Решение системы уравнений с помощью матрицы обратной – .

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {x_{1} +3x_{3} =26} \\ {-x_{1} +2x_{2} +x_{3} =52} \\ {3x_{1} +2x_{2} =52} \end{array}\right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.

Решение:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right). $

Нахождение определителя матрицы системы:

$\begin{array}{l} {\det A=\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0} \end{array}$ Так как определитель не равен нулю, то матрица системы имеет обратную матрицу и, следовательно, система уравнений может быть решена методом обратной матрицы. Полученное решение будет единственным.

Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы:

$A_{11} =(-1)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=0-2=-2; A_{12} =(-1)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=-(0-3)=3;$

$A_{13} =(-1)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {2} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-2-6=-8; A_{21} =(-1)^{2+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=-(0-6)=6; $

$A_{22} =(-1)^{2+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=0-9=-9; A_{23} =(-1)^{2+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-(2-0)=-2;$

$A_{31} =(-1)^{3+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {1} \end{array}\right|=0-6=-6; A_{32} =(-1)^{3+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-1} & {1} \end{array}\right|=-(1+3)=-4;$

$A_{33} =(-1)^{3+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {-1} & {2} \end{array}\right|=2-0=2$

Искомая обратная матрица:

$A^{-1} =\frac{1}{-26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {-2} & {6} & {-6} \\ {3} & {-9} & {-4} \\ {-8} & {-2} & {2} \end{array}\right)=\frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {2} & {-6} & {6} \\ {-3} & {9} & {4} \\ {8} & {2} & {-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{2}{26} } & {\frac{-6}{26} } & {\frac{6}{26} } \\ {\frac{-3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{4}{26} } \\ {\frac{8}{26} } & {\frac{2}{26} } & {\frac{-2}{26} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right).$

Найдем решение системы:

$X=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{13} \cdot 26-\frac{3}{13} \cdot 52+\frac{3}{13} \cdot 52} \\ {-\frac{3}{26} \cdot 26+\frac{9}{26} \cdot 52+\frac{2}{13} \cdot 52} \\ {\frac{4}{13} \cdot 26+\frac{1}{13} \cdot 52-\frac{1}{13} \cdot 52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2-12+12} \\ {-3+18+8} \\ {8+4-4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$ — искомое решение системы уравнений.

spravochnick.ru

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Задача №5. Найти решение системы
методом обратной матрицы:

Решение.

Здесь
,
так что матрица А невырожденная и искомое
решение имеет вид.

.

Отсюда

Задача №6. Решить систему уравнений
матричным методом:

Решение.

Находим:

т.е.
– решение данной системы.

Задачи для самостоятельного решения:

Решить системы уравнений методом Крамера
и методом обратной матрицы.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

Занятие 4. Решение систем линейных
уравнений методом Гаусса.

Для усвоения практического
материала нужно ответить на следующие
теоретические вопросы:

  1. Понятие
    системы линейных алгебраических
    уравнений.

  2. Понятие
    решения системы линейных алгебраических
    уравнений.

  3. Определение
    совместной и несовместной системы.

  4. Достаточное
    условие совместной системы.

  5. Определение
    однородной и неоднородной системы.

  6. Определение
    ранга матрицы.

  7. Алгоритм
    решения неоднородной системы линейных
    уравнений методом Гаусса.

  8. Алгоритм
    решения однородной системы линейных
    уравнений.

Типовые задачи

Задача
№1.
Решить
систему методом Гаусса:

Решение.

В
результате элементарных преобразований
над расширенной матрицей системы

исходная
система свелась к ступенчатой:

Поэтому
общее решение системы:

Если
положить, например, ,
то
найдем одно из частных решений этой
системы ;.

Задача
№2.
Решить
систему методом Гаусса:

Решение.

Произведем
элементарные преобразования над строками
расширенной матрицы системы:

.

Полученная
матрица соответствует системе

Осуществляя
обратный ход, находим

Задача
№3.
Решить
систему методом Гаусса:

Решение:

.

Наличие
противоречивой строки говорит о
несовместности системы линейных
уравнений.

Задача
№4.
Решить
однородную
систему линейных уравнений методом
Гаусса:

Решение.

Ранг
основной матрицы системы равен рангу
расширенной матрицы и равен числу
неизвестных. Система имеет единственное
решение, т.е. нулевое (тривиальное):

Задача
№5.
Решить
однородную
систему линейных уравнений методом
Гаусса:

Решение.

Ранг
основной матрицы системы равен рангу
расширенной матрицы и меньше числа
неизвестных (3<4). Система имеет
бесконечно много решений. Получим
систему:

Если
положитьтои
получиличастное
решение исходной системы.

Задачи для самостоятельного решения:

I. Решить системы
линейных уравнений:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

II. Найти решение системы
линейных уравнений в зависимости от
параметра:

1.

2.

3.

Занятие 5. Скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов..

Для усвоения практического материала
нужно ответить на следующие теоретические
вопросы:

  1. Дать определение скалярного произведения
    векторов.

  2. Перечислить свойства скалярного
    произведения векторов.

  3. Скалярное произведение векторов в
    координатной форме.

  4. Приложения скалярного произведения
    для нахождении.

  5. Какое произведение векторов называется
    векторным?

  6. Перечислить свойства векторного
    произведения.

  7. Какие приложения имеет векторное
    произведение в геометрии и механике?

  8. Записать условие коллинеарности
    (параллельности) векторов.

  9. Какое произведение векторов называется
    смешанным?

  10. Перечислить свойства смешанного
    произведения. Его геометрический смысл.

  11. Как выражается смешанное произведение
    через координаты?

studfiles.net

23. Решение слау методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы
(Матричный метод) решения систем линейных
алгебраических уравнений с ненулевым
определителем основной матрицы состоит
в поиске матрицы, обратной к основной
матрице, и умножению ее на матрицу
свободных членов.

Обратная матрица

Пусть имеется
квадратная матрица n-го порядка

Матрица
А-1 называется обратной матрицей по
отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где
Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица —
такая квадратная матрица, у которой все
элементы по главной диагонали, проходящей
от левого верхнего угла к правому нижнему
углу, — единицы, а остальные — нули,
например:

Обратная матрица
может существовать только для квадратных
матриц т.е. для тех матриц, у которых
число строк и столбцов совпадают.

Теорема
условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица
имела обратную матрицу необходимо и
достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,…Аn)
называется невырожденной, если
векторы-столбцы являются линейно
независимыми. Число линейно независимых
векторов-столбцов матрицы называется
рангом матрицы . Поэтому можно сказать,
что для того, чтобы существовала обратная
матрица, необходимо и достаточно, чтобы
ранг матрицы равнялся ее размерности,
т.е. r = n.

Алгоритм нахождения
обратной матрицы

Записать в таблицу
для решения систем уравнений методом
Гаусса матрицу А и справа (на место
правых частей уравнений) приписать к
ней матрицу Е.

Используя преобразования
Жордана, привести матрицу А к матрице,
состоящей из единичных столбцов; при
этом необходимо одновременно преобразовать
матрицу Е.

Если необходимо, то
переставить строки (уравнения) последней
таблицы так, чтобы под матрицей А исходной
таблицы получилась единичная матрица
Е.

Записать обратную
матрицу А-1, которая находится в последней
таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти
обратную матрицу А-1

Решение: Записываем
матрицу А и справа приписываем единичную
матрицу Е. Используя преобразования
Жордана, приводим матрицу А к единичной
матрице Е. Вычисления приведены в таблице
31.1.

Проверим
правильность вычислений умножением
исходной матрицы А и обратной матрицы
А-1.

В результате умножения
матриц получилась единичная матрица.
Следовательно, вычисления произведены
правильно.

Ответ:

Решение матричных
уравнений

Матричные уравнения
могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые
матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные
уравнения решаются с помощью умножения
уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти
матрицу из уравнения , необходимо
умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы
найти решение уравнения , нужно найти
обратную матрицу и умножить ее на матрицу
, стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются
другие уравнения.

Пример
2

Решить уравнение АХ
= В, если

Решение: Так как
обратная матрица равняется (см. пример
1)

24. Решение слау методом гаусса

Ме́тод
Га́усса[1] — классический метод решения
системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного
исключения переменных, когда с помощью
элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной
системе ступенчатого (или треугольного)
вида, из которой последовательно, начиная
с последних (по номеру) переменных,
находятся все остальные переменные.

Описание метода

Пусть исходная система
выглядит следующим образом

Матрица
A называется основной матрицей системы,
b — столбцом свободных членов.

Тогда согласно
свойству элементарных преобразований
над строками основную матрицу этой
системы можно привести к ступенчатому
виду(эти же преобразования нужно
применять к столбцу свободных членов):

При этом
будем считать, что базисный минор
(ненулевой минор максимального порядка)
основной матрицы находится в верхнем
левом углу, то есть в него входят только
коэффициенты при переменных
.

Тогда
переменные
называются главными переменными. Все
остальные называются свободными.

Если хотя
бы одно число, где i > r, то рассматриваемая система
несовместна.

Пусть
для любых i > r.

Перенесём свободные
переменные за знаки равенств и поделим
каждое из уравнений системы на свой
коэффициент при самом левом (, где —
номер строки):

,

где

Если свободным
переменным системы (2) придавать все
возможные значения и решать новую
систему относительно главных неизвестных
снизу вверх (то есть от нижнего уравнения
к верхнему), то мы получим все решения
этой СЛАУ. Так как эта система получена
путём элементарных преобразований над
исходной системой (1), то по теореме об
эквивалентности при элементарных
преобразованиях системы (1) и (2)
эквивалентны, то есть множества их
решений совпадают.

Следствия:

1: Если в
совместной системе все переменные
главные, то такая система является
определённой.

2: Если количество
переменных в системе превосходит число
уравнений, то такая система является
либо неопределённой, либо несовместной.

Условие совместности

Упомянутое
выше условие
для всехможет быть сформулировано в качестве
необходимого и достаточного условия
совместности:

Напомним, что рангом
совместной системы называется ранг её
основной матрицы (либо расширенной, так
как они равны).

Теорема Кронекера-Капелли.

Система
совместна тогда и только тогда, когда
ранг её основной матрицы равен рангу
её расширенной матрицы.

Следствия:

Количество главных
переменных равно рангу системы и не
зависит от её решения.

Если ранг
совместной системы равен числу переменных
данной системы, то она определена.

Алгоритм

Описание

Алгоритм решения
СЛАУ методом Гаусса подразделяется на
два этапа.

На первом этапе
осуществляется так называемый прямой
ход, когда путём элементарных преобразований
над строками систему приводят к
ступенчатой или треугольной форме, либо
устанавливают, что система несовместна.
А именно, среди элементов первого столбца
матрицы выбирают ненулевой, перемещают
его на крайнее верхнее положение
перестановкой строк и вычитают
получившуюся после перестановки первую
строку из остальных строк, домножив её
на величину, равную отношению первого
элемента каждой из этих строк к первому
элементу первой строки, обнуляя тем
самым столбец под ним. После того, как
указанные преобразования были совершены,
первую строку и первый столбец мысленно
вычёркивают и продолжают пока не
останется матрица нулевого размера.
Если на какой-то из итераций среди
элементов первого столбца не нашёлся
ненулевой, то переходят к следующему
столбцу и проделывают аналогичную
операцию.

На втором
этапе осуществляется так называемый
обратный ход, суть которого заключается
в том, чтобы выразить все получившиеся
базисные переменные через небазисные
и построить фундаментальную систему
решений, либо, если все переменные
являются базисными, то выразить в
численном виде единственное решение
системы линейных уравнений. Эта процедура
начинается с последнего уравнения, из
которого выражают соответствующую
базисную переменную (а она там всего
одна) и подставляют в предыдущие
уравнения, и так далее, поднимаясь по
«ступенькам» наверх. Каждой строчке
соответствует ровно одна базисная
переменная, поэтому на каждом шаге,
кроме последнего (самого верхнего),
ситуация в точности повторяет случай
последней строки.

Метод Гаусса требует
порядка O(n3) действий.

Этот метод опирается
на: Теорема (о приведении матриц к
ступенчатому виду).

Любую матрицу путём
элементарных преобразований только
над строками можно привести к ступенчатому
виду.

studfiles.net

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. — КиберПедия

 

Пусть в системе(I) (см. §1) m=n и основная матрица системы невырожденная . Запишем систему (I) в матричном виде (см. §2):

, (2)

т.к. матрица A невырожденная, то она имеет обратную матрицу (см. теорему 1 §6 главы 1). Умножим обе части равенства (2) на матрицу , тогда

. (3)

По определению обратной матрицы . Из равенства (3) имеем

,

отсюда

. (4)

 

 

Пример 1.

Решить систему с помощью обратной матрицы

.

Обозначим

; ; .

В примере (§ 3)мы вычислили определитель , следовательно, матрица A имеет обратную матрицу . Тогда в силу (4)

, т.е.

 

. (5)

Найдем матрицу (см. §6 главы 1)

 

, , ,

 

, , ,

 

, , ,

 

,

 

 

.

 

Ответ:

 

Метод Гаусса.

 

Пусть задана система линейных уравнений:

 

. (I)

 

Требуется найти все решения системы (I) или убедиться в том, что система несовместна.

 

Определение 1. Назовем элементарным преобразованием системы (I) любое из трёх действий :

1) вычёркивание нулевого уравнения;

2) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число l;

3) перемена местами слагаемых в уравнениях системы так, чтобы неизвестные с одинаковыми номерами во всех уравнениях занимали одинаковые места, т.е. если, например, в 1-ом уравнении мы поменяли 2-ое и 3-е слагаемые, тогда то же самое необходимо сделать во всех уравнениях системы.

 

Метод Гаусса состоит в том, что система (I) с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе, решение которой находится непосредственно или устанавливается её неразрешимость.

Как было описано в §2 система (I) однозначно определяется своей расширенной матрицей и любое элементарное преобразование системы (I) соответствует элементарному преобразованию расширенной матрицы :

 

.

Преобразование 1) соответствует вычёркиванию нулевой строки в матрице , преобразование 2) равносильно прибавлению к соответствующей строке матрицы другой её строки, умноженной на число l, преобразование 3) эквивалентно перестановке столбцов в матрице .

Легко видеть, что, наоборот, каждому элементарному преобразованию матрицы соответствует элементарное преобразование системы (I). В силу сказанного, вместо операций с системой (I) мы будем работать с расширенной матрицей этой системы.

В матрице 1-ый столбец состоит из коэффициентов при х1, 2-ой столбец — из коэффициентов при х2и т.д. В случае перестановки столбцов следует учитывать, что это условие нарушается. Например, если мы поменяем 1-ый и 2-ой столбцы местами, то теперь в 1-ом столбце будут коэффициенты при х2, а во 2-ом столбце — коэффициенты при х1.


Будем решать систему (I) методом Гаусса.

1. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если такие имеются (т.е. вычеркнем в системе (I) все нулевые уравнения).

2. Проверим, есть ли среди строк матрицы строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю (назовём такую строку несовместной). Очевидно, что такой строке соответствует несовместное уравнение в системе (I) , следовательно, система (I) решений не имеет и на этом процесс заканчивается.

3. Пусть матрица не содержит несовместных строк (система (I) не содержит несовместных уравнений). Если a11=0, то находим в 1-ой строке какой-нибудь элемент (кроме последнего) отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте не было нуля. Будем теперь считать, что (т.е. поменяем местами соответствующие слагаемые в уравнениях системы (I)).

4. Умножим 1-ую строку на и сложим результат со 2-ой строкой, затем умножим 1-ую строку на и сложим результат с 3-ей строкой и т.д. Очевидно, что этот процесс эквивалентен исключению неизвестного x1 из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого. В новой матрице получаем нули в 1-ом столбце под элементом a11 :

 

.

 

5. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если они есть, проверим, нет ли несовместной строки (если она имеется, то система несовместна и на этом решение заканчивается). Проверим, будет ли a22 /=0, если да, то находим во 2-ой строке элемент, отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы . Далее умножаем элементы 2-ой строки на и складываем с соответствующими элементами 3-ей строки, затем — элементы 2-ой строки на и складываем с соответствующими элементами 4-ой строки и т.д., пока не получим нули под a22 /

.

 

Произведенные действия эквивалентны исключению неизвестного х2 из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого и 2-ого. Так как число строк конечно, поэтому через конечное число шагов мы получим, что либо система несовместна, либо мы придём к ступенчатой матрице (см. определение 2 §7 главы 1) :


,

где

.

Выпишем систему уравнений, соответствующую матрице . Эта система равносильна системе (I)

.

 

Из последнего уравнения выражаем ; подставляем в предыдущее уравнение, находим и т.д., пока не получим .

 

Замечание 1. Таким образом, при решении системы (I) методом Гаусса мы приходим к одному из следующих случаев.

1. Система (I) несовместна.

2. Система (I) имеет единственное решение, если в матрице число строк равно числу неизвестных ( ).

3. Система (I) имеет бесчисленное множество решений, если число строк в матрице меньше числа неизвестных ( ).

Отсюда имеет место следующая теорема.

Теорема. Система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет единственное решение, либо – бесконечное множество решений.

 

Примеры. Решить систему уравнений методом Гаусса или доказать ее несовместность:

а) ;

 

б) ;

 

в) .

 

Решение.

а) Перепишем заданную систему в виде:

.

Мы поменяли местами 1-ое и 2-ое уравнение исходной системы, чтобы упростить вычисления (вместо дробей мы с помощью такой перестановки будем оперировать только целыми числами).

Составляем расширенную матрицу:

.

Нулевых строк нет; несовместных строк нет, ; исключим 1-ое неизвестное из всех уравнений системы, кроме 1-го. Для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы на «-2» и сложим с соответствующими элементами 2-ой строки, что равносильно умножению 1-го уравнения на «-2» и сложению со 2-ым уравнением. Затем умножим элементы 1-ой строки на «-3» и сложим с соответствующими элементами третьей строки, т.е. умножим 2-ое уравнение заданной системы на «-3» и сложим с 3-им уравнением. Получим

.

Матрице соответствует система уравнений

.

В матрице нулевых строк нет, несовместных строк также нет, исключим неизвестное из 3-го уравнения системы, для этого умножим элементы 2-ой строки матрицы на «-1» и сложим с элементами 3-ей строки :

.

Матрица содержит несовместную строку (в 3-ей строке все элементы равны нулю, кроме последнего). Этой строке соответствует несовместное уравнение . Следовательно, система решений не имеет ( ), система несовместна.

 

б) Составляем расширенную матрицу:

.

Нулевых строк нет, несовместных строк нет, , исключаем неизвестное из 2-го и 3-го уравнения заданной системы, для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы на «-2», затем на «-3» и сложим соответственно с элементами 2-ой и 3-ей строк, получим

.

Рекомендуем читателю проанализировать, какие операции при этом совершаются с заданной системой уравнений. Умножаем элементы 2-ой строки матрицы на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки, получаем:

,

где — матрица ступенчатого вида.

Записываем систему уравнений, соответствующую этой матрице

.

 

Теперь двигаемся снизу вверх. Из последнего уравнения находим .

Подставляя это равенство в предпоследнее уравнение, находим .

Подставляя и в первое уравнение, получаем : .

Ответ: — система имеет единственное решение.

 

в) Составляем расширенную матрицу:

 

1. Переставим местами 1-ую и 2-ую строку для упрощения вычислений (меняем местами уравнения в заданной системе).

2. Умножим элементы 2-ой строки матрицы последовательно на «-2», «-1» и «-5» и сложим соответственно с элементами 2-ой, 3-ей и 4-ой строк (для получения нулей под элементом ).

3. Аналогичным образом, получаем нули под элементом .

4. Вычеркиваем нулевые строки.

Последняя матрица – ступенчатая. Переходим от нее к системе уравнений:

;

из последнего уравнения получаем:

,

подставляя это равенство в 1-ое уравнение системы, находим

.

Ответ: — система имеет бесчисленное множество решений. Давая произвольные значения переменным и , мы каждый раз будем получать частные решения заданной системы уравнений.

Замечание . Количество уравнений в окончательной системе при решении методом Гаусса всегда равно рангу матрицы — (см. определение 3§7 главы 1).

cyberpedia.su

1.1 Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы 2

Содержание.

1.2.
Решение систем линейных уравнений
методом Крамера 2

2.
Решение
экономических задач оптимизации в
Поиске решения. 4

3.
Транспортная
задача. 6

4.
Использование
пакета «Анализ данных» системы Excel
для решения экономических задач
прогнозирования. 9

    1. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Для
применения систему необходимо записать
в матричной форме; Ах=B.
Здесь А-матрица коэффициентов, х — вектор
неизвестных, а B
— вектор правой части уравнений. Для
решения этого матричного уравнения обе
его части умножаются на матрицу, обратную
к А: А-1Ах=А-1B.
По определению, произведение матрицы
на обратную к ней дает единичную матрицу,
а произведение единичной матрицы на
любой вектор равно этому же вектору,
поэтому предыдущее уравнение преобразуется
к следующему виду:

х=А-1
B.

Это
и есть решение системы уравнений.
Рассмотрим следующую систему линейных
уравнений:

1+3x2+x3-x4=37

5x1+18x2+0x3+2x4=122

6x1+2x2+5x3+x4=64

2x1+x2+3x3+0x4=28

Запишем
систему в матричном виде

Выделим
ячейки K8
: N11,
Вставка – функция – МОБР, введем
следующее: = МОБР(B2
:E5)
и нажмем вместе клавиши F2,
<Ctrl+Shift+Enter> для вставки этой формулы
во все выбранные ячейки

Следующим
действием перемножим матрицы A-1
и В, для чего выделим ячейки Q8:Q11,
Вставка – функция — МУМНОЖ, введем
следующее: = МУМНОЖ(K8:N11;h3:H5) и
нажмем вместе клавиши F2,
<Ctrl+Shift+Enter> для вставки этой формулы
во все выбранные ячейки

Получим
результат Х1=4,23,
Х2=5,12,
Х3=4,80,
Х4=4,34

    1. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Согласно
правилу Крамера xi
=
Di
/ D (i=1,2,3,4)
,
где D

определитель исходной матрицы А
Di

определитель
матрицы, полученной из матрицы заменой
i-го
столбца
на столбец свободных членов. Для решения
системы в ЕХСЕL проделаем следующее.

  1. Найдем
    определитель матрицы Da,
    для чего в ячейке G9,
    Вставка – функция –МОПРЕД, введем
    =МОПРЕД(B8:E11) , Enter.

  1. Далее
    сформируем матрицуDх1,
    заменив для этого в исходной матрице
    А первый столбец на вектор правой части
    – вектор В.

  2. После
    чего, как и в 1-ом действии вычислим
    определитель матрицы Dx1

  1. Выполняя
    шаги 2-3, сформируем матрицы Dх2,
    Dх3,
    Dх4
    и вычислим определители Dx2, Dx3 и Dx4.

Для
нахождения х выполним следующее:

5.
В ячейку B34
введем формулу =G14/G9.

Для
нахождения значений х2, х3 и х4 в ячейки
B35,
B36
и B37
введем соответствующие формулы.

Выполним
проверку А*х=В

  1. Решение экономических задач оптимизации в Поиске решения.

Решить
задачу линейного программирования,
используя модуль Поиск решения электронных
таблиц EXCEL.

Вариант
№10.

z=
7x1
+9x2→max

x1≥0;
x2≥0

Решение:

  1. Введем
    текст в ячейки А1
    и А2:

А1
=«Х1=»

А2
=«Х2=»

  1. Запишем
    уравнения в виде формул

А4
«=10*Х1+9*Х2»
в
соседней ячейке В4
введем
1870

А5
«=5*Х1+11*Х2»
в
соседней ячейке В5
введем
1455

А6
«=4*Х1+15*Х2»
в
соседней ячейке
В6
введем
1815

  1. Введем
    в ячейку А9
    текст «Z=»
    и в ячейку В9
    формулу «=7*В1+9*В2»

Получим
следующий результат:

  1. Далее
    воспользуемся функцией Поиск решения,
    указав, что целевая ячейка В9
    стремится к максимальному значению и
    введя ограничения (условия равенства).

  1. В
    итоге получаем следующий результат:

Вывод:

При
заданных задачей условиях
Z
будет максимальна (1525), при Х1=115 и Х2=80

studfiles.net

§3. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Весьма удобно
записывать систему линейных уравнений

(1)

в матричной форме,
а именно: если А=(аij)
– основная матрица системы, а В
и X
– столбцы свободных членов и неизвестных,
то (1) можно записать в виде

A·X=B. (2)

Как и в предыдущем
параграфе, предположим, что определитель
системы Δ≠0.
Отсюда вытекает, что основная матрица
системы имеет обратную
А1.
Умножим обе части матричного равенства
(2) на матрицу
А1.
Используя ассоциативность умножения
матриц и роль единичной матрицы, как
единицы при умножении матриц, будем
иметь:

A1(AX)=
A
1B,

(A1A)X=
A
1B,

EX=
A
1B,

X=
A
1B. (3)

Последнее
равенство и дает выражение столбца
неизвестных через обратную матрицу и
столбец свободных членов. Вспомним вид
обратной матрицы

A1=(Аji/Δ)
и
приравняем
jе

элементы
столбцов, стоящих в левой и правой частях
(3):

или

.

Выражение, стоящее
в скобках, есть не что иное, как разложение
определителя Δj
(из предыдущего параграфа) по jму
столбцу. Поэтому (3) равносильно

,

и мы снова пришли
к формулам Крамера.

Итак, если
определитель Δ
основной матрицы А
системы линейных уравнений отличен от
нуля, то существует и притом единственное
решение матричного уравнения

АХ=В,

определяемое
соотношением

Х=А-1В,

которое
эквивалентно формулам Крамера.

§4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Вначале одно
предварительное замечание. Применяя
метод Гаусса, приходится выполнять
такие преобразования системы: 1)
переставлять местами два уравнения; 2)
умножать обе части какого-нибудь
уравнения системы на одно и то же число,
отличное от нуля; 3) обе части одного из
уравнений системы, умноженные на одно
и то же число, вычитать из соответствующих
частей некоторого другого уравнения
системы. Нетрудно показать, что система,
полученная в результате этих преобразований,
будет эквивалентна исходной.

Перейдем теперь
к изложению методом Гаусса, который
называется также методом последовательного
исключения неизвестных.

Пусть дана
произвольная система линейных уравнений

(1)

Предположим, что
а110
(в противном случае пришлось бы переставить
два уравнения: ведь какой-нибудь из
коэффициентов при x1
отличен от 0).
С помощью 1-го уравнения исключим
неизвестное x1
из всех уравнений системы, начиная со
второго. Для этого вычтем из iго
уравнения первое уравнение, умноженное
на аі1/a11
, i=2,3,…,m.
В результате придем к новой системе,
эквивалентной исходной:

(2)

Далее будем
преобразовывать систему (2), причем 1-е
уравнение мы не будем трогать совсем и
подлежащей преобразованиям будем
считать лишь часть этой системы, состоящую
из всех уравнений, кроме первого. При
этом мы считаем, что среди этих уравнений
нет таких, все коэффициенты левых частей
которых равны нулю: такие уравнения мы
выбросили бы, если бы и их свободные
члены были равны нулю, а в противном
случае мы уже доказали бы несовместимость
нашей системы. Таким образом, среди
коэффициентов
есть
отличные от нуля; для определенности
примем, что(в противном случае пришлось бы
переставлять уравнения или неизвестные).
С помощью 2-го уравнения системы (2)
исключим неизвестноеx2
из всех уравнений системы (2), начиная с
третьего. Для этого вычтем из jго
уравнения второе, умноженное на
.
Придем к следующей системе, эквивалентной
системе (2), а значит (1):

(3)

Наша система
содержит теперь p
уравнений, pm,
так как некоторые уравнения оказались,
возможно, отброшенными. В дальнейшем
подлежит преобразованиям, аналогично
уже поделанным, часть полученной системы,
содержащей все уравнения, кроме двух
первых.

Когда остановится
этот процесс последовательного исключения
неизвестных?

Если мы придем к
такой системе, одно из уравнений которой
имеет отличный от нуля свободный член,
а все коэффициенты левой части равны
нулю, то, как мы знаем, наша исходная
система несовместна.

Если же таких
уравнений не встретится, то процесс
исключения закончится не позже чем на
(m–1)ом
шаге. Обозначим через k
– число уравнений, которые останутся
в системе после завершения процесса
исключения неизвестных. Возможны случаи:
k=n,

k<n,
k>n.

В случае,
когда k=n
получим так называемую “треугольную”
систему

(4)

у которой в каждом
последующем уравнении ровно на одно
неизвестное меньше, чем в предыдущем.
Из последнего уравнения мы получаем
вполне определенное значение для
неизвестного xn.
Подставив его в предпоследнее уравнение,
мы найдем однозначно определенное
значение для неизвестного xn1.
Продолжая так далее, мы найдем, что
система (4), а поэтому и система (1) обладают
единственным решением, т.е. совместна
и определена.

Пусть теперь k<n.
Система, полученная после завершения
процесса исключения, имеет так называемую
“трапецеидальную”
форму:

(5)

Назовем неизвестные
xk+1,
xk+2,…,xn

свободными,
придадим им произвольные числовые
значения и перенесем члены, содержащие
их, в правые части уравнений. Мы получим
систему “треугольной” формы (4), из
которой однозначно определяется
неизвестные x1,
x2,,xk.
Так как значения для свободных неизвестных
можно выбирать бесконечным числом
различных способов, то наша система (5)
и, следовательно, система (1) будут
совместными, но неопределенными. Легко
проверить, что указанным здесь методом
будут найдены все решения системы (1).

Третий случай,
когда k>n
кажется возможным лишь первый момент.
Система имеет вид, получающийся
приписыванием к системе (4) еще нескольких
уравнений, содержащих лишь неизвестное
xn.
В действительности, однако, в этом случае
преобразования просто не доведены до
конца: так как
,
то из всех уравнений, начиная с (n+1)го,
неизвестное xn
может быть исключено.

Итак, подведем
итоги. Метод Гаусса применим к любой
системе линейных уравнений. При этом
система будет несовместной, если в
процессе исключения неизвестных мы
получим уравнение, в котором коэффициенты
при всех неизвестных равны нулю, а
свободный член отличен от нуля; Если же
такого уравнения мы не встретим, то
система будет совместной. Совместная
система будет определенной, если
приводится к треугольному виду (4) (число
оставшихся уравнений равно числу
неизвестных), и неопределенной, если
приводится к трапецеидальному виду (5)
(число оставшихся уравнений меньше
числа неизвестных).

Замечание.
При практическом применении метода
Гаусса следует выписать основную матрицу
системы и, приписав к ней столбец
свободных членов, получить так называемую
расширенную матрицу системы. Все
преобразования выполняют над строками
этой матрицы. Для удобства столбец
свободных членов можно отделить
вертикальной чертой от остальных
столбцов матрицы.

Пример.
Решить систему

Решение.
Подвергаем преобразованиям расширенную
матрицу этой системы.

Краткие пояснения.
1-й шаг: первую строку вычитаем из третьей.
2-й шаг: вторую строку умножаем на 5 и
вычитаем из третьей, а также умножаем
на 7 и прибавляем к четвертой. 3-й шаг:
третью строку умножаем на 2 и прибавляем
к четвертой. 4-й шаг: отбрасываем четвертую
строку, сплошь состоящую из нулей, и
делим третью строку на 2. Мыприходим,
следовательно, к системе:

В качестве свободного
неизвестного можно принять любое из
неизвестных х3
или
х4.
Пусть х4=α.
Тогда из 3-го
уравнения х3=6+2α,
из 2-го получаем
х2=3,
а из первого х1=
8.
Итак, общий вид решения заданной системы:

(–8;
3;
6+2α;
α),
где α
– произвольное число.

studfiles.net

§3. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Весьма удобно
записывать систему линейных уравнений

(1)

в матричной форме,
а именно: если А=(аij)
– основная матрица системы, а В
и X
– столбцы свободных членов и неизвестных,
то (1) можно записать в виде

A·X=B. (2)

Как и в предыдущем
параграфе, предположим, что определитель
системы Δ≠0.
Отсюда вытекает, что основная матрица
системы имеет обратную
А1.
Умножим обе части матричного равенства
(2) на матрицу
А1.
Используя ассоциативность умножения
матриц и роль единичной матрицы, как
единицы при умножении матриц, будем
иметь:

A1(AX)=
A
1B,

(A1A)X=
A
1B,

EX=
A1B,

X=
A1B. (3)

Последнее равенство
и дает выражение столбца неизвестных
через обратную матрицу и столбец
свободных членов. Вспомним вид обратной
матрицы

A1=(Аji/Δ)
и
приравняем
jе

элементы
столбцов, стоящих в левой и правой частях
(3):

или

.

Выражение, стоящее
в скобках, есть не что иное, как разложение
определителя Δj
(из предыдущего параграфа) по jму
столбцу. Поэтому (3) равносильно

,

и мы снова пришли
к формулам Крамера.

Итак, если
определитель Δ
основной матрицы А
системы линейных уравнений отличен от
нуля, то существует и притом единственное
решение матричного уравнения

АХ=В,

определяемое
соотношением

Х=А-1В,

которое эквивалентно
формулам Крамера.

§4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Вначале одно
предварительное замечание. Применяя
метод Гаусса, приходится выполнять
такие преобразования системы: 1)
переставлять местами два уравнения; 2)
умножать обе части какого-нибудь
уравнения системы на одно и то же число,
отличное от нуля; 3) обе части одного из
уравнений системы, умноженные на одно
и то же число, вычитать из соответствующих
частей некоторого другого уравнения
системы. Нетрудно показать, что система,
полученная в результате этих преобразований,
будет эквивалентна исходной.

Перейдем теперь
к изложению методом Гаусса, который
называется также методом последовательного
исключения неизвестных.

Пусть дана
произвольная система линейных уравнений

(1)

Предположим, что
а110
(в противном случае пришлось бы переставить
два уравнения: ведь какой-нибудь из
коэффициентов при x1
отличен от 0).
С помощью 1-го уравнения исключим
неизвестное x1
из всех уравнений системы, начиная со
второго. Для этого вычтем из iго
уравнения первое уравнение, умноженное
на аі1/a11
, i=2,3,…,m.
В результате придем к новой системе,
эквивалентной исходной:

(2)

Далее будем
преобразовывать систему (2), причем 1-е
уравнение мы не будем трогать совсем и
подлежащей преобразованиям будем
считать лишь часть этой системы, состоящую
из всех уравнений, кроме первого. При
этом мы считаем, что среди этих уравнений
нет таких, все коэффициенты левых частей
которых равны нулю: такие уравнения мы
выбросили бы, если бы и их свободные
члены были равны нулю, а в противном
случае мы уже доказали бы несовместимость
нашей системы. Таким образом, среди
коэффициентов
есть
отличные от нуля; для определенности
примем, что(в противном случае пришлось бы
переставлять уравнения или неизвестные).
С помощью 2-го уравнения системы (2)
исключим неизвестноеx2
из всех уравнений системы (2), начиная с
третьего. Для этого вычтем из jго
уравнения второе, умноженное на
.
Придем к следующей системе, эквивалентной
системе (2), а значит (1):

(3)

Наша система
содержит теперь p
уравнений, pm,
так как некоторые уравнения оказались,
возможно, отброшенными. В дальнейшем
подлежит преобразованиям, аналогично
уже поделанным, часть полученной системы,
содержащей все уравнения, кроме двух
первых.

Когда остановится
этот процесс последовательного исключения
неизвестных?

Если мы придем к
такой системе, одно из уравнений которой
имеет отличный от нуля свободный член,
а все коэффициенты левой части равны
нулю, то, как мы знаем, наша исходная
система несовместна.

Если же таких
уравнений не встретится, то процесс
исключения закончится не позже чем на
(m–1)ом
шаге. Обозначим через k
– число уравнений, которые останутся
в системе после завершения процесса
исключения неизвестных. Возможны случаи:
k=n,

k<n,
k>n.

В случае,
когда k=n
получим так называемую “треугольную”
систему

(4)

у которой в каждом
последующем уравнении ровно на одно
неизвестное меньше, чем в предыдущем.
Из последнего уравнения мы получаем
вполне определенное значение для
неизвестного xn.
Подставив его в предпоследнее уравнение,
мы найдем однозначно определенное
значение для неизвестного xn1.
Продолжая так далее, мы найдем, что
система (4), а поэтому и система (1) обладают
единственным решением, т.е. совместна
и определена.

Пусть теперь k<n.
Система, полученная после завершения
процесса исключения, имеет так называемую
“трапецеидальную” форму:

(5)

Назовем неизвестные
xk+1,
xk+2,…,xn

свободными,
придадим им произвольные числовые
значения и перенесем члены, содержащие
их, в правые части уравнений. Мы получим
систему “треугольной” формы (4), из
которой однозначно определяется
неизвестные x1,
x2,,xk.
Так как значения для свободных неизвестных
можно выбирать бесконечным числом
различных способов, то наша система (5)
и, следовательно, система (1) будут
совместными, но неопределенными. Легко
проверить, что указанным здесь методом
будут найдены все решения системы (1).

Третий случай,
когда k>n
кажется возможным лишь первый момент.
Система имеет вид, получающийся
приписыванием к системе (4) еще нескольких
уравнений, содержащих лишь неизвестное
xn.
В действительности, однако, в этом случае
преобразования просто не доведены до
конца: так как
,
то из всех уравнений, начиная с (n+1)го,
неизвестное xn
может быть исключено.

Итак, подведем
итоги. Метод Гаусса применим к любой
системе линейных уравнений. При этом
система будет несовместной, если в
процессе исключения неизвестных мы
получим уравнение, в котором коэффициенты
при всех неизвестных равны нулю, а
свободный член отличен от нуля; Если же
такого уравнения мы не встретим, то
система будет совместной. Совместная
система будет определенной, если
приводится к треугольному виду (4) (число
оставшихся уравнений равно числу
неизвестных), и неопределенной, если
приводится к трапецеидальному виду (5)
(число оставшихся уравнений меньше
числа неизвестных).

Замечание.
При практическом применении метода
Гаусса следует выписать основную матрицу
системы и, приписав к ней столбец
свободных членов, получить так называемую
расширенную матрицу системы. Все
преобразования выполняют над строками
этой матрицы. Для удобства столбец
свободных членов можно отделить
вертикальной чертой от остальных
столбцов матрицы.

Пример.
Решить систему

Решение.
Подвергаем преобразованиям расширенную
матрицу этой системы.

Краткие пояснения.
1-й шаг: первую строку вычитаем из третьей.
2-й шаг: вторую строку умножаем на 5 и
вычитаем из третьей, а также умножаем
на 7 и прибавляем к четвертой. 3-й шаг:
третью строку умножаем на 2 и прибавляем
к четвертой. 4-й шаг: отбрасываем четвертую
строку, сплошь состоящую из нулей, и
делим третью строку на 2. Мыприходим,
следовательно, к системе:

В качестве свободного
неизвестного можно принять любое из
неизвестных х3
или
х4.
Пусть х4=α.
Тогда из 3-го
уравнения х3=6+2α,
из 2-го получаем
х2=3,
а из первого х1=
8.
Итак, общий вид решения заданной системы:

(–8;
3;
6+2α;
α),
где α
– произвольное число.

studfiles.net