Сходящаяся числовая последовательность: Предел числовой последовательности, сходящиеся и расходящиеся последовательности

Содержание

Предел числовой последовательности, сходящиеся и расходящиеся последовательности

Содержание:

Определение

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ и обозначается $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n} x_{n}=a$, $x_{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a$

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ , если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_{0}=n_{0}(\epsilon)$ такой, что для любого $n>n_{0}$ выполняется неравенство $\left|x_{n}-a\right| \lt \epsilon$ :

$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) : \forall n>n_{0},\left|x_{n}-a\right| \lt \epsilon$

Определение

Целой частью $[x]$ некоторого числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$

Пример

Задание. Найти целую часть чисел — 2,36; 2,36; 2.

Решение. $[-2,36]=-3,[2,36]=2,[2]=2$

Слишком сложно?

Предел числовой последовательности не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Доказать равенство: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$

Доказательство. Исходя из определения, 0 будет пределом последовательности $\frac{1}{n}$ , если для любого $\epsilon>0$ найдется такой номер $n_{0}=n_{0}(\epsilon)$, что для любого $n>n_{0}$ выполняется неравенство $\left|x_{n}-0\right| \lt \epsilon$:

$\left|x_{n}-a\right|=\left|\frac{1}{n}-0\right|=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{|1|}{|n|}=\frac{1}{n} \lt \epsilon \Rightarrow n>\frac{1}{\epsilon}$

В качестве $n_{0}$ возьмем $n_{0}=\left[\frac{1}{\epsilon}\right]+1$

Итак, для любого $n>n_{0}$ указано соответствующее значение $n_{0}$ , а тогда равенство $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ доказано. {n+1}$ не имеет предел.

Доказательство. Пусть $a$ — предел рассматриваемой последовательности, то есть $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$. Рассмотрим $\epsilon=\frac{1}{10} \Rightarrow \exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) \in N : n>n_{0} :\left|x_{n}-a\right| \lt \epsilon$

Пусть $n=2 k$ :

$\left|x_{2 k}-a\right| \lt \frac{1}{10} \Rightarrow|-1-a| \lt \frac{1}{10} \Rightarrow|1+a| \lt \frac{1}{10}$

Пусть $n=2 k+1$ :

$\left|x_{2 k+1}-a\right| \lt \frac{1}{10} \Rightarrow|1-a| \lt \frac{1}{10}$

Так как полученные выражения не равны, то данная последовательность предела не имеет.

Постоянная последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\{c\}$ имеет предел, равный числу $c$ : $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c=c$

Теорема

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность на бесконечности

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ имеет бесконечный предел, если для любого $\epsilon>0, \exists n_{0} \in N : n>n_{0} :$ $x_{n}>\epsilon : \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется бесконечно малой, если $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется бесконечно большой, если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_{0}$ такое, что для любого $n>n_{0} :\left|x_{n}\right|>\epsilon$

Теорема

Пусть $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ , тогда

а) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}+\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a+b$ ;

б) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a \cdot b$ ;

в) если $b \neq 0$ , то начиная с некоторого номера заданная последовательность $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{a}{b}$

Читать дальше: предельный переход в неравенствах.

Числовая последовательность — это… Что такое Числовая последовательность?

Последовательность

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть множество — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью.

Примеры

Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .

Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности — это последовательность , где — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

Для всякой подпоследовательности верно, что .

Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
стационарная

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

ограниченная

Свойства ограниченных последовательностей

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
Если — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно малой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно малой.
Если — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно большой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества , имеющая предел в этом множестве.
Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.
Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
Любую сходящуюся последовательность можно представить в виде , где — предел последовательности , а — некоторая бесконечно малая последовательность.
Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Вариации и обобщения

Примечания

См. также

11. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Предел последовательности

Последовательность {а_n} называется сходящейся, если существует такое вещественное число А, что последовательность {а_n – А} является бесконечно малой. Число А будет пределом последовательности: .

Сходящуюся последовательность можно представить в виде {a_n} = {A + ?_n}, где {?_n} – бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие – расходящимися (сходящимися к бесконечности).

Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любой ее ?–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.

Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;

2) сходящаяся последовательность {a_n} ограниченна;

3) пусть последовательности {a_n} и {b_n} сходятся и , тогда сходятся и последовательности {cx_n} (c = const) {a_n ± b_n} {a_n? b_n} {a_n / b_n} (в случае частного B ? 0, b_n ? 0, n = 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.

Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}. Тогда если последовательности {a_n}, {b_n} таковы, что a_n ? (?) b_n, то (данное утверждение неверно для строгих неравенств).

Теорема (принцип двустороннего ограничения). Пусть заданы последовательности {a_n}, {b_n}, {c_n}. Тогда если a_n ? b_n ? c_n и последовательности {a_n} и {c_n} сходятся к одному и тому же пределу В, то последовательность {b_n} тоже сходится к тому же пределу: .

Следствия:

1) если все члены сходящейся последовательности {a_n} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное), ;

2) если все элементы сходящейся последовательности {a_n} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {a_n} лежит на данном отрезке, ;

3) если все члены сходящейся последовательности {a_n} a_n ? (і) В, то , где В – некоторое число.

Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность {a_n}, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

Числовая последовательность и ее предел. Общий член последовательности

Нахождение границ занимает важное место в курсе высшей математики. Для этого нужно знать много правил и приемов. Обо всем этом пойдет речь в данном разделе и для начала дадим определение предела числовой последовательности.

Множество чисел

которое определено для каждого натурального числа с одинаковым правилом называют числовой последовательностью и обозначают , где – члены числовой последовательности, – общий член последовательности. .

Число называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число , что при всех выполняется неравенство

Если есть границей последовательности то записывают

Есть несколько типов числовых последовательностей, которые вы обязательно должны знать:

1) Возрастающая последовательность – каждый ее член больше предыдущего

2) Неубывающая последовательность – каждый следующий член не меньший от предыдущего

3) Нисходящая последовательность – каждый новый член меньше предыдущего

4) Невозрастающая последовательность – каждый старший член не больше предыдущего

5) Ограниченная последовательность имеет место тогда, когда найдутся такие действительные числа и , что для всех натуральных чисел выполняется неравенство

6) Последовательность называется неограниченной, если она постоянно или растет или убывает.

7) Последовательность, имеющая предел называется сходящейся. Противоположная к ней последовательность — соответственно расходящимися.

СВОЙСТВА СХОДЯЩЕЙСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1) Граница постоянной последовательности равна постоянной.

2) Если последовательность имеет предел, граница единственная. Отсюда следует, что такая последовательность ограничена.

3) Пусть граница числовой последовательности существует

Тогда найдется такое число , что для всех больших за него значений выполняется неравенство

4) Предположим, что выполняется неравенство

Если последовательности и сходящейся и их пределы одинаковы

то последовательность также будет сходящейся, а ее предел совпадает с пределами боковых последовательностей

5) Любая монотонно ограниченная последовательность имеет предел.

Частным случаем числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Одними из простых задач является определение формулы общего члена последовательности по известным первым. Например, выберем следующие задачи из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика».

————————————

Пример 1.

Написать формулу общего члена последовательности.

1) (4. 258)

2) (4. 261)

3) (4. 265)

Решение.

При определении общего члена последовательности следует уловить особенность изменения последующего его члена к предыдущему. Разница между ними может носить линейный, показательное или иной характер. В данном случае примеры не тяжелые, поскольку каждый последующий член описан в том виде, в котором его определяют, а не в виде дроби (в числителе и знаменателе одно число). Стоит отметить то, что при выводе общего члена последовательности принято записывать первыми переменные ,, т.е. в виде

а не

Перейдем к нахождению искомых величин

1) По особенности изменения числителя и знаменателя видим, что числитель растет линейно, а знаменатель согласно показательного закона.

Общий член последовательности будет выглядеть

2) В этом примере

и числитель и знаменатель меняются линейно, смещаясь от единицы на определенные константы

3) В данном случае

изменение является нелинейным, но общий член последовательности уловить возможно.

Для нахождения формулы общего члена последовательности исследуйте поведение отдельно числителя и знаменателя.

Определите изменяются ли они линейно, нелинейно, по степенным законам и т.д. На основе закономерностей выведите формулу общего члена последовательности.

Посмотреть материалы:

Персональный сайт — Единственность предела сходящейся последовательности

Теорема о единственности предела сходящейся числовой последовательности

Определение: Последовательность может иметь только один предел.

Доказательство: Предположим противное, т.е. пусть последовательность {x_n} такая, что

lim_n→∞xn=a и lim_n→∞xn=b и a <> b.

Тогда поскольку число a – предел последовательности, то должно выполняться неравенство:

| x_n — a| < ε и | x_n — b| < ε

Очевидно, что между двумя неравными числами (a <> b) находится бесконечно много других чисел. Поэтому всегда можно выбрать такое число ε > 0, что ε-окрестность точки a не будет пересекаться с ε-окрестностью точки b.

(a – ε, a + ε) (b – ε, b + ε ) = (пустое_множество)

Поскольку число a является пределом последовательности {x_n}, то начиная с некоторого номера n > N все члены этой последовательности попадут в ε-окрестность точки a , а вне этой окрестности может оказаться только конечное число членов: x₁, x₂…x_n. Но тогда в ε-окрестность точки b может попасть только что-то из чисел x₁, x₂…x_n и не больше, а это противоречит тому, что число b предел {x_n} (Если b – предел, то в ε-окрестность точки b должно попадать не меньше, чем в ε-окрестность точки a). Следовательно, предположение о том, что a <> b не верно. Из этого следует, что a = b, а значит, предел единственен. Что и требовалось доказать.

2. Предел последовательности [Love Soft]

Последовательность

Определение. Бесконечная последовательность действительных чисел — это запись вида $x_1, x_2, \ldots, x_n,\ldots$, сопоставляемая отображению $x:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ по правилу $x(i)=x_i$. {\infty }$ элементов множества X называется числовой последовательностью.

Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.

Определение. Подпоследовательность последовательности $(x_{n})$ — это последовательность $(x_{n_{k}})$, где $ (n_{k})$ — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Пример. Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел. Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Определение. Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

Определение. Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

Ограниченная последовательность — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности содержатся в С-окрестности точки нуль.

Определение. ε-окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на $\varepsilon$.

На плоскости окрестность точки — это круг. В 3D-пространстве — шар. На втором рисунке окрестность множества S (S — треугольник).

— англ. neighbourhood

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый $\varepsilon$-шар с центром в точке $x_{0}$.

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Предел последовательности

История. Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Определение 1. Число $a$ называется пределом последовательности $(x_n)$, если $\forall\varepsilon>0 \, \exists k\in\mathbb{N} \, \forall n>k \, |x_n-a|<\varepsilon$.

Если последовательность имеет предел a, то говорят, что она сходится к числу a.

Говорят, что почти все члены последовательности $(x_n)$ удовлетворяют некоторому условию, если существует лишь конечное число таких элементов $i\in\mathbb{N}$, что $x_i$ не удовлетворяет этому условию.

Определение 2. Число $a$ называется пределом последовательности ${x_n}$, если любая ε-окрестность точки $a$ содержит почти все члены этой последовательности [кроме конечного числа].

Эквивалентность определений 1 и 2 легко доказать.

Определение 2 обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании.

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений. В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

Задача. Могут ли два разных числа быть пределами одной последовательности?

Ответ. Предположим, что могут. Это означает (по определению 5), что любая ε-окрестность и a и b содержит почти все члены. Возьмем 0<ε=|a-b|/3, тогда окрестности a и b не пересекаются, и при этом 1) лишь конечное число членов не принадлежит окрестности a, 2) лишь конечное число членов не принадлежит окрестности b. Эти два утверждения не могут быть истинными одновременно, следовательно наше предположение неверно, и два разных числа не могут быть пределами одной последовательности.

Фактически, мы так выбрали определение предела, что если последовательность содержит две подпоследовательности, сходящиеся к разным числам, то такую последовательность считаем расходящейся. n$ — в любой окрестности точек 1 и -1 содержится бесконечное число членов, этого недостаточно чтобы 1 и -1 были пределом последовательности. Нужно еще, чтобы вне окрестности было конечное число членов.

Задача. Если последовательность имеет предел a, то и любая ее подпоследовательность также имеет предел a.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Определение. Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

Определение 3. Пусть дано топологическое пространство T и последовательность $\{x_{n}\}$. Тогда, если существует элемент $x\in T$ такой, что $ \forall U(x)\exists N: \, \forall n(n>N)\Rightarrow x_{n}\in U(x)$, где $U(x)$ — открытое множество, содержащее $x$, то он называется пределом последовательности $x_{n}$. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент $x\in T$ такой, что $ \forall \varepsilon >0\exists N: \, \forall n(n>N)\Rightarrow d(x_{n},x)<\varepsilon$, где $d(x,y)$ — метрика, то $x$ называется пределом $x_{n}$.

Определение 4. Число $ a\in \mathbb {R} $ называется пределом числовой последовательности $ \{x_{n}\}$, если последовательность $\{x_{n}-a\}$ является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon $

Если никакое вещественное число не является пределом последовательности, её называют расходящейся.

Говорят, что последовательность $ \{x_{n}\}$ стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

$$ \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow |x_{n}|>E$$

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Определение. Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует.

В самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Верхний (lim sup) и нижний пределы (lim inf):

Свойства

Сумма, разность, произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. [Частное не всегда]

Взятие предела числовой последовательности является линейным:

Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

Единственность. Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел. Доказательство: Тер-Крикоров, с.40.

Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. n$, то ${a_n}$ не имеет предела, тогда как последовательность средних арифметических стремится к 0. Это позволяет использовать чезаровские средние как один из методов суммирования расходящихся рядов.

Аналогично для последовательности средних геометрических, доказательство

Предельный переход в неравенствах

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности ${x_n}$, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству $x_n ≥ b \, (x_n ≤ b)$, то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству $a ≥ b \, (a ≤ b)$.

Доказательство от противного, по определению предела.

Замечание. Элементы сходящейся последовательности ${x_n}$ могут удовлетворять строгому неравенству $x_n > b$, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, 1/n > 0, однако предел = 0.

Предельный переход сохраняет знак нестрогого неравенства. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не сохраняется.

Следствие 1. Если элементы $x_n$ и $y_n$ сходящихся последовательностей ${x_n}$ и ${y_n}$, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству $x_n ≤ y_n$, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: $\lim_n x_n ≤ \lim_n y_n$

В самом деле, элементы последовательности ${y_n — x_n}$ неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел, а он равен разности пределов.

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности ${x_n}$ находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

Теорема о двух милиционерах

Справедлива теорема о двух милиционерах (теорема сжатия)

$$ \exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\leqslant z_{n}\leqslant y_{n}~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }z_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }y_{n}$$

Доказательство.

По определению предела для любого ε > 0 найдутся номера N1 и N2 такие, что для всех n >= max(N, N1, N2) $x_n \in U(a), \, y_n \in U(a)$. Отсюда и из условия теоремы следует, что при выполняется условие $z_n \in U(a)$. Это означает, что существует предел $z_n = a$.

Бесконечно малые

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности. [если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. ]

Из определения 1 следует, что последовательность ${х_n}$ имеет предел, равный а, тогда и только тогда, когда последовательность ${x_n — a}$ имеет предел, равный нулю.

Сумма, разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

Если $(\alpha _{n})$ — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность $(1/\alpha _{n})$, которая является бесконечно большой.

Любую сходящуюся последовательность $(x_{n})$ можно представить в виде $(x_{n})=(a+\alpha _{n})$, где $a$ — предел последовательности $(x_{n})$, а $\alpha _{n}$ — некоторая бесконечно малая последовательность.

Предельная точка последовательности

Определение. Назовем точку x предельной точкой множества E, если в произвольной окрестности точки x существует хотя бы одна точка из E, отличная от x.

Сама точка x может принадлежать, а может и не принадлежать множеству E.

$$\forall \varepsilon > 0 \, \exists y, y \ne x : \, |x-y|<\varepsilon $$

Конец открытого интервала — это его предельная точка. {\infty }\Leftrightarrow $

$$ \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists X\subseteq \mathbb{N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{i}-x\right|<\varepsilon $$

Определение II. Число a называют предельной точкой числового множества X, если $$ \forall \varepsilon >0~\exists x \in X\colon \, 0<|x-a|<\varepsilon $$

Докажем, что из определения II следует I. Обозначим через U произвольную окрестность x. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества E, отличных от x. Тогда среди них найдется точка y, ближайшая к x. Но тогда в шаре радиуса $\left| x-y \right| > 0$ с центром в x нет ни одной точки из E, отличной от x, а это невозможно, поскольку x – предельная точка множества E.

Теорема. Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке.

Задача. Доказать, что если последовательность сходится к a (то есть a является ее пределом), то она не имеет предельных точек, отличных от a.

т.е. Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.

Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

У произвольной числовой последовательности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).

Пример. У последовательности ${1/n}$ существует единственная предельная точка 0. Таким образом, предельная точка не обязана принадлежать последовательности.

Пример. У последовательности натуральных чисел нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка $+\infty$).

Пример. У последовательности из всех рациональных чисел, занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

Примеры

$$\lim _{n\to \infty } \sqrt[n]{n}=1$$ Доказательство: Тер-Крикоров, с. n=e$$

$$ \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\colon \lim _{n\to \infty }\underbrace {\sqrt {a+{\sqrt {a+\cdots +{\sqrt {a}}}}}} _{n}={\frac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}$$

Фундаментальная последовательность

Определение. Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.

для любого $\varepsilon >0$ существует такое натуральное $N$, что $\rho (x_{{n}},x_{{m}})<\varepsilon$ для всех $n,m > N$.

Определение. Фундаментальная последовательность — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного.

У Куранта называется внутренне сходящаяся последовательность.

Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Определение. Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.

Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.

Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.

Теорема Больцано — Вейерштрасса

Теорема. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. [очевидно. например, взять ε=1]

Обратное не верно — см. пример 1. Не любая ограниченная последовательность сходится.

Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.

Теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Вопросы по теме

mat/analysis/lim-seq.txt · Последние изменения: 2017/06/15 16:54 — kc

Конвергентная последовательность — обзор

Пусть A будет постоянным методом и пусть y0 = (ηio) — сходящаяся последовательность. Если для каждой последовательности чисел ( α _i ) из условий (10) следует, что ∑i = 1∞αiηi0 = 0 существует для любого ε > 0, сходящаяся последовательность x такая, что

(12) | Ai (x) −ηi0 | <ε для любого i = 1,2,…

Доказательство. Пусть G обозначает набор всех сходящихся последовательностей ( η _i ), которым соответствуют сходящиеся последовательности x такие, что η _i = A _i ( x ) для i. = 1,2,… Рассматриваемый как подмножество пространства c , определенный таким образом набор G явно является векторным подпространством.Если y ₀ не является точкой накопления G , то согласно лемме главы IV, §3, с. 35, ограниченный линейный функционал F , определенный в c , такой, что F ( y ₀) = 1 и F ( y ) = 0 для каждых y ∈ G. Вспоминая общий вид ограниченных линейных функционалов в пространстве c (см. Главу IV, § 4, с. 36), значит, существует последовательность чисел ( α _i ) такая, что ряд ∑i = 1∞αi абсолютно сходится и такое, что:

(13) ∑i = 1∞αiηi + αlimi → ∞ηi = 0 для (ηi) ∈G,

(14) ∑i = 1∞αiηio + αlimi → ∞ηio = 1.

Поскольку метод A постоянен, из (13) следует

(15) ∑i = 1∞αiAi (x) + αlimk → ∞ξk = 0 для любого x = (ξk) ∈c

, и из предыдущей теоремы 10 следует существование M , удовлетворяющего условию 1 ° . Следовательно, мы имеем

∑i = 1∞∑k = 1∞ | αi |. | Aik |. | Ξk | ≦ M. (∑i = 1∞ | αi |) ‖x‖,

откуда

(16) i = 1∞αiAi (x) = ∑k = 1∞ξk.i = 1∞αiaik.

Полагая для фиксированного натурального числа k, ξ _k = 1 и ξ _n = 0 для n ≠ k , из (15) заключаем, что

(17) ∑i = 1∞αiaik = 0 для k = 1,2,…

Затем, положив ξ _k = 1 для k = 1,2,…, получаем из (15) , (16) и (17) следует, что α = 0, откуда в силу (14) следует ∑i = 1∞αiηio = 1.что с учетом (17) противоречит гипотезе.

Пределы последовательностей | Блестящая вики по математике и науке

Здесь мы обсудим аспекты, которые вам необходимо знать для понимания концепции сходимости последовательности. Мы предоставим вам пошаговую презентацию всех концепций. Во-первых, что такое последовательность?

Последовательность — это функция f: N → Rf: \ mathbb N \ rightarrow \ mathbb Rf: N → R, определенная как f (n) = xnf (n) = x_nf (n) = xn, и обычно обозначается на x1, x2 ,.3} {3 + 1}, \ ldots1 + 113, 2 + 123, 3 + 133,….

Поскольку мы теперь знакомы с последовательностями, давайте попробуем понять, что представляет собой предел последовательности. Проще говоря, предел — это математически точный способ говорить о приближении к значению без необходимости оценивать его напрямую.

Действительное число LLL — это предел последовательности xnx_nxn, если числа в последовательности становятся все ближе и ближе к LLL, а не к какому-либо другому числу. В общем смысле предел последовательности — это значение, к которому она приближается с произвольной близостью.

Например, если xn = cx_n = cxn = c для некоторой константы c, c, c, то lim⁡n → ∞xn → c, \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n \ to c, n → ∞lim xn → c, и если xn = 1n, x_n = \ frac 1n, xn = n1, то lim⁡n → ∞xn → 0 \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n \ to 0n → ∞lim xn → 0.

Когда предел последовательности при n → ∞n \ to \ inftyn → ∞ приближается к одному значению, мы говорим, что последовательность сходится. Определим сходимость последовательности формально:

Мы говорим, что последовательность xnx_nxn сходится к , если существует x0∈Rx_0 \ in \ mathbb Rx0 ∈R такое, что для любого ϵ> 0 \ epsilon> 0ϵ> 0 существует натуральное число NNN такое, что xn∈ (x0 −ϵ, x0 + ϵ) x_n \ in (x_0 — \ epsilon, x_0 + \ epsilon) xn ∈ (x0 −ϵ, x0 + ϵ) или ∣xn − x0∣ <ϵ | x_n -x_0 | <\ epsilon∣xn −x0 ∣ <ϵ для всех n≥Nn \ geq Nn≥N.

Легко проверить, что если такое число x0x_0x0 существует, то оно уникально. В этом случае мы говорим, что последовательность xnx_nxn сходится к x0x_0x0, и называем x0x_0x0 пределом последовательности xnx_nxn. Если x0x_0x0 является пределом xnx_nxn, мы пишем lim⁡n → ∞xn = x0 \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = x_0n → ∞lim xn = x0.

Примечание: Сходимость каждой последовательности, приведенной в приведенных выше примерах, проверяется непосредственно из определения. В общем, проверка сходимости прямо из определения — сложная задача.Мы увидим некоторые способы найти пределы определенных последовательностей и некоторые достаточные условия сходимости последовательности.

Теперь, когда мы получили концепцию сходимости с теоретической точки зрения, пришло время разработать несколько примеров и построить прочный фундамент сходимости последовательностей. Поехали ::

Сходится ли следующая последовательность:
11,12,13,…, 1н,…? \ frac {1} {1}, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ ldots, \ frac {1} {n}, \ ldots \ ,? 11, 21, 31,…, n1,…?
Последовательность приближается к нулю.Чем больше становится nnn, тем меньше и меньше член становится равным нулю. Таким образом, последовательность сходится. □ _ \ квадрат □
Доказательство:
Для произвольного ϵ> 0 \ epsilon> 0ϵ> 0 неравенство ∣xn∣ = 1n <ϵ | x_n | = \ frac 1n <\ epsilon∣xn ∣ = n1 <ϵ верно для всех n> 1ϵn> \ frac {1} {\ epsilon} n> ϵ1 и, следовательно, для всех n> Nn> Nn> N, где NNN — любое натуральное число такое, что N> 1ϵ N> \ frac {1} {\ epsilon} N> ϵ1. n} {n} f (n) = n (−1) n:
−11,12, −13,…? \ Dfrac {-1} {1}, \ dfrac 12, \ dfrac {-1} {3}, \ ldots \,? 1−1, 21, 3− 1,…?
Последовательность приближается к нулю.n} {n} n (−1) n колеблются, они «в конце концов приближаются» к единственной точке 0. Общей чертой этих последовательностей является то, что члены каждой последовательности «накапливаются» только в одной точке. □ _ \ квадрат □

журнал⁡2 \ журнал 2log2 ln⁡2 \ ln 2ln2 111 222

Пусть g (n) = n − ⌊n2⌋ + ⌊n3⌋ − ⌊n4⌋ + ⋯. {n + 1}, \ ldots \,? 1, -1,1, -1,1, -1,… , (- 1) n + 1,…?

Ясно, что последовательность колеблется между 1 и -1 и не сходится к значению.n (-1) n колеблется между двумя разными точками -1 и 1, что означает, что элементы последовательности приближаются к -1 и 1 «часто» по мере увеличения nnn. □ _ \ квадрат □

Мы говорим, что функция расходится до бесконечности , если она стремится к положительной бесконечности или отрицательной бесконечности.

Например, такими функциями являются f (n) = nf (n) = nf (n) = n и f (n) = ln⁡nf (n) = \ ln nf (n) = lnn.

Сходится ли следующая последовательность:
1,2,3,…, n,…? 1, 2, 3, \ ldots, n, \ ldots \,? 1,2,3,…, n,…?
Сверху последовательность целых чисел не ограничена.\ text {nd} 2-й пример), \ big),) то такая последовательность расходится. Ниже будет показано, что если последовательность сходится, то предел разницы между последовательными членами равен 0.
Примечание 2 : Верно, что если положительная последовательность неубывающая, то предел существует. Однако, возможно, нам не удастся легко определить предел.
5.1 Последовательности — Исчисление Том 2
Задачи обучения
5.1.1 Найдите формулу для общего члена последовательности.
5.1.2 Вычислите предел последовательности, если он существует.
5.1.3 Определите сходимость или расхождение заданной последовательности.
В этом разделе мы вводим последовательности и определяем, что значит сходиться или расходиться последовательность. Мы показываем, как найти пределы сходящихся последовательностей, часто используя свойства пределов для функций, которые обсуждались ранее. Мы завершаем этот раздел теоремой о монотонной сходимости, инструментом, который мы можем использовать для доказательства сходимости определенных типов последовательностей.
Терминология последовательностей
Для работы с этой новой темой нам нужны новые термины и определения. Во-первых, бесконечная последовательность — это упорядоченный список чисел вида
. a1, a2, a3,…, an,… .a1, a2, a3,…, an,….
Каждое из чисел в последовательности называется термом. Символ nn называется индексной переменной для последовательности. Мы используем обозначение
{an} n = 1∞, или просто {an}, {an} n = 1∞, или просто {an},
для обозначения этой последовательности. Аналогичное обозначение используется для наборов, но последовательность — это упорядоченный список, а набор — неупорядоченный.Поскольку конкретное число anan существует для каждого положительного целого числа n, n, мы также можем определить последовательность как функцию, домен которой является набором положительных целых чисел.
Рассмотрим бесконечный упорядоченный список
2,4,8,16,32,… .2,4,8,16,32,….
Это последовательность, в которой первый, второй и третий члены задаются формулами a1 = 2, a1 = 2, a2 = 4, a2 = 4 и a3 = 8. a3 = 8. Вы, вероятно, видите, что термины в этой последовательности имеют следующий шаблон:
a1 = 21, a2 = 22, a3 = 23, a4 = 24 и a5 = 25. a1 = 21, a2 = 22, a3 = 23, a4 = 24 и a5 = 25.
Предполагая, что этот шаблон продолжается, мы можем записать n-й член в последовательности по явной формуле an = 2n.an = 2n. Используя это обозначение, мы можем записать эту последовательность как
{2n} n = 1∞или {2n}. {2n} n = 1∞или {2n}.
В качестве альтернативы мы можем описать эту последовательность по-другому. Поскольку каждый член вдвое больше предыдущего, эту последовательность можно определить рекурсивно, выразив n-й член anan в терминах предыдущего члена an-1.an-1. В частности, мы можем определить эту последовательность как последовательность {an} {an}, где a1 = 2a1 = 2 и для всех n≥2, n≥2 каждый член anan определяется рекуррентным соотношениемan = 2an − 1.ан = 2ан − 1.
Определение
Бесконечная последовательность {an} {an} — это упорядоченный список чисел в форме
a1, a2,…, an,… .a1, a2,…, an,….
Индекс nn называется индексной переменной последовательности. Каждое число анан является членом последовательности. Иногда последовательности определяются явными формулами, и в этом случае an = f (n) an = f (n) для некоторой функции f (n) f (n), определенной над положительными целыми числами. В других случаях последовательности определяются с помощью рекуррентного отношения. В рекуррентном отношении один член (или несколько) последовательности задается явно, а последующие термины определяются в терминах более ранних терминов в последовательности.
Обратите внимание, что индекс не обязательно должен начинаться с n = 1n = 1, но может начинаться с других целых чисел. Например, последовательность, заданная явной формулой an = f (n) an = f (n), может начинаться с n = 0, n = 0, и в этом случае последовательность будет иметь вид
a0, a1, a2,… .a0, a1, a2,….
Аналогично, для последовательности, определенной рекуррентным соотношением, член a0a0 может быть задан явно, а члены anan для n≥1n≥1 могут быть определены в терминах an − 1.an − 1. Поскольку последовательность {an} {an} имеет ровно одно значение для каждого положительного целого числа n, n, ее можно описать как функцию, домен которой является набором положительных целых чисел. В результате имеет смысл обсудить график последовательности. График последовательности {an} {an} состоит из всех точек (n, an) (n, an) для всех натуральных чисел n.n. На рисунке 5.2 показан график {2n}. {2n}.
Фигура 5.2 Построенные точки представляют собой график последовательности {2n}. {2n}.
Часто встречаются два типа последовательностей, которым даны специальные названия: арифметические последовательности и геометрические последовательности. В арифметической последовательности разница в между каждой парой следующих друг за другом членов одинакова.Например, рассмотрим последовательность
3,7,11,15,19,… .3,7,11,15,19,….
Вы можете видеть, что разница между каждой последовательной парой терминов равна 4,4. Если предположить, что этот шаблон продолжается, эта последовательность является арифметической последовательностью. Его можно описать с помощью рекуррентного соотношения
{a1 = 3an = an − 1 + 4forn≥2. {a1 = 3an = an − 1 + 4forn≥2.
Обратите внимание, что
a2 = 3 + 4a3 = 3 + 4 + 4 = 3 + 2 · 4a4 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3 · 4. a2 = 3 + 4a3 = 3 + 4 + 4 = 3 + 2 · 4a4 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3 · 4.
Таким образом, последовательность также можно описать с помощью явной формулы
ан = 3 + 4 (n − 1) = 4n − 1.ан = 3 + 4 (n − 1) = 4n − 1.
В общем, арифметическая последовательность — это любая последовательность вида an = cn + b.an = cn + b.
В геометрической последовательности соотношение каждой пары следующих друг за другом членов одинаково. Например, рассмотрим последовательность
2, -23,29, -227,281,… .2, -23,29, -227,281,….
Мы видим, что отношение любого члена к предыдущему члену равно −13. − 13. Если предположить, что этот узор продолжается, эта последовательность представляет собой геометрическую последовательность. Его можно рекурсивно определить как
а1 = 2ан = -13 · ан-1forn≥2.а1 = 2ан = -13 · ан-1forn≥2.
Альтернативно, с
a2 = −13 · 2a3 = (- 13) (- 13) (2) = (- 13) 2 · 2a4 = (- 13) (- 13) (- 13) (2) = (- 13) 3 · 2 , a2 = −13 · 2a3 = (- 13) (- 13) (2) = (- 13) 2 · 2a4 = (- 13) (- 13) (- 13) (2) = (- 13) 3 · 2,
мы видим, что последовательность может быть описана с помощью явной формулы
an = 2 (−13) n−1. an = 2 (−13) n − 1.
Последовательность {2n} {2n}, которую мы обсуждали ранее, представляет собой геометрическую последовательность, где отношение любого члена к предыдущему члену составляет 2,2. В общем, геометрическая последовательность — это любая последовательность вида an = crn.an = crn.
Пример 5.1
Поиск явных формул
Найдите явную формулу для n-го члена последовательности для каждой из следующих последовательностей.
−12,23, −34,45, −56,… −12,23, −34,45, −56,…
34,97,2710,8113,24316,… 34,97,2710,8113,24316,…
Решение
Во-первых, обратите внимание, что последовательность чередуется с отрицательной на положительную. Нечетные члены в последовательности отрицательны, а четные — положительны.Следовательно, n-й член включает множитель (−1) n. (- 1) n. Затем рассмотрим последовательность числителей {1,2,3,…} {1,2,3,…} и последовательность знаменателей {2,3,4,…}. {2,3,4,…}. Мы видим, что обе эти последовательности являются арифметическими последовательностями. N-й член в последовательности числителей равен n, n, а n-й член в последовательности знаменателей равен n + 1.n + 1. Следовательно, последовательность можно описать явной формулой
an = (- 1) nnn + 1.an = (- 1) nnn + 1.
Последовательность числителей 3,9,27,81,243,… 3,9,27,81,243,… представляет собой геометрическую последовательность.Числитель n-го члена равен 3n3n. Последовательность знаменателей 4,7,10,13,16,… 4,7,10,13,16,… является арифметической последовательностью. Знаменатель n-го члена равен 4 + 3 (n − 1) = 3n + 1,4 + 3 (n − 1) = 3n + 1. Следовательно, мы можем описать последовательность явной формулой an = 3n3n + 1.an = 3n3n + 1.
Контрольно-пропускной пункт 5.1
Найдите явную формулу для n-го члена последовательности {15, −17,19, −111,…}. {15, −17,19, −111,…}.
Пример 5.2
Определяется отношениями повторения
Найдите явную формулу для каждой из следующих рекурсивно определенных последовательностей.
a1 = 2, a1 = 2, an = −3an − 1an = −3an − 1 для n≥2n≥2
a1 = 12, a1 = 12, an = an − 1 + (12) nan = an − 1 + (12) n для n≥2n≥2
Решение
Выписывая первые несколько терминов, получаем
a1 = 2a2 = −3a1 = −3 (2) a3 = −3a2 = (- 3) 22a4 = −3a3 = (- 3) 32.a1 = 2a2 = −3a1 = −3 (2) a3 = −3a2 = ( −3) 22a4 = −3a3 = (- 3) 32.
В целом
an = 2 (−3) n−1.an = 2 (−3) n − 1.
Запишите несколько первых терминов:
a1 = 12a2 = a1 + (12) 2 = 12 + 14 = 34a3 = a2 + (12) 3 = 34 + 18 = 78a4 = a3 + (12) 4 = 78 + 116 = 1516.a1 = 12a2 = a1 + (12) 2 = 12 + 14 = 34a3 = a2 + (12) 3 = 34 + 18 = 78a4 = a3 + (12) 4 = 78 + 116 = 1516.
Из этого шаблона мы выводим явную формулу
an = 2n − 12n = 1−12n.an = 2n − 12n = 1−12n.
Контрольно-пропускной пункт 5.2
Найдите явную формулу для последовательности, определенной рекурсивно, такой что a1 = −4a1 = −4 и an = an − 1 + 6. an = an − 1 + 6.
Предел последовательности
Фундаментальный вопрос, который возникает относительно бесконечных последовательностей, — это поведение членов при увеличении nn.Поскольку последовательность — это функция, определенная на натуральных числах, имеет смысл обсудить предел членов при n → ∞.n → ∞. Например, рассмотрим следующие четыре последовательности и их различное поведение при n → ∞n → ∞ (см. Рисунок 5.3):
{1 + 3n} = {4,7,10,13,…}. {1 + 3n} = {4,7,10,13,…}. Члены 1 + 3n1 + 3n становятся сколь угодно большими при n → ∞.n → ∞. В этом случае мы говорим, что 1 + 3n → ∞1 + 3n → ∞ при n → ∞.n → ∞.
{1− (12) n} = {12,34,78,1516,…}. {1− (12) n} = {12,34,78,1516,…}. Слагаемые 1− (12) n → 11− (12) n → 1 при n → ∞.п → ∞.
{(−1) n} = {- 1,1, −1,1,…}. {(- 1) n} = {- 1,1, −1,1,…}. Члены чередуются, но не приближаются к одному значению при n → ∞.n → ∞.
{(−1) nn} = {- 1,12, −13,14,…}. {(- 1) nn} = {- 1,12, −13,14,…}. Члены этой последовательности также чередуются, но (−1) nn → 0 (−1) nn → 0 при n → ∞.n → ∞.
Фигура 5,3 (a) Члены последовательности становятся сколь угодно большими при n → ∞.n → ∞. (b) Члены последовательности приближаются к 11 при n → ∞.n → ∞. (c) Члены в последовательности чередуются от 11 до −1−1 при n → ∞.п → ∞. (d) Члены в последовательности чередуются между положительными и отрицательными значениями, но приближаются к 00 при n → ∞.n → ∞.
Из этих примеров мы видим несколько возможностей поведения членов последовательности при n → ∞.n → ∞. В двух последовательностях члены стремятся к конечному числу при n → ∞.n → ∞. В двух других последовательностях терминов нет. Если члены последовательности приближаются к конечному числу LL при n → ∞, n → ∞, мы говорим, что последовательность является сходящейся последовательностью, а действительное число LL является пределом последовательности.Мы можем дать здесь неформальное определение.
Определение
Для данной последовательности {an}, {an}, если члены anan становятся сколь угодно близкими к конечному числу LL, когда nn становится достаточно большим, мы говорим, что {an} {an} — сходящаяся последовательность, а LL — предел последовательности . В этом случае мы пишем
limn → ∞an = L. limn → ∞an = L.
Если последовательность {an} {an} не сходится, мы говорим, что это расходящаяся последовательность.
Из рисунка 5.3 мы видим, что члены в последовательности {1− (12) n} {1− (12) n} становятся произвольно близкими к 11, когда nn становится очень большим.Мы заключаем, что {1− (12) n} {1− (12) n} сходящаяся последовательность и ее предел равен 1.1. Напротив, из рисунка 5.3 мы видим, что члены в последовательности 1 + 3n1 + 3n не приближаются к конечному числу по мере того, как nn становится больше. Мы говорим, что {1 + 3n} {1 + 3n} расходящаяся последовательность.
В неформальном определении предела последовательности мы использовали термины «произвольно близкие» и «достаточно большие». Хотя эти фразы помогают проиллюстрировать значение сходящейся последовательности, они несколько расплывчаты.Чтобы быть более точным, мы теперь представляем более формальное определение предела для последовательности и графически показываем эти идеи на рисунке 5. 4.
Определение
Последовательность {an} {an} сходится к действительному числу LL, если для всех ε> 0, ε> 0 существует целое число NN такое, что | an − L | <ε | an − L | <ε, если n≥ Nn≥N. Число LL является пределом последовательности, и мы пишем
limn → ∞an = Лоран → L.limn → ∞an = Loran → L.
В этом случае мы говорим, что последовательность {an} {an} является сходящейся последовательностью. Если последовательность не сходится, это расходящаяся последовательность, и мы говорим, что предела не существует.
Заметим, что сходимость или расходимость последовательности {an} {an} зависит только от того, что происходит с членами anan при n → ∞.n → ∞. Следовательно, если конечное число членов b1, b2,…, bNb1, b2,…, bN помещается перед a1a1 для создания новой последовательности
b1, b2,…, bN, a1, a2,…, b1, b2,…, bN, a1, a2,…,
эта новая последовательность будет сходиться, если {an} {an} сходится, и расходиться, если {an} {an} расходится. Кроме того, если последовательность {an} {an} сходится к L, L, эта новая последовательность также сходится к L.L.
Фигура 5.4 По мере увеличения nn члены anan становятся ближе к LL. Для значений n≥N, n≥N расстояние между каждой точкой (n, an) (n, an) и линией y = Ly = L меньше ε. ε.
Как определено выше, если последовательность не сходится, она называется расходящейся последовательностью. Например, последовательности {1 + 3n} {1 + 3n} и {(−1) n} {(- 1) n}, показанные на рисунке 5.4, расходятся. Однако разные последовательности могут отличаться по-разному. Последовательность {(−1) n} {(- 1) n} расходится, потому что члены чередуются между 11 и −1, −1, но не приближаются к одному значению при n → ∞.п → ∞. С другой стороны, последовательность {1 + 3n} {1 + 3n} расходится, поскольку слагаемые 1 + 3n → ∞1 + 3n → ∞ при n → ∞.n → ∞. Скажем, что последовательность {1 + 3n} {1 + 3n} расходится на бесконечность, и запишем limn → ∞ (1 + 3n) = ∞.limn → ∞ (1 + 3n) = ∞. Важно понимать, что это обозначение не означает, что существует предел последовательности {1 + 3n} {1 + 3n}. На самом деле последовательность расходится. Запись о том, что предел равен бесконечности, предназначена только для предоставления дополнительной информации о том, почему последовательность расходится. Последовательность также может расходиться до отрицательной бесконечности.Например, последовательность {−5n + 2} {- 5n + 2} расходится до отрицательной бесконечности, поскольку −5n + 2 → −∞ − 5n + 2 → −∞ при n → −∞.n → −∞. Запишем это как limn → ∞ (−5n + 2) = → −∞.limn → ∞ (−5n + 2) = → −∞.
Поскольку последовательность — это функция, домен которой является набором положительных целых чисел, мы можем использовать свойства пределов функций, чтобы определить, сходится ли последовательность. Например, рассмотрим последовательность {an} {an} и связанную с ней функцию ff, определенную для всех положительных действительных чисел, таких что f (n) = anf (n) = an для всех целых чисел n≥1. n≥1.Поскольку область определения последовательности является подмножеством области определения f, f, если существует limx → ∞f (x) limx → ∞f (x), то последовательность сходится и имеет тот же предел. Например, рассмотрим последовательность {1n} {1n} и связанную с ней функцию f (x) = 1x.f (x) = 1x. Поскольку функция ff, определенная на всех действительных числах x> 0x> 0, удовлетворяет условию f (x) = 1x → 0f (x) = 1x → 0 при x → ∞, x → ∞, последовательность {1n} {1n} должна удовлетворять 1n → 01n → 0 при n → ∞.n → ∞.
Теорема 5.1
Предел последовательности, определяемой функцией
Рассмотрим последовательность {an} {an} такую, что an = f (n) an = f (n) для всех n≥1.n≥1. Если существует действительное число LL такое, что
limx → ∞f (x) = L, limx → ∞f (x) = L,
, затем {an} {an} сходится и
limn → ∞an = L. limn → ∞an = L.
Мы можем использовать эту теорему для вычисления limn → ∞rnlimn → ∞rn для 0≤r≤1.0≤r≤1. Например, рассмотрим последовательность {(1/2) n} {(1/2) n} и связанную с ней экспоненциальную функцию f (x) = (1/2) x. f (x) = (1/2) x. Поскольку limx → ∞ (1/2) x = 0, limx → ∞ (1/2) x = 0, заключаем, что последовательность {(1/2) n} {(1/2) n} сходится и ее предел составляет 0,0. Аналогично, для любого действительного числа rr такого, что 0≤r <1,0≤r <1, limx → ∞rx = 0, limx → ∞rx = 0, и, следовательно, последовательность {rn} {rn} сходится.С другой стороны, если r = 1, r = 1, то limx → ∞rx = 1, limx → ∞rx = 1, и, следовательно, предел последовательности {1n} {1n} равен 1.1. Если r> 1, r> 1, limx → ∞rx = ∞, limx → ∞rx = ∞, и поэтому мы не можем применить эту теорему. Однако в этом случае, так же как функция rxrx неограниченно растет при n → ∞, n → ∞, члены rnrn в последовательности становятся сколь угодно большими при n → ∞, n → ∞, и мы заключаем, что последовательность {rn} {rn} расходится до бесконечности, если r> 1.r> 1.
Мы суммируем эти результаты относительно геометрической последовательности {rn}: {rn}:
rn → 0, если 0 1.rn → 0, если 0 1.
Далее в этом разделе мы рассмотрим случай, когда r <0.r <0.
Теперь рассмотрим несколько более сложные последовательности. Например, рассмотрим последовательность {(2/3) n + (1/4) n}. {(2/3) n + (1/4) n}. Члены в этой последовательности более сложные, чем в других последовательностях, которые мы обсуждали, но, к счастью, предел этой последовательности определяется пределами двух последовательностей {(2/3) n} {(2/3) n} и {( 1/4) n}. {(1/4) n}. Как мы описываем в следующих алгебраических предельных законах, поскольку {(2/3) n} {(2/3) n} и {1/4) n} {1/4) n} сходятся к 0,0, последовательность {(2/3) n + (1/4) n} {(2/3) n + (1/4) n} сходится к 0 + 0 = 0.0 + 0 = 0. Так же, как мы смогли оценить предел, включающий алгебраическую комбинацию функций ff и gg, глядя на пределы ff и gg (см. Введение в пределы), мы можем оценить предел последовательности, члены которой являются алгебраическими комбинациями anan и bnbn, оценив пределы {an} {an} и {bn}. {bn}.
Теорема 5.2
Алгебраические предельные законы
Для заданных последовательностей {an} {an} и {bn} {bn} и любого действительного числа c, c, если существуют такие константы AA и BB, что limn → ∞an = Alimn → ∞an = A и limn → ∞bn = B, limn → ∞bn = B, тогда
limn → ∞c = climn → ∞c = c
limn → ∞can = climn → ∞an = cAlimn → ∞can = climn → ∞an = cA
limn → ∞ (an ± bn) = limn → ∞an ± limn → ∞bn = A ± Blimn → ∞ (an ± bn) = limn → ∞an ± limn → ∞bn = A ± B
limn → ∞ (an · bn) = (limn → ∞an) · (limn → ∞bn) = A · Blimn → ∞ (an · bn) = (limn → ∞an) · (limn → ∞bn) = A · B
limn → ∞ (anbn) = limn → ∞anlimn → ∞bn = AB, limn → ∞ (anbn) = limn → ∞anlimn → ∞bn = AB, если B ≠ 0B ≠ 0 и каждое bn ≠ 0. bn ≠ 0.
Проба
Докажем часть iii.
Пусть ϵ> 0.ϵ> 0. Поскольку limn → ∞an = A, limn → ∞an = A, существует постоянное натуральное число N1N1 такое, что | ан-А | <ε2 | ан-А | <ε2 для всех n≥N1.n≥N1. Поскольку limn → ∞bn = B, limn → ∞bn = B, существует постоянная N2N2 такая, что | bn − B | <ε / 2 | bn − B | <ε / 2 для всех n≥N2.n≥N2. Пусть NN будет большим из N1N1 и N2.N2. Следовательно, для всех n≥N, n≥N
| (an + bn) — (A + B) | ≤ | an − A | + | bn − B | <ε2 + ε2 = ε. | (An + bn) - (A + B) | ≤ | an− А | + | bn − B | <ε2 + ε2 = ε.
□
Алгебраические предельные законы позволяют нам оценивать пределы для многих последовательностей. Например, рассмотрим последовательность {1n2}. {1n2}. Как было показано ранее, limn → ∞1 / n = 0. limn → ∞1 / n = 0. Аналогично, для любого положительного целого числа k, k мы можем заключить, что
limn → ∞1nk = 0. limn → ∞1nk = 0.
В следующем примере мы используем этот факт вместе с законами пределов для оценки пределов для других последовательностей.
Пример 5,3
Определение сходимости и определение пределов
Для каждой из следующих последовательностей определите, сходится ли последовательность.Если он сходится, найдите его предел.
{5−3n2} {5−3n2}
{3n4−7n2 + 56−4n4} {3n4−7n2 + 56−4n4}
{2nn2} {2nn2}
{(1 + 4n) n} {(1 + 4n) n}
Решение
Мы знаем, что 1 / n → 0,1 / n → 0. Используя этот факт, заключаем, что
limn → ∞1n2 = limn → ∞ (1n) .limn → ∞ (1n) = 0. limn → ∞1n2 = limn → ∞ (1n) .limn → ∞ (1n) = 0.
Следовательно,
limn → ∞ (5−3n2) = limn → ∞5−3limn → ∞1n2 = 5−3 · 0 = 5.limn → ∞ (5−3n2) = limn → ∞5−3limn → ∞1n2 = 5−3 · 0 = 5.
Последовательность сходится и ее предел равен 5.5.
Вынося n4n4 из числителя и знаменателя и используя приведенные выше законы пределов, получаем
limn → ∞3n4−7n2 + 56−4n4 = limn → ∞3−7n2 + 5n46n4−4 = limn → ∞ (3−7n2 + 5n4) limn → ∞ (6n4−4) = (limn → ∞ (3) −limn → ∞7n2 + limn → ∞5n4) (limn → ∞6n4 − limn → ∞ (4)) = (limn → ∞ (3) −7 · limn → ∞1n2 + 5 · limn → ∞1n4) (6 · limn → ∞1n4 − limn → ∞ (4)) = 3−7 · 0 + 5 · 06 · 0−4 = −34. limn → ∞3n4−7n2 + 56−4n4 = limn → ∞3−7n2 + 5n46n4−4 = limn → ∞ (3−7n2 + 5n4) limn → ∞ (6n4−4) = (limn → ∞ (3) −limn → ∞7n2 + limn → ∞5n4) (limn → ∞6n4 − limn → ∞ (4)) = (limn → ∞ (3) −7 · limn → ∞1n2 + 5 · limn → ∞1n4) (6 · limn → ∞1n4 − limn → ∞ (4)) = 3−7 · 0 + 5 · 06 · 0 −4 = −34.
Последовательность сходится, и ее предел равен −3 / 4. − 3/4.
Рассмотрим связанную функцию f (x) = 2x / x2f (x) = 2x / x2, определенную для всех действительных чисел x> 0.x> 0. Поскольку 2x → ∞2x → ∞ и x2 → ∞x2 → ∞ при x → ∞, x → ∞, примените правило Л’Опиталя и напишите
limx → ∞2xx2 = limx → ∞2xln22x Возьмите производные числителя и знаменателя. = limx → ∞2x (ln2) 22 Возьмите производные снова. = ∞.limx → ∞2xx2 = limx → ∞2xln22x Возьмите производные числителя и знаменателя. = limx → ∞2x (ln2) 22 Снова возьмем производные. = ∞.
Делаем вывод, что последовательность расходится.
Рассмотрим функцию f (x) = (1 + 4x) xf (x) = (1 + 4x) x, определенную для всех действительных чисел x> 0. x> 0. Эта функция имеет неопределенный вид 1∞1∞ при x → ∞.x → ∞. Пусть
y = limx → ∞ (1 + 4x) x.y = limx → ∞ (1 + 4x) x.
Теперь, взяв натуральный логарифм обеих частей уравнения, получим
ln (y) = ln [limx → ∞ (1 + 4x) x]. ln (y) = ln [limx → ∞ (1 + 4x) x].
Поскольку функция f (x) = lnxf (x) = lnx непрерывна в своей области определения, мы можем поменять местами предел и натуральный логарифм. Следовательно,
ln (y) = limx → ∞ [ln (1 + 4x) x].ln (y) = limx → ∞ [ln (1 + 4x) x].
Используя свойства логарифмов, запишем
limx → ∞ [ln (1 + 4x) x] = limx → ∞xln (1 + 4x) .limx → ∞ [ln (1 + 4x) x] = limx → ∞xln (1 + 4x).
Поскольку правая часть этого уравнения имеет неопределенный вид ∞ · 0, ∞ · 0, перепишите ее в виде дроби, чтобы применить правило Л’Опиталя. Написать
limx → ∞xln (1 + 4x) = limx → ∞ln (1 + 4 / x) 1 / x.limx → ∞xln (1 + 4x) = limx → ∞ln (1 + 4 / x) 1 / x.
Поскольку правая часть теперь имеет неопределенную форму 0 / 0,0 / 0, мы можем применить правило Л’Опиталя. Делаем вывод, что
limx → ∞ln (1 + 4 / x) 1 / x = limx → ∞41 + 4 / x = 4.limx → ∞ln (1 + 4 / x) 1 / x = limx → ∞41 + 4 / x = 4.
Следовательно, ln (y) = 4ln (y) = 4 и y = e4.y = e4. Следовательно, поскольку limx → ∞ (1 + 4x) x = e4, limx → ∞ (1 + 4x) x = e4, мы можем заключить, что последовательность {(1 + 4n) n} {(1 + 4n) n} сходится на e4.e4.
Контрольно-пропускной пункт 5,3
Рассмотрим последовательность {(5n2 + 1) / en}. {(5n2 + 1) / en}. Определите, сходится ли последовательность. Если он сходится, найдите его предел.
Напомним, что если ff — непрерывная функция при значении L, L, то f (x) → f (L) f (x) → f (L) при x → L.х → L. Эта идея применима и к последовательностям. Предположим, что последовательность an → L, an → L и функция ff непрерывна в L.L. Тогда f (an) → f (L) .f (an) → f (L). Это свойство часто позволяет нам находить пределы для сложных последовательностей. Например, рассмотрим последовательность 5−3n2,5−3n2. Из Примера 5.3а. мы знаем последовательность 5−3n2 → 5.5−3n2 → 5. Поскольку xx — непрерывная функция при x = 5, x = 5,
limn → ∞5−3n2 = limn → ∞ (5−3n2) = 5. limn → ∞5−3n2 = limn → ∞ (5−3n2) = 5.
Теорема 5,3
Непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях
Рассмотрим последовательность {an} {an} и предположим, что существует действительное число LL такое, что последовательность {an} {an} сходится к L.L. Предположим, что ff — непрерывная функция в LL. Тогда существует целое число NN такое, что ff определено при всех значениях anan для n≥N, n≥N, и последовательность {f (an)} {f (an)} сходится к f (L) f (L) (рисунок 5.5).
Проба
Пусть ϵ> 0.ϵ> 0. Поскольку ff непрерывна в L, L, существует такое δ> 0δ> 0, что | f (x) −f (L) | <ε | f (x) −f (L) | <ε, если | x − L | <б. | х - L | <б. Поскольку последовательность {an} {an} сходится к L, L, существует такое NN, что | an − L | <δ | an − L | <δ для всех n≥N. n≥N. Следовательно, для всех n≥N, n≥N, | an − L | <δ, | an − L | <δ, откуда следует | f (an) −f (L) | <ε.| f (an) - f (L) | <ε. Мы заключаем, что последовательность {f (an)} {f (an)} сходится к f (L) .f (L).
□
Фигура 5.5 Поскольку ff является непрерывной функцией, поскольку входы a1, a2, a3,… a1, a2, a3,… приближаются к L, L, выходы f (a1), f (a2), f (a3),… f (a1) , f (a2), f (a3),… приближаются к f (L) .f (L).
Пример 5,4
Пределы, включающие непрерывные функции, определенные на сходящихся последовательностях
Определите, сходится ли последовательность {cos (3 / n2)} {cos (3 / n2)}. Если он сходится, найдите его предел.
Решение
Поскольку последовательность {3 / n2} {3 / n2} сходится к 00 и cosxcosx непрерывна при x = 0, x = 0, мы можем заключить, что последовательность {cos (3 / n2)} {cos (3 / n2 )} сходится и
limn → ∞cos (3n2) = cos (0) = 1. limn → ∞cos (3n2) = cos (0) = 1.
Контрольно-пропускной пункт 5,4
Определите, сходится ли последовательность {2n + 13n + 5} {2n + 13n + 5}. Если он сходится, найдите его предел.
Другая теорема, касающаяся пределов последовательностей, является расширением теоремы сжатия для пределов, обсуждаемых во Введении в пределы.
Теорема 5,4
Теорема сжатия для последовательностей
Рассмотрим последовательности {an}, {an}, {bn}, {bn} и {cn}. {Cn}. Предположим, что существует целое число NN такое, что
an≤bn≤cnдля всехn≥N.an≤bn≤cnдля всехn≥N.
Если существует действительное число LL такое, что
limn → ∞an = L = limn → ∞cn, limn → ∞an = L = limn → ∞cn,
, то {bn} {bn} сходится и limn → ∞bn = Llimn → ∞bn = L (рисунок 5.6).
Проба
Пусть ε> 0.ε> 0. Поскольку последовательность {an} {an} сходится к L, L, существует целое число N1N1 такое, что | an-L | <ε | an-L | <ε для всех n≥N1. n≥N1. Аналогично, поскольку {cn} {cn} сходится к L, L, существует целое число N2N2 такое, что | cn − L | <ε | cn − L | <ε для всех n≥N2.n≥N2. По предположению существует целое число NN такое, что an≤bn≤cnan≤bn≤cn для всех n≥N.n≥N. Пусть MM будет наибольшим из N1, N2, N1, N2 и N.N. Мы должны показать, что | bn − L | <ε | bn − L | <ε для всех n≥M.n≥M. Для всех n≥M, n≥M,
−ε <- | an − L | ≤an − L≤bn − L≤cn − L≤ | cn − L | <ε. − ε <- | an − L | ≤an − L≤bn − L≤cn− L≤ | cn − L | <ε.
Следовательно, −ε
□
Фигура 5,6 Каждый член bnbn удовлетворяет an≤bn≤cnan≤bn≤cn, и последовательности {an} {an} и {cn} {cn} сходятся к одному пределу, поэтому последовательность {bn} {bn} должна сходиться к одному пределу также.
Пример 5.5
Использование теоремы о сжатии
Используйте теорему сжатия, чтобы найти предел каждой из следующих последовательностей.
{cosnn2} {cosnn2}
{(−12) n} {(- 12) n}
Решение
Поскольку −1≤cosn≤1−1≤cosn≤1 для всех целых чисел n, n, мы имеем
−1n2≤cosnn2≤1n2.−1n2≤cosnn2≤1n2.
Поскольку −1 / n2 → 0−1 / n2 → 0 и 1 / n2 → 0,1 / n2 → 0, мы заключаем, что cosn / n2 → 0cosn / n2 → 0 также.
С
−12n≤ (−12) n≤12n − 12n≤ (−12) n≤12n
для всех натуральных чисел n, n, −1 / 2n → 0−1 / 2n → 0 и 1 / 2n → 0,1 / 2n → 0, мы можем заключить, что (−1/2) n → 0. (- 1 / 2) п → 0.
Контрольно-пропускной пункт 5.5
Найдите limn → ∞2n − sinnn.limn → ∞2n − sinnn.
Используя идею из Примера 5.5b. заключаем, что rn → 0rn → 0 для любого действительного числа rr такого, что −1 Вот сводка свойств геометрических последовательностей.
rn → 0, если | r | <1 rn → 0, если | r | <1
(5.1)
rn → 1ifr = 1rn → 1ifr = 1
(5.2)
rn → ∞ifr> 1rn → ∞ifr> 1
(5,3)
{rn} расходится, еслиr≤ − 1 {rn} расходится, еслиr≤ − 1
(5,4)
Ограниченные последовательности
Теперь обратим наше внимание на одну из наиболее важных теорем, касающихся последовательностей: теорему о монотонной сходимости.Прежде чем сформулировать теорему, нам нужно ввести некоторую терминологию и мотивацию. Начнем с определения того, что означает ограниченность последовательности.
Определение
Последовательность {an} {an} ограничена сверху, если существует вещественное число MM такое, что
для всех натуральных чисел n.n.
Последовательность {an} {an} ограничена снизу, если существует вещественное число MM такое, что
для всех натуральных чисел n.n.
Последовательность {an} {an} является ограниченной последовательностью, если она ограничена сверху и ограничена снизу.
Если последовательность не ограничена, это неограниченная последовательность.
Например, последовательность {1 / n} {1 / n} ограничена выше, потому что 1 / n≤11 / n≤1 для всех положительных целых чисел n.n. Он также ограничен снизу, потому что 1 / n≥01 / n≥0 для всех натуральных чисел n. Следовательно, {1 / n} {1 / n} — ограниченная последовательность. С другой стороны, рассмотрим последовательность {2n}. {2n}. Поскольку 2n≥22n≥2 для всех n≥1, n≥1, последовательность ограничена снизу. Однако последовательность не ограничена сверху. Следовательно, {2n} {2n} — неограниченная последовательность.
Теперь обсудим связь между ограниченностью и сходимостью. Предположим, что последовательность {an} {an} неограничена. Тогда он не ограничен сверху, не ограничен снизу или и тем, и другим. В любом случае есть члены anan, величина которых сколь угодно велика по мере увеличения nn. В результате последовательность {an} {an} не может сходиться. Следовательно, ограниченность — необходимое условие сходимости последовательности.
Теорема 5.5
Сходящиеся последовательности ограничены
Если последовательность {an} {an} сходится, то она ограничена.
Обратите внимание, что ограниченность последовательности не является достаточным условием для сходимости последовательности. Например, последовательность {(−1) n} {(- 1) n} ограничена, но последовательность расходится, потому что последовательность колеблется между 11 и −1−1 и никогда не приближается к конечному числу. Теперь обсудим достаточное (но не необходимое) условие сходимости ограниченной последовательности.
Рассмотрим ограниченную последовательность {an}. {An}. Предположим, что последовательность {an} {an} возрастает. То есть a1≤a2≤a3… .a1≤a2≤a3…. Поскольку последовательность возрастает, члены не колеблются.Следовательно, есть две возможности. Последовательность могла расходиться до бесконечности, а могла сходиться. Однако, поскольку последовательность ограничена, она ограничена сверху и последовательность не может расходиться до бесконечности. Мы заключаем, что {an} {an} сходится. Например, рассмотрим последовательность
{12,23,34,45,…}. {12,23,34,45,…}.
Поскольку эта последовательность возрастает и ограничена сверху, она сходится. Далее рассмотрим последовательность
{2,0,3,0,4,0,1, −12, −13, −14,…}. {2,0,3,0,4,0,1, −12, −13, −14 ,…}.
Несмотря на то, что последовательность не увеличивается для всех значений n, n, мы видим, что -1/2 <-1/3 <-1/4 <⋯.−1/2 <−1/3 <−1/4 <⋯. Следовательно, начиная с восьмого члена, a8 = −1 / 2, a8 = −1 / 2, последовательность возрастает. В этом случае мы говорим, что последовательность равна , в конечном итоге увеличивается. Поскольку последовательность ограничена сверху, она сходится. Верно также и то, что если последовательность убывает (или со временем убывает) и ограничена снизу, она также сходится.
Определение
Последовательность {an} {an} возрастает для всех n≥n0n≥n0, если
an≤an + 1 для всех n≥n0. an≤an + 1 для всехn≥n0.
Последовательность {an} {an} убывает для всех n≥n0n≥n0, если
an≥an + 1 для всех n≥n0.an≥an + 1 для всех n≥n0.
Последовательность {an} {an} является монотонной последовательностью для всех n≥n0n≥n0, если она увеличивается для всех n≥n0n≥n0 или убывает для всех n≥n0.n≥n0.
Теперь у нас есть необходимые определения для формулировки теоремы о монотонной сходимости, которая дает достаточное условие сходимости последовательности.
Теорема 5,6
Теорема о монотонной сходимости
Если {an} {an} — ограниченная последовательность и существует натуральное число n0n0 такое, что {an} {an} монотонно для всех n≥n0, n≥n0, то {an} {an} сходится.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки данного текста. Вместо этого мы предоставляем график, который интуитивно показывает, почему эта теорема имеет смысл (рис. 5.7).
Фигура 5,7 Поскольку последовательность {an} {an} возрастает и ограничена сверху, она должна сходиться.
В следующем примере мы показываем, как теорему о монотонной сходимости можно использовать для доказательства сходимости последовательности.
Пример 5,6
Использование теоремы о монотонной сходимости
Для каждой из следующих последовательностей используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что последовательность сходится, и найдите ее предел.
{4nn!} {4nn!}
{an} {an} определяется рекурсивно, так что
a1 = 2andan + 1 = an2 + 12an для всех n≥2. a1 = 2andan + 1 = an2 + 12an для всехn≥2.
Решение
Выписывая первые несколько терминов, мы видим, что
{4nn!} = {4,8,323,323,12815,…}. {4nn!} = {4,8,323,323,12815,…}.
Сначала сроки увеличиваются. Однако после третьего срока сроки сокращаются. Фактически, члены уменьшаются для всех n≥3.n≥3. Мы можем показать это следующим образом.
an + 1 = 4n + 1 (n + 1)! = 4n + 1 · 4nn! = 4n + 1 · an≤anifn≥3.an + 1 = 4n + 1 (n + 1)! = 4n + 1 · 4nn ! = 4n + 1 · an≤anifn≥3.
Следовательно, последовательность убывает для всех n≥3.n≥3. Далее, последовательность ограничена снизу числом 00, поскольку 4n / n! ≥04n / n! ≥0 для всех натуральных чисел n.n. Следовательно, по теореме о монотонной сходимости последовательность сходится.
Чтобы найти предел, воспользуемся тем, что последовательность сходится, и положим L = limn → ∞an.L = limn → ∞an. Обратите внимание на это важное наблюдение. Рассмотрим limn → ∞an + 1.limn → ∞an + 1. С
г. {an + 1} = {a2, a3, a4,…}, {an + 1} = {a2, a3, a4,…}, единственная разница между последовательностями {an + 1} {an + 1} и {an} {an} состоит в том, что {an + 1} {an + 1} опускает первый член.Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость последовательности,
limn → ∞an + 1 = limn → ∞an = L. limn → ∞an + 1 = limn → ∞an = L.
Объединив этот факт с уравнением

и взяв предел обеих частей уравнения
limn → ∞an + 1 = limn → ∞4n + 1an, limn → ∞an + 1 = limn → ∞4n + 1an,
можно сделать вывод, что
Выписка первых нескольких терминов,
{2,54,4140,32813280,…}. {2,54,4140,32813280,…}.
можно предположить, что последовательность убывает и ограничена снизу единицей.1. Чтобы показать, что последовательность ограничена снизу числом 1,1, можно показать, что
an2 + 12an≥1.an2 + 12an≥1.
Чтобы показать это, сначала перепишите
an2 + 12an = an2 + 12an.an2 + 12an = an2 + 12an.
Поскольку a1> 0a1> 0 и a2a2 определяется как сумма положительных членов, a2> 0.a2> 0. Аналогично все члены an> 0.an> 0. Следовательно,

тогда и только тогда, когда

Переписывая неравенство an2 + 1≥2anan2 + 1≥2an как an2−2an + 1≥0, an2−2an + 1≥0 и используя тот факт, что
an2−2an + 1 = (an − 1) 2≥0an2−2an + 1 = (an − 1) 2≥0
поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, мы можем заключить, что
an2 + 12an≥1.an2 + 12an≥1.
Чтобы показать, что последовательность убывает, мы должны показать, что an + 1≤anan + 1≤an для всех n≥1.n≥1. Поскольку 1≤an2,1≤an2, то
an2 + 1≤2an2.an2 + 1≤2an2.
Разделив обе части на 2an, 2an, получим
an2 + 12an≤an. an2 + 12an≤an.
Используя определение an + 1, an + 1, мы заключаем, что
an + 1 = an2 + 12an≤an.an + 1 = an2 + 12an≤an.
Поскольку {an} {an} ограничен снизу и убывает по теореме о монотонной сходимости, он сходится.
Чтобы найти предел, пусть L = limn → ∞an.L = limn → ∞an. Тогда, используя рекуррентное соотношение и тот факт, что limn → ∞an = limn → ∞an + 1, limn → ∞an = limn → ∞an + 1, имеем
limn → ∞an + 1 = limn → ∞ (an2 + 12an), limn → ∞an + 1 = limn → ∞ (an2 + 12an),
и, следовательно,

Умножая обе части этого уравнения на 2L, 2L, приходим к уравнению

Решая это уравнение относительно L, L, мы заключаем, что L2 = 1, L2 = 1, откуда L = ± 1. L = ± 1. Поскольку все члены положительны, предел L = 1.L = 1.
Контрольно-пропускной пункт 5,6
Рассмотрим последовательность {an} {an}, определенную рекурсивно так, что a1 = 1, a1 = 1, an = an − 1/2.ан = ан − 1/2. Используйте теорему о монотонной сходимости, чтобы показать, что эта последовательность сходится, и найдите ее предел.
Студенческий проект
Числа Фибоначчи
Числа Фибоначчи рекурсивно определяются последовательностью {Fn} {Fn}, где F0 = 0, F0 = 0, F1 = 1F1 = 1 и для n≥2, n≥2,
Fn = Fn − 1 + Fn − 2. Fn = Fn − 1 + Fn − 2.
Здесь мы рассмотрим свойства чисел Фибоначчи.
Запишите первые двадцать чисел Фибоначчи.
Найдите замкнутую формулу для последовательности Фибоначчи, выполнив следующие шаги.
Рассмотрим рекурсивно определенную последовательность {xn} {xn}, где xo = cxo = c и xn + 1 = axn.xn + 1 = axn. Покажите, что эту последовательность можно описать замкнутой формулой xn = canxn = can для всех n≥0.n≥0.
Используя результат части а. в качестве мотивации ищите решение уравнения
Fn = Fn − 1 + Fn − 2Fn = Fn − 1 + Fn − 2
вида Fn = cλn.Fn = cλn. Определите, какие два значения λλ позволяют FnFn удовлетворять этому уравнению.
Рассмотрим два решения из части b: λ1λ1 и λ2. λ2.Пусть Fn = c1λ1n + c2λ2n. Fn = c1λ1n + c2λ2n. Используйте начальные условия F0F0 и F1F1, чтобы определить значения констант c1c1 и c2c2 и написать замкнутую формулу Fn.Fn.
Используйте ответ в 2 c. чтобы показать, что
limn → ∞Fn + 1Fn = 1 + 52.limn → ∞Fn + 1Fn = 1 + 52.
Число ϕ = (1 + 5) / 2ϕ = (1 + 5) / 2 известно как золотое сечение (рисунок 5.8 и рисунок 5.9).
Фигура 5,8 Семена подсолнечника имеют спиралевидные узоры, изгибающиеся влево и вправо.Число спиралей в каждом направлении всегда является числом Фибоначчи — всегда. (кредит: модификация работы Эсдраса Кальдерана, Wikimedia Commons)

Фигура 5.9 Пропорция золотого сечения встречается во многих известных образцах искусства и архитектуры. Древнегреческий храм, известный как Парфенон, был спроектирован с такими пропорциями, и соотношение снова проявляется во многих мелких деталях. (кредит: модификация работы TravelingOtter, Flickr)
Раздел 5.
1 Упражнения
Найдите первые шесть членов каждой из следующих последовательностей, начиная с n = 1.n = 1.
1 .
an = 1 + (- 1) nan = 1 + (- 1) n для n≥1n≥1
2 .
an = n2−1an = n2−1 для n≥1n≥1
3 .
a1 = 1a1 = 1 и an = an − 1 + nan = an − 1 + n для n≥2n≥2
4 .
a1 = 1, a1 = 1, a2 = 1a2 = 1 и an + 2 = an + an + 1an + 2 = an + an + 1 для n≥1n≥1
5 .
Найдите явную формулу для anan, где a1 = 1a1 = 1 и an = an − 1 + nan = an − 1 + n для n≥2.n≥2.
6 .
Найдите формулу anan для n-го члена арифметической последовательности, первый член которой a1 = 1a1 = 1, такой, что an + 1 − an = 17an + 1 − an = 17 для n≥1.n≥1.
7 .
Найдите формулу anan для n-го члена арифметической последовательности, первый член которой a1 = −3a1 = −3, такой, что an + 1 − an = 4an + 1 − an = 4 для n≥1.n≥1.
8 .
Найдите формулу anan для n-го члена геометрической последовательности, первый член которой a1 = 1a1 = 1, такой, что an + 1an = 10an + 1an = 10 для n≥1. n≥1.
9 .
Найдите формулу anan для n-го члена геометрической последовательности, первый член которой a1 = 3a1 = 3, такой, что an + 1an = 1 / 10an + 1an = 1/10 для n≥1.n≥1.
10 .
Найдите явную формулу для n-го члена последовательности, первые несколько членов которой равны {0,3,8,15,24,35,48,63,80,99,…}. {0,3,8,15, 24,35,48,63,80,99,…}. ( Подсказка: Сначала добавьте по одному к каждому члену.)
11 .
Найдите явную формулу для n-го члена последовательности, удовлетворяющего условиям a1 = 0a1 = 0 и an = 2an − 1 + 1an = 2an − 1 + 1 для n≥2.n≥2.
Найдите формулу для общего члена каждой из следующих последовательностей.
12 .
{1,0, −1,0,1,0, −1,0,…} {1,0, −1,0,1,0, −1,0,…} ( Подсказка: Найдите где sinxsinx принимает эти значения)
13 .
{1, −1 / 3,1 / 5, −1 / 7,…} {1, −1 / 3,1 / 5, −1 / 7,…}
Найдите функцию f (n) f (n), которая идентифицирует n-й член anan следующих рекурсивно определенных последовательностей, как an = f (n) . an = f (n).
14 .
a1 = 1a1 = 1 и an + 1 = −anan + 1 = −an для n≥1n≥1
15 .
a1 = 2a1 = 2 и an + 1 = 2anan + 1 = 2an для n≥1n≥1
16 .
a1 = 1a1 = 1 и an + 1 = (n + 1) anan + 1 = (n + 1) an для n≥1n≥1
17 .
a1 = 2a1 = 2 и an + 1 = (n + 1) an / 2an + 1 = (n + 1) an / 2 для n≥1n≥1
18 .
a1 = 1a1 = 1 и an + 1 = an / 2nan + 1 = an / 2n для n≥1n≥1
Постройте первые члены NN каждой последовательности.Укажите, указывает ли графическое свидетельство, что последовательность сходится или расходится.
19 .
[T] a1 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a2 = 2, а для n≥2, n≥2, an = 12 (an − 1 + an − 2); an = 12 (an −1 + an − 2); N = 30N = 30
20 .
[T] a1 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a2 = 2, a3 = 3a3 = 3 и для n≥4, n≥4, an = 13 (an − 1 + an − 2 + an −3), an = 13 (an − 1 + an − 2 + an − 3), N = 30N = 30
21 год .
[T] a1 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a2 = 2, а для n≥3, n≥3, an = an − 1an − 2; an = an − 1an − 2; N = 30N = 30
22 .
[T] a1 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a2 = 2, a3 = 3, a3 = 3, а для n≥4, n≥4, an = an − 1an − 2an − 3; ан = ан-1ан-2ан-3; N = 30N = 30
Предположим, что limn → ∞an = 1, limn → ∞an = 1, limn → ∞bn = −1, limn → ∞bn = −1 и 0 <−bn 23 .
limn → ∞ (3an − 4bn) limn → ∞ (3an − 4bn)
24 .
limn → ∞ (12bn − 12an) limn → ∞ (12bn − 12an)
25 .
limn → ∞an + bnan − bnlimn → ∞an + bnan − bn
26 .
limn → ∞an − bnan + bnlimn → ∞an − bnan + bn
Найдите предел каждой из следующих последовательностей, используя при необходимости правило L’Hôpital.
28 год .
(п — 1) 2 (п + 1) 2 (п — 1) 2 (п + 1) 2
30 .
n1 / nn1 / n ( Подсказка: n1 / n = e1nlnn) n1 / n = e1nlnn)
Для каждой из следующих последовательностей, для которых указаны n-е члены, укажите, является ли последовательность ограниченной и будет ли она в конечном итоге монотонной, возрастающей или убывающей.
36 .
n − 1 / n, n − 1 / n, n≥3n≥3
38 .
Определите, имеет ли последовательность, определенная следующим образом, предел. Если да, найдите предел.
a1 = 2, a1 = 2, a2 = 22, a2 = 22, a3 = 222a3 = 222 и т. Д.
39 .
Определите, имеет ли последовательность, определенная следующим образом, предел. Если да, найдите предел.
a1 = 3, a1 = 3, an = 2an − 1, an = 2an − 1, n = 2,3,… .n = 2,3,….
Используйте теорему сжатия, чтобы найти предел каждой из следующих последовательностей.
41 год .
cos (1 / n) −11 / ncos (1 / n) −11 / n
43 год .
an = sinnsin (1 / n) an = sinnsin (1 / n)
Для следующих последовательностей нанесите первые 2525 членов последовательности и укажите, указывает ли графическое свидетельство, что последовательность сходится или расходится.
Определите предел последовательности или покажите, что последовательность расходится. Если он сходится, найдите его предел.
46 .
an = tan − 1 (n2) an = tan − 1 (n2)
47 .
an = (2n) 1 / n − n1 / nan = (2n) 1 / n − n1 / n
48 .
an = ln (n2) ln (2n) an = ln (n2) ln (2n)
50 .
an = ln (n + 2n2−3) an = ln (n + 2n2−3)
53 .
ан = (п!) 2 (2n)! ан = (п!) 2 (2n)!
Метод Ньютона направлен на аппроксимацию решения f (x) = 0f (x) = 0, которое начинается с начального приближения x0x0 и последовательно определяет последовательность xn + 1 = xn − f (xn) f ′ (xn).xn + 1 = xn − f (xn) f ′ (xn). Для данного выбора ff и x0, x0 запишите формулу для xn + 1.xn + 1. Если последовательность кажется сходящейся, дайте точную формулу для решения x, x, затем определите предел xx с точностью до четырех знаков после запятой и наименьшее nn, такое, что xnxn согласовывается с xx с точностью до четырех знаков после запятой.
54 .
[T] f (x) = x2−2, f (x) = x2−2, x0 = 1×0 = 1
55 .
[T] f (x) = (x − 1) 2−2, f (x) = (x − 1) 2−2, x0 = 2×0 = 2
56 .
[T] f (x) = ex − 2, f (x) = ex − 2, x0 = 1×0 = 1
57 .
[T] f (x) = lnx − 1, f (x) = lnx − 1, x0 = 2×0 = 2
58 .
[T] Предположим, вы начали с одного литра уксуса и несколько раз удалили 0,1 л, 0,1 л, заменили водой, перемешали и повторили.
Найдите формулу для концентрации после nn шагов.
Через сколько этапов смесь будет содержать менее 10% 10% уксуса?
59 .
[T] Первоначально в озере содержится 2 000 000 особей рыбы. Предположим, что при отсутствии хищников или других причин выведения популяция рыб увеличивается на 6% 6% каждый месяц.Однако с учетом всех причин ежемесячно теряется 150–150 рыб.
Объясните, почему популяция рыб через nn месяцев моделируется как Pn = 1.06Pn − 1−150Pn = 1.06Pn − 1−150 с P0 = 2000.P0 = 2000.
Сколько рыбы будет в пруду через год?
60 .
[T] Ежемесячный доход с банковского счета составляет 5% 5% годовых. Предположим, что 1000 долларов США изначально вносятся на счет, но эти 10 долларов США снимаются каждый месяц.
Покажите, что сумма на счете через nn месяцев равна An = (1+.05/12) An − 1−10; An = (1 + .05 / 12) An − 1−10; A0 = 1000.A0 = 1000.
Сколько денег будет на счету через 11 лет?
Сумма увеличивается или уменьшается?
Предположим, что вместо 10 долларов каждый месяц снимается фиксированная сумма dd долларов. Найдите такое значение dd, чтобы сумма на счете после каждого месяца оставалась 1000 долларов США. 1000 долларов США.
Что произойдет, если dd больше этой суммы?
61 .
[T] Студент берет ссуду колледжа в размере 10 000 долл. США 10 000 долл. США по годовой процентной ставке 6%, 6%, начисляемой ежемесячно.
Если студент платит 100 долларов США в месяц, сколько он должен платить по прошествии 1212 месяцев?
Через сколько месяцев кредит будет погашен?
62 .
[T] Рассмотрим ряд, сочетающий геометрический рост и арифметическое убывание. Пусть a1 = 1.a1 = 1. Зафиксируем a> 1a> 1 и 0 63 .
[T] Двоичное представление x = 0.b1b2b3 … x = 0.b1b2b3 … числа xx от 00 до 11 может быть определено следующим образом. Пусть b1 = 0b1 = 0, если x <1 / 2x <1/2, и b1 = 1b1 = 1, если 1 / 2≤x <1.1 / 2≤x <1. Пусть x1 = 2x − b1.x1 = 2x − b1. Пусть b2 = 0b2 = 0, если x1 <1 / 2x1 <1/2, и b2 = 1b2 = 1, если 1 / 2≤x <1.1 / 2≤x <1. Пусть x2 = 2x1 − b2x2 = 2x1 − b2 и, вообще говоря, xn = 2xn − 1 − bnxn = 2xn − 1 − bn и bn − 1 = 0bn − 1 = 0, если xn <1 / 2xn <1/2 и bn− 1 = 1bn − 1 = 1, если 1 / 2≤xn <1.1 / 2≤xn <1. Найдите двоичное разложение 1/3.1/3.
64 .
[T] Чтобы найти приближение для π, π, положите a0 = 2 + 1, a0 = 2 + 1, a1 = 2 + a0, a1 = 2 + a0 и, как правило, an + 1 = 2 + ан. ан + 1 = 2 + ан. Наконец, положим pn = 3.2n2−an.pn = 3.2n2 − an. Найдите первые десять членов pnpn и сравните значения с π.π.
Для следующих двух упражнений предположим, что у вас есть доступ к компьютерной программе или источнику в Интернете, который может генерировать список нулей и единиц любой желаемой длины. Генераторы псевдослучайных чисел (ГПСЧ) играют важную роль в моделировании случайного шума в физических системах, создавая последовательности нулей и единиц, которые выглядят как результат многократного подбрасывания монеты.Один из простейших типов ГПСЧ рекурсивно определяет произвольную последовательность из NN целых чисел a1, a2,…, aNa1, a2,…, aN, фиксируя два специальных целых числа KK и MM и позволяя + 1an + 1 быть остатком после деления K.anK.an в M, M, затем создает битовую последовательность нулей и единиц, у которых n-й член bnbn равен единице, если anan нечетен, и равен нулю, если anan четно. Если биты bnbn являются псевдослучайными, то поведение их среднего (b1 + b2 + ⋯ + bN) / N (b1 + b2 + ⋯ + bN) / N должно быть аналогично поведению средних значений действительно случайно сгенерированных битов.
65 .
[T] Начиная с K = 16 807 K = 16 807 и M = 2 147 483 647, M = 2 147 483 647, используя десять различных начальных значений a1, a1, вычислить последовательности битов bnbn до n = 1000, n = 1000 и сравнить их среднее значение до десяти таких последовательностей, генерируемых генератором случайных битов.
66 .
[T] Найдите первые 1000–1000 цифр числа ππ с помощью компьютерной программы или Интернет-ресурса. Создайте битовую последовательность bnbn, положив bn = 1bn = 1, если n-я цифра ππ нечетная, и bn = 0bn = 0, если n-я цифра ππ четная.Вычислите среднее значение bnbn и среднее значение dn = | bn + 1 − bn |, dn = | bn + 1 − bn |, n = 1, …, 999.n = 1, …, 999 . Кажется ли последовательность bnbn случайной? Кажутся ли различия между последовательными элементами bnbn случайными?
% PDF-1.5 % 1 0 объект > эндобдж 2 0 obj > поток 2015-10-27T20: 02: 01-05: 002015-10-27T20: 02: 01-05: 002015-10-27T20: 02: 01-05: 00TeXapplication / pdfuuid: 462b2ff7-5b90-4eac-ae38-c76699d0f801uuid: 5d72066c-00f5-4cfc-8d19-d9d79e3ebd0fMiKTeX pdfTeX-1. 40,14 конечный поток эндобдж 3 0 obj > эндобдж 5 0 объект > эндобдж 6 0 объект > эндобдж 7 0 объект > эндобдж 8 0 объект > эндобдж 9 0 объект > эндобдж 10 0 объект > эндобдж 11 0 объект > эндобдж 12 0 объект > эндобдж 13 0 объект > эндобдж 14 0 объект > эндобдж 33 0 объект > поток x \ [s ܶ ~ ϯP / Ԍw 38DKN’MWr ױ? s
Последовательности — конвергенция и расхождение последовательностей
Представьте, что черный пояс кунг-фу взял функцию и прорезал ее, оставив только дискретные значения. Эти дискретные значения образуют последовательность. Поскольку последовательность — это просто список чисел, составленный из функции, она действует аналогично функциям.
Давайте посмотрим, как мастер боевых искусств может показать нам последовательность. Эти блюда будут похожи на функции, поэтому вы можете просмотреть их, чтобы увидеть сходства.
Мы говорим, что последовательность равна , увеличивая , если члены становятся больше, чем n . Это похоже на односторонний суши-ролл, где кусок справа больше, чем слева.
В символах, если m < n , то a _m < a _n .
Мы говорим, что последовательность убывает , если члены становятся меньше по мере того, как n становится больше. Это похоже на односторонний суши-ролл, где кусок справа меньше, чем кусок слева.
В символах, если m < n , то a _m > a _n .
Если последовательность увеличивается или уменьшается, мы называем ее монотонной , потому что члены идут только в одном направлении.У нас будет монотонно увеличивающийся ролл «Калифорния» с дополнительным васаби на стороне.
Пример задачи
Последовательность a _n = n увеличивается, потому что члены становятся больше по мере увеличения n .
Пример задачи
Последовательность уменьшается, потому что члены становятся меньше по мере увеличения n .
Будьте осторожны: увеличение и уменьшение не противоположны.Последовательность не может ни увеличиваться, ни уменьшаться.
Пример задачи
Члены последовательности a _n = (-1) ⁿ перемещаются назад и вперед между 1 и -1. Эта последовательность не увеличивается и не уменьшается.
Будьте осторожны: Использование слова «увеличение» для обозначения функции неоднозначно, поскольку оно может означать либо неубывающее , либо строго возрастающее . Обычно нас не волнуют неубывающие последовательности.Это примерно так же интересно, как наблюдать, как вода испаряется с горячей поверхности дороги в середине лета. Вот почему для последовательностей мы используем «возрастающий» как сокращение от «строго возрастающего».
Как и функция, мы говорим, что последовательность ограничена выше , если все члены последовательности меньше или равны некоторому значению M .
В символах,
a _n ≤ M
для всех n .
Никаких сюрпризов.Мы говорим, что последовательность ограничена ниже , если существует такое значение K , что все члены последовательности равны не менее K .
В символах,
a _n ≥ K
для всех n .
Если последовательность ограничена сверху и снизу, мы говорим, что это ограничено . Для нашей последовательности суши, если она ограничена, мы можем сделать из нее коробку для бенто.
Если в последовательности отсутствуют одна или обе эти границы, то это неограниченное .
Есть пара теорем, связывающих идеи ограниченности и сходимости последовательностей. Это некоторые из идей, которые оживляют наши последовательности суши-роллов.
Теорема
Монотонная ограниченная последовательность должна сходиться. Это довольно очевидное утверждение, поэтому мы могли бы назвать его теоремой о ролле Калифорнии. Все знают, что это такое, и как бы это ни было скучно, все его едят.
Доказательство. Вместо того, чтобы быть чрезмерно математическим, мы объясним вещи, чтобы дать вам идею.Если последовательность увеличивается, сроки повышаются.
Если последовательность ограничена, члены не могут расти бесконечно, потому что они не могут выходить за верхнюю границу.
Это означает, что последовательность сходится. Если заданная верхняя граница не является наилучшей возможной верхней границей, последовательность может сходиться к некоторому значению на L меньшему, чем заданная верхняя граница.
Аналогично, если последовательность убывает, члены уменьшаются. Если последовательность ограничена, члены не могут сохраняться вечно, поэтому они должны приближаться к какому-то этажу.Это означает, что последовательность сходится.
Теорема
Любая конечная последовательность ограничена.
Доказательство. Конечная последовательность имеет некоторый наибольший член и некоторый наименьший член. Это дает верхнюю и нижнюю границы соответственно.
Теорема
Сходящаяся последовательность должна быть ограниченной. Мы могли бы назвать это теоремой бенто-бокса. Если рулон сходится к какому-то размеру, он уместится в коробке.
Доказательство. Если последовательность сходится к некоторому значению L , то в конечном итоге все члены должны быть очень близки к L .В частности, в конечном итоге условия должны быть в пределах 1 от L в любом направлении.
Формально, когда n становится достаточно большим, мы имеем
L — 1 ≤ a _n ≤ L + 1.
Может быть только конечное число членов, все в начале последовательность, не входящая в 1 из L .
Возьмите самый большой член, не входящий в 1 из L . Если этот член больше, чем L + 1, этот член является верхней границей для последовательности.
В противном случае L + 1 является верхней границей последовательности.
Аналогичным образом возьмем наименьший член, не входящий в 1 из L . Если этот член меньше, чем L — 1, этот член является нижней границей для последовательности.
В противном случае L — 1 является нижней границей для последовательности.
Напротив, ограниченная последовательность НЕ должна сходиться. Эта нетеорема похожа на ролл дракона. Это всегда будет держать вас в тонусе. Один из самых простых примеров — последовательность
a _n = (-1) ⁿ .
Эта последовательность определенно ограничена, поскольку -1 ≤ a _n ≤ 1 для всех n . n» />
Серия дивергентной мощности с a = 11/10
Проба:
Это кажется очевидным утверждением: если число по абсолютным значениям меньше, чем во-первых, он становится все меньше и меньше при повышении до все большей и большей степени. Однако часто бывает трудно доказать что-то «очевидное», потому что это может не ясно, с чего начать. Чтобы доказать утверждение, мы должны прибегнуть к одному из элементарные свойства действительной системы счисления: принцип Архимеда.
Корпус a & gt 1 :
Возьмите любое действительное число K & gt 0 и определите
х = а — 1
Поскольку a & gt 1 , мы знаем, что x & gt 0 . От По принципу Архимеда существует натуральное число n такое, что nx & gt K — 1 . Используя неравенство Бернулли для этого n , мы имеем:
а ^п = (1 + х) ^п 1 + nx & gt 1 + (K — 1) = K
Но поскольку K было произвольным числом, это доказывает, что последовательность {a ⁿ} не ограничена. Следовательно, это не может сходятся.
Корпус 0 & lt a & lt 1 :
Возьмите любой & gt 0 . Поскольку 0 & lt a & lt 1 , мы знаем, что 1 / a & gt 1 , так что с помощью предыдущего доказательства мы можем найти N с

Но тогда следует, что
a ⁿ & lt для всех n & gt N
Это доказывает, что последовательность {a ⁿ} сходится к нулю.
Корпус -1 & lt a & lt 0 :
Из приведенного выше доказательства мы знаем, что | a ⁿ | сходится к нулю. Но с тех пор — | a ⁿ | & lt a ⁿ & lt | a ⁿ | последовательность { a ⁿ } снова сходится к нулю по теореме защемления.
Корпус a & lt -1 :
Извлеките подпоследовательность {a ^2m} из последовательность {a ⁿ} . Тогда эта последовательность расходится до бесконечности по первой части доказательства, и, следовательно, оригинал последовательность тоже не может сходиться.
Случай a = 1 :
Это постоянная последовательность, поэтому она сходится.
Случай a = -1 :
Мы уже доказали, что последовательность не сходится.
Что такое сходимость последовательности и ряда?
Обзор (последовательность и серия)
Функция f: N, где S — непустое множество, называется последовательностью для каждого nϵN.
Запишем последовательность как f (1), f (2), f (3), f (4) ……… .f (n).
Любая последовательность f (n) может быть обозначена как , {f (n)} или (f (n)).
Предположим, что f (n) = sn
Тогда это может быть записано как — и может обозначаться как или {sn} или (sn)
sn — n-й член последовательности.
Пример: предположим, что у нас есть последовательность — 1, 4, 9, 16, ……… . . и ее n-й член равен n2.
Последовательность, которую мы можем записать как
Типы последовательностей
1.Конечная последовательность- Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной последовательностью.
2. Бесконечная последовательность — Неограниченная последовательность, называемая бесконечной последовательностью.
Предел последовательности — Говорят, что последовательность имеет тенденцию ограничивать «l», когда дано любое положительное число «ϵ», каким бы маленьким оно ни было, мы всегда можем найти целое число «m» такое, что | sn — l | <ϵ, для каждого для всех, n≥m, и мы можем определить это следующим образом:
Пример: Если , то предел будет —
Следовательно, предел последовательности равен 1/2.
Некоторые важные ограничения, которые следует запомнить для последовательности и серии
Сходящаяся последовательность. Последовательность Sn сходится, когда она стремится к конечному пределу. Это означает, что предел последовательности Sn всегда будет конечным в случае сходящейся последовательности.
Расходящаяся последовательность — когда последовательность стремится к ± ∞, это расходящаяся последовательность.
Колебательная последовательность — когда последовательность не сходится и не расходится, это колебательная последовательность.
Примечание — последовательность, которая не сходится и не расходится, называется колебательной последовательностью.
Последовательность равна нулю, когда она сходится к нулю.
Пример-1: рассмотрим последовательность 2, 3/2, 4/3, 5/4, …… .. здесь Sn = 1 + 1 / n
Sol. Как видим, последовательность Sn сходится и имеет предел 1.
Согласно деф.
Пример-2: рассмотрим последовательность Sn = n ² + (-1) ⁿ .
Sol. Здесь мы видим, что последовательность Sn расходится, поскольку имеет бесконечный предел.
Серия
Бесконечная серия — Если это последовательность, то называется бесконечной серией.
Обозначим это
Примеры бесконечных серий —
Ряд покрытия — предположим, что n → ∞, Sn → конечный предел «s», тогда ряд Sn называется сходящимся.
Мы можем обозначить это как,
Дивергентная серия — когда Sn стремится к бесконечности, серия называется расходящейся.
Колебательный ряд — , когда Sn не стремится к единственному пределу (конечному или бесконечному), тогда он называется колебательным рядом.
Свойства бесконечного ряда
1. Сходимость и расходимость бесконечного ряда неизменна при добавлении или удалении из него конечного числа членов.
2. Если положительные члены сходящихся рядов меняют знак, то ряд сходится.
3. Пусть сходится к s, пусть k ненулевое фиксированное число, тогда сходится к ks.
4. Let сходится к «l» и сходится к «m».
Пример-1: проверьте, соответствует ли серия

сходится или расходится. Найдите его значение в случае конвергентной.
Sol. Как мы знаем,
Sn =
Следовательно,
Sn =
Теперь узнайте предел последовательности,
Здесь значение предела бесконечно, так что ряд расходится, поскольку последовательность расходится .
Пример-2: проверьте, соответствует ли серия

сходится или расходится. Найдите его значение в случае конвергентной.
Sol. Общая формула для этой серии:
Получаем
Следовательно, ряд сходится и его значения равны 3/2.

РубрикаРазное