Обратную матрицу умножить на матрицу – Обратная матрица — Википедия

68.Умножение матриц. Обратная матрица.

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

При умножении матрицы, на матрицу нужно чтобы слева получилась единичная матрица, тогда справа будет ответ.

[A| I] – [I | A-1]

69.Ришение системы линейных уравнений. Правило Крамера.

— матрица системы

— матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов.

Очевидно, что ,

тогда АХ=С

Такое равенство называется матричным уравнением.

Если матрица А системы невырожденная, (det А 0), то это уравнение решается следующим образом:

Умножим обе его части на матрицу А-1, обратную матрице А

А-1(АХ)=А-1С или,

(А-1А) · Х = А-1·С. но так как А-1А=Е, и ЕХ=Х Х=А-1С

Например, решим матричным способом систему

матрица системы

Правило Крамера – Если главный определитель системы не равен нулю, то система имееот одно единственное решение, которое находится по формулам Крамера. Xi = ΔXi / Δ

Находим определитель системы: . Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные определители:

Итак,

Ответ:

studfiles.net

Нахождение обратной матрицы с примеры решения. Описание основных методов вычисления обратной матрицы

Задание. Для матрицы $ A=\left( \begin{array}{ll}{7} & {4} \\ {5} & {3}\end{array}\right) $ найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице справа единичную матрицу второго порядка:

$$ A\left|E=\left( \begin{array}{cc|cc}{7} & {4} & {1} & {0} \\ {5} & {3} & {0} & {1}\end{array}\right)\right. $$

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

$$ A\left|E = \left( \begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \\ {5} & {3} & {0} & {1}\end{array}\right)\right. $$

От второй строки отнимаем две первых:

$$ A\left|E \sim \left( \begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \\ {1} & {1} & {-2} & {3}\end{array}\right)\right. $$

Первую и вторую строки меняем местами:

$$ A\left|E \sim \left( \begin{array}{rr|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \\ {2} & {1} & {1} & {-1}\end{array}\right)\right. $$

От второй строки отнимаем две первых:

$$ A\left|E \sim \left( \begin{array}{rr|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \\ {0} & {-1} & {5} & {-7}\end{array}\right)\right. $$

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

$$ A\left|E \sim \left( \begin{array}{rr|rr}{1} & {0} & {3} & {-4} \\ {0} & {1} & {-5} & {7}\end{array}\right)\right. $$

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что $ A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}{3} & {-4} \\ {-5} & {7}\end{array}\right) $

Ответ. $ A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}{3} & {-4} \\ {-5} & {7}\end{array}\right) $

www.webmath.ru

умножение матриц — ПриМат

1. Выполнить сложение матриц:
.
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
.

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы , и . Тогда:

.

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

;
.
;
.

Как видим, .

2. Выполнить умножение матрицы на число:
.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
.

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть , . Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица и .
Тогда ;
.
;
.
Как видим, .

3. Вычислить произведение матриц:
.
Для удобства будем называть первую матрицу а вторую матрицу . Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей и , следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы на соответствующие элементы первого столбца матрицы . Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:

Получим следующее:
.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы и складываем полученные значения:
.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы на элементы первого столбца матрицы , складывая результаты:
.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы .
Тогда .
.
Как видим, .

4. Возвести матрицу в степень:
.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
.

5. Транспонировать матрицу:
.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
.

Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Лимит времени: 0

Информация

Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Средний результат

 

 
Ваш результат

 

 
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре
  1. Задание 1 из 4

    Количество баллов: 3

    Правильно

    Неправильно

  2. Задание 2 из 4

    Количество баллов: 1

    Транспонировать матрицу

ib.mazurok.com