Примеры по алгебре с дискриминантом: Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой  D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b² — 4ac,

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x² — 4x + 2 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 3,  b = -4,  c = 2.

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,

D < 0.

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x² — 6x + 9 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -6,  c = 9.

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-6)² — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,

D = 0.

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ:  3.

Пример 3.

x² — 4x — 5 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -4,  c = -5

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,

D > 0.

Уравнение имеет два корня:

x₁ = (4 + 6) : 2 = 5,

x₂ = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ:  5,  -1.

Как найти Дискриминант? 🤔 Формулы, Примеры решений.

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.

Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Есть три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы ваш ребенок легко справиться с будущими экзаменами, запишите его на курс подготовки к ОГЭ или ЕГЭ по математике в Skysmart. На занятиях с личным преподавателем он потренируется решать пробные варианты экзамена на время, увидит свои сильные и слабые стороны, разберется в каждой сложной теме и выработает тактику поведения на экзамене, чтобы добиться отличных результатов без стресса.

Записывайтесь на бесплатный пробный урок математики: познакомим с платформой, наметим программу обучения и вдохновим ребенка.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения

— это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:

В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

• как найти дискрининант: D = b² − 4ac;
• если дискриминант отрицательный — зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю — вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b²/2a;
• если дискриминант положительный — найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней
  

А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x² — 4x + 2 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.


2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-4)² — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D < 0, корней нет.

Пример 2. Решить уравнение: x² — 6x + 9 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.


2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-6)² — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.


3. D = 0, значит уравнение имеет один корень:
   

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x² — 4x — 5 = 0.

Как решаем:

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.


2. Найдем дискриминант: D = b² — 4ac = (-4)² — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.


3. D > 0, значит уравнение имеет два корня:

    

x₁ = (4 + 6) : 2 = 5,

x₂ = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ: два корня x₁ = 5, x₂ = -1.

Не желаешь повторить формулы сокращенного умножения?

Урок 29. решение задач с помощью квадратных уравнений — Алгебра — 8 класс

Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Задача №1.
Иван Иванович приехал в магазин покупать изгородь для своего дачного участка, имеющего прямоугольную форму, но забыл его размеры. Какой длины изгородь надо купить Ивану Ивановичу, если единственное, что он помнит, это площадь участка – 750 м

2, и то, что длина участка на 5 метров больше ширины?
Пусть ширина участка будет х. Чаще всего удобнее брать за х меньшую из неизвестных величин. Тогда длина участка составит х + 5.
Площадь прямоугольника S = х • (x + 5)
x • (x + 5) = 750,
x² + 5x — 750 = 0.
Найдем дискриминант этого уравнения и его корни.
a = 1, b = 5, c = -750
D = b² — 4ac
D = 5² — 4 • 1 • (-750) = 25 + 3000 = 3025 = 55²
x_1,2 = (-5 ± √3025)/(2 • 1),

x₁ = (-5 — 55)/2 или x₂ = (-5 + 55)/2.
x₁ = -30 или x₂ = 25
Первый из найденных корней является посторонним по смыслу задачи, значит, ширина участка будет равна 25 м. Следовательно, длина окажется равной 25 + 5 = 30 м.
Теперь Иван Иванович может рассчитать периметр своего участка.
P = 2 • (25 + 30) = 110 м
Необходимо купить 110 м изгороди.
Задача №2.
Известно, что в прямоугольном треугольнике один из катетов на 4 сантиметра меньше гипотенузы, а другой – на 2 сантиметра меньше гипотенузы. Найдем длину гипотенузы.

Пусть гипотенуза треугольника будет равна х см. Тогда бОльший катет будет равен

х – 2 см, а меньший х – 4 см.
По теореме Пифагора
x² = (x — 2)² + (x — 4)²
Упростим полученное уравнение, используя формулу квадрат разности.
x² = x² — 4x + 4 + x² — 8x + 16
x² = 2x² — 12x + 20
x² — 12x + 20 = 0
Решив полученное квадратное уравнение, найдем два корня.
x₁ = 2, x₂ = 10
2 является посторонним корнем по смыслу задачи, т. к. в этом случае один из катетов получится равным 0, а второй будет отрицательным. Значит, гипотенуза треугольника равна 10 см, а его катеты 8 см и 6 см.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Урок 3. квадратные уравнения, неравенства и их системы — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №3. Квадратные уравнения, неравенства и их системы.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• систематизация знаний учащихся о решении квадратных уравнений и неравенств;
• установление зависимости количества и расположения корней квадратного уравнения от его коэффициентов и значения дискриминанта;
• способы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

Глоссарий по теме:

Параметр — (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. — М.: Просвещение, 2017.

Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.

Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 2016.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В курсе средней школы будут рассматриваться показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных уравнений, нужно уметь решать квадратные уравнения и неравенства, устанавливать и объяснять зависимость вида решения от его коэффициентов и дискриминанта, представлять геометрическую интерпретацию задач.

Квадратные уравнения.

На уроке будем рассматривать различные способы решения квадратных уравнений.

Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.

Дискриминант – это число, которое находим по формуле

Если D <0 корней нет, если D = 0 один корень, если D> 0 два корня.

Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:

Если D = 0 , то

Рассмотрите пример. Решить уравнение

Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c. 

Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.

Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней:

Заметим:

1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.

3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.

4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.

Рассмотрите другие формулы:

, где второй коэффициент b=2k – четное число.

Приведенное квадратное уравнение , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.

Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.

Осталось вспомнить, как решаются неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.

Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1.

Если из одного из уравнений можно выразить х или у, применяем метод подстановки. Выразите х из первого уравнения и подставьте во второе. Решите и найдите корни.

Пример 2.

Применяем метод сложения. Выполнив сложение, получаем уравнение , далее x= ±5. Находим у= ±2. Составляем возможные пары чисел. 2+ bx + c больше или меньше нуля.  

Шаг 1. Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение и найдем его корни. Отметим корни на оси OХ и схематично покажем расположение ветвей параболы «вверх» или «вниз».

Шаг 2. Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим +, а там, где ниже –.

Шаг 3. Выписываем интервалы, соответствующие знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое не входят.

Вспомните возможные случаи расположения корней на оси и ветвей параболы в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

Метод интервалов упрощает схему решения. По-прежнему находим корни квадратного трехчлена, расставляем на числовой прямой. Определяем знаки на интервалах + или – по схеме:

если а>0 + — +, если а <0 — + -. Или путём подстановки произвольного значения квадратный трехчлен.

Рассмотрим несколько примеров:

D=0 все точки параболы выше оси и только одна х=2 на оси ОХ -нет решений.

D<0 коэффициент а=2>0 ветви вверх. Парабола выше оси, все значения положительны, значит х- любое число. Неравенство не имеет решений.

Далее рассмотрим схему решения системы неравенств.

Алгоритм решения системы неравенств.

1.Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

2.Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

3.Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Часть 3

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений и неравенств переходим к решению самых сложных заданий с параметрами. Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Первый шаг в решении — найти особое значение параметра.

Второй шаг – определить допустимые значения.

Если в задаче требуется определить знаки корней квадратного уравнения, то, как правило, удобнее использовать теорему Виета.

Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант.

Рассмотрите примеры решения неравенства с параметром.

Графический метод решения обладает несомненным преимуществом – можно представить решение наглядно.

Для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию и, наоборот, по поведению графика параболы дать общую оценку коэффициентов квадратного трехчлена и его корней.

Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше 0, то ветви параболы направлены вниз. Если дискриминант больше 0, то трехчлен имеет различные действительные корни и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и т.д.

Мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств. Более подробно с методами решения квадратных уравнений, неравенств, их систем вы можете, поработав с интерактивными моделями.

Задания тренировочного модуля с разбором.

Пример 1.

При каких значениях параметра, а квадратное уравнение

имеет только один корень?

Находим дискриминант D=25-4∙2∙5a=25-40a. Уравнение имеет один корень, если D=0, т.е. 25-40a=0, а=5/8.

Пример 2.

Определите, на каком интервале значения квадратного трехчлена отрицательны?

Решаем неравенство: . Находим дискриминант квадратного трехчлена D= 1-4∙2∙ (-1) =1+8=9. Находим корни . Расставляем точки на числовой прямой.

Старший коэффициент а=2 ветви параболы вверх. Знаки чередуются + — +. Записываем ответ: — 0,5< х <1.

Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс

Квадратные  уравнения 8 класс  алгебра

 

Учитель: Федулкина Т. А.

 

• Что такое квадратные уравнения. Виды уравнений.

Формула квадратного уравнения: ax²+bx+c=0,где a≠0, где x — переменная,  a,b,c — числовые коэффициенты.

 

Пример полного квадратного уравнения:

3x²-3x+2=0
x²-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:  D=b²-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень 

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

№1  x²-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x², коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6
D=b²-4ac=(-1)²-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

 Ответ: x₁=3; x₂=-2

№2  x²+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
D=b²-4ac=(2)²-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

№3 7x²-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
D=b²-4ac=(-1)²-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения: x²-8x=0, 5x²+4x=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax²+bx=0  x(ax+b)=0  x₁=0 x₂=-b/a

№1  3x²+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0      3x+6=0   3x=-6     x₂=-2

Ответ: x₁=0; x₂=-2

№2  x²-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0
x₂=1

Ответ: x₁=0; x₂=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x²=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом: корень квадратного уравнения

№1  x²+5=0
x²=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

№2 3x²-12=0
3x²=12
x²=12/3
x²=4
x₁=2

x₂=-2

Ответ: x₁=2; x₂=-2

 

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс  алгебра.

 

Задания для  устного решения:

 

1. Решите неполное квадратное уравнение:

 

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

2. Решите квадратное уравнение, используя теорему Виета:

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

3. Решите квадратное уравнение, используя формулу :

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

4. Найдите дискриминант квадратного уравнения по формуле D= :

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

5. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D= равно:

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

3)Решить  квадратные  уравнения:

 

6. Решите квадратное уравнение:

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 скачать файл

Дата публикации — 03. 12.2017

Тесты по математике для 8 класса. Алгебра. Решение квадратных уравнений

Вашему вниманию предлагается тематический тест для 8 класса по квадратным уравнениям. Репетитор по математике может включить его в план урока или оставить в качестве он-лайн домашнего задания. Современные дети часами не отходят от компьютера и виртуальную работу выполняют с большим удовольствием.

Контрольный вариант репетитора математики располагает несколькими уровнями сложности. В первых номерах предложены несколько простых вопросов вводного характера (на распознание вида квадратного уравнения), затем идут основные задачи на поиск корней, а два последних уравнения ориентированы на сильного восьмиклассника, способного не растеряться при работе с иррациональными коэффициентами левой части.

Варианты ответов подобраны с учетом наиболее типичных для среднего возраста ошибок. Старайтесь их не допускать. Если у Вас или у Вашего ребенка возникают глобальные проблемы с решением квадратных уравнениями, — обратитесь к репетитору по математике за живой помощью.

Несмотря на схожую структуру задач, они так или иначе отличаются друг от друга. Где-то ответом, а где то решением или предварительным преобразованием.

Напутствие репетитора по математике:
Для успешного прохождения теста вам необходимы: знания формул дискриминанта и корней квадратного уравнения, вычислительные навыки, навыки раскрытия скобок, некоторые формулы сокращенного умножения, приведение подобных слагаемых и перенос их из одной части равенства в другую. Не забудьте, что
эти слагаемые могут быть специально репетитором переставлены (чтобы Вас запутать). Перед тем как найти дискриминант, посмотрите, равна ли правая часть нулю. Удачи!

Формулы для теста:
Квадратное уравнение в том случае, когда его дискриминант подчиняется условию находятся по формулам . Если D Дополнительно понадобятся следующие формулы сокращенного умножения:

Скоро репетиторы смогут использовать тесты в удаленной работе со своим учениками. Будет предусмотрена возможность отправка результатов прохождения тестирования непосредственно репетитору математики на его электронный адрес.

Не путайте тесты с полноценной системой тренировочных упражнений. Репетитор с их помощью только проверяет качество ваших знаний.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике — составитель теста.

Алгебра 7-9 классы. 20. Решение квадратных уравнений

Алгебра 7-9 классы. 20. Решение квадратных уравнений

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

 

ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дано квадратное уравнение Применим к квадратному трехчлену те же преобразования, которые мы выполняли ранее, когда доказывали теорему о том, что графиком функции с является парабола.

Имеем

 

Обычно выражение обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения (или дискриминантом квадратного трехчлена ).

Таким образом,

Значит, квадратное уравнение можно переписать в виде

и далее

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

 

Теорема 1

Если D <0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Здесь а = 2, b = 4, с = 7,

Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

 

Теорема 2

Если D = О, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

 

Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид Значит,   единственный корень уравнения.

 Замечание 1. Помните ли вы, что абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции ? Почему именно это значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения ? «Ларчик» открывается просто: если D = 0, то, как мы установили ранее,

Графиком же функции является парабола с вершиной в точке (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.

 

Пример 2. Решить уравнение 4х² — 20х + 25 = 0.

Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b² — 4ас  = (-20)² — 4 • 4 • 25 = 400 — 400  = 0.

Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле

 Значит, .

Ответ: 2,5.

 

Замечание 2. Обратите внимание, что 4х² — 20х +25 — полный квадрат: 4Х² — 20х + 25 = (2х — 5)². Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х — 5)² = 0, значит, 2х — 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, то ах² + bх + с =
— это мы отметили ранее в замечании 1.

 

Теорема 3. Если D > О, то квадратное уравнение ах² + bх  + с = О имеет два корня, которые находятся по формулам

 

 Доказательство. Перепишем квадратное уравнение в виде (1)

Положим   тогда уравнение (1) примет вид

По условию, D > О, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что

Ho , таким образом, задача свелась к решению двух уравнений:

Из первого уравнения находим

Из второго уравнения находим

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

Замечание 3. в математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к различным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

 

Пример 3. Решить уравнение Зх² + 8x — 11 = 0. Решение. Здесь а = 3, b = 8, с =  —11,

D = b² — 4ас = 8² — 4 • 3 • (—11) = 64 4- 132 = 196.

Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3)

Ответ: 1,

Фактически мы с вами выработали следующее правило:

 

{2} -4x + 10 = 0 [/ latex] имеет два сложных решения.

В последнем примере мы проведем корреляцию между количеством и типом решений квадратного уравнения и графиком соответствующей функции.

Пример

Используйте следующие графики квадратичных функций, чтобы определить, сколько и какого типа решений будет соответствующее квадратное уравнение [latex] f (x) = 0 [/ latex]. Определите, будет ли дискриминант больше, меньше или равен нулю для каждого из них.{2}} — 4ac [/ латекс]. Он определяет количество и тип решений квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, существуют [latex] 2 [/ latex] вещественные решения. Если это [latex] 0 [/ latex], существует [latex] 1 [/ latex] реальное повторяющееся решение. Если дискриминант отрицательный, существуют [latex] 2 [/ latex] комплексные решения (но нет реальных решений).

Дискриминант также может рассказать нам о поведении графика квадратичной функции.

Дискриминанты — Алгебра II

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Дискриминантное определение, примеры и решения

Содержание

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. 2-4ac \\ [0.2 + bx + c = 0 \) — значения \ (x \), которые удовлетворяют уравнению.

Их можно найти по формуле корней квадратного уравнения:

\ (x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {D}} {2 a} \)

Хотя мы не можем найти корни, просто используя дискриминант, мы можем определить природу корней следующим образом:

• Если \ (D> 0 \), квадратное уравнение имеет два разных действительных корня:
  \ [\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ text {Положительное число}}} {2 a} \]
  дает два корня
  
• Если \ (D = 0 \), квадратное уравнение имеет только один действительный корень:
  \ [\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {0}} {2 a} = \ dfrac {-b} {2 a} \]
  это единственный корень
  
• Если \ (D <0 \), квадратное уравнение не имеет действительных корней. то есть имеет два комплексных корня:
  \ [\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ text {Отрицательное число}}} {2 a} \]
  дает два сложных корня.

Это потому, что квадратный корень отрицательного числа дает мнимое число. т.е. \ (\ sqrt {-1} = i \)

Корень — это не что иное, как координата x точки пересечения с x.

График квадратного уравнения в каждом из этих трех случаев может быть следующим.

---

Калькулятор дискриминанта (с графиком)

Вот «Дискриминантный калькулятор».2-4ac \)

Квадратное уравнение имеет:
(i) два неравных действительных корня, когда \ (D> 0 \)
(ii) только один действительный корень, когда \ (D = 0 \)
(iii) нет действительных корней или два комплексных корня, когда \ (D <0 \)

Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. 2 + Bx + C = 0 \),

\ [\ begin {align} A & = 9 \\ [0.4} \)

CLUEless в математике? Узнайте, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку Discriminant , используя интерактивное моделирование и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

Изучите живые, интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, чтобы сделать своего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

---

Практические вопросы

Вот несколько занятий для вас.{2} -24 x + 2 = 0} \) имеет только одно действительное решение.

---

Образцы материалов олимпиады по математике

IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников. Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике, вы можете нажать здесь

---

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1.2–4 (\ sqrt {3}) (10 \ sqrt {3}) \\ [0,2 см] & = 121-120 \\ [0,2 см] & = 1 \ end {выровнено} \]

Таким образом, дискриминант данного уравнения равен:

\ (\ mathbf {D} \) или \ (\ mathbf {\ Delta = 1} \)

3. Как использовать дискриминантную формулу?

Мы можем использовать дискриминант, чтобы определить природу корней.

Квадратное уравнение имеет:
(i) два неравных действительных корня, когда \ (D> 0 \)
(ii) только один действительный корень, когда \ (D = 0 \)
(iii) нет действительных корней или два комплексных корня, когда \ (D <0 \)

Дискриминант в квадратных уравнениях — наглядное пособие с примерами, практическими задачами и бесплатным PDF-файлом для печати

Чтобы понять, что делает дискриминант, важно хорошо понимать:

Предварительное требование 2: Какое решение квадратное уравнение:

Отвечать

Решение можно представить двумя разными способами. 2 + \ blue bx + \ color {green} c $$.

Графически, поскольку y = 0 — ось x, решение находится там, где парабола пересекает ось x. (работает только для реальных решений) .

На рисунке ниже левая парабола имеет 2 реальных решения (красные точки), средняя парабола имеет 1 реальное решение (красная точка), а самая правая парабола не имеет реальных решений (да, у нее есть мнимые решения).

Как выглядит дискриминант?

Отвечать

Похоже на … число.

5, 2, 0, -1 — каждое из этих чисел является дискриминантом для 4 различных квадратных уравнений.

Что такое дискриминант?

Отвечать

Дискриминант — это число , которое можно вычислить из любого квадратного уравнения.2-4 \ cdot \ красный 3 \ cdot \ color {зеленый} 5 \\ \ text {Дискриминант} = \ в коробке {6} $

Что говорит нам эта формула?

Отвечать

Дискриминант сообщает нам следующую информацию о квадратном уравнении:

• Если решение — действительное число или мнимое число.
• Если решение рациональное или иррациональное.2 + 2x + 1 $$.

  Практика 1

  Вычислите дискриминант, чтобы определить количество и характер решений следующего квадратного уравнения: $$ y = x² — 2x + 1 $$. 2-4 \ cdot \ красный 1 \ cdot \ color {зеленый} 1 \\ & = \ в коробке {0} \ end {выровнен} $$

  Поскольку дискриминант равен нулю, мы должны ожидать 1 реальное решение, которое вы можете увидеть на графике ниже.

  Практика 2

  Воспользуйтесь дискриминантом, чтобы узнать природу и количество решений: $$ y = x² — x — 2 $$.2-4 \ cdot \ red 1 \ cdot \ color {green} {-2} \\ & = 1 — -8 \\ & = 1 + 8 = \ 9 в штучной упаковке \ end {выровнен} $$

  Поскольку дискриминант положительный и рациональный, у этого уравнения должно быть 2 реальных рациональных решения. Как вы можете видеть ниже, если вы используете квадратичную формулу для поиска фактических решений, вы действительно получите 2 реальных рациональных решения.

  Практика 3

  Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² — 1.2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(- 1)} = 4 $$

  Поскольку дискриминант положительный и представляет собой полный квадрат, у нас есть два вещественных решения, которые являются рациональными.

  Опять же, если вы хотите увидеть реальные решения и график, просто посмотрите ниже:

  Практика 4

  Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² + 4x — 5.2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(- 5)} \\ 16-4 (-5) = 16 +20 \\ = 36 $$

  Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения является положительным и представляет собой полный квадрат, существуют два рациональных решения.

  Практика 5

  Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² — 4x + 5.

  Покажи ответ

  В этом квадратном уравнении y = x² — 4x + 5.2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(5)} \\ = 16-20 = -4 $$

  Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения нет реальных решений. 2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(4)} = -16 $$

  Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения есть два мнимых решения.

  Решения: 2i и -2i.

  Ниже приведено изображение этого графика уравнений.

  Практика 7

  Найдите дискриминант, чтобы определить природу и количество решений: y = x² + 25.2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(25)} = -100 $$

  Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения есть два мнимых решения.

  Решения 5i и -5i.

  Все знаки указывают на дискриминант

  Все знаки указывают на дискриминант

  У вас когда-нибудь был один из этих Magic 8 Balls? Они выглядят как комично негабаритные шары для пула, но в них встроено плоское окно, так что вы можете видеть, что находится внутри 20-гранного кубика, плавающего в отвратительной непрозрачной синей слизи.Предположительно, бильярдный шар обладает прогностическими способностями; все, что вам нужно сделать, это задать ему вопрос, встряхнуть, и медленно, мистическим образом, как покрытая нефтью печать, выходящая из разлива нефти, игральная кость поднимется к маленькому окошку и откроет ответ на ваш вопрос.

  Квадратное уравнение содержит своего рода Magic 8 Ball. Выражение b ² — 4 ac из-под знака радикала называется дискриминантом , и оно может фактически определить для вас, сколько решений имеет данное квадратное уравнение, если вы не хотите на самом деле вычислять их.Учитывая, что квадратное уравнение, которое невозможно сформулировать, требует много работы для решения (квадратная формула изобилует тоннами арифметики, а для завершения квадратного метода требуется целая куча шагов), часто бывает полезно заглянуть в загадочную мистику, чтобы сделать убедитесь, что уравнение даже имеет любых решений в виде вещественных чисел, прежде чем вы потратите какое-либо время на их поиски.

  Talk the Talk

  Дискриминант — это выражение b ² — 4 ac , которое определено для любого квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0.По знаку выражения можно определить, сколько действительных чисел имеет квадратное уравнение.

  Вот как работает дискриминант. Дано квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, подставьте коэффициенты в выражение b ² — 4 ac , чтобы увидеть, какие результаты:

  • Если вы получите положительное число, квадратичная функция будет иметь два уникальных решения.
  • Если вы получите 0, у квадратичного будет ровно одно решение — двойной корень.
  • Если вы получите отрицательное число, у квадратичного не будет реальных решений, а будет только два мнимых решения. (Другими словами, решения будут содержать и , о которых вы узнали в «Борьбе с радикалами».)

  Дискриминант — это не волшебство. Это просто показывает, насколько важен этот радикал в формуле корней квадратного уравнения. Если, например, его подкоренное выражение равно 0, вы получите

  единственное решение. Если, однако, b ² — 4 ac отрицательно, то внутри квадратного корня в квадратной формуле будет отрицательное значение, что означает только мнимые решения.

  Пример 4 : Не вычисляя их, определите, сколько реальных решений имеет уравнение 3 x ² — 2 x = -1.

  Решение : Установите квадратное уравнение равным 0, добавив 1 к обеим сторонам.

  У вас есть проблемы

  Задача 4: Не вычисляя их, определите, сколько реальных решений имеет уравнение 25 x ² -40 x + 16 = 0.

  Установите a = 3, b = -2 и c = 1 и оцените дискриминант.

  • b ² — 4 ac
  • = (- 2) ² — 4 (3) (1)
  • = 4-12
  • = -8

  Поскольку дискриминант отрицательно, квадратное уравнение не имеет вещественных числовых решений, только два мнимых.

  Выдержки из Полное руководство для идиотов по алгебре 2004 У. Майкл Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

  Вы можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

  Применения Дискриминантного Учебного пособия

  Как определить, сколько решений имеет уравнение …

  Мы собираемся использовать квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0

  ПОМНИТЕ: b ² — 4ac — дискриминант

  • Если b ² — 4ac равно положительному значению , то уравнение имеет ДВА и решений.
  • Если b ² — 4ac равно нулю , то уравнение имеет решение ONE .
  • Если b ² — 4ac равно отрицательному , то уравнение не имеет решений NO .

  Нет смысла? Вот пример.

  Найдите значение дискриминанта и используйте это значение, чтобы определить, ли уравнение имеет два решения, одно решение или нет решений.

  а. х ² — 3х — 4 = 0

  1-й ШАГ: Найдите значения a, b и c.

  а: 1 б: 2 в: -4

  2-й ШАГ: Подключите a, b и c к дискриминанту

  b ² — 4ac = (-3) ² — 4 (1) (- 4)

  = 9 + 16

  = 25

  * Оно равно 25, что является положительным числом , поэтому уравнение имеет ДВА и решений.

  Использование дискриминантов в реальной жизни …

  Вы с другом в походе. Вы хотите повесить свой пищевой пакет на ветке на высоте 20 футов от земли . Вы прикрепите веревку к палке и перекинете ее через ветку.

  а. Ваш друг может бросить палку вверх с начальной скоростью 29 футов в секунду с начальной высоты 6 футов . Дотянется ли палка до ветки, когда ее бросают?

  ** Используйте модель вертикального перемещения : h = -16t ² + vt + s

  (h = высота, которую вы пытаетесь достичь, t = время в движении, v = начальная скорость и s = начальная высота)

  1-Й ШАГ: Используйте информацию из словесной задачи и вставьте ее в соответствующие места в уравнении!

  20 = -16 т ² + 29 т + 6

  ВТОРОЙ ШАГ: Перепишите уравнение в стандартной форме.(ax ² + bx + c) Помните, что в стандартной форме мы всегда хотим, чтобы наши уравнения равнялись 0.

  20 = -16 т ² + 29 т + 6

  -20 = -16т ² + 29т + 6-20

  0 = -16 т ² + 29 т — 4

  3-Й ШАГ: Найдите с помощью дискриминанта!

  0 = -16 т ² + 29 т — 4

  а: — 16 б: 29 в: — 4

  29 ² — 4 (-16) (- 4)

  841–896 = — 55

  ** Ответ отрицательный, что означает отсутствие решений и пересечений по оси x. Палка, брошенная вашим другом, прошла через ветку дерева , а не .

  Дискриминант — Концепция — Алгебра Видео от Brightstorm

  Дискриминант — это член под квадратным корнем в квадратной формуле, который сообщает нам количество решений квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, мы знаем, что у нас есть 2 решения. Если он отрицательный, решений нет, а если дискриминант равен нулю, у нас есть одно решение.Дискриминант вычисляется путем возведения в квадрат члена «b» и вычитания 4-кратного члена «а», умноженного на член «с».

  Дискриминант — действительно удобный инструмент, когда вам кажется, что вы получаете странный ответ. Вот почему. Дискриминант говорит вам, сколько существует решений квадратного уравнения или сколько пересечений по оси x существует для параболы. Он не говорит вам, каковы эти числа, каковы значения пересечения x, он просто говорит вам, сколько их должно быть.Звучит так, будто это бесполезно, но на самом деле это особенно важно, когда вы проверяете свою работу.
  Вот как это выглядит. Дискриминант — это формула b в квадрате минус 4ac, помня, что a, b и c — это коэффициенты квадратичной функции в стандартной форме. Он сообщает вам количество решений квадратного уравнения. Если дискриминант больше нуля, есть два решения. Если дискриминант меньше нуля, решений нет, а если дискриминант равен нулю, есть одно решение.
  Это то, что вам просто необходимо запомнить. Это идет рука об руку с формулой корней квадратного уравнения. Так что, если вы, ребята, это усвоили, в этом будет большой смысл. Если вы еще не выучили квадратную формулу, вы, вероятно, выучите ее завтра на уроке математики. Просто знайте, что вы смотрите на то, действительно ли b в квадрате минус 4ac больше нуля, меньше нуля или равно нулю.