Решить симплекс методом онлайн: Симплекс метод онлайн | Калькулятор симплекс-метода | Решение основной задачи линейного программирования

Пример. Найти решение матричной игры с платежной матрицей:

Решение. Матричной игре с данной платежной матрицей будет соответствовать пара двойственных задач линейного программирования:

Найти минимум функции F(Х) = x1 + x2 + x3 при ограничениях:

Найти максимум функции T(Y) = y1 + y2 + y3 при ограничениях:

Здесь

Решаем последнюю задачу симплексным методом.

Решение этой задачи

.

Тогда цена игры а вероятности применения стратегий игрока II будут:

Из симплекс-таблицы находим решение двойственной задачи:

Следовательно, вероятности применения стратегий игрока I:

,

Таким образом, оптимальные смешанные стратегии игроков:

, , .

Как советские ученые создали «атомную бомбу» в линейном программировании – Наука – Коммерсантъ

текст Александр Горяшко доктор физико-математических наук

иллюстрации Галя Панченко

Понятие «сложность» как фундамент компьютерной науки

Когда школьника учат решать задачи, понятие «сложность» для него исключительно субъективно, таким и остается на всю жизнь. Да и математики на протяжении веков не были озабочены объективной оценкой сложности задач, пока к этому их не подтолкнуло появление компьютеров. На первых порах теория алгоритмов ограничилась бинарной классификацией сложности: класс задач, которые можно решить за конечное время, и класс задач, для которых можно доказать принципиальную невозможность решения в конечное время. До середины прошлого века ученый, предлагающий новый алгоритм, не считал необходимым оценивать время его работы. Важно было лишь, что оно конечно, то есть алгоритм сходится. А неявно предполагалось, что усовершенствование компьютеров делает вопрос об оценке необходимых ресурсов бессмысленным.

Но в СССР с 1960-х годов возникает несколько математических семинаров, участники которых пытаются понять, что такое «сложность» решения задачи в конечное время. Результаты математические оказались чрезвычайно интересными и неожиданными. Результаты же «метафизические» могли вызвать тревогу. Стало очевидно, что теория алгоритмической сложности плохо дружит с так называемым здравым смыслом, а получение новых результатов, как правило, требует отказа от привычных методов и подходов.

Задача тысячелетия

В 1970 году Л.А. Левин — ученик А.Н. Колмогорова и А.А. Маркова и недавний выпускник мехмата МГУ — сделал работу, которая у многих специалистов вызвала разве что недоумение. Трехстраничная заметка «Универсальные задачи перебора» была опубликована в журнале «Проблемы передачи информации» только в 1973 году, на третий год после поступления. А годом ранее (в Союзе об этом тогда никто не подозревал) вышла статья американского математика Р.М. Карпа «Сводимость комбинаторных проблем». Эти пионерские статьи и последовавший за ними шквал работ, развивающих идеи Левина и Карпа, предопределили пути развития всей области computer sciences на следующие десятилетия.

В 2000 году Математический институт Клея сформулировал семь «задач тысячелетия». За решение каждой обещан The Millennium Prize в $ 1 000 000. Первой значилась проблема, поставленная в работах Левина и Карпа и до сих пор не решенная.

Современная теория алгоритмической сложности ограничивается рассмотрением двух ее классов: экспоненциальной и полиномиальной. Эти названия показывают, с какой именно трудоемкостью (по порядку величины числа шагов вычисления, например) возможно решение любой задачи из заданного класса. В качестве аргумента функции, определяющей трудоемкость, служит длина n того входного слова, которое задает эту задачу. Если число шагов вычисления оценивается сверху некоторым полиномом от n, соответствующую задачу называют полиномиально разрешимой. Принято считать, что если задача полиномиально разрешима, то она может быть решена за «приемлемое» время.

В работах Левина и Карпа было доказано существование универсальных задач, из полиномиальной разрешимости которых следует полиномиальная разрешимость любой так называемой переборной задачи. В настоящее время известно более 2000 таких задач, причем техника сводимости позволяет (как правило, без особого труда) каждую новую вычислительную задачу проверять на «универсальность».

Таким образом, нет необходимости отдельно выяснять трудоемкость задачи — достаточно установить ее сводимость к любой из полиномиально разрешимых задач. А после этого остается «самая малость» — хотя бы для одной из тысяч универсальных задач найти алгоритм, который позволит решить ее за полиномиальное время. Если такой алгоритм найдется, станет ясно, что все остальные задачи из этого класса решаются в полиномиальное время тем же самым алгоритмом. А если хотя бы для одной из них будет доказано, что такого алгоритма не существует, это будет означать отсутствие полиномиальной разрешимости для любой универсальной задачи. Так что институт Клея не продешевил, назначая приз за решение вопроса о совпадении классов переборных и полиномиально разрешимых задач. Хотя подавляющая часть специалистов не верит, что задачи из класса универсальных переборных могут быть полиномиально разрешимы (только 9 из 100 опрошенных математиков допустили такую возможность), точного доказательства еще никто не представил.

Сложность решения «простых» задач линейного программирования

Советский математик Л.В. Канторович и американец Тьяллинг Купманс стали лауреатами Нобелевской премии по экономике 1975 года за работы по «оптимальному распределению ресурсов». Результаты их работ применяются при решении практических задач оптимального проектирования всего, что производится в современном обществе, — особенно после того, как в 1947 году американский математик Дж. Данциг предложил алгоритм решения задач линейного программирования, которому он дал имя симплекс-метода. Это до сих пор наиболее известный и используемый вычислительный алгоритм.

Его эффективность подтверждалась решением сотен тысяч задач линейного программирования. Для сонма прикладников сомнения в эффективности симплекс-метода были равноценны сомнениям в законе тяготения. Но у чистых математиков основания для сомнений были. Ведь в процессе решения симплекс-метод перебирает по специальным правилам некоторое число вариантов. Опасность в том, что это число растет экспоненциально с ростом числа переменных. Почему же симплекс-метод, который в принципе может столкнуться с необходимостью перебора астрономического числа вариантов, на практике с этим не сталкивается?

25 лет потребовалось, чтобы гипотезе о необыкновенной эффективности симплекс-метода пришел конец: появились примеры задач линейного программирования, для которых оптимальное решение симплекс-методом невозможно быстрее, чем за экспоненциально растущее (с ростом параметров задачи) число шагов. Прикладники не беспокоились — они продолжали использовать симплекс-метод и получать оптимальные решения за приемлемое время. Но математики не были готовы смириться со странной ситуацией: существуют задачи, на которых симплекс-метод не должен сходиться, но почему-то сходится. Как же устроен класс задач линейного программирования: то ли доля сложных задач в нем мала, то ли этот класс задач полиномиально разрешим, но симплекс-метод не обеспечивает полиномиальных оценок трудоемкости. В последнем случае следует искать другой алгоритм, который любую задачу из класса задач линейного программирования будет решать за время, растущее не быстрее полинома от числа переменных и ограничений.

О разрешимости задач в линейном программировании

Соученик Л.А. Левина А.С. Немировский после защиты кандидатской диссертации оказался в теоретическом отделе одного московского «почтового ящика». Начальник отдела профессор Д.Б. Юдин предложил новичку исследовать «сложность задач математического программирования». Проблемами алгоритмической сложности Немировский дотоле не интересовался, а дискретную математику вообще не жаловал. Потому и обратился к тому, что понимал: подходу к оценке сложности непрерывных задач, предложенному проф. Н.С. Бахваловым для оценок скорости сходимости решений дифференциальных и интегральных уравнений.

Если в компьютерной науке оценки сложности носили дискретный характер (число шагов вычислений, количество элементов в схемах или букв в формулах), то методология Бахвалова предполагала, что численный метод решения может быть связан с накоплением информации о решаемой задаче — путем задания «оракулу» вопросов из заданного множества. Минимально возможное количество вопросов, достаточных, чтобы сформировать решение с заданной точностью, как раз и оценивало «сложность» задачи. Подход предполагает, что «оракул» не всеведущ, то есть не может сразу указать решение задачи (ему можно задавать только локальные вопросы типа: «Куда пойти на следующем шаге?»). За методом, предложенным Немировским, в мире впоследствии закрепилось название «метод эллипсоидов».

После того как эти результаты Немировского были опубликованы, Л.Г. Хачиян, молодой математик, работавший в Вычислительном центре АН СССР, заметил, как их можно «подать» наиболее впечатляющим образом. Он показал, что на основании метода эллипсоидов можно доказать полиномиальную разрешимость задач линейного программирования. Вскоре после опубликования работы Хачияна американская New York Times вышла со статьей, озаглавленной «Русская атомная бомба в линейном программировании». В 1982 году Mathematical Optimization Society and the American Mathematical Society наградили А. Немировского, Л. Хачияна и Д. Юдина премией Фалкерсона (Fulkerson Prize) за статьи, в которых содержались результаты, позволившие получить полиномиальный алгоритм для задач линейного программирования.

В Штатах сразу же после появления информации об оптимальном методе развернулась работа по доведению алгоритмов «эллипсоидального типа» до программной реализации, способной соперничать с лучшими версиями симплекс-метода. Уже в новом тысячелетии были продемонстрированы примеры задач, для которых алгоритмы этого класса работают в сотни раз эффективнее стандартных реализаций симплекс-метода. А в американских учебниках по исследованию операций алгоритмы, основанные на методе эллипсоидов, без обиняков называют «методом Кармаркара» по имени американского математика, который усовершенствовал программную реализацию метода, изложенную в статье Хачияна.

Оптимальность vs робастность

В 1997 году А.С. Немировским сделан решающий шаг, который не удался его предшественникам (в том числе и нобелевскому лауреату Г. Саймону). Он впервые обнаружил, что задачи линейного программирования могут обладать особенностями, крайне неприятным для пользователя. Разница (даже в доли процента) между данными, которыми оперирует оптимальный алгоритм решения, и теми, которые будут иметь место в случае применения полученного решения, может привести к тому, что в большой доле задач полученное оптимальное решение окажется не только не оптимальным, но и вообще недопустимым, то есть будут нарушены заданные ограничения.

Следовательно, доверять оптимальному решению можно лишь, если заранее определить подверженность задачи «болезни неопределенности» — и найти «лекарство». Немировский предложил математически строгий способ, который обеспечивает надежность применения оптимального решения, назвав его «робастная оптимизация» (англ. robust— надежный, устойчивый, грубый). Этот способ менял и традиционную постановку задач линейного программирования, и алгоритм ее решения. Задача решалась при дополнительном условии, что все коэффициенты могут принимать любые значения из некоторого множества — множества неопределенности. Какими бы ни оказались коэффициенты, если они принадлежат множеству неопределенности, решение обязательно будет допустимым (точнее, робастно допустимым). Робастная оптимизация находит оптимальное решение только среди всех робастно допустимых решений.

Введение множества неопределенностей в стандартную задачу линейного программирования превращает ее в некоторое множество задач. А значит, стандартные методы решения задач линейного программирования непригодны. Но такая задача может быть решена как задача «выпуклой оптимизации», а для этого класса Немировским ранее уже были получены оптимальные алгоритмы решения (метод эллипсоидов). Это открывало дорогу для широкого применения методов робастной оптимизации в прикладных задачах. Сразу после опубликования первых результатов идеи робастности были подхвачены всеми, кто на практике или в теории занимался теорией оптимизации. Было ощущение, что именно такого подхода специалисты ожидали долгие годы.

Любой прикладник мечтает, чтобы полученное им решение обеспечивало максимум возможного в реальном мире. До сих пор математика предлагала ему этот реальный мир задать некоторым вероятностным распределением и максимизировать ожидаемый результат. Хотя все понимали, что задание такого распределения в большинстве реальных ситуаций не более чем фикция. Робастная оптимизация гарантирует максимум возможного при самом неблагоприятном стечении обстоятельств. Если вдуматься, это единственное, на что можно всерьез рассчитывать в реальном мире, не будучи патологическим оптимистом. И хотя за все приходится платить, в данном случае природа оказалась «не злонамеренна» — плата за гарантированно допустимое решение вполне приемлема как по сложности алгоритма (он полиномиальный), так и по потере в качестве решения, которое во многих случаях лишь на единицы процентов хуже номинальных оптимальных решений.

Робастная оптимизация — наиболее последовательная из существующих сегодня методология преодоления неопределенности будущего. Признавая невозможность победить неопределенность, мы согласны платить, но платим справедливую цену.

Одним из первых больших проектов, в где была испробована робастная оптимизация, стал проект ЕС по оптимальному распределению водных ресурсов в крупных городах. Нужно было выбрать такой режим насосных станций, чтобы он обеспечил минимальную стоимость энергии и учел некоторые гидравлических ограничений (например, давление). Почти все данные в реальных гидравлических системах (истинные диаметры труб, электрические и гидравлические характеристики насосов, поведение потребителей) — это трудно измеряемые и предсказываемые величины.

Немировский считал, что решение можно найти с помощью точных методов робастной оптимизации. Дело в том, что многие практические задачи оптимизации обладают достаточно большим множеством «почти оптимальных» решений. Игнорируя неопределенность и решая задачу с номинальными данными, такие методы, как симплекс, получают в качестве решения граничную точку допустимого множества, которая часто становится недопустимой при возмущении данных. Робастные методы выбирают в допустимом множестве не граничное, а внутреннее решение, и, если множество «почти оптимальных» решений номинальной задачи достаточно массивно, близкое к оптимальному внутреннее решение всегда будет робастно допустимым [рис. ].

Робастное решение — всегда допустимое — Задача линейного программирования может быть представлена в виде многогранника ограничений. Область внутри многогранника — это множество допустимых решений, а вне его — область недопустимых решений, так как нарушаются условия задачи. Известно, что оптимальное решение всегда находится в одной из вершин многогранника, и симплекс-метод обходит вершины в поиске оптимального решения. Но малейшее отклонение от условий может допустимое решение превратить в недопустимое. В отличие от симплекса, робастное решение ищется как внутреннее и поэтому всегда остается допустимым, хотя может быть несколько хуже истинно оптимального решения.

Фото: Галя Панченко

Численное моделирование показало, что по затрачиваемой энергии метод вполне сопоставим с эвристическими подходами, но, в отличие от них, точно указывает, в каком интервале неопределенности исходных данных он робастно допустим. Задача оптимального распределения водных ресурсов — типичная задача управления любыми ресурсами: и распределение энергоресурсов в электрических сетях, и выбор оптимальных биржевых портфелей.

Область практического применения робастной оптимизации давно вышла за пределы линейного программирования и включает в себя, например, оптимизацию инженерных конструкций и нанофотонный инжиниринг. В 2003 году Institute for Operations Research and the Management Sciences за работы по робастной оптимизации наградил А.С. Немировского премией Дж. Неймана (John von Neumann Theory Prize).

Как можно ошибиться на 15%, сделав неверное допущение в 1%

Одной из причин существенного влияния малых воздействий на результат являются «уравнения баланса», наиболее общий тип уравнений, как в экономике, так и во многих физических процессах.

Вот простой пример. Пусть работа автозавода описана линейной моделью, в которой показателем качества является годовая прибыль. Предположим, что в соответствующей модели оптимизации (в задаче линейного программирования) необходимо максимизировать прибыль. Среди различных линейных неравенств обязательно возникнет уравнение баланса следующего вида:

(количество проданных за год автомобилей) х (средняя цена одного проданного автомобиля) — (количество произведенных за год автомобилей) х (себестоимость производства одного автомобиля) Предположим, за год было произведено 200 000 автомобилей и себестоимость производства каждого составляет 10 000 условных единиц. Анализ рынка показал, что можно будет продать не менее 180 000 автомобилей по цене 14 000. Таким образом, предполагаемая прибыль должна быть не меньше 180 000 x 14 000-200 000 x 10 000 = 5,2 x 108 условных единиц. Теперь представим, что в связи с неточностью экономических прогнозов реально было продано не 180 000 автомобилей, а 178 000 (разница чуть больше 1%), а себестоимость каждого из реально произведенных составила 10 200 условных единиц (разница 2%). Реальная прибыль составит 178 000 x 14 000-200 000 x 10200 = 4,5×108 условных единиц. Неточность в 1-2 процента в расчетных данных привела к ошибке в значении предполагаемой прибыли в 15%. А ведь реальные расхождения данных, как правило, превышают один процент.

Люди

Леонид Анатольевич Левин — Род. в 1948 г., российский математик. В 1978 году эмигрировал в США, профессор Бостонского университета. Теория вычислительной сложности.

Ричард М. Карп — Род. в 1935 г., американский математик. Теория вычислительной сложности, биоинформатика.

Аркадий Семенович Немировский — Род. в 1947 г., российский математик, доктор физико-математических наук, работает в ЦЭМИ РАН. Автор метода эллипсоидов и робастной оптимизации.

Леонид Витальевич Канторович — 1912-1986, российский математик и экономист. Академик, Нобелевская премия по экономике 1975 года. Линейное программирование, теория оптимального распределения ресурсов.

Джордж Бернард Данциг — 1914-2005, американский математик, автор симплекс-метода. Линейное программирование.

Тьяллинг Купманс — 1910-1985, американский математик и экономист голландского происхождения. Нобелевская премия по экономике 1975 года. Теория оптимального распределения ресурсов.

Леонид Генрихович Хачиян — 1952-2005, российский математик, доктор физико-математических наук. В 1989 году эмигрировал в США. Автор полиномиального алгоритма для задач линейного программирования.

Математическое программирование. Графический и симплекс метод. Примеры решения задач

Графический и симплекс метод

Видеоурок: «Решение ЗЛП графическим методом»

Видеоурок: «Решение ЗЛП симплексным методом»

Решение

Перед нами – классическая задача линейного программирования. Под планом производства понимается ответ на простой вопрос: сколько изделий А и сколько изделий В надо выпустить, чтобы прибыль была максимальна.
Прибыль рассчитывается по формуле: .

Запишем математическую модель задачи:

Чтобы проиллюстрировать применение симплекс-метода решения этой задачи, решим ее графически.
Для этого построим на плоскости  области, описываемые ограничениями-неравенствами, и прямую , которая называется целевой функцией.

         Три записанных выше неравенства ограничивают на плоскости многоугольник (построен красным цветом), ограниченный слева и снизу координатными осями (т.к. искомое количество изделий положительно).

         График целевой функции (построен синим цветом) передвигается в направлении, обозначенном стрелкой (по-научному – в направлении своего градиента), до тех пор, пока не достигнет граничной точки многоугольника – в нашем случае это точка – (15 ; 5).  В этой точке целевая функция будет достигать максимума.

         А теперь решим эту задачу симплекс-методом. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, введя дополнительные переменные .

Симплекс-таблица составляется так:
         В графе Базис записываются вектора переменных, принимаемые за базисные. На первом этапе это – A3, A4, A5. Базисными будут переменные, каждая из которых входит только в одно уравнение системы, и нет такого уравнения, в которое не входила бы хотя бы одна из базисных переменных.
         В следующий столбец  записываются коэффициенты целевой функции, соответствующие каждой переменной. Столбец В – столбец свободных членов. Далее идут столбцы коэффициентов Аi при  i –й переменной.
         Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка

         Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов  .

Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.

         Преобразование симплекс-таблицы ведется следующим образом:

         Шаг 1: Проверяется критерий оптимальности, суть которого состоит в том, что все оценки  должны быть неотрицательны. В нашем случае этот критерий не выполнен, поэтому переходим ко второму шагу.

         Шаг 2: Для отрицательных оценок вычисляются величины:

Из этих элементов выбирается тот, для которого вычисленное произведение минимально, в нашем случае минимально, поэтому в качестве так называемого разрешающего элемента выбирается третий элемент первого столбца – 3 (выделен в таблице).

Шаг 3: Третья строка таблицы делится на 3 и вычитается из первой и второй строк. В сущности, применяется метод исключения неизвестных, известный как метод Жордана – Гаусса.
        Таким образом, новыми базисными переменными становятся A3, A4, A1.

        Возвращаемся к шагу 1 и повторяем весь процесс.
Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка

         Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов  .


Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.

         Опять проверяется критерий оптимальности. Отрицательная оценка только одна – в столбце А2.

         Вычисляем:

         Разрешающим элементом будет второй элемент второго столбца – 2/3.

         Новыми базисными переменными становятся A3, A2, A1
Делим вторую строку на 2 и вычитаем из третьей.
Умножаем вторую строку на 5/2 и вычитаем из первой.

        На этот раз отрицательных оценок нет, т.е. критерий оптимальности выполнен.

Таким образом, получается искомое значение целевой функции F(15; 5; 7; 0; 0) = 70, т.е. возвращаясь к системе неравенств, получаем:

Ответы, полученные различными методами, совпадают.

— двухфазный онлайн 🥇

Найдите оптимальное решение в упражнениях по линейному программированию с помощью нашего онлайн-калькулятора Simplex Method Online Calculator , который позволит вам разрабатывать задачи максимизации и минимизации с помощью обычного метода и, при необходимости, применения двухфазного метода. Наш инструмент имеет удобный и простой в использовании дизайн. Он также показывает нам все промежуточные шаги, необходимые для достижения окончательного решения, что облегчит ваше обучение.

Калькулятор симплексного метода — Бесплатная версия

Хотите видеть детали расчета каждой итерации?

Присоединяйтесь к нашей членской группе и получите полный доступ к Simplex Method Calculator — Two Phase с объяснениями для каждого выполненного расчета.

Как пользоваться онлайн-калькулятором симплекс-методом

Для использования нашего инструмента необходимо выполнить следующие шаги:

• Введите количество переменных и ограничений задачи.
• Выберите тип проблемы: увеличить или свернуть .
• Введите коэффициенты целевой функции и ограничений. Вы можете вводить отрицательные числа, дроби и десятичные дроби (с точкой).
• Щелкните «Решить».
• Онлайн-программное обеспечение адаптирует введенные значения к стандартной форме симплексного алгоритма и создаст первую таблицу .
• В зависимости от знака ограничений используется обычный симплексный алгоритм или двухфазный метод .
• Мы можем шаг за шагом увидеть итераций и таблицы калькулятора симплекс-метода.
• В последней части покажу результаты задачи.

Мы рассмотрели для нашего приложения решение задач с максимум 20 переменными и 50 ограничениями; это связано с тем, что упражнения с большим количеством переменных затрудняют выполнение шагов с использованием симплексного метода. Для проблем с большим количеством переменных мы рекомендуем использовать другие более продвинутые инструменты.

Окончательное отражение

Используя наш калькулятор, мы уверены, что вы лучше подготовитесь к изучению симплекс-метода. Не забывайте, что у нас есть другие калькуляторы линейного программирования.

Вы должны помнить, что целью этого инструмента является изучение симплекс-метода и применение двухфазного метода , поэтому вы можете использовать его только под вашей ответственностью. Также мы не несем ответственности за какие-либо ошибки или неточности в результатах.

Если у вас есть вопросы по этому поводу или вы обнаружите ошибку в нашем приложении, мы будем признательны, если вы напишите нам на нашей странице контактов.

: симплекс-метод

Для результатов расчетов предыдущей итерации мы убираем из базиса переменную x ₈ и подставляем вместо нее x ₂ . Все остальные ячейки остаются без изменений.

Каждая ячейка этого столбца равна коэффициенту, который соответствует базовой переменной в соответствующей строке.

Переносим строку с разрешающим элементом из предыдущей таблицы в текущую таблицу, поэлементно разделяя ее значения на разрешающий элемент:

Вычисляются оставшиеся пустые ячейки, кроме строки оценок и столбца Q используя метод прямоугольника, относительно разрешающего элемента:

P ₁ = (P ₁ * x _4,2 ) — (x _1,2 * P ₄ ) / x _{4, 2} = ((600 * 2) — (1 * 150)) / 2 = 525;

P ₂ = (P ₂ * x _4,2 ) — (x _2,2 * P ₄ ) / x _4,2 = ((225 * 2) — ( 0 * 150)) / 2 = 225;

P ₃ = (P ₃ * x _4,2 ) — (x _3,2 * P ₄ ) / x _4,2 = ((1000 * 2) — ( 4 * 150)) / 2 = 700;

P ₅ = (P ₅ * x _4,2 ) — (x _5,2 * P ₄ ) / x _4,2 = ((0 * 2) — ( 0 * 150)) / 2 = 0;

x _1,1 = ((x _1,1 * x _4,2 ) — (x _1,2 * x _4,1 )) / x _4,2 = ((2 * 2) — (1 * 0)) / 2 = 2;

x _1,2 = ((x _1,2 * x _4,2 ) — (x _1,2 * x _4,2 )) / x _4,2 = ((1 * 2) — (1 * 2)) / 2 = 0;

x _1,4 = ((x _1,4 * x _4,2 ) — (x _1,2 * x _4,4 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (1 * 0)) / 2 = 0;

x _1,5 = ((x _1,5 * x _4,2 ) — (x _1,2 * x _4,5 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (1 * 0)) / 2 = 0;

x _1,6 = ((x _1,6 * x _4,2 ) — (x _1,2 * x _4,6 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (1 * -1)) / 2 = 0.5;

x _1,7 = ((x _1,7 * x _4,2 ) — (x _1,2 * x _4,7 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (1 * 0)) / 2 = 0;

x _1,8 = ((x _1,8 * x _4,2 ) — (x _1,2 * x _4,8 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (1 * 1)) / 2 = -0,5;

x _1,9 = ((x _1,9 * x _4,2 ) — (x _1,2 * x _4,9 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (1 * 0)) / 2 = 0;

x _2,1 = ((x _2,1 * x _4,2 ) — (x _2,2 * x _4,1 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 0)) / 2 = 0;

x _2,2 = ((x _2,2 * x _4,2 ) — (x _2,2 * x _4,2 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 2)) / 2 = 0;

x _2,4 = ((x _2,4 * x _4,2 ) — (x _2,2 * x _4,4 )) / x _4,2 = ((1 * 2) — (0 * 0)) / 2 = 1;

x _2,5 = ((x _2,5 * x _4,2 ) — (x _2,2 * x _4,5 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 0)) / 2 = 0;

x _2,6 = ((x _2,6 * x _4,2 ) — (x _2,2 * x _4,6 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * -1)) / 2 = 0;

x _2,7 = ((x _2,7 * x _4,2 ) — (x _2,2 * x _4,7 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 0)) / 2 = 0;

x _2,8 = ((x _2,8 * x _4,2 ) — (x _2,2 * x _4,8 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 1)) / 2 = 0;

x _2,9 = ((x _2,9 * x _4,2 ) — (x _2,2 * x _4,9 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 0)) / 2 = 0;

x _3,1 = ((x _3,1 * x _4,2 ) — (x _3,2 * x _4,1 )) / x _4,2 = ((5 * 2) — (4 * 0)) / 2 = 5;

x _3,2 = ((x _3,2 * x _4,2 ) — (x _3,2 * x _4,2 )) / x _4,2 = ((4 * 2) — (4 * 2)) / 2 = 0;

x _3,4 = ((x _3,4 * x _4,2 ) — (x _3,2 * x _4,4 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (4 * 0)) / 2 = 0;

x _3,5 = ((x _3,5 * x _4,2 ) — (x _3,2 * x _4,5 )) / x _4,2 = ((1 * 2) — (4 * 0)) / 2 = 1;

x _3,6 = ((x _3,6 * x _4,2 ) — (x _3,2 * x _4,6 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (4 * -1)) / 2 = 2;

x _3,7 = ((x _3,7 * x _4,2 ) — (x _3,2 * x _4,7 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (4 * 0)) / 2 = 0;

x _3,8 = ((x _3,8 * x _4,2 ) — (x _3,2 * x _4,8 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (4 * 1)) / 2 = -2;

x _3,9 = ((x _3,9 * x _4,2 ) — (x _3,2 * x _4,9 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (4 * 0)) / 2 = 0;

x _5,1 = ((x _5,1 * x _4,2 ) — (x _5,2 * x _4,1 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 0)) / 2 = 0;

x _5,2 = ((x _5,2 * x _4,2 ) — (x _5,2 * x _4,2 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 2)) / 2 = 0;

x _5,4 = ((x _5,4 * x _4,2 ) — (x _5,2 * x _4,4 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 0)) / 2 = 0;

x _5,5 = ((x _5,5 * x _4,2 ) — (x _5,2 * x _4,5 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 0)) / 2 = 0;

x _5,6 = ((x _5,6 * x _4,2 ) — (x _5,2 * x _4,6 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * -1)) / 2 = 0;

x _5,7 = ((x _5,7 * x _4,2 ) — (x _5,2 * x _4,7 )) / x _4,2 = ((-1 * 2) — (0 * 0)) / 2 = -1;

x _5,8 = ((x _5,8 * x _4,2 ) — (x _5,2 * x _4,8 )) / x _4,2 = ((0 * 2) — (0 * 1)) / 2 = 0;

x _5,9 = ((x _5,9 * x _4,2 ) — (x _5,2 * x _4,9 )) / x _4,2 = ((1 * 2) — (0 * 0)) / 2 = 1;

Мы вычисляем значение целевой функции, поэлементно умножая столбец Cb на столбец P, складывая результаты продуктов.

Макс _P = (Cb ₁ * P ₁ ) + (Cb ₁₁ * P ₂ + (Cb ₂₁ * P ₃ + (Cb ₃₁ * P ₄₎ + (Cb ₄₁ * P ₅ = (0 * 525) + (0 * 225) + (0 * 700) + (4 * 75) + (-M * 0) = 300;

Вычисляем оценки для каждой контролируемой переменной путем поэлементного умножения значения из столбца переменных на значение из столбца Cb, суммирования результатов продуктов и вычитания коэффициента целевой функции из их суммы с этой переменной .

Макс. _{x 1} = ((Cb ₁ * x _1,1 ) + (Cb ₂ * x _2,1 ) + (Cb ₃ * x _3,1 ) + (Cb ₄ * x _4,1 ) + (Cb ₅ * x _5,1 )) — k _{x 1} = ((0 * 2) + (0 * 0) + (0 * 5) + (4 * 0) + (-M * 0)) — 3 = -3;

Макс. _{x 2} = ((Cb ₁ * x _1,2 ) + (Cb ₂ * x _2,2 ) + (Cb ₃ * x _3,2 ) + (Cb ₄ * x _4,2 ) + (Cb ₅ * x _5,2 )) — k _{x 2} = ((0 * 0) + (0 * 0) + (0 * 0) + (4 * 1) + (-M * 0)) — 4 = 0;

Макс. _{x 3} = ((Cb ₁ * x _1,3 ) + (Cb ₂ * x _2,3 ) + (Cb ₃ * x _3,3 ) + (Cb ₄ * x _4,3 ) + (Cb ₅ * x _5,3 )) — k _{x 3} = ((0 * 1) + (0 * 0) + (0 * 0) + (4 * 0) + (-M * 0)) — 0 = 0;

Макс. _{x 4} = ((Cb ₁ * x _1,4 ) + (Cb ₂ * x _2,4 ) + (Cb ₃ * x _3,4 ) + (Cb ₄ * x _4,4 ) + (Cb ₅ * x _5,4 )) — k _{x 4} = ((0 * 0) + (0 * 1) + (0 * 0) + (4 * 0) + (-M * 0)) — 0 = 0;

Макс. _{x 5} = ((Cb ₁ * x _1,5 ) + (Cb ₂ * x _2,5 ) + (Cb ₃ * x _3,5 ) + (Cb ₄ * x _4,5 ) + (Cb ₅ * x _5,5 )) — k _{x 5} = ((0 * 0) + (0 * 0) + (0 * 1) + (4 * 0) + (-M * 0)) — 0 = 0;

Макс. _{x 6} = ((Cb ₁ * x _1,6 ) + (Cb ₂ * x _2,6 ) + (Cb ₃ * x _3,6 ) + (Cb ₄ * x _4,6 ) + (Cb ₅ * x _5,6 )) — k _{x 6} = ((0 * 0.5) + (0 * 0) + (0 * 2) + (4 * -0,5) + (-M * 0)) — 0 = -2;

Макс. _{x 7} = ((Cb ₁ * x _1,7 ) + (Cb ₂ * x _2,7 ) + (Cb ₃ * x _3,7 ) + (Cb ₄ * x _4,7 ) + (Cb ₅ * x _5,7 )) — k _{x 7} = ((0 * 0) + (0 * 0) + (0 * 0) + (4 * 0) + (-M * -1)) — 0 = M;

Макс. _{x 8} = ((Cb ₁ * x _1,8 ) + (Cb ₂ * x _2,8 ) + (Cb ₃ * x _3,8 ) + (Cb ₄ * x _4,8 ) + (Cb ₅ * x _5,8 )) — k _{x 8} = ((0 * -0.5) + (0 * 0) + (0 * -2) + (4 * 0,5) + (-M * 0)) — -M = M + 2;

Макс. _{x 9} = ((Cb ₁ * x _1,9 ) + (Cb ₂ * x _2,9 ) + (Cb ₃ * x _3,9 ) + (Cb ₄ * x _4,9 ) + (Cb ₅ * x _5,9 )) — k _{x 9} = ((0 * 0) + (0 * 0) + (0 * 0) + (4 * 0) + (-M * 1)) — -M = 0;

Поскольку среди оценок контролируемых переменных есть отрицательные значения, текущая таблица еще не имеет оптимального решения.Поэтому в базис вводим переменную с наименьшей отрицательной оценкой.

Количество переменных в базисе всегда постоянно, поэтому необходимо выбрать, какую переменную извлекать из базиса, для которого мы вычисляем Q.

Элементы столбца Q вычисляются путем деления значений из столбец P на значение из столбца, соответствующего переменной, которая введена в базис:

Выведем из базиса переменную с наименьшим положительным значением Q.

На пересечении линии, соответствующей переменной, полученной из базиса, и столбца, который соответствует переменной, введенной в базис, является разрешающий элемент.

Калькулятор симплексного метода -: Простое решение задач линейного программирования

Оцените лучший и удивительный калькулятор линейного программирования с нами. Этот калькулятор — замечательный инструмент, который может помочь вам в легко решать уравнения линейного программирования.С мотивом чтобы помочь вам сделать ваши расчеты простыми и интересными, мы разработали этот инструмент для вас. Все, что вам нужно сделать, это ввести ваша функция, и он легко покажет вам результат в секунд. Для решения задач линейного программирования симплекс был использован метод.

Чтобы помочь вам разобраться в калькуляторе симплекс-метода с шагами, мы взяли задачу линейного программирования, которая минимизация стоимости в соответствии с ограничениями.
Стоимость: C = 5×1 + 3×2
Ограничения:

Шаг 1

Прежде всего, будет составлена ​​начальная таблица. Прежде всего, вам нужно решить, какова ваша цель — минимизировать или максимизировать цена. Кроме того, вам необходимо решить, сколько переменных там в ограничениях и типе константы. На на основе этой информации будет создана эта таблица из правильный размер.Вам необходимо заполнить его, введя имена переменные и коэффициенты, фигурирующие в константах а также целевая функция.

Шаг 2

Применение симплексного метода Прежде всего, необходимо выбрать столбец и оставьте строку. Та же процедура будет выполняться до тех пор, пока решение помогло. В строке состояния вы узнаете по поводу продолжения шагов. Как только процесс будет завершен, вы получите окончательное решение вашей проблемы.

Симплексный алгоритм

Это один из популярных методов, которые используются для численное решение задач линейного программирования. Лучшая часть об этом калькуляторе легко решить проблемы точно небольшими шагами. Если вы хотите оптимизировать свой практики, то вы должны использовать симплекс-метод линейного программирования калькулятор.

Линейное программирование

Симплексный метод — один из популярных методов решения, используются при решении задач линейного программирования.В в этом методе задействованы две переменные и ограничения. В этом, основные переменные — это решения, указанные для уравнения связи с ненулевыми переменными. Чтобы получить оптимальное значение целевой функции используется этот систематический метод.

Калькулятор симплексного алгоритма

Онлайн-калькулятор симплекс-метода или программа для решения симплексной удивительная роль в решении задач линейного программирования с легкостью.Самое приятное в этом калькуляторе то, что он также может генерировать примеры, чтобы вы могли понять метод.

Калькулятор двухфазного симплексного метода

Приведенный здесь калькулятор может легко решить проблемы, связанные с симплекс-метод, двухфазный метод и графический метод как хорошо. В этом калькуляторе вы можете ввести неограниченное количество переменные или константы.
Лучшее в этой максимизации калькулятор заключается в том, что вам не нужно говорить на каком-либо языке проблема конкретно.Пользовательский интерфейс этого инструмента так легко, что любой пользователь без каких-либо технических знаний может использовать Это.

Очков, которые следует помнить при использовании калькулятора:

• Не используйте запятые в больших числах при использовании симплексного метода. калькулятор таблиц.
• В правой части каждой константы не вводите e отрицательное число.
• В десятичном режиме все результаты будут отображаться в десятичные дроби.
• Режим дроби помогает преобразовать все десятичные дроби в фракции.
• Внутренний режим помогает исключить десятичные дроби и дроби из таблиц.

Калькулятор двойного симплексного метода

Калькулятор максимизации двойного симплексного метода играет важную роль. роль в преобразовании исходной таблицы в финальную. В Финальная таблица всегда содержит как первичное, так и дуальное проблемы связанные решения.Каждый этап алгоритма воспроизводится удивительно в создании промежуточной таблицы, поскольку алгоритм карабкается к окончательному результату.
Наконец, это все важные детали, касающиеся Симплексный калькулятор. Вы можете легко использовать этот калькулятор и сделать ваши простые задачи с уравнениями линейного программирования легко и просто, как хорошо.

Simplex Method Calculator Step by Step.

Пример 5. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом.

Это решение было сделано с помощью калькулятора, представленного на сайте.

Задача:

Найти максимальное значение функции

с учетом ограничений:

 Один или несколько остатков, разрыв двойственности или общая относительная ошибка
выросло в 100000 раз по сравнению с минимальным значением: 

 Один или несколько остатков, разрыв двойственности или общая относительная ошибка
остановился: