Производная от in: Производная натурального логарифма — ln x

Содержание

Производная натурального логарифма — ln x

Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a

Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:
(1)   ( ln x )′ = .

Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a:
(2)   ( loga x)′ = .

Далее мы приводим вывод этих формул.

Доказательство

Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x, которая является логарифмом по основанию :
.
Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
(3)   .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:
А) Свойства логарифма. Нам понадобятся следующие формулы:
(4)   ;
(5)   ;
(6)   ;
Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(7)   .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.

В) Значение второго замечательного предела:
(8)   .

Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим свойства (4) и (5).

.

Далее сделаем подстановку . При , . Тогда

.

Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):
.

И, наконец, применим свойство (6):
.
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом. Он обозначается так:
.
Тогда   ;
.

Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.

Производная натурального логарифма

Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a:
.
Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда
(1)   .

Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):

.

Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:
.

Другие способы доказательство производной логарифма

Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:
(9)   .
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.

Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции:
.
В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:
.
Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:

.
Поскольку , то
.
Тогда
.
Формула доказана.


Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x:
(10)   .
Производная от икса равна единице:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь . Подставим в (10):
.
Отсюда
.

Пример

Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx.

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от

ln 2x и ln 3x.

Итак, ищем производную от функции
y = ln nx.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)   Функции , зависящей от переменной : ;
2)   Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
(11)   .
Мы видим, что производная не зависит от n. Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:
.
– это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:
.

Ответ

;   ;   .

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Производная логарифма модуля x

Найдем производную от еще одной очень важной функции – натурального логарифма от модуля x:
(12)   .

Рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
.
Ее производная определяется по формуле (1):
.

Теперь рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
,
где .
Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна
.
Тогда
.

Объединяем эти два случая в одну формулу:
.

Соответственно, для логарифма по основанию a, имеем:
.

Производные высших порядков натурального логарифма

Рассмотрим функцию
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(13)   .

Найдем производную второго порядка:
.
Найдем производную третьего порядка:

.
Найдем производную четвертого порядка:
.

Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:
(14)   .
Докажем это методом математической индукции.

Доказательство

Подставим в формулу (14) значение n = 1:
.
Поскольку , то при n = 1, формула (14) справедлива.

Предположим, что формула (14) выполняется при n = k. Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1.

Действительно, при n = k имеем:
.
Дифференцируем по переменной x:

.
Итак, мы получили:
.
Эта формула совпадает с формулой (14) при n = k + 1. Таким образом, из предположения, что формула (14) справедлива при n = k следует, что формула (14) справедлива при n = k + 1.

Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n.

Производные высших порядков логарифма по основанию a

Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a, нужно выразить его через натуральный логарифм:
.
Применяя формулу (14), находим n-ю производную:
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций

Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

См. также:

При нахождении производных от экспоненциальных и логарифмических функций применяют следующие правила:

  1. (loga x)’ = 1/(x ln a)
    Производная логарифма с основанием а  переменной икс равна единице, деленной на произведение переменной и натурального логарифма от а. 
  2. (loga
     f(x))’ = f ‘(x) / (f(x) ln a)
    Производная логарифма с основанием а от функции f(x) равна дроби, в числителе которой находится производная функции f(x), а в знаменателе — произведение f(x) и натурального логарифма от а
  3. (ln x)’ = 1/x
    Производная натурального логарифма равна 1/х 
  4. (ln f(x) )’ = f ‘(x) / f(x)
    Производная натурального логарифма от функции f(x) равна дроби, в числителе которой находится производная этой функции, а в знаменателе — сама функция
  5. (ax )’ = ax ln a, a > 0 a ≠ 1 
    Производная константы а в степени переменной х, равна произведению константы а в степени переменной х и натурального логарифма от числа а. При этом число а должно быть больше нуля и не равно единице
  6. Производная переменной икс в степени этой же самой переменной равна произведению переменной икс в степени самой себя и суммы единицы и натурального логарифма х
  7. (ex )’ = ex

В более удобном для восприятия виде правила дифференцирования экспоненциальных и логарифмических функций представлены на картинке:  Таблица производных простых функций | Описание курса | Таблица производных тригонометрических функций 

   

Производные логарифмов и логарифмическое дифференцирование

Что можно сказать о производной логарифмической функции y = lnx на основании таблицы производных? Можно сказать, что она существует и выражается формулой

                    (1)

Однако в большинстве задач математического анализа, с которыми придётся столкнуться в дальнейшем, присутствует сложная логарифмическая функция. Она вычисляется несколько иначе.

В случае сложной логарифмической функции y = lnu, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (1) примет вид

               (2)

Пользуясь формулой (2), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть

В результате применения свойств логарифмов:

Так как — постоянный множитель, то

или

                    (3)


Если функция дана в виде

,

то перед тем, как находить её производную, часто бывает выгодно прологарифмировать эту функцию.

Это прежде всего случаи, когда требуется найти производную произведения или частного функций, а также степенной функции, когда основание и степень — функции.

На основании свойств сложных функций доказано, что производная функции, вид которой приведён выше, может быть найдена по формуле

.

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Логарифмируем обе части равенства и находим:

Решение. Окончательно находим производную данной функции:

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Логарифмируем обе части равенства:

Дифференцируем:

Выражаем и находим производную данной функции:

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

Теорема о производной обратной функции (Лекция №6)

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y‘ из уравнения y=f(x), то можно:

  1. Прологарифмировать обе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).
  2. Продифференцировать обе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x: .
  3. Выразить y‘ = y·j'(x) = f(x)·(lnx)’.

Примеры.

  1. y = xa – степенная функция с произвольным показателем.

    .

ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

Примеры.

  1. .

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .

    а).

    б) .

  6. .
  7. .

    .

  8. .
  9. .
  10. .
  11. .
  12. .
  13. .
  14. .
  15. .
  16. .

Примеры.

  1. . Найти y’(–1).

ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ И ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0Î [a; b] определяется равенством

.

Следовательно, по свойству предела

Умножая все члены полученного равенства на Δx, получим:

Δy = f ‘(x0)·Δx + a·Δx.

Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f ‘(х0) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f ‘(х0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy.

Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f ‘(x) в точке x, то произведение производной f ‘(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:

Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y‘ = (x)’ = 1 и, следовательно, dy=dxx. Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ее приращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:

Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f ‘(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.

Справедливо и обратное утверждение.

Если для данного значения x приращение функции Δy = f(xx) – f(x) можно представить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f ‘(x)=А.

Действительно, имеем , и так как при Δx→0, то .

Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.

Примеры. Найти дифференциалы функций:

  1. .

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям xx и yy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

M1(xx; yy).

Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f ‘(x), а MN = Δx, то NT = f ‘(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f ‘(x)·Δx, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y=f ‘(u) имеет вид dy = f ‘(u)du.

Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:

.

Следовательно, по определению

, но g‘(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.

Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример. . Найти dy.

Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим

.

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0‘ = f ‘(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δydyили Δy»f‘(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)f‘(x0)·Δx.

Откуда

f(x) ≈ f(x0) + f‘(x0)·Δx

Примеры.

  1. y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.

    Имеем Δydy=f‘(x)·Δx.

    f‘(x)=2x – 2 ,f‘(3)=4, Δx=0,01.

    Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.

  2. Вычислить приближенно значение функции в точке x = 17.

    Пусть x0= 16. Тогда Δx = xx0= 17 – 16 = 1, ,

    .

    Таким образом, .

  3. Вычислить ln 0,99.

    Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99.

    Положим x0 = 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x0)=0.

    , f ‘(1)=1.Поэтому f(0,99) ≈ 0 – 0,01 = – 0,01.

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение производной f‘(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f‘(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y»или f»(x). Итак, y» = (y‘)’.

Например, если у = х5, то y‘= 5x4, а y»= 20x4.

Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y»’или f»'(x).

Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y(n) или f(n)(x): y(n) = (y(n-1))’.

Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.

Примеры.

  1. Найти производную четвертого порядка функции y= ln x.

    .

  2. .
  3. Найти производную n-го порядка функции y = ekx.

    y‘= k·ekx, y»= k2·ekx, y»’ = k3·ekx, …,y(n) =kn·ekx.

  4. Найти производную n-го порядка функции y = sin x.

    Имеем

    Выясним механический смысл второй производной. (Механический смысл первой производной – скорость).

    Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s=s(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость vэтого движения есть v= s'(t) = v(t), т.е. тоже некоторая функция времени.

    В момент времени t скорость имеет значение v=v(t). Рассмотрим другой момент времени tt. Ему соответствует значение скорости v1 = v(tt). Следовательно, приращению времени Δt соответствует приращение скорости Δv= v1v = v(t + Δt) – v(t). Отношение называется средним ускорением за промежуток времени Δt.

    Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения при Δt→0:

    .

    Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути s по времени t: v = s‘. Учитывая это, имеем:

    a = v‘(t) = (s‘)’ = s»(t),

    т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по времени

    a = S»(t).

Электронный учебник по математическому анализу

4.1 Производная

4.1.1 Определение производной

Понятие производной — одно из ключевых в математическом анализе. Пусть $f(x)$ задана на некотором интервале $(a,b) \subset\mathbb{R}$, точка $x_0 \in (a,b)$.

Рассмотрим отношение \[ A(x_0, \vartriangle x)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x }.{x_0}. \]

3. $f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$.

Вычисление. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\sin (x_0+\Delta x)-\sin (x_0)}{\Delta x}. \]

Используя известное тригонометрическое тождество (разность синусов равна…), имеем: \[ A(x_0, \Delta x)=2\frac{\sin (\Delta x/2)\cos (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x}= \] \[ \frac{\sin (\Delta x/2)\cos (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x /2}. \]

С помощью тригонометрического предельного соотношения при $\Delta x \rightarrow 0$ получаем: \[ \lim _{\Delta x\rightarrow 0}A(x_0, \Delta x)=\cos (x_0). \]

4. $f(x)=\cos x$, $f'(x)=-\sin x$.

Вычисление. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\cos (x_0+\Delta x)-\cos (x_0)}{\Delta x}. \]

Используя известное тригонометрическое тождество (разность косинусов равна…), имеем: \[ A(x_0, \Delta x)=-2\frac{\sin (\Delta x/2)\sin (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x}= \] \[ -\frac{\sin (\Delta x/2)\sin (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x /2} \]

С помощью тригонометрического предельного соотношения при $\Delta x \rightarrow 0$ получаем: \[ \lim _{\Delta x\rightarrow 0}A(x_0, \Delta x)=-\sin (x_0) \]

5. $f(x)=\ln x$, $f'(x)=1/ x$.

Вычисление. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\ln (x_0+\Delta x)-\ln (x_0)}{\Delta x}= \] \[ \frac{\ln ((x_0+\Delta x)/x_0)}{\Delta x}=\frac{1}{x_0}\frac{\ln (1+\Delta x/x_0)}{\Delta x/x_0} \]

С помощью логарифмического предельного соотношения при $\Delta x \rightarrow 0$ получаем: \[ \lim _{\Delta x\rightarrow 0}A(x_0, \Delta x)=\frac{1}{x_0} \]

4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций

Производная возникает в результате предельного перехода. Поэтому свойства пределов приводят к соответствующим свойствам производных.

Теорема. Пусть функции $f(x)$, $g(x)$ дифференцируемы в точке $x$. Тогда
1. Функция $f(x)+g(x)$ также дифференцируема, причем $$(f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x),$$
2.2(x)}.$$

Доказательство.

1. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{(\left ( f(x_0+\Delta x) +g(x_0+\Delta x)\right )-\left ( f(x_0) +g(x_0)\right )}{\Delta x}= \] \[ \frac{ f(x_0+\Delta x) — f(x_0) }{\Delta x}+\frac{ g(x_0+\Delta x) — g(x_0) }{\Delta x}. \]

Согласно условиям теоремы, обе дроби в последнем выражении имеют пределы при $\Delta x \rightarrow 0$, так что используя тот факт, что предел суммы равен сумме пределов (конечных!) получаем: \[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} A(x_0, \Delta x)=f'(x_0)+g'(x_0). \]

2.

\[ A(x_0, \Delta x)= \] \[ \frac{ f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0+\Delta x)- f(x_0) \cdot g(x_0)}{\Delta x}= \] \[ \frac{ f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0+\Delta x)- f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0)}{\Delta x} \] \[ {+f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0)- f(x_0) \cdot g(x_0)}{\Delta x} \] \[ =f(x_0+\Delta x)\frac{g(x_0+\Delta x)- g(x_0)}{\Delta x}+ \] \[ g(x_0)\frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x}. \]

Согласно условиям теоремы, при $\Delta x \rightarrow 0$ выражения $$ \frac{g(x_0+\Delta x)- g(x_0)}{\Delta x}, \quad \frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x}$$ имеют пределы, равные производным функций $g'(x_0), f'(x_0)$. Так как функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке, значит $f(x_0+\Delta x) \rightarrow f(x_0) $ при $\Delta x \rightarrow 0$. В итоге получаем: \[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} A(x_0, \Delta x)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0). \]

3.

\[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\frac{f(x_0+\Delta x)}{g(x_0+\Delta x)}-\frac{f(x_0)}{g(x_0)}}{\Delta x}= \] \[ \frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0+\Delta x)}{g(x_0+\Delta x)g(x_0)\Delta x}= \] \[ \frac{1}{g(x_0+\Delta x)g(x_0)}\frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x}+ \] \[ {f(x_0)g(x_0)-f(x_0)g(x_0+\Delta x)}{\Delta x}= \] \[ \frac{1}{g(x_0+\Delta x)g(x_0)}\frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x}- \] \[ \frac{f(x_0)g(x_0+\Delta x)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x} .2)$.

Предположим, что известны производные $dg/dx$, $dh/dy$. Возникает вопрос: как вычислить производную сложной функции $dz/dx$, где $z=h(g(x))$?

Теорема. Пусть $f(x)$ дифференцируема в точке $x=x_0$, $h(y)$ дифференцируема в точке $y_0=f(x_0)$. Тогда $z=h(g(x))$ дифференцируема в точке $x=x_0$, причем \begin{equation} \left. \frac{dz}{dx} \right|_{x=x_0}=\left. \frac{dh}{dy}\right|_{y=f(x_0)}\cdot \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}. (8) \label{comp} \end{equation}

Доказательство.

Обозначим $y_0=f(x_0)$. В соответствии с нашими предположениями составим выражение \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{h(f(x_0+\Delta x))-h(f(x_0))}{\Delta x}= \] \[ \frac{h(f(x_0+\Delta x))-h(f(x_0))}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}. \]

При $\Delta x \to 0$ в силу непрерывности $f(x)$ в точке $x_0$ имеем: $y_0+\Delta y=f(x_0+\Delta x) \to f(x_0)=y_0$. В силу условий теоремы первый множитель имеет пределом при $\Delta x \to 0$ величину $\left. h'(y)\right|_{y=f(x_0)}$, второй множитель имеет пределом величину $f'(x_0)$. В итоге получаем: \[ \lim _{\Delta x \to 0}A(x_0, \Delta x)=\left. h'(y)\right|_{y=f(x_0)}\cdot f'(x_0). \]

Замечание. Соотношение (8) содержит в левой части 2 сомножителя — в соответствии с тем, что сложная функция образована композицией двух функций. Если сложная функция образована композицией 3 функций, в левой части имеется 3 сомножителя и т.д.

Напомним, что если задана функция $y=f(x)$, то обратной к ней функцией называется функция $x=h(y)$ со следующими свойствами: $h(f(x))=x$, $f(h(y))=y$. Разумеется, обратная функция существует не всегда.

Теорема. Пусть функция $y=f(x)$ имеет непрерывную производную в некоторой окрестности $V$ точки $x=x_0$, причем $f'(x_0) \neq 0$. Тогда в некоторой окрестности $U \subset V$, $x_0 \in U$, функция $f(x)$ имеет обратную, определенную в некоторой окрестности точки $y_0=f(x_0)$, причем выполняется равенство: \begin{equation} h'(y_0)=\left.2}.$$

Формулы для первой производной функции

y есть функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y’) постоянной есть 0

y = C => y’ = 0

пример: y = 5, y’ = 0

Если y есть функцией типа y = xn, формула для производной есть:

y = xn => y’ = nxn-1

пример: y = x3 y’ = 3x3-1 = 3x2
y = x-3 y’ = -3x-4

Из вышеприведенной формулы мы можем сказать, что для производной y’ функции y = x = x1 that:

если y = x тогда y’=1

y = f1(x) + f2(x) + f3(x) …=>
y’ = f’1(x) + f’2(x) + f’3(x) …

Эта формула представляет производную функции, являющейся суммой функций.
Пример: Если мы имеем две функции f(x) = x2 + x + 1 и g(x) = x5 + 7 и y = f(x) + g(x) тогда y’ = f'(x) + g'(x) => y’ = (x2 + x + 1)’ + (x5 + 7)’ = 2x1 + 1 + 0 + 5x4 + 0 = 5x4 + 2x + 1

Если функция есть произведением двух функций, формула производной выглядит так:

y = f(x).g(x) => y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Если f(x) = C(C есть постоянной) и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)

y = Cf(x) => y’ = C.f'(x)

Формулы вычисления производной

y =    y’ =
f'(x)g(x) — f(x)g'(x)
g2(x)

y = ln x => y’ = 1/x

y = ex => y’ = ex

y = sin x => y’ = cos x

y = cos x => y’ = -sin x

y = tg x => y’ = 1/cos2x

y = ctg x => y’ = —1/sin2x

если функция есть функцией функции: u = u(x)

y = f(u) => y’ = f'(u).u’

Пример. Пусть у нас есть функция y = sin(x2)
в этом случае u = x2, f(u) = sin(u), производные есть f'(u) = cos(u), u’ = 2x
y’ = (sin(u))’.u’ = cos(x2).2x = 2.x.cos(x2)

Задачи с производными

1) f(x) = 10x + 4y. Найдите первую производную f'(x)
ОТВЕТ: Мы можем использовать формулу нахождения производной для суммы функций f(x) = f1(x) + f2(x), f1(x) = 10x, f2(x) = 4y для функции f2(x) = 4y, y есть постоянной, потому что аргумент f2(x) есть x. Поэтому f’2(x) = (4y)’ = 0. Отсюда производная функции f(x) есть: f'(x) = 10 + 0 = 10.


     2) Вычислите производную f(x) =

ОТВЕТ: у нас есть две функции h(x) = x10 и g(x) = 4.15 + cos x
функция f(x) есть h(x), разделенная на g(x). h'(x) = 10x9 g'(x) = 0 — sin x = -sin x

f'(x) =
h'(x).g(x) — h(x).g'(x)
(g(x))2
f'(x) =
10x9(4.15 + cos x) — x10(-sin x)
(4.15 + cosx)2
=
x10sin x + 10(60 + cos x)x9
(60 + cosx)2

3) f(x) = ln(sinx). Какая производная функции f(x)?
ОТВЕТ: Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать последнюю формулу. Как мы видим, f(x) есть функцией двух функций: f(x) = h(g(x)), где h = ln и g = sin x

Подробнее о производных на страницах математического форума

Форум о производных

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2),

5. Производная логарифмической функции

М. Борна

Сначала давайте посмотрим на график функции журнала с базой e , то есть:

f ( x ) = log e ( x ) (обычно пишется «ln x »).

Тангенс при x = 2 включен в график.

Наклон тангенса y = ln x при `x = 2` равен` 1/2`.(Мы можем наблюдать это на графике, посмотрев на отношение подъема / хода).

Если y = ln x ,

`x` 1 2 3 4 5
наклон графика `1` `1/2` `1/3` `1/4` `1/5`
`1 / x` `1` `1/2` `1/3` `1/4` `1/5`

Мы видим, что наклон графика для каждого значения x равен «1 / x».Это работает для любого положительного значения x (конечно, у нас не может быть логарифма отрицательного числа).

Если бы мы сделали еще много примеров, мы могли бы сделать вывод, что производная логарифмической функции y = ln x равна

`dy / dx = 1 / x`

Примечание 1: Фактически, этот результат исходит из первых принципов.

Примечание 2: Мы используем логарифмы с основанием e . Если вам нужно напоминание о функциях журнала, ознакомьтесь с базой журналов и ранее.

Производная логарифма

y = ln x

Производная логарифмической функции y = ln x определяется по формуле:

`d / (dx) (ln \ x) = 1 / x`

Вы также увидите, что это написано несколькими другими способами. Следующие эквиваленты:

`d / (dx) log_ex = 1 / x`

Если y = ln x , то `(dy) / (dx) = 1 / x`

Теперь мы покажем, откуда взялась формула для производной от log_e x, используя первые принципы.{1 «/» t} `приближается к значению` e ~~ 2.71828`.)

Я напишу `log (x)` для обозначения `log_e (x) = ln (x)`, чтобы облегчить чтение.

У нас есть `f (x) = log (x)`, поэтому производная будет равна:

`(df) / (dx) = lim_ {h-> 0} (log (x + h) -log (x)) / h`

Теперь верхняя часть нашей дроби —

`log (x + h) -log (x)` `= log ((x + h) / x)` `= log (1 + h / x)`.

Чтобы упростить алгебру, мы теперь подставляем `t = h / x`, и это дает нам` h = xt`.{1 «/» t}) `

`= 1 / x журнал (е)`

`= 1 / x`

Наконечник

Для некоторых задач мы можем использовать законы логарифмирования, чтобы упростить логарифмическое выражение перед его дифференцированием.

Пример 1

Найдите производную от

y = ln 2 x

Ответ

Используем лог-закон:

журнал ab = журнал a + журнал b

Мы можем написать наш вопрос как:

y = ln 2 x = ln 2 + ln x

Теперь производная константы равна 0, поэтому

`d / (dx) ln \ 2 = 0`

Итак, у нас осталось (из нашей формулы выше)

`d / (dx) (ln \ x) = 1 / x`

Окончательный ответ:

`(dy) / (dx) = 1 / x`

Из следующего графика видно, что наклон y = ln 2 x (кривая зеленого цвета, касательная — пурпурный) совпадает с наклоном y = ln x (кривая серого цвета, касательная пунктирно серым) в точке x = 2.

Пример 2

Найдите производную от

y = ln x 2

Ответ

Используем лог-закон:

журнал a n = n журнал a

Итак, мы можем написать вопрос как

y = ln x 2 = 2 ln x

Производная будет просто в 2 раза больше производной ln x .2) «на самом деле имеет 2« руки », одно на отрицательной стороне, а другое на положительной. На приведенном выше графике для простоты показано только положительное плечо.

Производная от

y = ln u (где u является функцией x )

К сожалению, мы можем использовать только законы логарифма, чтобы помочь нам в ограниченном количестве типов вопросов логарифмической дифференциации.

Чаще всего нам нужно найти производную логарифма некоторой функции x .Например, нам может потребоваться найти производную от y = 2 ln (3 x 2 — 1).

Для решения таких задач нам понадобится следующая формула.

Если

y = ln u

и u — некоторая функция от x , тогда:

`(dy) / (dx) = (u ‘) / u`

, где u ‘ — производная от u

Другой способ записать это —

`(dy) / (dx) = 1 / u (du) / (dx)`

Вы также можете увидеть следующую форму.Это означает то же самое.

Если

y = ln f ( x ),

, то производная и определяется по формуле:

`(dy) / (dx) = (f ‘(x)) / (f (x)`

Пример 3

Найти производную из

y = 2 ln (3 x 2 — 1). 2 + 1)`

Дифференциация логарифмических функций с основанием, отличным от

e

Если

u = f ( x ) является функцией x ,

и

y = log b u — логарифм с основанием b ,

, то мы можем получить производную функции логарифма с основанием b , используя:

`(dy) / (dx) = (log_be) (u ‘) / u`

где

u является производной от u

log b e — постоянная величина.См. Изменение базового правила, чтобы узнать, как вычислить такие константы на вашем калькуляторе.)

Примечание 1: Эта формула основана на первых принципах.

Примечание 2: Если мы выберем e в качестве основы, то производная от ln u , где u является функцией x , просто даст нам нашу формулу выше:

`(dy) / (dx) = (u ‘) / u`

[Напомним, что журнал e e = 1.]

[См. Главу, посвященную экспоненциальным и логарифмическим функциям, основание и , если вам нужно освежить в памяти все это.]

Пример 6

Найти производную из y = журнал 2 6 x .

Ответ

Начнем с использования следующего правила журнала, чтобы упростить наш вопрос:

журнал ab = журнал a + журнал b

Мы можем написать наш вопрос как:

y = журнал 2 6 x = журнал 2 6 + журнал 2 x

Первый член, log 2 6, является константой, поэтому его производная равна 0. 2`

3.x (x \ cot \ x + ln (sin x)) `

График функции в упражнении 5 довольно интересен:

График y = (sin x ) x .

Производные экспоненциальной и логарифмической функций

14

Производная от ln x

Производная от e с функциональным показателем

Производная ln u ( x )

Общее правило власти

СИСТЕМА ЕСТЕСТВЕННЫХ ЛОГАРИФМОВ имеет в основе число, называемое e; это система, которую мы используем во всех теоретических работах.(В следующем уроке мы увидим, что e приблизительно равно 2 . 718.) Система натуральных логарифмов отличается от системы десятичных логарифмов, которая имеет основу 10 и используется для большинства практических работ.

Обозначим логарифмическую функцию с основанием e как «ln x ».

ln x = лог e x .

y = ln x подразумевает e y = x .

Другими словами, это функция логарифма —

y = ln x

— имеет в качестве обратной экспоненциальной функции,

y = e x .

Вот обратные отношения:

ln e x = x и e ln x = x .

И логарифм самого основания всегда 1:

(Тема 20 Precalculus.)

Функция y = ln x является непрерывной и определена для всех положительных значений x . Он будет подчиняться обычным законам логарифмов:

1 . ln ab = ln a + ln b .

2 . ln a
b
= ln a — ln b .

3 . ln a n = n ln a .

(Тема 20 Precalculus.)

Как и все правила алгебры, они подчиняются правилу симметрии.
Например,

n ln a = ln a n .

Производная от ln x

Теперь применим определение производной, чтобы доказать:

d
dx
дюйм x = 1
x

В ходе доказательства будет значительно упрощено, если мы определим основание системы натуральных логарифмов, число, которое мы называем e, как следующий предел:

Предел в доказательстве будет иметь такой же вид.

Позже мы будем называть переменную x , а не v . И в следующем уроке, после изменения переменной с v на, следует знакомое определение.

Вот коэффициент разницы:

= при умножении на x / x ;
= согласно 3-му закону.

Теперь возьмем предел, равный h , приближающийся к 0.

=
Ограничение не распространяется на 1
x
, потому что h — это переменная

Теперь мы определяем этот предел как основание натуральных логарифмов, число, которое мы назовем e.(Этот предел равен указанному выше: v =; когда 0, 0.)

Следовательно,

=
=
=

Это то, что мы хотели доказать.

Чтобы увидеть, что этот лимит —

— то есть е существует, когда x приближается к 0, вот график

y имеет определенное значение, поскольку x приближается к 0. И в следующем уроке мы увидим, что это примерно 2,718.

Производная от e x

Теперь докажем:

«Производная e x по x

равно e x

Поскольку y = e x является обратной величиной y = ln x , мы можем получить его производную следующим образом:

y = e x
подразумевает дюйм мм = дюйм x = х .

Следовательно, взяв производную от обеих сторон относительно x и применив цепное правило к ln y :

= 1.
y ‘ = и .
То есть
= e x .

e x является собственной производной.

Что это означает? Это подразумевает экспоненциальный рост. Ведь мы говорим, что количество растет «экспоненциально», когда оно растет со скоростью , что пропорционально его размеру. Чем он больше в любой момент времени, тем быстрее он растет в это время. Типичный пример — население. Чем больше людей будет, тем больше будет рождений, и, следовательно, тем больше будет темп изменения населения — количества рождений за каждый год.

Все экспоненциальные функции имеют вид a x , где a — основание. Следовательно, сказать, что скорость роста пропорциональна его размеру, означает сказать, что производная от a x пропорциональна a x .

d
dx
a x = ка x ,

, где k — константа пропорциональности.(Урок 39 алгебры.) Когда мы вычислим эту производную ниже, мы увидим, что эта константа принимает вид ln a .

d
dx
a x = ln a · a x .

В системе натуральных логарифмов, в которой e является основанием, у нас есть простейшая из возможных постоянных, а именно 1.

d
dx
e x = e x .

Производная от e с функциональным показателем

Когда y = e u ( x ) , то согласно правилу цепочки:

То есть

«Производная от e с функциональным показателем

равно e с этим показателем, умноженным на
производной этого показателя.«

Пример 1. Вычислить производную e 2 x + 3 .

Решение .

Задача 1. Вычислить производную e x 2 .

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

e x 2 · 2 x = 2 x e x 2

Задача 2. Вычислить производную от следующего.

a) e sin x . e sin x cos x

б) д −x . e x (−1) = −e x

c) x 2 e x . x 2 e x + 2 x e x

Согласно правилу продукта.

Производная ln u ( x )

Если y = ln u ( x ), то согласно цепному правилу:

То есть

Пример 2.
Пример 3. d
dx
дюйм sin x = 1
sin x
· cos x = cos x
sin x
= детская кроватка x .

Пример 4. Найдите производную ln x 2 .

Решение . Мы можем применять законы логарифмов:

d
dx
дюйм x 2 = d
dx
2 лин x , 3-й закон,
= 2 d
dx
дюйм x
= 2
x
.
.
Пример 5. Найти производную ln x
3 x — 4
.

Решение . Согласно 2-му Закону:

d
dx
пер. x
3 x — 4
= d
dx
[ln x — ln (3 x — 4)]
=
=
=

Проблема 3.Различают следующее.

a) ln x 3 . d
dx
дюйм x 3 = d
dx
3 дюйма x = 3
x
b) (ln x ) 3 . 3 (лин x ) 2 · 1
x
= 3 (длина x ) 2
x
c) ln (3 x 2 — 4 x ). 1
3 x 2 — 4 x
· (6 x — 4) = 6 x — 4
3 x 2 — 4 x
d) ln (3 x — 4) 2 . 1
(3 x — 4) 2
· 2 (3 x — 4) · 3 = 6 (3 x — 4)
(3 x — 4) 2
= 6
3 x — 4
e) ln cos x . 1
cos x
(−sin x ) = sin x
cos x
= −тан х
Проблема 4.Вычислить производную ln 2
x
.
d
dx
пер. 2
x
= d
dx
(ln 2 — ln x ) = 0 — 1
x
= — 1
x

Проблема 5.Производная журнала a x .

Согласно правилу перехода с базы e на другую базу a :

Тема 20 Precalculus.

Вычислить предел этой производной

a) когда x больше 1 и становится больше.

Эта производная приближается к 0, то есть становится меньше.

б) когда x меньше 1 и становится меньше.

Эта производная становится больше.

Общее правило власти

Теперь мы можем доказать, что производная f ( x ) = x n , где n — любой рациональный показатель степени, имеет следующий вид:

d
dx
x n = n x n −1

Пусть

y = x n .
Затем
дюйм мм = n ln x (3-й закон).
Следовательно, взяв производную относительно x :
= n
x
так что
г ‘ = n
x
· y
= n
x
· x n
= n x n −1 .

Это то, что мы хотели доказать.

(Если n равно 0, тогда x 0 = 1, константа; его производная равна 0. Если n иррационально, потребуется рациональное приближение.)

.
Задача 6. Вычислить производную

Производная от a x

Докажем:

d
dx
a x = ln a · a x

«Производная экспоненты с основанием a

равно натуральному логарифму основания

.

раз экспоненциальной функции.«

Пусть

Это то, что мы хотели доказать.

Пример 6. d
dx
2 x = ln 2 · 2 x .

Задача 7. Вычислить производную от y = 10 5 x .

По цепному правилу:

Следующий урок: оценка e

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: themathpage @ яндекс.com


Производные математической сцены — Урок 4

Производные математической сцены — Урок 4 — Производные экспоненциальной и триггерной функций

2009 Rasmus ehf и Джанн Сак

Производные инструменты

Урок 4

Производные экспоненциальные и триггерные функции


Собирались использовать CASIO-калькулятор для нахождения некоторых значений функций вида f (x) = a x где a — постоянная, а x — переменная.
Мы сделаем это, зафиксировав значение x и посмотрев на значения f (x) и f (x) как меняется с 2 на 3.
Мы можем выбрать любое значение для x, например x = 2.
Выберите меню «Выполнить», а затем нажмите кнопку с надписью OPTN рядом с кнопкой «SHIFT» («ПЕРЕМЕЩЕНИЕ»). ВНИМАНИЕ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Затем выберите CALC с помощью F4, а затем d / dx с помощью F2. Наконец-то вставил комму а затем значение x 2.


Результаты показаны в таблица ниже

а

а 2

f ‘(2)

2.0

4,0 2,8

2,1

4,4 3,3
2,2 4,8 3,8
2,3 5,3 4,4
2,4 5,8 5,0
2,5 6,3 5.7
2,6 6,8 6,5
2,7 7,3 7,2
2,8 7,8 8,1
2,9 8,4 9,0
3,0 9,0 9,9

Стоимость а 2 изменяется от 4 при a = 2 до 9 при a = 3.Производная идет от 2,8 до 9,9 (оба числа приблизительные). Оба столбца чисел меняются непрерывно так где-то, недалеко от 2.7, функция и ее производная принять такое же значение.
Мы увидим, как это происходит в том же самом месте, какое бы значение мы ни выбрали. для.
Если мы выберем a = 2,718282, мы получим одинаковое значение в обоих столбцах вплоть до шестой знак после запятой (7,38

и 7,38

). Вы должны узнать этот номер из урока по натуральным логарифмам.Это число е.

Число e — иррациональное число, поэтому мы можем дают только приблизительное значение для e, e 2,718282. Функция f (x) = e x остается неизменным, когда мы его дифференцируем, то есть f (x) = f (x) = e x

.

Производная функции f (x) = e x равна f (x) = e x

В уроке 5 вы увидите правило, называемое Правило цепи.Одним из результатов этого правила является то, что если x умножить на постоянное число, тогда дифференцированная функция также умножается на эту константу. Для Например, если мы дифференцируем f (x) = e 2x , мы получим f (x) = 2e 2x .

В общем, если k — постоянная величина и f (x) = e kx , то f (x) = ke k x .

Используя этот факт, мы можем найти производную от функция f (x) = a x .Использование правил журнала x = e ln x и ln a x = xln a мы можем переписать f (x) как

ф (х) = a x = e xln а

a — постоянная величина, поэтому ln a также является константой, как k в приведенном выше правило. Таким образом, мы можем дифференцировать функцию, записав ее в виде e xln .

ф (х) = (e xln a ) = (ln a) e xln a = (ln a) a x

Производная от f (x) = a x is (ln a) a x

Пример 1

Найдите производную от f (x) = e x a x .

Используя умножение правило (УФ) = uv + uv с u = e x и v = a x дает нам u = e x и v = (ln a) a x . Подставляя эти значения в формулу, получаем

ф (х) = (УФ) = УФ + УФ

знак равно e x a x + e x (ln а) х взять e x a x вне скобки .

= e x a x (1 + ln а)

Теперь рассмотрим правило часто называют сэндвич-правилом. Это метод, который мы можем использовать для решения сложные лимитные задачи. Если мы не можем найти предел функции f (x) в конкретной точке P мы можем попытаться найти функцию u (x), которая имеет то же значение как f (x) в точке P, но больше, чем f (x) в окрестности P. Таким же образом мы находим функцию v (x), которая принимает то же значение, что и f (x) в точке P, но меньше f (x) в окрестности P.Таким образом мы бутерброд f (x) между
u (x) и v (x). Если эти две функции u (x) и v (x) имеют одинаковый предел в точка P, то f (x) также должна иметь этот предел. Это показано на диаграмме. ниже.

Теперь воспользуемся правило сэндвича, чтобы найти . Проблема в что если мы введем 0 для x, то мы получим 0/0, что у нас есть проблема оценка.

На приведенной выше диаграмме показан единичный круг.У нас есть нарисовал угол x. Если x измеряется в радианах, то длина дуги между точкой (1, 0) на оси x и точкой P также является x. В вертикальная красная линия имеет длину sin x и, очевидно, меньше дуги x, которая снова меньше, чем tan x. Запишем следующее неравенство:

грех х х загар x

Помните, что tan x определяется как так что получаем

Делим все на sin x и отмена

Обращение всех дробей и обратное преобразование символов неравенства дает нам


Нам удалось сэндвич фракция между 1 и cos x
которые оба имеют предел 1, когда x стремится к 0.

Это дает нам правило = cos 0 = 1

Мы используем это правило в следующих примерах.

Учитывайте предел .

В этом случае нам не нужно использовать бутерброд. правило, вместо этого мы используем (a + b) (a b) = a 2 b 2 сначала умножая дробь на (соз х + 1)

Помните Правило Пифагора для cos и sin, cos 2 x + sin 2 x = 1, который может быть переписывается как sin 2 x = cos 2 x 1.

Продолжаем пример следующим образом:

Первая дробь имеет предел 1 из вышеуказанного правило, а вторая дробь равна 0, потому что sin 0 = 0. Это дает результат

Пример 2

Теперь мы можем приступить к поиску производной sin x.

(грех х) ‘=

Используя один из правило сложения для триггерных функций sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v и поместив его в приведенное выше выражение получаем:


В последней строке доказательства мы использовали результаты из двух предельных правил, которые мы доказали ранее в этом уроке.Получаем очень удовлетворительный результат, что производная sin x равна cos x.

Аналогичный метод дает приводят к тому, что производная от cos x есть sin x.

sinx = cos x

cosx = — sin x

Пример 3

Найти производную от е (х) = загар х.

Помните, что и используйте правило для производной частных .

В этом случае u = sin x и u = cos x, v = cos x и v = sin x. Помещая эти ценности в правило получаем

Здесь мы используем правило
cos 2 x + sin 2 x = 1.


Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 4 по производным.

шт. Запомните свой контрольный список.

Производные степенных функций от e | Исчисление Ссылка

Пример производных e

Константа пропорциональности

Когда мы говорим, что взаимосвязь или явление являются «экспоненциальными», мы подразумеваем, что некоторая величина — электрический ток, прибыль, население — увеличивается быстрее по мере роста количества.\ prime = \ frac {1} {x}. \]

Теперь рассмотрим логарифмическую функцию с произвольным основанием и получим формулу для ее производной.

Итак, возьмем логарифмическую функцию \ (y = {\ log _a} x, \), где основание \ (a \) больше нуля и не равно \ (1: \) \ (a \ gt 0 \ ), \ (а \ ne 1 \). Согласно определению производной, мы даем приращение \ (\ Delta x \ gt 0 \) к независимой переменной \ (x \), предполагая, что \ (x + \ Delta x \ gt 0 \). Логарифмическая функция будет увеличиваться, соответственно, на значение \ (\ Delta y \), где

\ [{\ Delta y} = {{\ log _a} \ left ({x + \ Delta x} \ right) — {\ log _a} x.} \]

Разделите обе стороны на \ (\ Delta x: \)

\ [
{\ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}}} = {\ frac {1} {{\ Delta x}} \ left [{{{\ log} _a} \ left ( {x + \ Delta x} \ right) — {{\ log} _a} x} \ right]}
= {\ frac {1} {{\ Delta x}} {\ log _a} \ frac {{x + \ Delta x}} {x}}
= {\ frac {1} {{\ Delta x}} {\ log _a} \ left ({1 + \ frac {{\ Delta x}} {x}} \ right ).}
\]

Обозначим \ ({\ large \ frac {{\ Delta x}} {x} \ normalsize} = {\ large \ frac {1} {n} \ normalsize} \). Тогда последнее соотношение можно переписать как

\ [
{\ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}}} = {\ frac {1} {{\ Delta x}} {\ log _a} \ left ({1 + \ frac { {\ Delta x}} {x}} \ right)}
= {\ frac {1} {x} \ cdot n \, {\ log _a} \ left ({1 + \ frac {1} {n}} \верно).\ prime = \ large {\ frac {1} {{x \ ln a}}} \ normalsize \) из первых принципов — с использованием предельного определения производной. Как логарифмическая функция с основанием \ (a \) \ (\ left ({a \ gt 0} \ right. \), \ (\ Left. {A \ ne 1} \ right) \) и экспоненциальная функция с тем же base образуют пару взаимно обратных функций, производная логарифмической функции также может быть найдена с помощью теоремы об обратной функции.

Предположим, нам дана пара взаимно обратных функций \ (y = f \ left (x \ right) = {\ log_a} x \) и \ (x = \ varphi \ left (y \ right) = {a ^ y }. 2}}}, }
\]

где \ (x \ gt 0.\ prime} = {\ frac {1} {{\ sin x}} \ cdot \ cos x} = {\ frac {{\ cos x}} {{\ sin x}}} = {\ cot x.} \ ]

Производный инструмент

Производный инструмент

Определение производного инструмента

Дана производная функции f ( x ) в точке и обозначается

Некоторые базовые производные инструменты

В таблице ниже u , v и w являются функциями переменной х . a , b , c и n — константы (с некоторыми ограничениями всякий раз, когда они применяются).обозначить натуральный логарифмический функция и e естественная основа для. Напомним, что .

Правило цепочки

Последняя формула

известна как формула цепного правила. Его можно переписать как

Другая аналогичная формула дается формулой

Производная обратной функции

Обратной функцией функции y ( x ) является функция x ( y ), мы имеем

Производные тригонометрических функций и их обратные

Напомним определения тригонометрических функций

Производная экспоненциальной и логарифмической функций


Напомним определение функции логарифма с основанием a > 0 (с ):

Производная гиперболических функций и их обратных

Напомним определения тригонометрических функций

Производные высшего порядка

Пусть y = f ( x ).У нас есть:

В некоторых книгах также используются следующие обозначения для высших производных. использовал:

Формула высшей производной для продукта: Формула Лейбница

где находятся биномиальные коэффициенты. Например, у нас есть

[Дифференциальные уравнения] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.