Производные формулы функции: Формулы производных

Таблица производных. Таблица производных полная для студентов и правила дифференцирования. Таблица производных функций. Табличные производные. Формулы производных.

Урок 12. производная степенной функции — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №12. Производная степенной функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• разбор понятия производной степенной функции;
• вычисление производной степенной функции;
• знакомство с правилами вычисления производных одночлена и многочлена.

Глоссарий по теме

Формула для вычисления производной степенной функции x

(xⁿ) ‘ =nx^n-1

Формула для вычисления производной степенной функции (kx+b)^p:

((kx+b)^p) ‘ = pk(kx+b)^p

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Формула для вычисления производной степенной функции xⁿ, где n – произвольное натуральное число, такова: (xⁿ)’=nx^n-1.

Нам уже известна формула производной функции х²: (x²)’=2x.

Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:

(x³) ‘ = (x²·x) ‘ = (x²) ‘ · x + x² · (x) ‘ = 2x·x+x²·1 = 3x²;

(x⁴) ‘ = (x³·x) ‘ = (x³) ‘·x+x³·(x) ‘ = 3x²·x+x³·1 = 4x³.

Заметим, что

(x²) ‘ = 2x^2-1

(x³

(x⁴)’=4x^4-1

Т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т.д.

Пример 1.

Докажем что, , при .

Решение:

1. представим как х^-1;
2. воспользуемся формулой (1): (х^-1)’=-1·x^-1-1=-x^-2;
3. вернемся к первоначальному виду

.

В более сложных случаях, например, при нахождении производной функции (3х-1)⁷, можно воспользоваться следующей формулой:

((kx+b)^p)’=pk(kx+b)^p-1

Пример

Найдем производную функции (3х-1)

Решение:

воспользуемся формулой (2)

((3х-1)⁷)’=21(3x-1)⁶.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Вычислить f’(9), если .

Решение:

;

.

Пример 2

Доказать, что на промежутке:

1. x>0;
2. x<0.

Доказательство:

1. если x>0, то и по формуле (1) получаем:

.

1. если x<0, то и по формуле (2) получаем:

.

Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.

Численное дифференцирование в Excel | Металловедение

Для решения  многих инженерных задач часто требуется вычисление производных. Когда есть формула, описывающая процесс, сложностей никаких нет: берем формулу и вычисляем производную, как учили еще в школе, находим значения производной в разных точках, и всё. Сложность, наверное, только в этом и состоит, чтобы вспомнить, как вычислять производные. А как быть, если у нас есть только несколько сотен или тысяч строк с данными, а никакой формулы нет? Чаще всего именно так на практике и бывает. Предлагаю два способа.

Первый заключается в том, что мы наш набор точек аппроксимируем стандартной функцией Excel, то есть подбираем функцию, которая лучше всего ложится на наши точки (в Excel это линейная функция, логарифмическая, экспоненциальная, полиномиальная и степенная). Второй способ – численное дифференцирование, для которого нам нужно будет только умение вводить формулы.

Вспомним, что такое производная вообще:

Производной функции f (x) в точке x называется предел отношения приращения Δf функции в точке x к приращению Δx аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Вот и воспользуемся этим знанием: будем просто брать для расчета производной очень маленькие значения приращения аргумента, т.е. Δx.

Для того, чтобы найти приближённое значение производной в нужных нам точках (а у нас точки – это различные значения степени деформации ε) можно поступить вот как. Посмотрим еще раз на определение производной  и видим, что при использовании малых значений приращения аргумента Δε (то есть малых приращений степени деформации, которые регистрируются при испытаниях) можно заменить значение реальной производной в точке x₀ (f’(x₀)=dy/dx (x₀)) на отношение Δy/Δx=(f (x₀+ Δx) – f (x₀))/Δx.

То есть вот что получается:

f’(x₀) ≈(f (x₀+ Δx) – f (x₀))/Δx          (1)

Для вычисления этой производной в каждой точке мы производим вычисления с использованием двух соседних точек: первая с координатой ε_{0по горизонтальной оси, а вторая с координатой x0 + Δx, т.е. одна – производную в которой вычисляем и та, что поправее. Вычисленная таким образом производная называется разностной производной вправо (вперед) с шагом Δx.}

Можем поступить наоборот, взяв уже другие две соседние точки: x₀ — Δx и x₀, т.е интересующую нас и ту, что левее. Получаем формулу для вычисления разностной производной влево (назад) с шагом — Δx.

f’(x₀) ≈(f (x₀) – f (x₀— Δx))/Δx          (2)

Предыдущие формулы были «левые» и «правые», а есть еще одна формула, которая позволяет вычислять центральную разностною производную с шагом 2 Δx, и которая чаще других используется для численного дифференцирования:

f’(x₀) ≈(f (x₀₊ Δx) – f (x₀— Δx))/2Δx          (3)

Для проверки формулы рассмотрим простой пример с известной функцией y=x³. Построим таблицу в Excel с двумя с столбцами: x и y, а затем построим график по имеющимся точкам.

Производная функции y=x³ это y=3x², график которой, т.е. параболу, мы и должны получить с использованием наших формул.

data-ad-client=»ca-pub-9341405937949877″
data-ad-slot=»7535111348″>

Попробуем вычислить значения центральной разностной производной в точках х. Для этого. В ячейке второй строки нашей таблицы забиваем нашу формулу (3), т.е. следующую формулу в Excel:

Далее, воспользовавшись автозаполнением, копируем эту формулу во все нижние ячейки (тянем за нижнюю правую часть прямоугольника, который указывает на текущую ячейку):

Теперь строим график с использованием уже имеющихся значений х и полученных значений центральной разностной производной:

А вот и наша красненькая парабола! Значит, формула работает!

Ну а теперь можем перейти к конкретной инженерной задаче, про которую говорили в начале статьи – к нахождению изменения dσ/dε с увеличением деформации.6, {x, 3}]

Или несколько раз запишем символ штриха:

Sin''[x]

Также, как и в предыдущих разделах, формулы математического анализа доступны через естественную форму ввода:

product rule formula

Справочная информация: Математический анализ »

Hands–on Start to
Wolfram Mathematica »

Полная документация »

Demonstrations Project »

10.3.0. Вычисление производных.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 397 Опубликовано 16 февраля 2013

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x⁷+x⁵-x⁴+x³-x²+x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:

y’=7x⁶+5x⁴-4x³+3x²-2x+1.

2. y=3x⁶-2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x⁵-2=18x⁵-2.

Применяем правило I,  формулы 3, 5 и 6 и 1.

 Применяем правило IV, формулы 5 и 1.

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных,  а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные  2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну  формулу.

Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Производные высших порядков. Правила и примеры

Под производной высших порядков понимают дифференцирования функции более одного раза. Если производнуюповторно дифференцировать, то получим производную второго порядка, или вторую производную функции , и она обозначается

Производная третьего порядка будет иметь вид

Аналогично получают формулы для нахождения производных высших порядков. При нахождении производной порядке необходимо иметь производную порядка. Исключение составляют функции для которых можно заметить тенденцию изменения производных. Это степенные, некоторые тригонометрические и экспоненциальные функции:

В других случаях, для нахождения производных высших порядков от заданной функции нужно последовательно находить все ее производные низших порядков. Для практического усвоения материала рассмотрим примеры.

Пример 1.

Вычислить производные второго порядка

1)

2)

3)

4)

Решение.

1) По правилам дифференцирования параметрических функций имеем

Применим к заданной функции. Найдем производную

Дифференцируем второй раз. По правилу дифференцирования получим

По формуле вычисляем

2)Определяем первую производную для функции

Вычисляем вторую производную

3)Вычислим первую производную

а потом вторую

При нахождении производной второго и высших порядков для данного примера и ему подобных можно пользоваться следующим правилам:

1) если степень функции меньше порядка производной , то она вклада не дает

2) все старшие степени дают вклад

По такой схеме вторую производную можно было найти так:

Для практики второй способ эффективнее, особенно если нужно найти производные гораздо более высоких порядков чем второй.

4) Производную функции первого порядка будет иметь вид

второго порядка

По аналогии можно вывести формулу для производной экспоненциальной функции порядка

Решая примеры для синус и косинус функций можно заметить сходство при исчислении старших производных и вывести следующие зависимости

Пользуйтесь и пусть не возникают проблемы с производными высших порядков.

Введение в производные инструменты

Все дело в наклоне!

Найдем производную!

Чтобы найти производную функции y = f (x), воспользуемся формулой наклона:

Наклон = Изменение в иен Изменение в X = Δy Δx

И (из диаграммы) видим, что:

Теперь выполните следующие действия:

• Заполните эту формулу наклона: Δy Δx = f (x + Δx) — f (x) Δx
• Упростите как можно лучше
• Затем сделайте Δx сжатием до нуля.

Как это:

Пример: функция

Мы знаем f (x) = x ² , и мы можем вычислить f (x + Δx) :

Формула наклона: f (x + Δx) — f (x) Δx

Положите f (x + Δx) и f (x) : x ² + 2x Δx + (Δx) ² — x ² Δx

Упростить (x ² и −x ² отменить): 2x Δx + (Δx) ² Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): = 2x + Δx

Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , получаем: = 2x

Результат: производная x ² равна 2x

Другими словами, наклон в точке x равен 2x

Мы пишем dx вместо «Δx головок по направлению к 0» .

И «производная от» обычно пишется d dx вот так:

d dx x ² = 2x
«Производная x ² равна 2x »
или просто «d dx x ² равно 2x »

Итак, что означает

Это означает, что для функции x ² наклон или «скорость изменения» в любой точке составляет 2x .

Итак, когда x = 2 , наклон равен 2x = 4 , как показано здесь:

Или, когда x = 5 , наклон равен 2x = 10 и так далее.

Примечание: f ’(x) также может использоваться как« производная от »:

f ’(x) = 2x
» Производная f (x) равна 2x «
или просто » f-тире x равно 2x «

Попробуем другой пример.

Пример: Что такое

Мы знаем f (x) = x ³ и можем вычислить f (x + Δx) :

Формула наклона: f (x + Δx) — f (x) Δx

Положите f (x + Δx) и f (x) : x ³ + 3x ² Δx + 3x (Δx) ² + (Δx) ³ — x ³ Δx

Упростить (x ³ и −x ³ отменить): 3x ² Δx + 3x (Δx) ² + (Δx) ³ Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): 3x ² + 3x Δx + (Δx) ²

Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , мы получаем: 3x ²

Результат: производная x ³ равна 3x ²

Поиграйте с этим с помощью плоттера производных.

Производные от других функций

Мы можем использовать тот же метод для вычисления производных других функций (например, синуса, косинуса, логарифмов и т. Д.).

Пример: какова производная sin (x)?

В правилах производных финансовых инструментов он указан как cos (x)

Готово.

Но пользоваться правилами бывает непросто!

Пример: какова производная от cos (x) sin (x)?

Мы получим неправильный ответ , если попытаемся умножить производную cos (x) на производную sin (x)…!

Вместо этого мы используем «Правило продукта», как описано на странице «Производные правила».

И фактически получается, что cos ² (x) — sin ² (x)

Итак, это ваш следующий шаг: научитесь использовать правила.

Обозначение

«Сжатие до нуля» на самом деле записывается как предел, например:

f ’(x) = lim Δx → 0 f (x + Δx) — f (x) Δx

«Производная f равна
пределу, когда Δx стремится к нулю f (x + Δx) — f (x) по Δx»

Или иногда производная записывается так (объяснено в Производных как dy / dx):

dy dx = f (x + dx) — f (x) dx

Процесс нахождения производной называется «дифференцированием».

Вы, , проводите дифференциацию … до получаете производную.

Куда дальше?

Иди и узнай, как находить деривативы с помощью правил деривативов, и получи много практики:

3.2: Производная как функция

Цели обучения

• Определите производную функцию заданной функции.
• Постройте производную функцию от графика заданной функции.
• Укажите связь между производными и непрерывностью.
• Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
• Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции.Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Производные функции

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная. Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение: производная функция

Пусть \ (f \) — функция.Производная функция , обозначаемая \ (f ‘\), является функцией, область определения которой состоит из таких значений \ (x \), что существует следующий предел:

\ [f ‘(x) = \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h}. \ label {derdef} \]

Функция \ (f (x) \) называется дифференцируемой в точке \ (a \), если существует \ (f ‘(a) \). В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на \ (S \), если она дифференцируема в каждой точке открытого множества \ (S \), а дифференцируемая функция — это функция, в которой \ (f ‘( x) \) существует в своем домене.

В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ ref {derdef}, чтобы найти производную функции.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск производной функции квадратного корня

Найдите производную от \ (f (x) = \ sqrt {x} \).

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции. 2 \).2−2x \ справа) = 2x − 2 \). Таким образом, для функции \ (y = f (x) \) каждое из следующих обозначений представляет производную от \ (f (x) \):

\ (f ‘(x), \ quad \ dfrac {dy} {dx}, \ quad y’, \ quad \ dfrac {d} {dx} \ big (f (x) \ big) \).

Вместо \ (f ‘(a) \) мы также можем использовать \ (\ dfrac {dy} {dx} \ Big | _ {x = a} \). Нотация \ (\ dfrac {dy} {dx} \) (называемая нотацией Лейбница) довольно распространена в технике и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной.Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \ (\ dfrac {Δy} {Δx} \), где \ (Δy \) — разность значений \ (y \), соответствующая разнице в \ (x \) значения, которые выражаются как \ (Δx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения \ (y \) по отношению к \ (x \), выражается как

\ (\ Displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

Построение графика производной

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \ (f ‘(x) \) дает скорость изменения функции \ (f (x) \) (или наклон касательной линия к \ (f (x) \)).

В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы обнаружили, что для \ (f (x) = \ sqrt {x} \), \ (f ‘(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt { Икс}}\).Если мы построим график этих функций на тех же осях, как на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \ (f (x) \) увеличивается по всей своей области, а это означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем \ (f ‘(x)> 0 \) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \ (x \) наклон касательных к \ (f (x) \) уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \ (f ‘(x) \).2−2x, \; f ‘(x) = 2x − 2 \). Графики этих функций показаны на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Обратите внимание, что \ (f (x) \) убывает при \ (x <1 \). Для тех же значений \ (x \), \ (f '(x) <0 \). Для значений \ (x> 1 \), \ (f (x) \) увеличивается и \ (f ‘(x)> 0 \). Кроме того, \ (f (x) \) имеет горизонтальную касательную в \ (x = 1 \) и \ (f ‘(1) = 0 \).

Пример \ (\ PageIndex {3} \): эскиз производной с использованием функции

Используйте следующий график \ (f (x) \), чтобы нарисовать график \ (f ‘(x) \).2−4 \). На каком интервале находится график \ (f ‘(x) \) над осью \ (x \)?

Подсказка

График \ (f ‘(x) \) положительный, где \ (f (x) \) возрастает.

Ответ

\ ((0, + ∞) \)

Деривативы и непрерывность

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью.Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Дифференцируемость предполагает непрерывность

Пусть \ (f (x) \) — функция и \ (a \) находится в ее области определения. Если \ (f (x) \) дифференцируема в \ (a \), то \ (f \) непрерывна в \ (a \).

Проба

Если \ (f (x) \) дифференцируемо в \ (a \), то \ (f ‘(a) \) существует и, если мы положим \ (h = x — a \), то \ (x = a + h \), и поскольку \ (h = xa \ to 0 \), мы можем видеть, что \ (x \ to a \).

Затем

\ [f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ nonumber \]

можно переписать как

\ (F ‘(a) = \ displaystyle \ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \).

Мы хотим показать, что \ (f (x) \) непрерывно в \ (a \), показав, что \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a). \) Таким образом,

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) & = \ lim_ {x → a} \; \ big (f (x) −f (a) + f (a) \ big) \\ [4pt]
& = \ lim_ {x → a} \ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x − a} ⋅ (x − a) + f (a) \ right) & & \ text {Умножить и разделить} (f (x) −f (a)) \ text {by} x − a.\\ [4pt]
& = \ left (\ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \ right) ⋅ \ left (\ lim_ {x → a} \; (x − a) \ right) + \ lim_ {x → a} f (a) \\ [4pt]
& = f ‘(a) ⋅0 + f (a) \\ [4pt]
& = f (а). \ end {align *} \)

Следовательно, поскольку \ (f (a) \) определено и \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a) \), мы заключаем, что \ (f \) непрерывно в \ (а \).

□

Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию \ (f (x) = | x | \).2}} = + ∞ \).

Таким образом, \ (f ‘(0) \) не существует. Быстрый взгляд на график \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \ (0 \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

Функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {ases} \) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение в \ (0 \).

Мы видим, что

\ (е ‘(0) = \ displaystyle \ lim_ {x → 0} \ frac {x \ sin \ left (1 / x \ right) −0} {x − 0} = \ lim_ {x → 0} \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right) \).

Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).

Итого:

1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
2. Мы видели, что \ (f (x) = | x | \) не может быть дифференцируемым в \ (0 \), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не одинаков. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в точке \ (0.\) Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
3. Как мы видели в примере с \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
4. Как мы видели с \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.2 + bx + c, & & \ text {if} x <−10 \\ - \ frac {1} {4} x + \ frac {5} {2}, & & \ text {if} x≥ − 10 \ end {case} \), где \ (x \) и \ (f (x) \) указаны в дюймах. Чтобы машина могла плавно двигаться по рельсам, функция \ (f (x) \) должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой в точке \ (- 10 \). Найдите значения \ (b \) и \ (c \), которые делают \ (f (x) \) одновременно непрерывным и дифференцируемым.
   Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой. {\ text {th}} \), называется производной более высокого порядка

   Авторы и авторство

   • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

   • Пол Сибургер (Колледж Монро) добавил объяснение альтернативного определения производной, используемого в доказательстве того, что дифференцируемость подразумевает непрерывность.

   Исчисление I — формулы дифференцирования

   Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

   Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

   Раздел 3-3: Формулы дифференцирования

   В первом разделе этой главы мы увидели определение производной и вычислили пару производных, используя это определение.Как мы видели в этих примерах, для вычисления пределов потребовалось изрядное количество работы, а функции, с которыми мы работали, были не слишком сложными.

   Для более сложных функций использование определения производной было бы практически невыполнимой задачей. К счастью для нас, нам не придется слишком часто использовать это определение. Нам придется иногда использовать его, однако у нас есть большой набор формул и свойств, которые мы можем использовать, чтобы значительно упростить нашу жизнь и позволят нам по возможности избегать использования определения.\ prime} = f ‘\ left (x \ right) \ pm g’ \ left (x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ mbox {OR} \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {d} {{dx} } \ left ({f \ left (x \ right) \ pm g \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {{df}} {{dx}} \ pm \ frac {{dg}} { {dx}} \)

   Другими словами, чтобы дифференцировать сумму или разность, все, что нам нужно сделать, это дифференцировать отдельные термины, а затем снова сложить их вместе с соответствующими знаками. Также обратите внимание, что это свойство не ограничивается двумя функциями.

   См. Раздел «Доказательство различных формул производных» в главе «Дополнительно», чтобы увидеть доказательство этого свойства.\ prime} = cf ‘\ left (x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ mbox {OR} \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {d} {{dx}} \ left ({cf \ left (x \ right)} \ right) = c \ frac {{df}} {{dx}} \), \ (c \) — любое число

   Другими словами, мы можем «вынести» мультипликативную константу из производной, если нам нужно. См. Раздел Доказательство различных формул производных в главе Дополнительные возможности, чтобы увидеть доказательство этого свойства.

Обратите внимание, что мы не включали здесь формулы для производной от произведений или частных двух функций.Производная продукта или частное двух функций не является продуктом или частным производных отдельных частей. Мы рассмотрим их в следующем разделе.

Затем давайте кратко рассмотрим пару основных «вычислительных» формул, которые позволят нам фактически вычислить некоторые производные.

Формулы

1. Если \ (е \ влево (х \ вправо) = с \), то \ (\ displaystyle f ‘\ left (x \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ mbox {OR} \ hspace {0. 2} — 7t + 10} \ right) = 6 \ left ({t — 2 } \ right) \ left ({t — 5} \ right) \]

   Причина факторинга производной станет очевидной в ближайшее время.

   Теперь нам нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна. Есть несколько способов сделать это. Мы предпочитаем следующий метод.

   Поскольку многочлены непрерывны, мы знаем из теоремы о промежуточном значении, что если многочлен когда-либо меняет знак, то он должен сначала пройти через ноль. Итак, если бы мы знали, где производная равна нулю, мы бы знали единственные точки, где производная могла бы изменить знак .

   Из факторизованной формы производной видно, что производная будет равна нулю при \ (t = 2 \) и \ (t = 5 \). Изобразим эти точки на числовой прямой.

   Теперь мы видим, что эти две точки делят числовую прямую на три отдельные области. В каждой из этих областей мы, , знаем , что производная будет того же знака. Напомним, что производная может изменить знак только в двух точках, которые используются для разделения числовой линии на регионы.

   Следовательно, все, что нам нужно сделать, это проверить производную в контрольной точке в каждой области, и производная в этой области будет иметь тот же знак, что и контрольная точка. Вот числовая линия с показанными контрольными точками и результатами.

   Вот интервалы, в которых производная положительна и отрицательна.

   \ [\ begin {array} {rl} {{\ mbox {positive:}}} & {- \ infty

   Мы включили сюда отрицательные \ (t \), потому что мы могли бы, даже если они могут не иметь большого смысла для этого проблема.Как только мы это узнаем, мы также сможем ответить на вопрос. Объект перемещается вправо и влево в следующие интервалы.

   \ [\ begin {array} {rl} {{\ mbox {движется вправо:}}} & {- \ infty

   Убедитесь, что вы можете выполнять ту работу, которую мы только что проделали в этом примере. В течение следующих двух глав вас будут неоднократно просить определить, где функции являются положительными и / или отрицательными. Если вам нужен обзор или вы хотите попрактиковаться в решении подобных задач, вам следует заглянуть в раздел «Устранение неравенств» в «Обзоре алгебры / триггера».

   Формулы первой производной функции

   y является функцией y = y (x)
   C = константа, производная (y ‘) константы равна 0

   у = С => у ‘= 0
   

   Пример: y = 5, y ‘= 0

   Если y является функцией типа y = x ⁿ формула производной:

   y = x ⁿ => y ‘= nx ^n-1

   Пример: y = x ³ y ‘= 3x ^3-1 = 3x ²
   y = x ^-3 y’ = -3x ^-4

   Из верхней формулы для производной y ‘функции y = x = x ¹ можно сказать, что:

   если y = x, то y ‘= 1

   y = f ₁ (x) + f ₂ (x) + f ₃ (x)… =>
   y ‘= f’ ₁ (x) + f ‘ ₂ (x) + f’ ₃ (x) …

   Эта формула представляет собой производную функции, которая является суммой функций.
   Пример: если у нас есть две функции f (x) = x ² + x + 1 и g (x) = x ⁵ + 7 и y = f (x) + g (x), тогда y ‘= f’ (x) + g ‘(x) =>
   y’ = (x ² + x + 1) ‘+ (x ⁵ + 7)’ = 2x ¹ + 1 + 0 + 5x ⁴ + 0 = 5x ⁴ + 2x + 1
   

   Если функция является кратной из двух функций, производная определяется следующим образом:

   у = f (х).g (x) => y ‘= f’ (x) g (x) + f (x) g ‘(x)

   Если f (x) = C (C — константа) и y = f (x) g (x)
   y = Cg (x) y ‘= C’.g (x) + C.g’ (x) = 0 + C.g ‘(x) = C.g’ (x)

   у = Cf (x) => y ‘= C.f’ (x)

   В разделе задач есть примеры следующих формул.

   у =

   г ‘=

   f ‘(x) g (x) — f (x) g’ (x) g 2 (x)

   y = ln x => y ‘= ¹ / _x

   y = e ^x => y ‘= e ^x

   у = грех х => у ‘= соз х

   y = cos x => y ‘= -sin x

   y = tan x => y ‘= ¹ / _{cos ² x}

   y = детская кроватка x => y ‘= — ¹ / _{sin ² x}

   Когда функция является функцией функции: u = u (x)

   y = f (u) => y ‘= f’ (u).ты

   Пример: пусть дан y = sin (x ² )
   Здесь u = x ² , f (u) = sin (u), производные f ‘(u) = cos (u), u’ = 2x
   y ‘= (sin (u))’ ⋅u ‘= cos (x ² ) ⋅2x = 2⋅x⋅cos (x ² )

   Проблемы с производными

   1) f (x) = 10x + 4y, Какая первая производная f ‘(x) =?
   Решение: Мы можем использовать формулу для производной функции, которая является суммой функции
   f (x) = f ₁ (x) + f ₂ (x), f ₁ (x) = 10x, f ₂ (x) = 4y для функции f ₂ (x) = 4y, y является константой, поскольку аргумент f ₂ (x) равен x поэтому f ‘ ₂ (x) = (4y)’ = 0.Следовательно, производная функция f (x) равна: f ‘(x) = 10 + 0 = 10.

   ---

   2) Вычислить производную f (x) =

   Решение: У нас есть две функции: h (x) = x ¹⁰ и g (x) = 4,15 + cos x
   , функция f (x) — это h (x), деленная на g (x). h ‘(x) = 10x ⁹ g’ (x) = 0 — sin x = -sin x

   f ‘(x) =

   h ‘(x) .g (x) — h (x) .g’ (x) (g (x)) 2

   f ‘(x) =

   10x 9 (4.15 + cos x) — x 10 (-sin x) (4,15 + cosx) 2

   =

   x 10 sin x + 10 (60 + cos x) x 9 (60 + cosx) 2

   ---

   3) f (x) = ln (sinx). какова производная функции f (x)?
   Решение: Для решения задачи необходимо использовать последнюю формулу. Как мы видим, f (x) является функцией функции функции f (x) = h (g (x)), где h = ln и g = sin x
   

   Калькулятор производных

   Подробнее о производных на математическом форуме

   Регистрация на форуме

   3.2 Производная как функция — Calculus Volume 1

   Цели обучения

   • Определите производную функцию заданной функции.
   • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
   • Укажите связь между производными и непрерывностью.
   • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
   • Объясните значение производной высшего порядка.

   Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

   Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

   Определение

   Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как, — это функция, область определения которой состоит из таких значений, что существует следующий предел:

   .

   Говорят, что функция дифференцируема на , если
   существует. В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на , если она дифференцируема в каждой точке открытого множества, а дифференцируемая функция — это функция, в которой существует в своей области.

   В следующих нескольких примерах мы используем (рисунок), чтобы найти производную функции.

   Нахождение производной функции квадратного корня

   Найдите производную от.

   Решение

   Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте (рисунок).

   Нахождение производной квадратичной функции

   Найдите производную функции.

   Решение

   Выполните здесь ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.

   Найдите производную от.

   Решение

   Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. На (Рисунок) мы показали, что если, то. Если бы мы выразили эту функцию в форме, мы могли бы выразить производную как или. Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от:

   .

   Вместо мы также можем использовать. Использование обозначений (так называемых обозначений Лейбница) довольно распространено в инженерии и физике.Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной. Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде где — разница значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((Рисунок)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения относительно, выражается как

   . Фигура 1.Производная выражается как.

   Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к).

   На (рис.) Мы обнаружили, что для. Если мы построим график этих функций на тех же осях, что и на (Рисунок), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями.Во-первых, мы замечаем, что он увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в его области. Кроме того, по мере увеличения наклон касательных к уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение. Мы также замечаем, что это не определено и соответствует вертикальной касательной к точке 0.

   Рис. 2. Производная везде положительна, потому что функция возрастает.

   На (рис.) Мы обнаружили, что для. Графики этих функций показаны на (Рисунок). Обратите внимание, что для. Для этих же значений. Для значений увеличивается и. Кроме того, имеет горизонтальную касательную в точках и.

   Построение производной с помощью функции

   Используйте следующий график, чтобы нарисовать график.

   Нарисуйте график. На каком интервале находится график выше оси?

   Решение

   Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков.Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

   Проба

   Если дифференцируем в, то существует и

   .

   Мы хотим показать, что это непрерывно, показав это.Таким образом,

   Следовательно, поскольку определено и, заключаем, что непрерывно в точке.

   Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию. Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для,

   .

   Этот предел не существует, потому что

   .

   См. (Рисунок).

   Рисунок 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

   Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не дифференцируема. Рассмотрим функцию:

   .

   Таким образом не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((рисунок)).

   Рисунок 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке. Он непрерывен в 0, но не дифференцируем в 0.

   У функции также есть производная, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что

   .

   Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).

   Рисунок 6. Функция не дифференцируема в 0.

   Итого:

   1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
   2. Мы видели, что это невозможно дифференцировать в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в 0. Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
   3. Как мы видели в примере, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
   4. Как мы видели, функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.

   Непрерывная и дифференцируемая кусочная функция

   Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее.В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначения для производных высшего порядка от могут быть выражены в любой из следующих форм:

   .

   Интересно отметить, что обозначение для можно рассматривать как попытку выразить более компактно. Аналогично.

   Поиск второй производной

   Для, найдите.

   В поисках ускорения

   Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах).Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.

   • Производная функция
     

   В следующих упражнениях используйте определение производной для поиска.

   1.

   2.

   3.

   4.

   Решение

   5.

   6.

   Решение

   7.

   8.

   Решение

   9.

   10.

   Решение

   Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его производной.

   11. 12.

   Решение

   13. 14.

   Решение

   Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции в.Найти и .

   15.

   16.

   Решение

   17.

   18.

   Решение

   19.

   20.

   Решение

   Для следующих функций:

   1. набросок графика и
   2. используйте определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в.

   21.

   23.

   Для следующих графиков

   1. определяет, для каких значений существует, но не является непрерывным, и
   2. определить, для каких значений функция является непрерывной, но не дифференцируемой в.
   25.

   Для следующих функций используйте, чтобы найти.

   28.

   29.

   30.

   Решение

   Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графиков. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.

   31. [Т]

   33. [Т]

   35. [Т]

   Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций. Обязательно укажите единицы измерения.

   37. обозначает население города во время в годах.

   38. обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную клиентами на концессии в парке развлечений.

   Решение

   а. Средняя ставка, с которой клиенты потратили на уступки, в тысячах на одного покупателя.
   г. Скорость (в тысячах на одного покупателя), по которой покупатели тратили деньги на уступки, в тысячах на одного покупателя.

   39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.

   40. обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту за количество часов обучения.

   Решение

   а. Средняя оценка, полученная за тест, при среднем времени обучения между двумя суммами.
   г. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка по тесту повышалась или понижалась за данное среднее время обучения в часах.

   41. обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.

   42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.

   Решение

   а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
   г. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается на высоте.

   Решение

   а. Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается для данной высоты.
   г. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0.1 градус на фут.

   Решение

   а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
   г. Скорость резко увеличивается до третьей недели, после чего она замедляется, а затем становится постоянной.

   Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.

   Время (секунды)	Высота (метры)
   0	0
   1	2
   2	4
   3	13
   4	25
   5	32

   47. В чем физический смысл? Какие единицы?

   48. [T] Создайте таблицу значений для обоих графиков и на том же графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените левый и правый пределы и усредните их.)

   Решение

   Время (секунды)	(м / с)
   0	2
   1	2
   2	5.5
   3	10,5
   4	9,5
   5	7

   AC Производная функции в точке

   Мгновенная скорость изменения функции — это идея, которая лежит в основе исчисления. Это обобщение понятия мгновенной скорости, которое измеряет, насколько быстро конкретная функция изменяется в данной точке. Если исходная функция представляет положение движущегося объекта, эта мгновенная скорость изменения и есть скорость объекта.В других контекстах мгновенная скорость изменения может измерять количество клеток, добавляемых к культуре бактерий в день, количество дополнительных галлонов бензина, потребляемых за счет увеличения скорости автомобиля на одну милю в час, или количество долларов, добавленных к выплате по ипотеке. за каждый процентный пункт увеличения процентной ставки. Мгновенную скорость изменения также можно интерпретировать геометрически на графике функции, и эта связь является фундаментальной для многих основных идей в исчислении.

   Напомним, что для движущегося объекта с функцией положения \ (s \ text {,} \) его средняя скорость на временном интервале от \ (t = a \) до \ (t = a + h \) определяется как частное

   \ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {s (a + h) -s (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

   Аналогичным образом дадим следующее определение для произвольной функции \ (y = f (x) \ text {.} \)

   Определение 1.3.1.

   Для функции \ (f \ text {,} \) средняя скорость изменения \ (f \) на интервале \ ([a, a + h] \) задается значением

   .

   \ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

   Эквивалентно, если мы хотим рассмотреть среднюю скорость изменения \ (f \) на \ ([a, b] \ text {,} \), мы вычисляем

   \ begin {уравнение *} AV _ {[a, b]} = \ frac {f (b) -f (a)} {b-a} \ text {.} \ end {уравнение *}

   Важно, чтобы вы понимали, как средняя скорость изменения \ (f \) на интервале связана с его графиком.

   Предварительный просмотр деятельности 1.3.1.

   Предположим, что \ (f \) — функция, заданная приведенным ниже графиком, и что \ (a \) и \ (a + h \) — входные значения, отмеченные на оси \ (x \) -. Используйте график на рисунке 1.3.2, чтобы ответить на следующие вопросы.

   Рисунок 1.3.2. График \ (y = f (x) \) для предварительного просмотра 1.3.1.

   1. Найдите и пометьте точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \) на графике.

   2. Постройте прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является отрезком прямой от \ ((a, f (a)) \) до \ ((a + h, f (a + h)) \ text {.} \) Что такое длины соответствующих катетов этого треугольника?

   3. Каков наклон линии, соединяющей точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {?} \)

   4. Напишите содержательное предложение, объясняющее, как связаны средняя скорость изменения функции на заданном интервале и наклон соответствующей линии.

   Подраздел 1.3.1 Производная функции в точке

   Так же, как мы определили мгновенную скорость в терминах средней скорости, теперь мы определяем мгновенную скорость изменения функции в точке в терминах средней скорости изменения функции \ (f \) в связанных интервалах. Эта мгновенная скорость изменения \ (f \) в \ (a \) называется «производной \ (f \) в \ (a \ text {,} \)» и обозначается \ (f ‘ (а) \ text {.} \)

   Определение 1.3.3.

   Пусть \ (f \) будет функцией, а \ (x = a \) значением в области определения функции. Мы определяем производную от \ (f \) относительно \ (x \), вычисленную в \ (x = a \) , обозначенную \ (f ‘(a) \ text {,} \) формулой

   \ begin {уравнение *} f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {,} \ end {уравнение *}

   при условии, что этот предел существует.

   Вслух мы читаем символ \ (f ‘(a) \) как «\ (f \) — простое число в \ (a \)» или «производная от \ (f \), вычисленная в \ (x = текст{.} \) »Большая часть следующих нескольких глав будет посвящена пониманию, вычислению, применению и интерпретации производных. А пока отметим следующие важные вещи.

   Сначала мы рассматриваем производную при заданном значении как наклон определенной линии.

   Когда мы вычисляем мгновенную скорость изменения, мы позволяем интервалу \ ([a, a + h] \) сокращаться как \ (h \ to 0 \ text {.} \). Мы можем представить себе одну конечную точку интервала как «скользящее навстречу» другому. В частности, при условии, что \ (f \) имеет производную в \ ((a, f (a)) \ text {,} \), точка \ ((a + h, f (a + h)) \) будет подход \ ((a, f (a)) \) как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Поскольку процесс установления предела является динамическим, может быть полезно использовать вычислительные технологии для его визуализации. Один из вариантов — это Java-апплет, в котором пользователь может управлять движущейся точкой. Чтобы получить полезную коллекцию примеров, рассмотрите работу Дэвида Остина из Государственного университета Гранд-Вэлли и этот особенно важный пример. Для апплетов, созданных в Geogebra ¹ , см. Библиотеку Марка Рено через Университет Шиппенсбурга, этот пример особенно подходит для нашей работы в этом разделе.

   Вы даже можете подумать о создании своих собственных примеров; фантастическая программа Geogebra доступна для бесплатной загрузки, ее легко изучить и использовать.

   На рис. 1.3.5 показана последовательность фигур с несколькими разными линиями, проходящими через точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {,} \ ), генерируемые разными значениями \ (h \ text {.} \). Эти линии (показанные на первых трех рисунках пурпурным цветом) часто называют секущими линиями кривой \ (y = f (x) \ text { .} \) Секущая кривой — это просто линия, проходящая через две точки на кривой.Для каждой такой линии наклон секущей линии равен \ (m = \ frac {f (a + h) — f (a)} {h} \ text {,} \), где значение \ (h \) зависит от расположения выбранной нами точки. Мы можем видеть на диаграмме, как при \ (h \ to 0 \ text {,} \) секущие линии начинают приближаться к единственной линии, проходящей через точку \ ((a, f (a)) \ text {. } \) Если существует предел наклона секущих линий, мы говорим, что результирующее значение представляет собой наклон касательной линии к кривой. Эта касательная линия (показанная на крайнем правом рисунке зеленым цветом) к графику \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) имеет наклон \ (m = f ‘(текст{.} \)

   Рисунок 1.3.5. Последовательность секущих линий, приближающихся к касательной к \ (f \) в \ ((a, f (a)) \ text {.} \)

   Если касательная линия в \ (x = a \) существует, график \ (f \) выглядит как прямая линия, если смотреть с близкого расстояния в \ ((a, f (a)) \ text {.} \). На рисунке 1.3.6 мы объединяем четыре графика на рисунке 1.3.5 в один слева и увеличьте масштаб прямоугольника с центром в \ ((a, f (a)) \) справа. Обратите внимание на то, как касательная линия расположена относительно кривой \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) и насколько она похожа на кривую около \ (x = a \ text {.2} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

   Затем мы удаляем общий множитель \ (h \) как в числителе, так и в знаменателе и находим, что

   \ begin {уравнение *} f ‘(2) = \ lim_ {h \ to 0} (-3-h) \ text {.} \ end {уравнение *}

   Наконец, мы можем взять предел как \ (h \ to 0 \ text {,} \) и, таким образом, сделать вывод, что \ (f ‘(2) = -3 \ text {. 2 \) в точке \ ((2, -2) \ text {.2 \) в точке \ ((2, -2) \ text {.} \)

   Следующие упражнения помогут вам изучить множество ключевых идей, связанных с производными финансовыми инструментами.

   Мероприятие 1.3.2.

   Рассмотрим функцию \ (f \), формула которой имеет вид \ (\ displaystyle f (x) = 3–2x \ text {.} \)

   1. Какой знакомый тип функции — \ (f \ text {?} \) Что вы можете сказать о наклоне \ (f \) при каждом значении \ (x \ text {?} \)
   2. Вычислить среднюю скорость изменения \ (f \) на интервалах \ ([1,4] \ text {,} \) \ ([3,7] \ text {,} \) и \ ([5, 5 + h] \ text {;} \) максимально упростите каждый результат.Что вы заметили в этих количествах?
   3. Используйте определение предела производной, чтобы вычислить точную мгновенную скорость изменения \ (f \) относительно \ (x \) при значении \ (a = 1 \ text {.} \), То есть вычислить \ (f ‘(1) \) с использованием определения предела. Показать свою работу. Ваш результат удивителен?
   4. Без дополнительных вычислений, каковы значения \ (f ‘(2) \ text {,} \) \ (f’ (\ pi) \ text {,} \) и \ (f ‘(- \ sqrt {2}) \ text {?} \) Почему?

   Мероприятие 1.3.3.2 + 16t + 32 \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на каждый из следующих вопросов.

   1. Нарисуйте точный помеченный график \ (s \) по осям, представленным на рисунке 1.3.10. Вы должны уметь делать это без использования вычислительной техники.

      Рисунок 1.3.10. Оси для построения \ (y = s (t) \) в упражнении 1.3.3.
   2. Вычислите среднюю скорость изменения \ (s \) на временном интервале \ ([1,2] \ text {.} \) Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
   3. Используйте определение предела, чтобы вычислить мгновенную скорость изменения \ (s \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 1 \ text {.} \) Покажите свой используйте правильные обозначения, включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
   4. На вашем графике в (a) нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (s \) на \ ([1,2] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенное скорость изменения \ (s \) в момент \ (a = 1 \ text {.{t / 5} \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на следующие вопросы.

      1. Нарисуйте точный график \ (P \) для значений от \ (t = 0 \) до \ (t = 5 \) по осям, представленным на рисунке 1.3.11. Тщательно промаркируйте шкалу на осях.

         Рисунок 1.3.11. Оси для построения \ (y = P (t) \) в упражнении 1.3.4.
      2. Вычислите среднюю скорость изменения \ (P \) между 2030 и 2050 годами. Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение (на повседневном языке) найденного вами значения.
      3. Используйте определение предела, чтобы написать выражение для мгновенной скорости изменения \ (P \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \ ) Объясните, почему этот предел сложно точно оценить.
      4. Оцените предел в (c) для мгновенной скорости изменения \ (P \) в момент \ (a = 2 \), используя несколько малых значений \ (h \). Как только вы определили точную оценку \ (P ‘(2) \ text {,} \), включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение (используя повседневный язык), чтобы объяснить значение найденного вами значения.
      5. На приведенном выше графике нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (P \) на \ ([2,4] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет собой мгновенную скорость изменения. \ (P \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \)
      6. В тщательно сформулированном предложении опишите поведение \ (P ‘(a) \) при увеличении значения \ (a \). Что это отражается на поведении данной функции \ (P \ text {?} \)

      Получение производных и дифференцирование | Ресурсы Wyzant

      Дифференцирование — это алгебраический метод нахождения производной функции в любой точке.Производная это концепция, лежащая в основе исчисление. Есть два способа представить это понятие: геометрический путь (как наклон кривой) и физический путь (как скорость изменения). Склон кривой соответствует скорости изменения при просмотре реальных приложений. В любом случае наклон и мгновенная скорость изменения эквивалентны, и функция для нахождения обоих из них в любой точке называется производной.

      Геометрическая концепция производной

      Если вы когда-либо находили наклон линии на графике, это производная. Когда мы смотрим на кривые, а не на линейные графики, становится трудно найти наклон в каждой точке, потому что наклон постоянно меняется. Чтобы найти угол наклона, увеличьте масштаб график в точке и найдите наклон в этой точке.

      Чтобы найти уклон, можно использовать метод подъема через пробег или формулу уклона:

      Чтобы получить более приближенный наклон или производную, нужно сделать два x значения как можно ближе. Это утомительный процесс, когда вы хотите найти наклон для многих точек на графике. Вот где вступает в игру дифференциация.В определение производной происходит от взятия предел формулы наклона по мере приближения двух точек функции и ближе.

      Например, скажем, у нас есть точка P (x, f (x)) на кривой, и мы хотим найти наклон (или производная) в этой точке. Мы можем взять точку где-нибудь рядом с P на кривая, скажем, Q (x + h, f (x + h)) , где h — небольшое значение.Теперь мы можем подставить эти значения в формулу наклона:

      Решение этой проблемы даст нам приблизительное значение наклона, но все равно не будет. получите точное значение. Мы хотим, чтобы h было как можно меньше, чтобы можно было получить наклон в точке P, поэтому мы позволяем h приближаться к 0.

      Определение предела для производного инструмента

      Это наклон касательной или производной в точке P.Это дает нам мгновенная скорость изменения y по отношению к x.

      Приведем пример. Рассмотрим функцию:

      Затем мы заменяем x + h на x

      .

      Взяв лимит, мы получим

      Теперь упрощаем

      Выносим за скобки h

      Мы видим, что когда h переходит в 0, у нас остается 6x + 2.

      Это линейное выражение 6x + 2 является производной функции, и мы можем найти наклон касательной в любой точке кривой, подставив значение x координата.

      На приведенном ниже графике исходная функция показана красным цветом, а производная — зеленым.

      Обратите внимание, что когда наклон параболы отрицательный, функция производной ниже нуля, а когда наклон параболы положительный, функция производной.Когда парабола падает и наклон меняется с отрицательного на положительный, функция производной переходит от отрицательной к положительной. Мы можем видите, что при f (-1), f ‘(- 1) = -4, поэтому наклон при -1 равен -4. Аналогично, при f (0), f ‘(0) = 2, поэтому наклон при 0 равен 2.

      Хотя мы видели форму производной с использованием предела, ее также можно обозначить как dy / dx, f ‘(x) или y’

      Различные обозначения производной

      d / dx означает, что мы берем производную по x.

      f ‘(x) обозначает производную от f (x), а y’ обозначает производную из y.

      Получение производной от многочленов

      Найти производную для некоторых функций сложнее, чем для других, и может быть утомительно. процесс при использовании формулы наклона. К счастью, есть более простой способ получить производная от многочлены без использования пределов.Ньютон и Лейбниц открыли простой способ найти производную от более сложных функций, который занимает всего несколько шагов. Давайте посмотрите на пример:

      Первый шаг к нахождению производной — взять любой показатель в функции и опустите его, умножив на коэффициент.

      Мы опускаем 2 сверху и умножаем на 2 перед x.Потом, мы уменьшаем показатель степени на 1. Конечная производная этого члена равна 2 * (2) x ¹ , или 4x .

      Предполагается, что для второго члена показатель степени равен 1, поэтому мы уменьшаем его и умножаем это на коэффициент перед x. Затем мы уменьшаем показатель степени на 1, делая it 0. Конечная производная этого члена равна 1 * (- 5) x ⁰ . Обратите внимание, что любое число поднято в 0-й степени равно 1, поэтому наш упрощенный ответ — 1 * (- 5) * 1, или -5 .

      Третий член исключен, потому что у него нет x, что означает, что это постоянный. Причина этого в том, что число 3 можно записать как 3x ⁰ и когда опускается 0, весь член становится 0 . Теперь у нас осталось упрощенное производная:

      Обратите внимание, что производная линейна, а исходная функция квадратична.В производная всегда будет на один градус меньше исходной функции. Вот общее правило взятия производной всех членов многочлена, где c является константа:

      Это обычно называется правилом силы (см. Доказательство правила силы).

      Давайте сделаем еще один графический пример

      Дифференцируемый и недифференцируемый

      Теперь вы должны быть осторожны при поиске производной, потому что не каждая функция есть один.Большинство функций дифференцируемы, что означает, что существует производная. в каждой точке функции. Однако некоторые функции нельзя полностью дифференцировать.

      Найдем производную следующей функции при x = 0.

      Предел, когда h приближается к 0 слева, отличается от того, когда h приближается к 0. справа.Это эквивалентно произнесению производной (или наклона) слева равно -1, тогда как производная правой части равна 1. Каков наклон, где они встретиться у истока?

      Глядя на график, мы видим, что в начале координат нет определенного наклона потому что есть несколько касательных, поэтому в этой точке нет производной. Следовательно, функция не имеет производной при x = 0, поэтому она дифференцируема. везде, кроме x = 0.

      Следует отметить, что для того, чтобы функция была дифференцируемой, она должна быть непрерывной.

      Нахождение касательной

      Ранее мы находили наклон касательной в точке с помощью предельное определение производной. Давайте сделаем пример нахождения касательной в заданной точке, используя мощность правило для многочленов.

      Найдите уравнение касательной к график f (x) = x ² + 3x в точке (1,4).

      Находим производную, используя степенное правило для дифференцирования

      Подставьте нашу координату x в производную, чтобы получить наклон

      Теперь мы можем использовать форму наклона точки, чтобы найти уравнение касательной. (1,4) — это наша точка, а 5 — это наклон

      .

      Физическая концепция производной

      Исаак Ньютон сосредоточился на физической концепции дифференциации применительно к механика и мгновенная скорость изменения.Что касается механики, то ставка изменения определяется как скорость или скорость, когда мы говорим о расстоянии, превышающем Период времени. Как и в случае с геометрическим подходом, визуализируйте, что вы путешествуете. из точки А в точку Б. Воспользуемся формулой наклона, чтобы найти среднюю скорость:

      Теперь, если мы хотим найти мгновенную скорость, нам нужно, чтобы изменение во времени было становиться все меньше и меньше.Введем понятие предела как изменение во времени приближается к нулю. В итоге получается

      .

      Обратите внимание, что это то же самое, что и геометрическое определение производной, но с разными переменными. Физическое определение основано на геометрическом определение, и все правила деривативов применимы к обоим. Пока ты можешь найти скорости, взяв производную, вы также можете найти ускорение, взяв вторая производная, т.е.е. взяв производную от производной.

      Сделаем пример.

      Найдите скорость и ускорение частицы с заданными положение s (t) = t ³ — 2t ² — 4t + 5 при t = 2 где t измеряется в секундах, а s измеряется в футах.

      Скорость определяется как производная от положения.

      В 2 секунды скорость составляет 0 футов в секунду.

      Ускорение определяется путем взятия производной функции скорости или второй производной положения.

      За 2 секунды ускорение составляет 8 футов в секунду в квадрате.

      Давайте проанализируем график с физической точки зрения. Черная кривая позиция объекта. Обратите внимание, что когда кривая имеет горб, функция скорости достигает 0. Представьте объект, который проходит определенное расстояние в прямая линия, а затем возвращается — объект не может развернуться без скорости, равной 0. То же самое и для ускорения поскольку это относится к функции скорости.Также, когда ускорение 0 график функции положения выглядит как прямая линия вокруг этот момент. Это потому, что, когда ускорение равно 0, скорость объект остается прежним, поэтому уклон будет постоянный.

      Сводная информация о дифференциации

      Мы должны понять

      • Определение производной как предела, когда две точки функции становятся бесконечно близкими
      • взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью
      • как производные финансовые инструменты представлены графически, численно и аналитически
      • , как они интерпретируются как мгновенная скорость изменения.

      Таким образом, производная — это в основном наклон или мгновенная скорость изменения касательной линии. в любой точке кривой. Когда вы берете производную функции, вы получаете с другой функцией, которая обеспечивает наклон исходной функции. Производная функции должна иметь одинаковый предел слева направо, чтобы она была дифференцируемой. в таком случае. Производная также может сказать нам скорость изменения одной величины по сравнению с другим, если смотреть на ситуации в реальном мире.Если мы знаем, на каком расстоянии автомобиль путешествовал во времени, производная может сказать нам его скорость и ускорение в любой момент времени.

      .