Решить уравнение значит: что значит решить уравнение? — Школьные Знания.com

Содержание

Как графически решить уравнение?

☰

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Например, дано такое уравнение:
x² – 2x – 1 = 0

Если мы еще не изучали решение квадратных уравнений алгебраическим способом, то можем попробовать сделать это либо разложением на множители, либо графически. Чтобы решить подобное уравнение графически, представим его в таком виде:
x² = 2x + 1

Из такого представления уравнения следует, что требуется найти такие значения x, при которых левая часть будет равна правой.

Как известно, графиком функции y = x² является парабола, а y = 2x + 1 — прямая. Координата x точек координатной плоскости, лежащих как на первом графике, так и на втором (то есть точек пересечения графиков) как раз и являются теми значениями x, при которых левая часть уравнения будет равна правой. Другими словами, координаты x точек пересечения графиков являются корнями уравнения.

Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

Рассмотрим пример попроще:
x² – 2x = 0 или x² = 2x

Нарисуем графики функций y = x² и y = 2x:

Как видно из чертежа, парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Координаты x этих точек соответственно равны 0 и 2. Значит, уравнение x² – 2x = 0 имеет два корня — x₁ = 0, x₂ = 2.

Проверим это, решив уравнение вынесением общего множителя за скобки:

x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Ноль в правой части может получиться либо при x равном 0, либо 2.

Причина, по которой мы не стали графически решать уравнение x² – 2x – 1 = 0 в том, что в большинстве уравнений корнями являются вещественные (дробные) числа, а точно определить на графике значение x сложно. Поэтому для большинства уравнений графический способ решения не является лучшим. Однако знание этого способа дает более глубокое понимание связи между уравнениями и функциями.

Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Понятие уравнения

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а; если а равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
если а равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

кубические
уравнение четвёртой степени
иррациональные и рациональные
системы линейных алгебраических уравнений

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.
6x −5x = 10
Приведем подобные и завершим решение.
x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Как решаем:

Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | :(−4)
x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Алгоритм решения простого линейного уравнения

Раскрываем скобки, если они есть.
Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.
6х = 19 — 1
Выполнить вычитание.
6х = 18
Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.
х = 2

Ответ: х = 2.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

Решаем так:

Раскрыть скобки
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.
5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2
Приведем подобные члены.
0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

Найти неизвестную переменную.
х = 1/8 : 4
х = 1/12

Ответ: 1/12 или 0,83. О десятичных дробях можно почитать здесь.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

Решаем так:

4х + 8 = 6 — 7х
4х + 7х = 6 — 8

11х = −2
х = −2 : 11
х = — 0, 18

Ответ: — 0,18.

Пример 5. Решить:

Решаем так:

3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
9х — 12 = 28х + 24
9х — 28х = 24 + 12
-19х = 36
х = 36 : (-19)
х = — 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

Раскрыть скобки
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
х — х = 4 — 7
Приведем подобные члены.
0 * х = — 3

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..

Решаем так:

2х + 6 = 5 — 7х
2х + 6х = 5 — 7
8х = −2
х = −2 : 8
х = — 0,25

Ответ: — 0,25.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. А еще развивающие игры, квесты и головоломки на любой возраст и уровень.

Уравнения с одной переменной

Главная
Справочник
Алгебра
Уравнения с одной переменной

На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.

Уравнение и его корни

Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения.

Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.

При решении уравнений используются следующие свойства:

если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.2=10-3x \) являются числа -2 и 2.

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнения вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа.

Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!

Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x

Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:

4х + 28 = 3 — х

Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:

4х + х = 3 — 28

Теперь вычитаем значение слева и справа:

5х = -25

Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):

х = -25:5

х = -5

Ответ х = -5

Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:

4(-5+7) = 3-(-5)

4*2 = 8

8 = 8 — уравнение решено верно!

Решить теперь что-нибудь по-сложнее:

Пример №3 Найти корни уравнения: $ (y+4)-(y-4)=6y $

В первую очередь, также избавимся от скобок:

$ y+4-y+4=6y $

Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:

$ 8 = 6y $

Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:

$ 6y=8 $

Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:

$ y=\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $

Ответ: y = $ 1\frac{1}{3} $

Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.

Пример №4 $ (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) $

Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:

$ (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) $

$ 0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 $

$ 0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 $

$ -5,2x=7,8 $

$ x=\frac{7,8}{-5,2}=\frac{3}{-2} =-1,5 $

Ответ: x = -1,5

Если что-то не понятно по ходу решения пишите в комментариях

Решение задач с помощью уравнений

Зная что такое уравнения и научившись их вычислять — вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.

Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах

Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?

В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.

Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х — 10, а значит, в ящике стало — (2х + 10) яблок.

Теперь можно составить уравнение:

5(х-10) — в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.

Приравняем первое значение и второе:

2x+10 = 5(x-10) и решаем:

2х + 10 = 5х — 50

2х — 5х = -50 — 10

-3х = -60

х = -60/-3 = 20 (яблок) — в корзине

Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике — так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:

2*20 = 40 (яблок) — в ящике

Ответ: в ящике — 40 яблок, а в корзине — 20 яблок.

Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы — задавайте их в комментариях.

Под конец еще несколько примеров на решения уравнений

Пример №6 $ 2x — 0,7x = 0 $

$ 1,3x = 0 $

$ x=0/1,3 $

$ x = 0 $

Пример №7 $ 3p — 1 -(p+3) = 1 $

$ 3p-1-p-3=1 $

$ 3p-p=1+1+3 $

$ 2p=5 $

$ p=5/2 $

$ p=2,5 $

Пример №8 $ 6y-(y-1) = 4+5y $

$ 6y-y+1=4+5y $

$ 6y-y-5y=4-1 $

$ 0y=3 $ — корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!

Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в комментариях.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Больше интересного в телеграм @calcsbox
3.Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений

Объяснение и обоснование

1. Понятие уравнения и его корней. Уравнение в математике чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны. Поэтому в общем виде уравнения с одной переменной x записывают так: f (x) = g (x).

Часто уравнения определяют короче — как равенство с переменной.

Напомним, что корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни (и обосновать, что других корней нет) или доказать, что корней нет.

Например, уравнение 2x = —1 имеет единственный корень x = -1, а уравнение | x | = —1 не имеет корней, поскольку значение | x | не может быть отрицательным числом.

2. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Если задано уравнение f (x) = g (x), то общая область определения для функций f (x) и g (x) называется областью допустимых значений этого уравнения. (Иногда используются также термины «область определения уравнения» или «множество допустимых значений уравнения».) Например, для уравнения х² = х областью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так. ОДЗ: R, поскольку функции f (x) = x² и g (x) = x имеют области определения R.

Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как области определения функции f (x), так и области определения функции g (x) (иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.

Например, в уравнении л/x — 2 + \/1 — x = x функция g (x) = x определена при всех действительных значениях x, а функция f (x) = л/x — 2 + VT — x ко при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается систе-

lx — 210,                                                                             lx 12,

мой -!                        из которой получаем систему -!                        не имеющую решений.

[1 — x 10,                                                                          [x < 1,

Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.

Нахождение ОДЗ данного уравнения может быть полезным для его решения, но не всегда является обязательным элементом решения уравнения.

3. Методы решения уравнений. Для решения уравнений используют методы точного и приближенного решений. А именно, для точного решения уравнений в курсе математики 5—6 классов использовались зависимости между компонентами и результатами действий и свойства числовых равенств;

Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений 7 класс онлайн-подготовка на
Уравнение. Линейное уравнение с одной переменной. Решение задач с помощью уравнений
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением.
Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называют корнем уравнения.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Решим уравнение
(х-10)(х+5)(х-7) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем к нулю каждый множитель и найдем корни уравнения
Х-10 = 0               х+5 = 0               х-7 = 0
Х1 = 10               х2 = -5               х3 = 7
Это уравнение имеет три корня.
А вот уравнение
0*х = 10 корней не имеет, поскольку для того, чтобы найти х нужно 10:0, а на ноль, как вы о делить нельзя.
Уравнения, имеющие одинаковые корни, называют равносильными уравнениями. Также равносильными считаются уравнения, не имеющие корней.
Например, уравнения 3*х = 9 и х-3 = 0
Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Выразим неизвестный множитель х.
х = ab
Если а≠0 и b≠0, то уравнение имеет единственный корень.
Если а≠0 и b = 0, то уравнение не имеет корней, ведь на ноль делить нельзя.
Если а = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество корней. Действительно, равенство
0*х = 0 верно при любых значениях х.
Часто мы используем уравнения для решения задач. При этом, как показывает практика, самое сложное – это правильно составить уравнение.
Пожалуй, основное, от чего надо отталкиваться при составлении уравнения – это небольшое правило: обозначь за х то, что нужно найти в задаче. Если надо найти несколько величин, то обозначь за х меньшую из них.
Рассмотрим задачу:
За 9 часов теплоход проходит тот же путь по течению реки, что и за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
Итак, обозначим за х км/ч собственную скорость теплохода.
Тогда скорость теплохода, когда он плывет по течению реки, будет (х+2) км/ч, а скорость теплохода, когда он плывет против течения реки – (х-2) км/ч.
По течению реки теплоход шел 9 часов, значит за 9 часов он пройдет (х+2)*9 км.
Против течения реки теплоход шел 11 часов. За 11 часов он пройдет (х-2)*11 км.
В задаче сказано, что эти расстояния одинаковы, давай приравняем выражение для пути по течению к выражению для пути против течения. Получим такое уравнение:
(х+2)*9 = (х-2)*11
9х+18 = 11х-22
11х-9х = 18+22
2х = 40
х = 20
За х мы обозначали собственную скорость теплохода. Значит, собственная скорость теплохода – 20 км/ч. Это и есть ответ на вопрос задачи.
Уравнение и его корни: определения, примеры
После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.
Понятие уравнения
Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:
Определение 1
Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.
Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3.
После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19, x+6·(x+6·(x−8))=3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10. Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17).
Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.
В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:
Определение 2
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
То есть, к примеру, выражение x+3=6·x+7 – это уравнение с переменной x, а 3·y−1+y=0 – уравнение с переменной y.
В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:
Определение 3
Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.
К примеру, равенство вида 3,7·x+0,6=1 является уравнением с одной переменной x, а x−z=5 – уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x2+(y−6)2+(z+0,6)2=26.
Корень уравнения
Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.
Пример 1
Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a+1=5 мы заменим букву числом 2, то равенство станет неверным, а если 4, то получится верное равенство 4+1=5.
Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.
Определение 4
Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.
Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.
Пример 2
Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a+1=5. Согласно определению, корнем в данном случае будет 4, потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2+1=5.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.
Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0·x=5. Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0.
Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
Пример 3
Так, в уравнении x−2=4 есть только один корень – шесть, в x2=9 два корня – три и минус три, в x·(x−1)·(x−2)=0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.
Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅. Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня -2, 1 и 5, то пишем -2, 1, 5 или {-2, 1, 5}.
Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y, а корнями являются 2 и 7, то мы пишем y=2 и y=7. Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x1=3, x2=5. Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N, целых – Z, действительных – R. Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x∈Z, а если любое действительное от единицы до девяти, то y∈1, 9.
Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.
Определение 5
Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.
Поясним определение на примерах.
Пример 4
Допустим, у нас есть выражение x+y=7, которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4, то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.
Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3,4).
На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.
Решение уравнений
— Добрый день, мои дорогие друзья! Сегодня мы с вами будем учиться решать уравнения.
А что же такое уравнение?
Помните, в первом классе вы решали примеры, в которых были пропущены числа?
Для того, чтобы вставить число в таких примерах, надо было вспомнить состав чисел в пределах 10.
А теперь вместо окошечек вы будете записывать буквы латинского алфавита:
Эти буквы сейчас используют в английском, немецком, французском и многих других языках. Вот посмотрите, как будут выглядеть наши примеры, в которых вместо окошек появились латинские буквы:
И называются они теперь — уравнения. Вы спросите, почему их так назвали? Да потому, что вместо буквы надо подставить такое число, чтобы уравнять левую и правую части выражения.
Уравнение — это математическое равенство, которое содержит неизвестное число. Но каждая ли запись, в которое есть неизвестное число является уравнением?
Давайте среди приведённых записей найдём уравнение:
Первая запись — это равенство, но в нём нет букв латинского алфавита. Значит это не уравнение.
Вторая запись. Конечно, и эта запись не будет являться уравнением, ведь это неравенство.
Следующая запись. Это равенство и оно содержит латинскую букву. Значит, эту запись мы назовём уравнением.
И ещё одна запись. Конечно это не уравнение, ведь эта запись не является равенством.
Итак, среди приведённых записей уравнением является третья запись. Давайте попробуем его решить.
А что значит «решить уравнение»?
Решить уравнение — значит, найти такое числовое значение неизвестного, при котором равенство будет верным.
В математике говорят так: «решить уравнение — значит найти корень уравнения». Корень уравнения — это то число, которое можно подставить вместо буквы.
Те уравнения с окошечками, которые были в первом классе, решать было легко. Выучил состав чисел в пределах 10, и подставляй нужное число. А вот если уравнение с двузначными числами, или с трёхзначными? Тут знание состава однозначных чисел нам не поможет.
Как же найти для решения нашего уравнения такое число, при котором получится верное равенство, т.е. найти корень уравнения?
Конечно, для того, чтобы найти верный способ решения уравнений, необходимо помнить правила:
·                   Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
·                   Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
·                   Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Сейчас попробуем решить наше уравнение 45 + x = 68.
В этом уравнении неизвестным является слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Поэтому получаем:
Давайте выполним проверку, уточним, верно ли мы нашли неизвестное число.
Вновь записываем наше уравнение, но вместо буквы икс пишем число 23:
Слева и в справа получили одно и тоже число значит, уравнение решено верно.
Как я уже говорила, для того:
·                   Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
·                   Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
·                   Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
То есть, надо знать три правила. Но я вам предлагаю ещё один способ выбора действия при решении уравнений.
Представьте себе яблоко. Сейчас оно целое. А если мы его разрежем и отодвинем одну часть, у нас останется вторая часть. Отодвигая, мы выполняли действие вычитание. Значит, чтобы найти часть, надо выполнить действие вычитание. А теперь давайте вернём назад нашу часть. У нас опять получилось целое яблоко. Чтобы получить целое яблоко, мы сложили части. А теперь представим себе это схематически:
Теперь все наши уравнения мы будем соотносить с полученными схемами.
Вот, например, такое уравнение:
К какой схеме оно подходит? Т.к. в нём стоит знак плюс оно подходит к первой схеме. Теперь мы видим, что в данном уравнении нам надо найти часть. Значит, мы из целого, суммы, вычитаем известную часть — слагаемое. Получаем:
Давайте проверим. Записываем наше уравнение, только вместо буквы запишем полученное число, получаем:
Ответ: а = 25.
В нашем уравнении было неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Это мы и сделали.
Решим ещё одно уравнение:
Посмотрим, к какой схеме оно подходит. В нём стоит знак минус. Значит ко второй. Теперь мы видим, что в данном уравнении нам надо найти целое. Вспомним, что целое находится сложением — складываем части. Получим:
Выполним проверку:
Уравнение решено верно, то есть найден корень уравнения. Он равен 46.
В этом уравнении нам были известны вычитаемое и разность. Неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. Что мы и сделали.
Ну и давайте решим ещё одно уравнение:
В этом уравнении, как и в предыдущем также выполняется вычитание. Но здесь известно уменьшаемое и разность, а неизвестно вычитаемое. Опять подставляем уравнение к схеме. Нам надо найти вычитаемое, т.е. часть. А как его найти? Часть всегда находится вычитанием. Надо из целого, т.е. уменьшаемого вычесть часть, т.е. разность.
Проверяем:
Получили верное равенство. Значит, уравнение решено верно, и число 50 является корнем уравнения. Нам надо было найти неизвестное вычитаемое, и мы из уменьшаемого вычитали разность.
Уравнения мы решили, а теперь давайте повторим то, что вы сегодня узнали на уроке.
При решении уравнений необходимо знать правила:
·                   Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
·                   Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
·                   Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Для того чтобы безошибочно решать уравнения запомните наши схемы. Они всегда подскажут вам, какой способ решения уравнений нужно выбрать. Если надо найти целое, мы выполняем действие сложение. А если часть, то вычитание. А теперь обратите внимание на алгоритм решения уравнений:
1) Определить неизвестный компонент (что нужно найти — слагаемое, уменьшаемое или вычитаемое).
2) Применить правило нахождения неизвестного:
·                   Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
·                   Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
·                   Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Выполнить действие и получить корень уравнения.
3) Выполнить проверку.
Постарайтесь запомнить все эти правила и тогда вы без труда сможете решать уравнения, т.е. находить их корни.
А я прощаюсь с вами и желаю вам в этом успехов при решении уравнений.
Решение уравнений
Что такое уравнение?
Уравнение говорит, что две вещи равны. У него будет знак равенства «=», например:
.
Это уравнение говорит: то, что слева (x — 2) равно тому, что справа (4)
Итак, уравнение похоже на оператор : «, это равно , что »
.
Что такое решение?
Решение — это значение, которое мы можем подставить вместо переменной (например, x ), которая делает уравнение истинным .

Пример: x — 2 = 4
Когда мы ставим 6 вместо x, получаем:
6–2 = 4
, что соответствует истинным
Итак, x = 6 — решение.
Как насчет других значений x?
Для x = 5 мы получаем «5−2 = 4», что неверно , поэтому x = 5 не является решением .
Для x = 9 мы получаем «9−2 = 4», что равно , неверно , поэтому x = 9 не является решением .
и т. Д.
В этом случае x = 6 — единственное решение.
Вы можете попрактиковаться в решении некоторых анимированных уравнений.
Более одного решения
Может быть более одного решения .
Пример: (x − 3) (x − 2) = 0
Когда x равно 3, получаем:
(3−3) (3−2) = 0 × 1 = 0
, что соответствует истинным
И когда x равно 2, получаем:
(2−3) (2−2) = (−1) × 0 = 0
, что также является истинным
Итак, решения:
x = 3 или x = 2
Когда мы собираем все решения вместе, он называется набором решений
Приведенный выше набор решений: {2, 3}
Решения везде!
Некоторые уравнения верны для всех допустимых значений и называются Identities
Пример:
sin (−θ) = −sin (θ) — одно из тригонометрических тождеств
Попробуем θ = 30 °:
sin (-30 °) = -0.5 и
−sin (30 °) = −0,5
Так что истинно для θ = 30 °
Попробуем θ = 90 °:
sin (-90 °) = -1 и
−sin (90 °) = −1
Так же истинно для θ = 90 °
Верно ли для все значения θ ? Попробуйте сами!
Как решить уравнение
Не существует «единого идеального способа» решить все уравнения.
Полезная цель
Но мы часто добиваемся успеха, когда наша цель — получить:
Другими словами, мы хотим переместить все, кроме «x» (или любого другого имени переменной), в правую часть.
Пример: Решить 3x − 6 = 9
Начать с: 3x − 6 = 9
Добавьте 6 к обеим сторонам: 3x = 9 + 6
Разделить на 3: x = (9 + 6) / 3
Теперь у нас x = что-то ,
и короткий расчет показывает, что x = 5
Как пазл
На самом деле решение уравнения похоже на решение головоломки.И, как и в случае с головоломками, есть вещи, которые мы можем (и не можем) делать.
Вот что мы можем сделать:
Пример: Решить √ (x / 2) = 3
Начать с: √ (x / 2) = 3
Квадрат с двух сторон: x / 2 ^{= 3 ²}
Вычислить 3 ² = 9: x / 2 = 9
Умножьте обе стороны на 2: x = 18
И чем больше «трюков» и приемов вы изучите, тем лучше вы получите.
Специальные уравнения
Есть специальные способы решения некоторых типов уравнений.Узнайте, как …
Проверьте свои решения
Вы всегда должны проверять, что ваше «решение» действительно — это решение.
Как проверить
Возьмите решения и поместите их в исходное уравнение , чтобы увидеть, действительно ли они работают.
Пример: найти x:
2x x — 3 + 3 = 6 x — 3 (x ≠ 3)
Мы сказали x ≠ 3, чтобы избежать деления на ноль.
Умножим на (x — 3):
2x + 3 (x − 3) = 6
Переместите 6 влево:
2x + 3 (x − 3) — 6 = 0
Развернуть и решить:
2x + 3x — 9-6 = 0
5x — 15 = 0
5 (х — 3) = 0
х — 3 = 0
Это можно решить, если x = 3
Проверим:
2 × 3 3–3 + 3 = 6 3–3
Держись!
Это означает деление на ноль!
И вообще, мы сказали вверху, что x 3, так что…
x = 3 на самом деле не работает, поэтому:
Есть Нет Решение!
Это было интересно … мы думали, что нашли решение, но когда мы оглянулись на вопрос, мы обнаружили, что это запрещено!
Это дает нам моральный урок:
«Решение» дает нам только возможные решения, их нужно проверять!
Подсказки
Запишите, где выражение не определено (из-за деления на ноль, квадратного корня из отрицательного числа или по какой-либо другой причине)
Покажите все шаги , чтобы их можно было проверить позже (вами или кем-то еще)
Решение уравнений
Решение уравнений с одной переменной
An уравнение представляет собой математическое выражение, состоящее из знака равенства между двумя числовыми выражениями или выражениями переменных, как в 3 Икс + 5 знак равно 11 .
А решение к уравнению это число который может быть подключен к Переменная сделать истинное числовое утверждение.
Пример 1:
Подстановка 2 для Икс в
3 Икс + 5 знак равно 11
дает
3 ( 2 ) + 5 знак равно 11 , что говорит 6 + 5 знак равно 11 ; это правда!
Так 2 это решение.
По факту, 2 ЕДИНСТВЕННОЕ решение 3 Икс + 5 знак равно 11 .
Некоторые уравнения могут иметь более одного решения, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.
Пример 2:
Уравнение
Икс 2 знак равно Икс
имеет два решения, 0 а также 1 , поскольку
0 2 знак равно 0 а также 1 2 знак равно 1 .Никакой другой номер не работает.
Пример 3:
Уравнение
Икс + 1 знак равно 1 + Икс
верно для все реальные числа . Оно имеет бесконечно много решения.
Пример 4:
Уравнение
Икс + 1 знак равно Икс
является никогда верно для любой настоящий номер.Оно имеет нет решений .
В набор содержащее все решения уравнения, называется набор решений для этого уравнения.
Уравнение
Набор решений
3 Икс + 5 знак равно 11
{ 2 }
Икс 2 знак равно Икс
{ 0 , 1 }
Икс + 1 знак равно 1 + Икс
р (набор всех действительных чисел)
Икс + 1 знак равно Икс
∅ (пустой набор)
Иногда вас могут попросить решить уравнение над определенным домен .Здесь возможности для значений Икс ограничены.
Пример 5:
Решите уравнение
Икс 2 знак равно Икс
по домену { 0 , 1 , 2 , 3 } .
Это немного сложное уравнение; это не линейный и это не квадратичный , поэтому у нас нет хорошего метода ее решения.Однако, поскольку домен содержит только четыре числа, мы можем просто использовать метод проб и ошибок.
0 2 знак равно 0 знак равно 0 1 2 знак равно 1 знак равно 1 2 2 ≠ 2 3 2 ≠ 3
Итак набор решений в данном домене { 0 , 1 } .
Решение уравнений с двумя переменными
Решения для уравнения с одной переменной: числа . С другой стороны, решения уравнения с двумя переменными имеют вид заказанные пары в виде ( а , б ) .
Пример 6:
Уравнение
Икс знак равно y + 1
верно, когда Икс знак равно 3 а также y знак равно 2 .Итак, заказанная пара
( 3 , 2 )
является решением уравнения.
Есть бесконечно много других решений этого уравнения, например:
( 4 , 3 ) , ( 11 , 10 ) , ( 5.5 , 4.5 ) , и т.п.
Упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения с двумя переменными, можно изобразить на декартова плоскость . Результатом может быть линия или интересная кривая, в зависимости от уравнения. Смотрите также построение графиков линейных уравнений а также построение графиков квадратных уравнений .
Решение уравнений
Решение уравнений
Большинство людей впервые знакомятся с алгеброй через простые уравнения типа x + 3 = 7. Каждый думает о x как о «загадочное» число, и один из них разгадывает загадку, работая из предоставленной информации, каким должен быть x.Когда кто-то полностью привык к этой идее, тогда можно научили решать более сложные виды уравнения, такие как квадратные уравнения или одновременные линейные уравнения с двумя или тремя переменными.
Положительные целые числа настолько просты, что, когда мы дадим x = 4 как решение уравнения x + 3 = 7, имеем очевидно, чего-то добились: мы обнаружили, что x, которого мы не знали, оказывается 4, что является номер, с которым мы уже были знакомы. Однако, когда мы оставляем целые числа, это не всегда так просто сказать, в чем наше достижение.Рассмотрим, например, уравнение x ² = 2. Каково решение? Ну их два, но более очевидным является (положительный) квадратный корень из 2. И что это значит? Ну положительный квадрат корень из двух — это положительное действительное число, возводящее в квадрат к 2. Итак, чего мы достигли? Мы «узнали», что положительное решение уравнения x ² = 2 положительное действительное число, равное 2.
Это метод широкого применения. Для Например, наибольшее действительное решение уравнения пятой степени
x ⁵ -13x ⁴ + 2x ² -7x-1 = 0
— это не что иное, как {[-13,0,2, -7, -1]}.А что есть значение выражения {[-13,0,2, -7, -1]}? Ну для действительные числа a, b, c, d и e. Я определяю {[a, b, c, d, e]} как наибольшее действительное решение уравнения пятой степени
x ⁵ + топор ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e = 0
Аналогичным способом могу интегрировать e ^{-x ²} (просто определите функцию Phi (x) как интеграл от e ^{-t ²} от минус бесконечности до x), решать неприятные уравнения в частных производных и так далее.Или, на более простом уровне, я могу решить уравнения x + 5 = 0 (установив x равным -5, что определяется как «аддитивная инверсия» 5 — то есть числа, которое дает 0, когда вы добавляете к нему 5) и 3x = 1 (установив x = 1/3, «обратное» 3 — то есть число, которое, когда умножаешь на 3, дает 1).
Конечно, игра, в которую слишком легко играть, — это неинтересная игра, и все же большую часть времени, когда мы решать уравнения, мы чувствуем, что делаем некоторую работу, и узнавая что-то, чего мы не знали.Так что это правильный взгляд на то, что мы делаем? Есть два разных ответы на этот вопрос оба важны.
Одно решение
Это когда мы сосредотачиваемся на довольно простых уравнениях, таких как x ² = 2, 3x = 1 и x + 5 = 0, что мы, скорее всего, ощущать некоторую замкнутость в том, что мы делаем. Однако в каждый случай — это что-то нетривиальное в что происходит. Нетривиальное утверждение, что есть действительное число, равное 2 (как у меня обсуждалось на моих страницах на квадратный корень из двух и действительные числа как бесконечные десятичные дроби).Так в одну сторону оправдания нашей обычной практики, когда мы «решаем» уравнение x ² = 2 означает, что интересно, мы можем доказать, что существует единственное положительное реальное решение а второй корень — это имя, которое мы даем этому решению.
Такой ответ не подходит для x + 5 = 0. Непонятно, что означало бы доказать, что -5 существует. Однако даже здесь есть нетривиальное утверждение вовлечены, а именно, что положительные целые числа могут быть встроены в большее множество, которое мы называем целыми числами, в котором сложение и умножение могут быть определены в естественным путем.При определении на этом большом наборе они все еще обладают знакомыми свойствами, такими как коммутативность, но они имеют дополнительное очень полезное свойство, заключающееся в том, что каждое число имеет аддитивную инверсию.
Нечто подобное можно сказать об уравнении 3x = 1. Что интересно в решении, так это не то, что, как ни странно, 3 имеет мультипликативную инверсию, и нам удалось найти , а лучше, что кольцо целых чисел может быть встроен в поле, Q.
На самом деле алгебраисты (в отличие от аналитиков) принимают это отношение даже к квадратному корню из двух.Что интересно примерно это число меньше, чем примерно 1.4142135 … и более того, если мы объявим, что x имеет свойство, что x ² = 2 (не беспокоясь о том, что такое x — хотя мы знаем, что это не рациональное число), то множество всех чисел форма a + bx, с рациональными a и b, образует поле, которую мы называем Q (корень два). Этот второй, более абстрактный, подход к решению уравнений имеет большое значение, когда Рассмотрим уравнение x ² + 1 = 0. Снова это выглядит круглым, чтобы сказать, что решение — это i, где i — квадратный корень из -1, но опять же, что на самом деле интересно существование некоторого алгебраического структура — на этот раз поле комплексных чисел, который, конечно же, обладает множеством интересных свойств, не все из них алгебраические.
Другое решение.
Примеры, которые я рассмотрел до сих пор, предлагают следующий ответ на вопрос, что значит решить уравнение. Уравнение обращает внимание на неадекватность определенного система счисления (не содержит решения уравнение), и поэтому нужно расширить число система путем введения или «присоединения» к решению. С участием удачи, расширенная система обладает хорошими свойствами оригинальный, с дополнительным преимуществом, что больше уравнения могут быть решены.
Иногда мы можем считать, что более крупный система счисления уже определена, и что решить уравнение означает доказать, что оно имеет решение в большей системе счисления. Другими словами, что есть интересно существование (и после этого, свойства) решения, а не аккуратную формулу для Это. Это изменение отношения особенно важно с дифференциальными уравнениями — где, конечно, сейчас я речь идет не о системах счисления, а о системах функций.Известно, что уравнение f ‘(x) = e ^{-x ²} не имеет решения в терминах функций, таких как многочлены экспоненты и тригонометрические функции. Однако решение определенно существует (даже если мы не можем антидифференцировать, мы можем интегрировать Римана), и это очень интересно свойства, как вам скажет любой вероятностный.
Однако ни одно из приведенных выше представлений не кажется запечатлеть, что происходит, когда мы решаем квадратное уравнение например x ² = x + 1, получая решение (1 +/- корень 5) / 2.Чего мы достигаем, выполнив квадрат, или по формуле?
Ситуация, несомненно, иная, потому что хотя (1 +/- корень 5) / 2 является решением уравнение, это определенно неверно по определению . С другой стороны, часть решения, а именно квадратный корень из 5, это по определению решение. Похоже, что мы сделали считать само собой разумеющимся, что мы можем решить уравнение x ² = 5 (и аналогичные) и использовать это интересная способность решать уравнение, которое не такой простой формы.
Другими словами, когда мы «решаем» квадратичную, что мы действительно показываем, что проблема может сводится к решению особенно простой квадратичная — то есть одна из формы x ² = c. Аналогичное замечание можно сделать и об уравнении 3х = 7. Предположим, мы знаем, что умножение и сложение удовлетворяют всем аксиомам поля. Это позволяет нам для решения по определению уравнения вида 3x = 1, но чтобы решить уравнение 3x = 7, мы должны взять дополнительный шаг умножения обратного умножения 3 на 7.Таким образом, из существования мультипликативных обратных мы можем вывести решения всех уравнений вида ax = b (с не равным нулю).
Точно так же можно сказать, что e ^x по определению является решением дифференциального уравнения f ‘(x) = f (x) (при f (0) = 1). Как только это будет сделано, будет интересно знать, что новых определений не нужны в чтобы решить такие уравнения, как f » (x) -3f ‘(x) + 2f (x) = 0.
Это точка зрения, которую принимают, когда говорят, что уравнения пятой степени не могут быть решены.Можно показать, что решения существуют (как действительные или комплексные числа, или как абстрактные объекты, присоединенные к рациональным), но это невозможно уменьшить раствор квинтики до решение уравнения вида x ^m = c. Точнее говоря, формулы для решение общей квинтики, где формула выражает функцию коэффициентов и функцию представляет собой композицию обычных арифметических операций вместе с дополнительной операцией укоренения.
Решение уравнения | Encyclopedia.com
Методы решения простых уравнений
Решение более сложных уравнений
Решение многомерных уравнений
Решение уравнений второй и более высокой степени
Ресурсы
Решение уравнения представляет собой набор всех значений, которые при замене на неизвестных, сделайте уравнение истинным. Для уравнений с одним неизвестным, возведенным в единственную степень, для определения его решений используются два фундаментальных правила алгебры, включая свойство аддитивности и свойство мультипликативности.Решения для уравнений с несколькими неизвестными переменными находятся с использованием принципов системы уравнений. Уравнения с членами в степени, большей единицы, могут быть решены путем факторизации, а в некоторых конкретных случаях — квадратного уравнения.
Идея решения уравнений существовала еще со времен древних египтян и вавилонян. В то время они использовали простые алгебраические методы для поиска решений практических проблем, связанных с их повседневной жизнью.Методы, используемые древними, были сохранены в трактате, написанном арабским математиком Аль-Коваризми 825 г. н.э.). В эту работу он включает методы решения линейных уравнений, а также уравнений второй степени. Решения некоторых уравнений более высокой степени были разработаны в шестнадцатом веке итальянским математиком Джероламо Кардано (1501–1576).
Уравнение — это алгебраическое выражение, которое обычно связывает неизвестные переменные с другими переменными или константами. Например, уравнение x + 2 = 15 равно y ² = 4.Решение или корень уравнения — это любое значение или набор значений, которые можно подставить в уравнение, чтобы сделать его истинным утверждением. Для первого примера решение для x равно 13. Во втором примере есть два значения, которые делают утверждение истинным, а именно 2 и –2. Эти значения составляют набор решений уравнения.
Используя два основных правила алгебры, можно получить решения многих простых уравнений. Первое правило гласит, что одна и та же величина может быть добавлена к обеим сторонам уравнения без изменения решения уравнения.Например, уравнение x + 4 = 7 имеет решение x = 3. Согласно первому правилу, можно добавить любое число к обеим сторонам уравнения и при этом получить то же решение. При добавлении 4 к обеим сторонам уравнение становится x + 8 = 11, но решение остается x = 3. Это правило известно как аддитивное свойство равенства. Чтобы использовать это свойство для поиска решения уравнения, все, что требуется, — это выбрать правильное число для добавления. Решение предыдущего примера x + 4 = 7 можно найти, прибавив –4 к обеим сторонам уравнения.Если это сделано, уравнение упрощается до x + 4 — 4 = 7 — 4 или x = 3, и уравнение решается.
Второе фундаментальное правило, известное как мультипликативное свойство равенства, гласит, что каждый член в обеих частях уравнения может быть умножен или разделен на одно и то же число без изменения решения уравнения. Например, решением уравнения y — 2 = 10 является y = 12. Используя правило мультипликативности, можно получить эквивалентное уравнение с тем же набором решений, умножив обе части на любое число, например, 2.Таким образом, уравнение принимает вид 2y– 4 = 20, но решение остается y = 12. Это свойство также можно использовать для решения алгебраических уравнений. В случае уравнения 2x = 14 решение получается путем деления обеих частей на 2. Когда это делается 2x / 2 = 14/2, уравнение упрощается до x = 7.
Часто оба этих правила должны быть используется для решения одного уравнения, такого как уравнение 4x + 7 = 23. В этом уравнении к обеим сторонам уравнения добавляется –7, и оно упрощается до 4x = 16. Обе части этого уравнения затем делятся на 4 и он упрощается до решения x = 4.
Большинство уравнений даются в более сложной форме, которую можно упростить. Рассмотрим уравнение 4x — x — 5 = 2x + 7. Первый шаг в решении этого уравнения — объединить одинаковые члены с каждой стороны уравнения. В правой части нет одинаковых терминов, но 4x и –x в левой части похожи на термины. Это уравнение в упрощенном виде становится 3x — 5 = 2x + 7. Следующим шагом является удаление неизвестного из одной части уравнения. В этом примере это достигается добавлением –2x к обеим частям уравнения, что дает x — 5 = 7.Используя свойство аддитивности, решение получается добавлением 5 к обеим сторонам уравнения, так что x = 12.
Весь процесс решения алгебраических уравнений с одной переменной можно резюмировать следующими шагами. Во-первых, удалите скобки, умножив множители. Во-вторых, добавьте одинаковые термины с каждой стороны. В-третьих, удалите неизвестное с одной стороны уравнения, используя мультипликативные или аддитивные свойства. В-четвертых, удалите постоянный член со стороны неизвестного, используя аддитивное свойство.Наконец, исключите любой коэффициент при неизвестном, используя свойство мультипликативности.
Многие алгебраические уравнения содержат более одной переменной, поэтому полный набор решений не может быть найден с помощью методов, описанных до сих пор. Уравнения с двумя неизвестными называются линейными уравнениями и могут быть представлены общей формулой ax + by = c; где a, b и c — константы, а x и y — переменные. Решением этого типа уравнения будет упорядоченная пара x и y, которая делает уравнение истинным.Например, набор решений для уравнения x + y = 7 будет содержать все пары значений x и y, которые удовлетворяют уравнению, такие как (2,5), (3,4), (4,3), и т. д. В общем, чтобы найти решение линейного уравнения с двумя переменными, уравнение переписывается и решается в терминах одной переменной. Решением уравнения x + y = 7 становится любая пара значений, которая делает x = 7 — y истинным.
Часто существует несколько линейных уравнений, связывающих две переменные в одной системе.Все уравнения, связанные с переменными, известны как система уравнений, а их решение — это упорядоченная пара, которая делает каждое уравнение истинным. Эти уравнения решаются методами построения графиков, подстановки и исключения.
Уравнения, которые включают неизвестные в степени единицы, известны как уравнения первой степени. Также существуют уравнения второй степени, которые включают:
КЛЮЧЕВЫЕ УСЛОВИЯ
Аддитивное свойство — Свойство уравнения, в котором указано число, может быть добавлено к обеим сторонам уравнения, не влияя на его решение.
Факторинг — метод сведения уравнения более высокой степени к продукту уравнений более низкой степени.
Уравнение первой степени —Алгебраическое выражение, содержащее неизвестное в первой степени.
Мультипликативное свойство — Свойство уравнения, в котором указаны все члены уравнения, можно умножить на то же число, не влияя на окончательное решение.
Уравнение второй степени —Алгебраическое выражение, содержащее неизвестное во второй степени.
как минимум одна переменная, возведенная в квадрат или в степени двойки. Уравнения также могут быть третьей, четвертой и т. Д. Самым известным уравнением второй степени является квадратное уравнение, которое имеет общий вид ax ² + bx + c = 0; где a, b и c — константы, а a не равно 0. Решение этого типа уравнения часто можно найти с помощью метода, известного как факторинг.
Поскольку квадратное уравнение является произведением двух уравнений первой степени, оно может быть включено в эти уравнения.Например, произведение двух выражений (x + 2) (x — 3) дает одно квадратичное выражение x ² — x — 6. Два выражения (x + 2) и (x — 3) называются коэффициенты квадратного выражения x ² — x — 6. Приняв каждый коэффициент квадратного уравнения равным нулю, можно получить решения. В этом квадратном уравнении решениями являются x = –2 и x = 3.
Нахождение множителей квадратного уравнения не всегда легко. Для решения этой проблемы была изобретена квадратная формула, позволяющая решить любое квадратное уравнение.Квадратное уравнение для общего уравнения формулируется следующим образом: ax ² + bx + c = 0
Чтобы использовать квадратную формулу, числа для a, b и c подставляются в уравнение, и определяются решения для x .
См. Также Системы уравнений.
КНИГИ
Биттингер, Марвин Л. и Давик Элленбоген. Промежуточная алгебра: концепции и приложения . 7-е изд. Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing, 2006.
Ларсон, Рон. Precalculus . 7-е изд. Бостон, Массачусетс: Houghton Mifflin, 2007.
Лоренц, Фалько. Алгебра. Нью-Йорк: Springer, 2006.
Сетек, Уильям М. Основы математики . Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall, 2005.
Perry Romanowski
Введение в уравнения | Безграничная алгебра
Что такое уравнение?
В уравнении с одной переменной переменная имеет решение или значение, которое делает уравнение истинным.
Цели обучения
Объясните, что представляет собой уравнение для одной переменной, и причины использования этого уравнения.
Основные выводы
Введите здесь ключевые моменты.
Ключевые моменты
Уравнение — это математическое утверждение, которое утверждает эквивалентность двух выражений.
Когда уравнение содержит переменную, такую как [latex] x [/ latex], переменная считается неизвестным значением .
Значения переменных, которые делают уравнение истинным, являются решениями уравнения и могут быть найдены путем решения уравнения.
Решение уравнения можно проверить или проверить, подставив его значение вместо переменной в уравнении.
Ключевые термины
решение : значение, которое может быть заменено переменной, чтобы уравнение стало истинным.
неизвестно : переменная в уравнении, для которого необходимо решить.
уравнение : математическое утверждение, которое утверждает эквивалентность двух выражений.
Уравнение — это математическое утверждение, которое утверждает эквивалентность двух выражений.Например, утверждение, что «два плюс пять равняется семи», представлено уравнением [латекс] 2 + 5 = 7 [/ латекс].
Во многих случаях уравнение содержит одну или несколько переменных. Они по-прежнему записываются, помещая каждое выражение по обе стороны от знака равенства ([latex] = [/ latex]). Например, уравнение [латекс] x + 3 = 5 [/ латекс], читаемое как «[латекс] x [/ латекс] плюс три равно пяти», утверждает, что выражение [латекс] x + 3 [/ латекс] равно к значению 5.
В уравнениях может быть более одной переменной.Например, [латекс] x + y + 7 = 13 [/ latex] — это уравнение с двумя переменными. Однако этот урок посвящен исключительно уравнениям с одной переменной.
Решение уравнений
Если уравнение содержит такую переменную, как [latex] x [/ latex], эта переменная считается неизвестным значением . Во многих случаях мы можем найти возможные значения [latex] x [/ latex], которые сделают уравнение истинным. [латекс] [/ латекс]
Например, рассмотрим уравнение, о котором мы говорили выше: [латекс] x + 3 = 5 [/ латекс].Вы, наверное, уже догадались, что единственное возможное значение [latex] x [/ latex] — 2, потому что вы знаете, что [latex] 2 + 3 = 5 [/ latex] — истинное уравнение. Мы используем знак равенства, чтобы показать, что мы знаем значение данной переменной. В этом случае мы пишем [латекс] x = 2 [/ latex] (читается как «[latex] x [/ latex] равно двум»).
Значения переменных, которые делают уравнение истинным, называются решениями уравнения. В свою очередь, решение уравнения означает определение того, какие значения переменных делают уравнение истинным.
Уравнение выше было довольно простым; Нам было легко идентифицировать решение как [латекс] x = 2 [/ latex]. Однако становится полезным иметь процесс поиска решений для неизвестных, когда проблемы становятся более сложными.
Проверочные решения
Если число найдено как решение уравнения, то замена этого числа на место переменной должна сделать уравнение истинным. Таким образом, мы можем легко проверить, является ли число истинным решением данного уравнения.
Например, давайте посмотрим, является ли [latex] x = 3 [/ latex] решением уравнения [latex] 2x + 31 = 37 [/ latex].
Заменяя 3 на [латекс] x [/ латекс], получаем:
[латекс] 2 (3) + 31 = 37 \ 6 + 31 = 37 [/ латекс]
Это равенство является верным. Следовательно, мы можем сделать вывод, что [латекс] x = 3 [/ latex], по сути, является решением уравнения [латекс] 2x + 31 = 37 [/ latex].
Решение уравнений: сложение и умножение свойств равенства
Свойства равенств на сложение и умножение — полезные инструменты для решения уравнений.
Цели обучения
Решите уравнения, используя свойства равенства и умножения
Основные выводы
Ключевые моменты
Уравнения часто выражают отношения между заданными величинами (называемыми «известными») и величинами, которые еще предстоит определить (называемыми «неизвестными»).
Свойство сложения равенства гласит, что любое действительное число может быть добавлено к обеим сторонам уравнения.
Свойство вычитания равенства гласит, что любое действительное число может быть вычтено из обеих частей уравнения.Свойство умножения равенства гласит, что любое действительное число может быть умножено на обе части уравнения.
Свойство деления равенства гласит, что любое действительное число, отличное от нуля, может делить обе части уравнения.
Ключевые термины
равенство : состояние двух или более объектов, имеющих одинаковое значение.
Уравнение — это математическое утверждение, которое утверждает эквивалентность двух выражений. В современных обозначениях это обозначается размещением выражений по обе стороны от знака равенства (=).Например, [latex] x + 3 = 5 [/ latex] утверждает, что [latex] x + 3 [/ latex] равно 5.
Уравнения часто выражают отношения между заданными величинами («известные») и количествами, которые еще предстоит определить («неизвестные»). По математическому соглашению неизвестные обозначаются буквами в конце алфавита [латекс] (x, y, z…) [/ latex], а известные — буквами в начале алфавита [латекс] (a, b , c…) [/ латекс].
Процесс выражения неизвестных в уравнении через известные ему значения называется решением уравнения .В уравнении с одной неизвестной значение той неизвестной, для которой уравнение верно, называется решением или корнем уравнения .
Если известно, что какое-либо уравнение в алгебре истинно, следующие свойства могут быть использованы для создания другого истинного уравнения. Для каждого свойства предоставляется как формальное определение, так и определение на простом английском языке.
Дополнительное свойство равенства
Если [латекс] a = b [/ латекс], то [латекс] a + c = b + c [/ латекс].
Другими словами, к обеим сторонам уравнения можно прибавить любое действительное число.
Свойство равенства вычитания
Если [латекс] a = b [/ латекс], то [латекс] a-c = b-c [/ латекс].
Другими словами, из обеих частей уравнения можно вычесть любое действительное число.
Свойство равенства при умножении
Если [латекс] a = b [/ латекс], то [латекс] ca = cb [/ латекс].
Другими словами, любое действительное число можно умножить на обе части уравнения.
Разделение собственности равенства
Если [latex] a = b [/ latex] и [latex] c \ neq 0 [/ latex], то [latex] \ dfrac {a} {c} = \ dfrac {b} {c} [/ latex ].
Другими словами, любое действительное число, отличное от нуля, может делить обе части уравнения.
Решение уравнений с использованием свойств равенства
Пример 1
Счет за ремонт автомобиля составил 458 долларов, а стоимость запчастей — 339 долларов. Стоимость рабочей силы составляла 34 доллара в час. Напишите и решите уравнение, чтобы найти количество рабочих часов, затраченных на ремонт.
Пусть [latex] x [/ latex] равно неизвестному значению: количеству рабочих часов. Таким образом, уравнение:
[латекс] 34x + 339 = 458 [/ латекс].
На английском языке стоимость рабочей силы (34 доллара США), умноженная на количество рабочих часов [latex] (x) [/ latex], плюс стоимость деталей (339 долларов США), равняется общему счету за ремонт. (458 долларов).
Чтобы найти неизвестное, сначала отмените операцию сложения (используя свойство вычитания), вычтя 339 долларов из обеих частей уравнения:
[латекс] \ begin {align} 34x + 339-339 & = 458-339 \\ 34x & = 458-339 \\ 34x & = 119 \ end {align} [/ latex]
Затем отмените операцию умножения (используя свойство деления), разделив обе части уравнения на 34:
.
[латекс] \ begin {align} \ dfrac {34x} {34} & = \ dfrac {119} {34} \\ x & = \ dfrac {119} {34} \\ x & = 3.5 \ end {align} [/ latex]
Это означает, что ремонт автомобиля занял 3,5 часа.
Пример 2
Решите следующее уравнение, используя свойства равенства:
[латекс] \ dfrac {1} {8} x-5 = 3 [/ латекс]
Сначала используйте свойство сложения, чтобы добавить 5 к обеим сторонам уравнения:
[латекс] \ begin {align} \ dfrac {1} {8} x-5 + 5 & = 3 + 5 \\ \ dfrac {1} {8} x & = 3 + 5 \\ \ dfrac {1} {8 } x & = 8 \ end {align} [/ latex]
Во-вторых, используйте свойство умножения, чтобы умножить обе части уравнения на 8:
.
[латекс] \ begin {align} 8 \ cdot \ dfrac {1} {8} x & = 8 \ cdot 8 \\ x & = 64 \ end {align} [/ latex]
Это решение уравнения.
Рациональные уравнения
Рациональное уравнение устанавливает два рациональных выражения, равных друг другу, и включает неизвестные значения, которые делают уравнение истинным.
Цели обучения
Решите рациональные уравнения, найдя общий знаменатель
Основные выводы
Ключевые моменты
При решении рационального уравнения найдите общий знаменатель или воспользуйтесь методом перекрестного умножения.
Если знаменатели в рациональном уравнении совпадают, числители также должны быть одинаковыми.Поэтому используйте следующую стратегию: найдите общий знаменатель, установите числители, равные друг другу, а затем найдите переменную, если это необходимо.
Ключевые термины
перекрестное умножение : умножение числителя каждой стороны уравнения на знаменатель другой стороны.
рациональное выражение : набор математических терминов, которые можно выразить как частное двух полиномов.
знаменатель : Число или выражение, записанное под чертой в виде дроби (например,г., 2 дюйма [латекс] 1/2 [/ латекс]).
числитель : Число или выражение, записанное над линией дробной частью (например, 1 в [латексе] 1/2 [/ латексе]).
Решение рационального уравнения (те же знаменатели)
Для уравнения, которое включает две дроби или рациональные выражения, перекрестное умножение является полезной стратегией для упрощения уравнения или определения значения переменной.
Например, начните со следующего уравнения:
[латекс] \ dfrac {x} {8} = \ dfrac {3} {8} [/ latex]
Выход перекрестного умножения:
[латекс] \ begin {align} 8x & = 8 \ cdot 3 \\ 8x & = 24 \ end {align} [/ latex]
Теперь решите для [latex] x [/ latex], разделив обе части уравнения на [latex] 8 [/ latex]:
[латекс] \ begin {align} \ dfrac {8x} {8} & = \ dfrac {24} {8} \\ x & = 3 \ end {align} [/ latex]
Мы могли бы также использовать простую алгебру.Начните с того же уравнения:
[латекс] \ dfrac {x} {8} = \ dfrac {3} {8} [/ latex]
Изолируйте переменную слева, умножив обе стороны на [латекс] 8 [/ латекс]:
[латекс] \ left (\ dfrac {8} {1} \ right) \ cdot \ dfrac {x} {8} = \ left (\ dfrac {8} {1} \ right) \ cdot \ dfrac {3} {8} [/ латекс]
Знаменатели с обеих сторон сокращаются, давая:
[латекс] x = 3 [/ латекс]
Вы также можете прийти к такому выводу с помощью дедуктивного мышления. Обратите внимание, что рациональные выражения по обе стороны от знака равенства имеют одинаковый знаменатель.Если у вас есть рациональное уравнение, в котором знаменатели с обеих сторон уравнения одинаковы, , то их соответствующие числители также должны иметь одинаковое значение , даже если они могут быть выражены в разных терминах. Это предлагает стратегию: найти общий знаменатель, приравнять числители друг к другу и найти неизвестные.
Решение рационального уравнения (разные знаменатели)
Несколько реальных ситуаций можно смоделировать с помощью уравнений, которые устанавливают, что две дроби или отношения равны друг другу — например, поиск неизвестных размеров определенных форм.
Два треугольника называются «подобными», если у них равны соответствующие углы. Это то же самое, что и у треугольников с равным соотношением сторон.
Подобные геометрические формы: Два геометрических объекта похожи, если они оба имеют одинаковую форму или если один имеет такую же форму, что и зеркальное отображение другого. На этом изображении фигуры, показанные одним цветом, похожи.
Два треугольника ниже похожи. Если длина [латекс] \ overline {AC} [/ latex] составляет 10 дюймов, [latex] \ overline {EF} [/ latex] — 14 дюймов, а [latex] \ overline {AB} [/ latex] — 17 дюймов. , какой длины [латекс] \ overline {EG} [/ латекс]?
Подобные треугольники : Соответствующие углы аналогичной формы отмечены одним и тем же символом.Например, [латекс] \ угол A [/ латекс] (т.е. угол [латекс] A [/ латекс]) соответствует [латексу] \ углу E [/ латексу], и они равны.
Начнем с написания рационального уравнения:
[латекс] \ dfrac {\ overline {AC}} {\ overline {EF}} = \ dfrac {\ overline {AB}} {\ overline {EG}} [/ latex]
Теперь давайте подставим реальные числа:
[латекс] \ dfrac {10} {14} = \ dfrac {17} {x} [/ латекс]
Теперь перемножьте:
[латекс] \ begin {align} \ dfrac {10} {14} \ cdot (x) \ cdot (14) & = \ dfrac {17} {x} \ cdot (x) \ cdot (14) \\ 10 \ cdot x & = 14 \ cdot 17 \\ 10x & = 238 \ end {align} [/ latex]
Наконец, разделите обе части уравнения на 10:
.
[латекс] x = 23.8 [/ латекс] дюймов.
Следовательно, [латекс] \ overline {EG} [/ latex] имеет длину 23,8 дюйма.
Радикальные уравнения
Уравнения с радикалами часто решаются возведением в квадрат обеих сторон.
Цели обучения
Решите радикальное уравнение, возведя в квадрат обе части уравнения и проверив ложные решения
Основные выводы
Ключевые моменты
Решая уравнения, которые включают радикалы, начните с вопроса: есть ли [латекс] x [/ латекс] под квадратным корнем? Ответ на этот вопрос определит ваш подход к проблеме.
Если под квадратным корнем нет [латекс] x [/ латекс] — если под радикалами указаны только числа — уравнение может быть решено почти так же, как если бы оно не содержало радикалов.
Однако, если есть [латекс] x [/ латекс] под квадратным корнем, то переместите все, кроме этого радикала, в одну сторону, а затем возведите обе части уравнения в квадрат.
Квадрат обеих сторон потенциально может привести к посторонним решениям (например, ложным ответам), поэтому важно проверять свои ответы после решения!
Ключевые термины
корень : корень (числа или количества).
квадрат : вторая степень числа, значения, члена или выражения.
постороннее решение : ответ на уравнение, которое возникает в процессе решения проблемы, но не является правильным ответом на исходную проблему.
корень : число, которое при добавлении в уравнение дает ноль.
При решении уравнений, содержащих радикалы, начните с вопроса: есть ли [латекс] x [/ латекс] под квадратным корнем? Ответ на этот вопрос определит подход к проблеме.Если нет [латекс] x [/ латекс] под квадратным корнем — если только числа под радикалами — проблема может быть решена почти так же, как если бы в ней не было радикалов.
Решение радикальных уравнений без переменных под радикальным символом
Пример
Решите это уравнение:
[латекс] \ sqrt 2 x + 5 = 7- \ sqrt 3 x [/ латекс]
Сначала выделите переменную на одной стороне уравнения:
[латекс] \ begin {align} \ sqrt 2 x + \ sqrt 3 x + 5-5 & = 7-5- \ sqrt 3 x + \ sqrt 3 x \\ \ sqrt 2x + \ sqrt 3x & = 7-5 \ end { align} [/ латекс]
Затем, поскольку оба члена в левой части уравнения содержат [латекс] x [/ латекс], вычтите [латекс] x [/ латекс].(Помните, что [латекс] \ sqrt 2 [/ latex] и [latex] \ sqrt 3 [/ latex] — разные термины и не могут быть объединены.)
[латекс] x (\ sqrt 2+ \ sqrt 3) = 2 [/ латекс]
Теперь разделите обе части уравнения на [latex] (\ sqrt 2+ \ sqrt 3) [/ latex] и найдите [latex] x [/ latex]:
[латекс] x = \ dfrac 2 {\ sqrt 2 + \ sqrt 3} [/ латекс]
Ключевым моментом, на который следует обратить внимание при решении подобных задач, является то, что обе части уравнения не нужно возводить в квадрат. [latex] 2 \ sqrt {2} [/ latex] может показаться сложным, но это просто число — оно действует в уравнении точно так же, как число [latex] 10 [/ latex] или [latex] \ frac {1} {3} [/ latex] или [латекс] \ pi [/ latex].
Шаги к решению радикального уравнения с переменной под радикалом
Если под квадратным корнем стоит [латекс] x [/ latex] или переменная, то к проблеме нужно подойти иначе. В этом случае необходимо возвести обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня. 2 \\ 10x-2 & = 100 \\ 10x-2 + 2 & = 100 + 2 \ \ 10x & = 102 \\ \ dfrac {10x} {10} & = \ dfrac {102} {10} \\ x & = 10.2 \ end {align} [/ latex]
Однако, проверив этот результат, мы обнаруживаем, что [latex] \ sqrt {100} = — 10 [/ latex]. Это неверно, потому что квадратный корень определяется как только положительный корень, [латекс] 10 [/ латекс]. Это означает, что [латекс] 10.2 [/ латекс] — это посторонний раствор . Поскольку это единственный ответ, который мы нашли, ответ на эту проблему — «нет решения».
Эта задача демонстрирует, насколько важно проверять свои решения всякий раз, когда вы возводите обе части уравнения в квадрат.
Уравнения с абсолютным значением
Чтобы решить уравнение с абсолютным значением, сначала выделите абсолютное значение, а затем решите положительный и отрицательный случаи.
Цели обучения
Разбейте уравнение абсолютного значения на два уравнения, чтобы найти переменную
Основные выводы
Ключевые моменты
Абсолютные значения всегда положительны, поскольку они представляют собой расстояние.
Уравнение абсолютного значения может иметь одно, два или ни одного решения.
Ключевые термины
абсолютное значение : Величина (т.е. неотрицательное значение) числа безотносительно к его знаку; расстояние числа от нуля.
Абсолютное значение — одна из простейших функций и, как ни парадоксально, одна из самых проблемных. На первый взгляд, нет ничего проще: абсолютное значение просто означает , расстояние, на которое число находится от нуля . Абсолютное значение [latex] -5 [/ latex] равно [latex] 5 [/ latex], а абсолютное значение [latex] 5 [/ latex] также равно [latex] 5 [/ latex], поскольку оба [ latex] -5 [/ latex] и [latex] 5 [/ latex] находятся на расстоянии [latex] 5 [/ latex] единиц от [latex] 0 [/ latex].Математически это представлено следующим образом:
[латекс] \ левый | -5 \ справа | = 5 [/ латекс] и [латекс] \ влево | 5 \ право | = 5 [/ латекс]
Следующая числовая строка также иллюстрирует это определение:
Абсолютное значение: Абсолютное значение действительного числа можно рассматривать как его расстояние от нуля. На этом изображении, например, [латекс] \ left | -3 \ right | = 3 [/ латекс].
Типы решений абсолютных уравнений
Рассмотрим следующие три уравнения.Они выглядят очень похожими — меняется только количество — но решения совершенно разные. Эти три уравнения демонстрируют, как уравнения абсолютных значений могут иметь одно, два или ни одного решения.
Уравнение 1
[латекс] \ левый | х \ право | = 10 [/ латекс]
Какие значения делают это уравнение верным?
[latex] x = 10 [/ latex] работает, как и [latex] x = -10 [/ latex]. Поэтому наше решение:
[латекс] x = \ pm 10 [/ латекс]
Уравнение 2
[латекс] \ левый | х \ право | = -10 [/ латекс]
Здесь ни [latex] x = 10 [/ latex], ни [latex] x = -10 [/ latex] не работают.Напомним, что абсолютное значение — это мера расстояния, поэтому оно никогда не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет решения .
Уравнение 3
[латекс] \ левый | х \ право | = 0 [/ латекс]
Какие значения делают это уравнение верным? [latex] x = 0 [/ latex] — единственное решение.
Решение уравнений абсолютных значений
Следующие шаги описывают, как решить уравнение абсолютного значения:
Выделите член абсолютного значения алгебраически.
Создайте два отдельных уравнения: для первого сохраните новое уравнение, найденное на шаге 1, но удалите знаки абсолютного значения; во-вторых, сохраните уравнение, найденное на шаге 1, удалите знаки абсолютного значения, и умножьте одну сторону на -1.
Решите пару уравнений.
Например, давайте решим следующее уравнение относительно [латекс] x [/ латекс]:
[латекс] 3 \ левый | 2x + 1 \ вправо | -7 = 5 [/ латекс]
Шаг 1
Сначала алгебраически выделите абсолютное значение, прибавив 7 к обеим частям уравнения, а затем разделив обе части на 3:
[латекс] \ begin {align} 3 \ left | 2x + 1 \ вправо | -7 +7 & = 5 +7 \\ 3 \ left | 2x + 1 \ вправо | & = 12 \\ \ dfrac {3 \ left | 2x + 1 \ right |} {3} & = \ dfrac {12} {3} \\ \ left | 2x + 1 \ вправо | & = 4 \ end {align} [/ latex]
Шаг 2
Теперь составьте два отдельных уравнения.Первое — это уравнение, которое мы нашли на шаге 1, но без знаков абсолютного значения:
[латекс] 2x + 1 = 4 [/ латекс]
Второе уравнение — это уравнение, которое мы нашли на шаге 1, без знаков абсолютного значения, и с другой стороной, умноженной на -1:
.
[латекс] 2x + 1 = -4 [/ латекс]
Шаг 3
Теперь решите оба уравнения. Для первого:
[латекс] \ begin {align} 2x + 1 & = 4 \\ 2x + 1-1 & = 4-1 \\ 2x & = 3 \\ \ dfrac {2x} {2} & = \ dfrac {3} {2} \\ x & = \ dfrac {3} {2} \ end {align} [/ latex]
Для второго уравнения:
[латекс] \ begin {align} 2x + 1 & = — 4 \\ 2x + 1-1 & = — 4-1 \\ 2x & = — 5 \\ \ dfrac {2x} {2} & = \ dfrac {-5 } {2} \\ x & = \ dfrac {-5} {2} \ end {align} [/ latex]
Следовательно, у этой задачи есть два ответа:
[латекс] x = \ dfrac {3} {2} [/ latex] и [латекс] x = \ dfrac {-5} {2} [/ latex]
Определение того, является ли целое число решением уравнения
Результаты обучения
Определить, является ли целое число решением уравнения
Определить, является ли число решением уравнения
Решение уравнения похоже на поиск ответа на загадку.Алгебраическое уравнение утверждает, что два алгебраических выражения равны. Решение уравнения — это определение значений переменной, которые делают уравнение истинным. Любое число, которое делает уравнение истинным, называется решением уравнения. Это ответ на загадку!
Решение уравнения
Решение уравнения — это значение переменной, которое делает истинное утверждение при подстановке в уравнение.
Процесс поиска решения уравнения называется решением уравнения.
Найти решение уравнения — это значит найти значение переменной, которая делает уравнение истинным. Можете ли вы распознать решение [латекс] x + 2 = 7? [/ Latex] Если вы сказали [latex] 5 [/ latex], вы правы! Мы говорим, что [latex] 5 [/ latex] является решением уравнения [latex] x + 2 = 7 [/ latex], потому что когда мы заменяем [latex] x [/ latex] [latex] 5 [/ latex], полученное утверждение верно.
[латекс] \ begin {array} {} \\ \ hfill x + 2 = 7 \ hfill \\ \ hfill 5 + 2 \ stackrel {?} {=} 7 \ hfill \\ \\ \ hfill 7 = 7 \ quad \ checkmark \ hfill \ end {array} [/ latex]
Поскольку [latex] 5 + 2 = 7 [/ latex] — верное утверждение, мы знаем, что [latex] 5 [/ latex] действительно является решением уравнения.
Символ [latex] \ stackrel {?} {=} [/ Latex] спрашивает, равна ли левая часть уравнения правой части. Как только мы узнаем, мы можем изменить знак равенства [latex] \ text {(=)} [/ latex] или знак неравенства [latex] \ text {(\ not =).} [/ Latex]
Определите, является ли число решением уравнения.
Подставьте номер переменной в уравнение.
Упростите выражения обеих сторон уравнения.
Определите, истинно ли полученное уравнение.
Если это правда, число является решением.
Если это не так, число не является решением.
, пример
Определите, является ли [latex] x = 5 [/ latex] раствором [latex] 6x — 17 = 16 [/ latex].
Решение
[латекс] 6x-17 = 16 [/ латекс]
Замените x [латекс] \ color {red} {5} [/ latex]. [латекс] 6 \ cdot \ color {красный} {5} -17 = 16 [/ латекс]
Умножить. [латекс] 30-17 = 16 [/ латекс]
Вычесть. [латекс] 13 = 16 [/ латекс]
Итак, [латекс] x = 5 [/ latex] не является решением уравнения [латекс] 6x — 17 = 16 [/ latex].
, пример
Определите, является ли [латекс] y = 2 [/ latex] раствором [латекса] 6y — 4 = 5y — 2 [/ latex].
Показать решение
Решение
Здесь переменная появляется с обеих сторон уравнения. Мы должны заменить [latex] 2 [/ latex] на каждый [latex] y [/ latex].
[латекс] 6y-4 = 5y-2 [/ латекс]
Замените y [латекс] \ color {red} {2} [/ latex]. [латекс] 6 (\ color {red} {2}) — 4 = 5 (\ color {red} {2}) — 2 [/ latex]
Умножить. [латекс] 12-4 = 10-2 [/ латекс]
Вычесть. [латекс] 8 = 8 [/ латекс]
Поскольку [latex] y = 2 [/ latex] приводит к истинному уравнению, мы знаем, что [latex] 2 [/ latex] является решением уравнения [latex] 6y — 4 = 5y — 2 [/ латекс].
В следующем видео мы покажем больше примеров того, как проверить, является ли целое число решением линейного уравнения.

Основы решения уравнений за один или несколько шагов (Алгебра 1, Как решать линейные уравнения) — Mathplanet
Формулы очень распространены в физике и химии, например, скорость равна расстоянию, разделенному на время. Таким образом, мы используем общие символы для скорости ( v ), расстояния ( d ) и времени (t) и выражаем это так:
$$ v = \ frac {d} {t} $$
Мы можем просто описать формулу как переменную и выражение, разделенные знаком равенства между ними.Другими словами, формула — это то же самое, что и уравнение.
Пример
Книжный клуб требует членского взноса в размере 10 долларов в дополнение к 2 долларам, взимаемым за каждую заказанную книгу. Если бы мы перечислили стоимость заказа нескольких книг, это выглядело бы так:
Кол-во книг Стоимость
1 10 + 2 ∙ 1 = 12
2 10 + 2 ∙ 2 = 14
3 10 + 2 ∙ 3 = 16
4 10 + 2 ∙ 4 = 18
5 10 + 2 ∙ 5 = 20
x 10 + 2x
Если мы обозначим общую стоимость книжного клуба как C, мы можем вывести следующую формулу для выражения:
$$ C = 10 + 2x $$
Если мы затем захотим узнать, сколько книг мы можем получить в книжном клубе за 30 долларов, мы можем продолжить заполнение приведенной выше таблицы или использовать свойства уравнений, которые мы рассмотрели в предыдущем разделе.
Мы можем купить 10 книг за 30 долларов.
Когда мы хотим решить уравнение, включающее одну неизвестную переменную, например x в приведенном выше примере, мы всегда стремимся изолировать неизвестную переменную. Можно сказать, что все остальное мы ставим по ту сторону знака равенства. Всегда рекомендуется сначала изолировать термины, включающие переменную, от констант, чтобы начать с них, как мы делали выше, путем вычитания или сложения перед делением или умножением коэффициента перед переменной.Пока вы делаете одно и то же по обе стороны от знака равенства, вы можете делать все, что хотите, и в каком порядке.
Выше мы начали с вычитания константы с обеих сторон. Вместо этого мы могли бы начать с деления на 2. Это выглядело бы как
$$ \ frac {30} {{\ color {blue} 2}} = \ frac {10 + 2x} {{\ color {blue} 2}} $$
$$ \ frac {30} {{\ color {blue} 2}} = \ frac {10} {{\ color {blue} 2}} + \ frac {2x} {{\ color {blue} 2}}
$
$$ 15 = 5 + x $$
$$ 15 \, {\ color {blue} {- \, 5}} = 5 + x \, {\ color {blue} {- \, 5}} $$
$$ 10 = x $$
Опять тот же ответ, просто подтверждающий точку зрения.
Если ваше уравнение содержит одинаковые члены, желательно начать с объединения одинаковых членов, прежде чем продолжить решение уравнения.
Пример
$$ 5x + 14 + 2x + 2 = 30 $$
Начните с объединения одинаковых терминов (все термины, включая одну и ту же переменную x и все константы)
$$ \ влево (5x + 2x \ вправо) + \ влево (14 + 2 \ вправо) = 30 $$
$$ 7x + 16 = 30 $$
Теперь пора изолировать переменную от постоянной части. Это делается путем вычитания 16 с обеих сторон
$$ 7x + 16 \, {\ color {green} {- \, 16}} = 30 \, {\ color {green} {- \, 16}} $$
$$ 7x = 14 $$
Разделите обе стороны на 7, чтобы изолировать переменную
$$ \ frac {7x} {{\ color {green} 7}} = \ frac {14} {{\ color {green} 7}} $$
$$ x = 2 $$
Если у вас есть уравнение, в котором у вас есть переменные с обеих сторон, вы делаете в основном то же самое, что и раньше.Собираешь все подобные термины. Раньше вы работали, сначала собирая все постоянные члены с одной стороны и сохраняя переменные члены с другой. То же самое и здесь. Вы собираете все постоянные члены с одной стороны и переменные члены — с другой. Обычно рекомендуется собирать все переменные на стороне, которая имеет переменную с наивысшим коэффициентом, т.е. в приведенном ниже примере больше x: es на левой стороне (4x) по сравнению с правой стороной (2x), и, следовательно, мы собираем все x: es с левой стороны.
Пример
$$ 4x + 3 = 2x + 11 $$
вычесть 2x с обеих сторон
$$ 4x + 3 \, {\ color {blue} {- \, 2x}} = 2x + 11 \, {\ color {blue} {- \, 2x}} $$
Теперь оно выглядит как любое другое уравнение
$$ 2x + 3 = 11 $$
вычесть 3 с обеих сторон
$$ 2x + 3 \, {\ color {blue} {- \, 3}} = 11 \, {\ color {blue} {- \, 3}} $$
$$ 2x = 8 $$
Разделить на 2 с обеих сторон
$$ \ frac {2x} {{\ color {blue} 2}} = \ frac {8} {{\ color {blue} 2}} $$
$$ x = 4 $$
В начале этого раздела мы показали формулу для расчета скорости, где скорость (v) равна расстоянию (d), деленному на время (t), или
$$ v = \ frac {d} {t} $$
Если мы случайно захотим узнать, сколько грузовик проезжает за 3 часа со скоростью 60 миль в час, мы можем использовать приведенную выше формулу и переписать ее, чтобы вычислить расстояние, d.
$$ \ frac {d} {t} \, {\ color {green} {\ cdot \, t}} = v \, {\ color {green} {\ cdot \, t}} $$
$$ d = v \ cdot t $$
Когда это будет сделано, мы можем просто подставить наши числа в формулу и вычислить ответ
$$ d = 60 \ cdot 3 = 180 $$
Грузовик преодолевает 180 миль за 3 часа.
Это верно для всех формул и уравнений.
Видеоурок
Решите уравнение
$$ 3 \ влево (x + 2 \ вправо) — 3 + x + 17 = 40 $$

.

Уравнение	Набор решений
3 Икс + 5 знак равно 11	{ 2 }
Икс 2 знак равно Икс	{ 0 , 1 }
Икс + 1 знак равно 1 + Икс	р (набор всех действительных чисел)
Икс + 1 знак равно Икс	∅ (пустой набор)

	[латекс] 6x-17 = 16 [/ латекс]
Замените x [латекс] \ color {red} {5} [/ latex].	[латекс] 6 \ cdot \ color {красный} {5} -17 = 16 [/ латекс]
Умножить.	[латекс] 30-17 = 16 [/ латекс]
Вычесть.	[латекс] 13 = 16 [/ латекс]

	[латекс] 6y-4 = 5y-2 [/ латекс]
Замените y [латекс] \ color {red} {2} [/ latex].	[латекс] 6 (\ color {red} {2}) — 4 = 5 (\ color {red} {2}) — 2 [/ latex]
Умножить.	[латекс] 12-4 = 10-2 [/ латекс]
Вычесть.	[латекс] 8 = 8 [/ латекс]

Кол-во книг	Стоимость
1	10 + 2 ∙ 1 = 12
2	10 + 2 ∙ 2 = 14
3	10 + 2 ∙ 3 = 16
4	10 + 2 ∙ 4 = 18
5	10 + 2 ∙ 5 = 20
x	10 + 2x

Решить уравнение значит: что значит решить уравнение? — Школьные Знания.com

Как графически решить уравнение?

Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Понятие уравнения

Какие бывают виды уравнений

Как решать простые уравнения

Примеры линейных уравнений

Уравнения с одной переменной

Уравнение и его корни

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Добавить комментарий Отменить ответ