Примеры с корнем квадратным: Квадратный корень — все, что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ в 2021 году

Содержание

правила, методы, примеры как делить квадратные корни

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове —  подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Алгоритм действий:

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

Пример 1

144÷36, это выражение следует переписать так: 14436

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

Пример 2

14436. Это выражение следует записать так: 14436

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

Пример 3

14436=4, запишем это выражение так: 14436=4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

Пример 4

4 — полный квадрат, потому что 2×2=4. Из этого следует:

4=2×2=2. Поэтому 14436=4=2.

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Алгоритм действий:

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители. 

Пример 5

8÷36, переписываем так 836

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

Пример 6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

Пример 7

2266×62×2×2, из этого следует: 836=226

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него. 

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

Пример 8

В выражении 623 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы избавиться от него в знаменателе:

623×33=62×33×3=669=663

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

Пример 9

26 упрощается до 13; таким образом 226упрощается до 123=23

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание  

Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

Алгоритм действий:

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

Пример 10

432616. Сначала сокращаем 46: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 46=23.

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

Пример 11

32 делится нацело на 16, поэтому: 3216=2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

Пример 12

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

Пример 13

4327. Следует умножить числитель и знаменатель на 7, чтобы избавиться от корня в знаменателе.

437×77=43×77×7=42149=4217

Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

Алгоритм действий:

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

Пример 14

15+2— в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

Пример 15

5+2и 5-2 — сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a-b)(a+b)=a2-b2

Пример 16

15+2=1(5-2)(5-2)(5+2)=5-2(52-(2)2=5-225-2=5-223.

Из этого следует: 15+2=5-223.

Советы: 

  1. Если вы  работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь. 
  2. Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
  3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
  4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
  5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

внесение и вынесение, примеры, определения

На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.

Разложение корня на множители

Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель — упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде. 

Определение 1

Разложение квадратного корня на множители — нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16. 

Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:

Пример 1

Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.

 

Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.

Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.

Например, можно упростить таким способом 98:=98÷2=49. Из этого следует, что 2×49=98, поэтому можно переписать задачу следующим образом: 98=(2×49).

Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.

Возьмем наш пример (2×49):

Поскольку 2 уже и так максимально упрощено, необходимо упростить 49. Ищем простое число, на которое можно разделить 49. Очевидно, что ни 3, ни 5 не подходят. Остается 7: 49÷7=7, поэтому 7×7=49.

Записываем пример в следующем виде: (2×49)=(2×7×7).

Упростите выражение с квадратным корнем.

Поскольку в скобках у нас произведение 2 и двух одинаковых чисел (7), то мы можем вынести за знак корня число 7.

Пример 2

(2×7×7)=(2)×(7×7)=(2)×7=7(2).

В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.

Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.

В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.

Пример 3

180=(2×90)180=(2×2×45)180=245

но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.

180=2(3×15)180=2(3×3×5)180=2×35180=65

Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя. 

Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 4

70=35×2, поэтому 70=(35×2)

35=7×5, поэтому (35×2)=(7×5×2)

Как видим, все три множителя — простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить 70нельзя.

Полный квадрат

Запомните несколько квадратов простых чисел.

Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.

Пример 5

12=122=432=942=1652=2562=3672=4982=6492=81102=100

В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата. 

Сложно? Нет:

Пример 6

1=14=29=316=425=536=649=764=881=9100=10

Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.

Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:

Пример 7

50=(25×2)=52.2+6} \approx 13 + \frac{6}{2 \cdot 13} \approx 13,23 $

Вычислить квадратный корень из числа: примеры, расчеты, калькулятор


Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

  • найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
  • выполнить математическое действие с дробными степенями.

Как вычислять квадратный корень вручную —методом подбора находить подходящие значения. Рассмотрим, как это делать.

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

Например:

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:


Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило

Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.

Ответ. 

 

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки. Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4.

Значит

между 2 и 4.

Оцениваем значение Вероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7.

2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76~7.

Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так:

— целую часть справа налево;

— число после запятой слева направо.

Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94

795,28 → 7 95, 28

Допускается, что вначале остается непарное число.

Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел).

Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.

У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 = 

Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7.

А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.

Примечание: числа должны быть одинаковыми.

Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.
Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня.

Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.

Вычтите полученное справа произведение из числа слева.

Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.

Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую.

Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.

Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение  прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

Алгоритм действий

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

4. Нажмите кнопку «Решить».

Вычисление самых сложных математических действий с онлайн калькулятором станет простым! Экономьте время и проводите расчеты с CALCON.RU.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Степень с целочисленным показателем

      Понятие степени с целочисленным показателем включает в себя три определения.

      Определение. Пусть   n   – произвольное натуральное число, а   a   – произвольное действительное число. Тогда   n – ой степенью числа   a   называют произведение   n   сомножителей, равных   a :

      Число   a   называют основанием степени, а число   n   – показателем степени.

      Определение. Пусть   a   – произвольное действительное число, отличное от   0 . Тогда, по определению:

a0 = 1 .

      Число a называют основанием степени, а число   0   – показателем степени.

      Определение. Пусть   n   – произвольное натуральное число, а   a   – произвольное действительное число, отличное от   0 . Тогда, по определению:

      Число   a   называют основанием степени, а число   (– n)   – показателем степени.

      Таким образом, степень с целочисленным показателем определена.

      Пример 1.

      Замечание 1. Число нуль нельзя возвести в нулевую степень и нельзя возвести в отрицательную степень.

Арифметический корень

      Пусть   n   – произвольное натуральное число, а   a   – произвольное положительное число.

      Определение. Число   x   называют арифметическим корнем   n – ой степени из числа   a ,   если, во-первых, число   x   положительное, а, во-вторых, является решением уравнения

xn = a .

      В этом случае при     для арифметического корня используется обозначение:

или эквивалентное обозначение:

      Если же   n = 2,   то для арифметического квадратного корня используется обозначение:

или эквивалентное обозначение:

      Замечание 2. В курсах математики, выходящих за рамки средней школы, доказывается, что арифметический корень всегда существует, причем только один.

      Замечание 3. Очень важно помнить о том, что в формуле

содержится ошибка, за которую мгновенно следует безжалостная кара на экзаменах.

      Пример 2. Решить уравнение

x2 = 25 .

      Решение. Это уравнение имеет два корня:

x1 = 5       и       x2 = – 5 .

      Корень уравнения   x1 = 5   является арифметическим квадратным корнем из числа 25, а корень уравнения     x2 = – 5     является числом, противоположным к арифметическому квадратному корню из числа 25.

      Пример 3. Решить уравнение

x3 = – 27 .

      Решение. Это уравнение имеет единственный вещественный корень   x = – 3,   но это число не является арифметическим кубическим корнем из числа   (– 27), так как у отрицательных чисел не бывает арифметических корней. Число   x = – 3   является числом, противоположным к арифметическому кубическому корню из числа   27.   Поэтому

      Замечание 4. Желающие могут ознакомиться с нашей презентацией «Степень с рациональным показателем», содержание которой связано с данным разделом.

Избавление от иррациональностей в знаменателе дроби

      В некоторых задачах требуется перейти от дроби к равной ей дроби, но такой, у которой в знаменателе нет корней (иррациональностей). Эта операция носит название «избавление от иррациональностей в знаменателе дроби» и осуществляется при помощи умножения числителя и знаменателя дроби на подходящее число. Часто это число находится с помощью формул сокращенного умножения. Покажем это на примере.

      Пример 4. Преобразовать дробь

к такому виду, чтобы в знаменателе не было иррациональностей.

      Решение. Воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов», совершим следующие эквивалентные преобразования:

      Мы получили дробь, у которой в знаменателе иррациональностей нет, что и требовалось.

      С понятием степени с рациональным показателем и свойствами степеней можно ознакомиться в разделе «Степень с рациональным показателем» нашего справочника.

      Графики степенных и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

      На сайте можно также ознакомиться с нашимиучебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Квадратный корень из произведения и дроби

Для начала давайте вспомним определение арифметического квадратного корня. Итак, арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Пример 1:

Пример 2:

Следует обратить внимание, что

Заметим, что

Видно, что квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.

Этим свойством обладает квадратный корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.

Чтобы извлечь квадратный корень из произведения неотрицательных чисел, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.

Следует заметить, что это свойство распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение представляет собой произведение трёх, четырёх и т.д. неотрицательных множителей.

Например:

Корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Верно и обратное утверждение: произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.

Задание: вычислите значение выражения.

Решение:

Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из дроби.

Пример 1:  

Видим, что квадратный корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

Этим свойством обладает квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицательное число, а знаменатель положителен.

Чтобы извлечь квадратный корень из дроби, можно извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Вывод: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Верно и обратное утверждение: частное корней равно корню из частного этих чисел.

Выполнить задание: вычислите значение выражения.

Решение:

Итоги:

Корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Как решать примеры с корнями

Корнем n степени из числа называют такое число, которое при возведении в эту степень даст то число, из которого извлекается корень. Чаще всего, действия производятся с корнями квадратными, которые соответствуют 2 степени. При извлечении корня часто невозможно найти его явно, а результатом является число, которое невозможно представить в виде натуральной дроби (трансцендентное). Но используя некоторые приемы, можно значительно упростить решение примеров с корнями.Вам понадобится

Если не требуется абсолютная точность, при решении примеров с корнями воспользуйтесь калькулятором.4=(-2)∙ (-2)∙ (-2)∙ (-2)=16. Для извлечения квадратного корня нацело, когда это возможно, воспользуйтесь таблицей квадратов натуральных чисел.

Если же рядом нет калькулятора, или требуется абсолютная точность в расчетах, используйте свойства корней, а также различные формулы для упрощения выражений. Из многих чисел можно извлечь корень частично. Для этого воспользуйтесь свойством, что корень из произведения двух чисел равен произведению корней из этих чисел √m∙n=√m∙√n.

Пример. Вычислите значение выражения (√80-√45)/ √5. Прямое вычисление ничего не даст, поскольку нацело не извлекается ни один корень. Преобразуйте выражение (√16∙5-√9∙5)/ √5=(√16∙√5-√9∙√5)/ √5=√5∙(√16-√9)/ √5. Произведите сокращение числителя и знаменателя на √5, получите (√16-√9)=4-3=1.

Если подкоренное выражение или сам корень возведены в степень, то при извлечении корня воспользуйтесь тем свойством, что показатель степени подкоренного выражения можно поделить на степень корня. Если деление производится нацело, число вносится из-под корня.4=5²=25.

Пример. Вычислить значение выражения (√3+√5)∙(√3-√5). Примените формулу разности квадратов и получите (√3)²-(√5)²=3-5=-2.

Квадратный корень — Формула, примеры (квадраты и квадратные корни)

В математике квадраты и квадратные корни являются обратными операциями. Квадрат числа — это значение степени 2 числа, а квадратный корень числа — это число, которое нам нужно умножить само на себя, чтобы получить исходное число. Если a является квадратным корнем из b, это означает, что a × a = b. Квадрат любого числа всегда является положительным числом, поэтому каждое число имеет два квадратных корня, одно положительное значение и одно отрицательное значение. Например, 2 и -2 являются квадратными корнями из 4.Но в большинстве случаев вы обнаружите, что только положительное значение записывается как квадратный корень.

Квадрат числа

Любое число, возведенное в степень два, называется квадратом основания. Итак, 5 2 упоминается как квадрат 5, а 8 2 упоминается как квадрат 8. Мы можем легко найти квадрат числа, умножив основание на два раза. Например, 5 в квадрате — это 5 × 5 = 25, а 8 в квадрате — это 8 × 8 = 64. Когда мы находим квадрат целого числа, полученное число является одним из полных квадратов.Вот некоторые из идеальных квадратов, которые у нас есть: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и так далее. Квадрат числа, независимо от того, является ли оно положительным или отрицательным, всегда является положительным числом.

Как найти квадрат?

Квадрат числа можно найти, умножив число на само себя. Для однозначных чисел мы можем использовать таблицы умножения, чтобы найти квадрат, в то время как в случае двух или более двухзначных чисел мы выполняем умножение числа на само число, чтобы получить ответ.Например, 9 × 9 = 81, где 81 — это квадрат 9.

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень числа — это число, которое умножается на само себя, чтобы получить произведение. Мы узнали об экспонентах. Квадраты и квадратные корни являются специальными показателями. Рассмотрим число 9. Какое число при умножении на само дает 9 как произведение? Когда показатель степени равен 2, он называется квадратом. Когда показатель степени равен 1/2, он называется квадратным корнем.Например, √ (n × n) = √n 2 = n, где n — положительное целое число.

Определение квадратного корня

Квадратный корень числа — это значение степени 1/2 этого числа. Другими словами, это число, которое мы умножаем само на себя, чтобы получить исходное число. Он обозначен символом «√».

Как найти квадратный корень?

Очень легко найти квадратный корень из числа, которое является полным квадратом. Полные квадраты — это те положительные числа, которые можно записать как произведение числа на само себя.другими словами, полные квадраты — это числа, представляющие собой значение степени 2 любого целого числа. Мы можем использовать четыре метода, чтобы найти квадратный корень из чисел, и это следующие методы:

  • Метод повторного вычитания квадратного корня
  • Квадратный корень методом простой факторизации
  • Квадратный корень методом оценки
  • Квадратный корень методом длинного деления.

Обратите внимание, что первые три метода удобно использовать для полных квадратов, а четвертый метод, т.е.Метод деления в столбик можно использовать для любого числа, будь то полный квадрат или нет.

Метод повторного вычитания квадратного корня

Это очень простой метод. Мы будем вычитать последовательные нечетные числа из числа, для которого мы находим квадратный корень, до тех пор, пока не достигнем 0. Количество раз, которое мы вычитаем, является квадратным корнем из данного числа. Это работает только для точных квадратных чисел. Давайте найдем квадратный корень из 16 с помощью этого метода.

  • 16-1 = 15
  • 15-3 = 12
  • 12-5 = 7
  • 7-7 = 0

Вы можете заметить, что мы вычитали 4 раза.Таким образом, √16 = 4

Квадратный корень методом простой факторизации

Разложение любого числа на простые множители означает представление этого числа как произведения простых чисел. Чтобы найти квадратный корень из заданного числа с помощью метода разложения на простые множители, мы следуем шагам, приведенным ниже:

  • Шаг 1: Разделите данное число на его простые множители.
  • Шаг 2: Сформируйте пары одинаковых множителей так, чтобы оба множителя в каждой паре были равны.
  • Шаг 3: Возьмите один множитель из пары.
  • Шаг 4: Найдите произведение множителей, полученных путем взятия одного множителя из каждой пары.
  • Шаг 5: Этот продукт является квадратным корнем из заданного числа.

Найдем этим методом квадратный корень из 144.

Этот метод работает, когда заданное число является точным квадратным числом.

Квадратный корень методом оценки

Оценка и приближение относятся к разумному предположению фактического значения, чтобы сделать вычисления более простыми и реалистичными.Этот метод помогает в оценке и приближении квадратного корня из заданного числа. Воспользуемся этим методом, чтобы найти √15. Найдите числа, ближайшие к точному квадрату 15. 9 и 16 — числа полного квадрата, ближайшие к 15. Мы знаем, что √16 = 4 и √9 = 3. Это означает, что √15 лежит между 3 и 4. Теперь нам нужно посмотрим, ближе ли √15 к 3 или 4. Рассмотрим 3,5 и 4. 3,5 2 = 12,25 и 4 2 = 16. Таким образом, √15 находится между 3,5 и 4 и ближе к 4.

Найдем квадраты 3.8 и 3.9. 3,8 2 = 14,44 и 3,9 2 = 15,21. Это означает, что √15 находится между 3,8 и 3,9. Мы можем повторить процесс и проверить между 3,85 и 3,9. Мы можем заметить, что √15 = 3,872

Это очень долгий и трудоемкий процесс.

Квадратный корень методом длинного деления

Длинное деление — это метод деления больших чисел на шаги или части, разбивающий задачу деления на последовательность более простых шагов. Используя этот метод, мы можем найти точный квадратный корень из любого заданного числа.Давайте разберемся с процессом нахождения квадратного корня методом деления в длину на примере. Найдем квадратный корень из 180.

  • Шаг 1: Поместите черту над каждой парой цифр числа, начиная с места единицы (крайняя правая сторона). У нас будет две пары, т.е. 1 и 80
  • Шаг 2: Мы делим крайнее левое число на наибольшее число, квадрат которого меньше или равен числу в крайней левой паре.

Шаг 3: Введите число под следующей полосой справа от остатка.Добавьте последнюю цифру частного к делителю. Справа от полученной суммы найдите подходящее число, которое вместе с результатом суммы образует новый делитель для нового дивиденда, который переносится вниз.

Шаг 4: Новое число в частном будет иметь такое же число, как выбрано в делителе. Условие то же — меньше или равно дивиденду.

Шаг 5: Теперь продолжим этот процесс, используя десятичную точку и попарно добавляя нули к остатку.

Шаг 6: Полученное таким образом частное будет квадратным корнем из числа.

Таблица квадратного корня

Таблица квадратного корня содержит числа и их квадратные корни. Также полезно находить квадраты чисел. Вот список квадратных корней из полных квадратных чисел и некоторых неполных квадратных чисел от 1 до 10.

Номер Квадратный корень
1 1
2 1.414
3 1,732
4 2
5 2,236
6 2.449
7 2,646
8 2,828
9 3
10 3.162

Квадратные корни из чисел, не являющихся полными квадратами, являются частью иррациональных чисел.

Квадратный корень — это не что иное, как показатель степени 1/2. Формула квадратного корня используется для нахождения квадратного корня числа. Мы знаем формулу экспоненты: \ (\ sqrt [\ text {n}] {x} \) = x 1 / n . Когда n = 2, мы называем это квадратным корнем. Мы можем использовать любой из вышеперечисленных методов для нахождения квадратного корня, например, разложение на простые множители, деление в столбик и так далее. 9 1/2 = √9 = √ (3 × 3) = 3.Итак, формула для записи квадратного корня из числа: √x = x 1/2 .

Как упростить квадратный корень?

Чтобы упростить извлечение квадратного корня, нам нужно найти факторизацию данного числа на простые множители. Если фактор не может быть сгруппирован, оставьте их под символом квадратного корня. Правило упрощения квадратного корня: √xy = √ (x × y), где x и y — положительные целые числа. Например: √12 = \ (\ sqrt {2 \ times 2 \ times3} \) = 2√3

Для дробей действует аналогичное правило: √x / √y = √ (x / y).Например: √50 / √10 = √ (50/10) = √5

Квадратный корень отрицательного числа

Квадратный корень отрицательного числа не может быть действительным числом, поскольку квадрат является либо положительным числом, либо нулем. Но комплексные числа имеют решение квадратного корня из отрицательного числа. Главный квадратный корень из -x: √ (-x) = i√x. Здесь i — квадратный корень из -1.

Например: возьмите точное квадратное число, такое как 16. Теперь давайте посмотрим на квадратный корень из -16.Настоящего квадратного корня из -16 не существует. √ (-16) = √16 × √ (-1) = 4i (as, √ (-1) = i), где i представлено как квадратный корень из -1. Итак, 4i — это квадратный корень из -16.


Статьи по теме о квадратах и ​​квадратных корнях

Ниже приводится список тем, которые тесно связаны с квадратами и квадратными корнями.

Квадратный корень чисел

Часто задаваемые вопросы о Square Root

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень — это число, которое нам нужно умножить само на себя, чтобы получить исходное число.Например, 2 — это квадратный корень из 4, так как 2 × 2 = 4.

Как найти квадратный корень числа?

Квадратный корень из числа можно найти с помощью любого из четырех методов, приведенных ниже:

  • Метод повторного вычитания
  • Метод первичной факторизации
  • Метод оценки и приближения
  • Метод длинного деления.

Как найти квадратный корень десятичного числа?

Квадратный корень десятичного числа можно найти с помощью метода оценки или метода деления в столбик.В случае десятичных чисел мы составляем пары частей целого числа и дробных частей отдельно. Затем мы выполняем процесс деления в столбик так же, как и любое другое целое число.

Может ли квадратный корень быть отрицательным?

Квадратный корень числа может быть отрицательным. Фактически, все идеальные квадраты, такие как 4, 9, 25, 36 и т. Д., Имеют два квадратных корня, одно положительное значение и одно отрицательное значение. Квадратные корни из 4 равны -2 и 2. Точно так же квадратные корни из 9 равны 3 и -3.

Как вы называете символ квадратного корня?

Символ, используемый для обозначения квадратного корня, называется радикальным знаком «√».Термин, записанный внутри радикального знака, называется подкоренным выражением.

Какова формула квадратного корня?

Квадратный корень любого числа можно выразить с помощью формулы: √x = x 1/2 .

Функция квадратного корня Python — настоящий Python

Вы пытаетесь решить квадратное уравнение? Возможно, вам нужно рассчитать длину одной стороны прямоугольного треугольника. Для этих и других типов уравнений функция квадратного корня Python sqrt () может помочь вам быстро и точно рассчитать ваши решения.

К концу этой статьи вы узнаете:

  • Что такое квадратный корень
  • Как использовать функцию квадратного корня Python, sqrt ()
  • Когда sqrt () может быть полезным в реальном мире

Давайте погрузимся!

Python Pit Stop: Это руководство представляет собой быстрый и практический способ найти нужную информацию, так что вы вернетесь к своему проекту в кратчайшие сроки!

Квадратные корни в математике

В алгебре квадрат , x , является результатом умножения числа n на само себя: x = n²

Вы можете вычислить квадраты с помощью Python:

>>>
  >>> п = 5
>>> х = п ** 2
>>> х
25
  

Оператор Python ** используется для вычисления степени числа.В этом случае 5 в квадрате или 5 в степени 2 равно 25.

Таким образом, квадратный корень — это число n , которое при умножении само на себя дает квадрат x .

В этом примере n , квадратный корень, равен 5.

25 — это пример полного квадрата . Совершенные квадраты — это квадраты целых значений:

>>>
  >>> 1 ** 2
1

>>> 2 ** 2
4

>>> 3 ** 2
9
  

Возможно, вы запомнили некоторые из этих совершенных квадратов, когда выучили свои таблицы умножения на уроках элементарной алгебры.

Если вам дан маленький точный квадрат, может быть достаточно просто вычислить или запомнить его квадратный корень. Но для большинства других квадратов это вычисление может быть немного более утомительным. Часто оценки бывает достаточно, когда у вас нет калькулятора.

К счастью, у вас, как у разработчика Python, есть калькулятор, а именно интерпретатор Python!

Функция квадратного корня Python

Модуль

Python math в стандартной библиотеке может помочь вам работать с математическими задачами в коде.Он содержит множество полезных функций, таких как restder () и factorial () . Он также включает функцию извлечения квадратного корня Python, sqrt () .

Вы начнете с импорта math :

Вот и все, что нужно! Теперь вы можете использовать math.sqrt () для вычисления квадратных корней.

sqrt () имеет простой интерфейс.

Требуется один параметр, x , который (как вы видели ранее) обозначает квадрат, для которого вы пытаетесь вычислить квадратный корень.В предыдущем примере это будет 25 .

Возвращаемое значение sqrt () — это квадратный корень из x в виде числа с плавающей запятой. В примере это будет 5,0 .

Давайте рассмотрим несколько примеров того, как (и как не использовать) использовать sqrt () .

Квадратный корень положительного числа

Один из типов аргументов, который вы можете передать функции sqrt () , — это положительное число. Сюда входят типы int и float .

Например, вы можете найти квадратный корень из 49 , используя sqrt () :

Возвращаемое значение — 7,0 (квадратный корень из 49 ) в виде числа с плавающей запятой.

Наряду с целыми числами вы также можете передать значений с плавающей запятой :

>>>
  >>> math.sqrt (70.5)
8,396427811873332
  

Вы можете проверить точность этого квадратного корня, вычислив его обратную величину:

>>>
  >>> 8.396427811873332 ** 2
70,5
  

Квадратный корень нуля

Даже 0 — правильный квадрат для передачи функции квадратного корня Python:

Хотя вам, вероятно, не придется часто вычислять квадратный корень из нуля, вы можете передать переменную в sqrt () , значение которой вы на самом деле не знаете. Итак, хорошо знать, что в таких случаях он может обрабатывать ноль.

Квадратный корень отрицательных чисел

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.Это потому, что отрицательный результат возможен только в том случае, если один фактор положительный, а другой отрицательный. Квадрат по определению является произведением числа и самого себя, поэтому получить отрицательный действительный квадрат невозможно:

>>>
  >>> math.sqrt (-25)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: ошибка математического домена
  

Если вы попытаетесь передать отрицательное число в sqrt () , вы получите ValueError , потому что отрицательные числа не входят в область возможных действительных квадратов.Вместо этого квадратный корень отрицательного числа должен быть сложным, что выходит за рамки функции квадратного корня Python.

Квадратных корней в реальном мире

Чтобы увидеть практическое применение функции квадратного корня Python, давайте обратимся к теннису.

Представьте, что Рафаэль Надаль, один из самых быстрых игроков в мире, только что ударил справа из заднего угла, где базовая линия пересекается с боковой линией теннисного корта:

Теперь предположим, что его противник нанес контратакующий удар (тот, который закроет мяч с небольшим ускорением вперед) в противоположный угол, где другая боковая линия встречается с сеткой:

Как далеко Надаль должен бежать, чтобы дотянуться до мяча?

Из нормативных размеров теннисного корта можно определить, что длина базовой линии составляет 27 футов, а длина боковой линии (на одной стороне сетки) — 39 футов.Итак, по сути, это сводится к решению гипотенузы прямоугольного треугольника:

Используя ценное уравнение из геометрии, теорему Пифагора, мы знаем, что a² + b² = c² , где a и b — катеты прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза.

Таким образом, мы можем рассчитать расстояние, которое Надаль должен пробежать, переписав уравнение, чтобы найти c :

Вы можете решить это уравнение, используя функцию квадратного корня Python:

>>>
  >>> a = 27
>>> b = 39
>>> математика.sqrt (a ** 2 + b ** 2)
47.434164

569

Итак, Надаль должен пробежать около 47,4 фута (14,5 метра), чтобы дотянуться до мяча и сохранить точку.

Заключение

Поздравляем! Теперь вы знаете все о функции квадратного корня Python.

Вы покрыли:

  • Краткое введение в квадратные корни
  • Особенности функции квадратного корня Python, sqrt ()
  • Практическое применение sqrt () на реальном примере

Умение использовать sqrt () — это только половина дела.Другое дело — понять, когда его использовать. Теперь вы знаете и то, и другое, так что примените свое новое мастерство в использовании функции извлечения квадратного корня в Python!

Графики функций квадратного корня

Родительская функция функций формы ж Икс знак равно Икс — а + б является ж Икс знак равно Икс .

Обратите внимание, что домен из ж Икс знак равно Икс является Икс ≥ 0 и диапазон является y ≥ 0 .

График ж Икс знак равно Икс — а + б можно получить, переведя график ж Икс знак равно Икс к а единиц вправо, а затем б единиц вверх.

Пример:

Нарисуйте график y знак равно Икс — 1 + 2 из родительского графа y знак равно Икс .

Решение:

Шаг 1. Нарисуйте график y знак равно Икс .

Шаг 2. Переместите график y знак равно Икс от 1 единицы справа, чтобы получить график y знак равно Икс — 1 .

Шаг 3. Переместите график y знак равно Икс — 1 от 2 единиц до получения графика y знак равно Икс — 1 + 2 .

Область определения функции y знак равно Икс — 1 + 2 является Икс ≥ 1 .

Диапазон функции y знак равно Икс — 1 + 2 является y ≥ 2 .

Как вы оцениваете значение квадратного корня?

Четкость квадрата

Прежде чем мы сможем понять, что такое квадратные корни, мы должны сначала вспомнить, что делает возведение в квадрат.2 равно 3 x 3, что дает нам 9.

Определение квадратного корня

Квадратный корень — это величина, обратная квадрату. Что такое обратное? Инверсии — это противоположности, поэтому, например, обратное сложение — вычитание. Обратное умножению — деление. Они противоположны друг другу и имеют обратную связь.

Что такое идеальный квадрат?

Когда вы извлекаете квадратный корень из числа, вы можете получить десятичное число. Если вы можете получить в качестве ответа целое число, то исходное число, из которого вы нашли квадратный корень, является точным квадратным числом.Примеры списка идеальных квадратов включают числа 4, 9, 16, 25, 36 и 49. Щелкните здесь, чтобы получить более полный список идеальных квадратов, или воспользуйтесь этим калькулятором идеальных квадратов.

Как найти квадратный корень без калькулятора

Давайте перейдем к рассмотрению некоторых примеров квадратного корня и научимся находить ответы на квадратные корни. Сначала вам нужно помнить о шагах по нахождению квадратного корня, а именно:

  1. Оценка: Получите как можно более близкое к числу, которое вы пытаетесь извлечь квадратный корень, найдя два точных квадратных корня, которые дают близкое число.
  2. Divide: разделите ваше число на один из квадратных корней, выбранных вами на предыдущем шаге.
  3. Среднее: Возьмите среднее значение шага 2 и корень.
  4. Повторить: Продолжайте повторять шаги 2 и 3, используя результаты, полученные на шаге 3, пока не получите число, достаточно точное для того, чтобы ответить на вопрос.

Проще говоря, чтобы оценить квадратные корни, которые не являются точными квадратами, без использования калькулятора, нам нужно хорошо знать точные квадратные числа.Сначала мы поместим число внутри знака квадратного корня в середине числовой строки, а затем найдем два ближайших идеальных квадратных числа слева и справа, чтобы сделать наилучшую оценку. Взгляните на некоторые из приведенных ниже примеров квадратных корней.

Корень квадратный из 5

Шаг 1: Оценка

Квадратные числа 2 и 3 равны 4 и 9 соответственно. Число 5 находится между этими двумя числами.

Шаг 2: Разделите

Разделите 5 на 2 или 3.В данном случае выберем 2. У нас будет 2,5.

Шаг 3: Среднее значение

Среднее значение 2,5 и 2, что дает нам 2,25.

Шаг 4: повторить

Чтобы получить более точное число, продолжайте повторять шаги 2 и 3. В этом случае мы возьмем 5 и разделим его на 2,25, что равно 2,222. Среднее значение 2,22 и 2,25 дает нам 2,235. Вы можете повторять шаги 2 и 3 столько раз, сколько потребуется, чтобы получить более точное число.

Окончательный ответ на квадратный корень из 5 приблизительно равен 2.2.

Шаг 2: Разделите

Делим 8 на 3. Получаем 2,6666666

Шаг 3: Среднее значение

Среднее значение 2,6666666 и 3, что дает нам 2,8333333

Шаг 4: повторить

Чтобы получить более точное число, повторяйте шаги 2 и 3. 2.

Шаг 2: Разделите

Делим 20 на 5. Получаем 4.

Шаг 3: Среднее значение

Среднее значение 4 и 5, что дает нам 4,5.

Шаг 4: повторить

Чтобы получить более точное число, повторяйте шаги 2 и 3.

Вы должны получить окончательный ответ 4,47.

Корень квадратный из 0

В заключение, мы хотели выяснить, что такое квадратный корень из 0. Вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа, но 0 не является отрицательным числом.Квадратный корень из 0 на самом деле равен 0!

Если вы хотите попробовать найти больше квадратных корней, попробуйте эту забавную игру с множеством примеров.

Корни и радикалы

Квадратные и кубические корни

Напомним, что квадратный корень — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, 5 — это квадратный корень из 25, потому что 52 = 25. Поскольку (−5) 2 = 25, мы можем сказать, что −5 также является квадратным корнем из 25.Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный. По этой причине мы используем знак корня для обозначения главного (неотрицательного) квадратного корня Положительного квадратного корня из положительного действительного числа, обозначаемого символом. и отрицательный знак перед корнем — для обозначения отрицательного квадратного корня.

25 = 5 Положительный квадратный корень из 25-25 = −5 Отрицательный квадратный корень из 25

Ноль — единственное действительное число с одним квадратным корнем.

0 = 0, потому что 02 = 0

Пример 1

Оценить.

  1. 121
  2. −81

Решение:

  1. 121 = 112 = 11
  2. −81 = −92 = −9

Если подкоренное выражение Выражение A в знаке корня, An., Число внутри знака радикала, может быть разложено на квадрат другого числа, то квадратный корень из числа очевиден. В этом случае мы имеем следующее свойство:

a2 = a, если a≥0

Или, в более общем смысле,

a2 = | a | если a∈ℝ

Абсолютное значение важно, потому что a может быть отрицательным числом, а знак корня обозначает главный квадратный корень.Например,

(−8) 2 = | −8 | = 8

Используйте абсолютное значение, чтобы гарантировать положительный результат.

Пример 2

Упростить: (x − 2) 2.

Решение:

Здесь выражение переменной x − 2 может быть отрицательным, нулевым или положительным. Поскольку знак зависит от неизвестной величины x , мы должны обеспечить получение главного квадратного корня, используя абсолютное значение.

(x − 2) 2 = | x − 2 |

Ответ: | x − 2 |

Важность использования абсолютного значения в предыдущем примере становится очевидной, когда мы оцениваем с использованием значений, которые делают подкоренное значение отрицательным. Например, если x = 1,

(x − 2) 2 = | x − 2 | = | 1−2 | = | −1 | = 1

Затем рассмотрим квадратный корень отрицательного числа. Чтобы определить квадратный корень из −25, вы должны найти число, возведение которого в квадрат дает −25:

.

−25 =? или (?) 2 = −25

Однако возведение любого действительного числа в квадрат всегда дает положительное число.Квадратный корень отрицательного числа в настоящее время не определен. А пока мы заявим, что -25 не является действительным числом. Следовательно, функция извлечения квадратного корня Функция определяется как f (x) = x. заданный как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны. Наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2. Напомним график функции извлечения квадратного корня.

Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю: [0, ∞).Чтобы определить область определения функции, содержащей квадратный корень, мы смотрим на подкоренное выражение и находим значения, которые дают неотрицательные результаты.

Пример 3

Определить область определения функции f (x) = 2x + 3.

Решение:

Здесь подкоренное выражение равно 2x + 3. Это выражение должно быть нулевым или положительным. Другими словами,

2x + 3≥0

Решите относительно x .

2x + 3≥02x≥ − 3x≥ − 32

Ответ: Домен: [−32, ∞)

Кубический корень Число, которое при трехкратном использовании в качестве множителя с самим собой дает исходное число, обозначаемое символом 3. числа — это число, которое при трехкратном умножении на себя дает исходное число. Кроме того, мы обозначаем кубический корень с помощью символа 3, где 3 называется индексом Положительное целое число n в обозначении n, которое используется для обозначения корня n -й степени.. Например,

643 = 4, потому что 43 = 64

Произведение трех равных множителей будет положительным, если множитель положительный, и отрицательным, если множитель отрицательный. По этой причине у любого действительного числа будет только один действительный кубический корень. Следовательно, технические детали, связанные с основным корнем, не применяются. Например,

−643 = −4, потому что (−4) 3 = −64

В общем случае для любого действительного числа a мы имеем следующее свойство:

a33 = a, если a∈ℝ

При упрощении кубических корней ищите множители, которые являются идеальными кубами.

Пример 4

Оценить.

  1. 83
  2. 03
  3. 1273
  4. −13
  5. −1253

Решение:

  1. 83 = 233 = 2
  2. 03 = 033 = 0
  3. 1273 = (13) 33 = 13
  4. −13 = (- 1) 33 = −1
  5. −1253 = (- 5) 33 = −5

Может случиться так, что подкоренное выражение не является полным квадратом или кубом.3≈2

Поскольку кубические корни могут быть отрицательными, нулевыми или положительными, мы не используем никаких абсолютных значений.

Пример 5

Упростить: (y − 7) 33.

Решение:

Кубический корень из куба количества и есть это количество.

(у-7) 33 = у-7

Ответ: y − 7

Попробуй! Оцените: -10003.

Ответ: −10

Затем рассмотрим функцию кубического корня Функция, определенная как f (x) = x3 .:

f (x) = x3 Функция кубического корня.

Поскольку кубический корень может быть как отрицательным, так и положительным, мы заключаем, что область состоит из всех действительных чисел. Нарисуйте график, нанеся точки. Выберите несколько положительных и отрицательных значений для x , а также ноль, а затем вычислите соответствующие значения y .

xf (x) = x3 Упорядоченные пары − 8−2f (−8) = — 83 = −2 (−8, −2) −1−1f (−1) = — 13 = −1 (−1, −1) 00f (0) = 03 = 0 (0,0) 11f (1) = 13 = 1 (1,1) 82f (8) = 83 = 2 (8,2)

Постройте точки и нарисуйте график функции кубического корня.

График проходит проверку вертикальной линии и действительно является функцией. Кроме того, диапазон состоит из всех действительных чисел.

Пример 6

Дано g (x) = x + 13 + 2, найти g (−9), g (−2), g (−1) и g (0).Нарисуйте график g.

Решение:

Заменить x заданными значениями.

xg (x) g (x) = x + 13 + 2 Упорядоченные пары − 90g (−9) = — 9 + 13 + 2 = −83 + 2 = −2 + 2 = 0 (−9,0) −21g ( −2) = — 2 + 13 + 2 = −13 + 2 = −1 + 2 = 1 (−2,1) −12g (−1) = — 1 + 13 + 2 = 03 + 2 = 0 + 2 = 2 (-1,2) 03g (0) = 0 + 13 + 2 = 13 + 2 = 1 + 2 = 3 (0,3)

Мы также можем зарисовать график, используя следующие переводы:

y = x3 Базовая функция корня куба y = x + 13 Горизонтальный сдвиг влево 1 единица = x + 13 + 2 Вертикальный сдвиг вверх на 2 единицы

Ответ:

энные корни

Для любого целого числа n≥2 мы определяем корень n -го числа, которое при возведении в степень n -го (n≥2) дает исходное число.положительного действительного числа как числа, которое при возведении в степень n в -й степени дает исходное число. Для любого неотрицательного действительного числа a мы имеем следующее свойство:

ann = a, если a≥0

Здесь n называется индексом, а an называется подкоренным выражением. Кроме того, мы можем ссылаться на все выражение An как на радикал. Используется при обращении к выражению формы An .. Когда индекс является целым числом, большим или равным 4, мы говорим «корень четвертой степени», «корень пятой степени» и скоро.Корень n -й степени любого числа очевиден, если мы можем записать подкоренное выражение с показателем, равным индексу.

Пример 7

Упростить.

  1. 814
  2. 325
  3. 17
  4. 1164

Решение:

  1. 814 = 344 = 3
  2. 325 = 255 = 2
  3. 17 = 177 = 1
  4. 1164 = (12) 44 = 12

Примечание : Если индекс равен n = 2, то радикал указывает на квадратный корень, и принято писать радикал без индекса; а2 = а.

Мы уже позаботились о том, чтобы определить главный квадратный корень действительного числа. На этом этапе мы расширяем эту идею до n корней -й степени, когда n четное. Например, 3 — это корень четвертой степени из 81, потому что 34 = 81. А поскольку (−3) 4 = 81, мы можем сказать, что −3 также является корнем четвертой степени из 81. Следовательно, мы используем знак корня n для обозначения главного (неотрицательного) корня n -го положительного корня n -го корня, когда n четное. когда n четное.В этом случае для любого действительного числа a мы используем следующее свойство:

ann = | a | Когда n равно

Например,

814 = 344 = | 3 | = 3 814 = (- 3) 44 = | −3 | = 3

Отрицательный корень n -й степени, когда n четный, будет обозначаться отрицательным знаком перед корнем — n.

−814 = −344 = −3

Мы видели, что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным, потому что любое действительное число, возведенное в квадрат, даст положительное число.Фактически, аналогичная проблема возникает для любого четного индекса:

−814 =? или (?) 4 = −81

Мы видим, что корень четвертой степени из −81 не является действительным числом, потому что четвертая степень любого действительного числа всегда положительна.

−4−814−646} Эти радикалы не являются действительными числами.

Предлагаем вам попробовать все это на калькуляторе. Что там написано?

Пример 8

Упростить.

  1. (-10) 44
  2. −1044
  3. (2г + 1) 66

Решение:

Поскольку индексы четные, используйте абсолютные значения, чтобы гарантировать неотрицательные результаты.

  1. (-10) 44 = | -10 | = 10
  2. −1044 = −10,0004 не является действительным числом.
  3. (2y + 1) 66 = | 2y + 1 |

Когда индекс n нечетный, таких проблем не возникает.Произведение нечетного числа положительных факторов положительно, а произведение нечетного количества отрицательных факторов отрицательно. Следовательно, когда индекс n нечетный, существует только один действительный корень n -й степени для любого действительного числа a . И вот недвижимость у нас:

ann = a Если n нечетное

Пример 9

Упростить.

  1. (-10) 55
  2. −325
  3. (2г + 1) 77

Решение:

Поскольку индексы нечетные, абсолютное значение не используется.

  1. (-10) 55 = -10
  2. −325 = (- 2) 55 = −2
  3. (2г + 1) 77 = 2г + 1

Таким образом, для любого действительного числа a у нас есть

ann = | a | Когда n четноann = aКогда n нечетно

Когда n является нечетным , корень n -й степени равен положительным или отрицательным в зависимости от знака подкоренного выражения.

273 = 333 = 3−273 = (- 3) 33 = −3

Когда n равно , корень n -й степени равен положительным или ненастоящим в зависимости от знака подкоренного выражения.

164 = 244 = 2164 = (- 2) 44 = | −2 | = 2−164 Не действительное число

Попробуй! Упростить: −8-325.

Ответ: 16

Упрощающие радикалы

Не всегда подкоренное выражение является полной степенью данного индекса. Если это не так, мы используем правило произведения для радикалов, заданных действительными числами An и Bn, A⋅Bn = An⋅Bn. и правило частного для радикалов с заданными действительными числами An и Bn, ABn = AnBn, где B ≠ 0.чтобы упростить их. Учитывая действительные числа An и Bn,

Правило продукта для радикалов:

A⋅Bn = An⋅Bn

Правило частного для радикалов:

ABn = AnBn

Радикал упрощен: радикал, в котором подкоренное выражение не состоит из каких-либо множителей, которые могут быть записаны как полные степени индекса.если он не содержит каких-либо факторов, которые могут быть записаны как абсолютные степени индекса.

Пример 10

Упростить: 150.

Решение:

Здесь 150 можно записать как 2⋅3⋅52.

150 = 2⋅3⋅52 Примените правило произведения для радикалов. = 2⋅3⋅52 Упростите. = 6 ⋅ 5 = 56

Мы можем проверить наш ответ на калькуляторе:

150≈12,25 и 56≈12,25

Также стоит отметить, что

12.252≈150

Ответ: 56

Примечание : 56 — точный ответ, а 12,25 — приблизительный ответ. Мы даем точные ответы, если не указано иное.

Пример 11

Упростить: 1603.

Решение:

Используйте разложение на простые множители 160, чтобы найти наибольший коэффициент идеального куба:

160 = 25⋅5 = 23⋅22⋅5

Замените подкоренное выражение этой факторизацией, а затем примените правило произведения для радикалов.

1603 = 23⋅22⋅53 Примените правило произведения для радикалов. = 233⋅22⋅53 Упростите. = 2⋅203

Мы можем проверить наш ответ на калькуляторе.

1603≈5,43 и 2203≈5,43

Ответ: 2203

Пример 12

Упростить: −3205.

Решение:

Здесь отметим, что индекс нечетный, а подкоренное выражение отрицательное; следовательно, результат будет отрицательным.Мы можем разложить подкоренное выражение на множители следующим образом:

−320 = −1⋅32⋅10 = (- 1) 5⋅ (2) 5⋅10

Затем упростите:

−3205 = (- 1) 5⋅ (2) 5⋅105 Примените правило произведения для радикалов. = (- 1) 55⋅ (2) 55⋅105Simplify. = — 1⋅2⋅105 = −2⋅105

Ответ: −2105

Пример 13

Упростить: -8643.

Решение:

В этом случае рассмотрим эквивалентную дробь с −8 = (- 2) 3 в числителе и 64 = 43 в знаменателе, а затем упростим.

−8643 = −864 3 Примените правило частного для радикалов. = (- 2) 33433Simplify. = — 24 = −12

Ответ: −12

Попробуй! Упростить: 80814

Ответ: 2543

Основные выводы

  • Чтобы упростить извлечение квадратного корня, найдите наибольший коэффициент полного квадрата подкоренного выражения, а затем примените правило произведения или частного для радикалов.
  • Чтобы упростить кубический корень, найдите наибольший коэффициент идеального куба подкоренного выражения, а затем примените правило произведения или частного для радикалов.
  • При работе с корнями n , n определяет применимое определение. Мы используем ann = a, когда n нечетное и ann = | a | когда n четное.
  • Чтобы упростить n корней -й степени, найдите множители, мощность которых равна индексу n , а затем примените правило произведения или частного для радикалов.Обычно процесс упрощается, если вы работаете с разложением на простые множители подкоренного выражения.

Тематические упражнения

    Часть A: квадратные и кубические корни

      Упростить.

    1. 49

    2. 164

    3. 183

    4. 8273

      Определите область применения данной функции.

      Оценить по определению функции.

    1. Дано f (x) = x − 1, найти f (1), f (2) и f (5)

    2. Дано f (x) = x + 5, найти f (−5), f (−1) и f (20)

    3. Дано f (x) = x + 3, найти f (0), f (1) и f (16)

    4. Дано f (x) = x − 5, найти f (0), f (1) и f (25)

    5. Дано g (x) = x3, найти g (−1), g (0) и g (1)

    6. Дано g (x) = x3−2, найти g (−1), g (0) и g (8)

    7. Дано g (x) = x + 73, найти g (−15), g (−7) и g (20)

    8. Дано g (x) = x − 13 + 2, найти g (0), g (2) и g (9)

      Нарисуйте график данной функции и укажите ее область определения и диапазон.

    Часть B:

    n -е корни

      Упростить.

    1. 1325

    2. 12435

    3. 32516

    4. 6169

    5. 5271253

    6. 732755

    7. −58273

    8. −8625164

    Часть C: Упрощение радикалов

      Упростить.

    1. 15049

    2. 2009 г.

    3. 675121

    4. 19281

    5. 541253

    6. 403433

    7. 2242435

    8. 5325

    9. −1325

    10. −1646

      Упростить.Дайте точный ответ и примерный ответ с округлением до сотых.

    1. 9649

    2. 19225

    3. 2881253

    4. 62583

      Перепишем следующее как радикальное выражение с коэффициентом 1.

    1. Каждая сторона квадрата имеет длину, равную квадратному корню из площади квадрата.Если площадь квадрата составляет 72 квадратных единицы, найдите длину каждой из его сторон.

    2. Каждое ребро куба имеет длину, равную кубическому корню из объема куба. Если объем куба составляет 375 кубических единиц, найдите длину каждого из его ребер.

    3. Ток I , измеренный в амперах, определяется по формуле I = PR, где P — потребляемая мощность, измеренная в ваттах, а R — сопротивление, измеренное в омах.Если у 100-ваттной лампочки сопротивление 160 Ом, найдите необходимый ток. (Округлить до сотых долей ампера.)

    4. Время в секундах, в течение которого объект находится в свободном падении, определяется формулой t = s4, где s представляет собой расстояние в футах, на которое объект упал. Сколько времени потребуется объекту, чтобы упасть на землю с вершины 8-футовой стремянки? (Округлите до ближайшей десятой доли секунды.)

    Часть D: Обсуждение

    1. Объясните, почему существует два действительных квадратных корня для любого положительного действительного числа и один действительный кубический корень для любого действительного числа.

    2. Что такое квадратный корень из 1 и кубический корень из 1? Объяснить, почему.

    3. Объясните, почему −1 не является действительным числом и почему −13 является действительным числом.

    4. Изучите и обсудите методы, используемые для вычисления квадратных корней, до того, как электронные калькуляторы начнут широко использоваться.

ответов

  1. [−15, ∞)

  2. г (−1) = — 1; г (0) = 0; г (1) = 1

  3. г (−15) = — 2; г (-7) = 0; г (20) = 3

  4. Домен: [−9, ∞); диапазон: [0, ∞)

  5. Домен: [1, ∞); диапазон: [2, ∞)

  6. Домен: ℝ; диапазон: ℝ

  7. Домен: ℝ; диапазон: ℝ

  8. Домен: ℝ; диапазон: ℝ

  9. Домен: ℝ; диапазон: ℝ

  1. 567

  2. 15311

  3. 3235

  4. 2753

Бесплатные рабочие листы с квадратным корнем (PDF и html)

Вы здесь: Главная → Рабочие листы → Квадратные корни

На этой странице вы найдете неограниченное количество печатных листов для квадратных корней, включая листы только для квадратных корней (класс 7) или листы с квадратными корнями и для других операций (классы 8-10).Параметры включают в себя диапазон корневого выражения, ограничение квадратных корней только точными квадратами, размер шрифта, рабочее пространство, форматы PDF или html и многое другое.

Если вы хотите, чтобы ответом было целое число, выберите «полные квадраты», в результате чего подкоренное выражение будет совершенным квадратом (1, 4, 9, 16, 25 и т. Д.). Если вы решите разрешить использование несовершенных квадратов, ответом обычно будет бесконечное десятичное число, округленное до определенного числа цифр.

Параметр «Только упрощать, нет ответов в виде десятичных знаков» заставляет НЕ выдавать ответ в виде десятичной дроби с округлением, но вместо этого ответ упрощается, если это возможно, и квадратный корень остается в ответе, если его нельзя упростить.Например, ответ √28 будет дан в упрощенной форме как 2√7. Эта опция полезна для курсов алгебры 1 и 2.

Вы также можете создавать рабочие листы, которые помимо извлечения квадратного корня включают в себя еще одну или две другие операции.


Основные инструкции к рабочим листам

Каждый рабочий лист генерируется случайным образом и поэтому уникален. Ключ ответа создается автоматически и помещается на вторую страницу файла.

Вы можете создавать рабочие листы либо в формате html, либо в формате PDF — и то, и другое легко распечатать.Чтобы получить рабочий лист PDF, просто нажмите кнопку с названием « Создать PDF » или « Создать рабочий лист PDF ». Чтобы получить лист в формате html, нажмите кнопку « Просмотреть в браузере » или « Создать лист в формате html ». Это имеет то преимущество, что вы можете сохранить рабочий лист прямо из браузера (выберите «Файл» → «Сохранить»), а затем отредактировать его в Word или другом текстовом редакторе.

Иногда созданный рабочий лист не совсем то, что вам нужно.Просто попробуйте еще раз! Чтобы получить другой рабочий лист с теми же параметрами:

  • Формат PDF: вернитесь на эту страницу и снова нажмите кнопку.
  • Формат Html: просто обновите страницу рабочего листа в окне браузера.

Готовые листы квадратного корня



Генератор

Используйте генератор для создания настраиваемых листов для вычисления квадратного корня.


Ключ к учебным пособиям по алгебре

Key to Algebra предлагает уникальный проверенный способ познакомить студентов с алгеброй.Новые концепции объясняются простым языком, а примеры легко следовать. Задачи со словами связывают алгебру с знакомыми ситуациями, помогая учащимся понять абстрактные концепции. Учащиеся развивают понимание, интуитивно решая уравнения и неравенства, прежде чем будут представлены формальные решения. Студенты начинают изучение алгебры с книг 1–4, используя только целые числа. Книги 5-7 вводят рациональные числа и выражения. Книги 8-10 расширяют охват действительной системы счисления.

=> Узнать больше

Для чего используются квадратные корни и квадрат в реальном мире?

В математике возведение в квадрат действительно легко понять.Квадрат число означает умножение его самого на себя. Возведение в квадрат записывается математически символов, поставив 2 над числом, которое вы возводите в квадрат, чтобы показать, что умножается в 2 раза.

Квадратный корень сложнее понять. Когда вы рассчитываете квадратный корень из числа, которое вы хотите найти исходное число, которое был в квадрате. Итак, квадратный корень из 9 равен 3. Квадраты и квадратные корни. приходят парами. В этом примере 3 в квадрате равно 9, а квадратный корень из 9 это 3.

Квадраты всегда легко вычислить, но найти квадратный корень не так-то просто. сложный.Квадратные корни сложны, потому что квадратный корень числа часто является длинным десятичным числом. Квадратный корень из 4 (2 x 2), 9 (3 x 3) или 256 (16 x 16) легко найти. Но что насчет квадратный корень из 5? Квадратный корень из 5 равен 2,236! Проверь это для себя, возведя в квадрат 2,236. Представляете, насколько сложен квадрат становится корнем очень большого числа! Существуют разные методы для вычисление квадратных корней, но обычно вы будете использовать таблицу или калькулятор когда вам нужно найти квадратный корень.

Если квадратные корни такие сложные, почему для вас важно узнать о них? Одна из причин заключается в том, что квадратные корни используются все время учеными, инженерами и даже людьми, которые работают на заводах. Прежде чем узнать больше о квадратных корнях, вам нужно узнать о нормальное распределение.

Нормальное распределение

Нормальное распределение — это взгляд на разнообразие в группе. подобных вещей. Давайте посмотрим на пример. Подумайте обо всех студентах в вашем классе.Несмотря на то, что все примерно одного возраста, студенты иметь разную высоту. Кто-то самый высокий, кто-то самый низкий и весь остальной класс примерно такого же роста.

Если вы запишите рост всех в классе, а затем поставите высоты в порядке от самого короткого до самого высокого, вы можете сосчитать, сколько ученики каждого роста. В вашем списке может получиться примерно следующее:

4 фута высотой — 1 (самый низкий)

4 фута 1 дюйм — 2

4 фута 2 дюйма — 3

4 фута 3 дюйма — 5

4 фута 4 дюйма — 8

4 фута 5 дюймов — 7

4 фута 6 дюймов — 4

4 фута 7 дюймов — 2

4 фута 8 дюймов — 1 (самый высокий)

Вы можете видеть, что большая часть высоты составляет от 4 футов до 3 дюймов. и 4 фута 5 дюймов, и некоторые из них короче, а некоторые выше.В математике и статистике это называется нормальным распределением. и примерный график нормального распределения показан ниже.

Нормальное распределение показывает, сколько человек в просматриваемой группе at, называемые населением, имеют каждое значение. В этом примере население учащиеся в вашем классе, и измеряется рост. Хотя этот график не совсем соответствует цифрам, которые мы составили В этом примере показано, как выглядит типичное нормальное распределение.


Пример нормального распределения

В нормальном распределении на каждом конце графика есть значения. которые указывают на то, что только несколько человек имеют это значение, и они называются хвостами нормального распределения.Для в этом примере самые короткие члены класса считаются на слева и справа считаются самые высокие. Все остальные считаются в середине графика.

Квадраты, квадратный корень и нормальное распределение

В реальном мире людям интересно узнать, какие ценности являются «нормальными» и какие значения выходят за рамки нормы, те значения, которые находятся в хвосте раздачи. Студенты не могут контролировать свой рост они растут, поэтому вы не хотите называть самых низких и высоких детей в вашем классе ненормальный! Рост ученика был просто простым примером посмотрите и поймите.

Но многие фабрики используют нормальное распределение, чтобы убедиться, что продукция, которую они производят, хорошего качества. Бизнес люди на фабрике развивают нормальное распределение продукта и не продавайте товары, которые находятся в хвосте распределения. Есть много других применений нормального распределения; фабрики это всего лишь один простой пример.

Какое отношение нормальное распределение имеет к квадратам и квадрату? корнеплоды? Множество! Уравнения для нахождения хвостов нормального распределения используйте квадраты и квадратные корни!

.