Системы уравнений квадратных – Решение систем квадратных уравнений

Содержание

Урок в 9-м классе «Система уравнений, сводящихся к квадратным»

Разделы: Математика


Цели урока:

  1. Повторить ранее изученные различные способы решения уравнений, сводящихся к квадратным.
  2. Научить сотрудничеству учеников посредством работы в малых группах, а так же взаимопомощи в процессе обучения. 3. Развитие познавательного интереса, интереса к педагогической деятельности.

Форма проведения: Работа в малых группах, с участием консультантов.

ХОД УРОКА

I. Организация начала урока.

Деление на группы

II. Сообщение учащимся цели предстоящей работы. Мотивация учения.

III. Интеллектуальная разминка. (Приложение 1)

Разминка в форме тестовых заданий. Подготовка к ЕГЭ.

IV. Проверка индивидуального домашнего задания, направленного на повторение основных понятий, основополагающих знаний, умений, способов действий. У доски работают консультанты. На предыдущем уроке им было задано индивидуальное домашнее задание.

Системы нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным. (Приложение 2)

Решить систему уравнений

Решение: Если вычесть второе уравнение из первого, получим Значит надо решить систему уравнений

Из первого уравнения находим, что Подставляя х во второе уравнение, получаем

откуда . Корнями этого квадратного уравнения служат . Если y1=3, то из находим х1=1. Если же .

Ответ:

Возможный способ оформления

Решим второе уравнение

Ответ:

Метод введения новых неизвестных при решении систем уравнений. (Приложение 3)

Решить систему уравнений

Решение. Обозначим через u, а через v. Тогда система примет вид

То есть получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v. Из первого уравнения выражаем u через v: и подставляя во второе уравнение, получим , откуда v=2. Теперь находим u=1 и решаем уравнения

Ответ:

Возможный способ оформления

Пусть , тогда

Возвращаемся к переменным х и у.

Ответ:

Однородные уравнения. (Приложение 4)

Решить систему уравнений

Решение. Заметим, что для решений системы выполняется условие . В самом деле, из первого уравнения системы следует, что если , а числа не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на . Получится уравнение

Введем вспомогательное неизвестное . Уравнение примет вид . Это квадратное уравнение, имеющее корни . Таким образом, из первого уравнения мы получаем, что либо либо . Осталось подставить выражения и (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получится уравнение , откуда ; соответственно . Во втором случае получается уравнение , откуда ; соответственно

Ответ:

Возможный способ оформления

разделим первое уравнение на , получим

Пусть , тогда

Вернемся к переменным х и у.

Ответ:

V. Работа в малых группах.

Учащиеся получают задания на карточках и начинают работать в группах, обращаясь к консультантам за помощью при затруднениях.

    Задания группам

Вариант 1

Решите систему уравнений

    Задания группам

Вариант 2

Решите систему уравнений

VI. Подведение итогов урока.

VII. Задание на дом.

Задание по группам. Группа консультантов выполняет № 624 (4, 6, 8).

Для остальных № 623 (1, 3), № 624 (1, 3).

2.04.2008

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

Методы решения систем уравнений — методическая рекомендация. Алгебра, 9 класс.

1. Метод сложения (линейные уравнения) 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Решение системы уравнений методом алгебраического сложения.
2. Метод подстановки (линейные уравнения) 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Решение системы двух линейных уравнений.
3. Корни квадратного уравнения, теорема Виета 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Составление квадратного уравнения.
4. Метод подстановки (линейное и квадратное) 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Решение системы уравнений.
5. Метод алгебраического сложения 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы уравнений методом алгебраического сложения.
6. Способ сложения 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы методом сложения.
7. Пары чисел, которые являются решением системы уравнений 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Выбор пар чисел, которые являются решением системы уравнений.
8. Графический метод (парабола и прямая) 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы двух уравнений графическим методом.
9. Графический метод (гипербола и прямая) 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы двух уравнений графическим методом.
10. Графический метод (элементарные функции) 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Изобразив схематически графики уравнений, выяснить, сколько решений имеет система уравнений.
11. Система квадратных уравнений 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы квадратных уравнений методом сложения.
12. Система уравнений (линейное и квадратное) I 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы уравнений (линейное и квадратное) методом подстановки.
13. Система уравнений (линейное и квадратное) II 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы уравнений (линейное и квадратное) методом подстановки.
14. Система уравнений (линейное и квадратное) III 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Решение системы уравнений (линейное и квадратное) методом подстановки, использование формулы разности квадратов.
15. Задача на составление системы уравнений 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Текстовая задача на составление системы уравнений, которая решается методом подстановки.
16. Система рациональных уравнений 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы рациональных уравнений методом введения новых переменных.
17. Система, состоящая из рационального и квадратного уравнений 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы, состоящей из квадратного и рационального уравнений, методом введения новой переменной.
18. Система, состоящая из рационального и линейного уравнений 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Решение системы, состоящей из рационального и линейного уравнений, методом введения новой переменной.
19. Система рациональных уравнений, вводится одна новая переменная 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы, состоящей из рациональных уравнений, методом введения новой переменной.
20. Система, состоящая из рациональных уравнений 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы рациональных уравнений методом введения новой переменной.
21. Система, состоящая из квадратного и рационального уравнений 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Решение системы, состоящей из квадратного и рационального уравнений, методом введения новой переменной.
22. Система линейных уравнений 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение системы линейных уравнений графическим методом.
23. Система, состоящая из квадратного и рационального уравнений, метод умножения 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Решение системы, состоящей из квадратного и рационального уравнений, методом введения новой переменной, также используется метод умножения.
24. Пары чисел, которые являются решением системы уравнений 2 вид — интерпретация среднее 6 Б. Выбор пар чисел, которые являются решением системы уравнений.
25. Графический метод (окружность и парабола) 3 вид — анализ сложное 3 Б. Выяснение, при каком значении параметра система уравнений имеет одно или три решения.

www.yaklass.ru

Решение квадратных уравнений и систем уравнений. Видеоурок. Информатика 9 Класс

На данном уроке мы рассмотрим решение квадратных уравнений и систем уравнений при помощи электронных таблиц, а также построение графиков нескольких функций в одной системе координат.

В электронных таблицах можно выполнять различные учебные задачи, в т. ч. решать квадратные уравнения и системы квадратных уравнений с помощью специальных надстроек.

Рассмотрим на примере этапы решения квадратного уравнения в электронных таблицах.

Откроем окно параметров Eхcel, для этого во вкладке Файл выберем пункт Параметры (рис. 1).

Рис. 1. Окно параметров Excel

В этом окне выбираем вкладку настройка ленты, выбираем все команды→подбор параметра и добавляем эту команду на панель быстрого доступа (рис. 2):

Рис. 2. Подбор параметра

С помощью добавленной команды решим квадратное уравнение:

Уравнение записано в ячейке В4, его корень – в ячейке В5 (рис. 3):

Рис. 3. Квадратное уравнение

Выбираем ячейку В4, нажимаем на команду подбор параметра и в диалоговом окне устанавливаем нужные значения (рис. 4):

Установить значение в ячейке В4

Значение 0

Изменяя значение ячейки В5

Рис. 4. Подбор параметров

Нажимаем Ок, значение корня найдено (рис. 5):

Рис. 5. Корень квадратного уравнения

Рассмотрим построение графиков двух и более функций в электронных таблицах.

Нам необходимо совместить в одной области построения графики двух функций. Для этого составляем таблицу, по которой мы хотим построить графики (рис. 6):

Рис. 6. Таблица

Построим первый график, как мы это уже делали ранее (рис. 7):

Рис. 7. График функции

Чтобы добавить второй график, щелкаем на построенном правой кнопкой мыши и выбираем Выбрать данные. В открывшемся диалоговом окне слева (элементы легенды) выбираем добавить. Выбираем имя (у=х^2-1) и значения (выделяем соответствующий столбец). Получаем результат (рис. 8):

Рис. 8. Графики двух функций в одной области построения

Рассмотрим решение систем уравнений.

Пусть заданы два уравнения:

Графики данных функций мы построили, видим, что они пересекаются, значит, корень есть. Запишем его значение в ячейку Q4. Тогда выражение в ячейке Q5 примет вид:

=Q4+5

В ячейке Q6 соответственно:

=Q4^2-1

В точке пересечения графиков функций отклонение их значений должно быть равно нулю – значения совпадают. Воспользуемся функцией среднее отклонение. Эта функция называется СРОТКЛ, ее аргументы – числа, значения которых должны совпадать (рис. 9).

Рис. 9. Вычисление среднего отклонения

Теперь воспользуемся надстройкой Поиск решений (вкладка данные, поиск решения). Устанавливаем целевую ячейку – ту, в которой записано среднее отклонение. Далее выбираем до значения, устанавливаем ноль и нажимаем выполнить (рис. 10):

Рис. 10. Поиск решения системы уравнений

Так, получено решение системы (рис. 11).

Рис. 11. Решение системы уравнений

Чтобы добавить рассматриваемую надстройку на ленту (в случае если ее изначально нет), нужно снова зайти в параметры Excel→Надстройки. В появившемся окне выбираем надстройки Excel и нажимаем перейти. Ставим галочку на Поиск решения (англ. – solver Add-in). Теперь данная надстройка есть на ленте во вкладке Данные.

Итак, мы рассмотрели применение электронных таблиц для решения некоторых учебных задач. Мы воспользовались специальными надстройками, которые не входят в ряд основных функций электронных таблиц. На следующем уроке мы продолжим работу с электронными таблицами.

 

Список литературы

  1. Угринович Н.Д. Информатика-9. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.
  2. Гейн А.Г., Юнерман Н.А. Информатика-9. – М.: Просвещение, 2012.
  3. Соловьёва Л.Ф. Информатика и ИКТ. Учебник для 9 класса. – СПб.: БХВ-Петербург, 2007.

 

Домашнее задание

  1. Решить уравнения:
    А) ; Б) ; В) ;
  2. Построить графики функций  и
  3. Решить систему уравнений:
     

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Mybibliografiya.ru (Источник).
  3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

interneturok.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

      Определение 1. Пусть   A   – некоторое множество пар чисел   (y) .   Говорят, что на множестве   A   задана числовая функция   z   от двух переменных   x   и   y ,   если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества   A   ставится в соответствие некоторое число.

      Задание числовой функции   z   от двух переменных   x   и   y   часто обозначают так:

причем в записи (1) числа   x   и   y   называют аргументами функции, а число   z   – значением функции, соответствующим паре аргументов   (y) .

      Определение 2. Нелинейным уравнением с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

где   f (x , y)   – любая функция, отличная от функции

f (x , y) = ax +by + c ,

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 3. Решением уравнения (2) называют пару чисел   (y) ,   для которых формула (2) является верным равенством.

      Пример 1. Решить уравнение

x2 – 4xy + 6y2
– 12 y +18 = 0 .
(3)

      Решение. Преобразуем левую часть уравнения (3):

x2 – 4xy + 6y2 – 12 y +18 =
= (x2 – 4xy + 4y2) +
+ (2y2– 12y +18) =
= (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 .

      Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

(x – 2y)2 + 2(y – 3)2 = 0 .(4)

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные   x   и   y   удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел   (6 ; 3) .

      Ответ:   (6 ; 3)

      Пример 2. Решить уравнение

      Решение. Из неравенства

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

      Ответ: Решений нет.

      Пример 3. Решить уравнение

      Решение. В соответствии с определением логарифма из формулы (6) получаем

      Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y) ,

где   y   – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

      Определение 4. Решением системы уравнений

называют пару чисел   (y) ,   при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

      Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .  

      Пример 4. Решить систему уравнений

(7)

      Решение. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное   y   через неизвестное   x   и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

      Решая уравнение

x2 – 8x – 9 = 0 ,

находим корни

x1 = – 1 ,   x2 = 9 .

      Следовательно,

y1 = 8 – x1 = 9 ,  
y2 = 8 – x2 = – 1 .

      Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и    

Ответ:   (– 1 ; 9) ,   (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

      Определение 5. Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

ax2 + bxy + cy2 = 0 .

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Пример 5. Решить уравнение

3x2 – 8xy + 5y2 = 0 .(8)

      Решение. Для каждого значения   y   рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного   x .   Тогда дискриминант   D   квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

D = (8y)2 – 60y2 = 4y2 ,

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

      Ответ. Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y)   или    

где   y   – любое число.

      Следствие. Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

      Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .

      Пример 6. Решить систему уравнений

(9)

      Решение. Решим однородное уравнение

3x2 + 2xyy2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

.

      В случае, когда   x = – y ,   из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

4y2 = 16 ,

корнями которого служат числа   y1 = 2 ,   y2 = – 2 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2) .

      В случае, когда

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

      Пример 7. Решить систему уравнений

(10)

      Решение. Совершим над системой (10) следующие преобразования:

  • второе уравнение системы оставим без изменений;
  • к первому уравнению, умноженному на   5 ,   прибавим второе уравнение, умноженное на   3 ,   и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

      В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

     Решим однородное уравнение

3x2 + 17xy + 10y2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

.

      В случае, когда   x = – 5y ,   из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y2 = – 20 ,

которое корней не имеет.

      В случае, когда

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа   y1 = 3 ,   y2 = – 3 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3) .

Ответ:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

      Пример 8. Решить систему уравнений (МФТИ)

(12)

      Решение. Введем новые неизвестные   u   и   v ,   которые выражаются через   x   и   y   по формулам:

(13)

      Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные   x   и   y   через   u   и   v .   Из системы (13) следует, что

(14)

      Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную   x .   С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

      Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

      У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   u   через неизвестное   v   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

      Решая уравнение

2v2 + 3v – 14 = 0 ,

находим корни

      Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

      Из формул (13) вытекает, что   ,  поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае   u2 = 5,   v2 = 2   из формул (15) находим значения   x   и   y :

x = 13,   y = – 3 .

      Ответ:   (13 ; – 3)

      Определение 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел   (y ; z) ,   при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

      Пример 9. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

      Решение. У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   z   через неизвестные   x   и   y   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

      Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае   x = 4,   y = 4 .

      Следовательно,

      Ответ:   (4 ; 4 ; – 4)

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Квадратная система уравнений Википедия

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Соглашения и определения[ | ]

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}}

Здесь m{\displaystyle m} — количество уравнений, а n{\displaystyle n} — количество переменных, x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} — неизвестные, которые надо определить, коэффициенты a11,a

ru-wiki.ru

1.10.1. Системы уравнений с квадратной матрицей.

Решение вопроса об определенности и неопределенности системы начнем с рассмотрения систем вида (1.6) с квадратной матрицей, то есть когда n = m:

(1.7)

или в матрично-векторном виде .

В том случае, если у матрицы А существует обратная матрица, решение системы (1.7) находится сразу: . При этом имеет место следующая теорема.

Теорема. Если определитель системы (1.7) не равен нулю, то система (1.7) имеет единственное решение для любого вектора , вычисляемое по формулам Крамера:

,

где — определитель, получаемый из определителя, в котором числаj-го столбца заменены на компоненты вектора .

Доказательство. Решение системы (1.7) запишем в виде , а обратную матрицу вычислим через присоединеннуюили:

,

откуда следует равенство

,

что совпадает с разложением определителя поj — му столбцу, если элементы этого столбца заменить на элементы вектор- столбца правых частей системы (1.7). Следовательно,

.

Теорема доказана.

1.10.2. Однородные системы.

Система уравнений

(1.8)

с нулевой правой частью называется однородной.

Для системы (1.8) всегда выполняется условие и она всегда совместна. Ясно, что нулевой векторилиявляется ее решением при любых значениях коэффициентовматрицы А и его называюттривиальным решением системы (1.8).

Теорема. Если определитель однородной системы не равен нулю, то эта система имеет только тривиальное решение.

Доказательство. Поскольку в системе (1.8) , а по условию теоремы, то по формулам Крамераи, то есть. Теорема доказана.

Следствие. Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

1.10.3. Системы уравнений общего вида.

Рассмотрим теперь неоднородную систему линейных уравнений общего вида, когда матрица А системы (1.6) является прямоугольной, то есть . Будем предполагать, что система совместна и хотя бы один элемент матрицы А отличен от нуля. Тогда. Не ограничивая общности, можем предположить, что базисный минор матрицы А находится в левом верхнем углу этой матрицы. Этого всегда можно добиться путем перестановки строк расширенной матрицы и столбцов основной, перенумеровывая при этом компоненты искомого вектора. Таким образом, пусть мы имеем систему:

.

Тогда первые k строк как основной, так и расширенной матриц по теореме о базисном миноре являются линейно – независимыми базисными строками, а остальные (m-k) строк, начиная с k+1 –ой, являются линейными комбинациями базисных строк. Это означает, что каждое из уравнений данной системы, начиная с k+1 –го, является линейной комбинацией (следствием) первых k уравнений этой системы, то есть всякое решение первых k уравнений системы обращает в тождество и все последующие уравнения этой системы. Поэтому достаточно найти все решения лишь первых k уравнений, отбросив все остальные. Назовем неизвестные , входящие в базисный минор,базисными, а остальные –свободными. Перенесем слагаемые, содержащие свободные переменные, в правую часть и запишем «укороченную» систему, полностью эквивалентную исходной, в следующем виде:

.

Придадим свободным переменным произвольные числовые значения и запишем решение укороченной системы по формулам Крамера ():

,

где и все остальные, есть вектор – столбцы соответствующих коэффициентов матрицы А. По свойству (8) определителя, если столбец состоит из суммы каких-либо других столбцов, то имеем:

,

что и является общим решением системы неоднородных уравнений (1.4) с прямоугольной матрицей. Заметим, что величины есть числа, определяемые только правой частью и коэффициентами матрицы. Перенумеруем для удобства произвольные постоянные:,и так далее. Тогда получим:

.

Можно утверждать, что общее решение неоднородной системы содержит произвольные постоянные, число которых равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы системы.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

  1. Ранг матрицы А равен числу неизвестных (). В этом случае

,

общее решение не содержит произвольных постоянных и является единственным решением системы.

  1. Система является однородной, то есть . В этом случае

или в векторном виде

.

Векторы- столбцы в правой части зависят только от коэффициентов матрицы А и называются фундаментальными решениями однородной системы. Их совокупность называетсяфундаментальным решением однородной системы. Тогда общее решение однородной системы является линейной комбинацией этих фундаментальных решений

.

Для неоднородной системы уравнений фундаментальной совокупности решений нет из-за наличия правой части. Однако имеет место следующее утверждение.

Утверждение. Сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей ей однородной системы дает общее решение неоднородной системы:

,

где — частное решение неоднородной системы.

studfiles.net

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений

2.1 Основные определения

Матрицы и определители широко используются при записи и решении СЛАУ, т.е. систем вида

(1)

где — заданные действительные числа, а– неизвестные, подлежащие определению.

Определение 2.1Набор чисел, обращающий каждое из уравнений системы (1) в верное числовое равенство, называется решением системы.

Систему (1) можно записать в матричном виде

,

где — матрица коэффициентов;

— матрица — столбец неизвестных;

— матрица — столбец свободных членов.

Расширенной матрицей системыназывается матрица системы, до­полненная столбцом свободных членов:

Система уравнений называется совместной,если имеет хотя бы одно решение, инесовместной, если не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной,если она имеет единственное решение, инеопределенной,если имеет более одного решения.

В случае неопределенной системы каждое ее решение называется частным решением.Совокупность всех частных решений системы называется ееобщим решением.

Решить системузначит выяснить, совместна она или несовместна, и в случае совместности системы, найти все ее решения.

Ответ на вопрос о совместности системы mлинейных уравнений сnнеизвестными дает следующая теорема.

Теорема Кронекера–Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, т. е.

.

При этом:

– если ранг совместной системы равен числу неизвестных , то система имеет единственное решение;

– если ранг совместной системы меньше числа неизвестных , то система имеет бесчисленное множество решений.

Замечание 1.Если то числоназываетсярангом системы.

Ранг системы r равен максимальному числу линейно независимых уравнений системы.

Замечание 2. Если ,то система несовместна.

2.2 Решение невырожденных линейных систем матричным методом

Пусть дана система nлинейных уравнений сnнеизвестными, т. е.квадратная система

,

или в матричной форме АХ=В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы.

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае . Умножив обе части уравнения АХ=В слева на матрицу А-1, получим А-1АХ=А-1В. Поскольку А-1А=Е и ЕХ=Х, то справедливо равенство

Х=А-1В.

Отыскание решения системы по приведенной формуле называют матричным способомрешения системы.

Пример. Решить систему уравнений:

Решение. По условию задачи

Х = ;B= ;A= .

Найдем обратную матрицу А-1.

=5(4–9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = –25 – 10 +5 = –30.

А11== –5; А21=; А31==–1;

А122232=

А1323= А33=

A-1=.

Найдем решение системы.

Х = = А-1В = =

.

2.2 Решение квадратных систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть требуется решить квадратную систему nуравнений. Согласно приведенному матричному способу решения таких систем можем записать

.

Можно заметить, что есть разложение определителяпо элементам первого столбца. Вспомогательный определительполучается из определителяпутем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично где определительполучен изпутем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов;

Таким образом, правило Крамерарешения системыnлинейных уравнений сnнеизвестными можно сформулировать так:

– если определитель системы не равен нулю (0), то система имеет единственное решение, причем;

– если определитель системы равен нулю (=0) и все вспомогательные определители,, то система имеет бесчисленное множество решений;

– если определитель системы равен нулю (=0) и найдется какой либо вспомогательный определитель, то система является несовместной, т. е. не имеет ни одного решения.

Пример. Решить систему

Решение. Найдем определитель системыТак как он не равен нулю, то можем сделать вывод, что система имеет единственное решение, причем.

Вычислим вспомогательные определители:

.-

Тогда

studfiles.net