Раскрытие квадрата суммы: Квадрат суммы и квадрат разности, разность квадратов

Квадрат суммы и квадрат разности, разность квадратов

Квадрат суммы

Выражение  (a + b)²  — это квадрат суммы чисел  a  и  b.  По определению степени выражение  (a + b)²  представляет собой произведение двух многочленов  (a + b)(a + b).  Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

.

Многочлен  a² + 2ab + b²  называется разложением квадрата суммы.

Так как  a  и  b  обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение  3x² + 2xy.

Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(3x²

+ 2xy)² = (3x²)² + 2(3x² · 2xy) + (2xy)².

Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

(3x²)² + 2(3x² · 2xy) + (2xy)² = 9x⁴ + 12x³y + 4x²y².

Квадрат разности

Выражение  (a — b)²  — это квадрат разности чисел 

a  и  b.  Выражение  (a — b)²  представляет собой произведение двух многочленов  (a — b)(a — b).  Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b².

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности

, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a — b)² = a² — 2ab + b².

Многочлен  a² — 2ab + b²  называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

(2a² — 5ab²)².

Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:

(2a

2 — 5ab²)² = (2a²)² — 2(2a² · 5ab²) + (5ab²)².

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a²)² — 2(2a² · 5ab²) + (5ab²)² = 4a⁴ — 20a³b² + 25a²b⁴.

Разность квадратов

Выражение  a² — b²  — это разность квадратов чисел  a  и 

b.  Выражение  a² — b² представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a + b)(a — b) = a² + ab — ab — b² = a² — b².

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a² — b² = (a + b)(a — b).

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a² + 3)(5a² — 3).

Решение:

(5a² + 3)(5a² — 3) = (5a²)² — 3² = 25a⁴ — 9.

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

(a + b)(a — b) = a² — b².

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.

Квадрат суммы и квадрат разности — формулы, правило квадрата и примеры решения

Для успешного решения математических задач часто бывает необходимо уметь преобразовывать созданные выражения. Для этого применяют базовые знания, формулы сокращённого умножения, в том числе, квадрат суммы и квадрат разности.

Они помогают упрощать громоздкие записи, более рационально подходить к приведению дробей к одному знаменателю, решению уравнений и задач по геометрии, тригонометрии, математическому анализу, физике, химии, экономическим дисциплинам и многим другим наукам.

Поэтому среди многих разделов математики школьная алгебра занимает базовую приоритетную позицию, дающую основы вычислений для смежных предметов.

Формула квадрата разности

Для получения формулы применяют правило умножения многочлена на многочлен: нахождение суммы произведений каждого слагаемого одной скобки на каждое слагаемое второй скобки, учитывая, что квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного:

Если запомнить правило, то необходимость постоянно прописывать эту цепочку равенств исчезает.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов каждого из выражений без их удвоенного произведения:

Примеры задач с решением

Задача №1

Требуется возвести в квадрат разность (8x — 3y).

Решение.

При использовании формулы получается:

Ответ: 64x² — 48xy + 9y².

Задача №2

Упростить выражение:

b² + 49 — (b — 7)²

Решение.

Ответ: 14b.

Формула квадрата суммы и неполного квадрата суммы

Также легко, как и в предыдущем случае, выводится эта формула:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов каждого из них плюс их удвоенное произведение:

Многие школьники, начинающие знакомиться с этим материалом, часто теряют двойку во втором слагаемом правой части, получая

Однако, в этом случае, возникает неполный квадрат суммы (или разности), который на множестве действительных чисел не раскладывается на множители.

Обе формулы применяются не только для раскрытия скобок, но и для разложения на множители, что в свою очередь упрощает приведение к одному знаменателю, сокращение дробей, решение уравнений высоких степеней.

Примеры задач с решением

Задача №3

Преобразовать трёхчлен в квадрат двучлена:

28xy + 49x² + 4y²

Решение.

Поскольку квадраты находятся на втором и третьем местах, поменяем слагаемые между собой и подготовим выражение для применения формулы:

Ответ: (7x + 2y)². 

Возведение во вторую степень суммы трёх и более слагаемых выполняется аналогично: необходимо возвести в квадрат каждый элемент, записать все возможные удвоенные произведения и сложить полученные результаты.

Правила возведения в степени более высоких порядков возникают, когда выполняется умножение одинаковых многочленов несколько раз.

Возможность выполнять возведение в квадрат больших чисел, не используя калькулятор, является одним из преимуществ сокращённого умножения.

Задача №4

Выполнить раскрытие скобок и упростить:

(x² + 3x — 4y)² — x⁴ — 9x² — 16y²

Решение.

Ответ: 6x³ — 8x² — 24xy.

Задача №5

Вычислить:

103² + 197²

Решение.

Для каждого слагаемого применяется одно из правил возведения в квадрат, затем производится суммирование результатов:

Решая квадратные уравнения, вместо поиска дискриминанта выделяют полный (точный) квадрат среди слагаемых, расположенных в левой части. В правую сторону собираются оставшиеся элементы.

Задача №6

Решить уравнение:

x² — 4x — 5 = 0

Решение.

Первые два слагаемых левой части полностью удовлетворяют формуле квадрата суммы. Соотнеся их с соответствующими элементами правила, определяют, прибавляют и вычитают третье, затем сворачивают в точный квадрат, остальные члены алгебраической суммы переносят в правую сторону:

Решениями исходного уравнения являются корни уравнений

Ответ: x = 5 или x = -1.

Разность квадратов

Ещё одной формулой сокращённого умножения является разность квадратов. Она получается при умножении суммы двух выражений на их разность.

Читается справа налево.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму:

Применение последней записи справа налево есть раскрытие скобок более удобным способом, чем простое умножение многочленов.

Разложение на множители позволяет судить о наличии целых или натуральных корней квадратного уравнения.

Пример задачи с решением

Задача №7

Сократить дробь:

Решение.

В числителе записан квадрат разности, а в знаменателе – разность квадратов двух выражений. Применяя соответствующие формулы, получается искомый результат:

Ответ:

.

В большинстве случаев разницы, как сворачивать квадрат двучлена, не существует. Однако в данной ситуации, благодаря выражению в знаменателе, на первое место лучше поставить

, чтобы избежать игры с минусом при сокращении.

Онлайн калькуляторы помогают выполнять преобразования. Однако, поскольку формулы сокращённого умножения являются базовым материалом школьного курса, то лучше не просто получить результат, но и понять, каким образом к нему пришли.

Предыдущая

МатематикаДесятичный логарифм в математике — свойства, условия и примеры вычислений

Следующая

МатематикаПризнаки делимости чисел — правила и примеры решений

Формулы сокращённого умножения | О математике понятно

        Формулы сокращённого умножения необходимы во всех разделах математики. От элементарной до высшей. Они применяются практически везде — в упрощении выражений, решении уравнений и неравенств, сокращении дробей, вычислении пределов, решении интегралов — список можно продолжать ещё долго…

        Следовательно, нужно основательно разобраться с этими формулами. Понять, откуда они берутся, зачем они нужны, как их применять на практике и, самое главное, как их запомнить. А запомнить всё-таки придётся, да…

        Поехали?

 

Квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумма кубов, разность кубов — что за звери?

 

        Итак, вот они, формулы сокращённого умножения:

        Эти семь формул — полный джентльменский набор. Последние две формулы (сумма и разность кубов) записаны не так как в большинстве учебников, а наоборот — справа налево. Это не просто так.) Любая формула в математике работает в обоих направлениях — как туда, так и обратно. Именно такая запись наиболее наглядно показывает, откуда берутся формулы сокращённого умножения.

        Они берутся из… умножения. Вот ведь удивил, да?) Что ж, смотрите сами. Берём, например, самую первую формулу по списку:

        (a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ba+b² = a²+2ab+b²

        Вот и все дела. Самое обычное перемножение скобок и приведение подобных. Именно так и получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение — потому, что в самих формулах нет раскрытия скобок и приведения подобных. Эти промежуточные действия сокращены. Сразу дан готовый результат. Пользуйтесь на здоровье!

        Эти формулы надо знать наизусть. Без знания первых трёх формул, с квадратами, даже не мечтайте о тройке! Без всех остальных (с кубами) — о четвёрке и выше. Нет-нет, бросаться зубрить весь этот список прямо сейчас мы не будем.) Об этом позже. Пока просто знакомимся.)

 

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

        Полезная вещь первая — самая очевидная. Это быстрое (т.е. сокращённое) умножение многих алгебраических выражений без промежуточных выкладок. Меньше выкладок — меньше и ошибок. Но это не самая главная полезная вещь! А вот вторая.

        Дело в том, что вся математика строится на преобразованиях выражений. Вся! От школьной до высшей. Сообразил, что, где и как преобразовать и упростить — решил пример. Не сообразил — увы, не решил. Есть, допустим, выражение

(a—b)(a+b). Как его можно преобразовать? Да просто тупо перемножить скобки и привести подобные. Не вопрос.) А вот что делать с a²–b²? Чему это равняется? Попробуй, догадайся! Только знания и спасают, да…

        Сравним два равенства:

        (a—b)(a+b) =

a²–b²

        и

        a²–b² = (a—b)(a+b)

        Для математики эти два равенства абсолютно одинаковы. А вот для нас с вами — не совсем. Возьмём первую запись, слева направо:

        (a—b)(a+b) = a²–b²

        Это самое обычное умножение скобок, не более того. Никаких принципиально новых возможностей. А теперь возьмём второй вариант того же равенства, справа налево:

        a²–b² = (a—b)(a+b)

        А вот такая запись резко повышает уровень вашей математической культуры! Почему? Потому, что такая запись формулы, справа налево, — это разложение на множители! А разложение на множители — процедура поважнее простого умножения, да…) Сомневаетесь? Не надо. В соответствующей теме подробно расскажу.)

        И такое разложение на множители имеет место быть во всех формулах сокращённого умножения! Почему? Давайте внимательно посмотрим на наш список. В левой части каждой формулы мы увидим перемножение скобок:

        (a+b)² = (a+b)(a+b) =…

        (a-b)² = (a-b)(a-b) = …

        (a-b)(a+b) = …

        (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b) =…

        и т.д.

        Стало быть, левая часть каждой формулы разложена на множители, а вот правая часть — нет. Список, что приведён выше, — это, действительно, всего лишь сокращённое умножение. Но! Стоит только поменять местами левую и правую части каждой из формул, как тот же самый список становится формулами разложения на множители!

        Для полного понимания перепишу этот список ещё разок, но справа налево. Вот так:

        Такая обратная запись формул сокращённого умножения идеально подходит для разложения на множители многочленов, для сокращения алгебраических дробей и для решения самых разнообразных примеров. Но есть существенная проблема. Как их запомнить?

 

Запоминаем формулы сокращённого умножения! Секретные приёмы…

        Начинаем с самого простого — запоминаем названия формул. Это совсем легко. Смотрим в таблицу и видим выражение (a+b)². Или квадрат скобок. А в скобках что? Правильно, сумма! Стало быть, выражение (a+b)² называется квадрат суммы. Аналогично, (a—b)² называется квадрат разности. Элементарно, Ватсон!

        С выражениями (a+b)³ и (a—b)³ всё то же самое — куб суммы и куб разности соответственно.

        А как назвать a²–b²?  «Одно выражение в квадрате минус другое выражение в квадрате?» Точно, но слишком уж длинно. Зато разность квадратов — и точно, и кратко!

        Надеюсь, что названия сумма кубов и разность кубов у вас уже не вызовут недоумения?

 

        А вот теперь начинается самое сложное — запоминание самих формул, со всеми этими выражениями. К сожалению, здесь тот самый случай, когда без механической памяти не обойтись. Это огорчает.

        Однако здесь у нас с вами тайные знания! Эти знания помогут вам побыстрее сориентироваться во всех этих скобках, плюсах/минусах, квадратах/кубах, сведя механическую зубрёжку к минимуму. Читаем дальше и вникаем.

 

        Итак, начинаем с квадрата суммы:

        Просто медитировать, сверля формулу взглядом, будет недостаточно. Для лучшего запоминания настоятельно рекомендую выучить (да-да, именно выучить!) словесную формулировку:

        Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения ПЛЮС удвоенное произведение первого выражения на второе ПЛЮС квадрат второго выражения.

 

        Эта мантра реально облегчает жизнь во многих разделах школьной математики! Да и в институте, при работе со всякими там пределами да интегралами, тоже. Ещё не раз вспомните эту формулировку добрым словом!)

        Если вы запомнили квадрат суммы, то дальше будет проще. Можно включать логику и здравый смысл. Переходим к квадрату разности:

        Сравните с квадратом суммы! Нашли отличие? Да! Перед удвоенным произведением появился минус. Ведь должен же он где-то появиться?! Перед a² и b² он появиться никак не может, ибо любое число в квадрате есть число положительное. Остаётся только серединка.) Для понимания рекомендую просто перемножить скобки сами на себя да привести подобные. И тогда у вас пропадут все вопросы.

        В словесной расшифровке:

        Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения МИНУС удвоенное произведение первого выражения на второе ПЛЮС квадрат второго выражения.

 

        Разность квадратов:

        Эта формула обычно и так легко запоминается. Единственное, можно случайно влепить в скобки два плюса или два минуса. Но тогда это уже будут квадрат суммы и квадрат разности. А это — совсем другие формулы…

        Итак:

        Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

 

        Переходим к следующей группе формул — к сумме и разности кубов:

        Приём для запоминания здесь следующий. В первых скобках (маленьких) знак совпадает со знаком в исходном выражении: плюс-плюс, минус-минус. А вот во вторых (больших) скобках — меняется на противоположный. Причём меняется не перед квадратами, а снова посерединке! Квадраты a² и b² — положительные!

        Кстати, посмотрите внимательнее на большие скобки в каждой из формул и сравните с формулами квадрата суммы и квадрата разности!

        Нашли отличия? Да! В кубах не хватает двойки посерёдке. Именно по этой причине выражения в больших скобках

        a²+ab+b²

        и

        a²—ab+b²

        часто называют неполным квадратом суммы/разности.

        А теперь можно и шаблонные словесные формулировки из учебников привести:

        Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

        Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

        Вот так. Слово «неполный» хорошо помогает не запутаться. Допустим, в тревожной боевой обстановке на контрольной или экзамене нахлынули сомнения — писать двойку в сумме/разности кубов или нет?  Вот тут самое время вспомнить, что в кубах стоят неполные квадраты. А для полных квадратов есть свои формулы. Которые к кубам не имеют никакого отношения.

        Остаётся последняя парочка — куб суммы и куб разности:

        Эти две формулы встречаются в заданиях пореже предыдущих пяти, но знать их тоже не помешает, да. Претендуете на пятёрку? Тогда читаем дальше!

        Итак, как запомнить куб суммы? Во-первых, все знаки в формуле — плюсы! Оно и естественно. Ведь мы же перемножаем только положительные выражения, так с какого перепугу минусам-то взяться? Первое и последнее слагаемые — чистые кубы первого и второго выражений. А вот по центру — утроенные произведения.

        Обратите внимание, как в формуле идут переменные a и b! Переменная a идёт по убыванию степени — сначала a³, потом a², потом просто a (т.е. a¹), а в последнем слагаемом буква a и вовсе исчезает, превращаясь в единичку или a⁰. Для полной ясности ситуации последнее слагаемое b³ я перепишу вот так:

        b³ = 1∙b³ = a⁰∙b³

        А вот переменная b — наоборот, идёт по возрастанию степени. От нуля и до тройки включительно: в первом слагаемом переменной b нет (т. е. она сидит в виде единички, или b⁰), во втором b¹, в третьем b², в четвёртом b³.

        Но и это ещё не всё! Смотрите-ка, какая интересная штука: сумма степеней a и b в каждом из слагаемых всегда равна трём! Например:

        a³ = a³·b⁰          (3+0=3)

        3a²b = 3a²b¹     (2+1=3)

        и так далее…

        Такой порядок хорошо помогает не запутаться.)

        Если вы уловили принцип запоминания куба суммы, то куб разности запомнится без проблем. Всё то же самое, только минусы надо правильно расставить. А это очень легко сообразить! Какая переменная у нас с минусом? Правильно, переменная b! Следовательно, в слагаемых, где b стоит в первой степени и в кубе — будет минус. Ибо любой минус в нечётной степени всегда даёт минус. А вот минус в квадрате (b²) даст плюс. И все дела.)

        Разумеется, изложенные выше советы — это не жёсткие правила математики. Это просто практические приёмы, помогающие более быстрому и комфортному запоминанию. Чисто для себя. Куда уж лучше, чем механическая зубрёжка, правда?)

        Но, как ни крути, самый надёжный способ запомнить эти формулы — решать побольше примеров. Тогда весь этот перечень запомнится очень быстро. Сам собой, можно сказать.

        Ну что, потренируемся?)

 

Примеры на формулы сокращённого умножения.

        Начнём с самого простого — с прямого применения формул. Для разминки.)

        Преобразовать в многочлен:

        (5x+4y)²

        Сразу видим квадрат скобок. А в скобках — сумму. Значит, работаем по самой первой формуле, вот этой:

        Вспоминаем словесную формулировку: «Квадрат первого выражения…». За первое выражение у нас идёт 5x. Квадрат будет 25х². Вот и пишем:

        (5x+4y)² = 25х²….

        Идём дальше: «Плюс удвоенное произведение первого выражения на второе…». Удвоенное — это умножение на двойку. Первое выражение — это 5x, второе — это 4y. Продолжаем:

        (5x+4y)² = 25х²+2∙5x∙4y….

        «Плюс квадрат второго выражения.» В роли второго выражения у нас 4y. Квадрат — это 16y². Получим:

        (5x+4y)² = 25х²+2∙5x∙4y+16y²

        Практически всё. Осталось «причесать» удвоенное произведение (перемножить 2∙5∙4) и получим окончательный ответ:

        (5x+4y)² = 25х²+40xy+16y²

        Это было разминочное задание. А теперь примерчик посерьёзнее.

 

        Разложить на множители:

        4x²–20x+25

 

        Что, внушает? Опять смотрим на наш список. Но не на тот, что в начале урока (для умножения), а на второй, для разложения на множители. Вот на этот:

        Тут, разумеется, нашего выражения нет. Ну и что? Здесь важно понимать, что под буквами a и b может скрываться всё что угодно — и числа, и другие буквы, и более сложные выражения. Поэтому смотрим на список и ищем похожую формулу. И зацепкой будут степени переменной.

        В нашем выражении есть x² и просто x. Ясное дело, отбрасываем все формулы с кубами — у нас их явно нет. Далее выкидываем из рассмотрения формулу разности квадратов: там нет переменных в первой степени, только квадраты. А у нас — есть.

        Остаются первые две формулы — квадрат суммы или квадрат разности. Уже проще, не так ли? Осталось сообразить, что в формуле квадрата суммы — только плюсы. А в нашем выражении в серединке стоит минус. Стало быть, похожая формула — это квадрат разности.

        Но не факт, что квадрат разности сработает, совсем не факт… Наша задача — убедиться, что предложенное выражение 4x²–20x+25 точно соответствует квадрату разности. Только тогда у нас появится возможность записать и правую часть равенства (т.е. разложение на множители).

        Для удобства я перепишу формулу и исходное выражение прямо одно под другим:

        a²—2ab+b² = (a—b)²

        4x²–20x+25 = ….

        Надо выяснить, что скрывается под буквами a и b в нашем выражении. Начинаем по порядочку — с самого первого слагаемого. Допустим, a² — это 4x². Тогда чему равно само а? Какое выражение в квадрате даёт 4x²? Очевидно, что 2х. Тогда a=2x. Есть! Первое выражение нашли.

        А что может скрываться под b². Ну, точно не 20х! Во-первых, икс уже в букве a сидит, а во-вторых, b² должно быть с плюсом. А 20х у нас с минусом. Значит, под b² скрывается число 25! Стало быть, b — это пятёрка!

        Итого: a=2x,  b=5

        Всё? Можно записывать разложение? Пока нет.

        Нужна последняя, контрольная проверка по выражению 20х. Надо убедиться, что наши 20х точно соответствуют удвоенному произведению 2ab.

        Итак, затаив дыхание составляем удвоенное произведение первого и второго выражений:

        2ab = 2∙2x∙5 = 20x

        Ура! Совпало! Значит, наше выражение — это действительно квадрат разности 2х и 5. Вот теперь можно со спокойной душой записывать ответ:

        4x²–20x+25 = (2х-5)²

        Идея ясна? Сначала ищем в списке похожую формулу, а затем сверяем с ней выражение, предложенное в задании, на полное соответствие. Если повезло и всё совпало, то записываем ответ. Если не повезло, то, значит, раскладывать надо как-то иначе.

 

        Это были самые простые примеры, для младшеньких. А теперь переместимся в старшие классы, с их синусами да логарифмами. Да-да, старшеньким формулы сокращённого умножения тоже бывают нужны!

        Например, такое задание:

        Упростить:

        cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x

        Вся мощь тригонометрии слабо помогает в этом примере. Только алгебра седьмого класса и спасает, да…

        Конечно, это выражение сильно смахивает на квадрат разности. Вот и пробуем применить эту формулу к нашему выражению! Что будет скрываться под буквами a и b? Конечно же, cos²x и sin²x. Удвоенное произведение, ясен перец, будет 2cos²x∙sin²x, как, собственно, в нашем выражении и записано. Смело сворачиваем нашего монстра в квадрат разности по формуле:

        cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x = (cos²x — sin²x)²

        А вот теперь и тригонометрия в игру вступает! Что у нас в скобочках? У нас в скобочках косинус двойного угла!

        cos²x — sin²x = cos2x

        Вот вам и ответ:

        cos⁴x — 2cos²x∙sin²x + sin⁴x = cos²2x

 

        Или такое задание:

        Вычислить:

        

        Пример не подарок, прямо скажем… Логарифмические формулы явно не катят, да и сами логарифмы ровно не считаются… Проверим на алгебру? Числитель явно намекает на применение формулы разности квадратов.

        Вот этой: a²–b² = (a-b)(a+b)

        В роли a и b у нас логарифмы. Ну и что? Это формулу никак не портит, ибо законы алгебры работают во всей математике. Смело заменяем числитель дроби на произведение скобок и пишем:

        

        А вот теперь и логарифмические формулы заработали! В первых скобках (разность) получается lg4, который и сокращается благополучно со знаменателем. А во вторых скобках (сумма) будет lg100. Что по свойствам логарифмов есть 2.

        Конечно, подобные примеры в этом уроке легко решаются. Но на практике, когда ученик глубоко погружён в синусы/косинусы да логарифмы, разложение на множители просто не приходит в голову…

        Посему практический совет:

        Проверяем замороченные примеры на алгебру седьмого класса! В частности, на формулы сокращённого умножения.

 

        И напоследок…

        О типичном ляпе, который сразу же показывает блистательное отсутствие хоть какого-то понимания. Ляп настолько часто встречается, что хочется заявить громко:

        

        И запомните это крепко-накрепко!

        Формулы — штука жёсткая! Раз требуют удвоенного произведения 2ab, помимо чистых квадратов, значит спорить бессмысленно. Напишете такое на контрольной — будьте готовы получить заслуженную двойку! Такого не прощают. Вот так.

        Наглядный пример на добрую память с квадратом суммы. Всё-таки картинки иногда проливают свет на очень многие волнующие вопросы. Нарисуем в тетрадке квадрат со стороной a+b. Можно по клеточкам. Допустим, для конкретики, a — это 4 клетки, a b — это 2 клетки.

        Вот так:

        Очевидно, площадь всего квадрата будет равна квадрату его стороны, т.е. как раз (a+b)². В числах, безо всяких формул, это будет (4+2)² = 6² = 36.

        А теперь, глядя на картинку, соображаем: из чего складывается эта площадь? Правильно! Из большого (зелёного) квадрата площадью a², маленького (жёлтого) квадратика площадью b² и двух прямоугольников по ab площадью каждый.

        Вот и получается: (a+b)² = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

        Или, в числах, для a=4 и b=2:

        (a+b)² = a²+2ab+b²= 4²+2∙4∙2+2² = 16+16+4 = 36

        Вот и все дела.)

 

        Упражнение для интересующихся: аналогичным образом доказать геометрически (т.е. через квадраты и прямоугольники) две другие формулы сокращённого умножения с квадратами — квадрат разности и разность квадратов. Попробуйте! Интересно.)

 

        Ну что, порешаем?)

        1. Преобразовать в многочлен стандартного вида:

        (5a+1)²=

        (3y-4)²=

        (a-y³)²=

        (a²+b²)²=

        (3b-1)(3b+1)=

        (x+7)(7-x)=

        (3x+2)³=

 

        Ответы (в беспорядке):

        9b² — 1

        9y²-24y+16

        27x³+18x²+36x+8

        a⁴+2a²b²+b⁴

        25a²+10a+1

        49-x²

        a²-2ay³+y⁶

 

        Ну как, размялись? Получилось? Тогда продолжаем:

        Разложить на множители:

        16x²+8x+1 =

        36x²y⁴-60xy²+25=

        y²-100=

        81a²-64x²y⁶=

        27m³+8=

        64x³-y⁶=

 

        Ответы (в беспорядке):

        (y-10)(y+10)

        (4x-y²)(16x²+4xy²+y⁴)

        (4x+1)²

        (9a-8xy³)(9a+8xy³)

        (6xy²-5)²

        (3m+2)(9m²-6m+4)

 

        И это получилось? Блеск! Значит, формулы сокращённого умножения на самом минимально необходимом уровне вы освоили. Можно браться за задания посерьёзнее.

        Что-то не срослось? Бывает… Возможно, проблема не в самих формулах, а в банальной арифметике — знаках, действиях со степенями. Повторите степени! Без отточенного навыка работы со степенями дальше идти нельзя. К сожалению…

        А вообще, рецепт здесь простой — решать побольше заданий! Да-да! Задания этого урока — капля в море. Помогут, но не сильно. Маловато их… Берите любой учебник 7-го класса и решайте, решайте! До автоматизма. А сайт — ваш надёжный помощник! Тогда формулы сами собой и запомнятся. А труды окупятся. Проверено!)

 

Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы

Девиз урока:
«Дорогу осилит идущий,
а математику – мыслящий».

Цели:

• выведение формулы (а + b)² и формирование умения пользоваться данной формулой;
• воспитание сознательной дисциплины учащихся через вовлечение каждого ученика в активную и посильную самостоятельную учебную деятельность;
• развитие умений организации учебного труда, развитие устной и письменной речи.

Структура урока:

1. Постановка цели урока.
2. Подготовка к изучению нового материала.
3. Ознакомление с новым материалом.
4. Первичное осмысление и применение формулы.

Ход урока

1. Актуализация знаний.

1.1. Устная работа.

— Расшифруйте тему урока.

1	2	3	4	5	6	7
К	В	А	Д	Р	А	Т

8	9	10	11	12
С	У	М	М	Ы

Возведите в квадрат следующие одночлены:

1) -4
А. -8. В. -16. К. 16.

2) 0,7
Б. 1,4. О. 4,9. В. 0,49.

3) 5х
Р. 10х. А. 25х². И. 25х.

4) 3аb
Д. 9а² b². М. 9аb. У. 6а² b².

5) 10y³
Г. 100у⁹. Я. 10у⁶. Р. 100у⁶.

6) a ²b ⁵
Ж. a⁴ b⁵. А. a⁴ b¹⁰. З. 2a² b⁵.

7) -5а³с⁴
Т. 25а⁶с⁸. У. -25а³с⁸. К. 10а⁹с¹⁶.

Выполните действия:

8) -4х (х+у)
Е. -4х² + у. С. -4х² – 4ху. Н. -4х² + 4ху.

9) (a+1)(а+2)
У. а² + 3а + 2. О. а² + 2. Р. 2а + 3.

10) -3а-12+5+2а
Л. 5а + 17. А. а + 7. М. -а – 7.

11) -2 (-4b)ab
И. 16ab. М. 8ab². К. -8ab².

12) (5х³ + 2х²) – (2х² – 4х)
Р. 5х³ + 4х² + 4х. А. 5х³ – 4х. Ы. 5х³ + 4х.

(Записать в тетрадях и на доске тему урока.)

1.2. Прочитать выражения, записанные на доске.

• 2ab, m² + n²; a² – b², 4с – 5d, (а – b)²

1.3. Составить алгебраическое выражение.

Задание	Выражение	Цифра ответа
Составьте по описанию алгебраические выражения.
Сумма квадратов чисел а и b.	1. (а2 – b2)(а + b)	4
Разность между числом m и удвоенной суммой чисел a и b.	2. (b – a)2	5
Квадрат разности чисел b и a.	3. 2ab	2
Разность квадратов чисел a и b, умноженная на сумму этих чисел.	4. a2 + b2	1
Удвоенное произведение чисел a и b.	5. m – 2(a + b)	3

Ответы: 45213.

Задания	Выражения	Цифра ответа
Утроенная сумма чисел m и n.	1. 2mn	4
Квадрат суммы чисел m и n.	2. m – n2	3
Удвоенное произведение чисел m и n.	3. (m + n)2	1
Сумма квадратов чисел m и n, умноженная на разность этих же чисел.	4. 3(m + n)	5
Разность между числом m и квадратом числа n.	5. (m2 + n2)(m – n)	2

Ответы: 43152.

2. Изучение темы.

Задание получает каждая группа.

Группа 1. Раскрыть скобки (a + b)².
Группа 2. Раскрыть скобки (m + n)².
Группа 3. Раскрыть скобки (с + d)².
Группа 4. Раскрыть скобки (p + q)².

— Есть ли у вас формула или правило, по которому вы можете раскрыть данную скобку? (Нет.)

— Значит, вам нужно подумать и предложить другой способ раскрытия скобки.

— При выполнении какого действия вам приходилось раскрывать скобки? (При умножении.)

— Можем ли мы представить квадрат в виде произведения?

В тетрадях появляется запись:

(а + b)(a + b)
(m + n)(m + n)
(c + d)(c + d)
(p + q)(p + q)

— Теперь вы сможете раскрыть скобки? После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получили алгебраическое выражение:

a² + 2ab + b²
m² + 2mn + n²
c² + 2cd + d²
p² + 2pq + q²

(Каждая группа оформляет вывод формулы на ватмане и прикрепляет его на доску.)

— Вы получили формулу с помощью, которой можно раскрыть скобку, не выполняя умножения.

— А формулы, полученные вами, они разные или это одна и та же формула, но записанная с помощью разных букв?

Формулировка: «Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа».

— Занимаясь математикой, вы не могли не заметить, что она состоит из нескольких частей. Вы научились оперировать натуральными и дробными числами, знаете положительные и отрицательные числа.

«Число» по-гречески звучит так: арифмос, поэтому наука о числах получила название «Арифметика».

Другой раздел математики посвящен различным фигурам и их свойствам и называется «Геометрия».

«Гео» по-гречески «земля», а «метрео» – мерить.

Но вот слово «Алгебра» (раздел математики, где решаются задачи с помощью уравнений, рассматриваются преобразования выражений, составленные из чисел и букв) не греческое. В чём тут дело? Разве у греков не было алгебры? Была! Но решали алгебраические задачи древние греки геометрически, часто очень сложные задачи «по здравому смыслу».

Вот что писал Евклид в своей замечательной книге «Начала» по поводу одного из математических утверждений:

«Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всём отрезке, равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из двух отрезков, и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти два отрезка».

Суть этой фразы в формуле (a + b)² = a² + 2ab + b².

Изобразить эту формулу геометрически можно так (начерчено на ватмане и закреплено на доске):

Т.о., мы получили три способа формулировки математических утверждений:

1. Словесный – понятный, но длинный, неудобный.
2. Геометрический – наглядный, но не всегда удобный для вычисления.
3. Символьный – краткий, легко запоминающийся.

Арабское слово «Аль джебр» (в переводе восстановление) переводчик не стал переводить, а записал его латинскими буквами algebra. Так возникло название науки, которую мы изучаем.

Интересно, что «алгебраистами» в средние века называли вовсе не математиков, а арабских хирургов-костоправов. Об одном таком алгебраисте написал Сервантес в своём знаменитом романе «Хитроумный Идальго Дон Кихот Ламанческий».

3. Первичное закрепление.

Раскрыть скобку, используя полученную формулу – квадрат суммы

(8х +3у)² = 64х² + 48ху + 9у²
(а³ + 4b)² = а⁶ + 8а³b + 16b²
(10z + 3t)² =100z² + 60zt + 9t²
(m² + 6n)² = m⁴ + 12m²n + 36n²

— На этом уроке мы познакомились ещё с одной формулой сокращенного умножения. 2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Урок 8: Сокращённое умножение — 100urokov.ru

План урока:

Разность квадратов

Квадрат суммы

Квадрат разности

Формулы для кубов

Треугольник Паскаля

 

Разность квадратов

Пусть есть два числа, одно из которых равно a, а другое – b. Их сумма будет равна a + b, а разность составляет a– b. Оба эти выражения являются многочленами.

Теперь перемножим сумму и разность, пользуясь правилами перемножения многочленов (см. урок 6) :

(a + b)(a — b) = a² — ab + ba — b²

Слагаемые – a b и b a являются подобными, их сумма равна нулю:

-ab + ab = -1ab + 1ab = ab(-1 + 1) = ab * 0 = 0

Поэтому в выражении их можно сократить:

(a + b)(a — b) = a² — ab + ba — b² = a² — b²

Получается, что произведение суммы двух чисел на их разность равно разности их квадратов. Естественно, как и любое другое математическое равенство, это можно переписать в обратном порядке:

a² — b²  = (a + b)(a — b)

Данное тождество называют формулой разности квадратов.

Вместо a и b в это тождество можно подставлять любые числа, выражения, одночлены, многочлены. Убедимся в ее справедливости на нескольких примерах. Вычислим значение выражения

7² — 5²

сначала напрямую, а потом с помощью формулы разности квадратов:

7² — 5² = 7*7 — 5*5 = 49 — 25 = 24

7² — 5² = (7 — 5)(7 + 5) = 2*12 = 24

Видно, что ответ не зависит от способа вычисления. Однако в ряде один из них представляется более удобным.

Пример. Вычислите разность двух квадратов: 2516² и 1516².

Решение. Возводить во вторую степень четырехзначные числа без калькулятора тяжело, поэтому используем сокращенное умножение:

2516² — 1516² = (2516 + 1516)(2516 + 1516) = 4032 * 1000 = 4032000

Ответ: 4032000

Пример. Вычислите 499•501.

Решение. Используем две простые замены:

499 = 500 — 1

501 = 500 + 1

С их помощью вычисления существенно упрощаются, так как произведение можно представить как разность квадратов двух чисел:

499 * 501 = (500 — 1)(500 + 1) = 500² — 1² = 250000 — 1 = 249999

Ответ: 249999.

 

Пример. Докажите, что число 765873² – 765864² делится на 9.

Решение. Разность квадратов равна:

765873² – 765864² = (765873 — 765864)(765873 + 765864) = 9*(765873 + 765864)

Даже не складывая слагаемые во второй скобке, мы можем сказать, что исходное число делится на 9, так как на 9 делится один из множителей, на которые мы разложили разность квадратов.

Теперь рассмотрим случаи, когда в формулу подставляются переменные. Пусть необходимо найти произведение полиномов 8u + 5v и 8u– 5v. С помощью формулы сокращенного умножения получаем:

(8u + 5v)(8u — 5v) = (8u)² — (5v)² = 64u² — 25v²

Конечно, мы могли бы выполнить эту операцию и без использования сокращенного умножения, просто раскрыв скобки методом «фонтанчика». Но тогда мы потратили бы больше времени, усилий и бумаги:

(8u + 5v)(8u — 5v) = (8u)² — 8u*5v + 5v*8u — (5v)² = 64u² — 25v²

Пример. Перемножьте полиномы x²z +2y³ и x²z– 2y³.

Решение.

(x²z +2y³)(x²z +2y³) = (x²z)² — (2y³)² = x⁴z² — 4y⁶

 

Пример. Упростите выражение

-3.5m² — (1.5n — 2m)(1.5n + 2m)

Решение:

-3.5m² — (1.5n — 2m)(1.5n + 2m) = -3.5m² — ((1.5n)² — (2m)²) = -3.5m² — 2.25n² + 4m² = 0.5m² — 2.25n²

Иногда с помощью сокращенного умножения можно разложить полином на множители. Например, двучлен x²– 25 можно представить как

x² — 25 = x² — 5² = (x — 5)(x + 5)

С помощью разложения разности квадратов на множители можно доказать, что разность вторых степеней двух последовательных натуральных чисел всегда является нечетным числом. Обозначим за n произвольное натуральное число. Тогда следующим за ним будет число n+1. Разность их квадратов равна

(n + 1)² = n²

Раскроем скобки:

(n + 1)² — n² = (n + 1 — n)(n + 1 + n) = 1*(2n + 1) = 2n + 1 = 1*(2n + 1) = 2n + 1

Число 2n +1 при делении на 2 дает остаток 1, то есть является нечетным.

Стоит отметить, что для суммы квадратов a² + b² аналогичной формулы разложения на множители не существует.

 

Квадрат суммы

Возведем во вторую степень сумму двух произвольных величин, которые обозначим буквами a и b:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

То есть верно тождество

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Это тождество называют формулой квадрата суммы.

Покажем ее верность на числовом примере. Вычислим значение выражения (5 + 3)² двумя различными способами, с помощью формулы возведения суммы в квадрат и без нее:

(5 + 3)²  = 8² = 64

(5 + 3)² = 5² + 2 * 5 * 3 + 3² = 25 + 30 + 9 = 64

Выражение для квадрата суммы используется также, как и формула разности квадратов. В нее можно подставлять числа, полиномы и мономы, произвольные выражения. Тождество можно перевернуть, и тогда получится равенство:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

которое является верным.

Тождество можно проиллюстрировать и геометрически. Построим квадрат со стороной a + b (отрезки длиной а выделены красным цветом, а длиной b– синим):

Площадь такой фигуры равна второй степени стороны:

S = (a + b)²

С другой стороны, этот квадрат составлен из двух прямоугольников площадью ab и квадратов со сторонами a и b:

S = a² + 2ab + b²

Пример. Вычислите 1010².

Решение. Представим число 1010 как сумму 1000 и 10. Тогда можно записать:

(1010)² = (1000 + 10)² = 1000² + 2 * 1000 * 10 + 10² = 1000000 + 20000 + 100 = 1020100

 

Пример. Докажите, что число 9060100 является второй степенью натурального числа.

Решение. Представим 9060100 как сумму слагаемых 9000000, 60000 и 100. В свою очередь верны следующие равенства:

3000² = 9000000

10² = 100

2 * 10 * 3000 = 60000

 

Тогда можно воспользоваться сокращенным умножением:

9060100 = 9000000 + 60000 + 100 = 3000² + 2 * 10 * 3000 + 10² = (3000 + 10)² = 3010²

Получили, что 9060100 – это вторая степень числа 3010. При этом нам не пришлось извлекать квадратный корень.

В тождество квадрата суммы можно подставлять не только числа, но и многочлены. Представим в виде произведения мономов выражение

(5h + 8)² — (4h + 10)²

 

Сначала по формуле квадрата суммы раскроем каждую из скобок:

(5h + 8)² — (4h + 10)² = (25h² + 80h + 64) — (16h² + 80h + 100) = 25h² + 80h + 64 — 16h² — 80h — 100

 

Далее приведем подобные слагаемые:

25h² + 80h + 64 — 16h² — 80h — 100 = (25h² — 16h²) + (80h — 80h) + (64 — 100) = 9h² — 36

 

оставшийся полином раскладывается на множители с помощью сокращенного умножения:

9h² — 36 = (3h)² — 6² = (3h — 6)(3h + 6)

 

Квадрат разности

Своя формула сокращенного умножения существует не только для квадрата суммы, но и для квадрата разности. Выведем её. Для этого возведем во вторую степень выражение a– b:

(a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ba + b² = a² — 2ab + b²

Итак, мы получили тождество, называемое формулой квадрата разности:

(a — b)² = a² — 2ab + b²

Убедимся в верности тождества на примере. Для этого вычислим значение выражения (9 – 5)² двумя разными способами, с использованием формулы возведения разности в квадрат и без неё:

(9 — 5)² = 4² = 16

(9 — 5)² = 9² — 2 * 9 * 5 + 5² = 81 — 90 + 25 = 16

Заметим, что если поменять местами переменные aи b, то значение квадрата их разности не изменится:

(b — a)² = b² — 2ba + a² = a² — 2ab + b² = (a — b)²

Дело в том, что числа a– b и b – a являются противоположными. В предыдущем уроке «Разложение многочленов на множители» мы узнали, что

a — b = -(b — a)

Вторые же степени (как и вообще любые четные степени) противоположных чисел равны друг другу:

(-a)² = (-a)(-a) = (-1)*(-1)a² = a²

Можно заметить сходство между тождествами для вычисления квадрата разности и суммы. Действительно, они отличаются лишь одним знаком. Поэтому иногда эти два тождества записывают как единое целое:

Если в левой скобке стоит плюс, то и в правой должен быть именно он. Если в левой части тождества стоит минус, то справа также должен стоять минус.

 

Пример. Вычислите 999999².

Решение. Перемножать два шестизначных числа весьма сложно. Однако заметим, что число 999999 можно представить как разницу миллиона и единицы:

999999 = 1000000 — 1

Используем сокращенное умножение:

999999² = (1000000 — 1)² = 1000000² — 2*1*1000000 + 1 = 1000000000000 — 2000000 + 1

Несложно выполнить оставшиеся вычисления в столбик

1000000000000 — 2000000 + 1 = 999998000001

Ответ: 999998000001.

 

Пример. Раскройте скобки в выражении (4m– 3)²

Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

(4m– 3)² = (4m)² — 2*4m*3 + 3² = 16m² — 24m + 9

Важно понимать, что вместо букв a и b могут стоять не только одночлены, но и полиномы. Пусть нам надо возвести во вторую степень полином

u² — 6u + 5

Если просто выполнить умножение методом «фонтанчика», то после раскрытия скобок получим 3•3 = 9 одночленов (так как исходный многочлен состоит из 3 мономов). Для упрощения представим исходный трехчлен как разность:

u² — 6u + 5 = u² — (6u — 5)

Тогда вторую степень можно найти так:

(u² — 6u + 5)² = (u² — (6u — 5))² = (u²)² — 2*u²(6u — 5) + (6u — 5)² = u⁴ — 12u³ + 10u² + 36u² — 60u + 25 = u⁴ — 12u³ + 36u² — 60u + 25 = u⁴ — 12u³ + 46u² — 60u + 25

 

Пример. Докажите, что квадратный трехчлен m²– 16m + 66 ни при каких значениях переменной m не принимает отрицательные значения.

Решение.

Известно, что вторая степень любого числа неотрицательна. Выделим в исходном трехчлене квадрат, содержащий переменную m. Для этого разложим число 66 как сумму 2 + 64:

m² — 16m + 65 = m² — 16m + 64 + 2 = m² — 2 * 8 * m + 8² + 2 = (m — 8)² + 2

При любом значении m выражение (m – 8)² неотрицательно, а значит, неотрицательно и значение (m – 8)² + 2. Более того, можно указать, что минимальное значение, которое может принимать исходный трехчлен, равно 2.

Заметим, что использованный в данном методе прием позволяет представить, по сути, любой квадратный трехчлен как разницу или сумму полного квадрата какого-то полинома и числа, что в свою очередь помогает оценить его максимальное или минимальное значение. Например, дан трехчлен 4v² + 12v – 10.Первое его слагаемое можно представить как квадрат какого-то числа:

(4v²) = (2v)²

Подобное действие в отношении трехчлена можно предпринять всегда, правда, иногда придется использовать квадратные корни, которые мы ещё не изучали детально. Далее второе слагаемое можно разложить на три множителя, одним из которых будет двойка, а вторым – тот самый одночлен, дающий при возведении во вторую степень первое слагаемое. Третий же множитель окажется каким-то числом:

12v = 2*2v*3

Теперь чтобы воспользоваться формулой квадрата суммы или квадрата разности, добавим к многочлену квадрат этого третьего множителя, а чтобы значение полинома не изменилось, сразу же его и вычтем. В данном случае третьим множителем оказалась тройка, а потому надо добавить 3² и сразу же отнять 3². Один из этих квадратов войдет в формулу сокращенного умножения, а другой – нет:

4v² + 12v — 10 = (2v)² + 2*2v*3 — 10 + 3² — 3² = ((2v)² + 2*2v*3 + 3²) — 10 — 3² = (2v + 3)² — 19

Так как выражение (2v + 3)² не может быть меньше нуля, то и минимальное значение трехчлена 4v² + 12v– 10 равно(– 19)

 

Пример. Оцените возможные значения трехчлена – 9с² + 15с + 8

Решение.

Воспользуемся таким же методом, но сначала вынесем знак минус за скобки, чтобы можно слагаемое 9c² представить как квадрат какого-то монома:

-9c² + 15c + 8 = -(9c² — 15c — 8) = -((3c)² — 2 * 3c * 2.5 — 8 + 2.5² — 2.5²) = -((3c — 2.5)² — 8 — 6.25) = -(3c — 2.5)² + 14.25

Значение выражения – (3с – 2,5)² может быть только меньше или равным нулю. Значит, исходный трехчлен не может принимать значения, большие, чем 14,25.

 

Формулы для кубов

До этого мы познакомились с тождествами, в которых величины возводились во вторую степень. Их будет достаточно почти для всех школьных заданий, в том числе и на ЕГЭ, поэтому необходимо сосредоточиться именно на их изучении.Однако в алгебре есть и более сложные формулы сокращенного умножения, в которых переменные возводятся в куб.Их использование может пригодиться в задачах повышенной сложности. Выведем их.

Найдем значение куба суммы двух слагаемых. Для этого возведем в куб выражение a + b:

(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Получили тождество

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

которое называют формулой куба суммы.

 

Пример. Вычислите 101³

Решение.

101³ = (100 + 1)³ = 100³ + 3*100²*1 + 3*100*1² + 1 = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301

Ответ: 1030301.

Пример. Представьте в виде многочлена выражение (4p + 3k)³.

Решение. Воспользуемся формулой куба суммы:

(4p + 3k)³ = (4p)³ + 3*(4p)²*3k + 3*4p*(3k)² + (3k)³ = 64p³ + 144p²k + 108pk² + 27k³

Выведем аналогичным образом и формулу куба разности чисел:

(a — b)³ = (a — b)²(a — b) = (a² — 2ab + b²)(a — b) = a³ — a²b — 2a²b + 2ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Итак, мы получили ещё одно тождество

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

 

Пример. Вычислите 498³.

Решение. Представим число 498 как разность 500 – 2. Тогда для вычисления можно воспользоваться выражением для вычисления куба разности:

498³ = (500 — 2)³ = 500³ — 3*500²*2 + 3 * 500 * 2² — 2³ = 125000000 — 1500000 + 6000 — 8 = 123505992

Ответ: 123505992.

Сложнее получить тождества для суммы и разности кубов, ведь напрямую найти разложить на множители выражение a³ + b³ довольно тяжело. К счастью, математикам удалось подобрать новые множители.

Сначала рассмотрим выражение

a² + ab + b²

Оно отличается от квадрата суммы только одним слагаемым. Вместо 2ab стоит ab. Из-за этой схожести его называют неполным квадратом суммы.

Аналогично определяют и такое понятие, как неполный квадрат разности.

Теперь попробуем перемножить неполный квадрат суммы чисел a и b и их разность:

(a — b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³

В результате нам удалось получить формулу разности кубов:

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)

Теперь попробуем умножить сумму двух величин на неполный квадрат разности:

(a + b)(a² — ab + b²) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³

Получили формулу суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)

Понятно, что запомнить все эти тождества нелегко, однако их всегда можно посмотреть в любом математическом справочнике.

 

Пример. Разложите на множители полином 8p³ + 0,001q³.

Решение. Здесь можно воспользоваться тождеством для куба суммы:

8p³ + 0. 001q³ = (2p)³ + (0.1q)³ = (2p + 0.1q)((2p)² — 2p*0.1q + (0.1q)²) = (2p + 0.1q)(4p² — 0.2pq +0.01q²)

Применять формулы с кубами для вычислений значительно сложнее, чем со вторыми степенями, однако всё же иногда они могут помочь. Пусть надо вычислить значение выражения 55³ + 45³, не используя калькулятор или компьютер. Разложим его на множители:

53³ + 45³ = (55 + 45)(55² — 55*45 + 45²) = 100(55² — 55*45 + 45²)

Далее для упрощения расчетов добавим к значению в скобке произведение 55•45 и тут же отнимем его. Это позволит сделать «дополнить» неполный квадрат разности и воспользоваться соответствующей формулой сокращенного умножения:

100(55² — 55*45 + 45²) = 100((55² — 55*45 — 55*45 + 45² + 55*45) = 100((55² — 2*55*45 + 45²) + 55*45) = 100((55 — 45)² 55*45) = 100((10)² + 55*45) = 100(100 + 55*45)

В свою очередь произведение 55•45 можно также упростить:

100(100 + 55*45) = 100(100 + (50 + 5)*(50 — 5)) = 100(100 + (50² — 5²)) = 100(100 + 2500 — 25) = 100*2575 = 257500

Полученный результат можно проверить с помощью калькулятора:

55³ + 45³ = 257500

Треугольник Паскаля

До этого мы нашли формулы сокращенного умножения, которые позволяют возводить бином (a + b) во вторую и третью степень. Интересно, что есть быстрый способ составить подобное тождество для возведения выражения (a + b) в любую натуральную степень. Для этого используется так называемый треугольник Паскаля. Справедливости ради сразу отметим, что Блез Паскаль описал его лишь в 1653 году, в то время как упоминание о таком треугольнике содержится в трудах китайца Чжу Шицзе (1303 г.), перса Омара Хайяма (1100 г.) и индийца Халаюдхи (Xвек).

Выглядит треугольник Паскаля так:

Источник

На вершине (его условно считают нулевым, а не первым уровнем) стоит число 1. На следующем (первом) уровне стоит уже две единицы. Изучим уровень ниже. Здесь уже три числа. По краям снова единицы, а в центре двойка. Обратите внимание, что двойка равна сумме тех 2 цифр, которые расположены над ней (1 и 1).

На следующем уровне уже 4 числа. Снова по краям единицы, а в других ячейках стоят такие числа, что они равны сумме двух чисел над собой (2 + 1 = 3).

По такому же принципу построен весь треугольник. Количество уровней в нем не ограничено, хотя на рисунке последним показан 10-ый уровень.

Итак, при построении треугольника Паскаля используются следующие правила:

• на вершине стоит одна единица
• на каждом следующем уровне находится на одно число больше, чем на предыдущем;
• по бокам на каждом уровне стоят единицы;
• на всех остальных позициях стоят числа, которые равны сумме двух расположенных над ними чисел.

Какое же отношение треугольник Паскаля имеет к формулам сокращенного умножения? Запишем тождества для возведения в различные степени бинома a + b, а рядом – числа из соответствующего уровня треугольника (их называют биноминальными коэффициентами):

• (a + b)¹ = 1a + 1b, биноминальные коэффициенты 1 и 1;
• (a + b)² = 1a²+ 2ab+ 1b², биноминальные коэффициенты 1, 2, 1;
• (a + b)³ = 1a³ + 3a²b +3ab² + 1b³, коэффициенты равны 1, 3, 3, 1;

Можно заметить, что числа в треугольнике совпадают с теми коэффициентами, которые есть в формуле сокращенного умножения:

И такое соответствие будет верно для любой формулы вида (a + b)ⁿ, где n– натуральное число, хотя доказательство этого факта выходит за рамки 7 класса. Так, формула для возведения в 6-ую степень будет выглядеть так:

(a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶

Первым слагаемым идет a⁶, а далее слагаемое с буквенной частью a⁵b. 2\right)\]

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».

Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
«a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) », то можно понять, что на месте «a » из первой скобки стоит «y 2 , а на месте «b » стоит «1 ».

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2. {th} \ text {в наборе} \\ & \ overline { X} = \ text {Среднее значение всех элементов в наборе} \\ & \ left (X_i- \ overline {X} \ right) = \ text {Отклонение каждого элемента от среднего значения} \\ \ end {выровнено } Для набора X из n элементов: Сумма квадратов = i = 0∑n (Xi −X) 2, где: Xi = i-й элемент в наборе X = Среднее значение всех элементов в наборе (Xi −X ) = Отклонение каждого элемента от среднего

Сумма квадратов также известна как вариация.

Что вам говорит сумма квадратов?

Сумма квадратов — это мера отклонения от среднего. В статистике среднее значение представляет собой среднее значение набора чисел и является наиболее часто используемой мерой центральной тенденции. Среднее арифметическое вычисляется просто путем суммирования значений в наборе данных и деления на количество значений.

Допустим, цена закрытия Microsoft (MSFT) за последние пять дней была 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 и 73.40 долларов США. Сумма общих цен составляет 369,73 доллара, а средняя или средняя цена учебника, таким образом, составит 369,73 доллара / 5 = 73,95 доллара.

Но знать среднее значение набора измерений не всегда достаточно. Иногда полезно знать, насколько вариативен набор измерений. Насколько далеко отдельные значения отстоят от среднего, может дать некоторое представление о том, насколько наблюдения или значения соответствуют создаваемой регрессионной модели.

Например, если аналитик хотел знать, движется ли цена акций MSFT в тандеме с ценой Apple (AAPL), он может перечислить набор наблюдений за процессом обеих акций за определенный период, скажем 1, 2. , или 10 лет и создайте линейную модель с записью каждого из наблюдений или измерений.Если связь между обеими переменными (то есть ценой AAPL и ценой MSFT) не является прямой линией, то в наборе данных есть вариации, которые необходимо тщательно изучить.

В статистике говорят, что если линия в созданной линейной модели не проходит через все измерения стоимости, тогда некоторая изменчивость, которая наблюдалась в ценах акций, необъяснима. Сумма квадратов используется для расчета, существует ли линейная связь между двумя переменными, а любая необъяснимая изменчивость называется остаточной суммой квадратов.

Сумма квадратов — это сумма квадратов вариации, где вариация определяется как разброс между каждым отдельным значением и средним значением. Чтобы определить сумму квадратов, расстояние между каждой точкой данных и линией наилучшего соответствия возводится в квадрат, а затем суммируется. Линия наилучшего соответствия минимизирует это значение.

Как вычислить сумму квадратов

Теперь вы можете понять, почему измерение называется суммой квадратов отклонений или, для краткости, суммой квадратов.Используя наш приведенный выше пример MSFT, сумму квадратов можно рассчитать как:

• SS = (74,01 — 73,95) ² + (74,77 — 73,95) ² + (73,94 — 73,95) ² + (73,61 — 73,95) ² + (73,40 — 73,95) ²
• SS = (0,06) ² + (0,82) ² + (-0,01) ² + (-0,34) ² + (-0,55) ²
• SS = 1.0942

Добавление только суммы отклонений без возведения в квадрат приведет к числу, равному или близкому к нулю, поскольку отрицательные отклонения почти полностью компенсируют положительные отклонения.Чтобы получить более реалистичное число, необходимо возвести сумму отклонений в квадрат. Сумма квадратов всегда будет положительным числом, потому что квадрат любого числа, положительного или отрицательного, всегда положительный.

Пример использования суммы квадратов

Основываясь на результатах расчета MSFT, большая сумма квадратов указывает на то, что большинство значений дальше от среднего, и, следовательно, есть большая изменчивость в данных. Низкая сумма квадратов указывает на низкую изменчивость набора наблюдений.

В приведенном выше примере 1.0942 показывает, что изменчивость цены акций MSFT за последние пять дней очень мала, и инвесторы, желающие инвестировать в акции, характеризующиеся стабильностью цен и низкой волатильностью, могут выбрать MSFT.

Ключевые выводы

• Сумма квадратов измеряет отклонение точек данных от среднего значения.
• Более высокий результат суммы квадратов указывает на большую степень изменчивости в наборе данных, в то время как более низкий результат указывает на то, что данные не сильно отличаются от среднего значения.

Ограничения на использование суммы квадратов

Принятие инвестиционного решения о том, какие акции покупать, требует гораздо большего количества наблюдений, чем перечисленные здесь. Аналитику, возможно, придется работать с данными за годы, чтобы с большей уверенностью узнать, насколько высока или низка изменчивость актива. По мере того, как в набор добавляется больше точек данных, сумма квадратов становится больше, так как значения будут более разбросанными.

Наиболее широко используемые измерения вариации — это стандартное отклонение и дисперсия.Однако для расчета любого из двух показателей сначала необходимо вычислить сумму квадратов. Дисперсия — это среднее значение суммы квадратов (т. Е. Суммы квадратов, деленной на количество наблюдений). Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.

Существует два метода регрессионного анализа, в которых используется сумма квадратов: линейный метод наименьших квадратов и нелинейный метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов относится к тому факту, что функция регрессии минимизирует сумму квадратов отклонения от фактических точек данных.Таким образом можно нарисовать функцию, которая статистически лучше всего подходит для данных. Обратите внимание, что функция регрессии может быть линейной (прямая линия) или нелинейной (кривая линия).

Определение остаточной суммы квадратов (RSS)

Что такое остаточная сумма квадратов (RSS)?

Остаточная сумма квадратов (RSS) — это статистический метод, используемый для измерения величины дисперсии в наборе данных, которая не объясняется самой регрессионной моделью. Вместо этого он оценивает дисперсию остатков или члена ошибки.

Линейная регрессия — это измерение, которое помогает определить силу взаимосвязи между зависимой переменной и одним или несколькими другими факторами, известными как независимые или объясняющие переменные.

Ключевые выводы

• Остаточная сумма квадратов (RSS) измеряет уровень дисперсии в члене ошибки или остатках регрессионной модели.
• В идеале сумма квадратов остатков должна быть меньше или меньше суммы квадратов из входных данных регрессионной модели.
• RSS используется финансовыми аналитиками для оценки достоверности их эконометрических моделей.

Формула для RSS —

ESS = ∑ ⁿ _{i = 1} ( y ⁱ — f ( x _i )) ²

где:

• y _i = i ^th значение переменной для прогнозирования
• f (x _i ) = прогнозируемое значение y _i
• n = верхний предел суммирования
• y _i = i ^th значение переменной для прогнозирования
• f (x _i ) = прогнозируемое значение y _i
• n = верхний предел суммирования

Понимание остаточной суммы квадратов (RSS)

В общих чертах, сумма квадратов — это статистический метод, используемый в регрессионном анализе для определения разброса точек данных.В регрессионном анализе цель состоит в том, чтобы определить, насколько хорошо ряд данных может быть приспособлен к функции, которая может помочь объяснить, как был создан ряд данных. Сумма квадратов используется как математический способ найти функцию, которая лучше всего соответствует (меньше всего отличается) от данных.

RSS измеряет количество ошибок, остающихся между функцией регрессии и набором данных после запуска модели. Меньшая остаточная сумма квадратов представляет собой функцию регрессии.

RSS — также известный как сумма квадратов остатков — по существу определяет, насколько хорошо регрессионная модель объясняет или представляет данные в модели.

RSS по сравнению с RSE

Остаточная стандартная ошибка * RSE) — еще один статистический термин, используемый для описания разницы в стандартных отклонениях наблюдаемых значений по сравнению с предсказанными значениями, как показано точками в регрессионном анализе. Это критерий согласия, который можно использовать для анализа того, насколько хорошо набор точек данных соответствует реальной модели.

RSE вычисляется путем деления RSS на количество наблюдений в выборке минус 2 и последующего извлечения квадратного корня: RSE = [RSS / (n-2)] ^1/2

RSS, финансы и эконометрика

Финансовые рынки становятся все более управляемыми в количественном отношении; поэтому в поисках преимущества многие инвесторы используют передовые статистические методы, чтобы помочь в принятии решений.Приложения для больших данных, машинного обучения и искусственного интеллекта дополнительно требуют использования статистических свойств для управления современными инвестиционными стратегиями. Остаточная сумма квадратов — или статистика RSS — является одним из многих статистических свойств, переживающих ренессанс.

Статистические модели используются инвесторами и управляющими портфелями для отслеживания цены инвестиций и использования этих данных для прогнозирования будущих движений. Исследование, называемое регрессионным анализом, может включать анализ взаимосвязи в движении цен между товаром и акциями компаний, занимающихся его производством.

Любая модель может иметь расхождения между прогнозируемыми значениями и фактическими результатами. Хотя отклонения можно объяснить с помощью регрессионного анализа, остаточная сумма квадратов представляет собой отклонения или ошибки, которые не объяснены.

Поскольку можно сделать достаточно сложную функцию регрессии, которая точно соответствует практически любому набору данных, необходимы дальнейшие исследования, чтобы определить, действительно ли функция регрессии полезна для объяснения дисперсии набора данных.Однако, как правило, меньшее или меньшее значение остаточной суммы квадратов является идеальным для любой модели, поскольку это означает, что в наборе данных меньше вариаций. Другими словами, чем меньше сумма квадратов остатков, тем лучше регрессионная модель объясняет данные.

Образцы и примеры счетов-фактур для каждого бизнеса

Независимо от того, являетесь ли вы малым бизнесом, индивидуальным предпринимателем или фрилансером, своевременная оплата имеет первостепенное значение для поддержания стабильного денежного потока. Наличие системы и процесса выставления счетов позволяет упорядочить ваши счета и ускорить получение платежей.

Если вы новичок в выставлении счетов или хотите обновить свою систему выставления счетов, в первую очередь следует начать с самого счета. Счет-фактура — самый важный документ в процессе. В зависимости от того, какой у вас бизнес, счет-фактура должен содержать ключевые данные, которые помогут вам вести учет ваших проектов, сроков, внесения и снятия наличных.

Начните работу с квадратными счетами

Получайте оплату быстрее с онлайн-счетами.

Чтобы ваши счета-фактуры содержали правильную информацию и выглядели профессионально (и чтобы сэкономить время), вам следует использовать бесплатный шаблон счета-фактуры или программное обеспечение для онлайн-выставления счетов, такое как Square Invoices.

Мы собрали образцы счетов-фактур и советы по созданию различных типов счетов-фактур, чтобы вы могли настроить эти шаблоны для работы в своем бизнесе.

Пример базовой пустой накладной

Этот первый образец счета-фактуры показывает, как может выглядеть базовый счет-фактура. Вы можете включить любую информацию, которая поможет вам упорядочить, но, как минимум, во всех счетах должно быть указано:

• Номер счета
• Название и контактная информация вашей компании
• Платежная информация вашего клиента
• Описание предоставленных товаров или услуг
• Срок оплаты (чтобы вам заплатили вовремя)
• Налог с продаж, если применимо

Пример счета для фрилансеров

Помимо приведенной выше информации, фрилансеры должны подробно рассказать о проектах, над которыми они работают.Если вы фрилансер, вам следует:

• Распределите свою работу по проектам или по часам (или по обоим направлениям)
• Укажите все сборы за программное обеспечение или лицензионные сборы, которые вы понесли при работе над своими проектами (для дизайнера это может быть лицензирование шрифтов или изображений)
• Подумайте о добавлении линии чаевых, если в вашей отрасли принято давать чаевые.
• Четко запишите, когда заказчик получит окончательную работу и в какую дату (даты) должен быть произведен платеж

Пример счета на подрядные работы

Как и в счетах-фактурах внештатного сотрудника, счет-фактура за контрактные работы должен содержать подробные сведения о контракте, с которым вы согласились.Так что обязательно:

• Четко перечислите все проекты и задачи, с которыми вы согласились.
• Также укажите стоимость любых товаров, инструментов или лицензий, которые вы используете для завершения проектов.
• Не забудьте добавить строку налога с продаж в окончательный счет (работа по контракту обычно облагается налогом)

Пример счета за профессиональные услуги

Сфера услуг обычно сталкивается с множеством проблем с возвратными платежами, поскольку трудно определить, когда услуга была завершена или была ли она выполнена удовлетворительно.Счета могут многое сделать для борьбы с возвратными платежами по:

• Отображение почасовой ставки
• Четкое указание срока, когда услуга будет предоставлена ​​(если в будущем) или даты, когда услуга была оказана (если в прошлом)
• Использование раздела примечаний для перечисления положений и условий

Пример оптового счета

Если у вас есть оптовый бизнес — например, если вы создаете косметические товары, которые продаете в розничные магазины, — счет, обслуживаемый вашим бизнесом, важен для отслеживания ваших крупных транзакций.

Оптовые счета-фактуры должны включать обычную цену на ваши продукты, оптовую скидку и, наконец, оптовую цену, которую взимает ваш покупатель. Недавний опрос показал, что скидки и предложения были названы главной причиной лояльности к бренду, поэтому показ скидки в счете на самом деле является эффективной маркетинговой тактикой.

Пример единовременного счета

Паушальный счет используется, когда вы предлагаете одну ставку для ряда продуктов или услуг.Паушальные счета идеально подходят для групповых занятий в студии йоги / фитнеса или для проектов с фиксированной ставкой.

Если вы предлагаете пакетные предложения на крупную сумму, убедитесь, что вы четко описали пакет или единовременную выплату в детализированном разделе формы счета. Кроме того, имейте в виду, что многие счета-фактуры с единовременной выплатой включают налог, поэтому нет необходимости добавлять дополнительный налог (как показано на рисунке).

Мои суммы квадратов не складываются!

 МОИ СУММЫ ПЛОЩАДЕЙ НЕ ДОБАВЛЯЮТСЯ!

                          Дэвид П.Николс
                     Старший статистик службы поддержки
                             SPSS, Inc.
                 Из SPSS Keywords, Volume 53, 1994

     Многие пользователи SPSS сбиты с толку, когда видят вывод
РЕГРЕССИЯ, ANOVA или MANOVA, в которых суммы квадратов на двоих
или несколько факторов или предикторов не составляют общую сумму
квадраты для модели. Особенно это касается пользователей, чьи
статистическая подготовка в первую очередь связана с анализом
отклонение сбалансированных данных от запланированных экспериментов.Сбалансированный, или
ортогональные конструкции - это конструкции, в которых независимые или
переменные-предикторы (будь то категориальные факторы или непрерывные
предикторы, которые иногда называют ковариатами)
некоррелированы в выборке. Они допускают простую добавку
разбиение сумм квадратов, учтенных моделью, на
уникальные части, связанные с каждой переменной-предиктором.  За это
причина и по причинам точности статистической оценки
они обычно предпочтительны, когда их можно использовать.Однако большинство
из нас хотя бы изредка вынуждены работать с данными из
более беспорядочный неортогональный дизайн.
     Когда переменные-предикторы неортогональны (коррелированы),
не существует единственного способа вычислить аддитивное разложение
модель суммы квадратов на отдельные части. Хотя добавка
разложения могут быть вычислены (используя метод SEQUENTIAL в
MANOVA или сложение изменений сумм квадратов для каждой переменной
вводится в модель РЕГРЕССИИ по одному),
различное разложение, связанное с каждым возможным порядком
набор переменных-предикторов.Другими словами, сумма квадратов
приписывается конкретной переменной-предиктору, зависит не от
общая модель, но какие предикторы были введены в модель
перед этой переменной. Этот метод в основном используется, когда
теоретически считается, что определенные переменные имеют
приоритет над другими, и, таким образом, считается, что порядок
соответствующий. Однако многие пользователи не знают о фактических
статистические гипотезы, проверенные этим подходом, которые часто
не те, кого желали.Чаще пользователи хотят вычислять суммы квадратов для
каждый предсказатель симметричным образом. Эти УНИКАЛЬНЫЕ суммы
квадраты были по умолчанию в процедуре MANOVA для некоторых
времени, а в процедуре ANOVA, начиная с выпуска 5. Для
непрерывные предикторы и категориальные факторы, которые имеют только два
категории (и поэтому представлены одним фиктивным или
закодированная переменная) F-статистика, связанная с UNIQUE
суммы квадратов - это квадраты t-статистики, которая дает
от деления оценок нестандартизированных коэффициентов регрессии (в
РЕГРЕССИЯ или МАНОВА) или оценки параметров (в МАНОВА) по их
стандартные ошибки.Оба типа сумм квадратов можно концептуализировать и
вычисляется как разница между остаточными суммами или суммами ошибок
квадраты (SSE), полученные в результате подбора двух иерархических моделей.  В
случай ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ сумм квадратов мы начинаем с модели
который включает только константу или член-перехватчик. SSE будет
тогда будет общая скорректированная сумма квадратов. Если мы добавим один
предсказатель модели (здесь мы можем иметь в виду либо
отдельная переменная или набор переменных, представляющих категориальный
предиктор) у нас будет новый SSE, который будет меньше или
равно предыдущему значению.Разница между SSE
до и после добавления нового предиктора приписывается
к этому предсказателю. Затем мы можем добавить еще один предиктор и
пересчитать модель и SSE. Отличия нового SSE
и предыдущий SSE снова приписывается вновь добавленному
предсказатель. Мы продолжаем этот процесс, пока не введем все
предикторов, отмечая уменьшение SSE на каждом этапе. Этот процесс
также можно выполнить в обратном порядке, удаляя каждый
предсказатель и отмечая увеличение SSE на каждом этапе.УНИКАЛЬНЫЙ подход сумм квадратов (которые можно получить
в РЕГРЕССИИ с помощью параметра ТЕСТ в подкоманде МЕТОД)
можно вычислить путем сравнения SSE для модели, включающей все
предикторы модели, включая все предикторы, кроме одного
актуальный интерес. Увеличение SSE в результате удаления
предсказатель из модели (что то же самое, что и уменьшение
SSE в результате добавления его к модели, содержащей все остальные
предикторов) - УНИКАЛЬНАЯ сумма квадратов, связанных с этим
предсказатель.Таким образом, УНИКАЛЬНАЯ сумма квадратов для каждого предиктора равна
эквивалентно ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ сумме квадратов для этого предиктора
когда он вводится после всех других предикторов в модели. Этот
Вот почему УНИКАЛЬНЫЕ суммы квадратов также называют частичными или
одновременные суммы квадратов. Обратите внимание, что пока нет
линейные зависимости между предикторами эти суммы квадратов
будет уникальным. Однако они не добавят к общему количеству
модельная сумма квадратов.

     Давайте конкретизируем все это на примере.Ниже
дается небольшой набор данных, состоящий из 19 случаев с тремя переменными,
X1, X2 и Y.  Сначала мы получим УНИКАЛЬНЫЕ суммы квадратов по умолчанию.
для X1 и X2 в качестве совместных предикторов зависимой переменной Y, используя
как процедуры МАНОВА, так и РЕГРЕССИЯ:

MANOVA Y С X1 X2
 / АНАЛИЗ = Y
 / ДИЗАЙН = X1 X2.
ПЕРЕМЕННЫЕ РЕГРЕССИИ = Y X1 X2
 / ЗАВИСИМОСТЬ = Y
 / МЕТОД = ТЕСТ (X1) (X2).

-------------------------------------------------- --------------------
Рисунок 1: Данные

 X1 X2 Y

  6 7 7
  3 4 8
  4 8 5
  6 5 4
  3 9 5
  1 9 7
  3 3 2
  4 5 6
  2 6 2
  0 2 8
  0 9 4
  2 5 3
  8 6 5
  9 8 4
  0 4 6
  7 8 6
  5 3 1
  7 9 3
  7 3 3
-------------------------------------------------- --------------------
(Конец рисунка 1)

Слегка отредактированный результат MANOVA и REGRESSION показан на рисунке.
2.Обратите внимание, что суммы квадратов, приведенные в MANOVA, такие же, как и суммы квадратов.
дается выводом METHOD = TEST из REGRESSION. Отметим также, что
значения F-статистики для каждой переменной являются квадратами значений
t-статистика для оцененных коэффициентов регрессии (B), и
имеют одинаковые уровни значимости. Наконец, обратите внимание, что суммы квадратов
для двух переменных не складываются в общую регрессию или модель
сумма площадей. Собственно говоря, в этой задаче они составляют
БОЛЬШЕ, чем модельная сумма квадратов.Хотя многие пользователи сбиты с толку и
озадачен общей неудачей регрессионного подхода или УНИКАЛЬНЫХ сумм
квадратов суммировать с модельной суммой квадратов, эта ситуация (индивидуальный
переменные суммы квадратов, в сумме превышающие сумму квадратов модели)
еще больше сбивает с толку большинство людей. Решение того, как это может произойти
заключается в структуре взаимосвязей между тремя переменными.

-------------------------------------------------- --------------------
Рисунок 2: Выходные данные MANOVA и REGRESSION

* * * * * * A n a l y s i s o f V a r i a n c e - дизайн 1 * * * * * *

 Тесты значимости для Y с использованием УНИКАЛЬНЫХ сумм квадратов
 Источник вариации SS DF MS F Sig of F

 ВНУТРИ + ОСТАТОЧНЫЙ 71. 04 16 4,44
 Х1 4,50 1 4,50 1,01 0,329
 Х2 1,20 1 1,20 .27 .610

 (Модель) 5,07 2 2,53 .57 .576
 (Итого) 76,11 18 4,23

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

           * * * * М У Л Т И П Л Е Р Е Г Р Е С С И О Н * * * *

Проверка гипотез

            Сумма
   DF Квадраты Rsq Chg F Sig F Источник

    1 4.49571 .05907 1.01261 ​​.3293 X1
    1 1.19931 .01576 .27013 .6104 X2

    2 5.06928 .57090 .5761 Регрессия
   16 71.03598 Остаточный
   18 76.10526 Итого

 -------------------------------------------------- ----------

Множественный R .25809
R Квадрат .06661
Скорректированная площадь R -.05007
Стандартная ошибка 2.10707

Дисперсионный анализ
                    DF Сумма квадратов Среднее квадратическое значение
Регрессия 2 5,06928 2,53464
Остаточный 16 71,03598 4,43975

F = 0,57090 Значение F = 0,5761


------------------ Переменные в уравнении ------------------

Переменная B SE B Beta T Sig T

Х1 -.178536 .177421 -.246390 -1.006 .3293
Х2 .109418 .210525 .127260 .520 .6104
(Константа) 4,757000 1,422242 3,345 0,0041
-------------------------------------------------- --------------------
(Конец рисунка 2)

-------------------------------------------------- --------------------
Рисунок 3: Корреляционная матрица

                  Y X1 X2
Г 1.000 -.225 .087
Х1 -.225 1.000.164
Х2 .087 .164 1.000
-------------------------------------------------- --------------------
(Конец рисунка 3)

Как вы можете видеть в корреляционной матрице, показанной на рисунке 3, существует
положительная корреляция между двумя предикторами X1 и X2, в то время как
две корреляции с зависимой переменной имеют разные знаки. Когда
это происходит, абсолютные значения частичного и частичного (иногда
называется полупчастичной) корреляции между каждым предиктором и
зависимая переменная будет больше, чем абсолютное значение простого
двумерная корреляция или корреляция нулевого порядка между предсказателем и
зависимая переменная, в результате чего сумма квадратов, относящихся к
эта переменная, когда она вводится в модель после другого предиктора
чем когда он вводится первым. Важным моментом здесь является то, что
эффект «настройки» или «управления» предсказателем для эффектов
другие предикторы могут усилить связь с
зависимая переменная вместо ее уменьшения.

Корректирующее приложение (март 1997 г.)

Здесь возникает вопрос о терминологической точности, который требует пояснения.
Термины ортогональный и некоррелированный (или неортогональный и коррелированный) являются
используются, как если бы они были взаимозаменяемыми. Хотя это верно, если переменные
или задействованные векторы центрированы (имеют среднее значение 0), это неверно в
общий случай.Формально два вектора ортогональны, если их скалярное произведение
(или внутреннее произведение) равно 0. Они некоррелированы, если скалярное произведение
их центрированная (скорректированная средним) форма равна 0. Все четыре логических возможности
из этих двух обозначений возможны. То есть два вектора могут быть обоими
ортогональные и некоррелированные, ортогональные, но коррелированные, неортогональные, но
некоррелированные, или неортогональные и коррелированные. Только если переменные или
векторы, с которыми мы имеем дело, по определению означают исправленные или
по центру два термина взаимозаменяемы.По этой причине способ
термины, использованные в этой статье, в лучшем случае небрежны и технически
просто неверно.

Некоторым читателям может быть полезно еще одно пояснение. Дискуссия
различных способов вычисления сумм квадратов предполагает, что любое
категориальные факторы были обработаны путем повторной параметризации до полного ранга.
Другими словами, описание сумм квадратов для конкретного
эффект как разница между остаточной суммой квадратов для
модель с этим термином и без него применяется только тогда, когда модель обрабатывается
с помощью фиктивных переменных K-1 или переменных с кодированием эффекта для представления K уровней
данный фактор.Такой подход распространен, но не единственный.
что-то делать, и если кто-то попытается сопоставить УНИКАЛЬНЫЕ суммы квадратов на
установка определенных моделей с определенными условиями и без них в некоторые конструкции
используя программное обеспечение, которое не изменяет параметры, ожидаемые результаты будут
не получится.  Некоторые из затронутых здесь вопросов станут темой
в будущей статье обсуждаются некоторые фундаментальные различия между
В выпуск 7 добавлены процедура MANOVA и новая процедура GLM.0 из SPSS
для Windows.
 

Square Review 2021 | Squareup Обзоры, платежи, продукты, цены

Плюсы

• Предсказуемая фиксированная цена
• Идеально подходит для продавцов небольшими объемами
• Без абонентской платы
• Впечатляющий набор функций
• Доступные считыватели чип-карт
• Разрешает многоканальные продажи
• Доступно для канадских продавцов

Минусы

• Проблемы со стабильностью аккаунта
• Не подходит для производств с повышенным риском

Основные выводы

Square Payments и точки продаж от Square.com получил отличную 5-звездочную оценку за простоту использования, поразительный набор функций, прозрачные и доступные цены и общий статус центра торговли. Хотя обработка кредитных карт Square подходит не для всех типов бизнеса, многие малые предприятия пользуются предсказуемыми ценами и быстрой настройкой.

Квадратный обзор

Мы следим за Square (ранее Squareup ) с момента его запуска в 2009 году, когда идея системы обработки смартфонов на основе считывания без ежемесячной платы и без стоимости оборудования казалась слишком хорошей, чтобы быть правдой.С тех пор набор продуктов и услуг Square, в том числе Square Register и Square Point of Sale , сделали компанию более чем увлечением.

Обработка кредитных карт Square, без сомнения, является наиболее многофункциональным и продвинутым решением, которое вы можете найти без ежемесячной платы.

Стоимость всегда была одной из самых привлекательных. При использовании Square Payments продавцы обычно платят фиксированную ставку в размере 2,6% + 0,10 доллара США за проведенные / пропущенные / прослушанные транзакции , 3. 5% + 0,15 доллара США для транзакций с ключом и 2,9% + 0,30 доллара США для онлайн-транзакций. Нет ежемесячной платы, комиссии за выписку или ежемесячных минимумов. Это очень важно для многих продавцов, особенно для новичков, у которых нет установленной истории обработки.

Square.com Захват веб-сайта POS

Когда вы добавляете надежное мобильное приложение (mPOS), отчеты, управление сотрудниками и даже бесплатный маркетинг по электронной почте, ничья становится почти неотразимой.

Как сказал бы Билли Мейс, НО ПОДОЖДИТЕ, ЕСТЬ БОЛЬШЕ! Если вам нужен плавный переход между онлайн-продажами и продажами лично (или в магазине), вам понравится Square.Это потому, что Square также предоставляет вам бесплатный интернет-магазин, который синхронизируется с вашим инвентарем в приложении, включая подсчет инвентаря и интеграцию с электронной коммерцией.

Недавно Square также выпустила Square Online Checkout, который дает еще большую гибкость при оплате для продажи товара, сбора пожертвований или предложения подписки. Вы можете отправить ссылку для оплаты по электронной почте, текстовое SMS-сообщение или скопировать и вставить кнопку оплаты в любом месте в Интернете (аналогично PayPal). Вы также можете создать пост для покупок в Instagram или Facebook и не сомневаться, что ваши продажи будут полностью синхронизированы с вашим инвентарем независимо от того, как вы продаете.

Вы найдете все это доступным с первого дня на своей панели Square Dashboard, наряду с бесплатным виртуальным терминалом, возможностью хранения карт, выставлением счетов, регулярным выставлением счетов, вариантами онлайн-заказа, управлением клиентами, расширенной аналитикой, множеством сторонних интеграций приложений, плюс API для разработчиков. Достаточно сказать, что Square больше не , а просто mPOS. Это целая бизнес-экосистема.

Несмотря на то, что вы по-прежнему можете получить бесплатное приложение для торговых точек, бесплатный интернет-магазин, неограниченное количество товаров и базовые инструменты инвентаризации, Square еще больше перешла в мир передовых POS-систем. Если ваш бизнес расширяется и вы хотите получить более подробные функции, вы можете это сделать. Square для Retail бесплатно; Платные планы начинаются с 60 долларов в месяц и включают, помимо прочего, более продвинутые инструменты инвентаризации и отчетности.

Хотя мы не можем не указать на все, что вам нравится в Square, важно отметить, что у Square Payments есть одно важное соображение, о котором вам следует знать. Поскольку это сторонний платежный процессор, Square склонна закрывать счета, когда отдел рисков решает, что продавец оказался слишком обременительным.К сожалению, аналогичные риски встречаются во всех моделях процессоров сторонних производителей. Square открывает свои двери для многих предприятий, которые в противном случае не могли бы получить обработку из-за отсутствия деловой истории или объема, и это просто связано с территорией.

Таким образом, хотя вы можете настроить учетную запись Square почти сразу, вы будете под пристальным вниманием, и имеет более высокую вероятность возникновения приостановки или прекращения действия, чем если бы вы открыли торговый счет с традиционным процессором.

При этом у большинства пользователей на самом деле не будет никаких проблем. Следует также отметить, что Square предприняла ряд значительных шагов в направлении повышения общей стабильности. Он не идеален, и я очень сомневаюсь, что когда-нибудь будет. Но если вы читаете условия использования Square, убедитесь, что ваш бизнес не входит в список запрещенных для полетов компании. Примите меры, чтобы максимально защитить себя и свой бизнес, и в большинстве случаев все будет в порядке. Независимо от того, какой процессор вы используете, вам нужно защитить себя.Ознакомьтесь с Как уберечь вашу платежную систему от хранения средств или закрытия вашей учетной записи: что нужно знать малому бизнесу , чтобы узнать больше.

Обработка кредитных карт

Square принесла идеальный 5-звездочный рейтинг за простоту использования , поразительный набор функций, прозрачные и доступные цены и общий статус центра торговли. Если вы готовы принять на себя определенный риск, Square.com предлагает продавцам ту ценность, которую могут предложить немногие другие обработчики.Компании любого размера — от самых маленьких микроторговцев до крупных сетей — могут извлечь выгоду из системы Square. О, и мы упоминали, что он также доступен для канадских продавцов?

Хотя Square идеально подходит для многих малых предприятий, мы рекомендуем вам ознакомиться с нашими лучшими решениями для обработки платежей по кредитным картам малого бизнеса, прежде чем принимать какие-либо окончательные решения.

Square Review Вердикт: Square предлагает владельцам малого бизнеса огромную ценность по низкой цене. Благодаря отсутствию ежемесячной платы и фиксированной цене на большинство продуктов Square новые компании будут экономить деньги по сравнению с торговым счетом. Нам нравится, что Square растет вместе со своими пользователями, предлагая более продвинутые функции и POS-системы бесплатно или по конкурентоспособной цене, когда приходит время масштабирования.

Читайте дальше, чтобы узнать об услугах Square, их преимуществах и недостатках. Если вы работали с Square, хорошо это или плохо, пожалуйста, поделитесь своими мыслями!

Характеристики

Захват сайта Square.com: особенности Square POS

Бесплатные POS-функции и функции бэк-офиса

Square по-прежнему не имеют себе равных среди других бесплатных мобильных процессинговых систем, с которыми мы сталкивались.Вы не найдете всех функций, которые есть по сравнению с более продвинутыми (и дорогими) POS-системами. А без ежемесячной платы с Square трудно превзойти ценность. Вот несколько важных моментов, которые стоит отметить при обработке кредитных карт Square и связанных с этим льготах.

Square Обработка платежей

Одно из самых больших преимуществ обработки кредитных карт Square — это предсказуемая цена. Вы будете платить одинаковую фиксированную ставку независимо от типа карты, размера транзакции или отрасли.Да, это не включает дополнительную плату за транзакции American Express. Мы рассмотрим специфику затрат на обработку в разделе Сборы и ставки , но сначала давайте сосредоточимся на надежных функциях Square.

• Обработка POS: Используйте приложения Square POS, или вы можете интегрировать Square Payments с другими POS-системами, кроме Square, включая Vend, TouchBistro и Lavu.
• Обработка электронной коммерции: Square предоставляет вам бесплатный интернет-магазин и интегрируется с различными поставщиками программного обеспечения для корзины покупок.Вы также можете использовать API Square для создания индивидуальной настройки.
• Инструменты разработчика: Хотите создать индивидуальное решение, совместимое с PCI? Square упрощает интеграцию обработки платежей (и других сервисов) в другое программное обеспечение с помощью своих API.

Получение средств

Square обычно переводит средства на банковские счета продавцов в течение одного-двух рабочих дней. Однако продавцы, которым нужны средства быстрее, могут выбрать мгновенный депозит или депозит в тот же день за 1.5% от суммы перевода. Недавно Square также представила Square Card, дебетовую карту Mastercard, которая дает вам немедленный доступ к вашим средствам без банковского перевода. Чтобы узнать больше о карте, ознакомьтесь с Полное руководство по вашему квадратному балансу, квадратной карте и вариантам мгновенного депозита .

Квадратный доступность в других странах

Square только недавно начал расширяться за пределами США, поэтому он далеко не так широко распространен, как Stripe или Braintree. В настоящее время Square поддерживает продавцов в Канаде, Японии, Австралии и Великобритании. Поддерживаемые способы оплаты и цены зависят от страны, в которой вы находитесь.

Давайте рассмотрим несколько инструментов обработки платежей Square более подробно:

Карточка в файле

Функция Card on File

Square позволяет вам безопасно и надежно хранить информацию о картах ваших клиентов в системе Square, если они решат подписаться. Вы соответствуете требованиям PCI, и информация в безопасности, поскольку Square хранит данные ваших клиентов и заботится о безопасности платежей.Клиенты могут оплачивать заказы, не вынимая карты, даже в POS-терминале. Эта функция также работает с квадратными счетами и виртуальным терминалом, а также с электронной коммерцией (с использованием API). Вы будете платить за эту функцию стандартную ставку за вход с ключом, которая, однако, выше, чем личная ставка. Мне нравится, что Square позволяет очень легко хранить данные карты по нескольким каналам, при этом обеспечивая уровни безопасности.

Выставление счетов

Скриншот Square POS

Вы можете использовать встроенные инструменты Square для отправки счетов или подключения сторонней интеграции.Инструменты выставления счетов Square поддерживают разовые и повторяющиеся счета, а также рассрочку платежей. Что еще более важно, Square предлагает помощь в создании контрактов, предоставляя широкий спектр шаблонов. Вы можете настроить шаблоны счетов по умолчанию на основе информации о вашей компании и прикрепить всевозможные файлы, включая заказы на покупку, изображения и т. Д. Ознакомьтесь с нашим подробным обзором Square Invoices, чтобы узнать больше о платформе Square, или прочитайте нашу статью Как использовать Square Invoices для своевременной оплаты .

Виртуальный терминал

Квадратный вертикальный терминал Скриншот Square POS

Виртуальный терминал

Square позволяет вводить платежи по кредитным картам с любого устройства, подключенного к Интернету, с помощью веб-браузера. Мобильный телефон или планшет не требуется. Тот факт, что виртуальный терминал является бесплатным, помимо затрат на обработку, является отличным преимуществом. Для сравнения, PayPal взимает 30 долларов в месяц только за виртуальный терминал.

Нам нравится, что с виртуальным терминалом Square вы даже можете хранить данные карты для регулярных платежей, если ваши клиенты согласны на это.Square также добавила поддержку своих картридеров с магнитной полосой на компьютерах Apple и Chromebook. Платежи принимаются с использованием считывателя карт по личному курсу, а транзакции, вводимые вручную, обрабатываются по стандартной ключевой ставке.

Рассрочка платежей

С помощью функции «Квадратные рассрочки» вы можете предложить клиенту финансирование при оформлении заказа, если ваше предложение одобрено. Вам будут выплачены авансом и полностью, в то время как Square Capital принимает на себя все риски неплатежа и принимает платежи от ваших клиентов.После продажи ничего делать не нужно. Узнайте больше об этой опции в нашей публикации Как использовать квадратные рассрочки, чтобы предложить своим клиентам варианты «Купи сейчас, заплати позже» .

Square Программные приложения

Скриншот примера POS-приложения Square Site 2020

Square теперь имеет четыре отдельных POS-приложения, обслуживающих продавцов в зависимости от типа бизнеса, который они ведут. Каждый из них предназначен для определенной ниши, и доступен базовый бесплатный план. Тем не менее, три продвинутые системы Square также имеют платные планы, которые предлагают больше возможностей для крупных предприятий, которым требуются специализированные функции.

Featured Square Payments A pps и услуги

• Square Point of Sale, или Square POS — это обычное приложение для работы с лошадьми. Он лучше всего подходит для ресторанов быстрого обслуживания, кафе, предприятий сферы обслуживания, которым нужен только один календарь сотрудников, и розничных продавцов с умеренным объемом запасов. Бесплатное приложение работает на всем проприетарном оборудовании Square, а также на любом интеллектуальном устройстве под управлением Android или iOS. Ознакомьтесь с нашим подробным обзором Square POS, чтобы узнать, подходит ли вам бесплатная версия.
• Square Appointments сочетает в себе сервис онлайн-бронирования с POS-системой, так что салоны, студии йоги и другие компании, работающие по назначению, могут легко назначать встречи, проверять клиентов, управлять комиссиями и даже продавать товары. Square Appointments бесплатна для одного пользователя. Вы платите 2,6% + 0,10 доллара за транзакцию Square Payments. Стоимость платных планов Square Appointments начинается с 50 долларов в месяц для двух-пяти пользователей с пониженной комиссией за обработку в размере 2,5% + 0 долларов.10 за личную оплату. Прочтите наш обзор Square Appointments, чтобы получить полное представление о ценах и функциях.
• Square for Retail обслуживает предприятия с большими и сложными товарными запасами, обеспечивая управление запасами в нескольких местах. Вы можете продавать товары онлайн и лично, а также предлагать самовывоз и доставку в магазине. Интерфейс приложения предназначен для поиска и сканирования товаров, а Square предлагает расширенные отчеты для розничной торговли. Square for Retail работает на iPad и Square Register с подпиской от 60 долларов в месяц в дополнение к бесплатному тарифному плану.В нашем обзоре Square for Retail есть полная разбивка его возможностей.
• Square для ресторанов предлагает бесплатный план, который включает POS-терминалы, управление командой и поддержку клиентов. Платные планы предлагают расширенную POS-систему и систему отображения на кухне (KDS) для управления меню, планов этажей и автоматических оповещений об инвентаризации. Вы можете управлять всеми заказами из POS и KDS, чтобы предлагать своим клиентам беспрепятственный вывоз и доставку. Отчетность также предназначена для ресторанов и включает в себя время суток, обложки, сотрудников, участников, пропуски и производительность кухни.Square KDS включен в подписку Square for Restaurants Plus по цене 60 долларов в месяц для каждого местоположения и 40 долларов за дополнительное POS-устройство без дополнительных затрат на дисплей KDS. Узнайте о бесплатной и платной версиях Square for Restaurants в нашем полном обзоре POS-приложений Square for Restaurants.

Square Online: электронная торговля и онлайн-заказы

В то время как электронная коммерция и онлайн-продажи были второстепенными для mPOS-приложения Square в первые дни, это уже не так. В дополнение к бесплатному интернет-магазину Square регулярно расширяет список поддерживаемых интеграций.

Чтобы лучше понять возможности Square для электронной коммерции, ознакомьтесь с нашим подробным обзором интернет-магазина Square и его интеграции с электронной коммерцией. А пока вот краткое изложение:

• Хостинг Интернет-магазина: Вы можете принести свой домен или приобрести его через Square и получить бесплатный хостинг. Бесплатный интернет-магазин Square работает на платформе Weebly, которую Square приобрела в 2018 году. По общему признанию, функции являются базовыми, но за небольшую ежемесячную плату вы можете перейти на более продвинутые функции и получить свой собственный домен.
• Платежный шлюз: Если у вас уже есть веб-сайт, который работает на BigCommerce, WooCommerce, Weebly, Ecwid, Magento или нескольких других, вы можете напрямую интегрировать Square для обработки платежей. Поддерживаемые функции для этих интеграций различаются, поэтому изучите, хотите ли вы бесшовную платформу для продаж как при личной встрече, так и в Интернете.
• Square Online Checkout: Square Online Checkout — это гибкий способ принимать платежи от ваших покупателей, жертвователей или клиентов без необходимости иметь полноценный сайт электронной коммерции.Мы рассматриваем это как попытку Square конкурировать с простотой и гибкостью кнопки PayPal. Мы рады видеть, что он появился очень быстро в ответ на протоколы социального дистанцирования, с которыми теперь сталкиваются малые предприятия. Вы можете добавить кнопку оплаты на существующую веб-страницу с помощью ссылки, текста или создать возможность для покупок в Instagram или Facebook. Эта новая функция также включает систему QR-кода, которая позволяет разбить ваш магазин или зону выдачи на открытом воздухе на зоны. Клиенты могут разместить заказ и оплатить его, а ваша команда будет знать, куда доставить товары, будь то доставка в магазин или местная доставка.Прочтите, как начать работу, в нашем сообщении Что такое Square Online Checkout? Руководство по использованию этого нового способа оплаты Square .

Подробную информацию о том, как продвигать набор функций электронной коммерции Square, можно найти в нашем Руководстве по онлайн-платежам Square: Как использовать интернет-магазин Square, кассу и другие инструменты .

Почему мы рекомендуем Square для электронной коммерции

Другие элементы Square

• Настраиваемая приборная панель: Приборная панель Square является центральным звеном всей платформы.Нам нравится, что Square позволяет пользователям настраивать информацию, которую они видят на своей панели инструментов, перетаскивая различные виджеты. Приложение Square Dashboard предоставляет данные о продажах в реальном времени на вашем устройстве iOS, но другим пользователям потребуется доступ к Dashboard с компьютера для полной функциональности. Что действительно примечательно в Dashboard, так это то, что она упрощает использование Square. Вы найдете все необходимое в одном месте, а также здесь вы найдете бесплатные версии дополнительных функций и дополнительных надстроек.

  Square Website Capture 2020

• Управление запасами: базовая система управления запасами Square — самая продвинутая из всех, что я видел среди мобильных процессоров, без ежемесячной платы. Тем не менее, это все еще довольно просто, если вы посмотрите на то, что предлагают настоящие ведущие решения. (Ознакомьтесь с нашим обзором Square Inventory для более всестороннего анализа.) Это также шаг впереди того, что вы можете получить, если вы перейдете на Square for Retail, что больше наравне с другими лидерами в области управления запасами.Обновление включает в себя управление заказами на закупку и создание штрих-кодов, а также отчетность о прибыльности. Особенности базового набора инвентаря включают в себя:
  • Категории / разновидности товаров
  • Дополнения / модификаторы предметов
  • Изображение и описание товара
  • Инвентарный учет
  • Частичные количества (по указанной единице)
  • Импорт / экспорт и управление оптовыми запасами
  • Множественные налоговые ставки
  • Синхронизация запасов онлайн и в магазине
  • Отрегулируйте уровни запасов и причины отметки
  • Биржевые оповещения
  • Скачиваемые отчеты

Square Inventory Website Capture 2020

Square поддерживает интеграцию инвентаря, если вам нужно что-то более надежное, но вы не хотите обновляться с помощью Square.

В это сложно поверить, но у нас есть еще кое-что, о чем стоит поговорить! Вот еще несколько примечательных вещей, которые вы получаете без дополнительной оплаты со своим счетом обработки кредитной карты Square:

• База данных клиентов: Используйте базу данных клиентов Square, чтобы сохранить имена, контактную информацию, данные карт и многое другое. База данных отслеживает поведение клиентов, включая продажи, посещения новых и постоянных клиентов, а также частоту посещения клиентов. Эти графики отображают активность за указанный период.Вы можете сегментировать гостей по частоте посещений, а затем использовать эти сегментированные группы в своем электронном маркетинге. Учитывая цену, это потрясающая функция: бесплатно.
• Расширенная отчетность: Square предлагает одни из лучших онлайн-отчетов, которые вы можете увидеть у поставщиков услуг с оплатой по мере использования (и даже у многих поставщиков с ежемесячной оплатой). Вы можете создавать отчеты в реальном времени по часам, дням, неделям, месяцам или годам, и все это с помощью онлайн-панели Square Dashboard. Отчеты могут быть посвящены определенным категориям товаров, продажам мобильного персонала, продажам по позициям, продажам по способам оплаты и т. Д.Многие отчеты можно экспортировать в CSV, и все они включены бесплатно. И Square for Retail, и Restaurant включают специализированные расширенные отчеты, предназначенные также для их соответствующих отраслей.
• Multilocation Management: Даже на бесплатном уровне Square позволяет вам управлять всеми вашими местоположениями из одной учетной записи, включая настройку меню и запасов, цен и того, какие сотрудники в каких местах работают.
• Подарочные карты: С помощью подарочной карты Square продавцы могут заказать карту с готовым дизайном или карту нестандартного дизайна.Плата за выкуп не взимается, карты можно пополнять. Вы также можете отправить подарочные карты онлайн бесплатно, помимо комиссии за обработку кредитной карты. Аналитика позволяет отслеживать, какая часть остатков на подарочных картах еще не израсходована и многое другое.

Пример подарочной карты Square.com Capture

• Отзывы клиентов: Являясь частью инструментов Square для взаимодействия с клиентами, Square Feedback побуждает клиентов оставлять отзывы о своем опыте не в социальных сетях, а непосредственно с вами.Вы даже можете добавлять запросы на обратную связь прямо в свои электронные квитанции. Это позволяет вам управлять своей репутацией, быстро выявлять проблемы и предотвращать появление публичных жалоб в Интернете. Вы также можете бесплатно оформить возврат средств или купоны через Square Feedback.
• Электронный маркетинг: Square предлагает несколько шаблонов электронной почты, которые можно бесплатно использовать для связи с вашими клиентами. Однако если вы перейдете на ежемесячную подписку, вы сможете начать рассылку автоматических кампаний по электронной почте, рассылать купоны и получать неограниченное количество отправлений электронной почты в свою базу данных клиентов.
• Программа лояльности: Программа лояльности Square — это дополнительная услуга, стоимость которой начинается с 45 долларов в месяц и автоматически увеличивается после 501 посещения. Посещение лояльности — это каждый раз, когда вы регистрируете клиента в своей программе или когда клиент использует балл лояльности при повторном посещении. Программа позволяет вам заменять перфокарты для бумаги цифровыми перфокартами лояльности, которые позволяют вашим клиентам накапливать очки, когда они делают покупки вместе с вами. Есть несколько способов настроить его, и вы также можете отслеживать данные о продажах и посещениях.
• Управление командой: Square переработала свою функцию управления сотрудниками, переименовав ее в «Управление командой» и изменив структуру ценообразования, предлагая многие функции совершенно бесплатно. Бесплатное приложение Square Team можно использовать для входа и выхода прямо на телефонах ваших сотрудников. Оплачиваемые и неоплачиваемые перерывы отслеживаются, а сверхурочные рассчитываются за вас. Team Plus имеет ежемесячную плату в размере 35 долларов США в месяц и включает в себя несколько ставок заработной платы, предотвращение раннего перерыва в работе и многие другие функции отчетности.
• Заработная плата: Square’s Payroll позволяет управлять отгрузкой сотрудников, отпусками по болезни и другими льготами, а также налоговой отчетностью. Если вы работаете с какими-либо подрядчиками, вы также можете оплатить их через платформу Square. Эта дополнительная услуга имеет ежемесячную плату в размере 29 долларов США в месяц плюс 5 долларов США в месяц на каждого оплачиваемого человека.

• Square Capital: Вам нужен небольшой дополнительный денежный поток для вашего бизнеса? Square Capital предоставит бизнес-кредиты на следующий рабочий день.Вы производите платежи, удерживая фиксированный процент от того, что вы обрабатываете. (Пока вы на этом, ознакомьтесь с нашими другими ресурсами, Лучшие альтернативы коммерческим денежным авансам и Как получить хорошую сделку по ссуде наличными. )
• Аренда для мероприятий: Вы можете арендовать оборудование, включая iPad, кассовые боксы, принтеры чеков и оборудование Square, у предпочтительного партнера Square, Fello (ранее называвшегося Flying Connected). Цены вполне приемлемые, и компания предлагает скидки как для ранней пташки, так и для некоммерческих организаций.

Квадратная фурнитура

Square.com Захват POS-оборудования

Мы собираемся вкратце взглянуть на оборудование Square, но для более подробного объяснения, включая варианты комплектов POS-терминалов, ознакомьтесь с Полное руководство по выбору считывателей кредитных карт Square POS и комплектов для кассовых аппаратов .

• Базовый считыватель карт с магнитной полосой: Первый считыватель, 0 долларов США; последующие ридеры, 10 долларов (сейчас Square предлагает как разъем для наушников 3,5 мм, так и варианты Lightning)
• Квадратный бесконтактный считыватель чипов: 49 долларов США; вы также получите бесплатный базовый считыватель магнитной полосы, и доступно финансирование (ознакомьтесь с полным обзором Square Contactless & Chip Reader)
• Квадратная подставка с бесконтактным считывателем чипов: $ 199

Кроме того, Square теперь предлагает два универсальных POS-устройства со встроенными считывателями карт: Square Register и Square Terminal.

Квадратный регистр

Square Register — это высококачественное аппаратное решение компании. Square Register — это настраиваемая часть оборудования Android, предназначенная для работы Square Point of Sale. Square Register также может запускать Square for Retail и только бесплатную версию Square for Restaurants.

Установка Register имеет 13-дюймовый экран с 7-дюймовым дисплеем, обращенным к покупателю. Он интегрирует платежное оборудование в дисплей пользователя и поддерживает платежи с магнитной полосой, EMV и NFC.Однако все оборудование (принтер чеков, денежный ящик и т. Д.) Необходимо приобретать отдельно. Вы можете получить Реестр самостоятельно за 799 долларов. Вы также можете купить Square Register Kit с денежным ящиком USB, USB-принтером чеков и тайником чековой бумаги за 1329 долларов. Финансирование доступно на разумных условиях, поэтому вы можете распределить его на ежемесячные платежи.

Оправдывают ли затраты то, что вы получаете, зависит от точки зрения. Для более детального просмотра ознакомьтесь с полным обзором Square Register.

Квадратный терминал

Терминал

Square — идеальный компромисс, если вы думаете, что Square Register может быть слишком много для ваших нужд. Этот небольшой терминал для кредитных карт имеет экран размером с смартфон и работает в Square Point of Sale. Он также имеет встроенные устройства чтения карт для магнитной полосы, чип-карты и бесконтактных транзакций, а также встроенный принтер чеков. Аккумулятор предназначен для использования в течение всего дня, поэтому вы, безусловно, можете использовать его в беспроводном режиме — или вы можете оставить его подключенным и заряжать на столешнице.

Square Terminal стоит 299 долларов, но вы можете оплатить покупку за 27 долларов в месяц в течение 12 месяцев. Обработка транзакций составляет 2,6% + 0,10 доллара США, что означает, что цены более конкурентоспособны для продавцов с крупными билетами, чем для мелких. Тем не менее, Square Terminal имеет некоторую совместимость с POS-терминалом в ресторанах, поэтому вы можете использовать Terminal для приема платежей за столом и улучшения процесса заказа без необходимости добавлять дополнительные устройства в свою подписку.

Ознакомьтесь с нашим обзором Square Terminal для получения дополнительной информации.

Square довольно дружелюбно относится к принципу «принеси свое собственное устройство», если устройство, которое вы приносите, совместимо с его оборудованием. При желании вы можете купить iPad и другое POS-оборудование напрямую у Square, что обеспечит совместимость. Хотя Square действительно продает некоторые из своих ридеров в магазинах, вам будет лучше, если вы купите свой картридер напрямую у Square.

Подробнее о финансировании квадратного оборудования

Square реализовала вариант финансирования для оборудования стоимостью более 49 долларов, включая все, от считывателей карт до кассовых ящиков и принтеров чеков.Сроки варьируются в зависимости от общей профинансированной суммы, но вы можете выбрать период окупаемости, чтобы лучше управлять своим денежным потоком. Финансирование зависит от вашей проверки кредитоспособности и доступно не во всех штатах (пока), но если это вариант для вас, я советую вам поискать. Наценки Square довольно разумны, и, поскольку вы покупаете, а не сдаете в аренду, вы будете владеть оборудованием, когда оно окупится.

Тарифы и сборы

Цена

Square проста. Со всеми новыми продуктами и услугами, которые Square запустила в последнее время, все стало немного сложнее.Даже в этом случае вы найдете фиксированную, предсказуемую и постоянную ставку. Независимо от того, обрабатываете ли вы карты Mastercard, Visa, Discover, American Express, JCB или UnionPay, вы не будете платить никаких дополнительных комиссий.

Плюсы

• Без дополнительных комиссий за American Express
• Прогнозируемая цена
• История бизнеса не требуется для открытия счета

Минусы

• Сильнее всего цены упали на низкие средние продажи
• Нет плана микроплатежей

Базовые ставки и сборы за обработку

Вот разбивка того, сколько вы будете платить в зависимости от того, какое Square Equipment вы используете.

• Square Point of Sale (с любым мобильным устройством для чтения карт): 2,6% + 0,10 доллара США за операцию считывания, погружения или прослушивания
• Квадратный регистр: 2,6% + 0,10 доллара США за проведенную, окунуться или прослушать транзакцию
• Square Terminal: 2,6% + 0,10 долл. США за проведенную, погруженную или прослушанную транзакцию
• Square For Retail POS: Бесплатный план стоит 2,6% + 0,10 доллара США, а план Plus стоит 2,5% + 0,10 доллара США за проведенную, пропущенную или нажатую транзакцию
• Квадрат для ресторанов POS: 2.6% + 0,10 доллара США за транзакцию
.
• Квадратные встречи (индивидуальный пользователь): 2,6% + 0,10 доллара США за проведенную, окунутую или прочитанную транзакцию
• Квадратные назначения (для команд): 2,5% + 0,10 доллара США за проведенную, окунутую или обнаруженную транзакцию
• Транзакции по вводу и карте в файле: 3,5% + 0,15 доллара США
• Транзакции и счета электронной коммерции: 2,9% + 0,30 доллара США
• Square Онлайн-касса: 2.9% + 0,30 долл. США
• Прочие комиссии: Без дополнительных комиссий. Комиссия за возврат платежа отсутствует. Square даже предлагает программу защиты от возвратных платежей, которая покроет расходы на соответствующие возвратные платежи до 250 долларов в месяц, даже если вы не выиграете иск.

Вы канадский торговец? Square поддерживает дебетовую карту Interac Flash по цене 0,10 доллара США за транзакцию, и кредитные транзакции по цене 2,65% за проводку, падение или касание . За исключением некоторых незначительных различий в ценах, еще могут быть доступны не все предложения Square — например, Register или обновленные POS-приложения.

Пределы обработки

Согласно сайту Square, продавцы начинают с лимитом на транзакцию в 50 000 долларов, хотя Square предлагает разделить платежи на рассрочку, если цена покупки превышает 50 тысяч долларов. Хотя это заявленный предел, в действительности многие продавцы сталкиваются с проблемами при гораздо более низком пороге. В некоторых жалобах BBB, которые мы читали, Square рекомендовала удерживать транзакции на уровне менее 3000 долларов. Однако мы читали о транзакциях с трехзначным числом, которые привели к приостановке или прекращению действия.

Знание того, какая сумма вызовет приостановку / прекращение действия, является одной из проблем при использовании Square. Большинство продавцов не знают, когда они перейдут невидимую черту и вызовут блокировку аккаунта или расследование со стороны Square. Месяц с большей загруженностью или билет со значительно большей, чем в среднем, билет — это хороший способ привлечь нежелательное внимание отдела рисков Square, который может запросить у вас дополнительную информацию для проверки. Это особенно верно, если вы новый продавец.Команда поддержки Square подтвердила, что такое поведение может привести к запросу на проверку на форуме сообщества продавцов Square, поэтому приятно видеть официальное подтверждение того, что мы знаем в течение некоторого времени.

Ежемесячные услуги

• Square For Retail: Доступен бесплатный план; Square для Retail Plus стоит 60 долларов в месяц за каждое местоположение
• Площадь для ресторанов: Доступен бесплатный тариф; План Plus доступен за 60 долларов США в месяц за каждое место (дополнительное устройство POS — 40 долларов США в месяц)
• Square Назначения: Бесплатно для физических лиц, 50 долларов в месяц для двух-пяти сотрудников, 90 долларов в месяц для шести-десяти сотрудников
• Управление командой: Бесплатно для базового плана, 35 долларов США в месяц для каждого местоположения для Team Plus
• Заработная плата: 29 долларов в месяц + 5 долларов в месяц за одного сотрудника или подрядчика

• Лояльность: 45 $ / мес за ноль до 500 посещений; 75 долларов в месяц за 501-1500 посещений; 105 $ / мес за 1 501-10 000 посещений
• Электронный маркетинг: 15 долларов США в месяц от нуля до 500 контактов; 25 долларов в месяц за 501-1000 контактов; $ 35 / месяц за 1 001–2 000 контактов
• Подарочные карты: Стоимость подарочных карт зависит от суммы покупки.Пакеты по 20 штук стоят 2 доллара за карту. Quick Card, приобретаемая партиями от 75 и более, стоит 1,20 доллара за карту, при этом цены снижаются по мере того, как вы заказываете больше. Индивидуально разработанные карты из 75 или более стоят 1,75 доллара за карту, причем цены снижаются по мере того, как вы заказываете больше.

Оценка такой компании, как Square, является сложной задачей, потому что она больше, чем многие другие, стирает границы между платежами и программным обеспечением. Конечно, многие поставщики программного обеспечения (включая Shopify и Toast) имеют встроенную обработку платежей. Но, вообще говоря, это просто платежи с белой этикеткой от таких компаний, как Stripe или WePay, и они не открывают свою платежную платформу для других компаний, которые хотят использовать ее.

Многие процессоры предлагают интеграцию программного обеспечения по умолчанию для POS-систем, но очень немногие из них построили этих программных опций сами по себе, и еще меньше построили такие сложные, мощные и цельные системы. Square уникальна своей продукцией и подходом к оплате. Это само по себе делает Square достойным внимания.

Сравнение ставок обработки кредитных карт Square

Единственный способ снизить скорость обработки и получить сопоставимый набор функций — это открыть торговый счет и выбрать совместимую POS-систему или систему электронной коммерции.Некоторые мобильные процессоры предлагают более низкие скорости, но их приложения даже близко не такие надежные, как у Square, и вы не получаете никаких дополнительных функций, которые Square встроила в свою экосистему. Система, которая будет работать бесперебойно, гарантированно, с минимальными усилиями по настройке или обслуживанию, безусловно, привлекает внимание.

Однако, когда вы начнете обрабатывать большие объемы или большие транзакции, торговый счет, вероятно, станет более стабильным. В зависимости от вашего процессора вы можете получить специального представителя по работе с аккаунтом, который ответит на вопросы и решит проблемы.Но для нового продавца или небольшого бизнеса трудно спорить с чистой ценностью, которую представляет Square. И мы хотим отметить, что даже крупный бизнес находит ценность в том, чтобы оставаться с Square.

Посетите площадь

Срок действия контракта и комиссия за досрочное расторжение

С Square не взимается плата за досрочное расторжение или фиксированный контракт, что справедливо почти для всех сторонних процессоров. Каждая дополнительная услуга ежемесячно, и для каждой есть 30-дневная бесплатная пробная версия, что означает отсутствие риска.Имейте в виду, что вы должны подождать полные 30 дней пробного периода, прежде чем отменять или продлевать подписку.

Если у вас есть профинансированное оборудование, эти условия будут применяться независимо от того, используете ли вы Square для обработки платежей. Но, как правило, Square предлагает 30-дневный пробный период для своего оборудования, в течение которого вы можете вернуть оборудование без штрафных санкций, если оно вам не нравится.

Такой пробный период и договорная политика — вот что нам нравится в Merchant Maverick. Мы желаем, чтобы больше компаний в платежной индустрии последовали нашему примеру.

Прозрачность продаж и рекламы

Square очень хорошо справляется с прозрачностью. Все, что компания говорит в своей рекламе и маркетинге, подтверждается. Нет никаких дурацких уловок продаж или обещаний непревзойденных цен, бесплатных обзоров тарифов и т. Д. «Бесплатный» базовый считыватель магнитных полос на самом деле бесплатный, и вы можете легко найти цену для каждого аспекта услуг Square на соответствующей веб-странице.

Компания может предоставить дополнительную информацию о блокировках счетов (почему они случаются и как их избежать).Это самая большая жалоба со стороны продавцов, использующих Square, и, конечно же, компания об этом знает. На сайте действительно нет ничего о лимитах транзакций или идеальном размере билета. (Если вы хотите получить наш ответ, я рекомендую ознакомиться с нашей статьей о том, как избежать блокировки, замораживания и прекращения действия торговых счетов.)

Однако, помимо этой проблемы, я не мог требовать большего от Square. Все сборы, ставки и важная информация появляются в его коммерческой копии, а все остальное, что вы когда-либо захотите узнать об обработке с помощью Square, подробно описано в обширном Справочном центре.

Я обычно считаю, что провайдеры торговых счетов борются с маркетингом в 21 веке. Многие из них работают так, как будто это все еще 1995 год. Некоторые немного лучше — они работают, как в 2005 году. Но это все еще более чем на полтора десятка лет отстает от времени. Я полностью ожидаю, что компании, обслуживающие малый бизнес, будут знать, как продавать товары малому бизнесу. Это означает размещение информации в Интернете, предоставление полезного контента и знание того, как использовать социальные сети для взаимодействия с этими компаниями.

Square действительно твердо справляется со всеми этими проблемами. Его база знаний невероятна, и вам даже не нужен аккаунт, чтобы просматривать ее. Это замечательно, если вы хотите сравнить, как работают определенные функции, прежде чем открывать учетную запись. Блог (под названием Townsquare) полон контента, ориентированного на торговцев и компании всех типов, что отражает разнообразную клиентскую базу Square.

Существует множество статей, объясняющих, как использовать инструменты Square для улучшения вашего бизнеса, а также статей о том, как изменения в правилах и законах штата влияют на продавцов, как повысить продажи и более эффективно использовать маркетинговую тактику, а также понять психологию потребителей.И это лишь некоторые из тем, с которых можно начать.

По крайней мере, похоже, что компания рассматривает жалобы службы поддержки во всех своих социальных сетях, а не только в своем канале поддержки Twitter. Если вам нужна помощь, вы можете написать прямо на странице Facebook. Все каналы компании в социальных сетях активны, с хорошим сочетанием важных новостей и полезных сообщений в блогах. Такой контент абсолютно необходим, и мне нравится, что Square обращается к широкому кругу торговцев и их потребностям.Я знаю много художников, которые полагаются на сервис, и довольно много местных ресторанов и продавцов на фермерских рынках. Но многие, многие другие делают это, и у всех из них есть уникальные потребности и предпочтения.

Может показаться, что я придираюсь к мелочам, но компания, которая не знает, как привлечь малые предприятия для продажи своих услуг, не имеет бизнеса, предоставляющего свои услуги тем же предприятиям. Я в восторге от того, насколько открыта, прозрачна и полезна Square с точки зрения маркетинга.

Простота использования

Square проста в использовании, независимо от того, на какие функции вы полагаетесь.Мне нравится этот аспект этой услуги, и я уверен, что он привлекает продавцов. Даже освоение более сложных функций не займет у вас много времени. Честно говоря, не имеет значения, если вы не уверены, что делаете; Square предлагает лотов ресурсов, которые расскажут, как работать с каждой из функций Square. И если вы, как и я, более склонны бросаться с головой в дела, не удосужившись искать учебное пособие … что ж, у вас тоже все будет хорошо.

Если вы когда-либо использовали какое-либо приложение mPOS или POS, вы довольно быстро поймете основы Square POS.Если вы правильно настроили при запуске, у вас не должно возникнуть никаких проблем. Однако ваш пробег может отличаться как от Square for Restaurants, так и от Retail, потому что у них совершенно разные интерфейсы и они специализируются на определенных нишах.

Панель управления — объединяющий элемент системы Square, она очень интуитивно понятна и проста в использовании. Создавать продукты, категории, скидки, модификаторы продуктов и налоговые скобки очень просто, даже если вы действительно не знаете, что делаете.Вы также можете управлять услугами ежемесячной подписки, системами POS и отчетами из панели управления. Это абсолютно центральный узел и самый мощный инструмент управления. (Тем не менее, приложения POS могут обрабатывать некоторые функции управления внутренним офисом .)

Требования к аппаратному и программному обеспечению

Если вы используете магнитную полосу или Square Contactless and Chip Card Reader с Apple iOS, знайте, что большинство устройств iOS с последней версией iOS совместимы. Square заявляет, что на устройстве Android не может гарантировать поддержку, но работает над максимально возможным числом пользователей.Устройство Android должно работать под управлением Android 5 или выше.

Также стоит отметить, что Square Register работает под управлением пользовательской установки Android. Несмотря на это, вы не можете установить в системе какие-либо другие приложения или программное обеспечение. Square Terminal API совместим с любой программной платформой или операционной системой.

Чтобы вам было еще проще узнать, будет ли ваше устройство работать с Square, мы предлагаем использовать инструмент совместимости Square для получения самой последней информации.

Обратите внимание: Вы не обязаны по закону принимать EMV в любом виде или форме.Но вы несете ответственность за любые транзакции, обработанные с использованием мошеннической кредитной карты, которая может легко превышать стоимость одного из считывателей карт EMV Square. Если вы еще не принимаете EMV, самое время выполнить обновление как можно скорее. Квадрат делает его очень простым, и это говорит в его пользу. В настоящее время он не наказывает продавцов и не устанавливает ограничений для тех, кто использует считыватель магнитной полосы, но другие процессинговые компании начали взимать плату за несоблюдение требований EMV, и даже PayPal наложил ограничения на продавцов, которые обрабатывают без считывателя карт с чипом.

Интеграции и надстройки

Square App Store Скриншот

На панели инструментов вы можете получить доступ к магазину приложений Square с очень полезным списком совместимых приложений, с которыми вы можете синхронизироваться. У вас есть доступ к 183 приложениям во многих категориях, в том числе:

• Бухгалтерский учет (20)
• Бронирование (15)
• Доставка (25)
• Электронная торговля (24)
• полевая служба (5)
• Здравоохранение (6)
• Страхование (1)
• Выставление счетов (17)
• Предметы и инвентарь (9)
• Верность (4)
• Маркетинг и аналитика (11)
• Торговая точка (16)
• Рестораны (9)
• Управление командой (7)
• Продажа билетов (9)

Это замечательно, потому что если вам нужно больше, чем могут предоставить инструменты Square, вы не ограничены только функциями Square.Вы также можете получить от Square еще большую выгоду с помощью этих дополнительных услуг.

Если вы программист или у вас есть сотрудник, вы также можете воспользоваться API Square для создания пользовательских интеграций:

• Платежи API
• Пункт продажи API
• API платежей в приложениях
• API электронной коммерции
• Инвентарный API
• API отчетов
• API сотрудника

Я не уверен, что Square находится на уровне Stripe или Braintree с точки зрения инструментов разработчика, но это серьезный шаг вперед по сравнению с тем, что было всего пару лет назад, и приятно видеть, что Square открыла свою платформу. для большего, чем просто платежи или приложение POS.

Служба поддержки клиентов и техническая поддержка

У вас есть несколько способов связаться с Square, если у вас возникла проблема. В Square теперь есть всплывающее окно обмена сообщениями, в котором вас спрашивают, что вам нужно, и переходят к следующим шагам. Я протестировал его, задавая вопрос о сообщении, и он был быстрым и дал мне четкие инструкции о том, как найти то, что мне нужно. Это отличный инструмент для тех, кому нужны ответы на более простые вопросы. Однако при необходимости вас подберут агента по работе с клиентами.

Вы также можете отправить сообщение на страницу Facebook, использовать Twitter или отправить Square электронное письмо, чтобы связаться с их службой поддержки. Но если вы в затруднительном положении и нуждаетесь в немедленном ответе, вам, вероятно, понадобится поддержка по телефону, которая доступна с понедельника по пятницу с 6:00 до 18:00 по тихоокеанскому времени. Это не лучшие часы, но они должны работать для большинства продавцов.

Square for Restaurants расширили часы поддержки для планов Plus и Premium, чтобы предложить индивидуальные услуги по внедрению и круглосуточную поддержку клиентов.

Square сразу же хвастается, что большинство других отделов поддерживают тесный контакт со службой поддержки, включая руководителей. Существует также полезный сайт www.issquareup.com, на котором вы узнаете, есть ли у каких-либо сервисов Square технические проблемы.

Нельзя сказать, что система Square идеальна. Система поддержки по телефону по-прежнему ограничена только продавцами, которые могут получить код клиента, а затем набрать номер. Люди, чьи учетные записи были закрыты, не могут связаться с Square по телефону, поскольку компания заявляет, что будет общаться только по электронной почте, когда это произойдет.(Судя по всему, что я прочитал, все указывает на то, что вы вообще ничего не услышите от Square, если действие вашей учетной записи будет прекращено.)

Недостатки

Square в обслуживании клиентов по телефону компенсируются его ведущей (и я имею в виду это; я не просто говорю об этом слове) базой знаний по самообслуживанию клиентов. Онлайн-руководство пользователя, вероятно, ответит на подавляющее большинство ваших вопросов относительно системы Square. Он действительно обширен и содержит полезные снимки экрана и пошаговые инструкции по каждой предлагаемой функции.На мой взгляд, руководство Square является золотым стандартом для страниц поддержки торговых услуг.

А если и этого недостаточно, попробуйте Square’s Seller Community. Представители Square и опытные продавцы одинаково взвешивают вопросы, поэтому это хороший способ получить ответ, который нельзя найти в другом месте в Интернете.

Веб-захват сообщества квадратных продавцов

Даже более мощные процессоры с большим количеством ресурсов не могут обеспечить качественную поддержку клиентов. Но мы знаем, что это возможно.И мы должны отдать должное: Square прилагает усилия, чтобы постоянно совершенствоваться. Я слышал из первых рук от продавцов, которые используют Square, что у них есть положительный опыт, поэтому я знаю, что это не все мрак и мрак, и в Интернете есть множество других отзывов на тот же эффект. Кроме того, сообщество продавцов означает, что вы можете получать ответы от других пользователей, а также от сотрудников Square, и это очень активное сообщество.

Основная проблема заключается в том, что продавцы с закрытыми аккаунтами (по понятным причинам) расстроены и хотят получить ответы.Честно говоря, представители службы поддержки не всегда осведомлены о причинах, по которым аккаунт мог быть заблокирован. Однако стоит отметить, что это одна из самых больших жалоб на службу поддержки Square.

Square объявила, что предлагает поддержку своим пользователям в ответ на коронавирус.

Интернет-магазин

Square запустил варианты самовывоза и местной доставки для поддержки малого бизнеса и продолжает совершенствовать эти функции. Посетите Square, чтобы узнать больше о новых функциях, обновлениях продуктов и приостановке подписок.Вы также можете получить полезные советы, которые помогут вашему бизнесу пережить пандемию Covid-19.

Посетите наш центр для малого бизнеса, связанный с коронавирусом, чтобы получить дополнительную поддержку и ресурсы, которые помогут в это непростое время.

Square Отзывы и жалобы клиентов

Учитывая, что Square — такая большая платформа, обслуживающая новый бизнес, даже мы были немного удивлены чрезвычайно положительными отзывами о Square. Вот как продавцы оценивают Square на самых популярных сайтах с отзывами:

• Apple App Store (квадратная точка продаж): 4.8 звезд из 5 с 230,7 тыс. Отзывов
• Capterra: 4.7 из 5 с 1612 отзывами
• G2: 4,5 из 5 с 109 отзывами
• Google Play (Square POS): 4,3 звезды из 5 с 124,9 тыс. Отзывов
• Trustpilot: 4,8 звезды из 5 с 2548 отзывами

Trustpilot Screen Capture Square Обзор 2020

Отрицательные отзывы и жалобы

В Интернете нет недостатка в жалобах на Square, которые довольно легко проверить с помощью поиска в Google.Несмотря на то, что недостатка в жалобах нет, помните, что есть много хорошей прессы — мы вернемся к этому позже.

С учетом сказанного, Square имеет рейтинг A + с BBB, несмотря на жалобы и в подавляющем большинстве отрицательные отзывы. Имейте в виду, что общий объем жалоб может показаться большим, но это не так уж и много по сравнению с торговой базой Square, насчитывающей не менее 2 миллионов пользователей.

Когда вы начнете копаться в жалобах Square на других сайтах в Интернете, вы заметите несколько тенденций.Многие из жалоб одинаковы и для начала просто размещены на разных сайтах жалоб. Есть многочисленные жалобы от клиентов, которые утверждают, что их обманул продавец Square. Например, вы найдете множество обзоров и жалоб Square на приложение Cash. Это не обработка кредитных карт и не только для продавцов. Это тот случай, когда вы просто не можете полагаться на количество жалоб в бизнес-обзорах Square как на показатель качества обслуживания.

Тем не менее, есть общая тема жалоб Square, которые действительно относятся к торговым услугам, и сводятся к одной проблеме:

• Проблемы со стабильностью счетов / Задержки с финансированием : Прекращение действия или приостановление работы составляют основную часть жалоб на Square. Агрессивная тактика предотвращения мошенничества поставила многие малые предприятия в положение, когда они не могут получить доступ к своим доходам, потому что их транзакции подняли общий красный флаг (что может происходить по многим причинам).Отчасти проблема здесь в том, что Square должным образом не раскрывает / не объясняет риски, связанные с сторонней обработкой. Соглашения Square со своими обработчиками (и вероятная политика юридического отдела) ограничивают способность компании объяснять причины прекращения действия аккаунтов. Самое большее, что вы получите на основании жалоб BBB, — это уведомление о том, что платеж нарушает условия обслуживания, или что ваша бизнес-модель не поддерживается или сопряжена с высоким риском.

Судя по жалобам BBB, если ваша учетная запись будет приостановлена, вы сможете восстановить ее, если предоставите необходимую документацию.Однако восстановление происходит не всегда. Некоторые продавцы сталкиваются с задержками, а затем предоставляют информацию, которую Square запрашивает в целях проверки, только для того, чтобы получить уведомление о расторжении. Уведомление о прекращении действия учетной записи является окончательным, и, как правило, Square будет удерживать любые средства на срок до 180 дней (шести месяцев) для покрытия любых возвратных платежей, прежде чем передать средства вам. Я слышал о некоторых случаях, когда Square позволяла вам возвращать деньги покупателям и вместо этого принимать альтернативную (не Square) форму оплаты, но не все продавцы могут это сделать (например, розничные продавцы).

Я не собираюсь говорить, что Square — самая любезная компания в отношении жалоб BBB, но есть определенное улучшение. Я видел компании, которые были гораздо более упрямыми и гораздо менее извиняющимися (некоторые граничали с газлайтингом). Если действие вашего аккаунта еще не было прекращено, есть надежда.

Другие заслуживающие внимания отзывы покупателей Square включают:

• Отсутствие расширенных функций: Это в основном исходит от продавцов, которые хотят видеть функции Square наравне с другими основными POS-системами, такими как более продвинутая отчетность или кредит в магазине.Возможно, мы начнем видеть некоторые из них в новых POS-системах iPad, но я не знаю, стоит ли ожидать, что бесплатные приложения Square будут на одном уровне с платными POS-приложениями. Однако после нескольких недавних обновлений системы Square — бесплатного отслеживания времени, поддержки частичных объемов и т. Д. — похоже, что Square поднимает свои продукты на новый уровень.
• Сборы: Я видел, как несколько продавцов выражали желание, чтобы стоимость обработки и ежемесячные сборы Square были ниже. (Честно говоря, я думаю, что это общее мнение среди купцов.) И я полагаю, этого и следовало ожидать. Square действительно предлагает оптовые скидки, но только для предприятий, обрабатывающих более 250 000 долларов в год, со средним размером билета, превышающим 15 долларов. Если вы пытаетесь выяснить, является ли Square хорошей ценой, оцените все бесплатные функции, которые вы получаете, и сравните затраты Square с альтернативным поставщиком, если вам пришлось бы использовать стороннюю интеграцию. Понятно, что продавцы мелких билетов, в частности, недовольны изменением цен Square с 2,75% до 2,6% + 0 долларов.10, потому что они больше всего страдают от этого.

Я рекомендую вам ознакомиться с нашей статьей о предвзятости негативности, чтобы понять наш процесс проверки и почему мы оценили Square именно так.

Положительные обзоры и Свидетельства

Большинство людей счастливы и отражают это в обзорах Square. Вот что они говорят:

• Особенности / Дизайн: Square имеет, несомненно, самый разнообразный и продвинутый набор функций среди всех основных мобильных процессинговых служб без ежемесячной платы.Платежный сервис также интегрируется с основными полноценными POS-системами и платформами электронной коммерции. Вот почему люди выбирают Square: трудно превзойти цену на все, что вы получаете. Кроме того, список функций и интеграций постоянно растет. См. Раздел Features выше, чтобы получить полный список всех интересных вещей, которые вы можете делать с Square, но две функции, которые часто появляются в обзорах торговых услуг Square, — это автономный режим и управление запасами.
• Недорого: Я знаю, что только что сказал, что некоторые продавцы хотят, чтобы сборы были ниже. Это правда, особенно после изменения цен найти рассерженных торговцев несложно. Но цены Square абсолютно конкурентоспособны, особенно для продавцов с небольшими объемами. Более того, считыватели EMV Square являются одними из самых недорогих доступных вариантов, и вы не платите ничего лишнего за полноценный виртуальный терминал, регулярное выставление счетов или базу данных клиентов и совместимое с PCI хранилище карт для хранения номеров карт.
• Легкость открытия счетов: Легкость открытия счета — это палка о двух концах. С одной стороны, это означает, что Square должна быть осторожна, когда эти счета открыты, и это приводит к проблеме увольнения торговцев. С другой стороны, возможность открыть счет и обрабатывать транзакции в течение нескольких минут является огромным преимуществом для многих предприятий. Если у вас нет установленной истории обработки, может быть сложно настроить учетную запись продавца, в то время как Square решает многие проблемы, если вы только начинаете обрабатывать кредитные карты.

Вы также найдете больше положительных отзывов об обработке кредитных карт Square. Мне нравится, что есть сочетание коротких отзывов (с прикрепленными названиями продавцов и компаний), а также подробное освещение в прессе.

Окончательный приговор

Так выгодно ли обрабатывать кредитные карты Square? Давайте предположим, что Square сделала то, что раньше не удавалось никому в индустрии обработки кредитных карт, а именно сделала платежи доступными практически для всех, кто хочет начать свой бизнес.Независимо от того, занимаетесь ли вы продажами для побочной суеты или хотите найти решения для повышения эффективности в своем процветающем магазине, Square может стать отличным инструментом. Даже средний и крупный бизнес может извлечь выгоду из всего, что предлагает Square. Что касается стоимости, Square сложно превзойти. Цены Square на обработку карт конкурентоспособны для процессоров с оплатой по мере использования, и иногда они могут превзойти или, по крайней мере, окупиться с планами Interchange-Plus.

Благодаря таким функциям, как управление запасами, бесплатный и полнофункциональный виртуальный терминал, расширенная отчетность, автономная обработка, регулярное выставление счетов, маркетинг, онлайн-продажи и многое другое, Square имеет больше функций, чем я видел из любого другого без ежемесячной платы. провайдер.Все бесплатные программы позволяют продавцам экономить деньги, особенно с их набором омниканальных инструментов, которые продолжают совершенствоваться.

Square получил свою 5-звездочную оценку за неизменно высокие оценки в каждой из рассмотренных нами категорий. Я также очень рад увидеть, где Square может пойти дальше. Потому что одно можно сказать наверняка: он не стоит на месте!

Вы открывали счет в Square? Пожалуйста, оставьте нам комментарий с вашим опытом! Хорошо это или плохо, но ваш отзыв нам очень помогает.

.

в квадрате — определение, интерпретация и как вычислить

Что такое R-квадрат?

R-квадрат (R² или коэффициент детерминации) — это статистическая мера в регрессионной модели, которая определяет долю дисперсии в зависимой переменной, которая может быть объяснена независимой переменной Независимая переменная Независимая переменная является входом, предположением или драйвером который изменяется, чтобы оценить его влияние на зависимую переменную (результат).. Другими словами, r-квадрат показывает, насколько хорошо данные соответствуют модели регрессии (степень согласия).

Рисунок 1. Выходные данные регрессии в MS Excel

R-квадрат может принимать любые значения от 0 до 1. Хотя статистическая мера дает некоторые полезные сведения о модели регрессии, пользователю не следует полагаться только на мера при оценке статистической модели. Рисунок не раскрывает информацию о причинно-следственной связи между независимой и зависимой переменными Зависимая переменная Зависимая переменная — это переменная, значение которой будет изменяться в зависимости от значения другой переменной, называемой независимой переменной.В.

Кроме того, это не указывает на правильность регрессионной модели. Следовательно, пользователь всегда должен делать выводы о модели, анализируя r-квадрат вместе с другими переменными в статистической модели.

Интерпретация R-квадрат

Наиболее распространенная интерпретация r-квадрата — насколько хорошо регрессионная модель соответствует наблюдаемым данным. Например, r-квадрат 60% показывает, что 60% данных соответствуют регрессионной модели. Как правило, более высокий r-квадрат указывает на лучшее соответствие модели.

Однако не всегда высокий r-квадрат подходит для регрессионной модели. Качество статистической меры зависит от многих факторов, таких как природа переменных, используемых в модели, единицы измерения переменных и применяемое преобразование данных. Таким образом, иногда высокий r-квадрат может указывать на проблемы с регрессионной моделью.

Низкое значение r-квадрата обычно является плохим признаком для прогнозных моделей. Однако в некоторых случаях хорошая модель может иметь небольшую ценность.

Не существует универсального правила, как включить статистический показатель в оценку модели. Контекст эксперимента или прогноза Методы прогнозирования Лучшие методы прогнозирования. В этой статье мы объясним четыре типа методов прогнозирования доходов, которые финансовые аналитики используют для прогнозирования будущих доходов. чрезвычайно важен, и в разных сценариях выводы по метрике могут отличаться.

Как рассчитать R-квадрат

Формула для вычисления R-квадрата:

Где:

• SS _{регрессия} — это сумма квадратов из-за регрессии (объяснено сумма квадратов)
• SS _всего — это общая сумма квадратов

Хотя названия «сумма квадратов из-за регрессии» и «общая сумма квадратов» могут показаться сбивающими с толку, значения переменных просты.

Сумма квадратов, полученных в результате регрессии, показывает, насколько хорошо регрессионная модель представляет данные, которые использовались для моделирования. Общая сумма квадратов измеряет вариацию наблюдаемых данных (данные, используемые при регрессионном моделировании).

Ссылки по теме

CFI является официальным поставщиком сертификации FMVA® по финансовому моделированию и оценке (FMVA) ™. Присоединяйтесь к более 850 000 студентов, которые работают в таких компаниях, как Amazon, JP Morgan и Программа сертификации Ferrari. финансовый аналитик мирового уровня.

Чтобы продолжить изучение и развитие своих знаний в области финансового анализа, мы настоятельно рекомендуем дополнительные ресурсы CFI ниже:

• Основные концепции статистики для финансов Основные концепции статистики для финансов Твердое понимание статистики имеет решающее значение для того, чтобы помочь нам лучше понять финансы. Более того, концепции статистики могут помочь инвесторам контролировать
• Шаблоны финансового моделирования
• Регрессионный анализ Регрессионный анализ Регрессионный анализ — это набор статистических методов, используемых для оценки отношений между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными.Его можно использовать для оценки силы взаимосвязи между переменными и для моделирования будущей взаимосвязи между ними.
• Типы финансового анализа Типы финансового анализа Финансовый анализ предполагает использование финансовых данных для оценки деятельности компании и выработки рекомендаций о том, как ее можно улучшить в будущем. Финансовые аналитики в основном выполняют свою работу в Excel, используя электронные таблицы для анализа исторических данных и составления прогнозов Типы финансового анализа

GS Financial Square Treasury Instruments Fund

Коэффициенты расходов Фонда, как текущие (за вычетом любых отказов от комиссий или ограничений по расходам), так и до отказа (за вычетом любых отказов от комиссий или ограничений по расходам), указаны ниже.В соответствии с договорным соглашением, отказ Фонда и / или ограничения на расходы будут оставаться в силе по крайней мере до дат, указанных ниже, и до этой даты Консультант по инвестициям не может расторгнуть договоренности без одобрения Попечительского совета Фонда.

• 30 апреля 2020 г .: Отслеживание абсолютной доходности, Альтернативная премия, Портфель сбалансированной стратегии, Стратегия сырьевых товаров, Динамичный глобальный капитал, Глобальная инфраструктура, Глобальные ценные бумаги в сфере недвижимости, Портфель стратегии роста и дохода, Портфель стратегии роста, Дивиденды и премии по международным акциям , Международные ценные бумаги в сфере недвижимости, Международный капитал с налоговым управлением, Управляемая фьючерсная стратегия, Ценные бумаги в сфере недвижимости, Портфель спутниковых стратегий, U.S. Дивиденды и премии по акциям и капитал, управляемый налогами в США

• 29 июля 2020 г .: облигации, основной фиксированный доход, динамический муниципальный доход, долг на развивающихся рынках, повышенный доход, глобальный доход, государственный доход, высококачественная плавающая ставка, высокая доходность, высокодоходная плавающая ставка, высокодоходный муниципальный сектор, инфляция Защищенные ценные бумаги, кредит инвестиционного уровня, долг на местных развивающихся рынках, долгосрочные краткосрочные кредитные стратегии, краткосрочные государственные займы, краткосрочный доход, краткосрочный безналоговый доход, краткосрочный консервативный доход, стратегический доход и U.S. Mortgages

• 31 октября 2020 г .: Small Cap Growth

• 3 декабря 2020 г .: Доход

• 27 декабря 2020 г .: Голубая фишка, рост капитала, концентрированный рост, глобальный портфель акций с расширенными дивидендами, доход от капитала, гибкая капитализация, целевая ценность, глобальное управляемое бета-тестирование, возможности роста, стоимость большой капитализации, стоимость малой капитализации, малый / Средний рост капитализации, значение малой / средней капитализации, распределение стратегических факторов, стратегический рост, наложение тактического наклона, целевая дата выхода на пенсию, целевая дата 2025, целевая дата 2030, целевая дата 2035, целевая дата 2040, целевая дата 2045, целевая дата 2050, целевая Дата 2055 г., Целевая дата 2060 г., Глобальный портфель акций с налоговыми преимуществами и технологические возможности

• 28 февраля 2021 г .: China Equity, Emerging Markets Equity, Emerging Markets Equity Insights, ESG Emerging Markets Equity, GQG Partners International Opportunities, Imprint Emerging Markets Opportunities, Income Builder, International Equity ESG, International Equity Income, International Equity Insights , Международная статистика по малой капитализации, Анализ роста с большой капитализацией, Анализ стоимости с большой капитализацией, Альтернативы с несколькими менеджерами, глобальный капитал с несколькими менеджерами, неосновной фиксированный доход с несколькими менеджерами, стратегия с несколькими менеджерами в отношении реальных активов, растущий рост дивидендов, капитал с малой капитализацией Аналитические данные, аналитика роста малой капитализации, аналитика ценности малой капитализации и U.