С помощью обратной матрицы решить систему линейных уравнений: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Содержание

Решение уравнений методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы используется при решении систем линейных алгебраических уравнений, если число неизвестных равно числу уравнений.

Суть метода

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными:

Эту систему можно записать в виде матричного уравнения ,

где – матрица системы,

– столбец неизвестных,

– столбец свободных коэффициентов.

Из полученного матричного уравнения необходимо выразить . Для этого умножим обе части матричного уравнения слева на , получим:

Так как , то или .

Далее находится обратная матрица и умножается на столбец свободных членов .

ЗАМЕЧАНИЕ Обратная матрица к матрице существует только при условии, что . Поэтому при решении системы линейных уравнений методом обратной матрицы в первую очередь вычисляется . Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы, если же , то методом обратной матрицы решить эту систему нельзя.

Пример решения методом обратной матрицы

ПРИМЕР 1

Задание

Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы

Решение

Данная система уравнений может быть записана матричным уравнением

где , , .

Выразив из этого уравнения , получим

Найдем определитель матрицы :

Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу с помощью союзной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы :

Запишем союзную матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы :

Далее запишем обратную матрицу согласно формуле . Будем иметь:

Умножая обратную матрицу на столбец свободных членов , получим искомое решение исходной системы:

Ответ

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы онлайн

Одним из популярных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является метод обратной матрицы. Рассмотрим этот метод подробнее на примере решения СЛАУ, состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными.

a11xa12yb1a21xa22yb2

Введем обозначения: A — матрица СЛАУ, которая имеет вид:

Aa11a12a21a22

X — вектор столбец неизвестных, которые нам нужно найти:

Xxy

B — вектор столбец свободных коэффициентов:

Bb1b2

В результате, исходную СЛАУ можно записать в матричной форме:

AXB

Решим это матричное уравнение, для чего домножим его обе части слева на матрицу A^-1:

A1AXA1B

Здесь, A^-1 — это матрица, обратная к матрице A.

Такая матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы (т.е. такой, определитель которой не равен нулю).

Эти условия показывают границы применимости метода обратной матрицы для решения СЛАУ. Во-первых: матрица СЛАУ A должна быть квадратной. Это означает, что количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Во-вторых: определитель матрицы A должен быть отличен от нуля:

Кроме того, обратная матрица обладает ещё одним замечательным свойством: её произведение на исходную матрицу коммутативно и равно единичной матрице:

A1AAA1E

Возвращаясь к решению нашего матричного уравнения, получаем:

EXXA1B

Таким образом, для того, чтобы решить СЛАУ методом обратной матрицы, сначала нам нужно убедиться, что обратная матрица существует, затем найти её и умножить на вектор B.

Наш онлайн калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом обратной матрицы

. Калькулятор выдаёт пошаговое решение с описанием действий на русском языке. Уравнения СЛАУ вводятся в калькулятор в естественном виде. В качестве коэффициентов уравнения можно вводить не только числа и дроби, но и параметры — в этом случае калькулятор выдаст решение в общем виде.

I.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

(схема 17)

Матрица, имеющая отличный от нуля определитель, называется невырожденной; имеющая равный нулю определитель – вырожденной.

Матрица A^-1 называется обратной для заданной квадратной матрицы , если при умножении матрицы на обратную ей как справа, так и слева, получается единичная матрица, то есть

A^-1∙A=A∙A^-1=E. (1.7)

Заметим, что в данном случае произведение матриц A и A^-1 коммутативно.

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля определителя заданной матрицы

Если главная матрица системы оказалась при проверке вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод применить нельзя.

Для невырожденной матрицы можно найти обратную ей матрицу A^-1 по следующему алгоритму.

1. Транспонируем матрицу A в матрицу A^T .

2. Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы A^T и записываем их в матрицу .

3. Составим обратную матрицу A^-1 по формуле:

. (1.8)

4. Сделаем проверку правильности найденной матрицы А^-1 согласно формуле (1.7). Заметим, что данная проверка может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.

Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения: A∙X=B, где A – главная матрица системы, – столбец неизвестных,

– столбец свободных членов. Умножим это уравнение слева на обратную матрицу A^-1, получим: A^-1∙A∙X=A^-1∙B. Так как по определению обратной матрицы A^-1∙A=E, то уравнение принимает вид

E∙X=A^-1∙B или X=A^-1∙B .

(1.9)

Таким образом, чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений нужно столбец свободных членов умножить слева на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать проверку полученного решения.

Пример 1.6. Решить систему методом обратной матрицы

Решение. Вычислим главный определитель системы

Следовательно, матрица невырожденная и обратная к ней матрица существует.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы :

Запишем алгебраические дополнения в матрицу

. Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения системы . Отсюда x=2, y=0, z=1

Найти решение системы линейных уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом

Для решения системы линейных алгебраических уравнений ее записывают в матричной форме

где -матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; — столбец неизвестных; — столбец свободных членов. После того, если для матрицы существует обратная матрица ( ) то система линейных уравнений имеет единственное решение и он находится за формулой

Поскольку перемножить матрицу на вектор столбец не складывает особенных трудностей, то большая проблема при вычислениях — найти обратную матрицу

В нахождении решения за приведенной формулой и заключается суть матричного метода.

Рассмотрим несколько примеров из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. «Высшая математика»

————————————

Задача.

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

1) (1. 183)

2) (4. 182)

Решение.

1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме

Найдем обратную матрицу. Напомним, что

где — определитель матрицы , а — транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов определителя матрицы.

Вычислим определитель матрицы

Матрица алгебраических дополнений состоит из элементов , которые вычисляются через миноры по правилу

Миноры — это определители на порядок меньшие от определителя , которые образуются вычеркиванием в нем -й строки и — го столбца. На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.

Найдем алгебраические дополнения к определителю

Запишем найденную матрицу алгебраических дополнений

и протранспонируем ее

Находим обратную матрицу

С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений

На етом решения примера завешено. Как видите никаких сложных вычислений в етом задании мы не делали.

2) Запишем систему линейных уравнений четвертого порядка в матричной форме

Поскольку все коэффициенты ненулевые то вычислять ее будет трудно. Выполним над системой линейных уравнений элементарные превращения чтобы превратить в нуль некоторые из коэффициентов.

От второй строки отнимем первую и последнюю строки

От третьей строки отнимем сумму первой и четвертой строки начальной системы

От четвертой строки отнимем первый

Из последней строки уже можем сказать что но будем придерживаться правил чтобы научиться решать большие системы уравнений.

Поскольку матрица стала разреженной то вычисление определителя и матрицы алгебраических дополнений упростятся. Найдем определитель матрицы, разложив его за четвертой строкой

Найдем матрицу алгебраических дополнений, раскладывая искомые детерминанты за строками и столбцами которые содержат больше всего нулей. Для самопроверки выпишу Вам вычисление только первой строки. Остальные попробуйте вычислить самостоятельно

После нахождения всех значений получим следующую матрицу дополнений

Поскольку определитель равен единице то обратная матрица с транспонированной матрицей дополнений совпадают

Подставим в матричную запись и найдем решение

При вычислениях систем линейных алгебраических уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом придется находить большое количество алгебраических дополнений , которые собой являют определители второго и третьего порядка соответственно. Именно ошибки при их вычислении чаще всего становятся причиной неверного решения. Для избежания таких ситуаций нужно хорошо знать правила нахождения определителей второго, третьего порядка, а также правила чередования знаков возле миноров.

Изучайте их и получайте лишь верные решения !

———————————————-

Посмотреть материалы:

Практическая работа на тему «Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом исключения неизвестных Гаусса»

АН ПОО «Уральский промышленно-экономический техникум»

Практическая работа № 1

Дисциплина: Элементы высшей математики.

Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом исключения неизвестных Гаусса.

Цель занятия: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом исключения неизвестных Гаусса.

Норма времени: 2 часа

Методическое обеспечение: методические указания к практической работе.

Литература:

Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1 / Дмитрий Письменный – М.: Айрис-пресс, 2008. – С. 22-30.
Сборник задач по высшей математике. 1 курс. [К.Н. Лунгу и др.]; под ред. С.Н. Федина. – М.: Айрис-пресс, 2007. – С. 37-41.

По указанной литературе и конспектам лекций повторить методы решения систем линейных уравнений: матричный метод, формулы Крамера, метод исключения неизвестных Гаусса

Решить систему линейных алгебраических уравнений, используя:

а) матричный способ;

б) метод Гаусса;

в) формулы Крамера.

Решение

Запишем исходную систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде

Проверим совместность системы по теореме Кронекера-Капелли, найдя ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы. Проводим эквивалентные (элементарные) преобразования основной и расширенной матриц системы, приводя их к каноническому виду. Ранг будет равен количеству единиц на главной диагонали канонического вида матриц.

Ранги расширенной и основной матриц системы равны:

Таким образом система совместна, то есть имеет хотя бы одно решение.

Так как ранг основной матрицы системы совпадает с количеством неизвестных то исходная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

а) Решаем методом обратной матрицы

Решаем исходную систему линейных алгебраических уравнений с помощью формулы

Найдем обратную матрицу к матрице системы по формуле

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы А,

– определитель матрицы системы.

Вычислим определитель матрицы системы (с помощью формулы треугольников)

Определитель не равен нулю, следовательно, матрица системы является невырожденной. Поэтому обратная к ней матрица существует. Найдём её по формуле.

Сначала находим алгебраические дополнения к элементам матрицы.

Подставляем полученные значения в формулу для вычисления обратной матрицы. Таким образом, обратная матрица будет иметь следующий вид

Тогда решение исходной системы линейных алгебраических уравнений будет следующим.

б) решаем систему по формулам Крамера.

Определитель матрицы системы мы уже нашли

Далее ищем вспомогательные определители для формул Крамера, заменяя соответствующие столбцы матрицы системы на столбец свободных членов т применяя формулу треугольников.

Тогда решение исходной системы линейных уравнений будет

в) Решаем систему методом Гаусса (методом исключения неизвестных)

Прямой ход

Приведем с помощью эквивалентных (элементарных) преобразований над столбцами расширенную матрицу системы к треугольному виду с единицами на главной диагонали.

Обратный ход

Из полученной преобразованной системы находим значения неизвестных, начиная с .

Решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными следующими способами: а) с помощью формул Крамера; б) матричным способом; в) по методу Гаусса.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Что значит решить систему линейных алгебраических уравнений?
Какая система линейных алгебраических уравнений называется совместной?
В каком случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение?
Какая система линейных алгебраических уравнений называется однородной?
Какие методы решения систем линейных алгебраических уравнений вы знаете?

Элементы высшей математики ПР №1 Преподаватель Максимова О.Г.

Примеры решения матриц методом крамера.

Решить систему уравнений методами Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A — 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij — алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A — 1 к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 — 3 × 3 × 3 — 1 × 5 × 4 — 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1. 14) слева на A — 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где — основная матрица системы, — столбец неизвестных и — столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1. 15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1. 18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j — независимые (искомые) переменные, a ij — постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………. .
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21-26-13-37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т. к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1. 4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = — 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = — 3 + 2t

x 2 = — 1 — 3t

x 3 = — 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2. 5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.

5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т. е. при транспонировании матрицы :

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Решить систему уравнений через матрицу онлайн.

Обратная матрица

Матричный метод решения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.

Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.

Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:

Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):

Значит, её легко перевести в матричную форму:

AX=B , где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A −1 — обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.

Т.к. A −1 A=E , значит, X=A −1 B . Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A :

detA≠0.

Для однородной системы линейных уравнений , т.е. если вектор B=0 , выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0 . Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.

Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле . Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы A −1 .

Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A −1 только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.

Пример решения неоднородной СЛАУ.

Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ.

Теперь находим союзную матрицу , транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы.

Подставляем переменные в формулу:

Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например :

НЕЛЬЗЯ записать как:

Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи:

Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x 1 , x 2 , …, x n могут оказаться другие буквы. К примеру :

в матричной форме записываем так:

Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.

Метод обратной матрицы – эточастный случай матричного уравнения

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме.Решение системы найдем по формуле (см.последнюю формулу)

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решаетсяметодом исключение неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносимв матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления . Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на урокеДействия с матрицами . Кстати, там разобран точно такой же пример.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь .
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ :

Пример 12

Решить систему с помощью обратной матрицы.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса) . Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 3:

Пример 6:

Пример 8: , . Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже).

Примеры 10, 12:

Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если Вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Далее полезно изучить урок .

Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА.Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решениялюбой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений?
и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы :
. По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица система записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями .

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следуетудалить . Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули .

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля . Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2 : . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась . Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ .

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2 . Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать , если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!

Вернемся к нашей системе . Она уже почти решена.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду :

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Кстати, почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид .

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса .

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения:

И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Почти всегда здесь должна находиться единица . Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения . Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2 :

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3 :

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно . Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО :

А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2 :

Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ:

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса . Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1 . То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху –1, что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх:
Да тут подарок получился:

Ответ: .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса.
Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например:

Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод . В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули:

Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением . Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Выполненные элементарные преобразования:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем!
(2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание , что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5.
(4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход:

Ответ: .

Пример 4: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:
(1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке».
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже , «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы

(3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1.
(4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3.
Нужная вещь на второй ступеньке получена .
(5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83. .Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, ; .Если свободные члены

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A −1 A =E , где E — единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b .

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b , где

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A :

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения.

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.

Матричный метод решения — метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A -1 · B , где A -1 — обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B , где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A -1 — матрицу, обратную к матрице A : A -1 (AX ) = A -1 B

Так как A -1 A = E , получаем X = A -1 B . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A : detA ≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0 , действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Использование обратной матрицы для решения системы линейных уравнений

Матрицы

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, заключенный в скобки. Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, нам нужно создать три различных вида матриц.

Первая матрица, которую мы будем использовать, называется матрицей коэффициентов , которая представляет собой просто коэффициенты или числа перед каждой переменной в системе уравнений. Мы должны быть уверены, что наша система уравнений выстроена так, чтобы каждая переменная находилась в одном столбце.

Если мы посмотрим на пример системы линейных уравнений, в первом уравнении коэффициенты равны 1 перед x и 2 перед y . Во втором уравнении у нас 3 перед x и 5 перед y . Поскольку у нас есть две x и 2 y , у нас будет матрица 2×2, то есть две строки и два столбца. Назовем эту матрицу A .

Матрица коэффициентов

Строки представляют различные уравнения, а столбцы — различные переменные.Первая строка — это коэффициенты первого уравнения, а вторая строка — коэффициенты второго уравнения. Первый столбец — это коэффициенты x , а второй столбец — коэффициенты y .

Вторая необходимая нам матрица называется переменной матрицей . Матрица переменных всегда будет одним столбцом с переменными в каждой строке. В этом случае, поскольку у нас есть две переменные, у нас будет матрица 2×1, где у нас есть две строки и один столбец.Мы назовем эту матрицу X , используя заглавную букву, чтобы различать нижний регистр x в задаче.

Переменная матрица

Если мы оглянемся на исходную систему уравнений, мы использовали коэффициенты и переменные. Остается только то, чему равны уравнения. Третья матрица называется постоянной матрицей , которая содержит константы системы уравнений.Назовем эту матрицу B . Опять же, это матрица 2×1, потому что у нее две строки и один столбец.

Постоянная матрица

Первое уравнение было равно 5, поэтому число идет в первой строке. Второе уравнение было равно 14, поэтому число идет во второй строке.

После преобразования системы уравнений в матрицы, как решить эту систему, чтобы найти ответ?

Использование обратных матриц для решения систем уравнений

Теперь, когда мы знаем, какие матрицы нам нужны, мы можем сложить их все вместе, чтобы создать матричное уравнение.Матричное уравнение содержит матрицу коэффициентов, переменную матрицу и постоянную матрицу и может быть решено. Существенно, что мы знаем, что если мы умножим матрицу A на матрицу X , она будет равна матрице B .

Матричное уравнение

Чтобы решить матричное уравнение, представьте уравнение A ( X ) = B . Если бы мы хотели найти X , нам нужно было бы разделить B на A .Однако, работая с матрицами, мы не можем делить. Вместо этого мы умножим на обратную величину A . Мы показываем, что умножаем на обратное, используя отрицательное число в качестве показателя степени.

Нахождение обратной матрицы 2×2

Обратная формула

Чтобы найти обратную матрицу 2×2, мы сначала переключаем значения a и d , затем делаем b и c отрицательными, и, наконец, умножаем на определитель.Детерминант матрицы является одним по сравнению с и и до н. э. .

Для матрицы A , a = 1, b = 2, c = 3 и d = 5. Итак, мы подставляем эти значения в обратную формулу.

Теперь упростим. Во-первых, упростим определитель. Один раз пять — пять, два раза три — шесть. Пять минус шесть — минус.Один, разделенный на отрицательный, равен отрицательному.

Затем мы умножаем все элементы матрицы на отрицательный, и получаем обратное значение A .

Умножение матриц

Теперь, когда у нас есть обратная матрица, нам нужно умножить обратную матрицу на постоянную матрицу. Обратная матрица — это матрица 2×2, а постоянная матрица — это матрица 2×1.Для умножения матриц количество столбцов в первой матрице должно соответствовать количеству строк во второй матрице. Результирующая матрица будет иметь такое же количество строк, что и первая матрица, и такое же количество столбцов, как вторая матрица.

Красным обведено количество столбцов в первой матрице и количество строк во второй матрице, и они должны быть одинаковыми.

Для умножения матриц мы умножаем строки на столбцы.

В этом случае мы собираемся умножить первую строку обратного A на первый столбец B , а затем сложить элементы.

Мы берем минус пять раз пять и прибавляем это к двум четырнадцати и получаем 3.

Затем мы берем вторую строку обратного преобразования A и умножаем его на первый столбец B , а затем добавляем элементы.

Мы умножаем три раза пять и прибавляем к отрицательному разу четырнадцать, что дает нам 1.

Так как первая строка нашей матрицы переменных была x , а вторая строка была y , наши решения этой системы уравнений: x = 3 и y = 1. Мы обнаружили, что каждый взрослый билет стоит 3 доллара, а каждый детский билет — 1 доллар.

Краткое содержание урока

Чтобы решить систему уравнений , где у нас есть два или более уравнений, содержащих две или более переменных, с использованием обратных матриц, мы можем выполнить следующие шаги.

Создайте матрицу коэффициентов , A , которая содержит коэффициенты переменных из системы уравнений.
Создайте матрицу переменных , X , которая содержит переменные из системы уравнений.
Создайте матрицу констант , B , которая содержит константы из системы уравнений.
Напишите матричное уравнение: AX = B .
Найдите обратную матрицу A , переключив элементы a и d , изменив знаки элементов b и c , а затем умножив на определитель , который на единицу больше разницы между и . и г. до н.э. .
Умножьте A обратно на B на постоянную матрицу.

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

Привет! Эта страница будет иметь смысл только тогда, когда вы немного знаете о системах линейных уравнений и матриц, поэтому, пожалуйста, пойдите и узнайте о них, если вы их еще не знаете!

Пример

Одним из последних примеров систем линейных уравнений был этот:

Пример: Решить

х + у + г = 6
2y + 5z = −4
2x + 5y — z = 27

Затем мы решили его, используя метод «исключения»… но мы можем решить это с помощью Матриц!

Использование матриц упрощает жизнь, потому что мы можем использовать компьютерную программу (например, Матричный калькулятор), чтобы выполнять всю «обработку чисел».

Но сначала нам нужно написать вопрос в матричной форме.

в матричной форме?

ОК. Матрица — это массив чисел, верно?

Матрица

Ну, подумайте об уравнениях:

х	+	y	+	z	=	6
		2 года	+	5z	=	−4
2x	+	5лет	–	z	=	27

Их можно было бы превратить в таблицу чисел вот так:

1	1	1	=	6
0	2	5	=	−4
2	5	-1	=	27

Мы могли бы даже разделить числа до и после «=» на:

1	1	1		6
0	2	5	и	−4
2	5	-1		27

Теперь похоже, что у нас есть 2 матрицы.

На самом деле у нас есть третий, это [x y z]:

Почему [x y z] идет туда? Потому что, когда мы умножаем матрицы, левая часть становится:

Это исходная левая часть приведенных выше уравнений (вы можете это проверить).

Матричное решение

Мы можем написать это:

как это:

AX = B

где

A — это матрица 3×3 коэффициентов x, y и z
X равно x, y и z и
B равно 6, −4 и 27

Тогда (как показано на странице инверсии матрицы) решение следующее:

X = A ^-1 B

Что это значит?

Это означает, что мы можем найти значения x, y и z (матрица X), умножив , обратное к матрице A , на матрицу B .

Итак, давайте продолжим и сделаем это.

Во-первых, нам нужно найти , обратное матрице A (при условии, что она существует!)

Используя Матричный калькулятор, получаем:

(для упрощения чисел я оставил определитель 1 / вне матрицы)

Затем умножьте A ^-1 на B (мы снова можем использовать Матричный калькулятор):

И готово! Решение:

x = 5,
y = 3,
z = −2

Как и на странице Системы линейных уравнений.

Довольно аккуратно и элегантно, человек думает, а компьютер производит вычисления.

Просто для удовольствия … Сделай это снова!

Для развлечения (и для того, чтобы помочь вам учиться), давайте проделаем все это снова, но сначала поставим матрицу «X».

Я хочу показать вам этот путь, потому что многие люди думают, что решение, приведенное выше, настолько изящно, что это, должно быть, единственный способ.

Так что решим так:

XA = B

И из-за способа умножения матриц нам нужно настроить матрицы по-другому.Строки и столбцы необходимо поменять местами («транспонировать»):

И XA = B выглядит так:

Матричное решение

Тогда (также показано на странице инверсии матрицы) решение следующее:

X = BA ^-1

Это то, что мы получаем для A ^-1:

Фактически, это то же самое, что и обратное, которое мы получили раньше, но транспонированное (строки и столбцы меняются местами).

Затем умножаем B на A ^-1:

И решение то же:

x = 5, y = 3 и z = −2

Это выглядело не так красиво, как предыдущее решение, но оно показывает нам, что существует более одного способа составления и решения матричных уравнений.Только будьте осторожны со строками и столбцами!

7.8: Решение систем с инверсиями

Нэнси планирует инвестировать \ (10 500 $) в две разные облигации, чтобы распределить свой риск. Первая облигация имеет годовую доходность \ (10% \), а вторая облигация имеет годовую доходность \ (6% \). Сколько Нэнси должна инвестировать в каждую облигацию, чтобы получить доход в размере \ (8,5% \) от двух облигаций? Как лучше всего решить эту проблему? Есть несколько способов решить эту проблему.{−1} \) равняется единичной матрице . Единичная матрица — это квадратная матрица, содержащая единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах. Мы идентифицируем единичные матрицы как \ (I_n \), где \ (n \) представляет размерность матрицы. Уравнения \ ref {eq1} и \ ref {eq2} являются единичными матрицами для матрицы \ (2 × 2 \) и матрицы \ (3 × 3 \) соответственно:

\ [I_2 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ label {eq1} \]

\ [I_3 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ label {eq2} \]

Единичная матрица действует как \ (1 \) в матричной алгебре.{−1} \) уникален. Мы рассмотрим два метода поиска матрицы, обратной матрице \ (2 × 2 \), и третий метод, который можно использовать как для матриц \ (2 × 2 \), так и для \ (3 × 3 \).

Определения: МАТРИЦА ИДЕНТИЧНОСТИ И МНОЖЕСТВЕННАЯ ИНВЕРСИЯ

Единичная матрица , \ (I_n \), представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах.

\ [I_2 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

как для единичной матрицы \ (2 × 2 \)

\ [I_3 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

как для единичной матрицы \ (3 × 3 \)

Если \ (A \) — матрица \ (n × n \) и \ (B \) — матрица \ (n × n \) такая, что \ (AB = BA = I_n \), то \ (B = A − 1 \), мультипликативная обратная матрица для матрицы \ (A \).

Пример \ (\ PageIndex {1} \): показывает, что матрица идентичности действует как 1

Для данной матрицы \ (A \) покажите, что \ (AI = IA = A \).

\ [A = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \]

Раствор

Используйте умножение матриц, чтобы показать, что произведение \ (A \) и единичной матрицы равно произведению единичной матрицы и \ (A \).

\ [\ begin {align *} AI & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt ] & = \ begin {bmatrix} 3⋅1 + 4⋅0 & 3⋅0 + 4⋅1 \ nonumber \\ −2⋅1 + 5⋅0 & −2⋅0 + 5⋅1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

\ [\ begin {align *} AI & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt ] & = \ begin {bmatrix} 1⋅3 + 0⋅ (−2) & 1⋅4 + 0⋅5 \ nonumber \\ 0⋅3 + 1⋅ (−2) & 0⋅4 + 1⋅5 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

Как сделать: даны две матрицы, покажите, что одна является мультипликативной обратной величиной другой

Даны матрица \ (A \) порядка \ (n × n \) и матрица \ (B \) порядка \ (n × n \) умножить \ (AB \). {−1} \).

Пример \ (\ PageIndex {2} \): Показано, что матрица \ (A \) является мультипликативной обратной матрицей \ (B \)

Покажите, что данные матрицы мультипликативно инвертируют друг друга.

\ [A = \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix} \]

\ [B = \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix} \]

Раствор

Умножить \ (AB \) и \ (BA \). Если оба продукта равны идентичности, то две матрицы являются обратными друг другу.

\ [\ begin {align *} AB & = \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix} · \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 (−9) +5 (2) & 1 (−5) +5 (1) \ nonumber \\ −2 (−9) −9 (2) & −2 (−5) −9 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

\ [\ begin {align *} BA & = \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix} · \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} −9 (1) −5 (−2) & — 9 (5) −5 (−9) \ nonumber \\ 2 (1) +1 (- 2) & 2 (−5) +1 (−9) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \ ]

\ (A \) и \ (B \) противоположны друг другу.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Покажите, что следующие две матрицы инвертируют друг друга.

\ [A = \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \]

\ [B = \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \]

Ответ

\ (\ begin {align *} AB & = \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 (−3) +4 (1) & 1 (−4) +4 (1) \ nonumber \\ [4pt] −1 (- 3) + — 3 (1) & — 1 (−4) + — 3 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ конец {bmatrix} \ end {align *} \)

\ (\ begin {align *} BA & = \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} −3 (1) + — 4 (−1) & — 3 (4) + — 4 (−3) \ nonumber \\ [4pt ] 1 (1) +1 (−1) & 1 (4) +1 (−3) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ конец {bmatrix} \ end {align *} \)

Нахождение обратного умножения с помощью умножения матриц

Теперь мы можем определить, являются ли две матрицы инверсными, но как мы можем найти инверсию данной матрицы? Поскольку мы знаем, что произведение матрицы на обратную матрицу является единичной матрицей, мы можем найти обратную матрицу, задав уравнение, используя умножение матрицы на .

Пример \ (\ PageIndex {3} \): Нахождение обратного умножения с помощью умножения матрицы

Используйте умножение матриц, чтобы найти обратную матрицу.

\ [A = \ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \]

Раствор

Для этого метода мы умножаем \ (A \) на матрицу, содержащую неизвестные константы, и устанавливаем ее равной единице.

\ (\ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a & b \ nonumber \\ [4pt] c & d \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix } 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ end {bmatrix} \)

Найдите произведение двух матриц, стоящих слева от знака равенства.

\ [\ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a & b \ nonumber \\ [4pt] c & d \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix } 1a − 2c & 1b − 2d \ nonumber \\ [4pt] 2a − 3c & 2b − 3d \ end {bmatrix} \]

Затем создайте систему уравнений с записью в строке 1, столбце 1 новой матрицы, равной первой записи тождества, \ (1 \). Установите запись в строке 2, столбце 1 новой матрицы, равной соответствующей записи идентичности, то есть \ (0 \).

\ (1a − 2c = 1 \ пробел R_1 \)

\ (2a − 3c = 0 \ пробел R_2 \)

Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: \ ((- 2) R_1 + R_2 \ rightarrow R_2 \).Сложите уравнения и решите относительно \ (c \).

\ [\ begin {align *} 1a − 2c & = 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 + 1c & = — 2 \ nonumber \\ [4pt] c = −2 \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

Обратный заменитель для решения \ (a \).

\ [\ begin {align *} a − 2 (−2) & = 1 \ nonumber \\ [4pt] a + 4 & = 1 \ nonumber \\ [4pt] a & = — 3 \ nonumber \ end {align *} » \ nonumber \]

Напишите другую систему уравнений, установив запись в строке 1, столбце 2 новой матрицы, равной соответствующей записи тождества, \ (0 \).Установите запись в строке 2, столбце 2, равной соответствующей записи идентификатора.

\ (1b − 2d = 0 \ пробел R_1 \)

\ (2b − 3d = 1 \ пробел R_2 \)

Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: \ ((- 2) R_1 + R_2 = R_2 \). {- 1} = \ begin {bmatrix} −3 & 2 \ nonumber \\ [4pt] −2 & 1 \ end {bmatrix} \]

Нахождение обратного умножения с помощью тождества

Другой способ найти мультипликативную обратную величину — это добавить тождество.{−1} \).

Например, учитывая

\ (A = \ begin {bmatrix} 2 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 5 & 3 \ end {bmatrix} \)

аугмент \ (A \) с тождеством

\ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

Выполнение операций со строками с целью превращения A в удостоверение.

Поменять местами ряд 1 и ряд 2.
\ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 5 & 3 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 \ end {array} \ right] \)
Умножьте строку 2 на −2 и прибавьте к строке 1.
\ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & 1 & -2 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 \ end {array} \ right] \)

Умножьте строку 1 на −2 и прибавьте к строке 2.

{- 1} = \ dfrac {1} {ad − bc} \ begin {bmatrix} d & −b \ nonumber \\ [4pt] −c & a \ end {bmatrix} \)

где \ (ad − bc ≠ 0 \).Если \ (ad − bc = 0 \), то \ (A \) не имеет обратного.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): Использование формулы для нахождения мультипликативной обратной матрицы \ (A \)

Используйте формулу, чтобы найти обратное умножение числа

\ [A = \ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \]

Раствор

Мы можем проверить, работает ли наша формула, используя один из других методов вычисления обратного. Пополним \ (A \) единицей.

\ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & -3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

Выполнение операций со строками с целью превращения \ (A \) в тождество.{−1} = \ begin {bmatrix} \ dfrac {3} {5} & \ dfrac {1} {5} \ nonumber \\ [4pt] — \ dfrac {2} {5} & \ dfrac {1} { 5} \ end {bmatrix} \)

Пример \ (\ PageIndex {5} \): поиск обратной матрицы, если она существует

Найдите обратную матрицу, если она существует.

\ (A = \ begin {bmatrix} 3 & 6 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 2 \ end {bmatrix} \)

Раствор

Мы будем использовать метод увеличения идентичности.

\ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 3 & 6 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

Поменять местами ряд 1 и ряд 2.
\ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 6 & 1 & 0 \ end {array} \ right] \)
Умножьте строку 1 на −3 и прибавьте ее к строке 2.
\ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & -3 & 1 \ end {array} \ right] \)
Мы больше ничего не можем сделать. Нули в строке 2 означают, что эта матрица не имеет инверсии.

Нахождение мультипликативной обратной матрицы для \ (3 × 3 \) матриц

К сожалению, у нас нет формулы, аналогичной формуле для матрицы \ (2 × 2 \), чтобы найти обратную матрицу \ (3 × 3 \). Вместо этого мы дополним исходную матрицу единичной матрицей и будем использовать операции со строками для получения обратного.

Для матрицы \ (3 × 3 \)

\ [A = \ begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \]

Дополнение \ (A \) с единичной матрицей

\ [\ begin {array} {c | c} A&I \ end {array} = \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \]

Для начала запишем расширенную матрицу с единицей справа и \ (A \) слева.Выполняя элементарные операции со строками так, чтобы единичная матрица появилась слева, мы получим обратную матрицу справа. Мы найдем инверсию этой матрицы в следующем примере.

Как: по матрице \ (3 × 3 \) найти обратную

Запишите исходную матрицу, дополненную единичной матрицей справа.
Используйте элементарные операции со строками, чтобы идентификатор отображался слева.
Справа получается матрица, обратная исходной.{−1} A = I \).

Пример \ (\ PageIndex {6} \): поиск инверсии матрицы \ (3 × 3 \)

Для матрицы \ (3 × 3 \) \ (A \) найдите обратное.

\ (A = \ begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \)

Раствор

Дополните \ (A \) единичной матрицей, а затем начните операции со строками, пока единичная матрица не заменит \ (A \). Матрица справа будет обратной для \ (A \).

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \ xrightarrow {Interchange \ space R_2 \ space и \ пробел R_1} \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

\ (- R_2 + R_1 = R_1 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right ] \)

\ (- R_2 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ end {array} \ справа] \)

\ (R_2 \ leftrightarrow R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ end {array} \ right ] \)

\ (- 2R_1 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 3 & 1 & 3 & -2 & 0 \ end { array} \ right] \)

\ (- 3R_2 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & -3 \ конец {array} \ right] \)

Таким образом,

\ (A ^ {- 1} = B = \ begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 6 & −2 & −3 \ end {bmatrix} \)

Анализ

Чтобы доказать, что \ (B = A ^ {- 1} \), давайте умножим две матрицы вместе, чтобы увидеть, равно ли произведение единице, если \ (AA ^ {- 1} = I \) и \ (A ^ {−1} A = I \). {- 1} A & = \ begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] — 1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 6 & −2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} & 2 & 31 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [ 4pt] & = \ begin {bmatrix} −1 (2) +1 (3) +0 (2) & −1 (3) +1 (3) +0 (4) & −1 (1) +1 (1 ) +0 (1) \ nonumber \\ [4pt] −1 (2) +0 (3) +1 (2) & −1 (3) +0 (3) +1 (4) & −1 (1) +0 (1) +1 (1) \ nonumber \\ [4pt] 6 (2) + — 2 (3) + — 3 (2) & 6 (3) + — 2 (3) + — 3 (4) & 6 (1) + — 2 (1) + — 3 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 \ non номер \\ [4pt] 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Найдите матрицу, обратную матрице \ (3 × 3 \).{−1} = \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & −3 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 6 & −5 \ end {bmatrix} \)

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: \ (X \) — это матрица, представляющая переменные системы, и \ (B \) — это матрица, представляющая константы. Используя умножение матрицы на , мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, что и

\ (AX = B \)

Для решения системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть \ (A \) будет матрицей коэффициентов, пусть \ (X \) будет переменной матрицей и пусть \ (B \) будет постоянной матрицей.Таким образом, мы хотим решить систему \ (AX = B \). Например, посмотрите на следующую систему уравнений.

\ (a_1x + b_1y = c_1 \)

\ (a_2x + b_2y = c_2 \)

Из этой системы матрица коэффициентов равна

\ (A = \ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \ nonumber \\ [4pt] a_2 & b_2 \ end {bmatrix} \)

Матрица переменных —

\ (X = \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} \)

А постоянная матрица

\ (B = \ begin {bmatrix} c_1 \ nonumber \\ [4pt] c_2 \ end {bmatrix} \)

Тогда \ (AX = B \) выглядит как

\ (\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \ nonumber \\ [4pt] a_2 & b_2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} c_1 \ nonumber \\ [4pt] c_2 \ end {bmatrix} \)

Вспомните обсуждение ранее в этом разделе относительно умножения действительного числа на обратное, \ ((2 ^ {- 1}) 2 = \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) 2 = 1 \).{-1} \ right) b \ end {align *} \]

Единственная разница между решением линейного уравнения и системой уравнений, записанной в матричной форме, состоит в том, что поиск обратной матрицы более сложен, а умножение матриц — более длительный процесс. Однако цель та же — изолировать переменную.

Мы рассмотрим эту идею подробно, но полезно начать с системы \ (2 × 2 \), а затем перейти к системе \ (3 × 3 \).

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Для данной системы уравнений запишите матрицу коэффициентов \ (A \), переменную матрицу \ (X \) и постоянную матрицу \ (B \).{-1} \ right) B \ end {align *} \]

Q&A: Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что система не имеет решения?

Нет, если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

Пример \ (\ PageIndex {7} \): решение системы \ (2 × 2 \) с использованием обратной матрицы

Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу. {- 1} \).{−1} \ right) B \\ [4pt] \ begin {bmatrix} 11 & −8 \ nonumber \\ [4pt] −4 & 3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 8 \ nonumber \\ [4pt] 4 & 11 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} 11 & −8 \ nonumber \\ [4pt] −4 & 3 \ end {bmatrix} \ begin { bmatrix} 5 \ nonumber \\ [4pt] 7 \ end {bmatrix} \\ [4pt] \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} 11 (5) + (- 8) 7 \ nonumber \\ [4pt] −4 (5) +3 (7) \ end {bmatrix} \\ [4pt] \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} −1 \ nonumber \\ [4pt] 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

Решение: \ ((- 1,1) \).{−1} \) находился слева от \ (A \) с левой стороны и слева от \ (B \) с правой стороны. Поскольку умножение матриц не коммутативно, порядок имеет значение.

Пример \ (\ PageIndex {8} \): решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы

Решите следующую систему, используя обратную матрицу.

\ [\ begin {align *} 5x + 15y + 56z & = 35 \\ -4x-11y-41z & = -26 \\ -x-3y-11z & = -7 \ end {align *} \]

Раствор

Напишите уравнение \ (AX = B \).

\ (\ begin {bmatrix} 5 & 15 & 56 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ nonumber \\ [4pt] z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 35 \ nonumber \\ [4pt] −26 \ nonumber \\ [4pt] −7 \ end {bmatrix} \)

Сначала мы найдем обратное к \ (A \), добавив тождество.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 5 & 15 & 56 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right ] \)

Умножьте строку 1 на \ (\ dfrac {1} {5} \).

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

Умножить строку 1 на \ (4 \) и прибавить к строке 2.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac {19} {5 } & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

Добавьте строку 1 к строке 3.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac {19} {5 } & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & \ dfrac {1} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

Умножить строку 2 на \ (- 3 \) и прибавить к строке 1.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & — \ dfrac {1} {5} & — \ dfrac {11} {5} & — 3 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac { 19} {5} & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & \ dfrac {1} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] \ )

Умножить строку 3 на \ (5 \).

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & — \ dfrac {1} {5} & — \ dfrac {11} {5} & — 3 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac { 19} {5} & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 \ end {array} \ right] \)

Умножить строку 3 на \ (\ dfrac {1} {5} \) и прибавить к строке 1. {- 1} B = \ begin {bmatrix} −70 + 78−7 \ nonumber \\ [4pt] −105−26 + 133 \ nonumber \\ [4pt] 35 + 0−35 \ end { bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 \ nonumber \\ [4pt] 0 \ end {bmatrix} \)

Решение: \ ((1,2,0) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

\ [\ begin {align *} 2x-17y + 11z & = 0 \\ -x + 11y-7z & = 8 \\ 3y-2z & = -2 \ end {align *} \]

Ответ: \ (X = \ begin {bmatrix} 4 \ nonumber \\ [4pt] 38 \ nonumber \\ [4pt] 58 \ end {bmatrix} \)

Как: решить систему уравнений с обращенными матрицами с помощью калькулятора

Сохраните матрицу коэффициентов и постоянную матрицу как матричные переменные \ ([A] \) и \ ([B] \).
Введите умножение в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

Пример \ (\ PageIndex {9} \): Использование калькулятора для решения системы уравнений с инверсной матрицей

Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

\ [\ begin {align *} 2x + 3y + z & = 32 \\ 3x + 3y + z & = -27 \\ 2x + 4y + z & = -2 \ end {align *} \]

Раствор

На странице матриц калькулятора введите матрицу коэффициентов как матричную переменную \ ([A] \) и введите постоянную матрицу как матричную переменную \ ([B] \).{−1} × [B] \)

Вычислите выражение.

\ (\ begin {bmatrix} −59 \ nonumber \\ [4pt] −34 \ nonumber \\ [4pt] 252 \ end {bmatrix} \)

Медиа

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в решении систем с обратными числами.

Объяснитель урока: Решение системы трех уравнений с использованием обратной матрицы

Пример 5: Решение реальной проблемы с помощью обратной матрицы

В таблице ниже показано количество различных типов номеров в трех отелях, находящихся в собственности компанией.

Отель	Одноместный номер	Двухместный номер	Люкс
Первый отель	45	74	15
Второй отель	48	74	19
Третья гостиница	49	94	10

Все три отеля взимают одинаковую плату за номер одинакового размера.Когда все номера забронированы, ежедневный доход компании с первого, второй и третий гостиницы 50 120 LE, 53 560 LE, и 55 660 ЛЕ соответственно. Найдите ежедневный доход от апартаментов.

Ответ

В этом примере у нас есть три неизвестных величины: стоимость одного номер, двухместный номер и люкс. Обозначим эти неизвестные константами 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно. Мы можем узнать стоимость комплекта в LE, найдя значение из 𝑧.

Нам дано, что дневной доход от первой гостиницы составляет 50 120 LE, если все номера забронированы. Это может быть записывается в виде следующего уравнения: 45𝑥 + 74𝑦 + 15𝑧 = 50120.

Аналогичным образом мы можем получить еще два уравнения из ежедневного дохода вторая и третья гостиницы соответственно: 48𝑥 + 74𝑦 + 19𝑧 = 53560,49𝑥 + 94𝑦 + 10𝑧 = 55660.

Это дает нам систему трех уравнений с тремя неизвестными. Давайте решать эта система с использованием матриц.Мы можем начать с написания матричного уравнения что эквивалентно данной системе уравнений. Напомним, что система линейных уравнений 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, ⋮⋮⋮ ⋱ ⋮⋮⋮ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏.  эквивалентно матричному уравнению ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝𝑥𝑥 ⋮ 𝑥⎞⎟⎟⎠ = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 ⋮ 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. 

Матрицы в приведенном выше уравнении называются коэффициентами, переменными, и постоянные матрицы соответственно. Из данной системы уравнения, наши переменные имеют имена 𝑥, 𝑦 и 𝑧, которые образуют записи матрица переменных.Константы 50 120, 53 560 и 55 660 в правых частях данных уравнений формируют элементы постоянной матрицы. Следовательно, переменная и постоянные матрицы соответственно равны 𝑥𝑦𝑧, 501205356055660.

Чтобы найти матрицу коэффициентов, нам нужно записать коэффициенты каждой переменной в правильном порядке (то есть в порядке 𝑥, 𝑦 и 𝑧) для каждого уравнения. Это приводит к матрице коэффициентов 457415487419499410.

Следовательно, матричное уравнение имеет вид 457415487419499410𝑥𝑦𝑧 = 501205356055660.

Мы можем решить это уравнение, умножив слева величину, обратную матрица коэффициентов по обеим сторонам приведенного выше уравнения. Давайте найдем инверсия матрицы коэффициентов 𝐴 = 457415487419499410.

Мы можем использовать сопряженный метод для получения обратной этой матрицы, если это существует. Напомним, что квадратная матрица обратима, если ее определитель отличен от нуля.Начнем с вычисления определителя эту матрицу и убедившись, что она не равна нулю.

Напомним, что для матрицы 3 × 3 𝐴 = 𝑎, его определитель может быть вычислено det𝐴 = 𝑎 | 𝐴 | −𝑎 | 𝐴 | + 𝑎 | 𝐴 |  где 𝐴 — матричные миноры, полученные взятием 𝑖-я строка и 𝑗-й столбец матрицы 𝐴. Мы можем применить эту формулу к нашей матрице коэффициентов 𝐴 получить det𝐴 = 45 || 74199410 || −74 || 48194910 || +45 || 48744994 || = 45 × (−1046) −74 × (−451) + 45 × 886 = −406.

Так как det𝐴 ≠ 0, мы знаем, что обратная матрица 𝐴 существует. Найдем обратное. Напомним, что мы можно найти обратную матрицу, используя сопряженный метод следующим образом:

Найдите матрицу сомножителя 𝐶 = 𝑐 × , где 𝑐 = (- 1) | 𝐴 | .
Найдите сопряженную матрицу, транспонируя матрицу сомножителей: adj𝐴 = 𝐶.
Умножаем сопряженную матрицу на обратную величину определителя 𝐴 для получения обратной матрицы: 𝐴 = 1𝐴𝐴.detadj

Давайте сначала найдем матрицу сомножителей. Записи матрицы кофакторов — определители соответствующих миноров матриц, умноженные на знакопеременный (−1) . Нам надо вычислить определители 9 миноров матриц с соответствующим знаком для этого: + | 𝐴 | = + || 74199410 || = −1046, — | 𝐴 | = — || 48194910 || = 451, + | 𝐴 | = + || 48744994 || = 886, — | 𝐴 | = — | | 74159410 || = 670, + | 𝐴 | = + || 45154910 || = −285, — | 𝐴 | = — || 45744994 || = −604, + | 𝐴 | = + || 74157419 || = 296 , — | 𝐴 | = — || 45154819 || = −135, + | 𝐴 | = + || 45744874 || = −222.

Это приводит к матрице сомножителей  − 1046451886670−285−604296−135−222.

Сопряженную матрицу можно найти транспонированием: adj𝐴 =  − 1046670296451−285−135886−604−222.

Наконец, умножая на обратную величину определителя, мы вычисленное ранее как −406, мы получаем 𝐴 = −1406 − 1046670296451−285−135886−604−222.

Напомним, что мы можем решить матричное уравнение 𝐴𝑋 = 𝐵, записав 𝑋 = 𝐴𝐵.Это ведет к 𝑥𝑦𝑧 = −1406 − 1046670296451−285−135886−604−222501205356055660.

Следовательно, мы можем закончить вычислением умножения матриц на правая часть уравнения выше: 𝑥𝑦𝑧 = −1406 − 1046 × 50120 + 670 × 53560 + 296 × 55660451 × 50120−285 × 5356−135 × 55660886 × 50120−604 × 53560−222 × 55660 = −1406 − 64960−174580−300440  = 160430740.

Это приводит к 𝑥 = 160, 𝑦 = 430, 𝑧 = 740.

Следовательно, стоимость номера 740 LE.

7.7 Решение систем с инверсиями — алгебра колледжа

Цели обучения

В этом разделе вы:

Найдите обратную матрицу.
Решите систему линейных уравнений, используя обратную матрицу.

Нэнси планирует инвестировать 10 500 долларов в две разные облигации, чтобы распределить свой риск. Первая облигация имеет годовую доходность 10%, а вторая облигация имеет годовую доходность 6%. Сколько Нэнси должна инвестировать в каждую облигацию, чтобы получить доход в размере 8,5% от двух облигаций? Как лучше всего решить эту проблему?

Есть несколько способов решить эту проблему. Как мы видели в предыдущих разделах, системы уравнений и матриц полезны при решении реальных проблем, связанных с финансами.После изучения этого раздела у нас будут инструменты для решения проблемы облигаций с использованием обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы

Мы знаем, что мультипликативная обратная величина действительного числа aa равна a − 1, a − 1 и aa − 1 = a − 1a = (1a) a = 1.aa − 1 = a − 1a = (1a) a = 1. Например, 2−1 = 122−1 = 12 и (12) 2 = 1. (12) 2 = 1. Мультипликативная обратная матрица аналогична по концепции, за исключением того, что произведение матрицы AA и ее обратной A − 1A − 1 равно единичной матрице. Единичная матрица — это квадратная матрица, содержащая единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах.Мы идентифицируем единичные матрицы с помощью InIn, где nn представляет собой размерность матрицы. Упражнение 7.384 и следующие уравнения.

I3 = [100010001] I3 = [100010001]

Единичная матрица действует как 1 в матричной алгебре. Например, AI = IA = A.AI = IA = A.

Матрица, имеющая мультипликативную обратную, имеет свойства

AA − 1 = IA − 1A = IAA − 1 = IA − 1A = I

Матрица, имеющая мультипликативную обратную матрицу, называется обратимой матрицей. Только квадратная матрица может иметь мультипликативную обратную, поскольку обратимость, AA-1 = A-1A = I, AA-1 = A-1A = I, является требованием.Не все квадратные матрицы имеют обратную, но если AA обратима, то A − 1A − 1 единственна. Мы рассмотрим два метода нахождения обратной матрицы 2 × 22 × 2 и третий метод, который можно использовать как для матриц 2 × 22 × 2, так и 3 × 33 × 3.

Матрица идентичности и обратная мультипликативная величина

Единичная матрица In, In представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах.

I2 = [1001] I3 = [100010001] 2 × 2 3 × 3 I2 = [1001] I3 = [100010001] 2 × 2 3 × 3

Если AA — это n × nn × n матрица, а BB — это n × nn × n матрица такая, что AB = BA = In, AB = BA = In, тогда B = A − 1, B = A − 1, мультипликативная обратная матрица A.А.

Пример 1

Показывает, что матрица идентичности действует как 1

Для данной матрицы A покажите, что AI = IA = A.AI = IA = A.

Решение

Используйте матричное умножение, чтобы показать, что произведение AA и идентичности равно произведению идентичности и A.

AI = [34−25] [1001] = [3⋅1 + 4⋅03⋅0 + 4⋅1−2⋅1 + 5⋅0−2⋅0 + 5⋅1] = [34−25] AI = [34−25] [1001] = [3⋅1 + 4⋅03⋅0 + 4⋅1−2⋅1 + 5⋅0−2⋅0 + 5⋅1] = [34−25] IA = [1001 ] [34−25] = [1⋅3 + 0⋅ (−2) 1⋅4 + 0⋅50⋅3 + 1⋅ (−2) 0⋅4 + 1⋅5] = [34−25] IA = [1001] [34−25] = [1⋅3 + 0⋅ (−2) 1⋅4 + 0⋅50⋅3 + 1⋅ (−2) 0⋅4 + 1⋅5] = [34−25]

Как к

Даны две матрицы, покажите, что одна является мультипликативно обратной по отношению к другой.

Для заданной матрицы AA порядка n × nn × n и матрицы BB порядка n × nn × n умножаем AB.AB.
Если AB = I, AB = I, найти произведение BA.BA. Если BA = I, BA = I, то B = A − 1B = A − 1 и A = B − 1.A = B − 1.

Пример 2

, показывающая, что матрица

A является мультипликативной обратной матрицей B

Покажите, что данные матрицы мультипликативно инвертируют друг друга.

A = [15−2−9], B = [- 9−521] A = [15−2−9], B = [- 9−521]

Решение

Умножьте ABAB и BA.BA. Если оба продукта равны идентичности, то две матрицы являются обратными друг другу.

AB = [15−2−9] · [−9−521] = [1 (−9) +5 (2) 1 (−5) +5 (1) −2 (−9) −9 (2) — 2 (−5) −9 (1)] = [1001] AB = [15−2−9] · [−9−521] = [1 (−9) +5 (2) 1 (−5) +5 (1) −2 (−9) −9 (2) −2 (−5) −9 (1)] = [1001] BA = [- 9−521] · [15−2−9] = [- 9 (1) −5 (−2) −9 (5) −5 (−9) 2 (1) +1 (−2) 2 (−5) +1 (−9)] = [1001] BA = [- 9−521] · [15−2−9] = [- 9 (1) −5 (−2) −9 (5) −5 (−9) 2 (1) +1 (−2) 2 (−5) ) +1 (−9)] = [1001]

AA и BB противоположны друг другу.

Попробуй # 1

Покажите, что следующие две матрицы инвертируют друг друга.

A = [14−1−3], B = [- 3−411] A = [14−1−3], B = [- 3−411]

Нахождение обратного умножения с помощью умножения матриц

Теперь мы можем определить, являются ли две матрицы инверсными, но как мы можем найти инверсию данной матрицы? Поскольку мы знаем, что произведение матрицы на обратную матрицу является единичной матрицей, мы можем найти обратную матрицу, задав уравнение с помощью умножения матриц.

Пример 3

Нахождение обратного умножения с помощью умножения матриц

Используйте умножение матриц, чтобы найти обратную матрицу.

A = [1-22-3] A = [1-22-3]

Решение

Для этого метода мы умножаем AA на матрицу, содержащую неизвестные константы, и устанавливаем ее равной единице.

[1-22-3] [abcd] = [1001] [1-22-3] [abcd] = [1001]

Найдите произведение двух матриц, стоящих слева от знака равенства.

[1−22−3] [abcd] = [1a − 2c1b − 2d2a − 3c2b − 3d] [1−22−3] [abcd] = [1a − 2c1b − 2d2a − 3c2b − 3d]

Затем настройте система уравнений с записью в строке 1, столбце 1 новой матрицы, равной первой записи тождества, 1.Установите запись в строке 2, столбце 1 новой матрицы, равной соответствующей записи идентичности, которая равна 0.

1a − 2c = 1 R12a − 3c = 0 R21a − 2c = 1 R12a − 3c = 0 R2

Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: (−2) R1 + R2 → R2. (- 2) R1 + R2 → R2. Сложите уравнения и решите относительно c.c.

1a − 2c = 10 + 1c = −2c = −21a − 2c = 10 + 1c = −2c = −2

Обратная подстановка для нахождения а.а.

a − 2 (−2) = 1a + 4 = 1a = −3a − 2 (−2) = 1a + 4 = 1a = −3

Напишите другую систему уравнений, задав запись в строке 1, столбце 2 новой матрицы равно соответствующему элементу тождества, 0.Установите запись в строке 2, столбце 2, равной соответствующей записи идентификатора.

1b − 2d = 0R12b − 3d = 1R21b − 2d = 0R12b − 3d = 1R2

Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: (−2) R1 + R2 = R2. (- 2) R1 + R2 = R2. Сложите два уравнения и решите относительно d.d.

1b − 2d = 00 + 1d = 1d = 11b − 2d = 00 + 1d = 1d = 1

Еще раз выполните обратную замену и решите относительно b.b.

b − 2 (1) = 0b − 2 = 0b = 2b − 2 (1) = 0b − 2 = 0b = 2 A − 1 = [- 32−21] A − 1 = [- 32−21]

Нахождение мультипликативного обратного с помощью тождества

Другой способ найти мультипликативный обратный — это увеличить с помощью тождества.Когда матрица AA преобразуется в I, I, расширенная матрица II преобразуется в A-1.A-1.

Например, учитывая

дополнить AA идентификатором

Выполнять операции со строками с целью превращения AA в идентичность.

Поменять местами ряд 1 и ряд 2.
Умножим строку 2 на −2−2 и прибавим к строке 1. [1121 | −2110] [1121 | −2110]
Умножим строку 1 на −2−2 и прибавим к строке 2. [110−1 | −215−2] [110−1 | −215−2]
Добавьте строку 2 к строке 1.[100−1 | 3−15−2] [100−1 | 3−15−2]
Умножим строку 2 на -1. [1001 | 3−1−52] [1001 | 3−1−52]

Найденная матрица имеет вид A − 1.A − 1.

A − 1 = [3−1−52] A − 1 = [3−1−52]

Нахождение мультипликативной обратной матрицы 2 × 2 по формуле

Когда нам нужно найти мультипликативную обратную матрицу 2 × Матрица 22 × 2, мы можем использовать специальную формулу вместо умножения матриц или увеличения на единицу.

Если AA — это матрица 2 × 22 × 2, например

мультипликативная обратная величина AA определяется формулой

A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca] A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca]

, где ad − bc ≠ 0.ad − bc ≠ 0. Если ad − bc = 0, ad − bc = 0, то у AA нет обратного.

Пример 4

Использование формулы для нахождения обратной мультипликативной матрицы

Используйте формулу, чтобы найти обратное умножение числа

. A = [1-22-3] A = [1-22-3]

Решение

Используя формулу, имеем

A − 1 = 1 (1) (- 3) — (- 2) (2) [- 32−21] = 1−3 + 4 [−32−21] = [- 32−21] A − 1 = 1 (1) (- 3) — (- 2) (2) [- 32−21] = 1−3 + 4 [−32−21] = [- 32−21]

Анализ

Мы можем проверить, работает ли наша формула, используя один из других методов вычисления обратного.Давайте дополним AA идентичностью.

[1-22-3 | 1001] [1-22-3 | 1001]

Выполнять операции со строками с целью превращения AA в идентичность.

Умножим строку 1 на −2−2 и прибавим к строке 2. [1−201 | 10−21] [1−201 | 10−21]
Умножьте строку 1 на 2 и прибавьте к строке 1. [1001 | −32−21] [1001 | −32−21]

Итак, мы проверили наше исходное решение.

A − 1 = [- 32−21] A − 1 = [- 32−21]

Попробуй # 2

Используйте формулу, чтобы найти матрицу, обратную матрице A.A. Проверьте свой ответ, добавив единичную матрицу.

Пример 5

Нахождение обратной матрицы, если она существует

Найдите обратную матрицу, если она существует.

Решение

Мы будем использовать метод увеличения идентичности.

Поменять местами ряд 1 и ряд 2.
Умножьте строку 1 на −3 и прибавьте ее к строке 2. [1200 | 10−31] [1200 | 10−31]
Мы больше ничего не можем сделать. Нули в строке 2 означают, что эта матрица не имеет инверсии.

Нахождение обратной мультипликативной матрицы для матриц 3 × 3

К сожалению, у нас нет формулы, аналогичной формуле для матрицы 2 × 22 × 2, чтобы найти обратную матрицу 3 × 33 × 3. Вместо этого мы дополним исходную матрицу единичной матрицей и будем использовать операции со строками для получения обратного.

Учитывая 3 × 33 × 3 матрица

A = [231331241] A = [231331241]

дополнить AA с единичной матрицей

A | I = [231331241 | 100010001] A | I = [231331241 | 100010001]

Для начала запишем расширенную матрицу с единицей справа и AA слева. Выполняя элементарные операции со строками так, чтобы единичная матрица появилась слева, мы получим обратную матрицу справа. Мы найдем инверсию этой матрицы в следующем примере.

Как к

Для матрицы 3 × 33 × 3 найдите обратную

Запишите исходную матрицу, дополненную единичной матрицей справа.
Используйте элементарные операции со строками, чтобы идентификатор отображался слева.
Справа получается матрица, обратная исходной.
Используйте матричное умножение, чтобы показать, что AA − 1 = IAA − 1 = I и A − 1A = I.A − 1A = I.

Пример 6

Нахождение обратной матрицы 3 × 3

Для матрицы A, A 3 × 33 × 3 найдите обратное.

A = [231331241] A = [231331241]

Решение

Дополните AA единичной матрицей, а затем начните операции со строками, пока единичная матрица не заменит A.A. Матрица справа будет обратной матрицей A.A.

[231331241 | 100010001] → Развязка R2and R1 [331231241 | 010100001] [231331241 | 100010001] → Развязка R2and R1 [331231241 | 010100001] −R2 + R1 = R1 → [100231241 | −110100001] −R2 + R1 = R1 → [100231241 | −110100001] −R2 + R3 = R3 → [100231010 | −110100−101] −R2 + R3 = R3 → [100231010 | −110100−101] R3↔ R2 → [100010231 | −110−101100] R3↔ R2 → [100010231 | −110−101100] −2R1 + R3 = R3 → [100010031 | −110−1013−20] −2R1 + R3 = R3 → [100010031 | −110−1013−20] −3R2 + R3 = R3 → [100010001 | −110−1016−2−3] −3R2 + R3 = R3 → [100010001 | −110−1016−2− 3]

Таким образом,

A − 1 = B = [- 110−1016−2−3] A − 1 = B = [- 110−1016−2−3]

Анализ

Чтобы доказать, что B = A − 1, B = A − 1, давайте перемножим две матрицы, чтобы увидеть, равно ли произведение единице, если AA − 1 = IAA − 1 = I и A − 1A = I.A − 1A = I.

AA − 1 = [231331241] [−110−1016−2−3] = [2 (−1) +3 (−1) +1 (6) 2 (1) +3 (0) +1 (−2) ) 2 (0) +3 (1) +1 (−3) 3 (−1) +3 (−1) +1 (6) 3 (1) +3 (0) +1 (−2) 3 (0 ) +3 (1) +1 (−3) 2 (−1) +4 (−1) +1 (6) 2 (1) +4 (0) +1 (−2) 2 (0) +4 ( 1) +1 (−3)] = [100010001] AA − 1 = [231331241] [−110−1016−2−3] = [2 (−1) +3 (−1) +1 (6) 2 ( 1) +3 (0) +1 (−2) 2 (0) +3 (1) +1 (−3) 3 (−1) +3 (−1) +1 (6) 3 (1) +3 (0) +1 (−2) 3 (0) +3 (1) +1 (−3) 2 (−1) +4 (−1) +1 (6) 2 (1) +4 (0) + 1 (−2) 2 (0) +4 (1) +1 (−3)] = [100010001] A − 1A = [- 110−1016−2−3] [231331241] = [- 1 (2) + 1 (3) +0 (2) −1 (3) +1 (3) +0 (4) −1 (1) +1 (1) +0 (1) −1 (2) +0 (3) + 1 (2) −1 (3) +0 (3) +1 (4) −1 (1) +0 (1) +1 (1) 6 (2) + — 2 (3) + — 3 (2) 6 (3) + — 2 (3) + — 3 (4) 6 (1) + — 2 (1) + — 3 (1)] = [100010001] A − 1A = [- 110−1016−2−3 ] [231331241] = [- 1 (2) +1 (3) +0 (2) −1 (3) +1 (3) +0 (4) −1 (1) +1 (1) +0 (1) ) −1 (2) +0 (3) +1 (2) −1 (3) +0 (3) +1 (4) −1 (1) +0 (1) +1 (1) 6 (2) + −2 (3) + — 3 (2) 6 (3) + — 2 (3) + — 3 (4) 6 (1) + — 2 (1) + — 3 (1)] = [100010001]

Попробовать # 3

Найдите обратную матрицу 3 × 33 × 3.

A = [2−1711−111−703−2] A = [2−1711−111−703−2]

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: XX — это матрица, представляющая переменные системы, а BB — матрица, представляющая константы. Используя матричное умножение, мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, что и

Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть AA будет матрицей коэффициентов, пусть XX будет переменной матрицей и пусть BB будет постоянной матрицей.Таким образом, мы хотим решить систему AX = B.AX = B. Например, посмотрите на следующую систему уравнений.

a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

В этой системе матрица коэффициентов равна

Матрица переменных —

А постоянная матрица

Тогда AX = BAX = B выглядит как

[a1b1a2b2] [xy] = [c1c2] [a1b1a2b2] [xy] = [c1c2]

Вспомните обсуждение ранее в этом разделе относительно умножения действительного числа на его обратное, (2−1) 2 = (12) 2 = 1 .(2−1) 2 = (12) 2 = 1. Чтобы решить одно линейное уравнение ax = bax = b относительно x, x, мы просто умножим обе части уравнения на мультипликативную обратную (обратную) величину a.a. Таким образом,

ax = b (1a) ax = (1a) b (a − 1) ax = (a − 1) b [(a − 1) a] x = (a − 1) b 1x = (a − 1 ) b x = (a − 1) b ax = b (1a) ax = (1a) b (a − 1) ax = (a − 1) b [(a − 1) a] x = (a − 1) b 1x = (a − 1) b x = (a − 1) b

Единственное различие между решением линейного уравнения и системой уравнений, записанной в матричной форме, состоит в том, что поиск обратной матрицы более сложен, и матрица умножение — более длительный процесс.Однако цель та же — изолировать переменную.

Мы рассмотрим эту идею подробно, но полезно начать с системы 2 × 22 × 2, а затем перейти к системе 3 × 33 × 3.

Решение системы уравнений с использованием обратной матрицы

Для данной системы уравнений запишите матрицу коэффициентов A, A, переменную матрицу X, X и постоянную матрицу B.B.Тогда

Умножьте обе части на обратную величину AA, чтобы получить решение.

(A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B

Вопросы и ответы

Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что у системы нет решения?

Пример 7

Решение системы 2 × 2 с использованием обратной матрицы

Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу.

3x + 8y = 54x + 11y = 73x + 8y = 54x + 11y = 7

Решение

Запишите систему в виде матрицы коэффициентов, матрицы переменных и постоянной матрицы.

A = [38411], X = [xy], B = [57] A = [38411], X = [xy], B = [57]

Тогда

[38411] [xy] = [57] [38411] [xy] = [57]

Сначала нам нужно вычислить A − 1.A − 1. Используя формулу для вычисления обратной матрицы 2 на 2, мы имеем:

A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca] = 13 (11) −8 (4) [11−8−43] = 11 [11−8−43] A − 1 = 1ad − bc [d− b − ca] = 13 (11) −8 (4) [11−8−43] = 11 [11−8−43]

Итак,

A − 1 = [11−8−4 3] A − 1 = [11−8−4 3]

Теперь мы готовы к решению.Умножаем обе части уравнения на A − 1.A − 1.

(A − 1) AX = (A − 1) B [11−8−43] [38411] [xy] = [11−8−43] [57] [1001] [xy] = [11 (5) + (−8) 7−4 (5) +3 (7)] [xy] = [- 11] (A − 1) AX = (A − 1) B [11−8−43] [38411] [xy] = [11−8−43] [57] [1001] [xy] = [11 (5) + (- 8) 7−4 (5) +3 (7)] [xy] = [- 11]

решение равно (−1,1). (- 1,1).

Вопросы и ответы

Можем ли мы решить XX, найдя произведение BA − 1? BA − 1?

Нет, напомним, что умножение матриц не коммутативно, поэтому A − 1B ≠ BA − 1.A − 1B ≠ BA − 1. Рассмотрим наши шаги по решению матричного уравнения.

(A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B

Обратите внимание, что на первом этапе мы умножили обе части уравнение равно A − 1, A − 1, но A − 1A − 1 находился слева от AA на левой стороне и слева от BB на правой стороне. Поскольку умножение матриц не коммутативно, порядок имеет значение.

Пример 8

Решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы

Решите следующую систему, используя обратную матрицу.

5x + 15y + 56z = 35−4x − 11y − 41z = −26 − x − 3y − 11z = −75x + 15y + 56z = 35−4x − 11y − 41z = −26 − x − 3y − 11z = −7

Решение

Напишите уравнение AX = B.AX = B.

[51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [35−26−7] [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [35−26− 7]

Во-первых, мы найдем обратное к AA, добавив тождество.

[51556−4−11−41−1−3−11 | 100010001] [51556−4−11−41−1−3−11 | 100010001]

Умножить строку 1 на 15,15.

[13565−4−11−41−1−3−11 | 1500010001] [13565−4−11−41−1−3−11 | 1500010001]

Умножить строку 1 на 4 и прибавить к строке 2.

[1356501195−1−3−11 | 15004510001] [1356501195−1−3−11 | 15004510001]

Добавить строку 1 к строке 3.

[13565011950015 | 150045101501] [13565011950015 | 150045101501]

Умножим строку 2 на −3 и прибавим к строке 1.

[10−15011950015 | −115−3045101501] [10−15011950015 | −115−3045101501]

Умножить строку 3 на 5.

[10−1501195001 | −115−304510105] [10−1501195001 | −115−304510105]

Умножьте строку 3 на 1515 и прибавьте к строке 1.

[10001195001 | −2−314510105] [10001195001 | −2−314510105]

Умножить строку 3 на −195−195 и прибавить к строке 2.

[100010001 | −2−31−31−19105] [100010001 | −2−31−31−19105]

Итак,

A − 1 = [- 2−31−31−19105] A − 1 = [- 2−31−31−19105]

Умножаем обе части уравнения на A − 1.A − 1. Нам нужно A − 1AX = A − 1B: A − 1AX = A − 1B:

[−2−31−31−19105] [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [- 2−31−31−19105] [35−26−7] [- 2− 31−31−19105] [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [- 2−31−31−19105] [35−26−7]

Таким образом,

A − 1B = [- 70 + 78−7−105−26 + 13335 + 0−35] = [120] A − 1B = [- 70 + 78−7−105−26 + 13335 + 0−35] = [ 120]

Решение (1,2,0).(1,2,0).

Попробуй # 4

Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

2x − 17y + 11z = 0 −x + 11y − 7z = 8 3y − 2z = −2 2x − 17y + 11z = 0 −x + 11y − 7z = 8 3y − 2z = −2

Как к

Дана система уравнений. Решите с использованием обратных матриц с помощью калькулятора.

Сохраните матрицу коэффициентов и постоянную матрицу как матричные переменные [A] [A] и [B].[B].
Введите умножение в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

Пример 9

Использование калькулятора для решения системы уравнений с обратными матрицами

Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

2x + 3y + z = 323x + 3y + z = −272x + 4y + z = −22x + 3y + z = 323x + 3y + z = −272x + 4y + z = −2

Решение

На странице матриц калькулятора введите матрицу коэффициентов как матричную переменную [A], [A] и введите постоянную матрицу как матричную переменную [B].[B].

[A] = [231331241], [B] = [32−27−2] [A] = [231331241], [B] = [32−27−2] »

На главном экране калькулятора введите умножение для определения X, X, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.

Вычислите выражение.

[−59−34252] [- 59−34252]

7.7 Упражнения по разделам

Устные

В предыдущем разделе мы показали, что умножение матриц не коммутативно, то есть AB ≠ BAAB ≠ BA в большинстве случаев.Можете ли вы объяснить, почему матричное умножение коммутативно для обратных матриц, то есть A − 1A = AA − 1? A − 1A = AA − 1?

У каждой матрицы 2 × 22 × 2 есть обратная? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, какое условие необходимо для существования инверсии.

Можете ли вы объяснить, может ли матрица 2 × 22 × 2 со всей строкой нулей иметь обратную?

Может ли матрица с целым столбцом нулей иметь инверсию? Объясните, почему да или почему нет.

Может ли матрица с нулями по диагонали иметь инверсию? Если да, то найди пример. Если нет, докажите, почему нет. Для простоты предположим, что это матрица 2 × 22 × 2.

Algebraic

В следующих упражнениях покажите, что матрица AA является обратной матрицей B.B.

A = [10-11], B = [1011] A = [10-11], B = [1011]

A = [1234], B = [- 2132−12] A = [1234], B = [- 2132−12]

A = [4570], B = [01715-435] A = [4570], B = [01715-435]

A = [- 2123−1], B = [- 2−1−6−4] A = [- 2123−1], B = [- 2−1−6−4]

10.

A = [10101−1011], B = 12 [21−10110−11] A = [10101−1011], B = 12 [21−10110−11]

11.

A = [123402169], B = 14 [60−217−3−5−1224] A = [123402169], B = 14 [60−217−3−5−1224]

12.

A = [3821115612], B = 136 [−684−67−261−1−225] A = [3821115612], B = 136 [−684−67−261−1−225]

Для следующих упражнений найдите обратную мультипликативную матрицу для каждой матрицы, если она существует.

16.

[−4−3−58] [- 4−3−58]

19.

[0,51,51-0,5] [0,51,51-0,5]

20.

[106−217302] [106−217302]

21.

[01-3410105] [01-3410105]

22.

[12−1−341−2−4−5] [12−1−341−2−4−5]

23.

[19−32564−27] [19−32564−27]

24.

[1-23-48-12142] [1-23-48-12142]

25.

[121212131415161718] [121212131415161718]

Для следующих упражнений решите систему, используя матрицу, обратную матрице 2 × 22 × 2.

27.

5x − 6y = −614x + 3y = −25x − 6y = −614x + 3y = −2

28.

8x + 4y = −1003x − 4y = 18x + 4y = −1003x − 4y = 1

29.

3x − 2y = 6 − x + 5y = −23x − 2y = 6 − x + 5y = −2

30.

5x − 4y = −54x + y = 2,35x − 4y = −54x + y = 2,3

31.

−3x − 4y = 912x + 4y = −6−3x − 4y = 912x + 4y = −6

32.

−2x + 3y = 310 − x + 5y = 12−2x + 3y = 310 − x + 5y = 12

33.

85x − 45y = 25−85x + 15y = 71085x − 45y = 25−85x + 15y = 710

34.

12x + 15y = −1412x − 35y = −9412x + 15y = −1412x − 35y = −94

Для следующих упражнений решите систему, обратную 3 × 33 × 3 матрица.

35.

3x − 2y + 5z = 215x + 4y = 37x − 2y − 5z = 53x − 2y + 5z = 215x + 4y = 37x − 2y − 5z = 5

36.

4x + 4y + 4z = 402x − 3y + 4z = −12 − x + 3y + 4z = 94x + 4y + 4z = 402x − 3y + 4z = −12 − x + 3y + 4z = 9

37.

6x − 5y − z = 31 − x + 2y + z = −63x + 3y + 2z = 136x − 5y − z = 31 − x + 2y + z = −63x + 3y + 2z = 13

38.

6x − 5y + 2z = −42x + 5y − z = 122x + 5y + z = 126x − 5y + 2z = −42x + 5y − z = 122x + 5y + z = 12

39.

4x − 2y + 3z = −122x + 2y − 9z = 336y − 4z = 14x − 2y + 3z = −122x + 2y − 9z = 336y − 4z = 1

40.

110x − 15y + 4z = −41215x − 20y + 25z = −101310x + 4y − 310z = 23110x − 15y + 4z = −41215x − 20y + 25z = −101310x + 4y − 310z = 23

41.

12x − 15y + 15z = 31100−34x − 14y + 12z = 740−45x − 12y + 32z = 1412x − 15y + 15z = 31100−34x − 14y + 12z = 740−45x − 12y + 32z = 14

42.

0,1x + 0,2y + 0,3z = −1,40,1x − 0,2y + 0,3z = 0,60,4y + 0,9z = −20,1x + 0,2y + 0,3z = −1,40,1x − 0,2y + 0,3z = 0.60.4y + 0.9z = −2

Technology

В следующих упражнениях используйте калькулятор для решения системы уравнений с обратными матрицами.

43.

2x − y = −3 − x + 2y = 2,32x − y = −3 − x + 2y = 2,3

44.

−12x − 32y = −432052x + 115y = 314−12x − 32y = −432052x + 115y = 314

45.

12.3x − 2y − 2.5z = 236.9x + 7y − 7.5z = −78y − 5z = −1012.3x − 2y − 2.5z = 236.9x + 7y − 7.5z = −78y − 5z = −10

46.

0,5x − 3y + 6z = −0,80,7x − 2y = −0,060,5x + 4y + 5z = 00,5x − 3y + 6z = −0,80,7x − 2y = −0,060,5x + 4y + 5z = 0

Расширения

Для следующих упражнений найдите обратную матрицу.

47.

[1010010101100011] [1010010101100011]

48.

[−1025000202−101−301] [- 1025000202−101−301]

49.

[1−230010214−23−5011] [1−230010214−23−5011]

50.

[1202302100003010200100120] [1202302100003010200100120]

51.

[100000010000001000000100000010111111] [100000010000001000000100000010111111]

Реальные приложения

Для следующих упражнений напишите систему уравнений, описывающую ситуацию. Затем решите систему, используя обратную матрицу.

52. На баскетбольный матч продано

2 400 билетов. Если цены на этаж 1 и этаж 2 были разными, а общая сумма принесенных денег составила 64 000 долларов, сколько была цена каждого билета?

53.

В предыдущем упражнении, если бы вам сказали, что на этаж 2 было продано на 400 билетов больше, чем на этаж 1, сколько была цена каждого билета?

54.

Продовольственная группа собрала два разных типа консервов: стручковую фасоль и фасоль. Общее количество собранных банок составило 350, а общий вес всей пожертвованной еды — 348 фунтов 12 унций. Если банки с зеленой фасолью весят на 2 унции меньше, чем банки с фасолью, сколько из каждой банки было пожертвовано?

55.

Студентов попросили принести в класс их любимые фрукты.95% фруктов состояли из бананов, яблок и апельсинов. Если апельсины были вдвое популярнее бананов, а яблоки на 5% менее популярны, чем бананы, каков процент каждого отдельного фрукта?

56.

Женский клуб провел распродажу выпечки, чтобы собрать деньги, и продавал пирожные и печенье с шоколадной крошкой. Они оценили пирожные в 1 доллар и печенье с шоколадной крошкой в 0,75 доллара. Они собрали 700 долларов и продали 850 штук. Сколько было продано пирожных и печенья?

57.

Магазин одежды должен заказать новый инвентарь.В продаже есть три разных типа головных уборов: соломенные шляпы, шапочки и ковбойские шляпы. Соломенная шляпа стоит 13,99 доллара, шапка-бини — 7,99 доллара, а ковбойская шляпа — 14,49 доллара. Если в прошедшем квартале было продано 100 головных уборов, продажи составили 1119 долларов, а количество проданных шапок было на 10 больше, чем ковбойских шляп, сколько каждой из них магазин одежды должен заказать, чтобы заменить уже проданные?

58.

Анна, Эшли и Андреа вместе весят 370 фунтов. Если Андреа весит на 20 фунтов больше, чем Эшли, а Анна весит 1 кг.В 5 раз больше, чем Эшли, сколько весит каждая девушка?

59.

Трое соседей по комнате разделили упаковку из 12 плиток мороженого, но никто не помнит, кто сколько ел. Если Том ел вдвое больше плиток мороженого, чем Джо, а Альберт ел на три меньше, чем Том, сколько плиток мороженого съел каждый сосед по комнате?

60.

Фермер построил курятник из проволочной сетки, дерева и фанеры. Сеточная сетка стоила 2 доллара за квадратный фут, древесина — 10 долларов за квадратный фут, а фанера — 5 долларов за квадратный фут.Фермер потратил в общей сложности 51 доллар, а общее количество использованных материалов составило 14 футов 2,14 футов 2. Он использовал на 3 фута 23 фута больше проволочной сетки, чем фанеры. Сколько каждого материала использовал фермер?

61.

У Джея на заднем дворе растут лимонные, апельсиновые и гранатовые деревья. Апельсин весит 8 унций, лимон — 5 унций, а гранат — 11 унций. Джей собрал 142 фрукта общим весом 70 фунтов 10 унций. Он собрал в 15,5 раз больше апельсинов, чем гранатов. Сколько плодов собрал Джей?

7.7 Решение систем с инверсиями — алгебра колледжа с необходимой поддержкой

Цели обучения

В этом разделе вы:

Найдите обратную матрицу.
Решите систему линейных уравнений, используя обратную матрицу.

Необходимые навыки

Задачи обучения

Оценить детерминант матрицы 2 × 2 (IA 4.6.1)
Вычислить определитель матрицы 3×3 (IA 4.6.2)

Задача 1: Оценить определитель матрицы 2 × 2 (IA 4.6.1)

Если матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов, мы называем ее квадратной матрицей. С каждой квадратной матрицей связано действительное число, называемое ее определителем.

Определитель

Определитель любой квадратной матрицы abcdabcd, где a, b, c и d — действительные числа, равен abcd = ad-bcabcd = ad-bc

Чтобы получить действительное числовое значение определителя, мы вычитаем произведения диагоналей, как показано.

Пример 1

Найти определитель матрицы 2×2 4-23-14-23-1

Решение

Запишите определитель
Вычтите произведение диагоналей	4 (-1) -3 (-2) 4 (-1) -3 (-2)
Упростить	-4 + 62-4 + 62

Практика ведет к совершенству

Найдите определитель матриц 2×2.

Задача 2: Оценить определитель матрицы 3 × 3 (IA 4.6.2)

Чтобы оценить определитель матрицы 3 × 3, мы должны быть в состоянии оценить минор элемента в определителе.

Младший элемент записи — это определитель 2 × 2, найденный путем исключения строки и столбца в определителе 3 × 3, которые содержат запись.

Например, чтобы найти второстепенную запись ₁, мы исключаем строку и столбец, которые ее содержат. Итак, мы удаляем первую строку и первый столбец.Затем запишем оставшийся определитель 2 × 2.

Чтобы найти второстепенную запись b ₂, мы исключаем строку и столбец, которые ее содержат. Итак, удаляем вторую строку и второй столбец. Затем запишем оставшийся определитель 2 × 2.

Пример 2

Для определителя | 4−2310−3−2−42 |, | 4−2310−3−2−42 | найдите и затем оцените минор из ⓐ a1a1 ⓑ b3b3

Решение

ⓐ

Ⓑ

Удалите строку и столбец, содержащие b3.b3.
Запишите оставшийся определитель 2 × 22 × 2.
Оценить.
Упростить.

Попробовать # 1

Для следующего определителя найдите и затем оцените минор c2

4-2310-3-2-424-2310-3-2-42

Удалите строку и столбец, содержащие c2c2.	________________________________________
Запишите оставшийся определитель 2 × 22 × 2.	________________________________________
Оценить и упростить.	________________________________________

Стратегия оценки определителя матрицы 3×3

Чтобы оценить определитель 3 × 3, мы можем разложить на миноры, используя любую строку или столбец. Выбор строки или столбца, кроме первой, иногда упрощает работу.

Когда мы расширяемся на любую строку или столбец, мы должны быть осторожны со знаком терминов в раскрытии.Чтобы определить знак условий, мы используем следующую диаграмму паттернов знаков.

+ — + — + — + — ++ — + — + — + — +

Расширение по младшим по первой строке для оценки определителя 3×3.

Чтобы вычислить определитель 3 × 3 путем расширения младшими по первой строке, мы используем следующий шаблон:

ПРИМЕЧАНИЕ. Определитель матрицы можно оценить, раскладывая миноры по любой строке или столбцу. Когда строка или столбец имеет нулевую запись, расширение на эту строку или столбец приводит к меньшему количеству вычислений.

Пример 3

Вычислите определитель матрицы 3×3, расширив минорами по первой строке

2-3-1320-1-1-22-3-1320-1-1-2

Практика ведет к совершенству

Вычислите определитель матрицы 3×3, расширив его по минорам вдоль первой строки. -5-1-440-32-26-5-1-440-32-26

Нэнси планирует инвестировать 10 500 долларов в две разные облигации, чтобы распределить свой риск. Первая облигация имеет годовую доходность 10%, а вторая облигация имеет годовую доходность 6%.Сколько Нэнси должна инвестировать в каждую облигацию, чтобы получить доход в размере 8,5% от двух облигаций? Как лучше всего решить эту проблему?

Есть несколько способов решить эту проблему. Как мы видели в предыдущих разделах, системы уравнений и матриц полезны при решении реальных проблем, связанных с финансами. После изучения этого раздела у нас будут инструменты для решения проблемы облигаций с использованием обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы

Мы знаем, что мультипликативная обратная величина действительного числа aa равна a − 1, a − 1 и aa − 1 = a − 1a = (1a) a = 1.аа-1 = а-1а = (1а) а = 1. Например, 2−1 = 122−1 = 12 и (12) 2 = 1. (12) 2 = 1. Мультипликативная обратная матрица аналогична по концепции, за исключением того, что произведение матрицы AA и ее обратной A − 1A − 1 равно единичной матрице. Единичная матрица — это квадратная матрица, содержащая единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах. Мы идентифицируем единичные матрицы с помощью InIn, где nn представляет собой размерность матрицы. Упражнение 7.2 и следующие уравнения.

I3 = [100010001] I3 = [100010001]

Единичная матрица действует как 1 в матричной алгебре.Например, AI = IA = A.AI = IA = A.

Матрица, имеющая мультипликативную обратную, имеет свойства

AA − 1 = IA − 1A = IAA − 1 = IA − 1A = I

Матрица, имеющая мультипликативную обратную матрицу, называется обратимой матрицей. Только квадратная матрица может иметь мультипликативную обратную, поскольку обратимость, AA-1 = A-1A = I, AA-1 = A-1A = I, является требованием. Не все квадратные матрицы имеют обратную, но если AA обратима, то A − 1A − 1 единственна. Мы рассмотрим два метода нахождения обратной матрицы 2 × 22 × 2 и третий метод, который можно использовать как для матриц 2 × 22 × 2, так и 3 × 33 × 3.

Матрица идентичности и обратная мультипликативная величина

I2 = [1001] I3 = [100010001] 2 × 2 3 × 3 I2 = [1001] I3 = [100010001] 2 × 2 3 × 3

Если AA — это n × nn × n матрица, а BB — это n × nn × n матрица такая, что AB = BA = In, AB = BA = In, тогда B = A − 1, B = A − 1, мультипликативная обратная матрица A.A.

Пример 1

Показывает, что матрица идентичности действует как 1

Дана матрица A , покажите, что AI = IA = A.AI = IA = A.

Решение

Как к

Даны две матрицы, покажите, что одна является мультипликативно обратной по отношению к другой.

Для заданной матрицы AA порядка n × nn × n и матрицы BB порядка n × nn × n умножаем AB.AB.
Если AB = I, AB = I, найти произведение BA.BA. Если BA = I, BA = I, то B = A − 1B = A − 1 и A = B − 1.A = B − 1.

Пример 2

, показывающая, что матрица

A является мультипликативной обратной матрицей B

Покажите, что данные матрицы мультипликативно инвертируют друг друга.

A = [15−2−9], B = [- 9−521] A = [15−2−9], B = [- 9−521]

Решение

Умножьте ABAB и BA.BA. Если оба продукта равны идентичности, то две матрицы являются обратными друг другу.

AA и BB противоположны друг другу.

Попробуй # 2

Покажите, что следующие две матрицы инвертируют друг друга.

A = [14−1−3], B = [- 3−411] A = [14−1−3], B = [- 3−411]

Нахождение обратного умножения с помощью умножения матриц

Теперь мы можем определить, являются ли две матрицы инверсными, но как мы можем найти инверсию данной матрицы? Поскольку мы знаем, что произведение матрицы на обратную матрицу является единичной матрицей, мы можем найти обратную матрицу, задав уравнение с помощью умножения матриц.

Пример 3

Нахождение обратного умножения с помощью умножения матриц

Используйте умножение матриц, чтобы найти обратную матрицу.

A = [1-22-3] A = [1-22-3]

Решение

[1-22-3] [abcd] = [1001] [1-22-3] [abcd] = [1001]

Найдите произведение двух матриц, стоящих слева от знака равенства.

[1−22−3] [abcd] = [1a − 2c1b − 2d2a − 3c2b − 3d] [1−22−3] [abcd] = [1a − 2c1b − 2d2a − 3c2b − 3d]

1a − 2c = 1 R12a − 3c = 0 R21a − 2c = 1 R12a − 3c = 0 R2

1a − 2c = 10 + 1c = −2c = −21a − 2c = 10 + 1c = −2c = −2

Обратная подстановка для нахождения а.а.

a − 2 (−2) = 1a + 4 = 1a = −3a − 2 (−2) = 1a + 4 = 1a = −3

1b − 2d = 0R12b − 3d = 1R21b − 2d = 0R12b − 3d = 1R2

1b − 2d = 00 + 1d = 1d = 11b − 2d = 00 + 1d = 1d = 1

Еще раз выполните обратную замену и решите относительно b.b.

b − 2 (1) = 0b − 2 = 0b = 2b − 2 (1) = 0b − 2 = 0b = 2 A − 1 = [- 32−21] A − 1 = [- 32−21]

Нахождение мультипликативного обратного с помощью тождества

Например, учитывая

дополнить AA идентификатором

Выполнять операции со строками с целью превращения AA в идентичность.

Поменять местами ряд 1 и ряд 2.
Умножим строку 2 на −2−2 и прибавим к строке 1. [1121 | −2110] [1121 | −2110]
Умножим строку 1 на −2−2 и прибавим к строке 2. [110−1 | −215−2] [110−1 | −215−2]
Добавьте строку 2 к строке 1.[100−1 | 3−15−2] [100−1 | 3−15−2]
Умножим строку 2 на -1. [1001 | 3−1−52] [1001 | 3−1−52]

Найденная матрица имеет вид A − 1.A − 1.

A − 1 = [3−1−52] A − 1 = [3−1−52]

Нахождение мультипликативной обратной матрицы 2 × 2 по формуле

Если AA — это матрица 2 × 22 × 2, например

мультипликативная обратная величина AA определяется формулой

A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca] A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca]

, где ad − bc ≠ 0.ad − bc ≠ 0. Если ad − bc = 0, ad − bc = 0, то у AA нет обратного.

Пример 4

Использование формулы для нахождения обратной мультипликативной матрицы

Используйте формулу, чтобы найти обратное умножение числа

. A = [1-22-3] A = [1-22-3]

Решение

Используя формулу, имеем

A − 1 = 1 (1) (- 3) — (- 2) (2) [- 32−21] = 1−3 + 4 [−32−21] = [- 32−21] A − 1 = 1 (1) (- 3) — (- 2) (2) [- 32−21] = 1−3 + 4 [−32−21] = [- 32−21]

Анализ

[1-22-3 | 1001] [1-22-3 | 1001]

Выполнять операции со строками с целью превращения AA в идентичность.

Умножим строку 1 на −2−2 и прибавим к строке 2. [1−201 | 10−21] [1−201 | 10−21]
Умножьте строку 1 на 2 и прибавьте к строке 1. [1001 | −32−21] [1001 | −32−21]

Итак, мы проверили наше исходное решение.

A − 1 = [- 32−21] A − 1 = [- 32−21]

Попробовать # 3

Пример 5

Нахождение обратной матрицы, если она существует

Найдите обратную матрицу, если она существует.

Решение

Мы будем использовать метод увеличения идентичности.

Поменять местами ряд 1 и ряд 2.
Умножьте строку 1 на −3 и прибавьте ее к строке 2. [1200 | 10−31] [1200 | 10−31]
Мы больше ничего не можем сделать. Нули в строке 2 означают, что эта матрица не имеет инверсии.

Нахождение обратной мультипликативной матрицы для матриц 3 × 3

Учитывая 3 × 33 × 3 матрица

A = [231331241] A = [231331241]

дополнить AA с единичной матрицей

A | I = [231331241 | 100010001] A | I = [231331241 | 100010001]

Как к

Для матрицы 3 × 33 × 3 найдите обратную

Запишите исходную матрицу, дополненную единичной матрицей справа.
Используйте элементарные операции со строками, чтобы идентификатор отображался слева.
Справа получается матрица, обратная исходной.
Используйте матричное умножение, чтобы показать, что AA − 1 = IAA − 1 = I и A − 1A = I.A − 1A = I.

Пример 6

Нахождение обратной матрицы 3 × 3

Для матрицы A, A 3 × 33 × 3 найдите обратное.

A = [231331241] A = [231331241]

Решение

Таким образом,

A − 1 = B = [- 110−1016−2−3] A − 1 = B = [- 110−1016−2−3]

Анализ

Попробовать # 4

Найдите обратную матрицу 3 × 33 × 3.

A = [2−1711−111−703−2] A = [2−1711−111−703−2]

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

В этой системе матрица коэффициентов равна

Матрица переменных —

А постоянная матрица

Тогда AX = BAX = B выглядит как

[a1b1a2b2] [xy] = [c1c2] [a1b1a2b2] [xy] = [c1c2]

Мы рассмотрим эту идею подробно, но полезно начать с системы 2 × 22 × 2, а затем перейти к системе 3 × 33 × 3.

Решение системы уравнений с использованием обратной матрицы

Умножьте обе части на обратную величину AA, чтобы получить решение.

(A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B

Вопросы и ответы

Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что у системы нет решения?

Пример 7

Решение системы 2 × 2 с использованием обратной матрицы

Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу.

3x + 8y = 54x + 11y = 73x + 8y = 54x + 11y = 7

Решение

Запишите систему в виде матрицы коэффициентов, матрицы переменных и постоянной матрицы.

A = [38411], X = [xy], B = [57] A = [38411], X = [xy], B = [57]

Тогда

[38411] [xy] = [57] [38411] [xy] = [57]

Сначала нам нужно вычислить A − 1.A − 1. Используя формулу для вычисления обратной матрицы 2 на 2, мы имеем:

A − 1 = 1ad − bc [d − b − ca] = 13 (11) −8 (4) [11−8−43] = 11 [11−8−43] A − 1 = 1ad − bc [d− b − ca] = 13 (11) −8 (4) [11−8−43] = 11 [11−8−43]

Итак,

A − 1 = [11−8−4 3] A − 1 = [11−8−4 3]

Теперь мы готовы к решению.Умножаем обе части уравнения на A − 1.A − 1.

решение равно (−1,1). (- 1,1).

Вопросы и ответы

Можем ли мы решить XX, найдя произведение BA − 1? BA − 1?

(A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B (A − 1) AX = (A − 1) B [(A − 1) A] X = (A − 1) BIX = (A − 1) BX = (A − 1) B

Пример 8

Решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы

Решите следующую систему, используя обратную матрицу.

5x + 15y + 56z = 35−4x − 11y − 41z = −26 − x − 3y − 11z = −75x + 15y + 56z = 35−4x − 11y − 41z = −26 − x − 3y − 11z = −7

Решение

Напишите уравнение AX = B.AX = B.

[51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [35−26−7] [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz] = [35−26− 7]

Во-первых, мы найдем обратное к AA, добавив тождество.

[51556−4−11−41−1−3−11 | 100010001] [51556−4−11−41−1−3−11 | 100010001]

Умножить строку 1 на 15,15.

[13565−4−11−41−1−3−11 | 1500010001] [13565−4−11−41−1−3−11 | 1500010001]

Умножить строку 1 на 4 и прибавить к строке 2.

[1356501195−1−3−11 | 15004510001] [1356501195−1−3−11 | 15004510001]

Добавить строку 1 к строке 3.

[13565011950015 | 150045101501] [13565011950015 | 150045101501]

Умножим строку 2 на −3 и прибавим к строке 1.

[10−15011950015 | −115−3045101501] [10−15011950015 | −115−3045101501]

Умножить строку 3 на 5.

[10−1501195001 | −115−304510105] [10−1501195001 | −115−304510105]

Умножьте строку 3 на 1515 и прибавьте к строке 1.

[10001195001 | −2−314510105] [10001195001 | −2−314510105]

Умножить строку 3 на −195−195 и прибавить к строке 2.

[100010001 | −2−31−31−19105] [100010001 | −2−31−31−19105]

Итак,

A − 1 = [- 2−31−31−19105] A − 1 = [- 2−31−31−19105]

Умножаем обе части уравнения на A − 1.A − 1. Нам нужно A − 1AX = A − 1B: A − 1AX = A − 1B:

Таким образом,

A − 1B = [- 70 + 78−7−105−26 + 13335 + 0−35] = [120] A − 1B = [- 70 + 78−7−105−26 + 13335 + 0−35] = [ 120]

Решение (1,2,0).(1,2,0).

Попробуй # 5

Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

2x − 17y + 11z = 0 −x + 11y − 7z = 8 3y − 2z = −2 2x − 17y + 11z = 0 −x + 11y − 7z = 8 3y − 2z = −2

Как к

Дана система уравнений. Решите с использованием обратных матриц с помощью калькулятора.

Сохраните матрицу коэффициентов и постоянную матрицу как матричные переменные [A] [A] и [B].[B].
Введите умножение в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

Пример 9

Использование калькулятора для решения системы уравнений с обратными матрицами

Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

2x + 3y + z = 323x + 3y + z = −272x + 4y + z = −22x + 3y + z = 323x + 3y + z = −272x + 4y + z = −2

Решение

[A] = [231331241], [B] = [32−27−2] [A] = [231331241], [B] = [32−27−2] »

Вычислите выражение.

[−59−34252] [- 59−34252]

7.7 Упражнения по разделам

Устные

Можете ли вы объяснить, может ли матрица 2 × 22 × 2 со всей строкой нулей иметь обратную?

Может ли матрица с целым столбцом нулей иметь инверсию? Объясните, почему да или почему нет.

Algebraic

В следующих упражнениях покажите, что матрица AA является обратной матрицей B.B.

A = [10-11], B = [1011] A = [10-11], B = [1011]

A = [1234], B = [- 2132−12] A = [1234], B = [- 2132−12]

A = [4570], B = [01715-435] A = [4570], B = [01715-435]

A = [- 2123−1], B = [- 2−1−6−4] A = [- 2123−1], B = [- 2−1−6−4]

10.

A = [10101−1011], B = 12 [21−10110−11] A = [10101−1011], B = 12 [21−10110−11]

11.

A = [123402169], B = 14 [60−217−3−5−1224] A = [123402169], B = 14 [60−217−3−5−1224]

12.

A = [3821115612], B = 136 [−684−67−261−1−225] A = [3821115612], B = 136 [−684−67−261−1−225]

16.

[−4−3−58] [- 4−3−58]

19.

[0,51,51-0,5] [0,51,51-0,5]

20.

[106−217302] [106−217302]

21.

[01-3410105] [01-3410105]

22.

[12−1−341−2−4−5] [12−1−341−2−4−5]

23.

[19−32564−27] [19−32564−27]

24.

[1-23-48-12142] [1-23-48-12142]

25.

[121212131415161718] [121212131415161718]

Для следующих упражнений решите систему, используя матрицу, обратную матрице 2 × 22 × 2.

27.

5x − 6y = −614x + 3y = −25x − 6y = −614x + 3y = −2

28.

8x + 4y = −1003x − 4y = 18x + 4y = −1003x − 4y = 1

29.

3x − 2y = 6 − x + 5y = −23x − 2y = 6 − x + 5y = −2

30.

5x − 4y = −54x + y = 2,35x − 4y = −54x + y = 2,3

31.

−3x − 4y = 912x + 4y = −6−3x − 4y = 912x + 4y = −6

32.

−2x + 3y = 310 − x + 5y = 12−2x + 3y = 310 − x + 5y = 12

33.

85x − 45y = 25−85x + 15y = 71085x − 45y = 25−85x + 15y = 710

34.

12x + 15y = −1412x − 35y = −9412x + 15y = −1412x − 35y = −94

Для следующих упражнений решите систему, обратную 3 × 33 × 3 матрица.

35.

3x − 2y + 5z = 215x + 4y = 37x − 2y − 5z = 53x − 2y + 5z = 215x + 4y = 37x − 2y − 5z = 5

36.

4x + 4y + 4z = 402x − 3y + 4z = −12 − x + 3y + 4z = 94x + 4y + 4z = 402x − 3y + 4z = −12 − x + 3y + 4z = 9

37.

6x − 5y − z = 31 − x + 2y + z = −63x + 3y + 2z = 136x − 5y − z = 31 − x + 2y + z = −63x + 3y + 2z = 13

38.

6x − 5y + 2z = −42x + 5y − z = 122x + 5y + z = 126x − 5y + 2z = −42x + 5y − z = 122x + 5y + z = 12

39.

4x − 2y + 3z = −122x + 2y − 9z = 336y − 4z = 14x − 2y + 3z = −122x + 2y − 9z = 336y − 4z = 1

40.

110x − 15y + 4z = −41215x − 20y + 25z = −101310x + 4y − 310z = 23110x − 15y + 4z = −41215x − 20y + 25z = −101310x + 4y − 310z = 23

41.

12x − 15y + 15z = 31100−34x − 14y + 12z = 740−45x − 12y + 32z = 1412x − 15y + 15z = 31100−34x − 14y + 12z = 740−45x − 12y + 32z = 14

42.

0,1x + 0,2y + 0,3z = −1,40,1x − 0,2y + 0,3z = 0,60,4y + 0,9z = −20,1x + 0,2y + 0,3z = −1,40,1x − 0,2y + 0,3z = 0.60.4y + 0.9z = −2

Technology

В следующих упражнениях используйте калькулятор для решения системы уравнений с обратными матрицами.

43.

2x − y = −3 − x + 2y = 2,32x − y = −3 − x + 2y = 2,3

44.

−12x − 32y = −432052x + 115y = 314−12x − 32y = −432052x + 115y = 314

45.

12.3x − 2y − 2.5z = 236.9x + 7y − 7.5z = −78y − 5z = −1012.3x − 2y − 2.5z = 236.9x + 7y − 7.5z = −78y − 5z = −10

46.

0,5x − 3y + 6z = −0,80,7x − 2y = −0,060,5x + 4y + 5z = 00,5x − 3y + 6z = −0,80,7x − 2y = −0,060,5x + 4y + 5z = 0

Расширения

Для следующих упражнений найдите обратную матрицу.

47.

[1010010101100011] [1010010101100011]

48.

[−1025000202−101−301] [- 1025000202−101−301]

49.

[1−230010214−23−5011] [1−230010214−23−5011]

50.

[1202302100003010200100120] [1202302100003010200100120]

51.

[100000010000001000000100000010111111] [100000010000001000000100000010111111]

Реальные приложения

52. На баскетбольный матч продано

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

Решение линейных систем с использованием обратных матриц 2 x 2

Решение линейных систем с использованием обратных матриц 2×2

На этом уроке мы узнаем об одном из применений обратных матриц и их свойствах.Вы заметите, как мы можем использовать их для вычислений, с которыми мы уже знакомы, но с новым подходом, так что будьте готовы получить больше математических удовольствий.

Как решать системы линейных уравнений

В прошлом мы видели различные методы решения систем линейных уравнений, при изучении общей алгебры мы обычно сосредотачиваемся на первых трех методах, описанных ниже:

Решение линейных систем методом исключения

Решение систем линейных уравнений методом исключения — один из простейших методов.Основной принцип этого метода основан на добавлении или вычитании одного уравнения из другого и, таким образом, быстрого удаления одной из переменных, тем самым уменьшая количество переменных, которые необходимо найти в системе. Когда в системе присутствуют только две неизвестные переменные, исключение одной путем сложения или вычитания уравнений позволяет напрямую решить оставшуюся переменную. Хотя решение линейных систем уравнений методом исключения, вероятно, является самым простым методом, не всегда наиболее практичным, поэтому этот метод остается для систем с уравнениями, которые содержат одинаковый коэффициент при одной из своих переменных.

Решение линейных систем подстановкой

Второй метод заключается в решении систем линейных уравнений подстановкой. Подстановка означает, что мы используем одно из уравнений системы для решения одной из ее переменных. Когда у вас есть выражение, равное выбранной переменной, вы подставляете это выражение в другие уравнения вместо соответствующей переменной. Делая это, вы уменьшаете количество неизвестных переменных в системе, и если такая система состоит только из двух уравнений, вы получаете уравнение в терминах другой переменной, которое можно быстро решить до конечного результата.

Метод подстановки обычно считается самым сложным из трех вариантов общей алгебры, но если вы следуете правилу: любая операция, выполняемая с одной стороны уравнения, должна выполняться с другой стороны, это наиболее часто используемый математиками метод. Подстановка фактически обеспечивает основу для большинства алгебраических методов для работы с любыми математическими функциями.

Решение линейных систем с помощью построения графиков

Наш третий метод относится к решению систем линейных уравнений путем построения графиков, где решение находится, когда упорядоченная пара используется совместно двумя решениями уравнений.Общая упорядоченная пара означает, что когда оба уравнения изображены на графике, они будут пересекаться друг с другом в точке, и эта точка будет общей упорядоченной парой, таким образом, эта упорядоченная пара предоставит решения для xxx и yyy, которые соответствуют такой системе. *** Решение системы линейных уравнений алгебраически обычно является наиболее простым подходом, независимо от того, какой из первых трех методов вы выберете для этого, но иногда это невозможно, поскольку вам может быть предоставлена линейная система в матричной нотации.Для этого нам нужно научиться решать системы линейных уравнений с помощью матриц.
Алгебраическое решение системы линейных уравнений обычно является наиболее простым подходом, независимо от того, какой из первых трех методов вы выберете для этого, но иногда это невозможно, поскольку вам может быть предоставлена линейная система в матричной нотации. Для этого нам нужно научиться решать системы линейных уравнений с помощью матриц.

Решите линейные системы с помощью исключения Гаусса:

В нашем уроке по решению линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса мы ввели этот метод (исключение Гаусса), который использует три типа операций со строками матрицы над расширенной матрицей, поступающей из линейной системы, чтобы найти решения для неизвестные переменные в такой системе.Этот метод также называется сокращением строк и состоит из двух этапов: прямого исключения и обратной замены.

Эти два шага метода исключения Гаусса различаются не операциями, которые вы можете использовать с их помощью, а результатом, который дает каждый из них. Шаг прямого исключения относится к сокращению строки, необходимому для упрощения рассматриваемой матрицы до ее эшелонированной формы. Такой этап имеет целью продемонстрировать, имеет ли система уравнений, изображенная в матрице, единственное возможное решение, бесконечное множество решений или просто отсутствие решения.Если обнаружено, что система не имеет решения, то нет причин продолжать сокращение строки матрицы на следующем этапе.

Если возможно получить решения для переменных, входящих в линейную систему, то выполняется этап исключения Гаусса с обратной подстановкой. На этом последнем шаге будет получена сокращенная форма матрицы, которая, в свою очередь, дает общее решение системы линейных уравнений.

Единственное, что нужно помнить, изучая, как решать системы линейных уравнений с помощью матриц и исключения Гаусса, — это то, что мы можем использовать базовые операции со строками матрицы, чтобы прийти к ответу:

Перестановка двух рядов
Умножение строки на константу (любую константу, отличную от нуля)
Добавление строки к другой строке

Но это не единственный способ решения линейных систем, когда он встречается в матричной нотации, мы также можем использовать обратную матрицу для решения линейной системы, когда это необходимо, для этого давайте сначала рассмотрим концепции обратных матриц. {- 1} \ cdot X = I_ {2} X⋅X − 1 = X − 1⋅X = I2 Уравнение 2: Условие обратимости матрицы X
Имея это в виду, помните, что если мы определим матрицу XXX 2×2, как показано ниже: Уравнение 3: Матрица X
Определитель матрицы 2×2, такой как XXX, можно записать как: det (X) = ad − bcdet (X) = ad-bc det (X) = ad − bc Уравнение 4: Определитель матрицы X
Теперь, чтобы понять, что такое обратное матричное уравнение, и научиться решать систему линейных уравнений, в то время как мы используем обратное для решения системы, мы должны знать, как получить обратную матрицу.{-1} X − 1 первая идея, которая приходит на ум, — это деление, поскольку показатель минус единицы в общей алгебре означает деление единицы на число, имеющее показатель степени. Проблема в том, что операция деления с использованием матриц не существует, учитывая, что матрица не является конкретным значением, а является набором или массивом нескольких значений, которые геометрически говоря, даже не представляют значения в одной размерной плоскости (в зависимости от размеры самой матрицы), поэтому деление на такой диапазон различных переменных характеристик не может быть определено, и мы говорим, что деление матрицы не определено.

Здесь концепция инверсии играет важную роль, и поэтому, хотя и не само деление, инверсия матриц представляет собой связанную операцию, которая позволит вам сокращать матрицы при решении систем уравнений или даже простых умножений матриц. .
Формула, обратная матрице XXX размером 2×2, определяется как:

Уравнение 5: Формула, обратная матрице 2×2
Обратите внимание, что первый множитель в правой части состоит из деления единицы, вычитания из умножения матричных элементов; это фактически равно коэффициенту единицы, деленному на определитель матрицы.В последующих уроках вы увидите, как именно этот фактор встречается в формуле обратной матрицы для матриц любого размера. Но вопрос в том, как использовать обратную матрицу для решения системы уравнений? Давайте узнаем!

Использование обратных матриц для решения систем уравнений

В нашем следующем уроке мы объясним, как мы будем использовать обратные матрицы для решения систем уравнений. Мы в основном следуем той же логике, что и подстановка в общей алгебре, но теперь наши переменные будут представлять матрицы:

Представьте, что у вас есть матричное умножение, определенное как A⋅B = CA \ cdot B = CA⋅B = C, где все AAA, BBB и CCC являются квадратными матрицами одного и того же порядка (одинаковые размеры), а AAA и CCC оба известны. {- 1} \ cdot CB = A − 1⋅C Уравнение 6: Решение для матрицы B
Это конкретное решение позволяет нам наблюдать, как инверсия матриц эквивалентна делению единицы на матрицу, и, таким образом, как ее можно использовать для сокращения матриц в уравнениях, требующих деления, в методе решения, подобном подстановке.Матрица BBB в уравнении 6 была решена благодаря нам, используя наши знания из уравнения 1: умножение матрицы и ее обратной, независимо от того, в каком порядке расположены коэффициенты, дает единичную матрицу In тех же размеров, что и исходные матрицы. Затем, применяя то, что мы узнали в нашем уроке об единичной матрице, мы знаем, что любая матрица, умноженная на единичную матрицу, дает в результате саму неединичную матрицу. Итак, мы можем заключить, что BBB равно времени, обратному CCC AAA.{-1} А-1. Если вы заметили, во всех этих примерах задач нам сначала придется решать обратные матрицы A, и если они определены, мы можем продолжить решение для значений x и y из вектора x‾ \ overline {x} Икс. Уравнение 9: матрица, обратная матрице A
Найдя обратную матрицу A, как показано в уравнении 9, мы теперь используем ее как множитель в матричном умножении, которое определяет вектор x‾ \ overline {x} x. Уравнение 10: Окончательное решение для вектора x
Итак, окончательные значения для xxx и yyy: x = 0 x = 0 \, x = 0 и y = 12 \, y = \ frac {1} {2} y = 21

Пример 2 Определение AAA и bbb, как показано ниже: Уравнение 11: матрицы A и b (где b также вектор-столбец)
Решите систему, используя матрицу, обратную матрице коэффициентов AAA: Уравнение 12: матрица, обратная матрице A
Решение для вектора x‾ \ overline {x} x: Уравнение 13: Окончательное решение для вектора x
Следовательно, значения xxx и yyy в этом случае: x = 12 x = \ frac {1} {2} \, x = 21 и y = 14 \, y = \ frac {1} {4} y = 41.

Пример 3 Определение AAA и bbb, как показано ниже: Уравнение 14: матрицы A и b (где b также вектор-столбец)
Получение обратной матрицы AAA: Уравнение 15: матрица, обратная матрице A
А затем, используя обратную матрицу, решите линейную систему x‾ \ overline {x} x. Уравнение 16: Окончательное решение для вектора x
Таким образом, окончательные значения xxx и yyy следующие: x = 1 x = 1 \, x = 1 и y = 2 \, y = 2 y = 2.

Пример 4 Определение AAA и bbb, как показано ниже: Уравнение 17: матрицы A и b (где b также вектор-столбец)
Получение обратной матрицы AAA: Уравнение 18: матрица, обратная матрице A
Мы используем данную обратную функцию для решения системы уравнений, которая в данном случае представляет собой только вектор x‾ \ overline {x} x.Уравнение 19: Окончательное решение для вектора x
Итак, значения xxx и yyy в этом случае: x = −11 x = -11 \, x = −11 и y = −7 \, y = -7 y = −7.

Пример 5 Определение AAA и bbb, как показано ниже: Уравнение 20: матрицы A и b (где b также вектор-столбец)
Вычисление обратной матрицы AAA: Уравнение 21: матрица, обратная матрице A
Использование найденного обратного для вычисления вектора x‾ \ overline {x} x. Уравнение 22: Окончательное решение для вектора x
Окончательные значения для xxx и yyy: x = d x = d \, x = d и y = −c \, y = -c y = −c.

Пример 6 Определение AAA и bbb, как показано ниже: Уравнение 23: матрицы A и b (где b также является вектор-столбцом)
Нахождение обратного AAA: Уравнение 24: матрица, обратная матрице A
Как видите, обратного нет. Когда это происходит (обратная матрица не определена), невозможно решить линейные системы с использованием обратных матриц, поэтому нам приходится прибегать к другим методам (например, описанным в первом разделе этого урока), чтобы найти системное решение.***
Изучив методы решения систем уравнений с использованием обратных матриц, мы завершаем наш урок, предоставляя несколько рекомендаций по дополнительным ресурсам, которые могут быть вам полезны.
В этой презентации решения линейных систем и обратной матрицы предлагается подход, аналогичный тому, который использовался в этом уроке, путем непрерывного следования различных методов, которые могут использоваться для решения этих типов систем с матрицами (регулярными, а затем обратными).

РубрикаРазное