Примеры решение уравнений с логарифмами: Логарифмические уравнения, примеры решений

Содержание

Логарифмические уравнения на примерах

Логарифмическими называются уравнения содержащие неизвестную величину под знаком логарифма или в основании логарифма (или в обоих местах одновременно). Их легко свести к квадратным или степенным уравнениям относительно переменной если знать свойства логарифма. Например, логарифмическими будут следующие уравнения

Необходимо отметить что во время решения логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений ( ОДЗ ) : под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основе логарифмов — положительные, отличные от единицы. Однако нахождения ОДЗ порой может быть очень громоздким и на практике имеем возможность или искать ОДЗ, или сделать проверку подстановкой корней уравнения.

Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида

Его решение вычисляется потенцированием (нахождение числа или выражения по его логарифму)

В некоторых случаях, решая логарифмические уравнения, целесообразно производить замену переменной. Например в уравнении

удобно сделать замену и мы приходим к квадратному уравнению. Причем оба корни этого квадратного уравнения можно подставить в замену чтобы найти подходящее х.

Стоит запомнить что десятичный логарифм от единицы со следующими нулями равно количеству нулей в записи этого числа.

Для десятичного логарифма от единицы с предыдущими нулями правило подобное. Он равен количеству всех нулей в записи этого числа, включая и ноль целых, взятых со знаком минус. Для примера

На этом необходимый теоретический материал рассмотрен и можно переходить к рассмотрению практических примеров. Внимательно рассмотрите их решения это позволит усвоить некоторые правила логарифмов и увеличит практическую базу, которая пригодится при прохождении ВНО , контрольных, тестах и т.д.

Пример 1. Решить уравнение.

Решение. Используя свойство логарифмов переписываем уравнение в виде

Делаем замену

и переписываем

Умножаем на переменную и записываем в виде квадратного уравнения

Вычисляем дискриминант

Корни уравнения приобретут значения

Возвращаемся к замене и находим

Уравнение имеет два решения

Пример 2. Решить уравнение.

Решение. Раскрываем скобки и записываем в виде суммы логарифмов

Учитывая что уравнение примет вид

Переносим слагаемое за знаком равенства в правую сторону

Оба множители приравниваем к нулю и находим

Пример 3. Решить уравнение.

Решение. Перепишем правую сторону в виде квадрата и прологарифмируем по основанию 10 обе части уравнения

делаем замену

и сводим уравнение к квадратному

Дискриминант такого уравнения принимает нулевое значение — уравнение имеет два одинаковых решения

Возвращаемся к замене которую делали выше

Пример 4. Решить уравнение.

Решение. Выполним некоторые преобразования с слагаемыми уравнения

Логарифмическое уравнение упростится до следующего

Поскольку логарифмы имеют одинаковые основания то значение под знаком логарифма тоже равны. На основе этого имеем

Расписываем и решаем с помощью дискриминанта

Второй корень не может быть решением, поскольку никакое положительное число при возведены в степени не даст в результате -1. Итак x=2 – единственное решение уравнения.

Пример 5. Найти решение уравнения .

Решение. Выполняем упрощения уравнения

По свойству переходим ко второй основы во втором логарифме

По правилу логарифмирования имеем

Сводим уравнение к квадратному и решаем его

Дискриминант равен нулю, следовательно имеем один корень кратности два

Пример 6. Найти решение уравнения.

Решение. Заданное уравнение и подобные ему решаются путем сведения к общей основе. Для этого преобразуем правую сторону уравнения к виду

и подставим в уравнение

Поскольку основы логарифмов ровны переходим до показательного уравнения

Выполняем замену и сводим к квадратному уравнению

Возвращаемся к замене и вычисляем

Пример 7. Найти решение уравнения.

Решение. Не пугайтесь подобных задач, если делать все по правилам то решение получается без труда. Забегая вперед скажу что корни в скобках к примеру отношения не имеют. Они для того чтобы напугать простых математиков.
Упростим сначала второй логарифм

Дальше выполняем подстановку и сведения слагаемых под один логарифм

Приравниваем к правой части уравнения и упрощаем

Как видите — решение оказалось проще чем выглядело до решения, а результат x=100 только подтверждает это.

При решении логарифмических уравнений важно хорошо знать свойства логарифмов. Все остальные действия сводятся, как правило, к решению квадратных уравнений или степенных зависимостей относительно неизвестных. Поэтому практикуйте самостоятельно и не имейте проблем с логарифмическими уравнениями.

Логарифмы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Логарифмы (Логарифмирование) активно используются в решении задач, так как значительно упрощают обычные алгебраические операции. Использование логарифмов позволяет заменить умножение на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня заменяются соответственно на умножение и деление на показатель степени числа.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по логарифмам, прочитать определения и все свойства логарифмов.

Логарифм произведения, сумма логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм произведения.

Пример

Задание. Представить $\log _{5} 6$ в виде суммы логарифмов.

Решение. $\log _{5} 6=\log _{5}(2 \cdot 3)=\log _{5} 2+\log _{5} 3$

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Упростить $\log _{5} 4+\log _{5} 3$

Решение. $\log _{5} 4+\log _{5} 3=\log _{5}(4 \cdot 3)=\log _{5} 12$

Логарифм частного, разность логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм частного.

Пример

Задание. {2}-x-2=0 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-1$$

Второй корень не принадлежит ОДЗ, а значит решение $x=2$

Ответ. $x=2$

Пример
Задание. Решить уравнение $\ln (x+1)=\ln (2 x-3)$
Решение. Находим ОДЗ:
$$\left\{\begin{array}{l} x+1>0 \\ 2 x-3>0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x>-1 \\ 2 x>3 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x>-1 \\ x>\frac{3}{2} \end{array} \Rightarrow\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right)\right.\right.\right.$$
Решаем уравнение $x+1=2 x-3: x=4 \in$ ОДЗ.
Итак, решением исходного логарифмического уравнения также является это значение.
Ответ. $x=4$

Решение логарифмических неравенств
Теоретический материал по теме — логарифмические неравенства.
Пример

Задание. Решить неравенство $\log _{0,5}(x-1)>-1$
Решение. {-1}$ или $x-1<2 \Rightarrow x<3$
В пересечении с ОДЗ получаем, что $x \in(1 ; 3)$
Ответ. $x \in(1 ; 3)$
Пример
Задание. Решить неравенство $\log _{5} 5>\log _{5} x$
Решение. Данное неравенство равносильно системе:
$$\left\{\begin{array}{l} 5>x, \\ x>0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x0 \end{array} \Rightarrow x \in(0 ; 5)\right.\right.$$
Ответ. $x \in(0 ; 5)$
Читать первую тему — формулы и свойства логарифмов, раздела логарифмы.
Решение логарифмических уравнений
Логарифмические уравнения

Решение простейших логарифмических уравнений
Как известно, решение простейшего логарифмического уравнения log_ax=b — это x=a^b. Другими словами, простейшее логарифмическое уравнение log_ax=b имеет единственный корень, которым является степень a^b.

Приведем пример.
Первый пример. Проще некуда.
Решите уравнение log₅x=2
Решение
Все понятно без слов:
log₅x=2
x=5²
x=25
Ответ:
При решении простейших логарифмических уравнений переход от log_ax=b к x=a^b, обычно, не представляет сложности. Часто, куда сложнее вычислить значение степени a^b или упростить ее вид. Следующие примеры иллюстрируют сказанное.
Второй пример. А вычислить значение?
Решите логарифмическое уравнение
Решение
Это простейшее логарифмическое уравнение. Оно имеет единственный корень . Очевидно, полученная степень нуждается в доработке.
Сначала заменим квадратный корень из семи степенью: .
Теперь используем свойства степеней:

Остается вспомнить, как определяется степень с отрицательным показателем, и закончить вычисления:

На этом решение простейшего логарифмического уравнения завершено.
Ответ:

Третий пример. Извольте упростить.

Решите уравнение
Решение
Начинаем со стандартного при решении простейших логарифмических уравнений перехода:

Надо бы упростить полученную степень.
Возвести дробь в минус первую степень – это кувыркнуть ее вверх ногами:

Теперь глаза мозолит иррациональность в знаменателе, исправим эту ситуацию:

Таким образом, — искомое решение простейшего логарифмического уравнения.
Ответ:

К началу страницы
Решение логарифмических уравнений разными методами
Сейчас пройдемся по всем основным методам решения логарифмических уравнений, и рассмотрим решения наиболее характерных и интересных, по нашему мнению, логарифмических уравнений.
Приступаем.
по определению логарифма
По определению логарифма в первую очередь проводится решение логарифмических уравнений log_af(x)=b, где a и b — числа, причем a>0, a≠1, а f(x) – выражение с переменной x, таких как log₂(x²+4·x+3)=3, и др. Решение состоит в переходе от уравнения log_af(x)=b к уравнению f(x)=a^b. Например, решение логарифмического уравнения log
2(x²+4·x+3)=3 с опорой на определение логарифма заменяется решением уравнения x²+4·x+3=2³.
На определение логарифма можно опираться и при решении логарифмических уравнений log_h(x)f(x)=g(x), таких как log_x(x²−3·x+6)=2, log₂(9−2^x)=3−x, log_x(3·x^lgx+4)=2·lgx и др. Решение уравнения log_h(x)f(x)=g(x) заключается в решении уравнения f(x)=(h(x))^g(x) на области допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Например, чтобы решать логарифмическое уравнение log
x(x²−3·x+6)=2 по определению логарифма, надо решить уравнение x²−3·x+6=x², и взять все корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения.
Итак,
Чтобы решить логарифмическое уравнение log_af(x)=b по определению логарифма, надо перейти к уравнению f(x)=a^b и найти его решение.

А чтобы решить по определению логарифма уравнение log_h(x)f(x)=g(x), надо перейти к уравнению f(x)=(h(x))^g(x), решить его, и взять корни, принадлежащие ОДЗ для исходного логарифмического уравнения.

Обоснования приведены в статье «Метод решения уравнений по определению логарифма».

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений.
Пример
Решите уравнение
Решение
Обычно решение оформляется кратко:

А теперь поясним, какие рассуждения за всем этим скрываются.
Заданное логарифмическое уравнение имеет вид log_af(x)=b, где f(x)=2·x−4, a=1/2, b=−2. Такое логарифмическое уравнение можно решать по определению логарифма, то есть, заменять решение уравнения log_af(x)=b решением уравнения f(x)=a

b.
Итак, переходим от исходного уравнения к уравнению . Это рациональное уравнение, решаем его:

Так получено решение исходного логарифмического уравнения.
Ответ:
Пример. Не забыть про проверку.
Решите логарифмическое уравнение log_x(−x²+5·x+3)=2
Решение
Заданное уравнение можно рассматривать как уравнение log_h(x)f(x)=g(x), где f(x)=−x²+5·x+3, h(x)=x, g(x)=2, и мы знаем, что такие уравнения можно решать по определению логарифма.
Решение этим методом на первом этапе предполагает переход от уравнения log_h(x)f(x)=g(x) к уравнению f(x)=(h(x))^g(x). Имеем −x²+5·x+3=x².
Теперь нам надо решить полученное уравнение −x²+5·x+3=x². Оно сводится к квадратному уравнению 2·x²−5·x−3=0. Решаем его:

Остается пройти последний шаг решения логарифмического уравнения по определению логарифма – выяснить, какие из корней принадлежат ОДЗ для исходного уравнения. ОДЗ для исходного логарифмического уравнения log_x(−x²+5·x+3)=2 определяется системой .
Очевидно, не удовлетворяет второму условию, значит, это посторонний корень для исходного уравнения. А корень x₂=3 удовлетворяет всем условиям: . Значит, x₂=3 – это корень уравнения log_x(−x²+5·x+3)=2.
На этом решение завершено. Уравнение имеет единственный корень 3.
Естественно, так подробно решение не описывают. Обычно его оформляют кратко, но без ущерба для логики действий, например, так:

Ответ:
К началу страницы
методом потенцирования
Метод потенцирования применяется для решения логарифмических уравнений, части которых являются логарифмами с одинаковыми основаниями, например, log₅(x−1)=log₅7, и др. Решение логарифмических уравнений методом потенцирования состоит в переходе от уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения. Так решение уравнения можно заменить решением уравнения x+1=x²−1 на ОДЗ для исходного уравнения.
Название метода становится понятным, если вспомнить, что потенцирование – это восстановление выражения по его логарифму.
Обосновать метод можно, сославшись на свойства логарифмов. Из них мы знаем, что логарифмы двух положительных чисел с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями равны тогда и только тогда, когда равны сами числа, то есть, , a>0, a≠1, b₁>0, b₂>0. Так вот переход от логарифмического уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) к уравнению f(x)=g(x) — это аналог замены log_ab₁=log_ab₂ на b₁=b₂, а нахождение в рамках ОДЗ для исходного уравнения – это аналог выполнения условий a>0, a≠1, b₁>0, b₂>0.
Итак, чтобы решить логарифмическое уравнение log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) методом потенцирования, надо
Перейти к уравнению f(x)=g(x).

Решить полученное уравнение.

И взять корни, принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, остальные отбросить как посторонние. Другими словами, провести отсеивание посторонних корней.

Остается рассмотреть пример с решением.
Пример. Потенцируем.
Решите уравнение .
Решение
Мы видим, что части уравнения являются логарифмами с одинаковыми основаниями. Подобные логарифмические уравнения удобно решать методом потенцирования.
Согласно выбранному методу, переходим от исходного уравнения к уравнению x+1=x²−1.
Теперь нам надо решить полученное уравнение x+1=x²−1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком и приведение подобных слагаемых дает квадратное уравнение x²−x−2=0, которое можно решить, например, через дискриминант:

Остается проверить принадлежность найденных корней области допустимых значений переменной x для исходного уравнения. Для нашего логарифмического уравнения ОДЗ определяют два условия x+1>0 и x²−1>0. Очевидно, x₁=−1 не удовлетворяет первому условию (−1+1>0 — неверное), значит, это посторонний корень для решаемого уравнения. А корень x₂=2 удовлетворяет обоим условиям (2+1>0 – верное, 2²−1>0 — верное). Значит, он является корнем уравнения .
На этом решение логарифмического уравнения методом потенцирования завершено. Уравнение имеет единственный корень, им является число 2.
Ответ:
К началу страницы
методом разложения на множители
Пример. Все как всегда.
Решите уравнение
Решение
Решение логарифмического уравнения можно провести методом разложения на множители, так как в левой части уравнения находится произведение двух выражений с переменной, а в правой – нуль.
Первый шаг – переход к совокупности уравнений:

Второй шаг – решение полученных логарифмических уравнений.
Первое уравнение можно решить по определению логарифма, а второе — методом потенцирования, после предварительного переноса второго логарифма в правую часть со знаком «плюс»:

На последнем шаге остается выяснить, принадлежат ли найденные корни 2 и 5 ОДЗ для решаемого логарифмического уравнения :
На этом решение логарифмического уравнения методом разложения на множители завершено.
Ответ:
К началу страницы
путем введения новой переменной (замены переменной)
Решение логарифмических уравнений методом введения новой переменной, как правило, проводится в следующих типичных ситуациях:
Когда переменная находится в составе некоторой сложной функции, как, например, в уравнении

Когда переменная фигурирует в нескольких одинаковых выражениях и нигде более. Вот примеры логарифмических уравнений, соответствующие сказанному:

(часто, одинаковые выражение с переменной прячут за свойствами степеней, и приведенное выше в пример логарифмическое уравнение, скорее, будет выглядеть так или так )

Когда в логарифмическом уравнении переменная находится только под знаками логарифмов, которые получаются один из другого перестановкой местами выражения под его знаком и в основании. Вот такое логарифмическое уравнение

Пример №1. Вводить или не вводить?
Решите логарифмическое уравнение
Решение
Введение новой переменной 2−log₂x=t позволяет перейти от логарифмического уравнения к сравнительно простому уравнению t⁴=16 с понятной структурой и очевидным решением:

Возврат к старой переменной дает два логарифмических уравнения 2−log₂x=2 и 2−log₂x=−2, решив которые находим интересующее нас решение исходного уравнения:

Итак, логарифмическое уравнение имеет два корня 1 и 16.
В заключение заметим: введение новой переменной в подобных и, прямо скажем, простых ситуациях настолько прозрачно, что его проводят «в уме», и не отражают в решении:

Ответ:
Пример №2. Оказывается, оно квадратное.
Решить уравнение
Решение
Выражения 2^{2·(log₅x)²} и 2^(log₅x)², в которых содержится переменная в заданном логарифмическом уравнении, почти одинаковые. Различие вносит лишь число 2 в показателе первой степени. Здесь несложно догадаться, что по свойству степени в степени, выражение 2^{2·(log₅x)²} можно переписать как (2^(log₅x)²)², что открывает дорогу к замене переменной 2^(log₅x)²=t и переходу к квадратному уравнению t²−15·t−16=0 с новой переменной t.
Итак, проведем решение логарифмического уравнения через замену переменной:

Ответ:
Пример. Взаимно обратные логарифмы.
Решите логарифмическое уравнение
Решение
Здесь полезно вспомнить следствие из формулы перехода к новому основанию логарифма, которому отвечает формула log_ab=1/log_ba, a>0, a≠1, b>0, b≠1. Так возникает идея обозначить один из логарифмов в заданном логарифмическом уравнении за t, тогда другой логарифм будет выражаться через новую переменную t как 1/t.

Остается вернуться к старой переменной x, и закончить решение. Мы принимали log_x+3(3·x+13)=t и нашли t=2, поэтому

Итак, логарифмическое уравнение имеет единственное решение 1.
Ответ:
К началу страницы
дробь равна нулю
Пример
Решите логарифмическое уравнение
Решение
Решение логарифмических уравнений, в левых частях которых находится дроби, а в правых – нули, проводится в соответствии с методом решения уравнений «дробь равна нулю». При этом надо приравнять числитель дроби к нулю, и решить это уравнение на ОДЗ для исходного уравнения.
Итак, решение начинаем с приравнивания к нулю числителя дроби из левой части заданного уравнения. Это дает уравнение log₃(x−3)²−4=0, которое равносильно уравнению log₃(x−3)²=4. Решение полученного логарифмического уравнения можно провести по определению логарифма:

Остается проверить, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений переменной x для исходного логарифмического уравнения. В нашем случае условий, которые определяют ОДЗ, довольно много, поэтому, кажется, рациональнее действовать через непосредственную подстановку. Подставим найденные корни в исходное уравнение и посмотрим, что при этом получается.
Подстановка x₁=12 дает верное числовое равенство

Поэтому, 12 является корнем.
При подстановке x₂=−6 получается не имеющее смысла выражение , так как под знаками логарифмов в знаменателе – отрицательные числа. Значит, −6 – посторонний корень.
Ответ:
К началу страницы
методом логарифмирования
Решение логарифмических уравнений в определенных случаях приходится проводить через логарифмирование обеих частей уравнения. Обычно, к логарифмированию прибегают тогда, когда в одной части уравнения находится показательно степенное выражение, а в другой – положительное число, как в следующих уравнениях , и т.п.
Давайте решим одно из них, чтобы стало понятно, что дает логарифмирование уравнения.
Пример. Дожили, лог уравнения логарифмируем
Решите уравнение
Решение
Данное уравнение – это типичный представитель уравнений, для решения которых используется метод логарифмирования. В левой части уравнения – степень, на ОДЗ для уравнения эта степень принимает только положительные значения. Это открывает возможность прологарифмировать обе части заданного уравнения. В нашем случае логарифмирование целесообразно проводить по основанию 2, так как в исходном уравнении присутствует логарифм с таким основанием. Так и поступим:

Для нашего уравнения ОДЗ определяется условием x>0. Поэтому, мы спокойно можем вынести степень из-под знака логарифма, оперевшись на соответствующее свойство логарифмов (подробнее про решение логарифмических уравнений через преобразования поговорим в одном из следующих пунктов):

И это, собственно, то, ради чего логарифмирование затевалось – привести логарифмическое уравнение к более простому и привычному виду. Дальнейшие преобразования не требуют комментирования:

Полученное логарифмическое уравнение, очевидно, можно решить методом замены переменной:

Ответ:
К началу страницы
графическим методом
К решению логарифмических уравнений графическим методом обычно прибегают тогда, когда, во-первых, функции, отвечающие частям заданного логарифмического уравнения, довольно простые в плане построения их графиков, и, во-вторых, не видно других более простых вариантов получить решение.
Пример. Графически так графически.
Сколько корней имеет уравнение
Решение
Сама формулировка задания подсказывает, что, скорее всего, решить уравнение, что называется, в лоб, и указать не только количеств корней, но и сами эти корни, не выйдет. Иначе бы вопрос стоял «решить уравнение». Действительно, путей решения этого уравнения не видно.
Однако, количество корней удобно определять по графикам функций, соответствующих частям уравнения. Более того, в данном случае построить графики этих функций довольно просто. Нам хорошо известны функции и y=log₂x и их графики. Графики интересующих нас функций и y=log₂(x−2) будут иметь схожую геометрию с точностью до преобразований растяжения и симметрии. Поэтому, нам достаточно взять несколько опорных точек, чтобы изобразить нужные кривые. Давайте получим их, учитывая, что область определения функции — это x≤15/4, а область определения функции y=log₂(x−2) — это x>2.
Имеем

и

Отмечаем эти точки на плоскости в прямоугольной системе координат, соединяем их плавными линиями, и чертеж готов:
Видно, что графики имеют одну точку пересечения на отрезке от трех до пятнадцати четвертых. Больше их быть не может, так как функция убывает на указанном отрезке от до нуля, а функция y=log₂(x−2) возрастает на этом отрезке от нуля до log₂(7/4).
Это позволяет нам утверждать, что уравнение имеет один корень.
Ответ:
К началу страницы
через подбор корня и возрастание-убывание функций
Решение логарифмических уравнений иногда приходится проводить, основываясь на возрастании и убывании функций, соответствующих частям уравнения. Это касается ситуаций, когда простые и привычные пути решения не просматриваются, но зато очевиден или легко подбирается корень логарифмического уравнения, а также легко обосновывается возрастание и убывание соответствующих функций. Приведем пример.
Пример. Подбор и единственность.
Решите уравнение
Решение
Для заданного уравнения не видно других подходов к решению, кроме как обращаться к функциям и их свойствам. Можно строить графики, но делать это для функции, отвечающей правой части уравнения, не очень приятно из-за довольно «большого» числа 11 и довольно «высокой» степени 5. Попробуем обойтись без чертежа.
Вместо этого обопремся на возрастание логарифмической функции, отвечающей левой части уравнения, и убывание функции, отвечающей правой части уравнения (она убывает, как возрастающая от убывающей). Это позволяет утверждать, что если уравнение имеет корень, то он единственный. А найти корень позволяет подбор по рекомендациям, данным в статье, посвященной методу решения уравнений через возрастание-убывание, – им является число 10.
На этом решение логарифмического уравнения завершено.
Ответ:
К началу страницы
методом оценки
Пример. Оценить и дорешать.
Решить уравнение
Решение
Своего рода оценочная классика: логарифм, синус, косинус, корень – все в одном уравнении. Итак, пробуем провести решение уравнения методом оценки. Но сначала, все же, квадратный корень из квадрата заменим модулем:

Теперь к оценкам.
Косинус принимает значения из отрезка −1 до 1, а его модуль – [0, 1]. Следовательно, . С другой стороны, как четная степень, откуда . Таким образом, значения выражения из левой части уравнения не превосходят 1, а значения выражения из правой части уравнения не меньше 1. Это позволяет нам заменить решение исходного уравнения решением следующей системы

Что делать с первым уравнением системы — сразу не понятно, зато вполне реально получить решение второго логарифмического уравнения:

Теперь путем подстановки выясним, удовлетворяют ли найденные корни логарифмического уравнения 2 и 3 первому уравнению системы, а значит, системе в целом, и исходному уравнению.
Давайте начнем с числа 3, с ним все просто:

Это верное равенство, следовательно, 3 – решение системы и корень исходного уравнения.
А вот с числом 2 придется повозиться.

Это равенство неверное (обоснуем чуть ниже), следовательно, 2 – не является решением системы, и не является корнем исходного уравнения.
Таким образом, уравнение имеет один единственный корень 3.
А вот обещанное обоснование.
Модуль косинуса равен единице, если аргумент косинуса равен . А не равно sin10 ни при каком целом k. Действительно, при k=0, очевидно, sin10≠0. При любом другом целом k равенство неверное, так как значения синуса находятся в отрезке от −1 до 1.
Ответ:
К началу страницы
через ОДЗ
Решение логарифмических уравнений часто требует нахождения ОДЗ: когда для проведения преобразований, когда для проверки. А порою ОДЗ позволяет даже получить решение.
Пример. ОДЗ от безысходности.
Решите уравнение
Решение
Беглый анализ уравнения, можно сказать, ставит в тупик относительно способа его решения. И почти единственным и, так или иначе, адекватным мероприятием выглядит нахождение ОДЗ. Что называется, в любом случае пригодится.
Находим ОДЗ:
Вот как все обернулось: ОДЗ есть пустое множество. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ:
К началу страницы
методом освобождения от внешней функции
Признаемся, почти никогда для решения логарифмических уравнений не приходилось прибегать к методу освобождения от внешней функции. Однако для полноты картины не помешает привести решение соответствующего примера.
Пример. Попробуй разгляди.
Найдите решение уравнения
Решение
Как тут действовать? Непонятно, что здесь можно предложить в альтернативу методу освобождения от внешней функции.
А так заданное логарифмическое уравнение можно рассматривать как уравнение , где функция f такая, что . Очевидно, f – возрастающая функция как сумма двух возрастающих. Это позволяет освободиться от внешней функции f в уравнении , то есть, на ОДЗ перейти к уравнению .
Здесь заметим, что область допустимых значений переменной для полученного уравнения совпадает с ОДЗ для исходного уравнения (она такова ). Значит, решение полученного уравнения является решением исходного уравнения.
Остается решить логарифмическое уравнение , что можно сделать через потенцирование:

Ответ:
К началу страницы
Решение логарифмических уравнений через преобразование
Редкий раз решение логарифмических уравнений обходится без проведения преобразований. Характерными для логарифмических уравнений являются преобразования, проводящиеся на базе свойств корней и степеней. Все они по отдельности разобраны в статье «Преобразование логарифмических уравнений». Здесь мы рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений со сравнительно сложными последовательностями преобразований.
Для начала напомним о необходимости использования модулей при вынесении четных показателей степеней из-под знаков логарифмов, а также при переходе от логарифмов произведений (частных) к суммам (разностям) логарифмов.
Пример. Про модуль не забыть.
Решите логарифмическое уравнение
Решение
Просматривается возможность прийти к одинаковым логарифмам в левой части уравнения. Для начала вынесем показатель 2 из-под знака логарифма, и так как он есть четное число, то не забудем про модуль:

Для раскрытия модуля нам потребуется ОДЗ для исходного уравнения:

С учетом этого, имеем

Дальше все просто:

Ответ:
Теперь еще раз обратим внимание на преобразование квадратов, кубов и других степеней логарифмов. Уж очень часто приходится видеть неверные преобразования, типа , вместо , или , вместо и т.п.
Пример. Квадраты логарифмов.
Решите уравнение
Решение
Просматривается возможность упростить вид заданного логарифмического уравнения. Для начала перепишем его как , чтобы не наделать ошибок при преобразовании квадратов логарифмов. Дальше все довольно прозрачно:

Теперь пора ввести новую переменную:

Остается вернуться к старой переменной:

Ответ:
Наконец, рассмотрим пример решения довольно сложного логарифмического уравнения, где сильно переплетены степени и логарифмы.
Пример
Решите уравнение
Решение
Просматриваются черты основного логарифмического тождества. Сейчас поработаем в этом направлении. Но сначала давайте найдем область допустимых значений переменной x – она бывает нужна при проведении преобразований и при проведении проверки. Тем более, в нашем случае ОДЗ находится легко:

Теперь приступаем к преобразованию:

А дальше все легко:

При найденных значениях переменной знаменатели дробей в уравнении в нуль не обращаются, а также 0 и 2 принадлежат ОДЗ для исходного уравнения, следовательно, являются его корнями.
Ответ:
К началу страницы
Решение однородных логарифмических уравнений
В задачниках встречаются логарифмические уравнения, которые являются однородными уравнениями относительно некоторых логарифмов. Например, lg²(x+1)−lg(x+1)·lg(x−1)−2·lg²(x−1)=0 – это логарифмическое уравнение, однородное относительно логарифмов lg(x+1) и lg(x−1).
Решение однородных логарифмических уравнений завязано на преобразовании, заключающемся в делении обеих частей уравнения на «старшую» степень одного из логарифмов, что в дальнейшем позволяет ввести новую переменную. При этом необходимо отдельно проверять, не являются ли корнями уравнения те значения переменной, при которых обращается в нуль логарифм, на который планируется проводить деление. Давайте обратимся к конкретному примеру.
Возьмем наше уравнение lg²(x+1)−lg(x+1)·lg(x−1)−2·lg²(x−1)=0. Оно, как мы отметили, является однородным относительно логарифмов lg(x+1) и lg(x−1). Давайте разделим обе части этого уравнения на старшую степень второго из этих логарифмов, то есть, на lg²(x−1). Но, как известно, делить обе части уравнения мы имеем право только на выражение, не обращающееся в нуль, в противном случае можно потерять корни. Поэтому, стоит отдельно проверить, не являются ли корнями уравнения значения переменной, при которых lg²(x−1)=0, а уже после этого спокойно проводить задуманное деление, не опасаясь потерять корни. В нашем случае lg²(x−1)=0 только при x=2. Но x=2 не является решением исходного уравнения, так как его подстановка в исходное уравнение дает неверное числовое равенство. Теперь можно переходить к делению, считая lg²(x−1)≠0. Имеем:

Дальше напрашиваются следующие преобразования

Остается закончить решение, воспользовавшись методом введения новой переменной. Приняв , имеем

Откуда

Ответ: , 3.
К началу страницы
Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах.
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с понятием и видами логарифмов и основными формулами.
Как решать логарифмические уравнения?
Самое простое уравнение имеет вид log_ax = b, где a и b -некоторые числа,x — неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a^b при условии: a > 0, a 1.
Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log₂х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.
Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log₂2. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.
Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.
Решение простейших логарифмических уравнений
К таковым относятся уравнения типа log₂х = log₂16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.
Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log_ax = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.
Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:
одинаковые числовые основания у логарифмов
логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т.е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.
Скажем в уравнении log₂х = 2log₂ (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log₂х+log₂ (1 — х) = log₂ (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!
Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:
log_a (. ..) = log_a (…)
В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.
Возьмем другой пример:
log₃ (2х-5) = log₃х
Применяем потенцирование, получаем:
2х-5 = х
х=5
Пойдем дальше. Решим следующий пример:
log₃ (2х-1) = 2
Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. (4х-1), получаем:
3² = 2х-1
Дальше уже дело техники:
2х-1 = 9
х =5
Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.
Решим наше логарифмическое уравнение log₃ (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:
Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log₃9, ведь 3²=9.
Тогда log₃ (2х-1) = log₃9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.
Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений, даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.
Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.
А вот возьмем другой пример:
log₃ (х²-3) = log₃ (2х)
Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.
Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:
log₃ (х²-3) = log₃ (2х)
Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.
х²-3 = 2х
х²-2х-3 = 0
Находим корни уравнения:
х₁= 3
х₂= -1
Получилось два корня.
Ответ: 3 и -1
С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.
Начнем с х₁= 3:
log₃6 = log₃6
Проверка прошла успешно, теперь очередь х₂= -1:
log₃ (-2) = log₃ (-2)
Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.
Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.
Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.
Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.
Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.
Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?
Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!
Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.
Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.
Воспользуемся опять тем же уравнением:
log₃ (х²-3) = log₃ (2х)
log₃ (х²-3) = log₃ (2х)
Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:
Т.е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.
ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.
Получив ответы х₁= 3 и х₂= -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.
На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.
Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:
<noscript><img src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/1a67a686a1147ec4f99e0151475fe1fd/img6.jpg' /></noscript> 2-6x=8\left(1-x\right)\)$x=2,\:x=-4$Ответ: $x=2,\:x=-4$.<h2>Логарифмические уравнения, примеры решения. Урок и презентация по алгебре</h2> Дата публикации: <time datetime="2017-04-10">10 апреля 2017</time>.<h3 itemprop="headline">Урок и презентация на тему: «Логарифмические уравнения. Примеры решения логарифмических уравнений»</h3>Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.<hr/> Скачать: Логарифмические уравнения. Примеры (PPTX)<hr/> <h4>Знакомство с логарифмическими уравнениями</h4> Ребята, мы продолжаем изучать большую тему логарифмов, сегодня мы с вами посмотрим, как решать различные уравнения, в которых есть логарифмы. Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида: $\log_a{f(x)}=log_a{g(x)}$.Не забываем все требования, выдвигаемые в определение логарифма.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/080a/00132e61-2466649d/img22.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/080a/00132e61-2466649d/img22.jpg' /></noscript> Вспомните самостоятельно о показателе логарифма и числе, стоящее под знаком логарифма. Ребята, также вспомните теорему 4 урока «Свойства логарифмов». Опираясь на эту теорему, давайте сформулируем основный принцип при решении логарифмических уравнений.Теорема. Если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то логарифмическое уравнение $\log_a{f(x)}=\log_a{g(x}$, где $a>0$, $a≠1$, равносильно уравнению $f(x)=g(x)$. Как же решать логарифмические уравнения? <ul><li>От логарифмического уравнения $\log_a{f(x)}=\log_a{g(x}$ перейти к уравнению $f(x)=g(x)$.</li><li>Решить уравнения $f(x)=g(x)$.</li><li>Проверить каждый корень уравнения $f(x)=g(x)$ на условие $f(x)>0$ и $g(x)>0$.</li><li>Если корень уравнения удовлетворяет каждому из $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то это и есть решение исходного уравнения. Если хоть одно из условий $f(x)>0$ и $g(x)>0$ не выполняется, то этот корень не будет являться решением исходного уравнения.</li></ul><h4>Примеры решения логарифмических уравнений</h4> Пример.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/ed52ab01190ee24e21ac97b1fec90a0a/img15.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/ed52ab01190ee24e21ac97b1fec90a0a/img15.jpg' /></noscript> 2-y)}=\log_5{x}.\end{cases}$<h2>Урок 27. логарифмические уравнения — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс</h2>Алгебра и начала математического анализа, 10 классУрок № 27. Логарифмические уравнения.Перечень вопросов, рассматриваемых в теме1) Понятие простейшего логарифмического уравнения2) Основные способы решения логарифмический уравнений3) Общие методы в решении логарифмических уравненийГлоссарий по темеПростейшее логарифмическое уравнение. Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1.Основные способы решения логарифмических уравнений1. , где, a > 0, a ≠ 1, то , при условии, что2. .Общие методы для решения логарифмических уравнений<ol><li>Разложение на множители.</li><li>Введение новой переменной.</li><li>Графический метод.</li></ol>Основная литература:Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/documents.infourok.ru/65a08780-3386-4337-98ea-88576208f821/slide_03.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/documents.infourok.ru/65a08780-3386-4337-98ea-88576208f821/slide_03.jpg' /></noscript> Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014.–384с.Открытые электронные ресурсы:http://fipi.ru/Теоретический материал для самостоятельного изученияУравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1 называют простейшим логарифмическим уравнением.Данное уравнение имеет единственное решение, которое мы можем получить графически или по определению логарифма: .Способы решения логарифмических уравнений:<ol><li>Если , то (где, a > 0, a ≠ 1,</li></ol>Пример 1..Воспользуемся определением логарифма;.Оба корня удовлетворяют неравенствуОтвет: – 8; 1.<ol><li>Если</li></ol>Если ,Пример 2..; ;;; Ответ: 1.Пример 3..В данном уравнении систему с ограничивающими условиями можно не составлять, сделав в конце проверку о существовании логарифмов для конкретных значений х.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/361e0a44ad014829cadbb2ff7a2b710a/img2.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/361e0a44ad014829cadbb2ff7a2b710a/img2.jpg' /></noscript>Сумму логарифмов в левой части заменим логарифмом произведения:.Подставим каждый корень в исходное уравнение, получаем верные числовые равенства.Ответ: 3; 4.Встречаются уравнения, когда нельзя сразу использовать 1 или 2 правило. В этом случае сначала используют общие методы решения уравнений.<ol><li>Разложение на множители.</li></ol>Пример 4.Перенесем все в левую часть: Можно увидеть общий множитель: .Для этого приведем к основанию первый логарифм:.Вынесем за скобку общий множитель:Имеем произведение равное нулю. (Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю), два простейших логарифмических уравнения.;Выполняем проверку. Оба числа являются корнями уравнения.Ответ: 3; 5.<ol><li>Введение новой переменной.</li></ol>Пример 5.Замена: тогдаОбратная замена:Оба числа являются корнями уравнения.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/theslide.ru/img/thumbs/b09db0618f9814cb2c8d024e2e66a09d-800x.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/theslide.ru/img/thumbs/b09db0618f9814cb2c8d024e2e66a09d-800x.jpg' /></noscript>Ответ: ; 5.<ol><li>Графический способ решения.</li></ol>Строим графики левой и правой частей уравнения, определяем абсциссы точек пересечения графиков.Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля№1. Решите уравнение:Решение.Дважды используем определение логарифма:<ol><li></li><li></li></ol>Ответ: 6.№2 Укажите промежуток, содержащий нули функции.Возможные варианты ответа:<ol><li></li><li></li><li></li><li></li></ol>Решение: Чтобы найти нули функции, приравниваем ее к нулю.Приведем логарифмы к основанию 5: . Две равные дроби с равными знаменателями, следовательно, равны и числители. Т. е. Слева и справа логарифмы по одинаковому основанию, значит .Ответ: 4<h2> Алгебра — Решение уравнений логарифмов </h2> Решите каждое из следующих уравнений. a ${\log _5}\left({2x + 4} \right) = 2$ Показать решение Чтобы решить их, нам нужно привести уравнение к тому виду, в котором оно находится.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/fs00.infourok.ru/images/doc/222/16322/1/img38.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/fs00.infourok.ru/images/doc/222/16322/1/img38.jpg' /></noscript> Нам нужен один логарифм в уравнении с коэффициентом, равным единице, и константой по другую сторону от знака равенства. Как только мы получим уравнение в этой форме, мы просто преобразуем его в экспоненциальную форму. Итак, давайте сделаем это с этим уравнением.2} = 25\] Обратите внимание, что это уравнение мы можем легко решить. \[2x = 21\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25in}x = \frac{{21}}{2}\] Теперь, как и в первом наборе примеров, нам нужно подключить это обратно к исходному уравнению и посмотреть, будет ли оно давать отрицательные числа или нули в логарифмах. Если да, то это не может быть решением, а если нет, то это решение. \[\ begin{align*}{\log _5}\left( {2\left( {\frac{{21}}{2}} \right) + 4} \right) & = 2\\ {\log _5}\left( {25} \right) & = 2\end{align*}\] Только положительные числа в логарифме, поэтому $x = \frac{{21}}{2}$ на самом деле является решением.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/900igr.net/up/datas/194084/009.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/900igr.net/up/datas/194084/009.jpg' /></noscript> b $\log x = 1 — \log \left( {x — 3} \right)$ Показать решение В этом случае у нас есть два логарифма в задаче, поэтому нам нужно объединить их в один логарифм, как мы сделали в первом наборе примеров. Выполнение этого для этого уравнения дает \[\begin{align*}\log x + \log \left( {x — 3} \right) & = 1\\ \log \left( {x\left( {x — 3} \right)} \ справа) & = 1\end{align*}\] Теперь, когда уравнение приведено в правильную форму, мы преобразуем его в экспоненциальную форму.2} — 3x — 10 & = 0\\ \left( {x — 5} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} х = — 2,\,\,х = 5\конец{выравнивание*}\] Итак, у нас есть два возможных решения. Давайте проверим их обоих. $*х = — 2:$ \[\log \left( { — 2} \right) = 1 — \log \left( { — 2 — 3} \right)\] У нас есть отрицательные числа в логарифмах, поэтому это не может быть решением.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/900igr.net/datas/algebra/Primery-logarifmicheskikh-uravnenij-i-neravenstv/0019-019-Metod-otsenki-levoj-i-pravoj-chastej.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/900igr.net/datas/algebra/Primery-logarifmicheskikh-uravnenij-i-neravenstv/0019-019-Metod-otsenki-levoj-i-pravoj-chastej.jpg' /></noscript> 2} — 6\left( 2 \right)} \right) & = 3 + {\log _2}\left( {1 — 2} \right)\\ {\log _2}\left( {4 — 12} \right) & = 3 + {\log _2}\left( { — 1} \right)\end{align*}\] В этом случае, несмотря на то, что потенциальное решение положительное, мы получаем отрицательные числа в логарифмах и, следовательно, это не может быть решением. Следовательно, мы получаем единственное решение этого уравнения $x = — 4$.<h2> Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов </h2> На предыдущем уроке вы научились решать показательные уравнения без логарифмов. На этот раз мы хотим решить показательные уравнения , требующие использования логарифмов . Почему? Причина в том, что мы не можем манипулировать экспоненциальным уравнением, чтобы иметь одинаковую или общую основу в обеих частях уравнения.Если вы столкнулись с такой проблемой, предлагаем следующие шаги:<hr/><h3> Этапы решения экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов </h3> 1) Оставьте экспоненциальное выражение отдельно в одной части уравнения.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds05.infourok.ru/uploads/ex/0674/00044c33-e284eea1/img10.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds05.infourok.ru/uploads/ex/0674/00044c33-e284eea1/img10.jpg' /></noscript> 2) Получите логарифмы обеих частей уравнения. Вы можете использовать любую базу для логов. 3) Найдите переменную. Держите ответ точным или дайте десятичные приближения. В дополнение к шагам, описанным выше, убедитесь, что вы ознакомились с основными правилами логарифмирования, потому что вы будете использовать их тем или иным образом.{2x}} = 21. В этом уравнении хорошо то, что экспоненциальное выражение уже изолировано в левой части. Теперь мы можем взять логарифмы обеих частей уравнения. Не имеет значения, какое основание логарифма использовать. Окончательный ответ должен получиться таким же. Лучший выбор для основания логарифмической операции — 5, так как это основание самого экспоненциального выражения. Однако мы также будем использовать в расчетах общее основание 10 и естественное основание \color{red}e (обозначаемое \color{blue}ln), просто чтобы показать, что в конце концов все они дают одинаковые ответы. .{х — 5}}} \справа) = 12 . Как видите, экспоненциальное выражение слева не само по себе.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/29/1306464/slide_5.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/images.myshared.ru/29/1306464/slide_5.jpg' /></noscript> Мы должны исключить число 2, которое умножает экспоненциальное выражение. Для этого разделите обе части на 2. У нас останется только экспоненциальное выражение слева и 6 справа после упрощения. Пришло время взять бревно с обеих сторон. Поскольку экспоненциальное выражение имеет основание 3, его удобно использовать для логарифмических операций. Кроме того, мы также решим это, используя натуральное основание e, просто чтобы сравнить, совпадают ли наши окончательные результаты.{x — 2}}}}}}} \right) — 7 = 13 . Сначала это выглядит как беспорядок. Однако, если вы знаете, с чего начать, решение этой проблемы станет проще простого. Что мы должны сделать в первую очередь, так это упростить выражение внутри круглых скобок. Воспользуйтесь правилом деления экспоненты, скопировав общее основание e и вычтя верхнюю часть из нижней степени. Теперь изолируйте экспоненциальное выражение, добавив обе части на 7, а затем разделив все уравнение на 2. Возьмем логарифм обеих частей.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/939137/slide_27.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/939137/slide_27.jpg' /></noscript> х} + 3 = 53 . Обратите внимание, что экспоненциальное выражение возводится в x. Упростите это, применив силу к силовому правилу. Сделайте это, скопировав основание 10 и умножив его показатель на внешний показатель. Это должно выглядеть так после этого. Теперь мы можем изолировать экспоненциальное выражение, вычитая обе части на 3 и затем умножая обе части на 2. Возьмем логарифм обеих сторон по основанию 10. Если вы просто видите красное поле без какого-либо определенного основания, считается, что оно имеет 10 в качестве основания.х снова. Наконец, приравняйте каждый множитель к нулю и найдите x, как обычно, используя логарифмы.<hr/> Вас также может заинтересовать: Решение экспоненциальных уравнений без логарифмов<h2> Решение логарифмических уравнений — ChiliMath </h2> Обычно существует два типа логарифмических уравнений. Внимательно изучите каждый случай, прежде чем приступить к просмотру приведенных ниже рабочих примеров.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/900igr.net/up/datas/205577/015.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/900igr.net/up/datas/205577/015.jpg' /></noscript><h3> Типы логарифмических уравнений </h3><ul><li> Первый тип выглядит так.</li></ul> Если у вас есть один логарифм в каждой части уравнения с одинаковым основанием, вы можете установить аргументы равными друг другу и решить. Аргументами здесь являются алгебраические выражения, представленные \color{blue}M и \color{red}N.<ul><li> Второй тип выглядит так.</li></ul> Если у вас есть один логарифм на одной стороне уравнения, то вы можете выразить его как показательное уравнение и решить. Давайте научимся решать логарифмические уравнения, рассмотрев несколько примеров.<hr/><h4> Примеры решения логарифмических уравнений </h4> Пример 1: Решите логарифмическое уравнение. Так как мы хотим преобразовать левую часть в одно логарифмическое уравнение, то мы должны использовать правило произведения в обратном порядке, чтобы сжать его. Вот правило, если вы забыли.<ul><li> Распределить: \влево( {x + 2} \вправо)\влево( 3 \вправо) = 3x + 6</li></ul><ul><li> Отбросьте журналы, установите аргументы (вещи в скобках) равными друг другу.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds02.infourok.ru/uploads/ex/0884/0003d913-6bc52e27/1/img15.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds02.infourok.ru/uploads/ex/0884/0003d913-6bc52e27/1/img15.jpg' /></noscript></li></ul><ul><li> Затем решите линейное уравнение. Я знаю, что ты справился с этой частью!</li></ul> Просто большое предостережение. ВСЕГДА сверяйте решенные значения с исходным логарифмическим уравнением. Запомнить :<ul><li> Это OKAY иметь такие значения x, как положительные, 0 и отрицательные числа.</li><li> Однако НЕ ДОПУСКАЕТСЯ иметь логарифм отрицательного числа или логарифм нуля, 0, при подстановке или вычислении в исходное логарифмическое уравнение.</li></ul> ⚠︎ ВНИМАНИЕ: Логарифм отрицательного числа и логарифм нуля не определены. {\log _b}\left({{\rm{отрицательное\,\,число}}} \right) = {\rm{undefined}} {\ log _b} \ влево ( 0 \ вправо) = {\ rm {undefined}} Теперь давайте проверим наш ответ, является ли x = 7 допустимым решением. Подставьте обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, дает ли оно истинное утверждение. Да! Поскольку x = 7 проверок, у нас есть решение при \color{blue}x = 7.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/0c23/000c4122-f4ceb7a2/img24.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/0c23/000c4122-f4ceb7a2/img24.jpg' /></noscript> 2} — 2x</li></ul><ul><li> Удалить журналы, установить аргументы (вещи в скобках) равными друг другу</li></ul><ul><li> Решите квадратное уравнение методом факторизации. Но вам нужно переместить все на одну сторону, заставив противоположную сторону равной 0.</li></ul><ul><li> Установите каждый фактор равным нулю, затем найдите x.</li></ul> x — 5 = 0 означает, что x = 5 х + 2 = 0 означает, что х = — 2 Таким образом, возможные решения: x = 5 и x = — 2.Не забывайте всегда заменять возможные решения исходным логарифмическим уравнением. Давайте проверим наши возможные ответы x = 5 и x = — 2, если они будут правильными решениями. Подставьте обратно в исходное логарифмическое уравнение и проверьте, дает ли оно истинное утверждение. После проверки наших значений x мы обнаружили, что x = 5 определенно является решением. Однако x =-2 генерирует некоторые отрицательные числа внутри круглых скобок (логарифм нуля и отрицательных чисел не определен), что заставляет нас исключить x =-2 как часть нашего решения.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/ed52ab01190ee24e21ac97b1fec90a0a/img24.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/ed52ab01190ee24e21ac97b1fec90a0a/img24.jpg' /></noscript> Таким образом, окончательное решение равно \color{blue}x=5. Мы пренебрегаем x=-2, потому что это лишнее решение.<hr/> Пример 3: Решите логарифмическое уравнение. Это интересная проблема. Здесь мы имеем разность логарифмических выражений в обеих частях уравнения. Упростите или сократите журналы с обеих сторон, используя правило отношения, которое выглядит следующим образом.<ul><li> Разница в журналах указывает нам на необходимость использования правила частного.Преобразуйте операцию вычитания снаружи в операцию деления внутри круглых скобок. Проделайте это с обеими частями уравнений.</li></ul><ul><li> Я думаю, что мы готовы установить каждый аргумент равным друг другу, так как мы можем уменьшить проблему, чтобы иметь одно логарифмическое выражение на каждой стороне уравнения.</li></ul><ul><li> Отбросьте журналы, установите аргументы (вещи в скобках) равными друг другу. Обратите внимание, что это рациональное уравнение.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/www.mathtask.ru/page-0041/ex1-15.png' /><noscript><img src='/800/600/http/www.mathtask.ru/page-0041/ex1-15.png' /></noscript> Один из способов решить эту проблему — получить перекрестный продукт .</li></ul><ul><li> Это выглядит так после получения перекрестного произведения.</li></ul><ul><li> Упростите обе стороны с помощью свойства Distribution. В этот момент мы понимаем, что это просто квадратное уравнение. Тогда ничего страшного. Переместите все в одну сторону, и это заставит одну часть уравнения быть равной нулю.</li></ul><ul><li> Это легко вычислить. Теперь установите каждый фактор равным нулю и найдите x.</li></ul><ul><li> Итак, это наши возможные ответы.</li></ul> Я оставлю вам проверить наши потенциальные ответы обратно в исходное логарифмическое уравнение.Вы должны убедиться, что \color{blue}x=8 — единственное решение, а x =-3 — нет, поскольку оно создает сценарий, в котором мы пытаемся получить логарифм отрицательного числа. Фигово!<hr/> Пример 4: Решите логарифмическое уравнение. Если вы видите «журнал» без явного или письменного основания, предполагается, что оно имеет основание 10.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/fs01.infourok.ru/images/doc/5/5994/img8.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/fs01.infourok.ru/images/doc/5/5994/img8.jpg' /></noscript> Фактически, логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм . Нам нужно сжать обе части уравнения в одно логарифмическое выражение.С левой стороны мы видим разницу в журналах, что означает, что мы применяем правило отношения, в то время как справа требуется правило продукта, потому что они представляют собой сумму журналов. Есть только одна вещь, на которую вы должны обратить внимание с левой стороны. Вы видите этот коэффициент \Large{1 \over 2}\,? Что ж, мы должны представить его в виде показателя степени, используя правило степени в обратном порядке.<ul><li> Поднимите этот коэффициент \large{1 \over 2} как показатель степени (см. крайний левый член)</li></ul><ul><li> Упростить показатель степени (по-прежнему ссылаясь на крайний левый член)</li></ul><ul><li> Затем объедините журналы с обеих сторон уравнения.Используйте Частное правило слева и Правило продукта справа.</li></ul><ul><li> Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, что, поскольку у нас одно и то же основание (если это не указано явно, предполагается, что это основание 10), можно установить их равными друг другу.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/prezentacii.info/wp-content/uploads/2016/07/a0W5Q9YlgdJxiKPw/5.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/prezentacii.info/wp-content/uploads/2016/07/a0W5Q9YlgdJxiKPw/5.jpg' /></noscript></li></ul><ul><li> Удаление логов и просто приравнивание аргументов в скобках.</li></ul><ul><li> На этом этапе вы можете решить рациональное уравнение, выполнив перекрестное произведение. Переместите все члены в одну часть уравнения, а затем вынесите за скобки.</li></ul><ul><li> Приравняйте каждый фактор к нулю и найдите x.</li></ul> Пришло время проверить ваши возможные ответы. Когда вы снова проверите x=0 в исходном логарифмическом уравнении, вы получите выражение, которое включает в себя получение логарифма нуля, который не определен, а это означает – нехорошо! Таким образом, мы должны игнорировать или отбросить \color{red}x=0 в качестве решения. Проверка \Large{x = {3 \over 4}} подтверждает, что \Large{\color{blue}{x = {3 \over 4}}} действительно является единственным решением.<hr/> Пример 5: Решите логарифмическое уравнение. Эта проблема связана с использованием символа \ln вместо \log для обозначения логарифма.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/myslide.ru/documents_3/21eca0ab37749e8123c488c747d7690c/img24.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/myslide.ru/documents_3/21eca0ab37749e8123c488c747d7690c/img24.jpg' /></noscript> Думайте о \ln как о особом виде логарифма, использующего основание e, где e \ приблизительно 2,71828.<ul><li> Использовать правило продукта справа</li></ul><ul><li> Сначала запишите переменную, а затем константу, которая будет готова для метода FOIL.</li></ul><ul><li> Упростите два двучлена, перемножив их вместе.</li></ul><ul><li> В этот момент я просто выделил цветом выражение внутри скобок, чтобы показать, что мы готовы установить их равными друг другу.</li></ul><ul><li> Ага! Здесь мы говорим, что содержимое левой скобки равно содержанию правой скобки.</li></ul> Не забудьте символ \pm .<ul><li> Упрощая далее, мы должны получить эти возможные ответы.</li></ul> Проверьте, являются ли потенциальные ответы, найденные выше, возможными ответами, подставив их обратно в исходные логарифмические уравнения. Вы должны быть уверены, что ЕДИНСТВЕННОЕ правильное решение — это \large{\color{blue}x = {1 \over 2}}, что делает \large{\color{red}x = -{1 \over 2}} посторонним отвечать.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/fs01.infourok.ru/images/doc/88/106047/img18.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/fs01.infourok.ru/images/doc/88/106047/img18.jpg' /></noscript><hr/> Пример 6: Решите логарифмическое уравнение. В этом уравнении есть только одно логарифмическое выражение. Мы рассматриваем это как второй случай, когда у нас есть Преобразуем уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную, а затем решим его.<ul><li> Я выделил цветом части логарифмического уравнения, чтобы показать, куда они идут при преобразовании в экспоненциальную форму.4} = 81.</li></ul> Вы должны убедиться, что значение \color{blue}x=12 действительно является решением логарифмического уравнения.<hr/> Пример 7: Решите логарифмическое уравнение. Соберите все логарифмические выражения в одной части уравнения (оставьте ее слева) и перенесите константу в правую часть. Используйте правило отношения, чтобы выразить разницу журналов в виде дробей в круглых скобках логарифма.<ul><li> Переместите все логарифмические выражения влево от уравнения, а константу вправо.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/900igr.net/up/datas/232681/027.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/900igr.net/up/datas/232681/027.jpg' /></noscript> {\цвет{красный}1}=5.</li></ul><ul><li> Это рациональное уравнение из-за присутствия переменных в числителе и знаменателе.</li></ul> Я бы решил это уравнение, используя правило перекрестного произведения. Но я должен сначала выразить правую часть уравнения с явным знаменателем 1. То есть 5 = {\large{{5 \over 1}}}<ul><li> Выполните перекрестное умножение и затем решите полученное линейное уравнение.</li></ul> Когда вы проверяете x=1 обратно в исходное уравнение, вы должны согласиться с тем, что \large{\color{blue}x=1} является решением логарифмического уравнения.<hr/> Пример 8: Решите логарифмическое уравнение. Эта проблема очень похожа на #7. Соберем все логарифмические выражения слева, сохранив константу справа. Поскольку у нас есть разница в журналах, мы будем использовать правило частного.<ul><li> Переместите выражения журнала влево, а константу оставьте вправо.</li></ul><ul><li> Примените правило отношения, так как они являются разницей журналов.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/0a43/00110dba-6dca3070/img22.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/0a43/00110dba-6dca3070/img22.jpg' /></noscript></li></ul><ul><li> Здесь я использовал разные цвета, чтобы показать, куда они идут после перезаписи в экспоненциальной форме.</li></ul><ul><li> Обратите внимание, что выражение внутри круглых скобок остается на своем текущем местоположении, а \color{red}5 становится показателем степени основания.</li></ul><ul><li> Чтобы решить это рациональное уравнение, примените правило перекрестного произведения.</li></ul><ul><li> Упростите правую часть по распределительному свойству. Похоже, мы имеем дело с квадратным уравнением.</li></ul><ul><li> Переместите все в левую сторону и сделайте правую сторону просто нулевой.</li></ul> Вынесите трехчлен на множители.Установите каждый фактор равным нулю, затем найдите x.<ul><li> Когда вы решаете для x, вы должны получить эти значения x как возможные решения.</li></ul> Убедитесь, что вы проверили возможные ответы исходного логарифмического уравнения. Согласитесь, \color{blue}x=-32 — единственное решение.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds02.infourok.ru/uploads/ex/0414/000065bb-293cb328/2/img7.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds02.infourok.ru/uploads/ex/0414/000065bb-293cb328/2/img7.jpg' /></noscript> Это делает \color{red}x=4 посторонним решением, так что не обращайте на него внимания.<hr/> Пример 9: Решить логарифмическое уравнение Надеюсь, теперь вы уловили основную мысль о том, как подходить к этому типу проблем.Здесь мы видим три логарифмических выражения и константу. Давайте разделим логарифмические выражения и константу на противоположных сторонах уравнения.<ul><li> Давайте сохраним выражения журнала слева, а константу справа.</li></ul><ul><li> Начните с сокращения выражений журнала с помощью правила продукта для обработки суммы журналов.</li></ul><ul><li> Затем еще больше уплотните выражения журнала, используя правило отношения, чтобы учесть разницу в журналах.</li></ul><ul><li> На этом этапе я использовал разные цвета, чтобы показать, что я готов выразить логарифмическое уравнение в его экспоненциальной форме уравнения.</li></ul><ul><li> Сохраните выражение внутри символа группировки ( blue ) в том же месте, сделав константу \color{red}1 справа в качестве показателя степени основания 7.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/080a/00132e61-2466649d/img18.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/080a/00132e61-2466649d/img18.jpg' /></noscript></li></ul><ul><li> Решите это рациональное уравнение с помощью перекрестного произведения. Выразите 7 как \large{7 \over 1}.</li></ul><ul><li> Переместите все члены в левую часть уравнения. Вынеси трехчлен. Затем установите каждый фактор равным нулю и найдите x.</li></ul><ul><li> Это ваши возможные ответы.Всегда проверяйте свои значения.</li></ul> Очевидно, что когда мы снова подставляем x=-8 в исходное уравнение, получается логарифм с отрицательным числом. Поэтому вы исключаете \color{red}x=-8 как часть своего решения. Таким образом, единственным решением является \color{blue}x=11.<hr/> Пример 10: Решите логарифмическое уравнение.<ul><li> Оставьте выражение журнала слева, а все константы переместите справа.</li></ul><ul><li> Думаю, мы готовы преобразовать это логарифмическое уравнение в показательное уравнение.3}=27. Здесь мы имеем простое радикальное уравнение.</li></ul> Просмотрите этот отдельный урок, если вам нужно освежить знания о том, как решать различные типы радикальных уравнений.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds02.infourok.ru/uploads/ex/0473/0005bd4a-4f94ba30/img47.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds02.infourok.ru/uploads/ex/0473/0005bd4a-4f94ba30/img47.jpg' /></noscript><ul><li> Чтобы избавиться от радикала в левой части, возведите в квадрат обе части уравнения.</li></ul><ul><li> После возведения обеих сторон в квадрат получается линейное уравнение. Просто решите это как обычно.</li></ul> Верните свой потенциальный ответ в исходное уравнение. После этого вы должны убедиться, что \color{blue}x=-104 действительно верное решение.<hr/><h4></h4> Практика с рабочими листами </h4><hr/> Вас также может заинтересовать: Конденсированные логарифмы Расширение логарифмов Объяснение логарифмов Правила логарифмирования<h2> Решение логарифмических уравнений – объяснение и примеры </h2> Как вы хорошо знаете, логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень. Логарифм числа обозначается аббревиатурой « log ». Прежде чем мы приступим к решению логарифмических уравнений, давайте сначала ознакомимся со следующими правилами логарифмирования: Правило произведения гласит, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/c2714bdd8a7757413f3bd4c6a77cebff/img24.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/c2714bdd8a7757413f3bd4c6a77cebff/img24.jpg' /></noscript> Первый закон представлен как; ⟹ log b (x) + log b (y) = log b (xy) Разность двух логарифмов x и y равна отношению логарифмов. ⟹ log b (x) – log b (y) = log (x/y) ⟹ log b (x) n = n log b (x) (x) (x) log b x = (log a x) / (log a b) Логарифм любого положительного числа по тому же основанию этого числа всегда равен 1. б 1 =б ⟹ log б (б)=1. Пример:<ul><li> Логарифм числа 1 по любому ненулевому основанию всегда равен нулю. б 0 =1 ⟹ log б 1 = 0.</li></ul><h3> Как решать логарифмические уравнения? </h3> Уравнение, содержащее переменные в показателях, называется показательным уравнением. Напротив, уравнение, включающее логарифм выражения, содержащего переменную, называется логарифмическим уравнением. Цель решения логарифмического уравнения — найти значение неизвестной переменной.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/fs00.infourok.ru/images/doc/233/86330/2/img10.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/fs00.infourok.ru/images/doc/233/86330/2/img10.jpg' /></noscript> В этой статье мы узнаем, как решать два основных типа логарифмических уравнений, а именно: <ol><li> Уравнения, содержащие логарифмы на одной стороне уравнения.</li><li> Уравнения с логарифмами по разные стороны от знака равенства.</li></ol><h4> Как решать уравнения с логарифмами на одной стороне? </h4> Уравнения с логарифмами с одной стороны принимают log b M = n ⇒ M = b n . Чтобы решить этот тип уравнений, выполните следующие шаги: <ul><li> Упростите логарифмические уравнения, применив соответствующие законы логарифмирования.</li><li> Перепишите логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме.</li><li> Теперь упростите показатель степени и найдите переменную.</li><li> Проверьте свой ответ, подставив его обратно в логарифмическое уравнение. Следует отметить, что приемлемый ответ логарифмического уравнения дает только положительный аргумент.</li></ul> </ul> Пример 1 RELOVE LOG 2 (5x + 7) = 5 Решение Rewrite Уравнение к экспоненциальной форме Logs 2 (5x + 7) = 5 ⇒ 2 5 = 5x + 7 ⇒ 7 ⇒ 32 = 5x + 7 ⇒ 5x = 32 — 7 5x = 25 Разделите обе стороны на 5, чтобы получить x = 5 Пример 2 Найдите x в log (5x -11) = 2 Решение Поскольку основание этого уравнения не задано, мы принимаем основание 10.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds05.infourok.ru/uploads/ex/07ce/0009df55-86119ac9/img19.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds05.infourok.ru/uploads/ex/07ce/0009df55-86119ac9/img19.jpg' /></noscript> Теперь измените запись логарифма в экспоненциальной форме. ⇒ 10 2 = 5x – 11 ⇒ 100 = 5x -11 111= 5x 111/5 = x Следовательно, x = 11 Пример 3 RELOVE 10 (2x + 1) = 3 Решение Rewrite Уравнение в экспоненциальной форме Log 10 (2x + 1) = 3n⇒ 2x + 1 = 10 3 ⇒ 2x + 1 = 1000 2x = 999 Разделив обе части на 2, получим; х = 499.5 Проверьте свой ответ, подставив его в исходное логарифмическое уравнение; ⇒ log 10 (2 x 499.5 + 1) = log 10 (1000) = 3 с 10 3 = 1000 Пример 4 Оценить LN (4x -1) = 3 Решение Перепишите уравнение в экспоненциальной форме как; ln (4x -1) = 3 ⇒ 4x – 3 = e 3 Но, как известно, e = 2,718281828 4x – 3 = (2.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/751958/slide_13.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/751958/slide_13.jpg' /></noscript> 718281828) 3 = 20.085537 x = 5.271384 0 Пример 5 Решина логарифмического уравнения 10586 2 (x +1) — log 2 (x — 4) = 3 Решение Сначала упростите логарифмы, применив правило отношения, как показано ниже. log 2 (x +1) – log 2 (x – 4) = 3 ⇒ log 2 [(x + 1)/ (x – 4)] = 3 Теперь перепишем уравнение в экспоненциальной форме ⇒ 2 3 = [(x + 1)/ (x – 4)] ⇒ 8 = [(x + 1)/ (x – 4)] Перемножить уравнение ⇒ [(x + 1) = 8(x – 4)] ⇒ x + 1 = 8x -32 7x = 33 …… (собирая подобные члены) x = 33/7 Пример 6 Найдите x, если log 4 (x) + log 4 (x -12) = 3 Решение Упростите логарифм, используя правило произведения; log 4 (x) + log 4 (x -12) = 3 ⇒ log 4 [(x) (x – 12)] = 3 ⇒ log 4 (4 0 (4 ) – 12x) = 3 Преобразуйте уравнение в экспоненциальную форму.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/cloud.prezentacii.org/19/03/137328/images/screen17.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/cloud.prezentacii.org/19/03/137328/images/screen17.jpg' /></noscript> ⇒ 4 3 = х 2 – 12 х ⇒ 64 = х 2 – 12 х Так как это квадратное уравнение, мы поэтому решаем его факторизацией. x 2 -12x – 64 ⇒ (x + 4) (x – 16) = 0 x = -4 или 16 При подстановке x = -4 в исходное уравнение получаем отрицательный ответ что воображаемое. Поэтому 16 — единственное приемлемое решение.<h4> Как решать уравнения с логарифмами в обеих частях уравнения? </h4> Уравнения с логарифмами по обе стороны от знака равенства принимают log M = log N, что совпадает с M = N. Процедура решения уравнений с логарифмами по обе стороны от знака равенства.<ul><li> Если логарифмы имеют общее основание, упростите задачу и перепишите ее без логарифмов.</li><li> Упростите, собрав одинаковые члены, и найдите переменную в уравнении.</li><li> Проверьте свой ответ, подставив его обратно в исходное уравнение. Помните, что приемлемый ответ приведет к положительному аргументу.</li></ul> <li> Пример 7 RELOVE LOG 6 (2x — 4) + log 6 ( 4) = log 6 (40) Раствор Первый, упростите логарифмы.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents/8c12af85be10759189575d60bfe966cd/img7.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents/8c12af85be10759189575d60bfe966cd/img7.jpg' /></noscript> логарифм 6 (2x – 4) + логарифм 6 (4) = логарифм 6 (40) ⇒ логарифм 6 [4(2x – 4)] = логарифм 6 (40) Теперь бросьте логарифмы ⇒ [4 (2 раза — 4)] = (40) ⇒ 8x — 16 = 40 ⇒ 8x = 40 + 16 8x = 56 x = 7 Пример 8 Решите логарифмическое уравнение: log 7 (x – 2) + log 7 (x + 3) = log 7 14 Упростите уравнение, применив правило pl223 9000 . Log 7 [(x – 2) (x + 3)] = log 7 14 Отбросить логарифмы. ⇒ [(x – 2) (x + 3)] = 14 Раздайте ФОЛЬГА, чтобы получить; ⇒ х 2 – х – 6 = 14 ⇒ х 2 – х – 20 = 0 ⇒ (х + 4) (х – 5) = 0 х = -4 5, когда x = -5 и x = 5 подставляются в исходное уравнение, они дают отрицательный и положительный аргумент соответственно. Следовательно, x = 5 является единственным приемлемым решением.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1083342/slide_9.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1083342/slide_9.jpg' /></noscript> Пример 9 решайте журнал 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (2x + 6) Раствор с учетом уравнения; log 3 (x 2 + 3x) = log 3 (2x + 6), отбросьте логарифмы, чтобы получить; ⇒ x 2 + 3x = 2x + 6 ⇒ x 2 + 3x – 2x – 6 = 0 x 2 + x – 6 = 0……………… (Квадратное уравнение) 900 получить квадратное уравнение; (x – 2) (x + 3) = 0 x = 2 и x = -3 Проверив оба значения x, мы получаем, что x = 2 является правильным ответом. Пример 10 решают 10586 5 (30x — 10) — 2 = log 5 (x + 6) Решение log 5 (30x — 10) — 2 = log 5 (x + 6) Это уравнение можно переписать как; ⇒ log 5 (30x – 10) – log 5 (x + 6) = 2 Упростить логарифмы log 5 [30x – 1] Переписать логарифм в экспоненциальной форме.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/fsd.videouroki.net/html/2014/03/25/98678838/img25.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/fsd.videouroki.net/html/2014/03/25/98678838/img25.jpg' /></noscript> ⇒ 5 2 = [(30x – 10)/ (x + 6)] ⇒ 25 = [(30x – 10)/ (x + 6)] При перекрестном умножении получаем; ⇒ 30x — 10 = 25 (x + 6) ⇒ 30x — 10 = 25x + 150 ⇒ 30x — 25x = 150 + 10 ⇒ 5x = 160 x = 32<h2> Решение журнала Уравнения с Экспоненты </h2><h3> Пурпурная математика </h3> Второй тип логарифмического уравнения требует использования Отношения: —Отношения— у = б х ………..эквивалентно………… (означает то же самое, что и) логарифм б ( у ) = х В анимированной форме два уравнения связаны, как показано ниже:<h3> Справка по математике.</h3><img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/fsd.videouroki.net/html/2014/03/25/98678838/img7.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/fsd.videouroki.net/html/2014/03/25/98678838/img7.jpg' /></noscript> ком</h3> Обратите внимание, что основание как в экспоненциальной форме уравнения, так и в логарифмической форме уравнения равно «b», но x и y меняются сторонами при переключении между двумя уравнениями.Если вы помните, что независимо от того, что было аргументом журнала, оно становится «равным», а любое , если было «равным», становится показателем экспоненты в экспоненте, и наоборот, — тогда у вас не должно быть слишком много проблемы с решением логарифмических уравнений.<hr/> Поскольку это уравнение имеет форму «логарифм (чего-то) равен числу», а не «логарифм (чего-то) равен журналу (чего-то еще)», я могу решить уравнение, используя отношение: журнал 2 ( x ) = 4 2 4 = х 16 = х <hr/> Я могу решить эту проблему, преобразовав логарифмическое выражение в его эквивалентную экспоненциальную форму, используя Отношение: Но 8 = 2 3 , поэтому я могу приравнять степени двойки:<hr/> Обратите внимание, что это также можно решить, работая непосредственно с определением логарифма.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/0292/0013ffc1-bc1b617d/img8.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/0292/0013ffc1-bc1b617d/img8.jpg' /></noscript> Какая мощность при значении «2» даст вам 8? Мощность 3, конечно! Если вы хотите много работать, вы также можете сделать это в своем калькуляторе, используя формулу изменения базы: Вставьте это в свой калькулятор, и вы получите «3» в качестве ответа. Хотя этот метод смены базы не особенно полезен в данном случае, вы можете видеть, что он работает. (Попробуйте это на своем калькуляторе, если вы еще этого не сделали, чтобы убедиться, что вы знаете, какие клавиши нажимать и в каком порядке.) Эта техника понадобится вам в последующих задачах. Я не говорю, что вы обязательно хотите, чтобы решала уравнения, используя формулу замены базы, или всегда используя определение бревен, или любой другой конкретный метод. Но я предлагаю вам убедиться, что вы знакомы с различными методами, и что вы не должны паниковать, если вы и ваш друг использовали всего разных методов для решения одного и того же уравнения.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/06c9/000f0e70-d05f99d0/img9.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/06c9/000f0e70-d05f99d0/img9.jpg' /></noscript><hr/><ul><li><h5> Лог решения </h5> 2 ( x ) + log 2 ( x – 2) = 3</h5></li></ul> Я пока ничего не могу сделать с этим уравнением, потому что у меня еще нет его в форме «логарифм (чего-то) равен числу». Поэтому мне нужно использовать правила журнала, чтобы объединить два члена в левой части уравнения:. логарифм 2 ( x ) + логарифм 2 ( x – 2) = 3 log 2 [( x )( x – 2)] = 3 журнал 2 ( x 2 – 2 x ) = 3 Теперь уравнение удобно организовано.В этот момент я могу использовать The Relationship для преобразования логарифмической формы уравнения в соответствующую экспоненциальную форму, а затем я могу решить результат: журнал 2 ( x 2 – 2 x ) = 3 2 3 = х 2 – 2 х 8 = х 2 – 2 х 0 = х 2 – 2 х – 8 0 = ( х – 4)( х + 2) х = 4, –2 Но если x = –2, то «log 2 ( x )» из исходного логарифмического уравнения будет иметь отрицательный аргумент в качестве аргумента (как и термин «log 2 ( x – 2)»).<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/bigslide.ru/images/34/33959/960/img16.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/bigslide.ru/images/34/33959/960/img16.jpg' /></noscript> Поскольку журналы не могут иметь нулевые или отрицательные аргументы, решение исходного уравнения не может быть 90 580 x 90 581 = –2. Тогда мое решение:<hr/> Имейте в виду, что вы всегда можете проверить свои ответы на любое «решающее» упражнение, подставив эти ответы обратно в исходное уравнение и проверив, что решение «работает». В этом случае я подставлю значение своего решения в любую часть исходного уравнения и проверю, что каждая сторона дает одно и то же число:. левая сторона: бревно 2 ( x ) + бревно 2 ( x – 2) = логарифм 2 (4) + логарифм 2 (4 – 2)3 = журнал 2 (4) + журнал 2 (2) = журнал 2 (2 2 ) + журнал 2 (2 1 ) = 2 + 1 = 3 Правая часть исходного уравнения уже была упрощена до «3», так что это решение соответствует действительности.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/719042/slide_4.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/719042/slide_4.jpg' /></noscript><hr/> Это уравнение может показаться слишком сложным, но это просто еще одно логарифмическое уравнение. Чтобы решить эту проблему, мне нужно дважды применить Отношения. Я начинаю с исходного уравнения и работаю с «внешним» журналом:. Связь преобразует вышеуказанное в: Теперь я применю Отношения во второй раз: Тогда решение:<hr/><ul><li><h5> Журнал решения </h5> 2 ( x 2 ) = (log 2 ( x )) 2 </h5></li></ul> Во-первых, я расширю квадрат в правой части, чтобы он был явным произведением двух журналов: log 2 ( x 2 ) = [log 2 ( x )] 2 log 2 ( x 2 ) = [log 2 ( x )] [log 2 ( x )] Затем я применю правило логарифма, чтобы переместить «квадрат» из бревна в левую часть уравнения, вынеся его перед этим бревном в качестве множителя: 2·log 2 ( x ) = [log 2 ( x )] [log 2 ( x )] Затем я перенесу этот член из левой части уравнения в правую: 0 = [log 2 ( x )] [log 2 ( x )] – 2·log 2 ( x ) Это уравнение может выглядеть плохо, но присмотритесь внимательно.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/097b/000e26c2-376f49bf/img9.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/097b/000e26c2-376f49bf/img9.jpg' /></noscript> На данный момент это не более чем упражнение по факторингу. Итак, я сопоставлю, а затем решу факторы с помощью Отношения:. 0 = [log 2 ( x )] [log 2 ( x ) – 2] log 2 ( x ) = 0 или log 2 ( x ) – 2 = 0 2 0 = x или log 2 ( x ) = 2 1 = х или 2 2 = х 1 = х или 4 = х Тогда мое решение:<hr/> Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении логарифмических уравнений (или пропустить виджет и продолжить урок).Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/719042/slide_10.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/719042/slide_10.jpg' /></noscript> (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.) <hr/><hr/> URL-адрес: https://www.purplemath.com/modules/solvelog2.htm<h2> РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ </h2> РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1.Чтобы решить логарифмическое уравнение, перепишите уравнение в экспоненциальной форме и найдите переменную. Пример 1: Найдите x в уравнении Ln ( x )=8. Решение: <dl compact="compact"><dt> </dt><dd> Шаг 1: Пусть обе части являются показателями основания e. Уравнение Ln ( x )=8 можно переписать.</dd><dt> </dt><dd> Шаг 2: К настоящему моменту вы должны знать, что когда основание экспоненты и основание логарифма совпадают, левая часть может быть записана как x.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds03.infourok.ru/uploads/ex/03b3/00045cfa-48487e62/img8.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds03.infourok.ru/uploads/ex/03b3/00045cfa-48487e62/img8.jpg' /></noscript> Уравнение теперь можно записать .</dd><dt> </dt><dd> Шаг 3: Точный ответ: и примерный ответ</dd></dl> Проверка: Вы можете проверить свой ответ двумя способами. Вы можете построить график функции Ln ( x )-8 и посмотреть, где она пересекает ось x. Если вы правы, график должен пересечь ось X в ответе, который вы получили алгебраически. Вы также можете проверить свой ответ, подставив значение x в начальный уравнения и определить, равна ли левая часть правой части.За например, если Ln (2980,95798704)=8, вы правы. Так и есть, и вы правы. Пример 2: Найдите x в уравнении 7 Log (3 x )=15. Решение: <dl compact="compact"><dt> </dt><dd> Шаг 1: Изолируйте логарифмический член перед преобразованием логарифмического уравнения в показательное уравнение. Разделите обе части исходного уравнения на 7:</dd><dt> </dt><dd> Шаг 2: Преобразование логарифмического уравнения в показательное уравнение: если основание не указано, это означает, что основание логарифма равно 10.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/fs01.infourok.ru/images/doc/3/2652/img7.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/fs01.infourok.ru/images/doc/3/2652/img7.jpg' /></noscript> Напомним также, что логарифмы являются показателями степени, поэтому показатель степени равен . Уравнение теперь можно написать</dd><dt> </dt><dd> Шаг 3: Разделите обе части приведенного выше уравнения на 3: точный ответ и приблизительный ответ. </dd></dl> Проверить: Вы можете проверить свой ответ двумя способами: построить график функции или подставив значение x в исходное уравнение.Если вы выберете график, точка пересечения по оси x должна совпадать с ответом, который вы полученный ( ). Если вы выберете замену, значение левой части оригинала уравнение должно равняться значению правой части уравнения после того, как вы рассчитали значение каждой стороны на основе вашего ответа для x. Пример 3: Найдите x в уравнении Решение: <dl compact="compact"><dt> </dt><dd> Шаг 1: Обратите внимание, что первый член Ln ( x -3) действителен только тогда, когда x >3; термин Ln ( x -2) действителен только тогда, когда x >2; а терм Ln (2 x +24) действителен только тогда, когда x >-12.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/097b/000e26c2-376f49bf/img1.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/097b/000e26c2-376f49bf/img1.jpg' /></noscript> Если мы потребуем, чтобы x был любым действительным числом, большим 3, все три термина будут действительными. Если все три условия верны, то уравнение верно.</dd><dt> </dt><dd> Шаг 2: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: По свойствам логарифмов мы знаем, что</dd><dt> </dt><dd> Шаг 3: Теперь можно написать уравнение</dd><dt> </dt><dd> Шаг 4: Пусть каждая часть приведенного выше уравнения является показателем степени основания e:</dd><dt> </dt><dd> Шаг 5: Упростите приведенное выше уравнение: Другой способ взглянуть на уравнение шага 3 — понять, что если Ln ( a ) = Ln ( b ), тогда a должно равняться b.В случае этой проблемы, то</dd><dt> </dt><dd> Шаг 6: Упростите левую часть приведенного выше уравнения:</dd><dt> </dt><dd> Шаг 7: Вычтите 2x + 24 с каждой стороны:</dd><dt> </dt><dd> Шаг 8: Фактор левой части приведенного выше уравнения:</dd><dt> </dt><dd> Шаг 9: Если произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds02.infourok.ru/uploads/ex/101f/0008266e-b8eea953/img53.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds02.infourok.ru/uploads/ex/101f/0008266e-b8eea953/img53.jpg' /></noscript> Если . Если . x = 9 — наше единственное решение. Почему 9 единственное решение? Мы определили нашу область определения как все действительные числа больше 3.</dd></dl> Проверка: Вы можете проверить свой ответ, построив график функции и определить, равен ли x-перехват также 9. Если это так, вы правильно отработали задачу. Вы также можете проверить свой ответ, подставив 9 вместо x слева и правые части исходного уравнения. Если после замены осталось часть уравнения имеет то же значение, что и правая часть уравнения, вы правильно проработали задачу. Если вы хотите просмотреть другой пример, нажмите «Пример». Решите следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и решение, нажмите Ответ. Задача 1: Найдите x в уравнении Ответ Задача 2: Найдите x в уравнении Ответ Задача 3: Найдите x в уравнении Ответ Задача 4: Найдите x в уравнении Ответ Задача 5: Найдите x в уравнении Ответ Задача 6: Найдите x в уравнении Ответить [Вернуться к Правилам логарифмов] [Назад к экспоненциальным функциям] [Алгебра] [Тригонометрия] [Сложный Переменные]С.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/080a/00132e61-2466649d/img24.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/080a/00132e61-2466649d/img24.jpg' /></noscript> Домашняя страница OS MATHematics Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard. <address> Автор: Нэнси Маркус </address> Copyright 1999-2022 MathMedics, LLC. Все права защищены. Свяжитесь с нами Математика Медикс, ООО. — П.О. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас 79913 — США пользователей онлайн за последний час<h2> Как решать логарифмические уравнения </h2><h3> Решение логарифмических уравнений </h3><h3> Правила или законы логарифмов: </h3> Как вы знаете, логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень.Это выражается с помощью аббревиатуры «журнал». Прежде чем приступить к решению логарифмических уравнений, есть несколько стратегий и «правил», с которыми мы должны сначала ознакомиться. Во-первых, чтобы решать логарифмические уравнения, как и в случае с многочленами, вам должно быть удобно строить графики логарифмических функций. Посмотрите наше видео о построении графиков логарифмических функций для общего обзора, если это необходимо.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/shareslide.ru/img/thumbs/e7c89e1323debb835fa2ac07db9e33ea-800x.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/shareslide.ru/img/thumbs/e7c89e1323debb835fa2ac07db9e33ea-800x.jpg' /></noscript> Кроме того, прежде чем мы перейдем к правилам логарифмирования, важно, чтобы вы также поняли одну из самых простых стратегий логарифмирования — изменение базовой формулы.Опять же, посмотрите наше видео об изменении базовой формулы, если вам нужно освежить в памяти. Теперь, когда вы все это освоили, давайте взглянем на некоторые из наиболее важных правил логарифмирования: 1) Правило логарифмического произведения Обычно правило произведения логарифмов определяется: log⁡A+log⁡B=log⁡(A×B)\log A + \log B = \log (A \times B)logA+logB=log(A×B) То есть при сложении двух логов по одному и тому же основанию можно переписать выражение как единый лог путем перемножения членов внутри логарифмического выражения. 2) Правило логарифмического отношения Как правило, правило частных логарифмов определяется: log⁡A−log⁡B=log⁡(AB)\log A — \log B = \log (\frac{A}{B})logA-logB=log(BA) То есть при вычитании двух логов из одного и того же основания можно переписать выражение как единый лог, разделив члены внутри логарифмического выражения.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/myslide.ru/documents_3/21eca0ab37749e8123c488c747d7690c/img27.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/myslide.ru/documents_3/21eca0ab37749e8123c488c747d7690c/img27.jpg' /></noscript> {B} = B \times \log Alog(A)B=B×logA То есть, когда в логарифмическом выражении есть показатель степени члена, вы можете уменьшить этот показатель и умножить его на логарифм.{\log_{A} (B)} = BAlogA(B)=B То есть возведение логарифма числа по его основанию равно этому числу. 6) Правило идентификации журнала В целом правило идентичности логарифмов определяется: log⁡AA=1\log_{A} A = 1logAA=1 То есть при взятии логарифма чего-то в основу того же самого логарифмическое выражение просто равно как раз 1. 7) Специальные бревна Хотя это и не обязательно правила, есть несколько журналов, которые вы должны знать наизусть, чтобы немного упростить задачу.Они: лог⁡1=0\лог 1 = 0log1=0 log⁡0=не определено\log 0 = не определеноlog0=не определено Оба эти случая всегда верны, независимо от базы. Кроме того, в случае возникновения первого особого случая иногда его называют правилом логарифмического нуля. Все эти правила, взятые вместе, представляют собой чрезвычайно мощные инструменты, которые мы можем использовать для решения любой логарифмической задачи.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/604055/slide_8.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/604055/slide_8.jpg' /></noscript> Чтобы просмотреть видеообзор этих концепций, посмотрите наши видеоролики о свойствах логарифмов и правиле частных для логарифмов.Теперь, когда мы рассмотрели основы, давайте перейдем к решению проблем с журналами!<h3> Как решить проблемы с журналом: </h3> Как и во всем, что касается математики, лучший способ научиться решать задачи на логарифм — это решить несколько практических задач! Мы будем использовать правила, которые мы только что обсудили, для решения некоторых примеров. Пример 1: Решить логарифмическое уравнение: log⁡(3−x)+log⁡(4−3x)−log⁡(x)=log⁡7\log (3 — x) + \log (4 — 3x) — \log (x) = \log 7log (3−x)+log(4−3x)−log(x)=log7 Шаг 1. Используйте известные правила журнала В любой задаче, связанной с решением логарифмических уравнений, первый шаг — всегда пытаться упростить, используя правила логарифмирования.{2} — 20x + 12 = 03×2−20x+12=0 (3x−2)(x−6)=0(3x-2)(x-6) = 0(3x−2)(x−6)=0 3x−2=0orx−6=03x — 2 = 0 или x — 6 = 03x−2=0orx−6=0 x=23orx=6x = \frac{2}{3} или x = 6x=32orx=6 Шаг 3.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/f38ff7fdbca05f15f746b0fc6d6a0dd7/img11.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/mypresentation.ru/documents_6/f38ff7fdbca05f15f746b0fc6d6a0dd7/img11.jpg' /></noscript> Проверка решений Поскольку изначально у нас было логарифмическое уравнение, нам нужно проверить наши ответы, чтобы убедиться, что они верны. log⁡(3−23)+log⁡(4−3(23))−log⁡(23)=log⁡7\log (3 — \frac{2}{3}) + \log (4 — 3( \frac{2}{3})) — \log (\frac{2}{3}) = \log 7log(3−32)+log(4−3(32))−log(32) =log7 Решение x=23x = \frac{2}{3}x=32 верно. log⁡(3−6)+log⁡(4−3(6))−log⁡(6)=log⁡7\log (3 — 6) + \ log (4 — 3(6)) — \ log ( 6) = \log 7log(3−6)+log(4−3(6))−log(6)=log7 Решение x=6x = 6x=6 отклонено, поскольку логарифм отрицательного числа не определен. Пример 2: Шаг 1. Используйте известные правила журнала В этом случае мы будем использовать правила записи мощности и частного. Мы делаем это, чтобы попытаться составить полиномиальное/алгебраическое уравнение, которое будет легче решить. Это показано ниже: 2log⁡3(x+4)−log⁡3(−x)=22\log_{3} (x + 4) — \log_{3} (-x) = 22log3(x+4)−log3( −х)=2 log⁡3(x+4)2−log⁡3(−x)=2\log_{3} (x + 4)^{2} — \log_{3} (-x) = 2log3(x+4 )2−log3(−x)=2 log⁡3(x2+8x+16−x)=2\log_{3} (\frac{x^{2} + 8x + 16}{-x}) = 2log3(-xx2+8x+16) =2 Шаг 2: Упрощение Мы можем преобразовать в экспоненциальную форму, потому что на одной стороне есть логарифм, а на другой нет.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/0ca8/0007fbe7-8c54dd89/img11.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ds04.infourok.ru/uploads/ex/0ca8/0007fbe7-8c54dd89/img11.jpg' /></noscript> {2} + 17x + 16 = 0x2+17x+16=0 (х+16)(х+1)=0(х+16)(х+1) = 0(х+16)(х+1)=0 x=-16orx=-1x = -16 или x = -1x=-16orx=-1 Шаг 4. Проверка решений Поскольку изначально у нас было логарифмическое уравнение, нам нужно проверить наши ответы, чтобы убедиться, что они верны. 2log⁡3((−16)+4)−log⁡3(−(−16))=22\log_{3} ((-16) + 4) — \log_{3} (-(-16)) = 22log3((−16)+4)−log3(−(−16))=2 Решение x = -16 отклонено. 2log⁡3((−1)+4)−log⁡3(−(−1))=22\log_{3} ((-1) + 4) — \log_{3} (-(-1)) = 22log3((−1)+4)−log3(−(−1))=2 Решение x = -1 верное. Пример 3: Шаг 1: Упрощение Умножьте обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби. log⁡2x=2+12log⁡2(x−3)\log_{2} x = 2 + \frac{1}{2} \log_{2} (x — 3)log2x=2+21log2 (х−3) 2log⁡2x=4+log⁡2(x−3)2\log_{2} x = 4 + \log_{2} (x — 3)2log2x=4+log2(x−3) Шаг 2. Используйте известные правила журнала В этом случае мы будем использовать силу логарифмических правил и частных логарифмических правил.<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/306068/slide_13.jpg' /><noscript><img src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/306068/slide_13.jpg' /></noscript> Затем мы можем упростить, как в предыдущем примере, чтобы получить экспоненциальную форму.{2} — 16x + 48 = 0x2−16x+48=0 (х-4)(х-12)=0(х-4)(х-12) = 0(х-4)(х-12)=0 х=4илих=12х=4 или х=12х=4илих=12 Шаг 4. Проверка решений Поскольку изначально у нас было логарифмическое уравнение, нам нужно проверить наши ответы, чтобы убедиться, что они верны. log⁡24=2+12log⁡2(4−3)\log_{2} 4 = 2 + \frac{1}{2} \log_{2} (4 — 3)log24=2+21log2 (4−3) Решение x = 4 проверено. log⁡212=2+12log⁡2(12−3)\log_{2} 12 = 2 + \frac{1}{2} \log_{2} (12 — 3)log212=2+21log2 (12−3) То же самое и с x=12.{-2}x=10−2 неверно. И это тоже все! Чтобы проверить свою работу с будущими практическими задачами, обязательно используйте этот отличный калькулятор здесь. Наконец, для видеообзора всего, что мы только что рассмотрели, посмотрите наше видео о том, как решать уравнения журнала. .<img class="lazy lazy-hidden" src="//xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/https/ru-static.z-dn.net/files/da3/138aa9a32d19c3156d4d62fb6a3df106.jpg' /><noscript><img src='/800/600/https/ru-static.z-dn.net/files/da3/138aa9a32d19c3156d4d62fb6a3df106.jpg' /></noscript></div><div class="entry-footer"><div class="cat-links">Рубрика<a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/raznoe-2">Разное</a></div></div></div><div class="single-footer"><div id="comments" class="comments-template"><div id="respond" class="comment-respond"><h3 id="reply-title" class="comment-reply-title">Добавить комментарий <a rel="nofollow" id="cancel-comment-reply-link" href="/raznoe-2/primery-reshenie-uravnenij-s-logarifmami-logarifmicheskie-uravneniya-primery-reshenij.html#respond" style="display:none;">Отменить ответ</a></h3><form action="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-comments-post.php" method="post" id="commentform" class="comment-form">Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *<label for="comment">Комментарий *</label><textarea id="comment" name="comment" cols="45" rows="8" maxlength="65525" required="required"></textarea><label for="author">Имя *</label> <input id="author" name="author" type="text" value="" size="30" maxlength="245" autocomplete="name" required="required" /><label for="email">Email *</label> <input id="email" name="email" type="text" value="" size="30" maxlength="100" aria-describedby="email-notes" autocomplete="email" required="required" /><label for="url">Сайт</label> <input id="url" name="url" type="text" value="" size="30" maxlength="200" autocomplete="url" /><input name="submit" type="submit" id="submit" class="submit" value="Отправить комментарий" /> <input type='hidden' name='comment_post_ID' value='26012' id='comment_post_ID' /> <input type='hidden' name='comment_parent' id='comment_parent' value='0' /></form></div></div></div></div></article><aside id="sidebar" class="col-md-3"><div id="search-2" class="widget widget_search"><form role="search" method="get" id="searchform" class="searchform" action="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/"><div> <label class="screen-reader-text" for="s">Найти:</label> <input type="text" value="" name="s" id="s" /> <input type="submit" id="searchsubmit" value="Поиск" /></div></form></div><div id="categories-2" class="widget widget_categories"><div class="widget-title"><h3>Рубрики</h3></div><ul><li class="cat-item cat-item-15"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/biosfera-2">Биосфера</a></li><li class="cat-item cat-item-8"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/poteplenie">Глобальное потепление</a></li><li class="cat-item cat-item-7"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/biosfera">Защита биосферы</a></li><li class="cat-item cat-item-11"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/klimat-2">Климат</a></li><li class="cat-item cat-item-4"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/klimat">Климатические пояса</a></li><li class="cat-item cat-item-5"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/okean">Обитатели океанов</a></li><li class="cat-item cat-item-14"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/okean-2">Океан</a></li><li class="cat-item cat-item-2"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/raznoe">Полезно знать</a></li><li class="cat-item cat-item-16"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/poteplenie-2">Потепление</a></li><li class="cat-item cat-item-12"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/priroda-2">Природа</a></li><li class="cat-item cat-item-10"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/raznoe-2">Разное</a></li><li class="cat-item cat-item-3"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/priroda">Человек и природа</a></li><li class="cat-item cat-item-13"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/ekologiya-2">Экология</a></li><li class="cat-item cat-item-6"><a href="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/category/ekologiya">Экология России</a></li></ul></div></aside></div></div></div><footer id="colophon" class="footer-credits container-fluid"><div class="container">2019 © Все права защищены. <a href="/sitemap.xml">Карта сайта</a></div></footer> <noscript><style>.lazyload{display:none}</style></noscript><script data-noptimize="1">window.lazySizesConfig=window.lazySizesConfig||{};window.lazySizesConfig.loadMode=1;</script><script async data-noptimize="1" src='https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/plugins/autoptimize/classes/external/js/lazysizes.min.js'></script> <script defer src="https://xn--b1adcclonnbcbgxhh1f1e.xn--p1ai/wp-content/cache/autoptimize/js/autoptimize_70dbcfad20691e76f5c392a3625b0aab.js"></script></body></html><script src="/cdn-cgi/scripts/7d0fa10a/cloudflare-static/rocket-loader.min.js" data-cf-settings="cbfb638ffa56b9c6ce879e88-|49" defer></script>