Окружность для тригонометрии: Тригонометрическая окружность — универсальная шпаргалка по тригонометрии (ЕГЭ — 2021)

Содержание

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

2π радиан = 360°
1 радиан = (360/2π) градусов
1 радиан = (180/π) градусов
360° = 2π радиан
1° = (2π/360) радиан
1° = (π/180) радиан

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. 2 = 1

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Для чего использовать единичную окружность

определить синус, косинус, тангенс и котангенс угла

найти значения тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента
вывести основные формулы тригонометрии
вывести формулы приведения
найти области определения и области значений тригонометрических функций
определить периодичность тригонометрических функций
определить четность и нечетность тригонометрических функций
определить промежутки возрастания и убывания тригонометрических функций
определить промежутки знакопостоянства тригонометрических функций
применить радианное измерение углов
найти значения обратных тригонометрических функций
решить простейшие тригонометрические уравнения
решить простейшие неравенства.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. Приходите на бесплатный вводный урок и попробуйте сами!

Тригонометрическая окружность. Исчерпывающее руководство (2019). Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций Тригонометрическая окружность со всеми

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, :

Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом.

Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость

Тригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…

Очень важно не махать рукой на

значения тригонометрических функций , – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.

Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!

Нас выручит ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!

К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, 300 градусов, или -45.

Никак?.. можно, конечно, подключить формулы приведения … А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы.

И вы скоро будете знать как!

А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.

Знакомство с тригонометрическим кругом

Давайте по порядку.

Сначала выпишем вот такой ряд чисел:

А теперь такой:

И, наконец, такой:

Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .

Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».

И зачем оно нам?

Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.

Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).

От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .

Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.

Это почему же, спросите вы?

Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип , который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.

Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть 1).

Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора

Надеюсь, уже что-то становится понятно?

Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М – значению

Аналогично с остальными значениями первой четверти.

Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . позже.

Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.

Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ , без которого никуда в тригонометрии.

А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в .

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха».

Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально. ..

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность. Что это такое?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность плохо понимаются учащимся народом. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Так давайте освоим, грех такой вещью не воспользоваться. Тем более, это совсем несложно.

Для успешной работы с тригонометрическим кругом нужно знать всего три вещи.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: научить использовать единичную окружность при решении различных тригонометрических заданий.

В школьном курсе математики возможны различные варианты введения тригонометрических функций. Наиболее удобной и часто используемой является «числовая единичная окружность». Её применение в теме «Тригонометрия» весьма обширно.

Единичная окружность используется для:

– определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;
– нахождения значений тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента;
– выведение основных формул тригонометрии;
– выведения формул приведения;
– нахождения области определения и области значений тригонометрических функций;
– определения периодичности тригонометрических функций;
– определения четности и нечетности тригонометрических функций;
– определения промежутков возрастания и убывания тригонометрических функций;
– определения промежутков знакопостоянства тригонометрических функций;
– радианного измерения углов;
– нахождения значений обратных тригонометрических функций;
– решение простейших тригонометрических уравнений;
– решение простейших неравенств и др.

Таким образом, активное осознанное владение учащимися данным видом наглядности дает неоспоримые преимущества для овладения разделом математики «Тригонометрия».

Использование ИКТ на уроках преподавания математики позволяет облегчить овладение числовой единичной окружностью. Конечно, интерактивная доска имеет широчайший диапазон применения, однако не во всех классах она есть. Если же говорить о применении презентаций, то на просторах Интернета и их выбор велик, и каждый педагог может найти наиболее приемлемый вариант для своих уроков.

В чем особенность представляемой мною презентации?

Данная презентация предполагает различные варианты использования и не является наглядностью к конкретному уроку в теме «Тригонометрия». Каждый слайд данной презентации можно использовать обособлено, как на этапе объяснения материала, формирования навыков, так и для рефлексии. При создании данной презентации особое внимание уделялось «читаемости» её с дальнего расстояния, поскольку количество учеников со сниженным зрением постоянно растет. Продумано цветовое решение, логически связанные объекты объединены единым цветом. Презентация анимирована таким образом, чтобы учитель имел возможность комментировать фрагмент слайда, а ученик задать вопрос. Таким образом, данная презентация – это своего рода «подвижные» таблицы. Последние слайды не анимированы и используются для проверки усвоения материала, в ходе решения тригонометрических заданий. Окружность на слайдах максимально упрощена внешне и максимально приближена к изображаемой на тетрадном листе учениками. Это условие я считаю принципиальным. У учащихся важно сформировать мнение о единичной окружности, как о доступном и мобильном (хотя и не единственном) виде наглядности при решении тригонометрических заданий.

Данная презентация поможет педагогам познакомить учеников с единичной окружностью в 9 классе на уроках геометрии при изучении темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника». И, конечно, она поможет расширить и углубить навык работы с единичной окружностью при решении тригонометрических заданий у учащихся старшего звена обучения на уроках алгебры.

Слайды 3, 4 поясняют построение единичной окружности; принцип определения местоположения точки на единичной окружности в I и II координатных четвертях; переход от геометрических определений функций синус и косинус (в прямоугольном треугольнике) к алгебраическим на единичной окружности.

Слайды 5-8 поясняют, как найти значения тригонометрических функций для основных углов I координатной четверти.

Слайды 9-11 поясняет знаки функций в координатных четвертях; определение промежутков знакопостоянства тригонометрических функций.

Слайд 12 используется для формирования представлений о положительных и отрицательных значениях углов; знакомством с понятием периодичности тригонометрических функций.

Слайды 13, 14 используются при переходе на радианную меру угла.

Слайды 15-18 не анимированы и используются при решении различных тригонометрических заданий, закрепления и проверки результатов усвоения материала.

Титульный лист.
Целеполагание.
Построение единичной окружности. Основные значения углов в градусной мере.
Определение синуса и косинуса угла на единичной окружности.
Табличные значения для синуса в порядке возрастания.
Табличные значения для косинуса в порядке возрастания.
Табличные значения для тангенса в порядке возрастания.
Табличные значения для котангенса в порядке возрастания.
Знаки функции sin α.
Знаки функции cos α.
Знаки функций tg α и ctg α.
Положительные и отрицательные значения углов на единичной окружности.
Радианная мера угла.
Положительные и отрицательные значения углов в радианах на единичной окружности.
Различные варианты единичной окружности для закрепления и проверки результатов усвоения материала.

Табличка на двери

Тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции — презентация онлайн

1. Тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции

2. Основные вопросы:

• Понятие угла. Градусная и радианные
меры измерения угловых величин.
Изображение вещественных чисел на
единичной окружности.
• Определение и свойства
тригонометрических функций.
• Квадранты единичной окружности.
Знаки тригонометрических функций.
22.11.2018
2

3. Тригонометрия — математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

22.11.2018
3
Угол — это часть плоскости,
ограниченная двумя лучами, выходящими из
одной точки, вершины угла.
Угол разбивает плоскость на две части.
Каждая из них называется
углом.
Плоские углы с общими сторонами называются
.
В качестве единицы измерения углов принят
градус —
развернутого угла (прямой).
5
Угол в 10 – это угол,
который опишет
луч, совершив
1/360 часть
полного оборота
вокруг своей
начальной точки
против часовой
стрелки.
6
Теорема 1. Отношение
длины окружности к
ее диаметру не
зависит от
окружности, т.е. одно
и то же для любых
окружностей.
22.11.2018
7
Центральным углом в
окружности
называется плоский
угол с вершиной в ее
центре.
Часть окружности, расположенная внутри
плоского угла, называется дугой окружности,
соответствующей этому центральному углу
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера
соответствующего центрального угла. Развернутому углу
(прямой) соответствует длина полуокружности πR.
22.11.2018
8
Радианной мерой угла
называется
отношение длины
соответствующей
дуги к радиусу
окружности.
22.11.2018
9
22.11.2018
10
Углом в 1 радиан
называется
центральный
угол,
опирающийся на
дугу, равную по
длине радиусу
окружности
22.11.2018
11
1 рад = 180º º
π
1рад ≈57,3º
αрад = 180º º α
π
1 º = π рад
180 º π
α º = π α рад
180 º

12. 1рад ≈57,3º

22.11.2018
13
Синусом острого угла прямоугольного треугольника
называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе
Sin A = BC:AB
Косинусом острого угла
прямоугольного треугольника
называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе
Cos A = AC :AB
Тангенсом острого угла
прямоугольного треугольника
называется отношение противолежащего
катета к прилежащему катету
Tg A = BC:AC

14. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Определение единичной окружности
Автоматический показ
Окружность радиуса 1
с центром в начале
координат называют
единичной
окружностью.
Зададим соответствие между
множеством действительных
чисел и точками единичной
окружности следующим
образом:

15. Определение единичной окружности

,
Так как длина окружности вычисляется по формуле С 2 R, то
можно получить изображение таких чисел на окружности как:
2 ,
3 , 4 и т.д., учитывая, что R 1 и C 2 .
1. Каждому действительному
числу соответствует
единственная точка окружности.
2.Каждая точка окружности
изображает бесконечное
множество действительных
чисел.
В
С
А
D
3. Точки A, B, C, D назовем
узловыми.
Фактически, мы получили
принципиально новую систему
координат – криволинейную. Но
точка единичной окружности имеет
одну координату. (Почти все
также, как и в прямоугольной
системе координат.)
y
B ( x; y )
o
c
x
y
sin
R
x
cos
R
y
tg
x
x
ctg
y
Координаты
у π/2 90°
120° 2π/3
135° 3π/4
1
150° 5π/6
180° π -1
—
—
1/2
π/6 30°
0
1 0 0°
½
-1/2
210° 7π/6
225° 5π/4
240° 4π/3
π/3 60°
π/4 45°
-1/2
-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)
2π 360
x
(cost)
11π/6 330° [-π/6]
7π/4 315° [-π/4]
5π/3 300° [-π/3]

19. Координаты

Синусом угла х называет ся
ординат а т очки, полученной
поворот ом т очки (1; 0)
вокруг начала координат на
угол х (обозначает ся sin x ).

20. Определение синуса и косинуса

Тангенсом угла х называется отношение
синуса угла х к косинусу угла х.

21. Определение тангенса

Кот ангенсом угла х называет ся от ношение
косинуса угла х к синусу угла х.

22. Определение котангенса

y
+
o+
—
—
x
y
—
y
СИНУС
—
o
+
+
КОСИНУС
+
+
o
—
x
ТАНГЕНС И
КОТАНГЕНС
x

23. ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Основные тригонометрические тождества
1.

24. Основные тригонометрические тождества

22.11.2018
25

25. Домашнее задание

Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс.

Тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника определяется так:

tgα=противолежащий катетприлежащий катет tgα=abctgα=прилежащий катетпротиволежащий катет ctgα=ba

Чтобы считать значение тангенса угла поворота, через точку (1;0) проводится касательная к единичной окружности.

Эта прямая называется осью тангенса.

Значения тангенса читаются с оси Oy.

Чтобы считать значение котангенса угла поворота, через точку (0;1)проводится касательная к единичной окружности.

Прямая называется осью котангенса.

Значения котангенса читаются с оси Ox.

Чаще всего единичная окружность используется для определения знака тригонометрической функции, числовые значения находятся в таблицах или вычисляются с помощью калькулятора.

Знаки тангенса и котангенса в квадрантах определяются, используя уже известные знаки синуса и косинуса и основные тригонометрические тождества:

tgα=sinαcosα ctgα=cosαsinα

(+)(+)=(+) (−)(−)=(+) (−)(+)=(−) (+)(−)=(−)

Чтобы определить знак:

1. на единичной окружности отмечается данный угол поворота;
2. определяется знак синуса;
3. определяется знак косинуса;
4. определяется знак частного.

На рисунке пример, как определить знак тангенса угла в III квадранте.

Знаки тангенса и котангенса в квадрантах не отличаются.



На рисунке даны знаки тангенса и котангенса в квадрантах.

Важно уметь считывать с единичной окружности следующие значения тангенса и котангенса:

tg0∘=0

tg90∘ не существует

tg180 ∘=0

tg270∘ не существует

tg360∘=0

ctg0 ∘ не существует

ctg90∘=0

ctg180∘ не существует

ctg270∘=0

ctg360∘ не существует

Значения тригонометрических функций, которые нужно знать наизусть.

	30∘	45∘	60∘
sinα	12	2√2	3√2
cosα	3√2	2√2	12
tgα	3√3	1	3√

Что такое тригонометрическая окружность? | О математике понятно

Итак, друзья, я вас поздравляю! Начальный этап знакомства с тригонометрией благополучно пройден. Подытожим его. Теперь мы с вами:

1. Знаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике.

2. Знаем, как устроена связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла и умеем находить полный набор функций, если известна хотя бы одна из них. Кроме того, ещё мы умеем (надеюсь) пользоваться основными тригонометрическими формулами. А чего? Зря, что ли, примеры разбирали?)

Это — самые азы тригонометрии. Без этих элементарных знаний и навыков — дальше никуда. Так что, прошу прогуляться и почитать, пока не поздно. Тем более там всё очень просто и доступно.)

Идём дальше.

Как мы уже с вами знаем, у каждого острого угла в прямоугольном треугольнике имеется свой джентльменский набор тригонометрических функций. Знаем длины катетов и гипотенузу, делим друг на друга и считаем себе. И так для любого острого угла. Всё элементарно.

Вопрос: а если угол сделать тупым? Скажем, вот таким:

Что делать? Развалился наш прямоугольный треугольник. Ни катетов больше нет, ни гипотенузы… А тригонометрические функции тоже ушли в небытие, да?

Если бы древние математики не нашли выход из этой ситуации, то, возможно, вы бы сейчас и не читали этот сайт. Ибо не было бы у нас тогда ни планшетов, ни компьютеров, ни смартфонов, ни многих других полезных штучек…

Так как можно определять любые тригонометрические функции любых углов без прямоугольного треугольника? Что ж, пришла пора взрослеть дальше. Знакомимся!

Тригонометрическая окружность. Единичная окружность. Числовая окружность. Что всё это значит?

Это очень простые понятия. Более того, эти понятия — верный друг и надёжный помощник во всех разделах тригонометрии! От простой работы с углами в градусах или в радианах до тригонометрических уравнений и неравенств. Почему? А потому, что эта штука — своего рода шпаргалка! Причём совершенно законная! Обычно ведь что бывает: за шпоры выгоняют, двойки ставят… А тут нарисовал окружность, угол, функцию — и сразу увидел всё что тебя интересует.

Например, такое простое задание:

Что больше — sin200° или sin(-100°)?

Кто не в теме, тот отдыхает в сторонке. А кто в теме, тот нацарапает что-то типа вот такого наскального рисунка:

и сразу же увидит всю необходимую информацию!

И никто слова не скажет! Даже суровая комиссия в боевой обстановке ЕГЭ. Так зачем же такой шанс упускать, правда?

Чуть позже, в соответствующем уроке, мы разберём эту страшную задачку. И про злые углы типа -100 градусов тоже поговорим.)

А пока начнём. Для начала нарисуем самый обычный привычный нам острый угол. Назовём его, как обычно, «альфа». Вот так:

Угол как угол, пока ничего выдающегося, но… Раз есть угол (пока что острый), то у него должны быть и свои тригонометрические функции! Косинус там или тангенс… А где их взять? Ни гипотенузы, ни катетов больше нет, только угол. Тупик?

Спокойствие! Сейчас всё увидите.)

Для начала нарисуем самые обычные и знакомые нам координатные оси. OX по горизонтали, OY — по вертикали, всё чин-чинарём… Нарисуем и… приколотим горизонтальную сторону угла к положительной полуоси OX. Приколотим покрепче, дабы не оторвать ненароком.) Вершину угла поместим в начало координат, точку О. А вот вторую сторону угла прибивать не будем и оставим подвижной. Зачем? А чтобы угол менять можно было. Хотим побольше, хотим поменьше. Хотим острый, хотим тупой — любой! Раздвижной у нас угол будет. Как угол раствора циркуля, только одна из его ножек будет прибитой.) Конец подвижной стороны обозначим буквой А.

Получим вот такой незамысловатый рисунок:

Итак, угол у нас пристроен, это хорошо. А где же его синус и косинус — спросите вы? Потерпите минутку, торопыги, сейчас всё увидите! Я же только начал.)

Введём теперь координаты x и y конца подвижной стороны угла (точки А) и отметим их на осях. Это будут точки В и С соответственно. Ясное дело, что ОВ и ОС — какие-то числа. Длины отрезков. Или координаты точки А.

ОВ = х

ОС = у

Так вот, оказывается, иксовая координата точки А (отрезок ОВ) будет косинусом угла альфа, а игрековая координата (отрезок ОС) — его синусом!

Смотрим на рисунок:

Стоп-стоп! С какого такого перепугу-то? Ведь мы же чётко зарубили себе на носу из прошлых двух уроков, что синус и косинус — это отношения сторон в прямоугольном треугольнике! Которые от длин этих самых сторон никак не зависят. А у нас тут координаты точки А присутствуют. Которые могут быть любыми!

Всё верно. Любыми. Но! Давайте посмотрим внимательнее на треугольник АВО. Прямоугольный, между прочим.) Ибо координаты точки, они обычно перпендикулярами отмечаются на осях, да… По нашему заклинанию косинус угла альфа — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Или ОВ/ОА. Синус альфа — соответственно ОС/ОА. Причём мы с вами помним, что синус/косинус никак не зависят от длин сторон. А это совсем прекрасно! Почему? А потому, что мы имеем полное право выбирать длины сторон как хотим. Как нам удобно, так и выберем. В частности, мы имеем полное право принять длину гипотенузы ОА за единичку (ОА=1)! Причём единицы измерения нас вообще не волнуют — миллиметр, километр, миля, дюйм… Синус и косинус от этого всё равно не изменятся.)

Почему именно гипотенуза (а не катеты) и именно единичка (а не 2, 10, 157 и т.д)? Потому, что так нам (и древним людям) очень удобно! Именно при таком выборе у нас достигаются максимальные упрощения. Смотрите, что получается:

Вот и все дела.) Косинус — иксовая координата точки А, а синус — игрековая (если гипотенуза ОА — единичка). Да, ненаучно, да нестрого, но зато понятно. И запоминается проще. А запомнить очень важно. Причём, запомнить надёжно!

Запоминаем:

Косинус — по Х, синус — по Y.

Именно в таком порядке. Не путаемся!

Как видите, всё просто. Пока что всё идёт в рамках геометрии восьмого класса. С той лишь разницей, что катеты превратились у нас в координаты х и у точки А, а гипотенуза — та и вовсе превратилась в единичку. Очень удобное число.) Однако… Тема урока называется «Тригонометрическая окружность», не так ли? Пока ни слова про окружность не было!

Всё правильно. Но остались совсем пустяки. Сейчас мы с вами резко повзрослеем и колоссально расширим наши возможности всего одним движением руки! Как? Очень просто. Берём подвижную сторону угла (т.е. ОА) и… проворачиваем её вокруг точки О на полный оборот! Как вы думаете, какую линию при этом опишет точка А? Ну, конечно! Окружность!

Вот так:

Вот и всё. Это и есть тригонометрическая окружность!

Это научное название. А на математическом сленге обычно говорят «тригонометрический круг». Или совсем коротко — просто «круг». Или — «радар» :).

Ну хорошо, окружность начертили. Но почему — тригонометрическая? Окружность как окружность… Вскрою тайну. Любой точке на окружности соответствуют два числа — координаты этой точки по X и координаты этой точки по Y. То есть, А(х; у). А икс и игрек у нас что? Только что разбирались… Да! Косинус и синус угла альфа. То есть, не что иное, как его тригонометрические функции. Вот и весь смысл.

А теперь, вспомнив, что ОА = 1 и что ОА — радиус окружности, можно сообразить, что это же самое понятие — и единичная окружность тоже.

А если вспомнить самый первый урок по тригонометрии (а чуть конкретнее — то, что синус и косинус — просто какие-то числа), то наша с вами тригонометрическая окружность будет ещё и числовой окружностью.

Вот так. Сразу три термина в одном. Очень удобно и практично.

Запоминаем:

Тригонометрическая, единичная и числовая окружности — это всё одно и то же понятие. В рамках тригонометрии.

Так, ну хорошо. Окружность изобразили. Угол у нас крутящийся, меняющийся. А раз крутящийся, то нам уже ничто не запрещает прокрутить подвижную сторону ОА куда угодно. Например, так, чтобы угол альфа стал каким-нибудь тупым!

Хотя бы вот так:

А как увидеть его синус и косинус? Не вопрос! Всё точно так же. Опускаем перпендикуляры из точки А на оси OX и OY и всё видим:

Самые глазастые, возможно, уже заметили, что синус угла альфа у нас положительный (точка С лежит на положительной полуоси OY). А вот косинус альфа — отрицательный! Ибо точка В, иксовая координата точки А (т.е. не что иное, как косинус альфа!), лежит на отрицательной полуоси OХ. Значит, у любого тупого угла синус положительный, а косинус — отрицательный. Чего, кстати, принципиально не бывает в прямоугольном треугольнике: там все тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс, котангенс — положительные.

А здесь — пожалуйста! Не зря же мы с вами расширили наши возможности!) Ну а коли так, раз уж мы столкнулись с отрицательным косинусом у тупого угла, то пришла пора разобраться и с такой важной штукой, как знаки синуса/косинуса по четвертям. До кучи и знаки тангенса/котангенса разберём сразу же.

Знаки синуса и косинуса, тангенса и котангенса по четвертям.

Всё проще простого. Для начала напомню, что координатные четверти (или по-другому квадранты) в тригонометрии нумеруются точно так же, как и при работе с обычными задачами на координаты точек — против часовой стрелки.

Вот так:

А что же со знаками синуса/косинуса по четвертям? Тоже всё элементарно, Ватсон.) С первой и второй четвертями мы уже разобрались выше. Незаметно для себя.) С первой четвертью вообще вопросов нет. Там только острые углы, у которых все функции (в том числе и синус с косинусом) — положительные. Со второй четвертью тоже всё ясно: синус положительный, а косинус — отрицательный. Это мы уже выяснили, когда тупой угол рисовали.

Осталось лишь разобраться с третьей и четвёртой четвертями. Как? Точно так же! Не зря же мы с вами тут углы мотать учимся потихоньку.)

Мы же знаем, что ОА — подвижная сторона нашего угла альфа. Вот и продолжим её крутить от положительной полуоси ОХ в нужную нам сторону! В третью четверть. Получим вот такую картинку:

Как видно из рисунка, для любого угла в третьей четверти уже станет отрицательным не только косинус, но и синус тоже:

Для четвёртой четверти тоже ничего хитрого. Крутим и рисуем:

И видим, что синус в четвёртой четверти остаётся по-прежнему отрицательным. А косинус? Да! Косинус снова становится положительным:

Так, по всем четвертям пробежались. Как видите, всё просто. Для лучшего запоминания можно нарисовать знаки синуса/косинуса прямо на нашем круге.

Запоминаются обе картинки достаточно просто и быстро. Особенно если железно помнить наше секретное заклинание: «Косинус — по икс, синус — по игрек.» Кстати, сопоставьте заклинание с картинками! Очень полезно.)

Ну хорошо, с синусом/косинусом всё понятно. А тангенс и котангенс? Тоже никаких проблем. Если, конечно, помнить из второго урока, что тангенс — это синус поделить на косинус:

А котангенс — наоборот.

Вот теперь и прикинем. В первой четверти у нас всё шоколадно. Всё с плюсом — и синус и косинус. А плюс поделить на плюс — что будет? Конечно же, плюс! Во второй четверти знаки синуса и косинуса — разные. Плюс и минус. А это значит, что их отношение (что синуса к косинусу, что наоборот) будет всегда отрицательным. Ибо в борьбе минуса с плюсом всегда выигрывает минус. Так уж повелось в математике.) В третьей четверти как синус, так и косинус имеют знак «минус». А их отношение? Минус на минус — будет… будет… плюс! А в четвёртой четверти знаки синуса/косинуса опять разные. Стало быть, их отношение (тангенс с котангенсом) снова будет с минусом! Вот и все дела.)

Получаем для тангенса/котангенса вот такую картинку:

Запомнить знаки тоже проще простого: плюс-минус-плюс-минус. Простое чередование знаков.)

И вот тут у некоторых назревает закономерный вопрос:

А можно ли увидеть тангенс и котангенс на круге? Синус — по игрек, косинус — по икс. Это понятно.) А тангенс и котангенс???

Ух, какие вы любопытные, оказывается! Все-то секреты вам раскрой сразу же! Да, можно! Можно увидеть тангенс и котангенс на числовой окружности! Любого угла. Только для этого на нашем рисунке необходим ещё один дополнительный взмах пера. Всего один. Какой именно — в спецтеме «Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности».

Итак, полдела сделали. Нарисовали угол, с его помощью начертили окружность. Осталась вторая половина дела. А именно — научиться проделывать обратную операцию. По любой произвольной точке на окружности научиться определять сам угол! А вот эта задачка та ещё…

Об этом — в следующей теме: «Как отсчитывать углы на тригонометрической окружности?».

Тригонометрический круг

Тригонометрический круг — это окружность с единичным радиусом и центром в начале осей координат, каждая точка которой образует треугольник с точками:

точка в начале осей координат (точка 0;0)
точка на окружности (выбрана нами)
точка на оси X, которая является проекцией выбранной нами точки на эту ось (перпендикуляр к оси X)

Как видно, такой треугольник является прямоугольным, так как из выбранной нами точки на ось абсцисс всегда опускается перпендикуляр. То есть сторона, соединяющая начало координат и выбранную нами точку на тригонометрическом круге ( на приведенном рисунке обозначенную как B, B1. B2, B3) всегда является гипотенузой прямоугольного треугольника, проекция выбранной точки — это катет, а сторона от точки пересечения с осью X образует второй катет.

Угол, который образуется между осью абсцисс (осью X) и гипотенузой треугольника — является углом, для которого и вычисляются значения тригонометрических функций. Этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс (оси X) как ноль, далее против часовой стрелки. Таким образом, полный круг составляет 360 градусов или 2π радиан.

Чтобы вычислить значение тригонометрической функции для выбранного угла тригонометрического круга достаточно воспользоваться координатами точки, принадлежащей окружности тригонометрического круга. На приведенном выше рисунке, показано вычисление значения синуса для всех углов.

Например, sin α для треугольника OBC (где координаты точки B равны (x,y) ) ,будет равен: y / √ ( x² + y²)

Свойства тригонометрического круга

Если последовательно вычислять значения тригонометрических функций для тригонометрического круга, то становится видно, что результат таких вычислений меняет свой знак в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга выбрана точка. При этом знак тригонометрической функции в пределах одной и той же четверти сохраняется.

Знаки тригонометрических функций в координатных четвертях в тригонометрическом круге

Преобразование углов больше 360 градусов или 2π радиан

Как видно из картинок, после того, как значение угла превысит 360 градусов (или 2π радиан), то результат вычисления значения будет тем же самым. То есть, для того, чтобы привести значение к «нормальному» — нужно вычесть из имеющегося значения 360 градусов или 2π радиан и повторять операцию столько раз, пока результат не станет меньше 360 или 2π.

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике | Описание курса | Радианы и градусы. Радiани i градуси

Тригонометрия. Единичная окружность

Цель: научить использовать единичную окружность при решении различных тригонометрических заданий.

Единичная окружность используется для:

В чем особенность представляемой мною презентации?

Слайды 13, 14 используются при переходе на радианную меру угла.

Содержание:

Титульный лист.
Целеполагание.
Построение единичной окружности. Основные значения углов в градусной мере.

Определение синуса и косинуса угла на единичной окружности.

Табличные значения для синуса в порядке возрастания.

Табличные значения для косинуса в порядке возрастания.

Табличные значения для тангенса в порядке возрастания.

Табличные значения для котангенса в порядке возрастания.

Знаки функции sin α.

Знаки функции cos α.

Знаки функций tg α и ctg α.

Положительные и отрицательные значения углов на единичной окружности.

Радианная мера угла.

Положительные и отрицательные значения углов в радианах на единичной окружности.

Различные варианты единичной окружности для закрепления и проверки результатов усвоения материала.

Тригонометрические функции и унитарный круг — x-engineer.org

Обычный подход в тригонометрии — использовать унитарный круг для представления тригонометрических функций. Чтобы представить унитарный круг, мы используем x-y декартовую систему координат и круг с радиусом , равным 1 . Центр круга находится в начале системы x-y.

Изображение: Тригонометрический круг с четырьмя квадрантами

Унитарный круг разделен на 4 части, названные квадрантами .Первый квадрант (I) образован положительными осями x и y. Если мы нарисуем любой радиус унитарного круга в первом квадранте, угол с положительной осью x может иметь любое значение от 0 до 90 °.

Угол может быть измерен в градусах (°) или радианах . Полный круг имеет угол 360 ° или 2π радиан.

В таблице ниже мы суммируем эквивалент между градусами и радианами для квадрантов унитарной окружности.

	Квадрант I	Квадрант II	Квадрант III	Квадрант IV
Начало	0 ° (0)	90 ° (π / 2 )	180 ° (π)	270 ° (3π / 2)
Конец	90 ° (π / 2)	180 ° (π)	270 ° (3π / 2)	360 ° (2π)

На рисунке ниже мы видим унитарный круг с углами, кратными 30 ° и 45 °.Кроме того, для каждого значения угла градуса у нас есть значение в радианах и x-y координаты точки пересечения между сегментом угла и единичной окружностью.

Изображение: Унитарный круг с углами (градусами и радианами) и координатами x-y

Преобразование между градусами и радианами подробно объясняется в статье Как преобразовывать градусы в радианы и из радиан в градусы.
Теперь возьмем любой угол φ в единичной окружности.Угол φ образуется между отрезком AB (длина 1) и осью x. Координаты x-y точки B будут длиной отрезков ABx и ABy (см. Ниже).
Изображение: Унитарный круг для тригонометрических функций
Если мы применим определение тригонометрических функций для угла φ, мы получим:
\ [\ begin {уравнение *} \ begin {split}
\ text {sin} (\ varphi) & = \ frac {BB_x} {AB} = \ frac {BB_x} {1} = BB_x & = AB_y \\
\ text {cos} (\ varphi) & = \ frac {AB_x} {AB} = \ frac {AB_x} {1} & = AB_x \\
\ text {tg} (\ varphi) & = \ frac {BB_x} {AB_x} & = \ frac {AB_x} {AB_y} \\
\ text {cosec } (\ varphi) & = \ frac {AB} {BB_x} = \ frac {1} {BB_x} & = \ frac {1} {AB_y} \\
\ text {sec} (\ varphi) & = \ frac {AB} {AB_x} & = \ frac {1} {AB_x} \\
\ text {ctg} (\ varphi) & = \ frac {AB_x} {BB_x} & = \ frac {AB_x} {AB_y}
\ end {split} \ end {формула *} \]
Как вы можете видеть , все тригонометрические функции выражаются только функцией xy, координаты точки B, длины отрезков ABx и ABy.
Таким образом, мы можем найти значения тригонометрических функций для любого заданного угла φ.
В качестве упражнения мы собираемся вычислить и построить значения тригонометрических функций для каждого квадранта. Возьмем 30 ° (квадрант I), 120 ° (квадрант II), 210 ° (квадрант III) и 300 ° (квадрант IV).
Квадрант I Квадрант II Квадрант III Квадрант IV
Угол (φ) 30 ° 120 ° 210 ° 300 °
Синус 0.50 0,87 -0,50 -0,87
Косинус 0,87 -0,50 -0,87 0,50
Касательная 0,58 -1,73 -1,73
Косеканс 2,00 1,15 -2,00 -1,15
Секант 1,15 -2.00 -1,15 2,00
Котангенс 1,73 -0,58 1,73 -0,58
Анализируя значения тригонометрической функции, мы видим, что:
функция синуса положительна в квадрантах I и II и отрицательна в квадрантах II и IV
функция косинуса положительна в квадрантах I и IV и отрицательна в квадрантах II и III
функция тангенса положительна в квадрантах I и III и отрицательна в квадрантах II и IV
функция косеканса положительна в квадрантах I и II и отрицательна в квадрантах II и IV
функция секанса положительна в квадрантах I и IV и отрицательна в квадрантах II и III
функция котангенса положительна в квадрантах I и III и отрицательные в квадрантах II и IV
Имеется графическое представление всех тригонометрических функций ar прямоугольный треугольник внутри единой окружности.Мы также можем визуализировать результат тригонометрических функций как сегменты, соединенные друг с другом.
Изображение: декартово представление тригонометрических функций на единичной окружности
Мы видим, что длины сегментов на самом деле являются значениями, возвращаемыми тригонометрическими функциями . В каждом квадранте мы получаем прямоугольный треугольник, сегменты и высота которого являются результатами тригонометрических функций.
Зная, как представить треугольник для первого квадранта, мы можем вычислить остальные три путем вертикального и горизонтального переворота первого квадранта.
Для любых вопросов или замечаний относительно этого руководства, пожалуйста, используйте форму комментариев ниже.
Не забывайте ставить лайки, делиться и подписываться!
Что такое единичный круг в тригонометрии?
Обновлено 3 ноября 2020 г.
Ли Джонсон
Тригонометрия может показаться довольно абстрактной темой. Такие загадочные термины, как «грех» и «потому что», кажется, просто не соответствуют чему-либо в действительности, и их трудно понять как концепции. Единичный круг существенно помогает в этом, предлагая прямое объяснение того, какие числа вы получаете, когда берете синус, косинус или тангенс угла.Для любого студента, изучающего естественные науки или математику, понимание единичного круга может действительно укрепить ваше понимание тригонометрии и того, как использовать функции.
TL; DR (слишком длинный; не читал)
Радиус единичной окружности равен единице. Представьте себе систему координат xy , начинающуюся в центре этого круга. Углы точек отсчитываются от того места, где x = 1 и y = 0, в правой части круга. Углы увеличиваются при движении против часовой стрелки.
Используя эту структуру, и y для координаты y и x для координаты x точки на окружности:
sin θ = y
cos θ = x
И, следовательно:
tan θ = y / x
What Единичный круг?
«Единичная» окружность имеет радиус 1.Другими словами, расстояние от центра круга до любой части края всегда равно 1. Единица измерения на самом деле не имеет значения, потому что самое важное в единичной окружности — это то, что она делает много уравнений и вычислений. проще.
Он также служит полезной основой для определения углов. Представьте, что центр окружности находится в центре системы координат с горизонтальной осью x и вертикальной осью y .Круг пересекает ось x под углом x = 1, y = 0. Ученые и математики определяют угол от этой точки, двигаясь против часовой стрелки. Таким образом, точка x = 1, y = 0 на окружности находится под углом 0 °.
Определения греха и созвездия с единичным кругом
Обычные определения греха, созвездия и загара, которые даются учащимся, относятся к треугольникам. В них указано:
\ sin θ = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse} } \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
«Противоположная» относится к длине стороны треугольника, противоположной углу, «смежная» относится к длине стороны, расположенной рядом с углом, а «гипотенуза» относится к длине диагональной стороны треугольника.
Представьте, что вы создаете треугольник, так что гипотенуза всегда была радиусом единичной окружности, с одним углом на краю круга и одним в его центре. Это означает, что гипотенуза = 1 в приведенных выше уравнениях, поэтому первые две становятся:
\ sin θ = \ frac {\ text {противоположный}} {1} = \ text {противоположный} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {смежный}} {1} = \ text {смежный} \\
Если вы сделаете рассматриваемый угол равным углу в центре круга, противоположным будет просто y — координата, а смежная — это просто координата x точки на окружности, которая касается треугольника.Другими словами, sin возвращает координату y на единичной окружности (используя координаты, начинающиеся в центре) для заданного угла, а cos возвращает координату x . Вот почему cos (0) = 1 и sin (0) = 0, потому что на данный момент это координаты. Аналогично, cos (90) = 0 и sin (90) = 1, потому что это точка с x = 0 и y = 1. В форме уравнения:
\ sin θ = y \ \ \ cos θ = x
Отрицательные углы также легко понять на основе этого.Отрицательные углы (измеренные по часовой стрелке от начальной точки) имеют ту же координату x , что и соответствующий положительный угол, поэтому:
\ cos -θ = \ cos θ
Однако координата y переключатели, что означает, что
\ sin -θ = — \ sin θ
Определение загара с единичной окружностью
Определение загара, приведенное выше:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ } {\ cos θ}
Но с определениями sin и cos единичной окружности, вы можете видеть, что это эквивалентно:
\ tan θ = \ frac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}}
Или, если мыслить в терминах координат:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Это объясняет, почему tan не определен для 90 ° или −270 ° и 270 ° или −90 ° (где x = 0), потому что на ноль нельзя делить.
Графические тригонометрические функции
Графическое изображение sin или cos становится проще, если вы думаете о единичной окружности. Координата x плавно изменяется при перемещении по кругу, начиная с 1 и уменьшаясь до минимума -1 при 180 °, а затем увеличиваясь таким же образом. Функция sin делает то же самое, но сначала увеличивается до максимального значения 1 под углом 90 °, а затем следует той же схеме. Считается, что эти две функции сдвинуты по фазе на 90 ° друг с другом.
Для построения графика загар необходимо разделить y на x , поэтому его сложнее построить, а также есть точки, где он не определен.
Шлюз
Veuillez réessayer dans quelques instants. Si le problème persiste, veuillez communiquer avec le service de soutien Technik de Alberta Education (доступный en anglais seulement).
Телефон : 780-427-5318
(Composer d’abord le 310-0000 pour obtenir une ligne sans frais)
Телекопье: 780-427-1179
Adresse de Courriel: cshelpdesk @ gov.ab.ca
Единичный круг — алгебра и тригонометрия
Цели обучения
В этом разделе вы будете:
Найдите значения функции для синуса и косинуса
Определите область и диапазон функций синуса и косинуса.
Найдите опорные углы.
Используйте исходные углы для оценки тригонометрических функций.
Рисунок 1. Singapore Flyer — самое высокое колесо обозрения в мире. (кредит: ʺVibin JKʺ / Flickr)
Ищете острые ощущения? Тогда подумайте о поездке на Singapore Flyer, самом высоком колесе обозрения в мире. Колесо обозрения, расположенное в Сингапуре, взлетает на высоту 541 фут — чуть больше десятой мили! Описанное как колесо обозрения, всадники наслаждаются захватывающими видами, путешествуя с земли на вершину и снова вниз по повторяющейся схеме. В этом разделе мы рассмотрим этот тип вращательного движения по окружности.Для этого нам нужно сначала определить тип круга, а затем поместить этот круг в систему координат. Затем мы можем обсудить круговое движение в терминах пар координат.
Нахождение синусов и косинусов специальных углов
Мы уже узнали некоторые свойства специальных углов, такие как преобразование радианов в градусы, и нашли их синусы и косинусы, используя прямоугольные треугольники. Мы также можем вычислить синусы и косинусы особых углов, используя тождество Пифагора.
Нахождение синусов и косинусов углов
Затем мы найдем косинус и синус под углом или Сначала мы нарисуем треугольник внутри круга с одной стороной под углом, а другая под углом, как показано на (Рисунок). Если в результате два прямоугольных треугольника объединить в один большой треугольник, обратите внимание, что все три угла этого большего треугольника будут такими, как показано на (Рисунок).
Рисунок 12. Рисунок 13.
Поскольку все углы равны, стороны также равны.Вертикальная линия увеличилась, так как все стороны равны, мы также можем сделать вывод, что или с
А поскольку в нашем единичном круге
Используя тождество Пифагора, мы можем найти значение косинуса.
Координаты точки на окружности с радиусом под углом at Радиус единичной окружности, 1, служит гипотенузой прямоугольного треугольника 30-60-90 градусов, как показано на (Рисунок). Угол имеет меру. В какой-то момент мы проводим угол с мерой. Мы знаем, что углы в треугольнике складываются из суммы углов. Теперь у нас есть равносторонний треугольник.Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона является радиусом единичного круга, все стороны должны иметь длину 1.
Рисунок 13.
Угол составляет 30 °. Угол равен двойному углу, поэтому его размер составляет 60 °. Это серединный перпендикуляр к нему, поэтому он разрезает пополам. Это означает, что это радиус, или Обратите внимание, что это координата x точки, которая находится на пересечении угла 60 ° и единичной окружности. Это дает нам треугольник с гипотенузой 1 и длиной стороны
.
Из теоремы Пифагора получаем
Подставляя получаем
Решая для получения
Поскольку конечная сторона находится в квадранте I, где координата y- положительна, мы выбираем положительное значение.
В (60 °) координаты точки на окружности радиуса под углом a, поэтому мы можем найти синус и косинус.
Теперь мы нашли значения косинуса и синуса для всех наиболее часто встречающихся углов в первом квадранте единичной окружности. (Рисунок) суммирует эти значения.
(рисунок) показывает общие углы в первом квадранте единичной окружности.
Рисунок 14.
Использование калькулятора для поиска синуса и косинуса
Чтобы найти косинус и синус углов, отличных от специальных углов, мы обращаемся к компьютеру или калькулятору. Будьте внимательны. : Большинство калькуляторов можно установить в режим «градус» или «радиан», который сообщает калькулятору единицы измерения входного значения. Когда мы вычисляем на нашем калькуляторе, он будет оценивать его как косинус 30 градусов, если калькулятор находится в режиме градусов, или косинус 30 радиан, если калькулятор находится в режиме радиан.
Как записаться
Если задан угол в радианах, воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы найти косинус.

Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, установите его в режим радиан.
Нажмите кнопку COS.
Введите значение угла в радианах и нажмите клавишу в скобках «)».
Нажмите ENTER.
Попробуй
Оценить
[show-answer q = ”fs-id2027699 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2027699 ″]
приблизительно 0,866025403
[/ hidden-answer]
Поиск опорных углов
Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с тем же значением синуса.Поскольку значение синуса является координатой y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь то же значение y , но будет иметь противоположное значение x . Следовательно, его значение косинуса будет противоположным значению косинуса первого угла.
Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с таким же косинусом, что и исходный угол. Угол с таким же косинусом будет иметь одинаковое значение x , но будет иметь противоположное значение y .Следовательно, его значение синуса будет противоположным значению синуса исходного угла.
Как показано на (Рисунок), угол имеет то же значение синуса, что и угол, значения косинуса противоположны. Угол имеет то же значение косинуса, что и угол, значения синуса противоположны.
Рисунок 16.
Напомним, что исходный угол угла — это острый угол, образованный конечной стороной угла и горизонтальной осью. Базовый угол — это всегда угол между идиандианами. Как видно из (Рисунок), для любого угла в квадрантах II, III или IV существует опорный угол в квадранте I.
Рисунок 17.
Поиск опорного угла
Найдите опорный угол, как показано на (Рисунок).
Рисунок 17. [show-answer q = ”fs-id1710670 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1710670 ″]
Поскольку он находится в третьем квадранте, опорный угол составляет
[/ скрытый-ответ]
Попробуй
Найдите опорный угол
[show-answer q = ”fs-id1967998 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1967998 ″]
[/ hidden-answer]
Использование опорных углов
А теперь давайте вернемся к колесу обозрения, представленному в начале этого раздела.Предположим, всадник делает снимок, остановившись на высоте двадцати футов над уровнем земли. Затем всадник совершает поворот на три четверти по кругу. Что такое новый рост райдера? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса под углами, превышающими 90 градусов, или под отрицательным углом. Базовые углы позволяют оценивать тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для поиска координат этих углов.Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором находится конечная сторона угла.
Использование опорных углов для поиска координат
Теперь, когда мы узнали, как находить значения косинуса и синуса для особых углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы, чтобы заполнить значения косинуса и синуса для остальных особых углов единичной окружности. Они показаны на (Рисунок). Найдите время, чтобы узнать координаты всех основных углов в первом квадранте.
Ключевые уравнения
Косинус
Синус
Пифагорейская идентичность
Упражнения по разделам
Устный
Опишите единичный круг.
[show-answer q = ”fs-id2077250 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2077250 ″]
Единичный круг — это круг радиуса 1 с центром в начале координат.
[/ hidden-answer]
Что означают координаты x- и y- точек на единичной окружности?
Обсудите разницу между концевым углом и опорным углом.
[show-answer q = ”fs-id1827178 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1827178 ″]
Coterminal углы — это углы, которые имеют одну и ту же конечную сторону. Базовый угол — это размер наименьшего острого угла, образованного конечной стороной угла и горизонтальной осью.
[/ hidden-answer]
Объясните, чем косинус угла во втором квадранте отличается от косинуса его опорного угла в единичной окружности.
Объясните, чем синус угла во втором квадранте отличается от синуса его опорного угла в единичной окружности.
[show-answer q = ”fs-id1801846 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1801846 ″]
Значения синуса равны.
[/ hidden-answer]
Алгебраические
В следующих упражнениях используйте заданный знак функций синуса и косинуса, чтобы найти квадрант, в котором находится определяемая конечная точка.
и
и
[show-answer q = ”fs-id2261414 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2261414 ″]
Я
[/ hidden-answer]
и
и
[show-answer q = ”fs-id2645567 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2645567 ″]
IV
[/ hidden-answer]
Для следующих упражнений найдите точное значение каждой тригонометрической функции.
[show-answer q = ”fs-id2236023 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2236023 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2379850 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2379850 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2084847 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2084847 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2212611 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2212611 ″]
0
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2387567 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2387567 ″]
–1
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id1760509 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1760509 ″]
[/ hidden-answer]
Числовой
Для следующих упражнений укажите исходный угол для данного угла.
[show-answer q = ”fs-id2523531 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2523531 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2227804 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2227804 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2369627 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2369627 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2266093 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2266093 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id1535165 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1535165 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2077048 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a = ”fs-id2077048 ″]
[/ hidden-answer]
Для следующих упражнений найдите опорный угол, квадрант конечной стороны, а также синус и косинус каждого угла.Если угол не является одним из углов единичной окружности, воспользуйтесь калькулятором и округлите до трех десятичных знаков.
[show-answer q = ”fs-id2283059 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2283059 ″]
Квадрант IV,
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id1861830 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1861830 ″]
Квадрант II,
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2782866 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2782866 ″]
Квадрант II,
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2516883 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2516883 ″]
Квадрант II,
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id1577224 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1577224 ″]
Квадрант III,
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2547413 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2547413 ″]
Квадрант II,
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2755206 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2755206 ″]
Квадрант II,
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2428233 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2428233 ″]
Квадрант IV,
[/ hidden-answer]
Найдите требуемое значение для следующих упражнений.
Ифанди в четвертом квадранте, найдите
Ифанди в первом квадранте, найдите
[show-answer q = ”fs-id2256400 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2256400 ″]
[/ hidden-answer]
Ифанди во втором квадранте, найдите
Ифанди в третьем квадранте, найдите
[show-answer q = ”fs-id2280210 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2280210 ″]
[/ hidden-answer]
Найдите координаты точки на окружности радиуса 15, соответствующей углу
.
Найдите координаты точки на окружности радиуса 20, соответствующей углу
. [show-answer q = ”fs-id2800208 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2800208 ″]
[/ hidden-answer]
Найдите координаты точки на окружности радиуса 8, соответствующей углу
.
Найдите координаты точки на окружности радиуса 16, соответствующей углу
. [show-answer q = ”fs-id2757988 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2757988 ″]
[/ hidden-answer]
Укажите область определения функций синуса и косинуса.
Укажите диапазон функций синуса и косинуса.
[show-answer q = ”fs-id1347973 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1347973 ″]
[/ hidden-answer]
Технологии
Для следующих упражнений используйте графический калькулятор.
[show-answer q = ”fs-id2428151 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2428151 ″]
-0,1736
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2363394 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2363394 ″]
0.9511
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id17 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id17 ″]
-0,7071
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id1675635 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1675635 ″]
-0,1392
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2497789 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2497789 ″]
−0.7660
[/ hidden-answer]
Расширения
Оцените следующие упражнения.
[show-answer q = ”fs-id2755303 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2755303 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2755134 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2755134 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2631652 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2631652 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2523205 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2523205 ″]
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”fs-id2756010 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2756010 ″]
0
[/ hidden-answer]
Реальные приложения
Для следующих упражнений используйте этот сценарий. Ребенок входит в карусель, которая совершает один оборот за одну минуту.Ребенок входит в точку, то есть в правильном положении на север. Предположим, карусель вращается против часовой стрелки.
Какие координаты ребенка через 45 секунд?
Какие координаты ребенка через 90 секунд?
[show-answer q = ”fs-id2245184 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2245184 ″]
[/ hidden-answer]
Какие координаты ребенка через 125 секунд?
Когда у ребенка будут координаты, если поездка длится 6 минут? (Есть несколько ответов.)
[show-answer q = ”fs-id2755933 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2755933 ″]
37,5 секунды, 97,5 секунды, 157,5 секунды, 217,5 секунды, 277,5 секунды, 337,5 секунды
[/ hidden-answer]
Когда у ребенка будут координаты, если поездка длится 6 минут?
Глоссарий
функция косинуса
значение x точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу
Пифагорейская идентичность
следствие теоремы Пифагора, утверждающее, что квадрат косинуса заданного угла плюс квадрат синуса этого угла равняется 19 · 1035
синусоидальная функция
значение y точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу
Единичный круг — тригонометрия
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Тригонометрия — тригонометрия с использованием кругов — треугольник, угол, тригонометрия и функции
Сотни лет тригонометрия считалась полезной только для определения сторон и углов треугольника.Однако, когда математики разработали более общие определения синуса, косинуса и тангенса, тригонометрия стала гораздо более важной в математике и науке. Общие определения тригонометрических функций были разработаны, рассматривая эти значения как точки на единичной окружности.
Единичный круг — это круг, радиус которого равен одной единице, что означает x ² + y ² = 1. Если мы считаем, что круг представляет вращение стороны угла, то тригонометрический функции могут быть определены координатами x и y точки вращения.Например, координаты точки P (x, y) можно использовать для определения прямоугольного треугольника с гипотенузой длины r. Тогда тригонометрические функции могут быть представлены следующими уравнениями.
Определив тригонометрические функции как таковые, можно построить график каждой из них, отложив ее значение в зависимости от величины угла, который она представляет.
Поскольку значение для x и y никогда не может быть больше единицы на единичной окружности, диапазон для графиков синуса и косинуса составляет от 1 до -1.Величина угла может быть любым действительным числом, поэтому область графиков представляет собой вещественных чисел . (Углы, превышающие 360 ° или 2π радиан, представляют собой угол с более чем одним оборотом вращения). Графики синуса и косинуса являются периодическими, потому что они повторяют свои значения или имеют период каждые 360 ° или 2π радиан. Они также имеют амплитуду, равную единице, которая определяется как половина разницы между максимальным (1) и минимальным (-1) значениями.
Возможны графики других тригонометрических функций.Из них наиболее важным является график касательной функции. Как и графики синуса и косинуса, функция тангенса является периодической, но имеет период 180 ° или π радиан. Поскольку касательная равна y / x, его диапазон составляет от — ∞ до ∞, а амплитуда — ∞.
Периодичность тригонометрических функций более важна для современной тригонометрии, чем соотношения, которые они представляют. Математики и ученые теперь могут описывать многие типы природных явлений, которые периодически повторяются с помощью тригонометрических функций.Например, время закатов, восходов и комет может быть вычислено благодаря тригонометрическим функциям. Также их можно использовать для описания сезонных изменений температуры, движения волн в океане и даже качества музыкального звука.

Книги
Барнетт, Раймонд А., Майкл Зейглер, Карл Байлин и Стивен Хит. Аналитическая тригонометрия с приложениями. 7 изд. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья, 1998.
Блитцер, Роберт и др. Алгебра и тригонометрия. 2-е изд. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 2003.
.
Ларсон, Рон. Исчисление с аналитической геометрией. Бостон: Колледж Хоутон Миффлин, 2002.
Стюарт, Джеймс и др. Тригонометрия Пасифик Гроув, Калифорния: Брукс / Коул, 2003.
Вайсштейн, Эрик В. Краткая энциклопедия математики CRC. Нью-Йорк: CRC Press, 1998.

Что нужно знать о SAT
Вы можете вспомнить, как запомнили единичный круг на уроке математики, или, может быть, вы в настоящее время изучаете его и задаетесь вопросом, увидите ли вы когда-нибудь эту тему за пределами классной комнаты.Будет ли это отображаться на SAT, и как знание (или незнание) этого повлияет на ваш результат? Читай дальше что бы узнать.
Что такое единичный круг?
Единичная окружность — это тригонометрическая концепция, которая позволяет математикам расширять синус, косинус и тангенс на градусы за пределы традиционного прямоугольного треугольника. Если вы помните, синус, косинус и тангенс — это отношения сторон треугольника по отношению к обозначенному углу, обычно называемому тета или.
Синус — это отношение длины противоположного катета прямоугольного треугольника к длине гипотенузы.
Косинус — это отношение длины соседнего катета прямоугольного треугольника к длине гипотенузы.
Касательная — это отношение длины противоположной ножки к длине соседней ножки.
Используя эти традиционные определения, мы ограничены описанием углов, которые мы находим в прямоугольных треугольниках, которые составляют от 0 до 90 градусов. В некоторых случаях нам нужно знать эти значения для углов больше 90, и единичный круг делает это возможным.
Окружность единицы названа так потому, что ее радиус равен 1 единице. Его центр находится в начале координат, а все точки вокруг круга находятся на расстоянии 1 единицы от центра. Если мы проведем линию от центра до точки на окружности, длина этой линии будет равна единице (как показано ниже). Затем мы можем добавить линию, чтобы создать прямоугольный треугольник, где высота равна координате y, а длина равна координате x. Эти меры отмечены буквами a и b соответственно.Таким образом, точка на окружности — это (a, b).
Значения a и b зависят от угла; в приведенном выше примере нам нужно найти (или знать) градус от положительной оси x до конечной стороны, отмеченной темно-зеленым цветом. Но мы можем использовать приведенный выше круг, чтобы выяснить общие отношения a и b в любой степени внутри круга.
Используя наши стандартные определения триггеров, приведенные выше, мы можем найти косинус и синус теты. Косинус смежен с гипотенузой, или a / 1.Это сводится к тому, чтобы просто быть. Синус противоположен гипотенузе, или b / 1. Опять же, это сводится к просто b. Точка (a, b) выше может быть переписана как (cos Θ, sin Θ). Фактически, это верно для любой точки единичной окружности, где вы создаете угол с помощью конечной стороны. Теперь мы можем найти синус и косинус для углов, равных 0 или более 90.
Хотя это верно для любого угла единичного круга, большинство учителей математики (и SAT) сосредотачиваются на точках, образованных прямоугольным треугольником 45-45-90 и треугольником 30-60-90 (используя 30 и 60).Поскольку теперь у нас есть мера (30, 45 или 60), мы можем найти косинус и синус для каждого из этих углов в соответствии с единичной окружностью.
Прежде чем мы перейдем к отображению полного единичного круга, давайте поговорим о радианах. Радианы используются для измерения дуги окружности, образованной конечной стороной (отмечена темно-зеленым цветом выше). Окружность единичного круга можно быстро найти, используя стандартную формулу длины окружности, которая равна 2πr. Радиус равен 1, что означает, что длина окружности единичной окружности равна 2π.
Давайте представим, что конечная сторона начинается с положительной оси x справа и вращается вокруг начала координат против часовой стрелки, что не похоже на стрелку часов, а наоборот. Когда он снова достигнет положительной оси x, он завершит поворот на 360 градусов. Таким образом, 360 градусов соответствуют 2π (или всей окружности). Каждая другая точка, соответственно, меньше 2π пропорционально количеству градусов, на которое терминальная сторона переместилась из начального положения справа.
Теперь мы можем использовать соотношение для преобразования градусов в радианы и наоборот. Если нам даны градусы, мы можем умножить их на 2π / 360. Если нам даны радианы, мы можем умножить значение на 360 / 2π.
Вот единичный круг, который вы знаете и любите. Каждый квадрант следует шаблонам, описанным выше.
Нужно ли это знать для SAT?
В качестве одного из основных тестов, используемых при поступлении, SAT позволяет проверять все, что рассматривается на уроках математики в старших классах.Следовательно, есть вероятность, что единичный круг появится на экзамене SAT, который вы в конечном итоге пройдете.
Тем не менее, единичный круг не часто тестируется, и многие проблемы, связанные с единичным кругом, могут быть решены другими способами (как и большинство задач на SAT можно решить несколькими способами). По данным Совета колледжей, единичный кружок подпадает под категорию «Дополнительные темы по математике», на которые приходится только 10%, или 6 вопросов, во всем тесте по математике. Это 6 вопросов, разбросанных по разделам с калькулятором и без него.
Дополнительные темы по математике, как правило, отдают предпочтение нескольким другим математическим предметам, прежде чем они дойдут до единичного круга и радианов, например:
Линии и углы
Треугольники и другие многоугольники
Круги (с геометрической точки зрения)
Площадь и объем
Координатная геометрия (уравнения прямых и окружностей в координатной плоскости)
Базовая тригонометрия
Комплексные числа.
Как вы понимаете, создатели тестов не всегда могут объединить все вышеперечисленные темы и единичный круг в шесть вопросов, хотя эти вопросы иногда требуют решения двух или более тем.Некоторые бесплатные практические тесты College Board не содержат ни одного вопроса, требующего знания единичного круга.
Тем не менее, если вы хотите получить высший балл за SAT Math Test, вы должны чувствовать себя уверенно практически по любой теме, которую SAT может бросить в их тест, включая единичный круг. Вы не должны пренебрегать темой только для того, чтобы обнаружить, как назло, что она появляется в конкретном тесте, который вы проходите.
Если вы не стремитесь к совершенству, но все же стремитесь к хорошему результату, вы можете сосредоточиться на областях математики, которые всегда проверяются на SAT или чаще проверяются.Чтобы узнать больше о темах, тестируемых на SAT Math, ознакомьтесь с нашим сообщением Что такое математический раздел теста SAT?
.

РубрикаРазное

	Квадрант I	Квадрант II	Квадрант III	Квадрант IV
Угол (φ)	30 °	120 °	210 °	300 °
Синус	0.50	0,87	-0,50	-0,87
Косинус	0,87	-0,50	-0,87	0,50
Касательная	0,58	-1,73		-1,73
Косеканс	2,00	1,15	-2,00	-1,15
Секант	1,15	-2.00	-1,15	2,00
Котангенс	1,73	-0,58	1,73	-0,58

Телефон :		780-427-5318
		(Composer d’abord le 310-0000 pour obtenir une ligne sans frais)

Телекопье:		780-427-1179
Adresse de Courriel:		cshelpdesk @ gov.ab.ca

Косинус
Синус
Пифагорейская идентичность

Окружность для тригонометрии: Тригонометрическая окружность — универсальная шпаргалка по тригонометрии (ЕГЭ — 2021)

Единичная окружность в тригонометрии

Единичная окружность в тригонометрии

Для чего использовать единичную окружность

Сбор и использование персональной информации

Раскрытие информации третьим лицам

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость

Знакомство с тригонометрическим кругом

среда, 4 июля 2018 г.

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность. Что это такое?

Тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции — презентация онлайн

1. Тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции

2. Основные вопросы:

3. Тригонометрия — математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

12. 1рад ≈57,3º

14. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

15. Определение единичной окружности

19. Координаты

20. Определение синуса и косинуса

21. Определение тангенса

22. Определение котангенса

23. ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

24. Основные тригонометрические тождества

25. Домашнее задание

Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс.

Что такое тригонометрическая окружность? | О математике понятно

Тригонометрический круг

Свойства тригонометрического круга

Преобразование углов больше 360 градусов или 2π радиан

Тригонометрия. Единичная окружность

Тригонометрические функции и унитарный круг — x-engineer.org

Что такое единичный круг в тригонометрии?

TL; DR (слишком длинный; не читал)

What Единичный круг?

Определения греха и созвездия с единичным кругом

Определение загара с единичной окружностью

Графические тригонометрические функции

Шлюз

Единичный круг — алгебра и тригонометрия

Цели обучения

Нахождение синусов и косинусов специальных углов

Нахождение синусов и косинусов углов

Использование калькулятора для поиска синуса и косинуса

Как записаться

Попробуй

Поиск опорных углов

Поиск опорного угла

Попробуй

Использование опорных углов

Использование опорных углов для поиска координат

Ключевые уравнения

Упражнения по разделам

Устный

Алгебраические

Числовой

Технологии

Расширения

Реальные приложения

Глоссарий

Единичный круг — тригонометрия

Тригонометрия — тригонометрия с использованием кругов — треугольник, угол, тригонометрия и функции

Что нужно знать о SAT

Добавить комментарий Отменить ответ