Разложение по первой строке: Разложение определителя по строке (столбцу).

Содержание

Матрица метод разложения по строке. Разложение определителя по строке

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы . Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения : Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два» :

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».

Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу .
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке .
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ . Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке , очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя .

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце.

Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Определение1. 7 . Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.

Пример. Для

Определение1. 8. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:

Теорема 1.1 . Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

где i=1,2,3.

Доказательство.

Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.

Пример. Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что при этом искать не требуется, так как следовательно, и Найдем и Следовательно,

Определители более высоких порядков .

Определение1. 9 . Определитель n-го порядка

есть сумма n! членов каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.

Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.

Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.

Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :

Следовательно,

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году , хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

олнение минора определяется следующим образом:

Справедливо следующее утверждение.

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать столбцов из , то есть биномиальному коэффициенту .

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть — квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам.

a i , j

Определители

det(2A )= det(2E ) detA = 0 2 0 (− 2)= 23 (− 2)= − 16 . 0 0 2

(d) Аналогично,

det(− 3A )= det(− 3E ) detA = (− 3)3 (− 2)= 54.

(e) Сначала найдем матрицу (A − 2E ) , а затем ее определитель:

− 1 5

A − 2 E=

−1

−3

det(A − 2E )= 0 (− 1) (− 3)= 0 .

Здесь мы рассмотрим два метода вычисления определителей. Суть одного из них заключается в разложении определителя по элементам строки или столбца, в результате чего исходный определитель n -го порядка выражается черезn определителей меньшего порядка. Другой метод основывается на свойствах определителей и связан с преобразованием определителя к более простому виду. Комбинация двух методов дает наиболее эффективный путь вычисления определителей.

2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Предварительно введем некоторые важные для последующего изложения понятия.

Рассмотрим квадратную матрицу n- го порядка. Выберем i,j -ый элемент этой матрицы и вычеркнем i -ую строку и j -ый столбец. В результате

мы получаем матрицу (n –1)-го порядка, определитель которой называетсяминором элементаa i , j и обозначается символомM i , j .

Определители

Алгебраическое дополнение A i , j элементаa i , j определяется формулой

A i, j= (− 1) i + j M i, j.

Нетрудно заметить, что алгебраическое дополнение i,j -го элемента совпадает с минором этого элемента, если сумма индексов, нумерующих строку и столбец элемента, является четным числом. Для нечетных значенийi+j алгебраическое дополнение отличается от минора только знаком.

Теорема о разложении определителя по элементам строки.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

det A = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n =

= ∑ a i, jA i, j j= 1

Доказательство : По определению, определитель матрицыA представляет собой сумму

det A =	∑ a 1,k 1 a 2,k 2 K a i ,k i K a n ,k n (− 1) P { k 1 , k 2 , K , k n }
	{k 1 ,k 2 ,K k i ,K k n }

по все возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы. Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с

номером i . Один из элементов этой строки представлен в каждом произведенииa 1, k 1 a 2, k 2 K a i , k i K a n , k n . Поэтому слагаемые суммы (*)

можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент a i ,1 в качестве общего множителя, во вторую группу – члены,

Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов a i , j (j = 1,2,L ,n ),

Определители

		∑ a 1,k 1 a 2,k 2 K a i ,j K a n ,k n (− 1) P { k 1 , k 2 , K , k n } =
det A = ∑
j = 1{ k1 , k2 , K j, K kn }
		∑ a 1, k1 a 2, k2 K a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 a n, kn (− 1) P { k 1 , k 2 , K , k n } =
= ∑ a i , j
j = 1		{k 1 ,k 2 ,K j ,K k n }

= ∑ a i ,j A i ,j = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n ,
j = 1
	∑ a 1, k1 a 2, k2 L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K a n, kn (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , j , k i + 1 , L , k n ) .
A i, j=
{k 1 ,L ,k i − 1 ,k i = j ,k i + 1 ,L ,k n }
Покажем, что		A i , j представляет собой алгебраическое	дополнение
элемента a i , j .
Рассмотрим четность перестановки { k 1 , L , k i − 1 , j , k i + 1 , L , k n } .
Во-первых,	требуется i –1 транспозиций элементаj с		соседними

элементами, чтобы получить перестановку { j , k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n } .

Во-вторых, в полученной перестановке, элементj образует j –1 инверсий с другими элементами.

Следовательно,

(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,j ,k i + 1 ,L ,k n )= (− 1) i − 1+ j − 1(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,k i + 1 ,L ,k n )=

= (− 1) i+ j(− 1) P(k1 , L , ki − 1 , ki + 1 , L , kn )

∑ L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n ) = M i, j{ k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n }

представляет собой минор элемента a i , j .

Таким образом, A i , j = (− 1) i + j M i , j , что и требовалось доказать.

Поскольку det A = det A T , то тем самым справедлива и следующая

Теорема о разложении определителя по элементам столбца.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

det A = a 1,j A 1,j + a 2,j A 2,j +K+ a n ,j A n ,j

= ∑ a i, jA i, j

i = 1

Определители

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливает, что проблема вычисления определителя n- го порядка сводится к проблеме вычисленияn определителей (n –1)-го порядка.

Примерs:

1) Вычислить определитель произвольной матрицы A = ||a ij || третьего

порядка разложением по элементам

(i) первой строки;

(ii) второго столбца.

Решение:

−a

det A =

A 11(a 22a 33− a 23a 32) − a 12(a 21a 33− a 23a 31) + a 13(a 21a 32− a 22a 31)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31,

= − a 12(a 12a 33− a 23a 31) + a 22(a 11a 33− a 13a 31) − a 32(a 11a 23− a 13a 21)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31.

Результаты, полученные различными методами, идентичны.

Вычислить определитель

−5

разложением по элементам

−3

(i) первой строки,

(ii) второго столбца.

Решение:

Разложение определителя по элементам первой строки дает

−5

− (− 5)

−3

− 3 7

2 4 5 + 5 1 5+ 3(7+ 12)= 122.

(ii) Тот же самый результат получается при разложении определителя по элементам второго столбца:

Определители

	−5


		= −(−5)			−7
−3			−3	− 3 5
−3

5(5 + 0)+ 4 (10+ 9)− 7(0− 3)= 122.

2.4.2. Вычисление определителей методом элементарных

преобразований

Под элементарными преобразованиями понимаются следующие операции.

С учетом равноправия строк и столбцов определителя подобные операции в полной мере применимы к столбцам.

Идея метода заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк и столбцов привести определитель к треугольному виду, что решает проблему его вычисления.

Можно поступать и несколько иначе: с помощью элементарных преобразований получить строку (или столбец), содержащую только один ненулевой элемент, и затем разложить полученный определитель по элементам этой строки (столбца). Подобная процедура понижает порядок определителя на одну единицу.

Примеры.

−4

−3

Вычислить det A , приведя матрицу к

1) Пусть A =

r 2+ 3 r 3

−3

↔r 3

→r 3

−8

−5

Определитель матрицы треугольного вида равен произведению ее диагональных элементов:

det A = − 1 8 9= − 72 . 2) Вычислить определитель матрицы

Решение : Сначала преобразуем первую строку с помощью элементарных операций над столбцами, стремясь получить в ней максимально возможное число нулей. С этой целью вычтем из второго столбца пятый столбец, предварительно умноженный на 5, а к третьему столбцу прибавим удвоенный второй столбец:

− 2 0

c → c− 5 c

−1

→c 2

2 c 1

− 14

−1

det A =

− 35

− 15

Теперь разложим определитель по элементам первой строки:

det A =	− 14	−1
	− 14	−1
	− 35
	− 15

Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков . Один из методов вычисления определителей высших порядков — использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.

Допустим, нам задана квадратная матрица n-го порядка, т.е. $A=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)$. Вычислить определитель этой матрицы можно, разложив его по строке или по столбцу.

Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен $i$. {n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation}

Правила, выраженные формулами (1) и (2), можно сформулировать так: определитель равен сумме произведений элементов некоей строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов. Для наглядности рассмотрим определитель четвёртого порядка, записанный в общем виде:

$$\Delta=\left| \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{array} \right|$$

Выберем произвольный столбец в этом определителе. Возьмём, к примеру, столбец под номером 4. Запишем формулу для разложения определителя по выбранному четвёртому столбцу:

Аналогично, выбирая, к примеру, третью строку, получим разложение по этой строке:

Пример №1

Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right)$, используя разложение по первой строке и второму столбцу. 4\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & 2 \\ 9 & 0 \end{array} \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end{aligned}

Как мы нашли алгебраические дополнения? показать\скрыть

Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:

$$ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}=5\cdot{8}+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$

Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.

Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, — до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.

Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, — просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. $a_{32}=0$. Это говорит о том, что слагаемое $a_{32}\cdot A_{32}=0\cdot A_{23}=0$. Используя формулу для разложения по второму столбцу, получим:

$$ \Delta A= a_{12}\cdot A_{12}+a_{22}\cdot A_{22}+a_{32}\cdot A_{32}=-4\cdot (-1)\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|+2\cdot \left| \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$

Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.

Ответ : $\Delta A=134$.

Пример №2

Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$, используя разложение по выбранной строке или столбцу. 6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$

Ответ : $\Delta A=86$.

Facebook

Twitter

Вконтакте

Одноклассники

Google+

Теорема о разложении определителя по строке — ПриМат

Теорема о разложении определителя по строке. Определитель (детерминант) $n-$го порядка квадратной матрицы $A$ равен сумме произведений элементов какой-либо его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. То есть:$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_{kj}A_{kj}$$ — разложение определителя по элементам столбца;$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_{ik}A_{ik}$$ — разложение определителя по элементам строки, где $\left(i,\;j\;\in\left\{1,2,…,n\right\}\right).$

Пусть задан определитель $n-$го порядка:$$\det\;A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}. $$ Возьмем $j-$й столбец матрицы $A$ и представим его в виде суммы:$$\begin{bmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{nj}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\a_{2j}\\\vdots\\0\end{bmatrix}+\dots+\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\a_{nj}\end{bmatrix}.$$ Таким же образом запишем наш определитель: $$\det\;A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=$$$$=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&0&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\dots$$$$\dots+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&0&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}. $$ Данную сумму можем записать более кратко:$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\begin{vmatrix}\begin{array}{c}a_{11}\end{array}&a_{12}&\cdots&a_{1,j-1}&0&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{k,j-1}&0&a_{k,j+1}&\cdots&a_{kn}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n,j-1}&0&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}.$$

Переместим элемент $a_{kj}$ в левый верхний угол матрицы. Для этого переставим $k-$ю строку на первое место, последовательно переставляя ее со строками, стоящими выше. Исходя из этого потребуется $k-1$ транспозиций. По свойствам определителей, каждая транспозиция двух строк (столбцов) приводит к определителю, у которого изменены все знаки его членов на противоположные. То есть при каждой транспозиции определитель умножается на $-1$:$$\det\;A=$$$$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\left(-1\right)^{k-1}\begin{vmatrix}a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{k,j-1}&a_{kj}&a_{k,j+1}&\cdots&a_{kn}\\a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1,j-1}&0&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{k-1,1}&a_{k-1,2}&\cdots&a_{k-1,j-1}&0&a_{k-1,j+1}&\cdots&a_{k-1,n}\\a_{k+1,1}&a_{k+1,2}&\cdots&a_{k+1,j-1}&0&a_{k+1,j+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n,j-1}&0&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}. {\left(k+j\right)},$ где $k-$ номер строки, а $j-$ номер столбца, в которых расположен минор первого порядка, равен алгебраическому дополнению. Таким образом, мы получаем, что исходный определитель равен сумме произведений элементов $j-$го столбца на их алгебраическое дополнение:$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_{kj}A_{kj}.$$ Разложение по столбцу доказано.

Аналогично докажем разложение определителя по строке: $$\det\;A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}=$$$$=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{i1}&0&\dots&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&a_{i2}&\dots&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}+\cdots$$$$\cdots+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&\dots&a_{in}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}=$$$$=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{i-1,1}&a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,k}&\cdots&a_{i-1,n}\\0&0&\cdots&a_{ik}&\cdots&0\\a_{i+1,1}&a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,k}&\cdots&a_{i+1,n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nk}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}. {\left(i+k\right)}a_{ik}M_{ik}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_{ik}A_{ik}.$$ Таким образом, разложение по строке доказано.

[Править]Определение через разложение по первой строке

Схема расчета определителя матрицы .

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу . Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

Доказательство [показать]

Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):

Доказательство [показать]

Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):

[Править]Определение через перестановки

Для матрицы справедлива формула:

где — перестановка чисел от 1 до , — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка . Таким образом, в определитель войдёт слагаемых, которые также называют «членами определителя». Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

[Править]Альтернативные методы вычисления

где матрицы, получающиеся из исходной вычёркиванием соответствующих строк и столбцов.

[Править]Свойства определителей

Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.
При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

[Править]Алгоритмическая реализация

Наивные методы для вычисления определителя могут быть основаны непосредственно на его определении, как суммы по перестановкам, или на разложении Лапласа по определителям меньшего порядка. Однако такие методы очень неэффективны, так как требуют О(n!) операций для вычисления определителя -го порядка.
Один из более быстрых методов заключается в простой модификации метода Гаусса. Следуя методу Гаусса, произвольную матрицу можно привести к ступенчатому виду(Верхнетреугольная матрица), используя лишь две следующие операции над матрицей — перестановку двух строк и добавление к одной из строк матрицы другой строки, умноженной на произвольное число. Из свойств определителя следует, что вторая операция не изменяет определителя матрицы, а первая лишь меняет его знак на противоположный. Определитель матрицы, приведённой к ступенчатому виду, равен произведению элементов на её диагонали, так как она является треугольной, поэтому определитель исходной матрицы равен:

где — число перестановок строк, выполненных алгоритмом, а — ступенчатая форма матрицы , полученная в результате работы алгоритма. Сложность этого метода, как и метода Гаусса, составляет .

Определитель можно вычислить, зная LU-разложение матрицы. Если , где и — треугольные матрицы, то . Определитель треугольной матрицы равен просто произведению её диагональных элементов.
Если доступен алгоритм, выполняющий умножение двух матриц порядка за время , где , для некоторого , то определитель матрицы порядка может быть вычислен за время .^[1] В частности это означает, что, используя для умножения матриц алгоритм Копперсмита — Винограда, определитель можно вычислить за время .

Алгебраические дополнения

Алгебраическое дополнение элемента определителя — определитель где — минор элемента .

Разложение определителя

По элементам i-й строки:

По элементам j-го столбца:

Например, при n = 4 разложение по первой строке

Свойства определителя

2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

3. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строе (столбцов), то

4. Общий множитель всех элементов произвольной строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

6. Пусть — квадратная матрица порядка n; k — фиксированное натуральное число: — матрицы, которые получаются из A заменой ее k-й строки (столбца) соответственно строками (столбцами) Тогда

7. Определитель не меняется от прибавления к какой-либо его строке (столбцу) другой его строки (столбца), умноженной на произвольное число.

8. Если какая-либо строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других его строк (столбцов), то определитель равен нулю.

Обратная матрица

Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу. Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим:

где Е – единичная матрица. Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной) или сингулярной. Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу. Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица n-го порядка:

где Δ = det A ≠ 0.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n -го порядка А называется взятый с определенным знаком определитель матрицы (n –1)-го порядка, полученной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца матрицы А:

Составим так называемую присоединенную матрицу:

где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А. Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã, то есть одновременно производится транспонирование матрицы. Разделив все элементы матрицы Ã на Δ – величину определителя матрицы А, получим в результате обратную матрицу :

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы: 1) для данной матрицы А ее обратная матрица является единственной; 2) если существует обратная матрица , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней; 3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы. Основные свойства обратной матрицы: 1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами; 2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:

П р и м е р . Вычислить матрицу, обратную данной:

Р е ш е н и е . Определитель матрицы А равен:

Следовательно, матрица А неособенная. Присоединенная матрица Ã имеет вид:

Разделив все элементы присоединенной матрицы Ã на Δ = 1, получим обратную матрицу :

Проверим, что действительно,

Таким образом, найденная матрица является обратной для заданной матрицы А.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

[править]Описание метода

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

[править]Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители:

[править]Вычислительная сложность

Метод Крамера требует вычисления определителей размерности . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей, метод имеет временную сложность порядка , что хуже, чем если бы метод Гаусса напрямую использовался для решения системы уравнений. Поэтому метод считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью , сравнимой со сложностью метода Гаусса.^[1]

Теорема Безу. Если многочлен разделить на двучлен x — a, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = P_n(a).

Схема сокращенного деления многочлена на двучлен. При делении многочлена , расположенного по убывающим степеням x, на двучлен x — a применяется метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера.

Имеют место следующие формулы для нахождения коэффициентов частного b₁, b₂, . .., b_n_-1 и остатка R:

Практически вычисление коэффициентов частного Q_n_-1(x) и остатка R проводится по следующей схеме (схеме Горнера).

Пусть требуется разделить многочлен на двучлен x — a.

Значение a двучлена, коэффициенты многочлена (b_n_-1, b_n_-2, …, b₀) и остаток запишем в следующей форме:

a_n	a_n_-1	a_n_-2	…	a₁	a₀
b_n_-1 = a_n	b_n_-2 = a_n_-1 + ab_n_-1	b_n_-3 = a_n_-2 + ab_n_-2	. ..	b₀ = a₁ + ab₁	R = a₀ + ab₀

Отсюда записываем частное

если R = 0, и результат деления

или ,

если R ≠ 0.

Онлайн Калькулятор: Детерминант матрицы

Размерность матрицы:

——

2 x 23 x 34 x 45 x 56 x 6

Метод:

——

Разложение по первой строкеСаррюсаПриведением к треугольному виду

Введите значения:

Пример решения

Разложение по первой строке

Чтобы вычислить определитель матрицы разложением по первой строке, необходимо каждый элемент данной строки умножить на соответствующий ему минор;

Миноры соответствущие определенному элементу находим путем исключения i-й строки,j-го столбца из матрицы A, после чего находим определитель полученной матрицы;
i,j — это номер строки и столбца, в которых находиться определенный элемент;

После вычисления произведений каждого элемента первой строки, на соответсвующий ему минор, необходимо их сложить и вычесть;
Знак сложения и вычитания изменяется по порядку, начиная со знака сложения;
Возле первого произведения стоит знак плюс, возле второго знак минус и т. д.

= a₁₁ * A₁₁ — a₁₂ * A₁₂ + a₁₃ * A₁₃ — a₁₄ * A₁₄;

Итак, найдем миноры каждого элемента первой строки.

Найдем минор элемента под индексом 11
Для этого из матрицы А необходимо исключить 1 строку и 1 столбец, после чего получаем следующую матрицу:

Далее вычисляем определитель данной матрицы.
Он равен -57, это и есть минор элемента 11.

Найдем минор элемента под индексом 12
Для этого из матрицы А необходимо исключить 1 строку и 2 столбец, после чего получаем следующую матрицу:

Далее вычисляем определитель данной матрицы.
Он равен -57, это и есть минор элемента 12.

Найдем минор элемента под индексом 13
Для этого из матрицы А необходимо исключить 1 строку и 3 столбец, после чего получаем следующую матрицу:

Далее вычисляем определитель данной матрицы.
Он равен -3, это и есть минор элемента 13.

Найдем минор элемента под индексом 14
Для этого из матрицы А необходимо исключить 1 строку и 4 столбец, после чего получаем следующую матрицу:

Далее вычисляем определитель данной матрицы.
Он равен 21, это и есть минор элемента 14.

Теперь необходимо вычислить произведение первого элемента на соответствующий ему минор.
71 * (-57) = -4047;

Далее от данного произведения необходимо вычесть произведение второго элемента на соответствующий ему минор.
-4047 — (8 * (-57)) = -4047 — (-456) = -3591;

Теперь к полученному результату необходимо добавить произведение третьего элемента на соответствующий ему минор.
-3591 (8 * (-3)) = -3591 (-24) = -3615;

И, наконец, от полученного результата необходимо вычесть произведение четвертого элемента на соответствующий ему минор
-3615 — (2 * 21) = -3615 — 42 = -3657;

Результат этого вычитания и есть определитель матрицы A

det(A) = (71 * (-57)) — (8 * (-57)) + (8 * (-3)) — (2 * 21) = -3657;

Ответ:det(A) = -3657

Саррюса

Пусть имеется следующая матрица А:Справа от матрицы А, допишем первых два столбца;Произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берем со знаком плюс;= (a₁₁a₂₂a₃₃) + (a₁₂a₂₃a₃₁) + (a₁₃a₂₁a₃₂) -Произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, берем со знаком минус;= (a₁₃a₂₂a₃₁) — (a₁₁a₂₃a₃₂) — (a₁₂a₂₁a₃₃) =

= (2 * 8 * 7) + (5 * 2 * 3) + (6 * 5 * 5) — (6 * 8 * 3) + (2 * 2 * 5) + (5 * 5 * 7) = -47;

Ответ:det(A) = -47

Приведением к треугольному виду

Приведем матрицу к треугольному виду, тогда произведение элементов главной диагонали даст нам детерминант;от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженую на 0.

09859;от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженую на 0.02817;от 4 строки отнимаем 1 строку, умноженую на 0.05634; =

000	71	8	8	2	000
	0	7.21128	4.21128	1.80282
	0	4.77464	7.77464	6.94366
	0	4.54928	4.54928	1.88732

= от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженую на 0.66211;от 4 строки отнимаем 2 строку, умноженую на 0.63086; =

000	71	8	8	2	000
	0	7. 21128	4.21128	1.80282
	0	0	4.98631	5.74999
	0	0	1.89255	0.74999

= от 4 строки отнимаем 3 строку, умноженую на 0.37955; =

000	71	8	8	2	000
	0	7.21128	4.21128	1.80282
	0	0	4.98631	5. 74999
	0	0	0	-1.43242

det(A) = 71 * 7.21128 * 4.98631 * -1.43242 = -3657;

Ответ:det(A) = -3657

Вычисляем определитель матрицы на Хаскелле / Хабр

Решил выложить код вычисления определителей. Код рабочий, хотя и не претендует на виртуозность. Просто было интересно решить эту задачу именно на Хаскелле. Рассмотрены два подхода к решению задачи: простая рекурсия и метод Гаусса.

Немного теории

Как известно, определитель квадратной матрицы n*n — это сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение, содержащее ровно по одному элементу матрицы из каждого столбца и ровно по одному из каждой строки. Знак очередного произведения:

определяется чётностью подстановки:
\begin{pmatrix}1 & 2 &… & n \\ {i}_{1} & {i}_{2} &… & {i}_{n} \end{pmatrix}

Прямой метод вычисления определителя состоит в разложении его по элементам строки или столбца в сумму произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

В свою очередь, алгебраическое дополнение элемента матрицы

есть

при этом

— есть минор элемента (i,j), т.е. определитель, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Такой метод порождает рекурсивный процесс, позволяющий вычислить любой определитель. Но производительность этого алгоритма оставляет желать лучшего — O(n!). Поэтому применяется такое прямое вычисление разве что при символьных выкладках (и с определителями не слишком высокого порядка).

Гораздо производительнее оказывается метод Гаусса. Его суть основывается на следующих положениях:

1. Определитель верхней треугольной матрицы \begin{pmatrix}{a}_{1,1} & {a}_{1,2} &… & {a}_{1,n} \\ 0 & {a}_{2,2} &… & {a}_{2,n} \\ 0 & 0 &… & …\\ 0 & 0 &… & {a}_{n,n} \\\end{pmatrix} равен произведению ее диагональных элементов. Этот факт сразу же следует из разложения определителя по элементам первой строки или первого столбца.

2. Если в матрице к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.

3. Если в матрице поменять местами две строки (или два столбца), то значение определителя изменит знак на противоположный.

Мы можем, подбирая коэффициенты, складывать первую строку матрицы со всеми остальными и получать в первом столбце нули во всех позициях, кроме первой. Для получения нуля во второй строке, нужно прибавить ко второй строке первую, умноженную на

Для получения нуля в третьей строке, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на

и т.д. В конечном итоге, матрица приведется к виду, в котором все элементы

при n>1 будут равны нулю.

Если же в матрице элемент

оказался равным нулю, то можно найти в первом столбце ненулевой элемент (предположим, он оказался на k-м месте) и обменять местами первую и k-ю строки. При этом преобразовании определитель просто поменяет знак, что можно учесть.

Если же в первом столбце нет ненулевых элементов, то определитель равен нулю.

Далее, действуя аналогично, можно получить нули во втором столбце, затем в третьем и т.п. Важно, что при сложении строк полученные ранее нули не изменятся. Если для какой-либо строки не удастся найти ненулевой элемент для знаменателя, то определитель равен нулю и процесс можно остановить. Нормальное завершение процесса Гаусса порождает матрицу, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Как говорилось выше, определитель такой матрицы равен произведению диагональных элементов.

Перейдем к программированию.

Мы работаем с данными с плавающей точкой. Матрицы представляем списками строк. Для начала определим два типа:

type Row    = [Double]
type Matrix = [Row]

Простая рекурсия

Ничтоже сумняшеся, мы будем раскладывать определитель по элементам первой (т.е. нулевой) строки. Нам понадобится программа построения минора, получающегося вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

-- Удаление k-го элемента изо всех строк матрицы
deln :: Matrix -> Int -> Matrix
deln matrix k = map (\ r -> (take (k) r)++(drop (k+1) r)) matrix

А вот и минор:

-- Минор k-го элемента нулевой строки
minor :: Matrix -> Int -> Double
minor matrix k = det $ deln (drop 1 matrix) k

Обратите внимание: минор — это определитель. Мы вызываем функцию det, которую еще не реализовали. Для реализации det, нам придется сформировать знакочередующуюся сумму произведений очередного элемента первой строки на определитель очередного минора. Чтобы избежать громоздких выражений, создадим для формирования знака суммы отдельную функцию:

sgn :: Int -> Double
sgn n = if n `rem` 2 == 0 then 1.0 else (-1.0)

Теперь можно вычислить определитель:

-- Определитель квадратной матрицы
det :: Matrix -> Double
det [[a,b],[c,d]] = a*d-b*c
det matrix = sum $ map (\c -> ((matrix !! 0)!!c)*(sgn c)*(minor matrix c))  [0. .n]
             where n = length matrix - 1

Код очень прост и не требует особых комментариев. Чтобы проверить работоспособность наших функций, напишем функцию main:

main = print $ det [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,(-9)]]

Значение этого определителя равно 54, в чем можно убедиться.

Метод Гаусса

Нам понадобится несколько служебных функций (которые можно будет использовать и в других местах). Первая из них — взаимный обмен двух строк в матрице:

-- Обмен двух строк матрицы
swap :: Matrix -> Int -> Int -> Matrix
swap matrix n1 n2 = map row [0..n]
                    where n=length matrix - 1
                          row k | k==n1 = matrix !! n2
                                | k==n2 = matrix !! n1
                                | otherwise = matrix !! k

Как можно понять по приведенному выше коду, функция проходит строку за строкой. При этом, если встретилась строка с номером n1, принудительно подставляется строка n2 (и наоборот).

Остальные строки остаются на месте.

Следующая функция вычисляет строку r1 сложенную со строкой r2, умноженной поэлементно на число f:

-- Вычислить строку r1+f*r2
comb :: Row -> Row -> Double -> Row
comb r1 r2 f = zipWith (\ x y -> x+f*y) r1 r2

Здесь все предельно прозрачно: действия выполняются над строками матрицы (т.е. над списками [Double]). А вот следующая функция выполняет это преобразование над матрицей (и, естественно, получает новую матрицу):

-- прибавить к строке r1 строку r2, умноженную на f
trans :: Matrix -> Int -> Int -> Double -> Matrix
trans matrix n1 n2 f = map row [0..n]
                       where n=length matrix - 1
                             row k | k==n1 = comb (matrix !! n1) (matrix !! n2) f
                                   | otherwise = matrix !! k

Функция getNz ищет номер первого ненулевого элемента в списке. Она нужна в случае, когда очередной диагональный элемент оказался равным нулю.

-- Номер первого ненулевого в списке
getNz :: Row -> Int
getNz xs = if length tmp == 0 then (-1) else snd $ head tmp
           where tmp=dropWhile (\ (x,k) -> (abs x) <= 1.0e-10) $ zip xs [0..]

Если все элементы списка равны нулю, функция вернет -1.

Функция search проверяет, подходит ли матрица для очередного преобразования (у нее должен быть ненулевым очередной диагональный элемент). Если это не так, матрица преобразовывается перестановкой строк.

-- Поиск ведущего элемента и перестановка строк при необходимости
search :: Matrix -> Int -> Matrix
search matrix k | (abs ((matrix !! k) !! k)) > 1.0e-10 = matrix
                | nz < 0 = matrix  -- матрица вырождена    
                | otherwise = swap matrix k p 
                           where n   = length matrix
                                 lst = map (\ r -> r !! k) $ drop k matrix
                                 nz  = getNz lst
                                 p   = k + nz

Если ведущий (ненулевой) элемент найти невозможно (матрица вырождена), то функция вернет ее без изменений.

Функция mkzero формирует нули в очередном столбце матрицы:

-- получение нулей в нужном столбце
mkzero :: Matrix -> Int -> Int -> Matrix
mkzero matrix k p | p>n-1 = matrix
                  | otherwise = mkzero (trans matrix p k (-f)) k (p+1)
                    where n = length matrix
                          f = ((matrix !! p) !! k)/((matrix !! k) !! k)

Функция triangle формирует верхнюю треугольную форму матрицы:

-- Получение верхней треугольной формы матрицы
triangle :: Matrix -> Int -> Matrix
triangle matrix k | k>=n = matrix
                  | (abs v) <= 1.0e-10 = [[0.0]] -- матрица вырождена
                  | otherwise = triangle (mkzero tmp k k1) k1 
                    where n   = length matrix
                          tmp = search matrix k
                          v   = (tmp !! k) !! k -- диагональный элемент
                          k1  = k+1

Если на очередном этапе не удалось найти ведущий элемент, функция возвращает нулевую матрицу 1-го порядка.

Теперь можно составить парадную функцию приведения матрицы к верхней треугольной форме:

-- Парадная функция
gauss :: Matrix -> Matrix
gauss matrix = triangle matrix 0

Для вычисления определителя нам нужно перемножить диагональные элементы. Для этого составим отдельную функцию:

-- Произведение диагональных элементов
proddiag :: Matrix -> Double
proddiag matrix = product $ map (\ (r,k) -> r !!k) $ zip matrix [0,1..]

Ну, и «бантик» — собственно вычисление определителя:

-- Вычисление определителя
det :: Matrix -> Double
det matrix = proddiag $ triangle matrix 0

Проверим, как работает эта функция:

main = print $ det  [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,-9]]

[1 of 1] Compiling Main             ( main.hs, main.o ) 
Linking a.out ...                                                                                 
54.0

Спасибо тем, кто дочитал до конца!

Код можно скачать здесь

Метод разложения определителя.

Вычисление определителя. Приведение определителя к треугольному виду

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

2. Правило Саррюса

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков . Один из методов вычисления определителей высших порядков — использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. {n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation}

$$\Delta=\left| \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \normgreen{a_{14}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \normgreen{a_{24}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \normgreen{a_{34}} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & \normgreen{a_{44}} \\ \end{array} \right|$$ $$ \Delta =\normgreen{a_{14}}\cdot{A_{14}}+\normgreen{a_{24}}\cdot{A_{24}}+\normgreen{a_{34}}\cdot{A_{34}}+\normgreen{a_{44}}\cdot{A_{44}} $$

Аналогично, раскладывая, к примеру, по третьей строке, получим такую формулу для вычисления определителя:

$$ \Delta =a_{31}\cdot{A_{31}}+a_{32}\cdot{A_{32}}+a_{33}\cdot{A_{33}}+a_{34}\cdot{A_{34}} $$

Пример №1

Как мы нашли алгебраические дополнения? показать\скрыть

Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:

$$ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}=5\cdot{8}+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$

Ответ : $\Delta A=134$.

Пример №2

Ответ : $\Delta A=86$.

Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.

Пример. Для

где i=1,2,3.

Доказательство.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Определители более высоких порядков .

Определение1. 9 . Определитель n-го порядка

Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.

Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :

Следовательно,

олнение минора определяется следующим образом:

Справедливо следующее утверждение.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Error

Jump to… Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2. Операции над функциями. Свойства функции.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2. The limit of a numeric sequence.Practical lesson 1. Study of properties of a numerical sequence by conventionПрактическое занятие 1 (часть 2)Теоретический материалЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.2. Числовые последовательностиВидеолекция 1. Предел функции в точкеLecture 1. The limit of a function at a pointВидеолекция (часть 2)Практическое занятие 1. Вычисление пределов, неопределенности.Practical lesson 1. Calculation of limits. UncertaintiesПрактическое занятие 2. Вычисление пределов. Замечательные пределы.Practical lesson 2. Calculation of limits. Remarkable limits.Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.3. Предел функции в точкеВидеолекция. Непрерывность функции в точкеLecture 1. Сontinuity of a function at a pointПрактическое занятие. Исследование функций на непрерывность. Классификации точек разрываPractical lesson. The study of function continuity and classification of discontinuity pointsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.4. Непрерывность функции в точкеВидеолекция (часть 1)Lecture 1. Differential calculus of functions of a single variableВидеолекция (часть 2)Lecture 2. Differentiation of a function given parametricallyПрактическое занятие 1. Правила дифференцированияПрактическое занятие 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрическиPractical lesson 1. Logarithmic differentiation. Differentiating a function defined parametricallyPractical lesson 2. Rules of differentiationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица производныхТест 1.1.5 Производная функцииВидеолекция 1. Геометрический и физический смысл производнойLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидеолекция 2. Дифференциал функцииLecture 2. Differential of a functionПрактическое занятие 1. Геометрический смысл производнойPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeПрактическое занятие 2. Производные и дифференциалы высших порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.6. Геометрический и физический смысл производнойQuiz 1.1.6. Geometric and physical sense of the derivativeВидеолекция 1. Основные теоремы дифференциального исчисления.Lecture 1. Basic theorems of differential calculusВидеолекция 2. Исследование функций на монотонность и выпуклостьLecture 2. The study of the monotonicity of the functionПрактическое занятие 1. Исследование свойств функций с помощью производнойPractical lesson 1. Studying the properties of functions using a derivativeПрактическое занятие 2. Правило ЛопиталяPractical lesson 2. L’Hospital’s ruleЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.7 (часть 1). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 1)Тест 1.1.7 (Часть 2). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 2)Теоретический материал (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Теоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.8. Асимптоты графика функцииВидеолекция. Дифференциальное и интегральное исчислениеLecture. Differential and Integral CalculationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица интеграловТест 1.2.1. Неопределенный интегралВидеолекция. Неопределенный интеграл: методы интегрирования.Lecture. Indefinite integral: methods of integration.Практическое занятие. Внесение функции под знак дифференциалаPractical lesson. Adding a function under the sign of the differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.2. Методы интегрированияВидеолекция 1. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть1)Lecture 1. Integration of fractional-rational functions (part 1)Видеолекция 2. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть 2)Lecture 2. Integration of fractionally rational functions (part 2)Практическое занятие 1. Интегрирование иррациональных выражений (часть 1)Practical lesson 1. Integration of irrational expressions (part 1)Практическое занятие 2. Интегрирование тригонометрических функцийPractical lesson 2. Integration of trigonometric functionsЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.3. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функцийВидеолекция. Определенный интеграл: интеграл РиманаLecture. Definite integral: Riemann integral. Практическое занятие 1. Вычисление определенного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.4. Определенный интегралВидеолекция LectureЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.5 Приложения определенного интегралаВидеолекция. Несобственный интегралыLecture. Improper integralЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.6. Несобственные интегралыВидеолекция 1. Функции нескольких переменныхLecture 1. Functions of Multiple VariablesВидеолекция 2. Частные производныеLecture 2. Partial derivativesПрактическое занятие. Функция двух переменныхPractical lesson. Function of several variablesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.3.1. Функции нескольких переменных (основные понятия)Quiz 1.3.1Видеолекция Дифференцируемость функции двух переменныхLecture. Differentiable functions of two variablesПрактическое занятие 1. Производные и дифференциалы высших порядковПрактическое занятие 2. Понятие дифференциала первого и второго порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задач Тест 1.3.2. Дифференцирование функции нескольких переменныхQuiz 1.3.2Видеолекция 1. Дифференцирование сложной функции, заданной неявноLecture 1. Differentiation of a complex function and a function given implicitlyВидеолекция 2. Производная по направлению. ГрадиентLecture 2. The directional derivative and the gradientПрактическое занятие 1. Производная по направлению, градиентPractical lesson 1. The directional derivative, the gradientПрактическое занятие 2. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson 2. Investigating function properties by defenition Практическое занятие 3. Дифференцирование сложной функции и дифференцирование функции, заданной неявноPractical lesson 3. Differentiation of a composite function and differentiation of implicitly defined functionЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.3. Частные производныеQuiz 1.3.3Видеолекция 1. Экстремум функции двух переменныхВидеолекция 2. Экстремумы функции в замкнутой областиЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.4. Экстремум функции двух переменныхQuiz 1.3.4Видеолекция 1. Двойной интеграл Lecture 1. Double integral Видеолекция 2. Вычисление двойного интегралаLecture 2. Calculation of the double integralПрактическое занятие 1. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralПрактическое занятие 2. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 2. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельного решения (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельного решения (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.5. Двойной интегралQuiz 1.3.5Видеолекция. Криволинейные интегралыLecture. Curvilinear integralsПрактическое занятие. Вычисление криволинейные интегралов I и II родаPractical lesson. Calculating curvilinear integrals 1 and 2 kind Задачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.6. Криволинейные интегралыАттестация по модулю 1Итоговое тестирование по курсу (2-1)Видеолекция 1. Система линейных уравнений: основные понятияПрактическое занятие 1. Системы линейных уравненийPractical lesson (part 1). Systems of linear equationsТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Видеолекция 2. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаПрактическое занятие 2. Решение систем линейных уравнений методом гауссаPractical lesson (part 2). The system of linear equationsТеоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Видеолекция 3. Исследование систем линейных уравненийLecture 3. A system of linear equationsPractical lesson (part 3). The system of linear equationsПрактическое занятие 3. Исследование систем линейных уравненийТеоретический материал (лекция 3)Задачи для самостоятельной работы 3Решения задач 3Тест 2.1.1. Системы линейных уравненийСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Векторное пространствоLecture 1. Vector spaceВидеолекция 2. линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваLecture 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemПрактическое занятие 1. Арифметическое векторное пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceПрактическое занятие 2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.1.2. Арифметическое n-мерное векторное пространствоСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Видеолекция 1. Исследование систем линейных уравненийLecture 1. Study systems of linear equationsВидеолекция 2. Однородная система линейных уравненийLecture 2. Homogeneous system of equationsПрактическое занятие 1. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравненийPractical lesson 1. Fundamental system of solutionsПрактическое занятие 2Practical lesson 2Теоретический материал (лекция 1)Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.1.3. Исследование систем линейных уравненийСправочникВидеолекция 1. Матрицы и определителиLecture 1. Matrix determinantВидеолекция 2. Операции над матрицамиLecture 2. Operations on matricesВидеолекция 3. Обратная матрицаLecture 3. Inverse matrixПрактическое занятие 1. Операции над матрицамиPractical lesson 1. The operations on matrices Практическое занятие 2. Вычисление определителейТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Теоретический материал (лекция 3)Тест 2.1.4. МатрицыQuiz 2.1.4. MatricesСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Прямоугольная декартова система координатLecture 1. Rectangular Cartesian coordinate systemТеоретический материалПрактическое занятие. Решение задач в координатахPractical lesson. Solution of problems in coordinatesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.2.1. Декартова система координатСправочникВидеолекция 1. Скалярное произведение векторовLecture 1. Scalar product of vectorsТеоретический материал (Часть 1)Видеолекция 2. Векторное и смешанное произведения векторовLecture 2. Vector and mixed products of vectorsПрактическое занятие 1. Скалярное произведение векторовPractical lesson 1. Scalar product of vectorsПрактическое занятие 2. Применение произведений векторов при решении задачPractical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themТеоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Тест 2.2.2.(часть 1). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовЗадачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.2.2. (часть2). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Видеолекция. Уравнения прямой на плоскости и в пространствеLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceТеоретический материалПрактическое занятие 1. Уравнения прямой на плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Практическое занятие 2. Взаимное расположение прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Задачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.3. Уравнения прямойСправочникВидеолекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскостиТеоретический материалПрактическое занятие. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости Practical lesson. Equation of a plane Задачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Практическое занятие 2. Взаимное расположение плоскостейPractical lesson 2. Relative position of planesРешение задач 2Тест 2.2.4. Уравнения плоскостиСправочникВидеолекция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseТеоретический материал Часть 1Практическое занятие 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Видеолекция 2. Гипербола и параболаLecture 2. Hyperbola and parabolaТеоретический материал (Часть 2)Практическое занятие 2. Гипербола и параболаЗадачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.5. Кривые второго порядкаСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Аттестация по модулю 2Анкета обратной связиИтоговое тестирование по курсу (1-2)Итоговое тестирование по курсу (2)Видеолекция 1. Основные понятия теории вероятностей Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидеолекция 2. Вероятность случайного событияLecture 2. Probability of a random eventПрактическое занятие 1. Классическая вероятностьPractical lesson 1. Classical probabilityЗадачи для самостоятельной работы (часть 1)Решения задач (часть 1)Практическое занятие 2. Операции над событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesЗадачи для самостоятельно работы (часть 2)Решения задач (часть 2)Теоретический материалТест 3.1.1. Классическая вероятностьВидеолекция 1. Условная вероятностьLecture 1. Conditional probabilityПрактическое занятие 1. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула БайесаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaЗадачи для самостоятельной работы. Условная вероятностьРешения задач. Условная вероятностьВидеолекция 2. Повторные независимые опыты и формула БернуллиLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulПрактическое занятие 2. Схема БернуллиPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaЗадачи для самостоятельной работы. Схема БернуллиРешения задач. Схема БернуллиТеоретический материалТест 3.1.2. Условная вероятностьВидеолекция 1. Дискретные лучайные величиныLecture 1. Discrete random variablesВидеолекция 2. Числовые характеристики дискретных случайных величинПрактическое занятие. Дискретные случайные величиныPractical lesson. Discrete random variablesЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа. Законы распределения дискретных случайных величинLaboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.1. Дискретные случайные величиныВидеолекция 1. Непрерывные случайные величиныВидеолекция 2. Частные случаи распределений случайных величинLecture 2. Special cases of distributions of random variablesПрактическое занятие. Непрерывные случайные величиныPractical lesson. Continuous random variableЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа (видео). Законы распределения непрерывных случайных величинLaboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.2. Непрерывные случайные величиныТеоретический материалТест 3.3.1. Законы больших чиселВидеолекция 1. Система случайных величин (часть 1)Видеолекция 2. Система случайных величин (часть 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)Практическое занятие. Система случайных величинЗадачи для самостоятельной работыРешения задачЛабораторная работаРешение задачи (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.4.1. Совместный закон распределенияВидеолекция 1. Характеристическая функция случайной величиныLecture 1. Characteristic function of a random variableВидеолекция 2. Свойства характеристической функции случайной величиныLecture 2. Properties of characteristic functions random variable Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величиныPractical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределенийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Задачи для самостоятельного решения (часть 1)Задачи для самостоятельного решения (часть 2)Решения задач (часть 1)Решения задач (часть 2)Тест 3.4.2. (данное тестирование по теме 1)Видеолекция. Основные понятия математической статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная работа (видео). Основные понятия математической статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsТеоретический материалЛабораторная работа. Основные понятия математической статистикиРешения задач (лабораторная работа)Тест 3.5.1. Основные понятия математической статистикиQuiz 3.5.1.Видеолекция. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная работа 1 (видео). Статистические оценки параметров генеральной совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная работа 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупностиРешения задач 1Лабораторная работа 2 (видео). Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная работа 2. Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиРешения задач 2Теоретический материалТест 3.5.2. Статистические оценкиQuiz 3.5.2Видеолекция. Зависимость между величинами. Виды зависимостейLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesТеоретический материал 1Лабораторная работа 1 (видео, часть 1). Парный корреляционный анализLaboratory work 1 (video, part 1). Pair correlation analysisЛабораторная работа 1. Парный корреляционный анализЛабораторная работа 1 (видео, часть 2). Множественный корреляционный анализРешение задач 1Лабораторная работа 2 (видео, часть 2). Парный регрессионный анализLaboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная работа 2. Парный регрессионный анализРешения задач 2Теоретический материал 2Тест 3.5.3. Зависимость между величинамиQuiz 3.5.3Лекция. Статистические гипотезы Теоретический материалЛабораторная работа (видео). Статистический критерий хи-квадратLaboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная работа 1. Критерий хи-квадратРешения задач (Критерий хи-квадрат)Лабораторная работа 2. Критерий ПирсонаЛабораторная работа (расчетная таблица)Решения задач (Критерий Пирсона)Тест 3.6.1. Проверка статистических гипотез: основные понятияQuiz 3.6.1Видеолекция. Проверка статистических гипотезLecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная работа 1 (видео). Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 1. Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная работа 1. Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 1)Лабораторная работа 2 (часть 1). Сравнение средних независимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2 (часть 2). Сравнение средних зависимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 2). Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез о сравнении средних выборочных совокупностей, если не известны дисперсии генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 2)Теоретический материалТест 3.6.2. Проверка гипотезQuiz 3.6.2Аттестация по модулю 3Итоговое тестирование по курсу 1-2-3Итоговое тестирование по курсу для математических специальностейИтоговое тестирование по курсу (3)

Этапы разложения человека

Разложение человека — это естественный процесс, связанный с разрушением тканей после смерти. Хотя скорость разложения человека варьируется в зависимости от нескольких факторов, включая погоду, температуру, влажность, уровень pH и кислорода, причину смерти и положение тела, все человеческие тела проходят одни и те же четыре стадии разложения человека.

Каковы четыре стадии разложения человека?

По словам доктораАрпад А. Васс, старший научный сотрудник Окриджской национальной лаборатории и адъюнкт-профессор судебной антропологии Университета Теннесси, разложение человека начинается примерно через четыре минуты после смерти человека и проходит четыре стадии: автолиз, вздутие живота и т. Д. активный распад и скелетонизация.

Первый этап: автолиз

Первая стадия разложения человека называется автолизом, или самоперевариванием, и начинается сразу после смерти .Как только кровообращение и дыхание прекращаются, организм теряет возможность получать кислород или удалять шлаки. Избыток углекислого газа вызывает кислую среду, вызывая разрыв мембран в клетках. Мембраны выделяют ферменты, которые начинают поедать клетки изнутри.

Rigor mortis вызывает жесткость мышц. На внутренних органах и на поверхности кожи начинают появляться маленькие волдыри, наполненные жидкостью, богатой питательными веществами. Тело станет блестящим из-за разорванных волдырей, а верхний слой кожи начнет ослабевать.

Второй этап: раздувание

Утечка ферментов с первой ступени начинает выделять много газов. Серосодержащие соединения, выделяемые бактериями, также вызывают обесцвечивание кожи. Из-за газов человеческое тело может увеличиваться вдвое. Кроме того, может присутствовать активность насекомых.

Микроорганизмы и бактерии производят крайне неприятный запах, называемый гниением. Эти запахи часто предупреждают других о том, что человек умер, и могут сохраняться еще долго после того, как тело было удалено.

Третий этап: активный распад

Жидкости, выпущенные через отверстия, указывают на начало активного распада. Органы, мышцы и кожа становятся разжиженными. Когда все мягкие ткани тела разлагаются, остаются волосы, кости, хрящи и другие побочные продукты распада. На этом этапе труп теряет наибольшую массу.

Четвертый этап: скелетонизация

Поскольку скелет имеет скорость разложения, основанную на потере органических (коллаген) и неорганических компонентов, нет установленных временных рамок, когда происходит скелетонизация.

График разложения тела

24-72 часа после смерти — внутренние органы разлагаются.

Через 3-5 дней после смерти — тело начинает раздуваться, изо рта и носа вытекает содержащая кровь пена.

8-10 дней после смерти — тело меняет цвет с зеленого на красное, так как кровь разлагается и в органах брюшной полости накапливается газ.

Через несколько недель после смерти — выпадают ногти и зубы.

1 месяц после смерти — тело начинает разжижаться.

Как стадии разложения человека могут повлиять на место смерти без присмотра или травмы?

Смерть без присмотра и сопутствующие бактерии, плесень и насекомые могут вызвать повреждение конструкции здания и личных вещей. После того, как тело будет надлежащим образом извлечено, всегда следует вызывать профессиональную компанию по очистке места происшествия и преступления, чтобы очистить и продезинфицировать место происшествия.И хотя смерть без присмотра может привести к контакту с опасными патогенами, передающимися с кровью, разложение само по себе является совершенно естественным процессом.

Aftermath очень заботится о том, чтобы наши отзывчивые, отзывчивые и осторожные команды очистили место смерти как можно скорее, чтобы семьи могли начать процесс исцеления. Свяжитесь с нами 24/7 онлайн или по телефону (877) 872-4339 для получения дополнительной информации.

———-
Источники:

Микробиология сегодня: http: // www.archeo.uw.edu.pl/zalaczniki/upload617.pdf Сложный процент
: http://www.compoundchem.com/2014/10/30/decompositionodour/
EnkiVillage: http://www.enkivillage.com/how- long-does-it-take-for-a-body-to-decopose.html # affix-section-1

стадий разложения — Австралийский музей

Окружающая среда, создаваемая мертвым телом, со временем меняется.

Это изменение является результатом высыхания, а также деятельности и побочных продуктов трупной фауны.Различные группы животных находят труп привлекательным на разных стадиях разложения, и возникающие в результате изменения в сообществе животных называются сукцессией.

Многие бактерии дышат анаэробно (без кислорода), поэтому они могут потреблять организм изнутри. Они также терпимы к кислому состоянию мышц вскоре после смерти, вызванному накоплением молочной кислоты. Из-за этих свойств и того факта, что они уже присутствуют в организме до смерти, бактерии являются первыми колонизаторами и продолжают питаться мертвым телом, пока оно не высохнет.

Мухи обладают большой способностью к рассеянию и быстро обнаруживают тела, обычно * впереди жуков. Хотя они могут питаться жидкостью, исходящей из свежего тела, кислые ткани свежего трупа не могут перевариваться мухами. Деятельность бактерий и выделения личинок мух, питающихся выделенной жидкостью, в конечном итоге нейтрализуют кислоту, что делает полужидкий труп особенно привлекательным для мясных мух, мясных мух и домашних мух.

* ( жуков Necrophorus переносят клещей на своем теле ( Poecilochirus ), которые питаются яйцами мух.Если клещи прибывают до того, как вылупятся яйца, в туше могут преобладать жуки.)

Щелочная среда, создаваемая мухами, токсична для жуков, поэтому жуки в значительной степени не могут питаться трупом, пока муха личинки активны. Однако многие виды стафилококков, падальщиков и роющих жуков все еще присутствуют на ранних стадиях разложения, потому что они являются активными хищниками личинок мух, избегая щелочных тканей трупа.

Осы-паразитоиды также в изобилии обитают на трупах, откладывая яйца внутри личинок и куколок мух.

По мере высыхания трупа он становится менее подходящим для мясных мух, мясных мух и домашних мух, которым нравится полужидкая среда. Различные семейства мух, сырные и гробовые мухи, появляются в изобилии по мере высыхания трупа.

В конце концов, труп становится слишком сухим, и крючки личинок не могут работать эффективно. Жуки-шкуры, ветчины и туши своим жевательным ротовым аппаратом пожирают сухую плоть, кожу и связки.Наконец, личинки моли и клещи поедают волосы, оставляя только кости для медленного распада.

Матрица разложения

— обзор

1.2 Подходы к разделению мозга на основе подключений

В этом разделе представлен общий обзор различных подходов к разделению мозга на основе функций подключения. Мы рассмотрим модели смесей и MRF более подробно в разделах 1.3 и 1.4.

При разделении мозга на основе связности мы хотим смоделировать взаимосвязь между функциями связности и кортикальными метками.Предположим, что N местоположений мозга обозначены как x ₁,…, x _N. Пусть Y _n будет подключением в расположении мозга x _n. Мы предполагаем, что каждый элемент связи Y _n имеет размер D . Мы также предполагаем, что L представляют интерес кортикальные метки с l _n ∈ {1,…, L }.Наша цель — оценить l ₁,…, l _N для местоположений мозга N x ₁,…, x _N. Часто мы будем писать просто l _{1: N} вместо l ₁,…, l _N. Поиск назначения l _{1: N} можно рассматривать как проблему сегментации, которая является хорошо изученной задачей в распознавании образов и машинном обучении.

Общие подходы к оценке сетей мозга включают анализ независимых компонентов (ICA) (Bell and Sejnowski, 1995; Calhoun et al., 2001; Beckmann and Smith, 2004), который в контексте парцелляции мозга является формой временного расслоения пространственные факторы. ICA обычно формулируется как проблема матричной декомпозиции. Более конкретно, разложение:

(1.1) S = EY,

, где Y — это матрица D × N из D -мерных наблюдений для каждого из участков мозга N , S — это матрица L × N со скрытыми факторами L , а E — это матрица демиксирования L × D .Здесь матрица S представляет собой мягкую оценку меток. ICA максимизирует независимость сигналов в S . Это предположение о независимости иногда критикуют за его ограниченную биологическую ценность (Harrison et al., 2015). ICA — это алгоритм мягкой «кластеризации», который может привести к перекрытию областей и, следовательно, не является прямым решением проблемы разделения. Ручные или автоматические методы определения порога (например, случайные блуждания) могут применяться для извлечения парцелляции (Abraham et al., 2014). ICA относятся к классу моделей разложения линейных сигналов, который включает обучение словарю. Эту более общую форму можно, например, использовать для построения иерархических моделей, моделирующих различия между субъектами (Varoquaux et al., 2011).

K -означает кластеризацию (Lloyd, 1982; Jain, 2010) — еще один широко используемый подход для парцелляции на основе связности (Mezer et al., 2009; Bellec et al., 2010; Kim et al., 2010; Cauda et al., 2011; Zhang, Li, 2012; Mars et al., 2012). Подход выполняет сопоставление с предварительно выбранным количеством K неперекрывающихся кластеров. В наших обозначениях K равно L . K — означает, что кластеризация выполняется итеративно, сначала жестко присваивая метки областей мозга N их соответствующим ближайшим центрам. Затем центры кластеров L пересчитываются. Весь процесс повторяется до схождения. Начальные центры кластеров обычно назначаются случайным образом, и окончательная маркировка сильно зависит от этого начального назначения.Следовательно, алгоритм обычно повторяется много раз, и выбирается решение с наилучшим значением функции стоимости.

Спектральная кластеризация (Jianbo Shi and Malik, 2000; Ng et al., 2001) также широко используется для разделения на основе связности (Johansen-Berg et al., 2004; Thirion et al., 2006; van den Heuvel et al. ., 2008; Шен и др., 2010; Крэддок и др., 2012). Подход основан на близости между каждой парой местоположений x _i и x _j.Сродство обычно вычисляется по некоторой форме подобия между соответствующими наблюдениями y _i и y _j. В нашем случае это сходство часто является подобием структурной или функциональной связности x _i и x _j. На основе матрицы аффинности A мы можем вычислить лапласиан (фон Люксбург, 2007), например,

(1.2) L = DA,

, где D — матрица степеней D (i, i) = ∑jA (i, j). Идея спектральной кластеризации состоит в том, чтобы разложить эту матрицу на собственные векторы L . Тогда предполагается, что точки данных легче разделить в этом собственном подпространстве, чем в исходном пространстве. Родственный подход определяет области, которые максимизируют модульность (Meunier et al., 2010; He et al., 2009). Модульность максимизируется за счет выбора областей, которые имеют большое количество внутримодульных соединений и мало межмодульных соединений.Максимизация модульности NP-трудна, но может быть аппроксимирована спектральными методами (Newman, 2006).

Агломеративная иерархическая кластеризация (Eickhoff et al., 2011; Michel et al., 2012; Blumensath et al., 2013; Orban et al., 2015; Thirion et al., 2014; Moreno-Dominguez et al., 2014) — это восходящий подход, при котором изначально каждое местоположение головного мозга x _n имеет отдельную метку l _n. Агломеративная кластеризация создает иерархию путем итеративного слияния двух меток на основе критерия связи.Этот критерий связи необходимо определить, например, как среднее сходство между всеми функциями связи, принадлежащими двум меткам. Производная иерархическая организация позволяет выполнять парцелляцию с несколькими разрешениями путем определения пороговых значений иерархии на разных уровнях.

Градиентные подходы выявляют быстрые переходы в паттернах связности соседних регионов (Cohen et al., 2008; Gordon et al., 2014; Wig et al., 2014). Например, переходы можно идентифицировать, применяя краевой детектор Кэнни (Canny, 1986) на кортикальной поверхности.Градиентные подходы применялись к частям коры головного мозга (Cohen et al., 2008; Nelson et al., 2010a, b; Hirose et al., 2012), а также ко всей коре головного мозга (Wig et al., 2014; Гордон и др., 2014). Кортикальная парцелляция (рис. 1.1, справа) может быть получена путем применения преобразования водораздела (Beucher and Lantuejoul, 1979) к полученным градиентным картам (Gordon et al., 2014). Первый шаг преобразования водораздела включает определение локальных минимумов градиента как исходных областей. Затем семенные области итеративно выращивают, включая соседние участки мозга, которые имеют значение градиента ниже текущего порога.Порог итеративно увеличивается до тех пор, пока каждое местоположение не будет принадлежать одной из начальных областей, соответствующих локальным минимумам.

Этапы процесса разложения человека | Education

Когда человек умирает, бактерии, которые процветают внутри его тела, начинают свою последнюю задачу — расщеплять ткани и органы, чтобы высвободить накопленные питательные вещества обратно в окружающую среду. Этот процесс состоит из пяти основных стадий, начинающихся сразу после смерти и до тех пор, пока не останется ничего, кроме скелета.Судебные аналитики могут использовать состояние разложения тела для оценки времени смерти, давая следователям ценную информацию о последних часах жизни жертвы.

Начальная стадия

В течение первых 24–72 часов тело претерпевает очень незначительные наблюдаемые изменения. Жидкость оседает в тканях, вызывая синеву или обесцвечивание на той стороне тела, которая обращена вниз. Rigor mortis фиксирует сухожилия и мышцы на месте, а ферменты заставляют клетки умирать и разрушаться.Аэробные бактерии внутри тела используют доступный кислород и создают идеальную среду для размножения анаэробных бактерий, которым не нужен кислород. Насекомые также могут начать откладывать яйца в труп и на нем.

Бактериальное вздутие

Как только анаэробные бактерии начинают активно распространяться в кишечном тракте, они производят пахучие газы, которые раздувают внутренние органы. Вздутие живота особенно заметно на лице. Кожа также начинает темнеть и обесцвечиваться, приобретая зеленоватый оттенок, а расширяющиеся газы могут повредить кожу и органы.Это позволяет жидкостям и запахам выходить наружу и дает мусорщикам доступ внутрь трупа. Эта стадия наступает через 4–10 дней после смерти.

Active Decay

Во время активной фазы разложения насекомые и личинки питаются телом, способствуя его дальнейшему разрушению. Кожа чернеет. Большая часть жидкости покидает тело, образуя лужу или впитываясь в землю. Запах гниения остается очень сильным. Эта стадия наступает от 10 до 25 дней после смерти.

Advanced Decay

Примерно через 25-50 дней после смерти личинки и другие насекомые завершают разрушение мягких тканей, кожи и волос, а также мышц и соединительной ткани внутри тела. Сплоченность тела нарушается, кости подвергаются воздействию окружающей среды и, возможно, позволяют им откатиться и разлететься. Активность насекомых начинает утихать, так как падальщики потребляют последние оставшиеся питательные вещества.

Сухие кости

Примерно через 50 дней труп становится скелетом.Могут присутствовать кости, зубы, волосы и высушенная кожа, но из-за разрушения мышечной и соединительной ткани они могут не оставаться в идентифицируемой человеческой конфигурации. Со временем кости высыхают и становятся хрупкими, но могут прослужить века или даже тысячелетия, если их защитить от непогоды.

Процесс мумификации

Чрезвычайно сухие условия могут изменить этот процесс, вместо этого высушивая ткани и оставляя кожу сухой и кожистой. Древние египтяне поощряли этот процесс, удаляя влажные внутренние органы и обрабатывая труп солью, называемой натроном, — процедура, предназначенная для удаления лишней влаги с трупа.Хотя полная мумификация в природе крайне редка, правильные жаркие и сухие условия могут частично сохранить труп, предотвращая или предотвращая полное разрушение.

Ссылки

Ресурсы

Биография писателя

Милтон Казмайер работал в страховой, финансовой и производственной сферах, а также выполнял функции федерального подрядчика. Он начал свою писательскую карьеру в 2007 году и сейчас работает писателем и транскрипционистом на полную ставку. Его основные области знаний включают компьютеры, астрономию, альтернативные источники энергии и окружающую среду.

Смертельные секреты — наука разложения

Этот раздел содержит графическое содержимое.

Старая поговорка «когда ты мертв, ты мертв» может быть не совсем верной. Хотя какая бы искра ни заставила вас «вас», возможно, и исчезла, ваше тело все еще изобилует жизнью как снаружи, так и внутри. Бактерии, грибки, паразиты — все они живут и процветают благодаря вашей смерти, и они могут многое рассказать исследователям и судебным следователям о том, как, когда и почему вы умерли.

Если мы вообще сможем думать об этом, большинство из нас надеется умереть (в преклонном возрасте) тихо и безболезненно в собственных кроватях. Если это произойдет, наше тело вскоре унесет медицинские работники или похоронное бюро для охлаждения, хранения и подготовки к утилизации, обычно путем захоронения или кремации. Но иногда смерть наступает быстро и неожиданно из-за травмы, полученной в результате несчастного случая или насильственного происшествия. В этих случаях тело может быть намеренно перемещено, повреждено, спрятано или просто не найдено в течение определенного периода времени.

Это может значительно затруднить идентификацию умершего человека и подтверждение того, что с ним или с ней произошло. Но тело и процесс его разложения раскрывают множество ключей, которые могут помочь исследователям установить ключевую информацию, такую как минимальное время с момента смерти, место смерти и даже, возможно, то, как умерший встретил свой печальный конец. Чтобы продвинуть это исследование, было создано несколько лабораторий разложения, в просторечии известных как «фермы тела». Самый последний — прямо здесь, в Австралии, на окраине западного Сиднея.

Отбор проб ученого в этой области. Источник изображения: Шари Форбс, AFTER. Используется с разрешения.

Тафономия: не для брезгливых…

Тафономия — это изучение органических останков с момента смерти до момента открытия. Он включает в себя разложение, посмертную транспортировку и захоронение, а также другие химические, биологические и физические действия, которые влияют на останки организма.

Открытый в 2016 году Австралийский центр тафономических экспериментальных исследований (AFTER) — первая в Австралии «ферма по телу». Здесь ученые изучают, как человеческое тело разрушается в уникальных климатических условиях нашей страны, как различные обстоятельства (находится ли тело на солнце / в тени, закопано / на поверхности, в одежде / без одежды и т. Д.) Влияют на процесс разложения и как запах распад со временем меняется. Все тела были специально переданы в дар учреждению для использования в медицинских исследованиях.

Объект будет использоваться различными учеными, включая энтомологов, антропологов, биологов и химиков. Кроме того, исследователи и специалисты отрасли из университетов, судебно-медицинских служб, полиции и других научных организаций будут регулярно посещать объект, чтобы изучать трупы и подробно фиксировать любые изменения.

Сходства между людьми и свиньями
«Ты свинья!» Это может быть обычным оскорблением, но, что интересно, между людьми и свиньями есть много общего.К ним относятся различные анатомические и физиологические особенности, такие как расположение органов (и часто размер и функция), сходство кожи и прогрессирование некоторого заболевания. Например, свинья весом около 60 кг будет напоминать человеческое тело во многих отношениях, включая распределение жира, покров волос и способность привлекать насекомых. По этой причине свиньи используются в медицинских исследованиях более 30 лет и являются так называемой трансляционной исследовательской моделью. Это означает, что если у свиньи что-то работает, у него больше шансов работать у человека.
Таким же образом свиньи использовались в качестве моделей разложения человека, когда человеческие тела не были доступны для изучения. Они обеспечивают более высокий уровень репликации (что очень необходимо в судебно-медицинских исследованиях для определения количества ошибок с любыми оценками, предоставленными полиции). Ограниченное количество человеческих останков, доступных для такого рода исследований разложения, может ограничить воспроизведение исследований и, таким образом, увеличить количество ошибок при составлении судебных отчетов. Как следствие, на данном этапе необходимы и то, и другое, и работа человека, выполняемая сейчас, продолжает сравниваться с работой свиньи, чтобы проверить точность модели свиньи и соответствующую частоту ошибок при ее использовании.
Узнайте больше о разложении человека и животных.

Итак, чему эти фермы тел могут научить нас о смерти и что они там изучают?

Судебная антропология и археология

Судебные антропологи будут внимательно изучать прибывших в AFTER. Они работают, чтобы идентифицировать человеческие останки, сохранившиеся по-разному, которые, например, могут быть разложены, изуродованы, сожжены или уничтожены.Изучая скелет и любые физические маркеры, которые он может отображать, судебный антрополог может предоставить информацию о происхождении, возрасте, поле и росте умершего человека. При исследовании костей судебный антрополог также может определить, есть ли у покойного доказательства травмы скелета, которая могла произойти, когда человек был жив, или примерно в момент смерти. Они также могут определить, страдает ли умерший конкретным заболеванием, поражающим скелет (например, заболеванием суставов), или перенес ли он медицинские процедуры (такие как операции или имплантаты).Эти дополнительные сведения также могут помочь идентифицировать тело.

Археолог отобрал останки из братской могилы. Источник изображения: Джим Форест / Flickr.

Иногда окружающая среда, процесс разложения и мусорщики могли каким-то образом изменять скелет. Изучение того, как кости подвергаются влиянию австралийского климата и ландшафта, а также видов элементов и опыта, которым они подвергаются, может дать новое понимание тафономии и, в конечном итоге, внести вклад в судебно-медицинское расследование.Центр AFTER также позволит исследователям изучить, как происходит разложение тканей и волокон в австралийских условиях, и какое влияние это сохранение или разложение оказывает на разложение тела.

Судебных археологов часто привлекают для помощи в поисках тайных могил и, в конечном итоге, в профессиональном обнаружении захороненных доказательств (которые могут включать не только тело, но и наркотики, оружие и т. Д.). Разложение тела влияет на окружающую среду.Судебные археологи имеют опыт в том, что происходит с ландшафтом, когда тело (или другие улики) захоронены, и поэтому могут предоставить массу информации, исследуя более широкий контекст сцены смерти.

В то время как тело на поверхности земли будет разлагаться определенным образом, тело, похороненное в неглубокой могиле, также может оставить после себя отчетливые маркеры окружающей среды. Их может уловить опытный глаз.

Например, почва — это больше, чем просто куча грязи, и она может раскрыть гораздо больше, чем вы думаете.Сначала следователи проверят, не нарушена ли почва.

Они будут искать любые необычные углубления или вмятины в земле. Когда тело под поверхностью разлагается, почва над ним будет опускаться в могилу. Почва также будет более рыхлой и мягкой, чем окружающая уплотненная почва, что может быть еще одним индикатором нарушенной почвы. Изучение цвета, текстуры и консистенции почвы также может быть использовано для определения того, была ли почва ранее нарушена.

Любая собранная почва будет проверена специализированными судебными почвоведами. Анализ химического состава почвы может определить, является ли она кислой или щелочной, а также необычными уровнями pH. Тип почвы, в которую закопано тело, может изменить скорость его разложения — кислая почва может вызвать разрушение тела в три раза быстрее, чем щелочная. Это полезная информация, которую следователи должны учитывать при поиске тела, особенно если они ищут тело, которое пропало без вести в течение нескольких лет.Почву также можно анализировать на содержание органических и неорганических веществ. Органическое содержимое может включать не только растительное вещество, но и широкий спектр беспозвоночных, таких как микробные сообщества и коллемболы), что может дать ключ к разгадке того, находилось ли там в какой-то момент тело.

Ученый анализирует образцы почвы. Источник изображения: Баладжи Касираджан / Wikimedia Commons.

Разлагающееся тело выделяет ионы аммония, которые также могут изменять уровень pH почвы. Исследование, проведенное в Университете Западной Австралии (хотя и с использованием мяса животных, а не человека), показало, что после семи дней пребывания в земле уровень pH кислой почвы повысился более чем на три единицы.Однако щелочная почва показала лишь незначительное повышение уровня pH.

Судебные археологи также следят за ростом или смертью растений, а также на изменения внешнего вида местности. Эти подсказки могут помочь следователям получить информацию о наличии возможной могилы.

Когда человеческое тело разрушается, оно выделяет большое количество азота и фосфата в окружающую почву. Сначала это может убить растения в непосредственной близости, хотя в течение нескольких лет те же химические вещества вызывают всплеск роста, что приводит к появлению необычно зеленых и устойчивых участков ботанической жизни.Изучение того, как процесс разложения может повлиять на окружающую среду Австралии, — одна из задач, которые будут изучены в AFTER.

Судебные археологи также знают, что в природе нет ничего прямого. Поиск прямых линий (например, вырезанной могилы) может указывать на то, что что-то сделано людьми.

Судебные археологи помогают в обработке сцен массовых смертей, таких как места массовых захоронений, авиакатастроф или террористических актов. Это направление исследований проводится в AFTER, австралийские ученые используют это место для моделирования массовых захоронений, подобных тем, которые были обнаружены во всем мире после периодов политического, религиозного или этнического насилия, например, в Аргентине, Гватемале, Испании, бывшей Югославии, Ирак и Сирия.Доктор Сорен Блау, судебный антрополог, который возглавит исследование, сказал: «Мы знаем, что с одним человеком [человеческое разложение] сложно, но когда вы добавляете много людей, сложность становится еще больше». Дальнейшее понимание процесса разложения смешанных людей в массовых захоронениях и воздействия нескольких тел на окружающую среду может помочь судебным археологам обнаружить и классифицировать места будущих массовых захоронений.

В рамках проекта шесть человек будут помещены в одну могилу и еще трое — в другую, в условиях, аналогичных тем, которые используются военными преступниками.Одна могила будет создана с помощью техники, а другая будет вырыта вручную, чтобы воспроизвести сценарии реального мира.

Есть надежда, что результаты исследования, которое займет три года, помогут следователям найти массовые захоронения, а исследователям изучить и оценить останки, что в конечном итоге поможет судебному преследованию военных преступников.

Судебная энтомология

Судебные энтомологи изучают биологию насекомых и других членистоногих, чтобы помочь в расследовании уголовных преступлений.Основная цель их работы — оценить минимальное время после смерти. Судебные энтомологи также могут предоставить информацию о том, было ли тело перемещено после смерти (например, если оно было обнаружено среди присутствующих видов насекомых, выходящих за пределы его естественного географического распространения) или было иным образом нарушено, положение участков ран, и были ли замешаны наркотики или яд.

Труп обычно проходит пять стадий разложения — свежий, раздутый (автолиз), активный разложение (гниение), прогрессирующее разложение и скелетонизация.Хотя эти этапы могут различаться по продолжительности в зависимости от условий, в которых находится труп, каждая фаза привлекает определенные типы насекомых (например, сначала появляются мухи, а затем жуки).

Если тело найдено в течение нескольких недель, возраст и развитие личинок можно использовать для оценки времени, прошедшего с момента смерти. Хотя внешние условия (жара, холод, осадки) могут влиять на скорость роста личинок, они обычно следуют установленному графику развития. Таким образом, хотя мухи на семейном пикнике могут и не понадобиться, для судебных энтомологов присутствие обычных насекомых на теле приветствуется и ценно.Они не доставляют неудобств, они могут дать важные подсказки о том, когда человек умер.

Мухи — особенно комнатные ( Muscidae ) и кулисные ( Calliphoridae ) — могут приземлиться на тело за секунды и откладывать яйца за считанные минуты. Их привлекает запах, исходящий от трупа по мере разложения, при этом некоторые мухи могут улавливать запах смерти за 16 километров.

Они откладывают яйца в такие отверстия, как рот, нос, уши или открытые раны.Одна муха может отложить до 250 яиц, которые могут вылупиться в течение 24 часов. Полученные личинки первой стадии питаются телом за несколько часов до линьки. Затем они снова кормятся, пока не станут достаточно большими, чтобы отойти от тела и окукливаться, превратившись во взрослых мух, которые повторяют цикл.

Третье семейство мух, мясная муха ( Sarcophagidae ), прилетает немного позже, но компенсирует свое опоздание рождением живых личинок, а не яиц.

Муха плоти питается разлагающейся плотью.Источник изображения: Мухаммад Махди Карим / Wikimedia Commons.

Собирая и изучая половозрелых мух, оболочки куколок и личинок на трупе и вокруг него, а также используя свои знания о стадиях и продолжительности жизненного цикла насекомого, судебные энтомологи могут определить, как давно взрослые мухи откладывали яйца на трупе. труп. При сопоставлении с погодными условиями это дает им основу для определения минимального времени, в течение которого тело было мертвым (известного как минимальный посмертный интервал).

Однако этот метод не является окончательным, так как различные факторы могут остановить или задержать прибытие мух и их потомства, включая погоду, одежду, перемещение тела (например, из закрытого дома) и даже деятельность других насекомых.

Еще один метод, используемый судебными энтомологами, — это изучение последовательности насекомых. По мере разложения тело претерпевает физические, биологические и химические изменения. Каждый этап привлекает разные виды насекомых. Поэтому, если тело найдено более чем через месяц после смерти, когда многие личинки и мухи уже ушли, изучение насекомых, которые переместились, чтобы занять их место, может быть полезным для оценки времени, прошедшего после смерти.

Жуки обычно прибывают на тело рядом. Поскольку у них есть жевательный ротовой аппарат, они могут поглощать более жесткие части, оставленные мухами. Есть несколько различных видов жуков, которые живут за счет мертвых (либо поедая сам труп, либо тех, что питаются им), например, стафилинские жуки ( Staphylinidae ) и гистероеды ( Histeridae ). Как и мухи, они проходят полное развитие (от личиночной стадии до взрослой формы), поэтому изучение их развития может быть полезно для определения того, как долго они находятся на теле.Появившиеся позже виды, такие как шкурок и ветчина ( Necrobia rufipes ), питаются ужесточенной кожей и сухожилиями. Они известны как специальные мусорщики.

Есть несколько видов жуков, которые живут за счет мертвых, в том числе стафилококк (на фото). Источник изображения: Бернар Дюпон / Flickr.

Конечно, насекомые не «ходят по очереди» вежливо. Они часто присутствуют одновременно и колонизируют разные части тела. Другие хищные насекомые, такие как муравьи, осы, клещи и пауки, также прибывают, чтобы полакомиться теми насекомыми (или их личинками), которые достигли тела раньше них.Опять же, этот метод небезопасен. Многие факторы могут повлиять на то, какие насекомые прилетают, когда они прибывают и как быстро растет их потомство, включая среду обитания, погодные условия и тип почвы.

Насекомые потрясающе поедают мягкие ткани трупа. Примерно через 12 месяцев они мало что оставят. Тем не менее, свидетельства их работы и жизни могут быть полезны судебным энтомологам. Пустые кукольные оболочки, оставшиеся на теле или рядом с ним, сохраняются годами — куколки были извлечены даже у египетских мумий.После того, как вид идентифицирован, они могут указать время года (сезон) смерти, что может помочь сузить временные рамки расследования.

Судебная химия

Если вы когда-нибудь проезжали мимо и чувствовали запах дорожно-транспортного происшествия, вы знаете, что смерть воняет.

Запах разлагающегося человеческого тела был описан как резкий и резкий, смешанный с привкусом тошнотворной сладости.Несмотря на свою неприятность, запахи, выделяемые в процессе разложения, могут быть невероятно полезными. И некоторые исследователи теперь утверждают, что разлагающиеся человеческие тела имеют уникальный запах, отличный от запаха других гниющих животных.

Исследование 2015 г. было направлено на выявление летучих органических соединений, выделяемых при разложении. Исследователи изучили шесть человеческих останков и 26 останков животных за шестимесячный период. Используя современное оборудование, они смогли идентифицировать в общей сложности 452 соединения.

Многие соединения были одинаковыми для разных видов. Но исследователи идентифицировали восемь соединений (этилпропионат, пропилпропионат, пропилбутират, этилпентаноат, пиридин, диэтилдисульфид, метил (метилтио) этилдисульфид и 3-метилтио-1-пропанол), специфичных для останков человека и свиней.

Они также смогли различать останки человека и свиньи благодаря присутствию пяти сложных эфиров (3-метилбутилпентаноат, 3-метилбутил-3-метилбутират, 3-метилбутил-2-метилбутират, бутилпентаноат и пропилгексаноат).Интересно, что эти пять сложных эфиров (образующихся при разложении жировых тканей, мышц и углеводов) также ответственны за сильный, интенсивный запах, исходящий от некоторых фруктов, таких как малина и ананасы. Кажется, запах человеческой смерти немного фруктовый.

Профессор Шари Форбс оценивает образцы в лаборатории. Источник изображения: Шари Форбс, AFTER. Используется с разрешения.

Однако, несмотря на выявление соединений, специфичных для людей и свиней, исследователи отметили, что необходимы дальнейшие исследования для поиска «специфичных для человека» маркеров.

Результаты исследования, хотя и интересны, в некотором смысле ограничены. Во-первых, исследователи использовали части человеческого тела, а не целые тела. Во-вторых, останки были протестированы в контролируемой лабораторией среде, поэтому они не подвергались воздействию внешних факторов, таких как свет, тепло, влажность или активность насекомых, которые могли повлиять на результаты.

Профессор Шари Форбс, глава нового центра AFTER, будет использовать этот центр для развития этого исследования. Она будет исследовать химические процессы, происходящие во всем человеческом теле при естественном разложении на открытом воздухе, и использовать эту информацию для определения точной биохимической сигнатуры.

Химическая «сигнатура» смерти меняется с каждой стадией разложения. Точные записи этих различных химических маркеров могут быть использованы для различных целей. Их можно использовать для обучения полицейских собак, обнаруживающих трупы (которые в дальнейшем будут заниматься судебно-медицинской экспертизой и расследованием массовых бедствий), или для помощи в разработке портативных устройств обнаружения, которые могут распознавать запах «смерти».

Собаки используются для обнаружения запаха человеческих останков. Источник изображения: Staff Sgt.Дэниел Ярналл / Wikimedia Commons.

Идентификация химической сигнатуры смерти — важная работа, но судебные химики также могут помочь следователям определить причину смерти. Используя различные высокопроизводительные машины, они помогают идентифицировать определенные вещества и материалы, обнаруженные в теле или на теле или на месте преступления, такие как наркотики, алкоголь или ускоритель возгорания (например, бензин или керосин). Эта информация может указать направления расследования, а также подтвердить или опровергнуть подозрения следователей в отношении обнаруженных материалов.

Судебные химики также будут внимательно изучать, как происходит деградация тканей и волокон в австралийских условиях. Они будут изучать сам материал, а не его воздействие на тело или скелет.

Следующее видео содержит графические изображения.

Вывод

Как бы мы ни хотели это игнорировать, смерть и то, что происходит после нее, являются неоспоримыми фактами жизни.Все живые существа умирают, поэтому имеет смысл, как бы неприятно это ни было, попытаться лучше понять различные вовлеченные процессы.

Данные, собранные на объекте AFTER, смогут предоставить проверенные научные методы и результаты, которые могут быть использованы полицией и судебными следователями в своей работе. Поскольку каждая сцена смерти уникальна как с точки зрения тела (включая его размер, возраст и травмы), так и с точки зрения обстоятельств, в которых оно находится (таких как окружающая среда, погода, одежда и положение), наука не является безошибочной.Однако, улучшив наши знания о процессе разложения человека и о том, как на него влияет окружающая флора и фауна, мы сможем ответить на вопросы, которые затем могут принести пользу живым.

Жизнь после смерти: наука о разложении человека | Судебно-медицинская экспертиза

Джон умер примерно за четыре часа до того, как его тело было доставлено в похоронное бюро. Он был относительно здоровым большую часть своей жизни. Он всю свою жизнь проработал на нефтяных месторождениях Техаса, работа, которая поддерживала его физическую активность и в довольно хорошей форме.Он бросил курить несколько десятилетий назад и пил умеренное количество алкоголя.

В последнее время его семья и друзья заметили, что его здоровье — и его разум — начали ухудшаться. Затем, одним холодным январским утром, у него случился обширный сердечный приступ, по-видимому, вызванный другими, неизвестными осложнениями, он упал на пол дома и почти сразу скончался. Ему было всего 57 лет. Теперь он лежал на металлическом столе, его тело было завернуто в белую льняную простыню, холодное и жесткое на ощупь, его кожа была багрово-серой — контрольные признаки того, что ранние стадии разложения уже шли.

Большинство из нас предпочло бы не думать о том, что происходит с нами и близкими после смерти. Большинство из нас умирают естественной смертью и, по крайней мере, на Западе, их хоронят традиционным способом. Это способ проявить уважение к умершему и принести чувство замкнутости в семью покойного. Это также помогает замедлить процесс разложения, чтобы члены семьи могли помнить своего любимого человека таким, каким он был когда-то, а не таким, какой он есть сейчас.

Для других конец менее достойный.Убийца может похоронить свою жертву в неглубокой могиле или оставить ее тело на месте преступления, незащищенное от непогоды. Когда тело в конечном итоге будет обнаружено, первое, что попытаются установить полицейские детективы и судебно-медицинские эксперты, работающие над этим делом, — это когда наступила смерть. Время смерти — важная информация в любом расследовании убийства, но многие факторы, влияющие на процесс разложения, могут сделать его чрезвычайно трудным для оценки.

Вид гниющего трупа для большинства из нас в лучшем случае тревожит, а в худшем — отталкивает и пугает, превращаясь в кошмары.

Далеко не «мертвый» … гниющий труп изобилует жизнью

Однако гниющий труп далеко не «мертвый». Все большее число ученых рассматривают гниющий труп как краеугольный камень обширной и сложной экосистемы, которая возникает вскоре после смерти, процветает и развивается по мере разложения.

Мы все еще очень мало знаем о человеческом разложении, но рост центров судебно-медицинских исследований, или «ферм тел», вместе с доступностью и постоянно снижающейся стоимостью таких методов, как секвенирование ДНК, теперь позволяет исследователям изучать этот процесс разными способами. это было невозможно всего несколько лет назад.Лучшее понимание экосистемы трупов — того, как она меняется с течением времени, как она взаимодействует с окружающей средой и изменяет ее, — может иметь важные применения в судебной медицине. Это может, например, привести к новым, более точным способам определения времени смерти и поиска тел, спрятанных в тайных могилах.

Разложение начинается через несколько минут после смерти в процессе, называемом автолизом или самоперевариванием. Вскоре после того, как сердце перестает биться, клетки лишаются кислорода, и их кислотность увеличивается, поскольку внутри них начинают накапливаться токсичные побочные продукты химических реакций.Ферменты начинают переваривать клеточные мембраны, а затем выходят наружу по мере разрушения клеток. Обычно это начинается в печени, которая обогащена ферментами, и в головном мозге, в котором много воды; Однако со временем все другие ткани и органы начинают таким образом разрушаться. Поврежденные клетки крови выходят из сломанных сосудов и под действием силы тяжести оседают в капиллярах и мелких венах, обесцвечивая кожу.

Температура тела также начинает падать, пока оно не акклиматизируется к окружающей среде.Затем наступает трупное окоченение — оцепенение смерти — начиная с век, челюстей и мышц шеи, а затем проникает в туловище, а затем и в конечности. В жизни мышечные клетки сокращаются и расслабляются из-за действия двух нитчатых белков, называемых актином и миозином, которые скользят друг по другу. После смерти клетки истощают свой источник энергии, и белковые нити блокируются на месте. Это заставляет мышцы становиться жесткими и блокировать суставы.

«Может потребоваться немного силы, чтобы сломать это», — говорит гробовщик Холли Уильямс, поднимая руку Джона и осторожно сгибая ее в пальцах, локтях и запястьях.«Обычно чем свежее тело, тем легче мне работать».

Уильямс говорит тихо и ведет себя беспечно, что противоречит ужасному характеру ее работы. Выросшая в семейном похоронном бюро на севере Техаса и проработав там всю свою жизнь, она с детства почти ежедневно видела трупы и обращалась с ними. Сейчас ей 28 лет, и, по ее оценкам, она проработала около тысячи тел.

Ее работа включает сбор недавно умерших тел в районе Даллас-Форт-Уэрт, а иногда и за его пределами, и подготовку их к похоронам путем омовения и бальзамирования.Бальзамирование включает в себя обработку тела химическими веществами, замедляющими процесс разложения, в первую очередь для восстановления его как можно ближе к его естественному состоянию перед смертью. Уильямс выполняет это, чтобы родственники и друзья могли увидеть своих умерших близких на похоронах. Жертвы травм и насильственной смерти обычно нуждаются в обширной реконструкции лица, что требует высокой квалификации и требует много времени.

«Большинство людей, которых мы забираем, умирают в домах престарелых, — говорит Уильямс, — но иногда мы встречаем людей, умерших от огнестрельных ранений или в автокатастрофе.Нам могут позвонить, чтобы забрать кого-то, кто умер в одиночестве и не был найден в течение нескольких дней или недель, и он уже будет разлагаться, что значительно усложняет мою работу ».

Джон лежал на металлическом столе Уильямса, его тело было завернуто в белую льняную простыню, холодное и жесткое на ощупь. Фотография: Мо Костанди

На ранних стадиях разложения трупная экосистема состоит в основном из бактерий, обитающих в человеческом теле и на нем. В нашем теле обитает огромное количество бактерий, каждая из его поверхностей и углов обеспечивает среду обитания для специализированного микробного сообщества.Безусловно, самое большое из этих сообществ обитает в кишечнике, где обитают триллионы бактерий сотен или, возможно, тысяч различных видов.

Так называемый микробиом кишечника — одна из самых горячих тем исследований в биологии на данный момент. Некоторые исследователи убеждены, что кишечные бактерии играют важную роль в здоровье и болезнях человека, но мы все еще очень мало знаем о нашем составе этих загадочных микробных пассажиров, не говоря уже о том, как они могут влиять на функции нашего организма.

Мы знаем еще меньше о том, что происходит с микробиомом после смерти человека, но новаторское исследование, опубликованное за последние несколько лет, предоставило некоторые столь необходимые детали.

Большинство внутренних органов при жизни лишены микробов. Однако вскоре после смерти иммунная система перестает работать, позволяя им свободно распространяться по всему телу. Обычно это начинается в кишечнике, на стыке тонкого и толстого кишечника. При отсутствии контроля наши кишечные бактерии начинают переваривать кишечник, а затем и окружающие ткани изнутри, используя химический коктейль, который вытекает из поврежденных клеток в качестве источника пищи.Затем они проникают в капилляры пищеварительной системы и лимфатические узлы, распространяясь сначала в печень и селезенку, а затем в сердце и мозг.

В прошлом году судебно-медицинский эксперт Гульназ Джаван из Университета штата Алабама в Монтгомери и ее коллеги опубликовали самое первое исследование того, что они назвали танатомикробиомом (от thanatos , греческого слова, означающего «смерть»).

«Все наши образцы взяты из уголовных дел, связанных с людьми, которые умерли в результате самоубийства, убийства, передозировки наркотиков или в результате дорожно-транспортных происшествий», — объясняет она.«Взять образцы таким способом действительно сложно, потому что мы должны просить семьи [погибших] подписать наши формы согласия. Это серьезный этический вопрос «.

Джаван и ее команда взяли образцы печени, селезенки, мозга, сердца и крови у 11 трупов через 20–240 часов после смерти, а затем использовали две различные современные технологии секвенирования ДНК в сочетании с биоинформатикой. , чтобы проанализировать и сравнить содержание бактерий в каждом образце.

Они обнаружили, что образцы, взятые из разных органов одного и того же трупа, были очень похожи друг на друга, но сильно отличались от образцов, взятых из тех же органов в других телах.Частично это может быть связано с индивидуальными различиями в составе микробиома людей, участвовавших в исследовании.

Различия также могут быть связаны с различиями во времени, прошедшем после смерти. Более раннее исследование разлагающихся мышей показало, что, хотя микробиом животных резко меняется после смерти, это происходит последовательным и измеримым образом, так что исследователи смогли оценить время смерти с точностью до 3 дней из почти 2-месячного периода. период.

Исследование Джавана предполагает, что эти «микробные часы» также могут тикать в разлагающемся человеческом теле. Первые бактерии, которые они обнаружили, были получены из образца ткани печени трупа всего через 20 часов после смерти, но самое раннее время, когда бактерии были обнаружены во всех образцах того же трупа, было через 58 часов после смерти. Таким образом, после нашей смерти наши бактерии могут распространяться по телу стереотипным образом, и время, с которым они проникают сначала в один внутренний орган, а затем в другой, может предоставить новый способ оценки количества времени, прошедшего с момента смерти.

«Степень разложения различается не только от человека к человеку, но также различается в разных органах тела», — говорит Джаван. «Селезенка, кишечник, желудок и беременная матка распадаются раньше, но, с другой стороны, почки, сердце и кости — позже». В 2014 году Джаван и ее коллеги получили грант в размере 200 000 долларов США от Национального научного фонда для дальнейшего исследования. «Мы проведем секвенирование и биоинформатику следующего поколения, чтобы увидеть, какой орган лучше всего подходит для оценки [времени смерти] — это пока неясно», — говорит она.

Одна вещь, которая уже кажется очевидной, заключается в том, что разные стадии разложения связаны с различным составом трупных бактерий.

Когда происходит самопереваривание и бактерии начинают покидать желудочно-кишечный тракт, начинается гниение. Это молекулярная смерть — еще больший распад мягких тканей на газы, жидкости и соли. Это уже происходит на ранних стадиях разложения, но действительно начинается, когда в дело вступают анаэробные бактерии.

Гниение связано с заметным переходом от аэробных видов бактерий, которым для роста необходим кислород, к анаэробным, которые этого не делают. Затем они питаются тканями тела, ферментируя содержащиеся в них сахара с образованием газообразных побочных продуктов, таких как метан, сероводород и аммиак, которые накапливаются в организме, раздувая (или « вздувая ») живот, а иногда и другие части тела. .

Это вызывает дальнейшее обесцвечивание тела. Поскольку поврежденные клетки крови продолжают вытекать из разрушающихся сосудов, анаэробные превращают молекулы гемоглобина, которые когда-то переносили кислород по всему телу, в сульфгемоглобин.Присутствие этой молекулы в отстоявшейся крови придает коже мраморный зеленовато-черный вид, характерный для тела, подвергающегося активному разложению.

По мере того, как давление газа продолжает нарастать внутри тела, волдыри появляются на всей поверхности кожи, а затем происходит их расшатывание, за которым следует «соскальзывание» больших слоев кожи, которые остаются едва прикрепленными к разрушающемуся каркасу под ними. . В конце концов, газы и сжиженные ткани удаляются из организма, обычно просачиваясь из заднего прохода и других отверстий, а часто также из разорванной кожи в других частях тела.Иногда давление настолько велико, что живот разрывается.

Вздутие живота часто используется в качестве маркера перехода между ранней и поздней стадиями разложения, и другое недавнее исследование показывает, что этот переход характеризуется отчетливым сдвигом в составе трупных бактерий.

Персонал Центра прикладной криминалистики Юго-Восточного Техаса (STAFS) в Хантсвилле, штат Техас. Слева направо: научный сотрудник Кевин Дерр, директор STAFS Джоан Байтуэй, болезненный энтомолог Сибил Бучели и микробиолог Аарон Линн.Фотография: Мо Костанди

Исследование проводилось в Центре прикладной судебной экспертизы Юго-Восточного Техаса в Хантсвилле. Открытый в 2009 году объект расположен на территории Национального леса площадью 247 акров, которая принадлежит университету и поддерживается исследователями из Государственного университета Сэма Хьюстона (SHSU). Внутри густо заросший лесом участок площадью девять акров был изолирован от более широкой территории и дополнительно разделен 10-футовыми заборами из зеленой проволоки, увенчанными колючей проволокой.

Здесь среди сосен разбросано около полдюжины человеческих трупов, находящихся на разных стадиях разложения.Два последних размещенных тела лежали, раскинувшись, почти в центре небольшого вольера, большая часть их рыхлой серо-голубой пестрой кожи оставалась неповрежденной, а грудные клетки и тазовые кости были видны между медленно разлагающейся плотью. В нескольких метрах от него лежит еще один труп, полностью скелетонизированный, с черной твердой кожей, цепляющейся за кости, как если бы он был одет в блестящий латексный костюм и тюбетейку. Кроме того, помимо других останков скелета, которые, очевидно, были разбросаны стервятниками, лежал еще один, в деревянной и проволочной клетке, на этот раз приближался к концу цикла смерти, частично мумифицированный и с несколькими большими коричневыми грибами, растущими из того места, где когда-то был живот. было.

В конце 2011 года исследователи SHSU Сибил Бучели и Аарон Линн и их коллеги поместили сюда два свежих трупа, оставили их разлагаться в естественных условиях, а затем взяли образцы бактерий из различных частей, в начале и в конце вздутия. сцена. Затем они извлекли бактериальную ДНК из образцов и секвенировали ее, чтобы обнаружить, что вздутие живота характеризуется заметным переходом от аэробных к анаэробным видам.

Как энтомолог, Бучели в основном интересуется насекомыми, населяющими трупы.Она рассматривает труп как особую среду обитания для различных видов насекомых-некрофагов (или «поедающих мертвецов»), некоторые из которых проводят весь свой жизненный цикл внутри, на теле и вокруг него.

Когда разлагающееся тело начинает очищаться, оно полностью подвергается воздействию окружающей среды. На этом этапе активность микробов и насекомых достигает своего пика, и трупная экосистема действительно вступает в свои права, становясь «центром» не только для насекомых и микробов, но также для стервятников и падальщиков, а также для мясоедов.

Двумя видами, тесно связанными с разложением, являются мясные мухи, мясные мухи и их личинки. Трупы источают неприятный, тошнотворно-сладкий запах, состоящий из сложного коктейля летучих соединений, состав которых меняется по мере разложения. Мухи улавливают запах с помощью специализированных обонятельных рецепторов, затем приземляются на труп и откладывают яйца в отверстия и открытые раны.

Каждая муха откладывает около 250 яиц, которые вылупляются в течение 24 часов, давая начало маленьким личинкам первой стадии.Они питаются гниющей плотью, а затем линяют в более крупных личинок, которые питаются в течение нескольких часов, а затем снова линяют. Накормив еще немного, эти еще более крупные и теперь откормленные личинки уворачиваются от тела. Затем они окукливаются и превращаются во взрослых мух, и цикл повторяется снова и снова, пока им не остается ничего, чтобы питаться.

При правильных условиях активно разлагающееся тело будет питаться большим количеством личинок третьей стадии. Эта «масса личинки» выделяет много тепла, повышая внутреннюю температуру более чем на 10 ° C.Подобно сбившимся в кучу пингвинам, отдельные личинки в массе постоянно находятся в движении. Но в то время как пингвины сбиваются в кучу, чтобы согреться, личинки в массе перемещаются, чтобы не замерзнуть.

Вернувшись в свой офис в кампусе SHSU, украшенный большими игрушечными насекомыми и коллекцией кукол Monster High, Бучели объясняет: «Это палка о двух концах — если вы всегда на грани, вас может съесть птица, и если вы всегда будете в центре, вас могут приготовить. Таким образом, они постоянно перемещаются от центра к краям и обратно.Это похоже на извержение.

Присутствие мясных мух привлекает к трупу хищников, таких как кожные жуки, клещи, муравьи, осы и пауки, которые затем питаются своими яйцами и личинками или паразитируют на них. Стервятники и другие падальщики, а также другие крупные мясоеды также могут напасть на тело.

Однако в отсутствие падальщиков за удаление мягких тканей отвечают личинки. Карл Линней, разработавший систему, с помощью которой ученые называют виды, заметил в 1767 году, что «три мухи могут съесть труп лошади так же быстро, как лев.Личинки третьей стадии будут отходить от трупа в большом количестве, часто следуя одним и тем же маршрутом. Их деятельность настолько интенсивна, что их пути миграции можно увидеть после завершения разложения, как глубокие борозды в почве, исходящие от трупа.

Учитывая скудность исследований разложения человека, мы все еще очень мало знаем о видах насекомых, которые колонизируют труп. Но последнее опубликованное исследование лаборатории Бучели предполагает, что они гораздо более разнообразны, чем мы предполагали ранее.

Исследование проводилось бывшим доктором наук Бучели. студентка Натали Линдгрен, которая поместила четыре трупа на ферму тел в Хантсвилле в 2009 году и оставила их там на целый год, в течение которого она возвращалась четыре раза в день, чтобы собрать насекомых, которые она нашла на них. Присутствовали обычные подозреваемые, но Линдгрен также отметила четыре необычных взаимодействия насекомых и трупов, которые никогда не были задокументированы, включая скорпиона, который питался мозговой жидкостью через рану после вскрытия черепа, и червя, питавшегося сухой кожей вокруг того места, где были ногти на ногах, которые, как ранее было известно, питались только гниющей древесиной.

Насекомые колонизируют труп последовательными волнами, и у каждого есть свой уникальный жизненный цикл. Таким образом, они могут предоставить информацию, которая будет полезна для оценки времени смерти и для изучения обстоятельств смерти. Это привело к появлению судебной энтомологии.

«Мухи почти сразу прилетят к трупу», — говорит Бучели. «Мы вытащим труп, и через три секунды в носу будут откладывать яйца мухи».

Насекомые могут быть полезны для определения времени смерти сильно разлагающегося тела.Теоретически энтомолог, прибывший на место преступления, может использовать свои знания о жизненных циклах насекомых, чтобы оценить время смерти. А поскольку многие виды насекомых имеют ограниченное географическое распространение, присутствие данного вида может связать тело с определенным местом или показать, что оно было перемещено из одного места в другое.

Однако на практике использование насекомых для определения времени смерти сопряжено с трудностями. Оценка времени смерти, основанная на возрасте личинок мясной мухи, обнаруженных на теле, основана на предположении, что мухи колонизировали труп сразу после смерти, но это не всегда так — например, захоронение может полностью исключить насекомых, а экстремальные температуры сдерживают их рост или предотвратить его вовсе.

Более раннее исследование, проведенное Линдгреном, выявило еще один необычный способ, с помощью которого мясные мухи могут не откладывать яйца на труп. «Мы сделали посмертную рану в живот [пожертвованного тела], а затем частично закопали труп в неглубокой могиле, — говорит Бучели, — но огненные муравьи сделали маленькие губки из земли и использовали их, чтобы заполнить порез и остановить жидкость ». Муравьи захватили рану больше недели, а потом пошел дождь. «Это смыло грязные губки. Тело начало раздуваться, затем оно взорвалось, и в этот момент мухи смогли колонизировать его.”

Даже если колонизация происходит сразу после смерти, оценки, основанные на возрасте насекомых, могут быть неточными по другой причине. Насекомые хладнокровны, поэтому скорость их роста зависит от температуры, а не от календаря. «Когда мы используем насекомых для оценки посмертного интервала, мы фактически оцениваем возраст личинки и экстраполируем ее», — говорит Бучели. «Мы измеряем рождаемость насекомых по накопленным градусам часов [сумме средней часовой температуры], поэтому, если вы знаете температуру и цикл роста мухи, вы можете оценить возраст мухи в течение часа или двух.”

В противном случае оценки времени смерти, основанные на информации о колонизации насекомых, могут быть совершенно неточными и вводящими в заблуждение. В конце концов, однако, Бучели считает, что объединение данных о насекомых с микробиологией может помочь сделать оценки более точными и, возможно, предоставить другую ценную информацию об обстоятельствах смерти.

Каждый вид, который посещает труп, обладает уникальным набором кишечных микробов, и различные типы почвы могут содержать различные бактериальные сообщества, состав которых, вероятно, определяется такими факторами, как температура, влажность, а также тип и текстура почвы. .

Все эти микробы смешиваются и перемешиваются в экосистеме трупа. Мухи, которые приземляются на труп, не только откладывают на него свои яйца, но и поглощают некоторые из бактерий, которые там находят, и оставляют часть своих собственных. А жидкие ткани, выходящие из тела, позволяют бактериям обмениваться между трупом и почвой под ним.

Когда они берут образцы трупов, Бучели и Линн обнаруживают бактерии, происходящие из кожи на теле, от мух и падальщиков, которые его посещают, а также из почвы.«Когда тело очищается, кишечные бактерии начинают выходить наружу, и мы видим, что большая часть их выходит за пределы тела», — говорит Линн.

Линдгрен и Бучели обнаружили скорпиона, Panorpa nuptialis , питавшегося мозговой жидкостью через разрез при вскрытии. Фотография: Натали Линдгрен

Таким образом, каждое мертвое тело, вероятно, имеет уникальную микробиологическую сигнатуру, и эта сигнатура может изменяться со временем в соответствии с жесткими условиями сцены смерти. Лучшее понимание состава этих бактериальных сообществ, отношений между ними и того, как они влияют друг на друга в процессе разложения, может однажды помочь командам криминалистов узнать больше о том, где, когда и как умер человек.

Например, обнаружение последовательностей ДНК, которые, как известно, уникальны для конкретного организма или типа почвы в трупе, может помочь следователям на месте преступления связать тело жертвы убийства с определенным географическим местоположением или еще больше сузить область поиска улик. возможно, в определенное поле в данной области.

«Было несколько судебных дел, в которых судебная энтомология действительно встала на ноги и предоставила важные части головоломки», — говорит Бучели. «Бактерии могут предоставить дополнительную информацию и стать еще одним инструментом для уточнения оценок [времени смерти].Я надеюсь, что примерно через 5 лет мы сможем начать использовать данные о бактериях в испытаниях ».

С этой целью будет иметь решающее значение больше знаний о микробиоме человека и о том, как он изменяется на протяжении жизни человека — и после его смерти. Исследователи занимаются каталогизацией видов бактерий в организме человека и на нем и изучают, как популяции бактерий различаются между людьми. «Я хотел бы получить набор данных от жизни до смерти», — говорит Бучели. «Я хотел бы встретить донора, который позволил бы мне брать образцы бактерий, пока они живы, в процессе их смерти и во время их разложения.”

Разлагающееся тело значительно изменяет химический состав почвы под ним, вызывая изменения, которые могут сохраняться годами. Очистка высвобождает питательные вещества в нижележащую почву, а миграция личинок передает большую часть энергии тела в окружающую среду. В конце концов, весь процесс создает «остров разложения трупа», область высокой концентрации органически богатой почвы. Помимо выделения питательных веществ в более широкую экосистему, труп также привлекает другие органические материалы, такие как мертвые насекомые и фекалии более крупных животных.

Согласно одной оценке, в среднем человеческое тело состоит на 50-75%, и каждый килограмм сухой массы тела в конечном итоге выделяет в почву 32 г азота, 10 г фосфора, 4 г калия и 1 г магния. Первоначально часть подлежащей и окружающей растительности отмирает, возможно, из-за токсичности азота или из-за обнаруженных в организме антибиотиков, которые выделяются личинками насекомых, когда они питаются плотью.

В конечном счете, однако, разложение благоприятно для экосистемы — микробная биомасса на острове разложения трупа больше, чем в других близлежащих районах; нематодные черви также становятся более многочисленными, а жизнь растений более разнообразной.Дальнейшие исследования того, как разлагающиеся тела изменяют экологию своего окружения, могут предоставить новый способ поиска жертв убийств, тела которых были похоронены в неглубоких могилах.

«Я читал статью о летающих дронах над полями, чтобы понять, какие из них лучше всего посадить», — говорит Дэниел Уэскотт, директор Центра судебной антропологии Техасского государственного университета в Сан-Маркосе. «Они получали изображения в ближнем инфракрасном диапазоне и показали, что органически богатые почвы были более темного цвета, чем другие.”

Антрополог, специализирующийся на структуре черепа, Уэскотт сотрудничает с энтомологами и микробиологами, чтобы узнать больше о разложении. Среди его сотрудников — Джаван, который был занят анализом образцов трупной почвы, собранных на объекте в Сан-Маркосе.

В последнее время Wescott начал использовать сканер микро-компьютерной томографии для анализа микроскопической структуры костей, которые возвращаются в лабораторию с фермы тела Сан-Маркос. Он также работает с компьютерными инженерами и пилотом, который управляет дроном и использует его для аэрофотосъемки объекта.

«Мы смотрим на очищающую жидкость, которая выходит из разлагающихся тел», — говорит он. «Я подумал, что если фермеры смогут обнаружить поля, богатые органическими веществами, то, возможно, наш маленький дрон также подберет острова разложения трупа».

Кроме того, анализ могильной почвы может в конечном итоге предоставить еще один возможный способ оценки времени смерти. Исследование биохимических изменений, происходящих на острове разложения трупа в 2008 году, показало, что концентрация липид-фосфора, вытекшего из трупа, достигает пика примерно через 40 дней после смерти, тогда как концентрация азота и экстрагируемого фосфора достигает пика через 72 и 100 дней. соответственно.Обладая более подробным пониманием этих процессов, анализ биохимии могильной почвы однажды может помочь судебно-медицинским экспертам оценить, как давно тело было помещено в скрытую могилу.

Другая причина, по которой оценка времени смерти может быть чрезвычайно сложной, заключается в том, что стадии разложения не происходят дискретно, а часто перекрываются, причем несколько происходят одновременно, а также потому, что скорость, с которой оно протекает, может широко варьироваться, в основном в зависимости от температуры. . Как только миграция личинок заканчивается, труп вступает в последнюю стадию разложения, и остаются только кости и, возможно, немного кожи.Эти заключительные стадии разложения и переходы между ними трудно идентифицировать, потому что наблюдаемых изменений гораздо меньше, чем на более ранних стадиях.

В безжалостной сухой жаре Техасского лета тело, оставленное стихиям, скорее мумифицируется, чем полностью разлагается. Кожа быстро потеряет всю влагу, поэтому после завершения процесса она останется прилипшей к костям.

Скорость химических реакций увеличивается вдвое с каждым повышением температуры на 10 ° C, поэтому труп достигнет продвинутой стадии через 16 дней при средней дневной температуре 25 ° C и через 80 дней при средней дневной температуре 25 ° C. 5 ° С.

Древние египтяне знали это. В додинастический период умерших оборачивали льняной тканью и хоронили прямо в песке. Жара подавляла активность микробов, а погребение препятствовало проникновению насекомых в тела, поэтому они очень хорошо сохранились. Позже они начали строить все более сложные гробницы для умерших, чтобы обеспечить их загробную жизнь еще лучше, но это имело противоположный эффект, ускоряя процесс разложения, и поэтому они изобрели бальзамирование и мумификацию.

Мортики и по сей день изучают древнеегипетский метод бальзамирования. Бальзамировщик сначала омывал тело умершего пальмовым вином и водой из Нила, удалял большую часть внутренних органов через разрез, сделанный внизу с левой стороны, и набивал их натроном, природной смесью солей, встречающейся по всему Нилу. Долина. Он использовал длинный крючок, чтобы вытащить мозг через ноздри, затем покрыл все тело натроном и оставил его сохнуть на сорок дней.

Первоначально высушенные органы помещали в канопы, которые закапывали рядом с телом; позже их завернули в белье и вернули к телу.Наконец, само тело было завернуто в несколько слоев льняной ткани для подготовки к погребению.

Скелетонированные человеческие останки возле входа в Центр судебной антропологии Университета штата Техас в Сан-Маркосе, штат Техас. Фотография: Мо Костанди

Живя в маленьком городке, Уильямс работала со многими людьми, которых она знала или даже с которыми росла, — друзьями, которые совершили передозировку, покончили жизнь самоубийством или умерли, переписываясь за рулем. А когда четыре года назад умерла ее мать, Уильямс тоже немного поработала над ней, добавив последние штрихи, накрасив ее лицо: «Я всегда делал ей прическу и макияж, когда она была жива, поэтому я знала, как это делать. в самый раз.

Она переводит Джона к подготовительному столу, снимает с него одежду и укладывает его, затем берет несколько маленьких бутылочек с жидкостью для бальзамирования из стенного шкафа. Жидкость содержит смесь формальдегида, метанола и других растворителей; он временно сохраняет ткани организма, связывая клеточные белки друг с другом и «фиксируя» их на месте. Жидкость убивает бактерии и не позволяет им расщеплять белки и использовать их в качестве источника пищи.

Уильямс выливает содержимое бутылок в бальзамирующую машину.Жидкость бывает разных цветов, каждый из которых соответствует разному тону кожи. Уильямс вытирает тело влажной губкой и делает диагональный разрез чуть выше левой ключицы. Она «приподнимает» сонную артерию и подключичную вену от шеи, связывает их кусочками веревки, затем вставляет канюлю в артерию и небольшой пинцет в вену, чтобы открыть сосуды.

Тела — это, в конце концов, просто формы энергии, заключенные в комки материи, ожидающие выхода в более широкую вселенную.

Затем она включает машину, закачивая бальзамирующую жидкость в сонную артерию и вокруг тела.По мере того, как жидкость поступает внутрь, кровь выливается из разреза, стекает по желобным краям наклонного металлического стола в большую раковину. Тем временем она берет одну из его конечностей и нежно массирует ее. «Чтобы удалить всю кровь у человека среднего роста и заменить ее бальзамирующей жидкостью, требуется около часа», — говорит Уильямс. «Сгустки крови могут замедлить это, поэтому массаж разрушает их и помогает потоку бальзамирующей жидкости».

После того, как вся кровь была заменена, она вставляет аспиратор в брюшную полость Джона и высасывает жидкость из полости тела вместе с любой мочой и фекалиями, которые могут там еще оставаться.Наконец, она зашивает разрезы, второй раз вытирает тело, устанавливает черты лица и переодевает его. Теперь Джон готов к похоронам.

Забальзамированные тела со временем тоже разлагаются, но когда и сколько времени это займет, во многом зависит от того, как было сделано бальзамирование, от типа шкатулки, в которую помещается тело, и от того, как оно захоронено. В конце концов, тела — это просто формы энергии, заключенные в комки материи, ожидающие выхода в более широкую вселенную. В жизни наши тела расходуют энергию, удерживая свои бесчисленные атомы запертыми в высокоорганизованных конфигурациях, оставаясь спокойными.

Согласно законам термодинамики, энергия не может быть создана или уничтожена, а только преобразована из одной формы в другую, а количество свободной энергии всегда увеличивается. Другими словами, вещи разваливаются, превращая при этом свою массу в энергию. Разложение — это последнее болезненное напоминание о том, что вся материя во Вселенной должна подчиняться этим фундаментальным законам. Он разрушает нас, уравновешивая материю нашего тела с окружающей средой и перерабатывая ее, чтобы другие живые существа могли использовать ее.

Прах к праху, прах к праху.

Это ранний черновик функции, которую я написал для Mosaic , , переизданных здесь (а также на Ars Technica, BBC Future, Business Insider, Daily Mail, Digg, Discover, Disinfo.com, El País, Gizmodo, Huffington Post, Philly.com и Raw Story) под лицензией Creative Commons.

Вы окружены бактериями, которые ждут, когда вы умрете

Вы наполнены бактериями, и вы покрыты ими.И многие из них просто ждут, когда ты умрешь.

Как только вы умрете, они нападут на вас. На этой неделе мы узнали, как именно микробы поедают нас. Отважная и сильная команда ученых месяцами наблюдала за разложением мертвых тел, изо дня в день отслеживая все бактерии, грибки и черви. Судмедэксперты могут использовать эту временную шкалу, опубликованную в журнале Science , для определения времени и даже места смерти. (Подробнее об этом читайте в предыдущих подробностях.)

Микробы в вашем кишечнике получают первые кусочки, как выяснили ученые.Как только ты умрешь, они начнут разлагать тебя изнутри. Между тем, другие бактерии на вашей коже или в почве под вами начинают атаковать извне внутрь. Как красиво резюмировал Майкл Бирн из Motherboard: «Земля просто ждет, когда вы упадете замертво».

Это немного обескураживает, если задуматься. Возникает вопрос: что мешает всем этим бактериям разложить вас живыми?

Вы скажете, что это глупо. Я жив. Разлагаются только мертвые вещи.

Да, но почему?

Что мешает всем этим бактериям разложить вас живыми?

По сути, большая часть жизни связана с тем, что ваши клетки ведут смертельную битву с бактериальными клетками. Пока вы живы и здоровы, ваши клетки побеждают. Разложение — это когда ваши клетки теряют.

Одно из самых четких описаний, которые я читал, взято из книги Мохеба Костанди «Вот что происходит после смерти»:

Большинство внутренних органов лишены микробов, когда мы живы.Однако вскоре после смерти иммунная система перестает работать, позволяя им свободно распространяться по всему телу. Обычно это начинается в кишечнике, на стыке тонкого и толстого кишечника. При отсутствии контроля наши кишечные бактерии начинают переваривать кишечник, а затем и окружающие ткани изнутри, используя химический коктейль, который вытекает из поврежденных клеток в качестве источника пищи. Затем они проникают в капилляры пищеварительной системы и лимфатические узлы, распространяясь сначала в печень и селезенку, а затем в сердце и мозг.

Как только вы умираете, ваше тело, по сути, получает первый перерыв после войны, с которой оно ведется каждое мгновение вашей жизни.

Когда бактерии начинают побеждать в этой войне у живого человека, мы называем это инфекцией и пытаемся вымыть захватчиков из раны. Или мы лечим их антибиотиками.

Давайте ненадолго остановимся, чтобы оценить эти антибиотики. Мы думали, что перехитрили бактерии. Но теперь мы злоупотребляем антибиотиками и злоупотребляем ими, давая бактериям шанс выявить нашу защиту.Они приспосабливаются, становятся устойчивыми к нашему оружию, и мы уже видим отказ некоторых из наших последних линий защиты, что ведет к большему количеству инфекций, болезней и смертей.

В конечном итоге мы проигрываем битву с бактериями, когда умираем. Но до тех пор довольно удивительно думать о тонкой грани между жизнью и превращением в пищу для бактерий. Представьте себе эволюционную гонку вооружений, которая привела к тому, что иммунная система стала настолько бдительной, что может десятилетиями отражать постоянные атаки.

РубрикаРазное

Разложение по первой строке: Разложение определителя по строке (столбцу).

Матрица метод разложения по строке. Разложение определителя по строке

12. Слау 3 порядка

2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Теорема о разложении определителя по строке — ПриМат

[Править]Определение через разложение по первой строке

[Править]Определение через перестановки

[Править]Альтернативные методы вычисления

[Править]Свойства определителей

[Править]Алгоритмическая реализация

Онлайн Калькулятор: Детерминант матрицы

Пример решения

Вычисляем определитель матрицы на Хаскелле / Хабр

Немного теории

Перейдем к программированию.

Простая рекурсия

Метод Гаусса

Метод разложения определителя.

12. Слау 3 порядка

Error

Этапы разложения человека

стадий разложения — Австралийский музей

— обзор

1.2 Подходы к разделению мозга на основе подключений

Этапы процесса разложения человека | Education

Начальная стадия

Бактериальное вздутие

Active Decay

Advanced Decay

Сухие кости

Процесс мумификации

Смертельные секреты — наука разложения

Тафономия: не для брезгливых…

Судебная антропология и археология

Судебная энтомология

Судебная химия

Вывод

Жизнь после смерти: наука о разложении человека | Судебно-медицинская экспертиза

Вы окружены бактериями, которые ждут, когда вы умрете

Добавить комментарий Отменить ответ