Независимая вероятность: Правила вероятности

Содержание

Правила вероятности

Условная вероятность

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы можем применять правила вероятности для того, чтобы складывать и умножать вероятности.

Например, у взрослого пациента все зубы сохранены, некоторые зубы отсутствуют или он беззубый; вероятности равны 0,67, 0,24 и 0,09 соответственно.

  • Правило сложения. Если два события, и , взаимоисключающие, несовместимые, то вероятность события или равна сумме их вероятностей:

    Вероятность того, что у пациента есть несколько зубов, равна 0,67 + 0,24 = 0,91.

  • Правило умножения. Если два события, и , независимы (т. е. возникновение одного события не влияет на возможность появления другого), то вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности каждого:

    Например, если 2 не имеющих отношения друг к другу больных ожидают приема в кабинете хирургической стоматологии то вероятность того, что у обоих больных есть все зубы, равна 0,67 • 0.

    67 =  0,45.

Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. 

Пусть  — фиксированное вероятностное пространство. Пусть  — два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события при условии события называется

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступать только при условии появления одного из событий , образующих полную систему событий. Тогда вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Формула Байеса

Если вероятности событий до опыта были , то с учетом появления в результате опыта события условная вероятность вычисляется по формуле Байеса:

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы приводим пример классического статистического рассуждения, которое полезно иметь в виду при анализе реальных данных.  

Бытует мнение, что при рождении ребенка вероятность мальчика такая же, как и девочки. 

Примем это за гипотезу. 

Для её проверки имеется огромный статистический материал. 

Воспользуемся данными по Швейцарии с 1871 по 1900 гг., когда там родилось человек и среди них мальчиков и девочек. 

Согласуется ли гипотеза о равновероятности рождения мальчика и девочки с этими числами? 

Условно назвав «успехом» рождение мальчика, поставим этот вопрос по-другому, обратившись к схеме Бернулли с вероятностью «успеха» . 

Согласуется ли гипотеза с тем, что в серии из испытаний частота «успеха» оказалось равной 

Очевидно, если вместо гипотезы выдвинуть, скажем, предположение о том, что , то это предположение будет сразу же отвергнуто как маловероятное (или даже невозможное). 

Уместно спросить: почему? Ответ здесь можно дать, основываясь на том, что частота как случайная величина (обозначим её ) подчиняется известному закону распределения.  

Эта величина имеет биномиальное распределение. При больших n имеет место нормальное приближение (в силу центральной предельной теоремы). 

Воспользовавшись нормальным приближением и задавшись малым  (будем называть  уровнем значимости), можно утверждать, например, что

с вероятностью, где   определяется из условия с помощью нормальной функции распределения

( называется квантилем уровня). Скажем,  отвечает , а  уже соответствует 

Это легко проверить с помощью калькулятора вероятностных распределений STATISTICA. Вернемся к нашим числовым данным и гипотезе , согласно которым мы имеем значение

Оно далеко выходит за границу 

Какое же значение, основываясь на этих данных, следует приписать неизвестной вероятности ?

Мы знаем, что по закону больших чисел есть предел частоты (при ), и при имеющемся у нас можно в качестве оценки взять уже приводившееся ранее значение . Эту оценку можно уточнить следующим образом.

Поскольку всегда имеет место неравенство , получаем

с вероятностью, не меньшей (точнее, допущение о том, что истинное значение лежит вне этих границ, означает наступление события, дополнительного к (2) и имеющего вероятность не больше ).

В этом смысле можно утверждать, например, что  с вероятностью не меньшей 0.9973 (это получается при  с уровнем значимости ).

Данное рассуждение приведено в книге Ю.А. Розанова «Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов», М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.

Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события

В начало

Содержание портала

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Теория вероятностей и статистика

Вероятность суммы двух событий

      Пусть   A   и   B   – два произвольных события в случайном эксперименте с множеством элементарных исходов  Ω .

      Справедливо следующее утверждение.

      Утверждение 1. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

      Другими словами, верна формула:

(1)

      Доказательство. Рассмотрим диаграммы Эйлера – Венна для суммы двух событий и произведения двух событий, разместив их на одном рисунке (рис.1).

Рис.1

      Проведем доказательство утверждения 1 на примере геометрического определения вероятности.

      Если площадь произвольной фигуры   F   обозначить символом   S (F) ,   то из рисунка 1 легко установить справедливость равенства:

,(2)

которое словами можно выразить так: «Площадь фигуры   A + B   равна сумме площадей фигур   A   и   B   минус площадь фигуры  ».

      Если обе части равенства (2) разделить на число   S (Ω) ,   то мы получим равенство

(3)

      В силу геометрического определения вероятности справедливы формулы

с помощью которых равенство (3) преобразуется к виду (1), что и завершает доказательство утверждения 1.

      Доказательство утверждения 1 для классического определения вероятности проводится аналогичным образом, и мы оставляем его читателю в качестве полезного упражнения.

Несовместные события

      Определение. Два события   A   и   B   называют несовместными, если они не пересекаются.

      Другими словами, события   A   и   B   несовместны, если

      Замечание 1. События   A   и   B   несовместны в том, и только в том случае, если событие   B   является подмножеством события   ,   то есть   .

      Замечание 2. События   A   и   B   несовместны в том, и только в том случае, если событие   A   является подмножеством события   ,   то есть   .

      Замечание 3. Если события   A   и   B   несовместны, то вероятность их произведения равна нулю.

      Другими словами, для несовместных событий   A   и   B   верна формула

      Замечание 4. Если события   A   и   B   несовместны, то вероятность суммы событий   A + B   равна сумме вероятностей событий   A   и   B .

      Другими словами, для несовместных событий   A   и   B   верна формула

P (A + B) = P (A) + P (B)

Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

     Два события   A   и   B   называют независимыми, если появление одного из этих событий никак не влияет на вероятность появления второго события.

      Замечание 5. Несовместные события и независимые события – это совершенно разные понятия, и их не следует путать.

      Справедливо следующее утверждение.

      Утверждение 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

      Другими словами, для двух независимых событий   A   и   B   верна формула

(4)

      Проиллюстрируем справедливость формулы (4) на примере.

      Пример 1. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая – в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число   3 ,   а на красной игральной кости выпадет число   4 .

      Решение. Сформируем следующую таблицу, в которой записаны все   36   возможных вариантов пар чисел, выпадающих при подбрасывании двух игральных костей. Первая строка таблицы – это числа, выпавшие при бросании синей кости, а первый столбец таблицы – это числа, выпавшие при бросании красной кости. На пересечении строки и столбца указана пара чисел, выпавших на двух костях.

123456
11, 11, 21, 31, 41, 51, 6
22, 12, 22, 32, 42, 52, 6
33, 13, 23, 33, 43, 53, 6
44, 14, 24, 34, 44, 54, 6
55, 15, 25, 35, 45, 55, 6
66, 16, 26, 36, 46, 56, 6

      Благоприятным является только один исход, а именно, клетка с результатом   4, 3 ,   окрашенная в таблице желтым цветом. Следовательно, вероятность события, состоящего в том, что на синей игральной кости выпадает число   3 ,   а на красной игральной кости выпадает число   4 ,   равна  .

      Теперь рассмотрим случайный эксперимент, описанный в примере 1, с другой стороны. Для этого обозначим буквой   A   случайное событие, состоящее в том, что на синей игральной кости выпадает число   3 ,   а буквой   B   — случайное событие, состоящее в том, что на красной игральной кости выпадает число   4 .   События   A   и   B   являются независимыми событиями, а их вероятности равны:

      Событие     состоит в том, что на синей игральной кости выпадет число   3  ,   а на красной игральной кости выпадет число   4 .   Поскольку,

то в рассматриваемом случайном эксперименте по подбрасыванию двух игральных костей формула (4) верна.

      В заключение приведем ещё одну иллюстрацию применимости формулы для вероятности суммы двух событий и формулы для вероятности произведения двух независимых событий.

      Пример 2. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью   0,9 .   Второй стрелок поражает мишень с вероятностью   0,8 .   Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

      Решение. Обозначим буквой   A   случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает первый стрелок, а буквой   B   обозначим случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает второй стрелок. Тогда событие   A + B   означает, что мишень поражена, а событие     означает, что в мишень попали оба стрелка. По условию

P (A) = 0,9   и   P (B) = 0,8  

а поскольку события   A   и   B   независимы, то в силу формулы (4)

      Воспользовавшись формулой (1), находим

      Ответ:   0,98

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

На Лукашенко давят нефтью / СНГ / Независимая газета

Москва пытается использовать американские санкции в отношении белорусских НПЗ

Белорусские НПЗ пока получают российскую нефть бесперебойно. Фото с сайта www.tut.by

В Минске обсуждают вероятность прекращения поставок российской нефти на белорусский НПЗ «Нафтан» из-за риска попасть под американские санкции. Если это случится, белорусскую нефтянку ждет катастрофа. Впрочем, некоторые эксперты считают, что Россия в данном случае ведет свою игру.

Белорусские эксперты взбудоражены сообщением Reuters, опубликованным утром 28 апреля. Агентство сообщило, что российские нефтяные компании могут приостановить поставки нефти на белорусский нефтеперерабатывающий завод «Нафтан» из-за опасения попасть под санкции США, наложенные на это предприятие. Ссылаясь на свои источники в отрасли, Reuters утверждает, что пострадать могут и поставки нефтепродуктов производства «Нафтана», которые с недавних пор пошли через российские порты.

Как писала «НГ» (см. номер от 22 апреля 2021 года), США возобновили экономические санкции в отношении девяти белорусских предприятий: «Белорусский нефтяной торговый дом», «Белнефтехим», «Белнефтехим США», «Белшина», «Гродно Азот», «Гродно Химволокно», «Лакокраска», «Нафтан», «Полоцк Стекловолокно». Контрагентам названных предприятий дано 45 дней (до 3 июня), чтобы прекратить с ними всякие взаимодействия. Речь в первую очередь идет об американских компаниях, однако предприятия третьих стран, сотрудничающие с подсанкционными, могут потерять свои позиции в Америке, если продолжат сотрудничество с белорусскими. Опасения российских компаний как раз с этим могут быть и связаны, если, конечно, информация соответствует действительности.

Собственно говоря, сомнения в достоверности информации Reuters – это была первая реакция белорусской экспертной общественности. Ведь фактически в данной ситуации Россия присоединяется к американским санкциям против Белоруссии, что противоречит ее нынешней антиамериканской и антизападной риторике. Куда логичнее объединиться против «американских империалистов» и попытаться вместе обойти санкции. «В одном окопе против американцев» – этот тезис в последнее время активно используют не только в Белоруссии, но и в России. Тем более что санкции не новые, они действовали с 2006 по 2015 год и на российско-белорусском сотрудничестве это никак не отразилось.

Старший аналитик «Альпари Евразия» Вадим Иосуб предположил, что риски, которые видят российские компании, могут быть связаны с расчетами в долларах. «Через корреспондентские счета в американских банках эта ситуация становится прозрачной для властей США и потенциально может повлечь вторичные санкции. В этом риск для российских компаний», – написал он в своем аккаунте в социальной сети. В этой ситуации избежать проблем можно, если перевести расчеты в какую-то другую валюту. Например, евро или российские рубли.

В течение среды никаких опровержений информации, опубликованной Reuters, не поступило. Более того, агентство сообщило, что основные поставщики белорусского «Нафтана» – «Роснефть» и «Сургутнефтегаз» – действительно не планируют поставок в мае. Еще не приняли решения «Татнефть», «РуссНефть» и «Нефтиса».

Если поставки нефти действительно прекратятся, то последствия для белорусской экономики будут самими печальными. Напомним, что в прошлом году Белоруссия уже столкнулась с отсутствием российской нефти. Это привело к падению промышленного производства, валютных доходов от экспорта нефтепродуктов и экономики в целом. Тогда Белоруссия в спешном порядке диверсифицировала поставки нефти. Страны Запада охотно шли на выручку «бедным» белорусам, страдающим от давления коварной России. В страну шла норвежская, азербайджанская и даже американская нефть. Страны Балтии и Украина были открыты для сотрудничества в транспортировке. Сейчас ситуация принципиально иная – отношения с Западом испорчены. От диверсификации остались лишь поставки нефти из Азербайджана, о чем недавно шла речь во время визита Александра Лукашенко в Баку.

В то же время 1 млн т нефти, который ожидается из Азербайджана, никак не в состоянии компенсировать те 9–10 млн т, которые получает от России и перерабатывает «Нафтан». К тому же азербайджанские компании также могут не пожелать портить отношения с США. Сохраняется еще вариант сотрудничества «Нафтана» с небольшими российскими компаниями-поставщиками, не работающими на внешний рынок – они могут себе позволить не опасаться вторичных санкций США. Однако там также речь не может идти о больших объемах, достаточных для полной загрузки. «Главный фактор здесь в большой доле «Нафтана» в экспортной выручке и в уплачиваемых им в бюджет огромных налогах. Такого рода запреты будут означать для белорусской экономики очень серьезные последствия», – считает белорусский экономист Ярослав Романчук. По его мнению, этот фактор воздействия может быть настолько мощным, что даже заставит Александра Лукашенко сесть за стол переговоров о новых президентских выборах и отпустить политзаключенных.

В ходе обсуждения возникшей проблемы в белорусской экспертной среде возникло мнение, что Россия просто решила воспользоваться ситуацией и снова поторговаться с Белоруссией. В частности, такую точку зрения высказала в эфире «Еврорадио» политолог Ольга Харламова. Такой вывод она делает на основании анализа отношений между союзниками в предыдущие годы, а также отдельных заявлений российских официальных лиц. «Когда эти санкции действовали в прошлый раз, российские компании продолжали поставлять нефть в Беларусь. У них даже не возникло мысли, что эти санкции могут их коснуться. Санкции, которые продолжаются сегодня, ничем не отличаются от предыдущих. В связи с этим складывается впечатление, что та инсайдерская информация, которую озвучил Reuters, напрямую не связана с американскими санкциями. Она связана с какими-то другими обстоятельствами, которые являются основанием для возможного принятия такого решения», – считает она. Эксперт напомнила, что еще недавно в своем Послании президент России Владимир Путин утверждал, что Россия настолько сильна, что никакие санкции ее не беспокоят. В связи с этим заявления российских поставщиков ей кажутся нелогичными.

Ольга Харламова полагает, что в данный момент Россия заинтересована в том, чтобы Минск окончательно рассорился с Киевом и потерял возможность получать даже азербайджанскую нефть через Украину. «Тогда Беларусь попадает в стопроцентную зависимость от РФ», – констатирует эксперт. Лукашенко под давлением Москвы уже перевел экспортные потоки нефтепродуктов из литовского порта Клайпеда в российскую Усть-Лугу. Причем соглашение предусматривает, что Белоруссия оплачивает услугу даже в том случае, если ничего не поставляет. «Нет поставок нефти на «Нафтан», нет поставок нефтепродуктов на экспорт, а платить все равно надо. В этом случае Беларусь теряет дважды», – считает эксперт. 

Минск

Основы регрессионного анализа—ArcGIS Pro | Документация

Набор инструментов Пространственная статистика предоставляет эффективные инструменты количественного анализа пространственных структурных закономерностей. Инструмент Анализ горячих точек, например, поможет найти ответы на следующие вопросы:

  • Есть ли в США места, где постоянно наблюдается высокая смертность среди молодежи?
  • Где находятся «горячие точки» по местам преступлений, вызовов 911 (см. рисунок ниже) или пожаров?
  • Где находятся места, в которых количество дорожных происшествий превышает обычный городской уровень?

Анализ данных звонков в службу 911, показывающий горячие точки (красным), холодные точки (синим) и локализацию пожарных/полиции, ответственных за реагирование (зеленые круги)

Каждый из вопросов спрашивает «где»? Следующий логический вопрос для такого типа анализа – «почему»?

  • Почему в некоторых местах США наблюдается повышенная смертность молодежи? Какова причина этого?
  • Можем ли мы промоделировать характеристики мест, на которые приходится больше всего преступлений, звонков в 911, или пожаров, чтобы помочь сократить эти случаи?
  • От каких факторов зависит повышенное число дорожных происшествий? Имеются ли какие-либо возможности для снижения числа дорожных происшествий в городе вообще, и в особо неблагополучных районах в частности?

Инструменты в наборе инструментов Моделирование пространственных отношений помогут вам ответить на вторую серию вопросов «почему». К этим инструментам относятся Метод наименьших квадратов и Географически взвешенная регрессия.

Пространственные отношения

Регрессионный анализ позволяет вам моделировать, проверять и исследовать пространственные отношения и помогает вам объяснить факторы, стоящие за наблюдаемыми пространственными структурными закономерностями. Вы также можете захотеть понять, почему люди постоянно умирают молодыми в некоторых регионах страны, и какие факторы особенно влияют на особенно высокий уровень диабета. При моделирование пространственных отношений, однако, регрессионный анализ также может быть пригоден для прогнозирования. Моделирование факторов, которые влияют на долю выпускников колледжей, на пример, позволяют вам сделать прогноз о потенциальной рабочей силе и их навыках. Вы также можете использовать регрессионный анализ для прогнозирования осадков или качества воздуха в случаях, где интерполяция невозможна из-за малого количества станций наблюдения (к примеру, часто отсутствую измерительные приборы вдоль горных хребтов и в долинах).

МНК – наиболее известный метод регрессионного анализа. Это также подходящая отправная точка для всех способов пространственного регрессионного анализа. Данный метод позволяет построить глобальную модель переменной или процесса, которые вы хотите изучить или спрогнозировать (уровень смертности/осадки). Он создает уравнение регрессии, отражающее происходящий процесс. Географически взвешенная регрессия (ГВР) — один из нескольких методов пространственного регрессионного анализа, все чаще использующегося в географии и других дисциплинах. Метод ГВР (географически взвешенная регрессия) создает локальную модель переменной или процесса, которые вы прогнозируете или изучаете, применяя уравнение регрессии к каждому пространственному объекту в наборе данных. При подходящем использовании, эти методы являются мощным и надежным статистическим средством для проверки и оценки линейных взаимосвязей.

Линейные взаимосвязи могут быть положительными или отрицательными. Если вы обнаружили, что количество поисково-спасательных операций увеличивается при возрастании среднесуточной температуры, такое отношение является положительным; имеется положительная корреляция. Другой способ описать эту положительную взаимосвязь — сказать, что количество поисково-спасательных операций уменьшается при уменьшении среднесуточной температуры. Соответственно, если вы установили, что число преступлений уменьшается при увеличении числа полицейских патрулей, данное отношение является отрицательным. Также, можно выразить это отрицательное отношение, сказав, что количество преступлений увеличивается при уменьшении количества патрулей. На рисунке ниже показаны положительные и отрицательные отношения, а также случаи, когда две переменные не связаны отношениями:

Диаграммы рассеяния: положительная связь, отрицательная связь и пример с 2 не связанными переменными.

Корреляционные анализы, и связанные с ними графики, отображенные выше, показывают силу взаимосвязи между двумя переменными. С другой стороны, регрессионные анализы дают больше информации: они пытаются продемонстрировать степень, с которой 1 или более переменных потенциально вызывают положительные или негативные изменения в другой переменной.

Применения регрессионного анализа

Регрессионный анализ может использоваться в большом количестве приложений:

  • Моделирование числа поступивших в среднюю школу для лучшего понимания факторов, удерживающих детей в том же учебном заведении.
  • Моделирование дорожных аварий как функции скорости, дорожных условий, погоды и т.д., чтобы проинформировать полицию и снизить несчастные случаи.
  • Моделирование потерь от пожаров как функции от таких переменных как степень вовлеченности пожарных департаментов, время обработки вызова, или цена собственности. Если вы обнаружили, что время реагирования на вызов является ключевым фактором, возможно, существует необходимость создания новых пожарных станций. Если вы обнаружили, что вовлеченность – главный фактор, возможно, вам нужно увеличить оборудование и количество пожарных, отправляемых на пожар.

Существует три первостепенных причины, по которым обычно используют регрессионный анализ:

  • Смоделировать некоторые явления, чтобы лучше понять их и, возможно, использовать это понимание для оказания влияния на политику и принятие решений о наиболее подходящих действиях. Основная цель — измерить экстент, который при изменениях в одной или более переменных связанно вызывает изменения и в другой. Пример. Требуется понять ключевые характеристики ареала обитания некоторых видов птиц (например, осадки, ресурсы питания, растительность, хищники) для разработки законодательства, направленного на защиту этих видов.
  • Смоделировать некоторые явления, чтобы предсказать значения в других местах или в другое время. Основная цель — построить прогнозную модель, которая является как устойчивой, так и точной. Пример: Даны прогнозы населения и типичные погодные условия. Каким будет объем потребляемой электроэнергии в следующем году?
  • Вы также можете использовать регрессионный анализ для исследования гипотез. Предположим, что вы моделируете бытовые преступления для их лучшего понимания и возможно, вам удается внедрить политические меры, чтобы остановить их. Как только вы начинаете ваш анализ, вы, возможно, имеете вопросы или гипотезы, которые вы хотите проверить:
    • «Теория разбитого окна» указывает на то, что испорченная общественная собственность (граффити, разрушенные объекты и т. д.) притягивает иные преступления. Имеется ли положительное отношение между вандализмом и взломами в квартиры?
    • Имеется ли связь между нелегальным использованием наркотических средств и взломами в квартиры (могут ли наркоманы воровать, чтобы поддерживать свое существование)?
    • Совершаются ли взломы с целью ограбления? Возможно ли, что будет больше случаев в домохозяйствах с большей долей пожилых людей и женщин?
    • Люди больше подвержены риску ограбления, если они живут в богатой или бедной местности?
    Вы можете использовать регрессионный анализ, чтобы исследовать эти взаимосвязи и ответить на ваши вопросы.

Термины и концепции регрессионного анализа

Невозможно обсуждать регрессионный анализ без предварительного знакомства с основными терминами и концепциями, характерными для регрессионной статистики:

Уравнение регрессии. Это математическая формула, применяемая к независимым переменным, чтобы лучше спрогнозировать зависимую переменную, которую необходимо смоделировать. К сожалению, для тех ученых, кто думает, что х и у это только координаты, независимая переменная в регрессионном анализе всегда обозначается как y, а зависимая – всегда X. Каждая независимая переменная связана с коэффициентами регрессии, описывающими силу и знак взаимосвязи между этими двумя переменными. Уравнение регрессии может выглядеть следующим образом (у – зависимая переменная, Х – независимые переменные, β – коэффициенты регрессии), ниже приводится описание каждого из этих компонентов уравнения регрессии):

Элементы Уравнения регрессии по методу наименьших квадратов
  • Зависимая переменная (y) – это переменная, описывающая процесс, который вы пытаетесь предсказать или понять (бытовые кражи, осадки). В уравнении регрессии эта переменная всегда находится слева от знака равенства. В то время, как вы можете использовать регрессию для предсказания зависимой величины, вы всегда начинаете с набора хорошо известных у-значений и используете их для калибровки регрессионной модели. Известные у-значения часто называют наблюдаемыми величинами.
  • Независимые переменные (X) это переменные, используемые для моделирования или прогнозирования значений зависимых переменных. В уравнении регрессии они располагаются справа от знака равенства и часто называются независимыми переменными. Зависимая переменная – это функция независимых переменных. Если вас интересует прогнозирование годового оборота определенного магазина, вы можете включить в модель независимые переменные, отражающие, например, число потенциальных покупателей, расстояние до конкурирующих магазинов, заметность магазина и структуру спроса местных жителей.
  • Коэффициенты регрессии (β) – это коэффициенты, которые рассчитываются в результате выполнения регрессионного анализа. Вычисляются величины для каждой независимой переменной, которые представляют силу и тип взаимосвязи независимой переменной по отношению к зависимой. Предположим, что вы моделируете частоту пожаров как функцию от солнечной радиации, растительного покрова, осадков и экспозиции склона. Вы можете ожидать положительную взаимосвязь между частотой пожаров и солнечной радиацией (другими словами, чем больше солнца, тем чаще встречаются пожары). Если отношение положительно, знак связанного коэффициента также положителен. Вы можете ожидать негативную связь между частотой пожаров и осадками (другими словами, для мест с большим количеством осадков характерно меньше лесных пожаров). Коэффициенты отрицательных отношений имеют знак минуса. Когда взаимосвязь сильная, значения коэффициентов достаточно большие (относительно единиц независимой переменной, с которой они связаны). Слабая взаимосвязь описывается коэффициентами с величинами около 0; β0 – это отрезок, отсекаемый линией регрессии.Он представляет ожидаемое значение зависимой величины, если все независимые переменные равны 0.

P-значения. Большинство регрессионных методов выполняют статистический тест для расчета вероятности, называемой р-значением, для коэффициентов, связанной с каждой независимой переменной. Нулевая гипотеза данного статистического теста предполагает, что коэффициент незначительно отличается от нуля (другими словами, для всех целей и задач, коэффициент равен нулю, и связанная независимая переменная не может объяснить вашу модель). Маленькие величины р-значений отражают маленькие вероятности и предполагают, что коэффициент действительно важен для вашей модели со значением, существенно отличающимся от 0 (другими словами, маленькие величины р-значений свидетельствуют о том, что коэффициент не равен 0). Вы бы сказали, что коэффициент с р-значением, равным 0,01, например, статистически значимый для 99 % доверительного интервала; связанные переменные являются эффективным предсказателем. Переменные с коэффициентами около 0 не помогают предсказать или смоделировать зависимые величины; они практически всегда удаляются из регрессионного уравнения, если только нет веских причин сохранить их.

R2/R-квадрат: Статистические показатели составной R-квадрат и скорректированный R-квадрат вычисляются из регрессионного уравнения, чтобы качественно оценить модель. Значение R-квадрат лежит в пределах от 0 до 100 процентов. Если ваша модель описывает наблюдаемые зависимые переменные идеально, R-квадрат равен 1.0 (и вы, несомненно, сделали ошибку; возможно, вы использовали модификацию величины у для предсказания у). Вероятнее всего, вы увидите значения R-квадрат в районе 0,49, например, вы можете интерпретировать подобный результат как «Это модель объясняет 49 % вариации зависимой величины». Чтобы понять, как работает R-квадрат, постройте график, отражающий наблюдаемые и оцениваемые значения у, отсортированные по оцениваемым величинам. Обратите внимание на количество совпадений. Этот график визуально отображает, насколько хорошо вычисленные значения модели объясняют изменения наблюдаемых значений зависимых переменных. Просмотрите иллюстрацию. Скорректированный R-квадрат всегда немного меньше, чем множественный R-квадрат, т.к. он отражает всю сложность модели (количество переменных) и связан с набором исходных данных. Следовательно, скорректированный R-квадрат является более точной мерой для оценки результатов работы модели.

Невязки: Существует необъяснимое количество зависимых величин, представленных в уравнении регрессии как случайные ошибки ε. См. рисунок. Известные значения зависимой переменной используются для построения и настройки модели регрессии. Используя известные величины зависимой переменной (Y) и известные значений для всех независимых переменных (Хs), регрессионный инструмент создаст уравнение, которое предскажет те известные у-значения как можно лучше. Однако предсказанные значения редко точно совпадают с наблюдаемыми величинами. Разница между наблюдаемыми и предсказываемыми значениями у называется невязка или отклонение. Величина отклонений регрессионного уравнения — одно из измерений качества работы модели. Большие отклонения говорят о ненадлежащем качестве модели.

Создание регрессионной модели представляет собой итерационный процесс, направленный на поиск эффективных независимых переменных, чтобы объяснить зависимые переменные, которые вы пытаетесь смоделировать или понять, запуская инструмент регрессии, чтобы определить, какие величины являются эффективными предсказателями. Затем пошаговое удаление и/или добавление переменных до тех пор, пока вы не найдете наилучшим образом подходящую регрессионную модель. Т.к. процесс создания модели часто исследовательский, он никогда не должен становиться простым «подгоном» данных. Он должен учитывать теоретические аспекты, мнение экспертов в этой области и здравый смысл. Вы должным быть способны определить ожидаемую взаимосвязь между каждой потенциальной независимой переменной и зависимой величиной до непосредственного анализа, и должны задать себе дополнительные вопросы, когда эти связи не совпадают.

Особенности регрессионного анализа

Регрессия МНК – это простой метод анализа с хорошо проработанной теорией, предоставляющий эффективные возможности диагностики, которые помогут вам интерпретировать результаты и устранять неполадки. Однако, МНК надежен и эффективен, если ваши данные и регрессионная модель удовлетворяют всем предположениям, требуемым для этого метода (смотри таблицу внизу). Пространственные данные часто нарушают предположения и требования МНК, поэтому важно использовать инструменты регрессии в союзе с подходящими инструментами диагностики, которые позволяют оценить, является ли регрессия подходящим методом для вашего анализа, а приведенная структура данных и модель может быть применена.

Как регрессионная модель может не работать

Серьезной преградой для многих регрессионных моделей является ошибка спецификации. Модель ошибки спецификации — это такая неполная модель, в которой отсутствуют важные независимые переменные, поэтому она неадекватно представляет то, что мы пытаемся моделировать или предсказывать (зависимую величину, у). Другими словами, регрессионная модель не рассказывает вам всю историю. Ошибка спецификации становится очевидной, когда в отклонениях вашей регрессионной модели наблюдается статистически значимая пространственная автокорреляция, или другими словами, когда отклонения вашей модели кластеризуются в пространстве (недооценки – в одной области изучаемой территории, а переоценки – в другой). Благодаря картографированию отклонений регрессии или коэффициентов, связанных с географически взвешенной регрессией, вы сможете обратить ваше внимание на какие-то нюансы, которые вы упустили ранее. Запуск Анализа горячих точек по отклонениям регрессии также может раскрыть разные пространственные режимы, которые можно моделировать при помощи метода наименьших квадратов с региональными показателями или исправлять с использованием географически взвешенной регрессии. Предположим, когда вы картографируете отклонения вашей регрессионной модели, вы видите, что модель всегда заново предсказывает значения в горах, и, наоборот, в долинах, что может значить, что отсутствуют данные о рельефе. Однако может случиться так, что отсутствующие переменные слишком сложны для моделирования или их невозможно подсчитать или слишком трудно измерить. В этих случаях, вы можете воспользоваться ГВР (географически взвешенной регрессией) или другой пространственной регрессией, чтобы получить хорошую модель.

В следующей таблице перечислены типичные проблемы с регрессионными моделями и инструменты в ArcGIS:

Типичные проблемы с регрессией, последствия и решения

Ошибки спецификации относительно независимых переменных.

Когда ключевые независимые переменные отсутствуют в регрессионном анализе, коэффициентам и связанным с ними р-значениям нельзя доверять.

Создайте карту и проверьте невязки МНК и коэффициенты ГВР или запустите Анализ горячих точек по регрессионным невязкам МНК, чтобы увидеть, насколько это позволяет судить о возможных отсутствующих переменных.

Нелинейные взаимосвязи. Просмотрите иллюстрацию.

МНК и ГВР – линейные методы. Если взаимосвязи между любыми независимыми величинами и зависимыми – нелинейны, результирующая модель будет работать плохо.

Создайте диаграмму рассеяния, чтобы выявить взаимосвязи между показателями в модели.Уделите особое внимание взаимосвязям, включающим зависимые переменные. Обычно криволинейность может быть устранена трансформированием величин. Просмотрите иллюстрацию. Альтернативно, используйте нелинейный метод регрессии.

Выбросы данных. Просмотрите иллюстрацию.

Существенные выбросы могут увести результаты взаимоотношений регрессионной модели далеко от реальности, внося ошибку в коэффициенты регрессии.

Создайте диаграмму рассеяния и другие графики (гистограммы), чтобы проверить экстремальные значения данных. Скорректировать или удалить выбросы, если они представляют ошибки. Когда выбросы соответствуют действительности, они не могут быть удалены. Запустить регрессию с и без выбросов, чтобы оценить, как это влияет на результат.

Нестационарность. Вы можете обнаружить, что входящая переменная, может иметь сильную зависимость в регионе А, и в то время быть незначительной или даже поменять знак в регионе B (см. рисунок).

Если взаимосвязь между вашими зависимыми и независимыми величинами противоречит в пределах вашей области изучения, рассчитанные стандартные ошибки будут искусственно раздуты.

Инструмент МНК в ArcGIS автоматически тестирует проблемы, связанные с нестационарностью (региональными вариациями) и вычисляет устойчивые стандартные значения ошибок. Просмотрите иллюстрацию. Когда вероятности, связанные с тестом Koenker, малы (например, < 0,05), у вас есть статистически значимая региональная вариация и вам необходимо учитывать устойчивые вероятности, чтобы определить, является ли независимая переменная статистически значимой или нет. Как правило, результаты моделирования можно улучшить с помощью инструмента Географически взвешенная регрессия.

Мультиколлинеарность. Одна или несколько независимых переменных излишни. Просмотрите иллюстрацию.

Мультиколлинеарность ведет к переоценке и нестабильной/ненадежной модели.

Инструмент МНК в ArcGIS автоматически проверяет избыточность. Каждой независимой переменной присваивается рассчитанная величина фактора, увеличивающего дисперсию. Когда это значение велико (например, > 7,5), избыток является проблемой и излишние показатели должны быть удалены из модели или модифицированы путем создания взаимосвязанных величин или увеличением размера выборки. Просмотрите иллюстрацию.

Противоречивая вариация в отклонениях. Может произойти, что модель хорошо работает для маленьких величин, но становится ненадежна для больших значений. Просмотрите иллюстрацию.

Когда модель плохо предсказывает некоторые группы значений, результаты будут носить ошибочный характер.

Инструмент МНК в ArcGIS автоматически выполняет тест на несистемность вариаций в отклонениях (называемая гетероскедастичность или неоднородность дисперсии) и вычисляет стандартные ошибки, которые устойчивы к этой проблеме. Когда вероятности, связанные с тестом Koenker, малы (например, 0,05), необходимо учитывать устойчивые вероятности, чтобы определить, является ли независимая переменная статистически значимой или нет. Просмотрите иллюстрацию.

Пространственно автокоррелированные отклонения. Просмотрите иллюстрацию.

Когда наблюдается пространственная кластеризация в отклонениях, полученных в результате работы модели, это означает, что имеется переоценённый тип систематических отклонений, модель работает ненадежно.

Запустите инструмент Пространственная автокорреляция (Spatial Autocorrelation) по отклонениям, чтобы убедиться, что в них не наблюдается статистически значимой пространственной автокорреляции. Статистически значимая пространственная автокорреляция практически всегда является симптомом ошибки спецификации (отсутствует ключевой показатель в модели). Просмотрите иллюстрацию.

Нормальное распределение систематической ошибки. Просмотрите иллюстрацию.

Когда невязки регрессионной модели распределены ненормально со средним, близким к 0, р-значения, связанные с коэффициентами, ненадежны.

Инструмент МНК в ArcGIS автоматически выполняет тест на нормальность распределения отклонений. Когда статистический показатель Жака-Бера является значимым (например, 0,05), скорее всего в вашей модели отсутствует ключевой показатель (ошибка спецификации) или некоторые отношения, которые вы моделируете, являются нелинейными. Проверьте карту отклонений и возможно карту с коэффициентами ГВР, чтобы определить, какие ключевые показатели отсутствуют. Просмотр диаграмм рассеяния и поиск нелинейных отношений.

Типичные проблемы с регрессией и их решения

Важно протестировать модель на каждую из проблем, перечисленных выше. Результаты могут быть на 100 % неправильны, если игнорируются проблемы, упомянутые выше.

Пространственная регрессия

Для пространственных данных характерно 2 свойства, которые затрудняют (не делают невозможным) применение традиционных (непространственных) методов, таких как МНК:

  • Географические объекты довольно часто пространственно автокоррелированы. Это означает, что объекты, расположенные ближе друг к другу более похожи между собой, чем удаленные объекты. Это создает переоцененный тип систематических ошибок для традиционных моделей регрессии.
  • География важна, и часто наиболее важные процессы нестационарны. Эти процессы протекают по-разному в разных частях области изучения. Эта характеристика пространственных данных может относиться как к региональным вариациям, так и к нестационарности.

Настоящие методы пространственной регрессии были разработаны, чтобы устойчиво справляться с этими двумя характеристиками пространственных данных и даже использовать эти свойства пространственных данных, чтобы улучшать моделирование взаимосвязей. Некоторые методы пространственной регрессии эффективно имеют дело с 1 характеристикой (пространственная автокорреляция), другие – со второй (нестационарность). В настоящее время, нет методов пространственной регрессии, которые эффективны с обеими характеристиками. Для правильно настроенной модели ГВР пространственная автокорреляция обычно не является проблемой.

Пространственная автокорреляция

Существует большая разница в том, как традиционные и пространственные статистические методы смотрят на пространственную автокорреляцию. Традиционные статистические методы видят ее как плохую вещь, которая должна быть устранена, т.к. пространственная автокорреляция ухудшает предположения многих традиционных статистических методов. Для географа или ГИС-аналитика, однако, пространственная автокорреляция является доказательством важности пространственных процессов; это интегральная компонента данных. Удаляя пространство, мы удаляем пространственный контекст данных; это как только половина истории. Пространственные процессы и доказательство пространственных взаимосвязей в данных представляют собой особый интерес, и поэтому пользователи ГИС с радостью используют инструменты пространственного анализа данных. Однако, чтобы избежать переоцененный тип систематических ошибок в вашей модели, вы должны определить полный набор независимых переменных, которые эффективно опишут структуру ваших данных. Если вы не можете определить все эти переменные, скорее всего, вы увидите существенную пространственную автокорреляцию среди отклонений модели. К сожалению, вы не можете доверять результатам регрессии, пока все не устранено. Используйте инструмент Пространственная автокорреляция, чтобы выполнить тест на статистически значимую пространственную автокорреляцию для отклонений в вашей регрессии.

Как минимум существует 3 направления, как поступать с пространственной автокорреляцией в невязках регрессионных моделей.

  1. Изменять размер выборки до тех пор, пока не удастся устранить статистически значимую пространственную автокорреляцию. Это не гарантирует, что в анализе будет полностью устранена проблема пространственной автокорреляции, но она значительно меньше, когда пространственная автокорреляция удалена из зависимых и независимых переменных. Это традиционный статистический подход к устранению пространственной автокорреляции и только подходит, если пространственная автокорреляция является результатом избыточности данных.
  2. Изолируйте пространственные и непространственные компоненты каждой входящей величины, используя методы фильтрации в пространственной регрессии. Пространство удалено из каждой величины, но затем его возвращают обратно в регрессионную модель в качестве новой переменной, отвечающей за пространственные эффекты/пространственную структуру. ArcGIS в настоящее время не предоставляет возможности проведения подобного рода анализа.
  3. Внедрите пространственную автокорреляцию в регрессионную модель, используя пространственные эконометрические регрессионные модели. Пространственные эконометрические регрессионные модели будут добавлены в ArcGIS в следующем релизе.

Региональные вариации

Глобальные модели, подобные МНК, создают уравнения, наилучшим образом описывающие общие связи в данных в пределах изучаемой территории. Когда те взаимосвязи противоречивы в пределах территории изучения, МНК хорошо моделирует эти взаимосвязи. Когда те взаимосвязи ведут себя по-разному в разных частях области изучения, регрессионное уравнение представляет средние результаты, и в случае, когда те взаимосвязи представляют 2 экстремальных значения, глобальное среднее не моделирует хорошо эти значения. Когда ваши независимые переменные испытывают нестационарность (региональные вариации), глобальные модели не подходят, а необходимо использовать устойчивые методы регрессионного анализа. Идеально, вы сможете определить полный набор независимых переменных, чтобы справиться с региональными вариациями в ваших зависимых переменных. Если вы не сможете определить все пространственные переменные, вы снова заметите статистически значимую пространственную автокорреляцию в ваших отклонениях и/или более низкие, чем ожидалось, значения R-квадрат. К сожалению, вы не можете доверять результатам регрессии, пока все не устранено.

Существует как минимум 4 способа работы с региональными вариациями в МНК регрессионных моделях:

  1. Включить переменную в модель, которая объяснит региональные вариации. Если вы видите, что ваша модель всегда «перепредсказывает» на севере и «недопредсказывает» на юге, добавьте набор региональных значений:1 для северных объектов, и 0 для южных объектов.
  2. Используйте методы, которые включают региональные вариации в регрессионную модель, такие как Географически взвешенная регрессия.
  3. Примите во внимание устойчивые стандартные отклонения регрессии и вероятности, чтобы определить, являются ли коэффициенты статистически значимыми. ГВР рекомендуется
  4. Изменить/сократить размер области изучения так, чтобы процессы в пределах новой области изучения были стационарными (не испытывали региональные вариации).

Дополнительные ресурсы

Для большей информации по использованию регрессионных инструментов, см.:

Связанные разделы

Отзыв по этому разделу?

Вакцинация: защита или угроза?

Делать прививку ребенку или нет? Этот вопрос в последнее время приобрел почти глобальное значение, хотя сами мамы и папы были в свое время привиты в обязательном порядке и в соответствии с графиком иммунизации. С тех пор вакцины постоянно совершенствовались, но парадокс в том, что многие, избавившись от страха перед инфекциями, обрели страх перед вакцинами, которые так эффективно действовали против этих инфекций.

Основной причиной антипрививочных настроений является страх перед поствакцинальными реакциями и осложнениями. Обращаясь к населению, борцы против прививок оперируют набором ловко упакованной ложной информации, которая порочит вакцинопрофилактику вообще и отдельные вакцины в частности. Именно благодаря мифической природе антипрививочная дезинформация циркулирует в сознании населения – вопреки и одновременно с опровергающими её фактами.
В интернете часто можно встретить истории о том, как тот или иной человек заболел после прививки: поднялась температура, покраснело место укола и т.д. Но при этом там не пишут о том, как непривитой ребёнок кашлял четыре месяца с остановками дыхания, потому что заразился коклюшем; как ребенок после перенесенного полиомиелита остался на всю жизнь инвалидом. Также мало кто знает, что вероятность смерти в случае заражения столбняком даже при современных методах лечения составляет 17-25% . Люди не знают и не видят больных, в то время как прививочные реакции и осложнения постоянно на слуху.

Следует различать реакции на прививки (побочные реакции) и поствакцинальные осложнения. Прививочные реакции (подъем температуры, уплотнение на месте укола, болезненность на месте укола в течение нескольких дней после прививки) — это вариант нормальной реакции организма на введение вакцины, которые проходят в течение короткого времени, никакого вреда организму ребенка они не приносят. Поствакцинальные осложнения огромная редкость, это один случай на миллион прививок. На сегодняшний день, практически все виды поствакцинальных реакций и осложнений известны, о возможности их появления записано в наставлениях по применению вакцин. Однако, не стоит спешить отказываться от вакцинации из страха перед поствакцинальными осложнениями. Большинство нежелательных реакций и осложнений можно предотвратить соблюдая элементарные меры предосторожности ( не вакцинировать ребенка с проявлениями простудных заболеваний, соблюдать рекомендации врача после вакцинации, в некоторых случаях перед вакцинацией может быть назначен курс антигистаминных препаратов).

Принимая решение о необходимости вакцинации, стоит адекватно оценить также и риски возникновения осложнений от самих инфекционных заболеваний у непривитых людей. Возьмем, к примеру, самые реактогенные на сегодняшний день вакцины – БЦЖ (противотуберкулезная вакцина) и АКДС (вакцина против дифтерии, столбняка и коклюша). Если такие тяжелые осложнения, как туберкулез костей, возникают у детей только в 0,1 случае на 100 тыс. привитых детей, то когда ребенок заболевает туберкулезом, эта частота увеличивается в 1000 раз: у более 4500 детей на 100 тысяч, заразившихся туберкулезом, может развиться туберкулез костей. То же самое касается и осложнений после перенесенного коклюша. Энцефалопатия после прививки АКДС встречается в 0,05 % на 100 тысяч привитых, при этом зафиксировано более 4 тыс. случаев энцефалопатии на 100 тыс. у детей, перенесших коклюш.

Таким образом, вероятность осложнения от вакцины в тысячи раз меньше, чем вероятность заболеть инфекцией и получить осложнения от болезни. Кроме того, необходимо помнить, что такие инфекционные заболевания как корь, дифтерия, полиомиелит и др. намного ближе и серьезнее, чем мы привыкли считать. За последние десятилетия имеется немало примеров возвращения этих давно забытых инфекций. Учитывая активные миграционные потоки, невозможно предсказать с какой инфекцией нам придется встретиться завтра. Но мы можем подготовиться к этой «встрече», сделав прививку. Решение, принятое в пользу вакцинации, однажды может помочь сохранить ваше здоровье или даже спасти жизнь! Не отказывайтесь от вакцинации!

Материал предоставлен Управлением Роспотребнадзора по Новгородской области

«Нет никакого отравления!» Что российские политики говорят о Навальном

Автор фото, EPA

Подпись к фото,

Полиция возле клиники «Шарите», куда госпитализирован Алексей Навальный

Берлинская клиника «Шарите» в понедельник заявила, что клинические данные указывают на отравление оппозиционного российского политика Алексея Навального. В Кремле в ответ заявили, что немецкие врачи поторопились, в Госдуме заговорили о возможной провокации со стороны Германии и других стран ЕС. Как еще в России реагируют на выводы, сделанные специалистами «Шарите»?

Версия Пескова

В первой половине дня во вторник ситуацию с Навальным комментировал пресс-секретарь президента России Дмитрий Песков. Этому вопросу был посвящен почти весь конференц-колл с журналистами.

Суть сказанного Песковым сводится к следующему: во-первых, в Кремле не понимают, на основании чего немецкие врачи «так спешат, употребляя слово отравление», если вещество, которое привело к отравлению, пока не установлено. Во-вторых, пониженное содержание холинэстеразы в организме Навального было зафиксировано еще в Омске, после чего Навальному стали вводить тот же атропин, которым его сейчас лечат в Берлин.

«Снижение уровня холинэстеразы возможно по самым разным причинам, — заметил Песков. — Здесь очень важно выяснить, что стало причиной понижения холинэстеразы. Эту причину ни наши медики, ни немцы пока установить не смогли».

«Мой коллега германский сразу стал говорить про вероятность отравления. Мы только частично можем согласиться, потому что он должен был сказать, что также есть вероятность второго, третьего и четвертого варианта», — добавил он.

В-третьих, Пескова спросили, представляет ли Навальный опасность для властей России. «Никакой опасности нет. Какая опасность? А про слежку я ничего сказать не могу», — ответил представитель Кремля. Журналисты напомнили Пескову, что сторонники Навального возлагают на Кремль и лично на президента Владимира Путина ответственность за отравление Навального.

«Мы не можем относиться серьезно к озвученным вами обвинениям. Эти обвинения никак не могут быть правдой, — ответил Песков. — Серьезно мы к этому относиться не намерены».

«С целью создания напряжения внутри России»

Другие представители российской власти не столь активно комментируют ситуацию с Навальным.

Спикер Госдумы Вячеслав Володин заявил, что Госдума изучит, не является ли произошедшее с Навальным иностранной провокацией.

Думский комитет по безопасности изучит ситуацию, чтобы понять, «не было ли это попыткой со стороны иностранных государств нанести вред здоровью российского гражданина с целью создания напряжения внутри России, а также сформулировать очередные обвинения в адрес нашей страны», цитирует Володина пресс-служба Госдумы. Глава комитета Василий Пискарев уже заявил, что произошедшее с Навальным могло быть попыткой иностранного вмешательства.

Замглавы комитета Совета Федерации по международным делам Владимир Джабаров сказал Би-би-си, что сомневается в непредвзятости врачей из клиники «Шарите». По его выражению, эта клиника «всех обманула» с отравлением Виктора Ющенко перед выборами на Украине.

«Я желаю Навальному выздоровления. А анализы, на которые ссылаются немецкие врачи, надо перепроверить в независимой лаборатории», — сказал сенатор.

«Если допустить, что отравили Навального, разве кто-то допустил бы его отправку за границу? При том что у него подписка о невыезде, уголовные дела. Бояться власти нечего, никто его не травил!» — заявил Джабаров.

Сенатор Андрей Климов считает, что отравление Навального превращается в шоу. «То, что пытаются все время подбрасывать версии, которые потом ведут к неким политическим скандалам, — это абсолютно точно. Как только это случилось, было понятно, что большое количество людей, в том числе за пределами нашей страны, попытаются сделать из этого очередное шоу», — сказал Климов.

Сенатор Франц Клинцевич заявил, что никакого отравления не было. «Каждый разумный человек понимает, что российской власти ну никак эти вещи не нужны, тем более такие громкие, — сказал он. — Приехали наши врачи, посмотрели, оценили — нет никакого отравления!»

Официальный представитель МИД России Мария Захарова не стала комментировать Би-би-си заявление врачей «Шарите». По ее словам, Песков уже дал все необходимые комментарии. Позже МИД выпустил заявление о том, что отравление Навального невыгодно российскому руководству.

Реакция российских медиков

Заведующий отделением анестезиологии-реанимации №1 НМХЦ им. Пирогова Борис Теплых, который вылетал в Омск из Москвы для помощи врачам в лечении Навального, заявил, что «ничего нового» в заявлении врачей из «Шарите» не узнал.

По его словам, в заявлении немецких врачей речь идет о клинических данных, а не об отравляющем веществе, которое не было найдено российскими врачами (об этом же говорит Песков).

«Версия же такая нами в первый же день поступления пациента прорабатывалась, но подтверждения не нашла», — сообщил Теплых.

Для просмотра этого контента вам надо включить JavaScript или использовать другой браузер

Подпись к видео,

«Навального отравили»: первое заявление немецких медиков

Об этом же еще накануне после отчета «Шарите» заявил главный токсиколог Омской области Александр Сабаев. По его словам, ингибиторы холинестеразы, об обнаружении которых в крови Навального заявила берлинская клиника, не были выявлены в ходе его обследования в Омске.

У Навального отсутствовала клиническая картина, специфичная для отравления веществами группы ингибиторов холинэстеразы, утверждает Сабаев.

С тем, что немецкие врачи поторопились с заявлением об отравлении, согласен и глава бюро судебно-медицинской экспертизы департамента здравоохранения Москвы Сергей Шигеев. По его словам, из заявления «Шарите» можно сделать вывод, что у Навального нашли только «снижение активности холинэстеразы».

«Этот вывод поспешный, так как не доказанный. Уровень снижения активности холинэстеразы неизвестен, конкретное вещество или его метаболиты, вызвавшие снижение активности холинэстеразы, не установлены», — сказал Шигеев.

Что говорят на Западе

Евросоюз призвал Россию начать расследование и наказать виновных. Наказать виновных потребовала и канцлер Германии Ангела Меркель. Она заявила, что российские власти должны провести расследование отправления Навального вплоть до мельчайших подробностей.

Верховный представитель ЕС по внешней политике и политике безопасности Жозеп Боррель потребовал, чтобы российские власти провели прозрачное расследование. «ЕС решительно осуждает то, что кажется покушением на господина Навального», — говорится в его заявлении.

На что спикер Володин отреагировал так: «Заявления Меркель и Борреля заставляют посмотреть на эту ситуацию по-другому и задаться вопросом: а не провокация ли это со стороны Германии и других стран Евросоюза, призванная сформулировать очередные обвинения в адрес нашей страны».

Посол США в России Джон Салливан заявил, что виновные должны понести наказание, если выяснится, что Навальный действительно был отравлен.

Замгоссекретаря США Стивен Биган во вторник встречался в Москве с главой МИД России Сергеем Лавровым. Как сообщает американское посольство, он выразил обеспокоенность состоянием здоровья Навального, а также влиянием сообщений о его отравлении на гражданское общество в России.

По итогам переговоров Бигана с Лавровым МИД заявил: «Считаем глубоко оскорбительными обвинения в некоем стремлении сокрыть истину, звучащие из западных столиц в адрес омских врачей, незамедлительно оказавших Навальному высококвалифицированную помощь».

«Неизбежно возникает вопрос — кому это выгодно? Российскому руководству — явно нет», — говорится в заявлении.

Будет ли уголовное дело

Навальному стало плохо в самолете Томск-Москва утром в четверг, 20 августа. Из-за этого самолет экстренно приземлился в Омске. Навального госпитализировали, утром в субботу его эвакуировали специальным самолетом в Берлин, где положили в клинику «Шарите». Самолет оплатил бизнесмен Борис Зимин.

В анализах Навального нашли токсин из группы ингибиторов холинэстеразы, но конкретное отравляющее вещество пока не известно. Политик находится в искусственной коме. Врачи говорят, что угрозы его жизни сейчас нет, но отправление может иметь длительные последствия.

Соратники Навального еще на прошлой неделе заявили, что Следственный комитет России (СКР) должен возбудить уголовное дело, в том числе по статье о посягательстве на жизнь государственного или общественного деятеля. Дело заведено не было. Песков сказал журналистам, что для расследования «должен быть повод», а именно врачи должны найти вещество, из-за которого политик оказался в коме.

РБК со ссылкой на источник в СКР писал, что следствие рассматривает отравление как одну из версий случившегося.

Адвокат Навального Ольга Михайлова сказала Би-би-си, что после подачи заявления об уголовном преступлении СКР должен начать проверку, после чего решить, возбуждать дело или нет. Была ли проведена заведена проверка, неизвестно.

Пресс-секретарь Навального Кира Ярмыш рассказала Би-би-си, что соратники оппозиционера не получили от СКР никакой реакции за эти дни — «даже о пересылке в другой орган или об увеличении времени проверки».

Уголовные дела не возбуждали, когда в «Шарите» два года назад попал участник Pussy Riot и издатель «Медиазоны» Петр Верзилов. Он поступил уже тогда, когда доказать использование отравляющих веществ было невозможно, говорила ранее Би-би-си еще одна участница Pussy Riot Надежда Толоконникова.

Уголовное дело дважды не заводили и в случае с журналистом Владимиром Кара-Мурзой. «Нам присылали промежуточные ответы, дело спускалось ниже и ниже, — рассказал Би-би-си адвокат Вадим Прохоров. — Следователь в порядке проверки опросил несколько человек, и, как я понимаю, вынес постановление об отказе возбуждения дела, но нам его не прислал. Мы его до сих пор не получили».

Астенозооспермия: что это такое и как влияет на беременность

Около 50% пар с установленным бесплодием не могут стать родителями из-за мужского фактора. В таких случаях мужчине рекомендуют сдать спермограмму. Часто в процессе анализа эякулята обнаруживают астенозооспермию — нарушение подвижности сперматозоидов. В этом материале мы расскажем, почему она возникает, как это влияет на фертильность и чем лечат астенозооспермию.

Что такое астенозооспермия

Астенозооспермия — это нарушение характера движения сперматозоидов. Она встречается как самостоятельно, так и в сочетании с другими проблемами — например, со снижением объема эякулята или изменением формы половых клеток.

Нормальный сперматозоид в упрощенном виде состоит из головки, шейки, средней части и хвоста. На конце головки расположена акросома — с помощью акросомальных ферментов сперматозоид растворяет оболочку яйцеклетки. Средняя часть содержит энергетический центр клетки — митохондрии. Если какая-либо часть сперматозоида деформирована или отсутствует, скорость его прямолинейного движения и частота колебаний жгутика падают. Это значительно снижает шансы наступления беременности у партнерши.

Есть три категории подвижности сперматозоидов:

  • Прогрессивно-подвижные. Это сперматозоиды, двигающиеся активно, либо линейно, либо по кругу большого радиуса, независимо от скорости. Таких в эякуляте должно быть не менее 32% от общего числа.
  • Непрогрессивно-подвижные. Так называют сперматозоиды, плавающие по кругу небольшого радиуса и с жгутиком, который с трудом смещает головку или не смещает ее вообще. В сумме с прогрессивно-подвижными таких сперматозоидов должно быть не менее 38-42% от всех половых клеток в эякуляте.
  • Неподвижные. Это сперматозоиды без движения. В норме они отсутствуют.

Астенозооспермия и беременность

Некоторые исследования указывают на связь астенозооспермии и привычного невынашивания беременности. Это состояние, при котором минимум две беременности подряд прерываются на сроке до 22 недель. Вероятность выкидыша увеличивает сочетание астенозооспермии с изменением формы сперматозоида. Наиболее опасная патология — деформация генетического материала, содержащегося в головке.

Причина астенозооспермии

Отдельных причин астенозооспермии нет. К ней приводят различные патологии мужской половой системы, затрагивающие созревание, концентрацию и выведение эякулята. Есть общие неблагоприятные факторы: лишний вес, курение, чрезмерное употребление алкоголя, плохая экологическая обстановка и профессиональные вредности.

Диагностика и лечение астенозооспермии

Нарушение подвижности сперматозоидов определяют с помощью спермограммы. Если результаты спермограммы неудовлетворительны, врач может порекомендовать сдать анализ еще раз. Когда второй результат указывает на проблему, врач назначает дополнительные исследования.

Отдельно астенозооспермию не лечат. Это симптом, а не болезнь. Лечение гомеопатией, травами или БАДами не имеет доказанной эффективности. Необходимо обратиться к врачу.

Где можно получить помощь при астенозооспермии

Репродуктивными патологиями занимаются сразу несколько специалистов. Первый, к кому стоит обратиться — врач-репродуктолог. Он определит дальнейшую тактику лечения с учетом клинической ситуации. В клинике репродукции «Эмбрио» принимают врачи-урологи и врачи-гинекологи, репродуктологи с многолетним клиническим опытом, которые помогут справиться с мужским бесплодием. Запишитесь по телефону 8 800 500-22-62 или на сайте.

зависимых событий и независимых событий

Состав:

  1. Что такое зависимое событие?
  2. Что такое независимое событие?
  3. Как определить, является ли событие зависимым или независимым?

Посмотрите видео, чтобы узнать разницу между зависимыми и независимыми событиями:


Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Когда два события являются зависимыми событиями, одно событие влияет на вероятность другого события.Зависимое событие — это событие, которое полагается на другое событие , которое должно произойти первым. Зависимые события по вероятности не отличаются от зависимых событий в реальной жизни: если вы хотите посетить концерт, это может зависеть от того, получаете ли вы сверхурочную работу на работе; Если вы хотите в следующем месяце навестить семью из страны, это зависит от того, успеете ли вы получить паспорт вовремя. Более формально мы говорим, что когда два события являются зависимыми, возникновение одного события влияет на вероятность другого события.

Простые примеры зависимых событий:

  • Ограбление банка и посадка в тюрьму.
  • Не оплачиваете вовремя счет за электроэнергию и у вас отключили электричество.
  • Сначала посадка в самолет и поиск подходящего места.
  • Незаконная парковка и получение парковочного талона. Незаконная парковка увеличивает ваши шансы на получение билета.
  • Покупка десяти лотерейных билетов и выигрыш в лотерею. Чем больше билетов вы купите, тем выше ваши шансы на победу.
  • Вождение автомобиля и попадание в дорожно-транспортное происшествие.

Независимое событие — это событие, которое не имеет связи с вероятностью возникновения (или отсутствия) другого события. Другими словами, событие не влияет на вероятность возникновения другого события. Независимые события по вероятности ничем не отличаются от независимых событий в реальной жизни. То, где вы работаете, не влияет на то, какой цвет вы водите. Покупка лотерейного билета никак не повлияет на голубоглазого ребенка.

Когда два события независимы, одно событие не влияет на вероятность другого события.

Простые примеры в зависимых событиях:

  • Завести собаку и выращивать собственные травы.
  • Досрочная выплата ипотеки и владение Chevy Cavalier.
  • Выиграть в лотерею и закончиться молоко.
  • Покупка лотерейного билета и обнаружение пенни на полу (ваши шансы найти пенни не зависят от того, покупаете ли вы лотерейный билет).
  • Возьмите такси домой и найдите свой любимый фильм по кабелю.
  • Получение парковочного талона и игра в кости в казино.

Пример карты

Вероятность выбрать именно этого валета составляет 1/3.


Карты часто используются в качестве инструмента для объяснения того, как одно, казалось бы, независимое событие может повлиять на другое. Например, если вы выбираете карту из колоды из 52 карт, ваша вероятность получить валет составляет 4 из 52.Математически это можно записать так:
P (Валет) = количество валетов в колоде карт / общее количество карт в колоде = 4/52 = 1/13 ≈ 7,69%.

Если вы замените валетом и выберите снова (при условии, что карты перемешаны), события будут независимыми . Ваша вероятность остается прежней (1/13). Выбор карты снова и снова будет независимым событием, потому что каждый раз, когда вы выбираете карту («испытание» вероятности), это отдельных, не связанных между собой событий .

Но что, если бы карта была и не попала в колоды в следующий раз, когда вы выберете? Допустим, вы вытащили тройку червей, но все еще ищете этот валет. секунды , когда вы вытаскиваете карту, в колоде теперь 51 карта, так что:
P (валет) = количество валетов в колоде карт / общее количество карт в колоде = 4/51 = 1/13 ≈ 7,84%
Вероятность увеличилась с 7,69% (с заменой валета) до 7,84% (валет не заменяется), поэтому подобный выбор карт является примером зависимого события .

Умение отличить зависимое событие от независимого жизненно важно в при решении вопросов вероятности . Почему? Представьте себе одно событие: выигрыш в лотерею. Это зависит от при покупке билета. Так что выигрыш в лотерею и покупка билета — это зависимые события. Ваши шансы на выигрыш в лотерею при покупке билета могут составлять 1/1 миллиона. Но как насчет чего-то несвязанного, например, поездки на работу и выигрыша в лотерею? Ваши шансы выиграть в лотерею, если вы ведете машину (и не покупаете билет), равны нулю.Таким образом, шансы на меняются на с разными типами событий.

Как я могу определить, что является зависимым или независимым событием?

Определить, являются ли события зависимыми или независимыми, может быть непросто. Не все ситуации так просты, как кажется на первый взгляд. Например, вы можете подумать, что ваш голос за президента увеличивает их шансы на победу, но если вы рассматриваете коллегию выборщиков, это не всегда так.

Ваши шансы на победу в монополии на 1 миллион долларов — это не то, что вы думаете.


Вы можете подумать, что у вас есть шанс выиграть главный приз в скретч-игре. Но главный приз может быть уже выигран, когда вы покупаете билет. Например, на момент написания, если вы купили десять, двести «монополистических билетов на 1 миллион долларов» во Флориде , ваши шансы на выигрыш точно такие же: ноль !. Это потому, что осталось 0 из 15 главных призов! В таких штатах, как Флорида, есть список «Оставшихся призов»… но кто на самом деле его проверяет?

Зависимые или независимые? Шаги


Шаг 1: Спросите себя, могут ли события происходить в любом порядке? Если нет (шаги должны выполняться в определенном порядке), переходите к шагу 3a.Если да (шаги можно выполнять в любом порядке), переходите к шагу 2. Если вы не уверены, переходите к шагу 2.

Некоторые примеры событий, которые могут быть выполнены в в любом порядке :

  • Подбрасывание монеты, затем бросание кубика.
  • Покупка машины, затем покупка пальто.
  • Вытягивание карт из колоды.

Некоторые события, которые должны выполняться в определенном порядке :

  • Парковка и получение парковочного талона (без парковки парковочный талон не получишь).
  • Опрос группы людей и выяснение, сколько женщин против прав на оружие (потому что вы разбиваете опрос на подгруппы, и вы не можете разбить опрос на подгруппы, не выполнив предварительно опрос!).

Шаг 2: Спросите себя, влияет ли одно событие каким-либо образом на исход (или шансы) другого события? Если да, переходите к шагу 3a, если нет, переходите к шагу 3b.

Некоторые примеры событий, которые влияют на шансы или вероятность следующего события, включают:

  • Выбор карты, а не замена ее, затем выбор другой (поскольку вероятность выбора первой карты составляет 1/52, но если вы не замените ее, вы измените коэффициент на 1/51 для следующего розыгрыша).
  • Выбирать что-либо и не заменять, затем выбирать другое (например, выбирать шары для бинго, лотерейные билеты).

Вот некоторые примеры событий, которые не влияют на шансы или вероятность следующего события:

  • Выбор карты и замена ее, затем выбор другой карты (поскольку вероятность выбора первой карты составляет 1/52, а вероятность выбора второй карты — 1/52).
  • Выбирать что угодно, лишь бы вернуть предметы.

Шаг 3a: Готово — событие зависит от .

Шаг 3b: Готово — событие независимое .

Вот как узнать, является событие Зависимым или Независимым!

Формулы вероятности зависимых или независимых событий

Существуют более формальные способы количественной оценки зависимых или независимых событий. Вы встретите эти формулы с точки зрения основной вероятности.

P (A | B) = P (A).
P (B | A) = P (B)

Вероятность A при условии, что B произошло, такая же, как вероятность A.Точно так же вероятность B при условии, что произошло A, такая же, как вероятность B. Это не должно быть сюрпризом, поскольку одно событие не влияет на другое.

Вы можете использовать следующее уравнение, чтобы вычислить вероятность независимых событий:
P (A∩B) = P (A) · P (B).

Пример:
По данным опроса, 72% жителей Джексонвилля считают себя футбольными фанатами. Если вы случайным образом выберете двух человек из населения, какова вероятность того, что первый человек будет футбольным фанатом, а второй — тоже? Что первый есть, а второй нет?

Решение : один человек, являющийся футбольным фанатом, не влияет на то, является ли второй случайно выбранный человек.Следовательно, события независимы, и вероятность может быть найдена путем умножения вероятностей:
Первый и второй — футбольные фанаты: P (A∩B) = P (A) · P (B) = 0,72 * 0,72 = .5184.
Первый — футбольный болельщик, второй — нет: P (A∩B) = P (A) · P (B) = 0,72 * 1 — 0,72) = 0,202.
Во второй части я умножил на дополнение. Поскольку вероятность быть фанатом составляет 0,72, то вероятность не быть фанатом составляет 1–0,72 или 0,28.

События A и B независимы, если выполняется равенство P (A∩B) = P (A) · P (B).Вы можете использовать уравнение, чтобы проверить независимость событий; умножьте вероятности двух событий вместе, чтобы увидеть, равны ли они вероятности того, что оба события происходят вместе.

Список литературы

Гоник Л. (1993). Мультяшный справочник по статистике. HarperPerennial.
Kotz, S .; и др., ред. (2006), Энциклопедия статистических наук, Wiley.
Линдстром, Д. (2010). Краткое изложение статистики Шаума, второе издание (Schaum’s Easy Outlines), 2-е издание. McGraw-Hill Education

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .


Вероятность — Независимые события | Блестящая вики по математике и науке

Пусть AAA, BBB и CCC будут событиями, и пусть они будут попарно независимыми . То есть каждая пара событий независима: AAA и BBB независимы, AAA и CCC независимы, а BBB и CCC независимы.Означает ли это, что AAA, BBB и CCC независимы друг от друга? К сожалению, взаимная независимость более двух событий требует более строгих требований:

Учитывая набор из более чем двух событий, набор событий составляет взаимно независимых , если каждое событие не зависит от каждого пересечения других событий.

Если хотя бы одна независимость не удовлетворяется, то набор событий составляет взаимозависимых .

Бросаются два равных 6-гранных кубика, красный и синий.Пусть AAA будет событием, когда результат красного кубика равен 3. Пусть BBB будет событием, когда результат синего кубика равен 4. Пусть CCC будет событием, когда сумма бросков равна 7. Являются ли AAA, BBB и CCC взаимно независимыми?


P (A∣B) = 16P (A \ mid B) = \ dfrac {1} {6} P (A∣B) = 61 и P (A∣B ′) = 16P (A \ mid B ‘ ) = \ dfrac {1} {6} P (A∣B ′) = 61. Таким образом, AAA и BBB независимы.

P (A∣C) = 16P (A \ mid C) = \ dfrac {1} {6} P (A∣C) = 61 и P (A∣C ′) = 16P (A \ mid C ‘) = \ dfrac {1} {6} P (A∣C ′) = 61. Таким образом, AAA и CCC независимы.

P (B∣C) = 16P (B \ mid C) = \ dfrac {1} {6} P (B∣C) = 61 и P (B∣C ′) = 16P (B \ mid C ‘) = \ dfrac {1} {6} P (B∣C ′) = 61. Таким образом, BBB и CCC независимы.

Эти события попарно независимы. Однако для того, чтобы все три события были взаимно независимыми, каждое событие должно быть независимым с каждым пересечением других событий.

P (A∣ (B∩C)) = 1P \ left (A \ mid (B \ cap C) \ right) = 1P (A∣ (B∩C)) = 1 и P (A∣ (B∩C ) ′) = 17P \ left (A \ mid (B \ cap C) ‘\ right) = \ dfrac {1} {7} P (A∣ (B∩C) ′) = 71

Они не равны, поэтому AAA, BBB и CCC взаимозависимы.

В предыдущем примере можно было заподозрить, что происходит что-то подозрительное, учитывая, что событие CCC включает в себя оба броска костей. Учитывая это, мы обычно скептически относимся к обнаружению события, независимого от CCC. Оказывается, совпадение, что эти пары событий удовлетворяют определению независимости.

Это определение взаимной независимости актуально для правила продукта, так как правило продукта требует независимых событий. В предыдущем примере, если мы (неправильно) попытаемся получить P (A∩B∩C) P (A \ cap B \ cap C) P (A∩B∩C) по правилу произведения, мы получим 1216 \ dfrac { 1} {216} 2161.Однако правильная вероятность пересечения событий равна P (A∩B∩C) = 136P (A \ cap B \ cap C) = \ dfrac {1} {36} P (A∩B∩C) = 361. .

Следующая теорема иногда может быть полезна в качестве «проверки здравомыслия», чтобы убедиться, что вы правильно применяете принципы независимости:

Набор событий {A1,…, An} \ {A_1, \ dots, A_n \} {A1,…, An} является взаимно независимым тогда и только тогда, когда для каждого подмножества событий вероятность пересечения количество этих событий равно произведению вероятностей этих событий.

да Нет Не хватает информации

Ученый проводит эксперимент с двумя крысами и каждый день отмечает частоту следующих событий.

A = 1-я крыса получает дополнительную гранулу корма на день A = \ text {1-я крыса получает дополнительную гранулу корма на день} A = 1-я крыса получает дополнительную гранулу корма на день

B = 1-я крыса в этот день бежит по колесу для упражнений B = \ text {1-я крыса в этот день бежит по колесу для упражнений} B = 1-я крыса в этот день бежит по колесу для упражнений

C = Вторая крыса в этот день бегает в колесе для упражнений C = \ text {Вторая крыса в этот день бежит в колесе для упражнений} C = 2-я крыса в этот день бежит в колесе для упражнений

В ходе эксперимента ученый зафиксировал следующие вероятности:

P (A) = 0.5P (B) = 0,2P (C) = 0,1P (A∩B) = 0,1P (A∩C) = 0,05P (B∩C) = 0,02P (A∩B∩C) = 0,01 \ begin {array } {lll} P (A) = 0,5 & P (B) = 0,2 & P (C) = 0,1 \\ P (A \ cap B) = 0,1 & P (A \ cap C) = 0,05 & P (B \ cap C) = 0,02 \\ P (A \ cap B \ cap C) = 0,01 \\ \ end {array} P (A) = 0,5P (A∩B) = 0,1P (A∩B∩C) = 0,01 P (B) = 0,2P (A∩C) = 0,05 P (C) = 0,1P (B∩C) = 0,02

Являются ли события взаимно независимыми?

Условная вероятность и независимость »Биостатистика» Колледж общественного здравоохранения и медицинских профессий »Университет Флориды

CO-6: Примените основные концепции вероятности, случайной вариации и обычно используемых статистических распределений вероятностей.

LO 6.4: Связать вероятность события с вероятностью того, что это событие произойдет.

LO 6.5: Примените подход относительной частоты для оценки вероятности события.

LO 6.6: Примените базовую логику и правила вероятности, чтобы найти эмпирическую вероятность события.

Обзор: Блок 1 Дело C-C

  • В частности, идея условных процентов будет эквивалентна идее условных вероятностей , обсуждаемой в этом разделе.

В последнем разделе мы установили некоторые из основных правил вероятности, которые включали:

  • Основные свойства вероятности (правило первое и правило два)
  • Правило дополнения (Правило третье)
  • Правило сложения для непересекающихся событий (Правило четвертое)
  • Общее правило сложения, для которого события не должны быть разделены (Правило пять)

Чтобы завершить наш набор правил, нам все еще требуются два правила умножения для нахождения P (A и B) и важные концепции независимых событий и условной вероятности.

Сначала мы познакомимся с идеей независимых событий, а затем введем правило умножения для независимых событий, которое позволяет найти P (A и B) в случаях, когда события A и B независимы.

Далее мы определим условную вероятность и будем использовать ее для формализации нашего определения независимых событий, которое изначально представлено только интуитивно.

Затем мы разработаем общее правило умножения, правило, которое расскажет нам, как найти P (A и B) в случаях, когда события A и B не обязательно независимы.

Мы закончим обсуждением вероятностных приложений в науках о здоровье.

Независимые события

LO 6.7: Определите, являются ли два события независимыми или зависимыми, и подтвердите свой вывод.

Начнем с словесного определения независимых событий (позже мы будем использовать вероятностную нотацию, чтобы определить это более точно).

Независимые мероприятия:

  • Два события A и B называются независимыми , если тот факт, что одно событие произошло , не влияет на вероятность того, что другое событие произойдет.
  • Если происходит ли одно событие или нет, влияет на вероятность того, что другое событие произойдет, то говорят, что эти два события являются зависимыми.

Вот несколько примеров:

ПРИМЕР:

В женском кармане две четвертинки и два пятака.

Она случайным образом извлекает одну из монет и, посмотрев на нее, заменяет ее перед тем, как взять вторую монету.

Пусть Q1 будет событием, когда первая монета является четвертью, а Q2 будет событием, когда вторая монета будет четвертью.

Являются ли события Q1 и Q2 независимыми?

Поскольку первая монета, которая была выбрана, представляет собой вместо , возникновение Q1 (то есть, была ли первая монета четвертью) не влияет на вероятность того, что вторая монета будет четвертью, P (Q2).

В любом случае (независимо от того, произошел Q1 или нет), когда она выбирает вторую монету, у нее в кармане:

и, следовательно, P (Q2) = 2/4 = 1/2 независимо от того, произошел ли Q1.

ПРИМЕР:

В женском кармане две четвертинки и два пятака.

Она случайным образом извлекает одну из монет, и , не кладя обратно в карман, берет вторую монету.

Как и раньше, пусть Q1 будет событием, когда первая монета является четвертью, а Q2 будет событием, когда вторая монета будет четвертью.

Являются ли события Q1 и Q2 независимыми?

  • Q1 и Q2 не являются независимыми . Их иждивенцев. Почему?

Так как первая монета, которая была выбрана, не заменена, , произошел ли Q1 (то есть была ли первая монета четвертью) действительно влияет на вероятность того, что вторая монета будет четвертью, P (Q2).

Если Q1 произошел (т.е. первая монета была четвертью), то, когда женщина выбирает вторую монету, у нее в кармане:

  • В данном случае P (Q2) = 1/3.

Однако , если Q1 не наступил (т.е., первая монета была не четверть, а пятак), то, когда женщина выбирает вторую монету, у нее в кармане:

  • В данном случае P (Q2) = 2/3.

В этих двух последних примерах мы могли бы провести некоторые вычисления, чтобы проверить, являются ли два события независимыми или нет.

Иногда мы можем просто руководствоваться здравым смыслом, чтобы определить, независимы ли два события. Вот пример.

ПРИМЕР:

Два человека выбираются одновременно и случайным образом из всех жителей США.

Пусть B1 будет событием, что у одного из людей голубые глаза, а B2 будет событием, что у другого человека голубые глаза.

В этом случае, поскольку они были выбраны случайным образом, наличие у одного из них голубых глаз не влияет на вероятность того, что у другого голубые глаза, и поэтому B1 и B2 являются независимыми .

С другой стороны…

ПРИМЕР:

В семье 4 ребенка, двое из которых выбираются случайным образом.

Пусть B1 будет событием, что у одного ребенка голубые глаза, а B2 будет событием, что у другого выбранного ребенка голубые глаза.

В этом случае B1 и B2 не являются независимыми, поскольку мы знаем, что цвет глаз является наследственным.

Таким образом, наличие у одного ребенка голубых глаз соответственно увеличивает или уменьшает вероятность того, что у другого ребенка голубые глаза.

Комментарии:

  • Студенты довольно часто сначала не понимают различие между идеей непересекающихся событий и идеей независимых событий .Цель этого комментария (и действий, которые следует за ним) — помочь учащимся лучше понять эти очень разные идеи.

Идея непересекающихся событий заключается в том, могут ли события произойти в одно и то же время (см. Примеры на странице для основных правил вероятности).

Идея независимых событий заключается в том, влияют ли события друг на друга в том смысле, что возникновение одного события влияет на вероятность возникновения другого (см. Примеры выше).

В следующем упражнении проводится различие между этими понятиями.

Цель этого упражнения — помочь вам лучше понять концепции непересекающихся событий и независимых событий, а также различие между ними.

Обобщим три части мероприятия:

  • В примере 1: A и B не являются непересекающимися и независимыми
  • В примере 2: A и B не являются непересекающимися и не независимыми
  • В примере 3: A и B не пересекаются, и не являются независимыми .

Почему мы не учли случай, когда события не пересекаются и независимы?

Причина в том, что этого корпуса НЕ СУЩЕСТВУЕТ!

A и B Независимые A и B Независимые
Непересекающиеся A и B НЕ СУЩЕСТВУЕТ Пример 3
А и В не пересекаются Пример 1 Пример 2

Если события непересекающиеся , то они должны быть не независимыми, т.е.е. они должны быть зависимыми событиями.

Почему?

  • Напомним: если A и B не пересекаются, то они не могут происходить вместе.
  • Другими словами, то, что события A и B не пересекаются, означает, что если событие A происходит, то B не происходит, и наоборот.
  • Что ж … если это так, знание того, что событие A произошло, резко меняет вероятность того, что событие B произойдет — эта вероятность равна нулю.
  • Это означает, что A и B не независимы.

Теперь, когда мы понимаем идею независимых событий, мы наконец можем перейти к правилам нахождения P (A и B) в особом случае, когда события A и B независимы.

Позже мы представим более общую версию для использования, когда события не обязательно независимы.

Правило умножения для независимых событий (Правило шестое)

LO 6.8: Примените правило умножения для независимых событий, чтобы вычислить P (A и B) для независимых событий.

Теперь перейдем к правилам вычисления

  • P (A и B) = P (происходит как событие A, так и событие B)

, начиная с правила умножения для независимых событий.

Используя диаграмму Венна, мы можем визуализировать «A и B», которые представлены как перекрытие между событиями A и B:

Правило вероятности шесть (Правило умножения для независимых событий):

  • Если A и B — два НЕЗАВИСИМЫХ события, то P (A и B) = P (A) * P (B).

Комментарий:

  • При работе с вероятностью правила , слово «и» всегда будет связано с операцией умножения ; отсюда и название этого правила — «Правило умножения».

ПРИМЕР:

Вспомните пример группы крови:

Два человека выбираются одновременно и случайным образом из всех жителей США.

Какова вероятность того, что у обоих есть группа крови O?

  • Пусть O1 = «человек 1 имеет группу крови O» и
  • O2 = «человек 2 имеет группу крови O»

Нам нужно найти P (O1 и O2)

Поскольку они были выбраны одновременно и случайным образом, группа крови одного не влияет на группу крови другого.Следовательно, O1 и O2 независимы, и мы можем применить Правило 6:

.
  • P (O1 и O2) = P (O1) * P (O2) = 0,44 * 0,44 = 0,1936.

Комментарии:

  • Теперь у нас есть правило сложения, которое говорит:

P (A или B) = P (A) + P (B) для непересекающихся событий,

и правило умножения, которое говорит

P (A и B) = P (A) * P (B) для независимых событий.

Цель этого комментария — указать величину P (A или B) и P (A и B) относительно любой из индивидуальных вероятностей.

Поскольку вероятности никогда не бывают отрицательными, вероятность одного события или другого всегда , по крайней мере, равна любой из индивидуальных вероятностей .

Поскольку вероятности никогда не превышают 1, вероятность одного события и другого обычно включает умножение чисел, которые меньше 1, поэтому никогда не может быть больше любой из индивидуальных вероятностей .

Вот пример:

ПРИМЕР:

Рассмотрим случай А, когда случайно выбранный человек имеет группу крови А.

Измените его на более общее событие — случайным образом выбранный человек имеет группу крови A или B — и вероятность возрастет.

Измените его на более конкретное (или ограничивающее) событие — что не только один случайно выбранный человек имеет группу крови A, но что из двух одновременно случайно выбранных людей, человек 1 будет иметь тип A, а человек 2 будет иметь тип B — и вероятность уменьшается.

Важно упомянуть об этом, чтобы искоренить распространенное заблуждение.

  • Слово «и» ассоциируется в нашем сознании с «добавлением дополнительных вещей». Поэтому некоторые ученики неправильно думают, что P (A и B) должно быть больше любой из индивидуальных вероятностей, хотя на самом деле оно меньше, поскольку это более конкретное (ограничивающее) событие.
  • Кроме того, слово «или» ассоциируется в нашем сознании с «необходимостью выбирать между» или «что-то терять», и поэтому некоторые ученики неправильно думают, что P (A или B) должно быть меньше одного вероятностей, хотя на самом деле оно больше, поскольку это более общее событие.

Практически вы можете использовать этот комментарий, чтобы проверить себя при решении проблем.

Например, если вы решаете задачу, которая включает «или», а результирующая вероятность меньше любой из индивидуальных вероятностей, то вы знаете, что где-то допустили ошибку.

Комментарий:

  • Правило вероятности шесть может использоваться в качестве теста, чтобы увидеть, являются ли два события независимыми или нет.
  • Если вы можете легко найти P (A), P (B) и P (A и B) с помощью логики или вам предоставлены эти значения, то мы можем протестировать независимые события, используя правило умножения для независимых событий:

    ЕСЛИ P (A) * P (B) = P (A и B), ТО A и B являются независимыми событиями, в противном случае они являются зависимыми событиями.

Как вы видели, последние три введенных нами правила (правило дополнения, правила сложения и правило умножения для независимых событий) часто используются при решении проблем.

Прежде чем мы перейдем к нашему следующему правилу, вот два комментария, которые помогут вам использовать эти правила в более широких типах проблем и более эффективно.

Комментарий:

  • Как мы упоминали ранее, правило сложения для непересекающихся событий (правило четыре) может быть расширено до более чем двух непересекающихся событий.
  • Аналогичным образом, правило умножения для независимых событий (правило шесть) может быть расширено до более чем двух независимых событий.
  • Итак, если A, B и C — три независимых события, например, тогда P (A, B и C) = P (A) * P (B) * P (C).
  • Эти расширения довольно просты, если вы помните, что «или» требует от нас сложения, а «и» требует умножения.

ПРИМЕР:

Три человека выбираются одновременно и случайным образом.

Какова вероятность того, что все трое имеют группу крови B?

Мы будем использовать обычные обозначения B1, B2 и B3 для случаев, когда люди 1, 2 и 3 имеют группу крови B, соответственно.

Нам нужно найти P (B1 и B2 и B3). Давайте вместе решим этот вопрос:

Вот еще один пример, который может показаться весьма неожиданным.

ПРИМЕР:

Честная монета подбрасывается 10 раз. Какой из следующих двух результатов более вероятен?

(а) ХХХХХХХХХ

(б) HTTHHTHTTH

На самом деле они равновероятны.10 бросков независимы, поэтому мы будем использовать правило умножения для независимых событий:

  • P (HHHHHHHHHH) = P (H) * P (H) *… * P (H) = 1/2 * 1/2 *… * 1/2 = (1/2) 10
  • P (HTTHHTHTTH) = P (H) * P (T) *… * P (H) = 1/2 * 1/2 *… * 1/2 = (1/2) 10

Вот идея:

Наш случайный эксперимент — подбрасывание монеты 10 раз.

  • Вы можете себе представить, насколько велико пространство для сэмплов.
  • На самом деле существует 1024 возможных исхода этого эксперимента, и все они одинаково вероятны.

Следовательно,

  • , хотя верно то, что более вероятно получить результат с 5 орлами и 5 решками, чем результат с только орлом

, поскольку существует только , один возможный результат , который дает всех голов

и много возможных исходов , которые дают 5 решек и 5 решек

  • , если мы сравниваем 2 конкретных результатов , как мы это делаем здесь, они равны с равной вероятностью .

ВАЖНО Комментарии:

  • Только используют правило умножения для независимых событий , правило шесть, в котором говорится, что P (A и B) = P (A) P (B), если вы уверены, что эти два события независимы.
    • Шестое правило вероятности верно ТОЛЬКО для независимых событий.
  • При нахождении P (A или B) с использованием общего правила сложения: P (A) + P (B) — P (A и B) ,
    • НЕ используйте правило умножения для независимых событий для вычисления P (A и B), используйте только логику и подсчет.

Условная вероятность (правило седьмое)

LO 6.9: Применяйте логические или вероятностные правила для вычисления условных вероятностей, P (A | B), и интерпретируйте их в контексте.

Теперь мы введем понятие условной вероятности .

Идея здесь в том, что на вероятность определенных событий может влиять то, произошли ли другие события.

Термин « условный » относится к тому факту, что у нас будет дополнительных условий, ограничений или другой информации , когда нас попросят рассчитать этот тип вероятности.

Проиллюстрируем эту идею на простом примере:

ПРИМЕР:

Все ученики одной средней школы были опрошены, затем классифицированы по полу и проколоты ли у них уши:

(Обратите внимание, что это двусторонняя таблица подсчетов, которая была впервые представлена, когда мы говорили о взаимосвязи между двумя категориальными переменными.

Неудивительно, что мы снова используем его в этом примере, поскольку здесь действительно есть две категориальные переменные:

  • Пол: M или F (в нашем обозначении «не M»)
  • Проколотый: Да или Нет

Предположим, ученик выбран случайным образом из школы.

  • Пусть M и не M обозначают события мужского и женского пола, соответственно,
  • и E и , но не E обозначают случаи прокалывания ушей или нет, соответственно.

Какова вероятность того, что у ученика проколото уши?

Так как ученик выбирается случайным образом из группы 500 учеников, из которых 324 пробиты,

Какова вероятность того, что студент — мужчина?

Поскольку студент выбирается случайным образом из группы из 500 студентов, из которых 180 — мужчины,

Какова вероятность того, что студент мужского пола и у него проколото ухо (а)?

Поскольку студент выбирается случайным образом из группы из 500 студентов, из которых 36 — мужчины, у которых прокалывают ухо (а),

  • P (M и E) = 36/500 = 0.072

Теперь что-то новенькое:

Учитывая , что выбранный студент — мужчина, какова вероятность того, что ему прокололи одно или оба уха?

На этом этапе требуется новая система обозначений, чтобы выразить вероятность определенного события при наличии другого события.

Напишем

  • « вероятность прокола любого уха (E), учитывая, что студент мужчина (M) »
  • как P (E | M).

Несколько слов об этом новом обозначении:

  • Событие, вероятность которого мы ищем (в данном случае E) записывается первым,
  • вертикальная линия означает слово « при » или « при условии »,
  • , а указанное событие (в данном случае M) пишется после «|». знак.

Мы называем эту вероятность

  • условная вероятность прокола любого уха при условии, что студент мужчина :
  • оценивает вероятность прокола ушей при условии, что он мужчина.

Теперь, чтобы найти вероятность, мы замечаем, что выбор только из мальчиков в школе по существу изменяет пространство выборки от всех учащихся в школе на всех учащихся мужского пола в школе .

Общее количество возможных исходов равно , больше не 500 , а изменилось на 180 .

Из этих 180 мужчин 36 имеют проколотые уши, и, таким образом:

  • P (E | M) = 36/180 = 0.20.

Хорошую наглядную иллюстрацию этой условной вероятности дает двусторонняя таблица:

, который показывает нам, что условная вероятность в этом примере такая же, как условные проценты, которые мы вычислили в разделе 1. На приведенной выше наглядной иллюстрации ясно, что мы вычисляем процент строки.

ПРИМЕР:

Рассмотрим пример пробивки, где дана следующая двусторонняя таблица:

Напомним также, что М представляет собой случай, когда человек является мужчиной («не М» представляет собой женщину), а Е представляет собой случай прокола одного или обоих ушей.

Другой способ визуализировать условную вероятность — использовать диаграмму Венна:

Как в двухсторонней таблице, так и на диаграмме Венна,

  • уменьшенное пространство выборки (состоящее только из мужчин) заштриховано светло-зеленым,
  • , и в пределах этого пространства образца интересующее событие (прокол ушей) закрашено более темно-зеленым.

Двусторонняя таблица иллюстрирует идею посредством подсчетов, в то время как диаграмма Венна преобразует подсчеты в вероятности, которые представлены в виде областей, а не ячеек.

Мы можем работать со счетчиками, представленными в двусторонней таблице, чтобы записать

Или мы можем работать с вероятностями, как представлено на диаграмме Венна, написав

  • P (E | M) = (36/500) / (180/500).

Однако мы захотим записать наше формальное выражение для условных вероятностей в терминах других, обычных вероятностей, и поэтому определение условной вероятности вырастет из диаграммы Венна.

Обратите внимание, что

  • P (E | M) = (36/500) / (180/500) = P (M и E) / P (M).

Правило седьмой вероятности (Правило условной вероятности):

  • Условная вероятность события B для данного события A равна P (B | A) = P (A и B) / P (A)

Комментарии:

  • Обратите внимание, что когда мы оцениваем условную вероятность, мы всегда делим на вероятность данного события. Вероятность того и другого попадает в числитель.
  • Приведенная выше формула верна до тех пор, пока P (A)> 0, поскольку мы не можем делить на 0.Другими словами, мы не должны искать вероятность события, учитывая, что произошло невозможное событие.

Давайте посмотрим, как мы можем использовать эту формулу на практике:

ПРИМЕР:

На этикетке «Информация для пациента» определенного антидепрессанта указано, что на основании некоторых клинических испытаний,

  • существует 14% вероятность возникновения проблем со сном, известных как бессонница (обозначьте это событие как I ),
  • вероятность возникновения головной боли составляет 26% (обозначьте это событие как H ),
  • , и вероятность появления обоих побочных эффектов ( I и H ) составляет 5%.

(а) Предположим, что пациент страдает бессонницей; какова вероятность того, что пациент также испытает головную боль?

Поскольку мы знаем (или при ), что пациент испытал бессонницу , мы ищем P (H | I) .

Согласно определению условной вероятности:

  • P (H | I) = P (H и I) / P (I) = 0,05 / 0,14 = 0,357.

(b) Предположим, что лекарство вызывает головную боль у пациента; какова вероятность того, что он также вызывает бессонницу?

Здесь указано, что у пациента болела голова, поэтому мы ищем P (I | H).

Использование определения

  • P (I | H) = P (I и H) / P (H) = 0,05 / 0,26 = 0,1923.

Комментарий:

  • Обратите внимание, что ответы на пункты (a) и (b) выше различаются.
  • В общем случае P (A | B) не равно P (B | A). Мы вернемся и проиллюстрируем это позже.

Теперь, когда мы ввели условную вероятность, попробуйте интерактивную демонстрацию ниже, которая использует диаграмму Венна для иллюстрации основных вероятностей, которые мы обсуждали.

Теперь вы можете исследовать и условные вероятности.

Независимые события (часть 2)

LO 6.7: Определите, являются ли два события независимыми или зависимыми, и подтвердите свой вывод.

Как мы видели в разделе «Исследовательский анализ данных», всякий раз, когда ситуация включает более одной переменной, обычно представляет интерес определить, связаны ли эти переменные.

По вероятности, мы говорим о независимых событиях , и ранее мы говорили, что два события A и B являются независимыми , если событие A, происходящее , не влияет на вероятность того, что событие B произойдет.

Теперь, когда мы ввели условную вероятность, мы можем формализовать определение независимости событий и разработать четыре простых способа проверки, являются ли два события независимыми или нет.

Мы представим эти « проверки независимости » на примерах, а затем подведем итоги.

ПРИМЕР:

Снова рассмотрим двустороннюю таблицу для всех 500 учеников в определенной средней школе, классифицированных по полу и независимо от того, проколоты ли они в одном или обоих ушах.

Ожидаете ли вы, что эти две переменные будут связаны?

  • То есть, ожидаете ли вы, что прокол ушей будет зависеть от того, является ли студент мужчиной или женщиной?
  • Или, говоря другими словами, может ли знание пола ученика повлиять на вероятность того, что у него проколоты уши?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем сравнить общую вероятность прокола ушей с условной вероятностью прокола ушей, учитывая, что студент — мужчина.

Наша интуиция подсказывает нам, что последнее должно быть ниже:

  • студентов мужского пола, как правило, не прокалывают уши, в то время как студентки это делают.

Действительно, для студентов в целом вероятность прокола ушей (событие E) составляет

Но вероятность проколоть уши, учитывая, что студент мужчина, составляет всего

.
  • P (E | M) = 36/180 = 0,20.

Как мы и ожидали, P (E | M) ниже, чем P (E).

Вероятность того, что у студента проколоты уши, изменяется (в данном случае становится ниже), когда мы знаем, что студент — мужчина, и, следовательно, события E и M зависят от .

Помните, если бы E и M были независимыми, знание или незнание того, что ученик — мужчина, не имело бы значения… но это имело значение.

Предыдущий пример показывает, что один из методов определения того, являются ли два события независимыми, заключается в сравнении P (B | A) и P (B) .

  • Если два значения равны (т.е. знание или незнание того, произошло ли A, не влияет на вероятность возникновения B), то эти два события являются независимыми .
  • В противном случае, если вероятность изменится на в зависимости от того, знаем ли мы, что A произошло или нет, то два события не являются независимыми .

Аналогично, используя те же рассуждения, мы можем сравнить P (A | B) и P (A).

ПРИМЕР:

Вспомните активность побочных эффектов (внизу страницы Основные правила вероятности.).

На этикетке «Информация для пациента» определенного антидепрессанта указано, что на основании некоторых клинических испытаний,

  • существует 14% вероятность возникновения проблем со сном, известных как бессонница (обозначьте это событие как I ),
  • вероятность возникновения головной боли составляет 26% (обозначьте это событие как H ),
  • , и вероятность появления обоих побочных эффектов ( I и H ) составляет 5%.

Независимы ли два побочных эффекта друг от друга?

Чтобы проверить, независимы ли два побочных эффекта, давайте сравним P (H | I) и P (H).

В предыдущей части этого раздела мы обнаружили, что

  • P (H | I) = P (H и I) / P (I) = 0,05 / 0,14 = 0,357,
  • , а P (H) = 0,26.

Знание о том, что у пациента возникла бессонница, увеличивает вероятность того, что он / она также испытает головную боль, с 0,26 до 0,357.

Таким образом, можно сделать вывод, что эти два побочных эффекта не являются независимыми, они зависят от .

В качестве альтернативы, мы могли бы сравнить P (I | H) с P (I).

  • P (I) = 0,14 ,
  • и ранее мы обнаружили, что P (I | H) = P (I и H) / P (H) = 0,05 / 0,26 = 0,1923,

Опять же, поскольку эти два не равны , мы можем заключить, что два побочных эффекта I и H зависят от .

Комментарий:

  • Вспомните пример с проколотыми ушами. Мы проверили независимость событий M (самец) и E (проколотые уши), сравнив P (E) с P (E | M).

Альтернативным методом проверки зависимости было бы сравнение P (E | M) с P (E | not M) [то же самое, что P (E | F)].

В нашем случае P (E | M) = 36/180 = 0,2, а P (E | not M) = 288/320 = 0,9, и поскольку они очень разные, мы можем сказать, что события E и M не независимы.

В общем, другой метод проверки независимости событий A и B — это сравнение P (B | A) и P (B | not A) .

Другими словами, два события независимы, если вероятность одного события не меняется, знаем ли мы, что другое событие произошло, или мы знаем, что другое событие не произошло.

Можно показать, что P (B | A) и P (B | не A) будут отличаться, если P (B) и P (B | A) отличаются, так что это еще один совершенно законный способ установить зависимость или независимость. .

Прежде чем мы установим общее правило независимости, давайте рассмотрим пример, который проиллюстрирует другой метод, который мы можем использовать, чтобы проверить, являются ли два события независимыми:

ПРИМЕР:

Группа из 100 студентов колледжа была опрошена на предмет их пола и того, выбрали ли они специальность.

Навскидку, у нас не обязательно есть веские причины ожидать, что выбор специальности будет зависеть от пола студента.

Мы можем проверить независимость, сравнив общую вероятность принятия решения с вероятностью принятия решения, учитывая, что студент — женщина:

  • P (D) = 45/100 = 0,45 и P (D | F) = 27/60 = 0,45.

Тот факт, что эти двое равны, говорит нам о том, что, как и следовало ожидать, выбор профессии не зависит от пола.

Теперь давайте подойдем к вопросу независимости иначе: во-первых, мы можем отметить, что общая вероятность принятия решения составляет 45/100 = 0,45.

И общая вероятность быть женщиной 60/100 = 0,60.

Если решение не зависит от пола, то 45% из 60% класса, которые составляют женщины, должны иметь определенную специальность;

другими словами, вероятность быть женщиной и принять решение должна равняться вероятности быть женщиной, умноженной на вероятность принятия решения.

Если события F и D независимы, мы должны иметь P (F и D) = P (F) * P (D).

Фактически P (F и D) = 27/100 = 0,27 = P (F) * P (D) = 0,45 * 0,60 .

Это подтверждает нашу альтернативную проверку независимости.

В общем, другой метод проверки независимости событий A и B — это

  • сравните P (A и B) с P (A) * P (B).
  • Если два равны , то A и B являются независимыми , в противном случае , эти два являются , а не независимыми .

Давайте суммируем все возможные методы, которые мы видели для проверки независимости событий, в одном правиле:

Тесты для независимых событий: Два события A и B являются независимыми, если выполняется одно из следующих событий:

  • P (B | A) = P (B)
  • P (A | B) = P (A)
  • P (B | A) = P (B | не A)
  • P (A и B) = P (A) * P (B)

Комментарий:

  • Эти различные равенства оказываются эквивалентными, так что если выполняется одно равенство, все равны, а если одно равенство не выполняется, все не равны.(Это происходит по той же причине, что зная одно из значений P (A и B), P (A, а не B), P (не A и B) или P (не A и не B), а также P (A) и P (B), позволяет определить оставшиеся ячейки двусторонней таблицы вероятностей.)
  • Следовательно, чтобы проверить, являются ли события A и B независимыми или нет, достаточно проверить только выполнение одного из четырех равенств — в зависимости от того, какое из них вам будет проще.

Цель следующего упражнения — попрактиковаться в проверке независимости двух событий с помощью четырех различных возможных методов, которые мы предоставили, и увидеть, что все они приведут нас к одному и тому же выводу, независимо от того, какой из четырех методов мы используем.

Общее правило умножения (Правило восемь)

LO 6.10: Используйте общее правило умножения для вычисления P (A и B) для любых событий A и B.

Теперь, когда у нас есть понимание условных вероятностей и мы можем выразить их краткими обозначениями, а также иметь более формальное понимание того, что означает независимость двух событий, мы наконец можем установить общее правило умножения , формальное правило для поиск P (A и B) , который применяется к любым двум событиям, независимо от того, являются ли они независимыми или зависимыми.

Начнем с примера, который сравнивает P (A и B) для независимых и зависимых случаев.

ПРИМЕР:

Предположим, вы выбрали две карты наугад из четырех карт, состоящих из одной карты каждой масти: булава, ромб, сердце и пика , где первая карта заменяется до того, как будет выбрана вторая карта.

Какова вероятность выбрать клюшку, а затем алмаз?

Поскольку выборка выполняется с заменой, то, выбран ли ромб при втором выборе, не зависит от того, была ли выбрана клюшка при первом выборе.

Правило 6, правило умножения для независимых событий, говорит нам, что:

  • P (C1 и D2) = P (C1) * P (D2) = 1/4 * 1/4 = 1/16.

Здесь мы обозначаем событие «клуб, выбранный при первом выборе» как C1, а событие «алмаз, выбранный при втором выборе» — как D2.

На приведенном ниже дисплее показано, что в 1/4 случаев мы сначала выбираем клюшку, а из этих случаев 1/4 дает ромб на втором выборе: 1/4 * 1/4 = 1/16 у выбранных игроков сначала будет дубинка, а затем ромб.

ПРИМЕР:

Предположим, вы выбираете две карты наугад из четырех карт, состоящих из одной карты каждой масти: булава, ромб, сердце и пика , не заменяя первую карту до того, как будет выбрана вторая карта.

Какова вероятность выбрать клюшку, а затем алмаз?

Вероятность в этом случае равна , а не 1/4 * 1/4 = 1/16.

  • Поскольку выборка выполняется без замены, то, будет ли выбран алмаз при втором выборе , зависит от того, что было выбрано при первом выборе.
  • Например, если алмаз был выбран при первом выборе, вероятность другого алмаза равна нулю!
  • Как и в примере выше, в 1/4 случаев мы сначала выбираем клюшку.
  • Но так как клюшка была удалена, 1/3 из этих выборов с булавой первой будет иметь второй ромб.

Вероятность выпадения булавы и затем ромба равна 1/4 * 1/3 = 1/12.

  • Это вероятность получения первой клюшки, умноженная на вероятность получения второй алмазной клюшки, при условии, что клюшка была выбрана первой.

Используя обозначение условных вероятностей, можно записать

  • P (C1 и D2) = P (C1) * P (D2 | C1) = 1/4 * 1/3 = 1/12.

Для независимых событий A и B у нас было правило P (A и B) = P (A) * P (B).

Благодаря независимости, чтобы найти вероятность A и B, мы могли бы умножить вероятность A на простую вероятность B, потому что появление A не повлияет на вероятность появления B.

Теперь для событий A и B, которые могут быть зависимыми, чтобы найти вероятность A и B, мы умножаем вероятность A на условную вероятность B , принимая во внимание, что A произошло.

Таким образом, наше общее правило умножения сформулировано следующим образом:

Общее правило умножения — правило вероятности восьмое:

  • Для любых двух событий A и B, P (A и B) = P (A) * P (B | A)

Комментарии:

  1. Обратите внимание, что хотя мотивация для этого правила заключалась в том, чтобы найти P (A и B), когда A и B не являются независимыми, это правило является общим в том смысле, что если A и B оказываются независимыми , то P (B | A) = P (B) верно, и мы вернулись к правилу 6 — правилу умножения для независимых событий: P (A и B) = P (A) * P (B).

  2. Общее правило умножения — это всего лишь замаскированное определение условной вероятности. Напомним определение условной вероятности: P (B | A) = P (A и B) / P (A) Давайте выделим P (A и B), умножив обе части уравнения на P (A), и мы получаем: P (A и B) = P (A) * P (B | A) . Вот и все … это общее правило умножения.

  3. Общее правило умножения полезно, когда два события, A и B, происходят поэтапно, сначала A, а затем B (как выбор двух карт в предыдущем примере).Такой подход делает общее правило умножения очень интуитивным. Для того, чтобы произошли как A, так и B, вам сначала нужно, чтобы произошло A (что происходит с вероятностью P (A)), и , затем вам нужно, чтобы B произошло, зная, что A уже произошло (что происходит с вероятностью P (B | A) )).

Давайте посмотрим на другой, более реалистичный пример:

ПРИМЕР:

В определенном регионе каждый тысячный человек (0,001) инфицирован вирусом ВИЧ, вызывающим СПИД.

  • Тесты на наличие вируса довольно точны, но не идеальны.
  • Если у кого-то действительно есть ВИЧ, вероятность положительного результата теста составляет 0,95.

Пусть H обозначает случай наличия ВИЧ, а T — событие положительного результата теста.

(a) Выразите информацию, содержащуюся в задаче, в терминах событий H и T.

  • «один из тысячи человек (0,001) всех людей инфицирован ВИЧ» → P (H) = 0.001
  • «Если у кого-то действительно есть ВИЧ, вероятность положительного результата теста составляет 0,95» → P (T | H) = 0,95

(b) Используйте общее правило умножения, чтобы определить вероятность того, что кто-то, случайно выбранный из популяции, будет инфицирован ВИЧ и получит положительный результат теста.

  • P (H и T) = P (H) * P (T | H) = 0,001 * 0,95 = 0,00095.

(c) Если у кого-то есть ВИЧ, какова вероятность отрицательного результата теста? Здесь нам нужно найти P (не T | H).

  • Правило дополнения работает с условными вероятностями, пока мы ставим условие на одно и то же событие , следовательно:
  • P (не T | H) = 1 — P (T | H) = 1 — 0,95 = 0,05.

Цель следующего упражнения — дать вам управляемую практику выражения информации в терминах условных вероятностей и использования общего правила умножения.

Подведем итоги

В этом разделе представлены основные концепции независимых событий и условной вероятности — вероятности события при условии, что произошло другое событие.

Мы увидели, что иногда знание о том, что произошло другое событие, не влияет на вероятность (когда два события независимых ), а иногда да (когда два события не являются независимыми).

Далее мы обсудили идею независимости и обсудили различные способы проверки того, являются ли два события независимыми или нет.

Понимание концепции условной вероятности также позволило нам ввести наше окончательное правило вероятности, Общее правило умножения .

Общее правило умножения говорит нам, как найти P (A и B), когда A и B не обязательно независимы.

Вероятность и независимость

— Статистика LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  1. Разница между «и» и «или»
  2. Правило подсчета
    1. Участники

Для эксперимента мы определяем событие как любую совокупность возможных результатов.Простое событие — это событие, которое состоит ровно из одного результата.

  • «или» означает объединение (т. Е. Любое из них может иметь место)
  • «и» означает пересечение (т. Е. Оба должны встречаться)

Два события являются взаимоисключающими , если они не могут происходить одновременно. Для диаграммы Венна мы можем сказать, что два события являются взаимоисключающими, если их области не пересекаются

Определение: Вероятность

Мы определяем вероятность события \ (E \) как

.

\ [P (E) = \ dfrac {\ text {количество простых событий в E}} {\ text {общее количество возможных результатов}} \]

Имеем следующие:

  1. \ (P (E) \) всегда находится между 0 и 1.
  2. Сумма вероятностей всех простых событий должна быть 1.
  3. \ (P (E) + P (\ text {not} E) = 1 \)
  4. Если \ (E \) и \ (F \) взаимоисключающие, то

\ [P (E \ text {or} F) = P (E) + P (F) \]

Разница между «и» и «или»

Если \ (E \) и \ (F \) являются событиями, мы используем терминологию

\ [E \ text {and} F \]

означает все результаты, которые принадлежат как \ (E \), , так и \ (F \).

Мы используем терминологию

\ [E \ text {или} F \]

для обозначения всех результатов, принадлежащих либо \ (E \) , либо \ (F \).

Ниже приведен пример двух множеств, \ (A \) и \ (B \), изображенных на диаграмме Венна.

Зеленая область представляет \ (A \) и \ (B \), а все области с цветом представляют \ (A \) или \ (B \)

.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Наша женская волейбольная команда набирает новых членов.Предположим, человек интересуется командой.

  • Пусть \ (E \) будет событие женского пола
  • Пусть \ (F \) будет событием, что человек является студентом

, тогда \ (E \) и \ (F \) представляют квалификацию члена команды. Обратите внимание, что \ (E \) или \ (F \) недостаточно.

Определяем

Определение: условная вероятность

\ [P (E | F) = \ dfrac {P (E \ text {and} F} {P (F)} \]

Мы читаем в левой части как «Вероятность события \ (E \) данного события \ (F \)».«

Мы называем два события независимыми , если выполняются следующие определения.

Определение: Независимость

Для независимых событий

\ [P (E | F) = P (E) \ label {1a} \]

Эквивалентно, мы можем сказать, что \ (E \) и \ (F \) независимы, если

Определение: правило умножения

Для независимых мероприятий

\ [P (E \ text {and} F) = P (E) P (F) \ label {1b} \]

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Рассмотрим бросание двух кубиков.Пусть

  • \ (E \) означает, что первый кубик равен 3.
  • \ (F \) означает, что сумма кубиков равна 8.

Тогда \ (E \) и \ (F \) означает, что мы выбросили тройку, а затем мы выбросили 5

Эта вероятность равна 1/36, поскольку существует 36 возможных пар, и только одна из них (3,5)

У нас

\ [P (E) = 1/6 \]

И обратите внимание, что (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) и (6,2) дают \ (F \)

Отсюда

\ [P (F) = 5/36 \]

У нас

\ [P (E) P (F) = (1/6) (5/36) \]

, что не равно 1/36, и мы можем заключить, что \ (E \) и \ (F \) не являются независимыми.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Проверьте следующие два события на независимость:

  • \ (E \) событие, когда первый кубик равен 1.
  • \ (F \) событие, когда сумма равна 7.

Правило подсчета

Для двух событий, \ (E \) и \ (F \), у нас всегда

\ [P (E \ text {или} F) = P (E) + P (F) — P (E \ text {and} F) \ label {2} \]

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Найдите вероятность выбора сердечка или лицевой карты из колоды из 52 карт.

Решение

Сдаем

  • \ (E \) = событие выбора сердца
  • \ (F \) = событие выбора лицевой карты

, затем

\ [P (E) = \ dfrac {1} {4} \]

и

\ [P (F) = \ dfrac {3} {13} \]

, то есть валет, дама или король из 13 разных карт одного вида.

\ [P (E \ text {and} F) = \ dfrac {3} {52} \]

Формула правила подсчета (ур.2) дает

\ [P (E \ text {или} F) = \ dfrac {1} {4} + \ dfrac {3} {13} — \ dfrac {3} {52} = \ dfrac {22} {52} = 42 \ text {%} \]

независимых / зависимых событий

Два события независимый если результат второго события не зависит от результата первого события. Если А а также B являются независимыми событиями, вероятность обоих происходящих событий является продуктом вероятностей отдельных событий.

п ( А а также B ) знак равно п ( А ) ⋅ п ( B )

Пример 1:

Коробка содержит 4 красные шарики, 3 зеленые шарики и 2 синие шарики. Один шарик вынимается из коробки, а затем заменяется. Еще один шарик достается из коробки.Какова вероятность того, что первый шарик синий, а второй зеленый?

Поскольку первый шарик заменяется, размер пробного пространства ( 9 ) не меняется от первого рисунка ко второму, поэтому события независимы.

п ( синий, затем зеленый ) знак равно п ( синий ) ⋅ п ( зеленый ) знак равно 2 9 ⋅ 3 9 знак равно 6 81 год знак равно 2 27

Два события зависимый если результат первого события влияет на результат второго события, так что вероятность изменяется.В приведенном выше примере, если первый шарик не заменен, пространство выборки для второго события изменяется, и поэтому события становятся зависимыми. Вероятность наступления обоих событий является произведением вероятностей отдельных событий:

п ( А а также B ) знак равно п ( А ) ⋅ п ( B )

Пример 2:

Коробка содержит 4 красные шарики, 3 зеленые шарики и 2 синие шарики.Один шарик вынимается из коробки и не заменяется. Еще один шарик достается из коробки. Какова вероятность того, что первый шарик синий, а второй зеленый?

Поскольку первый шарик не заменяется, размер пробного пространства для первого шарика ( 9 ) заменяется на второй шарик ( 8 ) так что события зависимы.

п ( синий, затем зеленый ) знак равно п ( синий ) ⋅ п ( зеленый ) знак равно 2 9 ⋅ 3 8 знак равно 6 72 знак равно 1 12

Правил вероятности и независимых событий

Исследование вероятности
в основном связано с объединением различных событий и изучением этих
событий рядом друг с другом.То, как эти различные события соотносятся друг с другом, определяет
методы и правила, которым нужно следовать, когда мы изучаем их вероятности.

События можно разделить на две основные категории: «Зависимые» или «Независимые».

Независимые мероприятия

Когда два события считаются независимыми друг от друга, это означает, что
вероятность того, что одно событие произойдет, никоим образом не влияет на вероятность возникновения другого события
.Ниже приведен пример двух независимых событий; скажем, вы бросили
кубика и подбросили монету. Вероятность выпадения любого числа на кубике
никоим образом не влияет на вероятность выпадения на монете орла или решки.

Зависимые события

Когда два события считаются зависимыми, вероятность наступления одного события
влияет на вероятность другого события.

Например, если вы должны были взять две карты из колоды из 52 карт.Если при первом розыгрыше
у вас был туз, и вы отложили его, вероятность получения туза
при втором розыгрыше сильно изменится, поскольку вы вытащили туз в первый раз.
Давайте вычислим эти разные вероятности, чтобы увидеть, что происходит.

В колоде из 52 карт 4 туза

При первом розыгрыше вероятность выпадения туза равна:

.

Если мы не вернем эту карту в колоду, вероятность вытащить туз на
, второй выбор будет равен

.

Как вы можете ясно видеть, две вышеупомянутые вероятности различны, поэтому мы говорим, что
эти два события являются зависимыми.Вероятность второго события зависит от того, что
произойдет в первом событии.

Условная вероятность

Мы уже определили зависимые и независимые события и увидели, как вероятность
одного события соотносится с вероятностью другого события.

Имея в виду эти концепции, мы можем теперь взглянуть на условную вероятность.

Условная вероятность имеет дело с дальнейшим определением зависимости событий путем рассмотрения
вероятности события при условии, что сначала происходит какое-то другое событие.

Условная вероятность обозначается следующим образом:

Вышеупомянутое читается как , вероятность того, что B произойдет, учитывая, что A уже произошло .

Вышеупомянутое математически определяется как:

Теория множеств в вероятности

Пространство выборки определяется как универсальный набор всех возможных результатов данного эксперимента
.

Учитывая два события A и B и учитывая, что эти события являются частью пространства выборки
S . Этот образец пространства представлен в виде набора, как на диаграмме
ниже.

Все пространство образцов S определяется по:

Помните следующее из теории множеств:

Различные области набора S можно объяснить с помощью правила вероятности
.

Правила вероятности

Имея дело с более чем одним событием, существуют определенные правила, которым мы должны следовать
при изучении вероятности этих событий. Эти правила сильно зависят от того, являются ли
рассматриваемые нами события независимыми или зависимыми друг от друга.

Сначала подтвердите, что

Правило умножения (A∩B)

Этот регион обозначается как «перекресток B» и по вероятности; эта область
относится к событию, в котором происходят как A , так и B .Когда мы используем слова
и , мы имеем в виду умножение, таким образом, A и B можно рассматривать как
как AxB или (используя точечную нотацию, которая более популярна с точки зрения вероятности) A B

Если A и B являются зависимыми событиями, вероятность возникновения этого события
можно рассчитать, как показано ниже:

Если A и B являются независимыми событиями, вероятность возникновения этого события
можно рассчитать, как показано ниже:

Условная вероятность для двух независимых событий может быть переопределена с помощью отношения
, приведенного выше, чтобы стать:

Вышеупомянутое согласуется с определением независимых событий, возникновение
события A никоим образом не влияет на возникновение события B , и поэтому
вероятность того, что событие B произойдет, учитывая, что событие A произошло
совпадает с вероятностью события B .

Аддитивное правило (A∪B)

Вероятно, мы будем ссылаться на оператор сложения ( + ) как на или . Таким образом, когда мы хотим
, мы хотим определить какое-то событие, такое, что событие может быть A или B, чтобы найти
вероятность этого события:

Отсюда следует, что:

Но помните из теории множеств, что и из того, как мы определили пространство выборки выше:

и это:

Итак, теперь мы можем переопределить событие как

Вышеизложенное иногда называют правилом вычитания.

Взаимная эксклюзивность

Некоторые особые пары событий связаны уникальными отношениями, именуемыми взаимной исключительностью
.

Два события считаются взаимоисключающими, если они не могут происходить одновременно.
Для заданного пространства выборки либо одно, либо другое, но не то и другое одновременно. Как следствие, вероятность
взаимоисключающих событий определяется следующим образом:

Примером взаимоисключающих событий являются результаты честного подбрасывания монеты.Когда
вы подбрасываете честно, вы получаете либо голову, либо хвост, но не то и другое вместе, мы можем доказать
, что эти события являются взаимоисключающими, сложив их вероятности:

Для любой данной пары событий, если сумма их вероятностей равна единице,
, то эти два события являются взаимоисключающими.

Правила вероятности взаимоисключающих событий

  • Правило умножения

    Из определения взаимоисключающих событий мы должны быстро заключить, что
    :

  • Дополнение Правило

    Как мы определили выше, правило сложения применяется к взаимоисключающим событиям следующим образом:

  • Правило вычитания

    Из приведенного выше правила сложения мы можем заключить, что правило вычитания для взаимно исключающих друг друга событий принимает форму;

Условная вероятность взаимоисключающих событий

Мы определили условную вероятность с помощью следующего уравнения:

Мы можем переопределить вышесказанное, используя правило умножения

.

отсюда

Ниже представлена ​​диаграмма Венна для набора, содержащего два взаимоисключающих события A
и B .

Статистика: правила вероятности

Статистика: правила вероятности

«ИЛИ» или союзы

Взаимоисключающие мероприятия

Два события являются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно. Другое слово, что означает, что взаимоисключающий не пересекается.

Если два события не пересекаются, то вероятность их одновременного возникновения равна 0.

 Непересекающийся: P (A и B) = 0
 

Если два события являются взаимоисключающими, то вероятность любого из них является суммой вероятности каждого события.

Специальное правило добавления

Действительно только в том случае, если события исключают друг друга.

 P (A или B) = P (A) + P (B)
 
Пример 1:

Дано: P (A) = 0,20, P (B) = 0,70, A и B не пересекаются

Мне нравится использовать так называемое совместное распределение вероятностей. (Поскольку непересекающийся ничего не значит в общее, совместное — это то, что у них общего, поэтому ценности, которые находятся во внутренней части table — это пересечения или «и» каждой пары событий).«Маржа» — другое слово для обозначения итогов — это называется маргинальным, потому что они появляются на полях.

Б Б ‘ Маргинальный
A 0,00 0,20 0,20
A ‘ 0,70 0,10 0,80
Маржа 0.70 0,30 1,00

Значения красного цвета указаны в задаче. Общая сумма всегда равна 1,00. Остальные ценности получаются сложением и вычитанием.

Мероприятия, не являющиеся взаимоисключающими

В событиях, которые не исключают друг друга, есть некоторые совпадения. Когда P (A) и P (B) складываются, вероятность пересечения (и) складывается дважды. Чтобы компенсировать это двойное сложение, пересечение нужно вычесть.

Общее правило добавления

Всегда актуально.

 P (A или B) = P (A) + P (B) - P (A и B)
 
Пример 2:

Дано P (A) = 0,20, P (B) = 0,70, P (A и B) = 0,15

Б Б ‘ Маргинальный
A 0,15 0,05 0,20
A ‘ 0.55 0,25 0,80
Маржа 0,70 0,30 1,00

Интерпретация таблицы

Некоторые вещи можно определить из совместного распределения вероятностей. Взаимоисключающие события будет иметь нулевую вероятность. События «все включено» будут иметь ноль напротив перекрестка. Все включительно означает, что за пределами этих двух событий нет ничего: P (A или B) = 1.

Б Б ‘ Маргинальный
A A и B взаимно Исключительно, если это значение 0 . .
A ‘ . A и B — все включено, если это значение 0 .
Маргинальный . . 1.00

«И» или перекрестки

Независимые мероприятия

Два события независимы, если возникновение одного не изменяет вероятность другого. происходит.

Примером может быть выпадение двойки на кубике и подбрасывание головы на монете. Прокатка 2 не делает влияют на вероятность перевернуть голову.

Если события независимы, то вероятность того, что они оба произойдут, является продуктом вероятности каждого события.

Правило специального умножения

Действительно только для независимых событий

 P (A и B) = P (A) * P (B)
 
Пример 3:

P (A) = 0,20, P (B) = 0,70, A и B независимы.

Б Б ‘ Маргинальный
A 0,14 0,06 0,20
A ‘ 0.56 0,24 0,80
Маржа 0,70 0,30 1,00

0,14 — это потому, что вероятность A и B равна вероятности A, умноженной на вероятность B, или 0,20 * 0,70 = 0,14.

Зависимые события

Если возникновение одного события действительно влияет на вероятность возникновения другого, то события зависимы.

Условная вероятность

Вероятность наступления события B того, что событие A уже произошло, читается как «вероятность B дано A «и написано: P (B | A)

Общее правило умножения

Всегда работает.

 P (A и B) = P (A) * P (B | A)
 
Пример 4:

P (A) = 0,20, P (B) = 0,70, P (B | A) = 0,40

Хороший способ думать о P (B | A) состоит в том, что 40% от A — это B. 40% из 20%, которые были в событии A, являются 8%, таким образом, пересечение равно 0.08.

Б Б ‘ Маргинальный
A 0,08 0,12 0,20
A ‘ 0,62 0,18 0,80
Маржа 0,70 0,30 1,00

Возвращение к независимости

Следующие четыре утверждения эквивалентны

  1. A и B — независимые события
  2. P (A и B) = P (A) * P (B)
  3. P (A | B) = P (A)
  4. P (B | A) = P (B)

Последние два вызваны тем, что если два события независимы, возникновение одного не меняет вероятность появления другого.