Окружность с координатами: Как узнать координаты точки на окружности, зная только радиус? — Хабр Q&A

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{article.content_lang.display}}

Прямая и окружность в координатах.

1. МКОУ «Погорельская СОШ» Кощеев М.М.

2. Результат теста

3. Вариант 1

4. Вариант 1

5. Вариант 1

6. Вариант 1

7. Вариант 1

8. Вариант 1

9. Вариант 1

10. Вариант 1

11.

12. Вариант 1

13. Вариант 1

14. Вариант 1

15. Вариант 1

16. Вариант 1

17. Вариант 2

18. Вариант 2

19. Вариант 2

20. Вариант 2

21.

22. Вариант 2

23. Вариант 2

24. Вариант 2

25.

26. Вариант 2

27. Вариант 2

28. Вариант 2

29. Вариант 2

30. Вариант 2

Внеклассный урок — Числовая окружность

Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть – это дуга AB

вторая четверть – дуга BC

третья четверть – дуга CD

четвертая четверть – дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности – точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением.
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

 Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x, вертикальный – оси y.

Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Значения x и y в четвертях числовой окружности:

Значение любой точки числовой окружности:

Основные величины числовой окружности:

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

  
Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х, равная 1).

Как вы знаете, 2π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то половина полуокружности – это π/2.

Одновременно π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у, равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у, и относительно центра осей, и относительно оси х. Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

— Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

  — Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7π/6.

Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

— Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k, то получим новое выражение:
t = t + 2πk.

Отсюда формула:

Уравнение числовой окружности
(второе уравнение – в разделе «Синус, косинус, тангенс, котангенс»):

Числовая окружность на координатной плоскости. 10 класс, алгебра

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Урок и презентация на тему: «Числовая окружность на координатной плоскости»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Что будем изучать:
1. Определение.
2. Важные координаты числовой окружности.
3. Как искать координату числовой окружности?
4. Таблица основных координат числовой окружности.
5. Примеры решения задач.

Определение числовой окружности на координатной плоскости

Координаты точек числовой окружности

Рассмотрим примеры

Решение:
Т.к. числам $t$ и $t+2π*k$, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
$45\frac{π}{4} = (10 + \frac{5}{4}) * π = 10π +5\frac{π}{4} = 5\frac{π}{4} + 2π*5$.
Значит, числу $45\frac{π}{4}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $\frac{5π}{4}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{4}$ в таблице, получаем: $P(\frac{45π}{4})=P(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Пример 2.
Найти координату точки числовой окружности: $Р(-\frac{37π}{3})$.

Решение:

Т.к. числам $t$ и $t+2π*k$, где k-целое число, соответствует одна и та же точка числовой окружности то:
$-\frac{37π}{3} = -(12 + \frac{1}{3})*π = -12π –\frac{π}{3} = -\frac{π}{3} + 2π*(-6)$.
Значит, числу $-\frac{37π}{3}$ соответствует та же точка числовой окружности, что и числу $–\frac{π}{3}$, а числу –$\frac{π}{3}$ соответствует та же точка, что и $\frac{5π}{3}$. Посмотрев значение точки $\frac{5π}{3}$ в таблице, получаем:
$P(-\frac{37π}{3})=P(\frac{{1}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Пример 3.
Найти на числовой окружности точки с ординатой $у =\frac{1}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют?

Решение:
Прямая $у =\frac{1}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу $\frac{π}{6}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида: $\frac{π}{6}+2π*k$. Точка Р соответствует числу $\frac{5π}{6}$, а значит, и любому числу вида $\frac{5π}{6} +2 π*k$.
Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:
$\frac{π}{6} +2 π*k$ и $\frac{5π}{6} +2π*k$.
Ответ : $t=\frac{π}{6} +2 π*k$ и $t=\frac{5π}{6} +2π*k$.

Пример 4.
Найти на числовой окружности точки с абсциссой $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и записать, каким числам $t$ они соответствуют.

Решение:

Прямая $x =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенству $x≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу $3\frac{π}{4}$ (из данных таблицы). Значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$. Точка Р соответствует числу $-\frac{3π}{4}$, а значит, и любому числу вида $-\frac{3π}{4} +2π*k$.

Тогда получим $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.

Ответ : $-\frac{3π}{4} +2 π*k ≤t≤\frac{3π}{4} +2πk$.

Задачи для самостоятельного решения

Необходимо рассчитать координаты точек окружности для того, чтобы вывести в последствии на карту

Регистрация:

3 июн 2013

Сообщения:

61

Симпатии:

28

Вы планируете рачситывать координаты точек на окружности без учета кривизны поверхности земли? Т.е. откладывая расстояние в 3000 км от центра окружности все же стоит учитывать то что наша планета не есть диск на трех слонах…. аапперируя такими растояниями да еще и в географических координатах, рекомендую учесть кривизну поверхности. А еже ли стоит острая необходимость в написаниии процедуры расчета примой геодезической задачи, так там дел на 5 мин.

P.S. вот наткнулся на решение прямой геодезической задачи на сфере

 

Последнее редактирование: 7 фев 2017

MaksNik указал верное направление, но смотреть лучше здесь.
Единственный нюанс, если даны геодезические координаты (геодезическая широта и долгота), то для вычисления на сфере их надо преобразовать в геоцентрические, а после вычисления на сфере, опять в геодезические.
Равноугольная цилиндрическая проекция – это проекция Меркатора?

— Сообщения объединены, 7 фев 2017, Оригинальное время сообщения: 7 фев 2017 —

Опа.
Пока писал, MaksNik дал верную ссылку.

— Сообщения объединены, 7 фев 2017 —

Геоцентрическую ψ широту по геодезической φ находим так (формулы строгие)
Испр. формулы даны ниже.

 

Последнее редактирование: 8 фев 2017

Уравнение окружности на координатной плоскости. Декартовы координаты точек плоскости

Определение 1 . Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

O → x

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины .

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат , не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату , которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA 1 и AA 2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A 1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A 2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y ) или A = (x ; y ).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти (квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2)

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

Пусть окружность имеет радиус , а ее центр находится в точке
. Точка
лежит на окружности тогда и только тогда, когда модуль вектора
равен, то есть. Последнее равенство выполнено тогда и только тогда, когда

Уравнение (1) и является искомым уравнением окружности.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору

перпендикулярно вектору
.

Точка

и
перпендикулярны. Векторы
и
перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть
. Используя формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами, уравнение искомой прямой записываем в виде

Рассмотрим пример. Найти уравнение прямой, проходящей через

середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку если координаты точек соответственно равны А(1;6), В(5;4).

Будем рассуждать следующим образом. Чтобы найти уравнение прямой мы должны знать точку, через которую эта прямая проходит, и вектор перпендикулярный этой прямой. Вектором, перпендикулярным данной прямой, будет вектор , поскольку, по условию задачи, прямая перпендикулярна отрезку АВ. Точку
определим из условия, что прямая проходит через середину АВ. Имеем . Таким образом
и уравнение примет вид.

Выясним вопрос, проходит ли эта прямая через точку М(7;3).

Имеем , значит, эта прямая не проходит через указанную точку.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору

Пусть прямая проходит через точку
параллельно вектору
.

Точка
лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы
и
колинеарны. Векторы
и
колинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, то есть

(3)

Полученное уравнение и является уравнением искомой прямой.

Уравнение (3) представим в виде

, где принимает любые значения
.

Следовательно, можем записать

, где
(4)

Система уравнений (4) называется параметрическими уравнениями прямой.

Рассмотрим пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки . Мы можем построить уравнение прямой, если знаем точку и параллельный или перпендикулярный ей вектор. Точек в наличии целых две. Но если две точки лежат на прямой, то вектор, их соединяющий будет параллелен этой прямой. Поэтому воспользуемся уравнением (3), взяв в качестве вектора
вектор
. Получаем

(5)

Уравнение (5) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

Общее уравнение прямой

Определение. Общим уравнением линии первого порядка на плоскости называется уравнение вида
, где
.

Теорема. Всякая прямая на плоскости может быть задана в виде уравнения линии первого порядка, и всякое уравнение линии первого порядка является уравнением некоторой прямой на плоскости.

Первая часть этой теоремы доказывается просто. На всякой прямой можно указать некоторую точку
перпендикулярный ей вектор
. Тогда, согласно (2), уравнение такой прямой имеет вид. Обозначим
. Тогда уравнение примет вид
.

Теперь перейдем ко второй части теоремы. Пусть имеется уравнение
, где
. Будем считать для определенности
.

Перепишем уравнение в виде:

;

Рассмотрим на плоскости точку
, где
. Тогда полученное уравнение имеет вид , и является уравнением прямой, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
. Теорема доказана.

В процессе доказательства теоремы мы попутно доказали

Утверждение. Если имеется уравнение прямой вида
, то вектор
перпендикулярен данной прямой.

Уравнение вида
называется общим уравнением прямой на плоскости.

Пусть имеется прямая
и точка
. Требуется определить расстояние от указанной точки до прямой.

Рассмотрим произвольную точку
на прямой. Имеем
. Расстояниеот точки
до прямой равно модулю проекции вектора
на вектор
, перпендикулярный данной прямой. Имеем

,

преобразуя, получаем формулу:

Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями

,
. Тогда векторы

перпендикулярны первой и второй прямой соответственно. Угол
между прямыми равен углу между векторами
,
.

Тогда формула для определения угла между прямыми имеет вид:

.

Условие перпендикулярности прямых имеет вид:

.

Прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда векторы

колинеарны. При этомусловие совпадения прямых имеет вид :
,

а условие отсутствия пересечения записывается в виде:
. Последние два условия докажите самостоятельно.

Исследуем характер поведения прямой по ее общему уравнению.

Пусть дано общее уравнение прямой
. Если
, то прямая проходит через начало координат.

Рассмотрим случай, когда ни один из коэффициентов не равен нулю
. Уравнение перепишем в виде:

,

,

Где
. Выясним смысл параметров
. Найдем точки пересечения прямой с осями координат. При
имеем
, а при
имеем
. То есть
— это отрезки, которые отсекает прямая на координатных осях.Поэтому уравнение
называется уравнением прямой в отрезках.

В случае
имеем

. В случае
имеем
. То есть прямая будет параллельна оси.

Напомним, что угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси
. Пусть прямая отсекает на осиотрезоки имеет угловой коэффициент. Пусть точка
лежит на данной

Тогда
==. И уравнение прямой запишется в виде

.

Пусть прямая проходит через точку
и имеет угловой коэффициент. Пусть точка
лежит на этой прямой.

Тогда =
.

Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом.

Пусть даны две прямые
,
. Обозначим
— угол между ними. Пусть,углы наклона к оси Х соответствующих прямых

Тогда
=
,
.

Тогда условие параллельности прямых имеет вид
, а условие перпендикулярности

В заключение рассмотрим две задачи.

Задача . Вершины треугольника АВС имеют координаты: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Найти: а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины А;

б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины А;

в) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А;

Определим уравнение медианы АМ.

Точка М() середина отрезка ВС.

Тогда , . Следовательно, точка М имеет координаты M(15;17). Уравнение медианы на языке аналитической геометрии это уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) параллельно вектору ={11;15}. Тогда уравнение медианы имеет вид. Длина медианы АМ=.

Уравнение высоты AS — это уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) перпендикулярно вектору ={10;4}. Тогда уравнение высоты имеет вид 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

Длина высоты — это расстояние от точки А(4;2) до прямой ВС. Данная прямая проходит через точку B(10;10) параллельно вектору ={10;4}. Ее уравнение имеет вид, 2x-5y+30=0. Расстояние AS от точки А(4;2) до прямой ВС, следовательно, равно AS=.

Для определения уравнения биссектрисы найдем вектор параллельный этой прямой. Для этого воспользуемся свойством диагонали ромба. Если от точки А отложить единичные векторы одинаково направленные с векторамии, то вектор, равный их сумме, будет параллелен биссектрисе. Тогда имеем=+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Тогда =В качестве направляющего вектора искомой прямой может служить вектор={1;1}, коллинеарный данному. Тогда уравнение искомой прямой имеет видилиx-y-2=0.

Задача. Река протекает по прямой линии, проходящей через точки А(4;3) и В(20;11). В точке С(4;8) живет Красная Шапочка, а в точке D(13;20) ее бабушка. Каждое утро Красная Шапочка берет пустое ведро из дома, идет на реку, черпает воду и относит ее бабушке. Найти самую короткую дорогу для Красной Шапочки.

Найдем точку Е, симметричную бабушке, относительно реки.

Для этого сначала найдем уравнение прямой, по которой течет река. Это уравнение можно рассматривать, как уравнение прямой, проходящей через точку А(4;3) параллельно вектору . Тогда уравнение прямой АВ имеет вид.

Далее найдем уравнение прямой DE, проходящей через точку D перпендикулярно АВ. Его можно рассматривать, как уравнение прямой, проходящей через точку D, перпендикулярно вектору
. Имеем

Теперь найдем точку S — проекцию точки D на прямую АВ, как пересечение прямых АВ и DE. Имеем систему уравнений

.

Следовательно, точка S имеет координаты S(18;10).

Поскольку S середина отрезка DE, то .

Аналогично .

Следовательно, точка Е имеет координаты Е(23;0).

Найдем уравнение прямой СЕ, зная координаты двух точек этой прямой

Точку М найдем как пересечение прямых АВ и СЕ.

Имеем систему уравнений

.

Следовательно, точка М имеет координаты
.

Тема 2. Понятие об уравнении поверхности в пространстве. Уравнение сферы. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости и его исследование Условие параллельности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Понятие об уравнении линии. Прямая линия в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Вначале, дадим определение понятия уравнения поверхности в пространстве.

Пусть в пространстве
задана некотораяповерхность . Уравнение
называется уравнениемповерхности , если выполнены два условия:

1.для любой точки
с координатами
, лежащей наповерхности, выполнено
, то есть ее координаты удовлетворяют уравнениюповерхности;

2. любая точка
, координаты которой удовлетворяют уравнению
, лежит на линии.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b) , а координаты любой точки окружности (х; у) , то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Решение .
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x-a ) 2 + (y-b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — (-3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Решение .
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
(x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 — 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).

Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности

• четвертям — 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
• серединам четвертей — π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• третям четвертей — π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.

Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).

Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).

Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).

Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого — это и есть координаты x и y точки окружности.

Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Из теоремы Пифагора получаем уравнение x 2 + y 2 = 1 2 . Поскольку x = y, а 1 2 = 1, то уравнение упрощается до x 2 + x 2 = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Таким образом, координаты точки M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.

Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 — ¼ = ¾
x = √3/2

Таким образом T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Как найти уравнение окружности

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

генерация координат окружности

Быстрый обзор триггера

Существуют соотношения между углами прямоугольного треугольника и его основание и высота.

Отношение высоты к гипотенузе называется синусом.
Отношение основания к гипотенузе называется косинусом.

Генерация (x,y) координат окружности

Возьмем окружность с центром в точке (0,0).
Радиус окружности равен 1.
На рисунке ниже показаны оси X (горизонтальная) и Y (вертикальная).
Углы измеряются, начиная с оси x.
Если мы проведем линию из точки (0,0) под углом a от оси абсцисс линия пересечет окружность в точке Р .

Мы можем использовать отношения выше, чтобы определить координаты x и y точки P. Вот как:

• Координата x точки P называется косинусом a (записывается так: cos(a))
• Координата y точки P называется синусом a (записывается так: sin(a))

Пристальный взгляд на образующие точки по кругу

Начнем всего с пяти следующих углов: 0, 90, 180, 270 и 360.
(0 и 360 градусов — это один и тот же угол, а именно положительная ось абсцисс).

r = 1
a = 0, 90, 180, 270, 360 (углы в градусах)

Теперь посмотрим на те же углы, но покажем их в радиан а не градусов.

a = 0, pi/2, pi, 3pi/2, 2pi
(углы в радианах, где полный оборот по окружности равен 2pi)

Затем, чтобы сгенерировать координаты x и y вдоль окружности, мы используем:

x = r * cos(a)
y = r * sin(a)

1 1

	a =	a = 0	a = pi / 2	a = pi	a = 3pi / 2	a = 2pi
x =	1 * cos(0)	1 * cos(pi/2)	1* cos(pi)	1* cos(3*pi/2)	1* cos(2*pi)
x =	1 * 1	1 * 0	1 * 0	1 * 0	1 * 0	1 * 1
x =	0	-1	0	1

у = г * грех (а)

6

8 1

8 0

y =	1 * sin(0)	1 * sin(pi/2)	1* sin(pi)	1* sin(3*pi/2)	1* sin(2*pi)
y =	1 * 0	1 * 0	1 * 0	1 * 0	1 * -1	1 * 0	1 * 0
y =	0	— 1	0

(1, 0)
(0, 1)
(-1, 0)
(0, -1)
(1,0)

а = 0, пи/4, пи/2, 3пи/4, пи, 5пи/4, 3пи/2, 7пи/8, 2пи

Затем мы можем получить координаты x и y для этих 9 углов:

И если мы перепрыгнем с 9 на 17 углов между 0 и 2pi, мы сможем см. координаты приближаются к круглой форме.

Вернуться к заданию 1

Круговая и координатная геометрия — mathscard онлайн

Координатная геометрия

Линейные графики и уравнения

$y=mx+c$

$m$ = градиент, $c$ = точка пересечения по вертикали.

$ m=\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Параллельные линии имеют одинаковый градиент.

Рассмотрим строку, например:

градиент $m = \displaystyle {y-y_1\over x-x_1}$

$\quad \quad \Rightarrow y-y_{1}= m(x-x_{1})$

Это еще одна форма уравнения прямой линии.

Еще одна форма $ax + by + c = 0$

Середина прямой

Середина прямой, соединяющей точки $(x_{1},y_{1}) $ и $ (x_{2},y_{2})$. 2$

Касательная и нормаль к окружности

Касательная к окружности — это прямая линия, которая ее касается.\circ $ касательной в точке, где касательная касается окружности.

Нормаль всегда проходит через центр окружности.

Градиенты

Если градиент касательной равен $m$, то градиент нормали равен $\displaystyle \frac{-1}{m}$.

Градиент нормали $(m_{n}) = \displaystyle \frac{-1}{\hbox{градиент касательной}(m_{t})}$

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \rightarrow m_{t} \times m_{n} = -1$

Параметрические уравнения

Координаты точки на кривой можно определить с помощью параметрических уравнений. 2,\ x=ct,\ \displaystyle y=\frac{c}{t}$

Уравнение окружности — Формула, Примеры

Уравнение окружности обеспечивает алгебраический способ описания окружности с учетом центра и длины радиуса окружности.Уравнение окружности отличается от формул, которые используются для вычисления площади или длины окружности. Это уравнение используется во многих задачах окружностей в координатной геометрии.

Чтобы изобразить окружность на декартовой плоскости, нам потребуется уравнение окружности. На листе бумаги можно нарисовать окружность, если известны ее центр и длина радиуса. Точно так же на декартовой плоскости мы можем нарисовать окружность, если знаем координаты центра и его радиус.Круг может быть представлен во многих формах:

• Общая форма
• Типовая форма
• Параметрическая форма
• Полярная форма

В этой статье давайте узнаем об уравнении окружности, его различных формах с графиками и решенными примерами.

Что такое уравнение окружности?

Уравнение окружности представляет положение окружности на декартовой плоскости. Зная координаты центра окружности и длину ее радиуса, мы можем написать уравнение окружности.2\).

Различные формы уравнения окружности

Уравнение окружности представляет положение окружности на декартовой плоскости. На листе бумаги можно нарисовать окружность, зная ее центр и длину радиуса. Используя уравнение окружности, как только мы найдем координаты центра окружности и ее радиус, мы сможем нарисовать окружность на декартовой плоскости. Существуют различные формы для представления уравнения окружности,

• Общая форма
• Типовая форма
• Параметрическая форма
• Полярная форма

Рассмотрим здесь две распространенные формы уравнения окружности — общий вид и стандартную форму уравнения окружности, а также полярную и параметрическую формы.

Общее уравнение окружности

Общая форма уравнения окружности: x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0. Эта общая форма используется для нахождения координат центра окружности и радиуса, где g, f, c — константы. В отличие от стандартной формы, которую легче понять, общая форма уравнения окружности затрудняет поиск каких-либо значимых свойств любой данной окружности. Итак, мы будем использовать формулу заполнения квадрата, чтобы сделать быстрое преобразование из общей формы в стандартную форму.2\)

Рассмотрим этот пример уравнения окружности (x — 4) ² + (y — 2) ² = 36 — это окружность с центром в (4,2) и радиусом 6.

Параметрическое уравнение окружности

Мы знаем, что уравнение окружности в общем виде имеет вид x ² + y ² + 2hx + 2ky + C = 0. Возьмем общую точку на границе окружности, скажем (x, y) . Линия, соединяющая эту общую точку и центр окружности (-h, -k), образует угол \(\theta\).Параметрическое уравнение окружности можно записать как x ² + y ² + 2hx + 2ky + C = 0, где x = -h + rcosθ и y = -k + rsinθ.

Полярное уравнение окружности

Полярная форма уравнения окружности почти аналогична параметрической форме уравнения окружности. Обычно мы пишем полярную форму уравнения окружности для окружности с центром в начале координат. Возьмем точку P(rcosθ, rsinθ) на границе круга, где r — расстояние точки от начала координат.Мы знаем, что уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом «p» равно x ² + y ² = p ² .

Подставьте значения x = rcosθ и y = rsinθ в уравнение окружности.

(rcosθ) ² + (rsinθ) ² = p ²
r ² cos ² θ + r ² sin ² θ = p ²
r ² (cos ² θ + sin ² θ) = p ²
г ² (1) = р ²
г = р
где р — радиус окружности.

Пример: Найти уравнение окружности в полярной форме при условии, что уравнение окружности в стандартной форме: x ² + y ² = 9.

Решение:

Чтобы найти уравнение окружности в полярной форме, замените значения \(x\) и \(y\) на:

х = rcosθ
у = rsinθ

х = rcosθ
у = rsinθ
х ² + у ² = 9
(rcosθ) ² + (rsinθ) ² = 9
r ² cos ² θ + r ² sin ² θ = 9
r ² (cos ² θ + sin ² θ) = 9
г ² (1) = 9
г = 3

Уравнение окружности Формула

Формула уравнения окружности используется для расчета уравнения окружности.2\).

, где \((x_1, y_1)\) — центр круга с радиусом r, а (x, y) — произвольная точка на окружности круга.

Вывод уравнения окружности

Учитывая, что \((x_1, y_1)\) — центр окружности с радиусом r, а (x, y) — произвольная точка на окружности окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. 2\).

• Для этого нам нужно только изменить константу 9, чтобы она соответствовала r ² как (x -3) ² + (y — 2) ² = 3 ² .
• Здесь мы должны отметить, что одной из распространенных ошибок является рассмотрение \(x_{1}\) как -3, а \(y_{1}\) как -2.
• Если в уравнении окружности знаки перед \(x_{1}\) и \(y_{1}\) отрицательные, то \(x_{1}\) и \(y_{1}\) равны положительные значения и наоборот.
• Здесь \(x_{1}\) = 3, \(y_{1}\) = 2 и r = 3

Таким образом, окружность, представленная уравнением (x -3) ² + (y — 2) ² = 3 ² , имеет центр в точке (3, 2) и радиус 3.На приведенном ниже изображении показан график, полученный из этого уравнения окружности.

Как найти уравнение окружности?

Существует так много различных способов представления уравнения окружности в зависимости от положения окружности на декартовой плоскости. 2} = r\).

Уравнение окружности с центром в начале координат

В простейшем случае центр окружности находится в начале координат (0, 0), радиус которого равен r. (x, y) — произвольная точка на окружности.

Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками.2\).

Если центр находится в начале координат, то \(x_1\)= 0 и \(y_1\)= 0.

Ответ: Уравнение окружности, если ее центр находится в начале координат: x ² + y ² = r ² .

Уравнение окружности с центром на оси X

Рассмотрим случай, когда центр окружности находится на оси x: (a, 0) — центр окружности с радиусом r. (x, y) — произвольная точка на окружности.

Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности.2\)

Уравнение окружности, касающейся оси x

Рассмотрим случай, когда окружность окружности касается оси x в некоторой точке: (a, r) – центр окружности с радиусом r. Если окружность касается оси x, то координата y центра окружности равна радиусу r.

(x, y) — произвольная точка на окружности окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности.2\)

Уравнение окружности, касающейся оси Y

Рассмотрим случай, когда длина окружности касается оси Y в некоторой точке: (r, b) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается оси y, то координата x центра окружности равна радиусу r.

(x, y) — произвольная точка на окружности окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности.2\)

Уравнение окружности, касающейся обеих осей

Рассмотрим случай, когда окружность окружности касается обеих осей в некоторой точке: (r, r) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается и оси x, и оси y, то обе координаты центра окружности становятся равными радиусу (r, r).

(x, y) — произвольная точка на окружности окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности.2 = 16\
г = 4 \)

Преобразование общей формы в стандартную форму

Это стандартное уравнение окружности с радиусом r и центром в точке (a,b): (x — a) ² + (y — b) ² = r ² , и рассмотрим общую форму как: x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0. Вот шаги, которые нужно выполнить, чтобы преобразовать общую форму в стандартную:

Шаг 1: Объедините одинаковые члены и возьмите константу с другой стороны как x ² + 2gx + y ² + 2fy = — c -> (1)

Шаг 2: Используйте тождество с полным квадратом (x + g) ² = x ² + 2gx + g ² , чтобы найти значения выражения x ² + 2gx и y ² + 2fy как :

(y + f) ² = y ² + 2fy + f ² ⇒ y ² + 2fy = (y + f) ² — f ² 0 -> (03)

Подставив (2) и (3) в (1), получим уравнение вида:

(x+g) ² — g ² + (y+f) ² — f ² = — c

(x+g) ² + (y+f) ² = g ² + f ² — c

Сравнивая это уравнение со стандартной формой: (x — a) ² + (y — b) ² = r ² получаем,

Центр = (-g, -f) и радиус = \(\sqrt{g^2+f^2 — c}\)

Нам нужно убедиться, что коэффициенты x ² и y ² равны 1 перед применением формулы. 2 + 2gx + 2fy + c = 0\), где g, f, c — константы.

Похожие статьи об уравнении окружности

Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными уравнению окружности

Важные замечания по уравнению окружности

Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении уравнения окружности

• Общая форма уравнения окружности всегда имеет в начале x ² + y ² .
• Если окружность пересекает обе оси, то имеется четыре точки пересечения окружности и осей.2 + axy + C = 0\), то это не уравнение окружности. В уравнении окружности нет члена \(xy\).
• В полярной форме уравнение окружности всегда представляется в виде \(r\) и \(\theta\).
• Радиус — это расстояние от центра до любой точки на границе круга. Следовательно, значение радиуса окружности всегда положительно.

Часто задаваемые вопросы по уравнению окружности

Что такое уравнение окружности в геометрии?

Уравнение окружности представляет собой геометрическое место точки, расстояние от которой до фиксированной точки является постоянной величиной. 2\).

Каково уравнение окружности, когда центр находится в начале координат?

В простейшем случае центр окружности находится в начале координат (0, 0), радиус которого равен r. (x, y) — произвольная точка на окружности. Уравнение окружности, когда центр находится в начале координат: x ² + y ² = r ² .

Что такое общее уравнение окружности?

Общая форма уравнения окружности: x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0.2 + 2hx + 2ky + C = 0\), где \(x = -h + rsin \theta\) и \(y = -k +rsin \theta\)

Что такое C в общем уравнении окружности?

Общая форма уравнения окружности: x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0. Эта общая форма используется для нахождения координат центра окружности и радиуса окружности . Здесь c — постоянный член, а уравнение, имеющее значение c, представляет собой окружность, не проходящую через начало координат.

Каковы различные формы уравнений окружности?

Давайте посмотрим на две распространенные формы уравнения:

• Общая форма x ² + y ² + 2gx + 2fy + C = 0
• Стандартная форма \((x — x_1)^2 + (y — y_1)^2 = r^2\)

Каково уравнение окружности, когда центр находится на оси x?

Рассмотрим случай, когда центр окружности находится на оси x: (a, 0) — центр окружности с радиусом r. 2\)

Как построить уравнение окружности?

Чтобы построить уравнение окружности, сначала найдите координаты центра окружности и радиус окружности с помощью уравнения окружности.

Затем отложите центр на декартовой плоскости и с помощью циркуля измерьте радиус и начертите окружность.

Как найти общее уравнение окружности?

Зная координаты центра окружности и радиус, можно найти общее уравнение окружности.2 — 2х — 4у + 1 = 0 \)

Приведенная выше форма уравнения является общей формой уравнения окружности.

Как написать стандартную форму уравнения окружности с конечными точками?

Возьмем две конечные точки диаметра (1, 1) и (3, 3). Сначала вычислите среднюю точку, используя формулу сечения. Координаты центра будут (2, 2). Во-вторых, рассчитайте радиус по формуле расстояния между (1, 1) и (2, 2). Радиус равен \(\sqrt{2}\).2 = 2\).

Что такое полярное уравнение окружности?

Полярное уравнение окружности с центром в начале координат: r = p, где p – радиус окружности.

Вычисление координат в единичной окружности — Концепция

Единичная окружность — это окружность радиусом, равным единице, с центром в начале координат плоскости. Это понятие часто встречается во многих математических предметах, особенно в тех, где используется тригонометрия.Вопросы о координатах единичного круга часто дают неизвестную координату и требуют, чтобы мы использовали свойства единичного круга для вычисления этих координат.

Единичный круг — это то, о чем мы начнем говорить в геометрии, мы будем говорить о нем и в алгебре, и вы будете говорить об этом в предварительном вычислении и, возможно, немного в исчислении. также.Итак, вы можете ознакомиться с ним прямо сейчас, давайте начнем с того, что такое единичный круг? Ну, единица в математике обычно подразумевает число 1, поэтому единичный круг — это круг радиусом 1 с центром в начале координат. Итак, здесь я нарисовал круг с центром в начале координат, и если радиус равен 1, мы можем нарисовать пару ключевых точек. Я знаю, что эта точка прямо здесь, где мой круг пересекает ось x, будет равна 1,0. Я знаю, что в этой точке прямо здесь, где он пересекает ось y, будут 0 и 1.Поэтому обычно в вашей домашней работе или викторине, когда у вас есть единичный круг, они сообщают вам, что это единичный круг, указывая эти 2 точки.
Мы также знаем, что в этой точке, просто для информации, будет отрицательная 1, 0, а в этой точке будет 0, отрицательная 1. Итак, как это связано с теоремой Пифагора? Ну, у вас, вероятно, будет проблема, когда они рисуют в радиусе, так что я думаю, мы могли бы сказать, рисуем в радиусе r, так что вы собираетесь сделать, вы собираетесь сказать хорошо r, так как радиус этого круга 1 будет 1, и чтобы найти значение r на основе некоторой точки x и y, что вы собираетесь сделать, так это сбросить высоту.Итак, я возьму здесь маркер другого цвета, и вы опустите высоту до оси X, создав прямоугольный треугольник. Итак, если бы я перерисовал этот треугольник здесь, ваша гипотенуза, которая будет находиться напротив вашего прямого угла, будет равна r, равной 1. 1 катет будет вашей координатой x, а другой катет будет ваша координата Y.
Теперь, когда вы доберетесь до второго, третьего и четвертого квадрантов здесь, где x отрицательно, здесь, где x и y отрицательны, и в четвертом, где y отрицательны, вы собираетесь использовать абсолютное значение x и y, потому что вы хотите иметь положительные числа.Таким образом, ключ к использованию единичного круга состоит в том, чтобы помнить, что ваш радиус будет равен и что вы всегда можете понизить высоту или, если вы находитесь здесь, увеличить высоту, чтобы создать прямоугольный треугольник.

Circles — Круги на координатной плоскости

Мы можем описать окружность в координатной плоскости уравнением. Но прежде чем мы отправимся туда, мы немного упростим ситуацию. Начнем с рассмотрения окружности с центром в начале координат и радиусом 5 единиц. Вот он, на координатной плоскости.

Обратите внимание, что окружность проходит через точки (5, 0), (0, 5), (-5, 0) и (0, -5).

Мы пытаемся найти уравнение, связывающее координаты общей точки на окружности ( x , y ). Обратите внимание, что по природе декартовой системы мы можем легко нарисовать прямоугольный треугольник, основываясь на любой точке ( x , y ).

Одна нога горизонтальная и имеет длину x .Другая нога вертикальна и имеет длину y . Гипотенуза соединяет ( x , y ) и начало координат. Если ( x , y ) находится на окружности, а центр окружности находится в начале координат, то длина гипотенузы равна радиусу окружности. В данном случае это 5 единиц.

Пифагор говорит нам, что х ² + у ² = 5 ² .

Но радиус окружности с центром в начале координат не обязательно должен быть 5 единиц. Это может быть 6, или 7, или 50, или даже миллион единиц. Давайте охватим все наши базы и назовем это r единиц. Итак, у нас есть уравнение x ² + y ² = r ² .

Вот оно. Теперь у нас есть уравнение, связывающее координаты x и y любой точки на окружности радиусом r с центром в начале координат. Разве это не было легко?

Вы можете заметить, что мы оставили члены x и y на одной стороне уравнения, вместо того чтобы решать для y , как мы любим делать для линейных уравнений.(Помните те из алгебры?) Формула со всеми переменными на одной стороне называется неявным , в то время как формула, которая была решена для одной переменной через другую (например, y = m x + b ) называется явным .

Попробуйте решить наше неявное уравнение для y . Вы получите беспорядочный плюс-минус квадратный корень. Мы будем придерживаться красивого, чистого и простого уравнения, которое у нас есть. Кроме того, это семейный сайт.Нам не нужен явный контент.

Пример задачи

Какова формула для окружности с центром в начале координат и длиной окружности 25,1 дюйма?

Мы знаем формулу окружности: x ² + y ² = r ² . Все, что нам нужно для его завершения, — это длина радиуса, которую мы можем найти, используя длину окружности. Если мы просто вспомним формулу C = 2π r , мы сможем подставить 25.1 дюйм для C и решить для r ≈ 4 дюйма. Наше окончательное уравнение, тогда, x ² + y + 4 ² = 4 ² или x ² + y ² = 16.

Наша формула, безусловно, хорошая, чистый и простой, но это полезно, только если наш круг находится в начале координат. Как описать круг, подобный тому, что за пределами Сиднея ?

Мы все еще можем нарисовать прямоугольный треугольник, поэтому Пифагор все еще может нам помочь. Гипотенуза по-прежнему имеет длину, равную радиусу окружности, поскольку ее конечные точки являются центром окружности и точкой на окружности. Мы знаем, что радиус Сиднейского круга составляет 5 км.

Но длины ног уже не просто старые x и y . Мы должны сделать поправку на «смещение» центра круга от начала координат. Таким образом, длины горизонтального и вертикального катетов нашего прямоугольного треугольника равны x — 4 и y — 3 соответственно.Теперь мы можем подставить эти длины в теорему Пифагора, чтобы получить ( x – 4) ² + ( y – 3) ² = 5 ² .

А вот и наша формула для Сиднейского круга, где x и y в километрах (потому что австралийцы, как и весь остальной мир, используют метрическую систему).

в целом, Implicit Formula для круга с центром ( H , K ) и RADIUS R IS:

( x — H ) ² + ( y – k ) ² = r ²

Теперь у нас есть вся информация, необходимая для определения любого круга в красивой компактной формуле. Вы можете использовать его для описания чего угодно, от орбиты космического корабля до печенья на противне. Правильно: математическая технология, необходимая для вывода спутника на орбиту, не более сложна, чем та, которая необходима для изготовления каракулей дома. Более менее.

Пример задачи

Какое уравнение для окружности с центром (6, -2) и радиусом 18 единиц?

Неявная формула для круга с Центром ( H , K ) и Radius R IS ( x ) ² + ( y — K ) ² = г ² .Нам заданы центр и радиус, поэтому все, что нам нужно сделать, это вставить информацию в нужные места. Мы должны получить ( x – 6) ² + ( y – (-2)) ² = 18 ² или ( x – 6) ^{22 + (48 + 2) 2 = 324 в упрощенном виде.}

Как построить круг

Рисование круга

Для построения кругов требуются две вещи: координаты центральной точки и радиус круга. Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки, центра окружности. Радиус r — это расстояние от этой центральной точки до самой окружности.

На графике все эти точки на окружности могут быть определены и нанесены на график с использованием координат (x, y).

Содержание

1. Рисование круга
2. Уравнения окружности
3. Использование формы центр-радиус
4. Как построить уравнение окружности
5. Как нарисовать круг, используя стандартную форму

Уравнения окружности

Два выражения показывают, как построить круг: форма центр-радиус и стандартная форма .Где x и y — координаты всех точек окружности, h и k — значения x и y центральной точки, а r — радиус окружности

Форма центр-радиус

Форма центр-радиус выглядит так:

х — h3 + y — k2 = r2

Стандартное уравнение окружности

Стандартная или общая форма требует немного больше работы, чем форма центр-радиус, для получения и построения графика. Уравнение стандартной формы выглядит так:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

В общем виде D, E и F — заданные значения, подобные целым числам, которые являются коэффициентами значений x и y.

Использование формы центр-радиус

Если вы не уверены, что предполагаемая формула является уравнением, необходимым для построения круга, вы можете проверить ее. Он должен иметь четыре атрибута:

1. Члены x и y должны быть возведены в квадрат
2. Все элементы в выражении должны быть положительными (что достигается возведением в квадрат значений в скобках)
3. Центральная точка задается как (h, k), координаты x и y
4. Значение r, радиуса, должно быть задано и должно быть положительным числом (что имеет здравый смысл, у вас не может быть отрицательной меры радиуса)

Форма с центральным радиусом дает тренированному глазу много информации.Группируя значение h с x x – h3, форма сообщает вам координату x центра круга. То же самое относится и к значению k; это должна быть координата y для центра вашего круга.

После того, как вы узнали координаты центральной точки круга, вы можете определить радиус круга, r. В уравнении вы можете увидеть не r2, а число, квадратный корень из которого и есть фактический радиус. Если повезет, квадрат значения r будет целым числом, но вы все равно можете найти квадратный корень из десятичных дробей с помощью калькулятора.

Какая форма центр-радиус?

Попробуйте эти семь уравнений, чтобы узнать, сможете ли вы распознать форму центра и радиуса. Какие из них являются уравнениями центра и радиуса, а какие просто уравнениями линий или кривых?

1. х — 22 + у — 32 = 16
2. 5x + 3y = 6
3. х + 12 + у + 12 = 25
4. г = 6x + 2
5. х + 42 + у — 62 = 49
6. х — 52 + у + 92 = 8,1
7. y = x2 + -6x + 3

Только уравнения 1, 3, 5 и 6 являются формами центр-радиус. Второе уравнение изображает прямую линию; четвертое уравнение представляет собой известную форму пересечения наклона; последнее уравнение изображает параболу.

Как построить уравнение окружности

Окружность можно рассматривать как графическую линию, которая изгибается как по x, так и по y. Это может показаться очевидным, но рассмотрите это уравнение:

г = x2 + 4

Здесь только значение x возводится в квадрат, что означает, что мы получим кривую, но только кривую, идущую вверх и вниз, а не замыкающуюся на себя.Мы получаем параболическую кривую, так что она проходит мимо вершины нашей сетки, два ее конца никогда не встречаются и не видны снова.

Введем второй показатель степени x, и мы получим более живые кривые, но они, опять же, не поворачиваются вспять.

Кривые могут извиваться вверх и вниз по оси Y по мере того, как линия перемещается по оси X, но линия на графике по-прежнему не возвращается на себя, как змея, кусающая себя за хвост.

Чтобы кривая отображалась в виде круга, вам нужно изменить как , так и показатель x, и , показатель y.Как только вы возьмете квадрат значений x и y, вы получите круг, возвращающийся к самому себе!

Часто форма центра-радиуса не содержит ссылок на такие единицы измерения, как мм, м, дюймы, футы или ярды. В этом случае просто используйте одиночные поля сетки при подсчете единиц радиуса.

Центр в начале

Когда центральная точка является исходной точкой (0, 0) графика, форма центра-радиуса сильно упрощена:

Например, круг с радиусом 7 единиц и центром в точке (0, 0) выглядит в виде формулы и графика следующим образом:

x2 + y2 = 49

Как нарисовать круг, используя стандартную форму

Если ваше уравнение окружности имеет стандартную форму или общую форму , вы должны сначала составить квадрат, а затем преобразовать его в форму центр-радиус.Предположим, у вас есть это уравнение:

x2 + y2 – 8x + 6y – 4 = 0

Перепишите уравнение так, чтобы все ваши x-члены были в первых скобках, а y-члены — во вторых:

x2 — 8x + ?1 + y2 + 6y + ?2 = 4 + ?1 + ?2

Вы изолировали константу справа и добавили значения ?1 и ?2 с обеих сторон. Значения ?1 и ?2 — это числа, которые вам нужны в каждой группе для завершения квадрата.

Возьмите коэффициент x и разделите на 2.Приведите его в порядок. Это ваше новое значение для ?1:

-82 = -4

-42 = 16

?1 = 16

Повторите это для значения, которое нужно найти с y-терминами:

62 = 3

32 = 9

?2 = 9

Замените неизвестные значения ?1 и ?2 в уравнении вновь рассчитанными значениями:

x2 — 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = 4 + 16 + 9

Упрощение:

x2 — 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = 29

х — 42 + у + 32 = 29

Теперь у вас есть форма центра-радиуса для графика.Вы можете подставить значения, чтобы найти этот круг с центральной точкой -4, 3 и радиусом 5,385 единиц (квадратный корень из 29):

Предостережения, на которые следует обратить внимание

С практической точки зрения помните, что центральная точка, хотя и необходимая, на самом деле не является частью круга. Итак, когда вы рисуете свой круг, очень легко отметьте центральную точку. Разместите легко подсчитываемые значения по осям x и y, просто посчитав длину радиуса по горизонтальной и вертикальной линиям.

Если точность не важна, вы можете нарисовать остальную часть круга. Если точность имеет значение, используйте линейку, чтобы сделать дополнительные отметки, или чертежный циркуль, чтобы выполнить полный круг.

Вы также хотите следить за своими негативами. Внимательно следите за своими отрицательными значениями, помня, что, в конечном счете, все выражения должны быть положительными (поскольку ваши значения x и y возводятся в квадрат).

Следующий урок:

Завершение Квадрата