С помощью обратной матрицы решить систему линейных уравнений: Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение уравнений методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы используется при решении систем линейных алгебраических уравнений, если число неизвестных равно числу уравнений.

Суть метода

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными:

   

Эту систему можно записать в виде матричного уравнения ,

где – матрица системы,

– столбец неизвестных,

– столбец свободных коэффициентов.

Из полученного матричного уравнения необходимо выразить . Для этого умножим обе части матричного уравнения слева на , получим:

   

Так как , то или .

Далее находится обратная матрица и умножается на столбец свободных членов .

ЗАМЕЧАНИЕ Обратная матрица к матрице существует только при условии, что . Поэтому при решении системы линейных уравнений методом обратной матрицы в первую очередь вычисляется . Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы, если же , то методом обратной матрицы решить эту систему нельзя.

Пример решения методом обратной матрицы

ПРИМЕР 1

Задание	Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы
Решение	Данная система уравнений может быть записана матричным уравнением     где , , . Выразив из этого уравнения , получим     Найдем определитель матрицы :         Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы. Найдем обратную матрицу с помощью союзной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы :                     Запишем союзную матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы :     Далее запишем обратную матрицу согласно формуле . Будем иметь:     Умножая обратную матрицу на столбец свободных членов , получим искомое решение исходной системы:
Ответ

Читайте также:

Умножение матрицы на вектор

Ранг матрицы

Вычитание матриц

Перемножение матриц

Элементарные преобразования матриц

Операции над матрицами и их свойства

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы онлайн

Одним из популярных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является метод обратной матрицы. Рассмотрим этот метод подробнее на примере решения СЛАУ, состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными.

a11xa12yb1a21xa22yb2

Введем обозначения: A — матрица СЛАУ, которая имеет вид:

Aa11a12a21a22

X — вектор столбец неизвестных, которые нам нужно найти:

Xxy

B — вектор столбец свободных коэффициентов:

Bb1b2

В результате, исходную СЛАУ можно записать в матричной форме:

AXB

Решим это матричное уравнение, для чего домножим его обе части слева на матрицу A^-1:

A1AXA1B

Здесь, A^-1 — это матрица, обратная к матрице A. Такая матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы (т.е. такой, определитель которой не равен нулю).

Эти условия показывают границы применимости метода обратной матрицы для решения СЛАУ. Во-первых: матрица СЛАУ A должна быть квадратной. Это означает, что количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Во-вторых: определитель матрицы A должен быть отличен от нуля:

A0

Кроме того, обратная матрица обладает ещё одним замечательным свойством: её произведение на исходную матрицу коммутативно и равно единичной матрице:

A1AAA1E

Возвращаясь к решению нашего матричного уравнения, получаем:

EXXA1B

Таким образом, для того, чтобы решить СЛАУ методом обратной матрицы, сначала нам нужно убедиться, что обратная матрица существует, затем найти её и умножить на вектор B.

Наш онлайн калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом обратной матрицы. Калькулятор выдаёт пошаговое решение с описанием действий на русском языке. Уравнения СЛАУ вводятся в калькулятор в естественном виде. В качестве коэффициентов уравнения можно вводить не только числа и дроби, но и параметры — в этом случае калькулятор выдаст решение в общем виде.

I.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

(схема 17)

Матрица, имеющая отличный от нуля определитель, называется

невырожденной;   имеющая равный нулю определитель  –  вырожденной.

Матрица A^-1  называется обратной для  заданной квадратной  матрицы , если   при  умножении матрицы    на обратную ей как справа, так и слева,  получается единичная матрица, то есть

A^-1∙A=A∙A^-1=E.                                                                                                                                                                                          (1.7)

Заметим, что в данном случае произведение матриц

A и A^-1   коммутативно.

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля определителя заданной матрицы

Если главная матрица системы оказалась при проверке вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод применить нельзя.

Для невырожденной матрицы  можно найти обратную ей матрицу A^-1  по следующему алгоритму.

1.  Транспонируем матрицу A  в матрицу A^T

 .

2.  Вычисляем алгебраические дополнения  элементов матрицы A^T и записываем их в матрицу .

3.  Составим обратную матрицу A^-1 по формуле:

.                                                                                                                                                                                      (1.8)

4. Сделаем проверку правильности найденной матрицы А^-1 согласно формуле (1.7).  Заметим, что данная проверка может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.

Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения:

A∙X=B, где A – главная матрица системы,  – столбец неизвестных,  – столбец свободных членов.   Умножим это уравнение слева на обратную матрицу A^-1, получим:  A^-1∙A∙X=A^-1∙B.    Так как  по  определению обратной матрицы A^-1∙A=E, то уравнение принимает вид 

E∙X=A^-1∙B  или X=A^-1∙B  .                                                                                                                                                                      

(1.9)

Таким образом, чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений нужно столбец свободных членов умножить  слева на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать проверку полученного решения.

Пример 1.6.  Решить систему методом обратной матрицы

Решение. Вычислим главный определитель системы

. 

Следовательно, матрица  невырожденная и обратная к ней матрица существует.  

Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы :  

Запишем алгебраические дополнения в матрицу

. Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения системы . Отсюда

x=2, y=0, z=1 

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

.

Тогда

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.

Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) матричным методом.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений матричным методом, выберите количество неизвестных величин: 2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Решить систему

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)

Решение системы линейных уравнений матричным методом

Матричный метод решения СЛУ

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах x_i в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то система линейных уравнения сведется к следующему матричному уравнению

A · X = B,

которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю (в противном случае система уравнений будет иметь либо бесконечное количество решений, либо не иметь решений вовсе).

Если определитель матрицы A отличен от нуля, то решение системы уравнений можно найти следующим способом

X = A^-1 · B,

где A^-1 обратная матрица, которую можно найти используя, например, Онлайн сервис для вычисления обратной матрицы на нашем сайте.

Таким образом, задача решения системы линейных уравнений матричным способом сводится к нахождению обратной матрицы A^-1 и последующему умножению её на матрицу-столбец B. Именно эта задача и выполняется с помощью предложенного вам онлайн калькулятора.

Матричный метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:

где

Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т.е. определитель матрицы A не равен нулю.

Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A⁻¹. Тогда

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A⁻¹A=E, где E— единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

или, учитывая, что Ex=x:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого заменяем местами строки 1 и 2:

.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого заменяем местами строки 2 и 3:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на 17/53, 85/159 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

.

Делим каждую строку матрицы на ведущий элемент соответствующей строки:

.

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

.

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

.

Ответ:

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

.

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом алгебраических дополнений. Вычислим определитель матрицы A :

.

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:

где A_ij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A.

Используя формулу обратной матрицы, получим:

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A⁻¹b. Тогда

Ответ:

2.3. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это метод решения квадратных систем линейных уравнений, в которых определитель системы не равен нулю.

Рассмотрим систему:

Обозначим через матрицу коэффициентов при неизвестных, через и – матрицы-столбцы переменных и правой части.

; ; ; .

Систему уравнений можно представить в матричной форме, она примет такой вид:

.

Умножим это равенство на обратную матрицу

, ,

Мы получили матричную запись решения системы линейных уравнений, из которой можно заключить следующее: чтобы квадратную систему линейных уравнений решить методом обратной матрицы, необходимо найти обратную матрицу и умножить ее “слева” на матрицу-столбец .

Пример 9. Решить систему методом обратной матрицы

.

Ранее мы нашли обратную для матрицы – в примере 8.

, , .

Проверка показывает, что система решена верно.

2.4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений. Он заключается в приведении системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных и реализуется в несколько этапов:

I этап– выбирается первое ведущее уравнение, содержащее, и с его помощью из всех остальных уравнений исключается .

II этап– первое ведущее уравнение остается неизменным; выбирается второе ведущее уравнение из всех оставшихся и с его помощью исключается неизвестная ;

III этап– первое и второе ведущие уравнения остаются неизменными. Выбирается третье ведущее и с его помощью исключается и т.д.

Когда система приведена к треугольному виду, то, двигаясь в обратном порядке, находят значения неизвестных величин.

Пример 10. Решить систему методом Гаусса.

В качестве первого ведущего выбираем второе уравнение, т.к. у него первый коэффициент равен единице.

І этап

ІI этап

Из третьего уравнения определяем: ; из второго: , , ; из первого: . Таким образом, .

Замечание. Очень удобной модификацией метода Гаусса является правило прямоугольника, которое тоже реализуется поэтапно.

Пример 11. Рассмотрим систему и решим ее модифицированным методом Гаусса.

Идея подхода прежняя – расширенная матрица приводится к треугольному виду. Она составляется с участием правой части системы и контрольного столбца :

Элементы контрольного столбца равны сумме всех элементов соответствующих строк.

I этап.Считаем первый диагональный элемент не равным нулю (в противном случае поменяет местами строки). Этот элемент назовемпервым генеральным элементом. В данном случае – это число 2. Далее первую строку переписываем без изменения, а первый столбец дополняем нулями. Остальные элементы определяем по правилу прямоугольника. Чтобы построить прямоугольник, каждый элемент соединяют с первой строкой и первым столбцом, а затем – с генеральным элементом. Вычисления проводят так: из произведения элементов диагонали, содержащей генеральный элемент, вычитают произведение элементов второй диагонали. В результате указанных преобразований получим:

Контрольный столбец, вычисленный по правилу прямоугольника, по-прежнему должен равняться сумме элементов строки.

II этап.Вторым генеральным элементом будет второй диагональный элемент. Далее первую и вторую строки переписываем без изменения, а первый и второй столбец дополняем нулями. Остальные элементы находим по правилу прямоугольника.

Сократим третью строку на 2, а четвертую – на (– 2).

III этап.Выбираем третий генеральный элемент – он третий по диагонали. Три строки оставляем без изменения, три столбца дополняем нулями, остальные элементы – по правилу прямоугольника.

Матрица приведена к треугольному виду. Контрольный момент проверен. Начиная с последней строки, определим неизвестные.

, ,

, ,

, ,

, , .

Проверка:

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: [latex] X [/ latex] — это матрица, представляющая переменные системы, а [latex] B [/ latex] — это матрица матрица, представляющая константы. Используя умножение матриц , мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, как

[латекс] AX = B [/ латекс]

Для решения системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы , пусть [latex] A [/ latex] будет матрицей коэффициентов , пусть [latex] X [/ latex] будет переменной матрицей, и пусть [latex] B [/ latex] — постоянная матрица.Таким образом, мы хотим решить систему [латекс] AX = B [/ latex]. Например, посмотрите на следующую систему уравнений.

[латекс] \ begin {array} {c} {a} _ {1} x + {b} _ {1} y = {c} _ {1} \\ {a} _ {2} x + {b} _ {2} y = {c} _ {2} \ end {array} [/ latex]

Из этой системы матрица коэффициентов равна

.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ конец {массив} \ справа] [/ латекс]

Матрица переменных —

[латекс] X = \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right] [/ latex]

А постоянная матрица

[латекс] B = \ left [\ begin {array} {c} {c} _ {1} \\ {c} _ {2} \ end {array} \ right] [/ latex]

Тогда [latex] AX = B [/ latex] выглядит как

[латекс] \ left [\ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end { массив} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {c} {c} _ {1 } \\ {c} _ {2} \ end {array} \ right] [/ latex]

Вспомните обсуждение ранее в этом разделе относительно умножения действительного числа на обратное, [латекс] \ left ({2} ^ {- 1} \ right) 2 = \ left (\ frac {1} {2} \ right) 2 = 1 [/ латекс].{-1} \ right) b \ end {array} [/ latex]

Единственное различие между решением линейного уравнения и системой уравнений , записанной в матричной форме, состоит в том, что поиск обратной матрицы более сложен, а умножение матриц — более длительный процесс. Однако цель та же — изолировать переменную.

Мы рассмотрим эту идею подробно, но полезно начать с системы [латекс] 2 \ times 2 [/ latex], а затем перейти к системе [латекс] 3 \ times 3 [/ latex].{-1} \ right) B \ end {array} [/ latex]

Вопросы и ответы

Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что у системы нет решения?

Нет, если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

Пример 7: Решение системы 2 × 2 с использованием обратной матрицы

Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу.

[латекс] \ begin {массив} {r} \ hfill 3x + 8y = 5 \\ \ hfill 4x + 11y = 7 \ end {array} [/ latex]

Решение

Запишите систему в виде матрицы коэффициентов, матрицы переменных и постоянной матрицы. {- 1} [/ latex].{-1} \ right) B \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 11 & \ hfill -8 \\ \ hfill -4 & \ hfill 3 \ end {array} \ right] \ text { } \ left [\ begin {array} {cc} 3 & 8 \\ 4 & 11 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 11 & \ hfill -8 \\ \ hfill -4 & \ hfill 3 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array } {c} 5 \\ 7 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} \ hfill 11 \ left (5 \ right) + \ left (-8 \ right) 7 \\ \ hfill -4 \ left (5 \ right) +3 \ left (7 \ right) \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill 1 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Решение [латекс] \ left (-1,1 \ right) [/ latex].{-1} [/ latex] находился слева от [latex] A [/ latex] с левой стороны и слева от [latex] B [/ latex] с правой стороны. Поскольку умножение матриц не коммутативно, порядок имеет значение.

Пример 8: Решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы

Решите следующую систему, используя обратную матрицу.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 15y + 56z = 35 \\ \ hfill -4x — 11y — 41z = -26 \\ \ hfill -x — 3y — 11z = -7 \ end { array} [/ latex]

Решение

Напишите уравнение [латекс] AX = B [/ латекс].

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 5 & 15 & 56 \\ -4 & -11 & -41 \\ -1 & -3 & -11 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \\ z \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r} \ hfill 35 \\ \ hfill -26 \\ \ hfill -7 \ конец {массив} \ справа] [/ латекс]

Во-первых, мы найдем инверсию [latex] A [/ latex] путем добавления идентификатора.

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 15 & \ hfill 56 \\ \ hfill -4 & \ hfill -11 & \ hfill -41 \\ \ hfill -1 & \ hfill -3 & \ hfill -11 \ end {array} | \ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножьте строку 1 на [latex] \ frac {1} {5} [/ latex].

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 3 & \ frac {56} {5} \\ -4 & -11 & -41 \\ -1 & -3 & -11 \ end {array} | \ begin { массив} {ccc} \ frac {1} {5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножить строку 1 на 4 и прибавить к строке 2.

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 3 & \ frac {56} {5} \\ 0 & 1 & \ frac {19} {5} \\ -1 & -3 & -11 \ end {array} | \ begin {array} {ccc} \ frac {1} {5} & 0 & 0 \\ \ frac {4} {5} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Добавьте строку 1 к строке 3.

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 3 & \ frac {56} {5} \\ 0 & 1 & \ frac {19} {5} \\ 0 & 0 & \ frac {1} {5} \ конец {массив} | \ begin {array} {ccc} \ frac {1} {5} & 0 & 0 \\ \ frac {4} {5} & 1 & 0 \\ \ frac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножим строку 2 на −3 и прибавим к строке 1.

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & — \ frac {1} {5} \\ 0 & 1 & \ frac {19} {5} \\ 0 & 0 & \ frac {1} {5} \ end {array} | \ begin {array} {ccc} — \ frac {11} {5} & -3 & 0 \\ \ frac {4} {5} & 1 & 0 \\ \ frac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножить строку 3 на 5.

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & — \ frac {1} {5} \\ 0 & 1 & \ frac {19} {5} \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} | \ begin {array} {ccc} — \ frac {11} {5} & -3 & 0 \\ \ frac {4} {5} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножьте строку 3 на [latex] \ frac {1} {5} [/ latex] и прибавьте к строке 1.

[латекс] \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ frac {19} {5} \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} | \ begin {array} {ccc} — 2 & -3 & 1 \\ \ frac {4} {5} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \ end {array} \ right] [/ latex]

Умножьте строку 3 на [latex] — \ frac {19} {5} [/ latex] и добавьте к строке 2.{-1} B: [/ латекс]

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -2 & \ hfill -3 & \ hfill 1 \\ \ hfill -3 & \ hfill 1 & \ hfill -19 \\ \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 5 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 15 & \ hfill 56 \\ \ hfill -4 & \ hfill -11 & \ hfill -41 \\ \ hfill -1 & \ hfill -3 & \ hfill -11 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \\ z \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -2 & \ hfill -3 & \ hfill 1 \\ \ hfill -3 & \ hfill 1 & \ hfill -19 \\ \ hfill 1 & \ hfill 0 & \ hfill 5 \ end {array} \ right] \ text {} \ left [\ begin {array} {r} \ hfill 35 \\ \ hfill -26 \\ \ hfill -7 \ end {array} \ right] [/ latex]

Таким образом,

[латекс] {A} ^ {- 1} B = \ left [\ begin {array} {r} \ hfill -70 + 78-7 \\ \ hfill -105 — 26 + 133 \\ \ hfill 35 + 0 — 35 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {c} 1 \\ 2 \\ 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение [латекс] \ left (1,2,0 \ right) [/ latex].

Попробовать 4

Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} 2x — 17y + 11z = 0 \ hfill \\ \ text {} -x + 11y — 7z = 8 \ hfill \\ \ text {} 3y — 2z = -2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Как: решить систему уравнений с обращенными матрицами с помощью калькулятора.

1. Сохраните матрицу коэффициентов и постоянную матрицу как матричные переменные [latex] \ left [A \ right] [/ latex] и [latex] \ left [B \ right] [/ latex].
2. Введите умножение в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
3. Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

Пример 9: Использование калькулятора для решения системы уравнений с инверсной матрицей

Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

[латекс] \ begin {array} {l} 2x + 3y + z = 32 \ hfill \\ 3x + 3y + z = -27 \ hfill \\ 2x + 4y + z = -2 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Решение

На странице матриц калькулятора введите матрицу коэффициентов как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex] и введите постоянную матрицу как матричную переменную [latex] \ left [B \ right] [/ латекс].{-1} \ times \ left [B \ right] [/ латекс]

Вычислите выражение.

[латекс] \ left [\ begin {array} {c} -59 \\ -34 \\ 252 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

Привет! Эта страница будет иметь смысл только тогда, когда вы немного знаете о системах линейных уравнений и матриц, поэтому, пожалуйста, пойдите и узнайте о них, если вы их еще не знаете!

Пример

Одним из последних примеров систем линейных уравнений был этот:

Пример: Решить

• х + у + г = 6
• 2y + 5z = −4
• 2х + 5у — г = 27

Затем мы решили его, используя метод «исключения»… но мы можем решить это с помощью Матриц!

Использование матриц упрощает жизнь, потому что мы можем использовать компьютерную программу (например, Матричный калькулятор), чтобы выполнять всю «обработку чисел».

Но сначала нам нужно написать вопрос в матричной форме.

в матричной форме?

ОК. Матрица — это массив чисел, верно?

Матрица

Ну, подумайте об уравнениях:

х	+	y	+	z	=	6
		2 года	+	5z	=	−4
2x	+	5лет	–	z	=	27

Их можно было бы превратить в таблицу чисел вот так:

1		1		1	=	6
0		2		5	=	−4
2		5		-1	=	27

Мы могли бы даже разделить числа до и после «=» на:

1	1	1		6
0	2	5	и	−4
2	5	-1		27

Теперь похоже, что у нас есть 2 матрицы.

На самом деле у нас есть третий, это [x y z]:

Почему [x y z] идет туда? Потому что, когда мы умножаем матрицы, левая сторона становится:

Это исходная левая часть приведенных выше уравнений (вы можете это проверить).

Матричное решение

Мы можем написать это:

как это:

AX = B

где

• A — матрица 3×3 коэффициентов x, y и z
• X — это x, y и z и
• B — это 6, −4 и 27

Тогда (как показано на странице инверсии матрицы) решение следующее:

X = A ^-1 B

Что это значит?

Это означает, что мы можем найти значения x, y и z (матрица X), умножив , инверсную матрицу A , на матрицу B .

Итак, давайте продолжим и сделаем это.

Во-первых, нам нужно найти , обратную матрице A (при условии, что она существует!)

Используя Матричный калькулятор, получаем:

(для упрощения чисел я оставил определитель 1 / вне матрицы)

Затем умножьте A ^-1 на B (мы снова можем использовать Матричный калькулятор):

И готово! Решение:

x = 5,
y = 3,
z = −2

Как и на странице Системы линейных уравнений.

Довольно изящный и элегантный, человек думает, а компьютер производит вычисления.

Просто для удовольствия … Сделай это снова!

Для удовольствия (и для того, чтобы помочь вам учиться), давайте проделаем все это снова, но сначала поставим матрицу «X».

Я хочу показать вам этот способ, потому что многие думают, что решение, приведенное выше, настолько изящно, что это, должно быть, единственный способ.

Так что решим так:

XA = B

И из-за способа умножения матриц нам нужно настроить матрицы по-другому.Строки и столбцы необходимо поменять местами («транспонировать»):

И XA = B выглядит так:

Матричное решение

Тогда (также показано на странице инверсии матрицы) решение следующее:

X = BA ^-1

Это то, что мы получаем для A ^-1 :

Фактически, это то же самое, что и обратное, которое мы получили раньше, но транспонированное (строки и столбцы меняются местами).

Затем умножаем B на A ^-1 :

И решение то же:

x = 5, y = 3 и z = −2

Это выглядело не так красиво, как предыдущее решение, но оно показывает нам, что существует более одного способа составления и решения матричных уравнений.Только будьте осторожны со строками и столбцами!

Использование обратной матрицы для решения системы линейных уравнений

Матрицы

Матрица — это прямоугольный массив чисел, заключенный в скобки. Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, нам нужно создать три различных вида матриц.

Первая матрица, которую мы будем использовать, называется матрицей коэффициентов , которая представляет собой просто коэффициенты или числа перед каждой переменной в системе уравнений.Мы должны быть уверены, что наша система уравнений выстроена так, чтобы каждая переменная находилась в одном столбце.

Если мы посмотрим на пример системы линейных уравнений, в первом уравнении коэффициенты равны 1 перед x и 2 перед y . Во втором уравнении у нас 3 перед x и 5 перед y . Поскольку у нас есть два x и 2 y , у нас будет матрица 2×2, то есть две строки и два столбца. Назовем эту матрицу A .

Матрица коэффициентов

Строки представляют разные уравнения, а столбцы — разные переменные. Первая строка — это коэффициенты первого уравнения, а вторая строка — коэффициенты второго уравнения. Первый столбец — это коэффициенты x , а второй столбец — коэффициенты y .

Вторая необходимая нам матрица называется матрицей переменных .Матрица переменных всегда будет одним столбцом с переменными в каждой строке. В этом случае, поскольку у нас есть две переменные, у нас будет матрица 2×1, где у нас есть две строки и один столбец. Мы назовем эту матрицу X , используя заглавную букву, чтобы различать строчные x в задаче.

Переменная матрица

Если мы посмотрим на исходную систему уравнений, то увидим, что мы использовали коэффициенты и переменные.Остается только то, чему равны уравнения. Третья матрица называется постоянной матрицей , которая содержит константы системы уравнений. Назовем эту матрицу B . Опять же, это матрица 2×1, потому что у нее две строки и один столбец.

Постоянная матрица

Первое уравнение было равно 5, поэтому число идет в первой строке. Второе уравнение было равно 14, поэтому число идет во второй строке.

После преобразования системы уравнений в матрицы, как решить эту систему, чтобы найти ответ?

Использование обратных матриц для решения систем уравнений

Теперь, когда мы знаем, какие матрицы нам нужны, мы можем сложить их все вместе, чтобы создать матричное уравнение. Матричное уравнение содержит матрицу коэффициентов, переменную матрицу и постоянную матрицу и может быть решено. Важно, что мы знаем, что если мы умножим матрицу A на матрицу X , она будет равна матрице B .

Матричное уравнение

Чтобы решить матричное уравнение, представьте уравнение A ( X ) = B . Если бы мы хотели найти X , нам нужно было бы разделить B на A . Однако, работая с матрицами, мы не можем делить. Вместо этого мы умножим на обратную величину A . Мы показываем, что умножаем на обратное, используя отрицательное число в качестве показателя степени.

Нахождение обратной матрицы 2×2

Обратная формула

Чтобы найти обратную матрицу 2×2, мы сначала меняем значения на и d , затем делаем b и c отрицательными, и, наконец, умножаем на определитель. Определитель матрицы является одним из различных из до и до .

Для матрицы A , a = 1, b = 2, c = 3 и d = 5. Итак, мы подставляем эти значения в обратную формулу.

Теперь упростим. Во-первых, упростим определитель. Один раз пять — пять, два раза три — шесть. Пять минус шесть — это минус. Один, разделенный на отрицательный, равен отрицательному.

Затем мы умножаем все элементы матрицы на отрицательный, и получаем обратное значение A .

Умножение матриц

Теперь, когда у нас есть обратная матрица, нам нужно умножить обратную матрицу на постоянную матрицу. Обратная матрица — это матрица 2×2, а постоянная матрица — это матрица 2×1. Для умножения матриц количество столбцов в первой матрице должно соответствовать количеству строк во второй матрице. Результирующая матрица будет иметь такое же количество строк, что и первая матрица, и такое же количество столбцов, как вторая матрица.

Красным обведено количество столбцов в первой матрице и количество строк во второй матрице, и они должны быть одинаковыми.

Для умножения матриц мы умножаем строки на столбцы.

В этом случае мы собираемся умножить первую строку A , обратную на первый столбец B , а затем сложить элементы.

Мы берем минус пять умножить на пять, прибавляем это к двум умноженным на четырнадцать и получаем 3.

Затем мы берем вторую строку A , обратную и умножаем ее на первый столбец B , а затем складываем элементы.

Мы умножаем три на пять и прибавляем к отрицательному один раз четырнадцать, что дает 1.

Поскольку первая строка нашей матрицы переменных была x , а вторая строка была y , наши решения этой системы уравнений: x = 3 и y = 1.Мы обнаружили, что каждый взрослый билет стоит 3 доллара, а каждый детский билет — 1 доллар.

Краткое содержание урока

Чтобы решить систему уравнений , где у нас есть два или более уравнений, содержащих две или более переменных, с использованием обратных матриц, мы можем выполнить следующие шаги.

1. Создайте матрицу коэффициентов , A , которая содержит коэффициенты переменных из системы уравнений.
2. Создайте матрицу переменных , X , которая содержит переменные из системы уравнений.
3. Создайте матрицу констант , B , которая содержит константы из системы уравнений.
4. Напишите матричное уравнение: AX = B .
5. Найдите обратную матрицу A , переключив элементы a и d , изменив знаки элементов b и c , а затем умножив на определитель , который на единицу больше разницы и и г. до н. э. .
6. Умножьте A на обратное умножение B на постоянную матрицу.

7.8: Решение систем с инверсиями

Нэнси планирует инвестировать \ (10 ​​500 $) в две разные облигации, чтобы распределить свой риск. Первая облигация имеет годовую доходность \ (10% \), а вторая облигация имеет годовую доходность \ (6% \). Сколько Нэнси должна инвестировать в каждую облигацию, чтобы получить доход в размере \ (8,5% \) от двух облигаций? Как лучше всего решить эту проблему? Есть несколько способов решить эту проблему.{−1} \) равно единичной матрице . Единичная матрица — это квадратная матрица, содержащая единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах. Мы идентифицируем единичные матрицы как \ (I_n \), где \ (n \) представляет размерность матрицы. Уравнения \ ref {eq1} и \ ref {eq2} являются единичными матрицами для матрицы \ (2 × 2 \) и матрицы \ (3 × 3 \) соответственно:

\ [I_2 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ label {eq1} \]

\ [I_3 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ label {eq2} \]

Единичная матрица действует как \ (1 \) в матричной алгебре.{−1} \) уникален. Мы рассмотрим два метода поиска обратной матрицы для матрицы \ (2 × 2 \) и третий метод, который можно использовать как для матриц \ (2 × 2 \), так и для \ (3 × 3 \).

Определения: МАТРИЦА ИДЕНТИЧНОСТИ И МНОЖЕСТВЕННАЯ ИНВЕРСИЯ

Единичная матрица , \ (I_n \), представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы на главной диагонали и нули во всех остальных местах.

\ [I_2 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

как для единичной матрицы \ (2 × 2 \)

\ [I_3 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

как для единичной матрицы \ (3 × 3 \)

Если \ (A \) — матрица \ (n × n \) и \ (B \) — матрица \ (n × n \) такая, что \ (AB = BA = I_n \), то \ (B = A − 1 \), мультипликативная обратная матрица \ (A \).

Пример \ (\ PageIndex {1} \): показывает, что матрица идентичности действует как 1

Для данной матрицы \ (A \) покажите, что \ (AI = IA = A \).

\ [A = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \]

Решение

Используйте матричное умножение, чтобы показать, что произведение \ (A \) и единичной матрицы равно произведению единичной матрицы и \ (A \).

\ [\ begin {align *} AI & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt ] & = \ begin {bmatrix} 3⋅1 + 4⋅0 & 3⋅0 + 4⋅1 \ nonumber \\ −2⋅1 + 5⋅0 & −2⋅0 + 5⋅1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

\ [\ begin {align *} AI & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt ] & = \ begin {bmatrix} 1⋅3 + 0⋅ (−2) & 1⋅4 + 0⋅5 \ nonumber \\ 0⋅3 + 1⋅ (−2) & 0⋅4 + 1⋅5 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

Как сделать: даны две матрицы, покажите, что одна является мультипликативной обратной величиной другой

• Даны матрица \ (A \) порядка \ (n × n \) и матрица \ (B \) порядка \ (n × n \) умножить \ (AB \).{−1} \).

Пример \ (\ PageIndex {2} \): Показано, что матрица \ (A \) является мультипликативной обратной матрицей \ (B \)

Покажите, что данные матрицы мультипликативно инвертируют друг друга.

\ [A = \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix} \]

и

\ [B = \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix} \]

Решение

Умножить \ (AB \) и \ (BA \). Если оба продукта равны идентичности, то две матрицы являются обратными друг другу.

\ [\ begin {align *} AB & = \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix} · \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 (−9) +5 (2) & 1 (−5) +5 (1) \ nonumber \\ −2 (−9) −9 (2) & −2 (−5) −9 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

и

\ [\ begin {align *} BA & = \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix} · \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} −9 (1) −5 (−2) & — 9 (5) −5 (−9) \ nonumber \\ 2 (1) +1 (- 2) & 2 (−5) +1 (−9) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \ ]

\ (A \) и \ (B \) противоположны друг другу.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Покажите, что следующие две матрицы инвертируют друг друга.

\ [A = \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \]

и

\ [B = \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \]

Ответ

\ (\ begin {align *} AB & = \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 (−3) +4 (1) & 1 (−4) +4 (1) \ nonumber \\ [4pt] −1 (- 3) + — 3 (1) & — 1 (−4) + — 3 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ конец {bmatrix} \ end {align *} \)

\ (\ begin {align *} BA & = \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} −3 (1) + — 4 (−1) & — 3 (4) + — 4 (−3) \ nonumber \\ [4pt ] 1 (1) +1 (−1) & 1 (4) +1 (−3) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ конец {bmatrix} \ end {align *} \)

Нахождение обратной обратной с помощью матричного умножения

Теперь мы можем определить, являются ли две матрицы инверсными, но как мы можем найти инверсию данной матрицы? Поскольку мы знаем, что произведение матрицы на обратную матрицу является единичной матрицей, мы можем найти обратную матрицу, составив уравнение с использованием умножения матриц .

Пример \ (\ PageIndex {3} \): Нахождение обратного умножения с помощью умножения матрицы

Используйте умножение матриц, чтобы найти обратную матрицу.

\ [A = \ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \]

Решение

Для этого метода мы умножаем \ (A \) на матрицу, содержащую неизвестные константы, и устанавливаем ее равной единице.

\ (\ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a & b \ nonumber \\ [4pt] c & d \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix } 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ end {bmatrix} \)

Найдите произведение двух матриц, стоящих слева от знака равенства.

\ [\ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a & b \ nonumber \\ [4pt] c & d \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix } 1a − 2c & 1b − 2d \ nonumber \\ [4pt] 2a − 3c & 2b − 3d \ end {bmatrix} \]

Затем создайте систему уравнений с записью в строке 1, столбце 1 новой матрицы, равной первой записи тождества, \ (1 \). Установите запись в строке 2, столбце 1 новой матрицы, равной соответствующей записи идентичности, которая равна \ (0 \).

\ (1a − 2c = 1 \ пробел R_1 \)

\ (2a − 3c = 0 \ пробел R_2 \)

Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: \ ((- 2) R_1 + R_2 \ rightarrow R_2 \).Сложите уравнения и решите относительно \ (c \).

\ [\ begin {align *} 1a − 2c & = 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 + 1c & = — 2 \ nonumber \\ [4pt] c = −2 \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

Обратный заменитель для решения \ (a \).

\ [\ begin {align *} a − 2 (−2) & = 1 \ nonumber \\ [4pt] a + 4 & = 1 \ nonumber \\ [4pt] a & = — 3 \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

Напишите другую систему уравнений, установив запись в строке 1, столбце 2 новой матрицы, равной соответствующей записи тождества, \ (0 \).Установите запись в строке 2, столбце 2, равной соответствующей записи идентификатора.

\ (1b − 2d = 0 \ пробел R_1 \)

\ (2b − 3d = 1 \ пробел R_2 \)

Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: \ ((- 2) R_1 + R_2 = R_2 \). {- 1} = \ begin {bmatrix} −3 & 2 \ nonumber \\ [4pt] −2 & 1 \ end {bmatrix} \]

Нахождение мультипликативной обратной с помощью тождества

Другой способ найти мультипликативную обратную — это добавить тождество.{−1} \).

Например, учитывая

\ (A = \ begin {bmatrix} 2 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 5 & 3 \ end {bmatrix} \)

аугмент \ (A \) с тождеством

\ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

Выполнение операций со строками с целью превращения A в удостоверение.

1. Поменять местами ряд 1 и ряд 2.

   \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 5 & 3 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 \ end {array} \ right] \)

2. Умножьте строку 2 на −2 и прибавьте к строке 1.{−1} = \ begin {bmatrix} 3 & −1 \ nonumber \\ [4pt] −5 & 2 \ end {bmatrix} \)

   Нахождение мультипликативной обратной матрицы \ (2 × 2 \) матриц по формуле

   Когда нам нужно найти мультипликативную обратную матрицы \ (2 × 2 \), мы можем использовать специальную формулу вместо умножения матриц или увеличения на единицу. {- 1} = \ dfrac {1} {ad − bc} \ begin {bmatrix} d & −b \ nonumber \\ [4pt] −c & a \ end {bmatrix} \)

   где \ (ad − bc ≠ 0 \).Если \ (ad − bc = 0 \), то \ (A \) не имеет обратного.

   Пример \ (\ PageIndex {4} \): Использование формулы для поиска мультипликативной обратной матрицы \ (A \)

   Воспользуйтесь формулой, чтобы найти обратное умножение числа

   .

   \ [A = \ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \]

   Решение

   Мы можем проверить, работает ли наша формула, используя один из других методов вычисления обратного. Пополним \ (A \) единицей.

   \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & -3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

   Выполнение операций со строками с целью превращения \ (A \) в тождество.{−1} = \ begin {bmatrix} \ dfrac {3} {5} & \ dfrac {1} {5} \ nonumber \\ [4pt] — \ dfrac {2} {5} & \ dfrac {1} { 5} \ end {bmatrix} \)

   Пример \ (\ PageIndex {5} \): поиск обратной матрицы, если она существует

   Найдите обратную матрицу, если она существует.

   \ (A = \ begin {bmatrix} 3 & 6 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 2 \ end {bmatrix} \)

   Решение

   Мы будем использовать метод увеличения идентичности.

   \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 3 & 6 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

   1. Поменять местами ряд 1 и ряд 2.

      \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 6 & 1 & 0 \ end {array} \ right] \)

   2. Умножьте строку 1 на −3 и прибавьте ее к строке 2.

      \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & -3 & 1 \ end {array} \ right] \)

   3. Мы больше ничего не можем сделать. Нули в строке 2 означают, что эта матрица не имеет инверсии.

   Нахождение мультипликативной обратной матрицы для \ (3 × 3 \) матриц

   К сожалению, у нас нет формулы, аналогичной формуле для матрицы \ (2 × 2 \), чтобы найти обратную матрицу \ (3 × 3 \).Вместо этого мы дополним исходную матрицу единичной матрицей и будем использовать операции со строками для получения обратного.

   Для матрицы \ (3 × 3 \)

   \ [A = \ begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \]

   Дополнение \ (A \) с единичной матрицей

   \ [\ begin {array} {c | c} A&I \ end {array} = \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \]

   Для начала запишем расширенную матрицу с единицей справа и \ (A \) слева.Выполнив элементарные операции со строками так, чтобы слева появилась единичная матрица , мы получим справа обратную матрицу . Мы найдем инверсию этой матрицы в следующем примере.

   Как: по матрице \ (3 × 3 \) найти обратную

   1. Запишите исходную матрицу, дополненную единичной матрицей справа.
   2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы идентификатор отображался слева.
   3. То, что получается справа, является обратной по отношению к исходной матрице.{−1} A = I \).

   Пример \ (\ PageIndex {6} \): поиск инверсии матрицы \ (3 × 3 \)

   Для матрицы \ (3 × 3 \) \ (A \) найдите обратное.

   \ (A = \ begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \)

   Решение

   Дополните \ (A \) единичной матрицей, а затем начните операции со строками, пока единичная матрица не заменит \ (A \). Матрица справа будет обратной для \ (A \).

   \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \ xrightarrow {Interchange \ space R_2 \ space и \ пробел R_1} \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

   \ (- R_2 + R_1 = R_1 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right ] \)

   \ (- R_2 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ end {array} \ справа] \)

   \ (R_2 \ leftrightarrow R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ end {array} \ right ] \)

   \ (- 2R_1 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 3 & 1 & 3 & -2 & 0 \ end { array} \ right] \)

   \ (- 3R_2 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & -3 \ конец {array} \ right] \)

   Таким образом,

   \ (A ^ {- 1} = B = \ begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 6 & −2 & −3 \ end {bmatrix} \)

   Анализ

   Чтобы доказать, что \ (B = A ^ {- 1} \), давайте умножим две матрицы вместе, чтобы увидеть, равно ли произведение единице, если \ (AA ^ {- 1} = I \) и \ (A ^ {−1} A = I \). {- 1} A & = \ begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] — 1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 6 & −2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} & 2 & 31 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [ 4pt] & = \ begin {bmatrix} −1 (2) +1 (3) +0 (2) & −1 (3) +1 (3) +0 (4) & −1 (1) +1 (1 ) +0 (1) \ nonumber \\ [4pt] −1 (2) +0 (3) +1 (2) & −1 (3) +0 (3) +1 (4) & −1 (1) +0 (1) +1 (1) \ nonumber \\ [4pt] 6 (2) + — 2 (3) + — 3 (2) & 6 (3) + — 2 (3) + — 3 (4) & 6 (1) + — 2 (1) + — 3 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 \ non номер \\ [4pt] 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

   Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

   Найдите матрицу, обратную матрице \ (3 × 3 \).{−1} = \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & −3 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 6 & −5 \ end {bmatrix} \)

   Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

   Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: \ (X \) — это матрица, представляющая переменные системы, и \ (B \) — это матрица, представляющая константы. Используя умножение матриц , мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, что и

   .

   \ (AX = B \)

   Для решения системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть \ (A \) будет матрицей коэффициентов, пусть \ (X \) будет переменной матрицей, и пусть \ (B \) будет постоянной матрицей.Таким образом, мы хотим решить систему \ (AX = B \). Например, посмотрите на следующую систему уравнений.

   \ (a_1x + b_1y = c_1 \)

   \ (a_2x + b_2y = c_2 \)

   Из этой системы матрица коэффициентов равна

   .

   \ (A = \ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \ nonumber \\ [4pt] a_2 & b_2 \ end {bmatrix} \)

   Матрица переменных —

   \ (X = \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} \)

   А постоянная матрица

   \ (B = \ begin {bmatrix} c_1 \ nonumber \\ [4pt] c_2 \ end {bmatrix} \)

   Тогда \ (AX = B \) выглядит как

   \ (\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \ nonumber \\ [4pt] a_2 & b_2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} c_1 \ nonumber \\ [4pt] c_2 \ end {bmatrix} \)

   Вспомните обсуждение ранее в этом разделе относительно умножения действительного числа на обратное, \ ((2 ^ {- 1}) 2 = \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) 2 = 1 \).{-1} \ right) b \ end {align *} \]

   Единственное различие между решением линейного уравнения и системой уравнений, записанной в матричной форме, состоит в том, что поиск обратной матрицы более сложен, а умножение матриц — более длительный процесс. Однако цель та же — изолировать переменную.

   Мы рассмотрим эту идею подробно, но полезно начать с системы \ (2 × 2 \), а затем перейти к системе \ (3 × 3 \).

   РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

   Для данной системы уравнений запишите матрицу коэффициентов \ (A \), переменную матрицу \ (X \) и постоянную матрицу \ (B \).{-1} \ right) B \ end {align *} \]

   Q&A: Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что у системы нет решения?

   Нет, если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

   Пример \ (\ PageIndex {7} \): решение системы \ (2 × 2 \) с использованием обратной матрицы

   Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу. {- 1} \).{−1} \ right) B \\ [4pt] \ begin {bmatrix} 11 & −8 \ nonumber \\ [4pt] −4 & 3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 8 \ nonumber \\ [4pt] 4 & 11 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} 11 & −8 \ nonumber \\ [4pt] −4 & 3 \ end {bmatrix} \ begin { bmatrix} 5 \ nonumber \\ [4pt] 7 \ end {bmatrix} \\ [4pt] \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} 11 (5) + (- 8) 7 \ nonumber \\ [4pt] −4 (5) +3 (7) \ end {bmatrix} \\ [4pt] \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} −1 \ nonumber \\ [4pt] 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

   Решение: \ ((- 1,1) \).{−1} \) находился слева от \ (A \) слева и слева от \ (B \) справа. Поскольку умножение матриц не коммутативно, порядок имеет значение.

   Пример \ (\ PageIndex {8} \): решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы

   Решите следующую систему, используя обратную матрицу.

   Решение

   Запишите уравнение \ (AX = B \).

   \ (\ begin {bmatrix} 5 & 15 & 56 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ nonumber \\ [4pt] z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 35 \ nonumber \\ [4pt] −26 \ nonumber \\ [4pt] −7 \ end {bmatrix} \)

   Сначала мы найдем обратное к \ (A \), добавив тождество.

   \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 5 & 15 & 56 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right ] \)

   Умножьте строку 1 на \ (\ dfrac {1} {5} \).

   \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

   Умножить строку 1 на \ (4 \) и прибавить к строке 2.

   \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac {19} {5 } & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

   Добавить строку 1 к строке 3.

   \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac {19} {5 } & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & \ dfrac {1} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

   Умножить строку 2 на \ (- 3 \) и прибавить к строке 1.

   \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & — \ dfrac {1} {5} & — \ dfrac {11} {5} & — 3 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac { 19} {5} & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & \ dfrac {1} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] \ )

   Умножить строку 3 на \ (5 \).

   \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & — \ dfrac {1} {5} & — \ dfrac {11} {5} & — 3 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac { 19} {5} & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 \ end {array} \ right] \)

   Умножьте строку 3 на \ (\ dfrac {1} {5} \) и прибавьте к строке 1. {- 1} B = \ begin {bmatrix} −70 + 78−7 \ nonumber \\ [4pt] −105−26 + 133 \ nonumber \\ [4pt] 35 + 0−35 \ end { bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 \ nonumber \\ [4pt] 0 \ end {bmatrix} \)

   Решение: \ ((1,2,0) \).

   Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

   Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

   Ответ

   \ (X = \ begin {bmatrix} 4 \ nonumber \\ [4pt] 38 \ nonumber \\ [4pt] 58 \ end {bmatrix} \)

   Как: решить систему уравнений с обращенными матрицами с помощью калькулятора

   1. Сохраните матрицу коэффициентов и постоянную матрицу как матричные переменные \ ([A] \) и \ ([B] \).
   2. Введите умножение в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
   3. Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

   Пример \ (\ PageIndex {9} \): Использование калькулятора для решения системы уравнений с инверсной матрицей

   Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

   Решение

   На странице матриц калькулятора введите матрицу коэффициентов как матричную переменную \ ([A] \) и введите постоянную матрицу как матричную переменную \ ([B] \).{−1} × [B] \)

   Вычислите выражение.

   \ (\ begin {bmatrix} −59 \ nonumber \\ [4pt] −34 \ nonumber \\ [4pt] 252 \ end {bmatrix} \)

   Медиа

   Получите доступ к этим онлайн-ресурсам, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в решении систем с обратными числами.

   Объяснение урока: Решение системы трех уравнений с использованием обратной матрицы

   Пример 5: Решение реальной проблемы с помощью обратной матрицы

   В таблице ниже показано количество различных типов номеров в трех отелях, находящихся в собственности компанией.

   Отель	Одноместный номер	Двухместный номер	Люкс
   Первый отель	45	74	15
   Второй отель	48	74	19
   Третья гостиница	49	94	10

   Все три отеля взимают одинаковую плату за номер одинакового размера.Когда все номера забронированы, ежедневный доход компании с первого, второй и третий гостиницы 50 120 LE, 53 560 LE, и 55 660 ЛЕ соответственно. Найти суточная стоимость люкса.

   Ответ

   В этом примере у нас есть три неизвестных величины: стоимость одного номер, двухместный номер и люкс. Обозначим эти неизвестные константами 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно.Мы можем узнать стоимость комплекта в LE, найдя значение из 𝑧.

   Нам дано, что дневной доход от первой гостиницы составляет 50 120 LE, если все номера забронированы. Это может быть записывается в виде следующего уравнения: 45𝑥 + 74𝑦 + 15𝑧 = 50120.

   Аналогичным образом мы можем получить еще два уравнения из ежедневного дохода вторая и третья гостиницы соответственно: 48𝑥 + 74𝑦 + 19𝑧 = 53560,49 + 94𝑦 + 10𝑧 = 55660.

   Это дает нам систему трех уравнений с тремя неизвестными.Давайте решать эта система с использованием матриц. Мы можем начать с написания матричного уравнения что эквивалентно данной системе уравнений. Напомним, что система линейных уравнений 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, ⋮⋮⋮ ⋱ ⋮⋮⋮ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏.  эквивалентно матричному уравнению ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝𝑥𝑥 ⋮ 𝑥⎞⎟⎟⎠ = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 ⋮ 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. 

   Матрицы в приведенном выше уравнении называются коэффициентами, переменными, и постоянные матрицы соответственно.Из данной системы уравнения, наши переменные имеют имена 𝑥, 𝑦 и 𝑧, которые образуют записи матрица переменных. Константы 50 120, 53 560 и 55 660 в правых частях данных уравнений формируют элементы постоянной матрицы. Следовательно, переменная и постоянные матрицы соответственно равны 𝑥𝑦𝑧, 501205356055660.

   Чтобы найти матрицу коэффициентов, нам нужно записать коэффициенты каждой переменной в правильном порядке (то есть в порядке 𝑥, 𝑦 и 𝑧) для каждого уравнения.Это приводит к матрице коэффициентов 457415487419499410.

   Следовательно, матричное уравнение имеет вид 457415487419499410𝑥𝑦𝑧 = 501205356055660.

   Мы можем решить это уравнение, умножив слева величину, обратную матрица коэффициентов в обеих частях уравнения выше. Давайте найдем инверсия матрицы коэффициентов 𝐴 = 457415487419499410.

   Мы можем использовать сопряженный метод для получения обратной этой матрицы, если это существует.Напомним, что квадратная матрица обратима, если ее определитель отличен от нуля. Начнем с вычисления определителя эту матрицу и убедившись, что она не равна нулю.

   Напомним, что для матрицы 3 × 3 𝐴 = 𝑎, его определитель может быть вычислено det𝐴 = 𝑎 | 𝐴 | −𝑎 | 𝐴 | + 𝑎 | 𝐴 |  где 𝐴 — матричные миноры, полученные взятием 𝑖-я строка и 𝑗-й столбец матрицы 𝐴. Мы можем применить эту формулу к нашей матрице коэффициентов 𝐴 получить det𝐴 = 45 || 74199410 || −74 || 48194910 || +45 || 48744994 || = 45 × (−1046) −74 × (−451) + 45 × 886 = −406.

   Поскольку det𝐴 ≠ 0, мы знаем, что обратная матрица 𝐴 существует. Найдем обратное. Напомним, что мы можно найти обратную матрицу, используя сопряженный метод следующим образом:

   1. Найдите матрицу сомножителей 𝐶 = 𝑐 × , где 𝑐 = (- 1) | 𝐴 | .
   2. Найдите сопряженную матрицу, транспонируя матрицу сомножителей: adj𝐴 = 𝐶.
   3. Умножаем сопряженную матрицу на обратную величину определителя 𝐴 для получения обратной матрицы: 𝐴 = 1𝐴𝐴.detadj

   Давайте сначала найдем матрицу сомножителей. Записи матрицы кофакторов — определители соответствующих миноров матриц, умноженные на знакопеременный (−1) . Нам нужно вычислить определители 9 миноров матриц с соответствующим знаком для этого: + | 𝐴 | = + || 74199410 || = −1046, — | 𝐴 | = — || 48194910 || = 451, + | 𝐴 | = + || 48744994 || = 886, — | 𝐴 | = — | | 74159410 || = 670, + | 𝐴 | = + || 45154910 || = −285, — | 𝐴 | = — || 45744994 || = −604, + | 𝐴 | = + || 74157419 || = 296 , — | 𝐴 | = — || 45154819 || = −135, + | 𝐴 | = + || 45744874 || = −222.

   Это приводит к матрице кофакторов  − 1046451886670−285−604296−135−222.

   Сопряженную матрицу можно найти транспонированием: adj𝐴 =  − 1046670296451−285−135886−604−222.

   Наконец, умножая на обратную величину определителя, мы вычисленное ранее как −406, мы получаем 𝐴 = −1406 − 1046670296451−285−135886−604−222.

   Напомним, что мы можем решить матричное уравнение 𝐴𝑋 = 𝐵, записав 𝑋 = 𝐴𝐵.Это ведет к 𝑥𝑦𝑧 = −1406 − 1046670296451−285−135886−604−222501205356055660.

   Следовательно, мы можем закончить вычислением умножения матриц на правая часть уравнения выше: 𝑥𝑦𝑧 = −1406 − 1046 × 50120 + 670 × 53560 + 296 × 55660451 × 50120−285 × 5356−135 × 55660886 × 50120−604 × 53560−222 × 55660 = −1406 − 64960−174580−300440  = 160430740.

   Это приводит к 𝑥 = 160, 𝑦 = 430, 𝑧 = 740.

   Следовательно, стоимость номера 740 LE.

   7.7 Решение систем с инверсиями — алгебра колледжа

   Цели обучения

   В этом разделе вы:

   • Найдите обратную матрицу.
   • Решите систему линейных уравнений, используя обратную матрицу.

   Нэнси планирует инвестировать 10 500 долларов в две разные облигации, чтобы распределить свой риск. Первая облигация имеет годовую доходность 10%, а вторая облигация — 6% годовых. Сколько Нэнси должна инвестировать в каждую облигацию, чтобы получить доход в размере 8,5% от двух облигаций? Как лучше всего решить эту проблему?

   Есть несколько способов решить эту проблему. Как мы видели в предыдущих разделах, системы уравнений и матриц полезны при решении реальных проблем, связанных с финансами.После изучения этого раздела у нас будут инструменты для решения проблемы облигаций с использованием обратной матрицы.

   Нахождение обратной матрицы

   Мы знаем, что мультипликативная обратная величина действительного числа aa равна a − 1, a − 1 и aa − 1 = a − 1a = (1a) a = 1.aa − 1 = a − 1a = (1a) a = 1. Например, 2−1 = 122−1 = 12 и (12) 2 = 1. (12) 2 = 1. Мультипликативная обратная матрица аналогична по концепции, за исключением того, что произведение матрицы AA и ее обратной A − 1A − 1 равно единичной матрице. Единичная матрица — это квадратная матрица, содержащая единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах.Мы идентифицируем единичные матрицы с помощью InIn, где nn представляет собой размерность матрицы. Упражнение 7.384 и следующие уравнения.

   I3 = [100010001] I3 = [100010001]

   Единичная матрица действует как 1 в матричной алгебре. Например, AI = IA = A.AI = IA = A.

   Матрица, имеющая мультипликативную обратную, имеет свойства

   AA-1 = IA-1A = IAA-1 = IA-1A = I

   Матрица, имеющая мультипликативную обратную матрицу, называется обратимой матрицей. Только квадратная матрица может иметь мультипликативную обратную, поскольку обратимость, AA-1 = A-1A = I, AA-1 = A-1A = I, является требованием.Не все квадратные матрицы имеют обратную матрицу, но если AA обратима, то A − 1A − 1 единственна. Мы рассмотрим два метода поиска обратной матрицы 2 × 22 × 2 и третий метод, который можно использовать как для матриц 2 × 22 × 2, так и 3 × 33 × 3.

   Матрица идентичности и обратная мультипликативная

   Единичная матрица In, In представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах.

   I2 = [1001] I3 = [100010001] 2 × 2 3 × 3 I2 = [1001] I3 = [100010001] 2 × 2 3 × 3

   Если AA — это n × nn × n матрица, а BB — это n × nn × n матрица такая, что AB = BA = In, AB = BA = In, тогда B = A − 1, B = A − 1, мультипликативная обратная матрица A.А.

   Пример 1

   Показывает, что матрица идентичности действует как 1

   Для данной матрицы A покажите, что AI = IA = A.AI = IA = A.

   Решение

   Используйте матричное умножение, чтобы показать, что произведение AA и идентичности равно произведению идентичности и A.

   AI = [34−25] [1001] = [3⋅1 + 4⋅03⋅0 + 4⋅1−2⋅1 + 5⋅0−2⋅0 + 5⋅1] = [34−25] AI = [34−25] [1001] = [3⋅1 + 4⋅03⋅0 + 4⋅1−2⋅1 + 5⋅0−2⋅0 + 5⋅1] = [34−25] IA = [1001 ] [34−25] = [1⋅3 + 0⋅ (−2) 1⋅4 + 0⋅50⋅3 + 1⋅ (−2) 0⋅4 + 1⋅5] = [34−25] IA = [1001] [34−25] = [1⋅3 + 0⋅ (−2) 1⋅4 + 0⋅50⋅3 + 1⋅ (−2) 0⋅4 + 1⋅5] = [34−25]

   Как к

   Даны две матрицы, покажите, что одна является мультипликативной инверсией другой.

   1. Для заданной матрицы AA порядка n × nn × n и матрицы BB порядка n × nn × n умножаем AB.AB.
   2. Если AB = I, AB = I, найти произведение BA.BA. Если BA = I, BA = I, то B = A − 1B = A − 1 и A = B − 1.A = B − 1.

   Пример 2

   Показывает, что матрица

   A является мультипликативной обратной матрицей B

   Покажите, что данные матрицы мультипликативно инвертируют друг друга.

   A = [15−2−9], B = [- 9−521] A = [15−2−9], B = [- 9−521]

   Решение

   Умножьте ABAB и BA.BA. Если оба продукта равны идентичности, то две матрицы являются обратными друг другу.

   AB = [15−2−9] · [−9−521] = [1 (−9) +5 (2) 1 (−5) +5 (1) −2 (−9) −9 (2) — 2 (−5) −9 (1)] = [1001] AB = [15−2−9] · [−9−521] = [1 (−9) +5 (2) 1 (−5) +5 (1) −2 (−9) −9 (2) −2 (−5) −9 (1)] = [1001] BA = [- 9−521] · [15−2−9] = [- 9 (1) −5 (−2) −9 (5) −5 (−9) 2 (1) +1 (−2) 2 (−5) +1 (−9)] = [1001] BA = [- 9−521] · [15−2−9] = [- 9 (1) −5 (−2) −9 (5) −5 (−9) 2 (1) +1 (−2) 2 (−5) ) +1 (−9)] = [1001]

   AA и BB противоположны друг другу.

   Попробуй # 1

   Покажите, что следующие две матрицы инвертируют друг друга.

   A = [14−1−3], B = [- 3−411] A = [14−1−3], B = [- 3−411]

   Нахождение обратного умножения с помощью умножения матриц

   Теперь мы можем определить, являются ли две матрицы инверсными, но как мы можем найти инверсию данной матрицы? Поскольку мы знаем, что произведение матрицы на обратную матрицу является единичной матрицей, мы можем найти обратную матрицу, задав уравнение с помощью умножения матриц.

   Пример 3

   Нахождение обратного умножения с помощью умножения матриц

   Используйте умножение матриц, чтобы найти обратную матрицу.

   A = [1-22-3] A = [1-22-3]

   Решение

   Для этого метода мы умножаем AA на матрицу, содержащую неизвестные константы, и устанавливаем ее равной единице.

   [1-22-3] [abcd] = [1001] [1-22-3] [abcd] = [1001]

   Найдите произведение двух матриц, стоящих слева от знака равенства.

   [1−22−3] [abcd] = [1a − 2c1b − 2d2a − 3c2b − 3d] [1−22−3] [abcd] = [1a − 2c1b − 2d2a − 3c2b − 3d]

   Затем настройте система уравнений с записью в строке 1, столбце 1 новой матрицы, равной первой записи тождества, 1.Установите запись в строке 2, столбце 1 новой матрицы, равной соответствующей записи идентичности, которая равна 0.

   1a − 2c = 1 R12a − 3c = 0 R21a − 2c = 1 R12a − 3c = 0 R2

   Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: (−2) R1 + R2 → R2. (- 2) R1 + R2 → R2. Сложите уравнения и решите относительно c.c.

   1a − 2c = 10 + 1c = −2c = −21a − 2c = 10 + 1c = −2c = −2

   Обратная подстановка для решения для a.a.

   a − 2 (−2) = 1a + 4 = 1a = −3a − 2 (−2) = 1a + 4 = 1a = −3

   Напишите другую систему уравнений, задав запись в строке 1, столбце 2 новой матрицы равно соответствующему элементу тождества, 0.Установите запись в строке 2, столбце 2, равной соответствующей записи идентификатора.

   1b − 2d = 0R12b − 3d = 1R21b − 2d = 0R12b − 3d = 1R2

   Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: (−2) R1 + R2 = R2. (- 2) R1 + R2 = R2. Сложите два уравнения и решите относительно d.d.

   1b − 2d = 00 + 1d = 1d = 11b − 2d = 00 + 1d = 1d = 1

   Еще раз выполните обратную замену и решите относительно b.b.

   b − 2 (1) = 0b − 2 = 0b = 2b − 2 (1) = 0b − 2 = 0b = 2 A − 1 = [- 32−21] A − 1 = [- 32−21]

   Нахождение мультипликативной инверсии с помощью тождества

   Другой способ найти мультипликативную инверсию — это увеличить с помощью тождества.Когда матрица AA преобразуется в I, I, расширенная матрица II преобразуется в A-1.A-1.

   Например, учитывая

   дополнить AA идентификатором

   Выполнение операций со строками с целью превращения AA в идентификатор.

   1. Поменять местами ряд 1 и ряд 2.
   2. Умножим строку 2 на −2−2 и прибавим к строке 1. [1121 | −2110] [1121 | −2110]
   3. Умножим строку 1 на −2−2 и прибавим к строке 2. [110−1 | −215−2] [110−1 | −215−2]
   4. Добавьте строку 2 к строке 1.[100−1 | 3−15−2] [100−1 | 3−15−2]
   5. Умножим строку 2 на -1. [1001 | 3−1−52] [1001 | 3−1−52]

   Найденная матрица имеет вид A − 1.A − 1.

   A − 1 = [3−1−52] A − 1 = [3−1−52]

   Нахождение мультипликативной обратной матрицы 2 × 2 по формуле

   Когда нам нужно найти мультипликативную обратную матрицу 2 × Матрица 22 × 2, мы можем использовать специальную формулу вместо умножения матриц или увеличения на единицу.

   Если AA — матрица 2 × 22 × 2, например

   мультипликативная обратная величина AA определяется формулой

   A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca] A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca]

   , где ad − bc ≠ 0.ad − bc ≠ 0. Если ad − bc = 0, ad − bc = 0, то у AA нет обратного.

   Пример 4

   Использование формулы для нахождения обратной мультипликативной матрицы

   A

   Воспользуйтесь формулой, чтобы найти обратное умножение числа

   . A = [1-22-3] A = [1-22-3]

   Решение

   Используя формулу, имеем

   A − 1 = 1 (1) (- 3) — (- 2) (2) [- 32−21] = 1−3 + 4 [−32−21] = [- 32−21] A − 1 = 1 (1) (- 3) — (- 2) (2) [- 32−21] = 1−3 + 4 [−32−21] = [- 32−21]

   Анализ

   Мы можем проверить, работает ли наша формула, используя один из других методов вычисления обратного.Давайте дополним AA идентичностью.

   [1-22-3 | 1001] [1-22-3 | 1001]

   Выполнение операций со строками с целью превращения AA в идентификатор.

   1. Умножим строку 1 на −2−2 и прибавим к строке 2. [1−201 | 10−21] [1−201 | 10−21]
   2. Умножить строку 1 на 2 и прибавить к строке 1. [1001 | −32−21] [1001 | −32−21]

   Итак, мы проверили наше исходное решение.

   A − 1 = [- 32−21] A − 1 = [- 32−21]

   Попробуй # 2

   Используйте формулу, чтобы найти матрицу, обратную матрице A.A. Проверьте свой ответ, добавив единичную матрицу.

   Пример 5

   Нахождение обратной матрицы, если она существует

   Найдите обратную матрицу, если она существует.

   Решение

   Мы будем использовать метод увеличения идентичности.

   1. Поменять местами ряд 1 и ряд 2.
   2. Умножьте строку 1 на −3 и прибавьте ее к строке 2. [1200 | 10−31] [1200 | 10−31]
   3. Мы больше ничего не можем сделать. Нули в строке 2 означают, что эта матрица не имеет инверсии.

   Нахождение обратной мультипликативной матрицы для матриц 3 × 3

   К сожалению, у нас нет формулы, аналогичной формуле для матрицы 2 × 22 × 2, чтобы найти обратную матрицу 3 × 33 × 3. Вместо этого мы дополним исходную матрицу единичной матрицей и будем использовать операции со строками для получения обратного.

   Учитывая 3 × 33 × 3 матрица

   A = [231331241] A = [231331241]

   дополнить AA с единичной матрицей

   A | I = [231331241 | 100010001] A | I = [231331241 | 100010001]

   Для начала запишем расширенную матрицу с единицей справа и AA слева. Выполняя элементарные операции со строками так, чтобы единичная матрица появилась слева, мы получим обратную матрицу справа. Мы найдем инверсию этой матрицы в следующем примере.

   Как к

   Для матрицы 3 × 33 × 3 найдите обратную

   1. Запишите исходную матрицу, дополненную единичной матрицей справа.
   2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы идентификатор отображался слева.
   3. То, что получается справа, является обратной по отношению к исходной матрице.
   4. Используйте матричное умножение, чтобы показать, что AA − 1 = IAA − 1 = I и A − 1A = I.A − 1A = I.

   Пример 6

   Нахождение обратной матрицы 3 × 3

   Дан матрица A, A 3 × 33 × 3, найдите обратную.

   A = [231331241] A = [231331241]

   Решение

   Дополните AA единичной матрицей, а затем начните операции со строками, пока единичная матрица не заменит A.A. Матрица справа будет обратной матрицей A.A.

   [231331241 | 100010001] → Развязка R2and R1 [331231241 | 010100001] [231331241 | 100010001] → Развязка R2and R1 [331231241 | 010100001] −R2 + R1 = R1 → [100231241 | −110100001] −R2 + R1 = R1 → [100231241 | −110100001] −R2 + R3 = R3 → [100231010 | −110100−101] −R2 + R3 = R3 → [100231010 | −110100−101] R3↔ R2 → [100010231 | −110−101100] R3↔ R2 → [100010231 | −110−101100] −2R1 + R3 = R3 → [100010031 | −110−1013−20] −2R1 + R3 = R3 → [100010031 | −110−1013−20] −3R2 + R3 = R3 → [100010001 | −110−1016−2−3] −3R2 + R3 = R3 → [100010001 | −110−1016−2− 3]

   Таким образом,

   A − 1 = B = [- 110−1016−2−3] A − 1 = B = [- 110−1016−2−3]

   Анализ

   Чтобы доказать, что B = A − 1, B = A − 1, давайте перемножим две матрицы, чтобы увидеть, равно ли произведение единице, если AA − 1 = IAA − 1 = I и A − 1A = I.A − 1A = I.

   AA − 1 = [231331241] [−110−1016−2−3] = [2 (−1) +3 (−1) +1 (6) 2 (1) +3 (0) +1 (−2) ) 2 (0) +3 (1) +1 (−3) 3 (−1) +3 (−1) +1 (6) 3 (1) +3 (0) +1 (−2) 3 (0 ) +3 (1) +1 (−3) 2 (−1) +4 (−1) +1 (6) 2 (1) +4 (0) +1 (−2) 2 (0) +4 ( 1) +1 (−3)] = [100010001] AA − 1 = [231331241] [−110−1016−2−3] = [2 (−1) +3 (−1) +1 (6) 2 ( 1) +3 (0) +1 (−2) 2 (0) +3 (1) +1 (−3) 3 (−1) +3 (−1) +1 (6) 3 (1) +3 (0) +1 (−2) 3 (0) +3 (1) +1 (−3) 2 (−1) +4 (−1) +1 (6) 2 (1) +4 (0) + 1 (−2) 2 (0) +4 (1) +1 (−3)] = [100010001] A − 1A = [- 110−1016−2−3] [231331241] = [- 1 (2) + 1 (3) +0 (2) −1 (3) +1 (3) +0 (4) −1 (1) +1 (1) +0 (1) −1 (2) +0 (3) + 1 (2) −1 (3) +0 (3) +1 (4) −1 (1) +0 (1) +1 (1) 6 (2) + — 2 (3) + — 3 (2) 6 (3) + — 2 (3) + — 3 (4) 6 (1) + — 2 (1) + — 3 (1)] = [100010001] A − 1A = [- 110−1016−2−3 ] [231331241] = [- 1 (2) +1 (3) +0 (2) −1 (3) +1 (3) +0 (4) −1 (1) +1 (1) +0 (1) ) −1 (2) +0 (3) +1 (2) −1 (3) +0 (3) +1 (4) −1 (1) +0 (1) +1 (1) 6 (2) + −2 (3) + — 3 (2) 6 (3) + — 2 (3) + — 3 (4) 6 (1) + — 2 (1) + — 3 (1)] = [100010001]

   Попробуй # 3

   Найдите обратную матрицу 3 × 33 × 3.

   A = [2−1711−111−703−2] A = [2−1711−111−703−2]

   Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

   Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: XX — это матрица, представляющая переменные системы, а BB — матрица, представляющая константы. Используя матричное умножение, мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, что и

   Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть AA будет матрицей коэффициентов, пусть XX будет переменной матрицей и пусть BB будет постоянной матрицей.Таким образом, мы хотим решить систему AX = B.AX = B. Например, посмотрите на следующую систему уравнений.

   a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

   В этой системе матрица коэффициентов равна

   Матрица переменных —

   А постоянная матрица

   Тогда AX = BAX = B выглядит как

   [a1b1a2b2] [xy] = [c1c2] [a1b1a2b2] [xy] = [c1c2]

   Вспомните обсуждение ранее в этом разделе относительно умножения действительного числа на обратное, (2−1) 2 = (12) 2 = 1 .(2−1) 2 = (12) 2 = 1. Чтобы решить одно линейное уравнение ax = bax = b относительно x, x, мы просто умножим обе части уравнения на мультипликативную обратную (обратную) величину a.a. Таким образом,

   ax = b (1a) ax = (1a) b (a − 1) ax = (a − 1) b [(a − 1) a] x = (a − 1) b 1x = (a − 1 ) b x = (a − 1) b ax = b (1a) ax = (1a) b (a − 1) ax = (a − 1) b [(a − 1) a] x = (a − 1) b 1x = (a − 1) b x = (a − 1) b

   Единственное различие между решением линейного уравнения и системой уравнений, записанной в матричной форме, состоит в том, что поиск обратной матрицы более сложен, и матрица умножение — более длительный процесс.Однако цель та же — изолировать переменную.

   Мы рассмотрим эту идею подробно, но полезно начать с системы 2 × 22 × 2, а затем перейти к системе 3 × 33 × 3.

   Решение системы уравнений с использованием обратной матрицы

   Для данной системы уравнений запишите матрицу коэффициентов A, A, переменную матрицу X, X и постоянную матрицу B.B.Тогда

   Умножьте обе части на обратную величину AA, чтобы получить решение.

   (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B

   Вопросы и ответы

   Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что у системы нет решения?

   Нет, если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

   Пример 7

   Решение системы 2 × 2 с использованием обратной матрицы

   Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу.

   3x + 8y = 54x + 11y = 73x + 8y = 54x + 11y = 7

   Решение

   Запишите систему в виде матрицы коэффициентов, матрицы переменных и постоянной матрицы.

   A = [38411], X = [xy], B = [57] A = [38411], X = [xy], B = [57]

   Тогда

   [38411] [xy] = [57] [38411] [xy] = [57]

   Сначала нам нужно вычислить A − 1.A − 1. Используя формулу для вычисления обратной матрицы 2 на 2, мы имеем:

   A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca] = 13 (11) −8 (4) [11−8−43] = 11 [11−8−43] A − 1 = 1ad − bc [d− b − ca] = 13 (11) −8 (4) [11−8−43] = 11 [11−8−43]

   Итак,

   A − 1 = [11−8−4 3] A − 1 = [11−8−4 3]

   Теперь мы готовы к решению.Умножаем обе части уравнения на A − 1.A − 1.

   (A − 1) AX = (A − 1) B [11−8−43] [38411] [xy] = [11−8−43] [57] [1001] [xy] = [11 (5) + (−8) 7−4 (5) +3 (7)] [xy] = [- 11] (A − 1) AX = (A − 1) B [11−8−43] [38411] [xy] = [11−8−43] [57] [1001] [xy] = [11 (5) + (- 8) 7−4 (5) +3 (7)] [xy] = [- 11]

   решение равно (−1,1). (- 1,1).

   Вопросы и ответы

   Можем ли мы решить для XX, найдя произведение BA − 1? BA − 1?

   Нет, напомним, что умножение матриц не коммутативно, поэтому A − 1B ≠ BA − 1.A − 1B ≠ BA − 1. Рассмотрим наши шаги по решению матричного уравнения.

   (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B

   Обратите внимание, что на первом этапе мы умножили обе части уравнение равно A − 1, A − 1, но A − 1A − 1 находился слева от AA слева и слева от BB справа. Поскольку умножение матриц не коммутативно, порядок имеет значение.

   Пример 8

   Решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы

   Решите следующую систему, используя обратную матрицу.

   5x + 15y + 56z = 35−4x − 11y − 41z = −26 − x − 3y − 11z = −75x + 15y + 56z = 35−4x − 11y − 41z = −26 − x − 3y − 11z = −7

   Решение

   Напишите уравнение AX = B.AX = B.

   [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [35−26−7] [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [35−26− 7]

   Во-первых, мы найдем обратное к AA, добавив тождество.

   [51556−4−11−41−1−3−11 | 100010001] [51556−4−11−41−1−3−11 | 100010001]

   Умножить строку 1 на 15,15.

   [13565−4−11−41−1−3−11 | 1500010001] [13565−4−11−41−1−3−11 | 1500010001]

   Умножить строку 1 на 4 и прибавить к строке 2.

   [1356501195−1−3−11 | 15004510001] [1356501195−1−3−11 | 15004510001]

   Добавить строку 1 к строке 3.

   [13565011950015 | 150045101501] [13565011950015 | 150045101501]

   Умножим строку 2 на −3 и прибавим к строке 1.

   [10−15011950015 | −115−3045101501] [10−15011950015 | −115−3045101501]

   Умножить строку 3 на 5.

   [10−1501195001 | −115−304510105] [10−1501195001 | −115−304510105]

   Умножить строку 3 на 1515 и прибавить к строке 1.

   [10001195001 | −2−314510105] [10001195001 | −2−314510105]

   Умножить строку 3 на −195−195 и прибавить к строке 2.

   [100010001 | −2−31−31−19105] [100010001 | −2−31−31−19105]

   Итак,

   A − 1 = [- 2−31−31−19105] A − 1 = [- 2−31−31−19105]

   Умножаем обе части уравнения на A − 1.A − 1. Нам нужно A − 1AX = A − 1B: A − 1AX = A − 1B:

   [−2−31−31−19105] [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [- 2−31−31−19105] [35−26−7] [- 2− 31−31−19105] [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [- 2−31−31−19105] [35−26−7]

   Таким образом,

   A − 1B = [- 70 + 78−7−105−26 + 13335 + 0−35] = [120] A − 1B = [- 70 + 78−7−105−26 + 13335 + 0−35] = [ 120]

   Решение (1,2,0).(1,2,0).

   Попробуй # 4

   Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

   2x − 17y + 11z = 0 −x + 11y − 7z = 8 3y − 2z = −2 2x − 17y + 11z = 0 −x + 11y − 7z = 8 3y − 2z = −2

   Как к

   Дана система уравнений, решите с использованием обратных матриц с помощью калькулятора.

   1. Сохраните матрицу коэффициентов и постоянную матрицу как матричные переменные [A] [A] и [B].[B].
   2. Введите умножение в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
   3. Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

   Пример 9

   Использование калькулятора для решения системы уравнений с обратными матрицами

   Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

   2x + 3y + z = 323x + 3y + z = −272x + 4y + z = −22x + 3y + z = 323x + 3y + z = −272x + 4y + z = −2

   Решение

   На странице матриц калькулятора введите матрицу коэффициентов как матричную переменную [A], [A] и введите постоянную матрицу как матричную переменную [B].[B].

   [A] = [231331241], [B] = [32−27−2] [A] = [231331241], [B] = [32−27−2] »

   На главном экране калькулятора введите умножение для определения X, X, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.

   Вычислите выражение.

   [−59−34252] [- 59−34252]

   7.7 Упражнения по разделам

   Устные

   1.

   В предыдущем разделе мы показали, что умножение матриц не коммутативно, то есть AB ≠ BAAB ≠ BA в большинстве случаев.Можете ли вы объяснить, почему матричное умножение коммутативно для обратных матриц, то есть A − 1A = AA − 1? A − 1A = AA − 1?

   2.

   У каждой матрицы 2 × 22 × 2 есть обратная? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, какое условие необходимо для существования инверсии.

   3.

   Можете ли вы объяснить, может ли матрица 2 × 22 × 2 со всей строкой нулей иметь обратную?

   4.

   Может ли матрица с целым столбцом нулей иметь инверсию? Объясните, почему да или почему нет.

   5.

   Может ли матрица с нулями по диагонали иметь инверсию? Если да, то найди пример. Если нет, докажите, почему нет. Для простоты предположим, что это матрица 2 × 22 × 2.

   Algebraic

   В следующих упражнениях покажите, что матрица AA является обратной матрицей B.B.

   6.

   A = [10-11], B = [1011] A = [10-11], B = [1011]

   7.

   A = [1234], B = [- 2132−12] A = [1234], B = [- 2132−12]

   8.

   A = [4570], B = [01715-435] A = [4570], B = [01715-435]

   9.

   A = [- 2123−1], B = [- 2−1−6−4] A = [- 2123−1], B = [- 2−1−6−4]

   10.

   A = [10101−1011], B = 12 [21−10110−11] A = [10101−1011], B = 12 [21−10110−11]

   11.

   A = [123402169], B = 14 [60−217−3−5−1224] A = [123402169], B = 14 [60−217−3−5−1224]

   12.

   A = [3821115612], B = 136 [−684−67−261−1−225] A = [3821115612], B = 136 [−684−67−261−1−225]

   Для следующих упражнений найдите обратную мультипликативную матрицу для каждой матрицы, если она существует.

   16.

   [−4−3−58] [- 4−3−58]

   19.

   [0,51,51-0,5] [0,51,51-0,5]

   20.

   [106−217302] [106−217302]

   21.

   [01-3410105] [01-3410105]

   22.

   [12−1−341−2−4−5] [12−1−341−2−4−5]

   23.

   [19−32564−27] [19−32564−27]

   24.

   [1-23-48-12142] [1-23-48-12142]

   25.

   [121212131415161718] [121212131415161718]

   Для следующих упражнений решите систему, используя обратную матрицу 2 × 22 × 2.

   27.

   5x − 6y = −614x + 3y = −25x − 6y = −614x + 3y = −2

   28.

   8x + 4y = −1003x − 4y = 18x + 4y = −1003x − 4y = 1

   29.

   3x − 2y = 6 − x + 5y = −23x − 2y = 6 − x + 5y = −2

   30.

   5x − 4y = −54x + y = 2,35x − 4y = −54x + y = 2,3

   31.

   −3x − 4y = 912x + 4y = −6−3x − 4y = 912x + 4y = −6

   32.

   −2x + 3y = 310 − x + 5y = 12−2x + 3y = 310 − x + 5y = 12

   33.

   85x − 45y = 25−85x + 15y = 71085x − 45y = 25−85x + 15y = 710

   34.

   12x + 15y = −1412x − 35y = −9412x + 15y = −1412x − 35y = −94

   Для следующих упражнений решите систему, обратную 3 × 33 × 3 матрица.

   35.

   3x − 2y + 5z = 215x + 4y = 37x − 2y − 5z = 53x − 2y + 5z = 215x + 4y = 37x − 2y − 5z = 5

   36.

   4x + 4y + 4z = 402x − 3y + 4z = −12 − x + 3y + 4z = 94x + 4y + 4z = 402x − 3y + 4z = −12 − x + 3y + 4z = 9

   37.

   6x − 5y − z = 31 − x + 2y + z = −63x + 3y + 2z = 136x − 5y − z = 31 − x + 2y + z = −63x + 3y + 2z = 13

   38.

   6x − 5y + 2z = −42x + 5y − z = 122x + 5y + z = 126x − 5y + 2z = −42x + 5y − z = 122x + 5y + z = 12

   39.

   4x − 2y + 3z = −122x + 2y − 9z = 336y − 4z = 14x − 2y + 3z = −122x + 2y − 9z = 336y − 4z = 1

   40.

   110x − 15y + 4z = −41215x − 20y + 25z = −101310x + 4y − 310z = 23110x − 15y + 4z = −41215x − 20y + 25z = −101310x + 4y − 310z = 23

   41.

   12x − 15y + 15z = 31100−34x − 14y + 12z = 740−45x − 12y + 32z = 1412x − 15y + 15z = 31100−34x − 14y + 12z = 740−45x − 12y + 32z = 14

   42.

   0,1x + 0,2y + 0,3z = −1,40,1x − 0,2y + 0,3z = 0,60,4y + 0,9z = −20,1x + 0,2y + 0,3z = −1,40,1x − 0,2y + 0,3z = 0.60.4y + 0.9z = −2

   Technology

   В следующих упражнениях воспользуйтесь калькулятором для решения системы уравнений с обратными матрицами.

   43.

   2x − y = −3 − x + 2y = 2,32x − y = −3 − x + 2y = 2,3

   44.

   −12x − 32y = −432052x + 115y = 314−12x − 32y = −432052x + 115y = 314

   45.

   12.3x − 2y − 2.5z = 236.9x + 7y − 7.5z = −78y − 5z = −1012.3x − 2y − 2.5z = 236.9x + 7y − 7.5z = −78y − 5z = −10

   46. ​​

   0,5x − 3y + 6z = −0,80,7x − 2y = −0,060,5x + 4y + 5z = 00,5x − 3y + 6z = −0,80,7x − 2y = −0,060,5x + 4y + 5z = 0

   Добавочные номера

   Для следующих упражнений найдите обратную матрицу.

   47.

   [1010010101100011] [1010010101100011]

   48.

   [−1025000202−101−301] [- 1025000202−101−301]

   49.

   [1−230010214−23−5011] [1−230010214−23−5011]

   50.

   [1202302100003010200100120] [1202302100003010200100120]

   51.

   [100000010000001000000100000010111111] [100000010000001000000100000010111111]

   Приложения реального мира

   Для следующих упражнений напишите систему уравнений, описывающую ситуацию. Затем решите систему, используя обратную матрицу.

   52.

   На баскетбольный матч продано 2 400 билетов. Если цены на этаж 1 и этаж 2 были разными, а общая сумма принесенных денег составила 64 000 долларов, сколько была цена каждого билета?

   53.

   В предыдущем упражнении, если бы вам сказали, что на этаж 2 было продано на 400 билетов больше, чем на этаж 1, сколько была цена каждого билета?

   54.

   Продовольственная группа собрала два разных типа консервов: стручковую фасоль и фасоль. Общее количество собранных банок составило 350, а общий вес всей пожертвованной еды — 348 фунтов 12 унций. Если банки с зеленой фасолью весят на 2 унции меньше, чем банки с фасолью, сколько из каждой банки было пожертвовано?

   55.

   Студентов попросили принести в класс их любимые фрукты.95% фруктов состояли из бананов, яблок и апельсинов. Если апельсины были вдвое популярнее бананов, а яблоки на 5% менее популярны, чем бананы, каков процент каждого отдельного фрукта?

   56.

   Женский клуб провел распродажу выпечки, чтобы собрать деньги, и продавал пирожные и печенье с шоколадной крошкой. Они оценили пирожные в 1 доллар и печенье с шоколадной крошкой в ​​0,75 доллара. Они собрали 700 долларов и продали 850 штук. Сколько было продано пирожных и печенья?

   57.

   Магазин одежды должен заказать новый инвентарь.В продаже есть три разных типа шляп: соломенные шляпы, шапочки и ковбойские шляпы. Соломенная шляпа стоит 13,99 доллара, шапка-бини — 7,99 доллара, а ковбойская шляпа — 14,49 доллара. Если в прошедшем квартале было продано 100 головных уборов, продажи составили 1119 долларов, а количество проданных шапок было на 10 больше, чем ковбойских шляп, сколько каждой из них магазин одежды должен заказать, чтобы заменить уже проданные?

   58.

   Анна, Эшли и Андреа вместе весят 370 фунтов. Если Андреа весит на 20 фунтов больше, чем Эшли, а Анна весит 1 кг.В 5 раз больше, чем Эшли, сколько весит каждая девушка?

   59.

   Трое соседей по комнате разделили упаковку из 12 плиток мороженого, но никто не помнит, кто сколько ел. Если Том ел вдвое больше плиток мороженого, чем Джо, а Альберт ел на три меньше, чем Том, сколько плиток мороженого съел каждый сосед по комнате?

   60.

   Фермер построил курятник из проволочной сетки, дерева и фанеры. Металлическая сетка стоила 2 доллара за квадратный фут, древесина — 10 долларов за квадратный фут, а фанера — 5 долларов за квадратный фут.Фермер потратил в общей сложности 51 доллар, а общее количество использованных материалов составило 14 футов 2,14 футов 2. Он использовал на 3 фута 23 фута больше проволочной сетки, чем фанеры. Сколько каждого материала использовал фермер?

   61.

   У Джея на заднем дворе растут лимонные, апельсиновые и гранатовые деревья. Апельсин весит 8 унций, лимон — 5 унций, а гранат — 11 унций. Джей собрал 142 фрукта общим весом 70 фунтов 10 унций. Он собрал в 15,5 раз больше апельсинов, чем гранатов. Сколько фруктов собрал Джей?

   Представление систем линейных уравнений с помощью матриц

   А система линейных уравнений могут быть представлены в матричной форме с использованием матрицы коэффициентов, переменной матрицы и постоянной матрицы.

   Рассмотрим систему,

   2 Икс + 3 у знак равно 8 5 Икс — у знак равно — 2 .

   Матрица коэффициентов может быть сформирована путем выравнивания коэффициентов переменных каждого уравнения в строке. Убедитесь, что каждое уравнение написано в стандартная форма с постоянным членом справа.

   Тогда матрица коэффициентов для указанной выше системы равна

   [ 2 3 5 — 1 ] .

   Переменные, которые у нас есть, Икс а также у . Таким образом, мы можем записать матрицу переменных как [ Икс у ] .

   В правой части равенства находятся постоянные члены уравнений: 8 а также — 2 .Два числа в этом порядке соответствуют первому и второму уравнениям и, следовательно, занимают места в первой и второй строках в постоянной матрице. Итак, матрица принимает вид [ 8 — 2 ] .

   Теперь систему можно представить в виде [ 2 3 5 — 1 ] [ Икс у ] знак равно [ 8 — 2 ] .

   С использованием умножение матриц вы можете видеть, что матричное представление эквивалентно системе уравнений.

   [ 2 3 5 — 1 ] [ Икс у ] знак равно [ 2 ( Икс ) + 3 ( у ) 5 ( Икс ) + ( — 1 ) у ] знак равно [ 2 Икс + 3 у 5 Икс — у ]

   Это, [ 2 Икс + 3 у 5 Икс — у ] знак равно [ 8 — 2 ] .

   Приравнивая соответствующие элементы двух матриц, получаем:

   2 Икс + 3 у знак равно 8 5 Икс — у знак равно — 2

   Теперь давайте разберемся, что означает это представление.

   Если рассматривать это как функцию вектора [ Икс у ] , его можно определить как

   ж ( [ Икс у ] ) знак равно [ 2 3 5 — 1 ] [ Икс у ]

   Затем, решая систему, мы находим вектор [ Икс у ] для которого ж ( [ Икс у ] ) знак равно [ 8 — 2 ] .

   Это представление может упростить вычисления, потому что, если мы сможем найти обратную матрицу коэффициентов, входной вектор [ Икс у ] можно вычислить, умножив обе части на обратную матрицу.

   Аналогичным образом для системы трех уравнений с тремя переменными

   а 1 Икс + б 1 у + c 1 z знак равно d 1 а 2 Икс + б 2 у + c 2 z знак равно d 2 а 3 Икс + б 3 у + c 3 z знак равно d 3

   Матричное представление будет

   [ а 1 б 1 c 1 а 2 б 2 c 2 а 3 б 3 c 3 ] [ Икс у z ] знак равно [ d 1 d 2 d 3 ] .