Производная с нуля: как найти, вычислить и понять с нуля

как найти, вычислить и понять с нуля

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента.

Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

 

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$.

Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.

В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$.

В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

ПРОИЗВОДНАЯ – Репетитор по математике

Решим задачу: Первичная информация разделяется по серверам и №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объеме Гб входящей в него информации выходит , а с сервера №2 при объеме Гб входящей в него информации выходит Гб обработанной информации; . Каков наибольший объем выходящей информации при общем объеме входящей информации 3364 Гб?

Итак, мы имеем два преобразователя, в которых подаем на вход некоторый объем данных, и получаем на выходе некоторый объем данных. Другими словами, мы имеем дело с числовой функцией:

То, что мы подаем на вход преобразователя — аргумент функции, или независимая переменная, а то, что получается на выходе — значение функции. Выразим значение функции через значение аргумента. Пусть , тогда . Получаем:

По условию задачи информация разделяется по серверам и №1 и №2, причем общий объеме входящей информации 3364 Гб. Пусть на первый сервер попадает Гб  информации, тогда на второй попадает Гб:

Тогда весь объем информации, выходящей с обоих серверов равен

По условию задачи нужно найти наибольший объем выходящей информации. Введем функцию .

По условию задачи , следовательно . Отсюда

Найдем наибольшее значение  функции на отрезке [].

Будем следовать стандартному алгоритму.

1. Найдем производную функции

2. Найдем нули производной.

Дробь  равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

. Легко проверить, что это значение принадлежит отрезку [].

3. Определим знаки производной на отрезке []. Для этого найдем ее значение в правом конце отрезка:

Получаем, что справа от точки производная меньше нуля. Получили, что в точке производная функции меняет знак с «+» на «-«, следовательно это точка максимума функции, и функция принимает в этой точке наибольшее значение на отрезке [].

Найдем значение функции в точке .

Ответ: 1682

Урок 10. определение производной. физический смысл производной — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №10. Определение производной. Физический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение производной;

2) Физический смысл производной;

2) Приращение функции;

3) Скорость материальной точки в заданный момент времени по данному закону движения.

Глоссарий по теме

Пусть функция y=f(x) определена в точках x₀ и x₁. Разность x₁−x₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки x₀ к точке x₁), а разность f(x₁)-f(x₀) называют приращением функции.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x₀, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

Пусть функция y=f(x) определена в точках x₀ и x₁. Разность x₁−x₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки x₀ к точке x₁), а разность f(x₁)-f(x₀) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x₁-x₀=Δx, значит, x₁=x₀+Δx.

f(x₁)-f(x₀)=Δy, значит, 

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀). (1)

Нельзя истолковывать термин «приращение» как «прирост».

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x_0, если f(x)= x², x₀=2 и х=1,9

Решение:

Δx= x₁−x₀=1,9-2=-0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=1,9²-2²=-0,39

Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

Пример 2.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x_0, если f(x)= x², x₀=2 и х=2,1

Решение:

Δx= x₁−x₀=2,1-2=0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=2,1²-2²=0,41

Ответ: Δx=0,1; Δf =0,41

Пример 3.

Найдем приращение Δf функции в точке x₀,если приращение аргумента равно x₀.

Решение:

по формуле (1) находим:

.

Ответ: .

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t₀; t₀+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t₀+∆t; t₀]).

Аналогично выражение называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х₀ и х₀+∆х.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение: y’ или f’(x)

Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Схема вычисления производной функции

1. Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:

∆y=y(x+∆x)-y(x)

1. Разделить приращение функции на приращение аргумента:

1. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 4.

Вычислить производную функции y=x²

Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

1. ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²

Ответ: y’=2x.

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Пример 5.

Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

Решение:

найдем ∆t= 1-0,8=0,2

S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)

S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)

.

Ответ: _.

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.

Исследование функций

	Главная > Учебные материалы > Математика:  Исследование функций
	1. Возрастание и убывание функции. 2.Экстремум функции. 3.Выпуклость графика функции. 4.Точки перегиба. 5.Асимптоты графика функции.
	10 11 12 13 14 15 16 17 18
	1. Возрастание и убывание функции
	Пусть задана функция f(x). Возьмем две точки на промежутке [a,b] х1 и х2 при условии, что х2 > x1. Тогда функция называется возрастающей на промежутке [a,b], если f(x2) > f(x1). Функция называется убывающей на промежутке [a,b], если f(x2) < f(x1).
	Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с положительна, то на этом промежутке она возрастает.    Действительно, согласно теореме Лагранжа, если х2 > x1 и f ‘(c) > 0, то функция возрастает.    т.е. если левая часть равенства положительна, где х1 <c< x2 и f ‘(c)>0, то f(x2)>f(x1)		Возрастающая функция.
	При убывании функции можно сделать аналогичный вывод.    Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с отрицательна, то на этом промежутке она убывает.    Опять же, согласно теореме Лагранжа, если х1 <c< x2 и f ‘(c) < 0, то функция убывает.		Убывающая функция.
	2.Экстремум функции.
	Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка А на этом промежутке, что f(x) < f(A) во всех точках окрестности точки А, то данная точка называется точкой максимума.    Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка В на этом промежутке, что f(x) > f(В) во всех точках окрестности точки B, то данная точка называется точкой минимума.    Точки максимума и минимума называются критическими точками и производная функции в этих точках или не существует, или равна нулю f ‘(A) = 0 f ‘(B) = 0.    Касательная к графику функции в данных точках параллельна оси ОХ.    Здесь нужно отметить, что не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например функция y = x3 не имеет экстремума, т.к. не выполняется условие f(x) <(>) f(x0), т.е. в окрестности точки х0 значение функции должно быть больше (меньше) значения функции в точке х0. Таким образом, функция y = x3 имеет критическую точку при х=0 (т.к. f ‘(0)=0), но экстремума в этой точке нет.		Экстремум функции.
	3.Выпуклость графика функции.
	Пусть задана функция y = f(x). Предположим, что функция f(x) дифференцируема на определенном промежутке [x1;x3].    Возьмем промежуток [x1;x2]. Тогда, если при любом значении х таком, что x1<x<x2, значение функции меньше значения касательной в точке х, т.е. fф(x) ≤ fк(x), то функция выпукла вверх.    Возьмем промежуток [x2;x3]. Тогда, если при любом значении х таком, что x2<x<x3, значение функции больше значения касательной в точке х, т.е. fф(x) ≥ fк(x), то функция выпукла вниз.    Если функция выпукла вверх, то вторая производная функции меньше нуля, т.е. f »(x) < 0.    Если функция выпукла вниз, то вторая производная функции больше нуля, т.е. f »(x) > 0.		Выпуклость графика функции.
	4. Точки перегиба.
	Если график функции слева и справа от точки А имеет разную выпуклость, то эта точка называется точкой перегиба.    В точке перегиба вторая производная функции f»(x)=0. Если второй производной в точке А не существует, тогда вторая производная для функции f(x) слева и справа от точки А будет иметь разные знаки.		Точка перегиба.
	5. Асимптоты графика функции.
	Асимптотой графика функции f(x) называется прямая, расстояние до которой от графика функции стремится к нулю при стремлении х к бесконечности. Т.е. fпр(х) — f(x) → 0 или fпр(x) → f(x)    Допустим функция определена в окрестности точки x0. Тогда если хотя бы один из пределов функции справа или слева равен бесконечности при стремлении x→x0, то пряма x=x0 называется вертикальной асимптотой.		Вертикальная асимптота.
	Если существует конечный предел функции равный b при стремлении х→∞, то прямая y = b есть горизонтальная асимптота.    Если существует только один конечный предел при стремлении х→∞       справа или слева, то функция имеет левостороннюю или правостороннюю асимптоту.		Горизонтальная асимптота.
	Если существуют конечные пределы такие, что то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой.    Бавают правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты.		Наклонная асимптота.
	Пример.
	Получим:    точка х = -2,791 минимум,    точка х = 0 максимум,    в точке х = 1 функция не определена,    точка х = 1,791 минимум.
	6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
	10 11 12 13 14 15 16 17 18

Связь производной с монотонностью и точками экстремума функции

Функция \(f\) возрастает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) < f(x_2)\) (чем больше аргумент из \(M\), тем больше значение \(f\)).

Функция \(f\) убывает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) > f(x_2)\) (чем больше аргумент из \(M\), тем меньше значение \(f\)).

Функция \(f\) неубывает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) \leq f(x_2)\) (при увеличении аргумента из \(M\), значение \(f\) по крайней мере не уменьшается).

Функция \(f\) невозрастает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) \geq f(x_2)\) (при увеличении аргумента из \(M\), значение \(f\) по крайней мере не увеличивается).

 

Замечание

Если функция возрастает на \(M\), то про неё также верно, что она неубывает на \(M\).

Если функция убывает на \(M\), то про неё также верно, что она невозрастает на \(M\).

Стоит также отметить, что фразы “функция неубывает на \(M\)”\(\ \) и “функция не является убывающей на \(M\)”\(\ \)в общем случае значат совсем не одно и тоже.

 

Теорема

Если дифференцируемая на некотором интервале \(I\) функция неубывает на нём, то её производная не отрицательна на \(I\).

Если производная функции не отрицательна на некотором интервале \(I\), то эта функция неубывает на \(I\).

Если производная функции не отрицательна на некотором интервале \(I\), причём производная равна 0 не более чем в конечном числе точек из \(I\), то эта функция возрастает на \(I\).

 

Теорема

Если дифференцируемая на некотором интервале \(I\) функция невозрастает на нём, то её производная не положительна на \(I\).

Если производная функции не положительна на некотором интервале \(I\), то эта функция невозрастает на \(I\).

Если производная функции не положительна на некотором интервале \(I\), причём производная равна 0 не более чем в конечном числе точек из \(I\), то эта функция убывает на \(I\).  

Определение

Точка \(x_0\) называется точкой строгого локального максимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\), отличной от \(x_0\), верно \(f(x_0) > f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой строгого локального минимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\), отличной от \(x_0\), верно \(f(x_0) < f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой локального максимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\) верно \(f(x_0) \geq f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой локального минимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\) верно \(f(x_0) \leq f(a)\). Точка \(x_0\) называется точкой локального экстремума функции \(f(x)\), если она является точкой её локального максимума или точкой локального минимума.

 

Замечание

Всякая точка строгого локального максимума функции \(f\) является также и точкой её локального максимума.

Всякая точка строгого локального минимума функции \(f\) является также и точкой её локального минимума.

 

Теорема

Если функция имеет экстремум в точке \(x_0\), то её производная в этой точке либо равна \(0\), либо не существует.

 

Определение

Точка \(x_0\), в которой \(f'(x_0)\) равно нулю или не существует, называется критической точкой функции \(f(x)\).

 

Таким образом, все точки экстремума функции \(f(x)\) являются и её критическими точками. Обратное, вообще говоря, не верно.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Вычисление производных [страница — 33] | Самоучители по математическим пакетам

Для вычисления производной в Maple предусмотрена процедура diff(), параметрами которой являются: а) функция, от которой берут производную, и б) переменная, по которой эту производную следует брать. Результатом выполнения процедуры является выражение, задающее искомую производную.

При вычислении производных функций, заданных параметрически, по сравнению с явно заданными функциями, принципиально ничего не меняется. Однако сама процедура вычисления производных (особенно высших порядков) становится несколько сложнее. | Рассмотрим пример.

Очень часто приходится вычислять производные функций, которые заданы в неявном виде. Задаются такие функции, как правило, с помощью уравнений, в которые входит как переменная (или переменные – для функции нескольких переменных), так и сама функция.

Достаточно просто вычисляются и производные высших порядков. Для этого используется все та же процедура diff(). Синтаксис вызова этой процедуры для вычисления производных высших порядков описывается ниже в примерах. | Задача 2.12 | Найти у»(х) и у»(х), если y(x) = f(x2).

Для вычисления пределов используют процедуру limit(). В качестве аргументов указывают выражение и то значение, к которому стремится переменная. Данная процедура имеет также и неактивную форму (та же процедура, но пишется с прописной литеры – Limit()).

Исследование функции на экстремум подразумевает, как известно, нахождение производной и определение точек, в которых эта производная равна нулю. Далее, по знаку второй производной в найденных точках, определяется тип экстремума – максимум или минимум (если вторая производная меньше нуля – максимум, если больше нуля – минимум). | Задача 2.18 | Исследовать на экстремум функцию у(х) = хm (1-х)n.

Для вычисления частных производных применяется процедура diff (). В случае функции нескольких переменных через запятую указываются те из них, по которым берется производная (при этом допускается использование оператора $).

При дифференцировании неявно заданных функций нескольких переменных, как и в случае функции одной переменной, используется процедура implicitdiff(). В данном случае несколько изменяется способ ее вызова, а именно увеличивается число параметров.

Очень часто в выражениях, содержащих производные, приходится переходить к новым переменным. | Внимание! | Если необходимо выполнить замену переменных в дифференциальном выражении, в Maple в пакете PDEtools есть процедура dchange().

Исследование функции нескольких переменных на экстремум отличается от того, что выполняется в случае функции одной переменной. Однако «базовый» принцип все тот же – сначала следует найти точки, в которых производные равны нулю.

Рассмотренные в этой главе задачи достаточно просты, и их решение не вызывает принципиальных сложностей. Решения основываются на использовании базовых, наиболее общих процедур Maple и демонстрируют принципы организации Maple и схемы реализации соответствующих алгоритмов.

Производная постоянной (числа)

Производная любой константы (которая просто означает любое число) равна нулю.

Это достаточно легко запомнить, но если вы студент, изучающий в настоящее время исчисление, вам нужно помнить о множестве различных форм, которые может принимать константа. Во-первых, давайте рассмотрим более очевидные случаи.

объявление

Пример

Найдите производную каждой функции. {\ prime} = 0 \)

«Замаскированные» константы

Вы узнаете довольно много разных типов констант в математике. На ум сразу приходит пара:

\ (е \ приблизительно 2,718 \)

\ (\ пи \ приблизительно 3,142 \)

Это известные, но есть и другие, с которыми вы наверняка работали. Рассмотрим \ (\ sqrt {2} \) или \ (\ ln \ left (5 \ right) \). Оба они являются константами (если вы не уверены, введите их в свой калькулятор — вы получите десятичный эквивалент), поэтому их производные также равны нулю.2 \) (график ниже), наклон может меняться от точки к точке, потому что график изогнут.

Но как выглядит функция, если это постоянная функция? Ниже представлен график \ (f (x) = 2,5 \).

Этот график представляет собой линию, поэтому наклон одинаков во всех точках. Далее это горизонтальная линия. Наклон любой горизонтальной линии равен нулю. Поскольку график любой постоянной функции представляет собой горизонтальную линию, подобную этой, производная всегда равна нулю.

объявление

Сводка

Вероятно, у вас никогда не возникнет проблем с поиском производной константы, если она является частью полинома или другой функции.Но будьте осторожны, обращая внимание на различные формы, которые может принимать константа, поскольку профессора и учителя любят проверять, замечаете ли вы такие вещи. Кроме того, вы можете использовать эту простую идею, чтобы помочь вам запомнить концепцию производной как наклона в точке — то, с чем вы будете работать, даже когда производные намного сложнее.

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Производная функция — задача 3

Мы смотрим на производную функцию. Вот еще одна функция. У меня f (x) равно -¼x³ плюс x² плюс ¼x минус 1. Я хочу найти способ приблизительно аппроксимировать производную этой функции f ‘(x).

Возможно, вы захотите сделать что-то подобное в случае, когда вы не знаете, как различать функцию.Дифференцировать — значит найти производную. Если вы не знаете, как на самом деле дифференцировать функцию, второй лучший способ — это аппроксимировать производную, и это то, что мы собираемся сделать сегодня.

Итак, начнем с определения производной. Теперь это предел, когда h приближается к 0 для f (x + h) минус f (x) по h. Приближение производной означает приближение этого предела. Итак, что я собираюсь сделать, так это аппроксимировать это значение этого коэффициента разности.

Теперь я беру предел, когда h приближается к 0.Поэтому логично, что я могу аппроксимировать этот предел, используя значение коэффициента разности, используя достаточно малое h, при очень маленьком h. Так, например, предположим, что h — 1000-е. Итак, x плюс точка 001 минус f (x) над точкой 001. Это даст нам разумное приближение к производной.

Теперь, в части b, я должен сделать именно это. Он просит меня построить график f и f ‘на TI-84 и найти нули f’ с точностью до сотых. Итак, я собираюсь перейти к TI-84 и приблизительно рассчитать эту производную на своем калькуляторе.

Я смотрю на свой ТИ-84. Я уже ввел здесь f (x) как Y1. Итак, я хочу ввести здесь y2 в качестве приближения для производной. В моем калькуляторе это не называется f (x). Он называется Y1. Итак, как мне ввести y1 вместо y2?

Ну, если вы зайдете в меню переменных, нажмите кнопку VARS. Затем перейдите к Y-VARS и нажмите Enter. У вас есть список переменных y. Так что я могу снова нажать Enter для y1. Я получаю y1. Итак, я хочу, чтобы Y1 из x плюс точка 001. Затем я должен вычесть Y1 из x.

Итак, я снова перехожу в ВАРС вправо. Позвольте мне вернуться назад, VARS, Y-VARS, а затем нажмите Enter. Я хочу Y1. Тогда я хочу X, Y1 (X). Я знаю, что это должно быть разделено на эту точку 001. Так что позвольте мне продолжить. Здесь мне нужно использовать круглые скобки. Во-вторых, вставьте круглые скобки. Я прохожу до последней скобки, разделенной на точку 001.

Давайте посмотрим, как это выглядит. График обращений. Теперь потребуется секунда, и затем он будет рисовать это приближение для производной. Тогда вот оно.Это похоже на открывающуюся вниз параболу. Теперь помните, моя проблема в части b просит меня найти нули этой производной. Это означает, что производная пересекает ось x. Итак, давайте сначала найдем этот 0. Похоже, что он немного левее 0. Где-то между -1 и 0.

Так что ваш калькулятор действительно может сделать это за вас. Вы можете просто нажать на секунду, отследить и попасть в меню РАСЧЕТ. Это вторая запись, номер 2. Вам нужно ввести границу слева и справа. Теперь сначала вам нужно убедиться, что вы выбрали правильную функцию.Я не хочу находить нули Y1. Это моя изначальная функция. Я хочу найти нули Y2. Поэтому мне приходится использовать клавишу со стрелкой вверх или вниз для переключения функций.

Теперь смотрю на Y2. Для нашей левой границы все, что мне нужно сделать, это курсор немного влево. Итак, теперь я нахожусь слева от своего нуля и нажимаю Enter. Затем мне нужно навести курсор на правую границу справа. По сути, он просит вас указать интервал для поиска. Теперь вы хотите сделать предположение. Итак, наведите курсор мыши действительно близко к фактическому нулю, это моя отрицательная точка 12.Так что я просто запомню это.

Теперь я хочу найти здесь ноль. Правый ноль. Итак, во-вторых, CALC, курсор вниз до 0, нажмите Enter. Теперь я снова ошибаюсь в функции. Я на Y1. Я хочу переключиться на Y2, поэтому использую стрелки вверх и вниз, и теперь я нахожусь в Y2. Помните, я ищу здесь 0. Похоже, что это между 2 и 3. Я мог бы использовать 2 как левый вниз. Я могу это ввести. 2, введите. Затем в качестве правой границы я мог бы использовать 3. Просто введите 3, введите. Похоже, что 0 около 2.8, так что позвольте мне ввести это для предположения. Вот оно 2,79. Так что это мой второй 0.

Теперь, когда у меня оба нуля, позвольте мне вернуться к доске и закончить задачу. Я уже нарисовал f и f ‘. Я хочу найти нули. Итак, f ‘(x) равно 0, когда x был приблизительно отрицательным пунктом 12 или когда x был приблизительно 2,79. Это были два места, где парабола пересекала ось здесь и здесь. Вот как вы изобразите производную на своем калькуляторе.

Если вы на самом деле не знаете формулу для производной, вы всегда можете использовать коэффициент разности и взять довольно маленькое значение h.Это даст вам довольно хорошее приближение к производной. Помните, что в основном вы делаете это. Вы принимаете предел, когда h стремится к 0, поэтому, если вы используете достаточно малое значение h, вы получите хорошее приближение для своей производной.

Неотрицательная производная, не равная тождественно нулю на любом интервале, подразумевает увеличение

Заявление

На открытом пространстве

Предположим, что это функция на открытом интервале, которая может быть бесконечной в одном или обоих направлениях (т. .e имеет форму,, или). Предположим, что производная от существует и неотрицательна всюду на, т. Е. Для всех. Далее, предположим, что нет такого подинтервала, что для всех в подынтервале. Тогда — возрастающая функция, то есть:

На общем интервале

Предположим, это функция на интервале, который может быть бесконечным в одном или обоих направлениях и может быть открытым или закрытым с любого конца. Предположим, является непрерывной функцией на всех и что производная существует и неотрицательна всюду внутри, i.е., для всех, кроме конечных точек (если они существуют). Далее, предположим, что нет такого подинтервала, что для всех в подынтервале. Тогда — возрастающая функция, то есть:

Изолированные точки версии

Состав и соотношение между составами

Верно следующее:

Производная равна нулю только в изолированных точках, т. Е. Множество точек, в которых производная равна нулю, является дискретным подмножеством вещественных чисел Производная не равна нулю ни на каком интервале

Таким образом, условие, что производная не равна нулю ни на каком интервале, может быть заменено более сильным условием, что производная равна нулю только в отдельных точках. Результирующее утверждение несколько слабее (т.е. менее мощно), потому что оно предполагает более сильную гипотезу о функции. Другими словами, действительно существуют функции, которые удовлетворяют гипотезе с не равным нулю на любой версии интервала и, следовательно, увеличиваются, но где набор точек для производной, равной нулю, составляет , а не как дискретное подмножество. (См. Пример ниже).

Для большинства практических целей достаточно формулировки изолированных точек.

Пример

Типичный пример: точка перегиба с горизонтальной касательной

Это примеры, когда критическая точка (точка производной равна нулю) совпадает с точкой перегиба (точка, где вторая производная меняет знак).Слева от критической точки производная положительна и убывает. В критической точке производная обращается в ноль, достигая своего локального минимума. Справа от критической точки производная положительна и убывает. Таким образом, сама функция возрастает слева от критической точки и возрастает справа от критической точки. Хотя производная падает до нуля в критической точке, функция фактически не перестает расти.

Пример для иллюстрации различия с изолированными точками версии

Рассмотрим функцию:

— непрерывная функция, поэтому мы можем определить:

Таким образом, по основной теореме исчисления.Обратите внимание, что по определению для всех, поскольку внешняя часть композиции является функцией абсолютного значения. Кроме того, множество точек, где есть, которое не является дискретным множеством (в частности, точка 0 не является изолированной точкой, а фактически является предельной точкой). Однако верно, что нулевой набор не содержит никаких интервалов, и, следовательно, мы все еще можем заключить, что это возрастающая функция на всех.

Связанные факты

Подобные факты

Конверс

(PDF) Описание точек нулевой производной

160 J Glob Optim (2010) 46: 155–161

xk → x ∗, k = 0,1 ,… Тогда из некоторого ˜

k, т.е. для любого k≥˜

k, имеем xk∈K,

, где K — некоторое компактное выпуклое множество, содержащее x ∗ внутри. Если производная f имеет

липшицевость на K, то теорема 2 говорит, что скорость слабой сходимости на K

квадратична.

Пример 6 Рассмотрим f (x) = cosx вокруг точки нулевой производной x ∗ = 0, поскольку xk → x ∗,

cos xk → 1 с квадратичной скоростью сходимости. Фактически | 1 − cos x | ≤1 / 2×2 для любого x.

4 Критерии оболочки для локальных экстремумов

Теорема Ферма об экстремальных значениях утверждает, что ∇f (x ∗) = 0 в локальном экстремуме x ∗ дифференциальной функции.Напомним это для скалярных функций.

Теорема 3 (теорема Ферма, [4, с.177].) Если f имеет локальный экстремум (то есть максимум или

минимум) в c, и если f  (c) существует, то f  (c ) = 0.

Этот результат можно переформулировать, используя теорему 2 без производной, но требуется больше предположений —

действий на f вокруг локального экстремума:

Теорема 4 (критерий огибающей для локальных экстремумов) Рассмотрим гладкую функцию f на I =

[ a, b], где предполагается, что производная f обладает липшицевостью.Если f имеет локальный экстремум

в точке c∈ (a, b), то | f (c) −f (x) | ≤ (c − x) 2 для некоторого ≥0 и каждого x в I.

Пример 7 Рассмотрим f (x) = x2cos x. При = 0 критерий огибающей равен | cos x | ≤, удовлетворяется, например, для  = 1andeveryx.Atc = π / 2,

x2cos x

.

 / (π / 2 − x) 2 → ∞ при x → π / 2.

Следовательно, c = 0 может, но не c = π / 2, быть экстремальной точкой.

Критерий огибающей применим, в частности, к дважды дифференцируемым функциям. Обычно

не требуется указывать фактическое числовое значение .Теорема верна для

любых достаточно больших, например ≥1 / 2L, где L — константа Липшица производной

от fon K. Однако предположение о том, что производная f является липшицевой, нельзя опустить

, поскольку в следующем примере показано.

Пример 8 Функция f (x) = | x | 3/2 является гладкой, но ее производная не обладает свойством Липшица

на I = [- 1,1] .Atc = 0wehave | f (x) | / x2 = 1 / √ | x | → ∞ при x → 0, хотя

f (0) = 0.

Свойство конверта можно использовать для переформулирования других результатов, использующих нулевую производную

точек, таких как теорема Ролля и теорема о среднем значении.Можно распространить приведенные выше результаты

на задачи с ограничениями. В частности, рассмотрим задачу оптимизации функции на

множестве точек, которые неявно определяются системой уравнений от n переменных:

Opt f0 (x), при условии fi (x) = 0, i∈P = {1, …, m}. (1)

Критерий огибающей может применяться к лагранжиану L (x, λ

) = λ0f0 (x) + i∈Pλifi (x)

с некоторым ненулевой (m + 1) -набор λ = (λ0, λ

1, …, λ

м).(Если выполняется «условие регуляризации»

, то можно указать λ0 = 1.) При локальном ограниченном экстремуме x ∗, ∇L (x ∗, λ

) = 0

по теореме Лагранжа. В качестве альтернативы теорема 2 обеспечивает следующее условие:

Теорема 5 (критерий огибающей для ограниченных локальных экстремумов) Предположим, что x ∗ является напряженным локальным экстремумом (1) с ограничением

, где x ∗ также является внутренней точкой некоторого произвольного компактного

123

Функция, производная которой в 0 равна единице, но не возрастает вблизи 0

Согласно теореме о среднем значении вещественная функция, у которой производная строго положительна в каждой точке интервала, равна , строго возрастающей .\ prime (0)> 0 \).

анализ производные карты монотонный

критические точки

Определение

Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией и пусть \ (c \) будет точкой в ​​области определения функции. Точка \ (c \) называется критической точкой \ (f \), если либо \ (f ‘\ left (c \ right) = 0 \), либо \ (f’ \ left (c \ right) \) делает не существует.

Классификация критических точек

Рисунок 1.

Примеры критических точек

Критическая точка \ (x = c \) является локальным минимумом, если в этой точке функция изменяется с убывающей на возрастающую.2} \ ne 1} \ end {array}} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {\ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {{c_ {1,2}} = \ pm \ frac {{\ sqrt 2}} {2}} \\ {c \ ne \ pm 1} \ end {array}} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {{c_ {1,2}} = \ pm \ frac {{\ sqrt 2}} {2}.} \]

Итак, у нас есть две точки в области определения функции, где производная равна нулю. Следовательно, эти точки по определению являются критическими.

Ответ:

\ [{{c_1} = — \ frac {{\ sqrt 2}} {2},} \; {{c_2} = \ frac {{\ sqrt 2}} {2}.} \]

Пример 6.\ prime \ left (c \ right) = 0,} \; \; \ Rightarrow {- 2c = 0,} \; \; \ Rightarrow {c = 0.} \]

Следовательно, функция имеет три критических точки:

\ [{{c_1} = — \ sqrt 5,} \; {{c_2} = 0,} \; {{c_3} = \ sqrt 5.} \]

Пример 8.

Найдите все критические точки функции \ (f \ left (x \ right) = \ large {\ frac {x} {{\ ln x}}} \ normalsize. \)

Решение.

Область \ (f \ left (x \ right) \) определяется условиями:

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} х \ gt 0 \\ \ ln x \ ne 0 \ end {array} \ right.2} c \ ne 0} \ end {array}} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {\ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {c = e} \\ {c \ ne 1} \ end {array}} \ right ..} \]

Обратите внимание, что производная не существует в точке \ (c = 1 \) (где знаменатель производной стремится к нулю). Но сама функция на данный момент также не определена. 2} + 4x — 3.\ prime \ left (c \ right) = 0,} \; \; \ Rightarrow {\ sin c \ left ({2 \ cos c + 1} \ right) = 0.} \]

\ [{1. \; \ Sin c = 0,} \; \; \ Rightarrow {c = \ pi n, \; n \ in Z.} \]

Уравнение \ (\ sin c = 0 \) имеет один корень \ (c = \ pi \) в открытом интервале \ (\ left ({0,2 \ pi} \ right). \)

\ [{2. \; 2 \ cos c + 1 = 0,} \; \; \ Rightarrow {2 \ cos x = — 1,} \; \; \ Rightarrow {\ cos c = — \ frac {1} {2},} \; \; \ Rightarrow {c = \ pm \ arccos \ left ({- \ frac {1} {2}} \ right) + 2 \ pi n,} \; \; \ Rightarrow {c = \ pm \ frac {{2 \ pi}} {3} + 2 \ pi n, \, n \ in Z.2} — 12} \ right) = 0,} \; \; \ Rightarrow {{x_1} = 0, \, {x_ {2,3}} = \ pm 2 \ sqrt 3.} \]

Мы видим, что функция имеет 3 угловые точки (или V-точки) в \ (x = — 2 \ sqrt 3, \) \ (x = 0 \) и \ (x = 2 \ sqrt 3. \). производная не существует в этих точках, здесь мы имеем 3 критические точки.

Рассмотрим другие критические точки, которые могут возникнуть в локальных экстремумах. 3} — 12x.2} — 12 = 0,} \; \; \ Rightarrow {x = \ pm 2.} \]

В рассматриваемом интервале лежит только одна точка \ (x = -2 \). Итак, \ (x = -2 \) также является критической точкой.

Аналогично, мы обнаруживаем, что функция имеет еще одну критическую точку \ (x = 2 \) в интервале \ (\ left [{0,2 \ sqrt 3} \ right] \).

Следовательно, функция имеет \ (5 \) критические точки (\ (3 \) V-точки и \ (2 \) точки локальных экстремумов).

Исчисление — Анализ кривых — Особые случаи

Это устройство не может отображать анимацию Java.Вышеупомянутое статическое изображение заменяет

1. Критические точки?

Критические точки возникают, когда первая производная равна нулю или не определена. В этом примере показано несколько мест, которые могут быть или не быть критическими точками. Какие из них? При x = 0 производная абсолютного значения не определена, поэтому это критическая точка. При x = 2 имеется разрыв скачка, так что это также критическая точка. При x = 3 есть смещенная точка, поэтому это также критическая точка.При x = 4 есть дыра, поэтому это , а не критическая точка, потому что это не входит в область определения функции. Точно так же расположение вертикальных асимптот не является критическими точками, даже если первая производная там не определена, потому что расположение вертикальной асимптоты не находится в области определения функции (в общем случае; кусочная функция может добавить туда точку, просто чтобы жизнь сложная).

Есть ли из только что рассмотренных критических точек локальные минимумы или максимумы? x = 0 — критическая точка, в которой первая производная не определена.Это локальный минимум, потому что функция убывает влево и увеличивается вправо. Также обратите внимание, что первая производная отрицательна слева и положительна справа, поэтому первая производная меняет знак с отрицательного на положительный, сообщая вам, что это локальный минимум (вам может потребоваться переместить ползунок x , чтобы зеленый касательная на среднем графике перемещается в сторону, чтобы увидеть график производной). Здесь вторая производная не определена при x = 0, поэтому она не поможет вам определить, является ли точка минимумом или максимумом.

А как насчет x = 2, скачка скачка? Здесь значение функции меньше для некоторого набора x , близкого к 2, так что это локальный минимум, хотя в этом случае первая производная ничего вам не говорит. Точно так же точка полета при x = 3 является локальным максимумом, но ничто в первой производной не поможет вам. В общем, исчисление помогает найти локальные экстремумы для дифференцируемых функций и может совсем не помочь для разрывных функций.

2. Критическая точка?

В раскрывающемся меню выберите второй пример, показывающий простой куб. Обратите внимание, что существует критическая точка x = 0, поскольку производная там равна нулю. Это локальный минимум или максимум? Очевидно, нет, но почему? Причина в том, что знак первой производной не изменился. Он положительный слева и положительный справа от критической точки, что указывает на то, что это не локальный экстремум. Обратите внимание, что вторая производная здесь равна нулю и меняет знак, так что это точка перегиба.

3. Где минимум?

Выберите третий пример, показывающий параболу со вставленным в нее длинным плоским пятном. Где минимум? Переместите ползунок x , чтобы почувствовать, что происходит. Учитывая, что определение локального минимума использует ≤, все плоское сечение содержит бесконечное количество локальных минимумов. Где эта функция увеличивается? Уменьшение? Поскольку в этих определениях используются символы <и>, в интервал включается только первая точка плоского пятна с нулевой производной.Следовательно, эта функция увеличивается на интервале [3, ∞) и убывает на интервале (-∞, 1]. Обратите внимание на использование закрытых скобок, чтобы указать, что x = 3 является частью возрастающего интервала и что x = 1 является частью убывающего интервала. Также обратите внимание, что бесконечность всегда используется с открытыми круглыми скобками в обозначении интервала (т. Е. x ≤ ∞ не имеет смысла, поскольку бесконечность не является числом, которое может быть равным, только подход).

А как насчет вогнутости этой функции? Плоская часть не вогнута вверх или не вогнута вниз.В отличие от интервалов увеличения / уменьшения, точки в конце интервалов вогнутости не включаются. Таким образом, эта функция вогнута вверх на интервале (-∞, 1), а также на (3, ∞). На интервале [1,3] она плоская.

4. Точка перегиба?

Выберите четвертый пример, показывающий функцию корня куба. Есть ли точка перегиба? Производная не определена при x = 0, но на самом деле там есть касательная линия (даже если программное обеспечение не рисует ее, потому что оно использует производную для определения наклона касательной линии, которая не определена на данном этапе). точка).Поскольку существует касательная линия, вторая производная равна нулю или не определена (в данном случае не определена), а вторая производная меняет знак, имеется точка перегиба при x = 0.