Относятся к относительным показателям вариации – CGI script error

Абсолютные и относительные показатели вариации

Вариация — количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Термин «вариация» имеет латинское происхождение — variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение.

К абсолютным показателям вариации относят:

• размах вариации

• среднее линейное отклонение

• среднее квадратическое отклонение

• дисперсию.

Размах вариации R. Это самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

Среднее линейное отклонение d, которое вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю

Формула среднего линейного отклонения (простая)

Формула среднего линейного отклонения (взвешенная)

Дисперсия (среднее квадратическое отклонение в квадрате) – обобщающая хар-ка размеров вариации признаков совокупности

Средняя квадратическая простая

Средняя квадратическая взвешенная

Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формулы дисперсии взвешенной и простой :

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

Относительные показатели рассчитываются как отношение размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

Формулы расчета относительных показателей вариации:

где VR — коэффициент осцилляции; — линейный коэффициент вариации; — коэффициент вариации.

Совокупность считается однородной если коэф вариации не превышает 33%

2. Абсолютные и относительные средние показатели

Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения вызванные основным фактором.

Важнейшими условиями (принципами) для правильного вычисления и использования средних величин является следующие:

1. В каждом конкретном случае необходимо исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков и имеющиеся для расчета данные.

2. Индивидуальные значения, из которых вычисляются средние, должны относиться к однородной совокупности, а число их должно быть значительным.

Виды средних величин

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние:

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1

Среднегеометрическая величина дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины

Геометрическая простая

где:

хi — цепной коэффициент роста

n — число этих коэффициентов роста

П — знак произведения

m — количество уровней ряда

уо — значение начального уровня ряда

уi — значение конечного уровня ряда

Геометрическая взвешенная

Среднеквадратические величины используются для расчета некоторых показателей, например коэффициент вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции. Здесь определяют среднеквадратическое отклонение от планового выпуска продукции за определенный период по следующей формуле:

Квадратическая простая

Квадратическая взвешенная

Структурные средние:

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто.

где:

Mo — значение моды

Xo — нижняя граница модального интервала

h — величина интервала

fm — частота модального интервала

f (m-1) — частота интервала, предшествующего модальному

f (f+1) — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда)

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

studfiles.net

11. Понятие о вариации признака. Показатели вариации.

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

1. Понятие вариации. Абсолютные и относительные показатели вариации

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности непостоянны, более или менее различаются между собой.

Вариация — колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изу­чаемой совокупности, называют вариантами значений. Недостаточность средней величины для полной характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака.

 

Наличие вариации обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Эти факторы действуют с неодинаковой силой и в разных направлениях. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Задачи статистического изучения вариации:

1) изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности;

2) определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности.

В статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, спомощью которых изме­ряется вариация.

Исследование вариаций имеет важное значение. Измерение вариаций необходимо при проведении выборочного наблюдения, корреляционном и дисперсионном анализе и т. д.

По степени вариации можно судить об однородности совокупности, об устойчивости отдельных значений признаков и типичности средней. На их основе разрабатываются показатели тесноты связи между признаками, показатели оценки точности выборочного наблюдения.

Различают вариацию в пространстве и вариацию во времени.

Под вариацией в пространстве понимают колеблемость значений признака у единиц совокупности, представляющих отдельные территории. Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные периоды времени.

Для изучения вариации в рядах распределения проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда.

Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум — самое наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения (f_i). Частоты удобно заменять частостями – w_i. Частость — относительный показатель частоты, который может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Выражается формулой:

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям колеблемости относят коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации.

studfiles.net

Показатели вариации — Helpstat

Вариация – различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

К показателям вариации относятся:

I группа — абсолютные показатели вариации

• размах вариации
• среднее линейное отклонение
• дисперсия
• среднее квадратическое отклонение

II группа — относительные показатели вариации

• коэффициент вариации
• коэффициент  осцилляции
• относительное линейное отклонение

Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R. Размах вариации показывает лишь крайние  (min, max) отклонения признака от общей средней.

Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику.

Среднее линейное отклонение — средняя арифметическая абсолютных значений отклонений (модуль отклонений) отдельных вариантов от их средней арифметической:

1. для несгруппированных данных (простое)
2. для сгруппированных данных (взвешенное)

Дисперсия  признака — средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. Простая дисперсия для несгруппированных данных
2. Взвешенная дисперсия для вариационного ряда

Cвойства дисперсии:

1. если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А- дисперсия не изменится; 
2. если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшится или увеличится в k²  раз.

Используя второе свойство дисперсии, можно получить формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

где  i – величина интервала, X₁ — новые (преобразованные) значения вариантов (А – условное начало, в качестве которого удобно использовать середину интервала или величину признака, обладающего наибольшей частотой.                   

                                                                    

1. Момент второго порядка
2. Квадрат момента первого порядка

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

1. для несгруппированных данных (простое)
2. для вариационного ряда по сгруппированным данным (взвешенное)

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются отдельные варианты от их среднего значения.

 Среднее значение альтернативного признака и его дисперсия:

1. Среднее значение альтернативного признака
2. Дисперсия альтернативного признака

Подставив в формулу дисперсии q = 1 – p, получим:

Таким образом,  дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком и доли единиц, не обладающих данным признаком.

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака:

Показатели относительного рассеивания

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах.  Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях  (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних,  при сравнении  разноименных  совокупностей). Расчет  показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к  средней  арифметической, умноженное на 100%.

1. Коэффициент  осцилляции  отражает  относительную  колеблемость крайних значений признака вокруг общей средней.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений (модуль отклонений) от средней величины.

3. Коэффициент вариации — отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, применяется для сравнения вариаций различных признаков, используется как характеристика однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Пример расчета абсолютных и относительных показателей вариации:

Распределение КФХ области по урожайности зерновых культур 

Группы хозяйств по урожайности (ц/га)	Середина интервала	Число хозяйств	Расчетные значения
	Xi	ƒi	Xi ƒi	|Хi-Хср|	|Хi — Хср|*ƒi	(Χi-Χср)2	(Χi-Χср)2 *ƒi
9,1-15	12,1	2	24,20	12,44	24,87	154,641	309,28
15,1-21,1	18,1	31	561,1	6,44	199,50	41,415	1283,88
21,1-27,1	24,1	54	1301,40	0,44	23,52	0,190	10,24
27,1-33,1	30,1	30	903,00	5,56	166,94	30,964	928,92
> 33,1	36,1	7	252,7	11,56	80,95	133,738	936,17
Всего	X	124	3042,40	36,44	495,77	360,948	3468,48
Средние	X	X	24,54	X	4,00		27,97

Смотри также:

helpstat.ru

Показатели вариации.

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако два ряда распределения, имеющих одинаковую среднюю арифметическую величину, могут значительно отличаться друг от друга по степени колеблемости (вариации) величины изучаемого признака. Если индивидуальные значения признака ряда мало отличаются друг от друга, то средняя арифметическая будет достаточно показательной характеристикой данной совокупности. Если же ряд распределения характеризуется значительным рассеиванием индивидуальных значений признака, то средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой этой совокупности и ее практическое применение будет ограничено.

Значение показателей вариации заключается в следующем:

— показатели вариации дополняют средние величины, за которыми скрываются индивидуальные значения признаков вариационного ряда;

—         показатели вариации характеризуют степень однородности статистической совокупности по изучаемому признаку;

—         показатели вариации характеризуют границы колеблемости признака;

—         соотношение показателей вариации характеризует взаимосвязь между признаками.

Для измерения вариации признака в рядах распределения применяются различные абсолютные и относительные показатели. В статистике чаще всего применяются следующие показатели (меры) вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Рассмотрим подробно каждый из перечисленных показателей вариации.

Размах вариации (размах колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака и определяется по формуле:

                                                              (6.1)

где       R – размах вариации;

xmax – максимальное значение признака;

хmin – минимальное значение признака.

Пример. Наблюдения показывают, что скорость движения легковых автомобилей находится в диапазоне 20-90 км/ч., грузовых автомобилей – в пределах 20-80 км/ч., маршрутных автобусов – 20-60 км/ч., автобусов междугородних сообщений – 20-90 км/ч. Определим размах вариации скоростей этих видов транспорта. Расчет представлен в таблице 13.

Таблица 6.1

Скорости движения транспортных средств

Вид транспорта	Скорость, км/ч.	Скорость км/ч.	Размах вариации
Легковые автомобили	90	20	R=90-20=70 км\ч.
Грузовые автомобили	80	20	R=80-20=60 км\ч.
Маршрутные автобусы	60	20	R=60-20=40 км\ч.
Междугородние автобусы	90	20	R=90-20=70 км\ч.

Безусловным достоинством этого показателя является простота его расчета, поэтому он не редко используется и в технике и в экономике. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака, что делает в известной мере случайной его величину. Поэтому его целесообразно применять при изучении достаточно однородных статистических совокупностей.

Более надежный показатель – средний размах вариации, вычисляемый как средняя арифметическая из ряда размахов, полученных в результате обработки равных серий наблюдений. Таким показателем, пользуются, например, при контроле качества продукции.

Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая индивидуальных абсолютных отклонений значений признака от его среднего значения.

Индивидуальные значения признака в статистической совокупности отклоняются от его средней величины в ту или иную сторону. Найдем среднюю меру отклонения каждого значения признака от его средней величины. Обозначим значения варьирующего признака у отдельных единиц совокупности через , где n – количество (число) единиц совокупности.

Вычитая из каждого значения признака его среднюю величину получим:

;             ;             …                                   (6.2)

Так как алгебраическая сумма (сумма с учетом знака (±) величин) отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической (согласно нулевому свойству) всегда равна нулю, то для расчета среднего линейного отклонения используется арифметическая сумма (сумма модулей величин) отклонений, т.е. суммируются абсолютные значения индивидуальных отклонений значений признака независимо от знака.

Среднее линейное отклонение вычисляется для первичных, несгруппированных данных:

                                                                     (6.3)

Для сгруппированных данных (интервальный ряд):

                                                                   (6.4)

где       хi – индивидуальное значение i-гo признака;

 – центральное значение признака в i-ом интервале;

 – среднее значение признака;

п — число единиц статистической совокупности;

fi – количество признаков в i-ом интервале;

m – количество интервалов в интервальном вариационном ряду.

Пример. Проведем расчет среднего линейного отклонения сменной выработки токарей механического цеха, данные о которой представлены в таблице 6.2.

Таблица 6.2

Сменная выработка токарей механического цеха завода

Количество деталей, обрабатываемых  в смену одним рабочим, шт. (х)	Число рабочих (f)	х·f
4	2	8	2	4
5	4	20	1	4
6	9	54	0	0
7	3	21	1	3
8	2	16	2	4
ИТОГО:	20	119	—	15

Вычисляем среднюю арифметическую:

Тогда среднее линейное отклонение составит:

Это означает, что в среднем сменная выработка каждого рабочего в изучаемой совокупности отклонялась от средней сменной выработки в целом по цеху на 0,75.

Среднее линейное отклонение – число всегда именованное. Его размерность соответствует размерности варьирующего признака.

Простота расчета и интерпретации результатов составляют положительные стороны данного показателя. Однако в результате абстрагирования от знака индивидуальных отклонений, возникают трудности в применении математических методов анализа вариации. Математические свойства модулей «плохие»: их нельзя поставить в соответствие с каким-либо вероятностным законом, в том числе и с нормальным распределением, наиболее часто ветречающимся в экономике, в технике, в жизни. По этой причине среднее линейное отклонение в настоящее время используют редко, но используют. Например, для оценки однородности толщины нитей и пряжи в текстильной промышленности.

Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из среднего квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической и рассчитывается по следующим формулам:

для не сгруппированных данных:

                                                            (6.5)

для сгруппированных данных:

                                                          (6.6)

для интервального ряда:

                                                         (6.7)

Возведение индивидуальных отклонений в квадрат и последующее извлечение квадратного корня вызвано, как уже говорилось, тем, что суммирование отклонений в первой степени приводит к нулевому результату.

Среднее квадратическое отклонение является общепринятым показателем вариации: при его определении принимаются в расчет все отклонения значений варьирующего признака от среднего. Проиллюстрируем расчет среднего квадратического отклонения для ранжированного и интервального вариационных рядов.

Пример. Пусть испытываются шесть лампочек на продолжение горения. Результаты испытания представлены в табл. 6.3 (дискретный вариационный ряд).

Таблица 6.3

Результаты испытаний лампочек

Порядковый номер испытания	Продолжительность горения лампочки, час (х,)
1	420	+20	400
2	400	0	0
3	375	-25	625
4	405	+5	25
5	390	-10	100
6	410	+10	100
ИТОГО:	2400	0	1250

Рассчитаем среднюю арифметическую и среднее квадратическое отклонение:

Это означает, что в среднем продолжительность горения лампочки в изучаемой совокупности отклонялась от средней продолжительности в целом по совокупности на 14,3 часа.

Пример. Рассчитаем среднее квадратическое отклонение срока обращения облигаций. Исходные данные для расчета и промежуточные вычисления представлены в табл. 6.4 (интервальный вариационный ряд).

Рассчитаем среднюю арифметическую величину срока обращения акций и среднее квадратическое отклонение:

;       

Таблица 6.4

Срок обращения облигаций

Срок обращения облигаций, мес (х)	Количество облигаций, шт ( f )
до 2	15	1	15	– 4,6	21,16	317,4
2 – 4	13	3	39	– 2,6	6,76	87,88
4 – 6	29	5	145	– 0,6	0,36	10,44
6 – 8	22	7	154	1,4	1,96	43,12
8 – 10	12	9	108	3,4	11,56	138,72
10 и более	9	11	99	5,4	29,16	262,44
ИТОГО:	100	–	560	–	71,40	860,00

В научной статистике широко используется показатель вариации, называемый дисперсией. Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической.

Дисперсия вычисляется по следующим формулам.

Для не сгруппированных данных:

.                                                                        (6.8)

Для сгруппированных данных (дискретный ряд):

.                                                          (6.9)

Для интервального ряда:

.                                                         (6.10)

На дисперсии основаны практически все методы математической статистики.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение – наиболее широко применяемые показатели вариации. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем теории вероятности, служащих фундаментом математической статистики. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака.

Рассмотренные ранее показатели вариации, за исключением дисперсии, выражались в единицах измерения варьирующего признака. Так, например, среднее квадратическое отклонение урожайности пшеницы измеряется в центнерах. Так как среднеквадратическое отклонение – число именованное, то оно неудобно для сопоставления вариации различных признаков. Например, вычислив среднее квадратическое отклонение производительности работы и заработной платы рабочих, невозможно определить, вариация какого признака больше, т.к в первом случае она измеряется в единицах продукции (деталях), во втором – в гривнях.

Для сравнения вариации разных признаков наиболее часто применяется показатель относительной колеблемости – коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности статистической совокупности. Статистическая совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному закону).

Принцип построения коэффициентов вариации таков:

                                (6.11)

 

Линейный коэффициент вариации	Квадратический коэффициент вариации	Коэффициент  осцилляции

Чаще всего на практике употребляется квадратический коэффициент вариации.

С помощью коэффициента вариации можно сравнивать размеры одного признака в нескольких совокупностях. Так, например, с помощью коэффициента вариации можно сравнивать вариацию срока службы станков на различных предприятиях, вариацию роста и веса населения в различных регионах страны.

Пример. Рассмотрим коэффициенты вариации срока службы электролампочек, выпускаемых на трех заводах. Исходные данные представлены в табл. 6.5.

Таблица 6.5

Срок службы электролампочек

 

Номер завода	Средняя продолжительность горения лампочек, ч., (х)			, %
1	800	-100	10000	10,20
2	1000	+ 100	10000	8,17
3	900	0	0	9,07
ИТОГО-	2700	0	20000

Вычислим среднюю арифметическую срока горения лампочек:

.

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

.

Вычислим коэффициент вариации для каждого завода и занесем данные в таблицу. Наиболее низкий коэффициент вариации у электролампочек, выпускаемых на заводе № 2, что свидетельствует о большой однородности его продукции (в данном случае, однородности качества электролампочек).

www.ekonomstat.ru

Абсолютные и относительные показатели вариации

Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недостаточной для глубокого анализа изучаемого процесса или явления. Необходимо учитывать и разброс или вариацию значений отдельных единиц, которая является важной характеристикой изучаемой совокупности. В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды и в разных местах.

 

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

 

Простейшим показателем является размах вариации. Он представляет собой разность максимального и минимального значений признака:

 

R=Xmax-Xmin.

 

Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ. Этого недостатка лишена дисперсия, рассчитываемая как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:

 

Q2 = ∑ (xi – x)2 / n — невзвешенная формула

 

Q2 = ∑ (xi – x)2 fi / ∑fi — взвешенная формула

 

коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении, относительно среднего уровня.

 

Информативность показателей вариации повышается, если они рассчитываются для целей сравнительного анализа. При этом показатели, рассчитанные по одной совокупности, сопоставляются с показателями, рассчитанными по другой аналогичной совокупности или по той же самой, но относящейся к другому периоду времени. Например, исследуется динамика вариации курса доллара по недельным или месячным данным.

 

Показатели вариации могут быть использованы не только в анализе колеблемости или изменчивости изучаемого признака, но и для оценки степени воздействия одного признака на вариацию другого признака, т.е. в анализе взаимосвязей между показателями.

 

Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные показатели.

 

К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию.

 

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение и др.

 

Статистическая методология

 

Основным условием правильного восприятия и практического использования статистической информации в рыночных отношениях является знание статистической методологии.

Статистическая методология – это система приемов, способов, методов, направленных на изучение количественных закономерностей, проявляющихся во взаимосвязи с социально-экономическими явлениями.

Статистическая методология включает три этапа исследования.

Первый этап: метод массовых наблюдений – это организованная регистрация собранных фактов о массовых социально-экономических, общественных явлениях и процессах.

Второй этап: сводка и группировка статистических данных – это систематизация первичных данных по признакам, объединяющим в качественно однородные группы.

Третий этап: анализ совокупных данных, полученных в результате сводки и группировки, при этом используются обобщенные показатели: абсолютных, относительных и средних величин, показатели вариации, ряды динамики, анализ взаимосвязей и индексы. На стадиях статистического исследования применяются специфические методы, которые и образуют статистическую методологию

 

Основные понятия и категории статистики

Теоретическую основу любой науки составляют понятия и категории к важнейшим из которых относятся стат. Совокупность, призн., вариация закономерность, стат. показателей. Стат. совокупность- множество соц. Эк. Объектов обледененных качественной основой, но отличающихся друг от друга отдельными признаками. Совокупности могут быть однородными и разнородными Совокупность называется разнородной если одни или несколько изуч. Сущ. Признаков её объектов явл. Общими для всех единиц, совокупность называется разнородной если в неё входят явления разного типа. Одна и та же совокупность единиц может быть однородна по одному признаку и неоднородна по другому. Единица статистической совокупности это каждый отдельно взятый (первичный элемент данного множества)Единица стат. совокупности характеризуется общими св-ми –признаками. Признак – это качественная особенность единицы совокупности. | По форме внешнего выражения признаки делятся на а) количественные – имеющие численное выражение, возраст, стаж работы и тд. Б)атрибутивные (качественные) признаки не имеющие непосредственного кол-ого выражения, в этом случайно отдельны еденицы совокупности различ. Своим содержанием. По характеру вариации признаки бывают: а) альтернативные которые могут принимать только два значения( пол человека) б)дискретные: количественные признаки которые могут принимать только отдельные значения без промежуточных значениях между ними. в) непрерывные – признаки способные принимать любые значения. Вариация – это различия в значениях того или иного признака у отдельных единиц совокупности. Закономерность- это форма проявл. Причинной связи выражающийся в последовательности регулярности событий с достаточно высокой степенью вероятности, если причины поражающие события не изменяются или измен. не значительно. При исследовании тенденций и закономерности развития общ. Явл статистика опирается на закон больших чисел, который говорит о том, что кол-ые закономерности массовых явлений отчетливо проявл. лишь в достаточно большом их числе. Стат показатель это полная оценка св.-в изм. Явления. Стат. показатели подразделяются на учетно-оценочные и аналитические показатели отражают объем или уровень изучаемого явл. Стат. показателшь имеет три обязательных атрибута: кол опр., места и времени

 

 

Абсолютные, относительные, средние показатели

Абсолютные показателихарактеризуют итоговую численность единиц совокупности или ее частей, размеры (объемы, уровни) изучаемых явлений и процессов, выражают временные характеристики. Абсолютные показатели могут быть только именованными числами, где единица измерения выражается в конкретных цифрах. В зависимости от сущности исследуемого явления и поставленных задач единицы измерения могут быть натуральными, условно-натуральными, стоимостными и трудовыми.

 

В статистике относительные показатели используют в сравнительном анализе, в обобщении и синтезе. Относительные показатели — это цифровые обобщающие показатели, они есть результат сопоставления двух статистических величин. По своей природе относительные величины производны от деления текущего (сравниваемого) абсолютного показателя на базисный показатель.

 

Относительные показатели могут быть получены или как соотношения одноименных статистических показателей, или как соотношения разноименных статистических показателей. В первом случае получаемый относительный показатель рассчитывается или процентах, или в относительных единицах, или в промилле (в тысячных долях). Если соотносятся разноименные абсолютные показатели, то относительный показатель в большинстве случаев бывает именованным.

 

Относительные величины, используемые в статистической практике:

 

относительная величина структуры;

 

относительная величина координации;

 

относительная величина планового задания;

 

относительная величина выполнения плана;

 

относительная величина динамики;

 

относительная величина сравнения;

 

относительная величина интенсивности.

 

Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины.

Сущность средней величины

 

Средняя величина — это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

 

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом.

 

Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность. Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц.

 

 

7. Сущность, виды и формулы для вычисления средних показателей. Область их применения.

 

Средние показатели

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемых в социально-экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака статистической совокупности. Средние величины являются как бы «представителями» всего ряда наблюдений. Определить среднюю можно во многих случаях через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

.

Так, например, для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников:

Числитель исходного соотношения средней представляет собой ее определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем является фонд заработной платы. Для каждого показателя, используемого в социально-экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней.

Следует еще добавить, что для того, чтобы более точно оценить стандартное отклонение для малых выборок (с числом элементов менее 30), в знаменателе выражения под корнем надо использовать не n, а n-1.

 

 

 



infopedia.su

2 Показатели центра распределения и структурные характеристики вариационного ряда

Тема Показатели вариации

План

1 Понятие вариации и ее значение

2 Показатели центра распределения и структурные характеристики вариационного ряда

3 Показатели размера и интенсивности вариации

4 Вариация альтернативного признака

5 Виды дисперсий и правило их сложения

6 Асимметрия распределения и эксцесс

1 Понятие вариации и её значение

Средние величины дают обобщающую характеристику совокупности по варьирующим признакам, показывают типичный для данных условий уровень их признаков. Но, наряду со средними величинами большое значение имеет изучение отклонений от средних, т. е. вариация.

Колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности называется вариацией.

Статистический анализ вариации предполагает выполнение следующих этапов:

• Построение вариационного ряда

• Графическое изображение вариационного ряда

• Определение показателей центра распределения и структурных характеристик вариационного ряда

• Расчет показателей размера и интенсивности вариации (степени вариации)

• Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс (показателей формы распределения)

По степени вариации можно судить об:

однородности совокупности,

типичности средней,

взаимосвязи между признаками.

Статистические показатели, характеризующие вариацию, широко применяются в практической деятельности.

Для количественной оценки степени колеблемости признака общая теория статистики опирается на такие показатели как:

размах вариации(R), среднее линейное отклонение(), квартильное отклонение Q, дисперсия (δ²), среднее квадратическое отклонение (δ) , коэффициент вариации, коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительный показатель квартильной вариации.

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются так называемые показатели центра распределения. К ним относятся средняя величина признака, мода и медиана.

По соотношению характеристик центра распределения (средней величины, моды и медианы) можно судить о симметричности эмпирического ряда распределения. Симметричным является распределение, в котором частоты двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В симметричном распределении средняя величина, медиана и мода равны между собой:

Если , то имеет место правосторонняя асимметрия, т.е. большая часть единиц совокупности имеет значение изучаемого признака, превышающие модальное значение. На графике распределения правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая.

Соотношение характерно для левосторонней асимметрии, при которой большая часть единиц совокупности имеет значения признака ниже модального. На графике распределения левая ветвь вытянута больше, чем правая.

Моду и медиану называют еще структурными средними, поскольку они дают количественную характеристику структуры строения вариационных рядов.

К структурным характеристикам относятся и другие порядковые статистики: квартили — делящие ряд на 4 равные части, децили – делящие ряд на 10 частей, перцинтили – на 100 равных частей.

Определение показателей децилей, нашедших широкое применение в анализе дифференциации различных социально – экономических явлений.

.

Соотношение децильных доходов в социальной статистике получило название коэффициента децильной дифференциации доходов населения (К_р): ,

Это означает, что минимальный среднедушевой доход 10% наиболее обеспеченного населения превышал максимальный доход 10% наименее обеспеченного населения в…….раз.

3. Показатели размера и интенсивности вариации

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные.

К абсолютным относятся размах вариации (R), среднее линейное отклонение (), дисперсия (δ²), среднее квадратическое отклонение (δ), квартильное отклонение Q.

Относительными показателями вариации являются коэффициент осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение, относительный показатель квартильной вариации и др. Они вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической или медиане.

Самым простым абсолютным показателем является размах вариации. Его исчисляют как разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака.

Величина R всецело зависит от крайних значений признака, и он не учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах совокупности

Более точно характеризуют вариацию признака показатели, основанные на учете колеблемости всех значений признака, — среднее линейное отклонение (d) и среднее квадратическое отклонение (δ).

Распределение отклонений можно уловить, исчислив отклонения всех вариант от средней. Отклонение от средней — это разность между вариантой (х) и средней арифметической () в данной совокупности.

Чтобы исчислить среднее арифметическое из отклонений нужно применить формулу средней арифметической:

а) простую ; б) взвешенную .

— среднее арифметическое или среднее линейное отклонение, дает абсолютную меру вариации.

Среднее арифметическое отклонение как мера вариации применяется редко. Чаще отклонения от средней возводят в квадрат и из квадратов исчисляют среднюю величину. Эта мера вариации называется дисперсией (— средний квадрат отклонений), а корень квадратный из — — есть среднее квадратическое отклонение.

Чтобы вычислить среднее квадратическое отклонение нужно найти отклонение каждой варианты от средней (), затем возвести отклонения в квадрат, умножить каждый квадрат отклонения на свою частоту и просуммировать. Полученную сумму разделить на сумму частот.

=

Корень квадратный из этой величины и будет среднее квадратическое отклонение.

=

Помимо абсолютных величин представляют интерес и относительные величины. Для оценки интенсивности вариации, а так же для сравнения ее величины в разных совокупностях или по разным признакам используют относительные показатели вариации. Базой для сравнения является средняя арифметическая (). Они вычисляются как отношение R, (среднее линейное отклонение) и (среднее квадратическое отклонение) к или медиане. Выражаются в %; дают оценку вариации и характеризуют однородность совокупности.

Различают следующие относительные показатели вариации:

1. коэффициент осцилляции =

2. линейный коэффициент вариации =

3. коэффициент вариации =

4. коэффициент квартильной вариации

;

studfiles.net

Показатели вариации

Показатели вариации. При изучении варьирующего признака у единиц совокупности нельзя ограничиваться лишь расчетом средней величины из отдельных вариантов, так как одна и та же средняя может относиться далеко не к одинаковым по составу совокупностям.

Вариацией признака называется различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Термин «вариация» произошел от латинского variatio – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации. Чем больше вариация, тем дальше в среднем отдельные значения лежат друг от друга.

Различают вариацию признака в абсолютных и относительных величинах.

К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия. Все абсолютные показатели имеют ту же размерность, что и изучаемые величины.

К относительным показателям относятся коэффициенты осцилляции, линейного отклонения и вариации.

Показатели абсолютные. Рассчитаем абсолютные показатели, характеризующие вариацию признака.

Размах вариации, представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака.

   

Показатель размаха вариации не всегда применим, так как он учитывает только крайние значения признака, которые могут сильно отличаться от всех других единиц.

Более точно можно определить вариацию в ряду при помощи показателей, учитывающих отклонения всех вариантов от средней арифметической.

Таких показателей в статистике два: среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение (L) представляет собой среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от средней.

– для несгруппированных данных;	(6.2)
– для сгруппированных данных.	(6.3)

Практическое использование среднего линейного отклонения заключается в следующем, с помощью этого показателя анализируется состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов.

Недостаток этого показателя заключается в том, что он усложняет расчеты вероятного типа, затрудняет применение методов математической статистики.

    Среднее квадратическое отклонение () является наиболее распространенным и общепринятым показателем вариации. Оно несколько больше среднего линейного  отклонения. Для умеренно асимметричных распределений установлено следующее соотношение между ними

=1,25L

(6.4)

Для его исчисления каждое отклонение от средней возводится в квадрат, все квадраты суммируются (с учетом весом), после чего сумма квадратов делится на число членов ряда и из частного извлекается корень квадратный.

Все эти действия выражает следующая формула

– для несгруппированных данных,	(6.5)
– для сгруппированных данных.	(6.6)

т.е. среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из средней арифметической квадратов отклонений от средней.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше σ, тем лучше среднее арифметическое отражает собой всю представляемую совокупность.

Средняя арифметическая из квадратов отклонений вариантов значений признака от средней величины носит название дисперсии (), которая рассчитывается по формулам

– для несгруппированных,	(6.7)
– для сгруппированных.	(6.8)

Отличительной особенностью данного показатели является то, что при возведении в квадрат () удельный вес малых отклонений уменьшается, а больших увеличивается в общей сумме отклонений.

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить её вычисление:

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

Если , то и .

Тогда .

2. Если все варианты значений признака (x) уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится.

Пусть , но тогда в соответствии со свойствами средней арифметической и .

Дисперсия в новом ряду будет равна

, т.е. дисперсия в ряду  равна дисперсии первоначального ряда .

3. Если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия  уменьшится в k2 раз.

Пусть , тогда и .

Дисперсия же нового ряда  будет равна

        4. Дисперсия, рассчитанная по отношению к средней арифметической, является минимальной. Средний квадрат отклонений, рассчитанный относительно произвольного числа , больше дисперсии, рассчитанной по отношению к средней арифметической, на квадрат разности между средней арифметической и числом , т.е. . Дисперсия от средней имеет свойство минимальности, т.е. она всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин. В этом случае, когда  приравниваем к 0 и , следовательно, не вычисляем отклонения, формула принимает такой вид:

(6.9)

Выше был рассмотрен расчет показателей вариации для количественных признаков, но в экономических расчетах может ставиться  задача оценки вариации качественных признаков. Например, при изучении качества изготовленной продукции, продукцию можно разделить на качественную и бракованную.

В таком случае речь идет об альтернативных признаках.

Альтернативными признаками называются такие, которыми одни единицы совокупности обладают, а другие нет. Например, наличие производственного стажа у абитуриентов, ученая степень у преподавателей ВУЗов и т.д. Наличие признака у единиц совокупности условно обозначаем через 1, а отсутствие – 0. Тогда, если долю единиц, обладающих признаком (в общей численности единиц совокупности), обозначить через р, а долю единиц, не обладающих признаком, через q, дисперсию альтернативного признака можно рассчитать по общему правилу. При этом p + q = 1 и, значит,  q = 1– p.

Сначала рассчитываем среднее значение альтернативного признака:

Рассчитаем среднее значение альтернативного признака

,

т.е. среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих данным признаком.

Дисперсия же альтернативного признака будет равна:

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равняется произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

А среднее квадратическое отклонение будет равно =.

Показатели относительные. Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, выраженные в относительных величинах. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане.

Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Различают следующие относительные показатели вариации:

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

.

(6.10)

      

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отношений от средней величины.

.

(6.11)

3. Коэффициент вариации оценивает типичность средних величин.

.

(6.12)

Чем меньше , тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя. Если ≤33%, то распределение близко к нормальному, а совокупность считается однородной. Из приведенного примера вторая совокупность однородна.

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий. Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии. 

При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности:

1. Общую вариацию совокупности, которая является результатом действия всех причин. Эта вариация может быть измерена общей дисперсией (), характеризующей отклонения индивидуальных значений признака совокупности от общей средней

.

(6.13)

2. Вариацию групповых средних, выражающих отклонения групповых средних от общей средней и отражающих влияние того фактора, по которому произведена группировка. Эта вариация может быть измерена так называемой межгрупповой дисперсией (δ2)

,

(6.14)

где — групповые средние, а -общая средняя для всей совокупности, и — численность отдельных групп.

3. Остаточную (или внутригрупповую) вариацию, которая выражается в отклонении отдельных значений признака в каждой группе от их групповой средней и, следовательно, отражает влияние всех прочих факторов кроме положенного в основу группировки. Поскольку вариацию в каждой группе отражает групповая дисперсия

,

(6.15)

то для всей совокупности остаточную вариацию будет отражать средняя из групповых дисперсий. Эту дисперсию называют средней из внутригрупповых дисперсий () и рассчитывается она по формуле

.

(6.16)

Общая вариация признака в совокупности должна определяться как сумма вариации групповых средних (за счет одного выделенного фактора) и остаточной вариации (за счет остальных факторов). Это равенство находит свое выражение в сложении дисперсий

.

(6.17)

Это равенство, имеющее строго математическое доказательство, известно, как правило сложения дисперсий.

Правило сложения дисперсий позволяет находить общую дисперсию по её компонентам, когда индивидуальные значения признака неизвестны, а в распоряжении имеются только групповые показатели.

Коэффициент детерминации. Правило сложения дисперсии позволяет выявить зависимость результатов от определенных факторов при помощи коэффициента детерминации.

,

(6.18)

 

Этот коэффициент показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Корень квадратный из коэффициента детерминации носит название корреляционного отношения ():

(6.19)

Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если , то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если , то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.

Показатели асимметрии и эксцесса. В области экономических явлений строго симметричные ряды встречаются крайне редко, чаще приходится иметь дело с асимметричными рядами.

В статистике для характеристики асимметрии пользуются несколькими показателями. Если учесть, что в симметричном ряду средняя арифметическая совпадает по значению с модой и медианой, то наиболее простым показателем асимметрии () будет разность между средней арифметической и модой, т.е. =.

Если ()>0, то на графике такой ряд будет иметь вытянутость вправо (правосторонняя асимметрия).

Если ()<0, то на графике такой ряд будет иметь вытянутость влево (левосторонняя асимметрия).

Для сравнения асимметрии в нескольких рядах используют относительный показатель, полученный путем деления величины () на среднее квадратическое отклонение, т.е.

Аs = .

(6.20)

Еще один показатель рассчитывается в вариационных рядах для характеристики крутости распределения. Это показатель эксцесса (). При одной и той же средней арифметической эмпирический ряд может быть островершинным или низковершинным по сравнению с кривой нормального распределения.

Величину эксцесса рассчитывают по формуле

.

(6.21)

Центральный момент четвертого порядка рассчитывается по формуле

.

(6.22)

Если >0, то эксцесс считают положительным (распределение островершинно), если <0, то эксцесс считается отрицательным (распределение низковершинно).

www.ekonomstat.ru