Решение методом обратной матрицы онлайн с решением: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.
В результате вы получите матрицу дополнений, теперь транспонируйте ее. Транспонирование — это операция, симметричная относительно главной диагонали матрицы, столбцы и строки меняются местами. Таким образом, вы нашли присоединенную матрицу A*.
В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.
Определение 1
Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.
Пример 1
Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Матричный вид записи : А × X = B
где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.
X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,
B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.
Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1:
A — 1 × A × X = A — 1 × B .
Так как А — 1 × А = Е, то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В.
Замечание
Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А.
В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.
Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
Пример 2Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:
2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2
Как решить?
- Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где
А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .
- Выражаем из этого уравнения X:
- Находим определитель матрицы А:
d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 — 3 × (- 2) × 3 — — 1 × (- 4) × 5 — 2 × 4 — (- 1) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25
d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.
- Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А:
А 11 = (- 1) (1 + 1) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,
А 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = — (5 — 12) = 7 ,
А 13 = (- 1) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,
А 21 = (- 1) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — (- 20 + 3) = 17 ,
А 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,
А 23 = (- 1) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — (- 2 + 12) = — 10 ,
А 31 = (- 1) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,
А 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = — (8 — 3) = — 5 ,
А 33 = (- 1) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .
- Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:
А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0
- Записываем обратную матрицу согласно формуле:
A — 1 = 1 d e t A (A *) T: А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,
- Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:
X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1
Ответ : x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.
Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.
Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.
Повторение: умножение матриц
Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $\left[ m\times n \right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:
\=\underbrace{\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & … & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & … & {{a}_{2n}} \\ … & … & … & … \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & … & {{a}_{mn}} \\\end{matrix} \right]}_{n}\]
Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:
Что происходит? Если разместить стандартную систему координат $OXY$ в левом верхнем углу и направить оси так, чтобы они охватывали всю матрицу, то каждой клетке этой матрицы можно однозначно сопоставить координаты $\left(x;y \right)$ — это и будет номер строки и номер столбца.
Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.
А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.
В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.
Определение. Матрицы $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.
Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $\left(A;B \right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.
Другими словами: чтобы получить элемент ${{c}_{ij}}$ матрицы $C=A\cdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.
Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:
- Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Однако умножение ассоциативно: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- И даже дистрибутивно: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- И ещё раз дистрибутивно: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.
Если всё же получается так, что $A\cdot B=B\cdot A$, такие матрицы называются перестановочными.
Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:
Определение.
{-1}}$. Тогда эта обратная матрица — единственная. Доказательство. Пойдём от противного: пусть у матрицы $A$ есть хотя бы два экземпляра обратных —$B$ и $C$. Тогда, согласно определению, верны следующие равенства:
\[\begin{align} & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end{align}\]
Из леммы 1 мы заключаем, что все четыре матрицы — $A$, $B$, $C$ и $E$ — являются квадратными одинакового порядка: $\left[ n\times n \right]$. Следовательно, определено произведение:
Поскольку умножение матриц ассоциативно (но не коммутативно!), мы можем записать:
\[\begin{align} & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end{align}\]
Получили единственно возможный вариант: два экземпляра обратной матрицы равны. Лемма доказана.
Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $b\ne 0$. {-1}} \right|\ne 0.\]
Вот и получается, что $\left| A \right|\ne 0$. Лемма доказана.
На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.
Но для начала сформулируем «вспомогательное» определение:
Определение. Вырожденная матрица — это квадратная матрица размера $\left[ n\times n \right]$, чей определитель равен нулю.
Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.
Как найти обратную матрицу
Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.
Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $\left[ 2\times 2 \right]$ и — частично — размера $\left[ 3\times 3 \right]$. {t}}$, где $t$ — это (вот сейчас внимание!) сумма номеров всех выбранных строчек и столбцов. Это и будет алгебраическое дополнение.
Взгляните на третий шаг: там вообще-то сумма $2k$ слагаемых! Другое дело, что для $k=1$ мы получим лишь 2 слагаемых — это и будут те самые $i+j$ — «координаты» элемента ${{a}_{ij}}$, для которого мы ищем алгебраическое дополнение.
Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:
Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=\left[ n\times n \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times n \right]$, которая получается из $A$ заменой ${{a}_{ij}}$ алгебраическими дополнениями ${{A}_{ij}}$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} & … & {{A}_{1n}} \\ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} & … & {{A}_{2n}} \\ … & … & … & … \\ {{A}_{n1}} & {{A}_{n2}} & . {T}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end{array} \right]\]
Ну вот и всё. Задача решена.
Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end{array} \right]$
Задача. Найдите обратную матрицу:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]
Решение. Опять считаем определитель:
\[\begin{align} & \left| \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{array} \right|=\begin{matrix} \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left(2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end{matrix}= \\ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end{align}\]
Определитель отличен от нуля — матрица обратима. А вот сейчас будет самая жесть: надо посчитать аж 9 (девять, мать их!) алгебраических дополнений. {-1}}=\frac{1}{-1}\cdot \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end{array} \right]\]
Ну и всё. Вот и ответ.
Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end{array} \right]$
Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:
Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.
Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.
Альтернативный способ
Как я и говорил, теорема об обратной матрице прекрасно работает для размеров $\left[ 2\times 2 \right]$ и $\left[ 3\times 3 \right]$ (в последнем случае — уже не так уж и «прекрасно»), а вот для матриц больших размеров начинается прям печаль.
Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.
Элементарные преобразования
Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:
- Умножение. Можно взять $i$-ю строку (столбец) и умножить её на любое число $k\ne 0$;
- Сложение. Прибавить к $i$-й строке (столбцу) любую другую $j$-ю строку (столбец), умноженную на любое число $k\ne 0$ (можно, конечно, и $k=0$, но какой в этом смысл? Ничего не изменится же).
- Перестановка. Взять $i$-ю и $j$-ю строки (столбцы) и поменять местами.
Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.
Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.
Присоединённая матрица
Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.
Так вот: сейчас будет всё то же, но уже «по-взрослому». Готовы?
Определение. Пусть дана матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и единичная матрица $E$ такого же размера $n$. Тогда присоединённая матрица $\left[ A\left| E \right. \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times 2n \right]$, которая выглядит так:
\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin{array}{rrrr|rrrr}{{a}_{11}} & {{a}_{12}} & … & {{a}_{1n}} & 1 & 0 & … & 0 \\{{a}_{21}} & {{a}_{22}} & … & {{a}_{2n}} & 0 & 1 & . {-1}}\]
Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:
- Записать присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$;
- Выполнять элементарные преобразования строк до тех пор, пока права вместо $A$ не появится $E$;
- Разумеется, слева тоже что-то появится — некая матрица $B$. Это и будет обратная;
- PROFIT!:)
Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.
Задача. Найдите обратную матрицу:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\]
Решение. Составляем присоединённую матрицу:
\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]
Поскольку последний столбец исходной матрицы заполнен единицами, вычтем первую строку из остальных:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Больше единиц нет, кроме первой строки. Но её мы не трогаем, иначе в третьем столбце начнут «размножаться» только что убранные единицы.
Зато можем вычесть вторую строку дважды из последней — получим единицу в левом нижнем углу:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end{matrix}\to \\ & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Теперь можно вычесть последнюю строку из первой и дважды из второй — таким образом мы «занулим» первый столбец:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Умножим вторую строку на −1, а затем вычтем её 6 раз из первой и прибавим 1 раз к последней:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Осталось лишь поменять местами строки 1 и 3:
\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\\end{array} \right]\]
Готово! Справа — искомая обратная матрица.
Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end{array} \right]$
Задача. Найдите обратную матрицу:
\[\left[ \begin{matrix} 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end{matrix} \right]\]
Решение. Снова составляем присоединённую:
\[\left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]
Немного позалимаем, попечалимся от того, сколько сейчас придётся считать… и начнём считать. Для начала «обнулим» первый столбец, вычитая строку 1 из строк 2 и 3:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Наблюдаем слишком много «минусов» в строках 2—4. Умножим все три строки на −1, а затем «выжжем» третий столбец, вычитая строку 3 из остальных:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Теперь самое время «поджарить» последний столбец исходной матрицы: вычитаем строку 4 из остальных:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Финальный бросок: «выжигаем» второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и 3:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
И снова слева единичная матрица, значит справа — обратная. 🙂
Ответ. $\left[ \begin{matrix} 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{matrix} \right]$
Ну вот и всё. Проверку сделайте сами — мне в лом.:)
www.сайт позволяет найти обратную матрицу онлайн . Сайт производит вычисление обратной матрицы онлайн . За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Обратной матрицей будет являться такая матрица , умножение исходной матрицы на которую дает единичную матрицу , при условии, что определитель начальной матрицы не равен нулю, иначе обратной матрицы для нее не существует. В задачах, когда вычисляем обратную матрицу онлайн , необходимо, чтобы определитель матрицы был отличным от нуля, иначе www.сайт выдаст соответствующее сообщение о невозможности вычислить обратную матрицу онлайн . Такую матрицу еще называют вырожденной. Найти обратную матрицу в режиме онлайн можно только для квадратной матрицы . Операция нахождения обратной матрицы онлайн сводится к вычислению определителя матрицы , затем составляется промежуточная матрица по известному правилу, и в завершении операции — умножения найденного ранее определителя на транспонированную промежуточную матрицу . Точного результата от определения обратной матрицы онлайн можно добиться, изучив теорию по этому курсу. Данная операция занимает особое место в теории матриц и линейной алгебры, позволяет решать системы линейных уравнений, так называемым, матричным методом. Задача по нахождению обратной матрицы онлайн встречается уже в начале изучения высшей математики и присутствует почти в каждой математической дисциплине как базовое понятие алгебры, являясь математическим инструментом в прикладных задачах. www.сайт находит обратную матрицу заданной размерности в режиме онлайн мгновенно. Вычисление обратной матрицы онлайн при заданной её размерности — это нахождение матрицы той же размерности в числовом ее значении, а также в символьном, найденного по правилу вычисления обратной матрицы . Нахождение обратной матрицы онлайн широко распространено в теории матриц . Результат нахождения обратной матрицы онлайн используется при решении линейной системы уравнений матричным методом. Если определитель матрицы будет равен нулю, то обратной матрицы , для которой найден нулевой определитель, не существует. Для того, чтобы вычислить обратную матрицу или найти сразу для нескольких матриц соответствующие им обратные , необходимо затратить не мало времени и усилий, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет обратную матрицу онлайн . При этом ответ по нахождению обратной матрицы будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении обратной матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.сайт допускаются символьные записи в элементах матриц , то есть обратная матрица онлайн может быть представлена в общем символьном виде при вычислении обратной матрицы онлайн . Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению обратной матрицы онлайн , используя сайт www.сайт . При совершении операции вычисления обратной матрицы онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении данной задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему обратная матрица онлайн . Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.сайт безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахождении и вычислении обратной матрицы онлайн .
Как правило, обратные операции используются для упрощения сложных алгебраических выражений. Например, если в задаче присутствует операция деления на дробь, можно заменить ее операцией умножения на обратную дробь, что является обратной операцией. Более того, матрицы делить нельзя, поэтому нужно умножать на обратную матрицу. Вычислять матрицу, обратную матрице размером 3х3, довольно утомительно, но нужно уметь делать это вручную. Также обратную величину можно найти с помощью хорошего графического калькулятора.
Шаги
С помощью присоединенной матрицы
Транспонируйте исходную матрицу. Транспонирование – это замена строк на столбцы относительно главной диагонали матрицы, то есть нужно поменять местами элементы (i,j) и (j,i). При этом элементы главной диагонали (начинается в верхнем левом углу и заканчивается в нижнем правом углу) не меняются.
- Чтобы поменять строки на столбцы, запишите элементы первой строки в первом столбце, элементы второй строки во втором столбце, а элементы третьей строки в третьем столбце. Порядок изменения положения элементов показан на рисунке, на котором соответствующие элементы обведены цветными кружками.
Найдите определить каждой матрицы размером 2х2. Каждый элемент любой матрицы, включая транспонированную, связан с соответствующей матрицей 2х2. Чтобы найти матрицу 2х2, которая соответствует определенному элементу, зачеркните строку и столбец, в которых находится данный элемент, то есть нужно зачеркнуть пять элементов исходной матрицы 3х3. Незачеркнутыми останутся четыре элемента, которые являются элементами соответствующей матрицы 2х2.
- Например, чтобы найти матрицу 2х2 для элемента, который расположен на пересечении второй строки и первого столбца, зачеркните пять элементов, которые находятся во второй строке и первом столбце. Оставшиеся четыре элемента являются элементами соответствующей матрицы 2х2.
- Найдите определитель каждой матрицы 2х2. Для этого произведение элементов второстепенной диагонали вычтите из произведения элементов главной диагонали (смотрите рисунок).
- Подробную информацию о матрицах 2х2, соответствующих определенным элементам матрицы 3х3, можно найти в интернете.
Создайте матрицу кофакторов. Результаты, полученные ранее, запишите в виде новой матрицы кофакторов. Для этого найденный определитель каждой матрицы 2х2 напишите там, где располагался соответствующий элемент матрицы 3х3. Например, если рассматривается матрица 2х2 для элемента (1,1), ее определитель запишите в позиции (1,1). Затем поменяйте знаки соответствующих элементов согласно определенной схеме, которая показана на рисунке.
- Схема изменения знаков: знак первого элемента первой строки не меняется; знак второго элемента первой строки меняется на противоположный; знак третьего элемента первой строки не меняется и так далее построчно. Обратите внимание, что знаки «+» и «-», которые показаны на схеме (смотрите рисунок), не свидетельствуют о том, что соответствующий элемент будет положительным или отрицательным. В данном случае знак «+» говорит о том, что знак элемента не меняется, а знак «-» свидетельствует об изменении знака элемента.
- Подробную информацию о матрицах кофакторов можно найти в интернете.
- Так вы найдете присоединенную матрицу исходной матрицы. Иногда ее называют комплексно-сопряженной матрицей. Такая матрица обозначается как adj(M).
Разделите каждый элемент присоединенной матрицы на определитель. Определитель матрицы М был вычислен в самом начале, чтобы проверить, что обратная матрица существует. Теперь разделите каждый элемент присоединенной матрицы на этот определитель. Результат каждой операции деления запишите там, где находится соответствующий элемент. Так вы найдете матрицу, обратную исходной.
- Определитель матрицы, которая показана на рисунке, равен 1. Таким образом, здесь присоединенная матрица является обратной матрицей (потому что при делении любого числа на 1 оно не меняется).
- В некоторых источниках операция деления заменяется операцией умножения на 1/det(М). При этом конечный результат не меняется.
Запишите обратную матрицу. Запишите элементы, расположенные на правой половине большой матрицы, в виде отдельной матрицы, которая является обратной матрицей.
С помощью калькулятора
Выберите калькулятор, который работает с матрицами. С помощью простых калькуляторов нельзя найти обратную матрицу, но это можно сделать на хорошем графическом калькуляторе, таком как Texas Instruments TI-83 или TI-86.
Введите исходную матрицу в память калькулятора. Для этого нажмите кнопку Matrix (Матрица), если она есть. В случае калькулятора Texas Instruments, возможно, понадобится нажать кнопки 2 nd и Matrix.
Выберите меню Edit (Редактирование). Сделайте это с помощью кнопок со стрелками или соответствующей функциональной кнопки, которая находится в верхней части клавиатуры калькулятора (расположение кнопки зависит от модели калькулятора).
Введите обозначение матрицы. Большинство графических калькуляторов умеет работать с 3-10 матрицами, которые можно обозначить буквами А-J. Как правило, просто выберите [A], чтобы обозначить исходную матрицу. Затем нажмите кнопку Enter (Ввод).
Введите размер матрицы. В данной статье говорится о матрицах 3х3. Но графические калькуляторы умеют работать с матрицами больших размеров. Введите количество строк, нажмите кнопку Enter, затем введите количество столбцов и еще раз нажмите кнопку Enter.
Введите каждый элемент матрицы. На экране калькулятора отобразится матрица. Если ранее в калькулятор уже вводилась матрица, она появится на экране. Курсор выделит первый элемент матрицы. Введите значение первого элемента и нажмите Enter. Курсор автоматически переместится к следующему элементу матрицы.
Метод обратной матрицы и как найти обратную матрицу
Решать систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы («найти обратную матрицу») — это не самый удобный способ, но он существует. Нахождение обратной матрицы применимо, если определитель, будучи составлен из коэффициентов при переменных, 0.
Для примера возьмем опять же знакомую нам систему:
Запишем эту систему в матричной форме
A * X = B
Будем искать матицу A1, обратную к матрице А, с помощью
метода Гаусса
Для этого запишем расширенную матрицу, в которой слева будет находиться наша исходная
матрица А, а справа — единичная.
Используя метод Гаусса, постепенно приведем нашу исходную к единичной матрице. Это
преобразование применим ко всей расширенной матрице.
После приведения левой части расширенной матрицы к единичной, справа окажется матрица,
обратная к нашей исходной, а проследить последовательность приведения левой части расширенной
матрицы к единичной нам помогут серые выделенные элементы.
Рассмотрим столбец 1.
Преобразования матрицы удобнее производить в целых числах, для этого следует прибавить
соответствующие элементы строки 1 к элементам строки 2:
Прибавим соответствующие элементы строки 1 к элементам строки 2, помножив их на -3.
Это приведет к тому, что в левой части расширенной матрицы, все элементы расположенные ниже
главной диагонали = 0.
Проведем аналогичные преобразования, но уже применительно к элементам матрицы,
расположенными выше главной диагонали.
Рассмотрим столбец 2.
Разделим элементы строки 2 на -30.
Прибавим к элементам строки 1 соответствующие элементы строки 2, помноженные на -13.
Элементы строки 1 разделим на -1.
Запишем обратную матрицу.
Теперь вернемся к уравнению, записанному нами в матричной форме.
A * X = B
Умножим обе части уравнения на A1
Произведение исходной матрицы на обратную дает единичную матрицу,
т.е. A1 * A = Е, следовательно
X = A1 * B
Ответ :
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Решение задач №3 Найти решение СЛАУ. | Vseznayka
Доброго времени суток. Сегодня возьмёмся за объёмную, но не менее интересную задачу. А именно поиск решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы. Для тех, кто знает как это делать и желает лишь убедиться в правильности своих мыслей, полное решение будет в конце статьи. Запишем систему:
Исходная система.Исходная система.
Система четвёртого порядка. Решение будет довольно не маленькое. Запишем формулу для вычисления системы уравнений методом обратной матрицы.
Формула для нахождения полного решения.Формула для нахождения полного решения.
Где А» в минус первой степени:
Обратная матрица.Обратная матрица.
«А*» это матрица алгебраических элементов для основной матрицы. Буква «Т» обозначает транспонирование. То есть транспонирование матрицы состоящей из алгебраических дополнений. «det(A)» — определитель матрицы «А».
Как все догадались «А» в минус первой степени это и есть обратная матрица составленная из коэффициентов основной матрицы системы. «В» матрица столбца свободных элементов (те, что после равенства). «Х» матрица неизвестных, то есть тех что необходимо найти. Продемонстрируем:
Иначе говоря, если перемножить матрица «А» на матрицу «Х», мы получим матрицу «В», получится исходная система что записана в самом начале. Для того, чтобы убедиться в том, что СЛАУ можно решать методом обратной матрицы, нужно убедиться в невырожденности матрицы составленной из коэффициентов при неизвестных, то есть определитель должен быть отличен от нуля. Выполним проверку.
Вычисление определителя составленного из коэффициентов при неизвестных.Вычисление определителя составленного из коэффициентов при неизвестных.
Стоит прокомментировать последовательность действий. Для удобства обнулили все элементы второго столбца начиная со второй строки, чтобы в дальнейшем сделать разложение матрицы по первой строке и второму столбцу. Умножили первую строку на минус один и потом сложив её с второй и четвёртой строками поочерёдно. Далее выполнили разложение по первой строке и второму столбцу. Получили определитель третьего порядка, после проделали подобные действия что и делали ранее, только по первому столбцу и первой строке. В конечном итоге получен определитель основной матрицы равный 135, он отличен от нуля, значит матрица невырожденная. Решать систему методом обратной матрицы можно. Продолжим.
На следующем этапе необходимо найти алгебраическое дополнение для каждого элемента основной матрицы. Запишем формулу нахождения алгебраического дополнения.
Формула нахождения алгебраического дополнения.Формула нахождения алгебраического дополнения.
Используя её найдём 16 алгебраических дополнений.
Найдя все алгебраические дополнения используем формулу для нахождения обратной матрицы.
Обратная матрица.Обратная матрица.
Найдём все неизвестные по самой начальной формуле. Умножим обратную матрицу на столбец свободных элементов.
Выполнение перемножения обратной матрицы на столбец свободных членов.Выполнение перемножения обратной матрицы на столбец свободных членов.
В конце всё идеально сократилось, что говорит о правильности вычислений. Запишем конечный ответ в виде системы:
Ответ.Ответ.
Подведём итоги. Решение СЛАУ методом обратной матрицы крайне долгое, много расчётов выходит. В следующий раз попробуем решить эту же систему другим способом. В этом случае можно будет точно сказать, на сколько данный метод дольше и сложнее относительно другого. Спасибо за внимание.
Полное решение:
Другие темы:
Калькулятор обратной матрицы — eMathHelp
Калькулятор найдет обратную (если она существует) квадратную матрицу, используя метод исключения Гаусса или метод сопряжения, с показанными шагами. {-1}$$$ с помощью Гаусса — Ликвидация Иордании.
Решение
Чтобы найти обратную матрицу, дополните ее единичной матрицей и выполните операции со строками, пытаясь сделать единичную матрицу слева. Тогда справа будет обратная матрица.
Итак, дополним матрицу единичной матрицей:
$$$\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array }\right]$$$
Разделить строку $$$1$$$ на $$$2$$$: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end {array}\right]$$$
Вычесть строку $$$1$$$ из строки $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} — R_{1}$$$.
$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{5}{2} } & — \frac{1}{2} & 1\end{массив}\right]$$$
Умножить строку $$$2$$$ на $$$\frac{2}{5}$$$: $$$R_{2} = \frac{2 R_{2}}{5}$$$.
$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & — \frac{1 }{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$$
Вычесть строку $$$2$$$, умноженную на $$$\frac{1}{2}$$$ из строки $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} — \frac{R_{2}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{5} & — \frac{1}{5}\\0 & 1 & — \frac{ 1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$$
Готово. Слева — единичная матрица. Справа — обратная матрица.
Ответить
Обратная матрица: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & — \frac{1}{5}\\- \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{массив}\right] = \left[\begin{массив}{cc}0,6 и -0.2\\-0,2 и 0,4\конец{массив}\справа].$$$A
Найдите обратную матрицу с помощью пошагового решения математических задач
В этом разделе мультипликативные элементы идентичности и мультипликативные обратные вводятся и используются для решения матричных уравнений. Это приводит к другому метод решения систем уравнений.
МАТРИЦЫ ИДЕНТИЧНОСТИ Свойство идентичности действительных чисел говорит, что a * I = a и I * a = a для любого действительного числа a. Если должно быть мультипликативный единичная матрица I такая, что:
AI = A и IA = A,
для любой матрицы A, то A и I должны быть квадратными матрицами одинакового размера. В противном случае было бы невозможно найти оба продукта. Например, пусть А матрица 2 X 2 и пусть
представляют собой единичную матрицу 2 X 2. Чтобы найти I, используйте тот факт, что IA = A, или
Перемножив две матрицы в левой части этого уравнения и установив элементов матрицы произведения, равных соответствующим элементам A, дает следующая система уравнений с переменными x11, x12, x21 и x22
Обратите внимание, что на самом деле это две системы уравнений с двумя переменными.Используйте один из методы предыдущей главы, чтобы найти решение этой системы: x11 = 1, x12 = x21 = 0 и X22 = 1. Из решения системы 2 X 2 единичная матрица
Убедитесь, что при таком определении I оба Al = A и IA = A.
Пример 1 ПРОВЕРКА СВОЙСТВА ИДЕНТИЧНОСТИ
Пусть
Убедитесь, что MI = M и IM = M
Матрица идентичности 2 X 2, найденная выше, предлагает следующее обобщение:
n x n МАТРИЦА ИДЕНТИЧНОСТИ
Для любого значения n существует единичная матрица размера n X n, имеющая l вниз по диагонали и 0 в другом месте. (-1).(-1). Этот матрица должна удовлетворять утверждениям
Мультипликативная обратная матрица может быть найдена с помощью преобразования строки матрицы, приведенные в предыдущем уроке и повторенные здесь для удобство.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРОК МАТРИЦЫ
Преобразования строк матрицы:
перестановка любых двух строк матрицы местами;
умножение элементов любой строки матрицы на одинаковые ненулевой скаляр k; и
добавление нескольких элементов одной строки к элементам другого ряда.(-1) = 1 или
Путем умножения матриц,
Приравнивание соответствующих элементов дает систему уравнений
Поскольку уравнения (1) и (3) включают только x и z, а уравнения (2) и (4) включают только y и w, эти четыре уравнения приводят к двум системам уравнений,2x + 4z = 1
x-z=0и
2y + 4w = 0
y-w=1.Запись двух систем в виде расширенных матриц дает
Каждая из этих систем может быть решена методом Гаусса-Жордана.Однако, поскольку элементы слева от вертикальной черты идентичны, две системы могут объединить в одну расширенную матрицу
и решить одновременно следующим образом. Поменяйте местами две строки, чтобы получить 1 в верхний левый угол.Умножьте первую строку на -2 и прибавьте результаты ко второй строке, чтобы получить
Теперь, чтобы получить I во второй строке во втором столбце, умножьте второе ряд на 1/6.Наконец, добавьте вторую строку к первой строке, чтобы получить 0 во втором столбце. выше 1.(-1) — это просто обозначение обратной матрицы A.
Калькулятор обратной матрицы — Онлайн калькулятор обратной матрицы
Калькулятор обратной матрицы вычисляет значение обратной матрицы для заданной матрицы. Предположим, мы умножаем матрицу на заданную матрицу, и произведение является мультипликативным тождеством. Тогда такая матрица называется обратной к данной матрице.
Что такое калькулятор обратной матрицы?
Калькулятор обратной матрицы — это онлайн-инструмент, который помогает вычислить обратную матрицу для заданной матрицы 2 × 2.Если определитель матрицы равен 0, то матрица, обратная такой, не может существовать. Чтобы использовать этот калькулятор обратной матрицы , введите значения в поля ввода.
Калькулятор обратной матрицы
*Используйте только до 3 цифр.
Как использовать калькулятор обратной матрицы?
Чтобы найти обратную матрицу с помощью онлайн-калькулятора обратной матрицы, выполните следующие действия:
- Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору обратной матрицы Cuemath.
- Шаг 1: Введите значение матрицы в соответствующие поля ввода калькулятора обратной матрицы.
- Шаг 2: Нажмите кнопку «Вычислить» , чтобы найти результирующую обратную матрицу.
- Шаг 3: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.
Как работает калькулятор обратной матрицы?
Предположим, у нас есть матрица, заданная A.Обратное значение обозначим A -1 . Когда эти две матрицы перемножаются, мы получаем мультипликативное тождество. Таким образом, AA -1 = I. Чтобы существовала обратная матрица, ее определитель не должен быть равен 0. Кроме того, матрица должна быть квадратной матрицей. Шаги для вычисления обратной матрицы 2 × 2 следующие:
- Шаг 1: Найдите определитель данной матрицы.
- Шаг 2: Найдите матрицу кофакторов.
- Шаг 3: Найдите транспонированную матрицу кофакторов.Это также известно как сопряжение матрицы.
- Шаг 4: Разделите сопряженную матрицу, полученную на шаге 3, на определитель из шага 1. Это даст обратную матрицу.
В дополнение к шагам, упомянутым выше, можно использовать следующую формулу для нахождения обратной матрицы 2 × 2.
A = \(\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\)
A -1 = \(\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}adjA\)
A -1 = \(\frac{1}{ad — bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}\)
Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы.С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.
Забронируйте бесплатный пробный урок
Решенные примеры на обратной матрице
Пример 1: Найдите обратную матрицу A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) и проверьте ее с помощью калькулятора обратной матрицы.
Решение:
Дано: A = \(\begin{bmatrix} 1 и 2\\ 3 и 4 \end{bmatrix}\)
A -1 = \(\frac{1}{ad — bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}\)
A -1 = \(\frac{1}{4 — 6}\begin{bmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{bmatrix}\)
A -1 = \(\begin{bmatrix} -2 & 1\\ 1. 5 & -0,5 \end{bmatrix}\)
Пример 2: Найдите обратную матрицу A = \(\begin{bmatrix} -10 & 4\\ 3 & -1 \end{bmatrix}\) и проверьте ее с помощью калькулятора обратной матрицы.
Решение:
Дано: A = \(\begin{bmatrix} -10 и 4\\ 3 & -1 \end{bmatrix}\)
A -1 = \(\frac{1}{ad — bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}\)
A -1 = \(\frac{1}{10 — 12}\begin{bmatrix} -1 & -4\\ -3 & -10 \end{bmatrix}\)
А -1 = \(\begin{bmatrix} 0.5 и 2\\ 1,5 и 5 \end{bmatrix}\)
Точно так же вы можете попробовать калькулятор обратной матрицы и найти обратную для заданных матриц:
- А = \(\begin{bmatrix} 5 и 10\\ 15 и 20 \end{bmatrix}\)
- B = \(\begin{bmatrix} 18 и 21\\ 7 и 3 \end{bmatrix}\)
☛ Математические калькуляторы:
матричный калькулятор | Калькулятор комплексных матричных решений
Введение в матричный калькулятор
Матричный калькулятор — это удобный инструмент, специально разработанный для студентов и преподавателей всех направлений. Он разработан с максимальным вниманием к деталям, поэтому вы можете без проблем использовать его во всех современных браузерах.
Онлайн-калькулятор матриц позволяет рассчитать значения матрицы 2×2, матрицы 3×3, матрицы 4×4 и так далее. Это полезно, если вы работаете с матрицами и хотите попробовать кое-что самостоятельно. Вы можете рассчитать матрицы с помощью калькулятора метода исключения Гаусса Джордана и всех возможных методов решения, доступных для матриц
.Что такое матричный калькулятор?
Матричный математический калькулятор очень полезен во многих аспектах математики.Он используется в различных функциях, таких как определение площади данного участка, измерение двусторонней формы или ее окружности, а также в других, таких как нахождение разницы между двумя числами.
Почти все наши математические знания получены из использования матриц и функций и других аспектов теории чисел и комбинаций.
Зачем использовать матричный калькулятор?
Калькуляторы матричных решенийобычно используются для решения системных уравнений, которые чрезвычайно трудно решить вручную. Чтобы выполнить матричный расчет, вам необходимо ввести ряд величин, которые должны идеально сочетаться друг с другом.
Полученное значение затем сравнивается со всеми ранее сгенерированными значениями и отмечаются все несоответствия. Это может занять очень много времени и утомительно, особенно при работе с огромными объемами данных. Тем не менее, матричные калькуляторы были разработаны, чтобы облегчить пользователям эту задачу за счет автоматизации процесса. Процессы автоматизированы для каждого матричного метода. Например, вы можете выполнять транспонирование и инверсию матриц с помощью калькулятора транспонирования матриц и калькулятора инверсии матриц
.Преимущества использования калькулятора матриц
Калькулятор сложения и вычитания матриц помогает решать матрицы онлайн, что ускоряет процесс обучения.Онлайн-калькуляторы — лучший способ научиться чему-то во время практики. Кроме того, он также имеет много других преимуществ, таких как:
- Его можно использовать для решения множества сложных математических задач. Некоторым людям может быть интересно использовать его в возможных областях математики, таких как инженерия и геология.
- Его также можно использовать для поиска ответа на любое уравнение, включая гипотезу Римана.
- Также может использоваться в методе решения квадратного уравнения и некоторых других методах, где значение может быть определено в некоторой точке уравнения.
- Это один из самых ценных инструментов для изучения математики в старших классах и колледжах.
- Он также часто используется персоналом финансовой помощи при принятии решений о финансовой помощи для студентов.
- Преимущество использования матричного калькулятора заключается в том, что он позволяет учащимся рассчитать общую стоимость своего образования, включая плату за обучение, книги, расходные материалы и другие необходимые расходы. Затем он разбивает эти категории, чтобы учащиеся могли точно видеть, какой будет их счет каждый месяц.
Как найти матричный калькулятор?
Матричный калькулятор — это онлайн-инструмент, который вы можете найти в Интернете. Вы можете найти наш калькулятор решателя матриц в Google или любой другой поисковой системе. Например, если вы хотите найти недействительность матрицы, вы можете ввести калькулятор недействительности матрицы или напрямую ввести Matrix-calculators.com в браузере мобильного или настольного компьютера, чтобы получить прямой доступ к этому калькулятору.
Как пользоваться матричным калькулятором?
Чтобы использовать матричный калькулятор, выполните следующие действия.
Шаг 1 : Перейдите к онлайн-калькулятору матриц.
Шаг 2 : Теперь введите значение 2 x 2 или 3 x 3 в поля ввода матрицы и выберите требуемую операцию из раскрывающегося списка.
Шаг 3 : После добавления значений нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти результирующую матрицу.
Шаг 4 : Найдя ответ, нажмите кнопку «Сброс», чтобы очистить предыдущее поле и ввести новое значение.
Не забудьте использовать другие наши инструменты для матриц, которые очень важны для матричных задач, такие как калькулятор матрицы собственных значений и калькулятор матрицы LU-декомпозиции. Мы надеемся, что вам понравился наш калькулятор и различные инструменты для работы с матрицами, добавленные для вашего удобства.
Джеймс Джонсон — Последнее обновление: 25 сентября 2021 г.
Метод обратной матрицы — Бесплатная помощь по математике
Система решения линейных уравнений: (урок 5 из 5)
Метод обратной матрицы
Предположим, вам дано уравнение с одной переменной, например, $4x = 10$.потом вы найдете значение $x$, которое решает это уравнение, умножив уравнение, обратное 4: $\color{blue}{\frac14} \cdot 4x = \color{blue}{\frac14} \cdot 10$, поэтому решение будет $x = 2,5$.
Иногда мы можем сделать что-то очень похожее на решение систем линейных уравнения; в этом случае мы будем использовать обратную матрицу коэффициентов. Но сначала мы должны проверить, что эта инверсия существует! Условия существования матрицы, обратной матрице коэффициентов, такие же, как при использовании Правило Крамера, то есть
1. В системе должно быть одинаковое количество уравнения как переменные, то есть матрица коэффициентов системы должна быть квадратный.
2. Определитель матрица коэффициентов должна быть отличной от нуля. Причина, конечно, в том, что обратная матрицы существует именно тогда, когда ее определитель отличен от нуля.
3. Чтобы использовать этот метод, следуйте шаги продемонстрированы на следующей системе:
$$ \begin{выровнено} -х + 3у + г &= 1 \\ 2х + 5у &= 3\\ 3x + у — 2z &= -2 \end{выровнено} $$Шаг 1: Перепишите систему, используя умножение матриц:
$$ \left ( {\ begin {массив} {* {20} {c}} — 1\\ 2\\ 3 \end{массив}\begin{массив}{*{20}{c}} 3\\ 5\\ 1 \end{массив}\begin{массив}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ — 2 \end{массив}} \right)\left( {\begin{массив}{*{20}{c}} Икс\\ у\\ г \end{массив}} \right) = \left( {\begin{массив}{*{20}{c}} 1\\ 3\\ — 2 \end{массив}} \right) $$и записав матрицу коэффициентов как A, мы имеем
$$ А \ влево ( {\ begin {массив} {* {20} {c}} Икс\\ у\\ г \end{массив}} \right) = \left( {\begin{массив}{*{20}{c}} 1\\ 3\\ — 2 \end{массив}} \right) $$Шаг 2: Найдите обратную матрицу коэффициентов A. { — 1}}\left( {\begin{массив}{*{20}{c}} 1\\ 3\\ {- 2} \end{массив}} \right) = \left( {\begin{массив}{*{20}{c}} { — \фракция{{10}}{9}}\\ {\ гидроразрыва {4} {9}} \\ { — \фракция{{13}}{9}} \end{массив}\begin{массив}{*{20}{c}} {\ гидроразрыва {7} {9}} \\ { — \фракция{1}{9}}\\ {\ гидроразрыва {{10}} {9}} \end{массив}\begin{массив}{*{20}{c}} { — \фракция{5}{9}}\\ {\ гидроразрыва {2} {9}} \\ { — \фракция{{11}}{9}} \end{массив}} \right)\left( {\begin{массив}{*{20}{c}} 1\\ 3\\ {- 2} \end{массив}} \right) = \left( {\begin{массив}{*{20}{c}} {21}\\ {- 3}\\ {39} \end{массив}} \right) $$
и так решение
$$ \left ( {\ begin {массив} {* {20} {c}} Икс\\ у\\ г \end{массив}} \right) = \left( {\begin{массив}{*{20}{c}} {21}\\ {- 3}\\ {39} \end{массив}} \right) $$Система линейных уравнений и обращение матриц
Система линейных уравнений и обращение матрицЭтот учебный объект JavaScript E-labs предназначен для поиска решения систем линейных уравнений до трех уравнений с тремя неизвестными. Это также позволяет нам найти обратную матрицу.
Другие учебные объекты JavaScript для принятия решений из этой серии относятся к различным областям применения в разделе МЕНЮ на этой странице.
При вводе данных для перехода от ячейки к ячейке в матрице данных используйте клавишу Tab , а не клавиши со стрелками или клавиши ввода.Инструкции и приложения:
- Неизвестные имена переменных: X1, X2, X3,..и X10, в зависимости от того, есть ли у вас одно уравнение, два уравнения или три уравнения с одной неизвестной, двумя неизвестными или тремя неизвестными переменными соответственно.
- Начиная с левого верхнего угла, замените столько нулей в матрице данных коэффициентами неизвестных переменных в уравнениях вместе с их правыми значениями, сколько необходимо. Матрица коэффициентов должна представлять собой квадратную матрицу, расположенную в верхнем левом углу матрицы данных, поэтому не оставляйте пустых строк между ними.
- JavaScript основан на операциях строки Gauss-Jordan (GJ). Требование для операций GJ состоит в том, что первый элемент в матрице коэффициентов должен быть ненулевым. Поэтому сначала введите коэффициент всех уравнений, имеющих ненулевой коэффициент X1; затем введите все остальные уравнения. То есть любое уравнение с нулевыми коэффициентами для X1 должно стоять в конце таблицы ввода данных.
Численный пример 1. Рассмотрим следующую систему уравнений:
Х2 + Х3 = 5
3Х1 + Х3 = 6
-Х1 + Х2 = 1Матрица коэффициентов переменных:
0 1 1
3 0 1
-1 1 0Первая запись первого столбца равна нулю, хотя в нем всегда есть хотя бы один ненулевой элемент.Следовательно, мы должны перестроить систему уравнений таким образом, чтобы любое уравнение с нулевым коэффициентом X1 оказалось среди последнего набора уравнений. То есть, рассматривая эквивалентную систему уравнений:
3Х1 + Х3 = 6
-Х1 + Х2 = 1
Х2 + Х3 = 5Решите эту эквивалентную систему уравнений, введя ее коэффициент и значения RHS в таблицу ввода данных, затем нажмите кнопку «Рассчитать». Выходом является решение: X1 = 1, X2 = 2 и X3 = 3, что можно проверить подстановками.
- Нахождение обратной матрицы с помощью System of Equations Solver: Чтобы найти обратную квадратную матрицу размера n, решите n систем уравнений с единичным вектором в правой части. Следующий числовой пример иллюстрирует этот процесс:
Численный пример 2. Предположим, мы хотим найти обратную (A -1 ) следующую матрицу (если она существует) A:
В общем, чтобы найти A -1 , столбец за столбцом, решите n систем уравнений, имеющих матрицу коэффициентов A, но с n различными векторами идентичности в качестве их значения RHS.
Для этого числового примера мы должны решить следующие две системы уравнений:
2Х1 + Х1 = 1
Х1 — Х2 = 0и
2Х1 + Х1 = 0
Х1 — Х2 = 1Обратите внимание, что коэффициенты переменных X1 и X2 являются матрицей A в обеих системах уравнений, однако RHS являются двумя единичными векторами в n = 2-мерном пространстве.
Решения первой и второй систем уравнений в соответствии с вышеуказанной инструкцией дают первый и второй столбцы матрицы A -1 .
Чтобы найти первый столбец A -1 , решите:
2Х1 + Х1 = 1
Х1 — Х2 = 0Это дает X1 = 1/3, X2 = 1/3. Чтобы найти второй столбец A -1 , решите:
2Х1 + Х1 = 0
Х1 — Х2 = 1Это дает X1 = 1/3, X2 = -2/3. Следовательно, A -1 p равно
1/3 1/3 А -1 = 1/3 -2/3 - Примечание: Матрица, имеющая обратную, называется невырожденной или обратимой.Матрица называется вырожденной, если она не имеет обратной. Например, следующая матрица является сингулярной:
1 6 4
2 4 -1
-1 2 5Поэтому при применении описанной выше процедуры обращения матрицы, если матрица вырожденная, то по крайней мере из систем уравнений не имеет решения.
- Для редактирования ваших данных, включая добавление/изменение/удаление, вам не нужно нажимать на кнопку «очистить», а заново вводить свои данные заново.Вы можете просто добавить, изменить число на другое в той же ячейке или удалить число из ячейки, установив его значение равным нулю. После редактирования нажмите кнопку «Рассчитать».
Это полезно, например. найти обратную матрицу A 10×10 , где мы должны изменить только значения RHS.
Для расширенного редактирования или использования JavaScript для нового набора данных используйте кнопку «Очистить».
Для получения технических подробностей вернитесь к:
тем по линейной алгебре.Пожалуйста, отправьте ваши комментарии по адресу:
Профессор Хоссейн АршамМЕНЮ
Заявление об авторских правах. Добросовестное использование материалов, представленных на этом веб-сайте, в соответствии с Руководством по добросовестному использованию образовательных мультимедиа от 1996 г. разрешено только в некоммерческих целях и в учебных целях.
Этот сайт может быть переведен и/или зеркально отображен в неизменном виде (включая эти уведомления) на любом сервере с общедоступным доступом. Все файлы доступны по адресу http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat для зеркалирования.Пожалуйста, пришлите мне по электронной почте ваши комментарии, предложения и проблемы. Спасибо.
Вернуться к:Домашняя страница доктора Аршама
ЕОФ: 1994-2015 гг.Вычисление обратной матрицы с использованием продуктов семейства TI-Nspire™.
Управляйте настройками файлов cookie
Вы можете контролировать свои предпочтения относительно того, как мы используем файлы cookie для сбора и использования информации, когда вы находитесь на веб-сайтах TI, настраивая статус этих категорий.
Категория Описание Разрешить Аналитические и эксплуатационные файлы cookie Эти файлы cookie, в том числе файлы cookie из Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI, а также отслеживать, как посетители перемещаются по нашим сайтам.Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, упрощая поиск информации на сайте). Рекламные и маркетинговые файлы cookie Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами. Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах.Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей. Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламу, чтобы она лучше соответствовала вашим интересам, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы. Функциональные файлы cookie Эти файлы cookie помогают определить, кто вы, и хранить информацию о вашей деятельности и учетной записи для предоставления расширенных функций, включая более персонализированный и актуальный опыт на наших сайтах.