколько существует решений, еще до того, как вы начнете использовать формулу. Просто взгляните на часть квадратной формулы b ²-4 ac .Этот небольшой кусок называется дискриминантом , и это ключевой вид нашей маленькой квадратичной экосистемы. Без него все развалится.

Если b ² — 4 ac положительно, то существует два решения с действительными числами.
Если b ²-4 ac = 0, то существует только одно решение для вещественных чисел.
Если b ²-4 ac отрицательно, то существует два решения комплексных чисел.

Все это происходит непосредственно из формулы корней квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, то у вас есть, что приводит к двум ответам с действительными числами. Если он отрицательный, то да, что дает два сложных результата. И если b ²-4 ac равно 0, то у вас есть, поэтому у вас есть только одно решение.

Пример задачи

Сколько корней имеет x ² — 3 = 0?

Чтобы использовать дискриминант, сначала отметим, что a = 1, b = 0 и c = -3.

b ² — 4 ac = (0) ² — 4 (1) (- 3) = 12

Итак, у нас есть два настоящих корня. Ха! Слишком легко.

Хорошо, как насчет этого?

Сколько корней имеет 2 x ² + 8 x + 8 = 0?

Эй, прекрати с этой губой, подзаголовок. Почему бы просто не сказать «Пример задачи», как обычно? В любом случае, дискриминант для этого уравнения равен

b ² — 4 ac = (8) ² — 4 (2) (8) = 64 — 64 = 0

Это означает, что у нас есть один действительный числовой корень для этого уравнения.

Тогда как вам этот?

Сколько корней имеет 0,7731 x ² — 2,3812 x + 4,1111 = 0?

Это просто подло — но мы все еще можем это сделать. Просто позвольте нам быстро найти наш калькулятор.

b ²-4 ac = (-2,3812) ²-4 (0,7731) (4,1111) ≈ 5,6701 — 12,7132 = -7,0431

Это отрицательное значение, поэтому у этого уравнения есть два комплексных корня . Кроме того, калькулятор находился в массажном кабинете Шмоопа, рядом с грудой учебников по алгебре.Если вам интересно.

Что он там делал?

Возможно, в то время мы выполняли несколько задач одновременно. Знаешь, мы очень заняты.

Найти корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Квадратные уравнения

Пример квадратного уравнения :

Функция создает красивые кривые, подобные этой:

Имя

Название Quadratic происходит от «quad», что означает квадрат, потому что переменная возводится в квадрат (например, x ² ).

Его также называют «уравнением степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так:

a , b и c — известные значения. не может быть 0.

« x » — это переменная или неизвестно (мы еще не знаем).

Вот несколько примеров:

2x ² + 5x + 3 = 0		В этом a = 2 , b = 5 и c = 3

x ² — 3x = 0		Это немного сложнее: Где ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x ²» b = −3 А где c ? Ну c = 0 , поэтому не показан.
5x — 3 = 0		Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x ² (другими словами a = 0 , что означает, что он не может быть квадратичным)

Поиграйте с этим

Поиграйте с «Проводником квадратного уравнения», чтобы увидеть:

график функции и
решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, Стандартная форма квадратного уравнения — это

Но иногда квадратное уравнение так не выглядит!

Например:

Скрытый		в стандартной форме	a, b и c
x ² = 3x — 1	Переместить все термины в левую часть	x ² — 3x + 1 = 0	a = 1, b = −3, c = 1
2 (ширина ² — 2w) = 5	Развернуть (снять скобки), и переместите 5 влево	2 Вт ² — 4 Вт — 5 = 0	a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3	Разверните и переместите 3 влево	z ² — z — 3 = 0	a = 1, b = −1, c = −3

Как их решить?

В « решениях » квадратного уравнения равно нулю .

Их также называют « корней », а иногда « нулей »

Обычно существует 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько разных способов найти решения:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто введите значения a, b и c и выполняйте вычисления.

Сейчас мы рассмотрим этот метод более подробно.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, который выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b ² — 4ac) 2a

x = −b — √ (b ² — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но не всегда так получается!

Представьте, что кривая «просто касается» оси x.
Или представьте, что кривая настолько высока , что даже не пересекает ось x!

Вот где нам помогает «Дискриминант» …

Дискриминант

Вы видите b ² — 4ac в приведенной выше формуле? Он называется дискриминантом , потому что он может «различать» возможные типы ответов:

когда b ² — 4ac положительный, мы получаем два Реальных решения
, когда он равен нулю, мы получаем только ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
при отрицательном значении получаем пару Комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как мы увидим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто введите значения a, b и c в квадратную формулу и произведите вычисления.

Пример: Решить 5x

² + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: a = 5, b = 6, c = 1

Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2a

Вставьте a, b и c: x = −6 ± √ (6 ² — 4 × 5 × 1) 2 × 5

Решить: x = −6 ± √ (36 ^{— 20)} 10

х = −6 ± √ (16) 10

х = −6 ± 4 10

х = -0.2 или -1

Ответ: x = −0,2 или x = −1

И мы их видим на этом графике.

Чек -0,2 :		5 × ( −0,2 ) ² + 6 × ( −0,2 ) + 1 = 5 × (0,04) + 6 × (-0,2) + 1 = 0,2 — 1,2 + 1 = 0
Чек -1 :		5 × ( −1 ) ² + 6 × ( −1 ) + 1 = 5 × (1) + 6 × (-1) + 1 = 5-6 + 1 = 0

Вспоминая формулу

Добрый читатель предложил спеть это к «Pop Goes the Weasel»:

♫	«x равно минус b	♫	«Вокруг тутового куста
♫	*плюс или минус квадратный корень*	♫	Обезьяна погналась за лаской
	*квадрата b минус четыре a c*		Обезьяна думала, что все было весело
	*ВСЕ по двум a «*		Поп! идет ласка »

Попробуйте спеть несколько раз, и она застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х = −b ± √ (b ² — 4ac) 2a

«Негативный мальчик думал, да или нет, о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке он разговаривал с квадратным мальчиком, но не с четырьмя классными цыпочками.
В 2 часа ночи все было кончено. «

Комплексные решения?

Когда Дискриминант (значение b ² — 4ac ) отрицателен, мы получаем пару Комплексных решений … что это означает?

Это означает, что наш ответ будет включать мнимые числа. Вау!

Пример: Решить 5x

² + 2x + 1 = 0

Коэффициенты равны : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b ² — 4ac = 2 ² — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x = −2 ± √ (−16) 10

√ (−16) = 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = −2 ± 4 и 10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 и

График не пересекает ось абсцисс. Вот почему мы пришли к комплексным числам.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставьте -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x

² — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты равны : a = 1, b = −4, c = 6,25

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b ² — 4ac = (−4) ² — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось абсцисс.Вот почему мы пришли к комплексным числам.

НО перевернутое зеркальное отображение нашего уравнения действительно пересекает ось x на уровне 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ).

Просто интересный факт для вас!

Резюме

Квадратное уравнение в стандартной форме: ax ² + bx + c = 0
Квадратичные уравнения могут быть разложены на множители
Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2a
Когда дискриминант ( b ² −4ac ) равен:
- положительный, есть 2 реальных решения
- ноль, есть одно реальное решение
- отрицательный, есть 2 комплексных решения

Как использовать квадратичную формулу для поиска корней уравнений — Видео и стенограмма урока

Квадратичная формула

Квадратичная формула — это формула, которую мы можем использовать для нахождения корней квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0.

Чтобы использовать квадратную формулу для нахождения корней квадратного уравнения, все, что нам нужно сделать, это получить наше квадратное уравнение в форме a x 2 + b x + c = 0; идентифицировать a , b и c ; а затем подключите их к формуле. Чтобы идентифицировать эти значения, мы просто помним, что a находится перед x 2, b находится перед x , а c — это само по себе число.

Например, в нашем уравнении — x 2 + 4 x + 5 = 0, число перед x 2 равно -1, поэтому a = -1. Число перед x равно 4, поэтому b = 4. Наконец, само число 5, поэтому c = 5. Мы почти у цели! Все, что нам нужно сделать, это вставить эти значения в нашу формулу корней квадратного уравнения, и тогда мы сможем найти значения x , которые делают наше уравнение истинным. Тогда мы узнаем, сколько времени потребуется мячу, чтобы коснуться земли.Приступим к подключению!

Мы видим, что шар находится на высоте 0, когда x = -1 и когда x = 5. В нашем случае мы можем игнорировать x = -1. Хотя верно, что x = -1 является корнем уравнения, мы знаем, что x представляет время, и у нас не может быть -1 секунды. Единственная причина, по которой это выглядит таким образом, заключается в том, что, когда мы изначально бросали мяч на 0 секунде, мы находились на высоте 5 футов над землей.

Поскольку мы отказались от ответа x = -1, остается лишь x = 5 в качестве решения нашей конкретной проблемы. Это говорит нам о том, что мяч ударился о землю через 5 секунд после того, как мы его бросили, поэтому он находился в воздухе 5 секунд. Разве это не здорово, что мы могли это выяснить, используя нашу формулу корней квадратного уравнения?

Другой пример

Рассмотрим еще один пример. Допустим, мы делаем каркасную поделку. На основе имеющихся у нас материалов площадь кадра может быть представлена уравнением A = x 2 + 2 x , где A — это площадь кадра, а x — это площадь кадра. ширина рамки.Мы хотим, чтобы наша область была 24 на 2, поэтому нам просто нужно найти ширину, которая делает это так.

Для этого мы подставляем 24 для A , чтобы получить

x 2 + 2 x = 24

Мы вычитаем 24 с обеих сторон, чтобы получить уравнение в правильной форме:

x 2 + 2 x — 24 = 0

Теперь мы хотим идентифицировать a , b и c на основе чисел перед x 2, x и отдельно. , соответственно.Таким образом, мы имеем a = 1, b = 2 и c = -24. Все, что нам нужно сделать сейчас, это подставить их в нашу квадратную формулу:

Мы видим, что ширина равна 4 или -6. Поскольку у нас не может быть отрицательной ширины, она должна быть равна 4, чтобы иметь площадь 24 дюйма2.

Резюме урока

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором наивысший показатель любой переменной равен 2.Решения квадратных уравнений называются корнями . Квадратные уравнения имеют 2 корня. Мы можем найти корни квадратного уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:

Чтобы использовать это, мы записываем уравнение в виде a x 2 + b x + c = 0; идентифицировать a , b и c ; а затем подставьте эти значения в формулу.

РубрикаРазное

Квадратные уравнения. Формулы нахождения корней. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от дискриминанта. Неполные квадратные уравнения.

Дискриминант

Неполные квадратные уравнения

Теорема Виета. Разношение квадрата трехчлена на линейные множители.

Сколько корней имеет квадратное уравнение? Вы точно уверены, что 2 ? | Математика не для всех

Что такое кольцо?

Решение (корни) квадратного уравнения

Корни приведённого квадратного уравнения

Дискриминант

Как понять сколько корней имеет уравнение

Понятие уравнения

Корень уравнения

Ответ

Проверено экспертом

Математика

Урок – викторина и форме «Счастливый случай» Тема «Квадратные уравнения» Цель -образовательная

BioMath: квадратичные функции

Дискриминанты и определение числа действительных корней квадратного уравнения

Как узнать, сколько решений имеет квадратное уравнение?

Сколько корней?

Пример задачи

Хорошо, как насчет этого?

Тогда как вам этот?

Что он там делал?

Найти корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Квадратные уравнения

Имя

Стандартная форма

Поиграйте с этим

Скрытые квадратные уравнения!

Как их решить?

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Дискриминант

Использование квадратичной формулы

Пример: Решить 5x

Вспоминая формулу

Комплексные решения?

Пример: Решить 5x

Пример: Решить x

Резюме

Как использовать квадратичную формулу для поиска корней уравнений — Видео и стенограмма урока

Квадратичная формула

Другой пример

Резюме урока

Добавить комментарий Отменить ответ