Примеры решения квадратные уравнения: 8.2.2. Решение полных квадратных уравнений.

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Квадратным трёхчленом относительно переменной x называют многочлен

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

Квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

Полным квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение

ax² + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение неполных квадратных уравнений

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

5x² = 0 .

Решение.

Ответ: 0 .

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную x за скобки, перепишем уравнение в виде

Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение

2x² – 5 = 0 .

Решение.

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной x, а правая часть равна 0, то уравнение решений не имеет.

Ответ: .

Выделение полного квадрата

Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

(6)

Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

Формула (6) получена.

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой D и вычисляется по формуле:

Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

(8)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Утверждение. В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда D < 0, квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство. В случае, когда D = 0, формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

(9)

В случае, когда D > 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

Таким образом, в случае, когда D > 0, разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

(10)

В случае, когда D < 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

Замечание. В случае, когда D < 0, квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

Действительно, в случае, когда D = 0, из формулы (9) получаем:

Следовательно, в случае, когда D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

(11)

В случае, когда D > 0, из формулы (10) получаем:

Таким образом, в случае, когда D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

	(12)
	(13)

Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

(14)

Замечание 2. В случае, когда D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

(15)

Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

В случае, когда D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax² + bx + c =
= a (x – x₁)².

(16)

В случае, когда D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax² + bx + c =
= a (x – x₁) (x – x₂) .

(17)

Замечание 4. В случае, когда D = 0, корни x₁ и x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax² + bx + c =
= a (x – x₁) (x – x₂) =
= a [x² – (x₁ + x₂) x + x₁x₂] =
= ax² – a(x₁ + x₂) x + ax₁x₂ .

Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax² + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax² – a (x₁ + x₂) x + a x₁x₂ .

Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

(18)

Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).

Словами прямая теорема Виета формулируется так: — «Если числа x₁ и x₂ являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

Обратная теорема Виета формулируется так: — «Если числа x₁ и x₂ являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Решить квадратное уравнение онлайн

Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений. Вы сможете быстро получить решение квадратного уравнения онлайн и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.
Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн, вначале приведите уравнение к общему виду:
ax² + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:

Как решить квадратное уравнение

Как решить квадратное уравнение:

Виды корней:

1. Привести квадратное уравнение к общему виду:
Общий вид Аx²+Bx+C=0
Пример : 3х — 2х²+1=-1 Приводим к -2х²+3х+2=0

2. Находим дискриминант D.
D=B²-4*A*C .
Для нашего примера D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25.

3. Находим корни уравнения.
x1=(-В+D^1/2)/2А .
Для нашего случая x1=(-3+5)/(-4)=-0,5

x2=(-В-D^1/2)/2А.
Для нашего примера x2=(-3-5)/(-4)=2
Если В — четное число, то дискриманант и корни удобнее считать по формулам:
D=К²-ac
x1=(-K+D^1/2)/А
x2=(-K-D^1/2)/А,
Где K=B/2

1. Действительные корни. Причем. x1 не равно x2
Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0.

2. Действительные корни совпадают. x1 равно x2
Ситуация возникает, когда D=0. Однако при этом, ни А, ни В, ни С не должны быть равны 0.

3. Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1)^1/2
Ситуация возникает, когда D

4. Уравнение имеет одно решение.
A=0, B и C нулю не равны. Уравнение становиться линейным.

5. Уравнение имеет бесчисленное множество решений.
A=0, B=0, C=0.

6. Уравнение решений не имеет.
A=0, B=0, C не равно 0.

Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений.

Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x² + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B²-4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число^1/2!
x1=(-В+D^1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D

1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5

Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Пример 2. Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х²– 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k² – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X² – 8x + 16

Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х² – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b²– 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 — 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.

x1=(-В+D^1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13

x2=(-В-D^1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1

Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор окажется весьма полезным для вас.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Примеры решения квадратных и биквадратных уравнений

Пример 4. Решить квадратное уравнение x² + 12x + 36 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 12, c = 36.

Так как b = 12 — четное число, то вычислим дискриминант D₁ :

D₁ = (b/2)²

— ac = 6² — 1*36 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = (-6)/1 = -6.

Это уравнение можно решить и без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
x² + 12x + 36 = 0 (x+6)² = 0 x = -6.

Ответ: -6.

Пример 5. Решить квадратное уравнение 4x² -28x + 49 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

Так как b = -28 — четное число, то вычислим дискриминант D₁ :

D₁ = (b/2)² — ac = (-14)² — 4*49 = 196-196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = 14/4 = 7/2.

Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

4x² -28x + 49 = 0 (2x-7)² = 0 2x = 7 x = 7/2.

Ответ: 7/2.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

Умножив обе части уравнения на -4, получим x² + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:
x² + 3x = 0 x(x+3) = 0

x = 0, x = 0,
x — 3 = 0 x = 3.

Ответ: 0, 3.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

Получим 6x² + 3x = 20x-10 6x² + 3x — 20x + 10 = 0 6x² — 17x + 10 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b² — 4ac = (-17)² — 4*6*10 = 289 — 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: 5/6, 2.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (b/2 = √2), вычислим дискриминант D₁:

D₁ = (b/2)² — ac = (√2)² — 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: -√2-1, -√2+1.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение.
Умножим левую и правую части уравнения на 6:

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

Так как b = -6, то есть b делится на 2 (b/2=3), вычислим дискриминант D₁:

D₁ = (b/2)² — ac = 3² — 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: (3-√3)/3, (3+√3)/3.

Пример 10. Решить уравнение x⁴ — 17x² + 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x

2 => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x⁴ — 17x² + 16 = 0 => t² — 17t + 16 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

D = b² — 4ac = (-17)² — 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

Ответ: ±1, ±4.

Пример 11. Решить уравнение 9x⁴ + 32x² — 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

9x⁴ + 32x² — 16 = 0 => 9t² + 32t — 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.

Так как b = 32, то есть b делится на 2 (b/2=16), вычислим дискриминант D₁:

D₁ = (b/2)² — ac = 16² — 9*(-16) = 400 >0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Первое уравнение x

2 = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x= ±2/3.

Ответ: ±2/3.

Пример 12. Решить уравнение x⁴ + 3x² — 10 = 0.

x⁴ + 3x² — 10 = 0 => t² + 3t — 10 = 0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

D = b² — 4ac = 3² — 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x

2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Первое уравнение x² = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x = ±√2.

Ответ: ±√2.

Решение квадратных уравнений по формуле: алгоритм решения

Квадратным уравнением называют уравнение вида a*x^2 +b*x+c=0, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная.2-4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Данный алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полных и не полных, приведенных и неприведенных.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение задач с помощью квадратных уравнений: алгоритм и примеры

Корни квадратного уравнения в Python 3 — Пример простой программы по решению уравнений

Программа, позволяющая находить корни квадратного уравнения, – это один из примеров простых программ, которые можно написать на Python 3. Она хорошо подойдет для начинающих изучать этот язык программирования.

Постановка задачи

Уравнение, которое будем решать, выглядит следующим образом: a·x²+b·x+c=0. Пользователю предлагается ввести значения a, b и с в терминале. После этого программа посчитает дискриминант. На его основе найдем решения уравнения – значения x, для которых будет выполняться равенство.

Вот пример работы программы, которая будет написана.

Программа

Для решения квадратных уравнений на Python 3 напишем код, приведенный ниже. Разберем некоторые моменты, которые мы использовали в этой простой программе:

print — эта функция выводит на экран информацию.
input — выводит информацию и предлагает пользователю ввести данные.
b**2 — это возведение в степень, в данном случае переменная b возводится в квадрат.
str — эта функция приводит данные к строковому виду.
if-elif-else — это условные операторы в языке Python. Исходя из значения discriminant мы определяем количество корней квадратного уравнения.
discriminant ** 0.5 — с помощью такого способа извлекаем квадратный корень. В Python есть несколько способов извлечения корней, например, с помощью функции sqrt из библиотеки math. Про способы извлечения корней в Python описано в отдельной статье.

print('Решаем уравнение a•x²+b•x+c=0')
a = input('Введите значение a: ')
b = input('Введите значение b: ')
c = input('Введите значение c: ')
a = float(a)
b = float(b)
c = float(c)
discriminant = b**2 - 4*a*c
print('Дискриминант = ' + str(discriminant))
if discriminant < 0:
    print('Корней нет')
elif discriminant == 0:
    x = -b / (2 * a)
    print('x = ' + str(x))
else:
    x1 = (-b + discriminant ** 0.5) / (2 * a)
    x2 = (-b - discriminant ** 0.5) / (2 * a)
    print('x₁ = ' + str(x1))
    print('x₂ = ' + str(x2))

Запустим программу и введём нужные коэффициенты.

Решаем уравнение a•x²+b•x+c=0
Введите значение a: -4
Введите значение b: -231
Введите значение c: 34
Дискриминант = 53905.0
x₁ = -57.89681291718352
x₂ = 0.1468129171835173

Все посчитано, найдены два корня, которые будут являться решением квадратного уравнения.

Дополнительно

Хотелось бы уделить внимание ещё одному моменту. Если дискриминант отрицательный, то действительных корней нет. Но будут комплексные корни. Если мы хотим их обрабатывать, то следует изменить конструкцию условных операторов следующим образом:

if discriminant == 0:
    x = -b / (2 * a)
    print('x = ' + str(x))
else:
    x1 = (-b + discriminant ** 0.5) / (2 * a)
    x2 = (-b - discriminant ** 0.5) / (2 * a)
    print('x₁ = ' + str(x1))
    print('x₂ = ' + str(x2))

Тогда пример решения уравнения будет выглядеть следующим образом:

Решаем уравнение a•x²+b•x+c=0
Введите значение a: 4
Введите значение b: 1
Введите значение c: 2
Дискриминант = -31.0
x₁ = (-0.12499999999999996+0.6959705453537527j)
x₂ = (-0.12500000000000006-0.6959705453537527j)

Как видим, получили два комплексных корня.

Этот простой код написанный на Python 3 можно для обучения программированию немного усложнить:

Предлагать запрос в конце программы «Решить ещё одно уравнение (y/n): ». И если пользователь введет «y», то заново запросить коэффициенты. Это нужно делать в цикле. Подробнее о циклах в Python можно прочитать здесь.
Сделать проверку корректности ввода. Ведь пользователь вместо числа может ввести какую-нибудь строку, которая не будет корректно обработана. Про проверку на число описано в отдельной статье.

Сложные квадратные уравнения примеры с решением. Квадратные уравнения

Уравнение вида

Выражение D = b 2 — 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0 , иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение D = b 2 — 4 ac , можно переписать формулу (2) в виде

Если b = 2 k , то формула (2) принимает вид:

где k = b / 2 .
Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент b — четное число.
Пример 1: Решить уравнение 2 x 2 — 5 x + 2 = 0 . Здесь a = 2, b = -5, c = 2 . Имеем D = b 2 — 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Так как D > 0 , то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

Итак x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 — 3) / 4 = 1 / 2 ,
то есть x 1 = 2 и x 2 = 1 / 2 — корни заданного уравнения.
Пример 2: Решить уравнение 2 x 2 — 3 x + 5 = 0 . Здесь a = 2, b = -3, c = 5 . Находим дискриминант D = b 2 — 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Так как D 0 , то уравнение не имеет действительных корней.

Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c =0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным . Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Пример 1: решить уравнение 2 x 2 — 5 x = 0 .
Имеем x (2 x — 5) = 0 . Значит либо x = 0 , либо 2 x — 5 = 0 , то есть x = 2.5 . Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
Пример 2: решить уравнение 3 x 2 — 27 = 0 .
Имеем 3 x 2 = 27 . Следовательно корни данного уравнения — 3 и -3 .

Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q =0 имеет действительные корни, то их сумма равна — p , а произведение равно q , то есть

x 1 + x 2 = -p ,
x 1 x 2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x + = 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A x 2 + b x + c = 0

«a », «b » и «c » — заданные числа.

«a » — первый или старший коэффициент;
«b » — второй коэффициент;
«c » — свободный член.

Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x + = 0 x 2 + 0,25x = 0

Уравнение	Коэффициенты

a = −7 b = −13 с = 8


x 2 − 8 = 0

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .

Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 = » часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac » на букву «D » и называют дискриминантом . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0

а=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0

а=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + с = b , то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0

Выполняется равенство a + с = b , значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны

аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

15+ 9x 2 — 45x = 0 или 15х+42+9x 2 — 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является «квадратное». Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения .

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1 — то, что меньше, а х 2 — то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х 1 = -3 , х 2 = 3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D . Формула дискриминанта:

D = b 2 — 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 — 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 = 2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3
х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.

Общий вид квадратного уравнения

Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше — по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.

Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.

Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.

Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.

Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

в решении будет два корня;
ответом будет одно число;
корней у уравнения не будет совсем.

И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.

Виды записей квадратных уравнений

В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.

Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:

Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.

После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.

Как решается квадратное уравнение полного вида?

По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.

Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.

Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.

Как решается квадратное уравнение неполного вида?

Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.

Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый — обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.

Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.

Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.

Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом — без степени и последним — просто число.

Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.

Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.

Примеры

Требуется решить следующие квадратные уравнения:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).

Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.

После вынесения за скобки получается: х (х — 7) = 0.

Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х — 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.

Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.

После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = — √6.

Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х — 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 — 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = — 5.

Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».

Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 — х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.

примеры решения уравнений Решение квадратных уравнений через д1

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2 – 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2 + х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет .

Решить уравнение 2х 2 + 5х – 7 = 0 .

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1 .

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2 + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2 , затем с меньшим – bx , а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2 равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0 . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а , стоящий при х 2 .

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2 + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3 . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Прежде чем мы узнаем, как найти дискриминант квадратного уравнения вида ax2+bx+c=0 и как найти корни данного уравнения, нам необходимо вспомнить определение квадратного уравнения. Уравнение, которое имеет вид ax 2 + bx + c = 0 (где a,b и c — любые числа, также надо помнить, что a ≠ 0) является квадратным. Все квадратные уравнения мы разделим на три разряда:

те, у которых нет корней;
имеется один корень в уравнении;
есть два корня.

Для того чтобы определить количество корней в уравнении нам необходим дискриминант.

Как найти дискриминант. Формула

Нам дано: ax 2 + bx + c = 0.

Формула дискриминанта: D = b 2 — 4ac .

Как найти корни дискриминанта

По знаку дискриминанта определяется количество корней:

D = 0, у уравнения один корень;
D > 0, у уравнения два корня.

Корни у квадратного уравнения находятся по следующей формуле:

X1= -b + √D/2а; X2= -b + √D/2a.

Если D = 0, то Вы можете смело использовать любую из представленных формул. У Вас получится одинаковый ответ в любом случае. А если получается так, что D > 0, то тогда Вам не придется ничего считать, так как корней уравнение не имеет.

Надо сказать, что находить дискриминант — это не так уж сложно, если знать формулы и внимательно осуществлять подсчеты. Иногда возникают ошибки при подстановке отрицательных чисел в формулу (нужно помнить, что минус на минус дает плюс). Будьте внимательны, и все получится!

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D
Если D = 0, есть ровно один корень;
Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
x 2 − 8x + 12 = 0;
5x 2 + 3x + 7 = 0;
x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

x 2 − 2x − 3 = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства.2
D1>0, значит, уравнение имеет 2 корня
x1,2= k +/ квадратный корень из D1)/a
x1= (-(-12) +9)/3=21/3=7
x2= (-(-12) -9)/3=3/3=1

Оценили на сколько легче решение?;)
Спасибо за внимание, желаю Вам успехов в учебе =)

В нашем случае в уравнениях D и D1 были >0 и мы получили по 2 корня. Если бы было D=0 и D1=0, то мы получили бы по одному корню, а если бы было D
Через корень дискриминанта (D1) можно решать только те уравнения, в которых член b четный(!)

Квадратичное решение на множитель

Квадратное решение на множитель Вот шаги, необходимые для решения квадратичных расчетов по факторингу:

Шаг 1 :	Напишите уравнение в правильной форме. Чтобы получить правильную форму, вы должны удалить все круглые скобки с каждой стороны уравнения путем распределения, объединить все одинаковые члены и, наконец, установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
Шаг 2 :	Используйте стратегии факторинга, чтобы учесть проблему.
Шаг 3 :	Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равным нулю.
Шаг 4 :	Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

Пример 1 — Решить: x ² + 16 = 10x

Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга для факторинга проблемы.
Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равную нулю.
Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

Пример 2 — Решить: 18x ² — 3x = 6

Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга для факторинга проблемы.
Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равную нулю.
Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.