С косинус: cos, cosl | Программирование на C и C++

Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.

Тогда:

• Синусом (sin α) угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

• Косинусом (cos α) угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

• Тангенсом (tg α) угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

• Котангенсом (ctg α) угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

• Секанс определяется как sec α = 1/(cos α)

• Косеканс определяется как cosec α = 1/(sin α)

• В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x

Если координаты точки В равны x и y, то:

$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):

Свойства sin, cos, tg и ctg

Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):

1. Определение знака

   • Если α-угол I или II координатной четверти, то sin α > 0;

   • Если α-угол III или IV координатной четверти, то sin α < 0;

   • Если α-угол I или IV координатной четверти, то cos α > 0;

   • Если α-угол II или III координатной четверти, то cos α < 0;

   • Если α-угол I или III координатной четверти, то tg α > 0 и ctg α > 0;

   • Если α-угол II или IV координатной четверти, то tg α < 0 и ctg α < 0.

2. Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции; косинус — четная функция.

   • Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x².

   • Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.

3. При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.

1 радиан — это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения

Формулы сложения

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла или двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента (для sin и cos — формулы понижения степени):

Формулы суммы и разности

Формулы произведения

Соотношения между sin x, cos x и tg(x/2)

Один из способов использования: свести всё к tg(x/2) и путём замены получить обычное алгебраическое выражение.

Простейшие тригонометрические уравнения

Дополнительно

subjects/mathematics/тригонометрические_выражения_и_формулы.txt · Последние изменения: 2021/03/24 18:37 — ¶

Таблица косинусов, найти значения угла косинусов

Косинус угла представляет собой одну из тригонометрических функций. Является соотношением ближнего к углу прямоугольного треугольника катета к гипотенузе. Записывается следующим образом: cos (А) = АС/АВ, где АС – ближний катет угла (А), АВ – гипотенуза.

Зачем необходимо производить такие сложные на первый взгляд вычисления? Еще с древних времен известна аксиома: знаю угол – знаю его тригонометрическую функцию. Соответственно, если известен cos любого угла, в таблице Брадиса можно найти этот угол. И наоборот – зная угол, не сложно вычислить косинус. Отсюда можно найти следующие данные: длина катетов и гипотенузы.

Эти данные используются не только в голых математических вычислениях. Невозможно составить даже элементарный план местности, не зная тригонометрических функций. Посредством онлайн калькулятора можно облегчить задачу и получать требуемые данные за доли секунды.

Таблица косинусов от 0° — 360°

Смотрите также

формулы cos, sin, tg, ctg

Основные формулы тригонометрии — это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

sin2a+cos2a=1tgα=sinαcosα, ctgα=cosαsinαtgα·ctgα=1tg2α+1=1cos2α, ctg2α+1=1sin2α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctg-α+2πz=-ctgαsinπ2+α+2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα, cosπ2-α+2πz=sinαtgπ2-α+2πz=ctgα, ctgπ2-α+2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπ-α+2πz=sinα, cosπ-α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=-tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3π2+α+2πz=-ctgα, ctg3π2+α+2πz=-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=-sinαtg3π2-α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

sinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβcosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβtgα±β=tgα±tgβ1±tgα·tgβctgα±β=-1±ctgα·ctgβctgα±ctgβ

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла. 

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

sin2α=2·sinα·cosαcos2α=cos2α-sin2α, cos2α=1-2sin2α, cos2α=2cos2α-1tg2α=2·tgα1-tg2α сtg2α=сtg2α-12·сtgα sin3α=3sinα·cos2α-sin3α, sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=cos3α-3sin2α·cosα, cos3α=-3cosα+4cos3αtg3α=3tgα-tg3α1-3tg2αctg3α=ctg3α-3ctgα3ctg2α-1

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

sin2α2=1-cosα2cos2α2=1+cosα2tg2α2=1-cosα1+cosαctg2α2=1+cosα1-cosα

Формулы понижения степени

sin2α=1-cos2α2cos2α=1+cos2α2sin3α=3sinα-sin3α4cos3α=3cosα+cos3α4sin4α=3-4cos2α+cos4α8cos4α=3+4cos2α+cos4α8

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

для четных n

sinnα=Cn2n2n+12n-1∑k=0n2-1(-1)n2-k·Ckn·cos((n-2k)α)cosnα=Cn2n2n+12n-1∑k=0n2-1Ckn·cos((n-2k)α)

для нечетных n

sinnα=12n-1∑k=0n-12(-1)n-12-k·Ckn·sin((n-2k)α)cosnα=12n-1∑k=0n-12Ckn·cos((n-2k)α)

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

sinα+sinβ=2sinα+β2·cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2·cosα+β2cosα+cosβ=2cosα+β2·cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2·sinα-β2, cosα-cosβ=2sinα+β2·sinβ-α2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

sinα·sinβ=12·(cos(α-β)-cos(α+β))cosα·cosβ=12·(cos(α-β)+cos(α+β))sinα·cosβ=12·(sin(α-β)+sin(α+β))

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс, — могут быть выражены через тангенс половинного угла. 

sinα=2tgα21+tg2α2cosα=1-tg2α21+tg2α2tgα=2tgα21-tg2α2ctgα=1-tg2α22tgα2

Урок 2. четность и нечетность тригонометрических функций. периодичность — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №2 Чётность и нечётность тригонометрических функций. Периодичность.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• Изучение чётности функции, 
• Построение периодичности функции,
• Определение четности или нечетности тригонометрических функций вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|,
• Объяснение зависимости четности или нечетность функции вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|,
• Определение периодичности тригонометрических функций вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|,
• Объяснение зависимости периодичности функции вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|,

Глоссарий по теме

Функцию y=f(x), x∈X называют чётной, если для любого значения xиз множества X выполняется равенство f(−x)=f(x).

Функцию y=f(x), x∈X называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(−x)=−f(x).

Период функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых, если он существует.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |ОА| к длине гипотенузы |ОВ|.

Область. определения функции (D) — множество R всех действительных чисел

Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция —ограниченная.

Для того, чтобы определить чётность функции косинус проверим следующие определения: функция чётная,  f(−x)=f(x) и функцию   нечётная, f(−x)=−f(x).

Например, cos(60°) = ½ = cos(–60°)–это значит, что : cos(−x)=cos x для всех x∈R и у=сosx–чётная

Сиинус(sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |АВ| к длине гипотенузы |ОВ|.

Область определения функции (D) — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция —ограниченная.

Для того, чтобы определить чётность функции синус проверим следующие определения: функция чётная,  f(−x)=f(x) и функцию  нечётная, f(−x)=−f(x).

Например, sin(30°) = ½ sin(–30°) = –½ –это значит, что : sin(−x)=–sin (x) для всех x∈R и y=sinx–нечётная

–нечётная

–нечётная

Период функций y=sin x, y=cos xравен 2π, период функций tgx, ctgx равен π.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Выясним, является ли функция

чётной или нечётной?

Пример 2. Доказать, что число 2π _{является наименьшим положительным периодом функции y=cos x}

Пусть Т>0 – период косинуса, т.е. для любого х выполняется равенство cos (x+T)= cos x. Положив х=0, получим cos T=1. Отсюда Т=2πk, x∈R. Так как Т>0, то может принимать значения 2π, 4π, 6π,…, и поэтому период не может быть меньше 2π

Как найти косинус угла с помощью функции COS в Excel

Если вам нужно найти косинус угла, используйте функцию COS в Microsoft Excel . Независимо от того, какой у вас угол — в градусах или радианах , это решение работает с небольшими изменениями. Следуйте этому пошаговому руководству, чтобы узнать, как легко воспользоваться преимуществами быстрых математических навыков Excel.

Инструкции в этой статье относятся к Excel 2019, 2016, 2013, 2010, 2007; Excel для Mac, Excel 365, Excel Online, Excel для Android, Excel для iPad и Excel для iPhone.

Найти косинус угла в Excel

Тригонометрическая функция косинуса, как синус  и касательная , основана на прямоугольном треугольнике (треугольник, содержащий угол, равный 90 градусам), как показано на рисунке ниже.

В математическом классе косинус угла определяется путем деления длины стороны, прилегающей к углу, на длину гипотенузы. В Excel косинус угла можно найти с помощью функции COS, если этот угол измеряется в радианах.

Функция COS экономит вам много времени и, возможно, много царапает голову, так как вам больше не нужно помнить, какая сторона треугольника примыкает к углу, противоположная, а какая гипотенуза.

Понять градусы против радианов

Использование функции COS для нахождения косинуса угла может быть проще, чем делать это вручную, но, как уже упоминалось, важно понимать, что при использовании функции COS угол должен быть в радианах,  а не в градусах.

Радианы связаны с радиусом круга. Один радиан составляет примерно 57 градусов.

Чтобы упростить работу с COS и другими функциями триггера Excel , используйте функцию  Excel RADIANS  для преобразования измеряемого угла из градусов в радианы, как показано в ячейке B2 на изображении выше. В этом примере угол 60 градусов преобразуется в 1,047197551 радиан.

Другие варианты преобразования градусов в радианы включают в себя вложение функции RADIANS в функцию COS (как показано в строке 3 на изображении примера) и использование функции PI в формуле (как показано в строке 4 на изображении примера).

Тригонометрическое использование в Excel

Тригонометрия фокусируется на отношениях между сторонами и углами треугольника, и, хотя многим из нас не нужно использовать его ежедневно, тригонометрия находит применение во многих областях, включая архитектуру, физику, инженерию и геодезию.

Архитекторы, например, используют тригонометрию для расчетов, связанных с затенением от солнца, структурной нагрузкой и уклонами крыши.

Синтаксис и аргументы функции Excel COS

Число: вычисляемый угол в радианах. Для этого аргумента можно ввести размер угла в радианах или  вместо него можно указать ссылку на  ячейку для расположения этих данных на листе.

Используйте функцию Excel COS

Пример в этой статье охватывает шаги, используемые для ввода функции COS в ячейку C2 на изображении выше, чтобы найти косинус угла 60 градусов или 1,047197551 радиан.

Варианты входа в функцию COS включают ввод вручную всей функции или использование диалогового окна « Аргументы функции  », как описано ниже.

Введите функцию COS

2. Выберите  вкладку « Формулы  » на панели ленты.

3. Выберите  Math & Trig  на ленте, чтобы открыть раскрывающийся список функций.

4. Выберите  COS  в списке, чтобы открыть диалоговое окно Function Arguments. В Excel для Mac откроется построитель формул.

5. В диалоговом окне поместите курсор в числовую строку.

6. Выберите ячейку B2 на листе, чтобы ввести ссылку на эту ячейку в формулу.

7. Нажмите OK, чтобы завершить формулу и вернуться к рабочему листу. За исключением Excel для Mac, где вы выбираете « Готово» .

8. Ответ 0.5 появляется в ячейке C2, которая является косинусом угла 60 градусов.

9. Выберите ячейку C2, чтобы увидеть полную функцию на панели формул над рабочим листом.

Устранение неполадок с функцией Excel COS

#СТОИМОСТЬ! ошибки

Функция COS отображает # ЗНАЧЕНИЕ! ошибка, если ссылка, используемая в качестве аргумента функции, указывает на ячейку, содержащую текстовые данные. Переключите тип данных ячейки на Числа, чтобы исправить ошибку.

Пустые ячейки Результаты

Если ячейка указывает на пустую ячейку, функция возвращает значение единицы. Триггерные функции Excel интерпретируют пустые ячейки как ноль, а косинус нулевых радиан равен единице. Исправьте ошибку, указав свою функцию в правой ячейке.

Основное Тригонометрическое Тождество — Доказательство

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный. 

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция. 

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg²α + 1 = 1/cos²α и равенство 1 + сtg²α + 1 = 1/sin²α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin²α и cos²α.

В результате деления получаем:

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая. 

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности. 

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin²α + cos²α = 1

1. Итак, нам известны координаты точки A (1; 0).

   Произвольный угол α, тогда cos α = x0 = ОB.



2. Если развернуть точку A на угол α, то точка A становится на место точки A₁.


3. По определениям:
   • Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 
   • Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
   Это значит, что точка A₁ получает координаты cos α, sin α.


4. Опускаем перпендикулярную прямую A₁B на x0 из точки A₁.

   Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

   |A₁B| = |у|

   |OB| = |x|.



5. Гипотенуза OA₁ имеет значение, равное радиусу единичной окружности.

   |OA₁| = 1.



6. Применяя полученное выражение, записываем равенство по теореме Пифагора, поскольку получившийся угол — прямой:

   |A₁B|² + |OB|² = |OA₁|².



7. Записываем в виде: |y|² + |x|² = 1².

   Это значит, что y² + x² = 1.
   sin угла α = y
   cos угла α = x



8. Вставляем данные угла вместо координат точек:

   OB = cos α
   A₁B = sin α
   A₁O = 1



9. Получаем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
   Что и требовалось доказать. 

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

• sin α = ±
• cos α = ±

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Немного вводных:

• Синус угла  — это ордината y.
• Косинус угла  — это абсцисса x.
• Тангенс угла  — это отношение ординаты к абсциссе. 
• Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

• tg α =
• ctg α =

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества 

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон. 

• Например,  выражение применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0.

Выражение

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число. 

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
 

• Тождество записывается в следующем виде:
  tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

1. По определению:

   tg α = y/x

   ctg α = x/y



2. Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1


3. Преобразовываем выражение, подставляем  и ,
   получаем:

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Какие, какие числа?🤯

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1.

Если в голове вашего ребенка бурлит тригонометрическая каша, и все формулы смешались в один нераспутываемый клубок — записывайтесь на бесплатный вводный урок математики в онлайн-школу Skysmart.

Наши преподаватели помогут навести в голове порядок и разложить все знания по полочкам. На уроках вас ждут интересные задачки и располагающая атмосфера, в которой совсем не страшно задавать вопросы и получать от занятий — максимум.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла  — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
 

• tg²α + 1 =

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

• 1 + ctg²α =

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin²α + cos²α = 1.
 

1. Для этого нужно поделить обе части тождества на cos²α, где косинус не равен нулю.


2. В результате деления получаем формулу tg²α + 1 =


3. Если обе части основного тригонометрического  тождества sin²α + cos²α = 1 разделить на  sin²α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
   1 + ctg²α = . 


4. Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg²α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.


5. А тригонометрическое тождество 1 + ctg²α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число. 

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами. 

Основные тригонометрические тождества

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Как решаем:

1. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:



2. Выражаем cos α из тригонометрической единицы:



3. Далее подставляем значения sin α:



4. Вычисляем:



5. Нам известны значения sin α и cos α, поэтому можно легко найти тангенс, используя формулу:



6. Таким же образом, используя формулу, вычисляем значение котангенса:

Ответ:

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Как решаем: 

1. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:



2. Выражаем cos α из тригонометрической единицы:



3. Далее подставляем значения sin α:



4. Вычисляем:
   


5. То же самое проделываем со вторым значение sin α

   Подставляем значения sin α:



6. Вычисляем:

Ответ:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Алгебра любит практику — как можно больше практики. Чтобы натренироваться в решении задачек и накачать математический бицепс, записывайте вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики в онлайн-школу Skysmart.

У нас есть все для эффективных и веселых занятий: опытные преподаватели, интересные задачки, интерактивный формат и внушительная порция вдохновения и поддержки!

Как найти угол с косинусом

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Sin, Cos и Tan — Математика GCSE Revision

В этом разделе рассматриваются Sin, Cos и Tan в области тригонометрии.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов является прямым.Гипотенуза прямоугольного треугольника — это самая длинная сторона, противоположная прямому углу. Соседняя сторона — это сторона, которая находится между рассматриваемым углом и прямым углом. Противоположная сторона противоположна рассматриваемому углу.

В любом прямоугольном треугольнике , для любого угла:

Синус угла = , длина противоположной стороны ,
, длина гипотенузы

Косинус угла = длина соседней стороны
длина гипотенузы

Тангенс угла = длина противоположной стороны
длина соседней стороны

Итак, в сокращенной записи:
sin = o / h cos = a / h tan = o / a
Часто вспоминается по: soh cah toa

Пример

Найдите длину стороны x на схеме ниже:

Угол 60 градусов.Нам дана гипотенуза, и нам нужно найти прилегающую сторону. Эта формула, которая связывает эти три, следующая:
cos (угол) = смежный / гипотенуза
, следовательно, cos60 = x / 13
, следовательно, x = 13 × cos60 = 6,5
, следовательно, длина стороны x составляет 6,5 см.

Это видео объясняет, как работают формулы.

Графики Sin, Cos и Tan — (ВЫСШИЙ УРОВЕНЬ)

На следующих графиках показано значение sinø, cosø и tanø в зависимости от ø (ø представляет собой угол).Из графика sin мы видим, что sinø = 0, когда ø = 0 градусов, 180 градусов и 360 градусов.

Обратите внимание, что график tan имеет асимптоты (линии, к которым график приближается, но никогда не пересекает). Это красные линии (на самом деле они не являются частью графика).

Также обратите внимание, что графики sin, cos и tan являются периодическими. Это означает, что они повторяются. Следовательно, например, sin (ø) = sin (360 + ø).

Обратите внимание также на симметрию графиков.Например, cos симметричен по оси y, что означает, что cosø = cos (-ø). Так, например, cos (30) = cos (-30).
Кроме того, sin x = sin (180 — x) из-за симметрии sin в прямой ø = 90.

Для получения дополнительной информации о тригонометрии щелкните здесь

Определение косинуса по Мерриам-Вебстеру

1 : тригонометрическая функция, которая для острого угла представляет собой отношение между катетом, примыкающим к углу, когда он считается частью прямоугольного треугольника, и гипотенузой. 8} {8!} — \ dots {/ latex}, что в точности равно косинусу угла измерения θ в радианах.

Синус-косинус-касательная

Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и двигательная установка необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрия, изучение треугольников.Начнем с некоторых определений и терминологии. который мы будем использовать на этом слайде. Прямоугольный треугольник — это трехсторонняя фигура с одним углом, равным 90 градусам. Угол 90 градусов называется прямым углом , что дало название прямоугольному треугольнику. Выбираем один из двух оставшихся углов и маркируем его c а третий угол обозначим d . Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Если мы знаем значение c , тогда мы знаем, что значение d :

90 + с + г = 180

г = 180 — 90 — в

d = 90 — c

Определим сторону треугольника противоположную от прямого угла к гипотенуза .Это самая длинная из трех сторон. прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов. означает «растягивать», так как это самая длинная сторона. Обозначим гипотенузу символом h . Есть сторона, противоположная углу c , которую мы обозначаем как o . для «противоположного». Оставшуюся сторону мы маркируем как для «смежных». Угол c образован пересечением гипотенузы h и соседняя сторона и .

Нас интересует соотношение сторон и углов прямоугольный треугольник. Начнем с некоторых определений. Мы будем называть соотношение стороны прямоугольного треугольника, противоположной гипотенузе синус и присвоить ему символ sin .

грех = о / ч

Отношение смежной стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе называется косинус и обозначен символом cos .

cos = а / ч

Наконец, отношение противоположной стороны к соседней стороне называется касательная и обозначена символом tan .

загар = о / а

Мы утверждаем, что значение каждого коэффициента зависит только от значения угол c , образованный смежной и гипотенузой. Чтобы продемонстрировать этот факт, давайте изучим три фигуры в середине страницы.В этом примере у нас есть 8-футовая лестница, которую мы собираемся прислонить к стене. Стена 8 футов высотой, и мы нарисовали белые линии на стене и синие линии на земле с интервалом в один фут. Длина лестницы фиксированная. Если наклонить лестницу так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 2 фута от стены, лестница образует угол около 75,5 градусов с землей. Лестница, земля и стена образуют прямоугольный треугольник. Соотношение расстояния от стены (а — прилегающая) к длине лестницы (h — гипотенуза) составляет 2/8 =.25. Это определено как косинус c = 75,5 градусов. (На другая страница покажем, что если бы лестница была вдвое длиннее (16 футов), и наклонена под тем же углом (75,5 градуса), чтобы он сидел вдвое больше далеко (4 фута) от стены. Соотношение и остается неизменным для любого прямоугольного треугольника. под углом 75,5 градусов.) Если измерить место на стене, где лестница касается (о — напротив), расстояние будет 7,745 футов. Вы можете проверить это расстояние, используя Теорема Пифагора который связывает стороны прямоугольного треугольника:

ч ^ 2 = а ^ 2 + о ^ 2

о ^ 2 = ч ^ 2 — а ^ 2

о ^ 2 = 8 ^ 2 — 2 ^ 2

о ^ 2 = 64 — 4 = 60

о = 7.745

Отношение противоположности к гипотенузе равно 0,967 и определяется как синус угла c = 75,5 градусов.

Теперь предположим, что мы наклоняем 8-футовую лестницу так, чтобы ее основание находилось на 4 футах от стены. Как показано на рисунке, теперь лестница наклонена под меньшим углом, чем в первый пример. Угол составляет 60 градусов, а соотношение прилегающих к гипотенуза теперь 4/8 = 0,5. Уменьшение угла c увеличивает косинус угла, потому что гипотенуза фиксирована а соседний увеличивается с уменьшением угла.Если мы наклоним 8 футов лестнице так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 6 футов от стены, угол уменьшается до около 41,4 градуса, и соотношение увеличивается до 6/8, что составляет 0,75. Как видите, для каждого угла на земле есть уникальная точка, которой соприкасается 8-футовая лестница, И это одна и та же точка каждый раз, когда мы устанавливаем лестницу под этим углом. Математики называют эту ситуацию функция. Соотношение соседних сторона гипотенузы является функцией угла c , поэтому мы можем записать символ как cos (c) = значение .

Также обратите внимание, что по мере увеличения cos (c) уменьшается sin (c) . Если мы наклоним лестницу так, чтобы основание находилось на расстоянии 6,938 фута от стены, угол c становится 30 градусов, а отношение соседних к гипотенуза 0,866. Сравнивая этот результат со вторым примером, мы обнаруживаем, что:

cos (c = 60 градусов) = sin (c = 30 градусов)

sin (c = 60 градусов) = cos (c = 30 градусов)

Мы можем обобщить это соотношение:

sin (c) = cos (90 — c)

90 — c — величина угла d .Вот почему мы назовем соотношение смежного и гипотенузы «косинусом» угла.

sin (c) = cos (d)

Поскольку синус, косинус и тангенс являются функциями угла c , мы можем определить (измерить) коэффициенты один раз и составить таблицы значений синус, косинус и тангенс для различных значений c . Позже, если мы узнаем значение угла в прямоугольном треугольнике, таблицы покажут нам соотношение сторон треугольника.Если мы знаем длину одной стороны, мы можем найти длину другой. стороны. Или, если мы знаем соотношение любых двух сторон прямоугольного треугольника, мы можем найти значение угла между сторонами. Мы можем использовать таблицы для решения проблем. Некоторые примеры проблем, связанных с треугольниками и углами, включают силы на самолете в полете, приложение крутящих моментов, и разрешение составные части вектора.

Вот таблицы синуса, косинуса и тангенса, которые вы можете использовать для решения проблемы.

Навигация ..

Руководство для начинающих Домашняя страница

слов, составленных с помощью косинуса, слова с косинусом, анаграмма косинуса

Этот веб-сайт требует JavaScript для правильной работы.
Пожалуйста, включите JavaScript в вашем браузере.

COSINE — слово для игры