Простейшие тригонометрические формулы: Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
\(\blacktriangleright\) Стандартные (простейшие) тригонометричекие уравнения — это уравнения вида
\(\sin x=a,\quad \cos x=a,\quad
\mathrm{tg}\,x=b,\quad
\mathrm{ctg}\,x=b\), которые имеют смысл при \(-1\leq a\leq 1,\quad b\in \mathbb{R}\).
Для решения данных уравнения удобно пользоваться единичной окружностью (радиус равен \(1\)).
\[{\color{red}{\text{Решение простейших тригонометрических уравнений}}}\]
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1. Решить уравнение \(\sin x=\dfrac12\).
Найдем на оси синусов точку \(\dfrac12\) и проведем прямую параллельно оси \(Ox\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен \(\dfrac12\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(\dfrac{5\pi}6\).
Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{\pi}6+2\pi n,\
x_2=\dfrac{5\pi}6+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).
Пример 2. Решить уравнение \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\).
Найдем на оси косинусов точку \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\) и проведем прямую параллельно оси \(Oy\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, косинус которых равен \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{3\pi}4\) и \(-\dfrac{3\pi}4\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число.
Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{3\pi}4+2\pi n,\
x_2=-\dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).
Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}3\).
Найдем на оси тангенсов точку \(\dfrac{\sqrt3}3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, тангенс которых равен \(\dfrac{\sqrt3}3\).Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi n\).
Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).
Пример 4. Решить уравнение \(\mathrm{ctg}\,x=\sqrt3\).
Найдем на оси котангенсов точку \(\sqrt3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью.
Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).
\(\blacktriangleright\) Решения для любого стандартного тригонометрического уравнения выглядят следующим образом: \[\begin{array}{l|c|c}
\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\
\hline &&\\
\sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x=\arcsin a+2\pi n\\
&x=\pi -\arcsin a+2\pi n
\end{aligned}
\end{gathered}
\right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{tg}\, x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, b+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{ctg}\,x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, b+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline
\end{array}\] Иногда для более короткой записи решение для \(\sin x=a\) записывают как \(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\).
\(\blacktriangleright\) Любые уравнения вида \(\mathrm{G}\,\big(f(x)\big)=a\), (где \(\mathrm{G}\) — одна из функций \(\sin, \ \cos, \ \mathrm{tg},\ \mathrm{ctg}\), а аргумент \(f(x)\) — некоторая функция) сводятся к стандартным уравнениям путем замены \(t=f(x)\).
Пример 5. Решить уравнение \(\sin{(\pi x+\dfrac{\pi}3)}=1\).
Сделав замену \(t=\pi x+\dfrac{\pi}3\), мы сведем уравнение к виду \(\sin t=1\). Решением данного уравнения являются \(t=\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Теперь сделаем обратную замену и получим: \(\pi
x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}2+2\pi n\), откуда \(x=\dfrac16+2n,\
n\in\mathbb{Z}\).
\[{\color{red}{\text{Объединение корней}}}\]
Если \(n\) точек, являющихся решением уравнения или системы, разбивают окружность на \(n\) равных частей, то их можно объединить в одну формулу: \(x=\alpha+\dfrac{2\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\), где \(\alpha\) — один из этих углов.
Рассмотрим данную ситуацию на примере:
Пример 6. Допустим, решением системы являются \(x_1=\pm \dfrac{\pi}4+2\pi n, \ x_2=\pm \dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:
Заметим, что длины дуг \(\buildrel\smile\over{AB},
\buildrel\smile\over{BC}, \buildrel\smile\over{CD},
\buildrel\smile\over{DA}\) равны \(\dfrac{\pi}2\), то есть эти точки разбили окружность на \(4\) равных части. Таким образом, ответ можно записать в виде одной формулы: \(x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n, \
n\in\mathbb{Z}\).
\[{\color{red}{\text{Геометрическая интерпретация решений неравенств вида }\mathrm{G}\,(x) \lor a,}}\]
где \(\lor\) — один из знаков \(\leq,\ <,\ >,\ \geq\).
Пример 7. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\sin x >\dfrac12\).
Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\sin x =\dfrac12\).
Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, синус которых больше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).
Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}6\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}6\), но ближайший к нему, и чтобы синус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}6\). Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}6;\dfrac{5\pi}6\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{5\pi}6+2\pi
n\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у синуса период \(2\pi\).
Пример 8. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\cos x <\dfrac12\).
Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\cos x =\dfrac12\).
Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, косинус которых меньше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).
Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}3\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}3\), но ближайший к нему, и чтобы косинус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}3\). Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}3;\dfrac{5\pi}3\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(-\dfrac{5\pi}3+2\pi n;-\dfrac{\pi}3+2\pi
n\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у косинуса период \(2\pi\).
Пример 9. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm{tg}\, x \geq \dfrac{\sqrt{3}}3\).
Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm{tg}\, x =
\dfrac{\sqrt{3}}3\).
Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, тангенс которых больше или равен \(\dfrac{\sqrt{3}}3\), находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них тангенс не определен.
Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over{AC}\). Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\dfrac{\pi}2\), тогда начало дуги — это угол \(\dfrac{\pi}6\) (угол должен быть меньше \(\dfrac{\pi}2\), но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac{\pi}6;\dfrac{\pi}2\Big)\). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac{\pi}6+\pi
n;\dfrac{\pi}2+\pi n\Big),
n\in\mathbb{Z}\), т.к. у тангенса период \(\pi\).
Пример 10. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm{ctg}\, x \leq \sqrt{3}\).
Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm{ctg}\, x =
\sqrt{3}\).
Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, котангенс которых меньше или равен \(\sqrt{3}\), находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них котангенс не определен.
Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over{AC}\). Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\pi\), тогда начало дуги — это угол \(\dfrac{\pi}6\) (угол должен быть меньше \(\pi\), но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac{\pi}6;\pi\Big)\). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac{\pi}6+\pi
n;\pi+\pi n\Big), n\in\mathbb{Z}\), т.к. период котангенса \(\pi\).
\[{\color{red}{\text{Отбор корней}}}\]
Геометрический способ (по окружности).
Этот способ заключается в том, что мы отмечаем решения всех уравнений (неравенств) на единичной окружности и пересекаем (объединяем) их.
Пример 11. Найти корни уравнения \(\sin x=-\dfrac12\), если \(\cos x\ne \dfrac{\sqrt3}2\).
В данном случае необходимо пересечь решения первого уравнения с решением второго уравнения.
Решением первого уравнения являются \(x_1=-\dfrac{\pi}6+2\pi n,\
x_2=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\), решением второго являются \(x\ne \pm \dfrac{\pi}6+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:
Видим, что из двух точек, удовлетворяющих первому уравнению, одна точка \(x= -\dfrac{\pi}6+2\pi n\) не подходит. Следовательно, ответом будут только \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in \mathbb{Z}\).
Вычислительный способ.
Этот способ заключается в подстановке решений уравнения (системы) в имеющиеся ограничения. Для данного способа будут полезны некоторые частные случаи формул приведения: \[\begin{aligned}
&\sin{(\alpha+\pi n)}=\begin{cases} \sin \alpha, \text{при } n —
\text{ четном}\\ -\sin \alpha, \text{при } n — \text{ нечетном}
\end{cases}\\
&\cos{(\alpha+\pi n)}=\begin{cases} \cos \alpha, \text{при } n —
\text{ четном}\\ -\cos \alpha, \text{при } n — \text {нечетном}
\end{cases}\\
&\mathrm{tg}\,(\alpha+\pi n)=\mathrm{tg}\,\alpha\\
&\mathrm{ctg}\,(\alpha+\pi n)=\mathrm{ctg}\,\alpha\\
&\sin{\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)}=\cos\alpha\\
&\cos{\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)}=-\sin \alpha\\
&\,\mathrm{tg}\,\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)=-\,\mathrm{ctg}\,\alpha\\
&\,\mathrm{ctg}\,\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)=-\,\mathrm{tg}\,\alpha
\end{aligned}\]
Пример 12.
Решить систему \(\begin{cases} \cos x=\dfrac12\\
\sin x+\cos x>0\end{cases}\)
Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ x_2=-\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Подставим в неравенство \(\sin x+\cos x>0\) по очереди оба корня:
\(\sin x_1+\cos x_1=\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12>0\), следовательно, корень \(x_1\) нам подходит;
\(\sin x x_2+\cos x_2=-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12<0\), следовательно, корень \(x_2\) нам не подходит.
Таким образом, решением системы являются только \(x=\dfrac{\pi}3+2\pi
n,\ n\in\mathbb{Z}\).
Алгебраический способ.
Пример 13. Найти корни уравнения \(\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\), принадлежащие отрезку \([0;\pi]\).
Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n, \
x_2=\dfrac{3\pi}4 +2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\). Для того, чтобы отобрать корни, решим два неравенства: \(0\leq x_1\leq\pi\) и \(0\leq
x_2\leq\pi\):
\(0\leq \dfrac{\pi}4+2\pi n\leq\pi \Leftrightarrow -\dfrac18\leq
n\leq\dfrac38\).
Таким образом, единственное целое значение \(n\), удовлетворяющее этому неравенству, это \(n=0\). При \(n=0\) \(x_1=\dfrac{\pi}4\) — входит в отрезок \([0;\pi]\).
Аналогично решаем неравенство \(0\leq x_2\leq\pi\) и получаем \(n=0\) и \(x_2=\dfrac{3\pi}4\).
Для следующего примера рассмотрим алгоритм решения линейных уравнений в целых числах:
\[ax+by=c, \quad a,b,c — \text{целые числа}\]
Уравнение будет иметь решение в целых числах относительно \(x\) и \(y\) тогда и только тогда, когда \(c\) делится на \(НОД(a,b)\).
Пример: Уравнение \(2x+4y=3\) не имеет решений в целых числах, потому что \(3\) не делится на \(НОД(2,4)=2\). Действительно, слева стоит сумма двух четных чисел, то есть четное число, а справа — \(3\), то есть нечетное число.
Пример: Решить уравнение \(3x+5y=2\). Т.к. \(НОД(3,5)=1\), то уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(x\) через \(y\):
\[x=\dfrac{2-5y}3=\dfrac{2-2y}3-y\]
Число \(\dfrac{2-2y}3\) должно быть целым.
Рассмотрим остатки при делении на \(3\) числа \(y\): \(0\), \(1\) или \(2\).
Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(1\), то оно записывается как \(y=3p+1\). Тогда \[\dfrac{2-2y}3=\dfrac{2-2(3p+1)}3=-2p=\text{целому числу}\]
Значит, этот случай нам подходит. Тогда \(y=3p+1\), а \(x=\dfrac{2-2y}3-y=-5p-1\).
Ответ: \((-5p-1; 3p+1), p\in\mathbb{Z}\).
Перейдем к примеру:
Пример 14. Решить систему \[\begin{cases} \sin \dfrac x3=\dfrac{\sqrt3}2\\[3pt] \cos \dfrac x2=1 \end{cases}\]
Решим первое уравнение системы:
\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned}
&\dfrac x3=\dfrac{\pi}3+2\pi n\\[3pt]
&\dfrac x3=\dfrac{2\pi}3 +2\pi m \end{aligned} \end{gathered}
\right.\quad n,m\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad \left[
\begin{gathered} \begin{aligned}
&x=\pi+6\pi n\\
&x=2\pi +6\pi m
\end{aligned} \end{gathered}
\right.
\quad n,m\in\mathbb{Z}\]
Решим второе уравнение системы:
\[\dfrac x2=2\pi k, k\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad x=4\pi k, k\in\mathbb{Z}\]
Необходимо найти корни, которые удовлетворяют и первому, и второму уравнению системы, то есть пересечь решения первого и второго уравнений.
Найдем целые \(n\) и \(k\), при которых совпадают решения в сериях \(\pi+6\pi n\) и \(4\pi k\):
\[\pi + 6\pi n=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 4k-6n=1\]
Т.к. \(НОД(4,6)=2\) и \(1\) не делится на \(2\), то данное уравнение не имеет решений в целых числах.
Найдем целые \(m\) и \(k\), при которых совпадают решения в сериях \(2\pi +6\pi m\) и \(4\pi k\):
\[2\pi +6\pi m=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 2k-3m=1\]
Данное уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(k=\frac{3m+1}2=m+\frac{m+1}2\).
Возможные остатки при делении \(m\) на \(2\) — это \(0\) или \(1\).
Если \(m=2p+0\), то \(\frac{m+1}2=\frac{2p+1}2=p+\frac12\ne \) целому числу.
Если \(m=2p+1\), то \(\frac{m+1}2=\frac{2p+1+1}2=p+1= \) целому числу.
Значит, \(m=2p+1\), тогда \(k=3p+2\), \(p\in\mathbb{Z}\).
Подставим либо \(m\), либо \(k\) в соответствующую ему серию и получим окончательный ответ: \(x=4\pi k=4\pi (3p+2)=8\pi+12\pi p, p\in\mathbb{Z}\).
Простейшие тригонометрические уравнения и их решение
К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида
Решение простейших тригонометрических уравнений
Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений и их решение.
Уравнение вида . Так как для любого x, то при и уравнение не имеет корней. При , корни этого уравнения находятся по формуле
Особые случаи
Примеры решения задач
Уравнение вида . Так как для любого x, то при и уравнение корней не имеет. При , корни этого уравнения находятся по формуле
Особые случаи:
ПРИМЕР 4| Задание | Решить уравнение — |
| Решение | Косинус – функция ограниченная и лежит в пределах , поэтому данное равенство не имеет смысла.
|
| Ответ | Решений нет. |
Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсами и котангенсами
Уравнение вида . Для любого действительного a на промежутке существует единственный угол , для которого . Это угол . Учитывая периодичность функции , получим формулы для нахождения корней уравнения :
ПРИМЕР 5
| Задание | Решить уравнение |
| Решение | Выразим из этого равенства тангенс
В последнем равенстве положив , получим простейшее тригонометрическое уравнение , корни которого вычисляются по формуле
Тогда
Сделаем обратную замену
и выразим из полученного уравнения x:
поделим обе части последнего равенства на 2, тогда окончательно получим
|
| Ответ |
Уравнение вида .
Для любого действительного a на промежутке существует единственный угол , для которого . Это угол . Учитывая периодичность функции , получим формулы для нахождения корней уравнения :
ПРИМЕР 6
| Задание | Решить уравнение
|
| Решение | Ведем замену , тогда исходное уравнение преобразуется в простейшее тригонометрическое уравнение , корни которого вычисляются по формуле
Тогда
Сделаем обратную замену
и выразим из полученного уравнения x:
поделим обе части последнего равенства на 5, тогда окончательно получим
|
| Ответ |
Приведение тригонометрических уравнений к простейшим
Примеры тригонометрических уравнений, которые приводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью элементарных преобразований или тригонометрических формул.
| Задание | Решить уравнение |
| Решение | Применим к правой части заданного уравнения формулу суммы синусов:
или
Последнее равенство равносильно совокупности простейших уравнений
|
| Ответ |
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений
Прежде чем решать тригонометрические уравнения, вы должны хорошо разбираться в тригонометрическом круге.
Все тригонометрические уравнения, какими они не были – простыми или сложными, в итоге сводятся к решению четырех типов простейших тригонометрических уравнений.
Вы просто обязаны уметь решать уравнения вида
Формулы–алгоритмы будут разбросаны по трем статьям,
здесь же они собраны все вместе =>+ показать
Давайте разбираться. В этой статье мы рассмотрим решение уравнения вида . Решение остальных типов простейших уравнений смотрим здесь: часть 2 (), часть 3 (, )
Уравнение вида
Решим уравнение
Мы должны подобрать такие значения аргумента , то есть такие значения углов, косинус которых равнялся бы .
Смотрим на тригонометрический круг, на оси косинусов находим :
Выстраиваем через эту точку вертикаль, получаем две точки на круге:
Но надо понимать, что за этими точками скрывается бесконечно много других точек, – таких, косинус в которых также равен .
Мы об этом подробно говорили в предыдущей статье, когда знакомились с тригонометрическим кругом.
На координатной прямой подходящие нам точки располагаются так:
А с графической точки зрения решение уравнения выглядело бы так:
Как все точки взять в ответ?
Нам поможет счетчик . Возьмем , то есть
Решением уравнения будет
Возьмите, поперебирайте различные значения подставьте в вышеуказанную формулу.
Вы получите как раз точки при ,
при ,
при и т.д.
То что нам нужно!
Если бы мы решали, например, уравнение , то решением бы было
.
Я думаю, вы уже увидели общий принцип формирования ответа.
Давайте дадим формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения
, где – из
(в противном случае, когда – не из – решений нет)
Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арккосинус».
Если нам попадается уравнение с нетабличным значением косинуса, вроде этого , то решение будет следующее:
Частные случаи решения уравнения
1)
Мы должны бы записать так:
.
Но можно записать решение иначе (ведь в данном случае между точками расстояние – полкруга, значит нам можно использовать полукруговой счетчик ):
2)
У нас только одна серия корней:
то есть
3)
Аналогично решению примера 2, решение такое:
Простейшие тригонометрические уравнения: квадрат тригонометрической функции
п.1. Решение простейших тригонометрических уравнений
Про аркфункции (обратные тригонометрические функции) и их свойства – см. §9-11 данного справочника.
Обобщим результаты решения простейших уравнений, полученные в этих параграфах.
| Уравнение | ОДЗ | Решение |
| $$ sinx=a $$ | $$ -1\leq a\leq 1 $$ | \begin{gather*} x=(-1)^k arcsin a+\pi k\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=arcsin a+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin a+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} |
| $$ cosx=a $$ | $$ -1\leq a\leq 1 $$ | \begin{gather*} x=\pm arccos a+2\pi k \end{gather*} |
| $$ tgx=a $$ | $$ a\in\mathbb{R} $$ | \begin{gather*} x=arctga+\pi k \end{gather*} |
| $$ ctgx=a $$ | $$ a\in\mathbb{R} $$ | \begin{gather*} x=arcctga+\pi k\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x=arctg\frac1a+\pi k \end{gather*} |
Частные случаи, для которых запись результата отличается от общей формулы:
| a=0 | a=-1 | a=1 | |
| $$ sinx=a $$ | $$ x=\pi k $$ | $$ -\frac\pi2+2\pi k $$ | $$ \frac\pi2+2\pi k $$ |
| $$ cosx=a $$ | $$ x=\frac\pi2+\pi k $$ | \begin{gather*} \pi+2\pi k \end{gather*} | \begin{gather*} 2\pi k \end{gather*} |
Например:
\begin{gather*} sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x=(-1)^k arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\pi k=(-1)^k\frac\pi4+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=\frac\pi4+2\pi k\\ x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. 2\frac{x}{2}-2,5tg\frac{x}{2}+1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \left(tg\frac{x}{2}+2\right)\left(tg\frac{x}{2}+\frac12\right)=0\\ \left(tg\frac{x}{2}-2\right)\left(tg\frac{x}{2}-\frac12\right)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} tg\frac{x}{2}=\pm 2\\ tg\frac{x}{2}=\pm\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm arctg2+2\pi k\\ x=\pm 2arctg\frac12+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Таким образом, решая одно и то же уравнение, мы получаем очень разные по виду ответы. Однако, при проверке, все полученные множества решений совпадают.Внимание! п.4. ПримерыПример 1. Решите уравнение обычным способом и с помощью универсальной подстановки. Сравните полученные ответы и множества решений. Вывод: при использовании универсальной подстановки нужно быть аккуратным и помнить о возможности потерять корни. Семейство бесконечных решений для тангенса \(\frac{x}{2}=\frac\pi2+\pi k\), т.е. \(x=\pi+2pi k\) нужно проверять как возможное решение для исходного уравнения отдельно. Внимание! При использовании универсальной подстановки можно потерять часть корней исходного тригонометрического уравнения.Поэтому вместе с универсальной подстановкой проверяется также дополнительное возможное решение для бесконечного тангенса половинного угла: \(x=\pi+2\pi k\). \begin{gather*} f(sin(x), cos(x),…)=0\Leftrightarrow\\ \left[ \begin{array}{l l} f\left(tg\left(\frac{x}{2}\right)\right)=0\\ (?) x=\pi+2\pi k \end{array} \right.  2\left(x+\frac\pi4\right)=\frac{1+cos\left(2\left(x+\frac\pi4\right)\right)}{2}=\frac12 \Rightarrow cos\left(2x+\frac\pi2\right)=0\Rightarrow\\ \Rightarrow -sin2x=0\Rightarrow sin2x=0 \Rightarrow 2x=\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2} \end{gather*} Из чертежа видно, что \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} -\frac\pi2+\pi k\\ \pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\frac{\pi k}{2} \end{gather*} Оба решения соответствуют 4 базовым точкам на числовой окружности через каждые 90°. Множества решений совпадают. Ответы не совпадают, но являются равнозначными. Ответ: \(\frac{\pi k}{2}\) Вывод: формулы понижения степени не расширяют и не урезают множество корней исходного уравнения. Полученные ответы либо совпадают, либо нет, но всегда являются равнозначными. Решение тригонометрических уравнений | Математика, которая мне нравитсяПростейшие тригонометрические уравнения Уравнение при решений не имеет, при имеет решения , при имеет решения , при имеет решения , при всех остальных имеет решения . Уравнение при решений не имеет, при имеет решения , при имеет решения >, при имеет решения , при всех остальных имеет решения . Уравнение имеет решения . Уравнение имеет решения . Приемы решения тригонометрических уравнений 1. Сведение к одной функции 1. заменяем на , — на . Пример 1.
Пример 2.
2. заменяем на , — на , — на . Пример 1.
1) 2) , Пример 2.
Пример 3.
3. Однородные уравнения относительно .
Если , то деля обе части уравнения на или на , получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть — корень уравнения и . Пример.
4. Уравнения, приводящиеся к однородным а) Домножение на Пример.
б) Переход к половинному аргументу Пример.
5. Использование формулы Пример.
6. Замена .
Разложение на множители 1. Формулы преобразования суммы в произведение 2. Формулы
Пример 1.
Ответ. . Пример 2.
, решений нет,
Ответ. , . Понижение степени Использование формул
Сравнение левой и правой части Пример 1.
что невозможно. Ответ. .
Ответ. .
Пусть
Подставляем во второе уравнение:
Ответ. . Пример 4.
или
Если , то . Если , то .
Ответ. . Простейшие тригонометрические уравнения формулы частные случаи. Как решать тригонометрические уравненияСоблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Сбор и использование персональной информацииПод персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Раскрытие информации третьим лицамМы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения:
Защита персональной информацииМы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компанииДля того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. Требует знания основных формул тригонометрии — сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью » «. Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции. sinх = аcos x = atg x = acot x = aЛюбое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 Используя формулы приведения получим: 2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0 Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение: 2y 2 – 3y + 1 + 0 Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2 Теперь идем в обратном порядке Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа: Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ? Перенесем все влево, чтобы справа остался 0: sin x + cos x – 1 = 0 Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения: sin x — 2 sin 2 (x/2) = 0 Делаем разложение на множители: 2sin(x/2) * cos(x/2) — 2 sin 2 (x/2) = 0 2sin(x/2) * = 0 Получаем два уравнения Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. а) переносят все его члены в левую часть; б) выносят все общие множители за скобки; в) приравнивают все множители и скобки к 0; г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени; д) решают полученное уравнение относительно tg. Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа: 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 Делим на cos x: tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение: y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3 Отсюда находим два решения исходного уравнения: x 2 = arctg 3 + k Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7 Переходим к x/2: 6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2) Пререносим все влево: 2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0 Делим на cos(x/2): tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0 Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c , где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное. Обе части уравнения разделим на : Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид: cos * sin x + sin * cos x = С или sin(x + ) = C Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет х = (-1) k * arcsin С — + k, где Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые. Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1 В этом уравнении коэффициенты: а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2 Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы. Навигация по странице. Основные тригонометрические тождестваОсновные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую. Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье . Формулы приведения Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье . Формулы сложенияТригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул. Формулы двойного, тройного и т.д. угла Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения. Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла . Формулы половинного углаФормулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье . Формулы понижения степени Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой. Формулы суммы и разности тригонометрических функций Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов. Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус . Универсальная тригонометрическая подстановкаОбзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки . Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней. Список литературы.
Copyright by cleverstudents Все права защищены. Тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим . Простейшие тригонометрические уравнения. Методы решения
тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения
состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его
простейшего вида (см. 1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры (метод замены переменной и подстановки). 2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах. П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 . Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево: Sin x + cos x – 1 = 0 , Преобразуем и разложим на множители выражение в Левой части уравнения: П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1. Р е ш е н и е. cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 , Sin x · cos x – sin 2 x = 0 , Sin x · (cos x – sin x ) = 0 , П р и м е р 3. Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x , 2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x , Cos 4x · (cos 2x – cos 4x ) = 0 , Cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 , 1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере: П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7. Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) = 7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2) , 2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0 , tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0 , . 5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида : a sin x + b cos x = c , Где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное. Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого Простейшие тригонометрические уравнения. Частные случаи. Уравнения, приводимые к алгебраическим«Каждая решенная мною задачастановится образом, который служит впоследствии для решения других задач» Р.Декарт 2. СОДЕРЖАНИЕ1. Введение2. Повторение Простейшие тригонометрические уравнения Частные случаи Задания для на повторение 4. Уравнения, приводимых к алгебраическим 5. Примеры решения уравнений 6. Использование тр.ур. при решении геометрических задач 7.Задания для самостоятельной работы 8.Краткий справочник формул 3. Введение Тригонометрические функции возникли вДревней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н.э. в работах Евклида, Архимеда и других. Современную форму тригонометрическим функциям и вообще тригонометрии придал Леонард Эйлер. Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика. 4. ВведениеТРИГОНОМЕТРИЯматематическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, с помощью которых связываются элементы треугольника, изучаются в курсе математического анализа. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ – это уравнения, в которых неизвестные являются аргументами тригонометрических функций. — 5. Решение простейших тригонометрических уравненийЕслиЕсли уравнение не имеет решения.  Если Если уравнение не имеет решения. 6. Решение простейших тригонометрических уравнений Частные случаи1. Решите( 1) n 1) уравнение: n, 4 n , 4 2 3) 2 cos x n Z n Z 2 n 2) n 3) 3 3 n 4 2 n, 4 4) 2. Решите уравнение: 1) 2) 8 2 n Z n Z sin( 3x) 0 n 4) n 3 1 3. Укажите наименьший sin tg ( x) положительный корень уравнения 2 3 1) 3 2) 5 4 3) 6 4) 2 С помощью замены переменной можно привести тригонометрическое уравнение к алгебраическому. Рассмотрим несколько типов уравнений: Тип уравнения Замена Алгебраическое уравнение ПР №1 ПР №2 ПР №3 ПР №4 9. Пример 1ТеорияПример 1 Сделаем замену переменной Получаем : , Делаем обратную замену , Теория Пример 2 Применим основное тригонометрическое тождество Сделаем замену переменной Получаем : , 11. Пример 3 ТеорияПример 3 Сделаем замену переменной Получаем : , 12. Пример 4ТеорияПример 4 Сделаем замену переменной Получаем : , 13. Решение геометрической задачиБиссектриса одного из острыхуглов прямоугольного треугольника в шесть раз короче гипотенузы. Найдите острые углы этого треугольника. 14. Решение задачиДАНО: треугольник АВСугол С –прямой ВД- биссектриса НАЙТИ : , РЕШЕНИЕ: Пусть Применив теорему синусов к треугольнику АВД, найдем, что Учитывая условия задачи, получаем: 15. Задача продолжениеРешение задачи сводитсяк решению тригонометрического уравнения Решаем квадратное уравнение относительно ОТВЕТ: ,получаем 16. Задания для самостоятельной работыВариант № 1Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 17. Краткий справочник формул 1. Нахождение тригонометрическихфункций по единичной окружности 2. Основные тригонометрические тождества 3. Формулы двойного аргумента 4. Формулы сложения 5. Формулы преобразования суммы в произведение 6. Формулы преобразования произведения в сумму 18. Единичная окружностьПР №1ПР №2 ПР №3 ПР №4 Задания с.р .. . 2. Основные тригонометрические тождества 3.Формулы двойного аргумента 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 4. Формулы сложения 1 2 3 4 5 6 7 8 5. Формулы преобразования суммы в произведение 1 2 3 4 6. Формулы преобразования произведения в сумму 1 2 3 Тригонометрические формулы — Примеры | Список тригонометрических формул Тригонометрические формулы — это наборы различных формул, включающих тригонометрические тождества, используемые для решения задач, основанных на сторонах и углах прямоугольного треугольника. Список формул тригонометрииФормулы тригонометрии можно классифицировать по разным категориям на основе задействованных тригонометрических тождеств. Давайте посмотрим на приведенные ниже наборы различных формул тригонометрии.
Некоторые основные формулы тригонометрии можно увидеть на изображении ниже.Рассмотрим их подробно в следующих разделах. Основные формулы тригонометрииОсновные формулы тригонометрии используются для нахождения соотношения тригонометрических отношений и отношения соответствующих сторон прямоугольного треугольника. В тригонометрии используются шесть основных тригонометрических отношений, также называемых тригонометрическими функциями: синус, косинус, секанс, косеканс, тангенс и котангенс, которые записываются как sin, cos, sec, csc, tan, cot.Тригонометрические функции и тождества выводятся с использованием прямоугольного треугольника в качестве эталона. Мы можем узнать значения синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса и котангенса, учитывая размеры прямоугольного треугольника, используя формулы тригонометрии как, Формулы тригонометрических отношений
Тригонометрические формулы, включающие взаимные тождества Косеканс, секанс и котангенс являются величинами, обратными основным тригонометрическим отношениям синуса, косинуса и тангенса.
Таблица тригонометрических соотношенийВот таблица тригонометрических формул для углов, которые обычно используются для решения тригонометрических задач.Таблица тригонометрических соотношений помогает найти значения стандартных тригонометрических углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Тригонометрические формулы, включающие периодические тождества (в радианах) Формулы тригонометрии, включающие периодические тождества, используются для сдвига углов на π/2, π, 2π и т. Первый квадрант:
Второй квадрант:
Третий квадрант:
Четвертый квадрант:
Тригонометрические формулы, включающие тождества кофункций (в градусах) Формулы тригонометрии на тождествах кофункций обеспечивают взаимосвязь между различными функциями тригонометрии.
Тригонометрические формулы, включающие тождества суммы и разностиТождества суммы и разности включают тригонометрические формулы sin(x + y), cos(x — y), cot(x + y) и т. д.
Тригонометрические формулы для кратных и дольных углов Формулы тригонометрии для кратных и дольных углов можно использовать для расчета значения тригонометрических функций для половинного угла, двойного угла, тройного угла и т. Тригонометрические формулы, включающие тождества полуугловПоловина угла x представлена ниже несколькими формулами тригонометрии. sin (x/2) = ±√[(1 — cos x)/2] cos (x/2) = ± √[(1 + cos x)/2] тангенс (x/2) = ±√[(1 — cos x)/(1 + cos x)] или тангенс (x/2) = ±√[(1 — cos x)(1 — cos x)/(1 + cos x)(1 — cos x)] тангенс (x/2) = ±√[(1 — cos x) 2 /(1 — cos 2 x)] ⇒ тангенс (x/2) = (1 — cos x)/sin x Тригонометрические формулы, использующие тождества двойного углаДвойной угол x представлен несколькими приведенными ниже тригонометрическими формулами.
Тригонометрические формулы, использующие тождества тройного угла Тройка угла x представлена ниже несколькими формулами тригонометрии.
Формулы тригонометрии. Тождества суммы и произведенияТригонометрические формулы для тождеств суммы или произведения используются для представления суммы любых двух тригонометрических функций в форме их произведения или наоборот. Тригонометрические формулы, включающие идентификаторы продуктов
Тригонометрические формулы, включающие сумму тождеств продуктаКомбинация двух острых углов A и B может быть представлена через тригонометрические отношения в приведенных ниже тригонометрических формулах.
Формулы обратной тригонометрии Используя формулы обратной тригонометрии, тригонометрические отношения инвертируются для создания обратных тригонометрических функций, таких как sin θ = x и θ = sin −1 x.
Тригонометрические формулы, использующие законы синусов и косинусовЗакон синуса: Закон синуса и закон косинуса определяют отношение между сторонами и углами треугольника.Закон синусов дает отношение сторон и угла, противолежащего стороне. В качестве примера берется отношение стороны «а» и противолежащего ей угла «А». (грех A)/a = (sin B)/b = (sin C)/c Закон косинуса: Закон косинуса помогает найти длину стороны для заданных длин двух других сторон и угла между ними.
где, a, b, c — длины сторон треугольника, а A, B, C — углы треугольника. Похожие темы Часто задаваемые вопросы по тригонометрическим формуламЧто такое формулы тригонометрии?Формулы тригонометрии используются для решения задач, основанных на сторонах и углах прямоугольного треугольника, с использованием различных тригонометрических тождеств. Эти формулы можно использовать для вычисления тригонометрических отношений (также называемых тригонометрическими функциями), sin, cos, tan, csc, sec и cot. Что такое Основная формула тригонометрии? Основные формулы тригонометрии включают представление основных тригонометрических соотношений в терминах отношения соответствующих сторон прямоугольного треугольника. Что такое формулы тригонометрических соотношений?Три основные функции в тригонометрии — это синус, косинус и тангенс. Формулы тригонометрических соотношений имеют вид .
Что такое тригонометрические формулы для четных и нечетных тождеств?Формулы тригонометрии, включающие четные и нечетные тождества, задаются следующим образом:
Какие формулы тригонометрии включают пифагорейские тождества?Три фундаментальные формулы тригонометрии, включающие тождества Пифагора, задаются как
К какому треугольнику применимы тригонометрические формулы? Формулы тригонометрии применимы к прямоугольным треугольникам. Что такое формулы тригонометрии сложения?Формулы тригонометрии для тригонометрических соотношений, когда углы складываются, задаются следующим образом:
Как легко запомнить формулы тригонометрии? Уловка для изучения основных формул тригонометрии заключается в использовании мнемонического выражения «SOHCAHTOA», которое можно использовать для запоминания тригонометрических соотношений, например, Что такое тригонометрическая формула sin 3x? Формула тригонометрии, sin 3x — это синус трех углов прямоугольного треугольника, он выражается как: sin 3x = 3sin x — 4sin 3 x. 3.1: Основные тригонометрические тождества — Mathematics LibreTextsНа данный момент мы знаем несколько соотношений между тригонометрическими функциями. Например, мы знаем взаимные отношения:
Обратите внимание, что каждое из этих уравнений верно для всех углов \(\theta \), для которых определены обе части уравнения. \[ \tan\;\theta ~=~ \frac{\sin\;\theta}{\cos\;\theta} \qquad \text{когда} \cos\;\theta \ne 0 \label{3.1 }\] Чтобы доказать это тождество, выберите точку \((x,y) \) на конечной стороне \(\theta \) на расстоянии \(r >0 \) от начала координат и предположим, что \(\cos\ ;\тета\ne 0 \).Тогда \(x \ne 0 \) (поскольку \(\cos\;\theta = \frac{x}{r}\)), поэтому по определению \[\nonumber Обратите внимание, как мы доказали тождество, расширив одну из его сторон (\(\frac{\sin\;\theta}{\cos\;\theta}\)) до тех пор, пока не получили выражение, равное другой стороне ( \(\загар\;\тета\)). Пример 3.3 Докажите, что \(\;\tan \;\theta ~+~ \cot \;\theta ~=~ \sec \;\theta ~ \csc \;\theta\; \). Раствор Разложим левую часть и покажем, что она равна правой части: \[\nonumber \begin{alignat*}{3} Как в приведенном выше примере мы узнали, что нужно расширять левую сторону, а не правую? В целом, хотя этот метод не всегда работает, более сложную сторону идентичности, вероятно, будет легче расширить. При попытке доказать тождество, где хотя бы одна сторона является отношением выражений, перекрестное умножение может быть эффективным методом: \[\nonumber Пример 3.2 \;\тета = 1 \). Это распространенный метод исключения тригонометрических функций из систем уравнений. Авторы и авторствотригонометрических тождествВозможно, сначала вы захотите прочитать о тригонометрии!Прямоугольный треугольник Тригонометрические тождества — это уравнения, которые верны для прямоугольных треугольников. Каждая сторона прямоугольного треугольника имеет имя: Смежный всегда рядом с углом И Противоположные находятся напротив угла Скоро мы будем играть со всевозможными функциями, но помните, что все сводится к тому простому треугольнику с:
Синус, косинус и тангенсТри основные функции в тригонометрии — это синус, косинус и тангенс. Они просто длины одной стороны разделить на другое Для прямоугольного треугольника с углом θ :
Для заданного угла θ каждое соотношение остается одним и тем же
Когда мы делим синус на косинус, мы получаем: sin(θ) cos(θ) = Противоположный/гипотенуза Прилегающий/гипотенуза = Противоположный Прилегающий = tan(θ) Итак, мы можем сказать: Это наша первая тригонометрическая идентичность . Косеканс, секанс и котангенсМы также можем разделить «наоборот» (например, Смежный/Противоположный вместо Противоположный/Смежный ):
Пример: когда противоположность = 2 и гипотенуза = 4, тогдаsin(θ) = 2/4 и csc(θ) = 4/2 Из всего, что мы можем сказать: sin(θ) = 1/csc(θ) cos(θ) = 1/сек(θ) тан(θ) = 1/кот(θ) И наоборот: csc(θ) = 1/sin(θ) сек(θ) = 1/cos(θ) кроватка(θ) = 1/тангенс(θ) А еще у нас есть: кроватка(θ) = cos(θ)/sin(θ) Теорема ПифагораДля следующих тригонометрических тождеств мы начнем с теоремы Пифагора:
Деление на c 2 дает а 2 в 2 + б 2 в 2 знак равно в 2 в 2 Можно упростить до: ( и в ) 2 + ( б в ) 2 = 1 Теперь, a/c равно Противоположная/гипотенуза , что равно sin(θ) И b/c есть Смежный/Гипотенуза , что равно cos(θ) Так (а/с) 2 + (б/с) 2 = 1 можно также записать: Примечание:
Пример: 32°Использование Только 4 знака после запятой :
Теперь вычислим sin 2 θ + cos 2 θ : 0,5299 2 + 0,8480 2 Мы очень близки к 1, используя всего 4 знака после запятой. Попробуйте это на ваш калькулятор , вы можете получить лучшие результаты! Связанные идентификаторы включают: SIN 2 θ = 1 — COS 2 θ
Но подождите. .. Есть больше!Есть много других идентификаторов… вот некоторые из наиболее полезных: Тождества с противоположными угламигрех (-θ) = — грех (θ) потому что (-θ) = потому что (θ) тангенс (-θ) = -тангенс (θ) Идентичности с двойным углом
Полуугольные тождестваОбратите внимание, что «±» означает, что это может быть или , в зависимости от значения θ/2 Сумма углов и разность тождествОбратите внимание, что это означает, что вы можете использовать плюс или минус, а означает, что вы можете использовать противоположный знак. sin(A B) = sin(A)cos(B) cos(A)sin(B) cos(A B) = cos(A)cos(B) sin(A)sin(B) tan(A B) = tan(A) tan(B) 1 tan(A)tan(B) кроватка(A B) = кроватка(A)кроватка(B) 1 кроватка(B) кроватка(A) Тождества треугольниковСуществуют также тождества треугольников, применимые ко всем треугольникам (не только к прямоугольным треугольникам)
Основные тригонометрические уравнения Углы (аргументы функций): x , x , x , x тригонометрических функций: SIN x , COS x , Tan x , Cot x Уравнение, включающее тригонометрические функции неизвестного угла, называется тригонометрическим уравнением. Основные тригонометрические уравнения имеют вид \[\sin x = a,\;\cos x = a,\;\tan x = a,\;\cot x = a,\] здесь \(x\) — неизвестное, \(a\) — любое действительное число. Если \(\left| a \right| \gt 1\), то уравнение \(\sin x = a\) не имеет решений. Если \(\left| a \right| \le 1,\) общее решение уравнения \(\sin x = a\) записывается как Эта формула содержит две ветви решений: \[{x_1} = \arcsin a + 2\pi n,\;{x_2} = \pi — \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\] Решения тригонометрического уравнения, лежащие в интервале \(\left[ {0,2\pi } \right)\), называются главными решениями. Главные решения уравнения \(\sin x = a\) равны \[\arcsin a,\;\pi — \arcsin a.\] В простом случае \(\sin x = 1\) общее решение имеет вид \[x = \pi/2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\] Аналогично, решение уравнения \(\sin x = -1\) определяется выражением \[x = -\pi/2 + 2\pi n,\; п \in \mathbb{Z}. Случай \(\sin x = 0\) (нули синуса): \[x = \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\] Если \(\left| a \right| \gt 1,\) уравнение \(\cos x = a\) не имеет решений. Если \(\left| a \right| \le 1,\) общее решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид Эта формула включает два набора решений: \[{x_1} = \arccos a + 2\pi n,\; {x_2} = -\arccos a + 2\pi n,\; п \in \mathbb{Z}.\] В случае \(\cos x = 1\) решение записывается как \[x = 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\] Случай \(\cos x = -1:\) \[x = \pi + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\] Случай \(\cos x = 0\) (нули косинуса): \[x = \pi/2 + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\] Для любого значения \(a\) общее решение уравнения \(\tan x = a\) имеет вид Случай \(\tan x = 0\) (нули тангенса): \[x = \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\] Для любого значения \(a\) общее решение тригонометрического уравнения \(\cot x = a\) записывается как \(\cot x = 0\) (нули котангенса): \[x = \pi/2 + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}.\] Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение. Решить уравнение \[\sin x = — \frac{1}{2}.\] Решить уравнение \[\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = — 1.\] Найдите общее решение уравнения \[\sqrt 3 \sin x = \cos x.\] Найдите главные решения уравнения \[\cot \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = — 1.{n + 1}}\frac{\pi }{6} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\] Главные решения на отрезке \(\left[ {0,2\pi } \right)\) задаются как \[\begin{массив}{*{20}{l}}
{n = 1:} & {x_1} = \ frac {\ pi} {6} + \ pi = \ frac {{7 \ pi}} {6} \\
{n = 2:} & {x_2} = — \ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi = \ frac {{11 \ pi}} {6}
\конец{массив}\] Решить уравнение \[\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = — 1. Раствор. В этом частном случае общее решение определяется как \[x + \frac{\pi }{3} = \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\] Решите для \(x:\) \[x = \pi — \frac{\pi }{3} + 2\pi n = \frac{{2\pi}}}{3} + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z }.\] Главное решение содержит одно значение: \[n = 0:\;{x_0} = \frac{{2\pi}}{3}.\] Найдите общее решение уравнения \[\sqrt 3 \sin x = \cos x.2}x} = \pm 1 \ne 0,\] , то есть \(\cos x = 0\) не может быть решением уравнения. Итак, у нас есть \[\frac{{\sqrt 3 \sin x}}{{\cos x}} — \frac{{\cancel{{\cos x}}}}{{\cancel{{\cos x}}} } = 0, \стрелка вправо \sqrt 3 \tan x — 1 = 0, \стрелка вправо \tan x = \frac{1}{{\sqrt 3}}.\] Общее решение дано \[x = \arctan \frac{1}{{\sqrt 3}} + \pi n = \frac{\pi }{6} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\ ] Найдите главные решения уравнения \[\cot \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = — 1. Раствор. Сначала найдем общее решение. Учитывая, что \(\text{arccot}\left( { — a} \right) = \pi — \text{arccot } a,\), мы имеем \[2x + \frac{\pi }{4} = \text{arccot} \left( { — 1} \right) + \pi n, \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = \ pi — \text{arccot} 1 + \pi n, \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = \pi — \frac{\pi }{4} + \pi n, \Rightarrow 2x = \frac {\pi }{2} + \pi n, \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\] , где \(n \in \mathbb{Z}.\) Главные значения лежат в интервале \(\left[ {0,2\pi } \right).\) Следовательно, наши главные решения будут \[\begin{массив}{*{20}{l}}
{n = 0:}&{{x_0} = \frac{\pi }{4}}\\
{n = 1:} & {{x_1} = \ frac {\ pi} {4} + \ frac {\ pi} {2} = \ frac {{3 \ pi}} {4}} \\
{n = 2:}&{{x_2} = \frac{\pi }{4} + \pi = \frac{{5\pi}}{4}}\\
{n = 3:}&{{x_3} = \ frac {\ pi} {4} + \ frac {3 \ pi} {2} = \ frac {{7 \ pi}} {4}}
\конец{массив}\] Решить уравнение \[{\cos ^2}x = \frac{1}{2}. Раствор. Это уравнение имеет два решения: \[\cos x = \frac{1}{2}, \Rightarrow {x_1} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z} .\] \[\cos x = — \frac{1}{2}, \Rightarrow {x_2} = \pm \arccos \left( { — \frac{1}{2}} \right) + 2\pi k, \;k \in \mathbb{Z}.\] Подставить значения арккосинуса: \[\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi }{3},\;\;\arccos \left( { — \frac{1}{2}} \right) = \pi — \arccos \frac{1}{2} = \pi — \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi}}{3}.\] Таким образом, общее решение дается числом \[{x_1} = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n,\;\;{x_2} = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi к,\] , где \(n, k \in \mathbb{Z}.\) Соответственно главные решения уравнения равны \[x = \frac{\pi }{3},\frac{{2\pi}}{3},\frac{{4\pi}}{3},\frac{{5\pi}} {3}.\] Решить уравнение \[\tan x = \cot x.\] Раствор.2}х = 1}\\
{\ загар х \ пе 0}
\end{массив}} \right. Мы получили два уравнения. Первое уравнение \(\tan x = 1\) имеет следующее решение: \[\tan x = 1, \Rightarrow {x_1} = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\] Второе уравнение имеет решение в виде \[\tan x = — 1, \Rightarrow {x_2} = \arctan \left( { — 1} \right) + \pi k = — \ arctan 1 + \pi k = — \frac{\pi }{ 4} + \pi k,\;k \in \mathbb{Z}.\] Мы можем объединить оба решения и выразить их одной формулой: \[x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\;n \in \mathbb{Z}.\] Основные значения задаются \[x = \frac{\pi }{4},\frac{{3\pi}}{4},\frac{{5\pi}}{4},\frac{{7\pi}} {4}.\] Эти формулы связывают длины и площади определенных кругов или треугольников.На следующей странице вы найдете личности. Тождества не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но справедливы для всех углов. Вы можете легко найти длину дуги и площадь сектора для угла θ в окружности радиусом r . Наиболее важными формулами тригонометрии являются формулы прямоугольного треугольника. Если θ — один из острых углов в треугольнике, то синус теты — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс — это отношение противоположная сторона соседней стороне. Эти три формулы вместе известны мнемоникой SohCahToa. Кроме того, есть очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть дают в сумме 90°, можно решить любой прямоугольный треугольник: Эти формулы работают для любого треугольника, острого, тупоугольного или прямоугольного. Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначаются прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначаются строчными буквами a , б и в . Есть две важные формулы для косых треугольников. Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники. Он говорит, что c 2 , квадрат одной стороны треугольника, равен a 2 + b 2 , сумма квадратов двух других сторон минус 2. ab cos  C , удвоенное произведение их на косинус противоположного угла.Когда угол C правильный, он становится формулой Пифагора. Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне равно отношению для всех трех углов. С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник: Существует три различных полезных формулы площади треугольника, и какую из них использовать, зависит от имеющейся у вас информации. Подтвердите личность танθ+котθ=2sin2θ. \tan \theta + \cot \theta = \frac{ 2} {\sin 2 \theta }. tanθ+cotθ=sin2θ2. (Рекомендация 2) Замена tanθ \tan \theta tanθ на sinθcosθ \frac{ \sin \theta } { \cos \theta } cosθsinθ и cotθ \cot \theta cotθ на cosθsin θ \ frac { \ cos \ theta } { \ sin \ theta } sin θ cos θ, LHS=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θsinθcosθ=1sinθcosθ.2 \ тета } { \ грех \ тета \ соз \ тета } = \ гидроразрыв { 1} { \ грех \ тета \ соз \ тета }. LHS=cosθsinθ+sinθcosθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=sinθcosθ1. (Рекомендация 5) Теперь мы застряли, так как это очень просто. Смотрим на RHS. RHS=2sin2θ=22sinθcosθ=1sinθcosθ. RHS = \ гидроразрыв {2} { \ грех 2 \ тета } = \ гидроразрыв { 2 } { 2 \ грех \ тета \ соз \ тета } = \ гидроразрыв { 1 } { \ грех \ тета \ соз \ тета } . RHS=sin2θ2=2sinθcosθ2=sinθcosθ1. Таким образом, у нас есть левый градус=1sinθcosθ=правый градус. □ LHS = \frac{ 1}{ \sin \theta \cos \theta } =RHS.\ _\square LHS=sinθcosθ1=RHS. □ Подтвердите личность sinx−cosxsinx+cosx=−cos2×1+sin2x. \frac{ \sin x — \cos x } { \sin x + \cos x } = — \frac{ \cos 2x} { 1 + \sin 2 x }. sinx+cosxsinx-cosx=−1+sin2xcos2x. (рекомендация 6) Эту личность трудно атаковать напрямую. Давайте подумаем, что такое цель, и сравним стороны друг с другом.2. 1+sin2x=1+2sinxcosx=sin2x+cos2x+2sinxcosx=(sinx+cosx)2. Таким образом, это дает нам RHS=-(cosx−sinx)(cosx+sinx)(sinx+cosx)(sinx+cosx)=sinx−cosxsinx +cosx=ЛВС. Подтвердите личность sin(A+B)+sin(A−B)sin(A+B)−sin(A−B)=tanAtanB.\frac{ \sin (A + B) + \sin (A — B)} { \sin (A + B) — \sin (A — B)} = \frac{ \tan A} { \tan B}. sin(A+B)−sin(A−B)sin(A+B)+sin(A−B)=tanBtanA. Используя формулы суммы и разности, получаем LHS=(sinAcosB+cosAsinB)+(sinAcosB−cosAsinB)(sinAcosB+cosAsinB)−(sinAcosB −cosAsinB)=2sinAcosB2cosAsinB=sinAcosBcosAsinB.\begin{выровнено}
ЛХС
&= \frac{ (\sin A \cos B + \cos A \sin B) + (\sin A \cos B — \cos A \sin B)} { (\sin A \cos B + \cos A \ sin B) — (\sin A \cos B — \cos A \sin B) } \\\\
&= \frac { 2 \sin A \cos B } { 2 \cos A \sin B } = \frac{ \sin A \cos B } { \cos A \sin B } .\end{aligned}LHS=(sinAcosB+cosAsinB)−(sinAcosB−cosAsinB)(sinAcosB+cosAsinB)+(sinAcosB−cosAsinB)=2cosAsinB2sinAcosB=cosAsinBsinAcosB. Упрощая RHS с точки зрения sin и cos, мы получаем RHS=sinAcosAsinBcosB=sinAcosBcosAsinB. RHS знак равно \ frac {\ small { \ dfrac { \ sin A } { \ cos A }} } {\ small {\ hspace {3 мм} \ dfrac { \ sin B} { \ cos B} \ hspace {3 мм}}} = \ frac { \ sin A \ cos B } { \ cos A \ sin B }. RHS=cosBsinBcosAsinA=cosAsinBsinAcosB. Следовательно, LHS=RHS.3\тета+3\sin\тета=RHS.\ _\квадрат
\end{выровнено}4sinθcos2θ−sinθ=4sinθ(1−sin2θ)−sinθ=−4sin3θ+3sinθ=RHS. □ Подтвердите личность раскладушкаθ−cot2θ=1sin2θ.\cot\theta-\cot2\theta=\frac{1}{\sin2\theta}.cotθ−cot2θ=sin2θ1. Так как cotθ=cosθsinθ\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}cotθ=sinθcosθ, мы имеем раскладушкаθ−cot2θ=cosθsinθ−cos2θsin2θ.\cot\theta-\cot2\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}-\frac{\ cos2\тета}{\sin2\тета}.2(А+В)}\\\\
&=\frac{\sin(AB)}{\sin(A+B)}.
\end{выравнивание}2sin2(A+B)cos2B−cos2A=2sin2(A+B)−2sin(B+A)sin(B−A)=sin2(A+B)sin(A+B) sin(A−B)=sin(A+B)sin(A−B). Следующим шагом будет простое применение формулы суммы углов к числителю и знаменателю. Тогда у нас есть sin(A−B)sin(A+B)=sinAcosB−cosAsinBsinAcosB+cosAsinB.\frac{\sin(AB)}{\sin (A+B)}=\frac{\sin A\cos B-\cos A\sin B}{\sin A\cos B+\cos A\sin B}.sin(A+B)sin(A-B )=sinAcosB+cosAsinBsinAcosB−cosAsinB. Теперь разделим числитель и знаменатель на cosAcosB\cos A\cos BcosAcosB, чтобы получить тангенсы следующим образом: sinAcosB−cosAsinBsinAcosB+cosAsinB=sinAcosA−sinBcosBsinAcosA+sinBcosB=tanA−tan БтанА+танБ.□\frac{\sin A\cos B-\cos A\sin B}{\sin A\cos B+\cos A\sin B}=\frac{\hspace{3mm} \frac{\sin A}{\ cos A} — \ frac {\ sin B} {\ cos B} \ hspace {3mm}} {\ frac {\ sin A} {\ cos A} + \ frac {\ sin B} {\ cos B}} = \frac{\tan A-\tan B}{\tan A+\tan B}.\ _\squaresinAcosB+cosAsinBsinAcosB-cosAsinB=cosAsinA+cosBsinBcosAsinA-cosBsinB=tanA+tanBtanA-tanB. □ [Другое решение] Приведенное выше решение может показаться довольно сложным. tanA-tanBtanA+tanB=sinAcosA-sinBcosBsinAcosA+sinBcosB=sinAcosB-cosAsinBcosAcos BsinAcosB−cosAsinBcosAcosB=sin(A−B)sin(A+B)=sin(A−B)sin(A+B)sin2( A+B)=-12⋅cos2A-cos2Bsin2(A+B)=-12⋅1-2sin2A-(1-2sin2B)sin2(A+B)=sin 2A−sin2Bsin2(A+B)=LHS.2(А+В)}\\\\
&=ЛВС.\ _\квадрат
\end{aligned}tanA+tanBtanA-tanB=cosAsinA+cosBsinBcosAsinA-cosBsinB=cosAcosBsinAcosB-cosAsinBcosAcosBsinAcosB-cosAsinB=sin(A+B)sin(A-B)=sin2 (A+B)sin(A−B)sin(A+B)=−21⋅sin2(A+B)cos2A−cos2B=−21⋅sin2(A+B)1−2sin2A−(1 −2sin2B)=sin2(A+B)sin2A−sin2B=LHS. □ В качестве важной части математики, преподаваемой в классах более высокого уровня, учащиеся изучают базовых тождеств триггеров или тригонометрических тождеств . В общем случае тригонометрические тождества представляют собой уравнения, полученные из основных понятий математики.Функции составляют эти уравнения. Для любой входной переменной эти триггерные тождества оказываются верными. Через основные функции можно увидеть, что существует несколько триггерных тождеств, которые выводятся и оцениваются. Три основные функции тригонометрии обозначаются как синус, косинус и тангенс. Это считается самым первым основным тригонометрическим тождеством. В прямоугольном треугольнике, где θ — угол, функция косинуса записывается как Cos(θ) = Смежная сторона/сторона гипотенузы. Пифагорейская идентичность — это самая основная триггерная идентичность. Это вытекает из концепции теоремы Пифагора. Благодаря приложениям этой теоремы можно определить математические уравнения. Теорема помогает учащемуся установить соотношение между углами и прямыми в прямоугольном треугольнике. Гиперболические тождества, тождества половинного угла и обратные тождества являются другими важными тригонометрическими тождествами.Гипербола синус и гипербола косинус считаются основными гиперболическими функциями. Благодаря этому могут быть установлены многие другие функции. Функции Arcus называются обратными триггерными функциями. Они известны как взаимные тождества sin, cos и tan, которые охватывают и другие функции. |
2\frac{3x+\frac\pi3}{2}}=0\Rightarrow tg\frac{3x+\frac\pi3}{2}=0\Rightarrow\frac{3x+\frac\pi3}{2}=\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow 3x+\frac\pi3=2\pi k=3x=-\frac\pi3+2\pi k\Rightarrow=-\frac\pi9+\frac{2\pi}{3} \end{gather*} При использовании универсальной подстановки потеряна половина корней (период увеличился в 2 раза). Это связано с тем, что мы отбросили еще одно решение: \(tg\frac{3x+\frac\pi3}{2}\rightarrow\infty\) — значение тангенса у асимптот. Действительно, в этом случае дробь стремится к 0, что удовлетворяет уравнению. Получаем: \begin{gather*} \frac{3x+\frac\pi3}{2}=\frac\pi2+\pi k\Rightarrow 3x+\frac\pi3=\pi+2\pi k\Rightarrow 3x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\Rightarrow x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3} \end{gather*} Таким образом, мы получили два семейства решений: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3}\\ x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. \end{gather*} Представим последовательности решений в градусах, подставляя возрастающие значения \(k\): \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-20^{\circ}+120^{\circ}k=\left\{.
{\circ},…\right\} $$ Получаем, что: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3}\\ x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow x=-\frac\pi9+\frac{\pi k}{3} \end{gather*} Ответы и множества решений после учета значений у асимптот совпадают.
Подставляя в уравнение, получаем, что и , а это невозможно.
Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения , для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.
Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:
Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.
Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90
градусов.
Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.
_1-228x228.jpg)
— 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
выше
)
и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.
Существует семь
основных методов решения
тригонометрических уравнений. 
Решить уравнение:
cos 2 x – cos
8 x +
cos
6 x = 1.
. . . . . . . . .
Эти формулы тригонометрии включают тригонометрические функции, такие как синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс, котангенс для заданных углов. Давайте изучим эти формулы, включающие тождества Пифагора, тождества произведения, тождества кофункций (углы сдвига), тождества суммы и разности, тождества двойного угла, тождества половинного угла и т. Д.подробно в следующих разделах.
д.
Все взаимные тождества также получены с использованием прямоугольного треугольника в качестве эталона. Эти взаимные тригонометрические тождества выводятся с использованием тригонометрических функций. Формулы тригонометрии на взаимных тождествах, приведенные ниже, часто используются для упрощения тригонометрических задач.
д.Все тригонометрические тождества цикличны по своей природе, что означает, что они повторяются через точку. Этот период различен для разных формул тригонометрии периодических тождеств. Например, tan 30° = tan 210°, но это неверно для cos 30° и cos 210°. Вы можете обратиться к формулам тригонометрии, приведенным ниже, чтобы проверить периодичность функций синуса и косинуса.
Формулы тригонометрии кофункций представлены в градусах ниже:
д.
Здесь x может иметь значения в целых числах, десятичных дробях, дробях и показателях степени.
Например, длину «а» можно найти с помощью двух других сторон «b» и «с» и прилежащего к ним угла «А».
Они задаются следующим образом: sin θ = Противоположная сторона/Гипотенуза, cos θ = Прилегающая сторона/Гипотенуза, tan θ = Противоположная сторона/Прилегающая сторона.
Эти тригонометрические формулы представляют собой тригонометрические отношения с точки зрения отношения соответствующих сторон прямоугольного треугольника.
Такие уравнения называются тождествами , и в этом разделе мы обсудим несколько тригонометрических тождеств , т. е. тождеств с тригонометрическими функциями. Эти тождества часто используются для упрощения сложных выражений или уравнений. Например, одним из самых полезных тригонометрических тождеств является следующее:
2 \;\theta \label{3.2 \;\тета ~+~ 4 
2 \;\theta}{\sec\;\theta} ~=~ \csc\;\theta ~ \cot\;\theta\; \ ).2 \;\theta}{\sec\;\theta} 
(Если это не прямоугольный треугольник, перейдите на страницу «Тождества треугольников».) 
5299…
\]
4. Случай
\]
\]
\]
, \Rightarrow \tan x = \pm 1.\]
Они называются законом косинусов и законом синусов.
Используйте это, когда вы знаете две стороны, a и b , и прилежащий угол, C . Площадь равна половине произведения двух сторон на синус прилежащего угла.
Заменив sin2θ \sin 2 \thetasin2θ на 2sinθcosθ 2 \sin \theta \cos \theta 2sinθcosθ, мы получим
□ RHS = \frac{ — (\cos x — \sin x) (\cos x + \sin x)} { (\sin x + \cos x) (\sin x + \cos x)} = \frac{ \sin x — \cos x } { \sin x + \cos x } = LHS.\ _\square RHS=(sinx+cosx)(sinx+cosx)−(cosx−sinx)(cosx+sinx)=sinx +cosxsinx-cosx=LHS. □
Если вы застряли, пытаясь организовать LHS, переключение и решение RHS может сработать.Просто попробуйте преобразовать тангенсы в синусы и косинусы, используя формулу tan=sinθcosθ\tan=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}tan=cosθsinθ, и решите задачу в обратном порядке. направление первого решения, как показано ниже:
Чтобы узнать о тригонометрических тождествах, студентов учат базовой концепции тригонометрии. Учащиеся могут загрузить и распечатать эти основные триггерные тождества в формате PDF. Они могут использовать эти данные в любое время для поиска решений уравнений. На самом деле предметная тригонометрия считается важным разделом математики. Из них сегодня возникли триггерные идентичности.
Синусоидальная функция записывается как sin(θ) = противоположная сторона/сторона гипотенузы. Функция касательной записывается как тангенс (θ) = Противоположная сторона / Смежная сторона.