С помощью обратной матрицы решить систему линейных уравнений: Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.

Содержание

примеры решения, обратная матрица, определение

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Определение 1

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Пример 1

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1an1x1+an2x2+…+annxn=bn

Матричный вид записи: А×X=B

где А=а11а12⋯а1nа21а22⋯а2n⋯⋯⋯⋯аn1аn2⋯аnn — матрица системы.

X=x1x2⋮xn — столбец неизвестных,

B=b1b2⋮bn — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X. Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A-1:

A-1×A×X=A-1×B.

Так как А-1×А=Е, то Е×X=А-1×В или X=А-1×В.

Замечание

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие det A не равен нулю.

Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится det А.

В том случае, если det A не равен нулю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если det А = 0, то систему нельзя решить данным методом.

Пример 2

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2×1-4×2+3×3=1×1-2×2+4×3=33×1-x2+5×3=2

Как решить?

Записываем систему в виде матричного уравнения АX=B, где

А=2-431-243-15, X=x1x2x3, B=132.

Выражаем из этого уравнения X:

X=A-1×B

Находим определитель матрицы А:

det A= 2-431-243-15=2×(-2)×5+3×(-4)×4+3×(-1)×1-3×(-2)×3—1×(-4)×5-2×4-(-1)=-20-48-3+18+20+8=-25

det А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

Находим обратную матрицу А-1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения Аij к соответствующим элементам матрицы А:

А11=(-1)(1+1)-24-15=-10+4=-6,

А12=(-1)1+21435=-(5-12)=7,

А13=(-1)1+31-23-1=-1+6=5,

А21=(-1)2+1-43-15=-(-20+3)=17,

А22=(-1)2+22335-10-9=1,

А23=(-1)2+32-43-1=-(-2+12)=-10,

А31=(-1)3+1-43-24=-16+6=-10,

А32=(-1)3+22314=-(8-3)=-5,

А33=(-1)3+32-41-2=-4+4=0.

Записываем союзную матрицу А*, которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:

А*=-675171-10-10-50

Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A-1=1detA(A*)T: А-1=-125-617-1071-55-100,

Умножаем обратную матрицу А-1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X=A-1×B=-125-617-1071-55-100132=-125-6+51-207+3-105-30+0=-101

Ответ: x1=-1; x2=0; x3=1

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

Тогда

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.

Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Посмотреть правильное решение и ответ.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»

Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы)

Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Начало темы «Линейная алгебра»

Определители

Матрицы

Поделиться с друзьями

Как решить систему уравнений, используя обратную матрицу

Если у вас есть коэффициент, привязанный к переменной на одной стороне матричного уравнения, вы можете умножить на обратный коэффициент, чтобы убрать этот коэффициент и оставить только переменная. Например, если 3 x = 12, как бы вы решили уравнение? Вы должны разделить обе части на 3, что равносильно умножению на 1/3, чтобы получить x = 4. То же самое и с матрицами.

В форме переменной обратная функция записывается как f ^–1 ( x ), где f ^–1 – обратная функция f. Аналогичным образом вы называете обратную матрицу; обратная матрица A равна A ^–1 . Если A, B и C являются матрицами в матричном уравнении AB = C, и вы хотите решить для B, как вы это делаете? Просто умножьте на обратную матрицу А (если обратная существует), которую вы пишете так:

A ^–1 [AB] = A ^–1 C

Таким образом, упрощенная версия B = A ^–1 C.

Теперь, когда вы упростили основное уравнение, вам нужно вычислить обратную матрицу, чтобы вычислить ответ на задачу.

Прежде всего необходимо установить, что только квадратные матрицы имеют обратные — другими словами, количество строк должно быть равно количеству столбцов. И даже тогда не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если определитель матрицы не равен 0, то матрица имеет обратную.

Как найти обратную матрицу

Когда матрица имеет обратную, у вас есть несколько способов найти ее, в зависимости от того, насколько велика матрица. Если матрица представляет собой матрицу 2×2, то вы можете использовать простую формулу, чтобы найти обратную. Однако для чего-то большего, чем 2 x 2, вы должны использовать графический калькулятор или компьютерную программу (многие веб-сайты могут найти для вас обратную матрицу).

Если вы не пользуетесь графическим калькулятором, вы можете дополнить исходную обратимую матрицу единичной матрицей и использовать элементарные операции со строками, чтобы получить единичную матрицу там, где когда-то была исходная матрица. Эти вычисления оставляют обратную матрицу, где у вас была идентичность изначально. Однако этот процесс сложнее.

С учетом сказанного, вот как найти обратную матрицу 2-x-2:

Если матрица A является матрицей 2-x-2

, ее обратная сторона выглядит следующим образом:

Просто следуйте этому формату с любым Матрица 2×2, которую вас просят найти.

Как решать уравнения

Вооружившись системой уравнений и знанием того, как использовать обратные матрицы, вы можете выполнить ряд простых шагов, чтобы прийти к решению системы, опять же используя проверенную старую матрицу. Например, вы можете решить следующую систему, используя обратные матрицы:

Эти шаги показывают вам путь:

Запишите систему в виде матричного уравнения.
Если записать матричное уравнение, получится
.
Создайте обратную матрицу коэффициентов из матричного уравнения.
Вы можете использовать эту обратную формулу:
В этом случае a = 4, b = 3, c = –10 и d = –2. Следовательно, ad – bc = 22. Следовательно, обратная матрица равна
.
Умножьте обратную матрицу коэффициентов в начале с обеих сторон уравнения.
Теперь у вас есть следующее уравнение:
Отменить матрицу слева и перемножить матрицы справа.
Обратная матрица, умноженная на матрицу, уравновешивается. У вас осталось
Умножьте скаляр, чтобы решить систему.
Вы закончите со значениями x и y :

Обратите внимание, что умножение скаляра обычно проще после умножения двух матриц.

Об этой статье

Эта статья взята из книги:

Предварительное исчисление для чайников,

Об авторе книги:

Мэри Джейн Стерлинг изучала алгебру, деловое исчисление, геометрию и конечную математику в Университете Брэдли в г. Пеория, Иллинойс, более 30 лет. Она является автором нескольких книг серии для чайников, в том числе .0002 Рабочая тетрадь по алгебре для чайников, Алгебра II для чайников, и Рабочая тетрадь по алгебре II для чайников.

Эту статью можно найти в категории:

Предварительное исчисление,

Как решить систему уравнений с использованием обратной матрицы?

В математике матрица представляет собой массив чисел, расположенных в виде прямоугольника и разделенных на строки и столбцы. Обычно их изображают, заключая все целые числа в квадратные скобки.

Определитель

Определитель матрицы — это скалярное значение, полученное для данной квадратной матрицы. Определитель рассматривается в линейной алгебре и вычисляется с использованием элементов квадратной матрицы. Определитель — это скалярное значение или число, вычисленное с использованием квадратной матрицы. Квадратная матрица может быть 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 или любой другой формы, в которой число столбцов и строк равно, например, n × n. Если S — множество квадратных матриц, R — множество целых чисел (действительных или комплексных) и f: S → R определяется равенством f (A) = k, где A ∈ S и k ∈ R, то f (A ) называется определителем А. Определитель изображается двумя вертикальными линиями, т. е. |A|.

Определитель матрицы 2×2 –

Определитель матрицы 3×3 –

Миноры и кофакторы

Матрица, созданная после удаления строки и столбца матрицы, в которой находится этот конкретный элемент, определяется как минор матрицы.

Минор элемента a ₁₂ равен M ₁₂ –

Кофактор элемента в матрице A получается путем умножения минора элемента _{M _ij на (-1) ^i+j . C _ij — это символ кофактора элемента. Если минор матрицы M _ij , то кофактор элемента будет: C _{ij =} (-1) ^i+j M _{ij .} Матрица кофакторов — это матрица, созданная кофакторами компонентов матрицы.}

Матрица кофакторов:

Сопряженная матрица

Пусть A=[aij] — n-мерная квадратная матрица. Матрица, сопряженная с A, представляет собой транспонированную матрицу кофакторов A. Обозначается буквой adj A. Сопряженные матрицы иногда называют сопряженными матрицами. Сопряженная квадратная матрица A = [aij]n x n определяется как транспонированная матрица [Aij]n x n, где Aij — сомножитель элемента aij.

Сопряженное с A = Транспонирование =

Обратная матрица

Квадратная матрица A обратима тогда и только тогда, когда A является невырожденной матрицей. Обратную матрицу можно получить, разделив сопряженную матрицу на определитель матрицы. Обратную матрицу можно вычислить, выполнив следующие шаги:

Шаг 1: Определите минор предоставленной матрицы.
Шаг 2: Преобразуйте полученную матрицу в матрицу кофакторов.
Шаг 3: Наконец, вспомогательное и
Шаг 4: Умножьте его на обратный определитель.

Пусть A =

Сопряженное с A = Транспонирование =

Обратное к матрице A = A ^{-1} =

Применение матриц и определителей Теперь рассмотрим матричные определители и определители может использоваться для решения систем линейных уравнений с двумя или тремя переменными и для оценки непротиворечивости системы.

Непротиворечивая система : Система уравнений считается непротиворечивой, если она имеет (одно или несколько) решений.
Несовместимая система : Если решение системы уравнений не существует, говорят, что система несовместима.

Представление линейных систем с помощью матричных уравнений
Расширенная матрица может использоваться для представления системы уравнений. Каждая строка в расширенной матрице представляет одно из уравнений системы, а каждый столбец представляет собой переменную или постоянные члены. Мы видим, что расширенные матрицы — это кратчайший путь для формулирования систем уравнений таким образом.
Пример: Запишите следующую систему уравнений в виде расширенной матрицы.
x – 2y = 5
4x – 3y – z = 3
5y – 7z = 9
Запишем следующую матрицу. Если переменный член не указан в матрице, считается, что коэффициент этого члена равен «0».
(1)х + (-2)у + (0)z = 5
(4)х + (-3)у + (-1)z = 3
(0)х + (5)у + (-7) г = 9
Следующая расширенная матрица:
Решение линейных систем с помощью матричных уравнений
Решение линейных уравнений с использованием матрицы выполняется матричным методом. В этой статье мы рассмотрим решение линейных уравнений на матричных примерах.
Решение уравнений с обратными матрицами
Предположим, уравнение имеет вид:
Матричный метод используется для нахождения решения системы уравнений. В уравнениях все переменные должны быть записаны в правильном порядке. На соответствующих сторонах напишите переменные, их коэффициенты и константы.
Метод определения обратного используется для решения системы линейных уравнений и требует двух дополнительных матриц. Переменные представлены матрицей X. Константы представлены матрицей B. Используя матричное умножение, система уравнений с тем же количеством уравнений, что и переменная, определяется как
AX=B
Пусть A будет матрица коэффициентов, X — переменная матрица, а B — постоянная матрица для решения системы линейных уравнений с обратной матрицей. В результате мы хотели бы решить систему AX = B. Взгляните на приведенные ниже уравнения в качестве примера.
AX = B
где:
Случай 1: Если A невырожденная матрица, она имеет обратную.
Пусть A — матрица коэффициентов, X — матрица переменных, а B — матрица констант для решения системы линейных уравнений с обратной матрицей. В результате мы хотим решить систему AX=B. Чтобы получить ответ, умножьте обе части на величину, обратную A.
Поскольку обратная матрица уникальна, это матричное уравнение предлагает единственное решение данной системы уравнений. Матричный метод — это метод решения систем уравнений.
Случай 2: Если A — сингулярная матрица, то | А| = 0. В этом случае вычислить (adj A) B.
Если (adj A) B ≠ O, (O — нулевые матрицы), то решения не существует и система уравнений называется несовместной.
Если (прил. A) B = O, то система может быть либо состоятельной, либо несовместной соответственно, поскольку система либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
Примеры задач
Вопрос 1: Найдите следующее из заданной матрицы
determinant of matrix A
cofactor matrix A
adjoint of matrix A
inverse of matrix A
Solution:

The given matrix is
Определитель A =
= 3(0+8)+5(-2+4)+3(-4)
= 3 × 8 + 5 × 2 + 3 × (-4)
= 24 + 10 – 12 единиц
Кофактор матрицы A =
C ₁₁ = 0 × (-1) -4 × (-2) = 0 + 8 = 8
C ₁₂ = -((-5) × (-1) -3 × ( -2)) = -(5 + 6) = -11
C ₁₃ = (-5) × 4 -3 × 0 = -20
C ₂₁ = −(2 × (-1) -4 × (-1)) = -(-2 + 4) = -2
C ₂₂ = 3 × (-1) -3 × (-1) = -3 + 3 = 0
C ₂₃ = -(3 × 4 – 3 × 2) = -(12 – 6) = -6
C ₃₁ = 2 × (-2) – 0 × (-1) = -4
С ₃₂ = -(3 × (-2) – (-5) × (-1)) = -(-6 – 5) = 11
C ₃₃ = 3 × 0 – (-5) × 2 = 10
Кофакторная матрица a =
Содружка матрицы A = транспонирование кофакторной матрицы C =
Инверс матрицы A =
=
=
555591069 9066
99506
99506
99506
506995069066
9 9006
0669066. нанимается на работу с ежемесячной оплатой определенной суммы и ежегодным повышением на заранее определенную сумму. Найдите его начальную зарплату и ежегодную прибавку, если его зарплата составляла 300 долларов в месяц в конце первого месяца после 1 года службы и 600 долларов в месяц в конце первого месяца после 3 лет службы.
Решение:
Пусть «x» и «y» обозначают месячную зарплату и годовое увеличение на определенную сумму соответственно.
По вопросу;
x + y = 300 ⇢ (i)
x + 3y = 600 ⇢ (ii)
Это можно записать как AX = B, где
Определитель A = 1 × 3 – 1 × 1 = 3 – 1 = 2
Присоединение A =
Таким образом,
Используя обратную матрицу,
X = A ^-1 B
Поэтому; x = 150 долларов, y = 150 долларов
Итак, месячная зарплата равна 150 долларам, а годовой прирост равен 150 долларам.
Вопрос 3: Сумма трех чисел равна 3. Если мы умножим второе число на 2 и прибавим к нему первое число, мы получим 6. Если мы умножим третье число на 4 и прибавим к нему второе число , получаем 10. Представим его алгебраически и найдем числа матричным методом.
Решение:
Пусть x, y и z представляют первое, второе и третье числа соответственно. Тогда согласно вопросу имеем
x + y + z = 3
x + 2y = 6
y + 4z = 10
Это можно записать как AX = B, где
Здесь |A |= 1(8 – 0) – 1(4 – 0) + 1(1 – 0) = 8 – 4 + 1 = 5 ≠ 0. Теперь найдем прил A.
A ₁₁ = 8 – 0 = 8, А ₁₂ = -(4 – 0) = -4, А ₁₃ = 1 – 0 = 1
А ₂₁ = -(4 – 1) = -3, А ₂₂ = 4 – 0 = 4, А ₂₃ = -(1 – 0) = -1
А ₃₁ = 0 – 2 = -2, A ₃₂ = -(0 – 1) = 1, A ₃₃ = 2 – 1 = 1
Прил. A =
Таким образом,
X = A ^-1 B
Следовательно;
Вопрос 4. Предположим, Джо, Макс и Полли пошли за покупками в торговый центр. Джо платит 45/- за 4 кг яблок, 7 кг бананов и 6 кг гуавы, Макс платит 30/- за 2 кг яблок и 5 кг гуавы, а Полли платит 35/- за 3 кг яблок, 1 кг бананов и 4 кг гуавы. Сколько стоят яблоки, бананы и гуава за килограмм?
Решение:
Пусть x, y и z обозначают количество яблок, бананов и гуавы соответственно.
В соответствии с вопросом:
4x + 7y + 6z = 45
2 x + 5 z = 30
3x + y + 4z = 35
Матрица A содержит килограмм купленных яблок, бананов и гуавы Джо, Макс и Полли. Матрица B содержит цены, которые платят все трое, а матрица X содержит переменные.
Решением данной системы уравнений будет X = A ^-1 B.
Чтобы найти обратную величину A, мы сначала найдем определитель A.
Определитель A = |A| = 4(0 х 4 – 1 х 5) – 7(2 х 4 – 5 х 3) + 6(2 х 1 – 3 х 0)
= 4(0 – 5) – 7(8 – 15) + 6(2 – 0)
= -20 – 7(-7) + 12
= -20 + 49 + 12 = 41
Прил. of A =
Стоимость яблок за кг = 8,3/-
Стоимость бананов за кг = 1,1/-
Стоимость гуавы за кг = 2,7/-
Вопрос 5: Стоимость 2 кг картофеля, 3 кг помидоров и 2 кг муки составляет 50. Стоимость 5 кг картофеля, 1 кг помидоров и 6 кг муки — 40. Стоимость 4 кг картофеля, 6 кг помидоров и 3 кг муки — 60. Найдите стоимость каждого продукта за кг с помощью обратной матрицы.
Решение:
Пусть x, y и z обозначают кг картофеля, помидоров и муки соответственно.
В соответствии с вопросом:
2x + 3y + 2z = 50
5x + 1y + 6z = 40
4x + 6y + 3z = 60
Матрица A содержит кг картофеля, помидоров и муки. Матрица B содержит уплаченные цены, а матрица X содержит переменные. Это можно записать как AX = B, где
Решение данной системы уравнений есть X = A ^-1 B. Чтобы найти обратную величину A, мы сначала найдем определитель A.

РубрикаРазное