Правило степени – ., ,

Степень и ее свойства. Определение степени

Основная цель

Ознакомить учащихся со свойствами степеней с
натуральными показателями и научить выполнять
действия со степенями.

Тема “ Степень и её свойства ” включает три
вопроса:

  • Определение степени с натуральным показателем.
  • Умножение и деление степеней.
  • Возведение в степень произведения и степени.

Контрольные вопросы

  1. Сформулируйте определение степени с
    натуральным показателем, большим 1. Приведите
    пример.
  2. Сформулируйте определение степени с
    показателем 1. Приведите пример.
  3. Каков порядок выполнения действий при
    вычислении значения выражения, содержащего
    степени?
  4. Сформулируйте основное свойство степени.
    Приведите пример.
  5. Сформулируйте правило умножения степеней с
    одинаковыми основаниями. Приведите пример.
  6. Сформулируйте правило деления степеней с
    одинаковыми основаниями. Приведите пример.
  7. Сформулируйте правило возведения в степень
    произведения. Приведите пример. Докажите
    тождество (ab)n = anbn .
  8. Сформулируйте правило возведения степени в
    степень. Приведите пример. Докажите тождество ( аm
    )n = аm n .

Определение степени.

Степенью числа a с натуральным показателем n,
большим 1, называется произведение n множителей,
каждый из которых равен а. Степенью числа а
с показателем 1 называется само число а.

Степень с основанием а и показателем n
записывается так: аn . Читается “ а в
степени n ”; “ n- я степень числа а ”.

По определению степени:

а1 = а

а2 = а•а

а3 = а•а•а

а4 = а• а•а•а

. . . . . . . . . . . .

аn =

Нахождение значения степени называют возведением
в степень
.

1. Примеры возведения в степень:

33 = 3• 3• 3 = 27

04 = 0• 0• 0• 0 = 0

( -5 )3 = ( -5 ) • ( -5 ) • ( -5 ) = -125

71 = 7

2. Представьте в виде квадрата числа: 25 ; 0,09 ;

25 = 52 ; 0,09 = ( 0,3 )2 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 33 ; 0,001 = ( 0,1 )3 ; 8 = 23 .

4. Найти значения выражений:

а) 3• 103 = 3• 10• 10• 10 = 3• 1000 = 3000

б) -24 + ( -3 )2 = 7

24 = 16

( -3 )2 = 9

-16 + 9 = 7

Вариант 1

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,3• 0,3• 0,3

б)

в) b• b• b• b• b• b• b

г) ( -х ) • ( -х ) • ( -х ) • ( -х )

д) ( ab ) • ( ab ) • ( ab )

2. Представьте в виде квадрата числа:

    16 ; 0,25 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

    125 ; 0,027 ; .

4. Найти значения выражений :

а) 72 + 43

б) 62 + 53

в) -14 + ( -2 )3

г) -43 + ( -3 )2

д) 100 — 5• 24


Умножение степеней.

Для любого числа а и произвольных чисел m и n
выполняется:

aman = am + n .

Доказательство:

Правило: При умножении степеней с
одинаковыми основаниями основания оставляют
прежним, а показатели степеней складывают.

amanak = am + nak = a( m +
n ) + k
= am + n + k

1. Представить в виде степени:

а) х5• х4 = х5 + 4 = х9

б) y• y6 = y1 • y6 = y1 + 6 = y7

в) b2 • b5 • b4 = b2 + 5 + 4 = b11

г) 34 • 9 = 3432 = 36

д) 0,01• 0,13 = 0,12 • 0,13 = 0,15

2. Представить в виде степени и найти значение
по таблице:

а) 23 • 2 = 24 = 16

б) 32 • 35 = 37 = 2187

Вариант 1

1. Представить в виде степени:

а) х3 •х4 е) х2 •х3 •х4

б) а6 •а2 ж) 33•9

в) у4 •у з) 74•49

г) а• а8 и) 16• 27

д) 23•24 к) 0,33•0,09

2. Представить в виде степени и найти значение
по таблице:

а) 22•23 в) 8• 25

б) 34•32 г) 27• 243

Деление степеней.

Для любого числа а0 и
произвольных натуральных чисел m и n, таких, что
m>n выполняется:

am : an = am — n

Доказательство:

am — n an = a( m — n ) + n = am — n + n = am

по определению частного:

am : an = am — n .

Правило: При делении степеней с
одинаковыми основаниями основание оставляют
прежним, а из показателя степени делимого
вычитают показатель степени делителя.

Определение: Степень числа а, не равного
нулю, с нулевым показателем равна единице
:

а0 = 1

т.к. аn : an = 1 при а0 .

1. Представьте в виде степени частное:

а) х42 = х4 — 2 = х2

б) у83 = у8 — 3 = у5

в) а7:а = а71 = а7 — 1 = а6

г) с50 = с5:1 = с5


2. Найдите значения выражений:

а) 57:55 = 52 = 25

б) 1020:1017 = 103 = 1000

в)

г)

д)

Вариант 1

1. Представьте в виде степени частное:

а) х5 : х2

б) у9 : у4

в) b10 : b

г) с10 : с4

д) а7 : а0

2. Найдите значения выражений:

а) 36 : 32

б) 715 : 713

в)

г)

д)

Возведение в степень произведения.

Для любых а и b и произвольного натурального
числа n:

( ab )n = an•bn

Доказательство:

По определению степени

( ab )n =

Сгруппировав отдельно множители а и множители
b, получим:

=

Доказанное свойство степени произведения
распространяется на степень произведения трех и
более множителей.

Например:

( a• b• c )n = an •bn •cn ;

( a• b• c• d )n = an •bn •cn •dn
.

Правило: При возведении в степень
произведения возводят в эту степень каждый
множитель и результат перемножают.

1. Возвести в степень:

а) ( a• b )4 = a4 •b4

б) (2• х• у )3 =23•х3 •у3
= 8• х3 •у3

в) ( 3• а )4 = 34•а4 = 81• а4

г) ( -5• у )3 = (-5)3 •у3 = -125• у3

д) (-0,2• х• у )2 = (-0,2)2 •х2 •у2
= 0,04• х2 •у2

е) (-3• a• b• c )4 = (-3)4 •a4 •b4 •c4
= 81• a4 •b4 •c4

2. Найти значение выражения:

а) (2• 10)4 = 24•104 = 16• 1000 = 16000

б) (3• 5• 20)2= 32•1002= 9• 10000= 90000

в) 24•54 = (2• 5)4 = 104 = 10000

г) 0,2511•411 = (0,25• 4)11 = 111 = 1

д)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

а) ( a• b )9

б) ( 2• а• с )4

в) ( 5• а )3

г) ( -3• у )4

д) ( -0,1• х• у )3

е)

2. Найти значение выражения:

а) (3• 10)3

б) (5• 7• 20)2

в) 53•23

г)

д)

Возведение в степень степени.

Для любого числа а и произвольных натуральных
чисел m и n:

( аm )n = аm n

Доказательство:

По определению степени

( аm )n =

Правило: При возведении степени в
степень основание оставляют тем же, а показатели
перемножают
.

1. Возвести в степень:

( а3 )2 = а6 ( х5 )4 = х20

( у5 )2 = у10 ( b3 )3 =
b9

2. Упростите выражения:

а) а3 •( а2)5 = а3 •а10
= а13

б) ( b3 )2 •b7 = b6 •b7 = b13

в) ( х3 )2 •( х2 )4 = х6 •х8
= х14

г) ( у• у7 )3 = ( у8 )3 = у24

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

а) ( а4 )2      б) ( х4 )5

в) ( у3 )2      г) ( b4 )4


2. Упростите выражения:

а) а4 •( а3)2

б) ( b4 )3 •b5+

в) ( х2 )4 •( х4 )3

г) ( у• у9 )2

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

 

Приложение

Определение степени.

Вариант 2

1ю Запишите произведение в виде степени:

а) 0,4• 0,4• 0,4

б)

в) а• а• а• а• а• а• а• а

г) ( -у ) • ( -у ) • ( -у ) • ( -у )

д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс )

2. Представьте в виде квадрата числа:

    25 ; 0,16 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

    64 ; 0,125 ; .

4. Найти значения выражений:

а) 52 + 33

б) 43 — 72

в) -13 + ( -2 )4

г) -62 + ( -3 )2

д) 4• 52 – 100

Вариант 3

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,5• 0,5• 0,5

б)

в) с• с• с• с• с• с• с• с• с

г) ( -х ) • ( -х ) • ( -х ) • ( -х )

д) ( ab ) • ( ab ) • ( ab )

2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

    1000 ; 0,008 ; .

4. Найти значения выражений :

а) 34 + 72

б) 63 — 92

в) -15 + ( -3 )2

г) -53 + ( -4 )2

д) 5• 42 — 100

Вариант 4

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,7• 0,7• 0,7

б)

в) х• х• х• х• х• х

г) ( -а ) • ( -а ) • ( -а )

д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс ) • ( bc )

2. Представьте в виде квадрата числа:

    81 ; 0,64 ;.

3. Представьте в виде куба числа:

    216 ; 0,064 ; .

4. Найти значения выражений :

а) 62 + 43

б) 53 — 82

в) -14 + ( -3 )3

г) -34 + ( -5 )2

д) 100 — 3• 25

Умножение степеней.

Вариант 2

1. Представить в виде степени:

а) х4 •x5      е) х3 •х4
•х5

б) а7 •а3      ж) 23•4

в) у5 •у      з) 43•16

г) а• а7      и) 4• 25

д) 22•25      к) 0,23• 0,04

2. Представить в виде степени и найти значение
по таблице:

а) 32•33    в) 16• 23

б) 24•25    г) 9• 81

Вариант 3

1. Представить в виде степени:

а) а3•а5    е) у2 •у4 •у6

б) х4•х7    ж) 35•9

в) b6•b    з) 53•25

г) у• у8    и) 49• 74

д) 23•26    к) 0,34•0,27

2. Представить в виде степени и найти значение
по таблице:

а) 33•34    в) 27• 34

б) 24•26    г) 16• 64

Вариант 4

1. Представить в виде степени:

а) а6•а2    е) х4 •х• х6

б) х7•х8    ж) 34•27

в) у6•у    з) 43•16

г) х• х10    и) 36• 63

д) 24•25    к) 0,22•0,008

2. Представить в виде степени и найти значение
по таблице:

а) 26•23    в) 64• 24

б) 35•32    г) 81• 27

Деление степеней.

Вариант 2

1. Представьте в виде степени частное:

а) х6 : х3

б) у10 : у5

в) b9 : b

г) с12 : с7

д) а9 : а0

2. Найдите значения выражений:

а) 27 : 24

б) 610 : 68

в)

г)

д)

Вариант 3

1. Представьте в виде степени частное:

а) у7 : у4

б) а11 : а7

в) с10 : с

г) b17 : b15

д) х8 : х0

2. Найдите значения выражений:

а) 38 : 35

б) 410 : 47

в)

г)

д)

Вариант 4

1. Представьте в виде степени частное:

а) х8 : х3

б) b12 : b5

в) у9 : у

г) с19 : с14

д) а10 : а0

2. Найдите значения выражений:

а) 510 : 58

б) 617 : 612

в)

г)

д)

Возведение в степень произведения.

Вариант 2

1. Возвести в степень:

а) ( х• у )7

б) (3• а• b )4

в) (2• а )5

г) (-4• у )3

д) (-0,3• a• b )2

е) ( -2• x• y• z )3

2. Найти значение выражения:

а) (2• 10)3

б) (7• 4• 25)2

в) 43•53

г) 49•0,259

д)

Вариант 3

1. Возвести в степень:

а) ( a• b )8

б) (2• х• у )5

в) (3• х )4

г) (-4• с )4

д) (-0,2• х• у )2

е)

2. Найти значение выражения:

urok.1sept.ru

ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ СО СТЕПЕНЯМИ — МегаЛекции


Действия над степенями производятся по нижеследующим правилам:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

11)Степенная функция,ее общий вид (уметь строить график и описать свойства степенной функции при n=1; 2,3; -1; -2;1/2;1/3.):

 

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция — функция вида , где — заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида .

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба есть степенная функция от (длины его ребра): ; период колебаний математического маятника пропорционален длине маятника в степени , а именно . Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление и объем связаны формулой (для воздуха, например, ). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.

При любом показателе степени показательная функция определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если — натуральное число , то функция определена на всей числовой оси, обращается в нуль при , четная при четном и нечетная при нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента . На рис. 1 и 2 приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем: (кубическая парабола) и (парабола четвертой степени). При степенная функция является линейной функцией, при — квадратичной функцией .

Рис. 1

Рис. 2

Если — отрицательное целое число , то степенная функция определяется равенством . Она определена при всех отличных от нуля . Ее график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители — функции и их графики даны на рис. 3 и 4. При по определению . Если , то функция (обозначается также ) определяется как обратная функция для функции . При четном функция определена лишь для , а при нечетном — на всей оси. Графики таких функций и изображены на рис. 5 и 6.


Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Для рационального показателя ( — несократимая дробь) степенная функция определяется формулой

.

Графики типичных степенных функций с рациональным показателем приведены на рис. 7, 8, 9.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Степенная функция
 
Степенная функция – это функция видаy = xn (где x – независимая переменная, n – натуральное число).
Свойства степенной функции различаются в зависимости от того, четным или нечетным является значение n.

Свойства степенной функцииy = xnпри четном значенииn.
Графиком функции является парабола, расположенная в положительной полуплоскости координат (рис.1).

1. Если x = 0, то y = 0.График функции проходит через начало координат.
2. Если x ≠ 0, то y > 0.График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.Пояснение: допустим, x = –2, y = 8. При x = 2 значение y не меняется и составляет 8.
4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) — возрастает.
5. Областью значений функции являются неотрицательные числа от 0 до +∞.

 

Свойства степенной функцииy = xnпри нечетном значенииn.

Графиком функции является винтообразная кривая (рис.2).

1. Еслиx= 0, тоy= 0.График функции проходит через начало координат.
2. Еслиx> 0, тоy> 0. Еслиx< 0, тоy< 0.График функции проходит через первую и третью координатные четверти.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. Пояснение: возьмем функцию y = x3. Если x = 2, то y = 8. Если x = –2, то y = –8.
4. На всей области определения функция возрастает.
5. Областью значения функции является множество всех действительных чисел.

 


 

12)Показательная функция,ее общий вид,график и свойства:

Функция вида называется показательной функцией.

Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:

a = 0 Выражения вида 0x определено при x > 0 и в этом случае тождественно равно нулю.
a = 1 Выражение 1x определено при всех x, имеет постоянное значение (тождественно единице).
a < 0 Возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечётным знаменателем.

Само аналитическое выражение ax в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения xy точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.

Построить графики функций: и .



Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Смысл степени с натуральным,отрицательным,дробным показателем,Правила действия над степенями: — МегаЛекции


1)Степени с натуральным показателем:

В стране чисел возникли проблемы. Астрономы собрались посчитать размеры видимой части Вселенной. Они утверждали, что для этого необходимо умножить 25 раз число 10 само на себя. Поскольку для этого требовалось очень много места, они требовали снести Дворец алгоритма Евкида, выставку чисел-близнецов и многие другие объекты. Хотя всем хотелось узнать, какая же наша Вселенная, но никому не хотелось жертвовать столь прекласными и ценными сооружениями. Была создана комиссия, которая занялась поисками требуемой свободной площади, но вскоре зашла в тупик.

Неожиданно положение Таблица умножения. Она рассказла свою историю: — Меня придумали для того, чтобы не складывать большое количество одинаковых слагаемых. Ведь теперь никто не пишет 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, теперь записывают 3 х 7. Это очень экономит место. Давайте придумаем что-нибудь похожее для умножения.

И сразу придумали. Число множителей стали записываь маленькой цифрой сзади числа:

Все выражение стали на зывать степенью, количество множителей (маленькую цифру сверху) – показателем степени, а сам множитель – основание степени.

Не прошло и получаса, как торжественно ввели новое действие – возведение в степень, как по стране чисел стали бегать 56, 174 и многие другие. Но только бегать неинтересно, хочется выполнять сложение, умножение, вычитание, то есть вести себя как все порядочные числа. и ту возникли следующие проблемы. После введения действий надо установить правила действий, так, чтобы никому не мешать и никакие законы не нарушать.

Сначала попробовали выполнять сложение, открыли свод законов и ничего не нашли. О вычитании даже думать не стали, а умножение пошло очень легко, ведь всякая степень получается из множителей, значит, если взять одинаковые основания степени, то

Сразу записали в свод законов новое правило:

При умножении степеней с одинаковым основание основание остается неизменным, а показатели складывают


С делением возникли проблемы. Всем казалось, что если деление действие обратное уиножению, то приделении надо показатели вычитать, но если , а если .Тогда постановили (под влиянием консервативного меньшинства), что

При делении степеней с одинаковыми основаниями , если m>n, и , если n>m.

Провести проверку нового правил предложили 65 и 63: , а

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются. а полностью правило сформулировать трудно.

 

Разобралися также со степенями с разными основаниями и одинаковыми показателями. На помощь пришли переместительный и сочетательный законы: , потому, что ;

Чтобы умножить степени с одинаковыми показателями надо перемножить основания, а показатель оставить без изменения.

Чтобы разделить степени содинаковыми основаниями надо разделит основания, а показатель оставить без изменения.

;

Оказалось, что можно даже возводить степени в степень.

Наступил всеобщий праздник. Особенно понравилось сокращать дроби, раскладывая их на множители:

Подарок преподнес распределительный закон. Он предложил как складывать одинаковые степени, например, , ,т.е. можно складывать коэффициенты.

А если степени с одинаковыми основаниями, но с разными коэффициентами, то можно общий множитель вынести за скобку:

2)степени с отрицательным показателем:

Все уже привыкли к действиям со степенями с натуральными показателями (их так называют, потомучто показатели – натуральные числа).

И нашлись недовольные, те кто не принял участие в создании новых чисел.Революционно настроенные представители отрицательных чисел выступили с заявлением, что их притесняют, не дают развиваться науке,

— Всем известно, что при вычитании может получаться 0, а также отрицательные числа, — говорили они и организовали движение в поддержку степеней с отрицательным показателе.

— Как же может быть отрицательное количество сомножителей?- удивились натуральные числа.

— Надо определить , это как раз подходит под ваше правило:.

-А степени с отрицательным показателем определить, как ( Z — отрицательнын целые числа).

Например,

Тогда формула для деления степеней станет просто

— Хорошо, — сказали хранители Свода законов, — тогда докажите, что все правила действий со степенями сохранятся и при введении степеней с отрицательным показателями.

 
 
   

Больше того, отрицательные числа предложили план доказательства всех теорем, о действиях со степенями.

1.В выражении по определению заменить степень с отрицательным показателем на степень с натуральным показателем.

2.Выполнить действия по правилам действий со степенями с натуральными показателями

3.По определению перейти от степеней с натуральными показателя к степеням с отрицательными показателями.

А также привели поясняющие примеры: , записывать можно короче:

Итак, оказалось, что все правила действий сохранились для степеней с отрицательными показателями.

3)степени с дробным показателем:

при извлечении корня из степени делят показатель степени на показатель корня, если такое деление выполнется нацело; например: √a4 = a2, 3x9 = x3 и т. п. Условимся теперь распространить это правило и на те случаи, когда показатель степени не делится нацело на показатель корня. Например, мы условимся принимать, что

Вообще мы условимся, что выражение означает корень, показатель которого есть знаменатель, а показатель подкоренного числа — числитель дробного показателя (т. е.nam).

Условимся еще допускать и отрицательные дробные показатели в том же смысле, в каком мы допустили отрицательные целые показатели; например, условимся, что

Замечание. Дробные показатели были введены в алгебру главным образом голландским инженером Симоном Стевином в начале XVII столетия Позднее, в конце XVII столетия, Оксфордский профессор Джон Валлис ввел в употребление отрицательные показатели.

259. Основное свойство дробного показателя. Величина степени с дробным показателем не изменится, если мы умножим или разделим на одно и то же число (отличное от нуля) числитель и знаменатель дробного показателя. Так:

Действительно, знаменатель дробного показателя означает показатель корня, а числитель его означает показатель подкоренного выражения, а такие показатели, как мы видели можно умножать и делить на одно и то же число.

Основываясь на этом свойстве, мы можем преобразовывать дробный показатель совершенно так же, как и обыкновенную дробь: например, мы можем сокращать дробный показатель, или приводить несколько дробных показателей к одному знаменателю.

 



Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru